Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» Кафедра «Высшая математика» И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Практикум Омск 2016 СибАДИ
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)»
Кафедра «Высшая математика»
И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Практикум
Омск 2016
СибАДИ
УДК 519.2 ББК 22.172
Б12 Рецензенты:
д-р пед. наук, проф. В.А. Далингер (ФГБОУ ВПО ОмГПУ); д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Ф. Стругов (ФГБОУ ВПО ОмГУ им. Ф.М. Достоевского)
Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве практикума.
Бабичева, И.В. Б12 Математическая статистика : рабочая тетрадь [Электронный ресурс] : практикум / И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская. – Электрон. дан. Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd79.pdf , свободный после авторизации. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-93204-865-8
Является дополнением к учебному пособию «Математическая статистика: контролирующие материалы» авторов И.В. Бабичевой, Т.Е. Болдовской. Тетрадь предназначена для организации решения заданий к разделу «Математическая статистика» студентами на учебных занятиях и для самостоятельной работы после ознакомления с новым учебным материалом на лекции. В тетрадь включены базовые задания, обеспечивающие репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает студенту выполнение действий в развернутой письменной форме, а преподавателю позволяет осуществлять оперативный контроль и коррекцию деятельности студентов. Материал тетради по математической статистике представлен четырьмя темами: «Выборки и их характеристики», «Элементы теории оценок», «Проверка статистических гипотез», «Элементы корреляционно-регрессионного анализа».
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок, что обеспечивает удобную навигацию по главам. Созданы интерактивные переходы от ссылок в тексте к приложениям, в заданиях к ответам.
Адресован обучающимся и преподавателям математики технических вузов.
Текстовое (символьное) издание (1,5 МБ) Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;
1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader
Редактор И.Г. Кузнецова Техническая подготовка Т.И. Кукина
Издание первое. Дата подписания к использованию 26.02.2016
Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1
Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.
СибАДИ
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий практикум является дополнением к учебному пособию «Математическая статистика: контролирующие материалы» и составлен на основе лекций по теории вероятностей и математической статистике. Все задания, приведенные в рабочей тетради, определяют базовые понятия математической статистики, предусмотренные федеральными государственными образовательными стандартами.
При использовании пособия в самостоятельной работе обучающимся сначала рекомендуется изучить теоретический материал по разделу «Математическая статистика», а также использовать приведенный справочный материал в учебном пособии «Математическая статистика: контролирующие материалы», а затем проверить уровень понимания данного материала с помощью выполнения заданий рабочей тетради.
Рабочая тетрадь содержит текстовые заготовки, в которые необходимо вписать ответ согласно тексту задания. Для контроля правильности выполнения заданий каждая заготовка содержит номер ответа. В конце каждой главы представлены ответы на задания рабочей тетради. В практикуме также приведены статистические таблицы, необходимые при решении некоторых задач.
СибАДИ
4
Глава 1. ВЫБОРКИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Задания 1. Совокупность случайно отобранных объектов или результатов наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом, называется_______________________(1). 2. Совокупность объектов или результатов наблюдений, из которых производится выборка, называется ______________________________________________________(2).
3. Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется её _________________ (3) и обозначается N или ____ (4) соответственно.
4. Выборка будет представительной (________________________) (5), если: – каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности; – все объекты имеют _____________________ (6) вероятность попасть в выборку. 5. Наблюдаемые значения ix называются ___________________ (7).
6. Последовательность вариант, записанных по неубыванию, называется _______________________________ (8) рядом.
7. Относительная частота (__________________) (9) i равна отношению _____________ к __________________________________(10), т.е.
nni
i , где ni – число ____________ (11) варианты _______(12).
8. Дискретным статистическим распределением выборки называется перечень _____________ (13) и соответствующих им ________________(14) или частостей. 9. Дана выборка: 3, 5, 7, 2, 5, 7,8, 9, 5, 4, 3, 6, 7, 4, 6, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 5, 9, 4, 7, 5, 3, 2, 6, 7, 9. Тогда 1) Вариационный ряд имеет вид ____________________________________________________________ ______________________________________________________(15).
СибАДИ
5
2) Статистическое распределение выборки:
ix 2 3 4 5 6 7 8 9
in (16)
3) Относительная частота варианты 7 равна ___ (17). 10. Размах выборки – разность между ____________________(18) и ______________(19) значениями признака, т.е. R = __________(20). 11. Пусть исследуемый непрерывный признак X – длительность случайно отобранных фильмов в минутах: 95, 120, 115, 124, 95, 93, 110, 122, 123, 105, 97, 118, 115, 123, 93. Вариационный ряд имеет вид ____________________________________________________________ _______________________________________________________ (21). Объем выборки n ____ (22). Размах выборки R _________ (23). Число интервалов m ______ (24). Длина частичного интервала _____(25). Начало первого интервала 0x _____ (26).
12. Ломаную, отрезки которой соединяют точки (xi, ni), называют ______________________ (29) частот.
СибАДИ
6
13. Ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, у которых основания – частичные интервалы (xi, xi+1] длины i =
_______________ (30), а высоты равны отношению ii
i
nh
, называют
_____________________________________________ (31). 14. У гистограммы частостей высоты прямоугольников равны
отношению i
ih
(32).
15. Площадь гистограммы частот равна ___________________ (33), площадь гистограммы частостей равна ___________________(34). 16. Эмпирической (____________________(35)) функцией распределения называется функция ( )F x , определяющая для каждого значения х ______________(36) события __________(37), т.е.
( )F x ________________ (38) или nnxF x )( , где xn – число
наблюдений, больших(меньших) (39) х. 17. Статистическое распределение выборки имеет вид
ix 3 5 7
in 23 41 36
Тогда
____ при 3;0,23 при3 5;
*( )0,23 0,41 ____ при5 7;0,64 ____ ___ при 7.
xx
F xx
x
(40)
18. Свойства эмпирической функции:
1) по теореме Бернулли ( )F x является оценкой функции ______________________________ (41); 2) наибольшее значение ( )F x равно ____(42), наименьшее ___ (43); 3) ( )F x – не(возрастающая, убывающая) (44) функция.
19. Выборочная средняя Bx – среднее _____________________(45) всех значений выборки.
СибАДИ
7
Для сгруппированной выборки Bx _____________ (46).
Для сгруппированной выборки BD = __________________ (49).
21. Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется формулой В ______ (50) и имеет размерность _____(51).
22. Исправленная выборочная дисперсия 2S __________ (52). 23. Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение (______________________ (53)) S = __________ (54). 24. По результатам контрольной работы составлен дискретный статистический ряд:
ix 2 3 4 5
in 3 8 10 4
Тогда объем выборки n = _____ (55); Bx _______________ (56); BD = __________________________________________________ (57); В _______ (58); 2S ___________________ (59); S = ______ (60).
25. Модой *
0M вариационного ряда называется вариант, имеющий _________________ (61) частоту.
26. Медианой *еM вариационного ряда называется значение
признака, приходящееся на ________________ (62) ряда. 27. Дан вариационный ряд для непрерывно распределенного признака: 5, 5, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 10. Тогда медиана *
еM ____ (63). Наибольшую частоту, равную ____ (64), имеет вариант ______ (65), т.е. мода *
0M ____ (66).
28. Начальный эмпирический момент находится по формуле _______________________ (67). Центральный эмпирический момент находится по формуле ___________________________ (68).
31. Выборочный коэффициент асимметрии характеризует _____________________ (75) полигона распределения и находится по формуле А ____________________ (76). 32. Выборочный коэффициент эксцесса характеризует _________________ (77) полигона распределения и находится по формуле Е ______________________ (78). 33. Дан вариационный ряд 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Статистический ряд имеет вид
ix 5 6 7 8 9 in (79)
Полигон распределения:
(80)
B ex M _____ (81); 0M принимает значения ___ и ___ (82);
BD = ____________________________________________ (83); 2S ____________ (84); S _______________ (85).
Ряд распределения симметричен относительно варианты ______ (86), следовательно, А _____ (87).
4 4 4 4
4(5 7) (6 7) 0 (8 7) (9 7)
7
_______ (88).
4 31,4
Е ____(89), следовательно, полигон имеет более
_______________ (90) вершину по сравнению с нормальной кривой.
Задания 1. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется__________________________________(91) оценкой. 2. Выборочное среднее является _____________________ и________________________ (92) оценкой математического ожидания. 3. Смещенной и состоятельной оценкой дисперсии служит___________________________________________ (93). 4. Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсиислужит________________________________________________(94). 5. Несмещенной и состоятельной оценкой разброса ошибок прибораявляется _______________________ (95). 6. В итоге четырех измерений диаметра подшипника одним прибором(без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм) 21, 23, 25, 27. Тогда несмещенной и состоятельной оценкой размера диаметра подшипника является средняя ____________________________(96), которая равна
Вx (21+________________________________)/4=________ (97). Найдем несмещенную и состоятельную оценку ошибок
=______________ (99). Тогда стандарт S =_______ (100).
7. С целью исследования закона распределения ошибки измерениядальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в таблице.
il , м (20;30] (30;40] (40;50] (50;60] (60;70] (70;80] (80;90] (90;100]
ni 21 72 66 38 51 56 64 32 i 0,052 0,180 0,165 0,095 0,128 0,140 0,160 0,08
Выравнивание статистического ряда проведем с помощью закона равномерной плотности, который выражается формулой
1 , _____;( )
___, ; .
xb - af x
x a b
(101)
СибАДИ
11
Для того чтобы упростить вычисления, связанные с определением статистических моментов, перенесем начало отсчета в точку x0=60 и примем за представителя его разряда его середину iх – среднее для разряда значение ошибки радиодальномера X при новом начале отсчета. Тогда ряд распределения примет вид
iх ~ -35 ____ -15 ____ 5 15 _____ 35 (102)
i 0,052 0,180 _____ ____ 0,128 _____ 0,160 0,08
Приближенное значение статистического среднего ошибки X равно
9
1B i i
ix x
___________________________________________(103).
Переходя к прежнему началу отсчета, получим новое статистическое среднее: 60B Bх x ______(104).
8 2 2
1( ) ___________________________B B i i B
iD D x x
(105).
Закон зависит от двух параметров а и b. Согласно методу моментов, оценки параметров находим по формулам:
3 ;
3B B
B B
a x
b x
_____________;_____________ .
аb
(106)
Откуда 1( )f xb a
____________(107).
Найдем выравнивающие частоты. Теоретические вероятности будут определяться по формуле
1 11
1 1( ) ( ) _______73,3
i i
i i
х x
i i ix x
P f x dx dx х xb a
(108).
Эмпирические частоты _________i in np (109).
8. Проведено 100 наблюдений над случайной величиной Х.Статистический ряд представлен в таблице: 1; ii [0;0,1) [0,1;0,2) [0,2;0,3) [0,3;0,4) [0,4;0,5) [0,5;0,6) [0,6;0,7) [0,7;0,8) [0,8;0,9) [0,9;1]
10. Интервал 1 2, , относительно которого с заданной вероятностью γ можно сказать, что внутри него находится ___________________(116) параметр θ, называют ____________________________(117) интервалом, вероятность γ –_______________________________ (118) вероятностью или __________________________ (119) оценки.
Возможные значения γ: ___________________ (120). 11. Если доверительный интервал выбирается из условиясимметричности относительно оцениваемого параметра , тогда он находится из равенства (___________) 1Р (121), где 0
характеризует _________________ (122) оценки. Чем меньше , тем _____________________ (123) оценка. 12. Пусть интервальная оценка математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х имеет вид (23,7; a ), выборочная средняя равна 5,24Вx . Тогда точность оценки
_______5,24 (124), значение a равно _______ (125).
13. Точность оценки математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном находится по формуле ________________ (126), где параметр t определяется из равенства ( )Ф t ___________ (127).
14. Точность оценки математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном находится по формуле ________ (128), где t – квантиль распределения ____________________ (129). 15. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибкакоторого равна нулю, случайные ошибки распределены нормально с
5 . Выполнено 25 измерений. Найдем доверительный интервал для величины ошибок измерений при надежности 0,9 .
Так как известно, то точность оценки находим по формуле ________________(130).
СибАДИ
14
Имеем Bx _____ (131), объем выборки n =________ (132). Параметр t находим из уравнения ________________(133). Тогда
( )Ф t _________(134). По прил. 2 определяем t ______ (135).
16. В результате статистической обработки результатов измерений роста 30 студентов получена несмещенная оценка среднего роста студента – 167,6 см и несмещенная и состоятельная оценка отклонений от среднего роста – 9,28 см.
Найдем доверительный интервал для оценки отклонений среднего роста студента при надежности 0,95 .
Так как неизвестно, то точность оценки находится как __________(138).
Имеем Bx _______(139); n =_____(140); стандарт S=___________(141).
Квантиль распределения Стьюдента _____ (142) находим по числу степеней свободы ____ (143) и надежности, равной ______(144). По прил. 3 определяем t _____(145).
Откуда ________________(146). Доверительный интервал (________;_________) (147). Ответы: 91. Точечной. 92. Несмещенной и состоятельной.
139. 167,6. 140. 30. 141. 9,28. 12. t . 143. 291 n . 144. 0,95. 145. 2,05.
146. 9,282,05 3,4730 1
. 147. (164,13; 171,07).
СибАДИ
16
Глава 3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Задания 1. Статистическая гипотеза – это ________________________(148) о генеральной совокупности, проверяемое по _________________ (149). 2. Нулевой (______________________ (150)) называют выдвинутую гипотезу H0, конкурирующей (_____________________(151)) называют гипотезу H1, которая _________________________(152) H0. 3. Гипотезы о виде распределения называются _______________________(153), а о параметрах распределения – ____________________________ (154). 4. Гипотеза, состоящая из одного значения параметра, называется ___________________ (155). 5. :Н МХ а – ______________ (156) гипотеза, :Н МХ а –_____________(157) гипотеза. 6. Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли ______________________ (158) данные с ____________________(159) гипотезой.
При этом возможны следующие ошибки: – ошибка I рода – отвергнуть верную (неверную) (160) гипотезу; – ошибка II рода – принять верную (неверную) (161) гипотезу. 7. Уровень значимости – ___________________________(162) совершения ошибки _________________(163) рода. Стандартные значения : _____________________(164). 8. Вероятность недопущения ошибки второго рода 1 называется __________________(165) критерия. 9. Одновременное уменьшение ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении (уменьшении) (166) объема выборок. 10. Применительно к радиолокации вероятность пропуска сигнала – ошибка _______________(167) рода, вероятность ложной тревоги – ошибка _______________(168) рода. 11. Правило, по которому принимается решение о принятии или отклонении гипотезы H0, называется________________________(169) критерием.
СибАДИ
17
12. Схема проверки статистической гипотезы: 1) На основании результатов выборки 1 2, , , kx x x случайной
величины Х формируют ___________ (170) гипотезу H0 и ______________(171) гипотезу H1.
2) Формируют функцию выборки 1 2( , , , )kK K x x x – ________________(172) критерия.
3) Задают и по множеству возможных значений K определяют критическую область – область принятия (отклонения) (173) гипотезы H0. Для этого находят критическую точку крK , отделяющую критическую область от области ________________(174) значений статистического критерия.
Границы областей находят из условия: а) правосторонняя критическая область ( )крP K K ; б) _________________ (175) критическая область ( )крP K K ; в) ________________________ (176) критическая область
( ) ( )2
л пкр крP K K P K K
.
4) По результатам выборки 1 2, , , kx x x рассчитывают _____________________ (177) значение статистического критерия
1 2( , , , )наб kK K x x x . 5) Сравнивают набK с крK :
а) правосторонняя критическая область наб крK K H0 принимается; б) левосторонняя критическая область наб крK K H0
_______________(178); в) _________________(179) критическая область п
наб крK K и л
наб крK K H0_________________(180).
13. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением 4,1 извлечена выборка объемом
72n и по ней найдена выборочная средняя 112,6x . Для проверки параметрической гипотезы 106: 00 аН выбираем
статистику K u , где 0
/набx au
n
.
СибАДИ
18
Зададим уровень значимости 05,0 . Имеем (____ ______) ___
___________набu
(181).
По виду конкурирующей гипотезы выбираем вид критической области и формулу для нахождения ее границы.
1) Если 106: 01 аН , то критическая область
________________(182). , /21( ) ______
2крФ u
(183). Согласно
прил. 2 ______крu (184).
кр набu u H0 ______________(185), т.е. выборочная и гипотетическая генеральные средние статистически различаются _____________________(186).
2) Если 1 0: 106Н а , то критическая область
________________(187). ,1 2( ) ______
2крФ u
(188). Согласно
прил. 2 ______крu (189).
кр набu u H0 ______________(190), т.е. выборочная и гипотетическая генеральные средние статистически различаются ____________________(191).
3) Если 106: 01 аН , то критическая область
________________(192). ,1 2( ) ______
2крФ u
(193). Согласно
прил. 2 ______крu (194). кр набu u H0 ______________(195), т.е. выборочная и
гипотетическая генеральные средние статистически различаются _____________________ (196). 14. Для проверки гипотезы о законе распределения Х используется критерий хи-квадрат – критерий__________________________(197). 15. Схема проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.
1) Определить меру расхождения между теоретическим и ________________________ (198) распределениями по формуле
СибАДИ
19
2
1 _______k
i
(199), где in – ________________(200) частота,
inp – _____________________________(201) частота, ip − ___________________(202) попадания возможных значений Х в интервал [xi, xi+1).
2) Определить 1 lkr – число _______________________ (203), где k − число_________________(204); l − число –__________________________________(205).
3) Выбрать уровень значимости . Используя таблицу распределения 2 (см. прил. 4), по выбранному значению и найденному r найти ________________________(206) точку 2
,r . Если 2
,2
r , то гипотеза H0 __________________(207). Если ,2
,2
r то H0 ____________________(208).
16. По выборочным данным проверяется гипотеза : ~ ( , )H X N a . Сгруппировано 6 интервалов и вычислена мера расхождения
2 1,045наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,01 находим число параметров: l ____(209) (т.к. оцениваются параметры а и ); k ____ (210). Тогда r __________ (211). По таблице распределения 2 (см. прил. 4) находим
2 20,01;3кр ___________(212). 2 2
наб кр H0 _____________(213) на уровне значимости ____________________(214).
17. По выборочным данным проверяется гипотеза H : X ~ R a;b . Сгруппировано 7 интервалов и вычислена мера расхождения
2 8наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 1,0 находим l ____(215) (т.к. оцениваются параметры а и b); k ____ (216). Тогда r __________ (217).
По таблице распределения 2 (см. прил. 4) находим _____________2
4;012 кр (218).
2 2наб кр , H0_____________(219) на уровне значимости
________________(220).
СибАДИ
20
18. По выборочным данным проверяется гипотеза в пользу показательного закона распределения. Сгруппировано 6 интервалов и вычислена мера расхождения 2 1,045наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,01 находим l ____(221) (т.к. оценивается один параметр______(222)); k ____(223). Тогда r __________ (224).
По таблице распределения 2 (см. прил. 4), находим 2 2
0,01;4 _____________кр (225). 2 2наб кр H0
__________________(226) на уровне значимости ________(227). 19. Результаты наблюдений над случайной величиной Х (рост мужчины) представлены в виде статистического ряда:
Х [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190] ni 36 54 66 24 15 5
Проверяем по критерию Пирсона на уровне значимости 1,0 основную гипотезу о том, что Х подчиняется нормальному закону распределения.
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО- РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
Задания
1. Определите вид зависимости: а) ___________________________(234), когда каждому значению x величины X соответствует вполне определенное значение y величины Y. б) __________________________(235), когда изменение величины X влечет за собой изменение среднего значения величины Y. в) ___________________________(236), когда изменение величины X влечет за собой изменение распределения Y. 2. Установите соответствие по разновидностям статистических связей (237):
1) по направлению действия А) прямолинейные и криволинейные
2) по аналитическому выражению В) прямые и обратные 3) по количеству факторов, действующих на результативный признак
С) однофакторные и многофакторные
3. По характеру расположения точек на корреляционном поле можно судить о ___________________(238) и _________(239) связи между случайными величинами.
4. Регрессией __ (240) на __ (241) или условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X называется функция вида ( )f x ___________ (242).
Регрессией ____ (243) на _____ (244) называется функция вида ( ) ( / )g y M X Y y .
5. Оценками функций f(x) и g(x) служат выборочные ____________________________ (245) или ___________________ (246) средние:
( )xy f x , где xy – _______________________(247) переменной Y при фиксированном значении переменной ________ (248);
( )yx g y , где yx – __________________ (249) переменной X при фиксированном значении переменной ______ (250).
СибАДИ
23
6. В уравнении регрессии xy ax b коэффициент yxa называется выборочным коэффициентом __________________(251), который показывает, на сколько единиц в ___________(252) изменяется переменная Y при увеличении переменной Х на единицу.
7. Уравнение регрессии имеет вид 5,1 1,7xy x . Тогда коэффициент регрессии yx ____(253) показывает, что
если Х увеличится на одну единицу своего измерения, то Y в среднем увеличится (уменьшится) (254) на _______(255) единиц, т.к.
( , )0yx (256). Связь между величинами прямая (обратная) (257).
8. Виды уравнений регрессии: xy ax b – _______________________(258) зависимость;
2xy ax bx c – ________________________(259) зависимость;
_______________(260) – экспоненциальная зависимость; _______________(261) – обратно пропорциональная зависимость. Здесь x –_________________(262) переменная; , ,a b c – параметры регрессии. 9. Параметры регрессии находят исходя из принципа метода наименьших квадратов: сумма _________________(263) отклонений эмпирических групповых средних iy от значений ( )x iy x , найденных по уравнению регрессии, должна быть _____________________(264),
т.е. по формуле ______2
1
n
ixi yy (265).
10. В случае несгруппированной выборки неизвестные параметры а и b _____________________(266) зависимости xy ax b находятся из системы нормальных уравнений вида
2 _________________
i i
i
a x b xa x nb
(267);
(268).
11. Получены результаты измерений значений величин Х и Y: Х 2 4 5 7 10 Y 3 2 1 4 5
Для нахождения линейной регрессии Y на Х вида xy ax b
СибАДИ
24
составляем расчетную таблицу:
i ix iy 2ix
(269) i ix y
(270)
1 2 3 2 5 2 3 6 1 4 7 4 5 10 5 (271)
Тогда система нормальных уравнений примет вид
214 30 ______30 5 ________
a ba b
(272); (273).
Откуда a =______(274); b=______(275); xy _____________(276). Коэффициент регрессии yx _______(277). При увеличении
переменной Х на одну единицу Y ____________________(278) на _____(279) единиц. 12. Коэффициент корреляции является показателем _________________ (280) связи между переменными Х и Y. 13. Установите соответствие между значением коэффициента корреляции и его свойствами: (281) 1) 0r A) связь между величинами прямая, т.е. с ростом X
увеличивается Y . 2) 0r B) X и Y связаны функционально. 3) 0r C) линейная корреляционная зависимость отсутствует.
4) 1r D) связь между величинами обратная, т.е. с ростом X убывает Y .
14. Коэффициент корреляции r величин X и Y есть средняя _____________________(282) коэффициентов регрессии, т.е.
__________r (283). Знак «+» выбираем в том случае, если ( , )0, ( , )0yx xy (284), и знак
«–», если 0),(,0),( xyyx (285). Коэффициент корреляции находится по формулам:
СибАДИ
25
_______x
xyrS
(286); ___
yr
S (287); _ __
ySr (288).
15. Получены результаты измерений значений величин Х и Y: Х 2 5 6 7 10 Y 3 2 1 4 5
Найдем коэффициент корреляции по формуле
___
X Y
xy x yrS S
.
Имеем
1
1 ni
ix x
n =_____________________________________________(289);
1
1 ni
iy y
n =____________________________________________ (290);
По шкале Чеддока рассчитанное значение коэффициента корреляции свидетельствует о ____________ (300) линейной связи между величинами Х и Y.
СибАДИ
26
16. Корреляционное отношение yx величины Y по X – отношение ________________ (301) среднего квадратического отклонения к __________ (302) среднему квадратическому отклонению признака. 17. Установите соответствие между значением корреляционного отношения и его свойствами: (303)
1) 0yx А) связь функциональная 2) yx r В) корреляционной связи нет 3) 1yx С) между X и Y существует линейная
корреляционная зависимость
18. По данным таблицы Y/Х 10 20 30 ny 15 4 28 6 38 25 6 – 6 12 nx 10 28 12 50
найдем корреляционное отношение Y к Х. Общая средняя признака Y: