Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська, А.І.Кононенко ...mathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/PrimerMatAnalizTeorVer.pdf1.18 Знайти, при яких значеннях

Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська, А.І.Кононенко

ВПРАВИ І ЗАДАЧІ

З ПОЧАТКІВ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

І ТЕОРІЇ ІМОВІРНОСТЕЙ

Навчально-методичний посібник

до вивчення дисципліни «Елементарна математика» для слухачів підготовчого відділення

та підготовчих курсів

Харків 2013

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

2

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська, А.І.Кононенко




Рекомендовано науково-методичною радою університету

як навчально-методичний посібник для слухачів підготовчого відділення

та підготовчих курсів

Харків 2013

3

В - 41 УДК 517.519.21(07) Рецензенти: І.І.Мороз, ст.викладач ХНАДУ. Є.В.Поклонський, канд. фіз.-мат. наук, доц. каф. вищої математики ХНУБА Рекомендовано кафедрою вищої математики, протокол № від . .20 р. Затверджено методичною радою університету, протокол № від . .20 р. Автори: Г.В.Лисянська В.О.Гаєвська А.І.Кононенко В - 41 Лисянська Г.В., Гаєвська В.О., Кононенко А.І. Вправи і задачі з початків математичного аналізу і теорії імовірностей: Навчально-методичний посібник . – Х.: ХНУБА, 2013. – 63с.

Посібник є дидактичним матеріалом з початків математичного аналізу і теорії імовірностей відповідно до програми з математики для загальноосвітніх закладів. Посібник містить близько 400 вправ і задач, до кожного з розділів наводяться необхідні теоретичні відомості і приклади розв’язання типових задач. Призначено для викладачів і слухачів підготовчого відділення та підготовчих курсів. Іл.: 15; табл.: –; бібліограф.: 7 назв © Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська, А.І.Кононенко, 2013

4

РОЗДІЛ І ПОЧАТКИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

І ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Означення та обчислення похідної

Нехай функція xfy визначена в точці x і деякому околі цієї точки (під околом точки розуміється деякий інтервал ; такий, що x ).

Нехай x - приріст аргументу, причому такий, що точка xx належить указаному околу точки x , а f – відповідний приріст функції, тобто

xfxxff . Якщо існує границя відношення приросту функції f до приросту аргументу x за умови, що 0x довільним чином, то функція

xfy називається диференційованою в точці x , а ця границя називається значенням похідної функції xfy в точці x і позначається xf або y .

x

xfxxfxfyxf

xx

00

limlim .

xf - це нова функція, визначена у всіх таких точках x , в яких існує указана вище границя. Цю функцію називають похідною функції xfy .

Похідні елементарних функцій: 1x ,

1 nn nxx ,

aaa xx ln

,

xx ee

,

ax

xa ln1log ,

x

x 1ln ,

xx cossin ,

xx sincos ,

x

tgx 2cos1

,

x

ctgx 2sin1

.

Правила диференціювання ( u, v, z – диференційовані функції від x , С – стала):

.0,

,

,,0

2

vv

uvvuvu

zvuzvu

uCCuC

Правило диференціювання складної функції: якщо ufy , де xu , тобто xfy – складна функція від x , то

xux uyy .

5

Геометричний зміст похідної: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції xfy в точці 000 ; yxM 00 xyxftgkдот .

Рівняння дотичної до графіка функції xfy в точці дотику 00; yx .

000 xxxyyy . Фізичний зміст похідної: Якщо tS – закон руху, t – час,

tv – швидкість, а ta – прискорення, то

tStStv

t

0

lim ; tvtvta

t

0

lim . Приклад 1 Знайти на графіку функції 372 xxy таку точку,

дотична в котрій паралельна прямій 25 xy . Розв‘язання. Прямі 11 bxky і 22 bxky паралельні, (в тому

числі співпадають) тоді і тільки тоді, коли 21 kk . Так як рівняння дотичної до графіка функції xyy в точці з абсцисою 0x має вигляд 000 xxxyyy , то ця пряма паралельна прямій 25 xy за умови, що 50 xy .

72 xy ; 50 xy 572 0 x 60 x . Тепер знайдемо за допомогою підстановки 0y : 336766 2

00 yxyy . Таким чином, дотична до графіка функції xyy паралельна прямій

25 xy лише в точці (6 ; -3).

Приклад 2 Знайти екстремуми функції 234

31

41 xxxy .

Розв‘язання. Дана функція визначена для всіх Rx . Знаходимо похідну : 2122 223 xxxxxxxxxxy . Знаходимо критичні точки : 0y , якщо 021 xxx , звідки

01 x , 12 x , 23 x . Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками. Оскільки похідна всюди існує і скінчена, то в даному випадку немає інших точок, „підозрюваних” на екстремум.

Розташуємо стаціонарні точки на числовій осі в порядку зростання і з‘ясуємо знак xy в кожному із отриманих інтервалів (мал 1):

0

min

x

y

знак y0

min0

max

20-1

Мал. 1 02:1; yx ; 01:2;0 yx ; 05,0:0;1 yx ; 03:;2 yx .

6

Визначаємо, які з критичних точок є екстремальними. Обчислюємо значення функції в екстремальних точках, тобто знаходимо шукані екстремуми:

1251

31

411min yy ;

384

3842min yy ;

00max yy . Приклад 3 Тіло рухається прямолінійно за законом 223 tttS

(час t вимірюється в секундах, переміщення S – в метрах). Визначити його швидкість і прискорення в момент часу 3t с. Розв‘язання. ttStv 22 см ; 83223 v см . 2 tvta 2см .

Відповідь: 8 м/с; 2м/с2. Приклад 4 Тіло масою 0,5 кг рухається прямолінійно за законом.

322 2 tttS (час t вимірюється в секундах, переміщення S – в метрах). Знайти кінетичну енергію тіла за 3 секунди після початку руху, а також величину сили F, що діє на тіло. Розв‘язання. 24 ttStv см ; 102343 v см . 4 tvta 2см .

245,0 maF H ; 2521005,0

2

2

mvE Дж .

Відповідь: 2Н; 25Дж.

Приклад 5 Кількість електричного струму, що пройшов через провідник починаючи з моменту t = 0, задається формулою 132 2 tttq . Знайдіть силу струму наприкінці п'ятої секунди.

Розв‘язання. 34 ttqtI A ; 233545 I A . Відповідь: 23А. Приклад 6 Кількість тепла Q, потрібного для нагрівання 1 кг води від

0 до Ct визначається за формулою 32 0000003,000002,0 ttttQ . Обчисліть теплоємність води для Ct 100 .

Розв‘язання. Теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою: 20000009,000004,01 tttQtС ; 013,1009,0004,01100000000009,010000004,01100 С Дж .

Відповідь: 1,013 Дж.

7

1 варіант

Границя функції. Неперервність функції 1.1 Для кожної з функцій, графік якої зображено на мал. 2, встановити:

1) Чи визначена ця функція в точці 0x ; 2) Чи існує границя функції в точці 0x ; 3) Якщо границя функції в точці 0x існує, то чи дорівнює вона значенню функції в цій точці?

а) б) в)

y

xx0O

f(x0)

г) д) е) Мал. 2

1.2 Обчислити границю:

1) 432lim 2

1

xx

x; 3)

327lim

7

xx

x; 5)

xx

x 32sinlim

0;

2) 6532lim 2

2

3

xxxx

x; 4)

96

31lim 23 xxx

; 6) x

xx

1cossinlim3

.

1.3 Довести, що функція xf неперервна в точці 0x :

1) 2,13 0 xxxf ; 2) .4,4якщо,3,4якщо,4

0

2

xxxxx

xf

1.4 Довести, що функція

,1якщо,1,1якщо,2

xxx

xf не є неперервною

в точці 10 x .

8

Означення похідної функції 1.5 Знайти приріст функції xf в точці 0x при вказаному прирості

аргументу x :

1) 3,0,1,23 0 xxxxf ; 2) 6

,0,sin 0

xxxxf .

1.6 Для функції xxf 3cos знайти xxf

0 .

1.7 Користуючись означенням, знайти похідну функції: 1) xxf 21 ; 2) 232 xxxf .

Правила обчислення похідних. Похідна степеневої функції 1.8 Знайти похідну функції:

1) xxf21

; 4) 6

2xx ; 7) 3 xxg ; 10) 6

5x

xf ;

2) xxf 5 ; 5) 8xxf ; 8) 102 xxf ; 11) 82

1x

xg ;

3) 23xxg ; 6) 44xxh ; 9) 4

1x

x ; 12) 105

3x

xh .

1.9 Знайти похідну функції:

1) 23

xy ; 3) 52

5

xxh ; 5) 92

2

1

xxg ; 6)

4

7x

xf .

2) 31

xxf ; 4) 5 3xx ; 1.10 Знайти похідну функції:

1) 33 xxxf ; 3) 423 xxxy ; 5) 3

32xxx ;

2) 4 3xxxy ; 4) xx

xy 4 ; 6) ttxh .


1) 17463 257 xxxу ; 3) x

xy 44 ;

2) xxxy 2831 6 ; 4) 32

32xx

y .

1.12 Обчислити значення похідної функції в точці 0x : 1) xxxxf 34 2 , 10 x ;

2) 3223

23

xxxxf , 30 x ; 3) 216xxxf , 41

0 x .

1.13 Знайти похідну функції: 1) 12 23 xxу ; 3) xxу 231 ; 2) 23 2 xxу ; 4) 2313 42 xxxxу .

9


1) x

xy25

73

; 3) 352

x

xxy ; 5) x

xy 1 ;

2) 214

2

x

xy ; 4) 432

2

2

x

xxy ; 6) 14

x

xy .

1.15 Обчислити значення похідних даних функцій при вказаних значеннях незалежної змінної:

1) ?2,1

32

fx

xxf 2) ?3,55

3

3

fxxxf

1.16 Чи вірно, що 11 gf , якщо xxf 4 , x

xxg43

52

?

1.17 Розв’язати нерівність 0 xgxf , якщо 23 122 xxxf , xxxg 729 2 .

1.18 Знайти, при яких значеннях х дорівнює нулю похідна функції

234

634

xxxxf .

Похідна складеної функції 1.19 Знайти похідну функції:

1) 53 xy ; 3) 45 1223 xxy ; 5) 12 xy ;

2) 85 26 xxy ; 4) 32 31

xxy

; 6)

xxy

21

3 .

1.20 Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x :

1) 102 15 xxxf , 00 x ; 4) 3273 2

x

xxf , 20 x ;

2) 51 xxf , 40 x ; 5) 8

42

xхxf , 30 x .

3) xxxf 25 2 , 20 x ;

Похідні тригонометричних функцій 1.21 Знайти похідну функції:

1) 3

cossin33

3 xxxf ; 3) xxxf sin2 ; 5)

xxxf

sin1sin1

;

2) xctgxtgxf ; 4) tgxxxf 3 ; 6) 3

cos3x

xxf .


1) xy 6cos ; 3) xy 2sin ; 5) 2sin xy ; 7) x

xy 1cos2 ;

2)

63 xctgy ; 4) xy 2cos ; 6) xtgy 2 ; 8) 3

3sinx

xy .

10


1) 5

sin xxf , 6

50

x ; 3) xxf 3cos 4 ,

90

x ;

2) 2xtgxf , 20

x ; 4) xxxf 2sin3 ,

20

x .

1.24 Розв’язати рівняння xgxf , якщо 2

cos2 22 xxxf ,

xxxxg sin2 .

1.25 При яких значеннях х похідна функції xxxf23

3sin3 більша

від нуля?

Похідна показникової функції 1.26 Знайти похідну функції:

1) xey 6 ; 5) xy 5 ; 9) xxey x 32 ; 13) 1

xey

x

;

2) 3xey ; 6) 526 xy ; 10) xey x cos ; 14)

2545

x

x

y ;

3) 24 xxey ; 7) tgxy 4,0 ; 11) xy x 2 ; 15) xctgey 4 ;

4) xey sin ; 8) 22,04710 xy ; 12) 53 xy x ; 16) 52

2sin xy . 1.27 Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x :

1) 232 xx eexf , 00 x ; 3) 123 xexf x , 10 x ;

2) 154 22 xxxf , 10 x ; 4)

xexf

x

2sin

4

, 40

x .

1.28 Розв’язати нерівність xgxf , якщо: 1) 132 xxexf x , xxexg 2 ; 2) 149 xxf , xxg 234 .

Похідна логарифмічної функції 1.29 Знайти похідну функції:

1) xy 8log ; 6) xxy ln3 ; 11) xxy 104log 4 ; 2) xy 4ln ; 7) xxxy 22 ln35 ; 12) 2lg xy ;

3) xxy 2ln 2 ; 8) 2

lnx

xy ; 13) 342log 23,0 xxy ;

4) xy sinlg ; 9) x

xy 2

3

ln ; 14)

1ln

x

xxy .

5) xy 4ln ; 10) 1ln 32 xxy ;

11

1.30 Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x : 1) 12ln xxf , 5,10 x ; 3) 34log 2

4 xxy , 50 x ;

2) xxf 9ln61

, 121

0 x ; 4) 2

cosln xxf , 30

x .

1.31 Розв’язати нерівність xgxf , якщо: xxxf 25,1 2 , xxg 2ln .

Похідні вищих порядків

1.32 Знайти другу похідну функції:

1) 132 23 xxxy ; 3) x

xy 42 ;

2) 3

sin3 xy ; 4) xxy cos .

1.33 Знайти похідну третього порядку функції x

y 4 .

1.34 Знайти похідну четвертого порядку функції: 1) 10843 23 xxxy ; 2) xy 2cos .

Дотична до графіка функції

1.35 Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції:

1) 2423

23

xxxxf в точці 20 x ;

2) 235ln 22 xxxxf в точці 30 x . 1.36 Знайти тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка

функції xtgxf 3 в точці з абсцисою 120

x

1.37 Скласти рівняння дотичної до графіка функції: 1) xxxf 53 в точці 20 x ; 6) xxexf в точці 00 x ;

2) 235 xxxf в точці 10 x ; 7) 652 xxexf в точці 10 x ;

3) 3 22 хxf в точці 20 x ; 8) 435 xxf в точці 20 x ;

4) 2

sin xxf в точці 30

x ; 9) 54ln xxf в точці 10 x ;

5) xxf 3cos в точці 0x ; 10) 72log5 xxf в точці 90 x .

1.38 Скласти рівняння дотичної до графіка функції

62sin xxf

в точці перетину його з віссю ординат. 1.39 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 1ln2 xxf

в точці перетину його з віссю ординат.

12

1.40 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 24

2

xxxf

в точці перетину його з віссю абсцис. 1.41 Знайти абсцису точки графіка функції 45,2 23 xxxxf ,

в якій дотична до цього графіка паралельна прямій 53 xy . 1.42 Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

1) 642 xxxf , яка паралельна прямій 74 xy ; 2) 934,0 2 xxxf , яка паралельна прямій 087 yx ; 3) 42 xxf , яка перпендикулярна прямій 022 yx ;

4) xexf 2

21

, яка паралельна прямій 102 xey ;

5) 23 xexf , яка паралельна прямій 173 xy . 1.43 На параболі 2xy обрані точки з абсцисами 1x та 3x , через

які проведено січну. Скласти рівняння дотичної до параболи, яка паралельна цій січній.

1.44 Скласти рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції: 1) 84 24 xxxf ; 2) 60363 xxxf .

1.45 Знайти, в якій точці графіка функції 783 23 xxxxf дотична

до нього нахилена до осі абсцис під кутом 4 .

1.46 Знайти, в якій точці графіка функції 3

33xxxf дотична до

нього нахилена до осі абсцис під кутом 3

.

1.47 Знайти, в якій точці графіка функції 23ln xxf дотична до нього нахилена до осі абсцис під кутом 45 .

1.48 Під якими кутами парабола 1832 xxy перетинає вісь абсцис? 1.49 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції 2623 xxxxf в точці з абсцисою 10 x . 1.50 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції xxxf 64 в точці з абсцисою 90 x . 1.51 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції 23

xxxf в точці з абсцисою 30 x .

1.52 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 22 2 xxf , що проходить через точку 1;0M .

13

1.53 При яких значеннях b і с парабола cbxxy 2 дотикається прямої 13 xy в точці з абсцисою 10 x ?

Дослідження функції на зростання (спадання)

1.54 Знайти проміжки зростання і спадання функції:

1) xxxf 183 ; 4) 25,22

x

xxxf ;

2) 43

3143

2 xxxxf ; 5) xxxf 42 ;

3) 922,0 35 xxxxf ; 6) xxxf23sin .

1.55 Довести, що функція 523

23

xxxxf зростає на множині всіх

дійсних чисел.

1.56 Довести, що функція 643

643 xxxxxf спадає

на проміжку ;1 . 1.57 Знайти проміжки зростання і спадання функції 1 xexf x і

довести нерівність xex 1 при 0x . 1.58 Дослідити на монотонність функцію xxxf 1ln і довести

нерівність 1ln xx при всіх 1x . 1.59 Знайти, при яких значеннях параметра а зростає на R функція:

1) 542 xaxxf ; 3) 32212

3

23

aaxxaxxf ;

2) 10423

23

xaxxxf ; 4) xxaxaxf 363322 23 .

1.60 При яких значеннях а функція 2333ln273ln3 xa xxxf є спадною на множині всіх дійсних чисел?

Критичні точки, точки екстремуму функції 1.61 Знайти критичні точки функції:

1) xxxxf 23 5,22 ; 2) 22 31 xxxf ;

3) 3 2xxf . 1.62 Знайти точки екстремуму функції:

1) 103643 234 xxxxf ; 3) x

xxf 4 ;

2) 32 32 xxxf ; 4) 25 xxf .

14

1.63 Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) 3223

23

xxxxf ; 5) 132

x

xxxf ;

2) 32 24 xxxf ; 6) xxxf 22 ;

3) 312

xxxf ; 7)

32

3

xxxf ;

4) 34 12 xxxf ; 8) 11

2

2

xxxf .

1.64 Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції: 1) xexxf ; 4) xexxf 412 ; 7) xxxxf 327363 213 .

2) 56 2 xxexf ; 5) 3x

xexf

;

3) 3xexf ; 6) 1

xexf

x

;

1.65 Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції: 1) xxxf ln1 ; 6) xxxf ln3ln3 ; 2) xxxf ln2 ; 7) 8log2log 2

242 xxxf ;

3) xxxf 2ln3 ; 8) 6ln3221 2 xxxxf ;

4) xxxf 33 log ; 9) 421ln2 2 xxxxf ;

5) x

xxf 2ln ; 10) 24ln4ln3 xxxxxxf .

1.66 Знайти, при яких значеннях а функція xaxaxf 12sin2 : 1) не має критичних точок; 2) не має екстремумів.

1.67 Знайти, при яких значеннях параметра а не має критичних точок функція xaxxf 44 3 .

1.68 При яких значеннях параметра а функція 64 axexf x не має критичних точок?

1.69 При яких значеннях параметра а функція 4ln3 axxxf не має критичних точок?

1.70 Скільки критичних точок має функція xxxxf 221

31 23 на

проміжку 0; aaa ?

1.71 При яких значеннях а функція 9122

13

23

xaxaxxf має

додатну точку мінімуму?

15

Побудова графіків функцій 1.72 Дослідити функцію та побудувати її графік:

1) 323 xxy ; 7) 2

2

xxy ; 13)

xey

x

;

2) 441 24 xxy ; 8) xxy ; 14) 24ln xy ;

3) 22 21 xxxf ; 9) 24 xxy ; 15) 11ln

xxy ;

4) 13

xxy ; 10) 24

x

xey ; 16) 2ln2 xxy ;

5) 211x

y

; 11) 2xxey ; 17)

xxy ln

.

6) 42

x

xy ; 12) 22 xexy ;

Найбільше і найменше значення функції

1.73 Знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку:

1) 2;1,31 32 xxy ; 7) 0;8,4 x

xey ;

2) 1;2,24 24 xxy ; 8) 0;2,8 122 xxy ;

3) 6;3,252

хxy ; 9) 2;1,33 xxy ;

4) ;0,2cossin2 xxy ; 10) 2;0,54 223 xxey x ;

5)

45;

43, xtgxy ; 11) 1;1,323432 23 xxxy ;

6)

4;

4,5coscos xxy ; 12) 3;0,223 xxxy .

1.74 На яку множину функція 326 xxxf відображає відрізок 3;1 ? 1.75 Знайти найбільше і найменше значення функції 333 xxxxf

на проміжку 4;0 . 1.76 Число 60 представити у вигляді суми двох доданків так, щоб сума

їх квадратів була найменшою. 1.77 Знайти додатне число, потроєний квадрат якого більший за

подвоєний куб цього числа на найбільше значення. 1.78 Якими мають бути сторони прямокутника, периметр якого дорівнює

60 см, щоб його площа набувала найбільшого значення? 1.79 В рівнобедрений трикутник, кут при основі якого дорівнює ,

вписано коло радіуса r . Знайти площу трикутника. При якому значенні площа трикутника буде найменшою?

16

Фізичний зміст похідної 1.80 Точка рухається прямолінійно за законом 853 2 tttx (час t

вимірюється в секундах, переміщення х – в метрах). Знайти швидкість руху в момент часу 4t .

1.81 Обертання тіла навколо осі здійснюється за законом 226 ttt (час t вимірюється в секундах, t – кут повороту в радіанах). Знайти, в який момент часу тіло зупиниться.

1.82 Тіло масою 5 кг рухається прямолінійно за законом tttts 1034 23 (час t вимірюється в секундах, s – в метрах). Знайти

кінетичну енергію тіла і силу, що діє на нього, в момент часу 2t .

2 варіант Границя функції. Неперервність функції

1.1 Для кожної з функцій, графік якої зображено на мал. 3, встановити: 1) Чи визначена ця функція в точці 0x ; 2) Чи існує границя функції в точці 0x ; 3) Якщо границя функції в точці 0x існує, то чи дорівнює вона значенню функції в цій точці?

а) б) в)

г) д) е) Мал. 3

17

1.2 Обчислити границю:

1) 632lim 2

2

xx

x; 3)

41023lim

3

xx

x; 5)

xx

x 65sinlim

0;

2) 3423lim 2

2

1

xxxx

x; 4)

21

23lim 22 xxxx

; 6)

1cos1sinlim

1 xx

x

.

1.3 Довести, що функція xf неперервна в точці 0x : 1) 4,5,04 0 xxxf ;

2) .3,3якщо,6

,3якщо,39

0

2

xx

xxx

xf

1.4 Довести, що функція

,0якщо,1

,0якщо,

2sin

x

xxx

xf не є

неперервною в точці 00 x .

Означення похідної функції 1.5 Знайти приріст функції xf в точці 0x при вказаному прирості

аргументу x : 1) 1,0,1, 0

2 xxxxf ;

2) 12

,4

,cos 0

xxxxf .

1.6 Для функції xtgxf 4 знайти xxf

0 .

1.7 Користуючись означенням, знайти похідну функції: 1) 73 xxf ; 2) 542 xxxf .

Правила обчислення похідних Похідна степеневої функції


1) 4xxf ; 4)

8

2xx ; 7) 6 xxg ; 10) 5

4x

xf ;

2) xxf 3 ; 5) 12xxf ; 8) 85 xxf ; 11) 661x

xg ;

3) 24xxg ; 6) 53xxh ; 9) 7

1x

x ; 12) 392x

xh .

18


1) 51

xy ; 3) 67

xxh ; 5) 52

4

1

xxg ;

2) 43

4

xxf ; 4) 6 5xx ; 6) 8

3x

xf .


1) xxxf 28 ; 3) хxxxy 3 ; 5) 4

24x

xx ;

2) 7 52 xxxy ; 4) 3

5xx

xy ; 6) 3 2ttxh .


1) 6324 246 xxxxf ; 3) x

xy 22

2

;

2) xxxy 7641 8 ; 4) 24

63xx

y .

1.12 Обчислити значення похідної функції в точці 0x : 1) xxxxf 4632 23 , 20 x ; 3) xxxf 123 , 90 x .

2) 246

46

xxxxf , 10 x ;

1.13 Знайти похідну функції: 1) 34 23 xxу ; 3) xxу 652 ; 2) 34 xxу ; 4) 144 223 xxxxу .


1) x

xy34

56

; 3) 242

x

xxy ; 5) x

xy 2 ;

2) 3

212

x

xy ; 4) 1

62

2

x

xxy ; 6) 12

x

xy .

1.15 Обчислити значення похідних даних функцій при вказаних значеннях незалежної змінної:

1) ?2,0,25

107

fx

xxf 2) ?2,22

4

4

fxxxf

1.16 Чи вірно, що 00 gf , якщо xxxf 82 , 3223

xxxg ?

1.17 Розв’язати нерівність 0 xhxf , якщо xxxf 362 3 , 4915 2 xxh .

1.18 Знайти, при яких значеннях х дорівнює нулю похідна функції

x

xxf 12 .

19

Похідна складеної функції 1.19 Знайти похідну функції:

1) 672 xy ; 3) 56 3412 xxy ; 5) 143 xy ;

2) 74 83 xxy ; 4) 42

1xx

y

; 6) xx

y42

13

.


1) 52 32 xxxf , 20 x ; 4) 32113 2

хxxf , 20 x ;

2) 42 xxf , 10 x ; 5) хx

xxf34

13

2

, 10 x .

3) xxxf 54 2 , 10 x ;

Похідні тригонометричних функцій 1.21 Знайти похідну функції:

1) 49

24

cos29

xtgxxxf ; 3) xxxf cos3 ; 5)

xxxf

cos1cos1

;

2) xctgxtgxf ; 4) xctgxxf 4 ; 6) x

xxfsin2 2

.


1) 4

sin xy ; 3) xtgy 2 ; 5) x

xy 1sin3 ;

2)

52 xtgy ; 4) xy 3cos ; 6)

12

cos

x

x

y .


1) 8xctgxf , 40 x ; 3) xxf 2sin3 ,

120

x ;

2) xxf cos , 4

2

0

x ; 4) xtgxxf 35

, 0x .

1.24 Розв’язати рівняння xgxf , якщо xxxxf sin232

cos8 ,

2

cos4 2 xxxg .

1.25 При яких значеннях х похідна функції 22

cos4 xxxf менша

від нуля?

20

Похідна показникової функції 1.26 Знайти похідну функції:

1) xey 8 ; 5) xy 8 ; 9) 652 xxey x ; 13) 8

10

x

yx

;

2) 4xey ; 6) 739 xy ; 10) xey x sin ; 14)

79

x

x

eey ;

3) xxey 32 ; 7) ctgxy 2,0 ; 11) xy x 3 ; 15) 3xtg

ey ;

4) xey cos ; 8) 86,0 245 xy ; 12) xy x 26

2; 16)

295cos xy . 1.27 Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x :

1) 224 xx eexf , 00 x ; 3) 322 xexf x , 20 x ;

2) 132 25 xxxf , 10 x ; 4)

xexf

x

3cos

2

, 0x .

1.28 Розв’язати нерівність xgxf , якщо: 1) 342 xxexf x , xxexg ; 2) xxf 54 , xxg 125 .

Похідна логарифмічної функції

1.29 Знайти похідну функції: 1) xy 6log ; 6) xxy ln4 ; 11) xxey 3log3 ; 2) xy 7ln ; 7) xxxy 22 ln35 ; 12) 1ln xy ;

3) xxy 5ln 2 ; 8) x

xyln

2

; 13) 673log 2

21 xxy ;

4) xy coslg ; 9) 3

2lnx

xy ; 14) 21ln

xxxy

.

5) xy 5ln ; 10) 1ln 2 xxy ; 1.30 Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x :

1) 45ln xxf , 30 x ; 3) 75log 25 xxy , 20 x ;

2) xxf 2ln41

, 81

0 x ; 4) 3

sinln xxf , 0x .

1.31 Розв’язати нерівність xgxf , якщо: 932 2 xxxf , 1ln5 xxg .

Похідні вищих порядків

1.32 Знайти другу похідну функції:

1) 643 24 xxxy ; 2) xy 4cos5,0 ; 3) x

xy 43 ; 4) xxy sin .

21

1.33 Знайти похідну третього порядку функції 2

6x

y .

1.34 Знайти похідну четвертого порядку функції: 1) 765,0 2 xxy ; 2) xy 5sin .

Дотична до графіка функції 1.35 Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції:

1) 1753 24 xxxxf в точці 10 x ; 2) 72ln 2 xxxxf в точці 20 x .

1.36 Знайти тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка

функції 4

cos xxf в точці з абсцисою 3

20

x .

1.37 Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

1) xxxf 461 3 в точці 20 x ; 6) xexxf 22 в точці 10 x ;

2) xxxf 23 2 в точці 10 x ; 7) 432 xxexf в точці 10 x ; 3) 3 1 xxf в точці 10 x ; 8) 323 xxf в точці 10 x ;

4) xtgxf 2 в точці 80

x ; 9) xxf 23ln в точці 10 x ;

5) xxf 4sin в точці 40

x ; 10) 5log2 xxf в точці 30 x .

1.38 Скласти рівняння дотичної до графіка функції

63xtgxf

в точці перетину його з віссю ординат. 1.39 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 54ln 2 xxxf

в точці перетину його з віссю абсцис.

1.40 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 231x

xxf

в точці перетину його з віссю абсцис.

1.41 Знайти абсцису точки графіка функції 58

93

23

xxxxf ,

в якій дотична до цього графіка паралельна прямій 35,0 xy . 1.42 Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

1) 723,0 2 xxxf , яка паралельна прямій 58,0 xy ; 2) 542,0 2 xxxf , яка паралельна прямій 036 yx ; 3) 32 xxf , яка перпендикулярна прямій 03 xy ; 4) xexf , яка паралельна прямій 5 exy ; 5) 14 xexf , яка паралельна прямій 104 xy .

22

1.43 На параболі 24 xy обрані точки з абсцисами 1x та 3x , через які проведено січну. Скласти рівняння дотичної до параболи, яка паралельна цій січній.

1.44 Скласти рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції: 1) 15105 35 xxxxf ; 2) 3252 xxxf .

1.45 Знайти, в якій точці графіка функції 23 3 xxf дотична до


.

1.46 Знайти, в якій точці графіка функції 3

33 xxxf дотична до


.

1.47 Знайти, в якій точці графіка функції xxf 54ln дотична до нього нахилена до осі абсцис під кутом 135 .

1.48 Під якими кутами парабола 342 xxy перетинає вісь абсцис? 1.49 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції 3223 xxxxf в точці з абсцисою 10 x . 1.50 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції xxxf 45 в точці з абсцисою 40 x . 1.51 Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і

дотичною до графіка функції 12

xxxf в точці з абсцисою 20 x .

1.52 Скласти рівняння дотичної до графіка функції 21 xxf , що проходить через точку 1;1M .

1.53 При яких значеннях а і b парабола 32 bxax дотикається прямої 12 xy в точці з абсцисою 20 x ?

Дослідження функції на зростання (спадання)

1.54 Знайти проміжки зростання і спадання функції:

1) 62321 234 xxxxf ; 4)

1422

x

xxxf ;

2) 32241 xxxxf ; 5) 22 xxxf ;

3) 108 34 xxxf ; 6) xxxf22cos .

1.55 Довести, що функція 32 2366 xxxxf спадає на множині всіх дійсних чисел.

23

1.56 Довести, що функція xxxxxf 361843 234 спадає на проміжку ;1 .

1.57 Знайти проміжки зростання і спадання функції 1 xexf x і довести нерівність xe x 1 при 0x .

1.58 Дослідити на монотонність функцію xexxf 1ln1 і довести нерівність xex 1ln1 при всіх 1x .

1.59 Знайти, при яких значеннях параметра а зростає на R функція:

1) 761 2 xxaxf ; 3) 13222

3

23

aaxxaxxf ;

2) 5923

23

xaxxxf ; 4) xaxaxxf 1232 23 .

1.60 При яких значеннях а функція 2ln82ln22 12 xxxf ax є зростаючою на множині всіх дійсних чисел?

Критичні точки, точки екстремуму функції 1.61 Знайти критичні точки функції:

1) 421

32 23 xxxxf ; 3) 3 xxf .

2) 22 45 xxxf ; 1.62 Знайти точки екстремуму функції:

1) 32 2336 xxxxf ; 3) x

xxf 542 ;

2) 23 13 xxxf ; 4) 24 xxf . 1.63 Знайти проміжки з2ростання і спадання та точки екстремуму

функції:

1) 1284 234 xxxxf ; 5) x

xxf

2

52

;

2) 4723 23 xxxxf ; 6) 28 xxxf ;

3) 453

xxxf ; 7)

22

2

xxxf ;

4) 34 52 xxxf ; 8) 2916

xxf

.

1.64 Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції: 1) xeexf x ; 4) xexxf 323 ; 7) xxxxf 515595 23 .

2) 382 xxexf ; 5) 22x

exxf

;

3) 4xexf ; 6) 2

xexf

x

;

24

1.65 Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) xxxxf 2ln ; 6) xxxf 32 ln31ln5,1 ;

2) xxxf ln3 ; 7) 7lg12lg3 xxxf ;

3) xxxf lnln 2 ; 8) 3ln1082 xxxxf ; 4) xxxf 2

2 log ; 9) 441ln2 2 xxxxf ;

5) x

xxfln

2

; 10) 1lnln 2 xxxxxxf .

1.66 Знайти, при яких значеннях а функція xaxaxf 43cos1 2 : 1) не має критичних точок; 2) не має екстремумів.

1.67 Знайти, при яких значеннях параметра а не має критичних точок функція xaxxf 533 3 .

1.68 При яких значеннях а функція 53 axexf x не має критичних точок?

1.69 При яких значеннях а функція 3ln4 axxxf не має критичних точок?

1.70 Скільки критичних точок має функція xxxxf 223

23

на

проміжку 0; aaa ?

1.71 При яких значеннях а функція 1232

23

23

xaxaxxf має

від’ємну точку максимуму?

Побудова графіків функцій 1.72 Дослідити функцію та побудувати її графік:

1) xxy 33 ; 7) x

xxy 132 ; 13)

2xey ;

2) 4223 xxy ; 8) xxy 2 ; 14) xxy ln ;

3) 22 31 xxxf ; 9) 22 xxy ; 15) x

xy ln1 ;

4) 24

xxy ; 10) xxey ; 16) 2

2 4log xxy ;

5) 34

12

xx

y ; 11) 2

2x

xey

; 17) 1

ln

x

xy .

6) 12

x

xy ; 12) xexy 2 ;

25

Найбільше і найменше значення функції 1.73 Знайти найбільше і найменше значення функції на даному

проміжку:

1) 6;0,11221

31 23 хxxy ; 7) 1;0,2xxey ;

2) 1;2,305 45 xxy ; 8) 1;4,5 542 xxy ;

3) 3;1,432

х

xxy ; 9) 1;2,44 xxy ;

4)

23;0,2sin

21sin xxy ; 10) 5,0;2,23 254 xxey x ;

5)

43;

4, xctgxy ; 11) 2;0,212292 213 xxxy ;

6) ;0,23cos2 xxy ; 12) 4;0,333 xxxy .

1.74 На яку множину функція 23 23 xxxf відображає відрізок 3;1 ?

1.75 Знайти найбільше і найменше значення функції 223 xxxxf на проміжку 3;0 .

1.76 Число 36 представити у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

1.77 Знайти додатне число, подвоєний квадратний корінь більший за це число на найбільше значення.

1.78 Площа прямокутника дорівнює 400 см2. Якими мають бути його сторони, щоб периметр прямокутника був найменший?

1.79 Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює а, а гострий кут – . Діагональ трапеції перпендикулярна бічній стороні. Знайти площу трапеції. При якому значенні площа трапеції буде найбільшою?

Фізичний зміст похідної

1.80 Точка рухається прямолінійно за законом 642,0 25 tttx (час t вимірюється в секундах, переміщення х – в метрах). Знайти швидкість руху в момент часу 2t .

1.81 Обертання тіла навколо осі здійснюється за законом 2318 ttt (час t вимірюється в секундах, t – кут повороту в радіанах). Знайти, в який момент часу тіло зупиниться.

1.82 Тіло масою 4 кг рухається прямолінійно за законом

tttts 731 23 (час t вимірюється в секундах, s – в метрах). Знайти

імпульс тіла і силу, що діє на нього, в момент часу 5t .

26

ІІ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла

Первісною функцією для функції f(x), визначеної на проміжку <a;b>, називають функцію F(x), яка визначена на тому самому проміжку і задовольняє умові )()( xfxF .

Сукупність всіх первісних функції f(x), визначеної на проміжку <a;b>, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом dxxf )( . Таким чином, якщо ),()( xfxF то

CxFdxxf )()( .

Невизначені інтеграли елементарних функцій: Cdx0

Cxdx

1,1

1

nCnxdux

nn

Cxx

dx 2

Cxx

dx 12

Cxx

dx ln

Ca

adxax

x ln

Cedxe xx

Cxxdx cossin

Cxxdx sincos

Cxtgxdx cosln

Cxctgxdx sinln

Ctgxx

dx2cos

Cctgxx

dx2sin

Властивості невизначеного інтеграла (правила інтегрування)

1 )())(( xfdxxf

2 dxxfdxxfd )())(( 3 ,)()( CxFxdF

4 dxxfCdxxCf )()( , де С= const 0С ,

5 dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121

6 ,)()( CuFduuf де )(xu диференційована функція від незалежної

змінної х. Зокрема, якщо baxu , то CbaxFa

dxbaxF )(1)( .

27

Визначений інтеграл та його застосування

Визначеним інтегралом на проміжку ba ; від неперервної функції xf називається приріст aFbF будь-якої первісної F цієї функції на проміжку ba ; та позначається

)()()()( aFbFab

xFdxxfb

a (формула Ньютона-Лейбніца),

де f(x) – підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз, x – змінна інтегрування. Число а називають нижньою межею інтегрування, число b – верхньою межею інтегрування.

Властивості визначеного інтеграла

1 a

b

b

adxxfdxxf .)()(

2 a

adxxf 0)( .

3 Якщо f(x) – інтегрована функція на відрізку ba; і С – стала, то на цьому

відрізку інтегрована і функція Сf(x), причому b

a

b

adxxfСdxxСf ,)()( тобто

сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла. 4 Якщо f1(x) і f2(x) – інтегровані функції на відрізку ba; , то на цьому відрізку інтегровані і функції f1(x) f2(x), причому

b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxfxf .)()()()( 2121

5 Якщо f(x) – інтегрована функція на відрізку ba; і f(x) 0 для bax ; , то

b

adxxf .0)(

6 Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку ba; і a<c<b, то ця функція інтегрована і на відрізках ca; і bc; , причому

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()( .

7 Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; , то існує точка bac ; така,

що b

aabcfdxxf ).)(()( При цьому значення функції f(x) в точці с

називають середнім значенням цієї функції на відрізку ba; .

28

Площа плоскої фігури. Плоска фігура, обмежена прямими 0y , ax , bx і графіком

неперервної і невід`ємної на відрізку ba; функції y= f(x) (мал. 4), називається криволінійною трапецією.

Площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

b

adxxfS .)(

Якщо плоска фігура обмежена двома кривими xfyв 2 і xfyн 1 , причому на відрізку ba; xfxf 12 і двома прямими: ax і bx (мал. 5),

то її площа обчислюється за формулою b

aнв dxyyS .

Якщо плоска фігура обмежена кривими )(2 yxn , )(1 yxl і прямими cy i dy , причому c d і )()( 12 yy на відрізку dc; (мал. 6), то її

площа обчислюється за формулою d

cлп dyxxS .

Об`єм тіла Якщо Q(x) – площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі Оx в

точці з абсцисою х (мал. 7), то об`єм тіла обчислюється за формулою

b

a

dxxQV ,)(

де а і b – абсциси крайніх перерізів тіла.

y

x b a 0

Мал. 4

)(xfy

y

x b a 0

)(2 xfy

)(1 xfy

Мал. 5

y

x

d

c

0 )(1 yx )(2 yx

Мал. 6

y

x a x b 0

Мал. 7

29

Об`єми тіл обертання відносно координатних осей обчислюються за формулами:

b

ax dxxyV )(2

d

cy dxyxV )(2

Приклад 1 Знайти: 1) dxxx )564( 23 ; 2) .3

23

dxx

xexx x

Розв`язання. 1) Скориставшись властивостями 4 і 5 невизначеного інтеграла, будемо мати dxdxxdxxdxxx 564)564( 2323

.5253

64

4 3434

CxxxСxxx

2)

dxxx

xex

xxdx

xxexx xx

3

2

3

3

33

23

.ln3

2ln32 2

325

xexx

CCxexx

dxdxedxx xxx

Приклад 2 Знайти .

2cos1cos1 2

dxxx .

Розв`язання. Оскільки xx 22coscos21 , то

dx

xdx

xxdx

xxdx

xx 1

cos1

21

coscos1

21

cos2cos1

2cos1cos1

22

2

2

22

.tg21

2tg

21

21

cos21

2 CxxCxxdxx

dx

y = f (x) y

a b x 0

Мал. 8

x=x(y)

0

c

d

x

y

Мал. 9

30

Приклад 3 Знайти: 1) dxx 1935 ; 2) .cossin5 4 xdxx .

Розв`язання. 1) Враховуючи формулу CbaxFa

dxbaxF )(1)( і

Cuduu20

2019 , маємо

.100

3520

355135

202019 CxCxdxx

2) .sin5

sin5)(sinsin5cossin5 55

44 CxCxxdxxdxx

Приклад 4 Обчислити площу фігури, обмеженої лінією 21 xxy і віссю Оx.

Розв`язання. Функція 21 xxy визначена для всіх дійсних значень х. Точки перетину графіка функції з віссю Оx знаходимо із системи рівнянь

,0

,)1( 2

yxxy

звідки

0,0

yx

і

.1,0

yx

Не важко переконатися в тому, що функція

21 xxy має екстремум в точках

274;

31 і (1;0),

а також точку перегину

272;

32 .

21 xxy

Мал. 10

На основі цих даних будуємо графік функції (мал. 10). Фігура, площу якої треба знайти, обмежена зверху лінією 21 xxy , знизу 0y і проектується на вісь Ох у відрізок 1;0 , тобто 21 xxyв , ун= 0, а=0, b=1. Таким чином,

1

0

1

0

1

0

234232 .

121

21

32

41

232

42)1( xxxdxxxxdxxxS

Приклад 5 Обчислити об’єм тіла, обмеженого

поверхнею, яка утворюється обертанням параболи xy 42 навколо своєї осі (параболоїд обертання) і площиною, перпендикулярною до його осі і віддаленою від вершини параболи на відстань, що дорівнює одиниці.

Розв`язання. Побудуємо тіло (мал. 11). Враховуючи, що ,2 xyв ун= 0, а= 0 і b=1, будемо мати

1

0

1

02 224 xxdxVx .

y

x 1 0

1

2

-2

-1

Мал.11

31

1 варіант

Первісна. Основна властивість первісної 2.1 Довести, що функція F є первісною для функції f на вказаному

проміжку: 1) RxxxxfxxxF ,63,93 223 ;

2) 0;,43,43 2 xx

xfx

xxF ;

3)

;5,1,32

1,32 xx

xfxxF ;

4) RxxxfxxF ,5

sin51,

5cos ;

5)

4;

4,

2cos6,1023 2

xx

xfxtgxF .

2.2 Чи є функція 462

xxF первісною для функції 3

12x

xf на

проміжку: 1) ;0 ; 2) 3;3 ; 3) 0; ; 4) 0;5 ?

2.3 Чи є функція 3 xxF первісною для функції 1xf на проміжку: 1) 3;1 ; 2) 1;4 ?

Правила знаходження первісних 2.4 Для даної функції f знайти первісну, графік якої проходить через

дану точку М:

1) 2;1,2 Mxxf ; 4)

32;1,1

4 Mx

xf ;

2)

1;

3,sin Mxxf ; 5) 1;1,1

5 3 M

xxf ;

3)

33;

6,

cos1

2M

xxf ; 6)

4ln1;0,4 Mxf x ;

2.5 Для даної функції f знайти загальний вигляд первісної:

1) xxf 3 ; 5) 3232xx

xf ;

2) 123 2 xxxf ; 6) x

xxf 2sin4cos3 ;

3) 64 1410 xxxf ; 7) 784 xxxf ;

4) x

xxf 63 ; 8) 3

3 2 4x

xxf .

32

2.6 Для даної функції f знайти первісну F, що задовольняє умові:

1) 32,346 2 Fxxxf ; 3) 75,0,13 2 Fx

xf .

2) 01,4

515 14 Fx

xxf ;


1) 313 xxf ; 5) 12

8

x

xf ; 9) 32 7x

xexf ;

2) xxf 7cos ; 6) 234

1

x

xf ; 10) xx exf 5,02ln2 ;

3) 5

sin xxf ; 7) 3ln32xxf ; 11) xx eexf 4143 86 .

4)

6cos

42 xxf ; 8) xexf 5 ;

2.8 Для даної функції f знайти первісну, графік якої проходить через дану точку А:

1) 3;,4cos43

sin31

Axxxf ; 4) 3;0,cos2 Axexf x ;

2)

23;

16,

124sin

22

Ax

xf ; 5)

4;

21,6

242 eAexxf x ;

3) 1;3,29

1 Ax

xf

; 6) 6;1,6ln6 Aexf xx .

2.9 Знайти первісну функції 12 xxf , один із нулів якої дорівнює 3. 2.10 Знайти первісну функції 3123 2 xxxf , один із нулів якої

дорівнює –1. Знайти решту нулів первісної. 2.11 Знайти первісну функції 34 xxf , графік якої з прямою 3y

має тільки одну спільну точку. 2.12 Знайти первісну функції 47 xxf , для графіка якої пряма

310 xy є дотичною. 2.13 Знайти загальний вигляд первісної даної функції:

1) xxf 3sin 2 ; 3) 2

34 12x

xxxf ; 5) xxxf 3cos4sin .

2) 4

2 xctgxf ; 4) 22 3xxxf ;

2.14 xF – первісна функції xxf 23 , графік якої має спільну точку з графіком функції xf , що належить осі ординат. Знайти первісну xF та всі точки перетину графіків функцій xf і xF .

33

2.15 Знайти формулу, якою задається функція xfy , графік якої проходить через точку 4;1M , а кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка в точці х, дорівнює 232 x .

Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

2.16 Обчислити інтеграл:

1)

3

12 dxx ; 11)

2

2sin dxx ; 21)

8

13 xdx ;

2) 5

0

2 3 dxxx ; 12)

4

32cos x

dx ; 22)

42

784 2100

3x

dx ;

3)

1

2

23 51068 dxxxx ; 13) 9

12

2 3sin

xdx ; 23)

14

1 3 219

6

x

dx ;

4)

2

3

24 dxx ; 14)

2

0 4cos2sin dxxx ; 24)

32

3

33

cos

dxx ;

5) 2

1

495 dxx ; 15) 9

4dxx ; 25)

5ln

0dxe x ;

6)

2

5,2332

8x

dx ; 16)

27

8

3 dxx ; 26) 3

25 dxx ;

7)

9

1

21 dxx

; 17) 16

1

4 3 dxx ; 27) 1

01853 dxe xx ;

8)

1

1 54xdx ; 18)

1

11 dxx ; 28)

0

8

8 dxex

;

9)

6

0

24 xdx ; 19)

5,1

0

3 16 dxx ; 29)

1

1

3

31 dx

x

;

10)

6

cos xdx ; 20) 8

2dxxx ; 30)

4

4

4 sin10 dxxx

.

34


1) 24

0

2 4

dxxtg ; 5)

2

3

224 dxxx ; 9) 3ln

2ln

231 dxe x ;

2) dxx

02

8cos2

; 6) 4

0

22 dxxx ; 10) 4ln

0

222 dxee xx ;

3) 6

0

4sin

dxx ; 7) dxxxx

2

15

32 4 ; 11) dxx

xx

0

1 6352 ;

4) 2

8

3cos5cos

dxxx ; 8) dx

xxx

9

4

257 ; 12) dxexex

x

x

2

12

2

.


1) 27

3 xdx ; 3)

24

6 2lnxdx ; 5)

5

0 57xdx ; 7)

14

1

3

xdx ;

2) dxx

e

e5

3 ; 4) dxxx

1

3

4 ; 6)

0

2 23xdx ; 8) dxx

x

7

2

2

126 .


1) dxx

x24

1

1

; 2) dx

xxx

1

24

3 34 .

2.20 Обчислити інтеграл

1

3dxxf , якщо

.2,6,2,2

xxxxxf

2.21 При яких значеннях параметра а виконується нерівність:

1) 2631

2 а

dxx ; 2) 723

а

dxx .

Площа криволінійної трапеції

2.22 Знайти площу фігури, обмеженої: 1) параболою 2xy та прямими 0y , 2x і 1x ; 2) графіком функції 3xy та прямими 0y і 1x ;

3) графіком функції xy cos та прямими 0y , 2

x і 6

x ;

4) параболою 24 xy та віссю абсцис; 5) параболою xxy 22 , віссю абсцис та прямою 4x ; 6) графіком функції xy та прямими 0y , 1x і 9x ; 7) графіком функції 3 xy та прямими 0y і 7x ;

35

8) графіком функції xy 2sin та прямими 0y , 8

x і 8

3x ;

9) графіком функції x

y 1 та прямими 0y , 1x і 4x ;

10) графіком функції 2

3

x

y та прямими 0y , 4x і 6x .

2.23 Довести, що площі криволінійних трапецій, заштрихованих на малюнку 12, рівні.

xy 12

2.24 Обчислити площу заштрихованої фігури, зображеної на мал. 13.

y

xO 1

1

2

2

3

3

4

4

52

4x

y

xy 37 Мал. 13 а)

36

21x

y

xy

21

Мал. 13 б)

xy sin6

2

65

xy sin1

Мал. 13 в)

42

414 xxy

xy 24

Мал. 13 г)

37

29x

y

2

91 xy

Мал. 13 д) 2.25 Знайти площу фігури, обмеженої:

1) параболою 26 xy та прямою 2y ; 2) параболою 24 xy та прямою 2 xy ; 3) параболою xxy 42 , прямою 4y та віссю ординат; 4) параболою 962 xxy та прямою 5 xy ; 5) параболою 222 xxy та прямою 32 xy ;

6) графіками функцій xy та xy31

;

7) параболами 122 xxy та 542 xxy ; 8) графіками функцій 2 xy та 15,0 xy ; 9) графіками рівнянь 6xy , 0652 xx та 0y ;


y 4 та прямими 2y та 1x ;




y 7 та прямою 8 yx ;


y 2 та прямими 1 xy та 3x ;

14) графіками функції 4xy , x

y 1 та прямою 2x ;

15) графіками функції xy , x

y 1 та прямою 4x .

38

2.26 Знайти площу фігури, обмеженої: 1) графіками функцій 1 xy і xy 7 та віссю абсцис;

2) графіком функції

20,2

,02

,cos2

xx

xxxf

та віссю абсцис;

3) графіками функцій xy , 32

32

xy та віссю абсцис.

2.27 Використовуючи геометричний зміст інтегралу, обчислити інтеграл:

1)

2

2

24 dxx ; 2) 6

3

26 dxxx ; 3)

4

9

289 dxxx ;

2.28 Знайти площу фігури, обмеженої параболою 23 xxy , дотичною, проведеною до даної параболи в точці з абсцисою 30 x , та віссю ординат.

2.29 На гіперболі x

y 1 , 0x , обрано точку 00 , yxM таку, що

00 41 xy . Знайти площу трикутника, обмеженого дотичною до гіперболи в

точці М та осями координат. 2.30 Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій xxy 22

та xy . 2.31 Знайти, при якому значенні параметра а площа фігури, обмеженої

параболою 26xy та прямими 0y , 2 ax , ax буде набувати найменшого значення.

2.32 При якому додатному значенні параметра а пряма 5x ділить

площу фігури, обмеженої графіком функції x

y 1 та прямими 0y , 2x ,

5 ax , навпіл? 2.33 При якому значенні параметра а пряма ax ділить площу фігури,

обмеженої графіком функції x

y 4 та прямими 0y , 4x , 9x , навпіл?

Об’єм тіла обертання

2.34 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої: 1) графіком функції xy та прямими 0y , 4x ;

2) синусоїдою xy sin та прямими 0y , 4

x і 4

3x ;

3) параболою 12 xy та прямими 0y , 0x і 2x . 2.35 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис

фігури, обмеженої графіками функцій 4xy та xy .

39

Застосування інтеграла у фізиці 2.36 Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 2318 tttv (м/с).

обчислити шлях, яке пройшло тіло: 1) за інтервал часу від 21 t с до 52 t с; 2) від початку руху до зупинки.

2.37 Вантаж масою 5m кг розтягує пружину, підвішену вертикально, на довжину 15,0l м. Обчислити роботу, яка при цьому виконується.

Диференціальні рівняння

2.38 Чи є дана функція розв’язком даного диференціального рівняння: 1) xey 34 , yy 3 ; 2) 42 xey x , xyy 2 ; 3) xxy 2cos42sin3 , yy 4 ; 4) xey x sin , 022 yyy ?

2.39 При якому значенні параметра а функція xxy ln є розв’язком рівняння yaxyx ?

2.40 Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння та його окремий розв’язок, що задовольняє початковим умовам: 1) yy 5 , 30 y ; 2) yy 3 , ey 1 ; 3) yy 9 , 00 y , 20 y ; 4) yy 2 , 10 y , 30 y .

40

2 варіант

Первісна. Основна властивість первісної 2.1 Довести, що функція F є первісною для функції f на вказаному

проміжку: 1) RxxxxfxxxF ,122,64 232 ;

2) ;0,75,75 2 xx

xfx

xxF ;

3)

;25,2,94

2,94 xx

xfxxF ;

4) RxxxfxxF ,3cos3,3sin ;

5)

;2

,1

3sin3

6,3

92

xxxfxctgxF .

2.2 Чи є функція 323x

xF первісною для функції 46x

xf на

проміжку: 1) 0; ; 2) 5;5 ; 3) ;0 ; 4) 7;0 ?

2.3 Чи є функція xxF 4 первісною для функції 1xf на проміжку: 1) 3;2 ; 2) 5;1 ?

Правила знаходження первісних 2.4 Для даної функції f знайти первісну, графік якої проходить через

дану точку М:

1) 4;1,3 Mxxf ; 4)

1;

21,1

5 Mx

xf ;

2)

5,1;

6,cos Mxxf ; 5) 4;1,1

3 2 M

xxf ;

3)

33;

3,

sin1

2M

xxf ; 6)

7ln

7ln27;1,7 Mxf x ;


1) 6 xxf ; 5) 3445xx

xf ;

2) 184 3 xxxf ; 6) xx

xf sin2cos

72 ;

3) 52 612 xxxf ; 7) 83 96 xxxf ;

4) x

xxf 34 ; 8) 4

4 3 9x

xxf .

41

2.6 Для даної функції f знайти первісну F, що задовольняє умові:

1) 1003,965 2 Fxxxf ; 3) 35,1,432 F

xxf .

2) 01,6

713 12 Fx

xxf ;


1) 447 xxf ; 5) x

xf23

10

; 9) 22x

xexf ;

2) xxf 9sin ; 6) 323

1

x

xf ; 10) xx exf 27 3ln3 ;

3) 8

cos xxf ; 7) 6ln63xxf ; 11) xx eexf 6534 1216 .

4)

4sin

22 xxf ; 8) xexf 25,0 ;

2.8 Для даної функції f знайти первісну, графік якої проходить через дану точку А:

1) 0;,5sin52

cos21 Axxxf ; 4) 5;0,3sin Aexxf x ;

2)

23;

24,

126cos

62

Ax

xf ; 5) 3;2,2ln25ln5 Axf xx ;

3) 2;3,57

1 Ax

xf

; 6) eAexxfx

2;1,16 23 .

2.9 Знайти первісну функції 14 xxf , один із нулів якої дорівнює -4. 2.10 Знайти первісну функції 546 2 xxxf , один із нулів якої

дорівнює 1. Знайти решту нулів первісної. 2.11 Знайти первісну функції 35 xxf , графік якої з прямою 2y

має тільки одну спільну точку. 2.12 Знайти первісну функції xxf 38 , для графіка якої пряма

162 xy є дотичною. 2.13 Знайти загальний вигляд первісної даної функції:

1) xxf 4cos2 ; 3) 3

65 25xxxxf

; 5) xxxf 4cos7cos .

2) 3

2 xtgxf ; 4) 226 xxxf ;

2.14 xF – первісна функції 84 xxf , графік якої має спільну точку з графіком функції xf , що належить осі абсцис. Знайти первісну xF та всі точки перетину графіків функцій xf і xF .

42

2.15 Знайти формулу, якою задається функція xfy , графік якої проходить через точку 10;2M , а кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка в точці х, дорівнює 14 3 x .

Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца


1)

3

44 dxx ; 11)

3

2

3cos dxx ; 21)

81

14 xdx ;

2)

0

2

2 6 dxxx ; 12) 4

3

2

2sin

xdx ; 22)

11

05 22243

4x

dx ;

3)

2

1

23 112916 dxxxx ; 13)

30

15

2 5cos

xdx ; 23)

78

10 4 318

32

x

dx ;

4)

1

5

22 dxx ; 14)

dxxx 3sin3

cos ; 24)

4

16

44sin

dxx ;

5)

1

5,1

556 dxx ; 15) 16

1dxx ; 25)

4

1dxe x ;

6)

5,0

0434

12x

dx ; 16) 625

16

4 dxx ; 26) 5log

2

2

2 dxx ;

7)

49

414 dx

x; 17)

8

27

3 2 dxx ; 27) 2

02443 dxe xx ;

8)

13

1 36xdx ; 18)

5

204 dxx ; 28)

21

0

21 dxe x ;

9)

16

4

48 xdx ; 19)

2

8

4 658 dxx ; 29)

0

1

32 5,0ln2 dxx ;

10)

3

2

sin

xdx ;

20) 2

0

2 dxxx ; 30)

2

2

2 2cos7 dxxx .

43


1) 4

8

2 2

dxxctg ; 5)

1

2

22 dxxx ; 9) 4ln

0

22 2 dxe x ;

2) dxx

2

2

2

4sin2

; 6)

1

0

23 dxxx ; 10)

8ln

125,0ln

2

33 dxeexx

;

3)

0

4cos dxx ; 7) dxx

xx

3

24

2 2; 11) dxx

xx

2

0 42712 ;

4) 125

12

sin3sin

dxxx ; 8) dx

xxx

4

1

2 35,02 ; 12) dxexxex

x

1

23

3

.


1) 625

5 xdx ; 3)

30

10 3lnxdx ; 5)

9

0 26xdx ; 7)

17

49

7 x

dx ;

2) dxx

e

e9

4 ; 4) dxx

x

1

2

2 6 ; 6)

0

10 52xdx ; 8) dx

xx

10

5 42,056 .

2.19 Обчислити інтеграл: 1) dxx

x 22

5,0

2

; 2) dx

xxx

1

9

2 32 .

2.20 Обчислити інтеграл

3

2dxxf , якщо

.2,1

,1,12 xx

xxxf

2.21 При яких значеннях параметра а виконується нерівність:

1) 392

2 а

dxx ; 2) 841

a

dxx .

Площа криволінійної трапеції

2.22 Знайти площу фігури, обмеженої: 1) параболою 2xy та прямими 0y , 2x і 3x ; 2) графіком функції 4xy та прямими 0y і 1x ;

3) графіком функції xy sin та прямими 0y , 0x і 3

2x ;

4) параболою 24 xxy та віссю абсцис; 5) параболою xxy 22 , віссю абсцис та прямою 3x ; 6) графіком функції xy та прямими 0y , 1x і 4x ; 7) графіком функції 4 xy та прямими 0y і 5x ;

44


cos xy та прямими 0y , 2

x і 2

x ;


y 1 та прямими 0y , 3x і 6x ;


2

x

y та прямими 0y , 5,0x і 3x .

2.23 Довести, що площі криволінійних трапецій, заштрихованих на малюнку 12, рівні.

xy 8

2.24 Обчислити площу заштрихованої фігури, зображеної на малюнку 15.

y

xO 1

1

2

2

3

3

4

4

5

23x

y

xy91

Мал. 15 а)

45

28x

y

146 xy

Мал. 15 б)

xy cos

3

2

3

xy cos1

2

Мал. 15 в)

233 xxy 2 xy

Мал. 15 г)

46

22x

y

42 xy

Мал. 15 д) 2.25 Знайти площу фігури, обмеженої:

1) параболою 25 xy та прямою 4y ; 2) параболою 24 xxy та прямою 4 xy ; 3) параболою 22 xxy , прямою 1y та віссю ординат; 4) параболою 122 xxy та прямою 3 xy ; 5) параболою 542 xxy та прямою xy 5 ;

6) графіками функцій xy та xy21

;

7) параболами 222 xxy та 26 xy ;

8) графіками функцій 4 xy та 34

31

xy ;

9) графіками рівнянь 7xy , 0782 xx та 0y ;






y 5 та прямою 6 yx ;


y 4 та прямими 13 xy та 2x ;

14) графіками функції 2xy , x

y 1 та прямою 3x ;

15) графіками функції 3 xy , x

y 1 та прямою 8x .

47

2.26 Знайти площу фігури, обмеженої: 1) графіками функцій xy 3 і xy 5 та віссю абсцис;

2) графіком функції

xx

xxxf

2,sin3

,2

0,6

та віссю абсцис;

3) графіками функцій 24 xy , 5,15,1 xy та віссю абсцис. 2.27 Використовуючи геометричний зміст інтегралу, обчислити інтеграл:

1)

22

22

28 dxx ; 2) 2

0

24 dxxx ; 3)

1

3

267 dxxx ;

2.28 Знайти площу фігури, обмеженої параболою xxy 22 , дотичною, проведеною до даної параболи в точці з абсцисою 20 x , та віссю ординат.

2.29 На гіперболі x

y 1 , 0x , обрано точку 00 , yxM таку, що

00 91 xy . Знайти площу трикутника, обмеженого дотичною до гіперболи в

точці М та осями координат. 2.30 Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій 42 xy

та xy 2 . 2.31 Знайти, при якому значенні параметра а площа фігури, обмеженої

параболою 23xy та прямими 0y , 3 ax , ax буде набувати найменшого значення.

2.32 При якому додатному значенні параметра а пряма 6x ділить

площу фігури, обмеженої графіком функції x

y 1 та прямими 0y , 3x ,

6 ax , навпіл? 2.33 При якому значенні параметра а пряма ax ділить площу фігури,

обмеженої графіком функції x

y 8 та прямими 0y , 2x , 10x , навпіл?

Об’єм тіла обертання

2.34 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої: 1) графіком функції xy та прямими 0y , 9x ;

2) косинусоїдою xy cos та прямими 0y , 0x і 6

x ;

3) параболою 25 xy та прямими 0y , 0x і 1x .

48

2.35 Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої графіками функцій 3xy , 0x та xy 4 .

Застосування інтеграла у фізиці 2.36 Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 2630 tttv (м/с).

обчислити шлях, яке пройшло тіло: 1) за інтервал часу від 11 t с до 32 t с; 2) від початку руху до зупинки.

2.37 Вантаж масою 3m кг розтягує пружину, підвішену вертикально, на довжину 04,0l м. Обчислити роботу, яка при цьому виконується.

Диференціальні рівняння

2.38 Чи є дана функція розв’язком даного диференціального рівняння: 1) xey 43 , yy 4 ;

2) 2xey , 02 xyy ;

3) xxy 5sin75cos2 , yy 25 ; 4) xey x cos , 022 yyy ?

2.39 При якому значенні параметра b функція 12 xey є розв’язком рівняння 2 byy ?

2.40 Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння та його окремий розв’язок, що задовольняє початковим умовам: 1) yy 7 , 20 y ; 2) yy 2 , ey 2 ; 3) yy 3 , 20 y , 60 y ; 4) yy 4 , 00 y , 10 y .

49

ІІІ КОМБІНАТОРИКА ТА ПОЧАТКИ ТЕРОРІЇ ІМОВІРНОСТЕЙ

Елементи комбінаторики Різні групи, що складені з яких-небудь предметів і відрізняються одна від

одної або порядком цих предметоів, або самими предметами, називають сполуками. Розрізняють наступні види сполук: розміщення ),( k

nA перестановки )( nP та сполучення ).( k

nC

Розмiщеннями з n різних елементiв по k )( nk називають усілякі групи, які містять k елементiв, узятих із даних n елементів, і які вiдрiзняються однa вiд одної або порядком, або складом елементів. Число розмiщень із n різних елементів по k без повторень обчислюється за такою формулою

.)!(

!kn

nAkn

Розмiщення iз n елементiв по n, тобто всілякі групи з n різних елементiв, які відрізняються одна від одної лише порядком елементів, називаються перестановками. Число всiх можливих перестановок обчислюється за формулою

!nAP nnn .

Сполученнями з n різних елементiв по k ( )k n називаються всілякі групи, які містять k елементiв, узятих із даних n елементів, і якi вiдрiзняються одна вiд одної принаймні одним елементом (порядок при цьому не враховується). Число сполучень із n різних елементiв по k без повторень обчислюється за формулою

!)!(!

kknnC k

n .

Класичне означення імовірності

Подія – той чи інший результат проведеного випробування. Вірогідною зветься подія, яка обов`язково настане в даному

випробуванні. Неможливою зветься подiя, яка нiколи не настане в даному випробуванні. Випадковою зветься подiя, яка в даному випробуванні може настати,а може i не настати.

Двi подiї А и В звуться несумiсними, якщо поява однiєї з них виключає появу другої в одному i тому ж випробуванні.

Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших подій у тому самому випробуванні.

Подiї називають єдино можливими, якщо у випробуванні обов`язково настане одна i тiльки одна з них.

50

Двi несумiсних та єдино можливих подiї називаються протилежними. Позначаються вони так: A та A . Сyкупнiсть усiх єдино можливих подiй називається повною групою подiй.

Випадок називається сприятливим подiї А, якщо реалiзацiя цього випадку тягне за собою появу подiї А.

Ймовiрнiстю Р подiї А називається вiдношення числа m випадкiв, якi сприяють появi подiї А до числа n усiх рiвноможливих випадкiв, якi утворюють повну групу подiй:

nmP .

Основні теореми теорії ймовірностей

Теорема додавання ймовiрностей несумiсних подiй. Iмовiрнiсть суми двох несумiсних подiй А та В дорiвнює сумі їх iмовiрностей:

).()()( BPAPBAP

Дві подiї А та В називаються незалежними, якщо ймовiрнiсть появи однiєї з них не залежить вiд появи або непояви другої. Двi подiї А та В називаються залежними, якщо поява однiєї з них змiнює iмовiрнiсть появи другої.

Теорема множення ймовiрностей незалежих подiй. Ймовiрнiсть сумiсної появи двох незалежних подiй дорiвнює добутку iмовiрностей кожної з цих подій:

).()()( BPAPABP Ймовiрнiсть появи хоча б однiєї з n незалежних подiй iA ),2,1( ni

дорiвнює рiзницi мiж одиницею i добутком iмовiрностей появи протилежних подiй iA :

).()()(1 21 nAPAPAPP

Якщо ймовiрнiсть появи всiх подiй iA однакова, формула набуває вигляду:

,1 nqP де .1 pq

Повторні випробування Нехай проводяться n незалежних випробувань, у кожному з яких

імовірність появи події А є стала величина ( р > 0 ). Імовірність появи події А рівно к разів в n незалежних випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

,)( knkknn qpCkP де

)!(!!,1

knknCpq k

n .

51

Приклад 1 В партії з 10 виробів – 3 бракованих. Навмання вибирають 3 вироби. Яка імовірність того, що серед них буде 2 бракованих.

Розв’язання. Число 120321!7

1098!7!3!7

!10310

Cn .

Число m – число появ серед 3 виробів 2 бракованих.

2173!1!6

!7!2!1

!317

23

CCm .

Таким чином, імовірність 12021

nmP .

Приклад 2 В урні 10 куль: 3 червоних, 4 синіх та 3 білих. Навмання

береться одна куля. Знайти імовірність того, що вибрана куля буде кольоровою.

Розв`язання. Позначимо через А появу червоної кулі , а через В – синьої. Тоді 3,0AP та 4,0BP . A i B – несумісні події в одному випробуванні, тому 7,04,03,0 BPAPBAP , де CBA – поява кольорової кулі.

Приклад 3 По мішені зробили 2 постріли. імовірність влучення для першого – 0,75, для другого – 0,8. Знайти імовірність того, що в мішень влучили двічі.

Розв`язання. Позначимо через А – перший постріл влучний, через В – другий постріл влучний. У цьому випадку подія BA означає, що у мішень влучили двічі. А і В – незалежні події, тому

6,08,075,0 BPAPBAP .

Приклад 4 Імовірність влучення у ціль при одному пострілі дорівнює 0,7. Знайти імовірність того, що з трьох пострілів ціль буде вражена хоча б один раз.

Розв`язання. Імовірність промаху при одному пострілі 3,07,01 q . Тому шукана імовірність 973,03,01 3 P .

Приклад 5 Монету підкидають 7 разів. Яка імовірність того, що герб випаде рівно 5 разів.

Розв`язання. Імовірність появи герба при одному підкиданні монети

21

p , імовірність протилежної події – появи цифри – 21

q . Імовірність

того, що герб випаде рівно 5 разів при 7 підкиданнях монети за формулою

Бернуллі 12821

2121

21

21

!2!5!7

21

215 725

25577

CP .

52

1 варіант Перестановки

1 Скоротити дріб:

1) !1!nn ; 2) !2

!nn ; 3)

!2!1

nn ; 4) !

!kn

n

, kn .

2 Спростити вираз:

1) !21

!11

nn; 2)

!

!1!1

!n

nn

n

.

3 Розв’язати рівняння 80

!1!1

nn .

4 Обчислити:

1) 3

45

PPP ; 2)

8

910

9 PPP

; 3)

23

3

k

k

PP .

5 Скількома способами можна скласти список з п’яти учнів? 6 У ліцеї n класів і n класоводів. Скількома способами можна

розподілити класне керівництво між учителями? 7 Скільки різний чотирицифрових чисел можна створити з цифр 0, 2, 4,

6, якщо кожну з них використовувати тільки один раз? 8 Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова

1) «вектор»; 2) «рівняння»?

Комбінації 9 Обчислити:

1) 48С ; 2) 6

7С ; 3) 06

26 СС ; 4) 1

27С ; 5) 11999

19991999 СС .

10 Довести, що: 1) 3

726

36 ССС ; 2) 4

1039

49 ССС .

11 Спросити вираз:

1) 11

2 n

nСn

; 2) 122

3 nnС

n.

12 Обчислити: 1) 24

25С ; 2) 1719С ; 3) 999

1000С . 13 Довести, що:

1) 555

45

35

25

15

05 2 СССССС ; 2) 5

636

16

66

46

26

06 ССССССС .

14 Розв’язати рівняння: 1) 619

xx СС ; 2) xССС 28727

827 ; 3) 9

2423923 ССС x .

15 Розв’язати рівняння: 1) 1532 xС ; 3) 452 x

xС ; 5) 112

12 23

x

xxx СС ;

2) 1832 xСx ; 4)

54

3

21

x

x

CС ; 6) 1

122 611 x

xxx СС .

16 У класі 32 учня. Скількома способами можна сформувати команду з 4 чоловік для участі в математичній олімпіаді?

53

17 На площині розміщено 25 точок так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує трикутників з вершинами у цих точках?

18 Скільки можна скласти з простих дільників числа 2730 складених чисел, які містять тільки два простих дільника?

19 Скількома способами можна групу з 17 учнів розділити на дві групи так, щоб у одній групі було 5 чоловік, а у другій – 12 чоловік?

20 В класі вчаться 15 хлопчиків і 12 дівчаток. В генеральному прибиранні класу беруть участь 3 хлопчика і 4 дівчинки. Скількома способами можна скласти групу чергових?

21 У одного хлопчика є 10 марок для обміну, а у другого – 8. Скількома способами вони можуть обміняти дві марки одного на дві марки другого?

22 На одній паралельній прямій позначено 7 точок, на другій – 12. скільки існує чотирикутників з вершинами в цих точках?

23 У баскетбольній команді (15 чоловік) треба обрати капітана і його заступника. Скількома способами це можна зробити?

24 Скількома способами можна вибрати з повної колоди (52 карт) 10 карт так, щоб серед них було рівно три тузи?

Розміщення

25 Знайти значення виразу:

1) 315

514

415

ААА ; 2) 9

11

74

12

АPА .

26 Довести, що nnn PА 1 .

27 Розв’язати рівняння: 1) 202 xA ; 3) 25612 хx СA ; 5) 1141

13

1 xСA х

хx . 2) 1562

1 xA ; 4) xАС хx 22

1 23 ; 28 У футбольній команді (15 чоловік) треба обрати капітана і його

заступника. Скількома способами це можна зробити? 29 В ліцеї в 9 класі вивчають 12 предметів. Денний розклад містить 6

уроків. Скількома способами можна скласти денний розклад? 30 Скільки існує трицифрових чисел, всі цифри яких непарні і різні? 31 Скільки існує звичайних дробів, чисельник і знаменник яких – різні

прості числа, не більші за 20? 32 Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких –

прості числа, не більші за 20? 33 Cкільки існує трицифрових чисел, всі цифри яких різні і парні?

Класичне означення імовірності

34 Яка імовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що дорівнює: 1) двом; 2) п’яти; 3) парному числу; 4) числу, яке кратне 6?

54

35 Уяви собі, що в класі, в якому ти вчишся, розігрується одна безкоштовна туристична поїздка до Парижа. Яка імовірність того, що до Парижу поїдеш саме ти?

36 Щоб здати екзамен з математики, треба вивчити 30 білетів. Учень вивчив на відмінно 25 білетів. Яка імовірність того, що, відповідаючи на один білет, він одержить п’ятірку?

37 У гральній колоді 36 карт. Навмання вибирається одна карта. Яка імовірність того, що ця карта: 1) туз; 2) червовий туз?

38 Кидають дві однакові монетки. Яка імовірність того, що випадуть: 1) два герба; 2) герб і цифра?

39 В ящику знаходиться 45 кульок, з яких 17 білих. Загубили дві не білі кульки. Яка імовірність того, що вибрана навмання одна кулька буде білою?

40 Яка імовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 12?

Застосування формул комбінаторики для обчислення імовірності

подій 41 В ящику лежать 8 кульок, дві з яких білі. Яка імовірність того, що

вибрані навмання дві кульки будуть білі? 42 Чотири картки пронумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Яка імовірність

того, що номери вибраних навмання трьох карток утворюють зростаючу арифметичну прогресію?

43 На картках написані натуральні числа від 1 до 10. Навмання вибирають дві з них. Яка імовірність того, що добуток номерів вибраних карток буде непарним числом?

44 Вибирають навмання чотири літери слова «закон». Яка імовірність того, що з вибраних чотирьох літер можна скласти слово «коза»?

45 Вибирають навмання чотири літери слова «закон». Яка імовірність того, що вибрані чотири літери в послідовності вибору утворюють слово «коза»?

46 Серед 30 деталей 8 бракованих. Яка імовірність того, що взяті навмання 5 деталей будуть без дефекту?

47 З колоди у 36 карт навмання вибирають дві карти. Яка імовірність того, що вибрані карти – два тузи?

48 На екзамен з математики виносять 40 питань. Учень підготував тільки 35. Білет складається з чотирьох питань. Яка імовірність того, що учень одержить п’ятірку?

49 На екзамен з математики виносять 50 питань. Учень підготував тільки 40. Білет складається з п’яти питань. Щоб одержати п’ятірку, досить відповісти на чотири питання. Яка імовірність того, що учень одержить п’ятірку?

50 В ящику лежать 8 білих і 6 чорних кульок. Яка імовірність того, що з п’яти вибраних навмання кульок три будуть білі?

51 Знайти імовірність того, що дні народження 12 чоловік випадають на різні місяці року.

55

Теорема додавання імовірностей несумісних подій 52 У корзині лежать гриби, серед яких 10% білих і 40% рижиків. Яка

імовірність того, що вибраний навмання гриб білий або рижик? 53 Завод випускає 15% продукції вищого ґатунку, 25% – першого

ґатунку, 40% – другого ґатунку, а все інше – брак. Знайти імовірність того, що навмання вибраний виріб не буде бракованим.

54 На змаганнях зі стрільби стрілець попадає у десятку з імовірністю 0,04, в дев’ятку – 0,1, у вісімку – 0,2. Яка імовірність того, що за одним пострілом стрілець набере: 1) не менше дев’яти очок; 2) не менше восьми очок; 3) менше восьми очок?

55 В коробці лежать 5 червоних, 8 синіх, 3 зелених, 4 жовтих кульки. З коробки навмання витягли одну кульку. Яка імовірність того, що ця кулька не буде синьою?

Теорема множення імовірностей незалежних подій

56 Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві одиниці?

57 Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві парні цифри?

58 Кидають три монети. Яка імовірність того, що випадуть два герба і одна цифра?

59 Гральний кубик кидають два рази. Яка імовірність того, що шістка випаде тільки другого разу?

60 Три вимикачі з’єднані паралельно. Імовірність виходу із ладу першого вимикача дорівнює 3% , другого – 4%, третього – 1%. Яка імовірність того, що ланцюг буде розімкнено?

61 В ящику лежать 4 білих і 3 чорних кульки. Навмання з ящика достають дві кульки і кладуть їх назад. Цю ж операцію повторюють ще раз. Яка імовірність того, що всі витягнуті кульки були білого кольору?

62 Магазин постачають три молокозаводи. Продукція першого заводу складає 40 %, другого – 30%, причому 80% продукції другого заводу вищого ґатунку. Яка імовірність придбати продукт другого заводу вищого гатунку?

63 Вступний іспит у ліцей складається з трьох турів. Імовірність відсіву у першому турі складає 60%, у другому – 40%, у третьому – 30%. Яка імовірність вступу до ліцею?

64 Троє робітників виготовляють відповідно 40%, 30%, 30% всіх виробів. В їх роботі брак відповідно складає 2%, 3%, 1%. Яка імовірність того, що взятий навмання виріб буде бракованим?

65 Три стрільці незалежно один від одного стріляють у ціль. Імовірність влучення першого стрільця складає 0,7 , другого – 0,8 , третього – 0,6. Яка імовірність того, що було: 1) три влучення; 2) три промахи; 3) рівно одне влучення?

56

66 В одному ящику лежать 5 червоних, 9 білих, 8 чорних кульок, а в другому – 3 червоних, 7 білих, 10 чорних кульок. Навмання з кожного ящика беруть по одній кульці. Яка імовірність того, що вони будуть одного кольору?

67 Монету підкидають вісім разів. Знайти імовірність того, що хоч раз випаде герб.

68 Два учні незалежно один від одного розв’язують одну задачу. Перший учень може розв’язати цю задачу з імовірністю 0,9 , а другий – 0,7. Знайти імовірність того, що: 1) обидва учні розв’яжуть задачу; 2) жоден з учнів не розв’яже задачу; 3) хоча б один з учнів розв’яже задачу; 4) тільки один з учнів розв’яже задачу.

69 Сім стрільців одночасно незалежно один від одного стріляють в одну ціль. Імовірність попадання кожного стрільця дорівнює 0,8. Поразка цілі відбувається за одне влучення. Знайти імовірність поразки цілі.

Схема Бернуллі

70 Монету підкидають 10 разів. Яка імовірність того, що герб випаде: 1) три рази; 2) жодного разу; 3) не більше двох разів; 4) не менше трьох разів?

71 В кардіологічному центрі, де працюють професіонали найвищого

класу, імовірність позитивного результату операції дорівнює 76 . Протягом дня

в центрі роблять 10 операцій. Яка імовірність успіху в усіх операціях? 72 По мішені стріляють вісім разів. Імовірність влучення в мішень під

час кожного пострілу дорівнює 53 . Яка імовірність того, що з восьми пострілів

у мішень влучать п’ять разів? 73 В ящику лежать 7 білих і 4 чорних кульки. З ящика сім разів

виймають по одній кульці і кладуть назад перед наступним випробуванням. Знайти імовірність того, що з семи вийнятих кульок білу кульку виймали: 1) три рази; 2) менше двох разів; 3) хоча б один з учнів розв’яже задачу; 4) не менше трьох разів.

74 Гральний кубик підкидають дев’ять разів. Яка імовірність того, що шістка випаде: 1) чотири рази; 2) більше трьох, але менше шести разів?

75 Гральний кубик підкидають сім разів. Яка імовірність того, що парна цифра випаде: 1) два рази; 2) не більше трьох разів; 3) більше п’яти разів?

76 Що більш імовірно: виграти у рівноцінного гравця чотири партії з п’яти чи шість партій з дев’яти?

57

2 варіант Перестановки

1 Скоротити дріб:

1) !

!1n

n ; 2) !3!

nn ; 3)

!4!2

nn ; 4)

!1!1

kn

n , kn .

2 Спростити вираз:

1) !11

!1

kk; 2)

!1!

!!2

n

nn

n .

3 Розв’язати рівняння 72!

!2

n

n .

4 Обчислити:

1) 4

56

PPP ; 2)

10

1112

11 PPP

; 3)

13

23

k

k

PP .

5 Скількома способами можна розставити 6 книжок на книжковій полиці?

6 На танцювальному майданчику зібралось n юнаків та n дівчат. Скількома способами вони можуть розібратися на пари для участі в черговому танці?

7 Скільки різний п’ятицифрових чисел можна створити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожну з них використовувати тільки один раз?

8 Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова 1) «діаметр»; 2) «тригонометрія»?

Комбінації 9 Обчислити:

1) 37С ; 2) 4

9С ; 3) 04

24 СС ; 4) 1

21С ; 5) 12000

20002000 СС .

10 Довести, що: 1) 3

837

27 ССС ; 2) 4

938

48 ССС .

11 Спросити вираз:

1) nnС

n 226

; 2) 221212

1

nnС

n.

12 Обчислити: 1) 20

21С ; 2) 1618С ; 3) 99

100С . 13 Довести, що:

1) 777

67

57

47

37

27

17

07 2 СССССССС ;

2) 55

35

15

45

25

05 СССССС . 14 Розв’язати рівняння:

1) 615xx СС ; 2) xССС 31

630

730 ; 3) 8

2019819 ССС x .

15 Розв’язати рівняння: 1) 1202 xС ; 3) 662 x

xС ; 5) 112

12 713

x

xxx СС ;

2) 2732 xСx ; 4)

56

4

31

x

x

CС ; 6) 1

212 917 x

xxx СС .

58

16 На бригаду робітників з 8 чоловік виділили три путівки до санаторію. Скількома способами можна сформувати групи робітників для відпочинку?

17 На площині розміщено 20 точок так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує прямих, що проходять через ці точки?

18 Скільки можна скласти з простих дільників числа 14 630 складених чисел, які містять тільки два простих дільника?

19 Скількома способами групу туристів з 10 чоловік можна розмістити у чотиримісному та шестимісному наметах?

20 В загоні 7 офіцерів і 20 рядових. Скількома способами можна сформувати загін розвідників, до якого входять 3 офіцера та 12 рядових?

21 У футбольній команді 11 основних гравців і 8 запасних. Скількома способами можна зробити заміну зразу двох гравців?

22 На одній паралельній прямій позначено 7 точок, на другій – 12. скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?

23 У футбольній команді (11 чоловік) треба обрати капітана і його заступника. Скількома способами це можна зробити?

24 Скількома способами можна вибрати з повної колоди (52 карт) 8 карт так, щоб серед них було рівно два тузи?

Розміщення

25 Знайти значення виразу:

1) 413

414

313

ААА

; 2) 12

316

1215

РАА

.

26 Довести, що !nАnn .

27 Розв’язати рівняння: 1) 422 xA ; 3) 7912

1 хx СA ; 5) 101222

ххx СA .

2) 1822 xA ; 4) 221 423 хx АхС ;

28 Скількома способами в команді спортсменів з 10 чоловік можна розподілити три призових місця?

29 В ліцеї в 11 класі вивчають 16 предметів. Денний розклад містить 7 уроків. Скількома способами можна скласти денний розклад?

30 Скільки існує трицифрових чисел, всі цифри яких парні, різні і не містять нуля?

31 Скільки існує звичайних дробів, чисельник і знаменник яких – різні прості числа, не більші за 30?

32 Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких – прості числа, не більші за 30?

33 Cкільки існує чотирицифрових чисел, всі цифри яких різні і парні?

Класичне означення імовірності 34 Яка імовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде

число очок, що дорівнює: 1) одиниці; 2) чотирьом; 3) непарному числу; 4) числу, яке кратне 5?

59

35 Уяви собі, що в класі, в якому ти вчишся, розігрується одна безкоштовна туристична поїздка до Лондона. Яка імовірність того, що до Лондону поїдеш саме ти?

36 Щоб здати екзамен з математики, треба вивчити 25 білетів. Учень не вивчив тільки один білет. Яка імовірність того, що він не здасть екзамен?

37 У гральній колоді 36 карт. Навмання вибирається одна карта. Яка імовірність того, що ця карта: 1) король; 2) бубновий король?

38 Кидають дві однакові монетки. Яка імовірність того, що випадуть: 1) дві цифри; 2) різні сторони монеток?

39 В ящику знаходиться 50 кульок, з яких 20 білих. Загубили одну білу і дві не білі кульки. Яка імовірність того, що вибрана навмання одна кулька буде білою?

40 Яка імовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 15?

Застосування формул комбінаторики для обчислення імовірності

подій 41 В ящику лежать 10 кульок, три з яких червоні. Яка імовірність того,

що вибрані навмання три кульки будуть червоні? 42 Чотири картки пронумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Яка імовірність

того, що номери вибраних навмання трьох карток утворюють спадну арифметичну прогресію?

43 На картках написані натуральні числа від 1 до 7. Навмання вибирають дві з них. Яка імовірність того, що сума номерів вибраних карток дорівнює 5?

44 Вибирають навмання чотири літери слова «інтеграл». Яка імовірність того, що з вибраних чотирьох літер можна скласти слово «ліга»?

45 Вибирають навмання чотири літери слова «інтеграл». Яка імовірність того, що вибрані чотири літери в послідовності вибору утворюють слово «ліга»?

46 В партії з 40 лампочок 7 бракованих. Яка імовірність того, що взяті навмання 4 лампочки будуть без дефекту?

47 З колоди у 36 карт навмання вибирають три карти. Яка імовірність того, що вибрані карти – три тузи?

48 На екзамен з математики виносять 50 питань. Учень підготував тільки 40. Білет складається з трьох питань. Яка імовірність того, що учень одержить п’ятірку?

49 На екзамен з математики виносять 40 питань. Учень підготував тільки 35. Білет складається з п’яти питань. Щоб одержати п’ятірку, досить відповісти на чотири питання. Яка імовірність того, що учень одержить п’ятірку?

50 В ящику лежать 7 червоних і 4 чорних кульок. Яка імовірність того, що з чотирьох вибраних навмання кульок дві будуть червоні?

51 Знайти імовірність того, що дні народження 7 чоловік випадають на різні дні тижня.

60

Теорема додавання імовірностей несумісних подій 52 У корзині лежать фрукти, серед яких 30% бананів і 60% яблук.

Яка імовірність того, що вибраний навмання фрукт буде бананом або яблуком? 53 Завод випускає 16% продукції вищого ґатунку, 24% – першого

ґатунку, 48% – другого ґатунку, а все інше – брак. Знайти імовірність того, що навмання вибраний виріб не буде бракованим.

54 На змаганнях зі стрільби стрілець попадає в десятку з імовірністю 0,03, в дев’ятку – 0,2 , у вісімку – 0,3 . Яка імовірність того, що одним пострілом стрілець набере: 1) більше восьми очок; 2) менше восьми очок; 3) не менше восьми очок?

55 В коробці лежать 4 блакитних, 3 червоних, 9 зелених, 6 жовтих кульок. З коробки навмання витягли одну кульку. Яка імовірність того, що ця кулька буде не зеленою?

Теорема множення імовірностей незалежних подій

56 Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві шістки?

57 Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві непарні цифри?

58 Кидають три монети. Яка імовірність того, що випадуть дві цифри і один герб?

59 Гральний кубик кидають три рази. Яка імовірність того, що шістка випаде тільки другого разу?

60 На насосній станції паралельно працюють три насоси. Імовірність псування першого насоса дорівнює 10% , другого – 8%, третього – 5%. Яка імовірність того, що буде зовсім припинено подачу води?

61 В ящику лежать 5 червоних і 4 чорних кульки. Навмання з ящика достають дві кульки і кладуть їх назад. Цю ж операцію повторюють ще раз. Яка імовірність того, що всі витягнуті кульки були червоного кольору?

62 Магазин постачається трьома молокозаводами. Продукція першого заводу складає 60 %, другого – 20%, причому 90% продукції першого заводу вищого ґатунку. Яка імовірність придбати продукт першого заводу вищого ґатунку?

63 Три контролера послідовно один за одним перевіряють якість продукції, що випускається заводом. Перший контролер виявляє брак з імовірністю 95%, другий – 96%, третій – 98%. Яка імовірність того, що бракований виріб не буде виявлено?

64 Три верстата виготовляють відповідно 50%, 40%, 10% всіх виробів. В їх роботі брак відповідно складає 1%, 2%, 4%. Яка імовірність того, що взятий навмання виріб буде бракованим?

65 Три стрільці незалежно один від одного стріляють у ціль. Імовірність влучення першого стрільця складає 0,6 , другого – 0,8 , третього – 0,7. Яка імовірність того, що було: 1) три промахи; 2) хоча б одне влучення; 3) рівно два влучення?

61

66 В одному ящику лежать 6 червоних, 5 синіх, 9 зелених кульок, а в другому – 7 червоних, 1 синя, 5 зелених кульок. Навмання з кожного ящика беруть по одній кульці. Яка імовірність того, що вони будуть одного кольору?

67 Монету підкидають десять разів. Знайти імовірність того, що хоч раз випаде цифра.

68 Два учні незалежно один від одного розв’язують одну задачу. Перший учень може розв’язати цю задачу з імовірністю 0,8 , а другий – 0,9. Знайти імовірність того, що: 1) обидва учні розв’яжуть задачу; 2) жоден з учнів не розв’яже задачу; 3) хоча б один з учнів розв’яже задачу; 4) тільки один з учнів розв’яже задачу.

69 П’ять стрільців одночасно незалежно один від одного стріляють в одну ціль. Імовірність попадання кожного стрільця дорівнює 0,7. Поразка цілі відбувається за одне влучення. Знайти імовірність поразки цілі.

Схема Бернуллі

70 Монету підкидають 7 разів. Яка імовірність того, що цифра випаде: 1) два рази; 2) жодного разу; 3) менше двох разів; 4) не менше двох разів?

71 Верстат з програмним управлінням виготовляє браковану деталь з

імовірністю 201 . Яка імовірність того, що в партії з 15 деталей не буде

бракованих? 72 По мішені стріляють десять разів. Імовірність влучення в мішень під

час кожного пострілу дорівнює 75 . Яка імовірність того, що у десяти пострілах

буде зроблено три промахи? 73 В ящику лежать 5 білих і 6 чорних кульок. З ящика шість разів

виймають по одній кульці і кладуть назад перед наступним випробуванням. Знайти імовірність того, що з шести вийнятих кульок білу кульку виймали: 1) жодного разу; 2) менше трьох разів; ) не менше двох разів.

74 Гральний кубик підкидають вісім разів. Яка імовірність того, що одиниця випаде: 1) три рази; 2) більше трьох, але менше п’яти разів?

75 Гральний кубик підкидають дев’ять разів. Яка імовірність того, що непарна цифра випаде: 1) чотири рази; 2) не більше двох разів; 3) більше шести разів?

76 Що більш імовірно: виграти у рівноцінного гравця дві партії з трьох чи чотири партій з семи?

62

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1 Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабінович Ю.М., Якір М.С. Збірник

задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри і початків аналізу для 11 класу.– Х.: Гімназія, 2010. – 112с.

2 Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Алгебра и начала анализа. 11 класс. Под редакцией З.И. Слепкань. – Харьков, «Гимназия», 2003, – 160 с.

3 Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з тем: „Теорія ймовірностей”, „Елементи математичної статистики” з курсу „Теорія ймовірностей та математична статистика” для студентів заочної форми навчання / Аршава О.О., Ізмайлова С.Г., Харченко А.П. – Х.: ХДТУБА, 2008. – 64 с.

4 Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984. – 416 с.

5 Елементарна математика: Навчально-методичний посібник / Олійник Л.В., Гаєвська В.О., Лисянська Г.В., Кононенко А.І. – Х.: ХДТУБА, 2006. – 116с.

6 Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (с решениями). В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / Егеров В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др.; под ред. Сканави М.И. – М.: Высш.шк., 1994. – 528с.

7 Гальперіна А.Р. Математика. Методика підготовки до ЗНО. – Х.: Веста, 2009. –208 с.

63

ЗМІСТ ВСТУП............................................................................................................... 3

І ПОЧАТКИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ………………………… 4 1 варіант…................................................................................................ 7 2 варіант………………………………………………………………… 16

ІI ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ…………………………… 26 1 варіант………………………………………………………………… 31 2 варіант………………………………………………………………… 40

III КОМБІНАТОРИКА ТА ПОЧАТКИ ТЕРОРІЇ ІМОВІРНОСТЕЙ…... 49 1 варіант………………………………………………………………… 52 2 варіант………………………………………………………………… 57

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………….…... 62

64

Навчальне видання

ЛИСЯНСЬКА Ганна Володимирівна ГАЄВСЬКА Вікторія Олексіївна КОНОНЕНКО Анатолій Іванович




Навчально-методичний посібник

Роботу до видання рекомендував Є.В.Поклонський Редактор План 2013р., поз Формат 60х84 1/16. Підп. до друку Обл.-вид. арк. Надруковано на ризографі. Ум. друк. арк. Папір друк. № 2 Тираж 50 прим. Зам. № 1909 Безкоштовно.

ХНУБА, Україна, 61002, Харків, вул. Сумська, 40

Підготовлено та надруковано РВВ Харківського національного університету будівництва та архітектури

Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська, А.І.Кононенко ...mathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/PrimerMatAnalizTeorVer.pdf1.18 Знайти, при яких значеннях

Documents