ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - mathematica.gr · x 32 2 3s x s x s x x s x s x s 99,7% 95% 68% s s ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ( ΟΡΙΣΜΟΙ – ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ΛΥΚΕΙOY

2010-2011 ∆ημήτρης Β Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 22

5) Τι είναι το πλάτος μίας κλάσης

6) Τι είναι η συχνότητα μίας κλάσης 7)Πως καθορίζεται το πλήθος των κλάσεων

8) Τι λέγεται εύρος του δείγματος

9)Πως υπολογίζουμε το πλάτος των κλάσεων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1)Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο οι πίνακες συχνοτήτων και κατrsquoαναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν Σrsquoαυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε πολύ περισσότερο στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής όπου αυτή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της 2)Οι κλάσεις (class intervals) είναι διαστήματα της μορφής [α β) στα οποία ταξινομούνται (ομαδοποιούνται ) τα δεδομένα έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση 3) Τα άκρα α β των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων (class boundaries) Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά) δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [ )

4) Κεντρική τιμή μίας κλάσης [α β) είναι το κέντρο της 2

(Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων ) 5) Πλάτος μίας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης Δηλαδή για την κλάση [α β) το πλάτος της είναι ο αριθμός β - α 6) Συχνότητα της κλάσης [α β) (ή συχνότητα της κεντρικής τιμής ix κi ) ονομάζεται το πλήθος iν των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i

7) Το πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή του αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του Γενικά όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίνακας

Μέγεθος δείγματος

ν

Αριθμός κλάσεων

κ

Μέγεθος δείγματος

ν

Αριθμός κλάσεων

κ 20

5020 10050

200100

5 6 7 8

400200 700400

1000700 1000

9 10 11 12

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ΛΥΚΕΙOY

2010-2011 ∆ημήτρης Β Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 23

8) Εύρος (range) R του δείγματος ονομάζουμε τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος

m a x m i nR x x

Το εύρος ή κύμανση (range) ( R ) είναι το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα το εύρος δίνεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης Το εύρος είναι ένα αρκετά απλό μέτρο που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις

9) Υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R διά του αριθμού των κλάσεων κ στρογγυλεύοντας αν χρειαστεί για λόγους

διευκόλυνσης πάντα προς τα πάνω R

c

63 sect22Πως κατασκευάζεται ο πίνακας συχνοτήτων για ομαδοποιημένα δεδομένα σε κλάσεις ίσου πλάτους Οι πίνακες συχνοτήτων και κατrsquoαναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε πολύ περισσότερο στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής όπου αυτή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της Σrsquoαυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται και κλάσεις (class intervals) έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων (class boundaries) Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά) δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [ ) Κατά την εξέταση ασκήσεων που αναφέρονται σε ομαδοποίηση παρατηρήσεων οι κλάσεις θα

δίδονται υποχρεωτικά Κατά τη διδασκαλία του ιστογράμματος συχνοτήτων να τονιστεί ιδιαιτέρως ότι οι

παρατηρήσεις στις κλάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα Επομένως αν σε μια κλάση πλάτους c αντιστοιχούν i παρατηρήσεις τότε σε ένα υποδιάστημα αυτής πλάτους d αντιστοιχούν

i

d

c παρατηρήσεις Έτσι για παράδειγμα στην άσκηση 5 της σελ 103 οι πωλητές που έκαναν

πωλήσεις από 5 χιλιάδες ευρώ μέχρι 6 χιλιάδες ευρώ είναι 1

14 72

Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες οπότε μπορούν να ldquoαντιπροσωπευθούνrdquo από τις κεντρικές τιμές τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ΛΥΚΕΙOY

2010-2011 ∆ημήτρης Β Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 24

Το πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή του αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του Γενικά όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίνακας

Μέγεθος δείγματος

ν

Αριθμός κλάσεων

κ

Μέγεθος δείγματος

ν

Αριθμός κλάσεων

κ 20

5020 10050

200100

5 6 7 8

400200 700400

1000700 1000

9 10 11 12

Το δεύτερο βήμα είναι ο προσδιορισμός του πλάτους των κλάσεων

Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης

Στην ύλη μας οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος

Για να κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος

Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R διά του αριθμού των κλάσεων κ στρογγυλεύοντας αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης πάντα προς τα πάνω

κRc

Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή των κλάσεων

Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις

Αυτονόητο είναι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει να) ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση

Τέλος γίνεται η διαλογή των παρατηρήσεων

Το πλήθος των παρατηρήσεων iν που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i καλείται

συχνότητα της κλάσης αυτής ή συχνότητα της κεντρικής τιμής ix κi

Πρέπει να προσεχτεί ότι Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση

64 sect22

α)Τι είναι το Ιστόγραμμα Συχνοτήτων β) Πως κατασκευάζεται το Ιστόγραμμα Συχνοτήτων γ) Τι είναι το πολύγωνο συχνοτήτων Ποια είναι η αριθμητική τιμή του

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ΛΥΚΕΙOY

2010-2011 ∆ημήτρης Β Μ Π Ο Υ Φ Α Σ 25

χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ΑΠΑΝΤΗΣΗ α)Ιστόγραμμα (histogram) συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα β)Το ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζεται ως εξής Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα ) και ύψος κάθε ορθογωνίου ίσο προς τη συχνότητα iν της αντίστοιχης κλάσης έτσι ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής γ) Το πολύγωνο συχνοτήτων (frequency polygon) προκύπτει από ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων αν θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν(βλέπε σχήμα ) v i

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 5 6 1 6 2 1 6 8 1 7 4 1 8 0 1 8 6 1 9 2

Υ ψ ο ς (σ ε c m )

Ε = ν Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων

65 sect22

α)Τι είναι το Ιστόγραμμα σχετικών Συχνοτήτων β) Πως κατασκευάζεται το Ιστόγραμμα σχετικών Συχνοτήτων γ) Τι είναι το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων Ποια είναι η αριθμητική τιμή του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ΑΠΑΝΤΗΣΗ α)Ιστόγραμμα (histogram) σχετικών συχνοτήτων είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα σχετικών συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα β)Το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων κατασκευάζεται ως εξής Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης C (θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα ) και ύψος κάθε ορθογωνίου ίσο προς τη σχετική συχνότητα if της αντίστοιχης κλάσης έτσι ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη σχετικη συχνότητα της κλάσης αυτής γ) Το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων (frequency relative polygon) προκύπτει από ένα