МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВef.donnu-support.ru/emk/Data/MMME/ZO/KZTV_2.pdfна выпавших гранях равна шести. 1.20. В ящике содержится

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Программа, контрольные задания и методические указания

(для студентов экономических специальностей заочной формы обучения)

ЧАСТЬ 2

(Теория вероятностей и математическая статистика)

У т в е р ж д е н о

на заседании кафедры математики и

математических методов в экономике

Протокол 1 от 31.08.2006 г.

Донецк 2007

УДК 519.2 ББК 22.171

Математика для экономистов. Программа, контрольные задания и методиче-

ские указания. Часть 2 / Сост. Н.В. Румянцев, М.И. Медведева. – Донецк: ДонНУ,

2007. – 74 с.

В методическом пособии приведены методы решения типовых задач и

условия задач для контрольных работ по курсу “Математика для экономистав

(теория вероятностей и математическая статистика)” для студентов заочного

отделения. Материал изложен в соответствии с программой курса, утвержденной

Министерством образования и науки Украины.

Составители Н.В. Румянцев, проф., д.э.н.

М.И. Медведева, доц., к.ф.-м.н.

Ответственный за выпуск: Ю.Н. Полшков, доц., к.ф.-м.н.

Донецкий национальный университет, 2007

3

Программа по курсу «Математика для экономистов»

Раздел ΙΙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

Предмет курса, его содержание, роль и место как теоретической базы вероятностно-статистического моделирования. Классификация событий, понятия элементарного и сложного случайного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и ее свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая ве-роятность и ее свойства. Статистическая вероятность и ее свойства. Аксиоматичное определение вероятности. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее. Свойства противоположных событий. Условная вероятность. Понятие зависимых и независимых случайных событий. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Тема 2. Схема Бернулли. Одномерные случайные величины

Понятие схемы Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события в схеме Бернулли. Асимптотические формулы: локальная теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона, интегральная теорема Муавра-Лапласа и следствия из нее. Понятие случайной величины. Типы случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Полигон. Закон распределения непрерывной случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Начальные и центральные моменты. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, ассиметрия, эксцесс, мода, медиана. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Тема 3. Основные законы распределения случайных величин

Биномиальная, пуассоновская и геометрическая случайные величины, и их числовые характеристики. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики. Вероятность попадания нормального случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм. Равномерный и показательный законы распределения. Применение показательного закона в теории надежности и теории очередей. Распределение Вейбулла, гамма-распределение, лог-нормальный закон распределения.

4

Тема 4. Многомерные случайные величины

Понятие многомерной случайной величины и ее закона распределения. Система двух дискретных случайных величин, ее закон распределения. Числовые характеристики системы случайных величин: математическое ожидание корреляционный момент, коэффициент корреляции и его свойства. Функция распределения вероятностей системы непрерывных случайных вели-чин, плотность вероятностей и ее свойства. Числовые характеристики системы непрерывных величин. Условные законы распределения и их числовые характеристики. Система n случайных величин. Числовые характеристики системы, корреляционная матрица. Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента, ее числовые характеристики.

Тема 5. Предельные теоремы теории вероятностей. Элементы теории случайных процессов

Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и следствия из нее. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова) и ее применение. Определение случайного процесса и их классификация. Марковский случайный процесс, цепь Маркова, примеры. Понятие матрицы вероятностей перехода и стохастической матрицы. Применение цепей Маркова для оценки эффективности функционирования систем. Элементы теории массового обслуживания. Простейшая матема-тическая модель системы массового обслуживания.

ЧАСТЬ IІ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Тема 6. Основные понятия математической статистики

Генеральная и выборочная совокупность. Вариационный ряд, размах. Статистическое распределение выборки. Кумулянта и ее свойства. Гистограмма и полигон статистического распределения выборки. Числовые характеристики распределения выборки, среднее квадратичное отклонение, мода и медиана для дискретных и интервальных распределений выборки, эмпирические начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс.

Тема 7. Статистические оценки параметров генеральной совокупности

Понятие о статистической оценке неизвестных параметров. Основные свойства точечных оценок параметров: несмещенность, эффективность и состоятельность. Оценки среднего, дисперсии, среднего квадратичного откло-нения и их смещенность и несмещенность. Методы оценивания параметров: метод моментов, метод максимальной правдоподобности. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки, доверительный интервал и доверительная вероятность. Построение доверительного интервала

5

для числовых характеристик генеральной совокупности.

Тема 8. Статистические гипотезы

Понятие статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная гипотезы, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, наблюдаемое значение критерию. Критическая область, область принятия нулевой гипотезы, критическая точка. Общая методика построения статистических тестов. Проверка гипотез о законе распределения: критерии согласования хи-квадрат Пирсона, Смирнова, Колмогорова.

Тема 9. Основы теории корреляции и регрессии. Элементы диспер-сионного анализа

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Определение формы связи. Понятие парной регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Нелинейная регрессия. Определение статистических оценок для коэффициентов нелинейной функции регрессии. Множественная регрессия, определение оценок для параметров линейной множественной регрессии. Коэффициент детерминации. Множественный коэффициент корреляции и его свойства. Модель эксперимента. Однофактор-ный анализ. Таблица результатов наблюдений. Общая дисперсия, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии. Общий метод проверки влияния факторов на признак с помощью сравнения дисперсий. Понятие о двухфактор-ном анализе.

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Основной целью контрольной работы по курсу «Математика для эко-номистов» является закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе аудиторной работы и самостоятельного изучения соответствую-щей учебной литературы.

При выполнении заданий, включенных в контрольную работу, сту-денты должны продемонстрировать знание основных теоретических вопро-сов и умение применить их при решении практических задач.

При выполнении и оформление контрольных работ необходимо сле-довать данным ниже рекомендациям. Работы, выполненные без соблюдения этих рекомендаций, не зачитываются и возвращаются студенту для перера-ботки.

• Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клет-ку. При оформлении необходимо оставлять поля шириной 4,5 см для замечаний рецензента.

6

• На обложке тетради должны быть четко написаны название дисциплины, фамилия и инициалы студента, шифр группы. Здесь же указывается название учебного заведения и адрес студента. В конце работы ставится дата ее выпол-нения и личная подпись студента.

• В работу должны быть включены все задачи контрольной работы по со-ответствующему варианту. Контрольная работа, содержащая не все задачи за-дания, а также задачи не своего варианта, рецензентом не рассматривается и возвращается студенту.

• На первой странице контрольной работы необходимо указать вариант, выполняемой работы, а так же расположить таблицу с указанием номера соот-ветствующего задания.

• Решения задач следует располагать по порядку, в котором они входят в задание, сохраняя номера задач. Решения излагать подробно, объясняя и моти-вируя все действия. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее условие.

• После получения прорецензированной работы, студент должен исправить все указанные рецензентом ошибки. Все необходимые дополнения и исправле-ния необходимо располагать в конце тетради.

• Внесенные в решения задач исправления или дополнения необходимо сдать для повторной проверки. Если работа не зачтена и отсутствует указание рецензента на то, что можно ограничиться представлением исправленных ре-шений отдельных задач, то вся работа должна быть выполнена заново.

• При выполнении контрольной работы рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений.

Студент выполняет контрольную работу только по своему варианту. Ва-риант и соответствующие номера задач определяются преподавателем во время установочной сессии.

7

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Задание 1

При решении задач 1.1-1.30 использовать классическое определение ве-роятности.

1.1. В коробке имеется 8 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Нау-дачу извлечены 4 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий окрашенных не окажется.

1.2. В партии из 20 деталей имеется 15 стандартных. Наудачу выбраны 6 дета-лей. Найти вероятность того, что среди них 4 стандартных.

1.3. В цехе работают 12 женщин и 4 мужчины. По табельным номерам наудачу выбирают 5 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 2 женщины.

1.4. На складе имеется 20 телевизоров, причем 6 из них изготовлены фирмой “SONY”, Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 телевизоров окажется 4 телевизора фирмы “SONY”.

1.5. В ящике находятся 12 деталей, среди которых 9 окрашенных. Сборщик нау-дачу извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что ровно 3 извлеченные детали окажутся окрашенными.

1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различные и нечетные, набрал их наудачу. Найти вероят-ность того, что набраны нужные цифры.

1.7. Из 5 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наудачу последовательно выбираются 3 и раскладывается в ряд. Найти вероятность получения слова ДВА.

1.8. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Найти вероятность того, что ровно один из 3 взятых билетов окажется выигрышным.

1.9. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков равна 8 и их произведение равно 15.

1.10. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 18 учебников, причем 7 из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет 4 учебника. Най-ти вероятность того, что 2 из них окажутся в переплете.

1.11. В группе из 10 студентов 4 отличника. Из группы случайным образом от-бираются 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных сту-дентов окажутся 3 отличника.

1.12. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. С какой веро-ятностью оператор угадает пароль с первой попытки, если: а) цифры в коде

8

не повторяются; б) повторяются? 1.13. Брокерская фирма предлагает акции 15 различных компаний. Акции 10 из

них продаются по наименьшей среди имеющихся акций цене и обладают одинаковой доходностью. Клиент собирается приобрести акции 3-х компа-ний - по одной от каждой компании. Какова вероятность того, что в число случайно отобранных попадут 2 акции, рост цен на которые будет наи-большим в следующем году?

1.14. На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15 без-работных – 10 мужчин и 5 женщин, состоящих на учете в службе занятости. Претендентов выбирают наудачу. Найти вероятность того, что работу полу-чат 4 женщины.

1.15. В ящике находятся 12 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется ровно три окрашенных детали.

1.16. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включе-нии устройства случайным образом включается три элемента. Найти веро-ятность того, что среди включившихся элементов окажутся два не изно-шенные.

1.17. В отделе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам нау-дачу выбраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

1.18. В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера из-влеченных кубиков, появятся в возрастающем порядке.

1.19. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна шести.

1.20. В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извле-чены 4 детали. Найти вероятность того, что среди них две бракованные.

1.21. Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероят-ность того, что случайно названное двузначное число равно задуманному.

1.22. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна восьми, а разность – четырем.

1.23. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет один туз.

1.24. Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероят-ность того, что квадрат задуманного числа оканчивается 1 или 5.

1.25. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 7.

1.26. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня

9

лишь, что эти цифры различны и ни одна из них не равна 3, набрал их нау-дачу. Найти вероятность того, что абонент дозвонится с первого раза.

1.27. В конверте среди 36 фотокарточек находится три разыскиваемые. Найти вероятность того, что среди 12 наудачу вынутых фотокарточек будут две необходимые.

1.28. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 человек (из них 4 женщины), подавших заявления о приеме на работу. В первый день на собеседование наудачу вызывают 5 человек. Найти вероятность того, что среди кандида-тов, приглашенных на собеседование в первый день, будет трое мужчин.

1.29. В партии из 10 приборов 2 бракованных. Взяли наудачу 3 прибора. Найти вероятность того, что среди выбранных приборов будет 1 бракованный.

1.30. Полная колода карт в 52 листа делится наугад на две равные части. Найти вероятность того, что в одной из пачек не будет ни одного туза.

Задание 2

При решении задач 2.1-2.2 использовать теоремы сложения и умноже-ния вероятностей.

2.1. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора, 0,8 - для второго и 0,7 - для третьего. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализа-тор.

2.2. Три стрелка стреляют по мишени. Первый поражает мишень с вероятно-стью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, третий – с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе по мишени будет два попадания.

2.3. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем ящиках равны 0,4, 0,7, 0,9 соответственно. Найти вероят-ность того, что нужная сборщику деталь содержится не менее чем в 2-х ящиках.

2.4. Вероятность поражения цели одним стрелком равна 0,8, а вторым стрел-ком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

2.5. В лотерее 100 билетов. Среди них один выигрыш в 100 грн., 3 выигрыша по 50 грн., 6 выигрышей по 20 грн. и 15 выигрышей по 10 грн. Некто поку-пает два билета. Найти вероятность того, что сумма выигрыша составит не менее 70 грн.

2.6. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Найти вероятность того, что 1, 2 и 3 июля будет пасмурная погода.

10

2.7. В лотерее 100 билетов; среди них один выигрыш в 200 грн., 3 выигрыша по 100 грн., 6 выигрышей по 50 грн. и 15 выигрышей по 20 грн. Некто поку-пает 3 билета. Найти вероятность того, что сумма выигрыша будет не менее 120 грн.

2.8. В читальном зале на полке стоит 10 учебников, среди которых 5 - в пере-плете. Библиотекарь наудачу взял 4 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы 2 выбранных учебника будут в переплете.

2.9. Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающих сиг-нализаторов. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализа-тор равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Найти вероятность того, что при аварии сработает не менее двух сигнализаторов.

2.10. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятно-сти отказа элементов соответственно равны 0,04, 0,05 и 0,06. Найти вероят-ность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

2.11. В ящике лежат 5 красных, 3 зелёных и 2 синих шара. Наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета.

2.12. Студент пришел на зачет, зная 24 вопроса из 30. Билет содержит один теоретический вопрос. Какова вероятность сдать зачет, если, после отказа отвечать на вопрос билета, преподаватель задает еще один дополнительный вопрос?

2.13. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков равна 0,1, 9 очков – 0,3, 8 или меньше очков – 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

2.14. В партии из 10 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х деталей не более 3-х стандартных.

2.15. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку – 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при 3 выстрелах наберет не менее 28 очков.

2.16. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного про-дукта по каждому из 3-х центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу по двум телеканалам?

2.17. Торговый агент предлагает клиентам иллюстрированную книгу. Из пре-дыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 60 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу четырем клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им не более двух книг?

2.18. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 2 области. Вероятность по-падания в первую область равна 0,4, во вторую – 0,3. Найти вероятность то-

11

го, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую области.

2.19. В фирме 550 работников, причем 380 из них имеют высшее образование, 410 – среднее специальное, у 350 высшее и среднее специальное образова-ние. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или то и другое?

2.20. Финансовый аналитик предполагает, что норма процента может упасть за определенный период с вероятностью 0,40. Также он считает, что если нор-ма (ставка) процента упадет, то вероятность того, что рынок акций в это же время будет расти, равна 0,80. Используя полученную информацию, найти вероятность того, что норма процента будет падать, а рынок акций расти од-новременно в течение обсуждаемого периода.

2.21. Вероятность того, что строительная компания получит контракт в городе А равна 0,4, в городе В – 0,3. Вероятность того, что контракты будут заклю-чены и в городе А и в городе В равна 0,10. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт только в одном городе?

2.22. Город имеет три независимых резервных источника электроэнергии на случай аварийного отключения постоянного источника. Вероятность того, что любой из 3-х резервных источников будет доступен при отключении по-стоянного источника, составляет 0,8. Постоянный источник вышел из строя. Найти вероятность того, что будут доступны два резервных источника.

2.23. Инвестор предполагает, что в следующем году вероятность роста цены акций компании А будет составлять 0,7, а компании В – 0,4. Вероятность то-го, что поднимутся цены на акции и первой и второй компаний одновремен-но равна 0,18. Найти вероятность того, что цены поднимутся на акции хотя бы одной компании.

2.24. Торговая компания, имея список покупателей в 3-х регионах, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность получить отклик на каждое из разосланных предложений равна 0,75. Чему равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из двух регио-нов?

2.25. Вероятность того, что покупатель приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ – 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер и пакет программ равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен пакет программ , если куплен компьютер?

2.26. Набор содержит 20% синих, 13% черных, 44% красных, 23% зеленых ка-рандашей. Наудачу взяты три карандаша. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы 2 красных карандаша.

2.27. В билете 3 вопроса: 1 – теоретический, 2 – практических. Вероятность полных ответов на теоретический и практические вопросы составляет 0,8 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что студент ответит не менее

12

чем на 2 любых вопроса. 2.28. Машинистка напечатала текст на 3-х страницах. Вероятность того, что

она допустит ошибку на одной странице, равна 0,7. Найти вероятность того, что ошибка будет допущена только на одной странице.

2.29. Вероятность попадания при выстреле в цель для стрелка равна 0,8. Стрельба ведется до первого попадания. Найти вероятность того, что стре-лок сделает не более 3 выстрелов.

2.30. В трех ящиках находится по 10 деталей. При этом в первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 10 стандартных деталей соответственно. Из каждого ящика наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что из трех вынутых деталей будут хотя бы две стандартные.

Задание 3

При решении задач 3.1.-3.30 использовать формулы полной вероятности и Байеса.

3.1. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Веро-ятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,45. Вероят-ности того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,95, а вторым – 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что: а) стандартное изделие при проверке будет признано стандарт-ным; б) признанное стандартным изделие действительно стандартное.

3.2. Фирма производит телевизоры на трех своих заводах: А, В, С. При этом на заводе А производится 30% всех телевизоров, на заводе В – 50%. Доля те-левизоров, требующих гарантийного ремонта для завода А равна 0,04%, для завода В – 0,02%, для завода С – 0,05%. Найти вероятность того, что: а) нау-дачу выбранный телевизор данной фирмы потребует гарантийного ремонта; б) телевизор, требующий гарантийного ремонта, произведен на заводе С.

3.3. В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем из них в первом ящике – 16, а во втором – 13 стандартных деталей соответственно. Из второго ящи-ка наудачу извлечена одна деталь и переложена в первый ящик. Найти веро-ятность того, что: а) наудачу извлеченная после этого из первого ящика де-таль будет стандартной; б) из второго ящика была переложена нестандарт-ная деталь, если из первого ящика извлекли стандартную деталь.

3.4. В первой урне содержится 3 белых и 7 черных шаров, во второй – 6 бе-лых и 4 черных. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар черный; б) из первой урны извлекли белый шар, если из двух ша-ров затем был выбран черный.

3.5. Батарея из трех орудий произвела залп. Вероятности попадания в цель

13

первым, вторым и третьим орудиями равны 0,7, 0,6, 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что: а) 2 снаряда попадут в цель; б) третье орудие попало в цель, если всего было два попадания.

3.6. В левом кармане 10 монет по 5 коп. и 6 монет по 25 коп., а в правом – 4 монеты по 5 коп. и одна монета в 25 коп. Из левого в правый карман наудачу переложили одну монету. После этого из правого кармана наудачу извлекли одну монету. Найти вероятность того, что: а) из правого кармана извлекли 5-копеечную монету; б) была переложена 25-копеечная монета, если из право-го кармана извлекли 5-копеечную монету.

3.7. В ящике содержится 20 деталей первого завода, 50 – второго и 30 – третьего. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0,9, для деталей второго и третьего заводов – 0,6 и 0,8 соответственно. Наудачу извлекают одну деталь. Найти вероятность того, что: а) извлечен-ная наудачу деталь окажется отличного качества; б) извлеченная наудачу деталь отличного качества произведена на третьем заводе.

3.8. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлено автоматом, дающим 4% брака, а 30% – автоматом, давшим 5% брака. Наудачу выбирается де-таль. Найти вероятность того, что: а) выбранная деталь – бракованная; б) ес-ли выбранная деталь бракованная, то она изготовлена первым автоматом.

3.9. Имеется три партии деталей по 15 в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях равно 10, 12, 14 соответственно. Из нау-дачу взятой партии извлечена деталь. Найти вероятность того, что: а) вы-бранная деталь окажется стандартной; б) если выбранная деталь стандарт-ная, то она из второй партии.

3.10. На предприятие поступают электролампы от двух поставщиков с вероят-ностями 0,4 и 0,6 соответственно. Вероятность бесперебойной работы в те-чение года лампы составляет: 0,8 – для лампы первого поставщика; 0,6 – для лампы второго поставщика. Найти вероятность того, что: а) лампа работает бесперебойно в течение года; б) эта лампа от второго поставщика.

3.11. Вкладчик имеет возможность открыть счет в одном из трех коммерческих банков: А, В и С. Вероятность банкротства в течение года банка А равна 0,5, банка В – 0,4 банка С – 0,5. Вкладчик с одинаковой вероятностью может вы-брать один из банков. Найти вероятность того, что: а) выбранный вкладчи-ком банк разорится в течение года; б) вкладчик выбрал банк В, если банк ра-зорился.

3.12. Агент по недвижимости должен продать квартиру в течение ближайших 6 месяцев. Он полагает, что квартира будет продана с вероятностью 0,8, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономи-ческая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать квартиру соста-вит 0,3. Предполагается, что с вероятностью 0,4 экономическая ситуация в регионе в течение 6 месяцев ухудшиться. Найти вероятность того, что: а) квартира будет продана в течение 6 месяцев; б) в регионе ухудшилась эко-

14

номическая ситуация, если квартира была продана. 3.13. Туристическая фирма реализует путевки в пансионат N . Исследования

показывают, что вероятность того, что все путевки будут проданы, равна 0,9, если курс доллара по отношению к гривне не измениться, 0,7 – если курс вырастет и 0,96 – если курс снизится. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона курс доллара вырастет, равна 0,4, снизится – 0,1. Найти вероятность того, что: а) все путевки будут проданы; б) курс доллара снизился, если все путевки были проданы.

3.14. Вероятность того, что изделие некоторого производства удовлетворяет стандарту, равна 0,95. Проводится упрощенная система проверки на стан-дартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,9. Для изде-лий, которые не удовлетворяют стандарту – с вероятностью 0,05. Найти ве-роятность того, что: а) наудачу проверенное изделие будет признано стан-дартным; б) изделие, признанное при проверке стандартным, не удовлетво-ряет стандарту.

3.15. В первой урне 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, а во второй – 8 бе-лых, 10 красных и 2 черных шара. Из каждой урны извлечено по одному ша-ру. Найти вероятность того, что: а) один из извлеченных шаров белый; б) ес-ли один из извлеченных шаров белый, то он из первой урны.

3.16. Среди студентов университета 35% - первокурсники, 30% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. Из-вестно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отлич-ные оценки, на 2-м - 40%, на 3-м - 45%, на 4-м - 50% отличников. Наудачу выбрали одного студента. Найти вероятность того, что: а) этот студент сдал сессию на «отлично»; б) он (или она) - студент 1-го курса.

3.17. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 40% - между-народные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% летают по делам, свя-занным с бизнесом, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Найти вероятность того, что: а) вы-бранный пассажир – бизнесмен; б) если выбранный пассажир – бизнесмен, то он прилетел местным рейсом.

3.18. Проводятся исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыду-щих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия неф-ти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки про-водится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежно-сти: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно ука-зать ее наличие. Найти вероятность того, что: а) сейсмический тест покажет наличие нефти; б) при положительном сейсмическом тесте нефть действи-тельно есть.

15

3.19. Фирма предполагает заключить контракт на поставку своей продукции в страну N . Если основной конкурент фирмы не станет одновременно пре-тендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,75; в противном случае – в 0,45. Вероятность того, что кон-курент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Найти вероятность того, что: а) контракт будет заключен; б) конкурент не выдвигал свои предложения, если контракт был заключен.

3.20. Компания обсуждает возможности инвестиций в условиях неустойчивой политической ситуации. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в тер-минах годового дохода от инвестиций в течение 1-го года работы) в 0,75, ес-ли политическая ситуация будет благоприятной; в 0,40, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,20, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Предполагается, что вероятности благоприят-ной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций равны 0,40, 0,50 и 0,10 соответственно. Найти вероятность того, что: а) инвестиции ус-пешны; б) если инвестиций успешны, то в стране была благоприятная поли-тическая ситуация.

3.21. При слиянии акционерного капитала 2-х фирм аналитики фирмы, полу-чающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощае-мой фирмы выйдет в отставку; если он останется, то вероятность успеха бу-дет равна 0,30. Вероятность ухода в отставку председателя равна 0,70. Найти вероятность того, что: а) сделка принесет успех; б) если сделка была успеш-ной, то председатель ушел в отставку.

3.22. На заводе установлена система аварийной сигнализации. Если возникает аварийная ситуация, то звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно, без аварийной ситуации, с веро-ятностью 0,02. Вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Найти вероят-ность, того что: а) сработает звуковой сигнал; б) если сработал звуковой сигнал, то имела место реальная аварийная ситуация.

3.23. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономиче-ского роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,25. Вероят-ность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Найти вероятность, того что: а) случайно выбранный клиент банка не вернет полу-ченный кредит; б) если клиент не вернул заем, то имел место экономический кризис.

3.24. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на об-щий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производи-тельности 2-го. Первый автомат производит в среднем 80% деталей отлич-ного качества, а второй – 85% деталей отличного качества. С конвейера нау-дачу выбирается деталь. Найти вероятность, того что: а) эта деталь отлично-го качества; б) деталь изготовлена первым автоматом, если она отличного качества.

16

3.25. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,65. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,4. Вероятность того, что конкури-рующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интере-сующего нас периода, равна 0,35. Найти вероятность, того что: а) товар бу-дет иметь успех; б) конкурирующая фирма не выпустила аналогичный то-вар, если продукт имел успех.

3.26. В экзаменационных билетах 20 вопросов. В группе из 10 студентов, при-шедших на экзамен, трое могут ответить на все 20 вопросов, четверо – на 16, двое – на 10 и один – на 5. Наугад вызывается студент, которому экзамена-тор задает два произвольных вопроса. Найти вероятность того, что: а) сту-дент ответил на оба вопроса; б) если он ответил на два вопроса, то он знал ответы на все вопросы.

3.27. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Веро-ятность того, что изделие попадет к первому контролеру, равна 0,45, а ко второму – 0,55. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,95, а вторым – 0,85. Найти веро-ятность того, что: а) стандартное изделие при проверке было признано стан-дартным; б) это изделие проверил первый контролер.

3.28. Прибор собирается из высококачественных деталей и деталей обычного качества. Если прибор собран из высококачественных деталей, то вероят-ность его безотказной работы за время t равна 0,98; если из деталей обычно-го качества – 0,6. В среднем 40% приборов собирается из высококачествен-ных деталей. Наудачу выбран один прибор. Найти вероятность того, что: а) за время t прибор будет работать безотказно; б) если прибор работал безот-казно, то он был собран из высококачественных деталей.

3.29. В магазин поступают холодильники с трех заводов: 30% с первого завода, 25% – со второго. Первый завод выпускает 2% холодильников со скрытым дефектом, второй – 3%, третий – 1% соответственно. Найти вероятность то-го, что: а) купленный в этом магазине холодильник не содержит дефекта; б) если холодильник не содержит дефекта, то он изготовлен на втором заводе.

3.30. Результаты психологических исследований показывают, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, а 40% мужчин – нега-тивно. Анкету заполнили 20 женщин и 10 мужчин. Случайным образом вы-бирается одна анкета. Найти вероятность того, что: а) анкета содержит по-ложительную реакцию; б) если анкета содержит положительную реакцию, то ее заполнил мужчина.

17

Задание 4

При решении задач 4.1.-4.30 использовать формулу Бернулли.

4.1. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти: а) вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий два бракованные; б) наивероятнейшее число бракованных изделий из 50 взятых.

4.2. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени t , равна 1

3. Найти:

а) вероятность того, что за время t внимания рабочего потребуют от 3 до 6 станков; б) наивероятнейшее число станков, которые за время t потребуют к себе внимания рабочего.

4.3. Сбрасывается одиночно 7 бомб. Вероятность попадания в цель одной бомбой равна 0,85. Найти: а) вероятность того, что будет не менее одного попадания; б) наивероятнейшее число попаданий.

4.4. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероят-ность того, что деталь стандартна равна 0,8. Найти: а) вероятность того, что ровно 3 детали будут признаны стандартными; б) наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

4.5. Менеджер осматривает 5 образцов товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,7. Найти: а) вероятность того, что ровно 2 образца будут признаны годными; б) наивероятнейшее число образцов товаров, признаных годными к продаже.

4.6. Монету бросают 7 раз. Найти: а) вероятность того, что герб выпадет меньше шести раз; б) наивероятнейшее число выпадений герба.

4.7. Торговый агент в среднем общается с 8 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Найти: а) вероятность того, что у агента в течение дня будут хотя бы 2 продажи; б) наивероятнейшее число продаж в день.

4.8. Прибор состоит из шести независимо работающих элементов. Вероят-ность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) вероятность того, что в момент включения прибора откажет ровно два элемента; б) наивероятнейшее число элементов, отказавших в момент включения.

4.9. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9.

18

Испытывают 10 элементов. Найти: а) вероятность того, что испытание не выдержат ровно два элемента; б) наивероятнейшее число элементов, выдержавших испытание.

4.10. Производится пять независимых выстрелов по мишени. Вероятность по-падания при каждом выстреле 0,8. Найти: а) вероятность не менее двух попаданий; б) наивероятнейшее число попаданий.

4.11. В некоторой местности 60% населения – темноглазые. Найти: а) вероятность того, что из 5 наудачу выбранных человек ровно 3 будут с темными глазами; б) наивероятнейшее число темноглазых людей из 10 наудачу выбранных.

4.12. Телевизионный канал рекламирует новый товар. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу равна 0,3. Случайным образом выбраны 10 телезрителей. Найти: а) вероятность того, что, по крайней мере, 2 телезрителя этого канала видели рекламу нового товара; б) наивероятнейшее число лиц, посмотревших рекламу товара.

4.13. Вероятность попадания мячом в баскетбольную корзину для данного спортсмена равна 0,5. Найти: а) вероятность того, что при 8 бросках число попаданий будет не более 6; б) наивероятнейшее число попаданий при 12 бросках.

4.14. Вероятность появления некоторого события в каждом из 13 независимых испытаний постоянна и равна 0,5. Найти: а) вероятность того, что событие появится не менее 6-ти и не более 10 раз; б) наивероятнейшее число появлений события в 25 испытаниях.

4.15. Вероятность того, что радиолампа бракованная равна 0,03. Найти: а) вероятность того, что из 3 ламп не более одной бракованной; б) наивероятнейшее число бракованных ламп из 10 наудачу взятых.

4.16. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Найти: а) вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше двух банков; б) наивероятнейшее число обанкротившихся банков.

4.17. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 6 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 12 случайно выбранных авизо. Найти: а) вероятность того, что в ходе проверки будет обнаружено менее двух фальшивых авизо; б) наивероятнейшее число фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки.

4.18. В ходе аудиторской проверки компании аудитор случайным образом от-бирает 5 счетов. Известно, что 3% счетов содержат ошибки. Найти: а) вероятность того, что хотя бы один проверенный счет будет с ошибкой;

19

б) найти наивероятнейшее число правильных счетов.

4.19. Исследования показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 8 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Найти: а) вероятность того, что, по крайней мере, 5 человек потребуют возмещения страховых сумм; б) наивероятнейшее число предъявленных претензий.

4.20. Служащие некоторой компании при обработке входящих счетов допус-кают примерно 5% ошибок. Аудитор случайно отбирает 7 входящих доку-ментов. Найти: а) вероятность того, что аудитор обнаружит более одной ошибки; б) наивероятнейшее число ошибок, выявленных аудитором.

4.21. Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гаран-тийного срока, равна 0,8. Найти: а) вероятность того, что из 5 проданных телевизоров гарантийного ремонта потребуют не более 2; б) наивероятнейшее число телевизоров, которые потребуют гарантийного ремонта.

4.22. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,3. Найти: а) вероятность того, что из пяти купленных билетов один выигрышный; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов из 10 купленных.

4.23. В партии 10% нестандартных деталей. Найти: а) вероятность того, что все 5 наудачу отобранных деталей будут стандарт-ными; б) наивероятнейшее число стандартных деталей из 20 наудачу взятых.

4.24. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная равна 0,01. Найти: а) вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных деталей 4 будут стан-дартными; б) наивероятнейшее число бракованных деталей из 20 наудачу взятых.

4.25 Монету подбрасывают пять раз. Найти: а) вероятность того, что герб появится не менее 2 раз; б) наивероятнейшее число появления герба.

4.26. Производится 7 независимых выстрелов по цели. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) вероятность того, что цель будет поражена 5 раз; б) наивероятнейшее число промахов.

4.27. В данной партии коконов шелкопряда 20% составляют цветные коконы. Найти: а) вероятность того, что, среди 10 отобранных в случайном порядке коконов, цветных будет 2;

20

б) наивероятнейшее число цветных коконов среди 15 случайно отобранных.

4.28. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В семье 5 детей. Найти: а) вероятность того, что среди них не более одной девочки; б) наивероятнейшее число мальчиков в семье.

4.29. Прядильщица обслуживает 7 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,04. Найти: а) вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5 ве-ретенах; б) наивероятнейшее число обрывов нити.

4.30. Игральную кость бросают 8 раз. Найти: а) вероятность того, что число выпадений двойки будет заключено в преде-лах от 3 до 4; б) найти наивероятнейшее число выпадений двойки.

Задание 5

При решении задач 5.1-5.30 использовать предельные теоремы теории вероятностей.

5.1. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что на факультете най-дутся 3 студента с одним и тем же днем рождения.

5.2. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке будет три бракованных сверла.

5.3. Найти вероятность того, что при 14000 бросаний монеты, герб выпадет 7426 раз.

5.4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 300 деталей окажется ровно 3 бракованных.

5.5. Отдел технического контроля проверяет 400 деталей на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,8. Найти вероятность того, что окажется ровно 300 стандартных деталей.

5.6. В цехе работает 100 станков. Все они однотипны и работают независимо друг от друга. Вероятность того, что отдельный станок выйдет из строя в те-чение смены, равна 0,03. Определить вероятность того, что в течение смены ни один станок не выйдет из строя.

5.7. Среди облигаций займа 25% – выигрышные. Найти вероятность того, что среди 300 проданных облигаций выиграют ровно 60.

5.8. Среди продукции некоторого завода 96% годной. Найти вероятность то-

21

го, что среди проверенных 50 изделий этого завода окажется ровно 3 брако-ванных.

5.9. Игральную кость бросают 150 раз. Найти вероятность того, что шесть оч-ков появится ровно 15 раз.

5.10. Вероятность того, что при наборе текста на одной странице будет допу-щена ошибка, равна 0,05. Найти вероятность того, что на 80 страницах ока-жется ровно 5 ошибок.

5.11. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероят-ность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти вероятность того, что число бракованных изделий будет равно 225.

5.12. Среди продукции некоторого завода 98% годной. Найти вероятность то-го, что среди проверенных 100 изделий окажется не более 4-х бракованных.

5.13. Игральная кость подброшена 200 раз. Найти вероятность того, что шесть очков выпало ровно 30 раз.

5.14. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

5.15. На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероят-ность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа откажут 25 единиц оборудования.

5.16. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной об-ласти поддерживают его избирательную платформу. Найти вероятность то-го, что из 180 избирателей, случайно отобранных из общего числа избирате-лей данной области, 120 поддерживают данного кандидата.

5.17. Авиакомпания знает, что в среднем 5% людей, делающих предваритель-ный заказ на определенный рейс, откажется от него. Авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 150 мест. Найти вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и плани-рующего улететь и в самолете не будет свободных мест.

5.18. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают лишь 75% абитуриен-тов. В приемную комиссию поступило 1880 заявлений. Найти вероятность того, что 500 абитуриентов сдадут все экзамены (наберут проходной балл).

5.19. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. Менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероят-ность того, что ровно 15 посетителей придут на заказанные места?

5.20. Компьютерная система содержит 45 одинаковых микроэлементов. Веро-ятность того, что любой микроэлемент будет работать в определенное вре-мя, равна 0,80. Найти вероятность того, что ровно 30 микроэлементов будут в рабочем состоянии.

22

5.21. Известно, что из людей в возрасте свыше 70 лет 75 % – женщины. Найти вероятность того, что в случайной группе из 750 человек этого возраста ров-но 480 женщин.

5.22. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия по-мех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в принятом тексте из 1100 цифр будет ровно 7 ошибок.

5.23. Вероятность рождения мальчика – 0,512. Найти вероятность того, что из 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

5.24. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь содержит дефект, равна 0,03. Какова вероятность того, что при случайном осмотре 1600 деталей бу-дет обнаружено ровно 150 нестандартных деталей.

5.25. Вероятность того, что кинескоп марки "SONY" выйдет из строя в течение гарантийного срока – 0,15. Найти вероятность того, что из строя выйдет ровно 25 кинескопов, если объем партии 10 тыс. штук.

5.26. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Найти ве-роятность того, что среди 120 случайно выбранных волокон смеси будет об-наружено ровно 68 окрашенных.

5.27. Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение веро-ятности того, что событие "герб-герб" появится ровно 1140 раз.

5.28. На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 0,00125 . Найти вероятность того, что в бро-шюре из 35 страниц ровно 3 опечатки.

5.29. Известно, что в среднем 25% выпускаемых некоторой фирмой автомоби-лей идут на экспорт. Найти вероятность того, что из 16 тысяч выпущенных автомобилей в стране останется ровно 10 тысяч автомобилей.

5.30. В некотором городе 32% населения – студенты. В вагоне едет 40 человек. Найти вероятность того, что в нем 10 студентов.

Задание 6

При решении задач 6.1-6.30 использовать интегральную теорему Муавра – Лапласа.

6.1. Вероятность появления события в каждом из 10 тыс. независимых испы-таний равна 0,75. Найти вероятность того, что событие появится не менее 9600 раз.

6.2. Вероятность случайного события равна 0,6. Найти вероятность того, что это событие произойдет в большинстве случаев при 500 испытаниях.

6.3. Вероятность того, что отдельное изделие некоторого завода стандартно, равна 0,98. Определить вероятность того, что из партии в 10 тыс. изделий

23

этого завода, бракованными окажутся не более 230. 6.4. Отдел технического контроля проверяет 900 изделий на стандартность.

Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных не меньше 850.

6.5. Игральную кость бросают 180 раз. Найти вероятность того, что единица появится не менее 125 и не более 160 раз.

6.6. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия по-мех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в тексте из 1100 цифр будет меньше 20 ошибок.

6.7. Вероятность рождения мальчика – 0,512. Найти вероятность того, что разница между количеством мальчиков и девочек из 100 новорожденных не превысит 5.

6.8. Вероятность того, что интересующая селекционеров ценная культура не прорастает в данных условиях, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 2500 посаженых семян прорастет не менее 2000.

6.9. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь содержит дефект, равна 0,02. Какова вероятность того, что при случайном осмотре 600 деталей этой партии число нестандартных деталей не более 30?

6.10. Известно, что для некоторой профессии вероятность проф.заболевания равна 0,06. Проведено медицинское обследование 625 сотрудников пред-приятия. Найти вероятность того, что число выявленных заболеваний будет не менее 40.

6.11. Вероятность попадания по мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах число поражение мишени будет в пределах от 100 до 150.

6.12. Вероятность попадания мячом в баскетбольную корзину для данного спортсмена равна 0,7. Определить вероятность того, что при 100 его бросках по корзине, число попаданий будет отклоняться от 40 не более чем на два.

6.13. Среди студентов второго курса 70% обучается без "троек". Найти вероятность того, что из 250 наудачу взятых студентов число "хорошистов" и "отличников" не превзойдет 220.

6.14. Статистическая вероятность ошибки аудитора, проверяющего счета, рав-на 0,02. Были проверены 80 наудачу выбранных счетов. Найти вероятность того, что случайное число возможных ошибок будет не более 10.

6.15. Две монеты подбрасывают 400 раз. Найти приближенное значение веро-ятности того, что событие "решка-решка" появится меньше 140 раз.

6.16. Из урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара, по схеме случайного вы-бора с возвращением проводят 250 извлечений шаров. Найти вероятность того, что число появлений белого шара заключено между 48 и 54.

24

6.17. На одной странице 1200 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 0,0125 . Найти вероятность того, что в бро-шюре из 10 страниц не более 10 опечаток.

6.18. Госприемка с первого предъявления принимает 92% продукции. Какова вероятность того, что в партии из 800 деталей будет забраковано от 60 до 70 деталей?

6.19. Известно, что из 1500 студентов некоторого университета 650 – иногородние. Найти вероятность того, что среди 220 студентов, более 150 – иногородние.

6.20. Известно, что во Франции 19% населения – это люди старше 60 лет. Най-ти вероятность того, что в городе из 10 тысяч жителей более 7 тысяч не стар-ше 60 лет.

6.21. Известно, что на 1000 мальчиков в возрасте до 5 лет приходится 960 де-вочек этого же возраста. Найти вероятность того, что в случайной группе из 250 детей до 5 лет будет не менее 120 мальчиков.

6.22. Известно, что 23% выпускаемых некоторой фирмой автомобилей идут на экспорт. Найти вероятность того, что из 25 тысяч выпущенных автомобилей в стране останется не менее 20 тысяч автомобилей.

6.23. В некотором городе 25% населения проживают в домах, являющихся личной собственностью. Найти вероятность того, что из 1000 случайно выбранных человек не менее 700 проживают в государственных квартирах.

6.24. Для бабочек некоторого вида вероятность появления потомства из отло-женной личинки – 0,005. Какова вероятность того, что из 1000 отложенных личинок появится не менее 10 бабочек?

6.25. У цветущего плодового дерева некоторого вида из 20% цветов появляют-ся плоды, а остальные опадают по различным причинам. На ветках 800 цветков. Найти вероятность того, что на них будет от 250 до 350 плодов.

6.26. Известно, что вероятность появления буквы А в тексте на русском языке – 0,064 (с учетом знаков, пробелов). Какова вероятность того, что на страни-це, содержащей 44 строки (в 1 строке 30 символов), буква А встретится не менее 64 раз ?

6.27. Корректура в 500 страниц содержит 130 опечаток. Найти вероятность то-го, что на 300 случайно выбранных страницах от 80 до 120 ошибок.

6.28. Учебник издан тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что учеб-ник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более 10 бракованных книг.

6.29. Коммутатор учреждения обслуживает 300 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят от 50 до 100 абонентов.

25

6.30. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испыта-нии равна 0,65.

Задание 7

Страховая компания застраховала на год N клиентов. При наступлении страхового случая компания выплачивает клиенту S гривен. Вероятность на-ступления страхового случая равна p . Определить минимальную стоимость страхового взноса, чтобы вероятность того, что страховая компания к концу года разорится, была не больше α .

N S p α N S p α

7.1. 1000 100 0,004 0,001 7.2. 2200 180 0,006 0,005 7.3. 2000 120 0,001 0,002 7.4. 2500 300 0,002 0,002 7.5. 1500 150 0,005 0,003 7.6. 1800 250 0,005 0,008 7.7. 3000 130 0,001 0,001 7.8. 2400 400 0,001 0,003 7.9. 4000 250 0,004 0,005 7.10. 1550 200 0,003 0,005 7.11. 1000 175 0,002 0,001 7.12. 3500 500 0,001 0,006 7.13. 1200 200 0,007 0,003 7.14. 2850 250 0,004 0,009 9.15. 1500 250 0,005 0,005 7.16. 3700 800 0,001 0,006 7.17. 1700 300 0,001 0,007 7.18. 1285 250 0,005 0,006 7.19. 2300 100 0,004 0,006 7.20. 1450 170 0,007 0,007 7.21. 3200 150 0,002 0,001 7.22. 2750 180 0,006 0,001 7.23. 1600 300 0,003 0,002 7.24. 1285 350 0,002 0,003 7.25. 700 450 0,001 0,005 7.26. 4120 600 0,001 0,006 7.27. 1900 700 0,001 0,003 7.28. 2800 450 0,003 0,008 7.29. 2100 280 0,002 0,004 7.30. 2850 250 0,008 0,003

Задание 8

В задачах 8.1-8.30 использовать свойства случайной величины, распреде-ленной по биномиальному закону.

8.1. В городе 4 коммерческих банка. Риск банкротства в течение года для каж-дого из них составляет 10%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратиче-ское отклонение). Составить функцию распределения и построить ее график.

8.2. На производственном участке работают 3 мужчин и 4 женщины. Для вы-

26

полнения некоторой работы необходимо выбрать четырех рабочих. Соста-вить закон распределения числа женщин в выборке. Найти числовые харак-теристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения и построить ее график.

8.3. Известно, что служащие компании при обработке входящих счетов до-пускают 2% ошибок. Аудитор случайно отбирает 4 входящих документа. Составить закон распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Най-ти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, сред-нее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, по-строить ее график.

8.4. Контролер проверяет на соответствие стандарту 4 изделия. Вероятность того, что каждое из изделий будет признано годным, равна 0,9. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди проверенных. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.5. В лотерее 10% выигрышных билетов. Наудачу выбирают пять билетов. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди выбран-ных. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, диспер-сию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределе-ния, построить ее график.

8.6. Известно, что 60% сотрудников фирмы добираются на работу личным ав-тотранспортом. Случайным образом выбирают пять человек. Составить за-кон распределения числа сотрудников (среди отобранных), приехавших на работу личным автотранспортом. Найти числовые характеристики (матема-тическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Соста-вить функцию распределения, построить ее график.

8.7. На некотором производстве брак составляет 5% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий в случайно отобранной партии из четырех изделий. Найти числовые характеристики (математиче-ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.8. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,8. Произ-водится пять независимых выстрелов. Составить закон распределения слу-чайного числа попаданий в мишень. Найти числовые характеристики (мате-матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Со-ставить функцию распределения, построить ее график.

8.9. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Ве-роятность отказа для каждого элемента равна 0,2. Составить закон распреде-ления случайного числа возможных отказов. Найти числовые характеристи-ки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне-ние). Составить функцию распределения, построить ее график.

27

8.10. Всхожесть семян некоторой культуры составляет 80%. Составить закон распределения случайного числа взошедших семян из пяти посеянных. Най-ти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, сред-нее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, по-строить ее график.

8.11. Партия содержит 70% изделий первого сорта. Контролер проверяет каче-ство четырех наудачу выбранных из партии изделий. Составить закон рас-пределения числа изделий первого сорта среди отобранных. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратиче-ское отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.12. Статистическая вероятность ошибки аудитора, проверяющего счета, рав-на 0,1. Проверяется пять наудачу выбранных счетов. Составить закон рас-пределения случайного числа возможных ошибок. Найти числовые характе-ристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-клонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.13. Производители телевизоров из опыта работ знают, что в среднем 2% про-изводимых ими телевизоров имеют дефект. Для проверки партии телевизо-ров случайным образом выбирают четыре телевизора. Составить закон рас-пределения числа телевизоров, имеющих дефект. Найти числовые характе-ристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-клонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.14. Вероятность выхода из строя в течение времени t одного из пяти незави-симо работающих станков равна 0,2. Составить закон распределения слу-чайного числа станков, вышедших из строя в течение дня. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратиче-ское отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.15. В области 3% компаний ежемесячно прекращают свою деятельность. Со-ставить закон распределения случайного числа закрывшихся организаций среди четырех наудачу выбранных. Найти числовые характеристики (мате-матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Со-ставить функцию распределения, построить ее график.

8.16. Телевизионный канал рекламирует новый товар. Вероятность того, что потребитель увидит эту рекламу, равна 0,4. Случайно выбирают 4 телезри-телей. Составить закон распределения числа лиц, видевших рекламу (среди случайно выбранных). Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.17. В магазин поступила партия обуви одной фирмы. Известно, что в сред-нем 5% обуви этой фирмы имеет различные дефекты. Случайно выбирают пять пар обуви. Составить закон распределения числа пар обуви (среди слу-чайно выбранных), имеющих дефект. Найти числовые характеристики (ма-тематическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение).

28

Составить функцию распределения, построить ее график. 8.18. Известно, что в среднем 60% студентов потока выполняют все контроль-

ные работы в срок. Наугад выбрали пять человек. Составить закон распреде-ления числа студентов (среди выбранных), в срок выполняющих все кон-трольные работы. Найти числовые характеристики (математическое ожида-ние, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.19. Вероятность того, что студент сдаст сессию на «отлично», равна 0,4. Случайным образом выбрали четырех студентов. Составить закон распреде-ления числа студентов (среди выбранных), сдавших сессию на «отлично». Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.20. Из всей выпускаемой заводом продукции 5% бракованной. Случайным образом отобрано пять деталей. Составить закон распределения числа стан-дартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики (мате-матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Со-ставить функцию распределения, построить ее график.

8.21. Вероятность покупки бракованного холодильника равна 0,05. Составить закон распределения числа бракованных холодильников из пяти купленных. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.22. В транспортной компании 70% водителей имеют высшую квалификацию. Случайным образом выбрали пять человек. Составить закон распределения случайного числа водителей высшей квалификации среди выбранных. Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.23. Вероятность случайного события равна 0,6. Составить закон распределе-ния случайного числа появления события в четырех испытаниях. Найти чи-словые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.24. Вероятность того, что интересующая селекционеров ценная культура не прорастает в данных условиях, равна 0,2. Составить закон распределения числа появления проросших семян из пяти посаженных. Найти числовые ха-рактеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратиче-ское отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.25. Известно, что во Франции 81% населения – это люди не старше 60 лет. Наудачу выбирают четырех жителей. Составить закон распределения числа жителей старше 60 лет среди выбранных. Найти числовые характеристики

29

(математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне-ние). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.26. Две монеты подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения числа появления событие "решка-решка". Найти числовые характеристики (мате-матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Со-ставить функцию распределения, построить ее график.

8.27. Игральную кость бросают 4 раза. Составить закон распределения числа появлений двойки. Найти числовые характеристики (математическое ожи-дание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.28. В данной партии коконов шелкопряда 20% составляют цветные коконы. В случайном порядке отобраны пять коконов. Составить закон распределе-ния числа цветных коконов среди отобранных. Найти числовые характери-стики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-клонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.29. В гараже находится четыре машины. Вероятность того, что машина не выйдет на линию из-за поломки, равна 0,1. Составить закон распределения числа машин, которые могут выйти на линию. Найти числовые характери-стики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-клонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

8.30. Известно, что среди студентов некоторого университета 40% иногородние. Составить закон распределения числа иногородних студентов из пяти выбранных наудачу. Найти числовые характеристики (математиче-ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

Задание 9

В задачах 9.1-9.30 дан закон распределения дискретной случайной вели-чины X (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке - вероятности возможных значений). Найти:

а) неизвестное значение вероятности p ; б) характеристики положения (математическое ожидание, мода, ме-

диана); в) характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное откло-

нение); г) характеристики формы плотности распределения (асимметрия, экс-

цесс); д) интегральную функцию распределения и построить ее график.

30

9.1. X 2 6 10 14 18 9.2. X 2 3 4 5 6

P 0,2 0,2 p 0,2 0,1 P 0,1 0,1 p 0,5 0,1

9.3. X -2 0 2 4 6 9.4. X -2 2 6 10 14

P 0,1 p 0,1 0,1 0,2 P 0,3 p 0,2 0,1 0,1

9.5. X 10 15 20 25 30 9.6. X 20 22 24 26 28

P 0,2 0,2 p 0,4 0,1 P 0,1 0,3 p 0,2 0,1

9.7. X 1 4 7 10 13 9.8. X 15 17 19 21 23

P 0,1 0,2 p 0,1 0,1 P 0,1 0,1 p 0,2 0,1

9.9. X -5 -3 -1 1 3 9.10. X 14 20 26 32 38

P 0,2 p 0,3 0,1 0,1 P 0,5 0,2 p 0,1 0,1

9.11. X 2 12 22 32 42 9.12. X -1 4 9 14 19

P 0,1 p 0,4 0,3 0,1 P 0,2 0,2 p 0,1 0,1

9.13. X 1,5 3,5 5,5 7,5 9,5 9.14. X 45 50 55 60 65

P 0,1 0,3 p 0,2 0,1 P 0,3 0,2 0,2 p 0,1

9.15. X -25 -20 -15 -10 -5 9.16. X 12 15 18 21 24

P 0,2 0,2 0,3 0,2 p P 0,4 0,2 0,2 p 0,1

9.17. X 2,6 5,6 8,6 11,6 14,6 9.18. X 1 4 7 10 13

P 0,1 0,4 p 0,1 0,1 P p 0,2 0,5 0,1 0,1

9.19. X 13 16 19 21 24 9.20. X 2 12 22 32 42

P p 0,2 0,2 0,3 0,2 P 0,1 p 0,5 0,2 0,1

9.21. X 15 17 19 21 23 9.22. X 3 5 7 9 11

P 0,2 0,4 0,1 p 0,1 P 0,1 0,2 p 0,2 0,1

31

9.23. X 41 45 49 53 57 9.24. X 23 28 33 38 43

P 0,3 0,2 p 0,2 0,1 P 0,5 0,2 p 0,1 0,1

9.25. X 21 24 27 30 33 9.26. X 15 17 19 21 23

P 0,1 0,1 0,5 p 0,1 P 0,2 0,3 0,1 0,2 p

9.27. X 3 4 5 6 7 9.28. X 8 10 12 14 16

P 0,1 0,2 p 0,2 0,1 P 0,2 0,1 0,5 p 0,1

9.29. X 2 15 28 41 54 9.30. X -15 -10 -5 0 5

P 0,2 p 0,1 0,4 0,1 P 0,2 0,3 p 0,1 0,1

Задание 10

В задачах 10.1-10.30 задана плотность распределения ( )f x случайной величины X . Найти:

а) коэффициент C ; б) функцию распределения ( )F x случайной величины X ; в) математическое ожидание MX , дисперсию DX , среднеквадратичное

отклонение Xσ ; г) вероятность того, что случайная величина X попадает в интервал

( ; )α β ; д) построить графики функций ( )f x и ( )F x .

( )f x α β 10.1. 0, 2,

1( ) (4 5), 2 4,

0, 4.

х

f x х xCх

<= − ≤ ≤

>

2 3

10.2. 0, 1,( ) (2 3), 1 3,

0, 3.

хf x C х x

х

<= + ≤ ≤ >

0 2

10.3. 2

0, 2,( ) 3 , 2 3,

0, 3.

хf x Cх x

х

<= ≤ ≤ >

1 2,5

32

( )f x α β 10.4.

2

0, 1,

( ) , 1 4,

0, 4.

хCf x xхх

<= ≤ ≤

>

-1 2

10.5. 2

0, 0,( ) ( 4), 0 2,

0, 2.

хf x C х x

х

<= − ≤ ≤ >

1 5

10.6. 0, 2,3 2( ) , 2 5,

0, 5.

ххf x xCх

< −= ≤ ≤

>

4 6

10.7. 2

0, 1,( ) ( ), 1 4,

0, 4.

хf x C х x x

х

<= + ≤ ≤ >

3 7

10.8 2

0, 3,( ) , 3 5,

0, 5.

хf x Cх x

х

<= ≤ ≤ >

2 4

10.9.

3

0, 1,

( ) , 1 3,

0, 3.

хCf x xхх

<= ≤ ≤

>

2 4

10.10. 2

0, 0,( ) ( 1), 0 1,

0, 1.

хf x C х x

х

<= − ≤ ≤ >

-1 0,5

10.11. 0, 1,( ) ( 1), 1 2,

0, 2.

хf x C х x

х

<= − ≤ ≤ >

0 1,5

10.12. 0, 2,( ) ( 5), 2 5,

0, 5.

хf x C х x

х

<= + ≤ ≤ >

3 4

33

( )f x α β 10.13.

2

0, 1,

( ) , 1 3,

0, 3.

ххf x xCх

<= ≤ ≤

>

-2 2

10.14. 2

0, 6,( ) ( 2 ), 6 8,

0, 8.

хf x C х х x

х

<= − ≤ ≤ >

5 7

10.15. 2

0, 3,4 1( ) , 3 5,

0, 5.

ххf x xCх

< += ≤ ≤

>

2 4

10.16. 2

0, 5,( ) (2 4), 5 7,

0, 7.

хf x C х x

х

<= + ≤ ≤ >

4 6

10.17. 2

0, 2,( ) ( ), 1 3,

0, 3.

хf x C х х x

х

< −= − ≤ ≤ >

0 4

10.18.

2

0, 1,3( ) , 1 3,

0, 3.

хCf x xхх

<= ≤ ≤

>

-1 2

10.19. 2

0, 3,( ) ( 5 ), 3 1,

0, 1.

хf x C х х x

х

< −= + − ≤ ≤ − > −

-2 0

10.20. 2

0, 5,3( ) , 5 0,

0, 0.

ххf x xCх

< −= − ≤ ≤

>

-1 1

10.21. 2

0, 7,( ) (3 7), 7 5,

0, 5.

хf x C х x

х

< −= − − ≤ ≤ − > −

-4 0

34

( )f x α β 10.22.

2

0, 3,( ) , 3 2,

0, 2.

хf x Cх x

х

< −= − ≤ ≤ >

0 3

10.23.

2

0, 3,6( ) , 3 1,

0, 1.

хCf x xхх

< −= − ≤ ≤ −

> −

-2 -1

10.24. 2

0, 2,( ) (2 ), 2 0,

0, 0.

хf x C х х x

х

< −= + − ≤ ≤ >

-1 1

10.25. 3

0, 1,( ) ( 7 ), 1 1,

0, 1.

хf x C х х x

х

< −= + − ≤ ≤ >

0 2

10.26. 4

0, 1,1( ) , 1 1,

0, 1.

ххf x x

Cх

< − += − ≤ ≤

>

0 2

10.27. 2

0, 4,( ) ( 2), 4 2,

0, 2.

хf x C х x

х

< −= − − ≤ ≤ − > −

-3 0

10.28. 0, 3,1( ) , 3 2,

0, 2.

ххf x xCх

< − += − ≤ ≤

>

0 1

10.29. 4

0, 1,( ) ( 5), 1 1,

0, 1.

хf x C х x

х

< −= + − ≤ ≤ >

0 2

10.30. 4

0, 1,( ) ( ), 1 1,

0, 1.

хf x C х х x

х

< −= + − ≤ ≤ >

-2 0

35

Задание 11

Из обслуживаемых банком вкладов случайным образом выбрано n вкла-дов. Используя полученную выборку, найти доверительные границы для гене-рального среднего (средней суммы вкладов в банке), с доверительной вероят-ностью β . Предполагается, что распределение вкладов по их размерам под-чиняется нормальному закону распределения.

Результаты выборки β 11.1.

X 5 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15

in 10 20 110 40 20

0,85

11.2.

X 1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 – 11

in 12 14 124 30 20

0,9

11.3.

X 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12

in 12 54 76 48 10

0,95

11.4.

X 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 13

in 15 60 67 43 15

0,99

11.5.

X 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14

in 10 87 59 34 10

0,85

11.6.

X 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16

in 13 48 68 56 15

0,9

11.7.

X 1 – 4 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16

in 16 85 82 12 5

0,95

11.8.

X 2 – 5 5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17

in 35 42 63 51 9

0,99

11.9.

X 3 – 6 6 – 9 9 – 12 12 – 15 15 – 18

in 21 35 81 48 15

0,85

11.10.

X 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16 16 – 19

in 28 25 33 79 35 0

0,9

11.11.

X 5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17 17 – 20

in 16 41 35 70 38

0,95

11.12.

X 1 – 5 5 – 9 9 – 13 13 – 17 17 – 23

in 25 31 56 75 13

0,99

11.13.

X 1 – 6 6 – 11 11 – 16 16 – 21 21 – 26

in 41 56 60 28 15

0,85

11.14.

X 2 – 7 7 – 12 12 – 17 17 – 22 22 – 27

in 36 48 60 31 25

0,9

36

Результаты выборки β 11.15.

X 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50

in 31 43 68 28 30

0,95

11.16.

X 0 – 15 15 – 30 30 – 45 45 – 60 60 – 75

in 10 17 48 67 58 0

0,99

11.17.

X 1 – 12 12 – 23 23 – 34 34 – 45 45 – 56

in 9 15 73 71 32

0,85

11.18. .

X 1 – 15 15 – 29 29 – 43 43 – 57 57 – 71

in 21 30 56 51 42

0,9

11.19.

X 1 – 9 9 – 17 17 – 25 25 – 33 33 – 41

in 13 18 68 45 56

0,95

11.20.

X 1 – 8 8 – 15 15 – 22 22 – 29 29 – 36

in 18 31 98 28 25

0,99

11.21.

X 1 – 7 7 – 13 13 – 19 19 – 25 25 – 31

in 21 41 49 52 37

0,85

11.22.

X 1 – 13 13 – 25 25 – 37 37 – 49 49 – 61

in 19 21 55 71 34

0,9

11.23.

X 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35

in 31 46 76 26 21

0,95

11.24.

X 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

in 25 31 42 48 54

0,99

11.25.

X 5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55

in 45 56 69 21 9

0,85

11.26.

X 5 – 20 20 – 35 35 – 50 50 – 65 65 – 80 n 7 15 84 49 45

0,9

11.27.

X 4 – 14 14 – 24 24 – 34 34 – 44 44 – 54

in 11 27 61 56 45

0,95

11.28.

X 2 – 12 12 – 22 22 – 32 32 – 42 42 – 52

in 13 71 79 28 9

0,99

11.29.

X 3 – 13 13 – 23 23 – 33 33 – 43 43 – 53

in 34 41 77 37 11

0,8

11.30.

X 7 – 17 17 – 27 27 – 37 37 – 47 47 - 57

in 56 71 54 12 7

0,9

37

Задание 12

По данной корреляционной таблице для двух признаков X и Y : 1) определить выборочные законы распределения признаков X и Y ; 2) построить полигон частот и найти эмпирическую функцию распре-

деления признака Х и построить ее график; 3) вычислить основные числовые характеристики: выборочное среднее,

выборочную дисперсию, выброчное средне квадратическое отклонение для признаков X и Y ;

4) найти выборочный коэффициет корреляции, интерпретировать полученный результат;

5) написать выборочное уравнение регрессии; 6) построить корреляционное поле и нанести на него линию регрессии. (Расчеты провести «вручную» и с помощью ПП Excel).

12.1. x

y 2

4 6 8 10 12.2. x

y 1

5 9 13 17

15 1 4 5 5 1

20 7 3 10 6 2

25 2 48 4 15 5 40 5

30 2 10 7 20 2 8 7

35 6 6 25 4 15

12.3. x

y

10

12 14 16 18 12.4. x

y

5 10 15 20 25

20 3 6 5 1 4 12

25 4 12 2 2 4 10

30 6 37 7 5 7 44 5

35 3 6 8 7 2

40 3 6 11 5

38

12.5. x

y

5

7 9 11 13 12.6. x

y

10 12 14 16 18

10 10 4 4 8

20 10 2 5 8 4 4

30 50 2 2 12 8 35 7

40 3 7 16 8 10 2

50 2 3 20 3 6 5

12.7. x

y

13

16 19 22 25 12.8. x

y

12

15 18 21 24

5 10 4 5 3 8

10 10 5 6 9 10 15

15 35 7 8 13 4 35 9

20 5 4 17 4 8

25 3 3 21 4

12.9. x

y

4

8 12 16 20 12.10. x

y

7

14 21 28 35

12 3 7 4 1 4 2

15 5 10 2 3 6 4

18 2 48 5 5 6 45 2

21 3 5 7 10 6

24 6 9 10 5

12.11. x

y

5

8 11 14 17 12.12. x

y

5

7 9 11 13

3 10 4 12 10 5

8 1 10 6 15 1 3 6

13 50 3 2 18 7 50 2

18 4 4 21 6 4

23 2 4 24 4 2

39

12.13. x

y

2

5 8 11 14 12.14. x

y

21

26 31 36 41

4 3 7 4 10 3 10 1

14 6 8 2 15 15 2

24 4 45 6 20 50 5

34 3 6 25 8

44 6 30 6

12.15. x

y

11

13 15 17 19 12.16. x

y

12

14 16 18 20

3 2 4 6 5 2 4

6 5 11 7 7 7 2

9 3 15 9 9 2 50 2

12 4 17 8 11 1 10 6

15 9 13 10 4

12.17. x

y

1

6 11 16 21 12.18. x

y

15

18 21 24 27

10 3 6 5 2 4 1

20 8 10 7 7 3 5

30 5 35 5 12 12 40 2

40 5 5 17 2 10 5

50 6 22 2 14

12.19. x

y

2

10 18 26 34 12.20. x

y

5

13 21 29 37

6 3 2 -2 3 7 4

9 12 26 11 2 4 10 2

12 5 20 8 6 14 35 6

15 4 4 10 6 3

18 5 14 6

40

12.21. x

y

1

5 9 13 17 12.22. x

y

5

9 13 17 21

4 5 10 6

7 5 36 10 12 6 3

10 10 18 5 14 5 44 6

13 2 3 3 16 6 8 2

16 1 2 18 3 7 4

12.23. x

y

1

3 5 7 9 12.24. x

y

5

10 15 20 25

12 3 4 4 4 3 11

14 10 3 8 4 10 2

16 11 6 12 14 35 6

18 10 31 4 16 4 5

20 8 6 20 6

12.25. x

y

2

7 12 17 22 12.26. x

y

7

9 11 13 15

10 3 2 10 10 4

12 8 35 6 14 10 6 5

14 11 15 7 18 35 7 8

16 8 22 5 4

18 5 26 3 3

12.27. x

y

4

8 12 16 20 12.28. x

y

5

12 19 26 33

15 3 7 4 10 6 5

20 17 4 13 3 1

25 40 11 16 40 2 8

30 3 5 19 5 6 10

35 6 22 12 2

41

12.29. x

y

4

9 14 19 24 12.30. x

y

5

10 15 20 25

15 6 3 2 4

17 3 5 10 6 2

19 2 40 9 17 45 8 2

21 6 11 4 24 11 6

23 3 7 4 31 12 2

42

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Задание 1

При решении задач первого задания необходимо использовать классиче-

ское определение вероятности. Если случайный эксперимент имеет конечное число равновозможных исходов, то вероятность случайного события А равна

( )( ) | |( )

| |N A A kР АN Щ n

= = =Ω

,

где ( ) | |N Щ n= Ω = – число всех элементарных исходов случайного эксперимен-та ( ) | |N A A k= = – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A .

При определении числа исходов можно использовать формулы комбина-торики:

1) Множества, состоящие из n элементов и отличающиеся только поряд-ком, называются перестановками. Число всех возможных перестановок равно

!nP n=

2) Если из n – элементного множества выбирается k – элементное под-

множество, то такое подмножество называется сочетанием. Число всех воз-можных сочетаний равно

! ( 1)( 2)...( 1)C!( )! 1 2 ...

kn

n n n n n kk n k k

− − − += =

− ⋅ ⋅ ⋅.

3) Если из n – элементного множества выбирается k – элементное упо-

рядоченное подмножество, то такое подмножество называется размещением. Число всех возможных размещений

!( 1)( 2) ... ( 1) .( )!

k kn n k

nА C P n n n n kn k

= = − − ⋅ ⋅ − + =−

Кроме того, используется основной принцип комбинаторики (теорема ум-

ножения): Если некоторое действие можно выполнить последовательно за k шагов,

причем первый шаг можно осуществить 1n различными способами, второй шаг – 2n различными способами и т.д., k -й шаг – kn различными способами, то общее число N различных вариантов выполнения данной процедуры можно определить по формуле

1 2 ... kN n n n= ⋅ ⋅ ⋅ .

43

Пример 1. В ящике 6 деталей, среди которых 4 окрашенные. Наудачу извлекают 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных трех деталей окажется две окрашенные.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A = из 3-х извлеченных деталей две окра-шенные. Эксперимент состоит в случайном извлечении трех деталей из шести. Так как детали извлекаются «наугад», то все исходы равновозможны. Тогда общее число всех возможных элементарных исходов эксперимента равно числу возможных вариантов выбора 3-х деталей из 6, т.е. 3

6n С= или

36

6! 6! 1 2 3C3!(6 3)! 3!3!

n ⋅ ⋅= = = =

−4 5 6

1 2 3⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅6 5 4 201 2 31 2 3⋅ ⋅

= =⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

.

Вычислим число благоприятствующих исходов. Согласно условию, среди

трех извлеченных деталей должно быть 2 окрашенные и одна неокрашенная. При этом всего в ящике 4 окрашенных и 2 неокрашенные деталей. Выбрать две окрашенные детали можно только из 4 окрашенных деталей, причем число способов такого выбора равно 2

4С , а одну неокрашенную деталь можно извлечь только из двух неокрашенных 1

2С способами ( 12 2С = ). Таким образом, число

исходов благоприятствующих событию A , по основному принципу комбинато-рики равно 2 1

4 2k С С= ⋅ или

2 14 2

4! 2! 4 3 2 122!(4 2)! 1! 1! 1 2

k С С ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

− ⋅ ⋅.

Тогда искомая вероятность события А равна

12( ) 0,6.20

kР Аn

= = =

ОТВЕТ: ( ) 0,6Р А = .

Пример 2. Секретный кодовый замок содержит 6 различных цифр. При правильном их наборе замок открывается. Какова вероятность открыть за-мок с первой попытки?

РЕШЕНИЕ. Эксперимент состоит в выборе шести необходимых цифр (набранных в определенном порядке) из десяти. Так как при произвольном вы-боре цифр все исходы равновозможны и число исходов конечно, то используем классическое определение вероятности. Пусть событие A = замок открыт с первой попытки. Случайное событие A произойдет, если будут верно и в пра-вильном порядке набраны цифры кода. Следовательно, число исходов, благо-приятствующих событию А, равно 1k = .

Определим число n Щ= всех элементарных исходов эксперимента.

44

Способ 1. Разобьем действие выбора 6-ти цифр на шесть последователь-ных шагов. Так как всего имеется десять цифр (0 ÷ 9), то число способов осу-ществления первого шага – выбор первой цифры – равно 10, второго – выбор второй цифры – 9 (цифры не должны повторяться), третьего – 8, четвертого – 7, пятого – 6, шестого – 5. Тогда, по основному принципу комбинаторики, число вариантов составление цифрового кода равно 10 9 8 7 6 5 151200⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Способ 2. При наборе цифрового кода необходимо выбрать шесть раз-личных цифр из десяти, т.к. при этом важен порядок набора цифр, то подмно-жество упорядоченное. Следовательно,

610

10! 10! 10 9 8 7 6 5 151200(10 6)! 4!

n A= = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

.

Тогда

610

1 1( ) 0,0000066.151200

kP An A

= = = ≈

ОТВЕТ: ( ) 0,0000066P A = .

Задание 2

При решении задач второго задания используются теоремы сложения и умножения вероятностей:

1) если 1A и 2A – несовместные события, то

1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A+ = + ;

2) если 1A и 2A – совместные события, то

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A+ = + − ⋅ ;

3) если 1A и 2A – независимые события, то

1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A⋅ = ⋅ ;

4) если 1A и 2A – зависимые события, то

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P A A P A P A A P A P A A⋅ = ⋅ = ⋅ .

Пример 3. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны 1 0,8p = , 2 0,7p = , 3 0,6p = 2 0,7p = . Найти вероятность того, что при одном залпе из трех орудий в цель попадет только одно.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим следующие события:

A = при залпе попало только одно орудие; 1A = первое орудие попало; 2A = второе орудие попало; 3A = третье орудие попало;

45

1B = при залпе попало только первое орудие; 2B = при залпе попало только второе орудие; 3B = при залпе попало только третье орудие.

Так как события 1B , 2B , 3B не могут произойти одновременно, то собы-тие A есть сумма трех несовместных событий, т.е. 1 2 3A B B B= + + . Кроме того, очевидно, что 1 1 2 3B А А А= ⋅ ⋅ , 2 1 2 3B А А А= ⋅ ⋅ , 3 1 2 3B А А А= ⋅ ⋅ . Тогда, применяя тео-рему сложения вероятностей несовместных событий, получаем

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B B B P B P B P B= + + = + + .

События 1A , 2A , 3A , 1A , 2A , 3A независимые, следовательно, можно использо-вать теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B B B P B P B P B= + + = + + =

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )P А А А P А А А P А А А= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P А P А P А P А P А P А P А P А P А= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

0,8 0,3 0,1 0,2 0,7 0,1 0,2 0,3 0,7 0,086= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ,

т.к. ( ) 1 ( ), 1,2,3i iP A P A i= − = .

ОТВЕТ: ( ) 0,086P A = .

Пример 4. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимают одну карту. Найти вероятность того, что вытащили туза или карту пиковой масти.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события:

A = вынута карта пиковой масти или туз; 1A = вынутая карта – туз; 2A = вынута карта пиковой масти;

События 1A и 2A совместны и 1 2A A⋅ = вынутая карта – пиковый туз. По классическому определению вероятности:

1 2 1 24 1 13 1 1( ) , ( ) , ( )

52 13 52 4 52P A P A P A A= = = = ⋅ = .

Так как события 1 2A A A= + и события 1A , 2A совместны, то используем

теорему сложения вероятностей совместных событий:

1 2 1 2 1 24 13 1 16 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

52 52 52 52 13P A P A A P A P A P A A= + = + − ⋅ = + − = = .

ОТВЕТ: 4( )13

P A = .

46

Замечание. Этот же пример можно решить с помощью классического опреде-ления вероятности, вычислив число исходов, благоприятствующих событию A (4 туза + 13 карт пиковой масти – пиковый туз = 16) и общее число равновоз-можных исходов (52 исхода).

Пример 5. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на выпавших гранях появится разное число очков.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим событие A = на всех выпавших гранях появит-ся разное число очков. Для того чтобы произошло событие A необходимо со-вместное появление следующих событий:

1A = на первой кости выпадает любое число очков, 2A = на второй кости выпадает число очков, отличное от появившегося

на первой,

т.е. 1 2A A A= ⋅ , где события 1A , 2A – зависимы. По классическому определению вероятности:

1 2 16 5( ) 1, ( / )6 6

P A P A A= = = .

Тогда, используя теорему умножения вероятностей зависимых событий, полу-чаем

1 2 1 2 15 5( ) ( ) ( / ) 16 6

P A A P A P A A⋅ = ⋅ = ⋅ = .

ОТВЕТ: 5( )6

P A = .

Задание 3

При выполнении задач третьего задания используются формула полной

вероятности и формула Байеса. Пусть группа событий 1H , 2H ,..., nH , удовлетворяет условиям:

1) все события попарно несовместны, т.е , , 1,2,..., ,i jH H i j n i j=∅ = ≠∩ ;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов Ω: 1 2 nH H HΩ = ∪ ∪ ∪… . Тогда говорят, что события 1H , 2H ,..., nH образуют полную группу по-

парно несовместных событий. Такие события так же часто называют гипо-тезами.

Пусть A – некоторое событие, такое что A⊂Ω . Если случайное собы-тие A может произойти вместе с хотя бы одной из гипотез 1H , 2H ,..., nH , то справедливы формула полной вероятности:

47

1 1 2 2

1

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ... ( / ) ( )

( / ) ( );

n n

n

i ii

P A P A H P H P A H P H P A H P H

P A H P H=

= + + + =

=∑

и формула Байеса

( ) ( / )( / )= , 1,2,...,( )

i ii

P H P A HP H A i nP A

= .

Здесь ( / )iP H A – условная вероятность события iH , т.е. вероятность появле-ния события iH , при условии, что событие A уже произошло.

Пример 6. В каждой из двух урн содержится 2 черных и 6 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен шар. Найти а) вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым; б) вероятность того, что из первой урны извлекли черный шар, если известно, что из второй урны из-влекли белый шар.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A = из второй урны извлечен белый шар. Рассмотрим два события:

1H = из первой урны извлечен белый шар; 2H = из первой урны извлечен черный шар.

События 1H и 2H несовместны и в сумме образуют пространство эле-ментарных исходов (всевозможные исходы). Тогда события (гипотезы) 1H и

2H образуют полную группу. Используя классическое определение вероятно-сти, находим вероятности гипотез:

16 3( )8 4

Р Н = = , 22 1( ) .8 4

Р Н = =

Проверка: 1 23 1( ) ( ) 14 4

Р Н Р Н+ = + = .

Так как события 1H и 2H образуют полную группу, то вероятность собы-тия A можно вычислить, используя формулу полной вероятности:

1 1 2 2( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )P A P A H P H P A H P H= + .

Вероятность 1( / )P A H того, что из второй урны извлечен белый шар, при условии, что из первой урны во вторую был переложен белый шар, равна

17( / ) .9

P A H =

48

Вероятность 2( / )P A H того, что из второй урны извлечен белый шар, при условии, что из первой урны во вторую был переложен черный шар, равна

26 2( / ) .9 3

P A H = =

Вероятность того, что в результате эксперимента из второй урны будет

извлечен белый шар (по формуле полной вероятности), равна:

3 7 1 2 7 2 9 3( ) 0,754 9 4 3 12 12 12 4

P A = ⋅ + ⋅ = + = = = .

Определим вероятность 2( / )Р Н А того, что из первой урны извлекли чер-

ный шар, при условии, что из второй урны был извлечен белый. По формуле Байеса:

2 22

1 2( ) ( / ) 1 4 24 3( / ) 3( ) 6 3 9

4

Р Н Р А НР Н АР А

⋅= = = ⋅ = .

ОТВЕТ: 23 2( ) , ( / )4 9

P A Р Н А= = .

Пример 7. В магазин поступают телевизоры производства трех заво-дов, причем доля первого завода составляет 30%, второго - 50%, третьего - 20%. При этом первый завод производит 95%, второй – 97%, третий – 90% качественной продукции. Найти вероятность того, что 1) купленный в этом магазине телевизор окажется бракованным; 2) купленный в этом магазине телевизор оказался бракованным; 2) этот телевизор изготовлен на третьем заводе.

РЕШЕНИЕ. Пусть событие A = купленный телевизор будет бракован-ным. Рассмотрим еще три события:

1H = телевизор изготовлен первым заводом; 2H = телевизор изготовлен вторым заводом; 3H = телевизор изготовлен третьим заводом.

События 1H , 2H и 3H несовместны и в сумме образуют пространство элементарных исходов (всевозможные исходы). Тогда события (гипотезы) 1H

2H и 3H образуют полную группу. Вероятности гипотез равны

1 2 3( ) 0,3; ( ) 0,5; ( ) 0,2Р Н Р Н Р Н= = = . Находим условные вероятности. Так как доля бракованной продукции

для первого завода – 5% (100% - 95%), для второго – 3%, третьего – 10%, то

49

1 2 3( / ) 0,05, ( / ) 0,03, ( / ) 0,1.P A H P A H P A H= = = По формуле полной вероятности находим вероятность того, что куплен-

ный в магазине телевизор окажется бракованным:

1 1 2 2 3 3( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )P A P A H P H P A H P H P A H P H= + + =

0,05 0,3 0,05 0,5 0,1 0,2 0,015 0,025 0,02 0,06= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = .

Следовательно, в магазине в среднем 6% бракованных телевизоров. Величина 3( ) 0,2Р Н = является априорной вероятностью события 3Н .

Она показывает, что с вероятностью 0,2 в этом магазине можно купить телеви-зор, произведенный третьим заводом. Зная теперь, что купленный телевизор бракованный, пересчитаем вероятность изготовления этого телевизора третьим заводом. По формуле Байеса вычисляем апостериорную вероятность события

3Н :

3 33

( / ) ( ) 0,02 1( / ) 0,33.( ) 0,06 3

P A H P HP H AP A

= = = ≈

Следовательно, среди бракованных телевизоров третья часть приходится

на телевизоры третьего завода. ОТВЕТ: 2( )=0,06, ( / ) 0,33P A Р Н А ≈ .

Задание 4

При решении задач четвертого задания используется схема Бернулли. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых слу-

чайное событие A наступает с постоянной вероятностью ( )p p const= и не на-ступает с вероятностью ( 1 )q q p= − . Тогда вероятность того, что в n независи-мых испытаниях событие A произойдет ровно k раз ( 0,1,2,..., )k n= , вычисля-ется по формуле Бернулли:

( ) k k n kn nP k C p q −= .

Число 0k называется наивероятнейшим числом появления события A ,

если 0( ) ( )n nP k P k≥ для всех 0k k≠ . Наивероятнейшее число 0k определяется двойным неравенством:

0np q k np p− ≤ ≤ + , где 0k – целое число.

Пример 8. Вероятность появления некоторого события A в одном ис-

пытании равна 0,4. Найти:

50

1) вероятность того, что в пяти независимых испытания событие A появится ровно два раза; 2) вероятность того, что в пяти независимых испытания событие A появится меньше трех раз; 3) вероятность того, что в пяти независимых испытания событие A появится хотя бы один раз; 4) наивероятнешее число появлений события A в десяти независимых испытаниях; 5) наивероятнейшее число появлений события A в девяти независимых

испытаниях.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи проводятся независимые испытания в каждом из которых событие A наступает с постоянной вероятностью 0,4p = и не наступает с вероятностью 1 1 0,4 0,6q p= − = − = , т.е. условие задачи соот-ветствует схеме Бернулли.

1) Найдем вероятность события 1B = в пяти независимых испытания со-бытие A появится ровно два раза. По условию 5n = , 2k = . Тогда

2 2 5 2 2 31 5 5

5 4( ) (2) (0,4) (0,6) 0,34561 2

P B P C p q − ⋅= = = =

⋅.

2) Найдем вероятность события 2B = в пяти независимых испытания

событие A появится меньше трех раз, т.е. вероятность того, что событие A произойдет или один или два раза или не произойдет вообще. Так как 5n = ,

0,1,2k = , то по теореме сложения вероятностей несовместных событий и фор-муле Бернулли получаем:

0 0 5 1 1 1 2 2 2

2 5 5 5 5 5 5( ) (0) (1) (2) (0,4) (0,6) (0,4) (0,6) (0,4) (0,6)P B P P P C C C= + + = + + =

5 4 2 3(0,6) 5 0,4(0,6) 10 (0,4) (0,6) 0,68256.= + ⋅ + ⋅ = 3) Для вычисления вероятности события 3B = в пяти независимых ис-

пытания событие A произойдет хотя бы один раз, воспользуемся противопо-ложным событием – событие A вообще не произойдет. Тогда

0 0 5 5

3 5 5( ) 1 (0) 1 (0,4) (0,6) 1 (0,6) 0,92224.P B P C= − = − = − = 4) По условию 0,4p = , 0,6q = , 10n = , следовательно, наивероятнейшее число 0k определяется неравенствами:

010 0,4 0,6 10 0,4 0,4k⋅ − ≤ ≤ ⋅ + ,

03,4 4,4k≤ ≤ .

Единственное целое число, лежащее внутри полученного интервала 0 4k = .

51

5) Так как 0,4p = , 0,6q = , 9n = , то

09 0,4 0,6 9 0,4 0,4k⋅ − ≤ ≤ ⋅ +

03 4k≤ ≤ .

Полученному двойному неравенству удовлетворяет два наивероятнейших чис-ла: 0 3k′ = и 0 4k′′ = .

ОТВЕТ: 1) 1( ) 0,3456P B = , 2) 2( ) 0,68256P B = , 3) 5 3( ) 0,92224P B = , 4) 0 4k = , 5) 0 3k′ = , 0 4k′′ = .

Задание 5

При решении задач пятого задания необходимо использовать предельные

теоремы теории вероятностей. Пусть проводится nнезависимых испытаний, в каждом из которых слу-

чайное событие A наступает с постоянной вероятностью ( )p p const= и не на-ступает с вероятностью ( 1 )q q p= − .

При большом числе испытаний n и малой вероятности p для вычисле-ния вероятности ( )nP k того, что в n независимых испытаниях событие A про-изойдет ровно k раз ( 0,1,2,..., )k n= , применяется формула Пуассона:

( )!

k

nP k ek

λλ −≈ ⋅ , где np=λ .

Абсолютная погрешность формулы Пуассона не превосходит pλ . Если значение np=λ недостаточно мало ( 7λ > ), то для вычисления ве-

роятности ( )nP k используют локальную теорему Муавра − Лапласа:

1( ) ,nk npP k

npq npqϕ −

≈

где ( )2

212

x

x eϕπ

−= − функция Гаусса, значения которой табулированы (см.

Приложение 1). Функция ( )xϕ обладает следующими свойствами:

1) функция ( )xϕ – четная, т.е. ( ) ( )x xϕ ϕ− = ; 2) ( ) 0xϕ ≈ при 4x ≥ и 4x ≤ − .

Пример 9. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

52

РЕШЕНИЕ. По условию 200n = , 0,01p = , 1 0,99q p= − = , 4k = . Так как события, состоящие в том, что изготовленные детали окажутся бракованными, независимы, число n велико и вероятность p мала ( 2λ = ), то можно использо-вать формулу Пуассона:

4 2

2002 16 0,13534(4) 0,0902.

4! 24eР−⋅ ⋅

≈ ≈ ≈

ОТВЕТ: 200 (4) 0,0902.Р ≈

Пример 10. Вероятность сбоя компьютерной системы составляет 0,06. Найти вероятность того, что из 700 компьютеров из строя выйдет 40.

РЕШЕНИЕ. По условию 700n = , 0,06p = , 1 0,94q p= − = , 40k = . Ком-пьютеры выходят из строя независимо друг от друга, число n велико, но веро-ятность p недостаточно мала ( 42npλ = = ). Тогда для вычисления искомой ве-роятности используем локальную теорему Муавра – Лапласа:

7001 40 700 0,06(40)

700 0,06 0,94 700 0,06 0,94P ϕ

− ⋅≈ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )1 2 0,1592 0,32 .6,2833 6,2833

ϕ ϕ = − = ⋅ −

Так как функция ( )xϕ четная, то ( ) ( )0,32 0,32ϕ ϕ− = . По таблице значений функции Гаусса определяем значение ( )0,32 0,379ϕ = . Получаем

700 (40) 0,1592 0,379 0,0603P ≈ ⋅ = .

ОТВЕТ: 700 (40) 0,0603.Р ≈

Задание 6 При решении задач задания 6 необходимо использовать интегральную

теорему Муавра – Лапласа. Интегральная теорема Муавра − Лапласа позволяет вычислить вероят-

ность того, что событие A произойдет от 1k до 2k

( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1( ; )nP k x k P k k Ф x Ф x≤ < = ≈ − ,

где npq

npkx −= 1

1 , npq

npkx −= 2

2 и ( )2

2

0

12

x t

Ф x e dtπ

−= ∫ − интегральная функ-

ция Лапласа. Функция Лапласа табулирована (см. Приложение 2) и обладает следующими свойствами:

53

1) функция ( )Ф x – нечетная, т.е. ( ) ( )Ф x Ф x− = − ; 2) ( ) 0,5Ф x ≈ при 5x ≥ и ( ) 0,5Ф x ≈ − при 5x ≤ − .

Пример 11. Вероятность повреждения товара во время транспорти-

ровки равна 0,02. Найти вероятность того, что в партии из 450 изделий число поврежденных в пути будет:

а) от 8 до 39 штук; б) не менее 60; в) менее 10.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи 450n = , 0,02p = , 1 0,98q p= − = . Так как число поврежденных деталей попадает в некоторые интервалы, то для вы-числения вероятности используем интегральную теорему Муавра – Лапласа.

а) Необходимо вычислить вероятность 450 (8 39)P x≤ ≤ = 450 (8 40)P x≤ < =

450 (8;40)P= . По условию 1 8k = , 2 40k = . Определяем значения 1x и 2x :

18 450 0,02 0,34450 0,02 0,98

x − ⋅= = −

⋅ ⋅, 2

40 450 0,02 10,44.450 0,02 0,98

x − ⋅= =

⋅ ⋅

Так как 2 5x > , то ( )2 0,5Ф x ≈ . В силу нечетности функции ( ) ( )0,34 0,34Ф Ф− = − , тогда по таблице значений интегральной функции Лап-

ласа определяем значение ( )0,34 0,1331Ф = . Следовательно,

( ) ( ) ( )450 8;40 10,44 0,34 0,5 0,1331 0,6331P Ф Ф≈ − − = + = .

б) По условию число поврежденных изделий должно быть не менее 60, т.е. 1 60k = , но не может быть большее 450, т.е. определяем вероятность

450 450(60 450) (60 451)P x P x≤ ≤ = ≤ < . Тогда

160 450 0,02 17,17450 0,02 0,98

x − ⋅= =

⋅ ⋅, 2

451 450 0,02 148,83.450 0,02 0,98

x − ⋅= =

⋅ ⋅

Так как 1 5x > и 2 5x > , то ( )1 0,5Ф x ≈ и ( )2 0,5Ф x ≈ . Следовательно,

( ) ( ) ( )450 60 450 148,49 17,17 0,5 0,5 0,P x Ф Ф≤ ≤ ≈ − = − =

т.е. вероятность этого события практически равна нулю.

в) Рассуждая как и выше, получаем: 1 0k = , 2 10k = ,

10 450 0,2 3,03

450 0,02 0,98x − ⋅= = −

⋅ ⋅, 2

10 450 0,2 0,34.450 0,02 0,98

x − ⋅= =

⋅ ⋅

54

Отсюда ( ) ( )1 3,03 0,4988Ф x Ф= − = − , ( ) ( )2 0,34 0,1331Ф x Ф= = и

( ) ( ) ( )450 0;10 0,34 3,03 0,1331 0,4988 0,6319P Ф Ф≈ − − = + =

ОТВЕТ: а) ( )450 10;40 0,6331P ≈ ; б) ( )450 60;450 0P ≈ ; в) ( )450 0;10 0,6319P ≈ .

Задание 7 Пример 12. Страховая компания застраховала на год 2000N = клиен-

тов. При наступлении страхового случая компания выплачивает клиенту 200S = гривен. Вероятность наступления страхового случая равна 0,001p = .

Определить минимальную стоимость страхового взноса, чтобы вероятность того, что страховая компания к концу года понесет убытки, была не больше

0,05α = . РЕШЕНИЕ: Пусть стоимость страхового взноса равна Y . Страховая ком-

пания понесет убытки, если размер выплат превысит общую стоимость страхо-вых взносов Y N⋅ . Обозначим через n максимальное (предельное) число стра-ховых случаев, при котором компания не понесет убытков, т.е. Y N S n⋅ = ⋅ . Пусть X - число клиентов, обратившихся за выплатой в течение года. Так как по условию вероятность того, что страховая компания понесет убытки, не должна превосходить 0,05, то ( ) 0,05P n X N≤ < ≤ . Определим значение X . По интегральной теореме Муавра – Лапласа, получаем:

( ) ( ) ( )2 1( ;2000) 0,05NP n X N P n Ф x Ф x≤ < = ≈ − ≤ ,

где 12000 0,001 2

1,412000 0,001 (1 0,001)n nx − ⋅ −

= =⋅ ⋅ −

, 22000 2000 0,001 1417,02

2000 0,001 (1 0,001)x − ⋅= =

⋅ ⋅ −.

Тогда ( ) 2 2( ;2000) 1417,02 0,5 0,051,41 1,41Nn nP n Ф Ф Ф− − ≈ − = − ≤

или

2 0,451,41nФ − ≥

. По таблице значений функции Лапласа ( )Ф x находим реше-

ние уравнения ( ) 0,4500Ф x = , получаем 1,64x = . Отсюда 2 1,641,41n −

= и

1,64 1,41 2 4,3124n = ⋅ + = . Так как, очевидно, n - целое число, то 5n = . Из ра-

венства Y N S n⋅ = ⋅ находим 200 5 0,52000

S nYN⋅ ⋅

= = = грн.

ОТВЕТ: 0,5 грн. При решении заданий 8 и 9 необходимо использовать свойства дис-

кретной случайной величины.

55

Случайная величина (с.в.) X называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Для того чтобы задать дискретную случайную величину необходимо ука-зать множество ее возможных значений и вероятности ip , с которыми эти зна-чения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается в виде таблицы распределения вероят-ностей:

Возможные значения с.в. X 1x 2x ... nx …

( )ip Р Х k= = , 1ii

p =∑ 1p 2p ... np …

Функцией распределения (или интегральным законом распределения)

случайной величины X называется числовая функция ( ) ( )F x P X x= ≤ , опре-деленная для всех значений x R∈ .

Числовые характеристики дискретной случайной величины

1) математическое ожидание i ii

MX x p=∑ ;

2) дисперсия ( ) ( ) ( )2 22i i

i

DX M X MX x MX p MX MX= − = − = −∑ , где

2 2i i

i

MX x p=∑ ;

3) среднее квадратическое отклонение X DXσ = ; 4) модой с.в. X называется действительное число 0M , равное ее наибо-

лее вероятному значению (для непрерывной с.в. мода – это значение в котором плотность вероятности максимальна);

5) медианой Me с.в. X называется такое ее значение, что ( ) ( )P X Me P X Me< = > (эта характеристика используется, как прави-

ло, для непрерывных с.в.);

6) коэффициент асимметрии 3

3

( )

X

M X MXSkσ−

= является количествен-

ной характеристикой степени скошенности распределения. Если 0Sk < , то кривая плотности распределения имеет «длинную часть»,

расположенную слева от вершины, если 0Sk > – справа (рис 1а);

7) эксцесс 4

4

( ) 3X

M X MXExσ−

= − характеризует островершинность (плос-

ковершинность) распределения (рис. 1б).

56

Рис. 1а Рис. 1б

Задание 8 Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение с

параметрами ( )0;1р∈ и Nn∈ , если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с ве-роятностями ( ) ( ), 0,1,2,...,nР Х k P k k n= = = равными:

( ) (1 ) .k k n knР Х k C p p −= = −

Для биномиальной случайной величины X математическое ожидание и

дисперсия могут быть вычислены по формулам:

, , 1 .MX np DX npq q p= = = − Пример 13. В некотором городе 20% населения проживают в домах, яв-

ляющихся личной собственностью. Наудачу выбирают четырех жителей. Со-ставить закон распределения числа жителей, проживающих в домах, являю-щихся личной собственностью, среди выбранных. Найти числовые характери-стики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-клонение). Составить функцию распределения, построить ее график.

РЕШЕНИЕ. Пусть X – число жителей, проживающих в домах, являю-щихся личной собственностью. Согласно условию, вероятность того, что слу-чайно выбранный житель, проживает в доме, являющемся личной собственно-стью, равна 0,2p = . Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, т.е. 4n = . Вычислим соответствующие вероятности:

( ) 0 0 4 40 40 (0,2) (0,8) (0,8) 0,4096,p Р Х C= = = = =

( ) 1 1 3 31 41 (0,2) (0,8) 4 0,2 (0,8) 0,4096,p Р Х C= = = = ⋅ ⋅ =

( ) 2 2 22 42 (0,2) (0,8) 6 0,04 0,64 0,1536,p Р Х C= = = = ⋅ ⋅ =

( ) 3 3 1 33 43 (0,2) (0,8) 4 (0,2) 0,8 0,0256,p Р Х C= = = = ⋅ ⋅ =

0Sk =

0Sk <

( )f x

0Sk > 0Ex <

( )f x0Ex >

0Ex =

MX х MX х

57

( ) 4 4 0 44 44 (0,2) (0,8) (0,2) 0,0016.p Р Х C= = = = =

Тогда закон распределения (ряд распределения) с.в. X имеет вид:

ix 0 1 2 3 4

ip 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 Проверка: 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.

Математическое ожидание: 4 0,2 0,8MX = ⋅ = ; дисперсия: 4 0,2 0,8 0,64DX = ⋅ ⋅ = ; среднее квадратическое отклонение: 0,64 0,8σ = = .

Найдем функцию распределения с.в. X : 1) если 0x ≤ , то ( )( ) 0F x P X x= < = , т.к. нет ни одного значения ix с.в.

X , удовлетворяющего условию 0ix x< ≤ ; 2) если 0 1x< ≤ , то ( ) ( )( ) 0 0,4096F x P X x P X= < = = = , т.к. только одно

значение 0ix = с.в. X , удовлетворяет условию 1ix x< ≤ ; 3) если 1 2x< ≤ , то

( ) ( ) ( )( ) 0 1 0,4096 0,4096 0,8192F x P X x P X P X= < = = + = = + = ;

4) если 2 3x< ≤ , то

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 0,8192 0,1536 0,9728F x P X x P X P X P X= < = = + = + = = + = ;

5) если 3 4x< ≤ , то

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 3

0,9728 0,0256 0,9984;

F x P X x P X P X P X P X= < = = + = + = + = =

= + =

6) если 4x > , то

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 3 4

0,9984 0,0016 1.

F x P X x P X P X P X P X P X= < = = + = + = + = + = =

= + =

Выпишем окончательный вид интегральной функций распределения:

0, если 0;0,4096, если 0 1;0,8192, если 1 2;

( )0,9728, если 2 3;0,9984, если 3 4;1, если 4.

xxx

F xxx

x

≤ < ≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

График функции распределения представлен на рис. 2.

58

1 2 3 4 5

Рис. 2

ОТВЕТ: 0,8MX = ; 0,64DX = ; 0,8σ = .

Задание 9 Пример 14. Дан закон распределения дискретной случайной величины X

X 2 4 6 8 10P 0,1 0,3 0,4 p 0,1

(в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке - вероятности возможных значений). Найти:

а) неизвестное значение вероятности p ; б) характеристики положения (математическое ожидание, мода); в) характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное откло-нение); г) характеристики формы плотности распределения (асимметрия, экс-цесс); д) интегральную функцию распределения и построить ее график.

РЕШЕНИЕ: а) Для закона распределения дискретной случайной величи-ны, заданной рядом распределения, должно выполняться равенство: 1i

i

p =∑ .

Тогда 0,1 0,3 0,4 0,1 1p+ + + + = или 1 0,9 0,1p = − = . б) Математическое ожидание:

1

2 0,1 4 0,3 6 0,4 8 0,1 10 0,1 5,6n

i ii

MX х p=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ .

Мода: так как вероятность того, что случайная величина X примет зна-

чение равное 6, наибольшая, то 0 6M = . в) Для вычисления дисперсии вычислим сначала 2MX . Выпишем закон

распределения дискретной случайной величины 2X :

х

у

1 0,9984 0,9728

0,8192

0,4096

0

59

2X 4 16 36 64 100P 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1

Тогда 2 2

1

4 0,1 16 0,3 36 0,4 64 0,1 100 0,1 36n

i ii

MX x p=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ и,

следовательно, ( )22 236 (5,6) 4,64DX MX MX= − = − = .

Среднее квадратическое отклонение с.в. X : Х 4,64 2,1541.X Dσ = = ≈

г) Составим закон распределения с.в. X MX−

X MX− -3,6 -1,6 0,4 2,4 4,4

P 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1

Тогда

53 3

1

( ) ( )i i ii

M X MX x Mx p=

− = − =∑

3 3 3 3 3( 3,6) 0,1 ( 1,6) 0,3 (0,4) 0,4 (2,4) 0,1 (4,4) 0,1 4,032= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ,

5

4 4

1

( ) ( )i i ii

M X MX x Mx p=

− = − =∑

4 4 4 4 4( 3,6) 0,1 ( 1,6) 0,3 (0,4) 0,4 (2,4) 0,1 (4,4) 0,1 59,5717= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Отсюда коэффициент асимметрии - 3

4,032 0,4034(2,1541)

Sk = ≈ ;

эксцесс - 4

59,5717 3 0,2331(2,1541)

Ex = − ≈ − .

д) Найдем функцию распределения с.в. X : 1) если 2x ≤ , то ( )( ) 0F x P X x= < = , т.к. нет ни одного ix значения с.в.

X , удовлетворяющего условию 2ix x< ≤ ; 2) если 2 4x< ≤ , то ( )( ) 0 0,1F x P X= = = , т.к. только одно значение

2ix = значения с.в. X , удовлетворяет условию 4ix x< ≤ ; 3) если 4 6x< ≤ , то ( ) 0,1 0,3 0,4F x = + = ;

4) если 6 8x< ≤ , то ( ) 0,4 0,4 0,8F x = + = ;

5) если 8 10x< ≤ , то ( ) 0,8 0,1 0,9F x = + = ;

6) если 10x > , то ( ) 0,9 0,1 1F x = + = . Выписываем интегральную функцию распределения:

60

0, если 2;0,1, если 2 4;0,4, если 4 6;

( )0,8, если 6 8;0,9, если 8 10;1, если 10.

xxx

F xxx

x

≤ < ≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

График функции распределения представлен на рис. 3.

Рис. 3

ОТВЕТ: 0,1p = ; 5,6MX = ; 0 6M = ; 4,64DX = ; 2,1541Xσ ≈ ; 0,4034Sk ≈ ; 0,2331Ex ≈ − .

Задание 10

Случайная величина X называется непрерывной, если множество ее воз-можных значений непрерывно заполняет некоторый интервал числовой оси. Плотностью распределения (или дифференциальным законом распределения) с.в. X называется числовая функция ( )f x , равная производной от функции распределения ( )F x , если такая производная существует: ( ) ( )f x F x′= . Связь между плотностью распределения и функцией распределения можно предста-вить в интегральной форме:

( ) ( )x

F x f t dt−∞

= ∫ .

Вероятность того, что непрерывная с.в. попадает в интервал ( ; )α β , равна

( ) ( ) ( ) ( )P X f x dx F Fβ

α

α β β α< < = = −∫ .

х

у

1 0,9 0,8 0,4 0,1

0

2 4 6 8 10 12

61

Свойства плотности распределения

1) ( ) 0f x ≥ ;

2) ( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫ - условие нормировки.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1) математическое ожидание ( )MX x f x dx+∞

−∞

= ⋅∫ ;

2) дисперсия

( ) ( )2 22 2( ) ( ) ( )DX M X MX x MX f x dx x f x dx MX+∞ +∞

−∞ −∞

= − = − ⋅ = ⋅ −∫ ∫ ;

Пример 15. Задана плотность распределения ( )f x случайной величины

X :

0, 2,( ) (3 4), 2 4,

0, 4.

хf x C х x

х

<= + ≤ ≤ >

Найти: а) коэффициент C ; б) функцию распределения ( )F x случайной величины X ; в) математическое ожидание MX , дисперсию DX , среднеквадратичное

отклонение Xσ ; г) вероятность того, что случайная величина X попадает в интервал

(1;3) ; д) построить графики функций ( )f x и ( )F x .

РЕШЕНИЕ. а) Значение коэффициента C определяем с помощью усло-вия нормировки:

2 4 4

2 2 242 2 2

2

1 ( ) 0 (3 4) 0 (3 4)

3 3 4 3 24 4 4 4 2 26 .2 2 2

f x dx dx C x dx dx C x dx

xC x C C

+∞ +∞

−∞ −∞

= = + + + = + =

⋅ ⋅= + = + ⋅ − − ⋅ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Отсюда 126

C = . Следовательно, плотность распределения имеет вид:

62

0, 2,(3 4)( ) , 2 4,

260, 4.

ххf x x

х

< += ≤ ≤

>

б) Так как рассматриваемая случайная величина X задана не на всей чи-

словой оси, а на интервале ( ; ) (2;4)a b = , то ( ) 0F x = для 2x < ; ( ) 1F x = для 4x > . Пусть [2;4]x∈ , тогда

2 2 2

2 2

2

(3 4) 1 3 1 3 3 2( ) 4 4 4 226 26 2 26 2 2

1 3 4 14 .26 2

xx t t xF x dt t x

x x

+ ⋅= = + = + − − ⋅ =

= + −

∫

Итак,

2

0, 2,

1 3( ) 4 14 , 2 4,26 21, 4.

х

xF x x x

х

<

= + − ≤ ≤

>

в) Математическое ожидание:

( ) ( )

2 4

2 4

442 3 2 3 2 3 2

22

1( ) 0 (3 4) 026

1 1 1 40(3 4 ) 2 4 2 4 2 2 2 .26 26 26 13

MX x f x dx x dx x x dx x dx

x x dx x x

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

= + = + = + ⋅ − − ⋅ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Аналогично вычисляем дисперсию:

( )24 4

22 3 2

2 2

4 24 3

2

1 1 40(3 4) (3 4 )26 26 13

1 3 4 40 166 0,3274.26 4 3 13 507

DX x x dx MX x x dx

x x

= ⋅ + − = + − =

= + − = ≈

∫ ∫

Среднее квадратическое отклонение:

63

166 0,5722507X DXσ = = ≈ .

г)

( )21 3 3 231 3 (3) (1) 4 3 14 0

26 2 52P X F F

⋅< < = − = + ⋅ − − =

.

д) графики функций ( )f x и ( )F x представлены на рис. 4 и рис. 5 соот-

ветственно.

Рис. 4 Рис. 5

ОТВЕТ: 126

C = ; 2

0, 2,

1 3( ) 4 14 , 2 4,26 21, 4.

х

xF x x x

х

<

= + − ≤ ≤

>

; 4013

MX = ;

0,3274DX ≈ ; 0,5722Xσ ≈ ; ( ) 231 352

P X< < = .

При решении заданий 11 и 12 используются определения и понятия

статистического распределения. Пусть задана выборка 1 2, ,..., nx x x объема n . Для математического ожида-

ния MX статистической аналогией является выборочное среднее *M X или X :

1

1i

nX M X x

n∗= = ∑

или для сгруппированной выборки

1

1 i i

kX M X x n

n∗= = ⋅∑ ,

у 1

0,8

0,6

0,4

0,2 0 1 2 3 4 5 х

у

0,8

0,6

0,4

0,2 0 1 2 3 4 5 х

64

где 1

k

in n=∑ . Аналогией дисперсии DX является выборочная дисперсия

( ) ( )2 22 * 2

1

1 i

nS D X x M X X X

n∗= = − = −∑ ,

или для сгруппированной выборки

( )22 *

1

1 k

i iS D X x M X nn

∗= = −∑ .

Аналогично определяется выборочное среднее квадратическое отклонение:

S D X∗= .

Доверительные интервалы для неизвестного параметра a нормального распределения с параметрами 2( , )Xa σ :

1) если 2Xσ известно, то

X XX t a X tn n

σ σ− < < +

где Xtn

σδ = ⋅ – точность оценки; t –такое значение аргумента функции Лап-

ласа ( )Ф t , что ( )2

Ф t γ= и γ – заданный уровень надежности.

2) если 2Xσ неизвестно, то

2 2S SX t a X t

n nγ γ′ ′

− < < + ,

где 2S′ – исправленная дисперсия ( 2 2

1

1S ( )1

n

ii

x Xn =

′ = −− ∑ ), ( 1;(1 ) / 2)t t nγ γ= − − –

значение t – распределения Стьюдента (см. Приложение 3).

Задание 11

Из обслуживаемых банком вкладов случайным образом выбрано 100 вкладов. Используя полученную выборку, найти доверительные границы для генерального среднего (средней суммы вкладов в банке), с доверительной ве-роятностью 0,8. Предполагается, что распределение вкладов по размерам вкладов подчиняется нормальному закону распределению.

65

X 5 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15

in 10 20 110 40 20

РЕШЕНИЕ. В качестве значения признака X выбираем середины заданных интерва-

лов, т.е. переходим от интервального к дискретному ряду:

ix 6 8 10 12 14

in 10 20 110 40 20

Объем выборки равен (10 20 110 40 20) 200ii

n n= = + + + + =∑ . Находим

выборочное среднее и выборочную дисперсию.

1 6 10 8 20 10 110 12 14 14 20 10,4200i i

i

Х x nn

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =∑ ,

2 2 2 2 2

2 21 6 10 8 20 10 110 12 14 14 20 111,6200i i

i

Х x nn

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =∑ ,

( )22 2 2111,6 (10,4) 3,44S X X= − = − = . Тогда исправленная выборочная дисперсия равна:

2 2 200 3,44 3,4571 199

nS Sn

′ = = ⋅ =−

.

По таблице значений t – распределения Стьюдента (см. табл. 3) находим

(200 1;(1 0,8) / 2) (199;0,05) 1,64t t tγ = − − = = . Определяем точность оценки:

2 3,4571,64 0,216200

Stnγδ′

= ⋅ = ⋅ = .

Получаем доверительный интервал для генерального среднего (средний

размер вклада): ( ) ( ) ( ); 10,4 0,216;10,4 0,216 10,184;10,616X Xδ δ− − = − + = . ОТВЕТ: ( )10,184;10,616 .

Задание 12

По данной корреляционной таблице для двух признаков X и Y : 1) определить выборочные законы распределения признаков X и Y ; 2) построить полигон частот и найти эмпирическую функцию распре-

деления признака Х и построить ее график; 3) вычислить основные числовые характеристики: выборочное среднее,

66

выборочную дисперсию, выброчное средне квадратическое отклонение для признаков X и Y ;

4) найти выборочный коэффициет корреляции, интерпритировать полученный результат;

5) написать выборочное уравнение регрессии; 6) построить корреляционное поле и нанести на него линию регрессии. (Расчеты провести «вручную» и с помощью ПП Excel).

x y

10

12 14 16 18

- 5 3 6 5 - 2 8 10 7 1 10 30 5 4 7 3 7 6

РЕШЕНИЕ: 1) Для определения частот вариант признака X суммируем элементы соответствующих столбцов:

ix 10 12 14 16 18 Σ

ixn 3 24 45 19 9 100

Аналогично, просуммировав частоты по соответствующим строкам, по-лучаем выборочный закон распределения признака Y :

iy -5 -2 1 4 7 Σ

iyn 14 25 45 10 6 100

2) Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки с координа-тами ( ),

ii xx n . Тогда полигон частот признака X имеет вид (рис. 6):

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Рис. 6

67

Для вычисления эмпирической функции распределения находим отно-сительные и накопленные относительные частоты.

ix 10 12 14 16 18

ixn 3 24 45 19 9

ixnn 0,03 0,24 0,45 0,19 0,09

*iw 0,03 0,27 0,72 0,91 1

Тогда эмпирическая функция распределения признака X имеет вид

0, если 10,0,03, если 10 12,0,27, если 12 14,

( )0,72, если 14 16,0,91, если 16 18,1, если 18.

xxx

F xxxx

∗

≤ < ≤ < ≤= < ≤ < ≤

>

Строим график найденной функции (рис. 7).

10 12 14 16 18 20

Рис. 7

3) Вычисляем выборочные числовые характеристики признака X .

Выборочное среднее:

1 10 3 12 24 14 45 16 19 18 9 14,14100i i

i

Х x nn

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =∑ .

Выборочная дисперсия:

1 0,91

0,72

0,27 0,03

х

68

( ) ( )2 22 2 21X i i

i

S X X x n Xn

= − = − =∑

( )2 2 2 2 2

210 3 12 24 14 45 16 19 18 9 14,14 3,6204.100

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= − =

Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение: 3,6204 1,9027XS = = .

Аналогично определяем характеристики признака Y : 0,07Y = , 2 9,4851YS = , 3,0798YS = .

4) Выборочный коэффициент корреляции вычисляем по формуле:

xy

X Y

n ху n Х Yr

nS S− ⋅

= ∑ .

Определяем значение суммы xyn xy∑ :

3 10 ( 5) 6 12 ( 5) 5 14 ( 5) 8 12 ( 2) 10 14 ( 2) 7 16 ( 2)

10 12 1 30 14 1 5 16 1 7 16 4 3 18 4 6 18 7 484.

xyn xy = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

∑

Таким образом, выборочный коэффициент корреляции равен

484 100 14,14 0,07 0,6570100 1,9027 3,0798

r − ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅.

Так как коэффициент корреляции положительный, то между признаками X и Y существует положительная связь (с ростом признака X уветличивается зачение признака Y ). Абсолютное значение коэффициента корреляции свидетельствует о наличие средней линейной связи между признаками.

5) выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:

( )Yх

X

Sу У r x ХS

− = − .

В нашем примере

( )3,07980,07 0,6570 14,141,9027ху x− = −

или после преобразований

1,06 14,97ху х= − .

69

6) нанесем график полученной прямой на корреляционное поле. Прямую 1,07 14,43ху х= + проводим через две точки (10; 4,37)A − и (18;4,11)B . Резуль-

тат представлен на рис. 8.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

6 8 10 12 14 16 18 20

Рис. 8

Проведем вычисления с помощью ПП Excel предварительно представив исходные данные в виде несгруппированных рядов данных (табл. 1).

Таблица 1 A B

1 X Y 2 -5 10 3 -5 10 4 -5 10 5 -5 12 6 -5 12 … … …

100 7 18

Для вычисления основных числовых характеристик признаков X и Y и парного коэффициента корреляции выбираем пустую ячейку и запускаем «Мастер функций» (кнопка “fx” или «Вставка»→ «Функция»). В разделе «Ста-тистические функции» выбираем соответствующую формулу (табл. 2).

Таблица 2

Числовая характеристика Формула

Выборочное среднее = СРЗНАЧА(значение1; значение2;...)

Выборочная дисперсия = ДИСП(число1;число2; ...)

Выборочное среднее квадра-тическое отклонение

= СТАНДОТКЛОНП(число1; число2; ...)

Коэффициент корреляции =КОРРЕЛ(массив1;массив2)

70

Рис

. 9а

Рис.

9б

71

Для построения корреляционного поля и линии регрессии запускаем «Мастер диаграмм». Во вкладке «Стандартные» выбираем «Точечная». Для до-бавления линии тренда в диаграмму необходимо:

1) щелкнуть правой кнопкой мыши на одном из маркеров диаграммы; 2) выбрать команду «Добавить линию тренда»; 3) заполнить появившееся диалоговое окно «Линия тренда» (рис. 9а); 4) переключиться на вкладку «Параметры» и установить соответствую-

щие параметры (рис 9б). Результат построения представлен на рис. 10.

y = 1,0635x - 14,968R2 = 0,4317

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

6 8 10 12 14 16 18 20

Рис. 10 Полученное на диаграмме уравнение регрессии 1,0635 14,966ху х= − сов-

падает с найденным ранее. Кроме того, коэффициент детерминации 2 0,4317R = равен квадрату найденного коэффициента корреляции.

ОТВЕТ: 14,14Х = ; 2 3,6204XS = ; 1,9027XS = . 0,07Y = ; 2 9,4851YS = ;

3,0798YS = ; 0,6570r = ; 1,06 14,97ху х= − .

72

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица значений функции 2

21( )2

x

x еϕπ

−= ⋅

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.3989 0.3989 0.3989 0.3988 0.3986 0.3984 0.3982 0.3980 0.3977 0.39730.1 0.3970 0.3965 0.3961 0.3956 0.3951 0.3945 0.3939 0.3932 0.3925 0.39180.2 0.3910 0.3902 0.3894 0.3885 0.3876 0.3867 0.3857 0.3847 0.3836 0.38250.3 0.3814 0.3802 0.3790 0.3778 0.3765 0.3752 0.3739 0.3725 0.3712 0.36970.4 0.3683 0.3668 0.3653 0.3637 0.3621 0.3605 0.3589 0.3572 0.3555 0.35380.5 0.3521 0.3503 0.3485 0.3467 0.3448 0.3429 0.3410 0.3391 0.3372 0.33520.6 0.3332 0.3312 0.3292 0.3271 0.3251 0.3230 0.3209 0.3187 0.3166 0.31440.7 0.3123 0.3101 0.3079 0.3056 0.3034 0.3011 0.2989 0.2966 0.2943 0.29200.8 0.2897 0.2874 0.2850 0.2827 0.2803 0.2780 0.2756 0.2732 0.2709 0.26850.9 0.2661 0.2637 0.2613 0.2589 0.2565 0.2541 0.2516 0.2492 0.2468 0.2444

1.0 0.2420 0.2396 0.2371 0.2347 0.2323 0.2299 0.2275 0.2251 0.2227 0.22031.1 0.2179 0.2155 0.2131 0.2107 0.2083 0.2059 0.2036 0.2012 0.1989 0.19651.2 0.1942 0.1919 0.1895 0.1872 0.1849 0.1826 0.1804 0.1781 0.1758 0.17361.3 0.1714 0.1691 0.1669 0.1647 0.1626 0.1604 0.1582 0.1561 0.1539 0.15181.4 0.1497 0.1476 0.1456 0.1435 0.1415 0.1394 0.1374 0.1354 0.1334 0.13151.5 0.1295 0.1276 0.1257 0.1238 0.1219 0.1200 0.1182 0.1163 0.1145 0.11271.6 0.1109 0.1092 0.1074 0.1057 0.1040 0.1023 0.1006 0.0989 0.0973 0.09571.7 0.0940 0.0925 0.0909 0.0893 0.0878 0.0863 0.0848 0.0833 0.0818 0.08041.8 0.0790 0.0775 0.0761 0.0748 0.0734 0.0721 0.0707 0.0694 0.0681 0.06691.9 0.0656 0.0644 0.0632 0.0620 0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0562 0.0551

2.0 0.0540 0.0529 0.0519 0.0508 0.0498 0.0488 0.0478 0.0468 0.0459 0.04492.1 0.0440 0.0431 0.0422 0.0413 0.0404 0.0396 0.0387 0.0379 0.0371 0.03632.2 0.0355 0.0347 0.0339 0.0332 0.0325 0.0317 0.0310 0.0303 0.0297 0.02902.3 0.0283 0.0277 0.0270 0.0264 0.0258 0.0252 0.0246 0.0241 0.0235 0.02292.4 0.0224 0.0219 0.0213 0.0208 0.0203 0.0198 0.0194 0.0189 0.0184 0.01802.5 0.0175 0.0171 0.0167 0.0163 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0143 0.01392.6 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.01072.7 0.0104 0.0101 0.0099 0.0096 0.0093 0.0091 0.0088 0.0086 0.0084 0.00812.8 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0067 0.0065 0.0063 0.00612.9 0.0060 0.0058 0.0056 0.0055 0.0053 0.0051 0.0050 0.0048 0.0047 0.0046

3.0 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035 0.00343.1 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0025 0.00253.2 0.0024 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0020 0.0019 0.0018 0.00183.3 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0013 0.00133.4 0.0012 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.00093.5 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.00063.6 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.00043.7 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.00033.8 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.00023.9 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001

73

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции 2

2

0

1( )2

x z

x е dzπ

−Φ = ⋅ ∫

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)0.00 0.0000 0.5 0.1915 1.00 0.3413 1.50 0.4332 2.00 0.4772 2.50 0.49380.01 0.0040 0.51 0.1950 1.01 0.3438 1.51 0.4345 2.01 0.4778 2.51 0.49400.02 0.0080 0.52 0.1985 1.02 0.3461 1.52 0.4357 2.02 0.4783 2.52 0.49410.03 0.0120 0.53 0.2019 1.03 0.3485 1.53 0.4370 2.03 0.4788 2.53 0.49430.04 0.0160 0.54 0.2054 1.04 0.3508 1.54 0.4382 2.04 0.4793 2.54 0.49450.05 0.0199 0.55 0.2088 1.05 0.3531 1.55 0.4394 2.05 0.4798 2.55 0.49460.06 0.0239 0.56 0.2123 1.06 0.3554 1.56 0.4406 2.06 0.4803 2.56 0.49480.07 0.0279 0.57 0.2157 1.07 0.3577 1.57 0.4418 2.07 0.4808 2.57 0.49490.08 0.0319 0.58 0.2190 1.08 0.3599 1.58 0.4429 2.08 0.4812 2.58 0.49510.09 0.0359 0.59 0.2224 1.09 0.3621 1.59 0.4441 2.09 0.4817 2.59 0.49520.10 0.0398 0.6 0.2257 1.10 0.3643 1.60 0.4452 2.10 0.4821 2.60 0.49530.11 0.0438 0.61 0.2291 1.11 0.3665 1.61 0.4463 2.11 0.4826 2.61 0.49550.12 0.0478 0.62 0.2324 1.12 0.3686 1.62 0.4474 2.12 0.4830 2.62 0.49560.13 0.0517 0.63 0.2357 1.13 0.3708 1.63 0.4484 2.13 0.4834 2.63 0.49570.14 0.0557 0.64 0.2389 1.14 0.3729 1.64 0.4495 2.14 0.4838 2.64 0.49590.15 0.0596 0.65 0.2422 1.15 0.3749 1.65 0.4505 2.15 0.4842 2.65 0.49600.16 0.0636 0.66 0.2454 1.16 0.3770 1.66 0.4515 2.16 0.4846 2.66 0.49610.17 0.0675 0.67 0.2486 1.17 0.3790 1.67 0.4525 2.17 0.4850 2.67 0.49620.18 0.0714 0.68 0.2517 1.18 0.3810 1.68 0.4535 2.18 0.4854 2.68 0.49630.19 0.0753 0.69 0.2549 1.19 0.3830 1.69 0.4545 2.19 0.4857 2.70 0.49650.20 0.0793 0.7 0.2580 1.20 0.3849 1.70 0.4554 2.20 0.4861 2.72 0.49670.21 0.0832 0.71 0.2611 1.21 0.3869 1.71 0.4564 2.21 0.4864 2.74 0.49690.22 0.0871 0.72 0.2642 1.22 0.3888 1.72 0.4573 2.22 0.4868 2.76 0.49710.23 0.0910 0.73 0.2673 1.23 0.3907 1.73 0.4582 2.23 0.4871 2.78 0.49730.24 0.0948 0.74 0.2704 1.24 0.3925 1.74 0.4591 2.24 0.4875 2.80 0.49740.25 0.0987 0.75 0.2734 1.25 0.3944 1.75 0.4599 2.25 0.4878 2.82 0.49760.26 0.1026 0.76 0.2764 1.26 0.3962 1.76 0.4608 2.26 0.4881 2.84 0.49770.27 0.1064 0.77 0.2794 1.27 0.3980 1.77 0.4616 2.27 0.4884 2.86 0.49790.28 0.1103 0.78 0.2823 1.28 0.3997 1.78 0.4625 2.28 0.4887 2.88 0.49800.29 0.1141 0.79 0.2852 1.29 0.4015 1.79 0.4633 2.29 0.4890 2.90 0.49810.30 0.1179 0.8 0.2881 1.30 0.4032 1.80 0.4641 2.30 0.4893 2.92 0.49820.31 0.1217 0.81 0.2910 1.31 0.4049 1.81 0.4649 2.31 0.4896 2.94 0.49840.32 0.1255 0.82 0.2939 1.32 0.4066 1.82 0.4656 2.32 0.4898 2.96 0.49850.33 0.1293 0.83 0.2967 1.33 0.4082 1.83 0.4664 2.33 0.4901 2.98 0.49860.34 0.1331 0.84 0.2995 1.34 0.4099 1.84 0.4671 2.34 0.4904 3.00 0.49870.35 0.1368 0.85 0.3023 1.35 0.4115 1.85 0.4678 2.35 0.4906 3.04 0.49880.36 0.1406 0.86 0.3051 1.36 0.4131 1.86 0.4686 2.36 0.4909 3.06 0.49890.37 0.1443 0.87 0.3078 1.37 0.4147 1.87 0.4693 2.37 0.4911 3.08 0.49900.38 0.1480 0.88 0.3106 1.38 0.4162 1.88 0.4699 2.38 0.4913 3.08 0.49900.39 0.1517 0.89 0.3133 1.39 0.4177 1.89 0.4706 2.39 0.4916 3.12 0.49910.40 0.1554 0.9 0.3159 1.40 0.4192 1.90 0.4713 2.40 0.4918 3.16 0.49920.41 0.1591 0.91 0.3186 1.41 0.4207 1.91 0.4719 2.41 0.4920 3.20 0.49930.42 0.1628 0.92 0.3212 1.42 0.4222 1.92 0.4726 2.42 0.4922 3.26 0.49940.43 0.1664 0.93 0.3238 1.43 0.4236 1.93 0.4732 2.43 0.4925 3.32 0.49950.44 0.1700 0.94 0.3264 1.44 0.4251 1.94 0.4738 2.44 0.4927 3.40 0.49970.45 0.1736 0.95 0.3289 1.45 0.4265 1.95 0.4744 2.45 0.4929 3.60 0.49980.46 0.1772 0.96 0.3315 1.46 0.4279 1.96 0.4750 2.46 0.4931 3.80 0.499930.47 0.1808 0.97 0.3340 1.47 0.4292 1.97 0.4756 2.47 0.4932 4.00 0.4999680.48 0.1844 0.98 0.3365 1.48 0.4306 1.98 0.4761 2.48 0.4934 4.50 0.4999970.49 0.1879 0.99 0.3389 1.49 0.4319 1.99 0.4767 2.49 0.4936 5.00 0.4999997

74

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Значения t - распределения Стьюдента ν, α в зависимости от числа степеней

свободы n и вероятности α : ( ; )P T t n α α> =

число степеней свободы Вероятность α:

ν 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,00051 1,38 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 318,31 636,622 1,06 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93 22,33 31,60 3 0,98 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 10,21 12,94 4 0,94 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61 5 0,92 1,48 2,02 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 0,91 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 0,90 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50 4,78 5,41 8 0,89 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04 9 0,88 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78 10 0,88 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 0,88 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 4,02 4,44 12 0,87 1,36 1,78 2,18 2,68 3,06 3,93 4,32 13 0,87 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 0,87 1,34 1,76 2,15 2,62 2,98 3,79 4,14 15 0,87 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 0,86 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,02 17 0,86 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,97 18 0,86 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92 19 0,86 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20 0,86 1,33 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 0,86 1 ,32 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 0,86 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,50 3.79 23 0,86 1,32 1,71 2,07 2,50 2,81 3,48 3,77 24 0,86 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,75 25 0,86 1,32 1,71 2,06 2,48 2,79 3,45 3,73 30 0,85 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40 0,85 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55 60 0,85 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46 120 0,84 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 3,16 3,37 ∞ 0,84 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29