Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011 16.03users.auth.gr/hara/courses/history_of_math/Presentation16_03_11.pdf · Microsoft PowerPoint - Presentation16_03_11.ppt [Compatibility

Ε ό ξά Εαρινό εξάμηνο 201116.03.11

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Αρχιμήδης 287 π.Χ. ‐ 212 π.Χ.Αρχιμήδης 287 π.Χ. 212 π.Χ.





ΠαλίμψηστοςΠαλίμψηστος





Παλίμψηστος--ευχολόγιονμψη ς χ γ



Παλίμψηστα: αρχαίοι πάπυροι και περγαμηνές πολλαπλής χρήσης.χρήσης.

Το κείμενο του Αρχιμήδη γράφτηκε αρχικά το δεύτερο μισό του μ ρχ μή η γρ φ η ρχ ρ μ10ου αιώνα μ.Χ. Έγινε παλίμμψηστο το 1229, (συλλογή προσευχών). Εξετάστηκε το 1906 στη Κωνσταντινούπολη από τον Heiberg που αντιλήφθηκε τη σημασία του Διάβασε 80% τον Heiberg που αντιλήφθηκε τη σημασία του. Διάβασε 80%, και βρήκε 7 κείμενα του Αρχιμήδη.

Χάθηκε 1922‐1998. Βρέθηκε σε πολύ χειρότερη κατάσταση…

Το 1998 πουλήθηκε σε πλειστηριασμό του Christie’s στην Νέα Υόρκη για 2,2 εκατομμύρια δολάρια. Αγοραστής: άγνωστος

Σήμερα βρίσκεται στο Walters Art Museum



Στο Παλίμψηστο βρίσκονται 7 έργα του Αρχιμήδημψη βρ 7 ργ ρχ μή η

«Περί επιπέδων ισορροπιών»

«Κύκλου μέτρησις»

«Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος»«Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος»

«Περί ελίκων»

«Στομάχιον»

«Περί των επιπλεόντων σωμάτων»

«Περί σφαίρας και κυλίνδρου». ρ φ ρ ς ρ



Αρχιμήδης:βιβλίο

Κ ὶ ά ῶ ό ό έ ῶ ὕ

βιβλίο«Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην έφοδος»

«Καὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν μοι φανέντων μηχανικῶς ὕστερον γεωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου θεωρίαν· ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτων πορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλοντρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτων πορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἤ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν.»

Άλλωστε κάποιες ιδιότητες που στην αρχή μου αποκαλύφθηκαν με τη μηχανική στη συνέχεια αποδείχθηκαν με τη γεωμετρία, διότι η προσέγγιση που γίνεται με τη μέθοδο αυτή δεν επιδέχεται απόδειξης. ρ γγ η γ μ η μ ή χ ξηςΕίναι ευκολότερο να οδηγηθείς στην απόδειξη, εάν έχεις αποκτήσει εκ των προτέρων κάποια γνώση του πράγματος, παρά αν ψάχνεις κάτι για το οποίο δεν έχεις την παραμικρή ιδέα.

(γεωμετρική απόδειξη= μέθοδο της εξάντλησης)



Ο Αρχιμήδης στην Έφοδο για την μέθοδό του με τη Ο Αρχιμήδης στην Έφοδο για την μέθοδό του με τη μηχανική:

«για να βρούμε ένα ζητούμενο εμβαδόν ή όγκο κόβουμετην επιφάνεια ή το σώμα σ' ένα πολύ μεγάλο αριθμότην επιφάνεια ή το σώμα σ ένα πολύ μεγάλο αριθμόλεπτές, παράλληλες και επίπεδες λωρίδες ή λεπτέςπαράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά ταπαράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά τακομμάτια στο ένα άκρο δεδομένου μοχλού με τέτοιοντρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένατρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένασχήμα του οποίου η περιεκτικότητα και το κέντροβάρους είναι γνωστά. »β ρ ς γ



∆ος μοι πα στω και τα γαν κινάσω Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών

ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣ ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ.

Τα μεγέθη Γ, Δ θα έρθουν σε ισορροπία ως προς το Ε όταν οι αποστάσεις AΕ, ΕΒ ικανοποιούν την σχέση αντιστρόφως ανάλογες με το βάρος τους:

Γ:Δ=AΕ: ΕB

ΤΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΝ ΒΑΡΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΙΝΟΥΝ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΕΝ.



Ογκος κυλίνδρουγ ς ρ



Όγκος κώνουγ ς

εγκάρσια τομή κύκλος με ακτίναr(h-z)/h



Όγκος σφαίραςγ ς φ ρ ς



Λογισμό

Όγκος μπλε κυλίνδρου όγκος κώνου με ύψος r καιακτίνα βάσης rακτίνα βάσης r

όγκος σφαίρας= 2/3 όγκου κυλίνδρουγ ς φ ρ ς γ ρ

= 4 όγκο κώνου



Αρχιμήδηςρχ μή ης

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι 3/2 τουΟ όγκος του κυλίνδρου είναι 3/2 του όγκου της σφαίρας!



Κόκκινος κύλινδρος: ακτίνα 2r, ύψος 2rλέ ώ ί 2 ύ 2μπλέ κώνος: ακτίνα 2r, ύψος 2r

Γνωστό από τον Ευκλείδη: Κύλινδρος =3 κώνος[Στοιχεία Πρόταση 7 10]



[Στοιχεία, Πρόταση 7.10]

Θα ισορροπήσουμε το σύστημα σφαίρας,κώνου, κυλίνδρου ως προς Α



Εγκάρσιες τομές σφαίρας, κώνουκαι του κυλίνδρου είναι κύκλοι!!και του κυλίνδρου, είναι κύκλοι!!

Μία μικρή φέτα κυλίνδρου, σφαίρας, κώνου στην εγκάρσια τομή MN

2 2 2HA: AS=MN2 : (OP2 +QR2 )=κύκλος, διάμετρο ΜΝ : (κύκλος,διάμετρο OP + κύκλο, διάμετρο QR)

Ως προς το Α έχουμε πετύχει την ισορροπία: κύλινδρος με κέντρο βάρους στο Sη σφαίρα και ο κώνος με κέντρο βάρους στο H



Έτσιτο σύστημα ισορροπεί αν κύλινδρος LEFGείναι στο K και η σφαίρα+κώνος ΑEFείναι στο K και η σφαίρα+κώνος ΑEFείναι στο H.

ΆραΆρα

κύλινδρος LEFG = 2(σφαίρα+κώνος ΑEF)

Αφού κώνος AEF= 8 (κώνος ΑBD)

προκύπτει το ζητούμενο



Ισορροπία και εμβαδά

Το εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσαΤο εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσαισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνου

Στη γεωμετρική απόδειξη



Μοντέρνος λογισμός

σχέση: ευθύγραμμο τμήμα Β΄Β + εφαπτομένη ?

ρ ς γ μ ς

Αρχιμήδης και Boyer

Ισορροπία: παραβολικό τμήμα στο P μετρίγωνο ΑΒC στο κέντρο βάρους του.ρ γ ρ β ρ ς

Άρα παραβ. Τμήμα AVB=1/3 ABC=4/3 τριγ. ΑVΒ



∆ιόφαντος ~τρίτος αιώνας μ.Χ.

Έργα του:Έργα του:Αριθμητική (13 βιβλία, σώζονται 6)

Περί πολυγώνων αριθμώνΠερί πολυγώνων αριθμών

Πορίσματα



Σε ελεύθερη μετάφρασηΣε ελεύθερη μετάφρασηΠαλατινή ανθολογία 8.126(6ος αιώνας μ.Χ.):

Σ' ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ. Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ∆ΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ…Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ∆ΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

ΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ ∆Ω∆ΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙ ΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒ∆ΟΜΟ ΑΚΟΜΑ ΗΡΘΕ ΤΟΥΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒ∆ΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙ∆Ι. ΤΙ ΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕ ΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ ΓΝΩΡΙΣΕΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕ ΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥΖΩΗΣ ΤΟΥ.

(1/6)n + (1/12)n + (1/7)n 5 + (1/2)n +4 = n

Λύση: n=84Λύση: n 84



Σύμβολα του Διόφαντου (συγκεκομμένη άλγεβρα)Σύμβολα του Διόφαντου (συγκεκομμένη άλγεβρα)

ς : άγνωστος xΔY : x2 ( δύναμις)ΔY : x2 ( δύναμις)KY : x3 ( κύβος)ΔYΔ: x4 ( δυναμοδύναμις)ΔKY : x5 ( δυναμόκυβος)KYK: x6 (κυβόκυβος )ςX : 1/x = x ‐1 (ειδικές ονομασίες για αντίστροφα)ς : 1/x x (ειδικές ονομασίες για αντίστροφα)ις : ίσος



Αριθμητική είναι συλλογή 150 περίπου προβλημάτων, με έ θ ά δ ί συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα.

λείπει: συστηματική μελέτη των αλγεβρικών πράξεων, αλγεβρικών

ή ίλ ξ ώσυναρτήσεων, επίλυσης εξισώσεων.δεν υπάρχει προσπάθεια εύρεσης όλων των πιθανών λύσεων.αναγνωρίζει μόνο τις θετικές ρητές ρίζεςαν υπάρχουν δύο θετικές ρίζες, αναγνωρίζει μόνο τη μεγαλύτερη.δεν αναγνωρίζει καθόλου τις αρνητικές λύσεις. στα αόριστα προβλήματα (με άπειρο αριθμό λύσεων) δίνει μόνο μία απάντηση.απάντηση.



Τα μεγάλα θετικά εκτός από τον μερικό συμβολισμό:Τα μεγάλα θετικά εκτός από τον μερικό συμβολισμό:

Έδ ό θ έ φ ά φ ά Έδωσε κανόνες για μαθηματικές εκφράσεις: μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, ακύρωση όμοιων όρων από τις δύο πλευρές της ισότηταςόμοιων όρων από τις δύο πλευρές της ισότητας.όρισε αρνητικές δυνάμεις για τους αγνώστους και τους

ό θέ κανόνες για τους εκθέτες Έδωσε κανόνες για το γινόμενα που αφορούν όρους με

ύ λ έ ( )( ) ( )αρνητικούς συντελεστές: παρ. ( ‐)(‐)=(+)Απομάκρυνση από την γεωμετρική άλγεβρα, οι όροι δεν

άζ ί ί δ λ ύ δ ά χρειάζεται να είναι ομογενείς, δουλεύει με δυνάμεις μεγαλύτερες του 3.



Πρόβλημα Ι‐28

Να βρεθούν δύο αριθμοί έτσι ώστε το άθροισμά τους και το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι δοθέντες αριθμοί:

Λύση: έστω το ενα άθροισμα 20, και το άθροισμα τετραγώνων 208. x=10+z, x=10‐zρ γ

z=2, άρα οι δύο αριθμοί είναι z 2, άρα οι δύο αριθμοί είναι 12 και 8.



(1993, 1995)( , )

Pierre de Fermat (1601 -1665) Sir Andrew John Wiles (1953--)[



Ας παύση η πραγματεία των μαθηματικών. ∆ιότι εάν τις δημοσία ή κατ' ιδίαν, καθ' ημέραν ή νύκτωρ συλληφθή αναστρεφόμενος εν τη απαγορευμένη πλάνη,

αμφότεροι ας πληγούν δια κεφαλικής ποινής. ∆ιότι δεν είναι διάφορον αμάρτημα δ δά θ λ έ ή δ δά Κώδ ξ Θ δ ό (Ο λ ύτο διδάσκεσθαι κεκωλυμένα ή το διδάσκειν». Κώδιξ Θεοδοσιανός (Ουαλεντιανού

και Ουάλεντος), ΙΧ, 16, 8. (438μ.Χ.)

«Οι μαθηματικοί εάν μή ώσιν έτοιμοι καυθέντων των κωδίκων της ιδίας πλάνης«Οι μαθηματικοί, εάν μή ώσιν έτοιμοι, καυθέντων των κωδίκων της ιδίας πλάνης υπό τα όμματα των Επισκόπων, να δώσουν πίστιν εις την λατρείαν της

καθολικής πίστεως, ότι δεν θα επανέλθουν εις την παλαιάν πλάνην, ου μόνον από της πόλεως Ρώμης αλλά και εκ πασών των πόλεων αποφασίζομεν νααπό της πόλεως Ρώμης, αλλά και εκ πασών των πόλεων αποφασίζομεν να εκδιωχθούν. Εάν δε δεν κάμνουν τούτο και παρά την σωτηρίαν απόφασιν της ημετέρας επιεικείας, συλληφθούν εν ταις πόλεσιν· είτε παρεισάγουν τα μυστικά της πλάνης θα τύχωσι της ποινής της εξορίας» Αυτοκράτορες Ονώριος καιτης πλάνης, θα τύχωσι της ποινής της εξορίας». Αυτοκράτορες Ονώριος και

Θεοδόσιος προς τον Καικιλιανό Ύπαρχο.

«Η μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται». Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ,Η μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται . Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ, 18, 2.



Α ήΑσκήσειςΝ δ ίξ ώ λ ό ύ ό Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας λογισμό τους τύπους για τους όγκους κυλίνδρου, κώνου, σφαίρας.Να αποδείξετε ότι HA: AS=MN2 : (OP2 +QR2 ), βλ. διαφάνεια 19.β φΝα συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες στη διαφάνεια 20 από το σημείο «Άρα»Ν ή ή έθ δ Α ήδ Να χρησιμοποιήσετε τη μηχανική μέθοδο του Αρχιμήδη για να αποδείξετε τη σχέση εμβαδών παραβολικού τμήματος και τριγώνου, βλ. διαφάνεια 22.Στο πρόβλημα Ι.28 ο Διόφαντος δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση που επιλύει. Αναλύστε τη μέθοδο του και δείξτε ότι για την επίλυση του συστήματος ισοδυναμεί με τον τύποήμ ς μ μ



Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011 16.03users.auth.gr/hara/courses/history_of_math/Presentation16_03_11.pdf · Microsoft PowerPoint - Presentation16_03_11.ppt [Compatibility

Documents