Page 1
МАТЕМАТИКА за 8. клас
Издателство САНПРО, по лиценз на Pearson
ОТГОВОРИ
Раздел 1 Начален преговор
1.1 Цели изрази
1 г) 4x(2x+1); д) 3b(b-3); ж) pr(r–1); з) ax(a+x); и) 4x3(2–x)
2 а) 16; б) 6; в) 45; г) 19
4 p = 3 или p = –3; q = –6 или q = 30; r = 9
5 х = 1, у = –15; 11
1.2 Уравнения
1 x = 5
2 31
3 Джесика 80%, Милен 60%, Зак 70%
4 15 cm
8 100 kg, 50 kg, 70 kg
9 8 дни
10 3 3/5 часа
1.3 Триъгълници
1 a) ∢1 = 80°; ∢2 = 80°; г) ∢1 = 70°; ∢2 = 110°; ∢3 = 30°
2 а) 30о, 60о, 90о
б) 36о, 90о, 54о
в) 80о, 40о, 60о
3 а) 𝑥𝑥 = 180−542
= 63°
б) y = 54 + 63 = 117° или y = 180 – 63 = 117°
4 а) ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 127 = 53°; ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 2 . 53 = 74°;
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 90 – 74 = 16
б) ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 180 – 127 – 16 = 37°
Page 2
1.5 Видове успоредници
1 80о 100о
2 54о, 126о
3 64о, 116о
4 65о
5 14 cm
6 10 cm
7 72 cm
8 4 cm
9 160о, 20о
10 30о, 150о
11 108 cm2
1.6 Подготовка за входно ниво
1 a) −9𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 3; б) −2𝑏𝑏3; в) 9𝑎𝑎 − 18; г) 152(1 − 𝑎𝑎)
2 а) (𝑎𝑎 − 1)(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 1)
б) 2𝑎𝑎(2 − 𝑎𝑎)(2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 4)
в) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏)
г) 2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)
д)
7 а) 4
б) 22
в) 1
г) -2
д)
8 413
9 32 год.
10 30 ученици
Page 3
Раздел 2 Основни комбинаторни понятия
2.1. Умножение и събиране на възможности
1 5
2 а) 75; б) 80; в) 100
3 6
4 10
5 10
6 42
7 20
8 6
2.2 Пермутации, вариации и комбинации
1 6
2 720
3 120
4 а) 24; б) 120
5 24 . 24 = 576
6 17 100 720
7 а) 504; б) 15 120; в) 181 440
8 а) 100; б) 120
10 5 245 786
11 45
2.3 Обобщение
1 20
2 18
3 4!
4 4! 2!
5
6 32
7 63
8 288
9 336
Page 4
Раздел 3 Вектори
3.1 Вектор
1 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
2 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
3 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
4
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝐸𝐸𝐸𝐸��
в) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝐸𝐸�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝐸𝐸𝑂𝑂��
г) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝐸𝐸𝑂𝑂��
6 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
3.2 Събиране и изваждане на вектори. Свойства
1
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→ +
𝑐𝑐→
2
а)
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑛𝑛→ +
𝑚𝑚→
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑛𝑛→ +
𝑚𝑚→ +
𝑝𝑝→
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→
3 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂А�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
0→
4
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
0→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +(
𝑂𝑂𝑂𝑂�� −
𝑂𝑂𝑂𝑂��)=
0→
5
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑂𝑂𝑂𝑂��
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑂𝑂𝑂𝑂��.
Page 5
3.3 Умножение на вектор с число. Свойства
2 а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→.
3 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→
𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→.
4 𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝐸𝐸𝐸𝐸�� ,
𝐺𝐺𝐺𝐺��
5
а) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝐸𝐸��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→
г) 𝑐𝑐→=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
д) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
6 𝑋𝑋𝑋𝑋��=
𝑦𝑦→ −
𝑥𝑥→ XY||AB
7
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑄𝑄𝑂𝑂��= 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
г) точките P и Q съвпадат
д) Пресечната точка на диагоналите на успоредника ги разполовява.
8
а) KLMN - трапец
б) 𝑛𝑛→= 2
𝑚𝑚→−
𝑘𝑘→
9
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→ ‚
𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1
4 𝑏𝑏→ ,
𝑂𝑂𝐸𝐸��=
𝑎𝑎→ + 1
4 𝑏𝑏→,
𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1
4 𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→,
𝐸𝐸𝐸𝐸�� = 3
4(𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→)
б) EF||AB; Дължината на EF е ¾ от дължината на AB.
10
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1
2(𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→) ,
𝑂𝑂𝑄𝑄��=3
4(𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→),
𝑂𝑂𝑄𝑄��=1
4(3
𝑛𝑛→ −
𝑚𝑚→)
б) 𝑂𝑂𝑀𝑀��=3
𝑛𝑛→ −
𝑚𝑚→
в) MQ||MR с обща точка M, следователно MQ и MR са части от една и съща
права 𝑂𝑂𝑀𝑀𝑂𝑂𝑄𝑄
= 4
Page 6
11
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2(2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
г) S е среда на OT
12
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 2(
𝑎𝑎→ +2
𝑐𝑐→)
13
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2
𝑎𝑎→ −1
2 𝑏𝑏→
3.4 Обобщение
1 𝑎𝑎→ и
𝑐𝑐→;
𝑏𝑏→ и
ℎ→;
𝑑𝑑→ и
𝑔𝑔→
2
а) АВ�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝐸𝐸𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂��
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝐸𝐸��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝐸𝐸��
5
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑐𝑐→ −
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1
2(𝑐𝑐→ −
𝑏𝑏→)
в) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1
2(𝑐𝑐→ +
𝑏𝑏→)
6 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑏𝑏→ −3
𝑎𝑎→ CD||AB CD = 3AB
8
а) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1
3(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→).
б) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1
3(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) Точките G и H съвпадат.
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→
9 в) k=1/3 m=1/3 𝑂𝑂𝑋𝑋��= 4
3 𝑎𝑎→ + 1
3 𝑏𝑏→
11 PQRS е успоредник
Page 7
12
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
г) векторите с начало т. O и край всеки от средите на страните на ABCDEF: 12
(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) 1
2(2
𝑎𝑎→ −
𝑏𝑏→) 1
2(𝑎𝑎→ − 2
𝑏𝑏→) −1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) 1
2(𝑏𝑏→ − 2
𝑎𝑎→) 1
2(2
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→)
15
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = −
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ −
𝑏𝑏→
19
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→:
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑐𝑐→ −
𝑎𝑎→
г) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2(𝑐𝑐→ −
𝑎𝑎→)
д) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→)
е) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2�𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→� − 1
2 𝑏𝑏→
Раздел 4 Триъгълник и трапец
4.1 Делене на отсечка в дадено отношение
1 a) 3/5; b) 5/12
2 12 cm, 21 cm, 27 cm
3 a) ¾; б) ½; в) 3/2; г) 2/5
4.2 Средна отсечка в триъгълник
2 RS, ST, и TR са средни отсечки на DEF.
Съгласно Теорема 2 , RS ǁ DF, ST ǁ ED, и TR ǁ FE.
3 AB ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е ½AB; DE e ½BC; FD e ½CA
4 DC = 16; AC = 32; DF = 8.5; DE = 18
Page 8
5 FH ǁ LJ; HK ǁ GL; KF ǁ JG; L J e ½FH; GL e ½HK; JG e ½KF; GJ = 7; GL = 6; LJ = 5
6 a) 25° b) 65°
7 a) 75° б) 75°в) 45°г) 60°
8 1320 m
9 a) 234 m b) 468 m
10 30 cm
11 40°
4.3 Медицентър на триъгълник
3 H
4 18
5 a) TY = 18; TW = 27;
7 а) 16; в) 32; д) 10; ж) 80;
4.4 Трапец. Равнобедрен трапец
1 ∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 74°; ∢𝑆𝑆 = 106°
2 а) ∢1 = 77°; ∢2 = 103°; ∢3 = 103° ; в) ∢1 = 49°; ∢2 = 131°; ∢3 = 131°; г) x
= 12
11 а) равнобедрен трапец
4.5 Средна отсечка (основа) на трапец
1 x = 6, MN = 23
2 а) 10; в) AD = 4, EF = 9, BC = 14
4.6 Обобщение
1 а) FH ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е 1/2AB; DE e 1/2BC
2 а) VY = 22, YX = 11
7 а) 52; в) 24;
8 б) ∢1 = 115°; ∢2 = 115°; ∢3 = 65°
Page 9
Раздел 5 Квадратен корен
5.1 Ирационални числа. Квадратен корен
1 а) 𝑥𝑥 ≥ 2 ; б) 𝑥𝑥 ≤ 0; в) 𝑥𝑥 ≤ 0; г) всяко число
2 а) 11; 12; 20; 80; б) 0,5; 1,3; 0,09; 1,8; в) 23
; 56
; 74
; 165.
4 б)
5 а) 2; б) −16
; в) 2
5.2 Свойства на квадратните корени
1 а) 0,9; 0,63; 13,2; 0,6; б) 6; 10; 0,8; 4.
2 а) 1113
; б) 518
; в) 2524
; г) 145
; д) 1522
; е) 0,07; ж) 0,02; з) 0,008; и) 2; й) 4
3 а) 75; б) 3
7; в) 16
9; г) 108
11
4 а) 13; б) 2; в) 49.
5 а) 65; б) 44; в) 89; г) 66; д) 588; е) 5; ж) 14; з) 28.
6 а) 11; б) 1; в) 5; г) 8; д) 12,1; е) 8.
5.3 Действия с квадратни корени
1 а) 2; б) 3; в) 5; г)4.
2 а) 10√2; б) 4√2; в) 2√5; г) 2√7; д) 100√2; е) 5√5; ж) 150√15; з) 12549 √5; и) 3√3
8√2
3 а) √12; б) √2; в) √2; г) −√75; д) −√0,4; е) −�2
3
4 2𝑎𝑎2√5; б) 2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; в)−2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; д)−7𝑎𝑎2𝑏𝑏√2 ; е) 3|𝑎𝑎||𝑏𝑏|√10
5 а) √2𝑎𝑎2;б) √𝑎𝑎4𝑏𝑏; в) −√𝑎𝑎3𝑏𝑏2; г) √𝑎𝑎4𝑏𝑏2; д) �8
3𝑏𝑏3; е) √8𝑑𝑑2𝑐𝑐4
6 а) 𝑎𝑎 − 5; б) 𝑎𝑎 − 5; в) 2𝑎𝑎 − 6; г) 6 − 2𝑎𝑎; д) 𝑎𝑎 − 3; е) 2𝑎𝑎 + 10
7 а) |𝑎𝑎−𝑏𝑏|√𝑏𝑏
2; б) 5√2𝑐𝑐|𝑎𝑎+𝑏𝑏| в) |𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏|√𝑎𝑎𝑏𝑏 г) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)3𝑦𝑦2
5 � 𝑦𝑦10
8 в)
9 г)
5.4 Сравняване на ирационални числа, записани с квадратни корени
1 а) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐; б) 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑑𝑑 < 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐; г) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐
3 б)
Page 10
4 в)
5 в)
6 б)
7 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐
8 а) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; б) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏; г) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
10 а)
5.5 Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени
1 а) −2√2; б) −2√3 ; в) 29√2 ; г) 5𝑏𝑏√𝑏𝑏 д) 31√215
; е) 11√36
; ж) −1,5√3; з) −6√3;
и) 9√3 − 35√2; й) 6𝑥𝑥3√𝑥𝑥 ; к) 2𝑎𝑎3𝑏𝑏√𝑎𝑎𝑏𝑏
2 а) 6√5 − 5; б) 2 + 2𝑥𝑥√3 ; в)𝑦𝑦√5 + 5 ; г) 6𝑥𝑥 − 13√𝑥𝑥 − 5; д)−√35 − 16;
е) 10 − 22√3; ж) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2; з) 3𝑥𝑥 − 4; и) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥√3 + 3; й) 3;
к) 2𝑥𝑥 + 6 − 2√2𝑥𝑥 + 5
3 а) 8 + √10 − 4√3 ; б) 11 + √6 − 2√2; в) 49 + 8√3; г) 2
4 а) �11+3√3
2; б) 2,5; в) 50 + 8√6
5 а) 1; б) 1
6 а) -8; б) 6√3
7 а) √7 − 4; б) 7 в) 17
8 а) √3√7
; б) √52
; в) √7√5
5.6 Рационализиране на изрази, съдържащи квадратни корени
1 а)5√33
; б) 15√𝑥𝑥2𝑥𝑥
2 а) √147
; б) √62
; в) √55
; г) 3√2𝑥𝑥4𝑥𝑥
; д) 5√3𝑎𝑎9𝑎𝑎
; е) 6𝑥𝑥10
; ж) �55𝑦𝑦15
; з) √3𝑧𝑧6𝑧𝑧
; и) √2𝑥𝑥8𝑥𝑥
3 а) 5�3√5−241
; б) �√2+5��√3+√5�−2
; в) 6𝑥𝑥−3√𝑥𝑥𝑦𝑦4𝑥𝑥−𝑦𝑦
4 а) √105
5 а) −2�2 + √7�; б) √7+4−3
; в) 7�√𝑥𝑥+3�9−𝑥𝑥
; г) 8(√𝑦𝑦−4)16−𝑦𝑦
; д) 2√6 − 5 ;
е) −�√3 + √4��√2 + √3�; ж) 8�√10−1�9
; з) −3�√6+2�2
; и) 5+3√27
; й) 7+√103
6 а) 5√15
; б) 3√6
; в) −76�2+√11�
; г) 7√5−1
; д) 1√2�√5−2�
; е) 13+2√2
; ж) 57+3√6
Page 11
7 а) √7 + 1; б) 3√3 − 5 ; в) 5√3 − √2 ; г) 10 − 2√3
8 а) √3√7
; б) √52
; в) √7√5
9 б) 2 + √6 + √2 ; в) √3 + √15 − 3
5.7 Обобщение
1 в)
2 г)
3 в)
4 г)
5 а)
6 б)
7 г)
8 б)
9 в)
10 б)
Раздел 6 Квадратни уравнения
6.1 Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения
1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±6 б) 𝑥𝑥1,2 = ±7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±8 д) 𝑥𝑥1,2 = ± 53 е) 𝑥𝑥1,2 = ± 11
4
2 а) 𝑥𝑥1,2 = ±4√2 б) 𝑥𝑥1,2 = ±√7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±√10 г) 𝑥𝑥1,2 = ±0,7 д) 𝑥𝑥1,2 = ±0,9
е) 𝑥𝑥1,2 = ±2√3
3 а) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± 2√5 б) 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = −2
4 а) 𝑥𝑥1,2 = 0 б) 𝑥𝑥1,2 = ±6√2 в) а) 𝑥𝑥1,2 = ±3 г) 𝑥𝑥1,2 = ±�5
3
5 а) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −3 б) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −6 г) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 5
д) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −2
6 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12
7 𝑥𝑥 = 3 𝑚𝑚
8 ≈ 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
9 ≈ 13𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
10 ≈ 8𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
Page 12
6.2 Формула за корените на квадратното уравнение
1 а) 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 2
3; 𝑥𝑥2 = −1
3 а) 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑦𝑦1 = −4;𝑦𝑦2 = −2; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5
б) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± √7; 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √3; 𝑥𝑥1,2 = −1±√52
в) няма решение; няма решение; 𝑦𝑦1,2 = −3 ± √17
4 а) 𝑥𝑥1 = −7; 𝑥𝑥2 = 6 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −1 в) 𝑥𝑥1 = −9; 𝑥𝑥2 = 1 г) няма решение;
д) 𝑥𝑥1,2 = 2 ± √6
5 а) 𝑥𝑥1,2 = −√2 ± 2; б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −√33
в) 𝑥𝑥1,2 = √5±1√2
г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = √3
6 ≈ 2,4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
7 а) ≈ 9 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 6,5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
8 а) 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 0,97 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
6.3 Съкратена формула за корените на квадратното уравнение
1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 35 б) 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = −12 в) 𝑥𝑥1 = 30; 𝑥𝑥2 = −10
г) 𝑥𝑥1 = 19; 𝑥𝑥2 = 1 д) 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = −23 е) 𝑥𝑥1 = 26; 𝑥𝑥2 = −2
2 а) 𝑥𝑥1 = 2,6; 𝑥𝑥2 = −5 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = 1,6 в) 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = −10 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 57
д) 𝑥𝑥1,2 = −5 ± 2√17е) 𝑥𝑥1 = 53
; 𝑥𝑥2 = −3 ж) 𝑥𝑥1,2 = 8±5√22
3 а) 𝑘𝑘 > 18 б) 𝑘𝑘 > 25
12 в) 𝑘𝑘 > 13
8 г) няма такава стойност
4 а) 𝑘𝑘 < 2512
б) 𝑘𝑘 < 14 в) 𝑘𝑘 < 3 г) 𝑘𝑘 ≠ −1
5 а) 𝑘𝑘1,2 = ±8 б) 𝑘𝑘1 = 0; 𝑘𝑘2 = −45 в) 𝑘𝑘1 = 6; 𝑘𝑘2 = −2 г) 𝑘𝑘 = −1
6 а) 𝑥𝑥1 = 𝑘𝑘; 𝑥𝑥2 = −3𝑘𝑘
б) при к ∈ (−∞; 0)⋃�0; 14� 𝑥𝑥1,2 = −1±√1−4к
2к при 𝑘𝑘 > 1
4 няма реални корени
6.4 Разлагане на квадратния тричлен на множители
1 а) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 4); (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3); (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 1)
б) (𝑥𝑥 − 1)(3𝑥𝑥 − 2); (𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 5); (1 − 𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 + 1)
в) �𝑥𝑥 − 5+√212
� �𝑥𝑥 − 5−√212
�; (𝑥𝑥 − 2)(2𝑥𝑥 + 1) �𝑥𝑥 − √6+√102
� �𝑥𝑥 − √6−√102
�
Page 13
2 а) 2−𝑥𝑥𝑥𝑥−1
б) 𝑥𝑥−2𝑥𝑥−3
в) 2𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1) г) 𝑥𝑥−2
5−𝑥𝑥 д) √2𝑥𝑥+1
√2𝑥𝑥 е) 𝑥𝑥+√6
𝑥𝑥−√6
3 а) 2(𝑥𝑥 + 2)2(𝑥𝑥 − 1) б) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3) в) 2 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)
г) −(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4)
6.5 Биквадратно уравнение
1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±1 б) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±3 в) 𝑥𝑥1,2 = ± √32
; 𝑥𝑥3,4 = ± √22
г) 𝑥𝑥1,2 = ±3, 𝑥𝑥3,4 = ± √22
д) 𝑦𝑦1,2 = 0; 𝑥𝑥𝑦𝑦3,4 = ±0,9 е) няма реални корени;
ж) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = 0 з) ) 𝑥𝑥1,2 = ±√5
2 а) ±√3 б) ±√3 в) ±2 г) ±√6; ± √102
6.6 Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни
1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 32
; 𝑥𝑥2 = −13
; 𝑥𝑥3 = 1; 𝑥𝑥4 = 16
в) 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = 1 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −12
д) 𝑥𝑥1,2 = 1±√33
; 𝑥𝑥3 = 23
; 𝑥𝑥4 = 0
е) 𝑥𝑥1,2 = 3±√132
𝑥𝑥3 = 4; 𝑥𝑥4 = −1
2 𝑥𝑥1,2 = −6 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = −6
3 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5
4 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑥𝑥3,4 = −1 ± √3
5 а) 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1
в) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5 г) а) 𝑥𝑥1 = 7; 𝑥𝑥2 = −4; 𝑥𝑥3 = −2; 𝑥𝑥4 = 5
д) няма реални корени; е) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = −1
6.7 Зависимости между корените и коефициентите на квадратното уравнение.
Формули на Виет
1 б) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −13
, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = −78 в) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 11
3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 2 г) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 =
−13
2 г)
3 а) 𝑥𝑥2 = −12 б) 𝑥𝑥2 = −1
3 в) 𝑥𝑥2 = √2 г) 𝑥𝑥2 = √3
Page 14
4 а) −23
;−53
; б) -2; в) 7; г) 25 д) 10
9 е) 3 7
9 ж) -3
5 а) 𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 55 = 0 б) 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 24 = 0 в) 6𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 0
г) 𝑥𝑥2 − 1,1𝑥𝑥 + 0,28 = 0 д) 15𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 4 = 0 е) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 4√5 − 8 = 0
6.8 Приложение на формулите на Виет
1 а) -4 и -1; б) 7 и 2; в) 4 и -2; г) 13 и 1
4; д) −1
5 и −1
4; е) 5 и -2; ж) 1
3 и −1
5; з) -4 и 3.
2 б) 𝑘𝑘 = 14, 𝑥𝑥2 = −72 в) 𝑘𝑘 = 10
7, 𝑥𝑥2 = 7
5
3 𝑘𝑘1 = 2,𝑘𝑘2 =12
4 а) с различни знаци; б) положителни; в) отрицателни; г) положителни; д) с
различни знаци; е) отрицателни.
5 а) 𝑘𝑘 ≥ 4; б) 𝑘𝑘 < 2 в) 𝑘𝑘 > 4
6 а) 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 − 20 = 0 б) 6𝑦𝑦2 + 65𝑦𝑦 + 169 = 0 в) 3𝑦𝑦2 − 7𝑦𝑦 + 2 = 0
г) 275𝑦𝑦2 + 40𝑦𝑦 − 3 = 0
6.9 Моделиране с квадратни уравнения
1 4 или -6
2 12 или -4
3 Баща 48 год., син – 12 г.
4 8 m
5 4 и 5 или -5 и -4
6 10 сm
7 32 m или 28 m
8 ≈ 3,9сm
9 ≈ 21 m
10 ≈ 23 m
6.10 Обобщение
1 б)
2 в)
3 в)
4 а)
Page 15
5 б)
6 а)
7 б)
8 а)
9 а)
10 ±√10
11 1±√52
12 √5; 3
13 11
Раздел 7 Окръжност
7.1 Окръжност. Взаимни положения на точка и окръжност
1 ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐵𝐵 = 60°
2 ∢𝐵𝐵 = 120° и ∢𝐵𝐵 = 60°
3 ∢𝐵𝐵 = 60° , ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐷𝐷 = 90°.
4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 120°
5 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 135°.
6 Б
7 а) не; б) не; в )да
8 А
9 А
10 а) принадлежи на окръжността; б) вътрешна за окръжността; в)външна за
окръжността.
11 Точките 𝐵𝐵,𝐷𝐷,𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 е вътрешна.
12 Точките 𝐵𝐵 и 𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 и 𝐵𝐵 принадлежи на оръжността.
7.2 Взаимни положения на права и окръжност
1 външна
2 две общи точки
4 а) една обща точка - допирателна; б) две общи точки - секуща; в) няма
общи точки - външна
5 𝐵𝐵𝐷𝐷 е секуща за окръжността.
Page 16
6 𝐵𝐵𝐵𝐵 е допирателна за окръжността.
7 𝐷𝐷𝐵𝐵 е външна за окръжността.
7.3 Допирателни към окръжност
1 ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 90°
2 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 10 cm
3 1,5 cm
4 𝑟𝑟 = 2 cm
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm
6 3 см
7 а) ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 60°; б) 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 2𝑟𝑟
8 а) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°; б) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2.
9 в) равностранен
11 квадрат
7.4 Централни ъгли, дъги и хорди
1 𝐸𝐸𝐸𝐸� = 65°;𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°; 𝐵𝐵𝐸𝐸𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 48°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 82°;
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 270°;𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 307°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 233°; 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵� = 307°.
2 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°
3 а) 36°; б) 𝐵𝐵1𝐵𝐵2𝐵𝐵3 = 72°� , 𝐵𝐵1𝐵𝐵10𝐵𝐵8� = 108° и 𝐵𝐵1𝐵𝐵4𝐵𝐵6� = 180°
4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 90°
5 а)∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 90°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°, ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 150°
б) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 210° и 𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵� = 240°
6 а) 60°; б) 120°; в) 270°
7.5 Диаметър, перпендикулярен на хорда
1 𝐴𝐴𝑂𝑂 = 10 cm, 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 5 cm
2 8 cm
3 а) 2,5 cm, 3 cm; б) 8 cm, 6 cm
4 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 3 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 26 cm
6 1 cm
7 3 cm, 0 cm
Page 17
7.6 Вписан ъгъл
1 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 90° и 𝑧𝑧 = 54°
2 𝑎𝑎 = 101°, 𝑏𝑏 = 67°, 𝑐𝑐 = 84° и 𝑑𝑑 = 80°
3 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 40°,𝐷𝐷𝐸𝐸� = 50°,
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸 = 65° и 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐸𝐸� = 130°
4 ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐷𝐷 = 50°
5 ∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 50°
6 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60°
9 1 cm
7.7 Периферен ъгъл
1 а) ∢1 = 65°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 130° ; б) ∢3 = 116°,∢4 = 64°,𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆� = 232°
2 50° или 130°
3 𝑥𝑥 = 35°; 𝑦𝑦 = 55°
4 а) 𝑎𝑎° = 22°, 𝑏𝑏° = 78°, 𝑐𝑐° = 156°; б) 𝑎𝑎° = 26°, 𝑏𝑏° = 64°, 𝑐𝑐° = 42°;
5 а) 80°, 60°, 40°
6 а) 40°, 40°, 100°
7.8 Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжност
1 а) 𝑥𝑥 = 40° ; б) 𝑥𝑥 = 22°,𝑦𝑦 = 108°, 𝑤𝑤 = 104°
2 54°
3 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 75°
4 70° или 140°
5 72° или 108°
6 75° или 105°
7 а) 54° или 126°; б) 30° или 150°
8 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 69°
7.9 Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжност
1 а) 𝑤𝑤 = 250°;
б) 𝑦𝑦 = 40°,
в) 𝑥𝑥 = 60°,𝑦𝑦 = 70°;
Page 18
2 а) 160° ; б) Сондата е по-близо; когато наблюдател се отдалечава от Земята, то
ъгълът на наблюдение намалява и мярката на дъгата на Земята, която може да
се разглежда, става все по-голяма и доближава 180 °.
3 ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 10°;
4 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 30°;
5 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 75°
7.10 Взаимно положение на две окръжности
1 а)вътрешно допирателни; б) 𝑘𝑘2 е вътрешна за 𝑘𝑘1; в) външни
г) пресекателни; д)външно допирателни.
2 а)𝑟𝑟 ∈ (0; 5); б)𝑟𝑟 ∈ (5; 19) ; в) 𝑟𝑟 = 19 cm; г) 𝑟𝑟 = 5 cm; д) 𝑟𝑟 ∈ (19; +∞).
3 30𝜋𝜋 и 12𝜋𝜋
4 10 cm.
5 18 cm
6 15 cm и 10 cm
7 12 cm и 9 cm
7.11 Общи допирателни на две окръжности
1 60° или 120°
2 𝑅𝑅 = 6 cm
7 а) 30°; б) 30°
7.12 Обобщение
1 а) принадлежи на окръжността; б) външна за окръжността;
в) външна за окръжността; г) вътрешна за окръжността;
д) принадлежи на окръжността; е) вътрешна за окръжността;
2 а) пресекателна; б) външна; в) допирателна;
3 а) две; б) една; в) нямат общи точки;
4 36°, 144°, 72°, 108°
5 а) ∢1 = 75°, ∢2 = 105° 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑃𝑃� = 130° ; б) ∢2 = 65° 𝐾𝐾𝐾𝐾� = 140°
в) 𝑎𝑎° = 30°, 𝑏𝑏° = 60°, 𝑐𝑐° = 62°,𝑑𝑑° = 124°, 𝑠𝑠° = 60°;
г) 𝑎𝑎° = 140°, 𝑏𝑏° = 70°, 𝑐𝑐° = 47,5° д) 𝑥𝑥° = 115°,𝑦𝑦° = 74°;
Page 19
е) 𝑥𝑥° = 135°, 𝑦𝑦° = 80°; ж) 𝑥𝑥° = 71°,𝑦𝑦° = 65°
6 5 cm
7 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚;
8 ∢𝐵𝐵1 = 55°,∢𝐵𝐵1 = 65°,∢𝐷𝐷1 = 60°
9 25 cm
11 ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 40° , 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 140°
12 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 78°, ∢𝑇𝑇 = 72° или
∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 42°, ∢𝑇𝑇 = 108°
Раздел 8 Рационални изрази
8.1 Рационални дроби. Дефиниционно множество
1 а) цял; б) дробен; в) цял; г) дробен; д)дробен;
2 а) 8 45; б) 1; в) не е определен за 𝑥𝑥 = −3;
г) не е определен за 𝑥𝑥 = −3
3 а) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; б) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; в) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ; г) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; д) ∀ 𝑥𝑥 ≠ − 12; е) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2
5;
ж) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2; з) ∀𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 ≠ 13; и) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −5
4; й) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 3±√17
2;
к) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ 3; л) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ;
м) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎 при 𝑎𝑎 ≠ 0;
н) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎3
при 𝑎𝑎 ≠ −2;
о) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −1; п) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 1 при 𝑎𝑎 ≠ 0.
4 а) 𝑥𝑥 = −2; б) 𝑥𝑥 = 5; в) 𝑥𝑥 = −2;𝑦𝑦 = ± 13 ;
г) 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦4
; 𝑥𝑥 = ±3𝑦𝑦; д) 𝑥𝑥 = −1;𝑦𝑦 = −1;
е) 𝑥𝑥 = − 1𝑎𝑎
при 𝑎𝑎 ≠ 0 и при 𝑎𝑎 ≠ 12; ж) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎; з) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;
5 а) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −2; −1; 1; 1,5; 52; недопутими стойности за
𝑥𝑥 са: 0 и 2;
б) допустими стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: −2; −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими
стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: 0 ;
Page 20
в) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими стойности за 𝑥𝑥
са: 0 и − 2; допустими стойности за 𝑧𝑧 са: −2; 0; 1,5; 2; 52; недопутими
стойности за 𝑧𝑧 са: −1 и 1;
г) ако 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 допустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; ако 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
недопустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; допустими стойности за 𝑎𝑎
са: −2; −1; 1,5; 2; 52 ; недопустими стойности за 𝑎𝑎 са: 0 и 1.
8.2 Основно свойство на рационалните дроби. Съкращаване и разширяване на
рационални дроби
1 а) 1𝑥𝑥2
; б)5𝑥𝑥2; в) 5𝑥𝑥2; г) 1𝑦𝑦; д) 𝑦𝑦
4𝑥𝑥; е)−𝑥𝑥2𝑦𝑦3
6; ж) 1
3; з) 1
𝑥𝑥−7; и) 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥−5; к) 𝑥𝑥−3
𝑥𝑥; л) 𝑥𝑥
𝑥𝑥−1
2 а) 19; б) 𝑥𝑥 + 8; в) 3𝑥𝑥; г) 5
2𝑥𝑥; д) 3
4.
3 а) 𝑥𝑥−5𝑥𝑥+5
; б) 2 𝑥𝑥+5
; в) 𝑥𝑥−35
; г)−𝑥𝑥+4𝑥𝑥
; д) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥−7
; е) 𝑥𝑥−62(𝑥𝑥+6); ж) 5𝑥𝑥−1
5𝑥𝑥+1
з) 𝑥𝑥+3𝑥𝑥−3
; и)𝑥𝑥−5𝑥𝑥+7
; к) 𝑥𝑥+42𝑥𝑥−3
л) 2𝑥𝑥2𝑥𝑥−3
; м) 2𝑥𝑥−33𝑥𝑥−2
; н) 5𝑥𝑥−16𝑥𝑥+5
; о)− 𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−3)2; п) 𝑥𝑥+3
𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9.
4 а) 𝑥𝑥𝑦𝑦; б) 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥; в) −1
𝑎𝑎+1; г) 𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑎𝑎−𝑏𝑏; д) 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2; е) 1
𝑥𝑥−𝑦𝑦.
5 а) 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦3𝑧𝑧
24𝑥𝑥5𝑦𝑦𝑧𝑧; б) 4𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+1)
8𝑥𝑥2(𝑥𝑥−2) ; в) 𝑦𝑦(5𝑥𝑥+1)(𝑦𝑦−1)𝑦𝑦(25𝑥𝑥2−1) ; г) 𝑥𝑥2−4
𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6; д)�𝑎𝑎
2−𝑏𝑏2��𝑎𝑎2−1�𝑎𝑎4−1
;
е)5𝑥𝑥2𝑦𝑦2(𝑥𝑥+𝑦𝑦)�𝑥𝑥2+𝑦𝑦2�
𝑥𝑥4−𝑦𝑦4
8.3 Привеждане на рационални дроби към общ знаменател
1 а) 5𝑥𝑥2
12𝑥𝑥 и 22
12𝑥𝑥; б) 38𝑥𝑥
2
4𝑥𝑥3 и 5
4𝑥𝑥3; в) 34𝑥𝑥
8𝑦𝑦2 и 2𝑦𝑦
8𝑦𝑦2;
г) 35𝑦𝑦2−5𝑥𝑥𝑦𝑦2
10𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 4𝑥𝑥
10𝑥𝑥2𝑦𝑦3; д) 14−4𝑥𝑥
18𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 6𝑥𝑥
18𝑥𝑥2𝑦𝑦3;
2 а) 𝑥𝑥 𝑥𝑥−2
и − 1 𝑥𝑥−2
; б) 𝑥𝑥−3 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥
и 𝑥𝑥2
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥; в) 3𝑥𝑥2+9𝑥𝑥
(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) и 𝑥𝑥+1(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3); г) 1
𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) и 𝑥𝑥2
𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) ;
д) 9𝑥𝑥3−18𝑥𝑥
7(𝑥𝑥−2)2 и 42𝑥𝑥
7(𝑥𝑥−2)2;
е) 2𝑦𝑦+6 12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦
и 9𝑥𝑥𝑦𝑦12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦
; ж) 2𝑥𝑥−4(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2)
и 5𝑥𝑥+15(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2); з) −6𝑥𝑥−30
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5) и 4𝑥𝑥−4
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5);
и) 3𝑥𝑥 3𝑥𝑥+18
и 103𝑥𝑥+18
; й) 48 4𝑥𝑥+20
и 𝑥𝑥4𝑥𝑥+20
.
Page 21
3 а) 2𝑥𝑥2+𝑥𝑥5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1)
и 5(2𝑥𝑥−1)2
5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1); б) −𝑥𝑥2+7𝑥𝑥−12
2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2 и 4𝑥𝑥
2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2; в) 𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2
и
𝑥𝑥2(3−𝑥𝑥)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2
; г) 40𝑥𝑥2(𝑥𝑥−6)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6)
и 13𝑥𝑥2(1−6𝑥𝑥)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6); д) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥−4)
7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) и 42𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)
7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) ; е) 2𝑥𝑥+26(𝑥𝑥+1)2
и
246(𝑥𝑥+1)2; ж) (19𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥−3)
4(𝑥𝑥−3)2 и 6
4(𝑥𝑥−3)2.
4 а) 𝑥𝑥2−1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)
и −3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)
; б) 𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−14𝑥𝑥−24
2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3) и 2𝑥𝑥3+8𝑥𝑥2
2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3);
в) 𝑥𝑥−4 (𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4) и 4𝑥𝑥+8
(𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4); г) 5𝑥𝑥2+16𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3)
и 3𝑥𝑥2+12𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3);
д) 4𝑥𝑥+28(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3)
и 4𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3) ; е) 4𝑥𝑥3−2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥
(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1) и 21𝑥𝑥2+28𝑥𝑥+7
(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1);
ж) 9𝑥𝑥3−6𝑥𝑥2−3𝑥𝑥(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1)
и 20𝑥𝑥2+25𝑥𝑥+5(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1).
5 а) 2𝑥𝑥2+4𝑥𝑥
2𝑥𝑥3+16 ; 3𝑥𝑥
2−6𝑥𝑥+122𝑥𝑥3+16
и 22𝑥𝑥3+16
; б) −5𝑥𝑥2−15𝑥𝑥−4527𝑥𝑥−𝑥𝑥4
; 3𝑥𝑥2−𝑥𝑥3
27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 и 𝑥𝑥
27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 ;
в) 𝑥𝑥4−5𝑥𝑥3+25𝑥𝑥2
(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125) ; 𝑥𝑥
3+10𝑥𝑥2+25𝑥𝑥(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)
и 𝑥𝑥+5(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)
.
6 в
7 г
8 б
8.4 Събиране и изваждане на рационални дроби
1 а)𝑥𝑥; б) 2𝑥𝑥 ; в) 710𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 0; г) 4𝑥𝑥9
; д) 𝑥𝑥5; е) 4
3𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0
2 а) 4,𝑚𝑚 ≠ −6 ; б) 8, 𝑦𝑦 ≠ −2; в) 5𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ 1; г) 4𝑎𝑎+5
, 𝑎𝑎 ≠ −5,𝑎𝑎 ≠ 3;
д) 3𝑦𝑦+5
,𝑦𝑦 ≠ −5,𝑦𝑦 ≠ 2; е) 1𝑥𝑥−1
, 𝑥𝑥 ≠ −6, 𝑥𝑥 ≠ 1;
3 а) 12+𝑥𝑥2
4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥
3; в) 3𝑥𝑥
8; г) 5𝑥𝑥
6; д) 5
6𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; е) 1
4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 5𝑥𝑥+2
6; з) 9𝑥𝑥−7
20;
и) 𝑥𝑥9; й) 2𝑥𝑥+5
(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ −2 ; к) 𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2 ;
л) 4(2𝑥𝑥+3)(2𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ −3
2, 𝑥𝑥 ≠ 1
2
Page 22
4 а) 23(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1; б) 𝑥𝑥
(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2;
в) 3𝑥𝑥+5𝑥𝑥2−4
, 𝑥𝑥 ≠ ±2; г) 1𝑥𝑥−1
, 𝑥𝑥 ≠ 12
, 𝑥𝑥 ≠ 1;
д) 𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −3; е) 2𝑥𝑥
2+7𝑥𝑥+48𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; ж) 3𝑥𝑥
9−𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ≠ ±3;
з) 3𝑥𝑥+20(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥+6) , 𝑥𝑥 ≠ −4, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ −6;
и) 2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−46(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥−5)(𝑥𝑥−6) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ 6;
й) 14−𝑥𝑥2
, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −10; к) 𝑛𝑛+44𝑛𝑛(𝑛𝑛−2)(𝑛𝑛−1) ,𝑛𝑛 ≠ 0,𝑛𝑛 ≠ 2,𝑛𝑛 ≠ 1;
л) 7𝑦𝑦+1510𝑦𝑦(𝑦𝑦−3)(𝑦𝑦−2) ,𝑦𝑦 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 3,𝑦𝑦 ≠ 2.
5 𝐵𝐵 = 4
8.5 Умножение, деление и степенуване на рационални дроби
1 а) 12𝑎𝑎5𝑏𝑏2
, 𝑏𝑏 ≠ 0; б)−2𝑞𝑞3
, 𝑞𝑞 ≠ 0, 𝑝𝑝 ≠ 0; в) 214𝑦𝑦
, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;
г) 12𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0 ; д) 𝑥𝑥4, 𝑥𝑥 ≠ 0; е)14
, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 𝑏𝑏2
6, 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0 ;
з)− 𝑥𝑥2
2𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0.
2 а) 3𝑥𝑥+1
, 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥2
10, 𝑥𝑥 ≠ 7; в) 1
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 6, 𝑥𝑥 ≠ 0;
г) 13
, 𝑥𝑥 ≠ −1; д) 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ −1; е) 𝑚𝑚+𝑛𝑛𝑚𝑚−𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.
3 а) 5−3𝑥𝑥2𝑥𝑥(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥+5
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 5; в) 𝑎𝑎+3
𝑎𝑎+2,𝑎𝑎 ≠ ±2;
г) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥2−16
, 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−28
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−77, 𝑥𝑥 ≠ 11, 𝑥𝑥 ≠ −7, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ 4.
4 а) 𝑏𝑏2
8𝑎𝑎2,𝑎𝑎 ≠ 0; б) 2𝑥𝑥
4
3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) 9𝑦𝑦
2,𝑦𝑦 ≠ 0; г) 12
𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0; д) 14
9𝑏𝑏2,𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0.
5 а) 3𝑥𝑥−154
, 𝑥𝑥 ≠ 5; б) 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −6; в) 𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ −3;
г) 3𝑥𝑥3(𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±1; д)− 𝑥𝑥
3
𝑎𝑎+𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≠ 0;
е) 𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.
6 а)1, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ −13; б)𝑥𝑥+2
3−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ 7; в)− 𝑥𝑥+4
𝑥𝑥+6, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −6;
г) 𝑥𝑥+2𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 120𝑥𝑥+100
, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −32
, 𝑥𝑥 ≠ −5.
7 а) 𝑥𝑥2
, 𝑥𝑥2 ≠ 𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) (3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+1)(2𝑥𝑥+3)2 , 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ − 3
2;
Page 23
в) 5𝑎𝑎(2𝑎𝑎+𝑏𝑏)(3𝑎𝑎−2𝑏𝑏)𝑏𝑏2(𝑎𝑎+2𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑏𝑏) ,𝑎𝑎 ≠ ±2𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 ≠ 0; г) 𝑥𝑥
2𝑦𝑦2−𝑥𝑥𝑦𝑦12
, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦.
8 а) 49𝑢𝑢2
25𝑣𝑣2𝑡𝑡2, 𝑣𝑣 ≠ 0, 𝑡𝑡 ≠ 0; б) 2
𝑥𝑥+1, 𝑥𝑥 ≠ ±1;
в) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)3(𝑥𝑥−3)
𝑧𝑧, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑧𝑧 ≠ 0; г) (𝑧𝑧+2)4
𝑧𝑧6(2−𝑧𝑧)2 , 𝑧𝑧 ≠ 2, 𝑧𝑧 ≠ 0.
8.6 Преобразуване на рационални изрази
1 а) 92𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ ± 32 ; б) 1
𝑥𝑥−𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ ±𝑦𝑦 ; в) 2𝑎𝑎
𝑏𝑏+3, 𝑏𝑏 ≠ ±3,𝑎𝑎 ≠ −2, 𝑎𝑎 ≠ 0;
г) 22−𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ ±5 ; д) 23𝑥𝑥−5
, 𝑥𝑥 ≠ ± 53
, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ −1;
е) 𝑥𝑥+2𝑦𝑦𝑥𝑥−2𝑦𝑦
,𝑦𝑦 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦; ж) 2𝑥𝑥3𝑥𝑥−12
, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ ±2;
з) 𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑎𝑎
,𝑎𝑎 ≠ 0,𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏; и)−14
,𝑎𝑎 ≠ ±3; й) 2𝑥𝑥+1𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ − 12
, 𝑥𝑥 ≠ 0.
3 а)−1, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦 ; б) 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ 3
4 а) −14; б) √3−√2
18
8.7 Дробни уравнения
1 а)𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 35 ; б) 𝑥𝑥 = −7; няма решение; 𝑥𝑥 = 3;
в) 𝑎𝑎 = 1; 𝑥𝑥 = 2;
г) 𝑎𝑎1 = −4 и 𝑎𝑎2 = 3; 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10; 𝑡𝑡1 = −2 и 𝑡𝑡2 = 8; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 16
2 а)𝑦𝑦 = 5; 𝑎𝑎 = −1; няма решение; няма решение;
б) 𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥1 = −4 и 𝑥𝑥2 = 6; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 12;
в) 𝑟𝑟 = 3; 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = −11 и 𝑥𝑥2 = 1; 𝑡𝑡1 = −12 и 𝑡𝑡2 = −6;
3 а)𝑥𝑥1,2 = ±1 ; б) 𝑥𝑥1 = 12 и 𝑥𝑥2 = 2;
в)𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 3 ; г) 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 1.
8.8 Моделиране с дробни уравнения
1 Синди – 10 часа, Мери – 15 часа
2 9 часа; 11часа и 15 мин
3 зидар - 10 дни, чирак – 14 дни
4 10мин; 15 мин
5 Автобус – 45 km/h, кола – 60 km/h;
6 6 km/h;
Page 24
7 10 km/h
8 30 km/h;
9 2 часа и 3 часа
10 15 km/h
11 1,8 t и 1,2 t
12 𝐵𝐵 = 38.
13. 𝐵𝐵 = 46
14 16 cm
15 5 cm
8.9 Обобщение
1 а) 1𝑎𝑎+𝑏𝑏
, 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 43𝑦𝑦; б) −𝑥𝑥
2, 𝑥𝑥 ≠ 5
3 ; в) 1−5𝑥𝑥
𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9, 𝑥𝑥 ≠ −3;
г) 𝑥𝑥 + 4, 𝑥𝑥 ≠ −4
2 а) 11𝑎𝑎+𝑥𝑥6𝑎𝑎−6𝑥𝑥
, 𝑎𝑎 ≠ 𝑥𝑥,𝑎𝑎 ≠ 2; б) 2−6𝑦𝑦(1+3𝑦𝑦)2 , 𝑦𝑦 ≠ ± 1
3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) (𝑥𝑥−3𝑦𝑦)(2𝑥𝑥+3𝑦𝑦)
9𝑥𝑥𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠
±3𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;
г) 𝑥𝑥−104𝑥𝑥(𝑥𝑥−4) , 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ 0
3 а)−1 1935
; б) 𝑎𝑎 = 1, а изразът не е дефиниран за тази стойност ; в) 2√2; г) 0;
5 а) 1; б) 0; в) 1; г) 3
6 а)няма реални корени; б) 𝑥𝑥 = −1,6; в) 𝑦𝑦1 = −3 и 𝑦𝑦2 = −1;
г) 𝑥𝑥 = −6; д) няма решение; е) 𝑥𝑥 = 19; ж) няма реални корени;
з) 𝑥𝑥1,2 = −4 ± 2√2
7 а) 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10
3; б)𝑥𝑥1,2 = ±�3+√13
2 и 𝑥𝑥3,4 = ±�−1+√5
2 ;
в) 𝑥𝑥1,2 = −3±√172
и 𝑥𝑥3,4 = −3±√52
; г) 𝑥𝑥1,2 = ± 12 и 𝑥𝑥3,4 = ± 7
2.
8 100 km/h
9 15 km/h
10 12 дни
11 15 часа и 18 часа
12 7 cm;
Page 25
13 85
14 12
15 54
Раздел 9 Вписани и описани многоъгълници
9.1 Окръжност, описана около триъгълник
2 а) вътешна за триъгълника; б) средата на хипотенузата; в) външна за
триъгълника
3 𝑅𝑅 = 6 cm
4 𝑅𝑅 = 4,5 cm
5 а) 𝑅𝑅 = 6 cm б) 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm
6 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm
7 12 cm
8 г
9 в
11 30°, 60° и 90°
12 67,5°, 22,5°, 90°
9.2 Окръжност, вписана в триъгълник
1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 3,5 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 2,5 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 4,5 cm
2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm
4 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 8 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 10 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;
7 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑏𝑏−𝑐𝑐|2
8 |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|
9 2𝑅𝑅 + 2𝑟𝑟
10 25 cm
11 30 cm
12 30°, 60°
Page 26
9.3 Външно вписани окръжности
1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 21 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 9 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 5 cm;
2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;
3 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 14 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 12 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 16 cm
4 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑎𝑎−𝑏𝑏|2
6 а) |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|; б) равнобедрен
8 5 cm
9 𝑟𝑟 = 2 cm, 𝑆𝑆 = 30 cm2
10 𝑆𝑆 = 𝑟𝑟. 𝑟𝑟𝑐𝑐
9.4 Ортоцентър на триъгълник. Забележителни точки в триъгълника
1 а) вътрешна; б) съвпада с върха на правия ъгъл; в) външна
8 ℎ = 3𝑟𝑟
13 ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 108°;
9.5 Четириъгълник, вписан в окръжност
1 а) не; б)да; в) не; г) не; д)не
2 а)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐷𝐷 = 110°,∢𝐵𝐵 = 90°;
б)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 105°
в) ∢𝐵𝐵 = 30°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 150°,∢𝐵𝐵 = 120°;
3 ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 120°;
4 90°, 150°, 90°
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 6 cm;
6 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 120°
7 𝑅𝑅 = 10 cm;
9 ∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐴𝐴 = 55°,∢𝑂𝑂 = 70°;
12 а) отговор:180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾
9.6 Четириъгълник, описан около окръжност
1 а) да; б) не; в) да; г) да; д) да
2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32 𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 24 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 48 𝑐𝑐𝑚𝑚;
3 63 cm2
Page 27
5 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 21 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 19 𝑐𝑐𝑚𝑚;
6 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚 ;
7 18 cm2
9 𝑟𝑟 = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚
10 Средна основа = 5 cm и 𝑆𝑆 = 20 cm2
9.7 Обобщение
1 𝑅𝑅 = 6 cm
2 12 cm
3 в
4 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 14 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 16 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 cm
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 1 cm
7 24 cm
8 30°, 60°
9 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 28 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 24 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32 cm
10 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 0,5 cm
11 а)не; б)не; в)да
12 а) ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 110°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 70°
б) ∢𝐵𝐵 = 120°,∢𝐵𝐵 = 80°,∢𝐷𝐷 = 60°,∢𝐵𝐵 = 100°
13 90°, 30°, 90°
14 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105°
15 а) 𝑆𝑆 = 100 cm2 ; б) 𝑃𝑃 = 25,4 cm
16 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 1 cm
Раздел 10 Еднаквости в равнината
10.1 Еднаквости в равнината
1 а) да; б) да; г) не, фигурите не са с еднакви размери
2 а) транслация, отражение, ротация; б) транслация, ротация, отражение;
в) отражение, транслация, ротация
3 а) т. U, т. P; б) NI ≅ SU
4 а) ∆LKJ б) ∆CAB в) ∆DFE
5 a = 10m; b = 42; c = 11; d = 4m; x = 20
Page 28
10.3 Ротация
5 т. A
6 а) т. R б) SE в) т. Q г) т. Q
8 а) 270° б) 15427
9 а) 280°
10.6 Обобщение
1 а) да б) да в) не
2 а) Q →Q’ б) QR ≅ Q’R’; RS ≅ R’S’; SP ≅ S’P’; PQ ≅ P’Q’
3 а) ротация; б) отражение; в) транслация
5 y = 10; z = 3; q = 5
6 1 блок на запад и 7 блока на север
13 а) H б) EH в) EH г) H
14 32 cm2
16 а) 11,25° б) 15 в) 168,75°
18 x1 = x, y1 = -y; x2 = -x, y2 = y
19 Да, ъгълът на ротация на композиция от две ротации е сумата на ъглите от двете
ротации.
20 ρ (O, ±90o), ρ (O, ±180o)
22 а), б), в) пресечната точка на диагоналите
Раздел 11 Годишен преговор
11.3 Триъгълник и трапец
12 60о, 120о
11.4 Квадратен корен
1 б
2 г
3 г
4 б
5 в
Page 29
6 а) -1; б) -3,1; в) −15√3; г) −10√2; д) 11−2√2 + √6; е) 12−4√3 + √10
7 а) √3 + √2; б) 7−3√21 + 4√2
8 а) 2𝑥𝑥; б) 2𝑦𝑦 + 2�𝑥𝑥2−𝑦𝑦2
9 а) √3 − 1; б) √5 − √3; в) √10 − √5; г) √3 − √2 + 1
11.5 Квадратно уравнение
1 а) 0;4 б) 2; −13; в) �5;− 3; г) няма реални корени
2 а) ±√6 ; ±2 б) 1; -3; -1±√3
3 𝑘𝑘 > − 116
4 а) 3; −43 б) 2; −21
4; в) -8;2
5 а) −32
;−7 б) -3; в) 32; г) 67
6 а) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 15 б) 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 10 в) 8𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1
11.6 Окръжност
1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 13 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 15 cm
2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 14 cm
3 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 100°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 120°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 140°;
б) ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 100°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120° и ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 140°
в)∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐷𝐷 = 50° ;
г) ∢𝐴𝐴 = 80°,∢𝑂𝑂 = 40°,∢𝑃𝑃 = 60°
4 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 90°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 90°;
б)∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105° равнобедрен трапец;
в)∢𝐴𝐴 = 60°,∢𝑂𝑂 = ∢𝑄𝑄 = 90°,∢𝑃𝑃 = 120° и може да се впише в окръжност.
6 10°, 70°, 60°
11.7 Рационални изрази
1 а) 𝑥𝑥+62𝑥𝑥+3
, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −32; б) 5−𝑥𝑥
𝑥𝑥−3, 𝑥𝑥 ≠ ±3
2 а) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥+1
, 𝑥𝑥 ≠ −8, 𝑥𝑥 ≠ 1; б) 𝑥𝑥𝑥𝑥−7
, 𝑥𝑥 ≠ ±7
4 а) 4; б)−56
6 а) 𝑥𝑥 = 2; б) 𝑥𝑥 = −2; в) 𝑥𝑥 = 4,2; г) 𝑥𝑥 = 2
Page 30
7 а) 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = −14; б) 𝑥𝑥1,2 = −3±3√5
2 и 𝑥𝑥3,4 = −3±√21
2
8 а) 1700 m; б) 7:10
9 а) по 6 здачи; б) 18 задачи
11.8 Вписани и описани многоъгълници
1 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 120° , ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐷𝐷 = 50° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 160°
2 30°
3 2 cm
4 а) |𝑎𝑎 − 𝑐𝑐|; б) равностранен
5 24
6 а) 55°, 55°; б)110°, 35°, 35°; в)30°, 30°, 120°
7 а) 180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾
8 36°, 36°, 108°
9 30°, 60°, 90°
10 67,5°, 22,5°, 90°
11.9 Едноквости в равнината
3 а) H; в) BC; д) LM; ж) I
4 D
W
канал
P
W’
Образът на т. W спрямо оста (канала) е т. W’. Начертайте DW’. Кметствата трябва да
построят станцията в т. Р, където DW’ пресича оста (канала).