Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет “Фундаментальные науки” Кафедра “Высшая математика” Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 к.ф.-м.н. Меньшова И.В.
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”
Кафедра “Высшая математика”
Аналитическая геометрияМодуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Лекция 1.1
к.ф.-м.н. Меньшова И.В.
Матрицы
ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29
Матрицы
ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29
Матрицы
Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...
am1 am2 ... amn
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 3 / 29
Матрицы
Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...
am1 am2 ... amn
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 3 / 29
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .
Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.
Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
Матрицы
Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 4 / 29
Матрицы
Пример.
A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)
- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,
ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
Матрицы
Пример. A2×4 =
(−1 2 3 0
3 4 7 2
)- матрица A
имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7
расположен во второй строке и третьемстолбце.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 5 / 29
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
Виды матриц
ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.
ОпределениеКвадратная матрица размера n × n
называется матрицей n-ого порядка.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 6 / 29
Виды матриц
ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.
Например,a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
,
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 7 / 29
Виды матриц
ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.Например,a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
,
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 7 / 29
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.
ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 8 / 29
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.
ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 8 / 29
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.
Например, a11 a12 a130 a22 a230 0 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 9 / 29
Виды матриц
ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.Например, a11 a12 a13
0 a22 a230 0 a33
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 9 / 29
Виды матриц
ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.
ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 10 / 29
Виды матриц
ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.
ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 10 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:
1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;
2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;
3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 11 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.
Обозначение: A ∼ B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 12 / 29
Элементарные преобразования матриц
ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.Обозначение: A ∼ B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 12 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.
Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 13 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B
называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .
Обозначение: C = A + B , C = A− B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 14 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B
называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .Обозначение: C = A + B , C = A− B .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 14 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.
Обозначение: B = αA.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 15 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.Обозначение: B = αA.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 15 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.
Обозначение: −A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 16 / 29
Линейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.Обозначение: −A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 16 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:
1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;
2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;
3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;
4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;
5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;
6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;
7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;
8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 17 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 18 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 18 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеПроизведением двух согласованныхматриц Am×n = (aij) и Bn×k = (bij)
называется матрица Cm×k = (cij) = A · B ,каждый элемент которой равен суммепроизведений элементов i-ой строки матрицыA на соответствующие элементы j-ого столбцаматрицы B, т.е.
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 19 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример.
Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
),
B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)
Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.
В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):
A =
(1 3
1 2
), B =
(1 2 1
3 1 0
)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 20 / 29
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
Нелинейные операции над матрицами
A · B =
(1 3
1 2
)·(1 2 1
3 1 0
)=
=
(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0
)=
=
(10 5 1
7 4 1
).
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 21 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Матрицы B2×3 и A2×2 не являютсясогласованными, поэтому произведение B · Aне существует.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 22 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:
1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;
2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);
4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;
5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;
3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 23 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Определениеn-ой степенью матрицы A называется
матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).
Положим: A0 = E
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 24 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Определениеn-ой степенью матрицы A называется
матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).Положим: A0 = E
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 24 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.
Обозначение: AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 25 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.Обозначение: AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 25 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример.
Если A =
(3 9 −2−1 0 4
), то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Если A =
(3 9 −2−1 0 4
),
то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Пример. Если A =
(3 9 −2−1 0 4
), то
AT =
3 −19 0
−2 4
.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 26 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеОперация нахождения транспонированнойматрицы называется транспонированиемматрицы.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 27 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:
1. (AT )T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;
3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;
4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
Свойства операции транспонирования:1. (AT )
T= A;
2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 28 / 29
Нелинейные операции над матрицами
ОпределениеКвадратная матрица A называетсясимметрической, если она не изменяется врезультате транспонирования, т.е. AT = A.
АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 29 / 29