事 例 報 告 応 用 化 学 統 合 演 習 に お け る マ ー デ ル ン グ 定 数 の 数 値 計 算 を 活 用 し た P B L 教 育 T h e C a l c u l a t i o n o f t h e M a d e l u n g C o n s t a n t a s a P r o b l e m B a s e d L e a r n i n g i n " I n t e r d i s c i p l i n a r y S t u d i e s o f A p p l i e d C h e m i s t r y " 露 本 伊 佐 男 I s a o T S U Y U M O T O マーデルング定数はイオン結晶における格子エネルギーを表現するために用いられ る数値である。無機化学の教科書では,数値が収束しないモデルを用いた誤った説明 がなされていることが少なくない。本稿では,この誤りをヒントとして,4 年次に開 講している応用化学統合演習において,マーデルング定数の簡便な数値計算法を新し く考案する PBL 教育を実施したので紹介する。様々なモデルを用いて数値計算を行 ったところ,従来,大学教育で実施されてきたマーデルング定数の数値計算よりも, より簡単な計算で正確な数値を求められる方法を導出できた。 キーワード:PBL,マーデルング定数,結晶構造,数値計算 The Madelung constant is a proportionality constant used to describe the lattice energy of ionic crystals. In the textbooks of inorganic chemistry, the Madelung constant is often incorrectly introduced using the series which does not converge. We, inspired by the improper explanations, launched a problem-based learning (PBL) to calculate the Madelung constant on the basis of various models in "Interdisciplinary Studies of Applied Chemistry" for fourth grade students. We successfully derived a more simple and more correct calculation method of the Madelung constant than the conventional ones. Keywords: PBL, the Madelung constant, crystal structure, numerical calculation 1 . 緒 言 応用化学科では 4 年次前学期に選択科目として応用化学統合演習を開講している。3 年次までの学習 内容を基礎として,統合的演習能力を養い,化学における基本的問題を解決する能力を身につけること が目的である。応用化学分野における問題解決型学習(problem-based learning, PBL)の課題としては 様々なものが報告がされており 1) ,化学実験をベースとしたものが多いが,応用化学統合演習では専門 課程の無機化学の学習内容を素材として,コンピュータを活用した PBL を進めた。 無機化学では,イオン結晶がイオン間のクーロン引力により安定化されていることを学習する。陽イ オンと陰イオンがそれぞれ 1 個だけ近接するときのクーロン引力(正確には静電ポテンシャルエネルギ ー)に比べて,イオン結晶で規則に従って立体的に配列することにより,何倍安定化されるかを示した 数がマーデルング定数(Madelung constant)である。同種のイオン間には斥力が生まれるが,異種イ オン間に生じるクーロン引力による安定化がそれを上回り,結晶を形成することになる。マーデルング 221 応用化学統合演習におけるマーデルング定数の数値計算を活用した PBL 教育 KIT Progress № 26
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事例報告 KIT Progress №26
応用化学統合演習におけるマーデルング定数の数値計算を活用した PBL 教育
応用化学統合演習における
マーデルング定数の数値計算を活用した PBL 教育 The Calculation of the Madelung Constant as a Problem Based Learning
in "Interdisciplinary Studies of Applied Chemistry"
The Madelung constant is a proportionality constant used to describe
the lattice energy of ionic crystals. In the textbooks of inorganic chemistry, the Madelung constant is often incorrectly introduced using the series which does not converge. We, inspired by the improper explanations, launched a problem-based learning (PBL) to calculate the Madelung constant on the basis of various models in "Interdisciplinary Studies of Applied Chemistry" for fourth grade students. We successfully derived a more simple and more correct calculation method of the Madelung constant than the conventional ones. Keywords: PBL, the Madelung constant, crystal structure, numerical
を合計する方法を提案している 10)。セル内に L 個のイオンがある場合,生じる L(L―1)/2 個の相互作
用を全て計算する考え方である。L が大きくなると計算量が増えるが,小さいときは計算が簡単な割に
は収束値に近いと報告している。プログラム例を表 3 に示す。
表1 直接加算法のExcel VBA によるプログラム例。
NaCl型立方体セル(9×9×9)について,原点を(0,0,0)
におき,(-4,-4,-4)から(4,4,4)までの全格子点
から生じるポテンシャルを合計。
m=0 '初期値の設定 For i=-4 To 4:For j=-4 To 4:For k=-4 To 4 if i=0 and j=0 and k=0 then goto skip m=m+((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 skip: Next k:Next j:Next i Cells(1,1)=m '結果を A1セルに出力
224 応用化学統合演習におけるマーデルング定数の数値計算を活用した PBL 教育
応用化学統合演習におけるマーデルング定数の数値計算を活用した PBL 教育
表2 頂点は8分の 1,面上は2分の 1,辺上は4分の 1含まれるとして計
算する場合(Evjenの方法)のExcel VBA によるプログラム例。
NaCl型立方体セル(9×9×9)について,面上,辺上,頂点を別に計算。
表3 NaCl 型立方体セル(9×9×9)について,全イオン間に作用する
ポテンシャルを全て合計する場合(Elertの方法)のExcel VBA に
よるプログラム例。表1の原点を全格子点に走査し平均している。
m=0 For i=-3 To 3:For j=-3 To 3:For k=-3 To 3 if i=0 and j=0 and k=0 then goto skip m=m+((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 skip: Next k:Next j:Next i m1=0 'ここから面上 i=4 For j=-3 To 3:For k=-3 To 3 m1=m1+0.5*((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 Next k:Next j m2=0 'ここから辺上 i=4:j=4 For k=-3 To 3 m2=m2+0.25*((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 Next k i=4:j=4:k=4 'ここから頂点 m3=0.125*((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 m=m+m1*6+m2*12+m3*8 Cells(1,1)=m
m=0 For a=0 To 8:For b=0 To 8:For c=0 To 8 For i=-a To 8-a:For j=-b To 8-b:For k=-c To 8-c if i=0 and j=0 and k=0 then goto skip m=m+((-1)^(i+j+k+1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 skip: Next k:Next j:Next i
m=0:N=4 For i=-N To N-1:For j=-N To N-1:For k=-N To N-1 If i=0 And j=0 And k=0 Then GoTo skip m=m+((-1)^(i + j + k + 1))/(i^2+j^2+k^2)^0.5 skip: Next k: Next j: Next i Cells(1,1)=m
1) 露本伊佐男,土佐光司,「化学系学科における創成型科目のテーマ設定例の収集と分析」,KIT PROGRESS -工学教育研究-,21, 251-260 (2014). 2) P. P. Ewald, "Die Berechung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale," Annalen der Physik, 369 [3], 253-287 (1921). 3) E. Madelung, "Das elektrische Feld," Physikalische Zeitschrift 19, 524-533 (1918). 4) 例えば,ダグラス,マクダニエル,無機化学(上)第 3 版,東京化学同人,p. 241 (1997). 5) D. Borwein, J. M. Borwein, K. F. Taylor, "Convergence of lattice sums and Madelung's constant," Journal of Mathematical Physics, 26, 2999-3009 (1985). 6) 例えば,シュライバー・アトキンス,無機化学(上)第 3 版,東京化学同人,2001,p. 84. 7) W. B. Bridgman, "Calculation of Madelung constants by direct summation," Journal of Chemical Education, 46 [9], 592-593 (1969). 8) E. L. Burrows, S. F. A. Kettle, "Madelung constants and other lattice sums," Journal of Chemical Education, 52 [1], 58-59 (1975). 9) H. M. Evjen, "On the stability of certain heteropolar crystals," Physical Review, 39, 675 (1932). 10) M. Elert, E. Koubek, "Calculation of Madelung constants in the first year chemistry course," Journal of Chemical Education, 63, 840-841 (1986).