1 제 14장 복소적분. • 14.1 복소평면에서의 선적분. • 미분적분학에서와 같이 정적분(definite integral)과 부정적분 (indefinite integral), 또는 역도함수(antiderivative)를 서로구분하기 로 한다. 부정적분(indefinite integral)은 어떤 영역에서 그것의 도함 수가 주어진 해석함수와 같은 함수 이며, 알고 있는 미분공식의 역 을 취하면, 많은 부정적분을 구할 수 있다. • 복소정적분은 (복소)선적분(line integral)이라 불리며, 다음과 같이 표시한다. • 여기서 피적분함수(integrand) f(z)는 적분경로(path of integration) 라 부르는 복소평면에서의 곡선 C를 따라 적분된다. ∫ C dz z f ) (
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제 14장 복소적분.
• 14.1 복소평면에서의 선적분.
• 미분적분학에서와 같이 정적분(definite integral)과 부정적분(indefinite integral), 또는 역도함수(antiderivative)를 서로구분하기로 한다. 부정적분(indefinite integral)은 어떤 영역에서 그것의 도함수가 주어진 해석함수와 같은 함수 이며, 알고 있는 미분공식의 역을 취하면, 많은 부정적분을 구할 수 있다.
• 복소정적분은 (복소)선적분(line integral)이라 불리며, 다음과 같이표시한다.
• 여기서 피적분함수(integrand) f(z)는 적분경로(path of integration)라 부르는 복소평면에서의 곡선 C를 따라 적분된다.
∫C dzzf )(
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■ 이런 곡선 C를 다음과 같은 매개변수표현법으로 나타낼 수 있다.
)()()()()1( btatiytxtz <<+=
■ 이 때 C에 대하여, t가 증가하는 방향을 양의 방향(positive sense)
이라 부르며, 이런 방식으로 식 (1)은 C의 방향을 준다.
■ 곡선 C의 도함수 (그림 336 참고)가 C의 각
점에서 연속이고, 어디서도 0이 아닐 때, C를 매끄러운 곡선
(smooth curve)이라 부른다. 기하학적으로 이것은 C가 유일하고 연
속적으로 변해가는 접선을 갖고 있음을 의미한다.
dtdzz /=&
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복소선적분의 정의
■ 이것은 미적분에서 사용된 방법과 유사하다. C가 식 (1)의 형태
로 표시되는, z평면에서의 매끄러운 곡선이라고 하자.
또 f(z)가 C의 (적어도) 각 점에서 정의된 연속함수라 하자.
그리고 식 (1)에서의 구간 를 점)( bta <<
)(,,,),( 110 btttat nn == −L
으로 나눈다[분할(partition)].
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여기서 이다. 이들 각 분할점을 C의 분할점nttt <<< L10
)(,,,, 110 Zzzzz nn =−L (그림 337 참조)
을 대응시킨다. 여기서 이다. 그리고 C가 나누어진 각
부분에 임의의 점, 말하자면 와 사이의 점
)( jj tzz =
0z 1z
)],( ,[ 211101 zztztttt 과때의만족할을가즉 =<< ξξ
사이의 점 등을 선택한 다음에, 그 합 Sn을 만든다.2ξ
m
n
mmn zfS ∆=∑
=1)(ξ)2(
1mmm zzz −−=∆여기서
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왜냐하면, 그 값은 에서부터 까지 C의 호의 길이보다
클 수는 없다.
매끄러운 곡선 C의 호의 길이는 t의 연속함수 이므로, 따라서
후자의 길이 가 0으로 수렴하
기 때문이다.
. 이 때 각각의 에 대해 완전히 독립적인 방법
으로 그 합을 만들지만, n이 무한히 커질 때 가장 큰
이 0에 접근하도록 한다.
이것은 가장 큰 이 0에 접근하는 것을 의미한다.
L,3,2=n
1−−=∆ mmm ttt
mz∆
1−mz mz
) ( 1 길이호의의까지의에서 Czz mm−
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이렇게 하여 얻은 복소수열 의 극한을 유향곡선(oriented
curve) C를 따른 f(z)의 선적분(line integral, 또는 단순히 적분)이
라 한다. 이 곡선 C는 적분경로(path of integral)라고 부른다.
Z0
Z1
Z2
Zm-1
Z
Zmmξ
mz∆N N
그림 337. 복소선적분
L,, 32 SS
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만약 C가 닫힌경로(closed path, Z=z0일 때, 즉 C의 끝점이 시
작점과 일치하는 것, 예를 들면 원 또는 8자 모양의 곡선 등)라면,
선적분을 다음과 같이 표시한다.
∫C )d( zzf∫C zzf d)( , 또는
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일반적 가정.앞으로 복소선적분에 대한 모든 적분경로는 구분적으로 매끄러운
(piecewise smooth) 곡선의 연결, 즉 끝과 끝이 연결된 유한개의
매끄러운 곡선으로 구성되어 있다고 가정한다.
복소선적분의 세 가지 기본성질
1. 선형성(linearity). 적분은 선형연산자이다. 즉 두(또는 더 이상)함수의 합의적분은 항별로 적분할 수 있고, 상수인자는 적분부호
밖으로 나올 수 있다.
dzzfkdzzfkdzzfkzfkC CzC
)()()]()([ 2112211 ∫ ∫∫ +=+(4)
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2. 반대방향(sense reversal). 동일한 경로 위의 적분에 대하여 적분의
방향을 거꾸로 하면, 적분값의 부호가 바뀐다.
좌변에서는 에서 까지 적분하고, 우변에서는 에서
까지 적분한다.
3. 경로의 분할(partitioning of path, 그림 338 참조)
∫ ∫−=Z
z
z
Zdzzfdzzf
0
0 )()(
0z Z Z0z
∫∫ ∫ +=21
)()()(CC C
dzzfdzzfdzzf(6)
(5)
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복소선적분 존재
가 연속이고 C 가 구분적으로 매끄러운 곡선이라는 가정으로
부터, 선적분(3)의 존재가 뒤따른다.
앞 장에서와 같이 로 놓도록 하자. 또한,
으로 놓으면,
)(zf
그림 338 경로의 분할[공식(6)]
)yx,()yx,()( ivuzf +=
mmm iηξξ += 그리고 mmm yixz ∆+∆=∆
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식(2)는
으로 쓸 수 있다. 여기서 이고, 합은 부터 까지 한다.이제 곱을 하면 을 네 개의 합, 즉
으로 나눌 수 있는데, 각각의 합은 실수가 된다.가 연속이기 때문에, 와 가 연속이다.
∑ ∆+∆+= )yx)(( mmn iivuS
),(),,( mmmm vvuu ηξηξ ==
nS
∑∑∑ ∑ ∆+∆+∆−∆= ]xy[yx mmmmn vuivuS
f u v
(7)
nm =1=m
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그러므로 앞에서 말한 방식으로 이 무한히 커지면, 가장 큰
과 은 0에 접근하고 우변의 각 합은 실선적분,
가 된다.
이것은 여기의 가정( 가 위에서 연속이고, 가 구분적으로
매끄러운 곡선) 아래서 선적분(3)이 존재하고, 이의 값은 구간을
나누는 방법과 사이점 의 선택에는 무관하다는 것을 보여준다.
n
mx∆my∆
∫ ∫∫∫∫ ++−==∞→ C CCCCnn
vdxudyivdyudxdzzfS ][)(lim
f C C
mξ
(8)
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적분을 계산하는 방법이 복소적분에는 많이 있다. 먼저 그들 중에 두 개를 고찰해 보고, 나머지는 이장의 뒷부분과 15장
에서 다룬다.
이 방법은 다음에 나오는 방법보다 더욱 간단하지만 덜 일반적이다.이 방법은 해석적(analytic) 함수의 경우로 제한된다.
식(9)(아래)는 미적분학 공식과 유사하다.
)]()('[ xfxF =(9) ∫ −=b
aaFbFdxxf )()()(
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첫 번째 방법 : 부정적분과 극한의 대체
정리 1.[해석함수의 부정적분]를 단순연결 영역 D 내에서 해석적이라고 하자.
그러면 영역 D 내에서 의 부정적분, 즉 D 내에 를
만족하는 해석함수 가 존재하며, D 내의 두 점 와 을
결합하는 D 내의 모든 경로에 대하여
가 성립한다. ( 에서 까지의 임의의 경로 C 에 대해서 똑같은
적분값을 가지므로, C 대신에 와 을 쓸 수 있음을 주목하라.)
)(zf
)(zF)()(' xfxF =)(zf
0z 1z
∫ −=1
0
)()()( 01
z
zzFzFdzzf )]()('[ zfzF =
0z 1z0z 1z
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이 정리의 증명은 15.4절에서 하게 될 것이다.( 다음 절에서 설명할Cauchy의 적분정리를 사용함으로써)
단순연결은 정리 1에서 꼭 필요하다. (이것은 예제 5에서 확인)
해석함수가 우리의 주관심사이고, 미분공식은 종종 주어진
에 대하여 를 찾는데 도움을 주므로, 현재의 방법은 실제적으로
매우 중요하다.
)(zF
)()( zFzf ′=
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만일 가 완전함수(13.5절)이면, 전체 복소평면(확실하게 단순연
결된)을 D 로 취할 수 있다.
예제 1.
예제 2.
)(zf
iizdzzii
32
32)1(
31
31 31
0
31
0
2 | +−=+==++
∫
iiizzdz ii
ii
0972322 .sinhsinsincos | ====−−∫ ππππ
ππ
yxiyxzyxiyxz
sinhcoscoshsinsinsinhsincoshcoscos
+=−=
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예제 3. 가 주기 인 주기함수이므로
예제 4.
여기서 D 는 0과 음의 실수축( 가 해석적이지 않는)을 제외한
복소평면이며, 명백히 단순연결된 정의역이다.
ze iπ2
∫−
+
+−−
+=−==
i
i
iii
i
zz eeedzeπ
π
πππ
π
38
8
2/42/3438
8
2/2/ 0)(22 |
πππ iiiiiz
dzi
i=−−=−−=∫− )
2(
2)ln(ln
zln
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두 번째 방법: 경로에 대한 표현식의 사용
정리 2. [경로를 사용한 적분]
C 를 에서 에 의해 표시되는 구분적으로 매끄러
운 경로라 하고, 가 C 위에서 연속인 함수라 하면
이다.
증명.식(10)의 좌변은 식(8)에 의해, 실선적분들의 항으로 주어진다.식(10)의 우변이 또한 식(8)과 같음을 보이도록 하자.
이므로 이다.
bta ≤≤ )(tzz =)(zf
dttztzfdzzfC
b
a)()]([)(∫ ∫
•
= )(dtdzz =
•
iyxz +=•••
+= yixz
(10)
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여기서 와 를 각각 로 간단히
쓰기로 하자.
또한 와 이다. 결국, 식(10)에서의 우변은dtxdx•
= dtydy•
=
∫ ∫∫∫∫
++−=
++−=
++=•••
C C
C
b
a
b
a
vdxudyivdyudx
vdxudyivdyudx
dtyixivudttztzf
)(
)]([
))(()()([
)](),([ tytxu )](),([ tytxv vu,
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정리 2를 적용하는 과정
(A) 경로 C를 z ( t ) (a ≤ t ≤ b) 의 형태로 표시된다.
(B) 도함수 를 계산한다.
(C) f(z) 의 모든 z 에 z ( t )를 대입한다.
[따라서 x 에는 x ( t ), y 에는 y ( t )를 대입한다].
(D) 를 t 에 대해 a 에서 b 까지 정적분한다.
dtdztz /)( =•
)()]([ tztzf•
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예제5. 기본적인 결과 : 단위원 주위의 1/z 의 적분
단위원(반지름 = 1, 중심 0인 원, 13.3절 참조)을 따라 반시계방향으
로 1/z 을 적분하면, 다음을 얻는다.
(11) (C는 단위원, 반시계방향)
(풀이) 단위원 C는
와 같은 형태로 나타낼 수 있고 ( 13.3절의 그림 327 참조 ), 여기서
반시계 방향의 적분은 t가 0에서 2π까지 증가하는 것에 대응된다.
미분에 의해서 (연쇄법칙)이고, 이다.itietz =•
)( itetztzf −== )(/))(( 1
)20(sincos)( π≤≤=+= tetittz it
iz
dzC
π2=∫
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식(10) 에서 원하는 결과를 얻는다.
Z(t) =cos t+i sin t 를 사용하여 결과를 검증하라.
단순연결성은 정리 1에서 필수적이다.
정리 1의 방정식은 (9)는 모든 닫힌 경로에 대해 0이다.
이므로 즉 이기 때문이다. 이제 1/z 은 z = 0
에서 해석적이지 않다.
idtidtieez
dz itit
Cπ
ππ2
2
0
2
0=== ∫∫∫ −
01 zz = 0)()( 01 =− zFzF
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그러나 단위원을 포함하는 모든 단순연결영역( simply connected
domain)은 z = 0을 포함해야 하고, 따라서 정리 1은 적용되지 않는
다.
환형(annulus)은 단순연결이 아니므로 환형, 예를 들면
내에서 1/z이 해석적이라는 것은 충분하지 않다
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21 << z
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예제6. 정수거듭제곱의 적분
)20( π≤≤ t
dteidzezz itimtmm ρρ ==− , )( 0
∫ ∫ ∫ ++==−C
tmimitimtmm dteidteiedzzzπ π
ρρρ2
0
2
0
)1(10 )(
m이 정수이고 z0가 상수일 때, f(z)=(z-z0)m이라고 하자. 반지름이
ρ이고 중심이 z0인 원 C를 따라 반시계방향으로 f(z)를 적분하라 (그림 339).
풀이)iteztitztz ρρ +=++= 00 )sin(cos)(
C를
와 같은 형태로 표시할 수 있다. 그러면
로 되고, 또한
를 얻는다.
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와 같아진다.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++∫ ∫+ π π
ρ2
0
2
0
1 )1sin()1cos( tdtmitdtmi m
13.6절의 오일러 공식 (5)에 의해 우변은
일때 ρ m+1 = 1, cos0 = 1, sin0 = 0 이고, 따라서 윗식은 2πi가
된다. 정수 에 대하여, 두 적분은 각각 0이 된다.
1−=m
1−≠m
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왜냐하면 사인과 코사인의 주기와 동일한 2π의 구간에서 적분
하기 때문이다.
따라서 결과는 다음과 같다.
y
x
z0
ρ
그림 339. 예제 6의 경로
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경로 의존성.
어떤 함수 를 다른 경로를 따라 점 에서 까지 적분하면,
일반적으로 다른 적분 값을 얻는다.
다른 말로 해서 일반적으로 복소선적분은 경로의 양 끝점에 의존할
뿐 아니라, 경로 그 자체에도 의존한다.
다음 예를 살펴 보자.
( )f z 0z 1z
(12) ∫⎩⎨⎧
=−C
m idzzz
02
)( 0
π (m=-1)
(m≠-1과 정수)
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<응용 예제> 복소함수 를 그림에 보인 적분경로를 따라 각각 선적분
하여라.
zzf =)(
먼저 경로 위의 점은1C
10 , )1( , )( ≤≤+=+= tdtidzitttz로 나타낼 수 있고, 이므로ittz −=