ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARIhbogm.meb.gov.tr/MTAO/3MatematikVeMeslekMatematigi/unite... · 2013. 2. 12. · 1. Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki

9. ÜNİTE

ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

KONULAR

DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı

2. Euclides (öklit) Bağıntısı

3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler ve Meslekî Uygulamaları

DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR1. 300, 450 ve 600 lik Açıların Trigonometrik Değerleri

2. Trigonometrik Oranlarla ilgili Meslekî Uygulamaları

ÇOKGENLER VE TÜRLERİ1. Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki ilişkiler

2. Paralel kenarın. Eşkenar Dörtgenin, Dikdörtgenin, Karenin, Yamuğun ve Deltoidin özelikleri. Çevre, Alan Hesapları ve Meslekî Uygulamaları

3. Çember ve Çember Parçasının Çevresi, Daire ve Daire Diliminin Alanı ve Meslekî Uygulamaları

4. Düzgün Beşgenin Çevresi, Alanı ve Meslekî Uygulamaları

5. Özet

6. Değerlendirme Soruları

BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ?

Bu bölümü çalıştığınızda;

Pisagor bağıntısını bilecek,

Öklit bağıntısını kavrayacak,

Trigonometri oranları kavrayarak bu bilgileri mesleğinizde kullanarak

Kare, dikdörtgen, paralelkenar, Yamuk, Deltoidin özelikleri. Çevre, Alan

Hesaplarını yapabilecek,

Çember ve Çember Parçasının Çevresi, Daire ve Daire Diliminin Alan

Hesaplarını yapabilecek,

Düzgün Beşgenin Çevresini ve Alanını hesaplayabilecek,

Düzgün Altıgenin Çevresini ve Alanını hesaplayabileceksiniz.

BU ÜNİTEYE NASIL ÇALIŞMALIYIZ?

Örnekleri dikkatle okuyunuz.

Örnek soruları kitaba bakmadan çözmeye çalışınız.

Anlamadan bir başka bölüme geçmeyiniz.

Ünitenin sonundaki testte kendinizi deneyiniz, başarısız iseniz başarısız

olduğunuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.

Bu konular ile ilgili Matematik kitaplarından yararlanabilirsiniz.

152

3. SINIF ELEKTRİK TESİSATÇILIĞIMATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ

9.1 DİK ÜÇGENLERDE GEOMETRİK BAĞINTILAR

9.1.1 Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı

Bir açısı dik olan üçgene, dik üçgen denir.

Not: Bir dik üçgende dik açının

karşısı hipotenüs olarak adlandırılır.

s ( A ) = 900 , c,b dik kenarlar,

a hipotenüs.

A açısı dik açı, kenar uzunlukları 3, 4, 5, birim uzunluk olan ABC dik üçgeni çizelim. Bu dik üçgenin kenarları üzerine, aşağıda olduğu gibi birer kare çizelim. Dik kenarların üzerine çizilen karelerin alanları toplamının, hipotenüs üzerine çizilen ka-renin alanına eşit olduğunu görürüz.

Üçgenin kenarları üzerine çizilen karelerin alanları:

a = 5 birim b = 4 birim c=3 birim

a2 = 5.5 b2 = 4.4 c2 = 3.3

a2=25 birimkaredir b2=16 birimkaredir c2=9 birim karedir

Böylece, 25 = 16 + 9 bulunur. Yani a2 = b2 + c2

Bu bağıntıya Pisagor Bağıntısı denir. Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluk-larının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

153


ÖRNEK:

Birdik üçgende dik kenarları 5 cm. ve 12 cm. dir. hipotenüsün uzunluğunu bu-lunuz?

a = 5 cm. b = 12 cm. c = ? cm.

c2 = a2 + b2

c2 = 52 + 122

c2 = 25 + 144 c2 = 169 c = 13 cm2

9.1.2 Euclides (Öklit) Bağıntısı

a = p + k

Yükseklik Bağıntısı

Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüsten ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

s(Â) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] dir.

s(AHB) = s(AHC) = 90° dir. (Çizimden)

s(ABC) = x ise s(BAH) = s(ACB) = 90°- x olur.

s(CAH) = 90° - ( 90°- x ) = 90°- 90° + x = x olur.

Buna Göre A.A.A. benzerlik kuralından,

Benzer üçgenlerde, eş açıların karşılarındaki kenarlar orantılıdır.

154


‘ni ele alalım.

= ise |HA2| = |HB|.|HC|

h2 = p . k

Dik Kenar Bağıntısı

Bir dik üçgende, dik kenarlarının her birinin uzunluğunu karesi, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

9.1.3 Dik Üçgenlerde Trigonometrik OranlarDik üçgenlerde açılar ve kenarlar ile ilgili bazı bağıntılar vardır. Dar açılar bi-

lindiğinde kenar uzunluklarının bir kısmının uzunluğu biliniyorsa, bazı bilinmeyen kenar uzunlukları hesaplanabilir.

ABC dik üçgeninde ‘θ açısının karşısındaki dik

kenar b, komşu dik kenarı a, hipotenüs c’ dir.

|HB| |HA|

|HA| |HC|

155


Dik üçgenlerde; bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenü-sünün uzunluğuna oranına, o dar açının sinüsü denir.

Dik üçgenlerde; bir açının bitişiğindeki( komşu ) dik kenar uzunluğunun hipo-tenüsün uzunluğuna oranına, o dar açının sinüsü denir.

Dik üçgenlerde; bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun bitişiğinde-ki ( komşu ) dik kenar uzunluğuna oranına, o dar açının tanjantı denir.

Dik üçgenlerde; bir dar açının bitişiğindeki ( komşu ) dik kenar uzunluğunun oranına, o dar açının kotanjantı denir.

156


ÖRNEKLER:

1) Aşağıdaki üçgende cotθ , tanθ ve X değerlerini bulalım.

52 = 42 + X2 t 25 = 16 + X2

25 - 16 = X2 9 = X2

X = 3

2) Aşağıdaki üçgende cosθ, sinθ ve X değerlerini bulalım.

A

C B •

x

θ

4 5

A

C B •

8

θ

6 X

157


300 ve 600 ‘ lik açıların trigonometrik değerleri

AHC dik üçgeninde

Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.

450 lik açının trigonometrik değerleri

158


ÖRNEKLER:

Trigonometrik oranlarla ilgili mesleki uygulamalar

ÖRNEKLER:

Yanda bir elektrik direği görülmekte

dir. Bu direğin lambasını değiştirmek

amacıyla 10m boyunda bir merdiven

direğe dayanıyor. Merdiven yerle 300 lik

bir açı yaptığına göre, direğin boyu ne

kadardır?

9.2 ÇOKGENLER VE TÜRLERİ

9.2.1 Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki İlişkiler

Bir doğru üzerinde bulunmayan, T den daha fazla noktanın birleştirilmesiyle meydana gelen doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir.

Kısaca çokgen; en az üç kenarlı olan şekillerdir. Üçgeni daha önce gördünüz, şimdi dörtgenleri, beşgenleri ve altıgenleri göreceksiniz.

Bütün kenarları ve açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Eşkenar dörtgen, kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen gibi...

10m

A

159


Çokgenlerin iç açılarının toplamı

Çokgenlerinin kenar sayısına “n” dersek, bu takdirde iç açılarının toplamını;

( n - 2) x 180 formülü ile hesaplarız.

ÖRNEKLER:

Üçgenin iç açıları toplamı :

( n - 2) x 180 = ( 3 - 2) x 180 = 1 x 180 = 180 derece bulunur.

Dörtgenlerin iç açıları toplamı:


Beşgenlerin iç açıları toplamı:

( n - 2) x 180 = ( 5 - 2) x 180 =3 x 180 = 540 derece bulunur.

Altıgenlerin iç açıları toplamı:


9.2.1.1 ÜçgenÜçgenin çevresi; Üç kenar uzunluğunun toplamıdır. Ç = a + b + c

Üçgenin alanı bulunurken bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik çar-pılır. Çarpım ikiye bölünür.

A =

h

C B

A

H

a

axh2

160


ÖRNEK:

b2 = a2 + c2 b2 = 42 + 32 b2 = 16+9

b2 = 25 b = 5 cm

A = A = A =

A = 6cm2

Çevre= a + b + c Ç= 3 + 4 + 5

Ç = 12cm

9.2.1.2 Paralel KenarKarşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar

denir.

Paralelkenarın Çevresi

Kısa kenarı ile uzun kenarı toplamının iki katına eşittir.

Ç = 2 ( a + b )

Paralelkenarın Alanı

Bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

A = a x ha veya A = b x hb

ÖRNEK:

Bir paralelkenarın uzun kenarı 8 cm. ve bu kenara ait yükseklik 5 cm. dir. Bu paralelkenarın alanını bulunuz ?

a=8 cm. ha = 5 cm.

A= a . ha A = 8 . 5 = 40 cm2 dir.

h

C B

A

c

a

b

axh2

3x42

122

161


9.2.1.3 Eşkenar DörtgenDört kenar uzunlukları birbirine eşit ve karşılıklı açılarının ölçümü eşit olan

dörtgene eşkenar dörtgen denir.

|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a

e ⊥ fKöşegenler birbirine diktir.

Eşkenar Dörtgenin Çevresi: Bir kenarı 4 ile çarpılır.

Ç = 4 . a

Eşkenar Dörtgenin Alanı

1) Köşegenleri verilmiş ise:

Köşegen uzunlukları çarpılır, ikiye bölünür. A=

2) Bir kenarı ve bu kenara ait yükseklik verilmiş ise: Paralelkenar gibi bu kenar ile bu kenara ait yükseklik çarpılır.

A=a.ha

ÖRNEK:

Köşegen uzunlukları 6 ve 10 cm. olan eşkenar dörtgenin alanı bulunuz.

e= 6 cm. f= 10 cm.

A= A= = = 30

9.2.1.4 DikdörtgenKarşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel, açıları 90° olan dörtgenlere dikdört-

gen denir.

Bir dikdörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Birbirlerini ortalarlar.

exf2

exf2

6x102

602

162


Dikdörtgenin Çevresi:

Kısa kenarı ile uzun kenarı toplanır, iki katı alınır.

Ç= a+b+c+d a = c ve b = d olduğundan Ç= 2a+2b = 2(a+b)

ÖRNEK:

Kısa kenarı 7 cm. ve uzun kenarı 11 cm olan dikdörtgenin çevresini hesaplayı-nız?

Ç= 2( a+b ) = 2 ( 7+11 ) = 2 . 18 = 36 cm. dir.

Dikdörtgenin Alanı :

Kısa kenarı ile uzun kenarı çarpılır.

A = a . b

ÖRNEK:

Kısa kenarı 5 cm ve uzun kenarı 9 cm olan dikdörtgenin alanını hesaplayınız?

A = a.b = 5.9 = 45 cm2

9.2.1.5 KareKenarları birbirine eşit ve açıları 900 olan dörtgene kare denir.

Köşegenleri eşit ve dik olarak birbirini ortalar, köşegenler açıortaydır.

Karenin Çevresi:

Karenin dört kenarı da birbirine eşit olduğundan C=4.a olur.

ÖRNEK:

Bir kenarı 35 cm. olan kare biçimindeki bir elektrik panosunun çevresi kaç cm dir?

Ç = 4.a = 4. 35 = 140 cm.

163


Karenin Alanı:

Bir kenarının karesine eşittir. A= a2

ÖRNEK:

Bir kenarı 35 cm. olan bir elektrik panosunun alanı kaç cm2dir?

A = a2 = 352 = 1225 cm2

9.2.1.6 YamukYalnız karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere yamuk denir.

Yamuğun Çevresi:

Ç= a + b + c + d

Yamuğun Alanı:

Alt ve üst tabanları

(paralel kenarları) toplamının,

yükseklik ile çarpımının yarısına

eşittir

9.2.1.7 DeltoidTabanları eşit olan iki ikizkenar üçgenin, tepe noktaları farklı kalacak şekilde eş

tabanların çakıştırılması ile oluşan dörtgene deltoid denir.

|AB| = |BC| |AD| = |DC| e ⊥ fDeltoidin Çevresi:

Ç = a + b + c + d

Deltoidin alanı:

Eşkenar dörtgen gibi, Köşegen uzunlukları

çarpılır, ikiye bölünür.

A =

9.2.1.8 Düzgün BeşgenBeş kenarı da birbirine eşit olan beşgenlere düzgün beşgen denir.

5 kenarı, 5 köşesi, 5 açısı vardır. İç açıları toplamı 5400 dir. Bir açının ölçümü 1080 dir.

exf2

164


Düzgün Beşgenin Çevresi:

Ç=5.a

Düzgün Beşgenin Alanı:

A = 5 .

|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EA| = a

ÖRNEK:

Aşağıdaki düzgün beşgende, |AB| =8cm, |OH| = 6cm olduğuna göre düzgün beşgenin çevresini ve alanını bulunuz?

Ç = 5.a = 5 . 8 = 40 cm

A = 5 . = 5 . = 5 .

A = 5.24 = 120 cm2

9.2.1.9 Düzgün AltıgenAltı kenarı da birbirine eşit olan altıgenlere düzgün altıgen denir.

6 kenarı, 6 köşesi, 6 açısı vardır. iç açıları toplamı 7200 dir. Bir açısının değeri 1200 dir.

Düzgün Altıgenin Çevresi:

Ç=6.a

Düzgün Altıgenin Alanı:

A = 6 .

|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FA| = a

axh2

axh2

8x62

482

axh2

165


9.3 ÇEMBER VE DAİRE

9.3.1 ÇemberBir O noktasından r kadar uzaklıktaki noktaların birleşim kümesine çember

denir.

|OA| = r (yarıçap)

|BA| = R = 2r (çap)

O noktasına çemberin merkezi, r ye çemberin yarıçapı, çemberin üzerindeki iki noktayı birleştiren doğruya kiriş, merkezden geçen kirişe çap denir.

Çemberin Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Çember düzlemi iki bölgeye ayırır.

1) Çemberin iç bölgesi

(O noktası çemberin iç bölgesindedir.)

2) Çemberin dış bölgesi

(B noktası çemberin dış bölgesidir)

9.3.2 Daire

Çemberin iç bölgesi ile çemberin kendisinin birleşimine daire denir.

Dairenin Çevresi

Herhangi bir Dairenin Çevresini çapına böldüğümüzde 3,14... gibi bir sayı bu-lunur. Bu sayı bütün dairelerde aynı işlem yapıldığında aynı çıkmaktadır. Bu sayıya matematikte Pi sayısı denir ve ( π ) işareti ile gösterilir.

Ç = 2r . π

166


Dairenin Alanı

Yarıçapın karesi ile π sayısı çarpılır.

A = π. r2

Elektrik tesisatçılığında kullanılan iletkenlerin kesitleri genellikle daire şeklin-dedir. İletkenin kesiti denince, o kesitteki dairenin alanı anlaşılır. (r iletkenin yarıçapı)

ÖRNEK:

Yarıçapı 10 cm olan dairenin çevresini ve alanını bulunuz?

r = 10 cm Ç= 2r.π Ç = 2.10.3.14 Ç = 62,8cm

π = 3,14 A=π.r2 A=3,14.102 A=314 cm2

9.4 PARALEL KENARIN, EŞKENAR DÖRTGENİN, DİKDÖRTGENİN, KARENİN, YAMUĞUN, DAİRENİN VE DELTOİDİN ÇEVRE, ALAN HESAPLARI VE MESLEKİ UYGULAMALARI

1) Bir düzgün beşgen ile düzgün altıgenin çevreleri ölçümü eşittir. Düzgün beşgenin bir kenarı 18 cm olduğuna göre düzgün altıgenin bir kenarı kaç cm. dir?

Ç = 5 . a Ç = 5 . 18 Ç = 90 cm (Beşgenin çevresi)

Ç = 6 . a 90 = 6 . a a= 15 cm. (Beşgen ile altıgenin çevreleri eşit)

2) Aşağıda görüldüğü gibi dikdörtgen şeklindeki bir odanın tavanının tam orta noktasına bir hat çekilecektir. A köşesinden O noktasına kaç metre iletken gi-der?

OKA Dik üçgeninde:

|OK| uzunluğu 3 m. ve |AK| uzunluğu 4 m. dir. (Köşegenler birbirini orta nok-tada keser)

167


|OA2| = |AK2| + |OK2| (pisagor)

|OA2 | = 32 + 42

|OA2 | = 9 + 16

|OA2 | = 25

|OA | = 5 m

3) Bir kenarı 0,5 metre olan kare şeklindeki elektrik kumanda tablosunun alanı ne kadardır?

A = a2

A= 0,52

A= 0,25 m2 dir.

4) Boyu 840 mm. olan 5 ohm direncindeki bakır bir iletkenin kesiti kaç mm2 dir?

( ρ = 0,0178)

168


ÖZETPisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri topla-

mı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

Öklit’in Yükseklik Bağıntısı: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, yüksekliğin hipotenüsten ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

Öklit’in Dik Kenar Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarlarının her birinin uzun-luğunun karesi, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir.

Trigonometrik fonksiyonlardan; Sinüs, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant, Sekant, Ko-sekant ın nasıl hesaplandığını öğrendik.

30, 45 ve 60 derecelik açıların Trigonometrik oranlarını öğrendik.

Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki ilişkilerde; Paralel kenarın, Eşkenar Dörtgenin, Dikdörtgenin, Karenin, Yamuğun ve Deltoidin özelikleri, Çevre, Alan Hesaplarını öğrendik.

169


DEĞERLENDİRME SORULARI

1. Aşağıdakilerden hangisi trigonometrik oran değildir?

a. Sinüs b. Kelvinc. Kosinüs d. Tanjant

2. Aşağıdakilerden hangisi diğerlerinden farklıdır? (Kenar sayısı yönünden)

a. Üçgenb. Karec. Dikdörtgen d. Yamuk

3. Yarıçapı 10 cm. olan bir dairenin alanını bulunuz? (π = 3,14)

a. 31,28b. 312,8c. 62,56 d. 314

4. Yandaki şekilde görüldüğü gibi 5 metre uzunluğundaki bir merdiven ile bir elektrik direğinin tepesine ulaşılıyor. Merdiven ayağının direğe uzaklığı

3 metre olduğuna göre, direğin boyunu bulunuz?

a. 3b. 3,5c. 4,5 d. 4

5. Eni 3 metre olan bir dikdörtgenin alanı 15 m2 dir. Bu dikdörtgenin boyu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 4mb. 5mc. 7md. 12m

170


6. Alanı 36 m2 olan kare şeklindeki bir odanın bir kenarı boyunca iletken hat çekilecektir. Bu hat için kaç metre iletken gereklidir?

a. 6b. 9c. 18d. 24

7. Bir kablonun çapı mikrometre ile 2 mm. Olarak ölçülmüştür. Kesiti kaç mm2 dir? (π = 3 alınız)

a. 0,03b. 0,3c. 3d. 30

8. Uzun kenarı 40 cm, kısa kenarı 30 cm olan dikdörtgen saçtan yapılmış bir dağıtım tablosunun yüzeyi kaç santimetre karedir?

a. 120b. 1200c. 240d. 2400

9. Eni 4 m. Boyu 3m. olan dükkanımızın vitrinine cam takılacaktır. Camın m2 si 10 TL olduğuna göre vitrin camı kaç liraya takılır?

a. 120 TLb. 150 TLc. 180 TLd. 240 TL

10. Eşkenar dörtgen şeklinde bir halının köşegenleri 8m ve 6 m dir. Bu halının kapladığı alan kaç m2 dir?

a. 24b. 36c. 48d. 64

171


11. Bir paralelkenarın açılarından biri n, diğeri 2n dir. Bu paralelkenarın büyük açısı kaç derecedir?

a. 1800

b. 1200

c. 900

d. 600

12. Yandaki şekilde taralı bölgenin alanı 3 cm2 dir. Bu eşkenar dörtgenin küçük köşegeni 4 cm ise büyük köşegenini bulunuz?

a. 2b. 3c. 4d. 6

13. Çevresinin uzunluğu 19,2 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir odanın kısa kenarı uzun kenarının yarısı uzunluğundadır. Bu odanın uzun kenarı aşağıdakilerden hangisidir?

a. 3,6b. 4,8c. 6,4d. 7,6

14. Bir odanın aydınlatılmasında taban alanının 1 m2 si için 10 Watt gücünde lamba gereklidir. Eni 3 metre, boyu 5 metre olan bir oda için kaç Wattlık ampul gereklidir?

a. 60b. 75c. 100d. 150

ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARIhbogm.meb.gov.tr/MTAO/3MatematikVeMeslekMatematigi/unite... · 2013. 2. 12. · 1. Çokgenler ve Dörtgenlerin Elemanları Arasındaki

Documents