Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
xenos-algebra-a-lykeiou-1395www.ziti.gr
Το βιβλο αυτ εναι γραμμνο με βση την αναμορφωμνη κδοση του σχο- λικο βιβλου λγεβρας της Α τξης του Γενικο Λυκεου, που θα διδσκε-
ται απ το σχολικ τος 2010-2011. Εναι να σημαντικ βοθημα για τους μαθητς, αλλ και οι συνδελφοι κα- θηγητς θα βρουν πλοσιο υλικ για το ργο τους.
Κθε εντητα περιλαμβνει: Θεωρα, γραμμνη με κθε λεπτομρεια. Παραδεγματα και εφαρμογς για λες τις περιπτσεις. Ασκσεις Α και Β ομδας
Στο τλος κθε κεφαλαου δνονται: Ερωτσεις κατανησης (Σωστο-Λθους, πολλαπλς επιλογς, συμπλ-
ρωσης κενο, αντιστοχισης και σντομης απντησης) Γενικς ασκσεις, κυρως για μαθητς με αυξημνο ενδιαφρον για τα Μα-
θηματικ. Διιαγνισμμα με τσσερα αντιπροσωπευτικ θματα.
Τα κεφλαια που αναπτσσονται εναι: Εισαγωγικ κεφλαιο: Το λεξιλγιο της Λογικς – Σνολα. Κεφλαιο 1: Οι πραγματικο αριθμο (ιδιτητες πρξεων, διταξη, απλυ-
τη τιμ, ρζες) Κεφλαιο 2: Εξισσεις (Εξισσεις πρτου και δευτρου βαθμο, δινυμη
εξσωση). Κεφλαιο 3: Ανισσεις (Ανισσεις πρτου και δευτρου βαθμο, ανισ-
σεις γινμενο, ανισσεις πηλκο). Κεφλαιο 4: Βασικς ννοιες των συναρτσεων (Η ννοια της συνρτη-
σης, γραφικ παρσταση συνρτησης, μονοτονα και ακρ- τατα συνρτησης, ρτιες και περιττς συναρτσεις).
Π ρ λ ο γ ο ς
5¦òÞìïçï÷
Κεφλαιο 5: Μελτη των βασικν συναρτσεων
f(x) = αx2 , g x x a=^ h και h(x) = αx2 + βx + γ , α ≠ 0.
Κεφλαιο 6: Συστματα (γραμμικ 2×2, 3×3 και μη γραμμικ). Κεφλαιο 7: Τριγωνομετρα (τριγωνομετρικο αριθμο γωνας, τριγωνομε-
τρικς ταυττητες και αναγωγ στο 1ο τεταρτημριο)
Στο τλος του βιβλου γνεται μια επανληψη με λη τη θεωρα σε ερωτσεις και κατλληλα επιλεγμνες επαναληπτικς ασκσεις.
To βιβλο συνοδεεται απ CD, το οποο περιχει: Απαντσεις υποδεξεις για λες τις ερωτσεις και ασκσεις του παρντος
βιβλου. Λσεις των ασκσεων του σχολικο βιβλου.
Με ευχαρστηση θα δεχθ οποιαδποτε υπδειξη που θα μποροσε να συμβλ- λει στη βελτωση αυτο του βιβλου.
Ιονιος 2010 Θανσης Ξνος
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù 6
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1. Το Λεξιλγιο της Λογικς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ε2. Σνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικο Αριθμο 1.1. Οι πρξεις και οι ιδιτητς τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2. Διταξη πραγματικν αριθμν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3. Απλυτη τιμ πραγματικο αριθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.4. Ρζες πραγματικν αριθμν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ερωτσεις κατανησης 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Γενικς ασκσεις 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Διαγνισμα 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Εξισσεις 2.1. Εξισσεις 1ου Βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2. Η εξσωση xν = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.3. Εξισσεις 2ου Βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ερωτσεις κατανησης 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Γενικς ασκσεις 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Διαγνισμα 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισσεις 3.1. Ανισσεις 1ου βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2. Ανισσεις 2ου βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.3. Ανισσεις γινμενο & ανισσεις πηλκο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Ερωτσεις κατανησης 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Γενικς ασκσεις 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Διαγνισμα 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικς ννοιες των Συναρτσεων 4.1. Η ννοια της συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2. Γραφικ παρσταση συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Π ε ρ ι ε χ μ ε ν α
7 ¦åòéåøÞíåîá
4.3. Η Συνρτηση f (x) = αx+β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.4. Κατακρυφη και οριζντια μετατπιση καμπλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5. Μονοτονα – Ακρτατα – Συμμετρες συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Ερωτσεις κατανησης 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Γενικς ασκσεις 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Διαγνισμα 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελτη Βασικν Συναρτσεων 5.1. Μελτη της συνρτησης: f(x) = αx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.2. Μελτη της συνρτησης: f(x) = x
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.3. Μελτη της συνρτησης: f(x) = αx2+βx+γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Ερωτσεις κατανησης 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Γενικς ασκσεις 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Διαγνισμα 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Συστματα 6.1. Γραμμικ συστματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.2. Μη γραμμικ συστματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Ερωτσεις κατανησης 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Γενικς ασκσεις 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Διαγνισμα 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνομετρα 7.1. Τριγωνομετρικο αριθμο γωνας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2. Βασικς τριγωνομετρικς ταυττητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3. Αναγωγ στο 1ο τεταρτημριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Ερωτσεις κατανησης 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Γενικς ασκσεις 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Διαγνισμα 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ερωτσεις θεωρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Ασκσεις επανληψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù 8
Η συνεπαγωγ
Αν Ρ και Q εναι δο ισχυρισμο, τσι στε, αν αληθεει ο Ρ να αληθεει και ο Q, ττε λμε τι ο Ρ συνεπγεται τον Q και συμβολικ γρφουμε Ρ & Q.
Ο ισχυρισμς «Ρ & Q» ονομζεται συνεπαγωγ, ο Ρ ονομζεται υπθεση της συνεπαγωγς και ο Q συμπρασμα αυτς. Ο συμβολισμς Ρ & Q δια- βζεται επσης «αν Ρ, ττε Q».
συνεπαγωγ: Ρ & Q (υπθεση) (συμπρασμα)
Για παρδειγμα, χουμε 1) x = 2 & x2 = 4 2) α = β & α2 = β2
3) α = β & αν = βν
Αν αληθεει η συνεπαγωγ «Ρ & Q», ττε αληθεει και η συνεπαγωγ «χι Q & χι Ρ», που εναι γνωστ ως νμος της αντιθετοαντιστροφς. Πργ- ματι, αν δεν αληθεει ο ισχυρισμς Q, ττε δεν μπορε να αληθεει και ο Ρ.
Εισαγωγικ Κεφλαιο
Η ισοδυναμα διπλ συνεπαγωγ
Αν αληθεουν συγχρνως οι συνεπαγωγς
Ρ & Q και Q & Ρ ,
ττε λμε τι ο Ρ εναι ισοδναμος με τον Q και συμβολικ γρφουμε Ρ + Q. Ο ισχυρισμς «Ρ + Q» ονομζεται ισοδυναμα και διαβζουμε «Ρ ισοδυναμε Q» «Ρ αν και μνο αν Q».
Ρ + Q σημανει Ρ & Q και Q & P
Αν ισχει μια συνεπαγωγ Ρ & Q, δε σημανει τι ισχει και η αντστροφη συ- νεπαγωγ Q & Ρ.
Για παρδειγμα, εν ισχει η συνεπαγωγ α = β & α2 = β2 , αν χουμε α2 = β2, ττε δε σημανει απαρατητα τι α = β, αφο μπορε να ε- ναι α = –β.
Χαρακτηριστικ παραδεγματα ισοδυναμιν εναι τα παρακτω. 1) α = β + α + γ = β + γ
2) ⇔a b a b= =
3) α2 = β2 + α = β α = –β
4) α3 = β3 + α = β
5) να τργωνο ΑΒΓ εναι ισπλευρο, αν και μνο αν οι γωνες του εναι σες.
Διζευξη και σζευξη ισχυρισμν
Αν αληθεει νας τουλχιστον απ τους ισχυρισμος Ρ και Q, ττε λμε τι αληθεει ο ισχυρισμς «Ρ Q», που λγεται διζευξη των Ρ και Q.
Ττοια παραδεγματα εναι τα εξς: 1) α β = 0 + α = 0 β = 0 2) x2 = 4 + x = 2 x = –2 3) α2 + β2 > 0 + α ≠ 0 β ≠ 0 4) x2 = x + x2 – x = 0 + x(x – 1) = 0 + x = 0 x = 1.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ¶éóáçöçéëÞ ºåæÀìáéï 10
Αν αληθεουν συγχρνως δο ισχυρισμο Ρ και Q, ττε λμε τι αληθεει ο ισχυρισμς «Ρ και Q», που λγεται σζευξη των Ρ και Q.
Ττοια παραδεγματα εναι τα εξς: 1) α β ≠ 0 + α ≠ 0 και β ≠ 0 2) α2 + β2 = 0 + α = 0 και β = 0 3) α2 ≠ β2 + α ≠ β και α ≠ –β 4) x2 = 1 και x > 0 + x = 1 5) α2 = β2 και αβ ≥ 0 + α = β
Η ρνηση του ισχυρισμο «Ρ Q» εναι ο ισχυρισμς «χι Ρ και χι Q», εν η ρνηση του ισχυρισμο «Ρ και Q» εναι ο ισχυρισμς «χι Ρ χι Q».
Για παρδειγμα, ο ισχυρισμς αβ = 0 σημανει α = 0 β = 0, εν ο ισχυρι- σμς αβ ≠ 0 σημανει α ≠ 0 και β ≠ 0.
Ερωτσεις κατανησης
1. Χαρακτρισε με Σ (Σωστ) Λ (Λθος) καθεμι απ τις παρακτω συνε- παγωγς και ισοδυναμες.
α) x2 = 0 + x = 0
β) x2 = 9 + x = 3
γ) α2 = β2 & α = β
δ) α = β & α3 = β3
ε) αβ ≠ 0 + α ≠ 0 β ≠ 0
στ) α2 + β2 = 0 + α = 0 β = 0
ζ) (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 + x = 1 x = 2 x = 3
η) α < 1 & α2 < 1
θ) (α – 1)2 > 0 + α > 1
ι) x < 1 και y < 1 & xy < 1
ια) x2 < 1 + x < 1
ιβ) x2 = 2x + x = 0 x = 2
ιγ) x2 ≠ 3x & x ≠ 3
¶.1. Æï ìåêéìÞçéï ôè÷ ¤ïçéëÜ÷ 11
2. Απ τις συνεπαγωγς Ρ & Q και Q & R, προκπτει η συνεπαγωγ Ρ & R;
3. Γρψε την ρνηση για καθεμι απ τις ακλουθες προτσεις. α) x ≠ 2 και y ≠ 3 ............................................................................................ β) x = 1 y = 3 ................................................................................................ γ) α > 0 β > 0 ................................................................................................ δ) α ≥ 0 και β ≤ 0. ...........................................................................................
4. Εξγησε γιατ ισχουν οι παρακτω συνεπαγωγς και ισοδυναμες. α) α > 2 & α + 1 > 2 β) α2 = β2 και αβ ≤ 0 + α = –β γ) α = φυσικς αριθμς & α = ακραιος αριθμς δ) (α – 2)2 + (β + 1)2 ≠ 0 + α ≠ 2 β ≠ –1.
5. Βρες λες τις ισοδυναμες που υπρχουν ανμεσα σ’ ναν ισχυρισμ του πνακα Α και σ’ ναν ισχυρισμ του πνακα Β.
Πνακας Α
α) x2 – x = 0 β) x2 ≠ x γ) α2 = 1 και α < 0 δ) x2 = 4 και x(x–2) = 0 ε) (x–1)2 > 0
Πνακας Β
4) α = –1
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ¶éóáçöçéëÞ ºåæÀìáéï 12
= -
ii) Αν α = 0 και β ≠ 0, η εξσωση εναι αδνατη (δεν χει καμι λση). iii) Αν α = 0 και β = 0, η εξσωση επαληθεεται για κθε πραγματικ
αριθμ x (εναι ταυττητα αριστη).
Αν στην εξσωση αx + β = 0 οι συντελεστς α και β δεν εναι συγκεκριμ- νοι αριθμο, αλλ γρμματα, ττε η εξσωση αυτ ονομζεται παραμετρικ και τα γρμματα ονομζονται παρμετροι. Η διαδικασα για την ερεση του πλθους των ριζν της εξσωσης, ονομζεται διερενηση.
Για παρδειγμα, ας θεωρσουμε την εξσωση
λ2(x – 2) – 3λ = x + 1, λŒ® με παρμετρο λ.
Η εξσωση γρφεται
λ2x – 2λ2 – 3λ = x + 1 + λ2x – x = 2λ2 + 3λ + 1 + x(λ2 –1) = 2λ2 + 3λ + 1 + x(λ – 1)(λ + 1) = 2λ2 + 3λ + 1.
Αν λ ≠ 1 και λ ≠ –1, η εξσωση χει ακριβς μια λση, την
x 1 1 2 3 1
1 1 2 2 1
1 1 2 1 1
l l l l
l l l l l2 2
= - + + +
= - + + + +
= - + + + +
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
h h h h
1 2 1
h h h h
Αν λ = 1, η εξσωση γρφεται 0x = 6 και εναι αδνατη. Αν λ = –1, η εξσωση γρφεται 0x = 0 και εναι ταυττητα.
2.1 Εξισσεις 1ου βαθμο
Πολλς εξισσεις, με κατλληλη διαδικασα, ανγονται σε εξισσεις 1ου βαθμο.
Οι εξισσεις με βαθμ ν ≥ 2 λνονται με παραγοντοποηση του 1ου μ- λους και χρση της ιδιτητας
α · β = 0 + α = 0 β = 0. Για παρδειγμα, η εξσωση x3 = 9x γρφεται x3 – 9x = 0 + x(x2 – 9) = 0 + x(x – 3)(x + 3) = 0 + x = 0 x = 3 x = –3.
Μια κλασματικ εξσωση λνεται με απαλοιφ παρονομαστν, αφο γ- νουν και οι απαιτομενοι περιορισμο.
Για παρδειγμα, θα λσουμε την εξσωση
,x x x x
1 3
- +^ ^h h
και ορζεται ταν x ≠ 1 και x ≠ –1. To E.K.Π. των παρονομαστν εναι (x – 1)(x + 1), οπτε η εξσωση γρ-
φεται
. . .x x x x x x x x x x x1 1 1
3 1 1 1 2 1 1 1 1
52 - + + - - + - = - +
- + -^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h
+ 3(x – 1) – 2(x + 1) = x2 – 5 + 3x – 3 – 2x – 2 = x2 – 5 + x = x2 + x – x2 = 0 + x(1 – x) = 0 + x = 0 x = 1. Αλλ, η λση x = 1 απορρπτεται. ρα, η εξσωση χει λση μνο την x = 0.
Για να λσουμε μια εξσωση της μορφς |f(x)| = |g(x)|, που f(x), g(x) παραστσεις με τον γνωστο x, εφαρμζουμε την ιδιτητα
|α| = |β| + α = β α = –β. Για παρδειγμα, η εξσωση |3x – 5| = |2x + 1| γρφεται
3x – 5 = 2x + 1 3x – 5 = –2x – 1
+ 3x – 2x = 5 + 1 3x + 2x = 5 – 1
+ x = 6 .x 5 4
=
Με τον διο τρπο μπορε να λυθε και μια εξσωση της μορφς |f(x)| = g(x), με τον περιορισμ g(x) ≥ 0.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 100
Σχλιο:
ταν ζητεται η επλυση μιας εξσωσης με γνωστο τον x, δε σημανει τι η εξσωση αυτ εναι μια ιστητα που αληθεει, αλλ ζητμε να βρομε τον γνωστο x, στε να αληθεει η ιστητα.
Γι’ αυτ, η επλυση μιας εξσωσης αποτελεται απ ισοδναμα βματα και επομνως ο σωστς συμβολισμς ανμεσα στα διαδοχικ βματα εναι «+» και χι «&».
Φυσικ, το διο συμβανει και με την επλυση ανισσεων και συστημτων.
Παραδεγματα και εφαρμογς
1 .
Να λυθε η εξσωση λ2(λx – 1) – 4λ(x + 1) = 4, για τις διφορες πραγματικς τιμς της παραμτρου λ.
Λση:
Η εξσωση γρφεται:
λ3x – λ2 – 4λx – 4λ = 4 + λ3x – 4λx = λ2 + 4λ + 4 + λx(λ2 – 4) = (λ + 2)2 + λ(λ – 2)(λ + 2)x = (λ + 2)2
W Αν λ ≠ 0, λ ≠ 2 και λ ≠ –2, η εξσωση χει ακριβς μια λση, την
2 2
2 2
^h h h
h W Αν λ = 0, η εξσωση γρφεται 0x = 4 και εναι αδνατη. W Αν λ = 2, η εξσωση γρφεται 0x = 16 και εναι αδνατη. W Αν λ = –2, η εξσωση γρφεται 0x = 0 και εναι ταυττητα.
2 .
x x 3
x 3 l ,
Λση:
. . .x x
1 6 6 3 2 3 6 2
l m l l m l+
- + = - - + = -^ h
+ 2λx – 2μ + 3x = 6λ – 2x + 2λx + 3x + 2x = 2μ + 6λ
+ 2λx + 5x = 2μ + 6λ + (2λ + 5)x = 2μ + 6λ (1)
W Η (1) χει ακριβς μια λση, ταν 2λ + 5 ≠0, δηλαδ .≠ 2 5
l -
Η λση της ττε εναι η 2 5 2 6
.x l m l
= + +
W Η (1) εναι αδνατη, ταν 2λ + 5 = 0 και 2μ + 6λ ≠ 0, δηλαδ
2 5
0m+ -b l
l =- και .≠ 2 15
m
W Η (1) εναι ταυττητα, ταν 2λ + 5 = 0 και 2μ + 6λ = 0, δηλαδ
2 5
Να λυθον οι εξισσεις:
α) x3 – x2 = x – 1 β) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 γ) (x2 – 4)2 = (x2 + 4x + 4)(5x + 4)
Λση:
Μεταφρουμε λους τους ρους στο 1ο μλος και κνουμε παραγοντοποηση.
α) x3 – x2 – x + 1 = 0 + x2(x – 1) – (x – 1) = 0 + (x – 1) (x2 – 1) = 0
+ (x – 1)2 (x + 1) = 0 + x = 1 x = –1.
β) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 + x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0 + (x – 3) (x2 – 4) = 0
+ (x – 3) (x – 2) (x + 2) = 0 + x = 3 x = 2 x = –2.
γ) [(x – 2)(x + 2)]2 = (x + 2)2 (5x + 4) + (x – 2)2 (x + 2)2 – (x + 2)2 (5x + 4) = 0
+ (x + 2)2 · [(x – 2)2 – (5x + 4)] = 0 + (x + 2)2(x2 – 4x + 4 – 5x – 4) = 0
+ (x + 2)2 (x2 – 9x) = 0 + (x + 2)2 · x(x – 9) = 0 + x = –2 x = 0 x = 9.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 102
4 .
α) x 4x 4
1 2
. .x x
=-
β) Κνουμε ομνυμα σε κθε παρονομαστ και απλ τα σνθετα κλσματα.
x x x
. .x x x x
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 6
+ - + + + - + - - - + - +
=^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h = 2(x – 3)(x + 3) + x(x – 3) + 3(x + 3) – 6x = 2(x2 – 9)
+ x2 – 3x + 3x + 9 – 6x = 2x2 – 18 + x2 + 9 – 6x – 2x2 + 18 = 0
+ –x2 – 6x + 27 = 0 + x2 + 6x – 27 = 0
Η τελευταα εξσωση χει διακρνουσα Δ = β2 – 4αγ = 36 + 108 = 144
και λσεις x 2 6 12
31 = - +
92 = -
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 103
5 .
Να λυθον οι εξισσεις:
α) |3x – 2| = 1 β) |2x – 1| = 3x – 7 γ) 2|x + 3| – 5|x – 1| = 0 και
δ) |2 – |x + 1|| = |x|.
Λση:
=
β) Για να χει λση η εξσωση αυτ, πρπει 3x – 7 ≥ 0, δηλαδ .≥x 3 7
Με τον περιορισμ αυτ χουμε:
2x – 1 = 3x – 7 2x – 1 = –3x + 7
+ 2x – 3x = 1 – 7 2x + 3x = –1 + 7 + x = 6 .x 5 6=
Απ τις λσεις αυτς μνο η x = 6 εναι δεκτ, γιατ μνο αυτ ικανοποιε
τον περιορισμ .≥x 3 7
γ) 2|x + 3| = 5|x – 1| + 2(x + 3) = 5(x – 1) 2(x + 3) = –5(x – 1)
+ 2x + 6 = 5x – 5 2x + 6 = –5x + 5 + x 3 11= 1- .x = 7
δ) |2 – |x + 1|| = |x| + 2–|x + 1| = x 2 – |x + 1| = –x
+ |x + 1| = 2 – x (1) |x + 1| = 2 + x (2)
Η (1) χει λση ταν 2 – x ≥ 0, δηλαδ x ≤ 2. Ττε χουμε:
(1) + x + 1 = 2 – x x + 1 = –2 + x + x 2 1
= 1 = –2 (αδνατη).
Η (2) χει λση ταν 2 + x ≥ 0, δηλαδ x ≥ –2. Ττε χουμε:
(2) + x + 1 = 2 – x x + 1 = –2 – x + 1 = 2 (αδνατη) .x 2 3=-
ρα, η εξσωση χει λσεις τις x 2 1
1 = και .x 2 3
2 =-
6 .
Να λυθε η εξσωση |x + 2| – 2|x – 1| = 1.
Λση:
(Θα εργαστομε πως στο παρδειγμα 5 της § 1.3).
Στο διπλαν πνακα δνεται το πρσημο των x + 2 και x – 1.
Αν x < –2, ττε
οπτε η εξσωση γρφεται
(–x – 2) – 2(–x + 1) = 1 + –x – 2 + 2x – 2 = 1 + x = 5
και η λση αυτ απορρπτεται, αφο εξαρχς πραμε x < –2.
Αν –2 ≤ x < 1, η εξσωση γρφεται
(x + 2) – 2(–x + 1) = 1 + x + 2 + 2x – 2 = 1 + x 3 1
= (δεκτ).
Αν x ≥ 1, η εξσωση γρφεται
(x + 2) – 2(x – 1) = 1 + x + 2 – 2x + 2 = 1 + x = 3 (δεκτ).
ρα, η εξσωση χει λσεις τους αριθμος 3 1
και 3.
Λση:
Η εξσωση ορζεται ταν x + 1 ≥ 0, δηλαδ x ≥ –1.
Η εξσωση ισοδναμα γρφεται:
x x1 16 3 6+ = +^ ^h h (υψνουμε στην κτη για να αποφγουμε και τις δο ρζες)
+ (x + 1)3 = (x + 1)2
+ (x + 1)3 – (x + 1)2 = 0 + (x + 1)2 [(x + 1) – 1] = 0
+ (x + 1)2 · x = 0 + x = –1 x = – 1 x = 0.
Και οι δο λσεις εναι δεκτς, αφο ικανοποιον τον περιορισμ x ≥ –1.
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 105
8 .
Σ’ να διαγωνισμ δθηκαν για απντηση 50 ερωτσεις. Κθε σωστ απ- ντηση βαθμολογεται με 4 μρια, εν για κθε λανθασμνη απντηση αφαι- ρεται μισ μριο. Αν νας εξεταζμενος χει συγκεντρσει 173 μρια, π- σες σωστς απαντσεις εχε;
Λση:
στω x το πλθος των σωστν απαντσεων, οπτε το πλθος των λανθασμ- νων απαντσεων εναι 50 – x. Απ τις σωστς απαντσεις συγκεντρνει 4 · x μρια, εν απ τις λανθα-
σμνες, αφαιρονται . x2 1 50-^ h μρια.
τσι, χουμε την εξσωση . ,x x4 2 1
50 173- - =^ h η οποα γρφεται
. . . .2 4 2 2 173 8 50 346 9 396 44.x x x x x x2 1
50 + ++- - = - + = = =^ h ρα, ο εξεταζμενος αυτς εχε 44 σωστς απαντσεις.
9 .
να αυτοκνητο κνει μια συγκεκριμνη διαδρομ με μση ταχτητα 100 km/h. να δετερο αυτοκνητο ξεκιν 15 λεπτ αργτερα για να κ- νει την δια διαδρομ με μση ταχτητα 120 km/h. Σε πση ρα το δετε- ρο αυτοκνητο θα φτσει το πρτο και σε πση απσταση απ το σημεο εκκνησης;
Λση:
στω τι ο ζητομενος χρνος εναι t ρες. Το 1ο αυτοκνητο κινεται t 4 1+
ρες (15 λεπτ = 4 1 της ρας).
Τα δο αυτοκνητα διανουν την δια απσταση και σμφωνα με τον τπο S = υt χουμε
. .t t t t t100 4 1 120 100 25 120 20 25+ ++ = + = =a k
t 4 5
Η απσταση του σημεου συνντησης απ το σημεο εκκνησης εναι
. .S km120 4 5 150= =
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 106
Ασκσεις Α’ ομδας
α. 9(8 – x) – 10(9 – x) – 4(x – 1) = 1 – 8x
β. x x x
- +
+ +
+ +
η. x x x x x5 4 2 1
1 2 2 1
θ. y y
y3 1 1
- + +^ bh l .
2. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παρμετρο λŒ®. α. λx + λ + 1 = –x δ. λ2(x – 2) = x – 2λ
β. (λ – 1)x = λ2 – 1 ε. 1 4 5x x
5 15 3 l l l l2+ =
- +
- +
γ. λx + 8x = 2(λ – 1)x + 10
3. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παραμτρους α και β.
α. αx + α = βx + β δ. 3 2
x x
= -
β. α2x – α = β2x – β ε. 0≠ x x a b a b ab- = - ^ h
γ. 0≠ x x
1a b ab+ = ^ h
α. x2 = 3x στ. 5(x2 – 2x + 1) = 4(x2 – 1)
β. x3 = x ζ. x3 + 2x = 0
γ. x3 + 3x2 + 2x = 0 η. x4 – 1 = 0
δ. x4 + 4x2 = 4x3 θ. x3 – 2x2 – x + 2 = 0
ε. (x – 2)2 = (1 – 2x)2 ι. (2x + 3)(x2 – 1) = (x + 1)(x2 – 1).
5. Να λυθον οι κλασματικς εξισσεις:
α. x x
x3 5
+ = + .
6. Να λυθον οι εξισσεις: α. |3x – 1| = 5 στ. x3 = 4|x|
β. |2x + 3| = |3 – x| ζ. ||x + 1| – 2| = 1
γ. x x
1 2 3
4 3 3 1
ε. 3|x – 1| = x – 3
7. Να βρεθε ο αριθμς του οποου το μισ, αυξημνο κατ 20, εναι κατ 40 μικρτερο απ το διπλσιο του αριθμο.
8. νας πατρας εναι μεγαλτερος απ το γι του κατ 30 χρνια και πριν 3 χρνια το θροισμα των ηλικιν τους ταν 32. Να βρεθον οι ηλικες τους.
9. Να χωρισθε ο αριθμς 317 σε δο προσθετους τσι, στε ο μεγαλτερος αν διαιρεθε με το μικρτερο, να δνει πηλκο 2 και υπλοιπο 68.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 108
10. Το θροισμα των ψηφων ενς διψφιου αριθμο εναι 14. Αν εναλλξου- με τη θση των ψηφων του, ττε προκπτει αριθμς κατ 18 μεγαλτερος. Να βρεθε ο αριθμς αυτς.
11. Το ψος ενς ορθογωνου εναι τα 3 2 της βσης. Αν αυξσουμε τη βση
κατ 1 cm, ττε η περμετρς του γνεται 22 cm. Να βρεθον οι διαστσεις του ορθογωνου.
12. Δανεστηκε κποιος 100.000 € απ δο τρπεζες α και β με επιτκια 8% και 9% αντστοιχα. Να βρεθον τα ποσ που δανεστηκε, αν γνωρζουμε τι σ’ να χρνο πλρωσε συνολικ τκο 8.600 €.
13. Να βρεθον δο αριθμο που διαφρουν κατ 2 και το θροισμα των αντι-
στρφων τους εναι .15 8
14. Πσο καθαρ οινπνευμα πρπει να προσθσουμε σ’ να λτρο οινπνευμα περιεκτικτητας 20%, στε να προυμε οινπνευμα περιεκτικτητας 40%;
15. νας εργτης τελεινει μνος του να συγκεκριμνο ργο σε 8 ρες. νας δετερος εργτης για το διο ργο αποδδει 25% λιγτερο απ τον πρτο. Αν εργαστον και οι δο μαζ, αλλ ο δετερος ξεκινσει να δουλεει μια ρα αργτερα απ τον πρτο, σε πσες ρες θα τελεισει το ργο;
16. να αυτοκνητο πηγανει απ την πλη Α στην πλη Β με ταχτητα 100 km/h. Επιστρφει αμσως απ την πλη Β στην πλη Α με ταχτητα 80 km/h και ο χρνος για τις δο διαδρομς εναι 9 ρες. Να βρεθε η απ- σταση των δο πλεων.
Ασκσεις Β’ ομδας
1. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παραμτρους λ, μ Œ®.
α. λ(λ2x – 1) + 2 = λx(5λ – 6)
β. (x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 = 3x(x2 – λ + 1)
γ. [(λ2 + 1) x + 1]2 = [(λ2 – 1) x – 1]2 + (2λx – 1)2
δ. (λ + x)(1 + μx) – λ(1 + μ) = λ2μ2 + μx2
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 109
ε. (x – λ)(2x – μ)2 = (x – μ)(2x – λ)2
στ. x x 1 m l
l 1 m
l l m
m+ = - (λμ ≠ 0)
2. Να βρεθον οι τιμς των παραμτρων α και β, στε η εξσωση
x
a b -
να αληθεει για κθε xŒ®.
3. Αν οι α, β, γ εναι διαφορετικο αν δο, να εξετασθε αν χει λσεις η εξ- σωση
. x x x
+ - -
4. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x3 – 3x2 + 2 = 0 β. x4 + x3 + x – 1 = 0 γ. x x= δ. |x| = x.
5. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x x x x8 1 1
6 1
8 1
02 1 1 2- + - + + + + = ε. x x
x x
x x
x x
2 1
03 2
7 6
6 5
7 3 4+ - += - - στ. . x x x
x x x x
6. Να λυθον οι εξισσεις:
α. |x| + |x – 1| = 3 ε. x x5 2 2 1- = -
β. |x2 – 1| + |x2 – 5x + 4| = 0 στ. x x1 12 + = +
γ. |x| + |x – 1| + |2x + 1| = 8 ζ. x x 2= -
δ. d(x, 1) – d(x, 2) = 1 η. 3x x2 1- = 1^ h .
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 110
7. Να βρεθε νας διψφιος αριθμς ττοιος στε, αν εναλλξουμε τα ψηφα του, οι δο αριθμο να χουν θροισμα να τετργωνο ακεραου.
8. Να αποδειχθε τι η εξσωση:
x x x x x x x x 2007
3 2008
2 2009
2 3 3
χει μοναδικ λση τον αριθμ 2010.
9. Να λυθον οι εξισσεις: α. λ|x| + 3x = 2 β. 2x + 3|x| = λx + 1, που λ πραγματικ παρμετρος.
10. Να βρεθε αριθμς, του οποου το τετργωνο εναι κατ 2 μεγαλτερο απ τον αντστροφ του.
11. Αν στο 3 1 ενς ακραιου αριθμο προστεθε ο αντστροφος του τετραγ-
νου του, προκπτει το .3 4 Να βρεθε ο αριθμς αυτς.
12. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x x x
a b a b
α. ( )
β. | |
x x
1 1
1 1
1 1
γ. |x2 + |x – 2|| = 4 ζ. x x x1 1+ - - =
δ. |x – 2| + ||x – 2| – 2| = 2 η. . x x x xx x
1 1 3
Το βιβλο αυτ εναι γραμμνο με βση την αναμορφωμνη κδοση του σχο- λικο βιβλου λγεβρας της Α τξης του Γενικο Λυκεου, που θα διδσκε-
ται απ το σχολικ τος 2010-2011. Εναι να σημαντικ βοθημα για τους μαθητς, αλλ και οι συνδελφοι κα- θηγητς θα βρουν πλοσιο υλικ για το ργο τους.
Κθε εντητα περιλαμβνει: Θεωρα, γραμμνη με κθε λεπτομρεια. Παραδεγματα και εφαρμογς για λες τις περιπτσεις. Ασκσεις Α και Β ομδας
Στο τλος κθε κεφαλαου δνονται: Ερωτσεις κατανησης (Σωστο-Λθους, πολλαπλς επιλογς, συμπλ-
ρωσης κενο, αντιστοχισης και σντομης απντησης) Γενικς ασκσεις, κυρως για μαθητς με αυξημνο ενδιαφρον για τα Μα-
θηματικ. Διιαγνισμμα με τσσερα αντιπροσωπευτικ θματα.
Τα κεφλαια που αναπτσσονται εναι: Εισαγωγικ κεφλαιο: Το λεξιλγιο της Λογικς – Σνολα. Κεφλαιο 1: Οι πραγματικο αριθμο (ιδιτητες πρξεων, διταξη, απλυ-
τη τιμ, ρζες) Κεφλαιο 2: Εξισσεις (Εξισσεις πρτου και δευτρου βαθμο, δινυμη
εξσωση). Κεφλαιο 3: Ανισσεις (Ανισσεις πρτου και δευτρου βαθμο, ανισ-
σεις γινμενο, ανισσεις πηλκο). Κεφλαιο 4: Βασικς ννοιες των συναρτσεων (Η ννοια της συνρτη-
σης, γραφικ παρσταση συνρτησης, μονοτονα και ακρ- τατα συνρτησης, ρτιες και περιττς συναρτσεις).
Π ρ λ ο γ ο ς
5¦òÞìïçï÷
Κεφλαιο 5: Μελτη των βασικν συναρτσεων
f(x) = αx2 , g x x a=^ h και h(x) = αx2 + βx + γ , α ≠ 0.
Κεφλαιο 6: Συστματα (γραμμικ 2×2, 3×3 και μη γραμμικ). Κεφλαιο 7: Τριγωνομετρα (τριγωνομετρικο αριθμο γωνας, τριγωνομε-
τρικς ταυττητες και αναγωγ στο 1ο τεταρτημριο)
Στο τλος του βιβλου γνεται μια επανληψη με λη τη θεωρα σε ερωτσεις και κατλληλα επιλεγμνες επαναληπτικς ασκσεις.
To βιβλο συνοδεεται απ CD, το οποο περιχει: Απαντσεις υποδεξεις για λες τις ερωτσεις και ασκσεις του παρντος
βιβλου. Λσεις των ασκσεων του σχολικο βιβλου.
Με ευχαρστηση θα δεχθ οποιαδποτε υπδειξη που θα μποροσε να συμβλ- λει στη βελτωση αυτο του βιβλου.
Ιονιος 2010 Θανσης Ξνος
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù 6
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1. Το Λεξιλγιο της Λογικς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ε2. Σνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικο Αριθμο 1.1. Οι πρξεις και οι ιδιτητς τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2. Διταξη πραγματικν αριθμν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3. Απλυτη τιμ πραγματικο αριθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.4. Ρζες πραγματικν αριθμν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ερωτσεις κατανησης 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Γενικς ασκσεις 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Διαγνισμα 1ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Εξισσεις 2.1. Εξισσεις 1ου Βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2. Η εξσωση xν = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.3. Εξισσεις 2ου Βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ερωτσεις κατανησης 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Γενικς ασκσεις 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Διαγνισμα 2ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισσεις 3.1. Ανισσεις 1ου βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2. Ανισσεις 2ου βαθμο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.3. Ανισσεις γινμενο & ανισσεις πηλκο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Ερωτσεις κατανησης 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Γενικς ασκσεις 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Διαγνισμα 3ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικς ννοιες των Συναρτσεων 4.1. Η ννοια της συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2. Γραφικ παρσταση συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Π ε ρ ι ε χ μ ε ν α
7 ¦åòéåøÞíåîá
4.3. Η Συνρτηση f (x) = αx+β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.4. Κατακρυφη και οριζντια μετατπιση καμπλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5. Μονοτονα – Ακρτατα – Συμμετρες συνρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Ερωτσεις κατανησης 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Γενικς ασκσεις 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Διαγνισμα 4ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελτη Βασικν Συναρτσεων 5.1. Μελτη της συνρτησης: f(x) = αx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.2. Μελτη της συνρτησης: f(x) = x
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.3. Μελτη της συνρτησης: f(x) = αx2+βx+γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Ερωτσεις κατανησης 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Γενικς ασκσεις 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Διαγνισμα 5ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Συστματα 6.1. Γραμμικ συστματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.2. Μη γραμμικ συστματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Ερωτσεις κατανησης 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Γενικς ασκσεις 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Διαγνισμα 6ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνομετρα 7.1. Τριγωνομετρικο αριθμο γωνας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2. Βασικς τριγωνομετρικς ταυττητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3. Αναγωγ στο 1ο τεταρτημριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Ερωτσεις κατανησης 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Γενικς ασκσεις 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Διαγνισμα 7ου κεφαλαου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ερωτσεις θεωρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Ασκσεις επανληψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù 8
Η συνεπαγωγ
Αν Ρ και Q εναι δο ισχυρισμο, τσι στε, αν αληθεει ο Ρ να αληθεει και ο Q, ττε λμε τι ο Ρ συνεπγεται τον Q και συμβολικ γρφουμε Ρ & Q.
Ο ισχυρισμς «Ρ & Q» ονομζεται συνεπαγωγ, ο Ρ ονομζεται υπθεση της συνεπαγωγς και ο Q συμπρασμα αυτς. Ο συμβολισμς Ρ & Q δια- βζεται επσης «αν Ρ, ττε Q».
συνεπαγωγ: Ρ & Q (υπθεση) (συμπρασμα)
Για παρδειγμα, χουμε 1) x = 2 & x2 = 4 2) α = β & α2 = β2
3) α = β & αν = βν
Αν αληθεει η συνεπαγωγ «Ρ & Q», ττε αληθεει και η συνεπαγωγ «χι Q & χι Ρ», που εναι γνωστ ως νμος της αντιθετοαντιστροφς. Πργ- ματι, αν δεν αληθεει ο ισχυρισμς Q, ττε δεν μπορε να αληθεει και ο Ρ.
Εισαγωγικ Κεφλαιο
Η ισοδυναμα διπλ συνεπαγωγ
Αν αληθεουν συγχρνως οι συνεπαγωγς
Ρ & Q και Q & Ρ ,
ττε λμε τι ο Ρ εναι ισοδναμος με τον Q και συμβολικ γρφουμε Ρ + Q. Ο ισχυρισμς «Ρ + Q» ονομζεται ισοδυναμα και διαβζουμε «Ρ ισοδυναμε Q» «Ρ αν και μνο αν Q».
Ρ + Q σημανει Ρ & Q και Q & P
Αν ισχει μια συνεπαγωγ Ρ & Q, δε σημανει τι ισχει και η αντστροφη συ- νεπαγωγ Q & Ρ.
Για παρδειγμα, εν ισχει η συνεπαγωγ α = β & α2 = β2 , αν χουμε α2 = β2, ττε δε σημανει απαρατητα τι α = β, αφο μπορε να ε- ναι α = –β.
Χαρακτηριστικ παραδεγματα ισοδυναμιν εναι τα παρακτω. 1) α = β + α + γ = β + γ
2) ⇔a b a b= =
3) α2 = β2 + α = β α = –β
4) α3 = β3 + α = β
5) να τργωνο ΑΒΓ εναι ισπλευρο, αν και μνο αν οι γωνες του εναι σες.
Διζευξη και σζευξη ισχυρισμν
Αν αληθεει νας τουλχιστον απ τους ισχυρισμος Ρ και Q, ττε λμε τι αληθεει ο ισχυρισμς «Ρ Q», που λγεται διζευξη των Ρ και Q.
Ττοια παραδεγματα εναι τα εξς: 1) α β = 0 + α = 0 β = 0 2) x2 = 4 + x = 2 x = –2 3) α2 + β2 > 0 + α ≠ 0 β ≠ 0 4) x2 = x + x2 – x = 0 + x(x – 1) = 0 + x = 0 x = 1.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ¶éóáçöçéëÞ ºåæÀìáéï 10
Αν αληθεουν συγχρνως δο ισχυρισμο Ρ και Q, ττε λμε τι αληθεει ο ισχυρισμς «Ρ και Q», που λγεται σζευξη των Ρ και Q.
Ττοια παραδεγματα εναι τα εξς: 1) α β ≠ 0 + α ≠ 0 και β ≠ 0 2) α2 + β2 = 0 + α = 0 και β = 0 3) α2 ≠ β2 + α ≠ β και α ≠ –β 4) x2 = 1 και x > 0 + x = 1 5) α2 = β2 και αβ ≥ 0 + α = β
Η ρνηση του ισχυρισμο «Ρ Q» εναι ο ισχυρισμς «χι Ρ και χι Q», εν η ρνηση του ισχυρισμο «Ρ και Q» εναι ο ισχυρισμς «χι Ρ χι Q».
Για παρδειγμα, ο ισχυρισμς αβ = 0 σημανει α = 0 β = 0, εν ο ισχυρι- σμς αβ ≠ 0 σημανει α ≠ 0 και β ≠ 0.
Ερωτσεις κατανησης
1. Χαρακτρισε με Σ (Σωστ) Λ (Λθος) καθεμι απ τις παρακτω συνε- παγωγς και ισοδυναμες.
α) x2 = 0 + x = 0
β) x2 = 9 + x = 3
γ) α2 = β2 & α = β
δ) α = β & α3 = β3
ε) αβ ≠ 0 + α ≠ 0 β ≠ 0
στ) α2 + β2 = 0 + α = 0 β = 0
ζ) (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 + x = 1 x = 2 x = 3
η) α < 1 & α2 < 1
θ) (α – 1)2 > 0 + α > 1
ι) x < 1 και y < 1 & xy < 1
ια) x2 < 1 + x < 1
ιβ) x2 = 2x + x = 0 x = 2
ιγ) x2 ≠ 3x & x ≠ 3
¶.1. Æï ìåêéìÞçéï ôè÷ ¤ïçéëÜ÷ 11
2. Απ τις συνεπαγωγς Ρ & Q και Q & R, προκπτει η συνεπαγωγ Ρ & R;
3. Γρψε την ρνηση για καθεμι απ τις ακλουθες προτσεις. α) x ≠ 2 και y ≠ 3 ............................................................................................ β) x = 1 y = 3 ................................................................................................ γ) α > 0 β > 0 ................................................................................................ δ) α ≥ 0 και β ≤ 0. ...........................................................................................
4. Εξγησε γιατ ισχουν οι παρακτω συνεπαγωγς και ισοδυναμες. α) α > 2 & α + 1 > 2 β) α2 = β2 και αβ ≤ 0 + α = –β γ) α = φυσικς αριθμς & α = ακραιος αριθμς δ) (α – 2)2 + (β + 1)2 ≠ 0 + α ≠ 2 β ≠ –1.
5. Βρες λες τις ισοδυναμες που υπρχουν ανμεσα σ’ ναν ισχυρισμ του πνακα Α και σ’ ναν ισχυρισμ του πνακα Β.
Πνακας Α
α) x2 – x = 0 β) x2 ≠ x γ) α2 = 1 και α < 0 δ) x2 = 4 και x(x–2) = 0 ε) (x–1)2 > 0
Πνακας Β
4) α = –1
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ¶éóáçöçéëÞ ºåæÀìáéï 12
= -
ii) Αν α = 0 και β ≠ 0, η εξσωση εναι αδνατη (δεν χει καμι λση). iii) Αν α = 0 και β = 0, η εξσωση επαληθεεται για κθε πραγματικ
αριθμ x (εναι ταυττητα αριστη).
Αν στην εξσωση αx + β = 0 οι συντελεστς α και β δεν εναι συγκεκριμ- νοι αριθμο, αλλ γρμματα, ττε η εξσωση αυτ ονομζεται παραμετρικ και τα γρμματα ονομζονται παρμετροι. Η διαδικασα για την ερεση του πλθους των ριζν της εξσωσης, ονομζεται διερενηση.
Για παρδειγμα, ας θεωρσουμε την εξσωση
λ2(x – 2) – 3λ = x + 1, λŒ® με παρμετρο λ.
Η εξσωση γρφεται
λ2x – 2λ2 – 3λ = x + 1 + λ2x – x = 2λ2 + 3λ + 1 + x(λ2 –1) = 2λ2 + 3λ + 1 + x(λ – 1)(λ + 1) = 2λ2 + 3λ + 1.
Αν λ ≠ 1 και λ ≠ –1, η εξσωση χει ακριβς μια λση, την
x 1 1 2 3 1
1 1 2 2 1
1 1 2 1 1
l l l l
l l l l l2 2
= - + + +
= - + + + +
= - + + + +
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
h h h h
1 2 1
h h h h
Αν λ = 1, η εξσωση γρφεται 0x = 6 και εναι αδνατη. Αν λ = –1, η εξσωση γρφεται 0x = 0 και εναι ταυττητα.
2.1 Εξισσεις 1ου βαθμο
Πολλς εξισσεις, με κατλληλη διαδικασα, ανγονται σε εξισσεις 1ου βαθμο.
Οι εξισσεις με βαθμ ν ≥ 2 λνονται με παραγοντοποηση του 1ου μ- λους και χρση της ιδιτητας
α · β = 0 + α = 0 β = 0. Για παρδειγμα, η εξσωση x3 = 9x γρφεται x3 – 9x = 0 + x(x2 – 9) = 0 + x(x – 3)(x + 3) = 0 + x = 0 x = 3 x = –3.
Μια κλασματικ εξσωση λνεται με απαλοιφ παρονομαστν, αφο γ- νουν και οι απαιτομενοι περιορισμο.
Για παρδειγμα, θα λσουμε την εξσωση
,x x x x
1 3
- +^ ^h h
και ορζεται ταν x ≠ 1 και x ≠ –1. To E.K.Π. των παρονομαστν εναι (x – 1)(x + 1), οπτε η εξσωση γρ-
φεται
. . .x x x x x x x x x x x1 1 1
3 1 1 1 2 1 1 1 1
52 - + + - - + - = - +
- + -^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h
+ 3(x – 1) – 2(x + 1) = x2 – 5 + 3x – 3 – 2x – 2 = x2 – 5 + x = x2 + x – x2 = 0 + x(1 – x) = 0 + x = 0 x = 1. Αλλ, η λση x = 1 απορρπτεται. ρα, η εξσωση χει λση μνο την x = 0.
Για να λσουμε μια εξσωση της μορφς |f(x)| = |g(x)|, που f(x), g(x) παραστσεις με τον γνωστο x, εφαρμζουμε την ιδιτητα
|α| = |β| + α = β α = –β. Για παρδειγμα, η εξσωση |3x – 5| = |2x + 1| γρφεται
3x – 5 = 2x + 1 3x – 5 = –2x – 1
+ 3x – 2x = 5 + 1 3x + 2x = 5 – 1
+ x = 6 .x 5 4
=
Με τον διο τρπο μπορε να λυθε και μια εξσωση της μορφς |f(x)| = g(x), με τον περιορισμ g(x) ≥ 0.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 100
Σχλιο:
ταν ζητεται η επλυση μιας εξσωσης με γνωστο τον x, δε σημανει τι η εξσωση αυτ εναι μια ιστητα που αληθεει, αλλ ζητμε να βρομε τον γνωστο x, στε να αληθεει η ιστητα.
Γι’ αυτ, η επλυση μιας εξσωσης αποτελεται απ ισοδναμα βματα και επομνως ο σωστς συμβολισμς ανμεσα στα διαδοχικ βματα εναι «+» και χι «&».
Φυσικ, το διο συμβανει και με την επλυση ανισσεων και συστημτων.
Παραδεγματα και εφαρμογς
1 .
Να λυθε η εξσωση λ2(λx – 1) – 4λ(x + 1) = 4, για τις διφορες πραγματικς τιμς της παραμτρου λ.
Λση:
Η εξσωση γρφεται:
λ3x – λ2 – 4λx – 4λ = 4 + λ3x – 4λx = λ2 + 4λ + 4 + λx(λ2 – 4) = (λ + 2)2 + λ(λ – 2)(λ + 2)x = (λ + 2)2
W Αν λ ≠ 0, λ ≠ 2 και λ ≠ –2, η εξσωση χει ακριβς μια λση, την
2 2
2 2
^h h h
h W Αν λ = 0, η εξσωση γρφεται 0x = 4 και εναι αδνατη. W Αν λ = 2, η εξσωση γρφεται 0x = 16 και εναι αδνατη. W Αν λ = –2, η εξσωση γρφεται 0x = 0 και εναι ταυττητα.
2 .
x x 3
x 3 l ,
Λση:
. . .x x
1 6 6 3 2 3 6 2
l m l l m l+
- + = - - + = -^ h
+ 2λx – 2μ + 3x = 6λ – 2x + 2λx + 3x + 2x = 2μ + 6λ
+ 2λx + 5x = 2μ + 6λ + (2λ + 5)x = 2μ + 6λ (1)
W Η (1) χει ακριβς μια λση, ταν 2λ + 5 ≠0, δηλαδ .≠ 2 5
l -
Η λση της ττε εναι η 2 5 2 6
.x l m l
= + +
W Η (1) εναι αδνατη, ταν 2λ + 5 = 0 και 2μ + 6λ ≠ 0, δηλαδ
2 5
0m+ -b l
l =- και .≠ 2 15
m
W Η (1) εναι ταυττητα, ταν 2λ + 5 = 0 και 2μ + 6λ = 0, δηλαδ
2 5
Να λυθον οι εξισσεις:
α) x3 – x2 = x – 1 β) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 γ) (x2 – 4)2 = (x2 + 4x + 4)(5x + 4)
Λση:
Μεταφρουμε λους τους ρους στο 1ο μλος και κνουμε παραγοντοποηση.
α) x3 – x2 – x + 1 = 0 + x2(x – 1) – (x – 1) = 0 + (x – 1) (x2 – 1) = 0
+ (x – 1)2 (x + 1) = 0 + x = 1 x = –1.
β) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 + x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0 + (x – 3) (x2 – 4) = 0
+ (x – 3) (x – 2) (x + 2) = 0 + x = 3 x = 2 x = –2.
γ) [(x – 2)(x + 2)]2 = (x + 2)2 (5x + 4) + (x – 2)2 (x + 2)2 – (x + 2)2 (5x + 4) = 0
+ (x + 2)2 · [(x – 2)2 – (5x + 4)] = 0 + (x + 2)2(x2 – 4x + 4 – 5x – 4) = 0
+ (x + 2)2 (x2 – 9x) = 0 + (x + 2)2 · x(x – 9) = 0 + x = –2 x = 0 x = 9.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 102
4 .
α) x 4x 4
1 2
. .x x
=-
β) Κνουμε ομνυμα σε κθε παρονομαστ και απλ τα σνθετα κλσματα.
x x x
. .x x x x
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 6
+ - + + + - + - - - + - +
=^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h = 2(x – 3)(x + 3) + x(x – 3) + 3(x + 3) – 6x = 2(x2 – 9)
+ x2 – 3x + 3x + 9 – 6x = 2x2 – 18 + x2 + 9 – 6x – 2x2 + 18 = 0
+ –x2 – 6x + 27 = 0 + x2 + 6x – 27 = 0
Η τελευταα εξσωση χει διακρνουσα Δ = β2 – 4αγ = 36 + 108 = 144
και λσεις x 2 6 12
31 = - +
92 = -
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 103
5 .
Να λυθον οι εξισσεις:
α) |3x – 2| = 1 β) |2x – 1| = 3x – 7 γ) 2|x + 3| – 5|x – 1| = 0 και
δ) |2 – |x + 1|| = |x|.
Λση:
=
β) Για να χει λση η εξσωση αυτ, πρπει 3x – 7 ≥ 0, δηλαδ .≥x 3 7
Με τον περιορισμ αυτ χουμε:
2x – 1 = 3x – 7 2x – 1 = –3x + 7
+ 2x – 3x = 1 – 7 2x + 3x = –1 + 7 + x = 6 .x 5 6=
Απ τις λσεις αυτς μνο η x = 6 εναι δεκτ, γιατ μνο αυτ ικανοποιε
τον περιορισμ .≥x 3 7
γ) 2|x + 3| = 5|x – 1| + 2(x + 3) = 5(x – 1) 2(x + 3) = –5(x – 1)
+ 2x + 6 = 5x – 5 2x + 6 = –5x + 5 + x 3 11= 1- .x = 7
δ) |2 – |x + 1|| = |x| + 2–|x + 1| = x 2 – |x + 1| = –x
+ |x + 1| = 2 – x (1) |x + 1| = 2 + x (2)
Η (1) χει λση ταν 2 – x ≥ 0, δηλαδ x ≤ 2. Ττε χουμε:
(1) + x + 1 = 2 – x x + 1 = –2 + x + x 2 1
= 1 = –2 (αδνατη).
Η (2) χει λση ταν 2 + x ≥ 0, δηλαδ x ≥ –2. Ττε χουμε:
(2) + x + 1 = 2 – x x + 1 = –2 – x + 1 = 2 (αδνατη) .x 2 3=-
ρα, η εξσωση χει λσεις τις x 2 1
1 = και .x 2 3
2 =-
6 .
Να λυθε η εξσωση |x + 2| – 2|x – 1| = 1.
Λση:
(Θα εργαστομε πως στο παρδειγμα 5 της § 1.3).
Στο διπλαν πνακα δνεται το πρσημο των x + 2 και x – 1.
Αν x < –2, ττε
οπτε η εξσωση γρφεται
(–x – 2) – 2(–x + 1) = 1 + –x – 2 + 2x – 2 = 1 + x = 5
και η λση αυτ απορρπτεται, αφο εξαρχς πραμε x < –2.
Αν –2 ≤ x < 1, η εξσωση γρφεται
(x + 2) – 2(–x + 1) = 1 + x + 2 + 2x – 2 = 1 + x 3 1
= (δεκτ).
Αν x ≥ 1, η εξσωση γρφεται
(x + 2) – 2(x – 1) = 1 + x + 2 – 2x + 2 = 1 + x = 3 (δεκτ).
ρα, η εξσωση χει λσεις τους αριθμος 3 1
και 3.
Λση:
Η εξσωση ορζεται ταν x + 1 ≥ 0, δηλαδ x ≥ –1.
Η εξσωση ισοδναμα γρφεται:
x x1 16 3 6+ = +^ ^h h (υψνουμε στην κτη για να αποφγουμε και τις δο ρζες)
+ (x + 1)3 = (x + 1)2
+ (x + 1)3 – (x + 1)2 = 0 + (x + 1)2 [(x + 1) – 1] = 0
+ (x + 1)2 · x = 0 + x = –1 x = – 1 x = 0.
Και οι δο λσεις εναι δεκτς, αφο ικανοποιον τον περιορισμ x ≥ –1.
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 105
8 .
Σ’ να διαγωνισμ δθηκαν για απντηση 50 ερωτσεις. Κθε σωστ απ- ντηση βαθμολογεται με 4 μρια, εν για κθε λανθασμνη απντηση αφαι- ρεται μισ μριο. Αν νας εξεταζμενος χει συγκεντρσει 173 μρια, π- σες σωστς απαντσεις εχε;
Λση:
στω x το πλθος των σωστν απαντσεων, οπτε το πλθος των λανθασμ- νων απαντσεων εναι 50 – x. Απ τις σωστς απαντσεις συγκεντρνει 4 · x μρια, εν απ τις λανθα-
σμνες, αφαιρονται . x2 1 50-^ h μρια.
τσι, χουμε την εξσωση . ,x x4 2 1
50 173- - =^ h η οποα γρφεται
. . . .2 4 2 2 173 8 50 346 9 396 44.x x x x x x2 1
50 + ++- - = - + = = =^ h ρα, ο εξεταζμενος αυτς εχε 44 σωστς απαντσεις.
9 .
να αυτοκνητο κνει μια συγκεκριμνη διαδρομ με μση ταχτητα 100 km/h. να δετερο αυτοκνητο ξεκιν 15 λεπτ αργτερα για να κ- νει την δια διαδρομ με μση ταχτητα 120 km/h. Σε πση ρα το δετε- ρο αυτοκνητο θα φτσει το πρτο και σε πση απσταση απ το σημεο εκκνησης;
Λση:
στω τι ο ζητομενος χρνος εναι t ρες. Το 1ο αυτοκνητο κινεται t 4 1+
ρες (15 λεπτ = 4 1 της ρας).
Τα δο αυτοκνητα διανουν την δια απσταση και σμφωνα με τον τπο S = υt χουμε
. .t t t t t100 4 1 120 100 25 120 20 25+ ++ = + = =a k
t 4 5
Η απσταση του σημεου συνντησης απ το σημεο εκκνησης εναι
. .S km120 4 5 150= =
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 106
Ασκσεις Α’ ομδας
α. 9(8 – x) – 10(9 – x) – 4(x – 1) = 1 – 8x
β. x x x
- +
+ +
+ +
η. x x x x x5 4 2 1
1 2 2 1
θ. y y
y3 1 1
- + +^ bh l .
2. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παρμετρο λŒ®. α. λx + λ + 1 = –x δ. λ2(x – 2) = x – 2λ
β. (λ – 1)x = λ2 – 1 ε. 1 4 5x x
5 15 3 l l l l2+ =
- +
- +
γ. λx + 8x = 2(λ – 1)x + 10
3. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παραμτρους α και β.
α. αx + α = βx + β δ. 3 2
x x
= -
β. α2x – α = β2x – β ε. 0≠ x x a b a b ab- = - ^ h
γ. 0≠ x x
1a b ab+ = ^ h
α. x2 = 3x στ. 5(x2 – 2x + 1) = 4(x2 – 1)
β. x3 = x ζ. x3 + 2x = 0
γ. x3 + 3x2 + 2x = 0 η. x4 – 1 = 0
δ. x4 + 4x2 = 4x3 θ. x3 – 2x2 – x + 2 = 0
ε. (x – 2)2 = (1 – 2x)2 ι. (2x + 3)(x2 – 1) = (x + 1)(x2 – 1).
5. Να λυθον οι κλασματικς εξισσεις:
α. x x
x3 5
+ = + .
6. Να λυθον οι εξισσεις: α. |3x – 1| = 5 στ. x3 = 4|x|
β. |2x + 3| = |3 – x| ζ. ||x + 1| – 2| = 1
γ. x x
1 2 3
4 3 3 1
ε. 3|x – 1| = x – 3
7. Να βρεθε ο αριθμς του οποου το μισ, αυξημνο κατ 20, εναι κατ 40 μικρτερο απ το διπλσιο του αριθμο.
8. νας πατρας εναι μεγαλτερος απ το γι του κατ 30 χρνια και πριν 3 χρνια το θροισμα των ηλικιν τους ταν 32. Να βρεθον οι ηλικες τους.
9. Να χωρισθε ο αριθμς 317 σε δο προσθετους τσι, στε ο μεγαλτερος αν διαιρεθε με το μικρτερο, να δνει πηλκο 2 και υπλοιπο 68.
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 108
10. Το θροισμα των ψηφων ενς διψφιου αριθμο εναι 14. Αν εναλλξου- με τη θση των ψηφων του, ττε προκπτει αριθμς κατ 18 μεγαλτερος. Να βρεθε ο αριθμς αυτς.
11. Το ψος ενς ορθογωνου εναι τα 3 2 της βσης. Αν αυξσουμε τη βση
κατ 1 cm, ττε η περμετρς του γνεται 22 cm. Να βρεθον οι διαστσεις του ορθογωνου.
12. Δανεστηκε κποιος 100.000 € απ δο τρπεζες α και β με επιτκια 8% και 9% αντστοιχα. Να βρεθον τα ποσ που δανεστηκε, αν γνωρζουμε τι σ’ να χρνο πλρωσε συνολικ τκο 8.600 €.
13. Να βρεθον δο αριθμο που διαφρουν κατ 2 και το θροισμα των αντι-
στρφων τους εναι .15 8
14. Πσο καθαρ οινπνευμα πρπει να προσθσουμε σ’ να λτρο οινπνευμα περιεκτικτητας 20%, στε να προυμε οινπνευμα περιεκτικτητας 40%;
15. νας εργτης τελεινει μνος του να συγκεκριμνο ργο σε 8 ρες. νας δετερος εργτης για το διο ργο αποδδει 25% λιγτερο απ τον πρτο. Αν εργαστον και οι δο μαζ, αλλ ο δετερος ξεκινσει να δουλεει μια ρα αργτερα απ τον πρτο, σε πσες ρες θα τελεισει το ργο;
16. να αυτοκνητο πηγανει απ την πλη Α στην πλη Β με ταχτητα 100 km/h. Επιστρφει αμσως απ την πλη Β στην πλη Α με ταχτητα 80 km/h και ο χρνος για τις δο διαδρομς εναι 9 ρες. Να βρεθε η απ- σταση των δο πλεων.
Ασκσεις Β’ ομδας
1. Να λυθον οι παρακτω εξισσεις με παραμτρους λ, μ Œ®.
α. λ(λ2x – 1) + 2 = λx(5λ – 6)
β. (x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 = 3x(x2 – λ + 1)
γ. [(λ2 + 1) x + 1]2 = [(λ2 – 1) x – 1]2 + (2λx – 1)2
δ. (λ + x)(1 + μx) – λ(1 + μ) = λ2μ2 + μx2
2.1. ¶êéóñóåé÷ 1ïù âáõíïà 109
ε. (x – λ)(2x – μ)2 = (x – μ)(2x – λ)2
στ. x x 1 m l
l 1 m
l l m
m+ = - (λμ ≠ 0)
2. Να βρεθον οι τιμς των παραμτρων α και β, στε η εξσωση
x
a b -
να αληθεει για κθε xŒ®.
3. Αν οι α, β, γ εναι διαφορετικο αν δο, να εξετασθε αν χει λσεις η εξ- σωση
. x x x
+ - -
4. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x3 – 3x2 + 2 = 0 β. x4 + x3 + x – 1 = 0 γ. x x= δ. |x| = x.
5. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x x x x8 1 1
6 1
8 1
02 1 1 2- + - + + + + = ε. x x
x x
x x
x x
2 1
03 2
7 6
6 5
7 3 4+ - += - - στ. . x x x
x x x x
6. Να λυθον οι εξισσεις:
α. |x| + |x – 1| = 3 ε. x x5 2 2 1- = -
β. |x2 – 1| + |x2 – 5x + 4| = 0 στ. x x1 12 + = +
γ. |x| + |x – 1| + |2x + 1| = 8 ζ. x x 2= -
δ. d(x, 1) – d(x, 2) = 1 η. 3x x2 1- = 1^ h .
£. ¥Ûîï÷: Íìçåâòá ° ¤ùëåÝïù ºåæÀìáéï 2: ¶êéóñóåé÷ 110
7. Να βρεθε νας διψφιος αριθμς ττοιος στε, αν εναλλξουμε τα ψηφα του, οι δο αριθμο να χουν θροισμα να τετργωνο ακεραου.
8. Να αποδειχθε τι η εξσωση:
x x x x x x x x 2007
3 2008
2 2009
2 3 3
χει μοναδικ λση τον αριθμ 2010.
9. Να λυθον οι εξισσεις: α. λ|x| + 3x = 2 β. 2x + 3|x| = λx + 1, που λ πραγματικ παρμετρος.
10. Να βρεθε αριθμς, του οποου το τετργωνο εναι κατ 2 μεγαλτερο απ τον αντστροφ του.
11. Αν στο 3 1 ενς ακραιου αριθμο προστεθε ο αντστροφος του τετραγ-
νου του, προκπτει το .3 4 Να βρεθε ο αριθμς αυτς.
12. Να λυθον οι εξισσεις:
α. x x x
a b a b
α. ( )
β. | |
x x
1 1
1 1
1 1
γ. |x2 + |x – 2|| = 4 ζ. x x x1 1+ - - =
δ. |x – 2| + ||x – 2| – 2| = 2 η. . x x x xx x
1 1 3
Related Documents
