Карлов Н.В. Кириченко Н.А. Начальные главы квантовой механики МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ® 2016
Карлов Н.В.Кириченко Н.А.
Начальные главыквантовой механики
МОСКВАФИЗМАТЛИТ ®
2016
УДК 530.1ББК 22.31
К21
Кар л о в Н.В., К и ри ч е н к о Н.А. Начальные главы квантовой меха-
ники. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 360 с. — ISBN 978-5-9221-0538-5.
Дается систематическое изложение основных законов квантовой механикии экспериментальных фактов, образующих фундамент этой науки. Введенматематический аппарат квантовой механики. Последовательно рассмотренытакие вопросы, как туннельный эффект, энергетические уровни частицы в по-тенциальной яме, момент импульса и магнитный момент частицы, спин, прин-цип Паули, периодическая система элементов Менделеева, эффект Зеемана.В качестве приложений общей теории рассмотрены принципы квантовой элек-троники и элементы теории атомного ядра. В разделе «Семинар» разобранонекоторое количество задач, дополняющих основное содержание книги.
Для студентов, изучающих квантовую механику в курсе общей физики,и преподавателей, а также всех, кто интересуется принципиальными вопросамисовременной физики.
ISBN 978-5-9221-0538-5
c© ФИЗМАТЛИТ, 2016
c© Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко, 2016
����������
���������� �
� � � ��������� ��� ����� � �� ��
�� ���������� � ���������� ��
�� ����� ������� � � � ����� ��
�� ������� ��� ��
�� ���������� �
� !��"������� � ������ ���������� �#
�$ %���� &��� ��
�' !����� (�)���� ��
�# *����� ������ (�)���� ��
�� *������ �+�,-���� �'
��. / ��� (��01�� �#
��� / ��� 2���� 3�4��� ��
��� ���),� �� �� ��
� � � ��������� � ������ � ����� � ������� ������ �
� ��� � � ���� � ��
�� %���� �� �� � ���5 ��
�� %���� 6���� � ���� 0 �$
�� %���� ������� � �4��)�� �'
�� 7���� �� &����� �.
� ���� �5�� � �,0 8���0 ��
�$ 9+)������ � �� ������� - ���5� � ����� )�0 ���� �
�' :�����"���� ����������������� �$
�# :�����"���� ����������������� ;��)� 3 ����1��< ��
�� ����5�� ���������������� �
� � � �������� ������� �� ������� ����� � �� ��� �� �
�� %=8�� ����� ������ �,��5�� �
�� ����5�� �,�����+�5�� #
�� ���������� $�
� ����������
�� %��� ���� $�
� :�=������� +� -���� � ��=������� �,��5�� $�
�$ >8� � ������"���� ����������������� '.
�' �� ����� 6�����1�� '�
�# :� 5��� ���� ��������� ''
�� 2 ���� ��� �����1� � ��� '#
��. ��������� ����� ���������� � + ��� ��0� ����� -��� - ���5 '�
� � � ��� ������� ���� �� #�
�� ���0�4����� - ���5� -���+ �����5� ����� = ���� #�
�� *,�������� ������ #'
�� *,�������� ������ � ������"���� ����������������� ��
�� ( +��� ���-����� ���=��4���� ��
� :� ���,?8�� �,�������� )�������� �'
�$ � �= ������� ��� 4���� �..
� � ��� ������� ��� ��������� �.�
� &������-�� 1�,=�� � ���)�,1���� � �����5� ��� � �) �.�
� ( ��� ��� ����1�� 1 �)���-����1� ��5������� ��.
� �,���� ����= ��� � ������"���� ����������������� ���
� �� ��� � ��� ��� &�� 3 /�))������� ���
����� ����1�� �)� U ∼ |x|α ��$
$ ( +����������� ,���� ����1�� ��'
� � $ ���������������� ���� ���
$� !��)��� �� � � ��� � ������ � &�� ���
$� ( ��� ��� ����1�� �������� ��)� ������ ��'
$� ������ �������� � ����������� @;��=���<A �������� ��)�
������ ���
$� :��� ����� + ����)������� �����- ��0 ������ 0 ��)� ��$
$ 9+�����-����� ������ ��.
$$ 7��)� 4�+��B "���� ����� ���
$' 2���1������� ������� ���
$# / ��� C�+�� ��
� � ' ���� � ��� � ����� !�� �� ������ ���
'� C�)��� �)�,��� ���
'� :����) ��� ��������� � ����� +� -���� )�)��� �)�,��� � �
���������� �
'� ( ����� -��� �������� �����������=��) ��)� � �
'� %=���-�-� � )����� �����������=��1� ��) � $
' :����� ���4����� �� )�)���, �)�,��� � #
'$ !���1���-����� ,���� �,0 ��)��� )����,�� � �
'' :��4���� )�)���� ����-��� ��4���� �$�
'# �����4���� 7��� ���),�� @'��A �$$
� � # !������� ��� �� �� �$#
#� C 1������ )�)���� �$#
#� C 1����� &�� �'.
#� :����� ���4����� ) 1�����) ���� �'.
#� :��� �'�
# *��� � ���,��,� �'$
#$ :��0���� � ���,��,� �'�
#' :���D��=�� ����� + �)�������� ��������� ��)� �#.
## % ���������� ������ ���,��,�� �#�
#� :�������� ��������� )��1�����������) ��)�E jjD � LSD��+� �#�
� � � ����� ���� � ���" ��� � �� #� � ����
! �� � �� �#$
�� F��) 1����B � � D � ����)������ 5�� �#$
�� ����5�� � ,�� �#'
�� * =��5 C������� �##
�� �� �� G,�� ���
� *�4��������� - ���5� H������� ������������ ������ ���� ��
�$ 7���� � �,��5�� ��� ,-��� ���� ��'
�' C ��) ��-��� � ���),����� ����5�� � ,�� ��#
�# %=)����� + �)�������� ���
� � �. $�������� � � ���� �.
�.� :��� � )�)��� �)�,��� ����� �.
�.� H������� ������������ ����=� +� ��� ������� ������� � �.#
�.� H������� � ����)�0 ��-����0 �=I���� ��.
�.� / ��� ��0� ����� -������� ���
�. H������� � �� ������ 5�� ��������� ������ ���
�.$ �� �� ��=�� ��
� � �� %�� �� & ���� ��#
��� :)�8���� ������ ����0 ����� ) 1�����) ���� ��#
� ����������
��� (� ���-��� � ������ ������ /��) � ��.
��� !����� � � ��� ���
��� ( ��� � ������ ������ /��) � ��
�� F��) ����� ������ /��) � ��#
��$ !���1���-����� ,���� � ����0��� ��� ��) � ���� ) 1�����)
���� ���
� � �� '�������� ����(� ��� � � ����
$ )������ ���� � ��'
��� (�����5����� !��"���� ��'
��� :����� ��� � "���� ����� ����0�� ��.
��� J������� ��1��8���� ��+�� ����1� �+�,-���� ���
��� !��������������� + �)�������� � ��+�� ����� ���=��4���� ���
�� �� ����� ��+�� ����1� ���=��4���� ��$
��$ %�5����5�� � ����������� ��#
��' ������ ,"������ � .
��# C ���-��� ���)��� ���� ��� ��������1� )�)��� ����0��
� ������5���� !��"���� B12 � �
� � �� ��������� #� ������� �
��� 7������ �
��� (�1���������� ���,5��� ���1� �+,-���� � $
��� J������� ,������� � #
��� !����� � ��8���� �$.
�� �������� � � ��8����) �$�
��$ ����� 5�� �$$
��' ������ � )��+=,4����� �$#
��# %=� �� � ��+� �$#
��� H ���� 1���� 5�� �'.
���. ��=�������� ��+�� ��� �'�
���� C����� ��+� ��� ������� � ����������� �'�
� � �� '��� � ������ �� � �#�
��� :��� ��� �#�
��� !������� 3 ������� � � ������� 3 ������� � )����� ��� �#�
��� K������ ���� �#�
��� !���1�� ��+� ���� �#�
�� ( ����� � )����� ��� ���),� 7 �5+����� �#
��$ �����-��� �+�= � �#'
���������� �
��' &�� D� �� � ���� �##
��# %=���-�-� � )����� ��� ���
��� :���D��=�� ����� + �)�������� � ������� �=���-�� ��$
���. :��� ��� ��#
���� % ��,1�0 )�����0 ��� ���
���� F��� D� �� � ���� �.�
���� � )) D� �� � ����B �,������� ��������B ������ %4� �.$
���� K������ �+�)��� �.'
��� ������� ���� ��.
���������� *� ����� � �� ��� �� ���
' ���� ��#
���������� � ���� ��� ������
�����
���� � � � � ���������� � � ���� ���
��� ���� �� ������� ����� ��������
� ���������� !�! "#� �$ � � �� �� ���
����� � ������� ���� ��� � ���
������ ������ ��� � ������� ���
����� ����� � �������� � ������
���� �������������� ����� $� � � �� ���
������ ������ ����� �� ��������
�������� ��� � ����� �������
�% "�& �"� '(!# ��������
$�� � � �� ���
!����������� ������� �������" ����
� ������� �� ���� ����� ������
�������� � ���������� � ����� � ��
�������� #����� ��� ����� ��� ���
��� �� ��� �� �������������� ���
������� � � ����� �����
����" % "�&� $��� � � �� ���
$��� ������������� ������������
���������� ����������� ���������
�� � �� ������ ���� �%�����
�)*�&"� +����� ��� �$��� � � �� ���
�&������ ������� �� ������� ������ ��
���!�� ����� ,�&"� ��-�"� �� � .
�� �� ���
���������
� � ��� ������� � ���� �� � � �������
@LMNMOPQRSA
����� ����� ���� �� !"� � ������# $�%
������&
@*����5��A
/01�( 2'�� 3 �!� � �����& � ������"��41& ��� � ��!��5&
� !�"#�� � !�"#�� ������� ! !�� �!� ����� !�5� '���(� �� .
�(�� ��"#�� 2����� ! � �����''� � �0 � -�� ! �� �0�� !#
�-�1 � ( ����"#�� �� �����!# ��� ��� � ����!# "405 � 6�"#.
�5 ����� 7� 2'- �* 2���"#! !�* ��� � ! !��� � )89� �)�8�
��� �01 & 2'� -!� ! ( � ! - � � ��5* �(! :; ! � !���� <�.
� 4�� ���(!� �� �� !�� �� !�� � ��� �� ��1 �� " ����! "#�� ��
2'- ��� 6�"���� � �1�� !� � ��!� ! !� !�� & !����" .
�( �!�& ����� =!� ! !� ��� ��!��� ����"#��� 9��� !���6����
�� !�� � ���(!�� � -� !�� !� � "�-;* ��;* �- 0���* ��� �"(
� �� & ��=" � �!���5& �- 0�� 2'�� ��� � ���6 & >� ?� +��� 0 �.
��� !�� �"( �5 ; & ;��"5 ��/01& ��� 2'�� ,� %� ?��*�� ����
�01 & 2'�� ��%� ?�� "# ����
@���- ����"#�� ���� � ��� �� �� !�� �� � !��" � ��! ��"� �
�����* ��� � �01 & 2'�� ����( # �� �� " ����! "#�� '�- � � .
*���� ��" ��"(���& 2'�� �" �!�- !��� ��!�� �!����& (� ���&
2'�� 2'� !� ���� ! "�� � ��� ���� �� �0 !�� ! �'���4 � ���*
�-�1* ( ( ��& ���!�5 2'- ��� ���� 7� �!�� ��! ��"��� ��'��.
��!# ������ !��� -!� �� ��� <����� � '�� ! ��; � � " �( �� ��.
�-�5 � 6�"�5� +40�( �"� 2��6(3 � �� ";# 0�" " � �
���0�5& �� �0 ��'���(� <���"#��( � �"� 2��6( 3 �!� �5 ;�(
!�� �# ��'���(�
<�� � *� !���! �� ,� �� ) �� " � �'��" ��4 '��� �!�4 � .
���- ��4 ! �� �" � �!�� 6 "#4 �0" - �( ���6 � �0�- �(
!�� �!��.*����� <� �!�� �� ��"#�� ��� � "" "���5& ����� !�
�"� 2��6 3 �!���5& � �" � �!�� %�� " � !� ���'�"� #� -!� '�
�!���5� � �� ��5�� ! ( ��(� 1 0�" 2����� �!�"#��( *����! �.
!�� �!��� 3 �" �!�- �& '��(� � (����
����!���( � *����� ��'��"�;�( ���(!#� ��� !��! ( !�0"6� �" � �.
!�� ) �� " ��� (�"( ! �0�& ��� � ���-��& ������5� � ��!���&
AB '(� �������
����'5��4! � # ����� ��� � ���� 2'- ��� '���(3 �! � �!��.
��� �'���� & !�( � !� � 1 !��� �� 2'� �!����� (���� �!
2'� !� ���� ! "� �� ����!���& �" �!�����
/�5! �� �������(� 0���"��� � �� ! � � ��'�� �5 �� 2'.
� � ���� ��'�� �5 ������! ��� ������ �� !�& " ��& ����� !��&
� 6�"� 2'- ��� �"��� ����'5��4!� -!� �- �# -� !� !�� �!5 � .
4! � #�� ��!�5 � -!�05 � ��'�!# 2��!� !- � � �� � !��" �( �
�5 " ��'����� !(* ����!���& � *���� ����� ��� � - !� ��0�- &
� �0*���� ! '��!# �����!# � 9�"#�� � ! * ' �*� �!� ��0�� �� !��
���; " !(� "5& ��!# �� !� �( ! �� !- ��& 2'�� " ��(� ����.
� �� ����!������ ��� � +�,� +����� C�)� +2;6�� �5��0�!5�� ! (
����"#�� ������ � * �!* ���0" �� 7� ��" �� � � �� �0�5 �
�# '���� '�- �4 ! �� !- ��& 2'�� �� � � � �!� �� ����
� " ������
%5��� �- �� �� 7 �0*���� ���� ��!���( 05 ��'����� 0�" ���.
!�� �� �� ! ! � �� !�!�-�� ��"�� �� ��'5��"� �0 � ����5* '�����*
����!���& � *���� ����'5��"�� ��� �� ��0�!�4! � ����� !�5* '���-�*
2'�� � �0�-� ���� �0" -�"� �� !� � � 0���1 � ��!� ! !��41*
��'� "�� ��� � ! �� !- ��& 2'��
�!� �� � ! ( !"( ��� !� �5 !� �" # '"��!# � !�"#�� �
!�"#�� 2����"#��4 -� !# ����!���& � *���� �� � " 6 "#4 �'��!#
6 "#��4� ( ��4���!���,"( �!���5-� !� �- !�" �� �! "#�5&���*��
2����"#�5�� ��0 �( � "�� �5� �� ��� �(�� ��'��"(41� "�-;
���(!# 2'��� ��5!�4 � 2����"�*� ?��� � ����� !�� �!�� �! *�����.
!- �� �� �!��������� �����#4! ���� ����!��" ������ ����"#��
!����� " �!# '� "�� �5� �� ��� �(�� � � �� ��������� .
�5� 2����"�� �5�"������ D� # " �� ! ������!#� -!� � 2'�
�� ��� � � "�- �& ���"'� '"�� � �0 ��� � �� �"�� �&
��! ' ��4! '�-� !�4 ��� � "(41�4 ��"#� <��!��� ���� !���!# (
� �!�� !# ( � "�� �� ! ��� � 0 ��" '��& !��! 0��� " ��� �
�� !��� �!�( �4 ��'��*��
<���� � �����& -� ! �5 ��"4-" � ��� ��'� " �? ������ �
� �� '���- �� ��!� " � ��!��5 ����"�! "#�5 ����� 5� � �!��.
� ��5 � "���*� =! ����� 5 � � & !�! "#�� ! '� "����4! ����
�� !�"#��� �����(� �� "0� * '"�� � � ��"#�� ����'���� "0�
�� �� � !��"(4! �0�& � ��!��5& �!*�� �! 6 �!��"#��& "� ���
� ���" �4� ��" �� � � ����� 5 ����!���& 2'� ��"�-" �!.
��� � � �� � =!�� � -� !�� !� ����!���( 2'�� !� ���� ! "�� ! �.
�( � !�""�� ��"������������ ! ��( � �*�������� !� ����!��5&
�22 �! E�""�� (� ��5 � ��6 2'�� �" � �!���5* -� !6� % �!
����� 5 ��"��5 05!# �� ��!� �5 � �!� "#��& �� �
7���� 6� ����( � �� ���� ��� �5 ��"��5 �!� !!#� -!� �!0��
��! ��"� �!���� ! ��; "-�5 0���2 � ���� � ��; �! � 5� �0.
��'���� � ��"�- ��� ��� � �� �� �( �� 898 )>F � )�8��
� � � � � �
��������� �������� ����
���������T )���$�����B ����$���B (�*��(+B �����
�� T �� ��!��B (�* ��!��B �(�*!
@�+ � ������D�,����1� ��� ��A
7� !�(1 & "���& �5 ��-�� � '"�� � ����� ' ���� &;* ��'� .
"�� 2'�� ����!���( � *���� ��'��"� � ��-�" ��.� � ��� � ���
� !��5 "�0��� �����" � 2'��� =� � �� �!�"#�5 ���� ����!���&
2'� �*��(! ��" �� � �"� - ��42'�����.� !�" !(� % �!�& ��
�5 � 0�� � " ����!# !�� ��'�!( � & �����" �( �� � �� �.
!�"#�5*2��!��� G�'0��( ! " �5 2'- � (�" �(� ����5 �� ��
0 � �5 ����� �� ��� ���(�"( ! ( � �* ����!���( ������ ��! ��"#���
��� "� !�-� � ��� ' ���"'� �!* (�" �& � '0 ��� !#4 " �� !
�5 "# � ����!���& ����� ���� +;# �� " �!�� �5 2����"�� � � .
����5 ��"�� �( ����!���& ! ��� �� �!�& � ��� �� ��!�� ����5
� � �!5 !�� �( � 1 !�� �'������ ( � ��!��5� ��'� "�� ��� .
� ���& 2'�� � -� !�� ! ����!���& �" �!�����& (� ���& 2'��&�
� � ����������� � ����������
�' ��� � ��" ��"(���& 2'� '� !��� -!� � 1 !�� �� !�� �� '
��" ��"� �!����� ����� 9� ��5 � ��� �'��0��'�5 ! "� � !�(! '
-� !6 ��� -��& �� 5 ��'� ���� )� � ��" ��"5 ��������� H2� ����.
� �� � !��"( ! 3, 3 · 10−24 � )� � ����&."0� ���6 �������� ��� !
'� �(!# ( !�"#�� �� 6 "� - "� ���6&� ���!�5* �� ��" ��"5 ����.
����� =!� �'��-� !� -!� �� � �� �5���� � �� !���
E�- � '������ ��� ! ����'5��4!� -!� ��" ��"� �������� ��� !
05!# ��'0!� �� �� �������5 -� !� >����( ��- 3 ��" ��"� ��������
� !�! ' ���* �!���� ��������� )5 � 0�� � �������!# '� # � 4 !�
"��� ��'�!( � & ��" ��"(���.�� !- ��& ! ��� '����� !�� -!�.
! "( ��!��5� �� ���"�� ! (� <��- ��� � !�"#��� -!� � �� ����
��� � ��" ��"(���& 2'� ��"��� 05"�� � -� !�� !� �!� ����!# '�-�.
41 � � �5 "� -!� ��� ���� ������� �� ����� ' ���� ����������
�����(�
�" ����& ��� �� <���0�� �'����� ��!���� �" �!�- �& !�� �.
!�! ' �!���� �" �!�- !�� 3 �" �!������ �� � ������ ' ��!��5*
��� ��� � IBBB ��' � �#; �� 5 �!��� ��������� , �� !�5& *����! �
�" �!�- !�� � !�"#�� ���� �( ! ( ��5!�� )""� ��� ��!��5& ����5&
!�� �! 0�"#;�� � -�1 � �#;� � � *�� ���� "5�� ! �� 2'- ���
����!��� � �� ���(�"( ! ( *����! ��5� �"( �� � �� �!�!��� �- �#
� ��(!�5� ���0��5� ;���� �" �!����5* ��0�����
AI ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
�!��� �"( � 1 !�� *����! ���� �!� *���;� '� !��� � �� !��(�
� � �� �5���(� !���!����
7� !�"# � *���;� '� !��� -!� �1 !�� ! 0�"#;�& �"� 2'- .
�* (�" �&� �"( ��!��5* *����! ��� � �� �5��� !#� =!�� �� �� � .
�� 3 ��"���5 ���6 5� ���6 5 � � ��- �� � ��"��&� ����� �
�" �!�����!��& ��"��&� � !���& ��"��&� % ( �������� !# �2���6.
���5*� �! �2 � �6���5* ��"(�'�6���5* ��5!�� �0 ��� ! �� �
!��� -!� �" �!�����!�� '"�- � 3 �!� ��"��� �� ��"��� � �1�( �� �.
4� <�(��"� &�� !# �� ��� !��� �( � !� ��� ��� �0J( � �� � !����
'�� 8� � "(� <�!�� �� �� ��!���4 � ! ��"��� ��� � "( ! ( '��- �.
� � �!��� F���� :<�&�!�� S = c
4π[EH]� � E H 3 � �!��5 ��.
��(� ��� ! �" �!�- ��� ���!��� ��"( ��"�5� % "�-� �"� ��&
����*����!- ��& ��"�5 �! ��"( '�� 5��4! ( ���
E = E0 sin (ω t− kx), H = H0 sin (ω t− kx),
� E0 H0 3 ���"!��5� k 3 ��"���� - "�� x 3 �������!� ���"#
������" �( �� ��� !��� �( ��"�5�
=!� � �'��-� !� -!� �� �( ��"�5 � �� �5���� <� ����� �5 "�
�!�& '�� ��� ��� ! � �(!# ( ��� ����� ��"5� ���6(�� <� " �!��.
'� �! �#4!���� ��& ����� ��"(���& ! �� ! - �( � !� ��!�� ��;"�
� - !� ��"���5��� � !��" �(�� ��!��5 ��'���" # �! - !�� *��- .
�* ��"� � ��"��� �" �!�����!�5�� � ��"�5 �! 05" � �� �5��5��
,���& ��� � 3 -� !6�� ��! ��"#��( !�-�� �� 5 m� " !(1�( �
���� !#4 �� C �� !- ��( �� �( �����mV 2/2� � ���"# 3mV�
� �"( ����� !��& '������& -� !65 �� �(� ���"# '� �(4! (
� �� �5��� '� � � � ���� !�
9��� �0��'��� "��"� # " ��41�( ���!�� ��� 3 � 1 !� ��5&
�� �!�� !- �� !� � � 1 !�� � !�! ' � "#-�&;* � �� !�5* -�.
!6 3 �!���� !�� " ��� ���� � �� �( �!* -� !6 ��" * '"�.
- �( 3 � �� �5��5�
��� ������ ��������! �������� �
/- �# ����� ������� �!� !��&��( ���6 �6( � !���� ��(��� �� ��*.
��"�� �!�! "# �!�& ��� ��� -��� �� *���;� '�� !� -!� � ������ �.
�� ����1 ( �" �!�- � '��(�5 '"�-�4! �" �!�����!�5 ��"�5�
?� ! 3 �!� �" �!�����!��( ��"��� -!� ��� ��� � !����"� ��� � ""��.
��( ! ��( �" �!����� !'��� 0" !(1 ���!� ��� ���( ��5!�� >� > �.
6� �5! ��41� ' �* '�0� ! �(� ��?� <����� >� )������ <�.
�!��� ! !� ��5 05" ���5!� ��� �!# �" �!�����!�5& ���*�� �
!����� �� � ��5& �'"(� ��� !��� ��"#������ (�" �4� ��� � - �
! " �� * ��� ����
7� �!�� �!�� �� ��!� �(�5 �'��! "#�� ���� ��'� ��� ( �! �� � .
�( ���(!( ! �"���� '"�- �(� =!� �5 � "� � ��'�� � ? &-� �"( ��
.-0- 1�!�(�2��������/ )�����(�2� AK
�� !�!�-�� �� ��!� !# ��0�4 ���!��� � ���" ��( �� ���"' !�-�5*
� 2�6&�
% (�& !�-�� � !�� ��!��5� �5 � � � "� �� ��5! � �� ��!
������� - "� �!����� �* ! �"��5 ��� �( �5'5��4! 05 !�5 0 ��.
�(��-�5 '� � �( ���� ! & �" �!�- �* '��(���� �*��(1* � � !��
�!����� =!� � ��� �� ��"��� �����!# � '"�- �4 �" �!�����!�5*
��"� ��'�5* -� !�!� � � �5; ! �� ��!���� ! � �! � �� ! �"��5
��� �(� ! � �5; ��"��� 05!# �! � ��� !# '"�-� ��� � !��
9�� -!� ��0"4�� ! ( � !���� ��5! � '�� ! ����5& ' �� � <� � � ��.
� ���( "40�� ! "� " �� �0������� ! ( � � - � � ? �� !�� ! �.
� ��!��5 6� ! � - �( � �( ! ( �! �;� ��.��� ��� �� 0 "��� C1 ��
��(�" �( ����� � - �( ! "� �� �� ! � ���5 �2����� �5
"�-� ,"( ���� � ������5* � � � �!� '"�- �( 3 �"�;��&� <� ��.
�5; � ! �� ��!��5 6 �!� !(� ! � �!�� '"�- �( � � � 1� ! ( �
����!�� ��"���� =!� � �!# �01 '� !�5 2��!5� ,"( - � �!� ����!.
( &-� L ,"( !�� -!�05 ��'�!#� -!� � ��� ���* ���5!�� �5- " �(
'�� �� ! �! � ��� ! '"�- �( �! -� !�!5 ! �� ��!��5 ��� "
� ����!��5� �� � !��" �(� � 2'� �
7� � ��� �"� - �* �� � !��" �& � !��� -!� � (�& � 6""(!��
-� !�!5 ν = ω/2π ��� ! '��"4-�!# � 0 "40� ��"- !�� �� �
�������6���"#�� ������!� ���"!��5 � ��" 0��&� � " ����! "#���
��"�1�!# " �� ��!# "40� ��"- !�� �� �� ��! � � � �� �( ��
� & �������� ! "�-�&�� ����1* ( '��(��� 05"� ��"�- �� 2����"�
Eν, T = 2πν2
c2kT. �A�A�
=!�2����"�G�" ( :,�� � �"( ��"- !�� �� �� '"�-� ��& � ��6�
�� � � ��6 & ��� �*�� ! '"�-�41 � ! "� � ��-��� � �!��"#.
��� �! ���" � G�'� ��� !# Eν, T 3 ��/ � = ��/� � · >6 · ��
,"( �� ����� '�� �� !# Eν, T ∼ ν2T � =� � �� �!�"#�� �!�! '����
�� ��� �� �5��"�( ! ( �"( �'�* -� !�! ��"( �"��5* ��"��� 7���� ��
� ( ����� !�����( ��� ��0"4��! "#��( ����� !�! �� '���� G�" ( :
,�� �� 7� �"( ��!� ����� '"�- �( �!� � ��! (� 7�; ��5!
��'�� �� ��- � �� 0 "�� ��" �( ���(�� � !�� �� ! "# !�� !� @�"
!�-�5 �� � �� �!5 !�� ����(! � ��"- �� !� ���� � Eν, T �� ν ��
'������& ! �� ��!�� T � � ��� "���� � -!� � "� ! '���� �A�A� � �� �" .
�5��3 �!� !�� ��'5�� ��( �"#!��2�" !���( ��!� !��2�� <� �� "- �
-� !�!5 ν '��- � Eν, T → ∞� - � � ��� ! 05!#� - � � ! �� ����
� " � ���� !��� �"� �� �A�A� �� "40�& 2� �������& ! �� ��!�� �.
! ��" �� � � -� !�!�� �� *��! (M
∞∫0
Eν, Tdν → ∞� =!� !# �5��� �
�"#!��2�" !���& ��!� !��253 ��"��( �� �( '"�- �( 0 ��� -�� 1)�
1) : ) ���)�� ;,���� ������� � � � ����� < ������4�� � : !�������
A� ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
)���- " ��5 ���5!� ! �� !- � � !����!# ����"#�5& '����
'"�- �( � ��" ��!# �01 � � ; �( '���-� <�-�� �!* � ���-
���'�"� # " ��1 & �- �# "�0���� D����5 �"� - ��& �" �!������.
� ���'�" # � ��"���5� � �� ��!� �4 �" � �!���5* ���6 ��
'"�- �( � !� �!���5� � 6""(!�����
���"'��( �!� !��64� )�� <"��� ��; " � ��- !� ��� ���5�
�5������ � '�� �!"-�5� �! !��� -!� 05"� '� !�� ��� � <"��� ��; "
� ��! ' � !��5* ����!��� E�!( !��- � ����!��� �� ��!� �
� !� 05"� �� ��5 �� � �� ��� �! "#�� � ! �"����� '"�- �4� �"(
�� 0�" ���0�� ��-�"� �� ��!� !# � & !�( � !��
�"� ��#����! �����
G� ��!��� ��-�"� ��- !� ���� ���� ' ��5* �05� ��5* � & !�&
� !��9�� ��!� �� ��!�� *�- �� � & !� � !�� <� !# � �� � ! (
!���#� ������ ��� ����; ���(� <�� � & !� � �"� -��� � !� ���� � �.
��" �4� �� ! � ��� �56� !� !� ��� ��3 �!� ��" ��"5� "���5 ����.
- � ��" ��"5� ������ ��� �� �� � " ��5 �� !���� %56� !�� !���
��� *��! � � '�"#!�! ��'"�� �( ��" ��" ��� ! "( ��� � & !� � � .
!�� % ��" ��"5 �������5� * ����� �� �����4 ���� ! �������5&�
��'�"� # 05� � !� � !���# �56� !� ! �� ! � ���� )�" ��"5 ��� ! "( �� .
����4! ( � �������5� �0��'��� ��.��'����� � ��'�5 ��� �!5 �� � ��
?��-�"� �� ���� ! ( ���� ��" ��"�� '�! � ����(� C " � ! ���� ! �����.
� ��� ��" ��"5 �������5� !� " �� ! ����!#� -!� "0� � ��" ��"5
��'"���! ( ��'� � � "0�� " � ! "�0� � ��-�" ���6 � �56� !��(
� ��'"��! ( � ���� ' �*� % �� " �� �� ��0�" � �" !-��� "�-�
� ��" ��"5 ��'"���! ( ��'��� �'�5���0��'��� �� - � ' � ��!��� �� �(�
���� �� � �����(! �� !�!�-��4 �� �4�
� �� ���� � " ���6 � ! � �" ��� �� ! � ���� ��� �!� �0J.
( �!#L +0� ��" ��"5 � �������5� �� ���!� �!�� �� !� ! *�(�
"0� 2���! ����41 � � !� � - �.!� �1 !� ���� � ������� �� � ���.
��� � �� <� !# � ��� .!� ��� �!5 �� � � � ���* !�-��* ��� !��� !��
�� �( � !� � � ��!�- ��� � � ���* �� � � !� !� � � !���& ��!�� �
�����.!� �5 " ��� ! 05!# �����0" � ��!��� ���0� ��!��� �������5*
���0���� G�'"�� � ��" ��" ��� ! "( ��� *��! �� �!�� !���� ��.
�� �!� "#��( ���0���� ����� � ��" ��"�� ��'0�� ! � ,��� "�����
��'"�� � ��" ��" ��� ! "( � !�� ��� *��! !��� ��� 0��!� 05 ��" .
��"5���! ��"�1�!# � ! 6 "5� ���6(�� � ��!��5� ��� � " ��5�
��"- !���� �������3 ��� �(( "�!5�#�
=&�;! &� ������" ��� ��4 ���"�4 !�"#�� -!� �� ��!� �����
��� (�" �4�
G� ��!�� ! ��� �� !�� ���4 ���"# ��� ��� 0 � �� )�� � ��".
�5� � �� �5��� � � ��!5��( # - � ' ! ��� ����5& ��' -!�.!� �5��4!�
� � �! � �� ��"��� ! � 0�"#; ��� �5�� !� 7� ����� �� �#;�!#
.-3- 4���522�)� A�
�� � ! �5 �� !� � ��"- !�� '� !� � �� �(� -!� ��"���� !� "(( �
! ��� ��'0��( !��� ���� ������4! ��"� )� � ! �5 0�� ! �� �#;�!#.
(� )���� !�� � !��!#� -!� �� �#; � �� 5 '� �������� � �� !�!�-��
�"! "#�� �� �( ��'� & !�( 0�� ! �������5�� ������ �� ��� ! �5
� �� ����� � !����!#� � & !����" �� � � �� �5��5 ��"�5 " �� .
�5� !5& "� �# ��"#�
?�!# ��'����� � !��� -!� � !�"#�� �� �( ��'� & !�(� �� *����.
! � ����'�6� !���!��� �� ! "( �� � ��� � "( ! � '�"#!�! ��'� &.
!�(� ���"'��( � '�"#!�! ��'� & !�( � ��!���� � �!�� �5 ��"��5
���! � �5����� � ����� � �!��
<� ���"�� � � �� �5� !�� *����! � � !�� ��!�� �5 !���41
' ���"'� �56� !��( ����; ���& !���� !����! ( �� !� ��� ��'.
����5� �� �� ��!� � (�" �( 2�!��22 �!��
<� !# �� � !�""- ��4 ��� �*�� !# � ������ ���� ! � ! � ��!���&
�"�5 ��"�5� ?� ! �50�� ! �" �!���5� ��!��5 �5�5��4! ( ' � !�""�
� ��!���& ��� � " ���& ���� !#4� =!� !# 2�!��" �!�- �& �22 �!
"� ����( ���!��� 3 2�!��22 �!�
�' '����� �*��� �( �� � �5 ��� � �5� !� -!� �� �( � .
!� -� !-�� � � *��! � �� !- ��4 �� �4 �" �!������ C ! !� ���
����!#� -!� �� �� "- � �! � ��� ! � !� !�& � �"�5 ��"�5
���� !# �" �!����� ��'�� !� !� 7� �!� � !���
G� ��!�� ! � �# 2�!��22 �! 0�" !1�! "#���
�$� %���& ���
% ANN� � >� > �6 '�� !"� -!� ��� ������ ��5 � ��� 6����5�
;����� ��'�(���� �0" -� ! (� " ��� ' ;����� � � !!# �"#!��.
2�" !��5� � !���
�� >� ?!�" !�� � ANNN : ANOB ���* � !�"#�� " ����" �!� (�" �
� !����" " ��41 M
A� �� �� �5 ��� � & !� � � !� '��(�5 � 4! �!�6�! "#�5&
'����I� ��0�"#; � & !� ���'5��4! �"#!��2�" !��5 "�-�
% ANO� � ,�� ,�� 9�� �� �!��5" �" �!���5�
% AOON � ,�� ,�� 9�� �� 8� =��� + ���� ��� � "" �!��; � e/m
�5" !�41* �� 2�!��22 �! '��(��� �� * �!�"�� �4 � �" �!�- ���
���!��� ��"(*� �* '� � �( ��" '��- � A���AB ��6 PQRS
����'�"� -!� �!� �" �!���5�
9��� �0��'��� 05"� � !����" ��� -!� 2�!��22 �! 3 �!� �� ���
�" �!����� ��� � & !� � � !��
D�� !�� -!� ��'"-�4! ��� !��2�!��22 �!�M A� �� ;�&2�!��22 �!�
!� !# �� ��� �" �!����� ��� �*�� ! � 1 !�� �� �� ;�44 � ��
������ �� � ������� I� ���!� ��& 2�!��22 �!� ���� ��1 ��5 �!�.
��� �" �!���5 � !�4! ( � � 1 !� � �� "-��( !�� �������� !� )5
����-� ( '� # !�"#�� �� ;�� 2�!��22 �!��� �� ��"#�� � ��� ��
A� ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
� '�- � 05" �0����� �5 ����5 (�" �(� � �"� - ��&� ����!�.
��� *��- ��& �����5�
G� ��!�� ��-�"� '����5 2�!��22 �!�� ��� �� ���(�"(4! ( � �� � .
�� �! �� � A�A�� % �5 ���� ������ �10−6 ÷ 10−7 9����� -!�05 '0 ��!#
��0�-�5* �22 �!�� '.'� ����� �& ��" ��"�� �'��� ��!�� T � � 1�.
! ( " �� �5� � !��� C " ����� �5( �!# ��"# � !�""� ��!���� !�
�� ��"� � 05!# �- �# - !5�� <� '������� � ! � � �(( ��'�� !# ��! �.
6�"�� V � ��� �" �!������ �5 � �( �� ���01 ����(� !��� 7� "
������ � & !�! "#�� �5 �� 2���� �" �!����� !������ -!� � �5����.
�5 �" �!���5 ������4! �� ����� � � ���" !�4! ���� !� �- �# ���� "�
������� !��� � 0�� ! �� ! �� !�� ������� ����(� �(� 7� !��� ! �2.
2 �! �� 51 �(� )5 0�� � � !# �� 51 ��5& 2�!����� %�"#!.��� ���(
*����! � !�� 2�!����� ��� � �� �� � � A�I� + ��( -� !# ��2�� ".
"4 !��� ! '����41 � & !� ��! �6�"�� ������" ���� ��� !� -�
��!��� 2�!��" �!������
+ +
−
−
K
Ñâåò
Ýëåêòðîìåòð �Vç 0 V
í
2�� �� :0�) ,�� ���� �� �����D
�� ��? ����������
2�� �� !������)��� ���� � ����� � + D
���)���� ���-��� ������� �� � ���D
4���� )�4�, �������� )�U i T ���-��
������� B iн T ������� � ��8����B V T
�����4����� � ���4����B @−Vз) T + ��D
� ?8�� � ���4����
9�� ��� !�� �� 51 �( iн �� !� ! (� ���� � �" �!���5� �50!5
� !��� ������4! �� ����� !� � ��� iн !# � �� 2�!��" �!�- ���
� & !�( � !��
9�� ��!� ���� )������� ����%���� ���� ������(�������� ���������
����� �����%��� ��������� ������M iн ∼ I � =!�! '���� ���� � � � �- �#
;����� �! ���" �! � ��� ! &� ��"�!# �� ��'��; �( ��!���� �� �.
�� 0"�����( �!��� 2�!��" � �!5 ;���� ��� �(4! ( ��� '� �! "
�! � ��� ! � !��
<�����"'�� � ! � �# " ��4 -� !# ��"#!.��� ���& *����! � !�
2�!������ 9����'(1 � & !� ��"( �� �#;� ! !��� !� � � !����"��.
! ! �" �!���5� �� !- ��( �� �( ��!��5* �� �5" ! ' � !�""�(1
2mυ2
)
� �#; ��0�!5� ��!���4 ���� ��"��!# �"( �� ���" �( ��'��.
! ��! �6�"�� V �
.-3- 4���522�)� A�
C " �� � ��!���� '��- � V !�� �0��1� ! ( � ��"#� !� �!� �'��-� !�
-!� �5 '�� ���" � �" �!���5� � !�� - " ��5 05 !�5 � 9���
1
2mυ2
max = eV. �A�I�
<�"�� !# ����& i(V ) � " ��& -� ! �� ! "# !�� ! � ��'0�� ����.
! & �5" !�� <� ����& ������ " �!� ������ ��� � "!# �� �� � " �
�" �!����� �� ���� !(� �5" !�� <�-�� ��'0�� � 3 �5�5��� �" �.
!����� � !�"#�� ��� �*�� !� �� ' "�0��5* "� �� <�����( # �
��� �*�� ! � !�""� �� " ��!� �0 !� ��� 2�!��5 ��0��� �(� �" �!��.
�5 �"�0����� ��� *��� �( ! �(4! �� �4 '.'� !�"���� �& �!�.
��� �� !�""- ��& � ; !� � !�""�� D��-!� �"( �� 2'- � �! .
� �� � ��� ���� !# υ� *����! �'�41�( �� �4� ��01� ��4
�" �!���� �� � � ��0��� �� 7� � � ��� ����!#� -!� �"( � ��0��� .
�( �" �!����� �5" !�41 � ' � !�""� � ���� !#4 υ� �� !�!�-�� ��0.
1!# �� �� �4
1
2mυ2� <��*��( - � ' ��� �*�� !# � !�""�� �" �!���
�� ���" �� ! � ��!��5& �� � !- �& 0��# �� ��'� "(41& � !�""
��0���� ��� !��� !��� =!� !�! �� � !- �& 0��# �� ��!��5& � �05-.
�5* � "��(* �� �(! !�� ! ��0���5� �" �!������������� ! �����!#
� !�""� ?" ����! "#��� �����41� � !�"" �" �!����� ��*��! ( !��.
!!# � ��!���4 �� �4�� �� ���" � ����!�" �( �� �� �5*���� =!�
�� �( ��'5�� ! ( ��0�!�& �5*��� Aвых� G�0�!� �5*��� ��'"-�� �"( � .
!�""�� ��'��� ��!�� -!� �����!� ��� '� !��� � ��(�" �4 ���!��!��&
��'�� ! ��! �6�"���
9��� �0��'��� �� �( W � ��!���4 ���� ��01!# �" �!����� -!�05
�� �5���" ( ��� ��"#��& ���� !#4 υmax ' �"� !�5 ��0�!�& �5*���
Aвых� �����
W = 1
2mυ2
max +Aвых = eV + eVвых, �A�K�
� Vвых = Aвых/e3��! �6�" �5*���� � V = mυ2max
/2e3 '����41&
��! �6�"�
9�� ��!� ���'�"� #� -!� �� �(W � '�� ! �! �! � ��� ! ����4.
1 � � !�� � ��� � "( ! ( � -� !�!�&� D�� �� !# �!� ��� !�M �� �(
W "� &�� �� ! ! �� !�� -� !�!5 � !�� /! 4�� �5! �� ! " ��41
2����� �!�"#�� �!� ��� � � <� ��"#�� �� �(W ��"��� �� �5;�!#�
�� ���&� & � � � ��0�!� �5*��� �� ��"#�� ��� ������6���"#�� -� !�! �
!� �1 !�� ! !���( �'��( -� !�!�� �"( ��!���& �� ��!���& 2�!��2.
2 �!� � ! �� "40�& ���"�' ���&� �! � ��� ! � � 1 �(� F!�-� �
2����"����� � "���� � ��0��*� � '�!���� ! �1 !�� �� ��!���.
��� '� # ����� � � ����!���& ����� � !��
?�����( � '�"#!�!5 ���* " �����&� ����� 2����"����!#
" ��41 � ����5 '����5 2�!��22 �!��
A� ��"- !�� ��!�� �5* 2�!��" �!����� �!� � 2�!�!�� i) ������.
6���"#�� �! � ��� ! ����41 � � !�� " � -� !�!� � � �( ! (
������ *+ ,+ -����������
AN ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
I�A�)�� ��"#��( ���� !#2�!��" �!����� �� " ����! "#��� * �� �.
(� '�� ! !�"#�� �! -� !�!5 � !� ω� �� � '�� ! �! �! � ��� ! I �
!� � υmax = f(ω) ������ .+ /��������
I�I� @�" � !�"#�5 " �����( ����'�"� -!� ��� ��"#��( �� �(
2�!��" �!����� "� &�� ��'�� !� ! �� !�� -� !�!5 � !�M
1
2mυ2
max = αω − β.
K� ?�1 !�� ! �"�����"����( �" ��� ��(� ���6�2�!��22 �!�� =!�
'��-!� -!� 2�!��22 �! � ��0"4�� ! ( �� �"��* ��"� � !� λ > λ max�
,"�� ��"�5 λ max !# *����! � !�� � 1 !�� � '�� ! �! -� !�!5
�! � ��� ! � !� �'���� *+ ,+ -����������
�� 8�!��22 �! (�"( ! ( ����!- � 0 '5� �6���5� ������ *+ ,+ -���
��������
�� D����41 ����(� � "� &�� '�� ! �! -� !�!5 � !�M
Vз = aω − ϕ,
��- � ��� !��!� a � '�� ! �! ��& !� �0"�-� ��� � 1 !�� ������
0+ !����������
C " � ��5& '���� 1 ������ *�!( 05 ��- !� ���� �0J( �!# �� � ��.
� �"� - �* �� � !��" �& � �'���� & !� � !� �" �!������ !�
� � !�"#�5 '����5� � !����" ��5 � !�"#�� ��- !� ���� �� ��"- .
!� ���� ��*��(! ( � ���41 � ���!��� - ��"���5�� � �� �5��5�
�� � !��" � � � � ! �
% ���� � " � �"� - ��& !�-� '� �( ��� � & !� � �" �!����.
�!��& ��"�5 -� !�!�&ω �" �!��� �� �;� ! ��" 0��( !�&� -� !�!�&
ω ���"!���&� ������6���"#��& ���"!�� ��"�5M x ∼ E(t)� ?��!.
� ! !� ��� �� !- ��( �� �( �" �!���� ���� ! ( ������6���"#��&
�! � ��� ! '"�- �(M Wкин ∼ E2 или Wкин = αI � <��!��� �5" !
�" �!���� ' � 1 !�� ���� ! ( ��'����5�� " � "-�� Wкин �� �5.
;� ! ��0�!� �5*���M
mυ2max
2= Wкин −Aвых = αI −Aвых.
9����0��'��� �"� - �� �� ��!� � �����!3����!��� -
�� � �� �!�� 3 � �5����� -!� ���� !# 2�!��" �!����� '�� ! �!
�! � ��� ! '"�- �(�
�'� (#�)��#������! �����! ���& ����
% � !�"� �� � !�� ���� �"#0 �! =&�;! &� ���" � � ! �� 2�.
!��22 �!� ����!��5 �� � !��" �(� �� ���"���� -!� ��������5& � !
� !�! ' ' � �3 ����!�� �� �� 7� ���� � " � ( � !��5* ����!��
05"� �5 ��'��� )�� �� <"����� '� � ��"#�� " ! �� �!�� �"( �0J( � �(
.-6- 7&�8��&����)�/ ���(�/ 2���522�)�� AO
���'�� 0�" "����� (�" �( 3 ! �"���� '"�- �( � � �!��� 7�
2�!��22 �! ( � ���1 ����'5�� ! � �0*���� !# �� � �( ����!���
, & !�! "#��� �� !# ��!�� ����!������ ! ��� !�""- ��4�"� !���
%'���� & !� � ��� � !�� � 1 !��� � !�! � !���� "�-� ' �- �#
0�"#;�� - "� �- �# ��"5* �������5* ��!��� � ��!��5* ����! �5�5�� !
�" �!��� ' � ����� �(� =! �" � �!���5 ��!5 ����0�5 ��� �����
����5& �5�����5& �" �!��� � ! '��-�"#�� ���� !� � �� �4�
F� "- � �! � ��� ! � � 1 �( �'��-� ! �� "- � - "� ����!�� �
��!�� � !�� �� '��-!� - "� ��!�� ����� �(� -!� �����! � �� !� - "�
�5�����5* �" �!������ 9��� �0��'��� �5 ��"�-� � ������6���"#�� !#
!��� �� 51 �( �! � ��� ! � � 1 �( �'���� A��
=" � �!���5& ��! ����� �( ��� *��! ����!- � ���� ����
�5 ��"�-� � 0 '5� �6���� !# 2�!��22 �!� �'���� ���
E����! � �" � �!���5* ��!�� � � �( ! ( �� '� � � * - "��
�5 ��"�-� �� -!� �� �( 2�!��" �!����� � '�� ! �! �! � ��� !
� � 1 �( �'���� I�A��
@�" �1 !� ��5 '����5 I�I K� /� �� ! "# !��4! � !��� -!�
����!5 � !� ��'��& -� !�!5 �� �� �� ��'� & !�4 �1 !� ��� �!"-�.
4! ( ��� �! �����
<� �5 " =&�;! &�� � ( �� �(� ��"�-� ��( �" �!����� � �" � �!��.
��� ��! � �5 ��0��� �(� �� !��"( ! ( �� � !�� -� !�!�& ν = ω/2π
� �� ��� � " ���&���6 � "-��&hν� =!�! ����! � !���& �� �6 .
"��� � ���� ! ( �" �!����� � ����� �" � �!����� ��! �'���� & !�(
� � !��� 9��� " ��( -� !# ����� �( �A�K� 3 �!� hν� �!� ����� � � (�.
"(41 ( ��� !� '�� #4 '����� �*��� �( �� � � �� ��!��� ���
�" � �!����� ��! � ���0� !� ! ��
W = 1
2mυ2
max + Aвых = eV + eVвых = hν, �A���
" ��-
1
2mυ2
max = hν −Aвых. �A���
% ��'� � � !�"� �� �� � !�� <���!5 I�I K �0J( �(4! ( ���
���� ����� �( �A���� �'� � �( ����'5��4! !�-�� ��!� ! !� �!��
����� �( ��0"4�� �5� �� ��5! '������ ��� !(�� ,"( ��'�5* � !�""��
'�� �� !# ��� ��"#��& �� !- ��& �� � 2�!��" �!����� �! -�.
!�!5 � ! ��� !�! � ���"�� �� � A�K�� =!�! ���"�� �� ! '��- �
�� !�(���& <"����M h = 6,63 · 10−27эрг · с = 6, 63 · 10−34Дж/Гц�
��� ��( ���6� 2�!��22 �!� 3 hν0 3 �� ! '��- � ��0�!5 �5*���
Aвых� F1 "�-�5*� !�""��� ��!��5 " �� �!��4! ��& �� ;�& �" �!����
��� ��( ���6� 2�!��22 �!� " �! � ' " ��� � ! � ,"( 0�"#;� !��
���* � !�""�� �!� �"#!��2�" !�
7���� 6� '���� )""� �� � � �" ��� " �� ! ' 2����"5 =&�;! &.
�� �A���� " '�� !!#� -!� � "-�� eVз !# � !�-�� ! ��� ��"#��(
IB ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
�� !- ��( �� �( 2�!��" �!������ 9���� � � � 5��( �A��� � ��
Vз = mυ2max
2e= h
eν − Aвых
e≡ aν − ϕ, �A���
��"�-� � � !�-�� ! '���� �� D�� !�� -!� �!� ��!��; � ��'��".
"� � �1 !�!# '� � � �� !�(���& <"���� �� ���"��� ���5* Vз(ν)�
mv2
2
ν (1)
0ν (2)
0ν
2�� �� / ���)���� ) ���) ����� ������-����� ����1�� ��������� ���������D
� �� - ����� ��� ��� �,0 )�� ���B ����- ?8�0�� � =���� �0�� Aвых
�!��� 2�!��22 �! �����! � �5���� � ����!���& ����� � !�� >���.
�( 0�" !���� '������ ��� ! 2�!��22 �!� ������(! � �5���� � ����!�.
��& ����� �'���� & !�( � !� � 1 !���� 7���� � !# � ���� -!�
�� �( � !��5* ����!�� �- �# ��"�� ,"( � "!�� � !� �"��& ��"�5
λ = 6000◦
U = 0,6 ��� � ��!� ! !� ���� -� !�!�& ν = ω/2π = 5 · 1014 >6
�� �( ����!� hν = 3,3 · 10−12 ��� ,"( � !�* � �! ��� �* "�- &
�λ = 1◦
U� ν = 3 · 1018 >6� �� �( ����!� ����� hν = 2 · 10−8 ���
%� ! ! �� ! �� ��!���� �� ��!���& � ��(( �� �( ! �"���� ��.
� �( ����� �� � �!* ����!��� �- �# � "��� % "-�� kT �� !� !
'��- �( 3,3 · 10−12 �� �� T = 1, 6 · 104 �� � '��- �( 2 · 10−8 �� 3 ��
T = 108 �� =! �6 �� �0J( �(4!� ��- �� �� � �� �!�"#�� �� !���(
! �� ��!��� � !�""� � ��'5�� ! ( �� 2�!��22 �! �
/6 �� ! � �# - "� ����!�� � !�� �� �� �5* � ��6� �� � �
!��� �����5� !�-����� ��� �������5& 2������ C " ���(!#� -!�
� "!5& � ! ��1�� !#4 A%! ������ ��� � � 1� ! �"�1��# � �2� !� " ��
��&!� -!� ����5& ������!�5& ��!� !� � !���� �(!�� � ������
��"�-� ! ��� ��� 6·1017 ����!���7� �� !�(� � AB ���� �� *���� !
� !���� ��-�� � ���� ! " �5� �"�� B�A ��� !�! � 2����� �'�� !
� � 1 ��� !# � 3 · 108 ����!�� �� �2 � ������
.-9- �:+�+ ;��� IA
)5 � 0�� � � !����"��!# ( �� !��* ����� �*� ��� ���!� ��& 2�!�.
�22 �! � ��"����������*� �"� -�5 0�!�� � 2�!������! " ���.
��� � �( 2�!��22 �!�� /0� � � �!�� ����� ���- !# � ��
>� ?� +��� 0 �� �/�!���� ��!���( � � � ��� ��� ! (�
�*� ����� +���
<���"�&� � � � (��� � �� !�� !# � !� ���(�"� # � ��5!�*� �5.
��"� ��5* %�"#! ��� @�! � AOI� � ?* �� ��5!� ����'��� �� � � A���
Ý1 Ý2
Ë
C1 C2
Ô
R
2�� �� :0�) ����
&��� � T )�� ���-��� �
����1 E V T ����1�������
�+�,-����E :1 � :2 T �-��-�D
�� ����-��1� ����1������1�
�+�,-����E !1 � !2 T ����D
���)����B ��1������,?8��
��1� �� �� �-��-���E J T
���� ��� + ���� ��1� ��
�� �������)���� @"���� �
������ ,� +� �� � �� �����
��4���� �����A
% �!* ��5!�* � �! ��� �� '"�- �
�- �# ��"�& �! � ��� ! ������"� ��
!����4 � !�""- ��4 2�"#�� ��!���( �
��4 �- � �# !����"� # !�-���� �!�.
�-��� � �! ��� ��� '"�- �( �!� � ��'.
���"� � �! ��� ��( 2"��� 6 �6( ��"�&
�! � ��� !�� =!� �!��-�� '"�- �
� !�����"� # ����( - !-���� �� ��.
"�� ��5� �� ��'�5 !����5 �! 2�"#�
?��"5�! - !-��� �� !���"�� �" �!��.
� !�5� ����5 �'������( �! ��!��5*
'�� 5��" # �� " �! �
C " 05 � ! �� � !��"(" �0�& ��"���
!� '"�- � ��*��"� 05 �� �0�* - !.
-��� ������ � ���� ;!�* �� " �!
�� ��"��" # 05 �� !�-��� % � & !�.
! "#�� ! ��"5 �� - !-� �� !���"
� ������ � ���M ;!�* �� " ��& ���.
��& !�����* " �!5 �� ��"��" # � �.
� !�-��� � *�!( * �� ��"�� � ��
" �! �� "� "�-�&�5& *����! �� � ��
- "� ��"��� '�� !�������5* ���.
�5� - !-���� ���'5��"� # �������5��
=! � '�"#!�!5 (��� �� ! "# !����"� -!�
'"�- � �! 2�"# �� ��� !���("� # ���.
6(�� ����!��� ��- � ����5& ����! ��.
�" ( � ��� � " ����� *�!( "�-�&�5� �0.
��'�� �50������ ������" ��
�,� ( ��� -�.�����
/ �0 ��� � '�� �!- !"�� ����� ��"(��5 ��& !�� � !� ���(�"(4!.
( � �22 �! ����!���� % AOII.� ���� " ��( �� (� � �! ��� �*
"�- & � �'�* " � 1 !��* " �� �!���� �����2��� ��!�� ����.
!�� �0�����"� -!� �"�� ��"�5 "�- &� �� (��5* ��� � ��!��5� �"�� �
II ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
� �����-�"#����� *������ "�-�� �!"-� ! ( �! �"�5 ��"�5 ����41 �
'"�- �(� 9�� ��� -� !�!� � �! ��� �* "�- & �- �# � "��� !� �� �.
( ����!� !�� �- �# � "�� � !5 (- ��' �� �� *��! �� �4 �('
�" �!���� � �!�� � ?" ����! "#��� �" �!���5 ����� -!�!# ��0���5��
9��� �22 �! ����!��� 3 �!� �� (� � !� �� ��0���5* �" �!����*�
<� �"� - ��& ��"����& ! �� �� (� � !� �� �" �!����*� ��.
� -�� � � ��'������ <�" �� ��-�� ! �" �!��� � � �� ! �� -� !# �� &
�� �� ��- � �� ��-��41& (� ��" 0"41& ( �" �!��� ��"� � '"�.
-�!# �� � '"�-�!#� �� !�& � -� !�! � *�!( ����&.!�� ���01 ����(�
��& �������& ������" ��� !� % ���� � " � ��� � & !� � �" �!�- .
��� ��"( ����41 & ��"�5 �" �!��� 0�� ! �� �;�!# ��" 0��( �� '�����
mr = eEпад(t), Eпад(t) = E(0)падe
−iω t.
/! 4�� " �� !� -!�
r(t) = − eE(0)пад
ω2e−iω t = − eEпад(t)
ω2.
9��� �0��'��� ���"#�5& ��� �! �" �!���� d = er � ���- � � �(.
! (� � ��!� ! !� '������ �"� - ��& �" �!������� ��'��� !
���"#�� '"�- � � ����(� ��� ! �" �!�- ��� ���!��� ��" &
��!���� � ��"#� & '�� ���'5��4! ( ����5�
Eизл = 1
c2r[[dn]n] = e2
c2r[[Eпадn]n],
Hизл = 1
c2r[dn] = e2
c2r[Eпадn].
D� # n = r/r 3 ��-�5& � �!��� ������" ��5& �! ���"( � !�-��
��0"4� �(� ��� ���� ' �!* 2����"� �� � ��5 '�� �� ! ����41 &
�� (���& ��"� �������5M
Eпад ∼ exp(−iω t), Eизл ∼ exp(−iω t).
7� ��5! ���'�"� #� -!� ��� �! "#�� � �� (�4 � �! ��� �*
"�- & �"� - ��( ! ��( �� �; ��� � � !�(! "#���
?* �� ��5!�� ������������ � �22 �!����!���� ����'��� �� � � A���
D� # ��2���5 ��� �(4! ( �"( !��� -!�05 ����'���!# �'�& ��-��
*����� '"�- �(� -!� � �0*���� �"( �"��5* '� � �&� ���� !���
*���� '"�- � ����*����!'�� ! (� -!� � �0*���� �"( � �!��"#.
�5* '� � �&�
% �� (���� � ! � ���(�� '"�- � � �� *����& �"� ��"�5 λ�
05"� �0����� �� '"�- � �� ����& �"� ��"�5 λ′ 3 �� � � A��� <�
�!�� ���'�"� #� -!� � "-�� ��� Δλ = λ′ − λ � '�� ! �! '��- �( λ
�! ��! ��"� �� ��41 � ! "�� �' �� � �� �!�� 05"� � !����" ��
'�� �� !# ��� �! �"� �� (�(M
Δλ = λ0(1 − cos θ), �A���
.-<- =��(�/ 522�)�� ���:���� IK
� ���226 �! λ0 = 0,0242◦
U �� ! '��- � ��� -� !�!5 �� θ = 90◦�
È. Ê.
Êð.
Ð. Â.
Ä 1 Ä2
θ ϕ
I
� �
2�� � :0�) ���� (�)���� %=�+� -���� �
�0�)�U �1B �2 T �� �� 1)� ��� �������� ,+��D
1� �,-� )���0��) ��-����1� �+�,-����E 2 7 T
� ���� ?8�� �8����E (� T ����� ��E 9 ( T
����+ 5���� � � )��
2�� �$ :����� ����1�D
�����1� �+�,-����B � ���D
����1� ��1��) �8����)
/��'�"� # !��� � -!� - � !(� " � 1 !��� ! � "�0 �! � ��� !#
� 1 ���& "�� ,"( " �* � � 1 !� �VW� XY� X� ����!- � �
�� (��� '"�- � � ! � 1 ���4 �"�� ��"�5�
G�'0 � � ! ��4 �22 �!� ����!���� *��( ' �� � !��" �( � � !�.
�5* ����!�*�
�/� 0����! & ���� -�.�����
9�� -!� �5 '�� � � 2�!��22 �! � ��� "� �� � �� � !��" �4 � � !�.
�5* ����!�*� � ��!� ! !� ��!��5� � ! -� !�!5 ν � !��� ! �� �'���.
� & !� � 1 !��� � �� �!� "#�5* ���6& �� � hν� =!� ��"�� .
� ���� �"�� �"( "40�& -� !�!5 3 ��� �"( ����� � !�� !�� �"(
� �! ��� �* "�- &� ����.� γ."�- &� %� !� !�� -!�05 ����!# �����!
����'"�- �(�� �����! ����� � !��� �����! � �! ��� ��� '"�- .
�(� !� �� � ���(!� ���!� 0"(!# �01& ! ��� )����� � ( � ��� ����!
�" �!�����!��� '"�- �(�
)5 &-� ����� �� -!� �22 �! ����!��� �0J( �( ! (� " ���(!#�
-!� 2�!�� �� ��� !���( ! ( � ��� !��� !� � ���� !#4 � !� �0"�.
�� ! � !�"#�� �� � & hν� �� � ! � ��!��� ��"- !�� ��� �(
����"# ��
% "-�� �!�� ���"# � ����� ��"�-!#� ���" ��( � �� ��!� �
��� ' �5����� � 6�"#��& ! �� �!�� ! "#�� !� � � ��� ��!��.
; � =&�;! &�� �"( �(' � ��� ���"# �� �� � &M
E =√
(pc)2 + (m0c2)2. �A�N�
I� ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
?���� !# � "(!� ! ��& -� !65 �� �!�� �� ! ( �5��� � �
υ = pc2
E. �A�O�
C ! !� ��� -!�!#� -!� 2�!�� ��� ! ( � ���� !#4 � !�� 9��� ' �A�O�
��"�-� � ��� � !��E = pc� -!� �- !�� 2����"5 �A�N� �����! � �5�����
-!� �� � 2�!��� ����� ��"4M
m0 = 0. �A�AB�
% �!�� � !�! ����� �!"- 2�!��� �! 0�"#;� !�� ���* �" � �!��.
�5* -� !6� ����� � �" �!����� ���!��� ���*� �� � ��!��5* �!"-��
�! ��"(�
9��� �0��'��� ���"# 2�!��� ��� �
p = E
c= hν
c, �A�AA�
� � ������" � ������ ! ������" � � �� ��� !��� �( � !��
C " �� ! ��"����& � �!�� �� ������ �!5 ��!���� � � ��!���& � .
���!���& ! � �������! �!#
kx = 2π
λcosα, ky = 2π
λcosβ, kz = 2π
λcos γ, �A�AI�
� λ 3 �"�� ��"�5� � cosα� cosβ cos γ 3 ������"(41 �� �� 5
�� � A���� !� �- !�� ��� � !�� k = 2πν/c �5��� � �A�AA� �"( ���"# �
z
x
y
α
β
γ
k
2�� �' %���������� � �� ��?D
8�0 ,1�� �����1� �����
2�!��� ��� ! 05!# '�� ��� � � �!��.
��& 2��� M
p = h
2πk. �A�AK�
% "! ��!�� ;���� ��"#'� !.
( �0�'��- � � = h
2π
� � = 1,05 ×× 10−27эрг · с� =!� �('��� ! � 0�"#.
;� '��- � �� ��!��� � ! ���.
���( -� !�!� ω = 2πν� � ��"#'�(
!���4 -� !�!� ω �� � - ����!�4�
�� !�(���4 <"���� �� ��"�-� � " .
��41 �5��� �( �"( �� � �.
��"# � 2�!���M
E = �ω, p = �k. �A�A��
8����"5 �A�A�� (�"(4! ( � ����5� ����� �(� ����!���& ! ��
� !�� /� �('5��4! �� �4 ���"# 2�!��� ��!� ! !� ��� -�.
!�!�& �"��& ��"�5 �"� ��& ����*����!- ��& ��"�5� ������" �
�� ��� !��� �( ��!���& ��� � "( ! ( � �!���� k�
.-<- =��(�/ 522�)�� ���:���� I�
?" �� ! �!� !!#� -!� �!� ��� � � ��" ��& �� �5��� � �"(
���"# � 2�!��� ����� ��"�-!# *��( ' ��! '5 <"���� �0 �� �
� !���� ����!� �E = �ω)� �� �0��'����& +�� �6� �� � !��" �& �0
�" �!�����!��& ��"� � �� '���-� A �? ��������
/����� "�0��& �5 " ����!���& ! �� � !�! � � !��� -!� �5
�� � !��"( � 0 � ! ��� �' -� !6 �� � & E ���"# �� p� � �
!��� -!� �0� � �� � & ���"# �� � ��� � !�� ���� ! ����
����� �� �" �!������ ��� *��! ��! � ��-!�� �( ���* 2�!����
������ �( ���*� =!�! ���6 ���-�( ! ( '������ �*��� �( �� �
���"# �M
�ω + E = �ω′ + E′, �A�A� ��
�k + p = �k′ + p′. �A�A� 0�
+ ��( -� !# '� # ��!� ! !�� !� � "���� ����(� �� � � �� � !�"���� .
�(�� �����( 3 �� " �
% �!* ����� �(*� ��� " �� �� !#� �� � !��" �5 ��"�1 � � !�
�ω′ = 0, k′ = 0)� � '"�- � �ω = 0, k = 0) �� (� �ω �= 0�
ω′ �= 0� k �= 0� k′ �= 0)�
<� �� - � ��� �!# ��!��; �( �A�A� �� �A�A� 0� � �22 �!� ����.
!���� �!� !�� -!� ��� �5 �� ��"#'���" '���� �*��� �( �� �
�A�A� �� �"( �0J( � �( 2�!��22 �!�� 9��� � �� 05"� E = −Aвых� ω′ =
= 0 E′ = mυ2max
2
� D���� �*��� �( ���"# � � ��� �(" (� !�� ���
�� �!� ����" ";# !�� -!� � # ���"# 2�!��� � � ����" ( � �� �� ��
� !�""� ��� 6 "����
% �� � (� ������� � �22 �!� ����!��� �"� ��� �!� -� !� ����(!�
����!��.�22 �!���
<� " !�"���� �( � �! ��� �� ����!�� �� �( �" �!����� � '��.
-!� � ���� !# ��� ! 05!# �- �# 0�"#;�&� ?" ����! "#��� ���� �-.
!5��!# � "(!� ! � '�� �� ! �� � ���"# � -� !65 �! ��.
�� !� ?�"� �� ! �� �!�� ! "#�� ! �� !- ��( �� �( �" �!�����
����1 � ( � ���� !#4 �� �����
E′ = m0c2√1 − (υ/c)2
−m0c2, �A�A��
� ���"#
p′ = m0v√1 − (υ/c)2
. �A�A��
9��� '����5 �*��� �( �� � ���"# � �����4! ��
�ω = �ω′ +m0c2
[−1 + 1√
1 − β2
], �A�AN�
�k = �k′ + m0v√1 − β2
, �A�AO�
� ��"#'����� �05-�� �0�'��- � β = υ/c�
I� ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
F� ��'� � ' �A�AN� ����� -!� ω > ω′� � �!� ��!� ! !�� ! �� .
� �� �!�� � ��!���� ���'�"� # λ′ > λ� ��� �!� -�"� # �5; � �"� ��
�"� - ��& �" �!������� -� !�!� �� (���� � !� ��"��� ����.
��!# -� !�!�& � !�� ����41 � �� �" �!����
9�! 2��!� -!� ω′ < ω� !# ��(�� " � !� '����� �*��� �( �� �.
1)� <� �!�� " �� '�� !!#� -!� �� υ → 0 ���� ! ( ω′ → ω� ��5�
"����� -� !�!� '"�- �( �� �� (� � '� �! (�
D����5 �*��� �( � 2��� �A�AN� �A�AO� ��'��"(4! ��&! '�� �� !#
��� �"�5 ��"�5 �� (���� '"�- �( �! �"� �� (�(� 7 "���5
�5�"��� � �� '���-� I � ��'� " �? ������ ��4!M
Δλ = λ0(1 − cos θ), λ0 = 2πΛ, Λ = �
m0c, �A�IB�
-!� �� ��� �� ������ ! �� � �� �!�"#�5� � '�"#!�!��� '"�� ��5�
��� � 7�&� ��� �� ��5! - " ��� '��- � ��� !��!5 λ0 � �A��� ��'��.
"( !� ���� � � ���- �� ��� � "!# '��- � �� !�(���& <"���� �� ��!�.
�� *���;� �"� � ! ( � '�"#!�!�� '� � �&� �5��"� ��5* ����
�� �0��� /!� !� !��� !�! �- ���5& ' �A�IB� �5���� -!� ����!��.
�22 �! (�"( ! ( �22 �!�� - !� ����!��5� 3 �� ������� ! �� � → 0�
%� � ���4 � �A�IB� � "-�� Λ ��'5��4! ������������ ������ �����
1��������� /�� � !��"( !
Λ = �
m0c= 3,86 · 10−11 см. �A�IA�
/ !�"� # �0J( �!# 1 ��� �� � �� �!�"#�5& 2��!� ��� ���� '
� � A��� ����� 2�!���� '� � ���& �"��& ��"�5 � � �!� ����!����.
��� '"�- �( �� �! !��4! 2�!��5 *����& �� � 1 ���&� �"��&
��"�5� �* ��� *��� � �0J( �( ! ( " ��41� �0��'��� <� �� (.
� 2�!���� �� "#�� �('���5* �" �!����* �0� � �� � & ���"# ��
��� *��! �!���� ��� 6 "5�� <� ��"#�� �� � �!��� ���� 0�"#; �� .
5 �" �!����� !� � 1 � �"�5 ��"�5 2�!��� �� �� (� ��"Z[� <�
� � �� !� �!����� ��� �� � 1 !�� �� ! ! ��"( "#�� �('���5* �" �.
!������ <��!��� �� ! ! �! � ��� !# � � 1 ���& ������ �!5 � �!���
,"( '"�- �( ����� ����'��� ������ � !�� �� �( �(' �" �!��.
�� � �!�� 0�"#; �� � 2�!���� <��!��� �22 �! ����!��� ����!- �
� ��0"4�� ! (�
�!��� " 2�!��22 �! �����! � ��'���4 �1 !�����( ����!��
� !���& �� � E = �ω� � �� !��� � � "�5� ���6(� �'���� &.
!��41* � 1 !���� !� ����!��.�22 �! ����! � !��� -!� �! ����!5
�� ��� !���(4! ( � ���� !#4 � !� � 4! ���"# p = �k� /0� �!
�22 �!� �� (! - !� ����!��5& *����! � � ���! 05!# !�"�����5
�"� - �� /� ���!��� -�! �"� - �� �� � !��" �(� � � ! :
��� ��"������� !�� ����� ��"(������
1)* � �� + ��B ����� ������� ����1�? � �� ���� ���� ����
.->- =�:����� �*��$���� I�
7 � ��� ����!#� -!� ����!��5 �� � !��" �( ���(! ( � '�� � ��".
����� ����� ��"(��5�� � �� �5���& ��"�5 3 ����.!� ;������ ����!
� !� � �� � !��"( ! �0�& -� !6� ���� ���"���� �� ��"� �
?� ! �� ��� � " �4 � �6�� ! ( �"� ��&����*����!- ��& ��".
��&� 9���( ��"�� �� � !��"( ! �0�& - !� � ���- �& ���6 � 0 .
��� -�5& ��� � ��� !��� !� � !�� �� �� � �� /����� �� ���"�� � �
-!� ����! � !� � .!� "���"'����� � .!� ��*��! (� ���!��� -! ���.
!��� !� ���& � ���-�� ! � �!��"#��& ����*����!-�� ! ��"�5�
%� ! ! � �� � �� �! �� ! "# !�� ! � !��� -!� �� �'���� & !�
� !� � 1 !��� '����5 �*��� �( � 4! �� �A�A� �� �A�A� 0� 3
2�!��22 �!� ����!��.�22 �! �!� ���!� ����4!� ��5� "����� � �!*
���6 �* �5 � � � "� �!� "#�5� ����!���
9��� �0��'��� �5 ��"��5 �"� !# ( ! �� -!� �"� - � �� �.
!��" �( � �� !�!�-�5 �"( �5��� �( (�" �&� � 41* � !� �� �� .
��� !��� � � !� �� � �'���� & !� � 1 !���� ?� ! � !
���& !� ���4 ������� �� �0"��� ! ��� ��"���5�� !�� ����� ��"(��5.
� ��& !����
� �5; '"�� ����� 6 " ��0��'�� ��0��!#� -!� ��"- � 2�!����
���"# � ��'��"( ! �- �# ��� !� �0J( �!# ���" � � !� �5- "!#
� � "-�� � �� '���-� K � ��'� " �? ������� =!� � �!�� ! ( �
�22 �!� ,��" �� �'���-� � !�� � ��
�1� 0������� �2�34����
< ��5 ��"�� �( ����!���& ! �� 05" 2����"�����5 )�� ��
<"����� � AOBB.� ��� �� ��'��0�!� ! �� ! �"���� '"�- �(�
9 �"��� '"�- � 3 �!� �" �!�����!�� '"�- � � �� �� ��
! "��� ��*��(1� ( � � !�(� ! �������- ��� ������ (� <�"�.
� � � ������ �� ! �- �# �1 !� ���� !�� ��� ��� � "� ! !��64
� #�� ��� � " ���& ��'��"( ! �� ���"' ��� �(!# *���;� �!��.
0�!���5 ! �������- � ��0��� �(�
<� !# '"�-�41 ! "� ��� 1 �� ���!�# � �"#�� �!����41 &�
� ����6� ��&� '�����!�& �0�"�-�� �'"�- � � " ��� ���!� �!�&
�0�"�-�� � �!�& ��"� ! '��-�"#�� �1 !�� !� �*���( ! ( � � &� �'"�.
- � �!���� ! ( �! ���!� ��* ��� �*�� ! & �0�"�-�� ���� ! �� ! "��
-� !-�� ��"�1� ! (� ���� '"�-� ! ( !� ��<�! � �� �� !� G� ��!.
��� ��( ! �� � !�! ' ��"� ! � �"#�� �!����41 & ���!� �� &
��� �*�� !#4� ��"( '"�- �( '"�-�41 � ! "�� C �� �( -� !-��
�� ��! ( � �� '"�- �( �!� � � �� �" �!�����!�5* ��"��� -� !-��
� �� ���!� �� & �� � '"�-�41 � ! "�� % ������ ��� � !�(�
�� �� � " � �� � � ��� ! "�� '"�- � � �� �� � � � � �(.
! (� G����� � !�&-��� C " �5 ��� !� ���!�# ��"� ! ��� !�
�" �*"��� ��� � ! "� � "40�� �� �!��� � !�(� �0 '��'"-��� �
!� ����� ����� " �'��0��'��� � !�(�� �"�'�� !� �� �� !� �����
-!�� " � ��6� �� � � ! "� 0�"#; �� �� !� - � ��"�1� !� !�
IN ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
� ! �� ��!��� 0�� ! �����!# (� 7��0���!� " ! "� 0�"#; ��"�1� !�
- � �� �� !� !� � ! �� ��!��� 0�� ! �� !� <� �!�� 0�� ! �� ! � ���
� "�0"(!# ( �� ��� �" ���0���!�� ���� � �� !��! ������ �
C1 ��' ���- ��� �� -!� !�"#�� ������ �� '"�- � ��'5�� ! (
! �"��5�� ����� ! ��� �! �"��� � ��� �(4! � '"�- �4 �����."0�
����" ���� ! "�� ��*��(1 � ( � � ������ �5* � "��(*� <� �!�� � .
! ( � ��� � *��'� � ��6 '"�- �(� �� !�� ��'�!#� ��� *��� .
� �7� !��� ���!� 0" � ! ���� � ���� �!��� 9�"#�� ���� ! �� ��!���
! "� ����� ! �� ��!�� ! ��� ������41 & � ��"� ! 3 !�"#�� !���
�5 ��"�-� � ������ �� ! �"��� '"�- � � % "�-� � � ��� � !��
�!* ! �� ��!�� '"�- � ! "� � � !� ! 05!# ! �"��5�� ��� " ! �.
� ��!��� ! "� �� !�(���� <�� �5M "4�� 6 �6( ! "� ��� � & !� �
'"�- �( "#� ��� !5* ! ���� "�' ��� '"�- � � '"�- � ����.
� ��!�����
,"( �� ��( � !�(�( ������ ( ��� ��� *���;� ��0�!� ! ! �.
��������� <��!��� ������ �� ! �"��� '"�- � ����� *����! �.
'���!# ! �� ��!���& '"�-�41 � ! "�� ���� !��� �!��� ��-�"� ! ���.
������ !� � � ��'����� !# � -��� ���! "( �!���� ����� �����! �
����5� �5������
% ������ ��& ! �������� 0�"#;�4 ��"# �� ! ���6� �������
���� ���������� ����������� �������M �� ! �������- ��� ������ .
- "� � � *���� ! �5 ' � !�(�( A � � !�(� I ��"��� 05!#
� !�-�� ! ����� - "� �0��!�5* � � *����� ?�"� �� �!��� ���6�� �
� !�(� ! �������- ��� ������ ( "40� ! "� ��"��� '"�-�!#
� ������41 ��� !��� !�� ����� !�"#�� �� �� ��"#�� ��� ��"�!.
"� ' ����41 � �� � � ������ ��� '"�- �(� ��- � ��� � !�� �!�
��"��� �5��"�(!# ( �"( "40�� ��"# ����� ��"�� �! ���"� -� !�!
������" �& '"�- �( �"( �����& ' ���* ��"(�'�6&� �� ��� � �!��
'��"4-� ! ( � !�"#�� !# 0�"�� ��
)5 �� ��"#'� � ( ���6��� � !�"#��� 0�"�� � �"( � !����" �(
'����� ��*�2��
� 5� 6���� -��78� �
%� � � ��� � " �(�
<� !# Aν, T 3 ��"�1�! "#��( �� �0�� !# ! "� �� -� !�! ν �� ! �.
� ��!�� T � <�"�1�! "#��( �� �0�� !# � ��Aν, T � 1� !�� ��� ��� !#
!� ��"( ����41 & �� ! "� �� � '"�- �(� ��!���( ��"�1� ! ( ! "��
�� ���1� ! ( � ! �"��
<� !#Eν, T 3 � �!��"#��( �� ��! "#��( �� �0�� !# ! "�� !� � !���(
� "-��� -!� Eν,Tdν 3 �!� �� �(� �� �� ��( � � ����'�� -� !�!
ν÷ν+dν �� ! �� ��!�� T ���� ������!�5� ��!� !��� ��� �*�� !
! "� � A ����� �� � ������" �(�
��*�2 �� �"��" ��'5��!# �0 �"4!�� - ��5� ! ! "�� �"( ��!�.
�5* Aν, T = 1 �"( � * ν T � /0�'��-� �� ��! "#��4 �� �0�� !#
�0 �"4!�� - ���� ! "� ���"�� Eν,T �
.-..- ?�)�� @5��/ ABC���� IO
9 � �# �� � !��� 0 '�����!�4 �0�"�-��� ���!� ��!���& �������
� ! �� � "��5 ' �0 �"4!�� - ���� ! "�� ! �� ��!��� T � Aν, T = 1
Eν, T = Eν,T � � ! �"��0� � � �1 !�"( ! ( ����1#4 '"�- �(� F-� !��
��� �*�� ! �0�"�-� dσ �� 5"� ! ���!�# ��"� ! �� �4 Eν, T dσ� ��
��"�1� ! !�"#�� � �
D�� �� ! � �# �-� !�� dσ ���� !�� � ���'��-�5� �� �-���� ��
!�"#�� Aν, T < 1� 9�� ��� ������ �!�! �-� !�� �- � � ����� �� !� !�
A.-� !# ����41 � �� � � '"�- �( �� ��"�1� !� � (1 − A).-� !# �!��.
�� ! �0��!��� <��� ! �� � � ��.�� �� �� Eν, T dσ� D��-!� ��"�1� ! ��
�� �4 Aν, T Eν, T dσ� �� �� �!�� '"�-� ! � ��!� ! !� � �� & .
�� ��! "#��& �� �0�� !#4Eν, T �� �4Eν,Tdσ� 9�� ��� ! �"���& �0� �
�� ��������& ! �� ��!�� � ����;� ! ������ (� !� ��� � � ���.
6�� � !�"#��� 0�"�� � �� ! ��� � !�� Aν, T Eν, T dσ = Eν, Tdσ� /! 4��
�5! �� ! '���� ��*�2�
Eν, T = Eν, T
Aν, T
. �A�II�
2�������� ������������� � �����%�������� ����� ������ ����
�� ������� �� ������� ���� � �������� ������������ )��(��� ������
�� � ��������� ' ������������� ����� ������ � ������� �������
���� Eν,T �
,��� "����� � ������ �5* � "��(* � (��( "#�� ��"�1�41�(
! �� "#�� '"�-� !�
,"( ��0"4��! "(� ��� 1 ���� ���!�# ��"� !� !�! �-� !�� ! ���
��!��5& �5 � ��; � �5 " ���� �� � �� �! '�� �"� � ������ ���
"�-� � 0�� ! �!"-�!# (� � 0�� ! �5� "(!# ( �� 2�� - ���& ! ��� ��.
��"#�� !�� -!� �� � ��'"�-!� �� �!��'!� , & !�! "#��� ��!�� �� ��
��1& �! �!�� �" � �!�� ��� �
dσ[Eν, T + (1 −Aν, T )Eν, T ] = dσ[Aν, TEν, T + (1 −Aν, T )Eν, T ] = dσEν, T ,!� � ������ ! ��!����� ��1� �! �0 �"4!�� - ���� ! "��
D���� ��*�2� ���'�" �� !� ������ '��- � � ��!��� � ! �0 �.
"4!�� - ��� ! "� � 2'� �
,���"�! "#�5 ����� 5� �!�� (1 ( � '����� ��*�2�� �� ��!� .
�5 � '���- � ��'� "� �? ������
� � 6���� &��! 9�:����
�!��� '���-� � ! �"���� '"�- � ���01 � "� # � '���- �0 �� .
��! "#��& �� �0�� ! �0 �"4!�� - ���� ! "��
<��" - � �"( ���"'� ���� ' ��"�� �& !�! !- ��&2'�� 9 �.
� �� � ������ ���� �� �� � " � ! �"���& �� � �� ! � �(� ��0�.
�5 �!� ���� !� -!� �� �����4 ! � �# ��0��5 !�& " ��& �� !�!�-��
0�"#;�& ! �5 � � �� � ��*��! ( kT/2 �� !- ��& kT/2 ��! �.
6�"#��& �� �� � � � �� ��" 0�! "#��4 ! � �# ��0��5 3 kT/2 ++ kT/2 = kT � � k = 1,38 · 10−16 �� \ � 3 �� !�(���( @�"#6�����
KB ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
% "�-� �" �!�����!�5* ��"� � � ��!���& ��"� !� "� &�5 ��'� .
�5 ��!���& � "� �� ���� �4 �"��& ��"�5 '"�- �(� ��" 0��(��
�� ��!��5 ��*��! ( �� kT �� � ��"( '"�- �(� (�"(4! ( !�� ��'5.
�� �5 �0 !� ��5 ��" 0��( ��"( " ��" 0�! "#�5 ���5 �!�& ��"� !�
% ��� �* ! �� �" �!�����!�5* ��"� ����'5�� ! (� -!� " �"�� ��".
�5 ��"� �� ���� �4 "� &�5� ��'� ��� ��"� !� �0J ���( �"�!�� !#
��� �- "� �0 !� ��5* ��" 0��&�� ������41* � � �!��"#�5&�! ���"
�! λ �� λ− δλ� � !��"( ! � �� '���-� N � ��'� " �? ������
δn = 8π
λ3
δλ
λ. �A�IK�
D��-!� �� ! �� � � ������� �� � " � �"�!�� !# �� � �����
ρλδλ≡ kTδn = 8π
λ3kT
δλ
λ. �A�I��
9��� � �!��"#��( �"�!�� !# �0J ���& �"�!�� ! �� � ���'5�� ! (
�����&
ρλ = 8π
λ4kT. �A�I��
=!� !# '��� �!�( 2����"� G�" ( :,�� �M � ������ �5* � "��.
(* �0J ���( �"�!�� !# �� � ! �"���� '"�- �( � ��"� ! �0� "��" ��
�� ��� � � � !�� ! ���� �" ��"�1�41� ! "�� � ��"� !��
<�� !5 �� !�- � ��0��� �( � �� '���-� �� ��'��"(4! �('�!#
�0J ���4 �"�!�� !# �! � ��� !#4 '"�- �( � ��"� !� � �!� �� " �.
�44 3 �� ��! "#��& �'"�-�! "#��&� �� �0�� !#4 �0 �"4!�� - �.
��� ! "�� % � '�"#!�! �5 � � ����4 '�� # 2����"5 G�" ( :,�� �M
Eν,T = 2π ν2
c2kT. �A�I��
% # �!�! ��" � �& �5��� ��� � � �"( !��� -!�05 1 ��' ��'�!#�
-!�� � ��!�( �� �!� 0 '��� -�� �"� - �� �� ��� � � 2����"� G�.
" ( :,�� � �A�I��� ��.� ��5*� �����! � �0 ����3� ��"#!��2�" !���&
��!� !��2 �
∞∫0
ρλdλ = ∞,
!� � � �!� ��� �4� -!� �� "40�& ��� -��& ! �� ��!�� ��"��( �� �.
( '"�- �( � '�����!�& ��"� ! 0 ��� -��� %�.�!��5*� 2����"� �A�I��
�� �; ��� � ��!� ! !�� ! � '�"#!�!�� �� � �� �!�"#�5* ��0"4� �&
� �!�� '"�- �( - ���� ! "�� ��!��5 � �������!�� �- �# !1�! "#.
�� ������" # �� " !��� ��� 05" '�0� ! � �� �0 � �"'�6 - ����
! "� � ��!� �
.-.0- 4�(���� '���)� KA
� �� %��.3�� �����
<"���� ���"'��( "���; ( ��"�� � � �!��'�" ( �! �5 "� -!�
� 6""(!�� -� !�!5 ν ��� ! '��"4-�!# � 0 �� ��!# ���'��"#��
��"- !�� �� �� /� �� ���"��"� -!� � 6""(!��� �0 !� ��� ��" 0�.
� '"�- �( � ��"� !� ��� ! �� "-��!# " �� �#;�!# ��4 �� �4
!�"#�� 6 "5� ���6(� 3 ����!�� hν� ?" ����! "#��� �0 �"4!�� - �.
�� ! "� ��� ! '"�-�!# �� �4 !�"#�� ����!�� hν�
� !���� �� !� �A�I�� <"��� ��"�-"
Eν,T = 2π ν2
c2
hν
ehν/kT − 1. �A�I��
/!� ( �5��� �!�& '�� -�! "#��& 2����"5 �� ���� �'���-� O�� ���.
- ��� �� ��� "���� � !� �0 !�(! "# !��� -!� ��� �� ��� �� �� 5�� ! � 4
�������� !# �� � �� �!�"#�� ��0"4�� �5* (�" �&�
<� �� � �� " �� ! ��'�!#� -!� �"( �'�* -� !�! �hν � kT ) ��"�.
-� �
hν
ehν/kT − 1≈ kT � ��� ��� ��"��� 05!#� � �!�& �0"� ! � �!�� �5
��"�-� � '���� G�" ( :,�� � �A�I���
,�" � <�"��( �� �(� '"�-� ��( � ��6� �� � � ��65 ��.
� �*�� ! �0 �"4!�� - ���� ! "� �� ! �� ��!�� T � �����
R(T ) = c
4ρ = c
4
∞∫0
Eν,Tdν = σT 4, �A�IN�
� ρ3 ��"��( ��� � �� � �!��� �0J ���( �"�!�� !# �� �� � ���22.
6 �!
σ = 2π5
15
k4
c2h3= π2k4
60c2�3= 5,67 · 10−5 эрг
см2 · с · К
�A�IO�
��"�-" ��'��� �� !�(���& ?! 2��� : @�"#6�����
9��� �0��'��� ' 2����"5 <"���� ��� ��(�� " � !� �5! �� !
'���� ?! 2��� : @�"#6����� � !����" ��5& �� <"���� �� � �� �!�"#��
�?! 2��� AN�O �� �5� � ��5& ! �� !- � ' ! �������- �* ��0.
��� �& '���"� �� ��(�" �( 2����"5 �A�I�� �@�"#6���� ANN� ��
D��( �� � �� �!�"#�� ��"�- ���4 � "-�� �� !�(���& ?! 2��� :
@�"#6���� �A�IO�� <"��� ��; " '��- � �� !�(���& h� �� ��� �� �����.
; ! �� -!� ��� " � !� ��"� " ����� 2�!��22 �!��
���"�-��� ' 2����"5 <"���� " �� ! '���� � 1 �( %��� �!#
��!���� � " ��41 �� G� �� � " � �� -� !�! �A�I��� �� ��!���� ��.
� � � �� � � A�N� �0"��� ! (��� �5��� ��5� ��� ������ <�"�� �
�!�� ��� ���� '�� ! �! ! �� ��!��5� � 1�( # � 0�" ����!�� ��".
��� �� �� "- �� ,22 � �6��( �A�I�� �� ν ��������( ��"4
���'�����4� " �� ��"�-!# '���� %�� � ��
λmaxT = ][^_`. �A�KB�
KI ,�- .- ��������/ ��)(������! �����
0 νm1 νm2
T 1
T 2
ν
�ν, T
2�� �# :����� ��� � ���,�� ����� � �����=����� =���?��� -����1� ���
@ ���),�� �� �� @��#AA ��� �,0 +� -���� ��)��� �,�� T1 < T2
D� # λmax 3�"�� ��"�5 '"�- �(� ��!� ! !��41 � ��� ���� �"��.
��� ��� �� �� � " �(� � '��- � ��� !��!5 � !��"( ! B�INO� �·����
�!� �� � ! ( !�-�� ! 2����"5 G�" ( :,�� �� !�� � -� !�� !� ��
! �� ��!�� T = 1� �;0�� � !��"( ! ∼ Aa �� �"� ��"�5 λ = 1 м
��� �����& ! �� ��!�� � "-�� λmax ≈ 0,3 см)�
% ��������'�� � � '"�-�! "#��( �� �0�� !# - ���� ! "� ������.
6���"#�� ! �� ��!�� � �- �# -� !� �! � ��� !# '"�- �& � �"�;.
�5� � �!��� �� ! �"��5 '"�- �( � 4! �"�;��& � �!�� '� �(4!
� �22 �!��5* ! �� ��!���*� =!� � �0 ��� *����! ��� �"( ����� !����.
�� 9��� ! �� ��!��� � "�!���� '"�- �(� '� � ���( �� �"� ��"�5
K �� � !��"( ! ��� ��� K ��
<�����( !� �� ����4 �!�& "��5� �5 ��*��� � �5����� -!� � !
��'� & !�� ! �� � 1 !�� ��� �������� !# 2�!���� 3 ����!�� �� �
hν� �� ��� !���(41* ( � ���� !#4 � !� � �1* ���"# �k� ���.
� !��� �� �� ! ( � !� �� ���&� & � � � - ��5� ! "�� � �� ���6&
�� � hν�
� � � � � �
���������� � ��������
����� �� ������� ���������
����������������
D � � ����� E����� F�� G����� H������� G��I�����
�� :(�:� �/� )(��8�) ����)��� *�������
@F��=��� !��"���� � ������� 5�� J,�
�� &����� ����)����?J �4���,B ���� 1A
% �� �5��1 & "�� �5 � !����"� -!� � ! � ! ����!���4 �������
���(�"(41�4 ( � � �� ��� �'���� & !� � 1 !��� ��� ���&.
� &� � � ��� �! "#�� � ! �"����� '"�- �4�� % �!�& "�� � -# ��&� !
� ��"- � �� !�� !� �� �5� !� ! � !�(�&� !� � �����!��� !� �
�!���� � 1 !��� � ������ �
�� � ����� %����� � ���;�
%���� �0 �� � !- �* � !�(�(*� � ��!��5* �!��5 � 1 !�� ��.
�! ��*��!# (� ! !� �� � � " ����!#� '�-�( ��� � � �!���
��� � & !� � ��01� ��& �� �� �� 7�0�" ���0�5� �� �0�� �.
�01 �( �!��� �����.!� ��� � " ���� ��"- !�� �� � (�"( ! (� !��
0��0������� �!���� � ��� ��5� �" �!������ , "� � !��� -!� �� .
!- ��( �� �( �" �!����� " �� � �"�� ! ( ��'�� !#4 � ���(41*
��! �6�"��� <� ��"#�� �� �(� ��01� ��( �" �!���� � '��(��� e� ��
���*��� � ��'�� ! ��! �6�"�� V � !# eV � !� -� !� !�����( '� �( !.
( � �" �!���.��"#!�*� " ��� !� � ��"#!�*�
?��!��; �
1
2mυ2 = hν = kT = eV �I�A�
��'��"( ! �('�!# �� ��� !�� �� � !- � *����! � !�� ��� �� .
!- ��( �� �( �" �!����
1
2mυ2� -� !�!� '"�- �( ν� ����! ��!���� hν
� ! �� �4 eV � �22 �!���( ! �� ��!��� T � �� ��!���& �� ��" 0�.
! "#��4 ! � �# ��0��5 ��*��! ( �� �(� �����( eV � �� ��� � �5 "
�!�& �� � !- ��& �����" �!�� ! �1 !�� ! ��!� ! !� ��'�����.
�5* ��6� ��!��� '�� 5�� ! ( 6 ��-��& ���� � !��M
1 �% = 11606 � = 2,4 · 1014 >6 = 12500◦
U = 1, 25 ��� =
= 1,6 · 10−12 �� = 1, 6 · 10−19 ,�,
-!� ��" '�� ����!#� -!�05 05 !�� � "�!# - " ��5 �6 ���
K� ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
�!��� - � 0�"#; ��'�� !# ��! �6�"�� ��"(� ! � �5; ���� !# �" �.
!����� % � � "(!� ! ��& �0"� !� !� � �"( � �" ��5* �" �!����� �υ�c)�
υ =√
2e
mV = 6,7 · 107
√V �%�"#!� � �\ �.
% �� � (� ������� � �� � �� �!� ,� &� � 8����� >� !��� > �6�
�AOAI : AOA� ��� ?* �� ��5!� �� � ����"#�� ��� !� � �� � � I�A�� =" �.
!���5� �5" !�41 ' ��(- � ��!���� � ���(4! ( !��&� ��*��(1 & (
��� ��! �6�"�� V1� <�! �6�" V2 �� �(! !�� ! �������4 � �" ��5*
�" �!����� �� �0��41& ����� % ��5! '� �( ! ( �����5& !�� � '�.
� �� ! �! � ���(41 � ��! �6�"� V1 �� � ��!���� 2� ��������
'��- � V2�
<� �5 ���� ������ ��"#!.��� ���( *����! � !�� I(V1) � ! ���
����'���5& �� � � I�I� %���� ��- �� ��! �6�" V2 ��'5�� ! ( '�1!�5�
" '�����5�M ���� V1 < V2� �����5& !�� ����!- � - '� !�
V1
V2
��
�
�
I
V1V2
2�� �� :0�) ���� �� �� � ���5 2�� �� 7����D )���� � 0 � �D
�������� � )�� ��,- � 1�,=�D
��1� �,,)
7�"- " ��� �'� � � �� �1 !� ��� � �( ! ���!��� ?!�"���( #
�!����� �" �!���5 ���! �!����!# � -� !# �� & �� � �" ��� � 4
��4 �� �4�� 7�0�" 05 !�5 �" �!���5 ���! �� �!�� ��'���!#
�!��5� 9��� !�� ��'�� !�" 05 '.'� ��(�" �( �!��-�5* �" �!������
/�5!5 8����� > �6� 05" ���'� � �5 ����� �!�!� /��'�"� #�
-!� ���! ��41& !�� �� !�� �� � �" �!����� �� "-�� ! ( �!�4�#
� ����!����� � � !��� ���5�����5� ��� �!� ����'��� �� � � I�K�
< �����-�"#��� ���� �� �( �" �!����� � �#; ��O �%� ��-�� �" �.
!����� ���*��! - � ' ���5 �!�!� � ! �(( �� �� %�"#!.��� ���( *�.
���! � !�� ����0�� �05-��&� � �� ���� � " � � �!�& �0"� ! �� �&
��� *��! ����& ���� �" �!���� � !(� "5& �!�� �!�!� =" �!��� �! ��.
��� !� ! �( ! ������" � � ��� � ���6 ���6��� ������ ! �� ����� <��!���
0-.- �:+�+ 4(��)� � ,�(K� K�
!�� �� ! ! ����(� � �� 7� ��� !�"#�� �� !� ! ( �� �( � ��O �%� !��
� '�� ���� !� =!� ��� *��! '.'� !��� -!� �� �!�& �� � �" �!�����
'� �( ! ( *����! � * ����� �& �!���� �!�!� ?����� �( !����(!.
( � ������ �!��5 �!�! ��!��� ��"�1�4! �� �4 ��" !�41* ��
�* �" �!������ " �!� �� " ��(( � !��"( ! ��O �%� <� �!�� ���!� ��
� !�(� �!��� �!�! '� �( ! (� � �5!��;& � ����� ����� �
��! �(�;& ��4 �� �4� � '��-!� ���� !# �" �!��� � ����� �� ! (
� ����� '�����5� ��! �6�"��� 7�"- �� !� ����� �� � ���(41 �
��! �6�" � O�N % A��� % ����! � !��� -!� � �!* "�-�(* �� " � ����.
�� ����� �" �!��� � � �� ! !�� � ���!# (� -!� �� ! �� �� ! 1 ����
� ����� ����� � �
I
4,9 9,8 14,7 V1, B
2�� �� %��� �� �� � ���5 / ���)���� ��� �� ,�����?8�1� � ���4����
��,���� � )��
<� ��"#�� �� � ������ ���� �� �( �" �!���� � ��!� ! !� '�.
����� �*��� �( � ! �� '� � � �� � ���!� �� � � !�(�( �!����
�� ��"#�� ��� *��! �!� � �� "40��� � !�"#�� �� - !�� �5��� ��5*�
� '���� �5* '��- �(* �� � ��" !�41 � �� �!�� �" �!����� !� �- .
����� -!� ��'����5 � !�(�( ���!� �� & �� � �!��� �� �5� !5�
� �� !�5� =� �( � !�(�( �!��� �!�!� 0"��&; � � �����"#�����
�� �5;� ! � �� �4 �� ��O �%�
<� �!�� ���'5�� ! (� -!� �� !��* � ����* �����* ���5 �!�! � .
!(! (� �� ��( � ! � �!�� ! "#�� �'��& "� "4�� 6 �6 �"��&
��"�5 2537◦
U� =� �( ����!� �!�� '"�- �( ���"� ��"-��& !�-��.
!#4 ������ ! � '��- � � � ��O �%� b ��� " ����! "#��� -!� �� � ����.
�� ����� � �" �!������ � 41� �� !- ��4 �� �4 ��O �%�
�!�� �!�! '�*��!5�� !� ��"�1� ! �!� �� !- ��4 �� �4 ��*�.
�! � ��'0��� ��� � !�(� � � � ' � ��!��� �� �( �!�� ��'���1� ! (
' ��'0��� ���� � !�(�( � �����"#�� � �� ��( �� � � *�� ����!
'"�- �( ��!� ! !��41 & �� ��
K� ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
<�! �6�" ��O % !# � ��5& ��! �6�" ��'0��� �(� %!���& ��! �6.
�" ��� � ��� %� C�� ��!� ! !�� ! �!���( '� !��( "�( � - �( �!�!
1850◦
U�
���"�-�5 ��5!5 05" �5��"� �5 ���� �!�����
% �! ��5!5 ����'5��4!� -!� �!��5 ���! �����!# �! 0��0���.
��41* �" �!����� � ���'��"#�5 ��"- !�� �� �� � ";# ���"�
��� � " ��5 ���6� <��0� !�( �! ���6 �� �� �!��5 � � *��(!
� ���5 � !�(�(� �!"-�41 ( � "-��& ���!� �� & �� �� 9���
�0��'��� ���!� ��(( �� �( �!��� ����!������
���� �����<����� � �����7�
%���5& �� � �� �! 05" �5��"� � � AOII � /!!� c! ���� %�"#! .
��� > �"�*��� F "����( * �� ��5!� ����'��� �� � � I���
S
N
K M
Ý
È
2�� �� :0�) ���� 6���� � ���� 0 �� � �8������? �,-� ��)� ����=�
) 1�����) ���� 9 T ����-��� ��)�B ( T �����) ��� @�����) �� �� 1)AB
C T ) 1���B ! T ��� �
% �5 ���� ������ ��-�� �!������� � 0��� ��!��5& ��"�-� ! ( ! �.
�- �� ��� � � � !�""� �� " ��41� �5� " � � ��-�� ' ����
����1#4 ! �5 ��2���� ���*��! - � ' � ��������� ���!��
��" � � �� ����"(��� ��-��� <��" ! � - � ' �0"� !#� '��(!�4 ��" ��
�!��5 � ����4! ( �� �"� !�� � �0��'�( �� � & � ��!��5 �(!��� 8����
�� ��"�� � �!* �(! �� �� �� � " � �"�!�� ! � ��� ���� � 0��
� �* ��'��"(4!� '��( �� !�4 ��5!�� ��� � "!# �"(� ���!���
��"( �� �� �!�64 �!���� � ��" ! �
C " �!�� �0"��� ! ���!�5� ��� �!�� �� !� � ��" � �� � !
��! �6�"#��4 �� �4
U = −MH = −MH cosα, �I�I�
0-L- �:+�+ B5������� � BC�(��(� K�
� α 3 ��" � ��� ��" � ��� �!��� % �� � �� �! ��� �! ��"(
05" ������" � � �� ����"(��� ��-�� �!����� 9��� "�� � & !��41�(
�� �!�� � !����5 ���!��� ��"(� ���'5�� ! ( �����&F = − gradU = (M∇)H = M
∂H
∂zcosα, �I�K�
" �"( � z �50���� ������" � ���"# ���!��� ��"(� ?" ����! "#.
��� "� � ��"��� �5'5��!# �!�"�� � ��-�� �! � �����-�"#��� ������.
" �(�?�"� �� �����(� �"� - ��& ! �� ��5!�� � ��!���& �� ��"
� ��� � �!���� � � � ���"��5�� ! ( ����* ����- �&� �� �"�.
!�� ��"��� 05"� ��"�-!# ( �!�� ! "#�� ;����(� ����!���� �05��.
41�( � ���(� ��"� ��� ��41�( ��'�5!� '�0��� � 1 " ��2���5�
G�'"-�� �� �!������5 �!��5 �!�"��(4! ( ��.��'����� �� .
�� � " � �!* �� �!�6& �!���� ! ( � �� �� � " ��"�!�� ! � ����
� �(!� � 9�� ��!� � � & !�! "#�� ! �0��'�4! ( � ��'�5!� �� �� � " .
� � � �� �'� ��"� �� �� ��"�� ��5 �� !�-�� �!�� ! "#�� ��.
"� �� ��"�-�41 & ( �� �5�"4- ���� ���!��� ��" � =!�! � '�"#!�!
����'5�� !� -!� ��'����5 ";# �� � �� !�5 �� �!�6 ���!���
��� �!� �!���� �� ��!��5* cosα = ±1 3 !� � �� ��"4 � " ���!� ��
b�" � � �!��5!� c! ���� > �"�*��� ��'5��4! ��� !��� !� ��5�
����!���� �� !� �� � -# � ! � � �� !�� ! �� �!�6& ���!��� ��.
� �!� �!��� �!�� ! "#�� ������" �( �����-��41 � ��"(�
% ���! � ! ��������� '"�� �( ����� ���- ����!#� -!� �!�! ��5!
��"(��� �� ! "# !�� ! � �1 !����� � �� !�� !� ����!��� !�
��& !� ���& ��'����5� � !�(�(� �!��� ��� 6 "�� �� � �� �!�.
6 � ��� !��� !� �� �� ;� � ���!��� ��" �
��"� ����� �&������� � �:��.���
=" �!�����!�5 ��"�5� ��� ����- �� � ��� ��"�5� � ��� .
� " ��5* �0 !�(! "# !��* � ��! 0( � ��� ��"�5� � ��� -� !65� ���
���'�"� #� � ��4 �- � �#� -� !65 � ������ � � ��!��5* (�" �(*
���(�"(4! ��"���5 ��& !��� =!� ����'�" '��� �!5 ��5!5 �"�!���
,�� ��� + ! �� ,� �� �� AOI� � �� �2���6 �" �!������
%��5!�*'�-�"� # �!��� � �!� !�""�� ��� !�""�� "(�� �� � � .
!�� � ��-�� �" �!������ � " ����"� # �! � ��� !# � "� !���� �!��� �.
��� ��-�� � '�� �� ! �! �� � ����41*�� �� !�"" �" �!����� ��
'������� �" �!��� �(� � !��� � �� '������& �� �� 3 � '�� �� !
�! �"� �!��� �(�
<���"" "#�5& ��-�� �" �!����� ' �" �!�����& ��;� ������" �� �.
; �#� /!��� ��5 � �����.!� ��� � " ���� ������" � �" �!���5 �.
0��" # ��"" �!����� �* !�� '� �(" (� /��� ' ��'����5* * � ��5!�
����'��� �� � � I���
KN ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
/��'�"� #� -!� � !� !� !�-��( ���"�( �! �2 � �6�������!��.
� �4 � �! ��� �* "�- & �! �� !�""��� �� 5�� ���� 2����"�& @��.
� :%�"#2�� /!��� ��5& "�- ��0"4�� ! ( !�"#�� � !�� "�-� � " �"��
��"�5 ��!� ! !�� ! � "��4 @���M
2d sinϕ = nλ, �I���
� ϕ3 ��" ��"#� �(� d3�� !�(���( � ; !�� n3���(��� �! �2 .
� �6� 9�� ��!� �� �!��� � �" �!����� � "� �0 !�("� !��� �0��'���
�
d
Êð
Ê
Ï
2�� � :0�) ���� ������� �
�4��)�� � T ��������� � �,"� B
( T ��������� @1 �� ��)���AB d T
�������� � ��"����B ϕ T ,1�� �����D
4���� �,-� B (� T ����� �� @+ -��D
������ ��,4�� T ��)�B � 0���8��D
�� ,+� 0 ��"����A
��� " 05 �" �!��� �� � !��"(" �.
0�& ��"��� � �� �!��� ��� �! � .
�� �3 !���4 ��"��� �"�� ��!���& '�.
� ! �! �� � �" �!������
8����"� @��� :%�"#2� �� ���.
"' �! �2 � �6���5* ��5!��
����� ��� �(!# ����( �� �0���
)����� � !��"(( � '� ���& �"��
��"�5� ������-��!# �� !�"" .
��!# �"5 ϕ1, ϕ2, ϕ3 !� ��� ��!� !.
!��41 - "�� n = 1, n = 2, n == 3 !� ��� !� � ��!� !# � �!�5 A.��
I.�� K.� !� �� ���(����� 9�� � "�4! �
"�-� � �! ��� �* "�- &� � �����
��- M '�2� ����� ��"� �� ��!�.
��� �� !# �!��� � � � �� �5���
� �(!# �"�� ��"�5� 9��� �!��� �(
0���! � !# � !� �"( �"� ��"�
λn = 2d sinϕ
n, �I���
!� � �"( ��"� λ1, λ1/2, λ1/3, λ1/4
!� ��% �0 ���� ��� �� � �� �! �"(
� ��!���� ��� � " ���� �"� 05"�
��"�- �� ����'����( �� � � I�� '�.
� �� !# !��� � �!��� ���� ��-� �
!� � '�� �� !# �! � ��� ! �!��.
� �( �" �!����� � ������" � �� ��� ��� � ��!���� �! �2 � �6.
����� " � !�� �! � ���(41 � ��! �6�"� V �
E����! � '�� �� ! �� � � I�� �'��-� !� -!� !� �"�� ��"�5� ��!���(
� �6�� ! ( �!� �2���6���5� ��5!��� �0��!�� ������6���"#��
���� ! �" �!������ % ���� � " � ��� ���� ' � � I��� ��� ���5 !���
��0"4��4! ( �� '��- �(* � ���(41 � ����(� �( V = Vn� ����" !��.
�(41* � "��4 √Vn =
√V1 n, n = 1, 2, 3, . . . �I���
0-3- M���+ � ;(�&�/ KO
D� # V1 3 '��- � ����(� �(� �� ��!���� ��0"4�� ! ( � ��5& ��� .
��� �!��� �(�F-! � ! � �#� -!� ��� � & !� � � ���(41 � ����(� �(
V �" �!��� ���0� !� ! �� �4 E = eV ���"#
p = mυ =√
2mE =√
2meV .
3,061 2 3 4 5 6 7 8
0 5 10 15 20 25 V1/2
2�� �$ / ���)���� ��� ��� 4����) �,-�� �� ,�����?8�1� �����5� � �����
������� � �4��)��
9��� 2����"� �I��� ����� � � � �!# � ��
pn = p1n, n = 1, 2, 3, . . . , �I���
� �� � �� �0�'��- � p1 =√
2meV1� ? ����& !����5� " �� ���.
"��!#� -!� �! ��� ���5 ��'���4! � " � !� 0���� ��� �!��� �(
��"� �! �� !�""�� !� ' �I���� �I��� " �� !� -!� ��0�" "#�5 �!��� .
�( ��0"4��4! ( �� !��* '��- �(* ���"# � �" �!������ ����
λn = η
pn
, �I�N�
� η = 2dp1 sinϕ� D��( �� !�(���4 � ; !�� ����� �� 2����" �I��� ��&.
! �"�� ��"�5� �!� -�41�4 ��� ����� �!��� �(� � '�! � ��� � "!#
��!� ! !��41 '��- �( ���"# � �" �!����� % � '�"#!�! 2����"� �I�N�
��'��"( ! � ���6� '� �!# ��� !��!� η� /�� ���'�"� # ������41 &
�� !�(���& <"���� h� �*��(1 & � 2����"�� �('5��41�4 �"�� ��"�5
���"# 2�!���Mλ = h/p� 9��� �0��'��� ' ��5!��,�� ��� ,� �� ��
�5! �� ! �('# � ��� ���"# �� �" �!���� p = mυ ��"���5� - "�� k
��!� ! !��41 & ��"�5M
k = 2π
λ= 2π
hp, " p = �k. �I�O�
<�� � � ��� !�42����"�� ��'��"(41�4��*��!# �"�� ��"�5 �" �.
!����� '��( � ���(41 ����(� � V �� ��"#!�*�M
λ = h√2meV
= 1,24√V
��. �I�AB�
�B ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
��$� ����� �� +��#�! 1)
/�5!5 ,�� ��� ,� �� �� ���'� " � �� �� �( ��"� �"#��
�� -�!" � � /� ����'�"� -!� !���6���� � !�� ��'�!#� - !� ����� .
��"(��� ������ !���& 2����� �!�"#��& 2'- ��& �1�� !� ���
-� !6� (�"( ! ( � ��"�5�� /��'�"� #� -!� -� !65 �0"���4! !�-�5.
� ��"���5� ��& !���� /�� !� � -� !65� �'��4! �2���6����4
���!��d
% ��� �2���6���5 ���!�5 05" ��"�- �5 � ���5-��& 2���
�� 2�!���2����� ��-��� �" �!������ �� (��5* �� ���*��� �
- � ' !��� ��"�� !�""- � � !�""- � �" ��� ����� � - � '
'�"�!�4 2�"#�� % �!* ��5!�* 05" ��"�- �5 ! �5 �! �2 � �6��.
�5* ��" 6 3 !�-�5 � 0� ����5� !�����!�� ��"�-� �5 �� � �! .
��� ��� " ����� ��"�� !�""- �* �0��'6���
,�� <� 9��� �� ��'� (" ��'����5 ��� �(� ��� !5� � !�����5�
�� �0�� ����'��� -!� �! ��"#6� � & !�! "#�� �5'���5 �� (��5�
�" �!������ � � �!��-�5� � �! ��� �� "�-��� /� ���!�5� ��.
" � � 1�" �! �2 � �6����4 ���!���� � �(" ���!�� !�� !#� ��.
'5��" ��� � 7� � �! ��� �� � '"�- � � ��� '� !��� ���!��
��" � � & !�� !�
8��! �2���6 �" �!����� � !����" � �� !�!�-�� !� ���� � �� !�(.
1 �� �� � � 0�" - � ��"�� ����& ��5! �" �!�����& ���� ��� ���.
!� ���� ! �!�� 9��� ����� �� �� !�(��5 �� !�""��� ��� � " ��5 '
��5!�� �" �!������ ������4! '� !�5� '��- �(�� ��"�- ��5�
���� � !���� �� -� !�� !� �� " ����� �2���6 � �! ���.
�* "�- &��
% �� �5��1 � '"�� � 05"� ����'���� -!� �� �( � !���� ����!�
�('��� -� !�!�& ��" 0��& � � !���& ��"� 2����"�&
E = �ω, �I�AA�
� ���"# �!�� ����!� �('�� ��"���5� � �!���� 2����"�&
p = �k �I�AI�
� �� �A�A���� 9 � �# ��5!5 �� �2���6 �" �!����� ����'5��4!� -!� �!
� ��!��; �( �5��"�(4! ( �"( -� !6� �� !�"#�� ����� ���6��
� �����* � ��& �0��!��& ! �� �5�
G� ��!�� �"� ��4 ����*����!- ��4 ��"��� D��; � � �� A exp[i(kr− ωt)] = A exp
[i
�
(pr− Et)]. �I�AK�
1) ;7 ������ ��-���� �������� ���"��) �����=��1 �� ����,��,�����)
�����=�)� ��)������� �� �� ����?� �����)E �� ��� � �� �� ������ �8���
�=� �� � �"�=� W< @J �� &�����A
0-3- M���+ � ;(�&�/ �A
D� # ��"#'����5 ��!��; �( �I�AA� �I�AI�� E�!( �I�AK� �5"(�! ���
!��!�"�- � !��� !� ���( � � '�� # '� !��� �5��� �(� !�"#��
";# '�� ��& �0�'��- �&� �� ���� � " ��� � � ��� � !� �I�AA� :
�I�AK� � ! "�0��& �5 "� ? ����& !����5� �!� �'��-� !� -!� �" �!��.
���!��& ��"� -� !�!�& ω ��"���5� � �!���� � !��! ( � ��!� !.
!� -� !6�32�!�� �� � &E = �ω ���"# �� p = �k� ? ����&
!����5� �!� �'��-� !� -!� -� !6 �� � & E ���"# �� !��! ( �
��!� ! !� ��"�� -� !�!�& ω = E/� ��"���5� � �!���� k = p/��
<� !��" ���( !��� �0��'�� � ��!� ! !� �" �!���� ��"�� ��'5�� !.
( ��"��& � @��&"(� C �"�� �����
λ = 2π
k= 2π�
p. �I�A��
,"( � � "(!� ! �* �" �!����� �υ� c) �� �( ����� E = p2/2m
λ = 2π�√2mE
. �I�A��
C " �� �4 �" �!���� '� �(!# � �" �!���.��"#!�* �!� � -!�!#� -!�
�" �!��� ���; " ��'�� !# ��! �6�"�� V �%�"#!��� !� �� � �� m == 9,1 · 10−28 г ���� ! (
λ ≈
√150
V
◦
U . �I�A��
<� � ���(41 � ��! �6�" � A�B % �!� �� ! '��- � �"�5 ��"�5 �
1◦
U� %�"�5 � @��&"( �05-�� �- �# ����!� � 7���� �� �"( ��" ��"5
�������� H2 �� �� � ! �"���� ��� �( � 6 · 10−14 ��� �!� -�41 &
! �� ��!�� � KBB �� �m = 3,3 · 10−24 г) �"�� ��"�5 � @��&"( � !��.
"( ! 1◦
U� -!� *���;� ��!� ! !�� ! ��'� �� �!�& ��" ��"5� '� !���� '
�'��� !- �* ��0��� �&�
/- �# ����� ��& !�� ��"� � @��&"( � !�! � !��� -!� * �������(
���� !# ������ ! � ���� !#4 � *��- ��� ��� �( -� !65�
G� ��!�� ��"�� � @��&"(� ���(� �"( ��� !�!5 '�� � -!� ���
�� ��� !���( ! ( ���"# � 34M
Ψ(x, t) = A exp[i(kx− ωt)]. �I�A��
8�'� �!�& ��"�5 ϕ = kx − ωt� 9��� �������!� !�-� �� !�(���& 2�'5
ϕ0 ����� x = ϕ0 + ω t
k
� 8�'���( ���� !#� �� ��� � " �4 �����( ���� !
�� ��� !��� �( !�-� 2� �������& 2�'5� � !��"( ! !���
υфаз = dx
dt= ω
k, �I�AN�
-!� (�"( ! ( ��!��; � �� *���;� '� !�5� � ! �� ��"��
�I ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
D�� �� !# 2�'���& ���� ! ��"�5 �! ��"����� - "� �'��-� ! ��.
"- � � � �,"( �" �!�����!�5* ��"� � � � ( �0� "��" �� ��&.
!�����! ��"#��& � �5�� ��� !��� �('"�- �(�%�� !��� ���.
�- ���� ��� !��� !� �"( �" �!�����!��� '"�- �( � � � � !�
/��'5�� ! (� ������� -!� �"( ��"� � @��&"( � � � ( �1 !�� ! � ��.
!�� ��� !��� !� � =!� ��� *��! � "� ��"- !��41 & � �!�� "�-�
�(' � ��� �� � & ���"# ���
X � � "(!� ! ��& �0"� ! �υ � c) �� �( ����� E = p2/2m� 7��
�� ! ! �� E = �ω, p = �k� �5 ��"�-� �
ω = �k2/2m. �I�AO�
?�"� �� �I�AN� 2�'���( ���� !# �����
υфаз = ω
k= �k
2m= π�
mλ
'�� ! �! ��"����� - "� k �!� � �! �"�5 ��"�5�� -!� �� ! "# !�� !
� ��"- � � � � =!�� � ��4 �- � �#� �����! � �!"-4 �������&
���� ! �! 2�'���&� >�������( ���� !# !# ���'�����( -� !�!5 �� ��".
������ � �!���� �5 � �M
υгр = dω
dk= �k
m= p
m= υ, �I�IB�
� υ 3 ���� !# -� !65 ��� � *��- ��� �0J �!��
9�! 2��!� -!� �������( ���� !# ��"�5 � @��&"(� � �6�� ��&
-� !6 &� ������ ! � ���� !#4 ��� �( -� !65 � � �"#��� !� *� �.
��� ��� !��� !� � � !� ��� -��� "�0��& �5 "� 7 "#'( � �!� !!#
�� �!��� -!� ��� � " � �������& ���� ! ��� ���� ! � � � 1 �(
� ��� !��� !� 6 �!�� !(� ! � �� � ��"����� ��� !� !����! ( !���
�0��'�� 0�" ��"(��5��
�!��� �� ��!� � �(� �"4- �5* �� � �� �!�� * !���!����� �5 ��.
;" � � �0*���� ! !�� !��!# 2'�� �������� -!�05 ��� ����"#��
� � ����"� ��� ��"���5 � !�� ����� ��"(��5 ��& !�� -� !6 ��"�� =!�
2'�� ��"��� ����" !���(!# �- �# ������� � �� � ����� � "��4M ���
��"��� � � *��!# � �"� - ��4 2'�� �� � � *�� � ������0J �!���
=!� !� 0���� ��'5�� ! ( ����(��� ������������ �����
% �� � ( � ��"���� @��&"(��*2'- �& �5 " 05"� �'���� ��.
'��< �����-�"#�� -� !65�� ��!���" # ��� �0��'����(' ��"�� ��"�.
�5� �0��'�� �� �� � " ��5* � ��� !��� !� � =!� ��"���� �0��'����
�� �1 !�� �� ��!���"� # ��� ��� -� !6�� ��! � ��� !# ��"�5 �
@��&"( �� ��!���"� # ��� � "-��� *����! �'�41�( �"�!�� !# � �5�
' ��!���& �0��'����� -� !6�� �� !6� 2'- �� !�� ��'�!#� ���'��'5.
��"� #� �� ��� !��� !�� � ��!� ! !� �� �� � " � � �! � ��� !
��"�5 � @��&"(�
9��� ������ �� ! �� �; ��� �"� - �& *����! �� , & !�.
! "#��� ' ��"� � �� ����� �� !��!# ��! � �� ���'6 � ��!����
0-6- B�2(�)K�/ �� ��# N��/# �K
* - "� !� 0� �5 ��"���5 �0��'����( 3 ��"���5 ��� !5� ����.
1 ( �������& ���� !#4 υ = υгр� /����� �!� �;0�-�� �� � !��.
" � M � " � !� � � � � �� 5�� ��& ����� � � �I�AO�� ��"����&
��� ! � '0 ��� �� �"5�� ! ( ��� � �� !�! � G�'� � -� !65 ��'�� !� !�
��� !����! ( � � !�&-��&� =!� ��.� ��5*� � ��.�!��5*� �� ���*��� .
� �" �!����� - � ' ��"�� !�""- ��42�"#� 05"� ��"�- �� ! ��
�2�������;* ��-���� C " * � !�����!# �� �!� "#�� ! �-!� ! *.
�- � ��'������� !� ����� 05"� 05 ����!#� -!� � !��� ! ( -� !#
�" �!����� -� !# � � "��& -� !65� % �!� 3 ����; � ���6�� �!�.
�'�� � '�� ���!��� -! ��5!�� % !� � �� �( �� !�(1& ��"����&
��� ! ���"� ��'����� ��'� "!# �� -� ! � !�����!# �! -� ! ��
�!� "#�� !�
9�-�� !�� � � � ��� ����!#� -!� ��"�5 � @��&"( � � ";# ����.
�����4! -� !65� -!� �� ���.!� �0��'�4! ( -� !6��� , "� � !��� -!�
��"- �2���6����& ���!�5 � ��� � "( ! ( �! � ��� !#4 ��!�.
�� -� !6� C " -� !6 ��"�� ���� !�"#�� �������!# 3 �2���6����(
���!�� ���(�! (� <��!��� �1 !����� ��"���5* (�" �& � "#'( �(.
'5��!# ������ � ��5� �� � �!�5� � & !� � 0�"#;�� - "� -� !6�
<���"#��& ���'�"� # !�! !- ��( !���!����� �� �"�� ���()�� ��
@����� � AOI� ���'� �� ���;�! �� ��37 =��!7
G� ��!�� �"( ��-�"� ��5! �� �� ��� !��� �4 � !���& ��"�5 - � '
� � ������ ����( 1 "(� �� � I����
S1
S2
Ýêðàí
2�� �' ���� �5�� ��� � ��� �� � �,)� 8���)�
<�� !� 2�!��" � �!� � !���41& 2�!��5� � ��� ��� �2���.
6����& ���!�5� <� !��� ����� M - � ' ����4 ' ���* 1 " & ���; "
2�!��� ��!��5& !�"#�� -!� 05" '�� !������ 2�!��" � �!��L % �� .
��* �!� !� '���� � ���� ' 1 " &� /0�'��-� ��"- !�� � !��� �5*
�� ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
�� �!��2�!���� - � ' a2� C " '���5!# ����41 "#� � � ���4�!��5!#� !�
�! � ��� !# 2�!�!��� ���� ���'5�� ! ( �����& a2� � ��! " �!��5!#
�0 1 " ������ � ���� !� � ��!� ! !� ��"����& ��!��& ��"�-�
(2a)2 = 4a2� !� � ��0"4�� ! ( ��'�� !�� �! � ��� ! � � ��'�� 9�� ���
��"- !�� 2�!����� ���; �;* - � ' �� 1 "� � � ���� � � - !5� ��'�
0�"#; ��"- !�� 2�!����� ���; �;* - � ' ���� �!��5!�4 1 "#� !� ��.
��� � !��� - � ' ����4 1 "# ���; " ����5& ����� !�5& 2�!��� "#��
� "���( ! (�
, & !�! "#��� " 05 2�!��5 ���*��" !� - � ' ���� 1 "#� !� - � '
����4� !� �! � ��� !# ����("� # 05 a2 + a2 = 2a2� � � �a2� %� !
! � �!�! �� � �� �!�"#�5& � '�"#!�! �� ! ( � ��� �a2) *����! � �
� !�"#�� �"( 0�"#;�& �! � ��� ! � !�� ���� ��'� " !! ���� 2�!�.
���� ,�� " �� ��!# 2�!��5 �� ������ � ������ � ����� � ��� ���
�! �2 � �6����& ���!�5 �! ���* 1 " & �! � ��� !# 2�!�!��� 0�� !
� - !5� ��'� 0�"#; � - � �! ����& 1 "�
?" ����! "#��� 2�!�� 3 �!� -� !6�� ������ � ��� ���*��(1�( - � '
�� 1 "d
<������ �"#�� !# ��� *��(1 � !�� ! 1 0�" (���&� " ��� .
!# '� �! "#�5& 2�!��" � �! � ����� �2���6����& ���!�5� D�.
��� � ���� 1 "# 3 ������ � 0�� !� D��-!� 2�!�� ��� ! ���� !# �
2�!��" � �!� ���� �!��5!� !�"#�� ���� 1 "#� � ��� !� " �!��5!5
�0 ������ � ���� 8�!�� ����.!� �0��'�� �'�� !�� -!� �!��5!5 �0 1 "�
� ����!# '� # � !��� -!� 2�!�� ���; " - � ' ���� ' 1 " &� � � !
�5 "��
9�-�� !���& � ��5! ����� ���'� !� � � 1�( ����� ����( 1 "(�
� 2�!����� � �" �!������ 7��� !�"#�� �'(!# ����& � ! �!��� =" �!��.
�� ���� ��� !��!# ��"�� � @��&"( exp[i
�
(pr− Et)]
� �� -!�!# �"(
� �! �2 � �6����4 ���!��� �� !��!# � ! �!�� � ��� ��� " �
����� �0 �!# ( � !��� -!� � ��� ��� �� ���* �!��5!5* 1 "(*
� !��� ! ( � � ��'� 0�"#;�( �! � ��� !#� - � �� ����& �!��5.
!�& 1 "� D��-!� ��� 2�!��� �" �!��� ������ � ��� ���*��! - � ' �0
1 "� !� � �� � � ! !�� �!���
/��� ' "���5* ��& !� -� !6 � �"� - ��& 2'� 3 �!� ��"-
!�� �!��� �"� - ��( -� !6�� ��*��( # � ����&.!� ��� �! �� � � �
����� � ! � � � !�"#�5* � !�* � �!� � �� �( �0('�! "#�� �! �! !�� !�
%� ! ! � �"� - ��( ��"�� �� �! !�� ! ������ � ��� � ���!(� �.
�5* �0"� !(* ��� !��� !��� <"� ��( ����*����!- ��( ��"��� (�"(41�.
( (� ��� '� !��� � �"'�6 &� 0 '���-�� � ��� !��� !� 0 ��� -��
�� �� � ��
=� � �� �!�"#�5 2��!5 ����(! � !��� -!� ����-� !6532�!��5
�" �!���5 3 � �0"���4! �"� - �� ��& !��� !�"#�� ��"�5 "
!�"#�� -� !65�
%5*�� 05" ��&� � � AOI� �� ���� )�� @��� �� �"��" �� ��!���!#
���"!��� � !���& ��"�5 " ��"�� � @��&"( ��� ���"!��� � ��(!.
�� ! ��*��� �( ����-� !65 � ��!� ! !� ��� 2�!��� " �" �!�����
0-9- O*��(���� � �(��)��(�/ $����K+ � )�������& ��#���)� ��
� � ��!���� � ! � =!� �� �"�� � ���'�"� # �"4-! "#�� �"���!���.
�5�� <� �1 !�� � ( ����!���( � *����� � '��-!� � ( ��� � ���(
2'�� '�� ! ( �� �!�& �5 " @����� ?�!# 2����"�� ! ( �� !�!�-��
��� !�M ������������� ����� �� ������ � ������� ���� ������������
������(�������� ����������� � ������� ��������� 1��� ������ ���
���( � ����� �����5�� 1�� ����� ���� ��������� ��������������
� ��������� ������ �������������
%� � ���4 �5; 2���64 ��� " ��( c� �� ��� ��'5��4! ������
��� )��(��� "� ���!��� Ψ.2���6 &�
�!��� ������! ����"( ��"����& 2���6 �! �������!5 �� ! �!�� .
! "#�� �� �� � " � � ��(!�� ! �� ��� !��� !��� % �(� "�-� � ���.
�� ���0�� ��"#'���!# �0 �"4!�5 '��- �( ���"!�� � ��(!�� !� �"(
- � � �0*���� ���'� ! ��������� Ψ.2���6M∫|Ψ(r)|2 dV = 1. �I�IA�
=!� '�� # *��! ' " ��41 � ��� !�� ��0��� �(� % ��(!�� !#
!��� -!� -� !6� *�!# � .�0��# � ��� !��� !� �� ��"- !�� !� �����
��6 �
��*� �2.������ � ���������! 4����;� � ��������#
.�7�����
D� # �� !�� ���- ����!# " ��41 � <���0�� !���� ��� � � *�� �!
�� !�- ��& ��!� � ��"����& ��� *��! !���� ���� ��'� �5 �� .
�(! !�& "� � �01 � "�-� � ���*."0� � ��������� ! & �� ��! �� .
��� !��� �( '"�- �( �����5 �"��& ��"�5� !�� ��"���5 ��&.
!�� -� !6 ��-��4!���(�"(!# (� ���� ��'� �5�� � !��"(41*�! �
2'- �* �0"� ! & �����5 �"��& ��"�5 � @��&"( �� ��!��� .
��� �0J �!�� 9��� � !�� �!�� -� !65 ����� ����!# ";# !���� ����
*����! ��5 ��'� �5 � '���- 1) ��� � �����"#���� !�� � ��� � -���
������" �(* ���� 0�"#; � - � �"�� ��"�5 � @��&"(� ��!���(� ��� �5
'�� �� -� '�5-�&�� ��"��
� �!� �� ���� � " �0J( �( !� ��- �� 0 '� � ;�5 05" ��'���0��'.
�5 ���5!� � � *!�!# ������ !��� -!�05 � .!�� �'��!#� - � ' ����4
1 "# ���; " �" �!��� � �2���6�������5! ����(1 "(��% ���5!.
� �� !��!# '� "����� -� !-�� ���'��-��4 �� ����� ���� '�!# 1 ����
1 "# !� �� ��� ��5� �0��'�� � �(4! !��643 �2���6����( ���!.
�� �����"#�� '� �( ! (� � !� - '� ! ��� � <�� " �!# !�� �!��4
�" �!���� �� ��� �!� � � !��6 � ��'������ 9�"#�� �� " � !��.
6 �5 '�� �� � ��� 7� �� �� � ��� ! �! �2 �����!#� % � '�"#!�!
1) 9)�?��� ��, 0 � ������� � ��������B � ������0 �,8������� )���?���
����� �����B - ������� �����5� ��� � ����1�� - ���5�
�� ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
� !��6 � !�(� �" �!���� ��� ��5� �0��'�� '� �"� #� )5 '��.
�� � ��� 7� �!� �� ����& �" �!���� !�-� � �!� �� �" �!��� � �����
� !�(�� 7 ��'����� ��� � "!#� �� ����& !�� �!�� " ! " �" �!����
- � ' ����4 ' ���* 1 " & �� ���; "� � ��'� & !��( �� � �� � '� �((
� � !�(�(�
��� ���� ' ��'������ � 2'� ������� ���6��"#��4 ��"#
�� ! '� � � � /�� �����"#�� � �( ! � !�(� �����0J �!�� ,"(
0�" 2����"#��� ��� � " �( �!�& ���6 ���5 ����(! ���(! ��� ���M
�!� !���& �0J �!� ��!��5& �� !�!�-��& !�-�� !#4 � �� & �"( �����& ���.
�� !��& '���-� ���-�( ! ( '������ �"� - ��& 2'�� ?��!� ! !� �.
�� '� � � � ��'5��4! � (�& ���6 �'���� & !�( �����0J �!�
��0����� 7� �!�� ('5� ����� ��'�!#� -!� � !�(� ����!���� �0J �!�
� �( ! ( � � '�"#!�! '� � �(�
% �� ����� �5; ��5! ��"# ��0��� �� ! ����� � 1 "(�� � '.
� � � 3 �!� ��� � " � �������!5 �" �!����� !� � "���"'�6( �" �.
!���� � �0"� ! 1 "� % '�� �� ! �! � !��& !�� ��0��� �� ��.��'����
����������� �� ������ �� ������ ��� ������ � ������� �� ���������
F� ' ��'����� ����� -!� - � !�-� '� � � � ! � "#� ���'5.
�� �� ��0���� ��'� & !� � 7� �! 4�� ��'� " �� !� -!� ���(! ���.
� ���& ���� ! ! �( ! ����&."0� �5 "� % ���� � " � �� ��� � " �4
���� ���( ���� !# ����� �� � "�M
v = limΔt→0
r(t+ Δt) − r(t)
Δt. �I�II�
=!� '��-!� -!� �5 ��"��5 -� !� �� !�!�-��& !�-�� !#4 '� �(!# ��.
�����!5 �" �!����� 7� �� ������ ;� �5 �����"#�� � �( � � !�(�
-� !65� � � '�"#!�! � � ����& ��� � " ���& ���� ! ����!# ��
� ��'������ ��� � '�"#!�! �5 � ��� � � !����!#� �� ����& !�� �!��
" ! "� -� !6� ���- � �����& !�-� 05"� 05 '� !�� ���� !#��
9��� �0��'��� ����!��5 �0J �!5 � ���! 05!# �� ��5 !��� � .
! ���������� �� � ��'��4���" ��! !�"#�� � ��(!�� ! ��'"-�5* �.
!�(�&�
��"- !� ��� �5��� � ! � � ��'� & !�( ��0��� �� ����!��5&
�0J �! �� ! ( ��!��; �(� � ��� � " ��� ! &�
��,� ������)���� ����������������#
G� ��!�� ����! "#� '�� # �I�AK� �"( ��"�5 � @��&"(�
Ψ(r, t) = A exp[i
�
(pr− Et)].
<� !�-�� ��� � " ���� '��- � ���"# � p �!� '�� # �� � !��"( !
�0�& �"� ��4 ��"��� � !�� ��� �"� ��( ��"�� �� ��� � " �4 �� �� .
� " �� �� � �� ��� !��� !��� !� ��!� ! !��41�( -� !6� � !���
0-P- Q�����8���� ���:(� ���������& ��
��� � " ��5� ���"# �� p ���'��'���� �� � �� ��� !��� !��� ��"�.
� � �� �; ��� � ��� � " ���
<� !��� �� ��! !���& �"� ��& ��"�5 ��2���� � 1 "#4� D� 1 "#4
�"� ��& ��"�5 �� � !� D��-!� '�1 "#4 ��"�� �� � � ! ��� � " ����
'��- �( ��"����� � �!��� �� � ��!� ! !��41�( ����-� !6� � � !
��� � " ���� '��- �( ���"# � p� ?� !�(� -� !65 '� 1 "#4 3 �!�
� !�(� � ��� � " ��5� !�-�� ���"# ��� @�� � �!�& 1 "#4 �;�.
�� 1 " a) '� �(!# �������!� �" �!���� �� � x� ������" ���& ���"#
��� �*�� ! ��2���5 �����"#�� ����41 �� ��-�� �" �!������ / # y
�� !# � ! �� ������" �4 ��-�� *���5* �" �!����� � �� � � I�N�� <�.
" ���*��� �( ������ � 1 "#4 ��'��� ! �2���6����( ���!��� !� �
�" �!���� ��!� ! !�� ! ! � �# �� *��(1�( ( ��"���
x
2θy
a
2�� �# ( ���, ������"���� ����������������� ;������� � 3 �)�,���<
7�����" � �� � ��5& ����� �� ! ( '� !��& �2���6����&
2����"�&M a sin θ = λ� F�" θ !# � �� �� *���� ! ��"�5� !�� ��� ��.
���"(41 & � ��(!�� !#4 �" �!��� ��*��! ( � ���� ��!� � ��� ������.
" �(� �� � ��5& ������ % �� � "�* �� !�-��� ���� � �"��
�� � �;� 2θ �5 � � ��0�� ������" �& �� ��� !��� �(� !� � ��0��
������" �& ���"# ��� ����"# � ������" ��5& ��� �"�� θ � � y � !
������ �!� px ���"# �"� �� ! ������� C " ��"�5& ���"# �" �!����
��� � p� !� sin θ = px/p� F�" θ � �!�� ��!��; � !# ��" �2���6�
���� �5& 2����"�& a sin θ = λ� �5 � �M
px
p= sin θ = λ
a. �I�IK�
? 6 "#4 ��"�-!# !�����!��4 '�� # �� � � �0�'��- � M Δpx = px�
� ( � ���� -!� � ��� �!� �� " ��(( � "-�� ��� � "( ! ���� ��'���.
�5* ������" �& ���"# � �" �!���� �� " �2���6� !� � � � � �!�"�.
� �& �! � �����-�"#��� ������" �(� � '��-! ��'0�� � '��- �(* px�
�N ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
�� ! ( � ���� -!� �� � � - �( �"� �� ! ������ ������ �!� ���"# �
�" �!���� px ����("� # ��"4� � �� " � � - �( '� �"� # � ���!��.
"�� �5� �0��'�� �� � "-�� �� ;!�0� Δpx� ���� !��� �0�'��-�
Δx = a3 � ��� � " ��� !# �������!5 �" �!���� � ��� �! � � - �(
�"� �� ! ������� % �!* �0�'��- �(* 2����"� �I�IK� ����� ! ��M
ΔpxΔx = λp.
7� λ = 2π/k = 2π�/p� '��-!�
ΔpxΔx = 2π�. �I�I��
)5 ��"�-" '��� �!� ��!��; � � ��� � " ��� ! & ����6�
� ��� � " ��� ! > &' �0 ���� ���"�-�� �� ��!� � ����� ���� .
! �"( "�-�( ��� � " �( ��"�� �( �" �!���� ���� ������ ?��!��.
; � �I�I�� ��'5��4! !��� ����������� ����������������� 6�������
���� 7 �����8� =!� 2����� �!�"#�� ��!��; � 05"� � !����" ��
% �� ��� > &' �0 ��� � AOI� �
)5 ��"�-" ��!��; � �I�I�� �� ���"' !�"#�� ����� ��5!��
�� ��� �� ���� � " � ! � �01�4 ��� ��� !#� /!"-�!# ( ��� !
!�"#�� - "���& ����! "# � �����& -� !� % �01 � "�-� '�� 5��4!
ΔpxΔx ∼ h. �I�I���
% � & !�! "#�� ! ����� !��� ����'�!# ��!� � "��� � '���- AI � ��'.
� " �? ������� -!�
ΔpxΔx � �/2. �I�I��
=!� 2����"� ��'5�� ! ( ��!��; � � � ��� � " ��� ! & � 2��� % &"(�
�!��� ���"# �" �!����� ���; �; � - � ' 1 "# ;���&Δx� ���.
�� ! '��- �(� " ��1 � �! ���" Δpx ∼ h/ΔxM - � !�-� '� �( ! (
�������!� �" �!����� ! � 0�"#;& �! ���" ��'����5* '��- �& ���"#.
� �� ��! ( � !�� ��0�� ��"� � @��&"(� ��!��5 ��!� ! !��4! �!�.
�� �" �!���� �� " '� � �(� ! � � ��� � " �� ���"# ����� !���
�" �!����� � �0��!��� �"� ��( ��"�� � !��� ��� � " ��5� ���"# ��
��!� ! !�� ! � !�(�4 �� �; ��� � ��� � " ��5� ��"�� � � �" �.
!�����?��!��; � � ��� � " ��� ! & ��'��� ! � �� ��-��� ! *�- .
��� � �� �; � !�� ��;* ����� !�5* ��5!��� -!� �� ! �� � ��5&
*����! � � " ����! "#��� � ���6� �� ���"��� =!� ��!��; � �0�.
"��" �� ��� �1 !��� �����5 � 1 &�
<�� � � � � ��! ��!- � ��0��� �(� G� ��!�� 2���64��� '������4 �� � � 0 ��� -��� ��� !��� !� �� � !����4 � ��
K.� ���� �! ��"� 8��# M
Ψ(r) =∫f(k)eikr d3k
(2π)3, �I�I��
�
f(k) =∫
Ψ(r)e−ikrdV. �I�I��
0-<- Q�����8���� ���:(� ���������& R�(��/ A 5��(��/S �O
D� # f ���38��# . � �!�"� ��- ����(�8��# .�� �0��'���� �8��# .
�0��'� 2���6 ���
8��# .�� �0��'����( �I�I�� �I�I�� ����(! � !��� -!� �������!��(
��"����( 2���6( ��� ! 05!# ��'"�� �� � �� �� �5��5&� �(� �� �"� ��
��"��� � @��&"(� �����( � ��� �� ?�1 !�� ! � ���� �"� ��( ��"���
�� ���01 ����(� � �� �5��5& * ��0��� � � 0�"#; '��- � |f(k)|� ! �
0�"#;& ��"�� � � '�"#!��41�4 ��"����4 2���64 ��� ! ��!� ! !��.
41�( ��"�� eikr� <���0�� !��� ��� � "-�� |Ψ(r)|2 �� ! � ��(!�� !# !���
-!� -� !6� � ! �������!� x� '��- � ������!� ����"( 8��# .�0��'�
��"����& 2���6 |f(k)|2 ��� � "( ! � ��(!�� !# !��� -!� -� !6� � !
���"# p = �k� % �!�& �(' � "-�� f(k) ��'5��4! ��"����& 2���6.
& � ���"# ��� �� � !��" � �� �!"- �! ��"����& 2���6 Ψ(r) �
�������!��� �� � !��" ���
D���-� AI � �� ��'� " �? ������ � ��� !��� !� -!� ��!��; �
� ��� � " ��� ! & �� � !��"( ! �0�& 2��!� � '� !��� �5 " � - !�
��! ��!- �&M " ��� � "(!# �������!5 -� !65 ����1#4 ��"��.
��& 2���6� � ���"# 5 3 ��'"�� � � �� �"� �� ��"��� � @��&.
"(� !� ��!��; � � ��� � " ��� ! & (�"( ! ( ��! ��!- �� �5������
?�0 !� ��� 2'�� � !�! � ��� � !��� -!� �������!� ��� � "( ! (
��"����& 2���6 &� � ���"# 3 8��# .�0��'��� 9��� ' ��'"�� �(
8��# � !�-� � ' !�� 2��!�� -!� ��"���5 2���6 �������!5 �.
��"# � ���'5��4! ( �'���� ���(� ��5� �� 8��# � " �� ! ���6�
� ��� � " ��� ! �I�I���
��/� ������)���� ����������������# >���.! 9 &���8�!?
<���� �� ��!� ���� �5; ��!��; �( � ��� � " ��� ! & ���.
�����!� : ���"# � �1 !�� ! ���� !�� ��!��; �& ���"�-�5�
�5 "��� �� ! (� ������� ���� ��!��; � � ��� � " ��� ! &� � 4.
1 ���6��"#�� '��- � �"( ������( 6 "�� �(�� (�" �& � ��.
���� �
G����� � ��� *���;� '������ " ��41�( !��6(M - � ����- ��
�� � � �������"# � ! � ;� � -� !�!�5& � �!�� !�� -!� ���'� � .
� ;��5 ��"� 5 Δω �� �"! "#�� !# ���"# � τ � �� !# � "-��
���(��� ��65� !�-� M τΔω ∼ 2π� ���- ����(� � (�& ��"����& ��.
� !� �1 !��41& ��� -�� �� �( τ � � �0*���� �� ��! ���� !��
������� ��- � *����! ���( ;��� � �!�� Δω ∼ 2π/τ � =!� �!� ��� .
� �5! �� !� ����� �� ' !��� -!� �� � ���( 2���� ��"� f(t) �
-� !�!�5& � �!� a�ω� �('��5 8��# .�� �0��'���� �M
f(t) =∞∫
−∞a(ω)e−iω t dω
2π, a(ω) =
∞∫−∞
f(t)eiω t dt. �I�IN�
�B ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
�D��� � ����'�! "(* �� ��� �! '� # �50���5 !��� -!�05 � �!*��!# �!
��� ��"�5 � @��&"( �I�AK�� �I�A���� % -� !�� !� " �5 � � � "�
�"� ��& ��"��& � @��&"(� ��!���( ����� ��� �� � �� � � "� ��-�"�
����� � '����-! (� !� �"! "#�� !# ���6 � τ = ∞� � ;��� 8��# .
� �!�� Δω = 0�
?2����"������� ��!��; � � ��� � " ��� ! & �05-�� '�� 5.
��4! � ��
Δω Δt ∼ 2π, �I�IO�
� ���� � �� '�� �� τ → Δt� < � *��( '� # �! -� !�! � �� �� '��; �
���� ��!��; � � ����!���& � *��� M
ΔEΔt ∼ 2π�. �I�KB�
=!� ��!��; � ���� �� ! ��'"-�5 !�"�����(�/���' �* � !�!
� !��� -!� " '� � � �� � ���'���! ( � ! - � �� � � Δt� !�
� !�-�� !# '� � �( � ��� ! 05!# � �#; - �
ΔE ∼ 2π�/Δt. �I�KA�
=!� �;0�� ��� ! 05!#� � -� !�� !� �('��� ! �� -!� ��� '� � �
�����"�! "#�� !#4 Δt ��� ! � ���!��"�� �� '� � � �� � .
! �5 �� � "-��� ���� ��4 ��!��; � � �I�KA�� ? !���& �! ��� !�.
6 & �('��� ���(! � ��!��"#�5* -� !6�* �" � !�(�(*�M � "����
����� -!�!#� -!� �� ����!�� �� �( Δt ∼ 2π�/ΔE 2'- ��( ! ��
��� ! � � *��!# � !�� ��'5�� �5 ��!��"#�5 � !�(�( ����; � �
'����� �*��� �( �� �� =!� ����; � � � & !�! "#�� ! (�"( ! (
����1� (� �� ��"#�� ��� ���6��"#�� � ���� �( �� � '� � �(*M
"0� ��� '� � � ��� � ! � "#���� '� � �4 �� � �� � "-��
� � � !�&� -!� �� ! ( ��!��; � � �I�KA�� "0� '� � � ���!� �.
�! �5��"� � '����� �*��� �( �� � � " ��� ������! ( �� !�.
!�-�� �"! "#�� �� �(�� 9 ��� ������������� ��"#'�����5& �5; �
� � ���! ( ��"& ��� ('5�� ��� �2��!- �&�� �� & !�! "#�5&�
�0�'��-� ! ����!�����1 ���� ��!�-�5 � !�(�( �" -� !65�� �"(
��!��5* ����;� ! ( �05-��( �('# �� � ���"# ��
?���� �"�� !��� " ��41�( !���!���� ��!��; �( �I�IO�� C "
� ��!��� ����!��� � !�(� �1 !�� ! � ! - � �� � � τ � !� ���
� ! �� � !- �& � �!� ;���& Γ ∼ �/τ � ���0���!� " � ��.
!��� � !�(� � ! ��� � !- ��4� ;��� � !� ��� �1 !�� ! �
! - � �� � � τ ∼ �/Γ�
G� ��!�� �('# ��!��; �( � ��� � " ��� ! & �I�KB� ��!��; .
� � � ��� � " ��� ! & ��������!� : ���"# � ��� �I�I��� <� !# � .
! ( � !�6������ � !�(� 3 "���"'�����5& ��"����& ��� ! 3
��'0�� �� �� �& ΔE� <� !# ��; ��� ! �1 !�� ! � ! - � �� � �
Δt '���� ! � ��� !��� !� �0"� !# Δx� C " υгр 3 �������( ���� !#
0->- '(��K�: �:�������!����� �A
��� !�� !�
Δt ≈ Δx/υгр = Δx
dω/dk≈
Δx
Δω/Δk= ΔxΔk
Δω= ΔxΔp
ΔE∼ 2π�
ΔE. �I�KI�
9��� �0��'��� �5 ��5� "� ��!��; � � ��� � " ��� ! & ��� �( :
�� �(� �I�KB� ' ��!��; �(� ��� � " ��� ! & ��������!�: ���"# �
ΔpΔx ∼ 2π�� =!�� ������� � ���"� ����"#�� �!� ��� � � �� ��"#��
�0� �! ��!��; �( (�"(4! ( � '�� �5�� , "� � !��� -!� ��� �5
�� ��!���" ��!��; � � ��� � " ��� ! & ��������!� : ���"# ��
� ( � ��� '� � � !�� �!�� ����-� !65 �� � '� ���& � ".
-� ��"��� ���"# �� !� � � � "��(*� ���� �� �( -� !65� � �("� #�
� � �("� # ";# ����������� ��� �(� %� ! ! � ��� !��� !� ���(
2���� ��"����� ��� !� F �� � 8��# . � �!� G��� !��� �('��5 �� .
�0��'���� � 8��# � 7���� �� � ����� ���� "�-� � �
F (x) =∞∫
−∞G(k)eikx dk
2π, G(k) =
∞∫−∞
F (x)e−ikx dx. �I�KK�
D� # �� � � �!� �� �! !��4! ��'"-�5 �������� ��"����� - "� k
� " ����! "#��� ���"# � p = �k� 9 � ��5� �5 � � ��� !� �� ���.
1& ������ ��'"-��& �� � & E = �ω(k) = E(p)� ?��!� ! !� ���
�� �0��'����( �I�KK� �I�IN� ���'5��4! ( �����" �!�5�� �!����41.
� ���� !� � ��& !�� '�-� ��& ��"�5 3 �� � !- �& � �!��
<��!��� ��"#'������ � �I�KI� ��!��; � ΔxΔp ∼ 2π� �-!5�� !
� ��� "���5& �� � !- �& � �!� ��"����� ��� !�� � � ��'0��
������" �& ��"�� (�"( ! ( !�-�5� ���"��� ��!��; �( �I�KB��
�!��� �5 ��;" � �5����� -!� ��"����( ���� � Ψ.2���6(� ��� � .
"( ! � !�"#�� �������!5� �� ���"# ���"- !�� ��� �(� -� !65�
?" ����! "#��� � 2'� �������� !� � !��� � � & !��4! ����!��5 '�.
���5� �"( ! * " �5* �0J �!��� � ! * " �5* !��6(* ���" �! �� !#
��*��!# Ψ.2���64 �� �� � & ��� � "(!# � ���5 ����- �
� � � ��5 '���-�
��1� ���;�� ����������������
�� !� " ����! "� '����41 ( ���6��"#�5� ����� ��
����!���& � *���� 6!��4! �!� ��� � � ��'5�� �� ���6��� ��.
��"�! "#�� !�=!� �!� ��� � 05"� �5����!�7"# ��@�����AOI� �
� *�� � �'���( 2����� �!�"#�5* � & ����!���& � *���M �� � ����
1���������� ��������� ����������� �� ������ ������������ � ����
����� �������� ���������(�
% ��"#� &; � 05"� �� �"�� �� 0�" �01�( 2����"������ �� �.
��1�( �� �5��1�4 ��� -� !�5& "�-�&M �������� 1���������������
�I ,�- 0- ����������� � ��)(���(�J ������8���� ���:(� ���������&
��)���(�� � ����� )��������� ���������� ��������%�� ����� 9����
���� ���� ������� � ������� ��)���(�� � ��������� ����� �������
���� =! ��� � "-�5 ��'���5 @���� �����"�! "#�5�� � � ��5�
(�"(4! ( �����- � ���(� ��5� ��� <�� ��� (�"( ! ( ����
��������!� : ���"# ��
��- !� ��5 ��0��� �( @��� � ����"�! "#�5* � "-��* � 4!
��"- !� ���4 2����"����� � �� ��'"-�5* ��!��; �& � ��� � .
" ��� ! &� ��� ' ��!��5* 05" �����0�� �� ��!� �5 �5; � ?" �� !�
������� � !# � ��� !� � ��"������ �0 !�(! "# !��� -!� � � �� " ��
� !����!#� �����5 ����� !�5 � *��'�5 ��'����� �( ��'��; �(
�! �2 � �6���5* ���!��
� � � � � �
�������� ������� ����������
�����������������
T �U���� ��� F� V� W���J �� ���� �� ��� D �����
,��:� ! ;�� ����$��B �� �� )���(��
@F��=��� !��"����A
<� !���6� ��1 & ���� ��-�"���� ��� 2'- ��( ! ��(� � !�.
���"��41�( �� �0 �� ��( '����5 ��� �( ����-� !6� � !���
�('# � "-�� * *����! �'�41*� ! �� ��!��5 � �� � � !� ��� '.
� �(4! ( �� ����� ���- ��� ��5! � ��'5�� ! ( ����!���& � *����&�
�� ��� ����!���� *��- � '������ ��� ! �����"(4! 2'��& ��.
������
% ���6 �� �5��1 & "��5 05"� � !����" ��� -!� ��"�5 � @��&"(
���� ��4! � ��(!�� !��4 �! ��� !�64M * �! � ��� !# � �����."0�
� ! ��� !��� !�� ������6���"#�� � ��(!�� ! �0����� �( ����-�.
!6 � �!��� ! �0����� ��( �! ��� !�6(�� =! ��"�5 !�" ��'5��!# (
Ψ.2���6(�� <� !��- �� ��-��� �*���"� # !��� ��'���
���"����( 2���6(��
<� ��!�� ��-�"�� ���� ��& !��� ��"��� �0"���!# Ψ.2���6(
��� & ��"#'���!# (�
"� � �@=�� ���#���� �������# 3��;��
?2����"�� � ��-�"� � ��!��5 ��& !�� ��"����& 2���6�
��� �� 05"� �5( � ��� Ψ.2���6( !# ���"!��� � ��(!�� !� !� �
� "-�� |Ψ(r, t)|2 dV ��� � "( ! � ��(!�� !# ��&! -� !6� � �" � �!
�0J �� dV � ��� !�� ! !�-� �� ��� �! �� � � t)� <� ��"#�� � ��(!.
�� !# ��&! -� !6� � .�0��# � ��� !��� !� ����� ��6 � !�
∫
V
|Ψ(r, t)|2 dV = 1. �K�A�
)5 �� " ��"����4 2���64� *��( ' �� � !��" �& � ��"��* �
@��&"(� <� �!�� �5 '�� �" �"� ��4 ��"�� � ��
Ψ(r, t) = Ψ0 exp[i
�
(pr− Et)]
= Ψp(r)e−iEt/�. �K�I�
/����� ��������� �K�A� �"( � � ��� ! 05!# � �"'������ �� ��"#��
|Ψ|2 = |Ψ0|2 = ][^_`� � �! ������ ���'���! ( �� 0 ��� -����
��� !��� !��� 7 ��'����� !# �������� �K�A� 3 �!� �01�( !��6(�
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
���� �5 � � � "� �2�!�5�� !� � � ����- ��5� � ��� !��� !� �
��� � � -� !6� % !��* "�-�(* ����(! ��� �� �05 ���������
% -� !�� !� -� !� ��"#'� ! ( ���������� �� δ.2���64�M∫
V
Ψ∗p1
(r)Ψp2(r)dV = δ(p1 − p2). �K�A ��
D� # �! ������ �5��"�( ! ( �� � �� ��� !��� !��� � δ3(q) == δ(qx)δ(qy)δ(qz) 3 K.� ���( � "#!�.2���6(� ��� � "( ��( ! � � "�.
� �� -!� �"( ���'��"#��& � �� �5���& 2���6 � ! � !� ��� � !��∫f(r)δ (r− a)dV = f(a).
,"( A.� ���& δ.2���6 �1 !�� ! �! ��"#�� �� � !��" �
δ(x) =+∞∫−∞
eiqx dq
2π.
/0�01 �( �� "�-� I.� ���& K.� ���& δ.2���6& �- ���5M
δn(r) =∫eiqr dnq
(2π)n,
� dnq 3 �" � �! ��� �*�� ! � q.��� !��� !� �� I.� ���� "�-� �
n = 2) " �0J �� �� K.� ���� "�-� � n = 3)�
? �- !�� ���'����� �� � !��" �( δ.2���6 ��������� ��� �K�A ��
�5��"�( ! ( " ��41� �0��'�� ���'�� ! (� �5 � � � ��� K.� ��5&
"�-�&�� � ��"#'�( �5��� � �K�I�� ��*���
∫
V
Ψ∗p1
(r)Ψp2(r)dV = |Ψ0|2∫
V
exp[− i
�
p1r + i
�
p2r]dV =
= |Ψ0|2 (2π�)3δ(p1 − p2).
D� # �"( ���!�� ! �5 � �5� �" �� � ���4 '�� �� !# Ψ.2���6�
�� ��"#�� �� ��� � !� ���"# �� ������4! �� �� ����! "#
exp[i
�
E1t− i
�
E2t]
�0��1� ! ( � ��6�� �' ���� �( ��"�- ���� ��.
� � !�� � "�� � �K�A �� " �� !MΨ0 = (2π�)−3/2� !�� -!� �����������
�5��� � �"( ��"�5 � @��&"( ����� ! ��
Ψ(r, t) = 1
(2π�)3/2exp
[i
�
(pr− Et)]. �K�I ��
?" �� !� ������� ����!#� -!� ��"#'���� !�� " ��� � "��(
�������� � ��"��� �"(!# �� ��� -�5& � '�"#!�! �5- " �&M ���
L-.- �"N�� ���&���� �������& 2��)K�� ��
";# ��'��"( ! ���� !!# ���� ��!�-�5 �5- " �( " ����!# 2��.
��"�� 0�" ��"(��5& ���
%5; �5 � �� �( '�� 5��" ��"�� � @��&"( � ����" � ��& 2���
������ �� �K�I��� %�'��� ! ! !� ��5& ����� M � � "#'( " ��"#'���!#
!�"#�� � & !�! "#��4 2���64� ����� �� � ��
Ψ(r, t) = Ψ0 cos[
1
�
(pr− Et)]
L �K�K�
��� 2���6( �K�I�� !�� 2���6( �K�K� �� 5��4! 0 �1 ��"�5� �� ���.
!���(41 ( ��������& 2�'���& ���� !#4 υфаз = E/p�
,"( �!� !� �� �!�! ����� �0��!� ����� �� !�� -!� � ����!���& � .
*��� �5 � � � "� ��"���5� ���" 0�! "#�5�� ���6 ���7� ���
� ��� ! &; � "�-� �����- ��� � 6""(!��� �"( � �� ��( � �0.
*���� �22 � �6�"#�� ����� � �!���� ���(��� �� �� � �� %� !
! �� � ��!� ! !� ��!��; � � � ��� � " ��� ! & �5 � ��� � ��.
���� � ��� '� �!# !�-�� �������!� -� !65 ���"# � =!� ���(�"(.
! (� � -� !�� !� � !��� -!� � !�(� �����0J �!� ����'��-�� �� �5 "
��*��� �( �� �� � " �( � ��(!�� ! &� ��"��� *����! �'���!# ( 2���.
6 & �������! �� � � 3 ��"����& 2���6 & Ψ(r, t)� <� � ��'��
� !�(�( � ����!���& � *��� � !�! � ��� � " � '����� '� � �(
�!�& 2���6 � �� � � �� % ��!� ! !� � ��'���5� �"( �� � ��'�.
�( �5 ��"��5 ��"#'���!# �� !� ��� ��-�"#�� � "�� 3 '��- �
��"����& 2���6 � ��-�"#�5& ��� �!M
Ψ(r, t)|t=0 = Ψ0(r). �K���
7� �!� �'��-� !� -!� ����� � �"( ��"����& 2���6 ��"��� �� ���!#
���'�����4 �� �� � � !�"#�� � ���� ���(���� ��5� "����� �5
��"��5 �� !# �� 5��!# ��" 0�! "#�5 ��"���5 (�" �( �22 � �.
6�"#�5� ����� �(� � ���� ���(��� �� �� � �� ?��'���� � (�"(.
! ( � ��'� ;��& ���0" ��&M �� !�!�-�� ";# � � &! � ����" � �5�
2���6(�� ?" ��41 ��� ��� �� ""4 !���4! ���6 ���� � � �(
�22 � �6�"#�5* ����� �& �!���� ���(��� �� �� � � � ����� �(�
� ���� ���(����
G� ��!������� ��5& �����- �&� 6""(!��� �� 5�� �5&�2.
2 � �6�"#�5� ����� � � �!���� ���(���
d2x
dt2+ ω2x = 0 �K���
" �����" �!��& �� ! ��& ���* ����� �& � ���� ���(���
dx
dt= ωy,
dy
dt= −ωx. �K���
%� � � ����" � ��4 2���64
z = x+ iy. �K���
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
,"( �!�& 2���6 ' �K��� � "���� ��"�-!# �22 � �6�"#�� ����� .
� � ���� ���(���
idz
dt= ωz. �K�N�
G ; � �� " �� � ����� �( !# z = z0 exp(−iω t)� -!�� ��'�� ! (�
�����" �!�� � ; �4 ����� �( �K��� �" �K����� /0��!� ����� ��
!�� -!� � ; � � ! � 6""��41& *����! �� C " 05 � � � ���'���.
��& �� �� � � �! �! !����"� ����( ��6�� !� �5 � " 05 �22 .
� �6�"#�� ����� � � ���� ���(��� �� �� � � � & !�! "#�5�
���226 �!��� 7� � !���� ����� �( ����* � ���- �* � ; �&
� �1 !�� !�
D��; � �- !�� �K��� �� �4 � 6""(!��� � -!�( � �� � �����&
��6 �� ��"#'�( "0� ���� � & !�! "#�5* 2���6& {x� y}� "0� ����
����" � ��4 2���64 zM
E = 1
2(x2 + ω 2x2) = 1
2(ω 2y2 + ω 2x2) = 1
2ω2|z |2 . �K�O�
��� '� !��� �"( �����- ��� � 6""(!��� �5��"�( ! ( '���� �.
*��� �( �� �M ��"��( �� �( E = ][^_`� !��� ��� �� !- ��(
��! �6�"#��( �� � ����'�# � �*���(4! (� � 6""��( � �� � "�* �!
B �� E� F-!( (��5& �� � ; �( z = z0 exp(−iω t)� �5 ��� ' �K�O�� -!�
�!� � ; � � & !�! "#�� ����" !���( ! !� 0����4 E = 1
2ω2|z0|2 =
= ][^_`� % !� �5 � " �� �� � 6""(!��� � ����&� �� ����" � ��&
2���6 � �� �K�N�� �K�O��� ����" !���(41 & �22 � �6�"#���� ����� .
�4 � ���� ���(��� �� �� � � ����" � �5� ���226 �!���
% ��- !� ����� ��� �� �� ��!�� �" �!�����!�� ��" � ��!�.
�� � ��� '� !��� �� 5�� ! ( ����( � �!����M � �� %� � � ����" � .
�5& � �!��
Q = E + iH. �K�AB�
? ����1#4 � �!��� Q ����� �( )�� � ""� � �0"� ! ��� !��� !��� ��.
0����& �! !���� '��(���� ���! 05!# �� � !��" �5 � �� ����� �&�
�� ���1* ���'�����4 � ���� ���(��� �� �� � �M⎧⎪⎨⎪⎩rotE = −1
c
∂H
∂ t, rotH = 1
c
∂E
∂ t,
div E = 0, div H = 0,⇒
⎧⎪⎨⎪⎩i∂Q
∂ t= c rotQ,
div Q = 0.
�K�AA�
G ; � �!* ����� �&� � 41 �� �"� ��& ��"�5� �� ! ( 2����"��
Q = Q0eikr−iω t, kQ0 = 0, ik × Q0 = ω
cQ0. �K�AA ��
<�� !5 � �� � ��"#�� ����'�� �5- " �( ����'5��4!� -!� ' ��.
" �� � ��� � !�� �5! �� ! �05-�� ��!��; � � �('5��41 -� !�!�
L-.- �"N�� ���&���� �������& 2��)K�� ��
��"����& � �!��M k2 = ω2/c2� 9��� �0��'��� �5 � " �� �� ��"(
�! ���* 2���6& �� �� � ����& �Q�� �� ����" � ��&�
? ����1#4 � �!��� Q �"�!�� !# �� � ��"( ����� '�� �!# � ��
w = E2 + H2
8π= 1
8π|Q|2 , �K�AI�
� |Q|2 = Q∗Q� � '� '��-��� ��� �05-��� �0�'��-� ! ����" � �� ���(.
� ���4 � "-���
/- ����� -!� �"( "�-�( �"� ��& ��"�5 �K�AA �� �"�!�� !# �� �
��"( �� !�(���Mw ∼ |Q|2 = ][^_`� C " ��" � !�! ' ����!�� �� � &
�ω� !� - "� 2�!���� � �" � �! �0J �� dV ���� ! ( ����5�
dN = w
�ωdV = 1
8π�ω|Q|2 dV. �K�AK�
% "-�� dN ������6���"#�� � ��(!�� ! ��&! 2�!�� � �" � �! �0J.
�� dV � -!� �����" �!�� !��� ��� � " �4 � ��(!�� !� ��!��� �5 .
��"#'���" �� �!��; �4 � Ψ.2���6�
�!��� � �0�* ��� ��* �5 � " � "� ��" 0�! "#�5� ���"���5��
��� �(�� � �0�* "�-�(* �5 � " �� �� ��� � �( �0J �!� �
����& ����" � ��& 2���6� ���-�(41 & ( ����� �4� �� ���1 ��
���'�����4 � ���� ���(��� �� �� � ��
<���� ��� � ��5* - !� 2����"#�5* ��0��� �& � ��'����� !
��"#'���!# ( !�"#�� ����& 2���6 & �"( �� ��( ��" 0�! "#�5* ���".
���5*� ���6 ��� ����� ����(��!# 2'- � ��0��� �(� % ����
� " � � !�� "�-� � ���� �" �!���5 �� 5��4! ( �"� ��& ��"��& � @��&.
"( �K�I�� �5 �� ���"��"� -!� � ��(!�� !# ��&! �" �!��� � "40�& !�-�
��� !��� !�� � "40�& ��� �! �� � � ��������� C " � �"( �� ��(
!�� � ���� � !�(�( �5 ���5!�" # 05 ��"#'���!# �"� ��4 ��"��
� � & !�! "#��& 2��� �K�K�� !� '�� !" 05� -!� � ��(!�� !#
dW ∼ Ψ2(r, t)dV = Ψ20 cos2
[1
�
(pr− Et)]dV �K�A��
� �( ! ( �! !�-� � !�-� � "0� �� 2� �������& !�-� � ! - � � �� .
� �� =!� "; �� �5 "�� �� ��"#�� � �� !�-� 2'- � �- �
� �!"-�4! ( � ! ����* � �����& �"( !��� -!�05 � ��(!�� ! �0��.
��� �( �" �!���� � * ��� !�� ! �!"-�" #� 9�-�� !�� � � ! ����*
� �����& �"( !��� -!�05 � 2� �������& !�-� � ��(!�� !# � �("� #
� �� � � �� ��� �!� " �� ! ' �K�A��� /����� �� ��� � � 6""(!���
�" �!�����!��� ��"( �5 �� "� ��� �0�&! �!� ���0" ��M �� !�!�-��
��"#'���!# �� 2���6 �� !� ����&M
Ψ1(r, t) = Ψ0 cos[
1
�
(pr− Et)],
Ψ2(r, t) = Ψ0 sin[
1
�
(pr− Et)],
�K�A��
�N ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
�����( ' ��!��5* �� 5�� ! �������5 0 �1 ��"�5� !�"#�� � ��.
��!5� �!�� ! "#�� ��� ���� 2�'��� 9��� � ��(!�� !# " �� ! '��.
5��!# � ��
dW ∼ [Ψ21(r, t) + Ψ2
2(r, t)]dV. �K�A��
7� �!� �� !� � ��� � -!� ��"#'���!# ���� ����" � ��4 2���64
Ψ(r, t) = Ψ1(r, t) + iΨ2(r, t) =
= Ψ0 exp[i
�
(pr− Et)], dW ∼ |Ψ(r, t)|2 dV. �K�A��
<� � !��" � � Ψ.2���6 ��� ���"!�� � ��(!�� ! �����! �
� ��!��5� ����"#�� � !�� ����- �(�� ���"��5�� �5� �� ����.
!�5 ��& !��� <� ��"#�� � "-�� |Ψ(r)|2 dV ��� � "( ! � ��(!�� !#
��&! -� !6� � �" � �! �0J �� dV � ��� !�� ! !�-� � ! � !�
� "�� �������� �K�A�� !� 2���6( |Ψ|2 ��"��� 05!# �! ��� ��&�
<� ��!��� ���� �� �!�� � "��(� ��"��� ����" !���(!# Ψ.2���6(�
,��� !�� -!� �!� 2���6( � � ��!���& !�-� x0 � � ! 0( ���
Ψ(x) ∼ (x− x0)β. �K�AN�
9��� *���� !# �! ��"� �K�A� �'��-� !� -!� β > −1/2� 9��� �0��.
'��� Ψ.2���6( ��� ! !� �!# ( � 0 ��� -�� ! � �!� "#�5* !�-��*� ��
� ";��� 05 !��� ���"�-�5 ����- �( ����� ��"�-!# � "�-�
I.* K.� ���� ��� �(�
% � & !�! "#�� ! ����- �( ���'5��4! (� ��� ����"�� 0�" "#.
�5�� % -� !�� !� '� �"4- � � � �05* "�-� � ��"����( 2���6(
��"��� 05!# ����- ���& � 4�� 1)� ���� !��� " ��! �6�"#��( �� �.
( � �� ! �� �� ! 0 ��� -�5* ��-��� � ��� !��� !� � !� 2���6( Ψ(r)
���'5�� ! ( � !��� � � �� �5���& 3 ��� -�5 ��-� ���! �� ! �� .
��!# ";# ���'����5 �� �������!��� =!� " �� ! ' ����� �(c� .
�� ��� ��!����� ���-�( ! ( ��"����( 2���6( ��!��� 0�� ! �� .
� �� �� �
"��� ���;�� �3�����2�;��
/���' ���� &;*�� !�"�!�� ����!���&� *��� (�"( ! ( ���6�
�� ���'6�
@�� � *��!# ' ���"� ��"����& ��!��&� ��� '� !��� �
��!� ���6� �� ���'6 �'��-� !� -!� " � � ��!���4 �0"� !#
1) %��=�� ��,- � ���- ?� � � � +� �)�), � ����? - ���5� � 5����B � �
��1� ���� ���������� ��1�B -�� - ���5 =,��� �=� �,4�� ) ��� �����������
�����1� ?8�1� 5����
L-0- '(��K�: ��:�(:�*�K�� �O
��� !��� !�� ������4! ��"�5 �! � ��"#�* !�-����� !� ����(� ���.
! * �" �!�- ��� ���!��� ��" & �"��5��4! (M
E =∑
i
Ei, H =∑
i
Hi. �K�AO�
����� ' "�� �5* � ��� � '�� ! �! !��� � 4! ( " ��� ."0�
��� "�� �5 �����5 * '��- �(� �� ��� ���6� �� ���'6
�K�AO� �����! � ��"-4 !�-�5* ��"���5* (�" �&3 �! �2 � �6
�2���6 ��"��
9�� ���4� 43 �������� ���"!�� � ��(!�� ! "Ψ. 2���.
6&3�5 ��"#'���" � "�� I �"( �0J( � �( �1 !�����( ��"���5*
��& !� ����-� !6� 9 � �#� �����"��( ��!- ��4 ���"�4� �5 ��� �
2����"����!# ���6� �� ���'6 � ����!���& � *��� �
,��� !�� -!� ����!���( ! �� ��� ! ��*��!# ( � � !�(�(*� ��.
5�� �5* ��"���5� 2���6(� Ψ1, Ψ2, . . . , Ψn� 9��� ��� ��� ! ��*�.
�!# ( � � !�(�� �� 5�� ��� ��"����& 2���6 &
Ψ =n∑
i=1
CiΨi, �K�IB�
� Ci 3� ��!��5 ����" � �5 �� !�(��5 � ��� � "(41 ���"!���5
2�'��5 ��!��; �( � ��� ������ �!�� �� ���'6� C " � !�.
(�( �!"-�4! ( ��� �! ���� ��"�� !� �!� ���� � � *��! � �! ��"�
% �!�& �� " �� & 2��� �5 �� ��"#'���" # ���6��� �� ���'6�
��'"��( Ψ.2���64 � �! ��" 8��# �� �"� �� ��"��� � @��&"(�
?�5 " ���226 �!��Ci � �� � !��" � �K�IB� ��� � "( ! ( ! �� -!�
� ��(!�� !# � � '�"#!�! '� � �( ��&! ! �� � � !�(�� �� 5�� .
��� 2���6 & Ψi� ������6���"#��
Wi ∼ |Ci|2 . �K�IA�
C " �5 ��"#'� � �����"#��4� ��������� � ��(!�� ! &M
∑i
Wi = 1, "
n∑i=1
|Ci|2 = 1,
!� �� !� �K�IA� " �� ! � �!#
Wi = |Ci|2 . �K�II�
9��� �0��'��� ���226 �!5 Ci ����� �� ��!���!# ��� �"#! �.
��!��� �� � !��" � ��"����& 2���6� � ��!���� �� ��!��� ! (
� ��� !��� !� ��� ��������!�� � �� �� � " � � ��(!�� !� � �� �� .
� " � � ��(!�� ! & �� � !�(�(� i� <� �!�� ����� �!� ����!# " ��.
41 � C " �50����5& ��0�� � !�(�& (�"( ! ( ��"�5� � !�� �5 " �
�B ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
-!� � �����& ���� ����* �5* � !�(�& 05!# � ��� !� !�∫|Ψ|2 dV =
∑i
|Ci|2. �K�IK�
% ��! ��!� �!� ��� � !�� '� !�� ��� ��� � !�� <�� ��"(�
% ��- !� ��� ��� ""4 !���41 � ��'���� � '�� !�� -!� ���2.
26 �!5 8��# .��'"�� �( �05-��& ��"����& 2���6∫a(p)eipr/� d3p
(2π�)3= Ψ(r),
∫Ψ(r)e−ipr/�dV = a(p)
��4! ���� ' �� � !��" �& ��"����& 2���6M a(p) !# ��"����( 2���.
6( � p.�� � !��" �� % -� !�� !� � !�(�4 ��� � " ��5� ���"#.
�� p0 �!� -� ! ��"����( 2���6( a(p) = (2π�)3Ψ0δ(p − p0)M ��� !#
�"#! ���!��� �� � !��" � �"� ��& ��"�5 � @��&"( Ψ = Ψ0eip0r/�
��� � ���& ����! "# �"( ���!�� ! ���1 ���
�' ��� � !�� �K�IK� ����� ��"�-!# ���� ����� ��!��; � � ��'��.
"(41 ��*��!# ���226 �!5 Ci� � ��"#'�( �� � !��" � �K�IB�� � .
� �; � �K�IK� � ��
n∑i=1
C∗i Ci =
∫Ψ∗ΨdV =
∫ (∑i
C∗i Ψ∗
i
)ΨdV =
∑i
C∗i
(∫Ψ∗
i ΨdV).
?������( ��-�"� ��� 6 �!�& 2����"5� ��"�-� �
Ci =∫
Ψ∗i ΨdV. �K�I��
�!��� -!�05 ��&! �� � i.� � !�(�( Ci � ��"��& ��"����& 2���6
�� !�!�-�� �5- "!# �! ��" �K�I���
7���� 6� � !����� ���� ����� ��& !�� ��"���5* 2���6& Ψi� ,"(
�!�� � � �; � ��!��; � �K�I��� �� ��"#'����; # ��� � !��� �K�IB�M
Ci =∫
Ψ∗i ΨdV =
∫Ψ∗
i
(∑k
CkΨk
)dV.
%��� ���'��"#�� ! ���226 �!�� Ci �! 4�� ��'� '��"4-� �� -!�∫Ψ∗
i ΨkdV = δik, �K�I��
� δik 3 ��-�5& ���" ���� � ��� ����5& ��"4 �� i �= k ��6
�� i = k �� "�-� � �� �5���� � �!�� � !�(�& i �!�! ���" �����
�����!# ��� δ.2���64��
L-L- 1�(� ����� �A
G�� � !�� �K�I�� �5���� ! �������� ��������������� ��"���5* 2���.
6& ��'"-�5* � !�(�&� =!� ��& !�� *���;� '� !�� � ��!� M ��
"�� � � �� � �!�5* ��"�� !� � ��"�� �!"-�41* ( -� !�!�&� �! �.
��� !# ����� ��� �! � ��� ! & �"��5�� �5* ��"�MI = (A1 + A2)2 = (A1)2 + (A2)2 = I1 + I2, �K�I� ��
�! �2 � �6���5& � -" � �0��1� ! ( � ��"#M2A1A2 = 0. �K�I� 0�
"�"� ����������
%� � � ! � �# ���(! � �� � '��- �(� 9 ��( � ��(!�� ! ��� � .
"( ! � �� '��- � ����&.!� � �� �5���& "�-�&��& � "-�5 ξ� �0�.
'��-� �� ���"�� 〈ξ〉� �! ��"��
〈ξ〉 =∞∫
−∞ξw(ξ)dξ. �K�I��
D� #w�ξ�3�"�!�� !# � ��(!�� !�% "-��w(ξ)dξ !# � ��(!�� !# !�.
�� -!� "�-�&��( � "-�� ξ '��"4- �� � �� � "�* ξ ÷ ξ + dξ�
��� �5 �5( �"� �� @����
w(x) = |Ψ(x)|2 = Ψ∗(x)Ψ(x). �K�IN�
<� !���� ��� � " � w(x) ���0��& ���'�"� # '�� # � �� � '��- �(�
�����" �!��( �K�I��M
〈x〉 =∞∫
−∞x |Ψ(x)|2 dx =
∞∫−∞
Ψ∗(x)xΨ(x) dx. �K�IO�
���"�-��� ����� ��
〈xn〉 =∞∫
−∞Ψ∗(x)xnΨ(x) dx.
"�$� ���������
)�! ��!- �& ������! ����!���&� *���;���� ��"#'� ! �0J �.
!5� ��'5�� �5 �� ��!�����% �01 ���� � " �� �&�� ��!�� L����.
'5�� !� ���� �0��'�� �����&2���6u(x) ' � ��!���� �"� � ��� !��.
"( ! ( ����( 2���6( υ(x)� ?���"- � �!� '�� 5�� ! ( " ��41�
�0��'��M
Lu(x) = υ(x). �K�KB�
�I ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
D� # ��� L ��� ! �����!# ( � � -!� ������ "40�( �� ��6(� 7���� ��
����� � !# � ��� �� ��64 ����� �( �� x �L = x�� �22 � �6����.
�( �� x �L = ∂/∂x)� '�" - �( ����( �L =√
� !� ��
�' � � �����0��'( �5 "�5* � ��! ��!� �� ��!���� � ����!���&
� *��� ���!� 0"(4! ( ��� ����"� �� ��!��5 !�"#�� ����� �"� � 3
!�� ��'5�� �5 "� &�5 ��� ���(� ��5 ���- ����(� ���!��5� �� .
��!��5�
/� ��!�� ��'5��4! "� &�5�� " �� �0"��� ! ! � ��& !���� -!�
L(c1u1 + c2u2 + c3u3 + . . . ) = c1Lu1 + c2Lu2 + c3Lu3 + . . . , �K�KA�
� c1� c2� c3� . . . 3 ���'��"#�5 �� !�(��5 � � u1� u2� u3� . . . 3 ���'.
��"#�5 2���6� /���- � !�"#�� "� &�5� �� ��!���� �5! �� !
' ���6�� �� ���'6 � !�(�&� b ��� -!� ��& !�� "� &�� ! �� .
��!��� �'��-� !� -!� � ��� � � � �� ���'6 ��"���5* 2���6&
�����" �!�� �� ���'6 � '�"#!�!�� ��� � �( �!�� � �� ��!��� �
�����& ' ��"���5* 2���6& ����'�#�
/� ��!�� L+ ��'5�� ! ( ���!��� ���(� ��5� �� ��!��� L� "∫u∗1(Lu2)dV =
∫(L+u1)∗u2dV, �K�KI�
� �! ������ �� ��� !��� �� �� � & ��'� ; ���& �0"� ! '� � .
�( � � � ��5*� /- ���� ��& !�� (L+)+ = L�
+� &�5& �� ��!�� ��'5�� ! ( ��� ���(� ��5� �" ���!��5���
" L+ = L� !� � � ! � !� ��� � !��∫u∗1(Lu2)dV =
∫(Lu1)∗u2dV. �K�KI ��
D�� !� !��� � -!� �� ��!�� L� ����" !���(41& � "��4 L+ = −L�
��'5�� ! ( ��!���!��5��
% ��- !� ��� �� �� ��!�� �� ��!�� L = −i ddx
� %� � � �� ���.
�" � ��'��-�5 2���6 u1(x) u2(x)� ��!��5 �22 � �6�� �5 ���.
�" !���(4! � "��4M u1, 2(x) → 0 �� |x | → ∞� 9���
+∞∫−∞u∗1(x)
(Lu2(x)
)dx=
+∞∫−∞
u∗1(x)(−i d
dxu2(x)
)dx=
=−i+∞∫−∞
[d
dx(u∗1(x)u2(x))
]dx+ i
+∞∫−∞
[(d
dxu∗1(x)
)u2(x)
]dx=
=−i [u∗1(x)u2(x)]x=+∞x=−∞︸ ︷︷ ︸
=0
++∞∫−∞
[(−i d
dxu1(x)
)∗u2(x)
]dx =
+∞∫−∞
(Lu1(x)
)∗u2(x)dx.
L-3- �:�(���(+ �K
9��� �0��'��� ����5& �� ��!�� (�"( ! ( ��� ���(� ��5�� D�� .
!�� -!� 0 ' ����! "( i �!�! �� ��!�� �� � 05" 05 ��� ���(� ��5�
�� (�"(" ( 05 ��!���!��5���
+� &�5 �� ��!��5 ����� �"��5��!#M
L1 + L2 = L,
� ( � ��� � '�"#!�! � & !�( �� ����4."0� 2���64M
L1u+ L2u = Lu.
/� ��6( � � ���� �( �� ��!���� L1 L1 '��� ! �� ��!�� L = L1L2�
� & !� ��!���� ��� � "( ! ( ��� � '�"#!�! �� " ����! "#��� ��� � .
�( �� ��!���� L2 L1 � � ��!���& 2���6M
L1L2u = L1(L2u).
% �01 � "�-� � � ���� � �� ��!���� � �����!�!��� ����(���
" �����( �� ��!���� � ���'� � � ��� ��� �� ��"#�� � & !� �� ��.
!���� L = L1L2
˜L = L2L1 �� 2���64� ���01 ����(� ��'"-��M
L1(L2u) �= L2(L1u).
=!� !����! ( �- ���5�� "� ����� �� L1 = x� L2 = d/ dxM
L2(L1u) = d
dx(xu) = u+ x
du
dx, L1(L2u) = x
d
dx(u) = x
du
dx.
7 !����� � !����!# ��& !�� ���'� � �( �� ��!���� �!�� ! "#��
�� ��6 ���!��� ���(� �(M
(L1L2)+ = L+2 L
+1 .
% ���� � " � ����& !����5�
∫u∗1(L1L2u2)dV =
∫[(L1L2)+u1]∗u2dV,
� ����& !����5�
∫u∗1(L1L2u2)dV =
∫(L+u1)∗(L2u2)dV =
∫(L+
2 L+1 u1)∗u2dV.
?������( ����5 -� ! ��"�- ��5* ��� � !�� ��*��� � � "������
�!� ��� �4�
����!���( � *���� �� !�"�� !� -!� �����& 2'- ��& � "-� f
��!� ! !�� ! � �& "� &�5& ��� ���(� ��5& �� ��!�� f � !���&� -!�
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
� �� '��- � � "-�5 f � ��&� ��� � ���6 �������!�5* '� .
� �&� �����
〈f〉 =∫
Ψ∗fΨdV∫ |Ψ|2 dV. �K�KK�
% �!�& '�� �5 � �� ���"��"� -!� Ψ.2���6( ���."0� �����������
-!� ���� ���0�� �� ����!- �* �5- " �(*� C " � �5��"�( ! (
� "�� �������� �K�A�� !� �� !� �K�KK� �5 0�� � � !# 0�" ��� !�4
'�� #M
〈f〉 =∫
Ψ∗fΨdV. �K�KK ��
<� " �� ��!��; � ��'��"( ! ���(!#� ��- �� ��"��5 ��"#'�.
��!# ( �������������� �� ��!��5� % ���� � " � �� �0��'� � �K�KK ���
�� ���"��(� -!� �� ��!�� f ��� ���(� ��5&M
〈f〉 =∫
Ψ∗(fΨ)dV =∫(fΨ)∗ΨdV.
? ����& !����5� ���'� � � ����" � �� ���(� � � �K�KK ��M
〈f〉∗ =∫(Ψ∗fΨ)∗dV =
∫Ψ(fΨ)∗dV.
+ �� ��� !#� -!� 〈f〉 = 〈f〉∗� =!� �'��-� !� -!� � "-�5� ��.
5�� �5 ���!��5� �� ��!����� (�"(4! ( � & !�! "#�5�� <� " �.
� (�"( ! ( � �0*���5� � "�� �� �� �J(�"( �5� � 2'- ��
� "-����
"�'� ��@�������� 2��4���! � ��@�������� 3��;��
,��� !�� -!� 2'- ��( � "-�� f ��� ! �����!# '��- �( fi�
� "� fi ��'5��4! ( �� �������� ��������� � "-�5 f � <� !# � !�.
(�4 ����!���� *��- ��& ! �5� � ��!���� � �"'� ! ( ���� ."0�
����� !�� '��- � � "-�5 f � f = fi� �!� -� ! ��"����( 2���6(
Ψ = Ψi� 8���6 Ψi ��'5��4! ( �� �������� )��(��� � "-�5 f �
<� �� �� �5 "� � �� '��- � � "-�5 f � � !�(� ��"����&
2���6 & Ψi ������ ! fiM
〈f〉 = fi.
% �01 � "�-� � � ��!� ! !� ���6��� �� ���'6� ��"����(
2���6( ���'��"#��� � !�(�( ��� ! 05!# �� � !��" �� � ��
Ψ =∑
i
CiΨi. �K�K��
L-6- Q�"������+� *��$���/ � ��"������+� 2��)K�� ��
?�"� �� �K�II� � ��(!�� !# ��&! �� '� � � � "-�5 f '��- .
� fi ����� W (fi) = |Ci|2� !�� -!� � �� '��- � � "-�5 f ��� !
05!# '�� ��� � ��
〈f〉 =∑
i
fiW (fi) =∑
i
fi |Ci|2. �K�K��
%� ��"#'� � ( 2����"�& �K�I�� �"( ���226 �!�� C∗k M
〈f〉 =∑
i
C∗i (fiCi) =
∑i
(∫ΨiΨ∗dV
)(fiCi) =
∫Ψ∗
(∑i
fiΨiCi
)dV.
�K�K��
? ����& !����5� '��; � � & !� "� &��� �� ��!��� f �� 2���.
64 �K�K��M
fΨ =∑
i
CifΨi. �K�K��
% �����( ��� � " � � �� � '��- �(
〈f〉 =∫
Ψ∗fΨdV
������( �!� ��� � !�� �K�K�� �K�K��� '��"4-� �� -!�
fΨ =∑
i
fiCiΨi. �K�KN�
C " �5 '��-�"#�� � � � "� � !�(� �� �!� -�41� �0 !� �.
���� '��- �4 fi ��"����& 2���6 Ψ = Ψi� !� ' �K�KN� ��"�-�
fΨi = fiΨi. �K�KO�
=!� �'��-� !� -!� � & !� �� ��!��� f �� ��"����4 2���64 Ψi ���! (
� ����� �4 �� �0 !� ��� '��- � fi�
G�� � !�� �K�KO���������-!�!# �5��0��'��M '��( '���� �� �� .
��!��� f � ;� ����� � �K�KO� ��� � " ��5� ��� �5� � "��(��
����� ��&! ��� �0 !� ��5 '��- �( fi� !�� �0 !� ��5 2���6 Ψi�
7 !����� �0 �!# (� -!� � � !�(�� �!� -�41 � �0 !� ���& 2���.
6 Ψi �� ��!��� f � � �� '��- � ������ ! ��!� ! !��41� �0.
!� ��5� '��- � � �� ��!��� f � % ���� � " � ��"��( Ψ = Ψi ��"#.
'�( ��� � " � � �� � �K�KK�� ��"�-�
〈f〉 =∫
Ψ∗fΨdV∫Ψ∗ΨdV
=∫
Ψ∗i fiΨidV∫
Ψ∗i ΨidV
= fi.
�D� # � �� ���"��"� #� -!� ��"����( 2���6( ������������
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
�!��� �� ������ �� !�"�!� ����!���& � *��� �����& 2'- ��&
� "-� !��! ( � ��!� ! !� � ��!��5& �� ��!��� ��'��"(41& ��.
��1#4 �! ��"� �K�IO� ��� � "!# � �� '��- � �!�& � "-�5�
,���& �� !�"�! ����!���& � *��� �!� ���� !� -!� ! ��!��; �(�
��!��5 �"� - ��( � *���� '�� ! �"( ����� ���- �* 2'- �*
� "-�� � ��5 ��� ��!��; �( � ��� ����!���� *��- �� � ���
'��- �(�� 7� ('5� �" 0�5 �� ��!���� �!� �'��-� !� -!� �"� - �
��!��; �( ��"��5 �5��"�(!# ( �"( �� ��!���� ��!� ! !��41* � ".
-�� =!�! �� !�"�! �����" �! � ���6�� ��!� ! !�( 7� @���� (�"( ! (
� ����&� �� ��"�� !#4 �����������& 2����"�����&�
%!���&�� !�"�! �� ! ��� ��'����� !# ��� �!# � ����5 �� ��!��5�
" !�"#�� � '�05!5 �"� - � ��!��; �(�
7�&� � �� � ��!��5* ���� &;* �� ��!�����
7�-� � �� ��!��� ���"# �� ��� �5 �� '�� �� � !�(� ����-�.
!65 ��� � " ��5� ���"# �� �� 5�� ! ( ��"��& � @��&"(
Ψp = Ψ0 exp[i
�
(pr− Et)].
+ �� ���� �!#� -!�
∂Ψ
∂x= i
�
pxΨ, или − i�∂Ψ
∂x= pxΨ.
���"�-�5 ��� � !�� �5��"�(4! ( �"( � !�"#�5* �������!� % � .
'�"#!�! ����� '�� �!#
−i�∇Ψp = pΨp, �K��B�
� �5 ��"#'���" � �!���5& �� ��!�� ���0"��
∇ = i ∂∂x
+ j ∂∂y
+ k ∂
∂z. �K��A�
?������( �K��B� �K�KO�� ����� '��"4-!#� -!� �� ��!�� ���"# �
� ! ��
p = −i�∇. �K��I�
��� 05"� ��'��� �5; � �0 !� ��5 2���6 ����� ��&! *��( '
��� �� ��!���� ,"( ��� �� � ;� ���� !���4 �0��!��4 '���-�M ��&� �
Ψ.2���64 � !�(�(� � ��!���� ���"# -� !65 � ! ��� � " ���
'��- � � ,"( ���"# � � ��!� ! !� �K��I� ����� � �K�KO� � ����.
� ���� "�-� '�� 5�� ! ( ���
−i�∂Ψ
∂ x= pxΨ.
G ; � �!�� ����� �( �- ����M
Ψ(x) = Ψ0 exp[i
�
pxx].
L-6- Q�"������+� *��$���/ � ��"������+� 2��)K�� ��
)5��"�-" �"� ��4 ��"�� � @��&"(� ��� ��"��� 05!#� /0�01 �
�� !� *� ��5& "�-�& � �� � !��"( ! !�����
9 � �# � !����� �� �� ��!��� �� !- ��& �� �� ,"( ��� �(
���"# � x �� !- ��( �� �( T -� !65 �� 5 m �('��� ���"#.
�� px� ��� �!� *���;� '� !��� 2����"�&
T = p2x
2m.
?��!� ! !� ��� �"( �� ��!��� �� !- ��& �� � ��"�-� � �5��� �
T = p2x
2m= 1
2m
(−i� ∂
∂x
)(−i� ∂
∂x
)= − �
2
2m
∂2
∂x2. �K��K�
D� # p2x = (px)2 3 �!� ������! �� ��!���� !� � �� " ����! "#�� ������!.
�� ��� � � �� ��!��� px � 2���6M p2xΨ = px(pxΨ)� % !� *� ����
"�-� �� ��!�� �� !- ��& �� � '�� 5�� ! ( " ��41� �0��'��M
T = p2
2m= 1
2m(p2
x + p2y + p2
z) = − �2
2mΔ, �K����
� Δ = ∇2 3 �� ��!�� +��"� �� " "��"� ��� � 41& � � ���!��5*
�������!�* ��Δ = ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2. �K����
�' 2����"5 �"( � �� � '��- �( �������!5 �K�I��� �5! �� !� -!�
�� ��!�� �������!5 !# ��� �������!�M
x = x. �K����
/! 4��� � ��!� ! !� � �!��5� �� !�"�!��� � � �" ��� " �� !� -!�
�� ��!�� "40�& 2���6 �������!5 !# ��� �!� 2���6(� <��!��� �"(
��! �6�"#��& �� � U = U(x, y, z)� (�"(41 & ( 2���6 & �������!�
� �
U = U(x, y, z). �K����
7���� 6� �"( ��"��& �� �H = T + U ��"�-� �
H = T + U = − �2
2mΔ + U(x, y, z). �K��N�
% � *��� �� �( ! �5H � �5��� ���( - � ' �������!5 ���"# 5�
�� ! ��'��� 2���6 >��"#!���� ?��!� ! !��41& ����!���� *��.
- �& �� ��!�� ��'5�� ! ( ��������� ,�������� " �����������
���<���� �� ��!� ��5* �� ��!���� ��" '�5� ���'5�� ! ( �� ��!��
��"��& �� �� ��!��5& 2����"#�� ����� �� ! " ��41� �0��'���
� ��"#'� � �5��� � �"( ��"�5 � @��&"(� �� 5��41 & � !�(�
��� � " ���& �� � &M
∂Ψ
∂ t= ∂
∂ t
(Ψ0 exp
[i
�
(pr− Et)])
= − i
�
EΨ, или i�∂Ψ
∂ t= EΨ.
�N ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
/! 4�� �� � ����� �K�KO� '��"4-� �� -!�
E = i�∂
∂ t. �K��O�
?�5 " �� � ���� �� ��!��� �� � ���(�"( ! ( � �0 ��� (��� !����
���� �5 � � &� � � � "(!� ! ��4 �0"� !#� � ��!���& �� �( ���"#
�� ��!���4! ( ����0��'�� ��� ������ �!5 �.� ���� � �!���
p≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (p0, px, py, pz) ≡ (E/c, p).
< � *��( '� # � �� ��!����� ��"�-� p = (p0, px, py, pz) ≡ (E/c, p)�
<� �!��
pi = i�∂
∂xi=
(i�
∂
c∂t, i�∇
), pi = i�
∂
∂xi
=(i�
∂
c∂t, −i�∇
).
/����� ��� � � � "(!� ! ��& !��6 ��"#'���� �� ��!��� E
��� ! ���'�!# ( ��" '�5�� ��'��"(( � !����!# � ��!��5 '������ ���.
!�<� *��� ��"#� &; � '"�� �( ��� ������0! ( �� ��!�� ��� �!�
��"- !�� ��� �( ���� �!� ���"# � " �"���� ��� �!�� L� /!!�".
��� � (� ��� �5; � �! �"� - ��� �5��� �( �"( ��� �!� L = r×p
��� � �!����� ���'� � �(� 1) ������ �!5 �!�� � �!��� ����5
Lx = ypz − zpy, Ly = zpx − xpz, Lz = xpy − ypx. �K��B�
% ��!� ! !� � �!��5� �� !�"�!��� �� ��!���( �!� ��� � !�� ��� �� .
��!���� � ��"�-� �
L = r× p = −i�(r×∇). �K��A�
������ �!5 �!�� ���"- ��� ��� ��!������ � �!��� ����5
Lx = −i�(y∂
∂z− z
∂
∂y
),
Ly = −i�(z∂
∂x− x
∂
∂z
),
Lz = −i�(x∂
∂y− y
∂
∂x
).
�K��I�
<� � ; � �(�� '���- 05�� ! ��" '�� � � &! �! � ���!��5* ��.
�����! {x, y, z} � 2 �- �� {r, ϕ, θ}� � r 3 ���� .� �!��� θ 3
;��!�5& ��" ���" � !��� � ϕ3 ��"�!�5& ��" ��'��!� : �� � � K�AM
x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ. �K��K�
1)7 ���) � � 1� �� )� �=�+� - �) �������� ����+������ ��)���) ;×<
L-6- Q�"������+� *��$���/ � ��"������+� 2��)K�� �O
%� ���* '���-�* �5� " ��5� ������" � � -!�4! � # z� ?��!.
� ! !� ��� �����4 ��"# ���0� !� ! z.������ �!� ��� �!� ���"# � Lz�
z
x
y
�
�
r
2�� �� ��� ���� � �����D
-����� ������� ��
< � �; � �� ��!��� �!� -�41& �!�& ���.
��� �! �"���� ��� �!�� � 2 �- �* ��.
�����!�*� �"( - � ���'� � � '�� �� � � .
� ��5* � �� ��!�� Lz �� 2����"�� �K��K��
D� #� ������� ���0� ���� ! �5- " �(
� �0��!��� ������" �M
∂
∂ϕ= ∂x
∂ϕ
∂
∂x+ ∂y
∂ϕ
∂
∂y+ ∂z
∂ϕ
∂
∂z=
= −y ∂
∂x+ x
∂
∂y= − 1
i�Lz.
9��� �0��'��� ��"�-� �
Lz = −i� ∂
∂ϕ. �K����
<�� � � 1 0 ' �5���� �� ��!�� ������!� ��� �!� ���"# �M
L2 = L2x + L2
y + L2z = −�
2Δθ, ϕ;
Δ θ, ϕ = 1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ ∂
∂θ
)+ 1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2.
�K����
D� # �� !�� ���� ! ����"" "# �5��� � � �"( �� !- ��&
�� �� ��!��� ��� ! 05!# ��'0!� �� ��� "�� �5*M ���� �!� -� !
����"#���� ��� �4 -� !65� � �!��� 3 ���1 �4 ����� 6 �!��
'�����5� '��- � � ��� �!� ���"# � �M
T = p2
2m= p2r
2m+ L2
2mr2. �K����
< � &� � '� # � �� ��!����M
T = − �2
2mΔ = − �
2
2mΔr − �
2
2mr2Δ θ, ϕ. �K����
% �!�� �5��� � �5 ��'0" "��"� �� �� ����"#��4 �"���4 -� !M
Δ = 1
r2
∂
∂ r
(r2
∂
∂ r
)︸ ︷︷ ︸
Δr
+ 1
r2
[1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ ∂
∂θ
)+ 1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
]︸ ︷︷ ︸
Δθ, ϕ
. �K��N�
% �� � ( ! � �# ���� � �1 !�� ����� �� % ����!���& � *��� 2.
'- � � "-�5 �('5��4! ( ��� ����� �� ��!���5� ��� � !����
�B ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
� � - "��5�� %�'#� � �"( ��� �� ��"#!���� H = T + U(r)� T == p2
/2m� )5 � ��� �� ������� '�� �!# - "��� ��� � !�� �"( ��"��&
�� �� ����0�� !���� ��!��� � ! � !� � �"� - ��& � *��� M
E = H(p, r)� *�!( 05 ��!���� -!� � ����!���& � *��� � ��'����� ����.
�� � ��� !�-�� '� �!# �������!� ���"# � ��� � "(41 � "-��
�!�& �� �� 7� " �5 �5- "� � ��
〈E〉 =∫
Ψ∗EΨdV,
〈H〉 =∫
Ψ∗HΨdV =∫
Ψ∗ p2
2mΨdV +
∫Ψ∗U(r)ΨdV =
⟨p2
2m
⟩+ 〈U〉 ,
!� ����� -!� ' ��� � !�� �� ��!���� " �� ! ��� � !�� � ��* - " �.
�5* '��- �&M
〈E〉 = 〈H〉 =⟨
p2
2m
⟩+ 〈U〉 .
,"( �"� - �* �0J �!��� ���� � ��� � " ��� ! �������! �.
��"# �� � �1 !� ��5� �� � 0� �����"5� �� �� � " �( � ��(!�� ! &
�- �# �'�� ��'0�� '��- �& �� � 0� ��� ��"� �5 ��� � � ��& ����.
��! '�� �!# ������!�� � �� �� � � �� 3 ��� '��- � �� 9���⟨p2
2m
⟩= p2
2m, 〈U〉 = U ⇒ 〈E〉 = E.
"�*� �=� � ������)���� ����������������#
��� �� � �������!�� ����"� #� � ��!��5 2'- � � "-�5
� ���! ������ � ��� � !# ��� � " ��5 '��- �(� 7���� �� ���.
65 !�-�� ! ������ � ���� '� � �( �������!5 ���"# � ��� � "(.
4! ( ��!��; � � � ��� � " ��� ! & ΔxΔpx ∼ h� ? ����& !����5�
�� !- ��( �� �( ���"# -� !65 ���! ������ � ��� �����!#
��� � " ��5 '��- �(� %�'��� ! ����� M !# " �� �0 '���� � 0 '
"���5* �5- " �&� � !����!#� ���! " ��� ."0� �� 2'- �
� "-�5 � !# ������ � ��� ��� � " ��5 '��- �( " �"( �* �1 .
!��4! � ��!��5 ��!��; �( � ��� � " ��� ! &L
�!�05 �!� !!# �� �!�! ����� � ��� ������0! ( �0J �!� ��'5�� �5&
�����!�!���� �� ��!����� <� !# � 4! ( ��� �� ��!��� A B� 9��� *
�����!�!���� ��'5�� ! ( �� ��!��
K = [A, B] = AB − BA. �K��O�
/� ��!��5� �����!�!�� ��!��5* ��� � ��"4� ��'5��4! ( �����!��4.
1� ��� ������
D�� !�� -!� �����!�!�� K = [A, B] ���* ���!��5* �� ��!���� A
B (�"( ! ( ��!���!��5�� !� � K+ = −KM
[A, B]+ = (AB − BA)+ = B+A+ − A+B+ = BA− AB = −[A, B]
L-9- YN� � ������8���� ���:(� ���������& �A
��-! ��� -!� A+ = A� B+ = B)� /����� �� ��!�� C = i[A, B] �� (�"( ! (
���!��5� �C+ = C)� �� ��"#�� �� ��6( ���!��� ���(� �( ��"4-� !
� 0( ����" � �� ���(� � M∫u∗1(i[A, B]u2)dV =
∫(−i[A, B]+u1)∗u2dV =
∫(i[A, B]u1)∗u2dV.
������ � ��� � !# ��� � " ��5 '��- �(� !� �����!�!�� * �� ��.
!���� ��� � ��"4�
,���'�! "# !�� �!�& ! �� �5 �� !�!�-�� ��� !� � % ���� � " � �� !#
� "-�5 A B ������ � ��� '� ��5� G� ��!�� ���� ."0� � !�(.
� � � ��!���� �! � "-�5 � 4! ��� � " ��5 '��- �(� <� !# �!���
� !�(�4 �!� -� ! ��"����( 2���6( � ��� 05"� ����'��� �5; � �"(
�!�& 2���6 �� ��!���� A B ���� �"�5 ��!��; �(
AΨ = AΨ, BΨ = BΨ.
9��� �����!�!�� ��� � "! ( ' " ��41* ��� � !�M
[A, B]Ψ = A(BΨ) − B(AΨ) = A(BΨ) − B(AΨ) =
= BAΨ −ABΨ = (BA−AB)Ψ = 0,
�!���� " �� !� -!� [A, B] = 0�
C " �����!�!�� �!"- � �! ��"(� !� !�� � "-�5 � ���! � !#
������ � ��� ��� � " ��5 '��- �(� % '���- AI � ��'� " �? ����� ��.
��'���� ��� � !����!# �� ��!��; �& � ��� � " ��� ! &� " '� ! �
�����!�!�� �� ��!�����
7�&� � �����!�!��5 � ��!��5* �� ��!�����
<� ����! "#�� '�� !�� -!� "40�& �� ��!�� A �����!�� ! ��
�0�&� � !��� �� ��!���� An� ����5� n.& ! � � ���� �� ��!��� A�
<�"�-� �����!�!�� �� ��!���� �������!5 ���"# �M
[x, px]Ψ = x(pxΨ) − px(xΨ) = x(−i� ∂
∂xΨ)−
(−i� ∂
∂x
)(xΨ) = i�Ψ.
?" ����! "#���
[x, px] = i�. �K��B�
)5 �� '�� �� �������!� ���"# ������ � ��� � '� ��5� -!�
���(�"( ! ( � �1 !����� * � ��" ��� �����!�!����
�����!�!�� �� ��!���� ���"# � �� !- ��& �� � ��� � ��"4M
[T , p]Ψ = p2
2m(pΨ) − p
(p2
2mΨ)
= 0,
�� ��"#�� �� ��!�� ���"# � !# � !�-�� !#4 �� �� !�(���� ���2.
26 �!�� ��� !� �� ��!�� �22 � �6�����(� �� ��!�� �� !- ��&
�I ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
�� � ������6���" � ������!� �� ��!��� ���"# �� � � '�"#!�! �22 .
� �6�����( � '�� ! �! ���(���� � ��!���� ���'���! ( �22 � �.
6����� �� ��'"-�5� � � � ��5�� 7�" ��& �����!�!�� �'��-� !� -!�
���"# �� �( ���! 05!# � !# ������ � ��� ��� � " ��5 '��- .
�(� -!�� ����- �� 05"� �- ���� '���� ' 2����"� �('5��41* �!
� "-�5�
<�� � � 0 ' �5���� �����!�!��5 �"( � �!��� ��� �!� ���"# �M
[Lx, Ly] = i�Lz, [Ly, Lz] = i�Lx, [Lz, Lx] = i�Ly. �K��A�
���� !��� � ������ �!5 ��� �!� �����!��4! �� ��!���� ������!�
��"��� ��� �!�M
[L2, Lx] = [L2, Ly] = [L2, Lz] = 0. �K��I�
G�� � !�� �K��A� �K��I� �'��-�4!� -!� ��� � " ��5 '��- �( ������ � �.
�� ���! � !# ��"�5& ��� �! ���� ��� �6&e �� � ��� ��� �6
� !�4! ( �� �!�� � ��� � " ��5��
"�,� ��������� <�����8���
< � &� � ! � �# � �� !�� �4 ����� �( �"( Ψ.2���6� )5 0�.
� � *��!# ' ����� �( �K�KO�� (�"(41 � (� !�� ��'�!#� �� 6 �!�����
'��-��& ��6 ���& � & ! �5 �� !�"�!��� %���� !# �!�� ����� .
�( ���- ���� ! ( 1 ! � �0 !�(! "# !���� -!� ��� ��'��"( ! ��&!
Ψ.2���64 �� ��� � " ���� '��- � 2'- ��& � "-�5� % � �"#.
��& ����!� !���& ��� � " ���&� �� !�(���& 2'- ��& � "-��& -�.
!� (�"( ! ( ��"��( �� �( ! �5� ��� '� !��� '�����!�(� � - �
� �'���� & !��41�( ! �� �*���( ! ��4 �� �4�
�"� ! � �� !�(���& �� � & �- �# ��� �� * Ψ.2���6
����� ��&! ����1#4 ����� �( �K�KO�� � � � �� � ��!� ! !��41�
�0��'��M
HΨ = EΨ. �K��K�
F���� � �K��K�� ��!��� �5 ��"�-" ' 0�" �01 � ����� �(
�K�KO� '�� ��& �� ��!��� ���'��"#��& 2���6 f ��"#!������ H � ��.
'5�� ! ( �������� :���������� /�� �� ! � ����!���& � *��� !� �
��"#� -!� ����� � 7#4!��� � �"� - ��& � *��� � 7�&� ���( ��
� ; � �!�� ����� �( Ψ.2���6( �� ! �!� ! �� ����� � ��'����5*
� !�(�(* ! �5 '�����5� '��- � � ��"��& �� � E�
F���� � �K��K� � ! ��� !�4 ���"�4 � �"� - ��& � *��� �
<� !# (p, q) 3 �������� !# �0�01 ��5* �������! ���"# ��� �� 5.
��41* � !�(� ! �5� 9��� " ��! �6�"#��( �� �( � '�� !
�! �� � �� !� �� !�� �!�� ! �5 {q(t), p(t)} 2���6( >��"#!���
��"��� �����!# �� !�(��� '��- � � ����� �� � �!�& ! �5M
H(p, q) = E,
L-P- 1(������� X(� ����(� �K
-!� �� � !��"( ! �0�& �"� - �& ���"� ����� �( �K��K��
% (���� �� ����� � c� �� �� '�� 5�� ! ( ���(p2
2m+ U(r)
)Ψ = EΨ, �K����
"� -!� �����" �!���
ΔΨ + 2m
�2[E − U(r)]Ψ = 0, �K����
� E 3 ��"��( �� �(� � Δ = ∂2
∂x2+ ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2
3 "��"� ���
% �!"- �! ����� �( 7#4!���� ����� � c� �� �� (�"( ! (
� ��� !� �22 � �6�"#�5� ����� � �� � ����� � � � -� !�5* ���'.
����5*� 9�� ����� �(� � ���" �4� � 0�"#;� !� "�-� � � � ;�.
4! ( ���"!- ��
D� # � �0*���� ���- ����!#� -!� ����� � c� �� �� �K���� � ;�.
! !�� ��'5�� ��4 !�6������4 ���0" ��� ���� "��� ��" �! �� � �
� '�� !� <��!��� � -� !� ��'5��4! �������� :��������� ��� ����
(�������� ��������� " ���(������� �������� :���������� �!�05
2����"����!# 0�" �01 ����� � � �� 5��41 !��� � !�6�.
����5 � !�(�(� �� ��"#'� � ( �" 0��& �� ��!�����
��� �5 �� '�� �� �� ��!�� �� � -� !65 � ! �� E = i�∂
∂ t
�
%5; �5 2��!- � '�� �(" E → E� � ( � ���� -!� �� ��!��� ! (
� !�(� � � ��!���� �� �( � ! ��� � " ��� '��- � � 9 � �# �
�5 ��"��5 (��� ��"#'���!# �� ��!�� E� " ���� �� ! (� -!� �� �(
-� !65 ��� ! �����!# � ����� � ���� ��'"-�5* '��- �&�
% �"� - ��& � *��� �5 � " ��� � !��MH(p, q, t) = E� % ����.
!���& � *��� �!� ��!��; � " �� ! �� ��!���!# ��� �� ��!����
��� � !�� E = H � -!� �����! � ����� �4
i�∂Ψ
∂ t= HΨ �K����
"� �����0� � � ����� �4
i�∂Ψ
∂ t=
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ. �K����
=!� ����� � ��'5�� ! ( �������� :��������� ��� �����(��������
��������� �"� ���!��� �����(������� �������� :�����������
/!� !��������6��"#�� ����� �0 !�(! "# !��� �� �41 ( 2��.
��"�������� ����� �(� =!� �22 � �6�"#�� ����� � � �� ���1
���'�����4 �� �� � � � ���� ���(���� % ��!� ! !� ! �� & �2.
2 � �6�"#�5* ����� �& �"( ��*��� �( � � ; �( �"( � * ��� �!��
t > 0 � �0*���� � !# ������������ ��-�"#�� � "�� M Ψ(r, t )|t=0 == Ψ0(r)� 9 � ��5� ����� ����� � ����" !���( ! ����(��!��� �5;
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
!� 0����4M � !�(� ! �5 � ���'��"#�5& ��� �! t > 0 �!� � ��"��.
��( 2���6( Ψ(r, t)) ��"�� !#4 ��� � "( ! ( � !�(� � � ��-�"#�5&
��� �! �!� � ��"����& 2���6 & Ψ(r, 0))�
%� ���* ������� !��* ��� �* �1�1� ! ( !� �" � ��5� !� �!�
����� � � 7� ���� � " ��� ��!���� � �5���! (� ��� � �5���! (
����� � 7#4!���� <� �! �� &� ����� � c� �� �� (�"( ! ( ��.
��- �� �0�01 � � 0�"#;�� �� ;!�0� � ��� !����� � ��� ��"���
��"�� !#4 �*��!5��!# � '� !�5 ��� ����5 � 2'- �* ���6 �*
� ������ � � " ��� ����"#��� !� ��"��� � ��� �� � ��'5��!# ���5
(�" �(� =!� ����� � � � ���� 1 ��'5��4! ��"���5� ����� � ��
05"� ��&� ��c� �� ��� � AOI� � /�� ��"�� !#4 ���!� ���� ! ( � �
�����5� ��! ��"�� �!����& 2'�� 2'� ��������
% ��'� " �,���"� � � ��� �5��� ����� �(� �����" ��1& �����
c� �� �� � ������5& �� ���"� ����� �& � *��� ��!��
/0��!� ( ! � �# � '�� ����� �( c� �� �� � �� �K����� D� #
���� ���- ����!# �- �# ����� �0 !�(! "# !�� 3 ��"- ����& �.
�65 � � � ���'�����& ��"����& 2���6 �� �� � � ∂Ψ/∂ t� % �"� .
- ��& 2'� ����� �( � ���� ���(��� �� �� � � � � 4! � ���.
- �*� ��" 0�! "#�5* � ; �&� /� � �� �� 5��4! ��� .!� � �0��.
!�5 ���6 5 � "�� �6����� !��� F���� � c� �� ��� 0"�����(
���� ! ���226 �!� �� ���'�����& �� �� � �� ��� ! ����!# � ��.
�- � � ; �(� ��� 0���- ����� � � � ���� ���(���� 7� ��"����(
2���6( �� �!�� ���'5�� ! (� ���01 ����(� ����" � ��& � "-��&�
=!�! 2��! �5 �� �0 ����" �5; � '�-�( ��& !�� ��"����& 2���6�
C " �� ;� ��" U � '�� ! �! �� � �� !� � � !�6�����5* � "�.
�(*� ����� � c� �� �� �K���� ����� ! ��
i�∂Ψ(r, t)
∂ t= HΨ(r, t), �K��N�
� �� ��!�� H � '�� ! (��� �! �� � � � & !�� ! !�"#�� �� 2���.
6 �! �������!� =!� ��'��"( ! ���� ! ��'� " � � � � ��5* t�
<� � !��� Ψ(r, t) � ��
Ψ(r, t) = f(t)Φ(r), �K��O�
��� !��� �!� � �K��N�� ��"�-� �
i�Φ(r)df(t)
dt= f(t)HΦ(r). �K��B�
G�'� "� ��-" ��� �!� ����� � �� Ψ(r, t) ' �K��O�� ��"�-�
i�1
f(t)
df(t)
dt= 1
Φ(r)HΦ(r).
% �!�� ��� � !� " ��( �����( -� ! '�� (! �! ��'�5* � '�� �5*
� � � ��5* 3 �� � � �������!� <��!��� �"( !��� -!�05 ��� � !��
L-P- 1(������� X(� ����(� ��
�5��"�("� # !��� !� ���� � �0*����� -!�05 " ��( �����( -� ! 05"
�� !�(��5�� /0�'��-�(
i�1
f(t)
df(t)
dt= E, �K��A�
��"�-� � �� !�"������� �5; ����� � c� �� �� �"( !�6������.
� "�-�( � �� �K��K��M
HΦ = EΦ. �K��I�
G ; � ����� �( �K��A� *���;� '� !��M
f(t) = ][^_` · e−iEt/�. �K��K�
9���
Ψ(r, t) = Φ(r)e−iEt/�, �K����
� Φ(r) !# � ; � !�6������� ����� �( �K��I��
?" �� ! ���- ����!# !�! ����5& �5���� -!� Ψ.2���6( !�6�������
� !�(�(� !� � � !�(�( ��� � " ��5� '��- � � �� � E� �����.
- � '�� ! �! �� � �� � 6""��( -� !�!�&
ω = E/�. �K����
��5� "����� '� # �5��"�( ! ( '� !�� ��!��; � E = �ω� -!��
��� -��� � "�-�&���
7���� 6� �0��!� ����� �� " ��41 � F���� � �K��I� �"( 2���.
6Φ(r) !# ����� � � & !�! "#�5� ���226 �!��� /�� �05-��
� ��0�� ! (� ���-�5� � "��(�� !��� � �� ���1� ����" � .
�5* � "-�� <��!���� " �5 � � � "� 2�!�5� ��� � �� !� �
��� � � � ����- ���& �0"� ! ��� !��� !��� !� 2���64 Φ(r) � ��
����� -!�!# � & !�! "#��&� =!� �01 �!� ��� � � ��!��� �����
2����"����!# !��M ��"���5 2���6 !�6�����5* � !�(�& 2�!.
��� ��� �( ����� �50��!# � � & !�! "#��& 2��� � <��- ��� �� ��.
����� -!� �!� �!�� ! ( !�"#�� � �������!��& -� !Φ(r) ��"��& ��"����&
2���6 Ψ(r, t) � �K����� C " � ��� � �2�!��� !� � �01 � "�.
-� 2���64 Φ(r) � "#'( -!�!# � & !�! "#��&e ��� � !���3 �"� ��(
��"�� � @��&"(�
<� !# ��! �6�"#�5 ��"( �! �! !��4!� � -� !6� � ! �� �4 E�
,"( �!�� "�-�( �5 ��� � �� ��"#'���!# ( �� � !��" � � ��"����&
2���6 � �� �K����� � ��!���� 2���6( �� ����" !���( ! !�6����.
���� ����� �4 c� �� ��
ΔΦ + 2mE
�2Φ = 0. �K����
<�"��(� -!� ���"# -� !65 � ! ��� � " ��� '��- � � '��; �
Φ(r) = Φ0eipr/�. �K����
�� ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
9���( 2���6( ����" !���( ! ����� �4 �K����� <�� !������ �K���� � �K����
�� ! �('# �� � ���"# �M
E = p2
2m, " p =
√2mE. �K��N�
7���* ���* ����- �& �� ���� !�5 '��- �( � �!��� ���"#.
� � !� ?��!� ! !� ��� � ��� !��� !� � ��0����� �! ��" &� !�6����.
�� � ; � ����� �(c� �� �� ����� �� � !��!# ��� �� ���'64
� !�(�& ��� � " ��5� '��- �(� ���"# ��� �!"-�41* ( ";#
������" � �� �� � � "-��&M
Ψ(r, t) = exp(− iEt
�
) ∫f(p) exp
(ipr
�
)d3p
(2π�)3, �K��O�
� f(p) = ϕ(p)δ(p−√2mE)�
% -� !�� !� � "�-� ��"�5 �� ��� !���(41 & ( ���"# � x � ��"�.
�! "#��� ������" ��
Ψ(x, t) = Ψ0 exp[ipx
�
− iEt
�
], p =
√2mE. �K�NB�
�� !65 !���& � �� � &� �� �� ��� !���(41 ( � �0��!��� ������.
" �� �� 5��4! ( ��"����& 2���6 &
Ψ(x, t) = Ψ0 exp[− ipx
�
− iEt
�
], p =
√2mE. �K�NA�
?�� ���'6( �!* ���* � !�(�& � ! �� !�(- & ��"�5M
Ψ(x, t) = 2Ψ0
(− iEt
�
)cos
(px
�
), p =
√2mE. �K�NI�
<�� � � !��� 0�" "���5& "�-�&� ���� � ������" �( ���"# �
� �� ���'6 ������ ��(!�5� =!� �'��-� !� -!� � 2����" �K��O� �����
��"��!#ϕ(p) = ][^_` = ϕ0� F-! � !��� � -!� � 2 �- �* �������!�*
d3p = p2dp d� ��! ������ �� dp � �K��O� �5��"�( ! ( " ��41�
�0��'��M
∞∫0
f(p) exp(ipr
�
)dp =
= ϕ0
∞∫0
δ(p−√2mE) exp
(ipr
�
)dp = ϕ0 exp
(ipr
�
)∣∣∣p=
√2mE
.
L-<- Q��K����(�+� �����/��/ ��
% � '�"#!�! �5 ��"�-� �
Ψ(r, t) = ϕ0 exp(− iEt
�
) ∫exp
(ipr
�
)p2dΩ
(2π�)3.
=" � �! ! " ��� �"� � �� �"#��. �� !�-��� "�-� ����� �� � !�.
�!# � �� dΩ = 2π sin θ dθ� " �50��!# � ��- !� � ������" �
���� .� �!��� � 9���� ���'� �( '�� �� pr = pr cos θ� � !����� �5- .
"!# � !��;& ( �! ��" �� ������" �(� � �!��� ���"# �M
Ψ(r, t) = ϕ0 exp(− iEt
�
)p2
(2π�)3
π∫0
exp(ipr
�
cos θ)
2π sin θ dθ =
= Ψ0 exp(− iEt
�
)sin (pr/�)
pr/�
, p =√
2mE. �K�NK�
D� # �"( ���!�� ! �0�'��- �� Ψ0 = ϕ0p
2π2 �3
� =!� � ; � �� � !��"( !
�0�& 2 �- �. �� !�-��4 ��"��� ���"!��� ��!���& �05�� ! �� .
!�(� � ��� r−1� ��- � �� � * !�-��* ���"4-�( ��-�"� �������! r = 0)
��"����( 2���6( � !� ! ( ��� -��&�
<��- ��� �� -!� � ��!��; � �K�NI�� � ��!��; � �K�NK� � ��.
5��4! � !�(�( ��� � " ��5� ���"# ��M !����5� (�"( ! ( ������
� !�(� � �� 5�� �� �"� ��& ��"��& � @��&"(� �*���(41 & � '.
� ��5& �� �� ��� ��� !��� !� �� ��� ��� �!5 �� � ��
"�/� ���;�������� �����!��!
F!�-�� ! � �# ���(! !�6������ !� ��!��� �5; �5 ��"#'�.
��"� ����( # �� �!�64�
% 2'� !�6�����5� ��'5�� ! ( � !�(� � ��!��� � ��� � " ����
�5 " � '� ��� �� �� � �� 7���� �� � � �( ! ( ��"�� � -� !.
65� � � �( ! ( ��!�� ���� ! � �����& !�-� !� �� <� ���"�
�"� - ��& 2'��& � ����!���& � *��� !�6�����5� ��'5�� ! ( !�.
�� � !�(� ! �5� � ��!���� � � ��(!�� ! � '�� (! �! �� � ��
��5� "����� �! �� � � � ��"��� '�� !# � "-�� |Ψ|2� C " ��"��.
��( 2���6( �!� -� ! � !�(�4 ��� � " ���& �� � &� !� ��� '�� !
�! �� � � �� '����� �K����� <� �!��� �- ����� � "�� !�6������.
! �5��"� ��M ∂|Ψ|2/∂t = 0� *�!(� ���- ��� � 1 ��'� ��� ��"����(
2���6( Ψ �! �� � � '�� ! (����
/- ����� -!� !�6�����5 � !�(�( ���! ��'���!# !�"#�� � !��
"�-� � " �� ;� � "��( � '� ��5 �� �� � �� !� � �! �� � � � '�.
� !� � -� !�� !� ��! �6�"#��( �� �(� =!��� ������� � �� !�!�-���
�� ! � !� �!� ��� � M " � !�(� ! �5 !# �� ���'6(
�N ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
� !�(�& ��'�5� �� �(�� !� !��� � !�(� � (�"( ! ( !�6����.
�5� ��� �� � '� ��5* �� ;�* � "��(* ����� "����� �� ���.
'6( !�6�����5* � !�(�& � �01 � "�-� �� ��� ! � (�"(!# (
!�6�����5� � !�(� �d�� % ���� � " � ��&� � �"( ��� �� �� �� .
� " � � ��(!�� ! & � "�-� �� ���'6 ���* � !�(�& ��'�5�
�� �(�M
|Ψ(r, t)|2 =∣∣∣Φ1(r)e−iE1t/� + Φ2(r)e−iE2t/�
∣∣∣2 =
= |Φ1(r)|2 + |Φ2(r)|2 + 2|Φ1(r)| |Φ2(r)| cos[
(E2 − E1)t
�
− α]. �K�N��
D� # �5 '�� �"Φ1(r) = |Φ1(r)| eiα1 Φ2(r) = |Φ2(r)| eiα2 �α = α2−α1�
��- � 2�'5 α1 α2 ���! '�� !# !�"#�� �! �������!� �� � �! �� � ��
���� !��� �5 �� ��"#'���" # 2����"�& |a+ b|2 = |a|2+|b|2+2fY(a∗b)�
�' 2����"5 �K�N�� ����� -!� �� E1 �= E2 � "-�� |Ψ(r, t)|2 '�� ! �!
�� � � (���� � 6""��( � ����� T = 2π�/|E1 − E2 |� /- ����� -!�
�� E1 → E2 � ��� � 6""(6& !� �! ( � 0 ��� -�� !� �5 ��*�.
�� � !�6�������� � !�(�4 � '� ��5��� �� � � �� �� � " � �
� ��(!�� ! &�
?�� ���'6( � !�(�& ��'"-�5� '��- �(� �� � ��� ! ��'.
���!# ��� " � !� ���*."0� ��'� & !�& �� ! ��� 8����"#�5�
��'����� !��� -!� �� ��!��� �� � !�(� � (�"( ! ( !�6����.
�5�� (�"( ! ( !�! 2��!� -!� � ��"����( 2���6( Ψ � (�"( ! ( �0 !� �.
��& 2���6 & ��"#!����� � � ��-�"#�5&� � � �� " ��41 ��� �!5
�� � �M HΨ �= EΨ�
"�1� ���������� �������8� ������
% ��- !� ������ ��� �� ��'����� �� ��!�� ���"464 "���".
'������� ��"����� ��� !� � ��0����� ��� !��� !� � <� !# � ��-�"#�5&
��� �! 05" 2�������� ��� ! ��"����& 2���6 &
Ψ(r, t)|t=0 ≡ Ψ0(r) = Ψ0 exp(− r2
2δ2+ i
p0r
�
). �K�N��
% �!� �5��� � �*��! ����! "# exp (ip0r/�)� �!����41& !�! 2��!�
-!� 6 �!� ��� !� ���*��(1& ( � ��-�"#�5&��� �! � !�-� r = 0) ��� ! (
� ���� !#4 v = p0/m� % �!�� � !����� �0 �!# (� �5- "(( ���� !#M
v = p
m, p|r=0 = 1
Ψ0
(pΨ0)|r=0 = p0.
L-.Z- '�������! :���)� ��(�/������ � *�)�� ��#(�����/ $���� $���� �O
F���� � c� �� �� � ��0����� ��� !��� !� � ! ��i�∂Ψ
∂ t= HΨ, H = p2
2m= − �2
2mΔ. �K�N��
D�� !�� -!� ��-�"#�� � !�(� �K�N�� � (�"( ! ( �0 !� ���&2���6 &
� !�"#�� ��"#!������ �� �� ��!��� ���"# �� <��!��� ��� �� ��!
��"�5� �� ��� !���(41 ( ��'"-�5� ���� !(� ���� 2�'��5�� !��
������5��� ��� " � !� ��"����& ��� ! 0�� ! �� �"5��!# (� 7�; &
6 "#4 0�� ! ��&!� �� ������ '����� �!� ��� *��!� 8��!- � �5 ��"�.
�5 ��&! � ; � ����� �( c� �� �� �K�N���
<����0�� � ; � ����� �( ���� � '���- AK� D� # � �5 ��� � �
����-�! "#�5& �!� !�
G� �� � " � � ��(!�� ! & ��*��� �( -� !65 �� ! ( 2����"�&
W ∼ |Ψ|2 = Ψ20δ2
δ2(t)exp
(− (r − p0t/m)2
δ2(t)
). �K�N��
D� # �� � �� �0�'��- �
δ(t) = δ√
1 + (�t/mδ2)2, δ(0) = δ. �K�NN�
�' 2����"5 �K�N�� ����� -!� ��"����& ��� ! ������ ��� ��� ! ( �
���� !#4 v = p0/m �� �!�� � �0 !� ���& ! � �! - !� �� �"5.
�� ! (� =22 �!���( ;��� ��� !� �� ! ! �� '����� �K�NN� *����! ��5�
�� � � � τ = mδ 2/�� ��- � - � � �#; ��-�"#��( ;��� ��� !�� ! �
05 !� �� �� �"5�� ! (� ,"( �6 �� ���� ! �� �"5���( ��'#� � �
��- !� ��-�"#��� ��'� �� �" �!���� � ����!���� ��4 �"�� ��"�5
δ ∼ Λ = �/mc ≈ 3,86 · 10−11 �� 9��� �"( �� � � τ " �� ! �6 ��� τ ∼∼ �
/mc2 ∼ 10−21 � <�"�- ��5& � '�"#!�! ���!� ���� ! � "���� ���
�!� ��� � � !��� -!� ���"����(� �! ��� !�6( "���"'������& -� !65
��� 6�� ��"�� ��"����� ��� !�� � � ��� � " � !� 05 !��� �� �"5���(
��� !��
�!��� ��"����& ��� !3 �� ���'6( � !�(�& ��� � " ���& �� �.
& �!� � !�6�����5* � !�(�&� 3 � � ! 0( ��� � �! �! !� �� ;.
�* ��" & (��� � !�6������M �� � � � 1� ! ( � ��� !��� !� � ������ .
� ��� �� "-��( ��4 ;����
"� 5� �������� ������ ����!������ � 2���� ��7������!
4���� 4����;
F���� � c� �� ��
i�∂Ψ
∂ t=
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ �K�NO�
NB ,�- L- M������/ 2��)K�/J �:�(���(+J �(������� X(� ����(�
�� 5�� ! ��� � � -� !6 � ��! �6�"#�5* ��"(*� <� �!�� -� !65
���! ��� ����� � � � 1�!# (� � �(!# ��& ���"# � �� �� � - '�4!�
=!�! 2��! �!���� ! ( '������ �*��� �(� � �� � � !� ��� �5! ��41�
' ����� �( �K�NO�� <���� �� ��� �!� ��"�-� ! (� G� ��!�� ����� � �
��"�- ��� ' �K�NO� ��� � � � �� ��6 ����" � ��� ���(� �(M
−i�∂Ψ∗
∂ t=
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ∗. �K�OB�
F����� ��-" ��� ����� � �K�NO� �� Ψ∗� � ����� � �K�OB� 3 �� Ψ�
%5-!�( ��-" ��� ��"�- ��5 ��� � !��� ��&� �
i�(Ψ∗ ∂Ψ
∂ t+ Ψ∂Ψ∗
∂ t
)= Ψ∗
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ − Ψ
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ∗.
�K�OA�
+ ��( !����� ��� � !�� �����! ( � ��� i�∂ |Ψ|2∂ t
� <����( � !�����
�� �0��'� ! ( " ��41� �0��'��M
Ψ∗(
p2
2m+ U(r, t)
)Ψ − Ψ
(p2
2m+ U(r, t)
)Ψ∗ = Ψ∗ p2
2mΨ − Ψ p2
2mΨ∗ =
= − �2
2m(Ψ∗ΔΨ − ΨΔΨ∗) = − �
2
2m∇(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗) = −i� div j ,
� �� � �� �0�'��- �
j = �
2mi(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗). �K�OI�
% !� ��� � !�� �K�OA� ����� ! " ��41& ��M
∂w
∂ t+ div j = 0, �K�OK�
� �"( ���!�� ! �5 �� " ! !� ��� �0�'��- � w = |Ψ|2 �"( � ".
-�5� ������6���"#��& �"�!�� ! � ��(!�� !�
)5 ��"�-" '���� �*��� �( �K�OK�� � 41& !�! � �� !�! �
�5 "� -!� '���� �*��� �( '��(�� � �" �!������� M ∂ρ/∂t+div j = 0�
� ��!���� � "-�� ρ � ! �5 " �"�!�� ! '��(��� � � "-�� j = ρ v 3
�"�!�� ! !���� <� ���"� � "-�� � �K�OI� ��'5��4! �"�!�� !#4
��!��� � ��(!�� !�
?��!��; � �K�OK� ����� � � � �!# � �! ��"#��& 2��� M
d
dt
∫
V
wdV = −∮
S(V )
j dS. �K�O��
L-.Z- '�������! :���)� ��(�/������ � *�)�� ��#(�����/ $���� $���� NA
% �!�& 2��� �5 " ��&� ���� '����� �*��� �( ��-! �- �� �M '� .
� � � ��(!�� ! ��*��� �( -� !65 � �0J � V ����� ��"���� ��!���
� ��(!�� ! - � ' ��� �*�� !# S(V )� ����-��41�4 �!�! �0J ��
%5( �� �� �"�!�� ! ��!��� �"( "�-�(� ���� ��"����( 2���6(
� ! �� �"� ��& ��"�5 � @��&"(M Ψ = Ψ0 exp(ipr
�
− iEt
�
)� <�� !��"((
�!� �5��� � � �K�OI�� ��&� �
j = wp
m= wv. �K�O��
=!� !�-�� ��!��; � � �('5��41 �"�!�� !# ��!��� ����&."0�
� "-�5 �� ��; � "�-� 3 �"�!�� ! � ��(!�� !w) ���& �!�& � ".
-��& ���� !#4 ��!���� % �!�& �(' �!� !�� -!� !���!��� �5��� �(
�K�OI� !����! ( 0�" ��"(���&� " � � � � �!# � �� ��!����� �� M
j = 1
2m[Ψ∗(pΨ) + Ψ(pΨ)∗] = fY
[Ψ∗ p
mΨ]. �K�O��
%5��� � �K�O�� �! 4�� " �� ! ��� �- ���5& -� !�5& "�-�&�
� � � � � �
�������� ��� ��� ���;� "�(!�(�X<
@J *������ 7��� � )��A
% �� �5��1 & "�� �5 2����"����" ����� � c� �� ��� ��.
5��41 ��� � � -� !65 � ��! �6�"#��� ��" � % �!�& "�� �5 �� .
��!�� � ��!��5 �� !�!�-�� ��� !5 � �� �� ! ! � ���6��"#��
����5 '���-� ""4 !���41 ����!���� *��- � '������ ��� !�
)5 0�� � '� # '�-�!# !�"#�� !�6�����5 � !�(�(� !� � � !�(�(
��� � " ���& �� � &� �"( ��!��5* �� � ���( '�� �� !# Ψ.2���6
� ! ��∼ exp (−iEt/�)� <� ��"#�� �!�! ����! "# � ��&� ! � �5��� .
�( �"( �� �� � " �( � ��(!�� ! &� �5 � 0�� � � ��"#� &; � ��� ��!#�
-!�(Ψ = Ψ(r)� /���-� ( !��� ����� ��5� "�-� �� ���� � � ".
-�5 '�� (! !�"#�� �! ����& �������!5� % ���(!5* � "��(* *����
����� � c� �� �� ��� ! 05!# '�� ��� � ��
d2Ψ
dx2+ 2m
�2[E − U(x)]Ψ = 0. ���A�
$� � ��7�:����� 4����;� 4���2 �����;������# @�����
7�-� � ��� ! &; � "�-�(� ���� 0��# � � ! �� ��(����"#��&
!�� �#� �� � ��A�M
U(x) =
{0, x < 0,
U0, x > 0.
���I�
<� !# -� !65 �� � &E ��" !�4!�� 0��# � " ��� C "05��0�!�"
'����5 �"� - ��& 2'�� !� �� � "�� E > U0 -� !65 ��0����
���*��" 05 ��� 0��# ���� ";# � �(( ��4 ���� !#� � �� � "��E << U0 �� �!����" # 05 ��'��� <� ��!��� -!� ��� *��! -� !6���
" ��41� '������ ����!���& � *����
<� ���"��� ��-�"�� -!� �� �( -� !65 0�"#; �5 �!5 0��# ���E > U0� )5 � � �� �0"� !� � ��!��5* ��! �6�"#��( �� �( �� !�.
(���� � " ����! "#��� �"( ��!��5* ����� � c� �� �� ��� ! 05!#
� ; �� !�-��� <�"��(
Ψ(x) =
{Ψ1(x) при x < 0,
Ψ2(x) при x > 0,
���K�
3-.- '(�#�C ���� $����K+ $�(�* :����K���!�+& "�(!�( NK
'��; � ����� � ���A� �"( ���* *����! ��5* �0"� ! &M
Ψ′′1 + 2m
�2EΨ1 = 0, x < 0, ���� ��
Ψ′′2 + 2m
�2(E − U0)Ψ2 = 0, x > 0. ���� 0�
%� � � �0�'��- �(
k2 = 2m
�2E, q2 = 2m
�2(E − U0). �����
% �� ��!��� ��� &-� "�-� q2 > 0� % ���(!5* �0�'��- �(*
U0
U x( )
x
0
2�� �� ���)�,1������ �����D
5� ����� = ���� ��� ��,������
6���� � ������ ��� +� �� � ��D
� ?8�� ����� - ���5
� ; �( ����� �& ���� �� ���� 0� � .
4! �� ��!� ! !� ���
Ψ1(x) = a1eikx + b1e
−ikx, ���� ��
Ψ2(x) = a2eiqx + b2e
−iqx. ���� 0�
% �!* �5��� �(* � ��5 "�� �5
�a1eikx a2e
iqx) �� 5��4! ��"�5�
�� ��� !���(41 ( � ��"��! "#���
������" � �� !����� x → +∞)�
%!��5 � "�� �5 �� 5��4! ��".
�5� �� ��� !���(41 ( � �0��!���
������" � �!� � � !����� x→ −∞)�
<� ��"#�� �� �� ���"�� �4 *��.
��( ��"�� �� ��� !���("� # � !�����
x→ +∞� !� �0��!�5 ��"�5���! ��'.
���!# !�"#�� � " � !� �!��� �(� ?�"� �� ! �� �22 � �6�"#�5*
����� �& �! ��"�5 �5 � ��� � �"4-!# ' �� ��!� �( 0 ' ��.
!�!�-�5* � �����&� !� �� ��- � ��� � �� !��!# ����"#�� �01
� ; � '�-� ��� ����� �(�
��� �5 �� �!� !"� 2����"� ���� 0� �� 5�� ! ��"����4 2���64
-� !6� �� �� ���" �;* ���6� 0��# ��� <� ��"#� &; � �� ��� !��.
� � ��; -� !65 �� � � !� -�4! �� �(! !�&� <��!��� ! !� ���
-!�!#� -!� �!��� ���& ��"�5 � �!�& �0"� ! � !� =!� �� ! � ����� ��.
"��!# ���226 �! b2 ����5� ��"4� !�� -!� ��"����( 2���6( � �0"� !
x > 0 ��� ! ��
Ψ2(x) = a2eiqx. ���� ��
9 � �# �-! �� -!� �5��� �( ���� �� ���� �� ��4! � � & !�! "#�� !
�5��� � �"( ���& ��"����& 2���6 Ψ(x)� ��� � " ���& �� � �
��� !��� !� � <��!��� ����� � ���!��� -�5� �� �0�� � ;!#� �!
�� -� !�
<�"�-� � "��( ;�� ��"����& 2���6� <� !# ��! �6�"#��(
�� �( U(x) 3 �� �-��.� �� �5���( 2���6(� � �(41�( ( � ��� -�5*
�� � "�*� =!� '��-!� -!� � �!� "#�5* !�-��* ���� ��4! ( ��-� U(x)
N� ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
�� ��� -��4 � "-��� %50 � � ����4."0� !�-�� x0� <���! ��� �
��-" ��� ����� � c� �� �� ���A� �� �0"� ! x0 − ε < x < x0 + εM
Ψ′|x0+ε − Ψ′|x0−ε + 2m
�2
x0+ε∫x0−ε
[E − U(x)]Ψ dx = 0. �����
F !� �� ! � �# - "� ε � ��"4� <� ��"#�� ��"����( 2���6( �! ���.
��� � ���226 �! � � � � & [E − U(x)] � ���5�! ��"#��� �5��� �
��� - �� !� �� ε → 0 �! ��" �0��!! ( � ��"#� � ��� � !�� �����
��� ! ��
Ψ′(x0 − 0) = Ψ′(x0 + 0). ���N�
,��� "����� � ! * !�-��*� � ��! �6�"#��( �� �( ��� -��� ���.
'�����( ��"����& 2���6 � �� �5���� �' � �� �5��� ! ���'�����&
" �� ! � �� �5��� !# ���& ��"����& 2���6M
Ψ(x0 − 0) = Ψ(x0 + 0). ���O�
G�� � !�� ���N�� ���O� �5����4! ���5 � "��( ;�� ��"����&
2���6� /� '�� ���� �5��"�(4! ( � ! * !�-��*� � ��! �6�"#��( �� �.
( U(x) � �� �5���� ?" �� !� ������� � !# � ���� -!� �� ��"- 0 .
��� -�5* ��-��� U(x) �! � "��(� ���01 ����(� � ���� �"�5�
% �� � ( ! � �# � '���- � ���*��� � -� !65 ��� ��! �6�"#�5�
0��# ���� <�� �� ��&� ��5 � "��( �"( ;�� 2���6& Ψ1 Ψ2
� !�-� x = 0M
a1 + b1 = a2,
ik(a1 − b1) = iqa2.
���AB�
%5����( �! 4�� ���226 �!5 a2 b1 - � ' ���226 �! a1� ��&� �
a2 = 2k
k + qa1,
b1 = k − q
k + qa1.
���AA�
F��0�� �� ! !�� ��'5�� �5 ��������� ��1))�(����� �������
����� �d) ��������� �r)M
d = a2
a1
, r = b1
a1
. ���AI�
% ��; � "�-� �! ���226 �!5 ����5
d = 2k
k + q, r = k − q
k + q. ���AK�
,"( ����!- �* 6 " & 0�"#;� '��- � � 4! ���226 �!5 1)
1) H ��� ��= ��?� ��� ;�� ������������<B -��=� ����- �� � ��,0 ��� ����D
��5����� �� ��������,?8�0 )����,���0 ������5�����
3-.- '(�#�C ���� $����K+ $�(�* :����K���!�+& "�(!�( N�
���*��� �( ������ ���(�D �!��� �( RM
D = jпрош
jпад, R = jотр
jпад, ���A��
� jпад, jотр, jпрош 3 �"�!�� ! ��!���� *����& �a1eikx)� �!��� �.
��& �b1e−ikx) ���; �; & - � ' 0��# � �a2eiqx) ��"� 1)� 7������� -!�
�"�!�� !# ��!��� � ��(!�� ! �� ! ( 2����"�&
j = �
2mi(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗). ���A��
� ��"#'�( �!� 2����"�� � !����� ��"�-!# (��5 �5��� �( �"( � "-�
jпад� jотр jпрошM
jпад = �k
m|a1|2 , jотр = �k
m|b1|2 , jпрош = �q
m|a2|2 . ���A��
?��!� ! !� ��� �"( ���226 �!�� R D ��*��� �� � !��" �(
D = q
k|d|2 = 4kq
(k + q)2, R = |r|2 =
(k − q
k + q
)2
. ���A��
+ �� ���� �!#� -!� �5��"�( ! ( '���� �*��� �(
R+D = 1, ���AN�
�5����41& !�! 2��!� -!� � �� ��!��� ��� ���6 -� !65 � - '�.
4! � ��'���4!M -� !# ' �* �!���� ! ( �! 0��# ��� � � !��;�( ( -� !#
�����"�� ! " ! !# � � �����-�"#��� ������" ��
% �� ��!� ���� "�-� �"� - � ��'� ; ���& �0"� !#4 (�"( ! (
� ��� !��� !�� �−∞ < x < +∞)� <��!��� � ���! "#��� -!� � ��.
!��� ��"- !�� -� !6 ������ ! � �0"� !# ��� 0��# ��� �x > 0)� @�"
���! "#�5� (�"( ! ( ��"- ��!���� �!��� ���� �! 0��# �� �x < 0)�
% �"� - ��& � *��� -� !6 !���� ��!��� � !� /����� � ����!���&
� *��� �!��� ��5& ��!�� ��'��� ! !�-�� !�� � � ��� � ��"����& ��!�
�!��� ��5 ��� (��5 � ��"�5 ��'���4! ����!- � � �� �� ��.
"- � ��������� ! & � �5� % � & !�! "#�� ! ��� *��� � �!��
��!��� �('��� �'���� & !� � ��" !�41* -� !6 0��# ��� ��"� .
- �� ��0������ � � '�"#!�! - � ����&.!� � ��(!�� !#4 ��'���4!
� !�(�( ��'"-�5� ���"# ��� � !�� - " �!�6�! "#�5�� =!�
(�" � ��'5��4! ��� ������� ����������
D� # " �� ! ���- ����!# !�! 2��!� -!� � !�(� � �� 5�� �� ��".
����& 2���6 &
Ψ(x) =
{a1e
ikx + b1e−ikx, x < 0,
a2eiqx, x > 0,
���AO�
1) %=�+� -���� ������5����� �����0���� �� ����0 =,� ��)�5��0 ���
YRNZ[\M[MO T ;���0�����< � NM]M^PQMNMO T ;��� 4 ��<
N� ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
� (�"( ! ( � !�(� � ��� � " ��5� ���"# ��� % ���� � " � ��� .
� " ��5� ���"# �� -� !65 �0"���4! !�"#�� !���� ���� * ��"����(
2���6( ������ ! �� � � ��� !��� !� �"� ��& ��"��& � @��&"( Ψ == Ψ0eipr/�� /- ����� -!� 2���6( ���AO� � ��� ! 05!# �� � !��" �� ��
� � ��� !��� !� � �� Ψ ∼ eisx� � s 3 � ��!��� � & !�! "#��
- "�� /�� � ��� ! 05!# �� � !��" �� � �� ���5 ��� -��� - "�
!��* �� ��� �!� 8����"#��& ��-��& �!�� (�"( ! ( (���( '�� �� !#
��! �6�"#��& �� � �! �������!5 � ��'����� !# !�-��� ������ .
� ���� '� � �( �������!5 ���"# ��
D� # �� !�� �0��!!# ����� �� ���"�4 '���- & � ���*��� �
�" �!�����!��& ��"��& � �5 � � � ���& ��!- ��& �"�!�� !#4�
, "� � !��� -!� ��! �6�"#��( �� �( ��� ! �� ��!���!# ( ��� 2��!���
� �(41& �22 �!��5& ����'�! "# �� "��" �( � �5� , & !�! "#���
-!�( � "-�� k ��"���5� � �!���� -� !6 � ��0����� ��� !��� !� �
�0�'��-� ��"����& � �!�� q � � � ��� q = nk� 9 � ��5� ����! (
�22 �!��5& ����'�! "# �� "��" �( n� ��- �� �"� �� ������
n2 = 1 − U0
E. ���IB�
% "�-� ��! �6�"#��� 0��# ��� !� � �� U0 > 0� ����'�! "# �� "��.
" �( � �#; ��65� 7��0���!� � "�-� ��! �6�"#��& (�5 �U0 < 0)
���� ! ( n > 1� <�"#'�( # �����& 2����"#��& ���"� &� ����� � � ��.
!# �5���5 ��!� �� '���- ����!���& � *����
)5 " ����" "�-�&� ���� �� �( -� !65 �� �5;� ! �5 �!� 0�.
�# ��M E > U0� <��!����"���5& "�-�& 3 E < U0 3 " �� ! ( ���.
"�-��� �� ���� �"( ��"����& 2���6 �5 � � ����� �( � ���* *�.
���! ��5* �0"� !(*M
Ψ′′1 + k2Ψ1 = 0, x < 0, ���IA ��
Ψ′′2 − β2Ψ2 = 0, x > 0, ���IA 0�
� �� � �5 �0�'��- �(
k2 = 2mE
�2, β2 = 2m
�2(U0 − E). ���II�
G ; � �!* ����� �& ����� �� � !��!# � ��
Ψ1(x) = a1eikx + b1e
−ikx, x < 0, ���IK ��Ψ2(x) = c2e
−β x, x > 0. ���IK 0�
% 2����" ���IK 0� �5 � �5� �" "�� �� d2eβ x� �� ��"#�� ��� � ���.
�- ��� �� ! ! �� x → +∞ � ����" !���( ! !� 0����4 ��� -�� !
��"����& 2���6 � 4�� � ��� !��� !� �
?;��( 2���6 ���IK �� ���IK 0� � !�-� x = 0 �� 2����"�� ���N��
���O�� ��"�-�
c2 = 2k
k + iβa1, b1 = k − iβ
k + iβa1. ���I��
3-0- =�����!�+& 522�)� N�
,�" ��*��� ���226 �! �!��� �(M
R = jотр
jпад=
∣∣∣∣ b1a1
∣∣∣∣2 = 1. ���I��
% ��!� ! !� '������ �*��� �( ���AN� �! 4�� " �� !D = 0� !� � �
���� -� !6� � ���*��! � '��� 1 ���4 �"� - � �0"� !#�
% !� � �� �( ' 2����" ���I�� " �� !� -!� � �"� - � '��� 1 ���&
�0"� ! � ��(!�� !# ��&! -� !6� �!"-�� �! ��"(M
dw|x>0 ∼ |Ψ2(x)|2 dx = |c2|2 e−2β x dx �= 0.
<� ��!��� ��� �"� � ! ( �!�! �5��� �!� ��� � � �0 �! �! !�
���*��(1 � �� � � ��!���� 7�&� � �"�!�� !# ��!��� � ��(!�� ! � �0.
"� ! x > 0� ��"#'�( 2����"� ���A��� <�� !��"(( � � �5��� � �"(
��"����& 2���6 ' ���IK 0� �-!5��(� -!� 2���6( Ψ = Ψ2(x) � & !�.
! "#��(� ��'� ��*���jпрош ≡ j(x)|x>0 = �
2mi
(Ψ∗ ∂Ψ
∂x− Ψ∂Ψ∗
∂x
)= 0. ���I��
% ��!� ! !� ��� � " � �D = jпрош/jпад �!� �'��-� !D = 0� !� �
�! �! !�� ! ��!�� -� !6 � '��� 1 ���4 �0"� !#M � -� !65� ����41
�� 0��# �� �!����4! ( ��'��� 7�"- ��!��� � �0"� !# x > 0 �'��-�"� 05�
-!� � ! ( ��"�1 � -� !6� � �(41 * �01 ��"- !�� � ! � �
7� �"( �!�� !� 0���"� # 05 ����"�! "#�� �- !# ��� ."0� � *��'�5�
0"�����( ��!��5� � �1 !�"( ! ( !���& ���6 � )5 * � �-!5��"
��"�-" � '�"#!�!� �- ���5& '���� M ��� 05 "�0��� -� !65 � ��.
����" � '��� 1 ���4 �0"� !#� �� � ����� �!��'(! ( ��'��� � �0"� !#
��'� ; ���4�
7���� 6� �!� !�� -!� " ���226 �! k � !� ��� ���#; � �5 "
��"����� - "� � ��0����� ��� !��� !� � !� � "-�� β ��� ! 05!#
�! ��� !������ ��� ���226 �! '�!�*��( ��"�5 � � � � D� # !��.
� ��� " ��� ! ( ��"��( ���"�( ��!��&� ��� 05"� �!� - �� �5; �
����� �� ! ����'�! "# �� "��" �( � �5 � �� ���IB��� ��- � ���'5.
�� ! (� -!� � ���0��# ���& �0"� ! n2 < 0� % ��!� �!� �'��-�"� 05
� ��'����� !# �������� �( � !� � � �� �� �� !�(�(� �� �5;�41
l ∼ 1/β = 1/(|n| k)� 9��� � �!� ��� � ��"�-� ! ( �"( -� !6�
$��� 03�������# & ���
)5 �� ��!� " ��� ! &;�4 !��64 3 �'���� & !� -� !6
0��# ��� !�� !�� �#� �� � ��A�� 7 ��"#�� 0�" "���5� (�"( ! (
"�-�& 0��# �� ��� -��& ;��5 �� � ��I�� / !����� ( �� �!�� ��� �
�����0� � % �� �5��1 � ��� � �5 �� "� -!� -� !65 ���! ���.
���!# � �"� - � '��� 1 ���4 �0"� !#� � E < U � <��!��� �����
NN ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
����!#� -!� � "�-� 0��# �� ��� -��&;��5-� !# -� !6 ��� ! �5&!
' 0��# ��� �� �� ����& !����5� �� ( � ��� ��'���� � 0�� � '�-�!#
���*��� � -� !6 - � ' 0��# �
U(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩0, x < 0,
U0, 0 < x < a,
0, x > a.
���I��
G� ��!�� !��64E < U0� ��- � ��!�� -� !6 �� � � ��I " !! � ��.
"��! "#��� ������" � � x� �"� - � '��� 1 ���& '� # (�"( ! (
�0"� !# 0 < x < a�
U0
U x( )
x
0 a
1 2 3
2�� �� ���)�,1������ �����5� ����� = ���� "����� a 6���� � ������ ,� D
+� �� � �� ����� � ��� ?8�1� ����� - ���5 _��� )� �B �B � �=�+� -��� ���
0 � ������� �=� ���
D��; � ����� � c� �� �� �"( !�6������� � !�(�( �� �.
& E� F-! �� -!� � 4! ( !� *����! ��5 �0"� !M x < 0� 0 < x < a
x > 0� ?��!� ! !� ��� �"( �!* �0"� ! & � �
x < 0 : Ψ′′1 + k2Ψ1 = 0,
0 < x < a : Ψ′′2 − β2Ψ2 = 0,
x > 0 : Ψ′′3 + k2Ψ3 = 0.
���IN�
D� # �� � �5 �0�'��- �(
k = 1
�
√2mE, β = 1
�
√2m(U0 − E). ���IO�
G ; � ����� �& ���IN� '��; � � ��
Ψ1(x) = a1eikx + b1e−ikx, x < 0,
Ψ2(x) = a2eβ x + b2e−β x, 0 < x < a,
Ψ3(x) = a3eikx, x > a.
���KB�
3-0- =�����!�+& 522�)� NO
,"( �0"� ! x > a �5 � !��" !�"#�� ��"��� �� ��� !���(41�4 ( �
��"��! "#��� ������" �� �� ��"#�� �� ���"�� ! ( �! �! !� � �!�&
�0"� ! ���*."0� � ��������� ! &� �����(1* � ��(�" �4 �!��� �.
�5* ��"�� 9� -� ! � ���KB� ����� ;!# � !�-��* x = 0 x = a� ��"#'�(
� "��( ���O�� ���AB�� =!� �� ! ! �� - !5� * "� &�5* ��������5* ����.
� �&
a1 + b1 = a2 + b2,
ik(a1 − b1) = β(a2 − b2),
a2eβ a + b2e
−β a = a3eika,
β(a2eβ a − b2e
−β a) = ika3eika,
���KA�
' ��!���& ����� �5��'!# ���226 �!5 b1, a2, b2, a3 - � ' ���"!�.
�� ����41 & ��"�5 a1� )5 ��� � � �5��� � !�"#�� �"( ���"!��5
���; �; & - � ' 0��# � ��"�5M
a3 = 4ikβ
(k + iβ)2e−β a + (k − iβ)2eβ ae−ikaa1. ���KI�
/! 4�� " �� ��&! ���226 �! ���*��� �( ������ ��� �M
D =∣∣∣∣a3
a1
∣∣∣∣2 = 4k2β2
(k2 − β2)2 ch2(β a) + 4k2β2 sh2(β a). ���KK�
G� ��!�� -� !�5& "�-�& �!�& 2����"5 �� βa 1� �!� -�41&
;������ 0��# ��M
D =∣∣∣∣a3
a1
∣∣∣∣2 = 16k2β2
(k2 + β2)2e−2β a. ���K��
7������� -!� � "-�� β �� ! ( �5��� � � ���IO�� 9��� �0��'��� - �
�5; ;� 0��# �� ! � � �#;�( ��"( -� !6 ��� ! � �� ���" !#� %
�!�& �(' !����! ( ( �5�� -!� � ���'��-�� !# 0��# �� �"( �"� - .
�* -� !6 �0� "��" �� � ��� ��"� !#4 ���226 �!� ���*��� �(�
7���� �� �"( -� !6 �� �& m = 10−6 �� � & E = 0,99 �� 0�.
�# � �5 �!�& U0 = 1 �� ;���& a = 10−3 � � ! ���226 �! ���.
�� ���(
D ∼ exp[− 2
�
√2m(U0 − E) a
]∼ exp
(−2, 7 · 1020).
=!� � "-�� !�"# ��"�� -!� ����5& 0��# � ��� ! -!�!# ( �0 �"4!��
� ���'��-�5�� /����� �"( �" �!���� �m = 9,1 · 10−28 )� �� ���" ��41 .
� 0��# � ;���& a = 2◦
U = 2 · 10−8 �� ����� ��� �� U0 − E == 1 �% ≈ 1,6 · 10−12 �� � !��! D ∼ 0, 13� -!� �� ���"� ��0"4�� ���
OB ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
F-!5��(� -!� �� '� � � �� � �� ��� �!� � �( ! ( ���'��
05 !� � - � �� ��� ��� �6�"#�5& ����! "#� ����� � � � �!# �5��.
� � ���K�� �"( D � ��
D ≈ D0 exp[− 2
�
√2m(U0 − E) a
]. ���K��
% 2����" ���K�� �� ��� ��� �6�"#�5& ����! "#D0 !#� ��� ����"��
� "-�� ���(��� ��65� <�"�-!# � �� ��� �6�"#�5& ����! "#�
���'5�� ! (� �� !�!�-�� ��� !� ' " ��41* ��0��� �&� % ���� � .
" � " 0��# � ;���&� !� � ���0��# ���& �0"� ! �0 < x < a) ��"����(
2���6( '�!�*� ! "#��� !�� -!� � ������ ���( '��- � ��"�� <��!���
�!��� ���( �! !�-� x = a ��"�� �� � 0� ��� ��"� ��!����!# ( ���!
!�"#�� -� !65� �� !; �!�� ���(�� ?" ����! "#��� � 4�� � ���0��# �.
��& �0"� ! ��"����4 2���64 ����� '�� �!# � ��
Ψ2 ≈ b2e−β x. ���K��
7� �� !�(� Δx = a ���"!��� ��"����& 2���6 �� �#;! ( � eβ a ��'
� !��! Ψ(a) ∼ Ψ(0)e−β a� ���"!���5& ���226 �! ���*��� �(
���'5�� ! ( �� �!�� ����5� d ∼ Ψ(a)/Ψ(0) ∼ e−β a� � ����� ���
0��# ��
D = |d|2 ∼ e−2β a. ���K��
�!��� �5 � !����"� -!� -� !6� ��� ! ���&! - � ' ��! �6�"#�5&
0��# � � ��!�( �� !�� -!� �� �( � �#; �5 �!5 0��# ��� % �"� .
- ��& � *��� �!�! �22 �! � ��'��� �M -� !6� ��"��� �!��'!# (
�! 0��# ��� b�" � ���*��� �( -� !65 - � ' �"� - � '��� 1 �.
��4 �0"� !# ��'5�� ! ( �������� 1))����� �� ��"#�� ��� �!��" ���
������� ! ���*��� � �� '�� - � ' !��� "# � �� �
)�� ! "��!# ( �� -�!" � � -!� � �!�� (�" � ����;� ! ( '����
�*��� �( �� �� % ���� � " � �� ('5� �"� - ��& � *��� �5
��� �" 05 ��� � !��
E = T + U(x). ���KN�
<� ��"#�� �� !- ��( �� �( � �!�6�! "#��� T � 0� !� ��"��� 05"�
05 �5��"�(!# ( � "��
T = E − U(x) � 0, ���KO�
!� � �� �( ��"��� � 4�� 05!# � � �#; �5 �!5 0��# ��� % !� � �� �(
� �"� - � '��� 1 ���& �0"� ! �5��"�( ! ( ���!����"���� � ��.
� � !��M E − U(x) < 0� -!� (��� ���!��� -! ���KO�� =!� �� ��� � �
������� (�"( ! ( - !� �"� - �� � �������-�� � ����!���& � *��.
� M ��!��; � ���KO� ��"��� �5��"�(!# ( ������ �"( � ��* '��- �&M
〈T 〉 = E − 〈U(x)〉 � 0. ����B�
3-L- =�����!�+& 522�)� � ������8���� ���:(� ���������& OA
7 !����� � !����!#� -!� � ��; � "�-� 〈U(x)〉 = 0� % ���� � " � ��
��� � " �4 ����!���� *��- ��� � �� � '��- �( � �
〈U(x)〉 =
∞∫−∞
Ψ∗(x)U(x)Ψ(x) dx
∞∫−∞
Ψ∗(x)Ψ(x) dx
. ����A�
% �!�&2����" - "! "# � ! ��� -�� '��- � � �� ��"#�� 0��# � '��.
�� ! ��� -��4�0"� !# ��� !��� !�� � �� ���I�� � � ��I� �! ������
2��!- � � �1 !�"( ! ( � ��� -�5* �� � "�*M �! B �� a� D��� ��! "#
� ��� � 0 ��� -�� !� �� ��"#�� ��"����( 2���6( � 4�� �!"-�� �!
��"(� � �� 0�"#;* �� !�(�(* �! 0��# �� �� 5�� ! ��0���� ��� �
-� !6� !� � � ! ��� -��4 ���"!���� 9��� �0��'��� � ��� � !�� ����B�
���! ( � ��� � !�� E = 〈T 〉� �!�!��� ���(!���� �"( -� !6 �� 0�"#.
;* �� !�(�(* �! 0��# ��� +���"#�� � ��� �(!# � ��� � !�� ���KO� �5
� � � ������
$�"� 03�������# & ��� � ������)����
����������������#
����5�� "� �� !��� "#��� �22 �! � ! ( � ��" ��( � ��(!�� !#
��&! -� !6� � �"� - � '��� 1 ���& �0"� !� %5; �5 2����"#��
����'�"� -!� '���� �*��� �( �� � �� �!�� � ����;� ! (� /�����
����� ����� �� !��!# ��- M " -� !6� ��*��! ( � !�-��* �"� - .
� '��� 1 ���& �0"� !� !� ����� " ����1#4 �����."0� '� � �(
���� �!#� -!� �� �( �!�& -� !65 � '��� 1 ���& �0"� ! � & !�! "#��
����" !���( ! � ��� � !�� E < UL <��6 '� � �( ��� ! �����"#��
'� �!# � !�(� ����!���� *��- ��� �0J �!�� %5( ��� ��� '� � .
� ���(�! ( � ��; & '���- � @�� ��"( ��� !�!5 -!�!# 0��# �;�����
9��� � �"� - � '��� 1 ���& �0"� ! ��"����( 2���6( �� 5�� ! (
��!��; � � ���K��� ��!��� �5 � � �; � � " ��41 � �� M
Ψ ∼ exp(− x
L
), L = 1
β= �√
2m(U − E). ����I�
%*��(1�( 4�� � "-�� L !# *����! ��� �� !�(� � �� ��!����
��"��� 05!# '�� !������� -� !6�� �"( !�� -!�05 �� � ��� ����!#M
-� !6� ��*��! ( � �"� - � '��� 1 ���& �0"� !� =!� �"�� " �� !
���(!# � ��- !� '��- �( � ��� � " ��� ! �������!5 -� !65� 9����
�"� �� ��!��; �4 � ��� � " ��� ! &� ��'��� ! � ���!��"�� �5&
��'0�� '��- �& ���"# �� -� !65 � *����! ���� ����'��
Δp ∼ �
L=
√2m(U − E). ����K�
OI ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
?��!� ! !��41�( � ��� � " ��� !# �� !- ��& �� � � !��!
(Δp)2
2m∼ U − E. ������
=!� ��!��; � �'��-� !� -!� �� '� � � -� !6� ���0� !� ! ��.
��"�! "#��4 �� �4 �∼ U − E) ���(��� !�&� ��!���& � �� !� ! �"(
�"� - ��� ����0��# ����� ��� �(� 9��� �0��'��� ���'�"� #� -!�
'�� !�����!# � �"� - � '��� 1 ���& �0"� ! '��- �( �� �
-� !65 � �#; �5 �!5 0��# �� � ��'�����M '� � � ��5;0 !� -�.
!6� ' 0��# ���
?��'���� ����� ��( �!# �5� �� �0��� ����� !'����� ���6 ��.
�� '� � �(� � ��"#'� � �"( '� � �( �������!5 -� !65 � !� /- .
����� -!� �"( ��� � " �( ��"�� �( -� !65 !�-�� !#4 ∼ L � �0*�.
��� ��"#'���!# � ! �"��& ��"�5 λ < L� ?��!� ! !��41�( �� �(
2�!��� �� �!�� � !��!
�ω = 2πc�
λ>
2πc�
L= 2πc
√2m(U − E). ������
)5 �� ��!��� � � � "(!� ! �& "�-�&� =!� '��-!� -!� �� �(
2�!��� ��"��� 05!# � �#; � - � �� �( ����( -� !65M �ω < mc2 ���-
����� 05"� 05 �� " ����! "#�� �-!5��!# � "(!� ! � �22 �!5 ��
!�"���� � -� !65 2�!������ % �!* � "��(* ' ������ " �� !
(�ω)2 > 8π2mc2(U − E) > 8π2�ω(U − E),
"
�ω > 8π2 (U − E). ������
<� " �� � ��� � !�� �'��-� !� -!� �� � 2�!��� '��� �� *��!� ! �"(
!��� -!�05 �� �( -� !65� ��"�!�; & �!�! 2�!��� �� �5 "� �5 �!�
0��# ��M �ω > U − E�
$�$� -��2�������4����� ���@��:����
%5; �"( ����1 �( �� - !�� �5 �0 ����" !�"#�� "�-�& ��(��.
��"#�5* 0��# ���� ���� ��! �6�"#��( �� �( U(x) � �("� '��- �
!�"#�� � ����& " ���* !�-��*� � !���( # �� !�(���& �� � * ���-* !�-.
��* 1) � �� � � ��A ��I�� % ����� � ��� ����"�� ��! �6�"#��( �� �(
� �( ! ( �! !�-� � !�-� � ���� ����"#�� "���5��0��'��� !�� -!� ��(.
����"#�5 0��# �5 ����!- � � � !� -�4! (� �� � !��"(( �0�& � �.
"'�64 � �"#��& !��6� % �01 � "�-� ��&! ����� ��� � �"#��.
� 0��# ��� � ;�( !�-�� ����� � c� �� ��� � ��'������ ?�1 !��4!�
1) 7 ) ��) ���� ��� ���1� ��,- � ,�����=������ ���)�� ;�,��-��D�������� �
�,��5��<
3-3- ���*�)�����$��)�� :(�"��C���� OK
������� ��'"-�5 ��0"� ��5 �� �05 � ; �(� /�� ' �*� ;����
� !� -�41& ( �� ����!� ��'5�� �5& ���������������� ��� �����
���� �5 &-� �� ��!���,���5& �� �0 ��'��"( ! ��"�-!# � ; � �
! * "�-�(*� ���� ��! �6�"#��( �� �( � �( ! ( �� !�!�-�� � �" ����
?��!� ! !��41& �� � " �� �; ��� ���"�- � !���� -!� � ! � !�
�� � � *�� �! ��"����& ��!� � �� !�- ��&M " �"�� ��"�5 ��.
"� �� ���� �4 *����! ��5� �� ;!�0�� � ��������� ! � �5� !�
�5��"�(4! ( '����5 "�- ��� �� ��� !��� �( � !�� % ����!���& � *�.
�� ��! �& ���"�- �M " � 0��&" � ��( �"�� ��"�5 -� !65 ��"�
�� ���� �4 �� !�(�(�� �� ��!��5* �1 !� ��� � �( ! ( ��! �6.
�"#��( �� �(� !� �5 ��"��5 � � &! � '������ �"� - ��& � *����
��"- !� ��� �!�! ��! �& 0�� ! 2����"����� ��"#; �
G� ��!�� ����� � c� �� �� �"( !�6������� ����� ����
��� �(M
Ψ′′ + p2(x)
�2Ψ = 0, ������
� �"� - �& ���"# -� !65 p(x) �� � � ��!��; � �
p2(x) = 2m[E − U(x)]. ����N�
C " 05 ���'�"� #� -!� U(x) = ][^_`� !� � p(x) = ][^_`� !� � ; � �� " �.
� � ����� �( '�� 5��"� # 05 � ��
Ψ(x) = Ψ1eipx/� + Ψ2e
−ipx/�. ����O�
<� !# ! � �# 2���6( p(x) � �( ! (� �� � �" ���� @�� � ��!# � ; .
� ����� �( ������ � ��
Ψ(x) = exp[iS(x)
�
]. ����B�
8���6( S(x) ��'5�� ! ( ��������� % "�-� p(x) = ][^_` �5 � "
05 S(x) = px " S(x) = −px� -!� ��!� ! !�� ! ��"����& 2���6
��� ����O�� ,"( �� �0��'����( ����� �( ������ ��&� � ���'����5 �!
2���6 ����B�M
Ψ′ = i
�
S′Ψ, Ψ′′ =(i
�
S′′ − 1
�2S′2
)Ψ. ����A�
<�� !��"(( �5��� � �"( Ψ′′ � ����� � ������� ��"�-�
S′2 − i�S′′ = p2(x). ����I�
<� ���"���� -!� 2���6( S(x) � �( ! ( � �" ���� ? �- !�� �!��
0�� � ��!# � ; � ����� �( ����I� � !���� �� " ����! "#�5* ��.
0"� �&� 7'; ��0"� � �S = S0) �5 ��"�-�� " ��� �
� |S′′| � |S′2|. ����K�
O� ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
% �!�� ��0"� � ' ����I� " �� ! S′20 ≈ p2(x)� "
S0(x) ≈ ±∫p(x) dx. ������
=!��� ��!� ! !�� ! ��0"� ��� �5��� � �"( ��"����& 2���6M
Ψ(x) = C1 exp(i
�
∫p(x) dx
)+ C2 exp
(− i
�
∫p(x) dx
). ������
D� # �-! �5�0� "� &��� '�� �5*� ; �(� �!� -�41* '����� �+�
�−� � ������� � "� C1 C2 3 ���'��"#�5 ��� !��!5�
� �01 � "�-� ����" � �5 �
,����� ��0"� �( �05-�� �� !�!�-�� �"( � ; �( 0�"#;� !��
'���-�<���� �� ������� ��� ��"�-� ! ( " ��41 ��0"� � � ,"( �!��
'��; � S = S0 + S1, |S1| � |S0|� <�� !��"(( �!� �5��� � � ����I��
��"�-� ����� � �"( ������� S1M
(S0 + S1)′′ = 1
i�
[(S′
0 + S′1)
2 − p2(x)]
"
S′′0 ≈
2
i�S′
0S′1. ������
D� # �-! ��� -!� |S′′1 | � |S′′
0 |� |S′1| � |S′
0|� � !��� ��"#'����� ��� � !��
S′20 = p2(x) �"( � & !�( � �'; � ��0"� �� G ; � ����� �(
������ � ! ��
S1 = i�
2lnS′
0 = i� ln√p(x). ������
/! 4�� ��"�-� ! ( �!�-� ��� �5��� � �"( � & !�(M
S(x) ≈ ±∫p(x) dx+ i� ln
√p(x). ����N�
<�0"� ��� � � ; � ����� �( c� �� �� ����� ! ��
Ψ(x) = C1√p(x)
exp(i
�
∫p(x) dx
)+ C2√
p(x)exp
(− i
�
∫p(x) dx
). ����O�
/ !����� ( �� � "��(* ��� ��� ! � ; �& ������ ����O�� )5
-!�" � |S′′| � S′2� � ��"#'�( '� # �"( �6 �� �'; ��0"� �
S′(x) = p(x)� ��"�-� �
� |p ′(x)| � p2(x). ����B�
%� � � -� !� ��"#'� ��4 � "-��
λ(x) = �
p(x), ����A�
3-3- ���*�)�����$��)�� :(�"��C���� O�
������6���"#��4�"� ��"�5 � @��&"(� 9��� � ��� � !�� ����B� ��� !
05!# � � � ��� � " ��41 & 2��� M∣∣∣∣�p ′(x)p2(x)
∣∣∣∣ =∣∣∣dλ(x)
dx
∣∣∣� 1. ����I�
=!� � ��� � !�� �'��-� !� -!� �"�� ��"�5 � @��&"( ��"��� � �(!# (
� ��� !��� !� �� !�!�-�� � �" ���� )�� ! 05!#� 0�" ��"(��5� �!�
� "�� ���� ! (� " �� ! '� � � ���"# � -� !65 �� �� !�(�
���(��� �"�5 ��"�5 � @��&"(M Δp ∼ 2π λp ′(x)� 9��� � ��� � !�� ����I�
��� ! �� ∣∣∣∣�p ′(x)p2(x)
∣∣∣∣ ∼ ∣∣∣∣ �
p2
Δp
2π λ
∣∣∣∣ = 1
2π
∣∣∣∣Δpp∣∣∣∣� 1. ����K�
/! 4�� ����� -!� ���'�"� - �� ��0"� � ���� �"�� !���� ��.
�� '� � � ���"# � �� �� !�(�(* ���(��� �"�5 ��"�5 � @��&"(
��"� �� ���� �4 � "-��& ���� ���"# ��
?!��� ����(� ��0"� � ����O� �- ���5� �0��'�� � ��� ���
� ��"�& ��� !�� ! � �05* !�- �� � ��!��5* p(x) = 0� �� ��"#�� '� #
����;� ! ( ��! �& ����I�� /����� !�-��( ��"����( 2���6( � �� �5���
�22 � �6�� �� � ��� ���� ��! �6�"#��( �� �( � � ! ���*.
!� 0 ��� -�5* ��-���� <��!��� �5 ��� � �"4-!# ' �� ��!� �(
��"5 ��� !�� ! � �05* !�- �� � ( � ���� -!� � �����( �������!��(
'�� �� !# 0�� ! � � ����!# ( !�"#�� �� ��� �6�"#�5� ����! "(��
/0��!� ����� �� !���!��� ��0"� ���� �5��� �( ����N�� �.
!� 2����"#�� � ����� �� ��!���!# ��� � ��5 -" �5 ��'"�� �(
� & !�( S(x) �� ! � �(� �� !�(���& <"���� �� =!� �!� -� ! !��� 2��!��
-!� �� !�(���( <"���� �!���� ! ��"- ����!���� *��- �* '�����.
� ��� ! & � ����� �( �"� - ��& 2'� � �*��!�
G ; � ������ ���� �"�� �"( �"� - � ��'� ; ���& �0"� !� ��.
�� p2(x) > 0� <� !# ! � �# p2(x) < 0� /0�'��-�
q2(x) = −p2(x) = 2m[U(x) − E]. ������
<�"�-!# � ; � ����� �( c� �� �� �"( �!�� "�-�( ������ ��.
-! �� "���� ���!��� �5��� 2����"5 ������� /- ����� -!� � � � ! ( �
'�� � � ������ 2���6 p(x) �� 2���64 iq(x)� -!� �����! � " ��41 .
�� �5��� �4 �"( ���'�"� - ��& ��"����& 2���6 � ���0��# ���&
�0"� !M
Ψ(x) = B1 exp(
1
�
∫q(x) dx
)+B2 exp
(− 1
�
∫q(x) dx
), ������
� B1 B2 3 � ��!��5 ��� !��!5� D�� !�� -!� � �!�-� ���� � ; .
� �! � "-�5 ��� !��!�� �� � (�"(4! (� �� �� � �(4! ( ����
� �" �� � - � �� ��� �6�"#�5 ����! "�
�"� - ��( -� !6� ��� ! ���!# ( !�"#�� � �0"� !� � p2(x) >> 0� 9�-�� � ��!��5* ���"# �0��1� ! ( � ��"#� p2(x) = 0� ��'5��4! (
O� ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
������������������ ��������� �� ��"#�� �"� - ��( -� !6�� �� !.
�( �!* !�- �� � �( ! ������" � ��� �( �� ���!����"���� � ��5�
"����� �! !�-� �!� "(4! �"� - � ��'� ; ���4 �0"� !# �! �"� .
- � '��� 1 ���&�
� ��"#'�( ��0"� � ������� � !����� ��"�-!# �5��� � �"( ���2.
26 �!� ���*��� �( - � ' 0��# � ���'��"#��& 2���5 �� � ��K�� ";#
05 !�"#�� �5��"�("� # � "�� ���'�"� -�� ! ����I�� <� !# �"� - .
� '��� 1 ���( �0"� !# ��� �( '��"4- ��� ��� �"� - ��!�-��.
� ������!� x = a x = b� =! !�-� ��� � "(4! ( ' ����� �( p(x) = 0
"
U(x) = E. ������
U
E
a Δxi b x
i
2�� �� �����5� ����� = ���� ����+������ ���)� !���1�� - ���5� E )���"�
) ���) ����� ����� = ���� E a � b T �� ���-����� ��-�� ������ 6���0� �
������ ,� +� �� � �� ����� ��4���� - ���5
?-!�( 0��# � ;����� �5 ��� � �� � 0� -# ��"��&� �!��� ���& �!
������ ���( �!� � �! !�-� x = b)� 9���� �"� �� ������� ��"����4 2���.
64 � ���0��# ���& ��"� - � '��� 1 ���&� �0"� ! ����� '�� �!# �
��
Ψ(x) ∼ Ψ(a) exp
⎛⎝− 1
�
x∫a
q(x) dx
⎞⎠ . ������
%� 0��# �� ���"!��� ��"����& 2���6 � �( ! ( �!�� ! "#�� "�0�
��� ��"#�� �! �! !�� ! �� ��� �6�"#�� 05 !�� �05��� �� ?��!� !.
!� ��� �5 ��*��� � " ��41 �� �5��� �4 �"( ����� ���( 0��# ��M
D ∼∣∣∣∣Ψ(b)
Ψ(a)
∣∣∣∣2 ≈ exp
⎛⎝− 2
�
b∫a
√2m[U(x) − E] dx
⎞⎠ . ����N�
�� !� �5��� �!�& 2����"5 ""4 !���4! " ��41� �0��'��� G�'�.
0# � � # 0��# � �� �� " ����! "#�� !# ��(����"#�5* 0��# ���� ��� ��.
��'��� �� � � ��K� 9��� - "� -� !6� ����41* �� i.& 0��# �� �����
3-6- Q)���(��N�& ������!�+& ��)(��)�: O�
- "� -� !6� ���; �;* - � ' (i− 1).& 0��# �� ?��!� ! !� ��� ���22.
6 �! ���*��� �( - � ' � # 0��# � a < x < b 0�� ! ��� � ���'� � �4
���226 �!�� ���*��� �( - � ' �" � �!���5 0��# �5MD ≈ D1D2 . . .Dn.
C " �" � �!���5 0��# �5 �50��!# �� !�!�-�� ;����� !� �"( ��*��.
� �( * ����� ���( ����� ��"#'���!# 2����"� ���K��� % � '�"#!�!
��"�-�M
D ≈
n∏i=1
D0i exp(− 2
�
√2m[U(xi) − E] Δxi
)=
= D0 exp
⎛⎝− 2
�
b∫a
√2m[U(xi) − E] dx
⎞⎠ .
=!� ������ ! 2����"�& ����N�� ��"�- ���& �5; 0�" 2����"#�5�
�� �0���$�'� ������3A=�# �3�������# .��������
% ��- !� ����� ' ��"�� �& '"�� ���& ! �� �� ��!�����.
6� ��0�!5 !��� "#��� ���� ����� ��'��"(41 � �5 ���& !�-�� !#4
'� �(!# �� !�(�(�
��� '� !��� -!�05 ���"!# �" �!��� ' � !�""�� ����� '�!��!!#
��� � " ���4 �� �4� ��'5�� ��4 ��0�!�& �5*���� <� !# � ! ( � .
!�""- �& �������(1&� �0��' 6 �!�� ! "#�� �����& ��� �*�� !#4�
/0�'��-� ��0�!� �5*��� ' � � A2� ,"( !�-��� ��� � " �( 2���5
��� �*�� ! ��� !� �0"' ��� �*�� ! ��� �� !�(� d �! � � � !�".
"- ��4"� �� � ���� ��� /0�'��-� ��0�!� �5*��� �" �!���� ' "5A1�
% �0��'6 " �" �!���5 '���"�(4! � �'��" ��1 � !�(�( ��"�!#
�� �� �� ��'5�� ��& ����� � 8 ��� G� !�(� �! �����( 8 �� ��
� �*� � ���( (�5 �� � !��"( ! �0�& ��0�!� �5*���� 7� � � ���� ��.
��'��5 ��! �6�"#�5 (�5� �'���� �5 �"( �" �!���� �0��'6�� "�&�
% 4�� �� �0��'6� "5 �" �!���5 ���! ���!# ( ��0����� =!� �'��.
-� !� -!� * �� �( ��"��� 05!# �5; ���( (� �"( "5 �0��'6�� ��- �
���( �0 * (� " ��! �� ����� ����� �
< � *�� �" �!���� ' �0��'6� � "� ��'��� � !�"#�� 0"�����( !��.
� "#���� �22 �!�� ,"( �� "- �( !��� "#��� !��� �� "� ����4! ��.
"��! "#�5& ��! �6�" V �!�� ! "#�� �0��'6� �� � ���� ��� <� �!��
����� �" �!����� � " �����4! ( �� eV �e < 0)� � ��0�!� �5*��� A1
� � �( ! (� �� ��"#�� ��� ��� � "( ! ( !�"#�� �('#4 �" �!���� (����
���� �" �!������
G� ��!�� ��- !� ��� ��0�!� ���� �����,"( ����1 �( 0�� � -.
!�!# '���-� !�6������& ����� ���&� %50 � � � # x � ������" � �!
ON ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
�0��'6� � " �� � ����� 9��� "#�5& � � *�� �" �!����� ' �0��'6� �
"� ��'��� � �!� � ��� *��! � ��0���5 � !�(�(�� " * �� �(
�� ����� 8 �� 1) � �0��'6 �� �5;� ! �� �4 �����( 8 �� � " �
% -� !�� !� " A1 > A2� !� !��� "����� ��'����� 0 ' ��"�� �(
����"�! "#�5* �� ;�* ��" &�
îáðàçåö
d çàçîð
èãëà
à
d
ïðîâîäÿùèéîáðàçåö
èãëà
A1
A2
á
óðîâíèñâîáîäíîãîäâèæåíèÿýëåêòðîíà
ïðîâîäÿùèéîáðàçåö
A2
èãëà
A1
eV
xx d=x = 0
E = 0
â
2�� �� �T� -������ � �0�) �,�������1� )�������� E "T������8�� �=� D
+�5 � �1� � � �����5� ����� �)� ��� �������� E �T��4� ����� �����4���� � �1��
����4�������1� �����5� � 6���0� � ������ B ��,8 � �� ��,4� B ���?�����,��
�,������� ��� �������� �+ �=� +5 �1�, ������ ���)� �=� +5 �=� � +
� - �� ���-�� ����1�� �������� @E ` .A
@�� � �! -!5��!# �� �4 �! �����( 8 �� �0��'6�� 9��� ��"��(
�� �( �" �!���� E = 0� <� !# � ��� �0��'6�� "�& � & !�� ! ����.
����� �" �!�- �� ��" ����(� ��� !#4 E� ������" ���& �! "5 �
1) 7������)�� ��� ,�� � �� ����B -�� ������) ��������� ��������� + ��D
) ?� �� ����1���-����� ,���� �� � +��� ����1�� . aE � EF B 1�� ���-�� EF
����� � + ��� ,���� ���)� ��� ��= ����� �8� ����1� �������� �� ��� � ��
������ ��������� � E b EF
3-6- Q)���(��N�& ������!�+& ��)(��)�: OO
�0��'6�� 9��� ��! �6�" "5 �!�� ! "#�� �0��'6� ��� � V = −Ed� <�
�!�� ��! �6�"#��( �� �( �" �!���� � �0��'6 ����� U(x)|x=0 = 0� � �
���� ��!� �! �0��'6� �� �*��� � "� 0 < x < d
U(x) = A2 − eEx. ����O�
9��� "����� �" �!����� �����! � ��(�" �4 �" �!�- ��� !���
J(d)� �� � "-� ��!���� ����� ��!# � �� !�(� d � ��� "�&
�0��'6��� % "-�� !��� ������6���"#�� ����� ���4 0��# ��M
D ≈ D0 exp
⎛⎝− 2
�
d∫0
√2m[A2 − eEx] dx
⎞⎠ =
= D0 exp(− 4
3�
√2m
eVd[A
3/22 − (A2 − eV )3/2
]). ����B�
% -� !��� "�-� � ���� |eV | �A2� �!� 2����"� ����1� ! (M
D ≈ D0 exp(−
√8mA2
�
d
). ����A�
<� !# �� !�(� � ��� "�& ��� �*�� !#4 �� �#;"� # �� b� 9���
��'�� !��� "#�5& !��� ��- �
J(d− b)
J(d)≈ exp
(√8mA2
�
b
). ����I�
<� !#� ����� �� A1 = 4,5 �%� A2 = 4 �% V = 0,5 �%� C " � ���6
��������( "5 �� !�(� �� �0��'6� � �( ! ( �� b = 1◦
U� !� ��
2����" ����I� ��&� �� -!� !��� "#�5& !�� '� �( ! ( ��� ��� � N ��'�
?��'���� � ��� !��� ! ������4 ��'� ;�41�4 �� �0�� !# !��� "#.
��� ���� �����
7� ����!� !��� "#�5&���� ��� ��0�!� ! " ��41��0��'����"�
� !����"�� ! ( �� �� !�(� x ∼ (3÷ 10)◦
U �! ��� �*�� ! �0��'6�� !��
-!� !��� "����� �" �!����� �� ���"� ��'������ ?��!� ! !��41
'��- �( !��� "#��� !��� � !��"(4! J ∼ (1÷10) �� �� ��'�� ! ��! �.
6�"�� � ��� "�& �0��'6�� �! � ��"#�* �""��"#! �� � ��"#�*
��"#!� /���'� ! ( 6 �# �0��!��& �('� ��!���( ���� ���� ! !��� "#.
�5& !�� � '� ��5�� ��!� ! !��41� �0��'�� '� �(( �� !�(� x �!
"5 �� �0��'6�� D�� # ��"� �0��!��& �(' �� ! � "# 2 ��� �*��.
! �0��'6�� G�'� ; � ���� ���� � !��"( ! ��" �� !� �� �"�0# � .
1 !�� ��65 �� !� ��� ���"# ��� �*�� !� =!� � "-�5 ���(���
� ��!���5* �� !�(�& � ���� ! !� ���� ! " �
9��� �0��'��� !��� "#�5& ���� ��� ��'��"( ! (��� ��0"4��!#
�!����.��" ��"(���4 !���!��� � 1 !��� ? � ����1#4 ���"� # � ���.
!������!# �!����4 !���!��� ��� �*�� ! �(�� �� !�""��M �" �����
ABB ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
�� ��( !� �� /� ��"#'� ! ( �� '�- � �� ��06� �"( " ����.
�( ��"�����������5* � �*������(1* !���!�� !� ��
$�*� ���@�������� ����:����
% �� � ( � '���- � ��! �6�"#��� 0��# � ��� ���I�� 3 �� � � ��I�
<� !# ! � �# -� !6� � ! �� �4� �� �5;�41�4 �5 �!� 0��# ��ME >> U0� 7�&� � ���226 �! �!��� �( �! !���� 0��# ��� ��� � "�.
-� ���IN�� '��; � ����� � c� �� �� �"( !� * ��'"-�5* �0"� ! &M
x < 0 : Ψ′′1 + k2Ψ1 = 0,
0 < x < a : Ψ′′2 + k2
2Ψ2 = 0,
x > 0 : Ψ′′3 + k2Ψ3 = 0.
����K�
D� # �� � �5 �0�'��- �(
k = 1
�
√2mE, k2 = 1
�
√2m(E − U0). ������
G ; � ����� �& ����K� � ! ��
Ψ1(x) = eikx + re−ikx, x < 0,
Ψ2(x) = beik2x + ce−ik2x, 0 < x < a,
Ψ3(x) = deikx, x > 0.
������
D� #� ��� ���#; � �5 � !��" � �5��� � �"( Ψ3(x) !�"#�� ��"���
�� ��� !���(41�4 ( � ��"��! "#��� ������" �� ���� !��� �5 ��.
�("� -!� ���"!��� *����& ��"�5 ����� ��6 � 9��� ���226 �!
�� �!��� ���& ��"� ������ ! ���"!���5� ���226 �!�� �!��� .
�( r� � ���226 �! �� ���; �; & ��"� 3 ���"!���5� ���226.
�!�� ���*��� �( d� ?;��( ��'"-�5 -� ! ��"����& 2���6 � !�-��*
x = 0 x = a� ��"�-� ! �� - !5� * ����� �& �"( ���226 �!��
r� b� c� dM
1 + r = b+ c,
ik(1 − r) = ik2(b− c),
beik2a + ce−ik2 a = deika,
ik2(beik2a − ce−ik2a) = ikdeika.
������
7 "���5 �5- " �( ��4!
d = ei(k2−k)a 4kk2
(k + k2)2 − (k − k2)2e2ik2a,
r = (k22 − k2)
(e2ik2a − 1
)(k + k2)2 − e2ik2a(k − k2)2
.
������
3-9- [� "�(!�(��� ��(�C���� ABA
�' � ���� �5��� �( ����� -!� � �� -� !# -� !6 ���*��! ���
0��# ���M ���226 �! d � �0��1� ! ( � ��"# � �� ���* '��- �(*
�� �� ����" !���(41* � "��4 E > U0� @�" �! � �5� (�"( !.
( ����� �0 �!��� �� + �� ��� !#� -!� " �5��"�( ! ( ��� � !��
e2ik2a = 1, " k2 = π l
a, l = 1, 2, 3, . . . , ����N�
!� ���'5�� ! ( r = 0� =!� '��-!� -!� -� !65 �� � &
El = U0 + �2k2
2
2m= U0 + π2
�2
2ma2l2 ����O�
� �!����4! ( �! �� �(! !�(� ���( # ��� � ��0����� ��� !��� !� �
/����� ���"!���5& ���226 �! ���*��� �(� ���01 ����(� � ��� �
��6 M
d = ei(k2−k)a, ���NB�
*�!( D = |d|2 = 1� ?!��6( '� # ���"�-�� !�&� -!� � ! � !� �
��!� M 0"�����( ��"-4 ����'�! "( �� "��" �(
n = k2/k ���NA�
�� �-� !� 0 < x < a ��"��� ���&�( - � ' � ��� ���0� !� ! ����"�! "#.
��4 2�'� Δϕ = (k2 − k1)a = (n− 1)ka�
7� � � ��� ����'�� �� '�� �� ! ����� ���( 0��# �� D �! �� �.
-� !65� ��� ���� ' � ����� � ! � !� � '���� �5& *����! �
����� ���(�
D
1
U0 E1 E2 E3 E
2�� � *���-� � + ���)���� ������5���� ���0�4����� -���+ ���)�,1������
= ���� �� ����1�� - ���5� ��� E b U0
ABI ,�- 3- '����K���!�+� "�(!�(+
D� # �� !�� '�� !!#� -!� ���"�-�� (�" � 3 � '���� �� ���.
�� ��� ��!- ��� '"�- �( 3 ��0"4�� ! ( � �! �2 ��� !� 8�0.
� :< ��M " �� �� !�(� a � ��� �"� !��� ��"��5�� ! ( 6 "�
- "� ��"���"�� λ = 2a/l, l = 1, 2, 3, . . . � !� � '�� �� �! ���226 �.
!� �!��� �( �"� !�R ����� ��� �! �2 ��� !�� ���'5�� ! ( ����5�
��6 �
,"( ��"��!5 '"�� �( " �� ! �!� !!#� -!� "�-�& l = 0 � ����N��
����O� �"4-� ! (� =!�! "�-�& ��!� ! !�� ! !���� -!� - "� k2 ==
√2m(E − U0)
/� = 0� 9���� � �1 !�"(( � ������ �� � "#�5& � � .
*�� k2 → 0� ��"�-�
d = e−ika 2
2 − ika, r = ika
2 − ika. ���NI�
?���� �"�� !# '����� �*��� �( |r|2 + |d|2 = 1 �"( �5��� �& ������
���NI� ���� �( ! ( 0 ' !�����
� � � � �
�������� ��� ��� ����������
?� �(*���! ���#�� �C� ��� \�&/��
1 8�#� � ,�(��� ���"�)�/ /��
Q���� M���+8����J ����� (�*!/� ]
�� �$���� *��& "+� �*"����� \�&/�
@%) � G ��) 2,= � ��A
% �� �5��1 & "�� �5 �����0�� �0 ��" !�� ��� ! &; ����!�.
��� *��- � (�" �(� ��� ���0��# ��� �!��� � !��� "#�5& �2.
2 �!� % �!�& "�� �5 �� ��!��� ��� ���5 (�" �( ��'���4! !����
���� ��! �6�"#��( �� �( � ! 2���� (�5 �� � 0��# ��� ��� 05"�
�5; �� <� ����! "#�� '�� !�� -!� !���( 2���� ��! �6�"#��& �� �
�'��-� ! ��"- ��!(� �(�<� �!�� � �"� - ��&2'� "40� ��"#
����� "�0� ��!(� � � ��� -� !6�� �����! � !���� -!� ��� !
��'����!# �('���� � !�(� �!* -� !6M� ! � 6 �!�� � �6 ��
�� �;�4! 2�!�� ��� � �!�� ! "#�� �01 � 6 �!�� � �6 "
���01 ����(! (� ��� ����"�� �('���� � !�(� � �� !� ���M �1 .
!�� ! 6 "5& ��0�� !��* � !�(�&� �!"-�41* ( �� �� �� ��- �
* � �!� '��- �& �� � � �� �5� �� <� ��!��� -!� � �!* � "��(*
��� *��! -� !6��� " ��41� '������ ����!���& � *����
'� � +������4�� 8�3@���! ��!.�38�����!
�����;������! !.�
7�-� � ���"' ��� ! &; � "�-�(� ���� �5 � � ����� ���4 0 .
��� -�� "�0���4 ��! �6�"#��4 (�� �"� �� ����� ����'����4 ��
U
0 a x
2�� � &������-�� 1�,D
=�� � ���)�,1���� � ��D
���5� ��� � �) 2 +��D
"��� � �=� ��� ��4����
. a x a a
� � ��A� ���"!- � �5��� � �"( !���&
(�5 '�� 5�� ! ( " ��41� �0��'��M
U(x) =
⎧⎨⎩+∞, x < 0,0, 0 < x < a,
+∞, x > a.
���A�
)5 �50��" ��-�"� �! - !� �� � !��� �0.
��'��� -!� �����4 ��� (�5 �!� -� ! '��- �
�� �E = 0� D�� #U = +∞ ��x < 0 x >> a �'��-� !� -!� -� !6� � ��� ! �������!#
� �! �0"� ! � �� ���* '��- �(* �� ��
% ���� � " � " �� �( -� !65 � �#; �5.
�!5 0��# ��� !� � �!�& �"� - � '��� 1 �.
��& �0"� ! ��"����( 2���6( �� ��� �6�"#.
�� �05�� ! �� � � ���" �( �! �"� - ��&
AB� ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
!�-� ������!�� <� �!�� ���� !# �05���( ! � 0�"#; � - � 0�"#; ��'.
�� !#U−E� % �� � " U → +∞ ��"����( 2���6( �0��!! ( � ��"# ��'�
�� ���6 � �!� "(41 & ��'� ; ���4 '��� 1 ���4�0"� !� % " � !�
��& !�� � �� �5��� ! �5 ��� � ��'� 2����"����!# ���-�� � "�.
� � ��!����� ��"��� ����" !���(!# ��"����( 2���6( � !�-��* ! ���
!���& (�5M
Ψ(0) = 0, ���I ��
Ψ(a) = 0. ���I 0�
%�"����( 2���6( -� !65 � (� ���A� ����" !���( ! ����� �4 c� .
�� ��
d2Ψ
dx2+ 2mE
�2Ψ = 0, 0 < x < a. ���K�
G ; � �!�� ����� �( � ! ��
Ψ(x) = Aeikx +Be−ikx, �����
� A B 3 ��� !��!5 �! ������(� � - "� k ��� � " �� ��!��; .
� �
k =√
2mE
�2. �����
� ��"#'� � ���-�� � "�� ���I ��� /�� �� ! B = −A� !�� -!� ��".
����( 2���6( ����� ��� ! ��
Ψ(x) = 2iA sin (kx). �����
� ��"#'� � ! � �# ���-�� � "�� ���I 0�M Ψ(a) = 2 iA sin (ka) = 0�
���226 �! A � ��� ! 05!# ����5� ��"4� �� ��"#�� �!� �!� -�"� 05
�! �! !�4 -� !6 � (� � Ψ≡ 0� <��!��� �5 � �0*���� ��"��5 ���(!#
sin (ka) = 0 "
k = kn = π
an, n = 1, 2, 3, . . . �����
D��- � n = 0 '� # � ���� !��� �� ��"#�� ��� �����! � !���"#.
���� � ; �4 Ψ ≡ 0� �!� -�41 �� �! �! !�4 -� !6 � (� � � ��"#'�(
������ ��"�-�
En = π2�2
2ma2n2, n = 1, 2, 3, . . . ���N�
% "-�� n ��'5�� ! ( ����!��5� - "���
%�"���5 2���6 � �� ��!��� ��& '���- � 4! �� ������ ���2.
26 �! A � �!* 2���6& ��� ! 05!# ��&� � ' � "��( ���������
<� ��"#�� -� !6� ��*��! ( � ��� -��& �0"� ! ��� !��� !��� ���0��
6-.- ;��)���$�� ���"�)�/ :(/������!��/ :����K���!��/ /�� AB�
�50��!# ���������
a∫0
|Ψ|2 dx = 1� % � '�"#!�! ��*��� � " ��41 ��
�5��� �4 �"( ����������5* ��"���5* 2���6&M
Ψn(x) =√
2
asin
(πnx
a
). ���O�
%� (�5 " �� ! � 4�� ��"��!# Ψn = 0�
D�� !�� -!� � ������� � !�(�4 �!� � � !�(�4 ��� �#; & �� �.
&� n = 1) �!� -� ! ��"����( 2���6(� �� !�-��( �!�� ! "#�� .
� ��5 x = a/2 �� � !��"(41�( �0�& ��"���� ��"�5 �� ��5�
< ��� ��'0��� ��� � !�(� �n = 2) �� 5�� ! ( ��"����& 2���6 &�
��! �� !�-��& �!�� ! "#�� � ��5 (�5� ,�" �� !�� n �� !.
�-�5 ��! �� !�-�5 ��"���5 2���6 - � ��4! (�
�!��� �5 � !����"� -!� -� !6� � (� ��� ! � !# � ���'��"#�5
'��- �( �� �� � !�"#�� � �� !�5& ��0�� ���N��
%���� ���- ����!#� -!� � ��; & '���- ����!���� ��'��"� '.'� !�.
�� -!� ��� ��;"� # ;��!# � ; �( �"( Ψ.2���6& �� ���6�* ��'�5*
2'- �* �0"� ! &� % ����& ' �* ��"��( �� �( 0�"#; ��! �6�"#.
��&� � ���* ���*3 � �#; ��! �6�"#��&� % � "� � ��� � !��� -!� �
�! �� �� " �� �0"� ! -� !6� "�0��� '�*��!# � ��� !� C ��� �
����- �� ! ���� (�5� C " 05 (�� � "� ��� -��4 "�0��� � �� �.
( 〈E〉 �� �5;�"� U � !� -� !6� ��"� 05 ���!# ( �! 0 ��� -�� ! ��
0 ��� -�� !� � 05"� 05 ��'������5* � ; �& ������ ����!����(
�� � � 05"� 05 ��� �
?��'���� !# " � !� �01 & ! �� �5� � !�(1 & � !��� -!� �� �(
� �� ����!� ! ( � ! �� ��!��5 � ���! �*��!# �� 0 ��� -�� !# � �.
� �;�4!2�!�� ��� � � � ����!� ! ( � ! �� �� �0�5* �*��!#
�� 0 ��� -�� !# ���� � ��!��5* �2�!����
D�� !�� -!� �5��� � � �� !�� ! � �!�� '��- �& �� � � ";.
��� ���! " �� % ���� � " � � �� ��!��� ��& '���- �5 � � � "�
��"��� � ����- ���& �0"� ! ��� !��� !��� <�� " ���( ���"�4
�" �!�����!�5� ��"���� �5 � ����� �� -!� � � �"#�5* � '���.
!���* ��"�5 � �� � 4! � �� !�5& ��0�� ��"���5* - " � " ����.
! "#��� -� !�!� �� ��!��5* �� �"� � '���!��� �� 1� ! ( 6 "� - "�
��"���"� � �� �������
9 � ��5�� ��"�- ��5& &-� � '�"#!�! �0J( �( !� *�!( 05 ��- !� �.
��� ��'����� � ����!����( � ������ M ��� �0� "��" �� ��"- �
��"���5* ��& !� -� !6� ��*��(1* ( � ����- ���& �0"� ! ��� !.
��� !���
)5 ��;"� !��� �0��'��� � � �� !�� !� � ����!����4 �� ��
=!� �- �# ����5& ��� �!� 7������ * �� '"�� �(� /�5!5 8�����
> �6�� ��5!5 c! ��� > �"�*�� � ��!��5* ����"� # ��� � ��"(�.
�� ����'�" � �� !�� !# � !�(�& ���� ! �� 8�!��22 �!� �22 �!
����!���� !� � �'���� & !� � !� � 1 !���� ����� ��� �0 !� ���
AB� ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
�� ��� � !� � 1 !���� !�"# � �- ���5� �0��'�� � ��� !���4!
� �� !��4 ������ �������� /0 ����( � �!�� �5 *��" ' ���.
'�! "#�5* �� � !��" �& � 2�!���* � ��"��* � @��&"(� �� " ���(!
��"����& 2���6 �" Ψ: 2���6�� ���(" � ��(!�� !��4 �! �.
�� !�64 2����"����" �(� �� !�"�!�� � ��& !��* � !��� ���
��*��!#� % � '�"#!�! �5 ��;" � ����!����4 �� � ���� � ������ ��
������ -� !��� "�-� 0 ��� -�� "�0���& ��(����"#��& ��! �6�"#.
��& (�5�
<���� �1 !�����( ����!����( � ! ( 1 ���� ����� �!".
- ����!���� *��- ��& !��6 �! �"� - ��&� ��� 05"� ��'����
� �"� - ��& 2'� ��"- ��� "�0�� ��!(� �( -� !6 ��'��"(.
! �0��'���!# * �('���� � !�(� � ?"�0� !# ��!(� �( �'��-� !� -!�
��! �6�"#��( (�� (�"( ! ( � "��&� % ����!���& � *��� � ���'5�� ! (�
� � (�� ��!(� � ��� ! ��!# �('���� � !�(� � C " (�� �� !.
�-��(� !� �('���� � !�(� �1 !�� ! � "40�& (� � '�� �� �!
"�0�5� " !�"#�� ��� ����� ���( " ���� ���(� % !� *� ���& � (�
����� ��'���4! ";# !���� ���� "�0�� �� �5;� ! � ��!��� �.
���"#�� '��- � � !� � ���� ��� �� !�!�-�� "�0���(� <����0�� " .
����� ����� � �0 �� � !- �* �����(* � �� !�-�5* ����� ���&
!� *� ���& (��* ���� � �� � '���-�* A� A� ������
/ !����� ( �� ����� 2����"#��� ����� � G� ��!�� ����� ���
!�6������ ����� � c� �� ��
HΨ = EΨ, H = − �2
2m
d2
dx2+ U(x) ���AB�
��� !�� ��� � " ��5� ���-�5� � "��(�� /�� �� � !��"( ! �.
0�& '���-� �� �0 !� ��5 '��- �( E ��"#!����� H � ?-!� �� ���
� ��� ��"#!���� ��� ���(� ��5� �� ��!����� % ��! ��!� ����.
'5�� ! ( �(� ��& !� �0 !� ��5* 2���6& �0 !� ��5* '��- �& ���.
���(� ��5* �� ��!����� <� �� � �� �0 !� ��5 '��- �( � & !�.
! "#�5 � C " �0"� !# ��� � " �( ��� -�� �!� � " -� !6� �� �;� !
��� � � ��� -��& �0"� ! ��� !��� !���� 0 < x < a� !� �0 !� ��5
'��- �( �0��'�4! � �� !�5& ��0��� ��!��5& � ���(�� ��'�� !��( '�.
�; � � ��
{E1, E2, E3, . . . }. ���AA�
<� �!�� ��'"-�5� �0 !� ��5� '��- �(� ��!� ! !��4! �'���� ��.
!����"#�5 �0 !� ��5 2���6�
�� ! � !� !�� ��'5�� ��( ��(����(������ ������� �!# ��!���& �
" ��41 ��?�0 !� ���(2���6(� �!� -�41�( ���(������� ��� ��n �0.
!� ���� '��- �( En � �� " ����! "#�� ! ���AA�� � ! �� ���!� ��*
!�-��* �! ���"� 0 < x < a - "� �'"��� ����� n − 1� =!� �'��-� !� -!�
�� �! ���" 0 < x < a ��"����( 2���6( Ψn �0��!! ( � ��"# n− 1 ��'�
>���-�5 !�-� x = 0 x = a �"4-�4! (� ?����� � ������ ��.
��"#���� �0 !� ����� '��- �4 E1 �!� -� ! �0 !� ���( 2���6( Ψ1�
� �0��1�41�( ( � ��'� � ��"# �� �! ���" 0 < x < a� )5 � 0�� �
6-.- ;��)���$�� ���"�)�/ :(/������!��/ :����K���!��/ /�� AB�
����'5��!# �! �!� ��� �(� �! 5"�( -!�! "( � ��!� ! !��41� ��� ��
��! ��!��
% �� � ( � '���- � ��! �6�"#��& (� ���A�� 7�&� � �� �� � " �
� ��(!�� ! & ��*��� �( -� !65 � ��'�5* !�-��* (�5� % ��!� ! !�
���O� � �
dWn ≡ wn dx = |Ψn(x)|2 dx = 2 sin2(πnx
a
)dx
a. ���AI�
7� � � ��I ����'��� �� �� � " � �"�!�� ! � ��(!�� ! �!� � � ".
-�5 w = dW/ dx) �"( � ��!��5* '��- �& ����!���� - "� n�
��� ���� ' � ���� ��I� �� "- � � ����!���� - "� n ��"- !��
�'"�� ��'�� !� !� /0"� !# ���� !�5* ��"�� �& -� !65 ���'5�� ! (
n =1 x n = 2 n =3
n = 4 n = 8
x x
xx
ww w
ww
2�� � 2 ����������� ���������� � 0�4����� - ���5� � +��0 ��-� 0 =����D
��-�� 1�,=���� ���)�,1������ �����5� ����� �)�
��'0!�& �'"�� Ψ.2���6 �� �(� ����0"� ! &� ��'� " ��5* �! ���"�.
�� �� ��!��5* ��0"' �'"��� � ��(!�� !# �0�����!# -� !6� ��"� � �0.
!� ��� � �'"�* �!� � ��(!�� !# �0��1� ! ( !�-�� � ��"#�� G�'� � �����&
����0"� !
Δx = a/n. ���AK�
� � 0�"#; �'"�� � ! ��"����( 2���6( � �� � "�* ��� !��� !� �.
��� ��'� �� ��! �6�"#��& (�5� ! � �5; �� �( -� !65� =!� " �� !
' 2����"5 ���N�� ��"�- ���& �� � ; � ����� �(c� �� ���7� �!�!
�5��� �- �� � !�-� '� �( ���6�� � ��� � " ��� !� F� "-��(
�� '������� �! ���" a - "� �'"�� ��"����& 2���6� �5 � "#�
����-�� � �0"� !# ��� �(� !� � ��'� � �0"� ! ��'������ ��*��� .
�( -� !65 Δx � �� ���AK��� ?" ����! "#��� ��'�� !� ! � ��� � " ��� !#
� '��- �(* ���"# �M
Δp ∼ �
Δx= �
an. ���A��
ABN ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
?��!� ! !� ��� �� "-�� ! ( ��'0�� � ���� !(* -� !65� !� � � ��((
�� !- ��( �� �(� <� ��"#�� � " � !� �� !� �� ��!��� ��&
'���- �0� ������" �( ��� �( -� !65 ��" �� ������� ������ ��(!�5�
� �� '��- � ���"# � ����� ��"4M 〈p〉 = 0� ?" ����! "#��� �����
��"��!# Δp≡ p− 〈p〉 = p� % � '�"#!�! �5 ��"�-�
E =⟨p2
⟩2m
=⟨(Δp)2
⟩2m
∼ �2n2
2ma2, ���A��
-!� �� �! ����"#���
% �(' � ��'���5� " �� ! ���- ����!#� -!� � (� ��� � " ��5�
'��- � � �0"��� ! !�"#�� ��"��( �� �( -� !65� �� � �� �!� "#�� !
�� !- ��( ��! �6�"#��(� ����� �;0�-�� �!� ����4!� -!� -� !.
6� � (� �0"��� ! ���"# ��� � 41� ��� � " ��� '��- � ����"(
| pn | = �kn� � � "-�5 kn ��4! ( 2����"�& ������ 9��� �! 4�� " .
����"� 05� -!� �� !- ��( �� �( -� !65 !��� � ! ��� � " ���
'��- � � -!� � � ���� /;0�� � !�! � !��� -!� � "-�� �kn � �����
���"# � -� !65� ��� �� �0 �"4!��& � "-� � � ���'5�� ! ";# *�.
���! ��5& �� ;!�0 ��'0�� � '��- �& ���"# ��� >��0�4 �6 ��� �!��
��'0�� � ����� ��"�-!#� ���(� Δp ∼ 2�kn �����! "# �I� �('��
��"- � � !� -�5* ��"� � (� � ��41* �� ! !�(-�4 ��"���� ,"( ��"�.
- �( � � � �!�� '��- �& ���"# �� �5 ��"��5 ��'"��!# ��"����4
2���64 ���O� � �! ��" 8��# M
a(k) =∞∫
−∞eikxΨ(x) dx =
a∫0
eikx
√2
asin (knx) dx =
=√
2
a
1
2
[1
k − kn
(ei(k−kn)a − 1
)− 1
k + kn
(ei(k+kn)a − 1
)]=
=√
2
a(−1)n kn
k2 − k2n
(eika − eikna
),
� �-! ��� -!� kn = πn/a� eikna = e−ikna = (−1)n� % �!�� �5��� �
�� " �� ! �!��� !�!# ���"# -� !65 � "-��& p = �k�
7� � � ��K ����'��� �"�!�� !# � ��(!�� ! ��'"-�5* '��- �& �.
��"# � �" � �!� ��1�� !� wp = | a(p/�) |2 �"( !� * *����! ��5* '��.
- �& ��� �� �����( n� ��� ���� ' � ����� � �!� � & !�! "#�� �.
� ��! 0 ��� -�� - "� ���"# ��� ���� !��� �"( � * ����� &� ����
� ������� � �!� � ! ��� ���5 �� '��- �(* p = −pn p = +pn�
� ��!��5* � "-�� pn ��� � " �� 2����"�& pn = �kn = πn�/a� <�
n = 1 � "-�� p1 = �k1 = π�/a ��� � "( ! ;��� �� !� ����
��� �����
% �� � (� ������� � 2����" ���N�� <� ��"#�� �5 �50��" �! - ! �� �.
�! ��� (�5� !� � "-�5 En ������4! � � �� & �� !- ��& �� �.
& -� !65�)���"#�� '��- � �� � ��"�-� ! ( �� n = 1� � ���
6-.- ;��)���$�� ���"�)�/ :(/������!��/ :����K���!��/ /�� ABO
" �� ! ' ���N�� ��� � ����� ��"4� ?� !�(� ����"#��& �� � &
��'5�� ! ( ������� ���������� ��� �5 ���� � �!�� � !�(� -� !6�
� ��! �6�"#��& (� �� �;� ! � ��!��� ��� � � ��!��� ��'5�� ! (
������ ���� ������ ?��!� ! !��41�( �� �( ��'5�� ! ( 1������� ��
����� ���� ����� 9�"#�� � �"� - ��&� *��� -� !6� ��� ! ����!# (
�� �� (�5� % ����!���&� � *��� �!� � ��'�����M " 05 -� !6� ��.
"� ��*��!# ( � � !�(� ����(� !� � �0"���"� 05 ��� � " ��5� ���"#.
�� �p = 0)� !� ��� ������ � ��� � "� 05 ��� � " ���4 �������!��
/���-� ��� � -� !65 �� �������! �0"� !#4 a� � ��!� ! !�
���6��� � ��� � " ��� ! �5 ��"�-" ��'0�� �� ���"# ��� � ��'.
0�� �� ���"# ���� ! �!"-��4�! ��"( � ��44�� !- ��4�� �4�
/6 ��� '��- �( ����1#4 ��!��; �( � ��� � " ��� ! & ��� � .
�� � ���A��� � ����� ��"��!# n = 1� 9�-�� '��- � " �� ! ' ���N�
!��� �� n = 1�
n = 1 n = 2 n = 5
pp1 p2 p5�p1 �p2 �p5pp 0
wp wp wp
00
2�� � :����� ��� � ��������� � +��-��0 +� -���� �)�,���� - ���5� ���D
)�,1������ �)� ��� n ` �B n ` � � n `
�!��� �"( ����!���& ! �5 *����! ���� -!� ��� �� � !- ��
�" � ����� � � !�(� �� � ! � ��!���4 �� !- ��4 �� �4�
<�� " �� ! � �# � � *�� � �"� ��� �' ���N� " �� �5- "!# ��'".
- � �� �(* � ��� �����(� ��� ��� n n+ δn �� δn� nM
δE = �2
ma2nδn.
<� 0�"#;* '��- �(* n �!�� ! "#�� '� � � E � !��"( !
δE
E= 2 δn
n,
-!� �� � � *�� �����( n �� � ��& �δn = 1) �� !
δE
E= 2
n. ���A��
9��� �0��'��� �� !�(� � ��� � ��� �� � !- �� �����(��
�!� ��� � �� � �����(� �� �#;� ! ( �� !�� ����!���� - "� n�
,"( �- �# 0�"#;*n �� !�(�(� ��� �����(� !�"#��"5�� ���� �4
��"��& �� � &� -!� ��'� ; ��5 '��- �( �� � �� � !��"(4! (
�� �� � " ��5� � � �� !��� � � �� �5����
AAB ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
=!�! �5��� �� ! �- �# �01& *����! �� F� ����"� # � !��� -!� �!
����!���& � *��� ����� � � &! � �"� - ��& !���� ���� *����! �.
�5 �� !�(�(� �� ��!��5* �1 !� ��� � �(4! ( *����! � !� ! .
�5 L� ���� 0�"#; � 0��&" � ��& �"�5 ��"�5� L λ� 9 � �# �5 � �
�!���& ��! �&M ���� ����!��� - "� n �� !�!�-�� � "��� ! ��
� � ! 0( ��� �"� - ��(�
�"� - �& �� � " ����� ��� " �!# � �� �� � " � � ��(!��.
! & ��*��� �( -� !65 � ��'�5* !�-��* � �� � � ��I�� �� !6�� " ��.
41�( '������ �"� - ��& � *���� � "� 05 �����& � ��(!�� !#4
"40�4 �������!� �� �! ���" 0 < x < a � �� � � ��A�M
dWклас = dx
a. ���A��
��� ��'��� �5; � � � *�� �! ����!���& � *��� � �"� - ��& ��".
� � ��� *��!# �� n → ∞� 7� ' � � ��I ����� -!� !�-�� � ��!��5*
�"�!�� !# � ��(!�� ! w(x) ��� ��"#��� �1�4! ( �� !�� ����!����
- "� n� =!� �'��-� !� -!� �� 0�"#;* '��- �(* n� ����-��( !�-.
�� !# '� � �( �������!5 ��"�& � "-��& Δx = a/n� a� �5 ��&� �
-� !6� � "40�& !�-� �!� '��� ?� "����( ������� 2����"#�� �'��-�.
!� -!� �5 ��"��5 ���'� ! � � �� � �� �� � " �( � ��(!�� ! ��
�!� '�� �"��& ΔxM
dW кван =
⎛⎝ 1
Δx
x+Δx∫x
|Ψ(x1)|2 dx1
⎞⎠ dx =
=
⎛⎜⎝n
a
x+n/a∫x
2
asin2
(πnx1
a
)dx1
⎞⎟⎠ dx = dx
a, ���AN�
-!�� ! !� ���� ������ ! ���A���
% '��"4- � �!�� ������2� ���- ��� �� -!� �5���5� ��!��5 05.
" � "��5 �� ���"' ��� "#��& � ��'�"� # 05� �- �# -� !��& '���-
� ����!���� �� � -� !65 � ��(����"#��& ��! �6�"#��& (� � (�.
"(4! ( � #�� �01�� ���� !��� �- �# -� !� ��! �6�"#��( �� �(
���� ! � � ! ����0�5& (���0��'�5& *����! ��
'��� -���������� &���8�� 8��.���4����8� ��;���!����
>�����- �� � 6""(!���� (�"( ! ( ! ��� �� 5�� ��( � �"� .
- ��& � *��� ����� � �
mx = −kx, ���AO�
� �� "�-� �������� ��(!���� m 3 �� �� � k 3 � !�� !#
6-0- ����������� 5��(��� ��(����$��)��� ��K���/��(� AAA
������ !#� �����5 �� � ����� <�! �6�"#��( �� �( � 2����������&
�����5 �����
U = U0 + 1
2kx2. ���IB�
<��!��� � ����!���& �0"� ! '���-� � �����- ��� � 6""(!�� 3 �!�
'���-� � ��� � � -� !65 � ��! �6�"#��& (� ����0�"- ��& 2���5
�� � ����� ��� '� !��� -� !�!� ��" 0��& ��(!��� ω =√k/m� � .
��"#'�( �!� � "-��� � � �; � �5��� � ���IB� � 0�" �01 & 2��� �
� ����� !'��41 & � !��& !�� ! �5MU = 1
2mω2x2. ���IA�
0
m
k
x
U x( )
x0
2�� � ��,4����� ) ����� 2�� � � =���-��� � ��D
���5� ��� � �)
% �"� - ��& 2'� ��� '���- ' ��'�5* ��'� "�� ���(!.
( � '���- � �����- ��� � 6""(!�� � % ����!���& �0"� ! '���-� �0
� 6""(!�� !��� �- �# ����� �� �� � � ��!���� -!� !���( '�� .
�� !# ��'���1�41 & "5 �F = −kx) ��! �6�"#��& �� � ���IB�
�05-�� � ! � !� �� ��"5* �!�"�� �(* �! ��"�� �( ������ (�
F !�&-�� ������ �!� -� ! ������ ��! �6�"#��& �� �� � ���.
"� "����� ������ "40�( ����( ��� ! 05!# ������ ������� ����.
0�"�&� G ; � '���- �0 � 6""(!�� ��� ���� ����� �� �� ���"'
��"5* ��" 0��& �!���� � ���*�!����& ��" ��" �
, & !��( !�����!��� �5�; � ����� � c� �� �� �"( �� ��!�.
�� ��� "�-�(M
d2Ψ
dx2+ 2m
�2
[E − mω2x2
2
]Ψ = 0. ���II�
)5 ��"��5 ��&! ����- ��� "���� � ; � �!�� ����� �(�
)�! ��!- � �5�"��� �� � ; � �!�� ����� �( � ��"#�� ��.
��'��� �5 � 0�� � * '� # �����!#� /��'5�� ! (� � ; � !� 0�.
�5� ��& !��� �1 !�� !� �� � �� � * '��- �(* �� �� � !�"#��
�� ! *� ��!��5 ����" !���(4! ��!��; �4
En =(n+ 1
2
)�ω, n = 0, 1, 2, . . . ���IK�
AAI ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
=!� �5��� � 0�� ! ��"�- �� �� ����1#4 �"� - ��� ��.
0"� �(�
G� ��!�� ����! "#�� �!� �5��� � � )5 ���� -!�� ��.� ��5*�
�� �( ����!� ! ( -!�� ��.�!��5*� ��� "� &�� �� ! ! �� � � �� ".
- �( ����!���� - "� n� <��!��� �� !�(�( � ��� �����(� �� �
�������5M ����� ���� !��!�5� ���� !��� �� n = 0 � ����0�".
- ��& ��! �6�"#��& (� � ��� � ��(����"#��&� �1 !��4! ��" �5
��" 0��( �� � &
E = �ω/2 �= 0. ���I��
? ! � � #�� ����5� �0 !�(! "# !���� -!� � ����0�"- ��& ��! �6.
�"#��& (� ����� �� � ���� !��!�5� -� !� ��*��! ( � !# � "� �
��'�5* ��'� "�* 2'�� � -� !�� ! ��" ��"(���& � �!�� ��� 2.
'� ��"������������
<� ��'� & !� �� � 6""(!�� � ���- ��& "5 � � � ��'���4!
�5���� ��5 ��" 0��(� E���;� '� !��� -!� '�� �� !# ���"!��5
�!* ��" 0��& �! -� !�!5 "5 � ! � '�� �5��� ��5& � '���� �5&
*����! �� ���� -� !�!� �5�����41 & "5 0"'�� � �0 !� ���& -� !�!
� 6""(!���� <� �!�� �"( "�-�( ��" ��� '�!�*��(� ��!��� �5 �� ���.
"�� �� � '���� (�"( ! ( 0 ��� -�� � !�5�� 9�� �0 !�(! � "� � �"� � �
� ��� � ����!���& 2'� L �!� '��-! �� ��-�!# ! �� !�-� '� �(
����!���& � *���L =!� '��-! � � 0�� !# 0�" �'��� �����(
�� � �� 0�" �5 ��&� <��� ��!�-�5* '��- �& �� � � ����!���&
! � 05!# � ��� !�� ��-�� �� � � ��� � ��� �����(� ��� �
ΔE ≡ En+1 − En = �ω. ���I��
?" ����! "#��� -� !�!� ����!� ωкван� ��!��5� �5 ��'� & !�� � �� ! ��
! �� -!�05 � � � ! ��� � �����( �� � �*�&�
ωкван = ΔE/� = ω, ���I��
����� �0 !� ���& -� !�! � 6""(!��� ω� 9��� �0��'��� ����!��5& ��.
���- �& � 6""(!�� � ��� ! !�"#�� �� ����!5 � '���� ��& -� !�!5�
=!� �� ��� �� �"� �5����� ' �"� - ��� ����!���� �� .
��!� �& ";�& ��' �� ! "# !�� ! � ��"#'� 0���� ��� ���6��
��!� ! !�(�'�"� �3����� ����@���! � ������)����
����������������#
=� �4 ��" �5* ��" 0��& � 6""(!��� � !����� �6 �!# ����.
1#4 ��!��; �( � ��� � " ��� ! &� ,"( �!�� '��; � �5��� � �"(
��"��& �� � -� !65M
E = p2
2m+ mω2x2
2. ���I��
6-3- '(����� )���������/ ;�(� A ?����(2��! � AAK
F-! �� -!� � �� !�-��& (� � �� '��- �( �������!5 ���"# �
����5 ��"4M 〈x〉 = 0, 〈p〉 = 0� <��!��� Δp ≡ p − 〈p〉 = p� Δx ≡ x −− 〈x〉 = x� 7 ��� � " ��� ! �������!5 ���"# � Δx Δp �('��5
��!��; � � > &' �0 ��� ��!��� �5 '��; � &-� � 2��� % &"(M
Δx Δp � �/2. ���IN�
/! 4�� " �� !M Δp � �/2Δx� <�� !������ �!�� �5��� �(
� ���I�� �� !
E � �2
8m(Δx)2+ mω2(Δx)2
2≡ F (Δx). ���IO�
)5 ��"�-" �6 ��� ��"��& �� � � '�� �� ! �! � ��� � " ���.
! �������!5� <����( -� !# �!�� �5��� �( � ! ������ ��!��5&
����� ��&! �� �05-�5� ����"��� 7�&� � ��"�� � ������ (Δx)m
' � "��( ��� � !�� ��"4 ���'�����&M
dF (Δx)
d(Δx)= 0, или − �
2
4m(Δx)3+mω2Δx = 0. ���KB�
/! 4�� " �� !� -!�Δx =
√�
2mω. ���KA�
���� !��� �"� �� ���IN� �! 4�� " �� ! �5��� � �"( � ��� � .
" ��� ! ���"# �M
Δp =√
m�ω
2. ���KI�
<�� !��"(( ��&� ��� '��- � Δx � ���IO�� ��&� �
Emin = 1
2�ω, ���KK�
-!� ������ ! �� � & ��" �5* ��" 0��&� ��"�-�41 & ( ' !�-��&
2����"5 ���IK� ��n = 0� <���"#�� '��- � - "���� ����! "( �A\I�
� "�-�&�� �('��� ��"#'���� � ��!��; �( � ��� � " ��� ! &
� � 6�"#��&2��� % &"(� /��'5�� ! (� � ��� � "�-� �����- ���
� 6""(!��� � �"'� ! ( �!� 2�����
D�� !�� -!� 2����"� ���KA� �� ! �6 ��� � �� ������!-��� '��- �(
�������!5 -� !65 � � ������ � !�(�� !� � �� ! *����! ��5& ��'� �
�0"� !� '���� ��& � 6""(!�����
'�$� ������ ����������! +��� 9 6�..�� �����
��� ����"� !�-�� � ;!# '���-� � ��*��� � ����� & �� � -�.
!65 � (� ���'��"#��& 2���5 � ��'������ � 4! ( ";# �!� "#�5
!�-�� � ;� �5 "�-�� /����� � ���'�"� - ����� � " ����� �1 .
!� ��� ���� !!# '���-�� � �( � � ��!����� ��� � " ����� �"��!���
AA� ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
G� ��!�� "�-�& ����� ���& ��! �6�"#��& (�5 U(x)� ����" !��.
�(41 & � "��4 ���'�"� -�� ! ����I�M∣∣∣ dλdx
∣∣∣� 1, λ = �√2m[E − U(x)]
.
<� !# -� !6� ��� ! ��*��!# ( � �0"� ! 0 < x < a �� � * ��'� .
; ��5* '��- �(* �� �� ��5� "����� �� !����( -� !6 �0"� !#
��� �( ����- �� " �� ����� 0 ��� -�� �5 ��� ! ����� ,"(
�!�� "�-�( ��"����( 2���6( �� ! ( 2����"�& ������M
Ψ(x) = C1 exp
⎛⎝ i
�
x∫0
p(x) dx
⎞⎠ + C2 exp
⎛⎝− i
�
x∫0
p(x) dx
⎞⎠ . ���K��
7� ���6�* �0"� ! ����� ��"��!#
Ψ(0) = 0, Ψ(a) = 0. ���K��
< ��� ' �!* � "��& �� ! C2 = −C1� � �!��� � �� ���"� � "�-� �
��(����"#��& (�5� �����! � � "��4
a∫0
p(x) dx = π�n, n = 1, 2, . . . ���K� ��
=!� � "�� -� !� '�� 5��4! � ��� �� � F-!5��(� -!� ��� ��"�5&
6�" ��� �( -� !65 � (� ��"4-� ! �� -� !M ��� � �� ���'����
" ��4 -� !# ��� � !�� ���K� �� '�� 5��4! ��� �! ��" �� '�����!���
6�"� {0 → a→ 0}3��"���� � ���� �"� - ��� ��� �( -� !65M∮p(x) dx = 2π�n≡ hn, n = 1, 2, . . . ���K� 0�
D� # �-! ��� -!� �0 -� ! 6�"� ��� (! �������5& ��"�� � �! ��"M∮p(x) dx = 2
a∫0
p(x) dx� F���� � ���K� 0� ��'5��4! ������ ���������
��� �����
@�" "���5� (�"( ! ( "�-�&� ���� ���65 �"� - � ��'� ; �.
��& �0"� ! �a < x < b) '�� (! �! �� � -� !65� 7���� �� � "�-�
�����- ��� � 6""(!��� ��! �6�"#��& �� � & ���IA� �"� - .
� !�-� ������!� ��� � "(4! ( ' ����� �( U(x) = E � 4! ����.
���!5
a =√
2E
mω2, b = −
√2E
mω2. ���K��
<� �!�� ����!���� *��- ��( -� !6� ��� ! '�*��!# � �'��� 1 ��5 �
�0"� !� � ��"����( 2���6( �� ��� �6�"#�� �05�� !� ,"( ����0�5*
6-3- '(����� )���������/ ;�(� A ?����(2��! � AA�
'���- " �� ! ���'� ! ;��� ���'�"� - �* ��"���5* 2���6& ��
��'�5 !����5 �! �"� - �* !�- � ������!�� )5 � 0�� � ������!#
'� # �!� ���6 ����� ����-�; # !�"#�� ! �� -!� ��� � � ��� -�5&
� '�"#!�!� %� !� ���K� 0� ! � �# ��"��� �5��"�(!# ( ��� � !��
∮p(x) dx = 2π�
(n+ 1
2
), n = 0, 1, 2, . . . ���KN�
<� " �� ��!��; � �� ! ��'��� ������ ����������� ���� 7
7 ;���)������ /�� �!"-� ! ( ";# ��"- � ������� A\I � �����&
-� ! ��� � !��� ���� !��� � ����'�� '� � �( ����!���� - "� ��"4.
- �� '��- � n = 0 �� ���K� 0� �!��� '��- �4 �!� -�"� 05 !���"#��(
��"����( 2���6( Ψ ≡ 0)� /- ����� -!� �"( 0�"#;* ����!��5* - "
(n 1)� ���� �05-�� ��0�!� ! ���'�"� - �� ��0"� � � �����(
�������� � �� ! �1 !� ���& ��"� 9 � � � � ���� ��� ��'��"( !
�!�-�!# ! " �5 2����"5�
/ !����� ( �� ����& �����& �! ��� !�6 2����"5 ���K� 0�� ��! .
��" � " ��& -� !
(∮p dx
) !# �"�1��# �� 2�'���& �"� �� !� ���.
�-�� ��( 2�'���& !�� �!�� & -� !65 '� � ��� ��" 0��& a→ b→ a�
=!�! �! ��" ����� '�� �!# !��� � ��
∫ ∫dp dx� % "-�� n !#
- "� ����!��5* � !�(�& �� �(�� � �� �5;�41� ������ '��.
- �(E� <��!��� �� ���� ����!��� � !�(� ��*��! ( �" !�� �(- &���
� 2�'���� ��� !��� !� {p, x} �"�1��#4 2π�� 9��� �0��'��� " �5
�50 � � � 2�'���� ��� !��� !� � ��!���4 '�����!�4 !�� �!��4� !�
- "� ����!��5* � !�(�& ��" � �!���5* (- ��� ����-�� �5* 4
0�� ! �����
n =∫ ∫
dp dx
2π�
= 1
2π�
∮p dx. ���KO�
% ��- !� ��� �� ��� � �( ����"� ����!����( @��� : D��.
� �2 "#�� ���KN� ��&� � ����� �� � -� !65� ��*��(1 & ( � ����.
0�"- ��& ��! �6�"#��& (� ��� ���IA� � �� � � �����
,"( -� !65 �� � & E �"� - � !�-� ������!� ��� � "(4! (
� "�� �
mω2x2
2= E, или x = ±xm, xm =
√2E
mω2. ����B�
?��!� ! !� ��� � "�� ���KN� �"( ������ "�-�( '�� 5�� ! ( � ��
∮p(x) dx = 2
xm∫−xm
√2m
(E − mω2x2
2
)dx = 2π�
(n+ 1
2
). ����A�
AA� ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
%*��(1& 4�� �! ��" �5- "( ! ( �� !�!�-�� ��� !�M
2
xm∫−xm
√2m
(E − mω2x2
2
)dx = 2πE
ω.
?��!� ! !� ��� � "�� ����A� � � �" ��� �� !
En =(n+ 1
2
)�ω,
-!�� �- ����� ������ ! �5��� � � �"( ����� & �� � �����- .
��� � 6""(!��� ���IK��
'�'� ������ &���8�� � !.� U ∼ |x|α
G� ��!�� ��� "#��4 '���-�� � ��!���& ��! �6�"#��( �� �( � � .
�� ! ( �5��� � �
U = 1
αk| x |α. ����I�
?-!� � '� # α > 0� 9���( '�� �� !# ��! �6�"#��& �� � �! � 1 .
�( � ! � !� � !�� "�-� � ���� "� � �( ! ( �������!�& �� '�����
F = −k| x |α−1� �� !�5& "�-�& �����- ��� � 6""(!��� � ! � !�
�� α = 2�
7� 0�� ! �! � ���!# '�� �� !# �� � �! ����!���� - "� n�
<�� !��"(( �5��� � ����I� � 2����"� ���KN�� ��"�-�
2
xm∫−xm
√2m
(E − 1
αkxα
)dx = 2π�
(n+ 1
2
). ����K�
%*��(1& 4�� �! ��" �� �0��'� ! ( �� �; ��� ���"�-�� !���� ���
�!� 05"� ���� "��� � "�-� �����- ��� � 6""(!���� %� �( �"� .
- � !�-� ������!�
x = ±xm, xm =(αE
k
)1/α
, ������
� � �; � " ��4 -� !# ����K� � ��
2√
2mE
xm∫−xm
√1 −
(x
xm
)α
dx = 2√
2mExm
1∫−1
√1 − zα dz. ������
% ��"�-�; � ( �5��� � �! ��" �� � !��"( ! �0�& � ��!���
- "�� ��!��� � '�� ! �! �� �E� % ��!� ! !� ������ xm ∼ E1/α�
6-9- ���*� ��)(���+� �(���� 5��(��� AA�
�5 ���� -!� " ��( -� !# � ����K� '�� ! �! �� � ��� Eβ � � β = 1
2+ 1
α. ������
<��!��� ' � "��( ����!����( ����K� ��*���
E = E0
(n+ 1
2
)1/β
, ������
� ���226 �! E0 !# � ��!��� - "�� '�� (1 �! �� 5 -� !65
����'�! "( ! � � α�
/0��!� ����� �� " ��41 � C " � �5��� � �"( ��! �6�"#.
��& �� � ����I� ����'�! "# ! � � α = 2� !� �"� �� ������ � "-��
β ����� A� <� �!�� ����� �� � ���'5��4! ( ���� !��!�5�� =!�
�!� -� ! "�-�4 �����- ��� � 6""(!���� �� ��!� ���� �5; � C "
α > 2� !� β < 1� <� �!��� �"� �� ������� �� !�(� � ��� �����(�
�� � �� ! ! �� !�� ��� �� n� /- ����� -!� �� α > 2 ��! �6�"#.
��( �� �( ��'�� !� ! �� � � ���" �( �! 6 �!�� 05 !� � - � � "�-�
����0�"- ��& (�5� ���"�-��( !��6( � �"'� ! ( � "�-� ��(��.
��"#��& (�5� � ���� !# ��'�� !��(U(x) �� ���6�* (�5 0 ��� -���
% �0��!��� "�-� (α < 2) � � β > 1� !�� -!� �� !�(� � ��� ����.
�(� �� �#;� ! ( �� !�� ��� �� nM ����� �1�4! (� ��� �5 ����
��"#; � ����0��( !��6( � �"'� ! ( � "�-� ��"���� ��� ��!(� �(
� ��� -� !6���
9��� �0��'��� ������!-��( '�� �� !# U ∼ x2 ��'� "( ! "�-��
� ��!��5* �� !�(� � ��� �����(� �� � �� �#;� ! ( ��'�� !� !�
'�*� -��2����������� 3����� &���8��
,� * ��� �5 -!�"� -!� -� !6� � (� ��� ! ��*��!# ( � ���.
�- ��� ��"�� 9���( !��6( � ! � !� � (�& ��'� ���� �!� -� !6�
� ��� ! � � &! � ����4."0� ����4 �0"� !# ��� !��� !�� " � ���
�� � !- � � !�(�(� /����� ���� ���'5�� ! (� -!� -� !6� � (�
��*��! ( ";# ��� -�� �� �(� 7���� �� �� !# � ! ( �0"� !#� ���.
�- ���( " �� 0 ��� -�� �5 ���& ��! �6�"#��& ! ���&� � ����� 3
��! �6�"#�5� 0��# ��� ��� -��& ;��5 �� � ����� + �� ���(!#� -!� �
!���� �� ;� � -� !6� ��� ! ��*��!# ( ";# � ��!��� �� �(� ��!���
����-�� ! ( ����� ��� � 0��# ��� 7�� � ��4 �- � �#� �!� �'��-� !�
-!� ! �� ���'5�� ! ( � !�6������&�
/ !����� ( �� �!�& '���- �����0� � <����0� � ��&! ����� �� �.
-� !65 � �� ;� �� *��( ' !�6������� ����� �( c� �� ��
d2Ψ
dx2+ 2m
�2[E − U(x)]Ψ = 0. ����N�
@�� � �! -!5��!# �� �4 E -� !65 �! ��� (�5� ?����� �! 0��# �� -.
!� � !��� U = 0� �!�05 '���-� � 2����"�������� �� � "� ����&.!�
AAN ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
�5 "� �� ���"�� �� -!� 0��# � (�"( ! ( �� !�!�-�� ;���� �5 �.
��� �"( !�� -!�05 � �� ;� � ��" ��'���!# ����� �� �� � -� !6�
��*��"� # �� �!* �����(* �� !�!�-�� ��"�� ���� !�� �� 0���! �! .
� ���!# � !�(�( -� !65 � ��� � �� ;� �� !� � � !�(�( �� � &
E < U0�
,"( � ; �( ����� �( c� �� �� ����N� ��! �6�"#��& �� � &
���� ����'����� �� � � ���� �-! �� -!� � 4! ( !� *����! ��5 �0.
"� !� � ��!��5* ��! �6�"#��( �� �( �� !�(���� % �0"� ! 0 < x < a�
� U = 0� � ; � ����� �( c� �� ��� ��� �5 �� '�� �� � ! ��
Ψ = C1eikx + C2e
−ikx, k =√
2mE
�2. ����O�
0 a b x
U
U0
d
2�� $ �����5� ��� � �) B �1� ��-��� � ��� =������-�� ������ �������B
��� T �����5� ����) = �����) ����-��� "�����
F-! �� -!� " ��( ! ��� (�5 � ����6� ��� =!� '��-!� -!� Ψ(0) = 0�
<��!��� ��"�-� � ��!��; � � ��� ���226 �!�� C1 C2M
C2 = −C1. ����B�
<� ��"#�� �5 �� ���"�� � 0��# � ;���� �� ��!��� � "�-�&
E < U0� ����� �� � 0� -# ��"��&� �!��� ���& �! �����& ! �� 0��# ��
��! !�-� x = b)� 9��� ��"����4 2���64 � ���0��# ���& �0"� ! a << x < b ����� '�� �!# � ��
Ψ = C3e−qx, β =
√2m
�2(U0 − E). ����A�
?;��� � ; �& ����O�� ����B� ����A� � !�-� x = a �� !2iC1 sin ka = C3e
−β a,
2ikC1 cos ka = −βC3e−β a.
����I�
6-9- ���*� ��)(���+� �(���� 5��(��� AAO
, "( ��-" ��� �!��� ����� � �� � ��� � ��"�-� ����� � �"( ����.
� & �� � -� !65 � �� ;� �M
ctg ka = −β
k. ����K�
=!��� ����� �4 ���0�� ����!# � ��"#�� ��& ��� G�'� ;� � �!��.
! "#�� U0� ,"( �!�� '�� !�� -!� �"� �� ����A�(β
k
)2
= U0
E− 1.
? �- !�� �!�� ' ����K� � � �" ��� ��"�-�
U0 = E
sin2
(a
�
√2mE
) . ������
<� " �� ��!��; � �� ���0�� " ����!# ��'"-�5� �� ��.
�� % "40�� "�-� ����� -!�E < U0� -!� �"� � ! ( ! � � "�� �� -!�
�� �( -� !65 � �#; �5 �!5 0��# ��� ���� !��� � �� ��!��� ���
��0"� � �5 � � � "� '�"������5� �� �� !�5�� �����(�
�� � !�� � !��� -!� � ��! �6�"#��& (� � 7� � ������� 0�� ! &-�
�! � ���!# ����& ����� � % �����& '���- �5 � � � "� 0��# ���
*�!# 0�"#;�&� �� ��� -��& ;��5 � " ����! "#��� � ��" ��& ����.
6� �� !� <��!��� " -� !6� ����"� ����."0� �� �0�� � �� ;���
0 < x < a� !� ���� " ��'��� ��� ' � � �5&� !� 7 !����� �6 �!# �� �(�
'� ��!��� �!� 0�� ! ��� *��!#� )5 '�� �� -!� ;���& ��(����"#�5&
0��# � � ! ���226 �! ����� ���(� ��!��5&� �"� �� ���K��� ��� �
D = D0e−2β d. ������
D� # d = b − a 3 ;��� 0��# ��� ���226 �! D0 3 - "�� ��!���
��-! � '�� ! �! ;��5 0��# �� (�"( ! ( � �" ��� � �(41 & (
2���6 & �� �� � � "-�� β �����
β =√
2m(U0 − E)
�2.
F-! � ! � �#� -!� -� !6� ��� ! ( � �� ;� � � ���� !#4 ���(���
υ ≈√
2E/m� 9��� ��� �"� - �& � ��� ��� �( � �1 !�"( ! (
'� �� �( T = 2a/υ =√
2ma2/E� � - "� ��" 0��& � ��6� �� � � �
" ����! "#��� -� !�!� !�"���� �& -� !65 �����& ! ���&� � !��!
η = 1/T =√E/2ma2.
C " (�� 0 < x < a �� !�!�-�� "�0���(� !� � � ������ � !�(�
�� �( -� !65� �"� �� ���N�� � !��!E = π2�
2/2ma2� ?��!� ! !� ���
AIB ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
�"( -� !�!5 !�"���� �& ��"�-� � �6 ���
η = π�/2ma2. ������
% � '�"#!�! ������ !�"���� �( -� !6� � ��!���& � ��(!�� !#4
��� ! �����!# �� ;���� <� !# � � ��!��5& ��� �! � �� ;� � ��*��.
"� #N -� !6� <� �� �� �5 "� � "-��D ��� � "( ! ���� !# �05��.
�( - "� -� !6 � �� ;� �� -!� ��'��"( ! '�� �!# ����� �
dN
dt= −ηDN. ������
9��� �0��'��� - "� -� !6 � �� ;� � �05�� ! �� '�����
N = N0e−t/t0 , ����N�
��- � *����! ��� �� �( �05���( !#
t ∼ t0 = 1
ηD∼ 2ma2
π�D0
e2β d. ����O�
/0��!� ! � �# ����� �� ������� �"#�� !# � '�"#!�!�� )5 " .
����" !�6������ ����� � c� �� �� ��;" � !���� -!� � ��(!.
�� !# ��*��� �( -� !65 � � ��!���& �0"� ! ��� !��� !�� � �( ! ( �
�� � � � ��05�� !�� /����� �� �5 "� � !�6������� � !�(� � ��(!.
�� ! ��� � ��"��5 '�� !# �! �� � ��
=!� ���!��� - ��'��"�� ��.� ��5*� '.'� � ������ ���� ��� .
� �( !�6������� ����� �( c� �� ��� � ��.�!��5*� '.'� ��"#'�.
���( � ��!��5* ��0"� �&� /��'5�� ! (� �5 ! � � � � � � �����
��"#'���!# ����� � ����N�� �� ��� � " ��5� ��������� �!�05
���( �!# !��64� �5 ��"��5 0�" !�-�� � ;�!# '���-�� %5�; � �
�!�& �(' !�-�5 � ; �( ����� �( c� �� �� �� � * !� * �0"� !(*M
Ψ = C1eikx + C2e
−ikx, 0 < x < a,
Ψ = C3e−β x + C4e
β x, a < x < b,
Ψ = C5eikx, x > b.
����B�
% �� " �� & �0"� ! �5� ��� �05-��� � !��" !�"#�� ��"��� �� ��� !��.
�(41�4 ( � ��"��! "#��� ������" �� �' � "��( � ����6� �� !
" ��& ! �� x = 0 " �� ! C2 = −C1� / !�"#�5 � "��( ;�� ��� .
� ��5* � ; �& �� ! ���* 0��# �� x = a x = b ��4!
2iC1 sin ka = C3e−β a + C4e
β a,
2ikC1 cos ka = −β (C3e−β a − C4e
β a);
C3e−β b + C4e
β b = C5eikb,
−β (C3e
−β b − C4eβ b
)= ikC5e
ikb.
����A�
6-9- ���*� ��)(���+� �(���� 5��(��� AIA
� �"4-� ' � ���& ���5 ����� �& ���226 �! C1� � ' �!���&
���5 ���226 �! C5� ��"�-� ��� ��'"-�5* �5��� �( �"( �!��; .
�( C3/C4� ��������( ��!��5 ��*��� !��� 6 �� �!�� ����� � �"(
��� � " �( ��'����5* '��- �& �� �M
β tg ka+ k
β tg ka− k= β + ik
β − ike−2β d, ����I�
� d = b − a 3 ;��� 0��# ��� /- ����� -!� �� d → ∞ �����( -� !#
����� �( �0��1� ! ( � ��"#� �5 ��*��� � ��&� ����� ��� � "��4
����K�� /0�'��-� � � ; � ��� E = E0� ?��!� ! !��41 '��- �(
- " k β �0�'��-� - � ' k0 β0� <� ��� -�5* '��- �(* ;��5
0��# �� �����( -� !# ����� �( ����I� �!"-�� �! ��"(� b ��� -!� �� 0�"#.
;* '��- �(* d �2����"#��3 �� d→ ∞) ��'�� !# ΔE = E − E0 0�� !
������6���"#�� e−2β0d�
,�" �0��1� ! �� 0( ����� !�! 2��!� -!� �����( -� !# ����I� (���
�� ��! ����4 ��6�� =!� �'��-� !� -!� ���� !�5 '��- �( �� �.
� !� � � ; �( ����� �( ����I�� �!# ����" � �5 - "�� % �����(�
-!� ���'��-�� !# 0��# �� �� d→ ∞ ������6���"#�� e−2β0d� '��"4-� ��
-!� ��'�� !# ΔE � ! ����4 -� !# 1)
Im ΔE ∼ D. ����K�
%5( �� �5 " �!�& �������� < � *��( � !�6�������� ����� �4
c� �� ��� �5 '�� 5��" �� � ���4 '�� �� !# ��"����& 2���6 �
�� Ψ ∼ exp(− iEt
�
)
� <�"���
E = E1 − iΓ
2, ������
� E1 = E0 + Re ΔE� Γ = −2 Im ΔE� 9��� ���� ! (� -!�
Ψ ∼ exp(− iE1t
�
)exp
(−Γt
2�
). ������
?" ����! "#��� � ��(!�� !# ��*��� �( -� !65 � � ��!���& �0"� !
��� !��� !�� |Ψ |2 ∼ exp(−Γt/�)� 9 � �# � !����� ���(!# �5 " ����&
������� � �� �M ' ������ ����� -!� ��� ��� � "( ! *����! ��� �� �(
�'� ������ � !�(�(� ��- �
τ = �
Γ. ������
% "-�� à ��'5�� ! ( ������� ������
1) 2 +,)�����B �)����� ��1� 4� ������ � ���� � Re ΔE %�� �� �� ���� D
� �� ������ ���� ��� � � ������� B ��������, �� )����� � -������� �����
������ +� -���� ����1��
AII ,�- 6- '����K���!�+� /�+ � )����������
9��� �0��'��� � �� ��!��� ��& '���- �5 � � � "� � !�6.
������& ! ��&� � ��!���& ����5& ���� �# � ! ��� -��4 ;���
∼ Γ� <� Γ � E1 3 ����� ��'5��4! ���������������� � ��!� ! !��.
41 � !�(�( : ��������(��������� % !��* � !�(�(* ! �� �.
� ! �!�� ! "#�� 0�"#;� �� �( ��� � (��� "�-� � ���� 0�"#; �0.
!� ���� � ���� T = 2π�/E1)� <��- ��� �� -!� ;��� Γ ��'��� !
0"�����( ��� -��& ����6� �� ! 0��# �� D� ��- � Γ ∼ D ∼ e−2β d�
/ !�"� # ��( �!# �5 " "��� �;���� � ��'��� � "-�5 �
8����"� ������ � �� � � !� ��� �('��� ��!��; � � � ��� � " ���.
! & ��� �( : �� �(� (ΔE Δt ∼ 2π�)� % ��!� ! !� ! �� -!� ����.
"� # �� �0 ��� � �!�� ��!��; �(� � "-�� Γ = ΔE !# � ��� .
� " ��� !# �� �� !� � ;��� �� � !- ��� � �!�� ! �5� 9 � �#
�5 ��� � �!�-�!# ���(! ;��5� <� ��"#�� ! �� � !�6������(�
� !�(� !# �� ���'6( � !�(�& ��'�5� '��- �(� �� ��
7�&� �� ��� � ��� '��- �( �� � �� �! !��4! � � �!� � ,"( �!��
��'"��� ��"����4 2���64 ������ � �! ��" 8��# M
a(E) =∞∫0
Ψ(t) exp(iEt
�
)dt ∼
∼∞∫0
exp[it
�
(E − E1 + iΓ
2
)]dt ∼ 1
E − E1 + iΓ/2. ������
7���������� �� �� � " � � ��(!�� ! & ��'"-�5* '��- �& �� �
-� !65 � ! � | a(E) |2 �� �!�� ����� ! ��
| a(E) |2 = Γ
2π
1
(E − E1)2 + (Γ/2)2,
∞∫−∞
| a(E) |2dE = 1. ����N�
% � "�� �������� �! ������ �� �� � �� ��� !��� ��
�! −∞ �� +∞� �� ��"#�� ��� ����"� �� ��!���4! ( !��6� ����
à � E1� !�� -!� � �����& ��"�� � �! ��" �� ! �!�� ! "#�� � 0�"#;�(
�0"� !# � ��� !�� ! � ��5 "�E = E1� G� �� � " � ����N� ��� .
� "( ! !�� ��'5�� ��4 �����(����� )�� ������� �������� �' � � ��.
��� -!� ��"����( 2���6( ������ �� ��! � �� �5��5& � �!� '��- �&
�� �� ��- � ����( | a(E) |2 � ! (��� � '���� �5& �� ;���&�
�����& � �� ��� �!� �0 !�(! "# !�� ��"� � "-� à ��'��� �;���
�����(�� ������ � ��� ����� & !�-�5& ��"- !� ��5& �5 "� 7 !��.
� ��'���� ����� �������!# !��� -!� ���� !# �����! � ��*���
� !������� � �;� �4 � '���� ��
� � � � �
���������������� ����
YN�B "+�! ��C��J )�C +& ���� ]
M�������/B � � ��� :�����^
=�� ���B $�� * ��!B � �"_��� �C����J
[� ��)C� ��B $��� * ��! ���
@7 ����� &�?��B ���� 1A
%�����������0�5& �!�� �� � !��"( ! �0�& ! �� ���* -� !6 3
" ��� �!�6�! "#�� '��(� ���� �" �!���� '��(��� 1) −e� �0��1�41 .
0
U
r
2�� $� / ���)���� �����5� ��D
��� ����1�� + �)�������� �������D
� � ��� �����������=��) ��)�
�� � �������� r )�4�, ��)�
� ( ����� !(� "�� (��� '��(���+Ze� ,"( �������� Z = 1� %5��� �
�"( ��! �6�"#��& �� � �" �!����
� �" �!�� !�!- ��� ��" (��� � !
��
U(r) = −Ze2
r, ���A�
� 3 ���� .� �!�� �" �!����� r == |r|� >��2� '�� �� ! ��! �6.
�"#��& �� � �! r � ! �� � �.
0�"- ��& (�5 �� � ��A��
?��!� ! !� ��� ����� � c� .
�� �� '�� 5�� ! ( ���
ΔΨ + 2m
�2
(E + Ze2
r
)Ψ = 0. ���I�
*� � (��.�������! ��������! �����! �� +���
� !��- � � ���& ����!���& ! �� & �!��� �������� 05"� ! ��(�
�� �"�� ���( 7� @���� � AOAK � /�� 05"� ��'���� �0J( �!# !���!���
� �!��� '"�- �( ��"�1 �( �!���� ��� ���� �1 !�����( �!�.
����� <� ��"#�� �� �� !�(1 � �� � � �!� ! ��( ;���� ��"#'� ! (
�"( ��'"-�5* �6 ���� 6 " ��0��'�� � !����!# ( �� � & 0�" �����0���
% ��- !� 2����� �!�"#�5* ���6��� �� & ! ��7� @�� �5����"
" ��41 ��� �� !�"�!��
A� �!��5 ���! �"! "#�� �� �( ��*��!# ( !�"#�� � ��� � " ��5*�
!�� ��'5�� �5* ���(�������� ����������� =� � !�6�����5* � !�(.
�& {E1, E2, . . . } �0��'�4! � �� !�5& � �!�� ��5� "����� �" �!���
1) C� ��� 1 �) ���-��, e ����4��������B + ���� � + ��� �������� � � −e
AI� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
��� ! ��*��!# ( ";# �� ��� � " ��5* ��0!�*� �� ��!��5* �� � '.
"�-� !�
I� <� � � *�� �!��� ' ��-�"#��� � !�(�( �� � & En � ��� -.
�� � !�(� �� � &Em ��� *��! �������� ����!� � !� �� � &
En − Em -� !�!�&
ωnm = (En − Em)/�. ���K�
<� �!�� �� �( �!��� �� �#;� ! (M Em = En − �ωnm�
/- ����� �� �����%���� ����!� � !� -� !�!�& ω �� �( �!���
�� "-�� ! (M
Em = En + �ω, �����
% " � !� � �� !�� ! �!���5* � !�(�& �!�� ��� ! �22 �!���
��"�1�!# !�"#�� !�� ����!5� -� !�!� ��!��5* ����" !���( ! ��!��; .
�4 ���K�� =!� ��� � "( ! !���!��� � �!��� ��"�1 �(�
?��!��; � ���K� -� !� ��'5��4! ������� ������ �����
E�!( � ��5& �� !�"�! (��� ���!��� -" �"� - ��& �" �!�����.
�� � @�� '�(�"M �<����( ! ��4 <"����� �5 ��'�� � �!��5!� � ��.
!�!�-�� !# �05-��& �" �!������� � ;! "#�� ���5�� � �(���
��"�� �&� ! �� �('���5* �!�& ! �� &��
�F'������ �� � � !��� �!* �� !�"�!�� � �� !�5& *����! � � �.
!��� '"�- �( : ��"�1 �( �!����� @�� ������ � ��� �� �"��" ���.
!���!��5& �� �0 �� -!5��!# ����� �� � �!���� -� !�!5 � �.
!��"#�5* "�&� ,"( �!�� �� �� ���"��"� -!� � ! � !� ����"� ����.
!����( ��� �!� ���"# �M
L = n�, n = 1, 2, . . . �����
7 0 '5�! � �� ��� " �!#� ��� @�� ��; " � �!��� ����"��
� *����& � & �"( � � 05"� ��! '� ����!�� )� <"����� ?�"� ��
<"���� '"�- � �� �� ! ( ���6(�� ����!�� �� � & �ω� 9���
��"��( �� �( '"�- �( !���& -� !�!�& �����
εn = n�ω, n = 1, 2, . . . �����
�'��- � n = 0 � �� � !��"( ! '� # �! � �� �� ��"#�� �!� -� ! ��".
���� �! �! !�4 '"�- �(�� 9��� �0��'��� �� �( �" �!�����!���
��"( ����!� ! (� 7� �"� �� �" �!������� ��" '"�- �( ��� ! 05!#
�� � !��" �� ��� �������� !# � 6""(!����� <��!��� ����!� ! ( �� �.
( � 6""(!���� =!� � 4 3 ����!���� �� � � 6""(!��� 3 @��
� � � �� �" �!���� �� �( � �� ��!� � ��" � � ��!���� �" �!���� �!.
� -� ! � ��!��5& � 6""(!��� =!� ��'��""� '�� �!# �� �4 �" �!����
� " ��41 � �� M
n�ω = p2
2m+ mω2q2
2, n = 1, 2, . . . , �����
� {q, p} 3 �������!� ���"# �" �!����� <� '�����5* '��- �(*
9-.- 7�������(��/ )�������/ ���(�/ [- ;�(� AI�
����!���� - "� n -� !�!5 ω ����� � ����� �� 2�'���& �"� �� !
{q, p} '��� ! �""� ��"�� (�
a =√
2n�ω
mω2=
√2n�
mω, b =
√2mn�ω. ���N�
<"�1��# �!�� �""� � �����
S = πab = 2πn�. ���O�
? ����& !����5� �!� � �"�1��# ����� '�� �!# � ��
S =∮p dq = 2πn�. ���AB�
/! 4�� ����� -!� � ( 2�'���( �"� �� !# � "! ( �� (- &� ����.
����& �"�1��#4� !�� -!� ����"#��( �"�1��# 2�'���& �"� �� !� �!.
����41�( � !�(� � 6""(!��� �� ��; � "�-� 3 �" �!������ ���.
�� 2π� ≡ h�
G�� � !�� ���AB� ������ ! ����"�� ����!����( @��� ���K� 0�� ��"�.
- ��5� �5; �� � ��� ��0"� ���� � ; �( ����� �( c� �� ���
<� !# �" �!��� ������ ��� ���1� ! ( �� ������& ��0! ���� � r�
9��� p = mυ, dq = rdϕ� � ϕ3�"���( �������!�� ?��!��; � ���AB�
�� �!�� ��� ! ��
S =∮mυr dϕ = 2πL = 2πn�. ���AA�
D� # � "-�� L = mυr !# ��� �! ���"# � �" �!���� �!�� ! "#��
(���� /- ����� -!� ��"�- ��� ��!��; � ������ ! ��! '�& ������
G�'���( ��" ��4� ��� &-� ����(!� ���"�����!���4� ! ��4� @��
�� ��!���" ��� � �" �!���� � �!�� � �!!�"���( # �! '������ �"� .
- ��& � *���� ����"� ��5* ����"�� ����!����( ������
G� ��!�� �" �!���� ����1& ( �� ������& ��0! ����� (���
'��(��� Ze� <�������( 6 �!��0 ���4 "� " ��"���� ��� ��!(� .
�(� ��"�-�
mυ2
r= Ze2
r2, " (mυr)2 = mZe2r. ���AI�
� ��"#'�( � "�� ������ '�� �� �5��� � � ���"5* ��0��* � ".
-��& n�� =!� �����! �� � � �� !���� ��0��� ���� �� ��0!M
rn = �2
me2
n2
Z, n = 1, 2, 3, . . . , ���AK�
��'5�� �5* �������� �� ����� % "-��
a = �2
me2≈ 0,529
◦
U ���A��
AI� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
!# ���� � ���&� ���& �'��& ��0!5 �"( Z = 1e ��� ��'5�� ! ( ��
������ �������
,�" ����� ��&! �� �4 �" �!����� ��*��(1 � ( �� n.& 0���� ��&
��0! � D�� -�( �� ����! "#��� -!� �"� �� ���AI�
mυ2n
2= Ze2
2rn
� ��"�-� �
En = mυ2n
2− Ze2
rn= −Ze2
2rn= −me4
2�2
Z2
n2. ���A��
% "-��
εБ = me4
2�2≈ 13,60 �% ���A��
��'5��4! �������� 1�������� � ����3 �� � !- ��& �� !�(���& G�.
0 ��� �� !� ��"#'� ! ( �� ! ���( ��6� �� �� ��'5�� ��( �G�.
0 �� - " ��� �����( 0���� ��& �� �M
1 Ry = 13,60 эВ = 2, 1796 · 10−11 ��. ���A��
<� � !��"( ! �! � �6 �!# � "-�� ���� ! �" �!����� ��*��(.
1 � ( �� n.& 0���� ��& ��0! � <� ��"#�� �"� �� ����"� ����!����(
����� mυnrn = n�� � �
υn = n�
mrn= e2
�
Z
n. ���AN�
9��� �0��'��� ��0�"#; & ���� !#4 �0"���4! �" �!���5� ��*��(1 (
�� ��5* �'�* ��0!�*� ?��!��; �4 ���AN� ����� ����!# � ��"#��
��& ��� " �� ! !�� ��'5�� ��4 ��������� ������ �������
α = e2
�c≈
1
137,036. ���AO�
9���
υn = α cZ
n. ���IB�
=!� 2����"� ���0�� �"( - " ��5* �6 ���� 7���� �� ���� !# �" �!����
� �'; � � !�(� �!��� �������� �!� � �� Z = 1, n = 1) � !��"( !
υ = α c ≈ c/137 ≈ 2200 ��/ � ,"( �" �!���� � �� � ���& 0���� ��&
��0! ����� (��� ����� �!� � �� Z = 92, n = 1) ��� ����� υ = Zα c ≈
≈ 200 000 ��/ � =!� � "-�� ������ � ���� !#4 � !�� !�� -!� '�� !.
��4 ��"# ���! ��!# � "(!� ! � �22 �!5�
7���� 6� �� � !��"( ! �! � �6 �!# *����! ��5 '��- �( ����(.
� ��� ! �" �!�- ��� ��"( � �!���*� 7� �� !�(� 0���� ��� ����.
� a �! (��� Z = 1 ��" � ! � "-�� ���(���
E ∼ e
a2= 1,72 · 107 �� ?>?= = 5, 15 · 109 %/ �. ���IA�
<� � & ��� !�! � � *�* ! ��( @��� ���'�"� # � � � !�(� �0J.
( �!# 6 "5& �(� '������ ��� ! & �!���5* � �!���� C ��"- !� ��5
9-0- ����������� 5��(��� 5��)�(��� � ����� �� �(� � AI�
�� � ��'��( �!"-�" # �! !��� -!� ��0"4��"� # � ��5!�* �"( 0�"#;�.
!�� �!���� ����� ���������� /�� !��� � ��"� �6 �!# �! � ��� !
� �!��"#�5* "�& �� ���(� �0J( �!# �� 1 �" � "�& !� �� %� .
! ! � �!� ! ��( � !� ! ( � #�� ��" '��& �"( ��'���0��'�5* �6 ���
� "-�� *����! �'�41* �!���5 �'���� & !�(�
*��� -���������� &���8�� &�������� � ���.� ��������
< � &� � � '"�� �4 �� " ����! "#��& ! �� ������������0�5*
�!����� � �������& �� ����� � c� �� ���
C " �� �( �" �!���� � �#; ��"(� E < 0� !� �� "���"'���� � ��.
! �6�"#��& (� �� � ��A�� C� ��� � 2�!��� � �� �( ����!������
?��!� ! !��41 ����� �� � ����� ��&!� � ;� ����� �( ���I��
<� ���"' ���� 2 �- ��& �� !�-�� ! '���- ���0�� � � &.
! � 2 �- �� �������!�� �K��K�� /���-� 0( ��-�"� ��'�����
0�" ��� !�& '���- & �� ��!�� "�-�&� ���� ��"����( 2���6( � '�.
� ! �! �"�� θ ϕ� =!� �'��-� !� -!� �5 1 � � !�(�(� � � 41
��� �!� ���"# �� 9��� �� " �5��"� �( '�� �5 �K��K� �*��(1& � ���I�
"��"� �� � � � 5�� ! ( ���
Δ = ∂2
∂ r2+ 2
r
∂
∂ r
���II�
�5 ��"�-� � ����� �
d2Ψ
dr2+ 1
r
dΨ
dr+ 2m
�2
(E + Ze2
r
)Ψ = 0. ���IK�
�'.'� !�� -!� �5 � �-!5�� � '�� �� !# Ψ.2���6 �! �"�� θ ϕ�
!� � � �-!5�� � �"���� ��� �(� ����� � c� �� �� ���'�"� #
'�� ���5� � �05���� ��5* ���'����5*�
%� � � �0�'��- �(
σ = 2mZe2
�2, k2 = −2mE
�2. ���I��
/- ����� -!� k2 > 0� 9��� ����� � ���IK� ��� ! ��
Ψ′′ + 2
rΨ′ + σ
rΨ = k2Ψ, ���I��
� ;!�* �'��-� ! �22 � �6����� �� r�
�!�05 '�-!# � ; �( �!�� ����� �(� �� � � 2���64
F (r) = rΨ(r) ���I��
�-! � !��� !��
ΔΨ(r) = d2Ψ
dr2+ 2
r
dΨ
dr≡ 1
r
d2(rΨ)
dr2= 1
r
d2F
dr2.
AIN ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
9��� ����� � ���I�� ���� !! (M
F ′′ + σ
rF = k2F. ���I��
,�" '�� !�� -!� �� r → ∞ �!��� "�� �� � " ��& -� ! ��� �.
!�� ���'5�� ! ( ��"5� �� ���� �4 � "�� �5�� !�(1� � �����&
� -� !� <��!��� � �!�& �0"� ! 2���6( F (r) ����" !���( ! ����� �4
F ′′ = k2F, ���IN�
� ; � ��!���� � ! ��
F ∼ e−kr. ���IO�
%!��� � ; � � F ∼ e+kr� �5 ��"��5 �!0�� !#� �� ��"#�� ��� � ���.
�- ��� �� ! ! �� r → ∞ � ����" !���( ! !� 0����(�� �� �J(�"( .
�5� � ��"����& 2���6� ? �- !�� �!�� ���0�� ��"��!#
F (r) = e−krf(r). ���KB�
9��� �0��'��� �5 ��;" � �� � !��" �4 ��"����& 2���6 � " ��4.
1 � �� M
Ψ(r) = 1
re−krf(r). ���KA�
<�� !������ ���KB� � ���I�� �����! � ����� �4 �"( 2���6 f(r)M
f ′′ − 2kf ′ + σ
rf = 0. ���KI�
C� � ; � 1 � � �� ! � ���� �(��M
f(r) =∞∑
s=0
Asrs. ���KK�
9��� ����� � ���KI� ����� ! ��
∞∑s=0
[Ass(s− 1)rs−2 − 2ksAsrs−1 + σAsr
s−1] = 0
"� �� " � � �������� "�� �5*� ��
∞∑s=0
[As+1s(s+ 1) − 2ksAs + σAs]rs−1 = 0. ���K��
<�"�- ��� ��� � !�� ��"��� !��� !� ��� �5��"�(!# ( �"( "405*
'��- �& r� ?" ����! "#��� ��"��5 �0��!!# ( � ��"# ���226 �!5 � .
� � � � ! � �(� rs−1� % -� !�� !� �� s = 0 ��*��� A0 = 0� ,"(
9-0- ����������� 5��(��� 5��)�(��� � ����� �� �(� � AIO
� !�"#�5* s ��"�-� � � ���� �!�� ��!��; � � �('5��41 �� " ��.
��! "#�5 ���226 �!5 �(�� ���KK�M
As+1 = 2ks− σ
s(s+ 1)As, s = 1, 2, . . . ���K��
% "�-� ���'��"#���� "�-�&�� �50������ '��- �( - "� σ ���2.
26 �!5 As �� 0�"#;* '��- �(* ��� �� �s 1� s σ/k) ����" !��.
�(4! ��!��; �4
As+1 ≈2k
sAs, !� � As ∼ (2k)s
s!. ���K��
<�� !������ !���� � ; �( � ���KK� �����! � �6 ��
f(r) − f0(r) ∼∞∑
s=0
1
s!(2kr)s = e2kr. ���K��
D� # 2���6( f0(r) !# ��"���� �-!5��41& �!"- � ��5* ���2.
26 �!�� �(�� ���KK� �! '��- �& ���K��� 9��� �0��'��� " �� - "� σ
� ���"��5��!# ����* ����- �&� !� � ; � ����� �( ���I�� ��
r → ∞ 0�� ! � ����- ��� �� !M Ψ(r) ∼ 1
re−kre2kr = 1
rekr� <� ��"#.
�� �!� ���!��� -! !� 0����4 ����- ��� ! ��"����& 2���6� �5
��"��5 �"4-!# ����0�5 !��6� ,"( �!�� �5 ��"��5 �0����!#
�(� ���KK�� � "�� !��� -!�05 � ���226 �!5As �� !�!�-�� 0�"#;�
��� ��� s > n �0��!" # � ��"#� <� �!�� 2���6( f(r) � � ! ( �
��"���� ! � � n� /0��1 � � ��"# ���226 �!� An+1 � * �� " .
��41* ��'������ " ���� ! (
2kn− σ = 0 ���KN�
"� �"� �� ���I���
En = −me4
2�2
Z2
n2, n = 1, 2, 3, . . . ���KO�
/!� !�� -!� �!� �5��� � � !�-�� ! ������ ! �5��� � � ���A���
��"�- ��5� �� � ��� ��"�����!���& ! �� @����
�!��� �5 ��;" � ����!����4 �� � !- �* ����� & �!���� ��.
- � � ��!� ! !� � ��'���5� ��"����( 2���6( �" �!���� ��� ! 05!#
'�� ��� � " ��41 � �� M
Ψn(r) = 1
re−knrQn(r), Qn(r) = A1r +A2r
2 + . . . +Anrn. ����B�
% -� !�� !� �"( � ������ � !�(�( �n = 1� � �
Ψ1(r) = A1e−k1r, k1 = mZe2
�2= Z
a. ����A�
AKB ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
��� !��!� A1 ����� ��� � "!#� �� ��"#'����; # � "�� � ���.
�����M
∫|Ψ|2 dV =
∞∫0
A21e
−2k1r4πr2dr = 1, " A1 =√
k31
π=
√Z3
πa3. ����I�
?* �� ����� & ���KO� ��� � �� �� � � ��I� ,"( �!��� �������� �Z = 1)
" !�6� ����� & �� � ��-�� ! ( �! E1 = −13,6 эВ �� n = 1 � !
�� E∞ = 0 �� n→ ∞�
�"� - � ��'� ; ���( �0"� !# ��� �( �" �!���� ��� � "( ! (
� "�� � U(rn, max) = E� C " �" �!��� � ! �� �4� �!� -�41�4
n.�� �� � !- ���� �����4 ���KO�� !�
r � rn, max = e2
|En|= 2�
2
me2
n2
Z= 2an
2
Z, n = 1, 2, . . . ����K�
/0�41�( ! �5 ����� & �� � � ��I ����'5�� !� ��� � ��!� ! !�
��! �6�"#��& ����& −Ze2/r �� ;�( ! ( �0"� !# "���"'�6 �" �.
!����� " �! �'� �� �* �� " !�6 ��'� ; ��5* ����� & �� ��
0
U
r
E4
E3
E2
E1
2�� $� ����� ����1�� �����D
������=��1� ��) ����+��� �����
����� ,� +� ?� ,���� ����1�� �
������)���� T �� ���-���� � +��D
"���,? �=� ��� ��4���� ��������
��������,?8�) ����1���-����)
���������
%���� -!� " �" �!���� ��01!#
�� �4 ΔE = m(Ze2)2
2�2
� !� �� ���.
'5�� ! ( �� �0�5� �&! �� 0 ��.
� -�� !#� =!� �� �( ��'5�� ! (
�� � & ���! �6�"��� ��'�6 I
�!���� ,"( �!��� �������� �Z = 1)
I = me4
2�2= 13,6 �%. ������
<�E > E∞ = 0 �� �( �" �!��.
�� 0�"#; � ����!� ! (� � ���� !.
�5 '��- �( �0��'�4! � �� �5��5&
� �!�� " ���!����� 3 �!�� ! �( !
�" �!���� ��!��5& !����! ( ��0��.
�5��%��" �! ��!(��41 � 6 �!��
�" �!��� 3 ��0����( ��"��� �"� ��(
��"�� � @��&"(�
9��� �0��'��� �5 ��"�-"
���"� - !�& � '�"#!�!� ��!��5& ��.
� ! 05!# � �� � � !� ��� ���� � �
��5!������� ��-�� ;# ����!# � �.
�-�5 ���(!( ����!���& � *���� !� ��'��� ! �1�1 � � -!� � ��.
"�-;# �- � ����� !���� % '50�� �� �"5�-�!�M � "#'( ������ � �.
�� '� �(!# ���"# �������!� -� !65e � !�(� *����! �'� ! (
Ψ.2���6 &� ��41 & ";# � ��(!�� !�� �� �� ��0"4�� ��& !��.
6� � � 9 � � � � ���'�"� #� -!� �� !�� ���( �� �!* � �����(* �����
9-L- '(���(��������+� (��:(� �����/ 5��)�(��� � ����� �� �(� � AKA
�� �0�� ����!# � #�� ��� � " ��5 � '�"#!�!5� ��'��"(41 ������!#
� !�"#�� ��- !� ��� � �� ��"- !� ��� � ��!�� 3 �5 ���& !�-��.
!#4� ��� !��" � �� � �� �!���� � � * !���� ��� !��" �( !#
"�-;& ��! �& ����"#�� ! ! ���
*�"� ��������������� ������������! B>��@���?C
&�������� � ���.� ��������
�!��� �� �( �" �!���� � �!�� �������� �Z = 1) ����!� ! ( �� 2��.
��"
En = −me4
2�2
1
n2, n = 1, 2, 3, . . . ������
7���� ������� ����!#� -!� ��"�- ��5 �� �!�� � ; �( � ��"�5M
05"� �"4- �� ' �� ��!� �( '�� �� !# Ψ.2���6 �! �"�� θ ϕ�
?" ����! "#��� ����� �� �� ���� �5 2����"�& ����A�� �!# �����
�� � �" �!���� ��" �5� ��� �!�� ��"- !�� ��� �(� !�� ��'�!#�
����� �� � �� ���1�41 � (� �" �!����� F- ! ��� �!�� �����! �
��(�" �4 � * � ����� & �� � � ��!���& ����"�! "#��& !���!��5�
-!� 0�� ! �0 ��� �� ��'�� �
9�� -!� �"( �� ���1�41 � (� �" �!���� �1 !�� ! � �&��0�� � !�&.
-�5* � !�(�&� � '��-!� ��"�� �& � �!�� � ����� ��( �!#� �� .
��"#'����; # ��!��; � � � ��� � " ��� ! &� ���� 0"�����( ��"�.
��� ���� ��!(� �4 �" �!��� ��0"�� ! ( � (���� � ��� � " ��� !# �
�������! �� �#;� ! (� 7� �� �!��� �"� �� ��!��; �4 � ��� � .
" ��� ! &� ��'�� !� ! ��'0�� � '��- �(* ���"# �� � �� !�� Δp �� ! !
�� !- ��( �� �(� =" �!��� ��!(�� ! ( � (��� ��!���� -!� �� �!��
�� �#;� ! ( � ��! �6�"#��( �� �(� 7� �!� (�"( ! ( ��� � "(41�
2��!���� ";# �� ! * ���� ���� � !�� ! ";��� "#�� ��'�� !�!# �.
� !- ��( �� �(� ���� � �� !- ��( �� �( '�� !�� ��'�� !� !�
��"#� &; ��0"� � � (��� !����! ( �� � !- � � �5���5��
9�� ��'��� ! � �& ���� �#� � �� ��"�� � � � ����� � ! � ��.
! �6�"#��( �� �(� � ��"��(� ?��!��; � � ��� � " ��� ! &� !���
�0��'��� ��- !� ��� ��( �( !� -!� �" �!��� � ��� ! ��� !# �� (���� ���
" �� � ���1� ! ( ����� �� " �� ��
% ��'���5 "��� � !����� �0" -# � !���4��! ��!- ��42�����
% ����� " � ��"�-��6 ��� �� � � ������ � !�(�( �!��� ��������
����1#4 ��!��; �( � ��� � " ��� ! & � 2���
ΔpΔx ∼ �. ������
D��; � �5��� � �"( ��"��& �� � �!���M
E = p2
2m− e2
r. ������
AKI ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
D�� �� '� #
p→ Δp
0�� � -!�!# � ��& � ��� � " ��� ! �������!5 � "-�� r� 9����
��"��( Δp ∼ �/r� ��"�-�
E ∼ �2
2mr2− e2
r≡ Φ(r). ����N�
)���"#��� '��- �( �!� � "-�� �� !� ! ��
dΦ
dr= 0, " − �
2
mr3+ e2
r2= 0.
/! 4�� ��*��� �6 ��� � �� � �� !�(�( �" �!���� �! (���M
r = �2
me2. ����O�
=!� ������ ! 0���� �� ���� ��� �!� -�41� �'; & ��0! �" �!��.
��� <�� !������ ����O� � ����N� �� ! �6 ��� �� � � ������ � !�(�(
�!��� ��������M
Emin = −me4
2�2,
������41�4 0���� ��& �� � & εБ� ?����� � - "���� ���22.
6 �!� �('��� �50���� ��!��; �( � ��� � " ��� ! & � 2��� �������
��� ��' �!� -�41 & !���!�� ��"���5* 2���6& �" �!���� � ��"���� ���
��! �6�" �
� " �� � ! � �# 0�" !1�! "#�� ��� !��� !� ��� �� �� � " �
� ��(!�� ! ��*��� �( �" �!���� � �!�� � ��� 05"� � !����" �� �5; �
Ψ.2���6( �" �!���� � �!�� �������� �� � !��"( ! ( � ��
Ψn(r) = 1
re−knrQn(r), Qn(r) =
n∑s=1
Asrs, As+1 = 2kns− σ
s(s+ 1)As ;
σ = 2me2
�2= 2
a, kn =
√−2mEn
�2= 1
an.
����B�
G� ��!�� ��-�"� � ����� � !�(� � � ��!����� ! !� ����n = 1�
C� �����������( 2���6(� ��� �� ���'5��"� # �5; � !#
Ψ1(r) = 1√πa3
e−k1r, k1 = 1
a. ����A�
/- ����� -!� Ψ1(r) � ! ��� ��� �� r = 0� !� � � (�� �!���� =!�
!�� -!� � !�"� # �! !�� �5����� ��!��5& � "�"� 05 �"� - ��( � *�.
���� <� �"� � �" �!��� ��"� � ��� !# �� (���� � �5 �!� �"� - .
�� �!� ��� � '�� �( � ����M �"( �" �!���� *����! ��� � ��!���
��� !��� !� ��� �� �� � " � ��"����& 2���6� ��� ��� ��!����
9-L- '(���(��������+� (��:(� �����/ 5��)�(��� � ����� �� �(� � AKK
��*��! ( � ��-�" �������!� 7� � "#'( � "�!# �5��� � !��� � � ��(!�
� � ��*��! ( �" �!���� �� ��!���( �������!��4 '�� �� !# !�"#��
";# � ��"����& 2���6� 7��� �� ��!���!# � "-�� |Ψ1(r)|2 dV 3
� ��(!�� !# !��� -!� �" �!��� ��*��! ( � �0J � dV �
% " � !� 2 �- ��& �� !� '���- ���0�� � � &! � 2 �- .
�� �������!��� %�'#� � 2 �- �& "�& ���� � r !�"1�5 dr�
C� �0J � ��� � dV = 4πr2dr� 9��� � ��(!�� !# ��*��� �( �" �!���� �
�!�� "� � �"� �� ����A�� � !��"( !
dW1 = w1(r)dr = 1
πa3e−2r/a4πr2dr ����I�
��� � �A� ���'5�� !� -!� �5 �� ��!��� � � !�(� n = 1)� 9��
��� �� ��� �!� �05�� ! 05 !� � - � "40�( ! � ���( 2���6( ���� !� !�
�"�!�� !# � ��(!�� ! w1(r) = dW1/dr � .!� � ! ��� ��� �� r� <�.
"�� � �!�� ��� ���� ��� � "( ! ( ' � "��( dw1/dr = 0 �� ! (
�5��� � �
rmax = a = �2
me2. ����K ��
7� !���� �� !�(� �! (��� � ��(!�� !# �0�����!# �" �!��� ��� ��"#.
��� =!� � "-�� !# ���� � ���& 0���� ��& ��0!5� C " 05 �5 �� .
��!���" ������������0�5& �!�� Z > 1� !� ��"�-" 05
rmax = �2
mZe2. ����K 0�
D� # ��"#'� ! ( !���(� 0���� ��( ! ����"�(� 7� ���� � " �5
��" �� �;" �! 0���� �* �� � !��" �&� %�.� ��5*� �" �!��� � � ��
�0��1� ! ( ����� (��� � !�� �5 " � -!� � � �� � ! ��� �! ���"# �
�!�� ! "#�� (���� 7� �5 ��� ��' ��" � !�(�(� � ��!��5* �" �!���
� ���1� ! (� ��;" !����5 � %�.�!��5*� � �!�� � ! ��0!� � !# ���.
!��� !� ��� �� �� � " � � ��(!�� !� �� � ��5& �'"(� ��� 05 ���
� 41 ��� ��� � ��" � 9 � � � � 0���� �& ���� 3 �!� �- �#
��" '�5& ����� !�� �� ��"#�� �� ��� � "( ! �� ���(��� � "-�5 �� .
!�(� �! (���� �� ��!���� ��� ��"#��& � ��(!�� !#4 ����� � !� .
!!# �" �!���� 7� �� !�(�(*� '�� !�� �� �5;�41* �!� � "-��� �" �.
!��� ��&! ����!- � � ��'������ !�� ��� ��!� ! !��41�( � ��(!�� !#
�� ��� �6�"#�� ���� ! �� � � �� !� r �� � ��K� ���
� " ��� '��- � � "-�5 a = 0,529◦
U = 0, 529 · 10−8 � *���.
;� ������ ! ! �� -!� ��4! �'��� !- � ��5!5� D�� !�� -!� �!�
�0 !�(! "# !�� 3 ���� !�� �!��� �������� ��� � ������ �� !� �� 3
��( �( !� ��- �� � !�"# �� ! ���(� ��6� �"�5� � ��!�( �� �
� �� !5 !�����!5� �� * ��� �� ! � ��� �� ���� " � ��� 2'����
/0��!� ( ! � �# � ��'0��� ��5� � !�(�(�� ,"( " ��41 � '� � .
����5� � !�(�( ����!��� - "� n = 2� ! � ���& �(� ����B� �"(
AK� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
Ψ.2���6 �0�5�� ! ( �� �!���� -" � M
Ψ2(r) = (A1 +A2r)e−k2r. ������
% ��!� ! !� � ���� �!�5� ��!��; � � � ����B� ���'5�� ! ( A2 == −k2a1� ��- � k2 = 1/2a� 9���
Ψ2(r) = A1
(1 − r
2a
)exp
(− r
2a
). ������
E�!( ���226 �! A1 � �� � !��"( ! �"( �� �! � �� �!� !�� -!�
w1 ( )r w2 ( )r
a
0,2
0,4
0,6
1 2 3 4
r a/
0,0
0,1
2 4 6 8 10 12 14
á
0,3
0,2
r a/
2�� $� 2 ����������� ����������� � 0�4����� �������� ��)� ������ ���
��,- � ������1� @�A � ����1� �+=,4�����1� @"A ���������
�� ��� � "( ! ( ' � "��( ��������
∫|Ψ2|2 dV =
∞∫0
|Ψ2|2 4πr2dr = 1
��� �
A1 = 1√8πa3
.
?��5� �! � �5� � 2����" ������ (�"( ! ( ��"- ��"( Ψ.2���6
�� '��- � r = 1/k2 = 2a� !� � �� ���&��� 0���� ��� ���� �
% ��(!�� !# ��&! �" �!��� � �! ���" dr� ���" ���� �� �� !�(� r
�! (���� !#
dW2(r) = w2(r)dr = a21
(1 − r
2a
)2
exp(− r
a
)4πr2dr. ������
>��2� �"�!�� ! � ��(!�� ! w2(r) ��� � � �� � � ��K� � 8���6(
w2(r) � ! - !5� �� !� ����M ��� ������ ��� ��� ����� /��
9-L- '(���(��������+� (��:(� �����/ 5��)�(��� � ����� �� �(� � AK�
������ ��� � "�-� n = 1� ��*��! ( � 6 �!� �!��� �� r = 0� %!���&
����� � �"'� ! ( �� r = 2a� ���� �� ���" � �� ���&��& 0����.
�& ���� Ψ.2���6( � ���� ��'0��� ���� � !�(�( �0��1� ! ( �
��"#� )�� ��"#�5 '��- �( �"�!�� ! � ��(!�� ! �� !�4! ( ��
r1 = (3 −√5)a, r2 = (3 +
√5)a. ������
9��� �0��'��� � �� �� � " � � ��(!�� ! & ��(�" ( �' " �� r > 0�
!� � !�-��� � �" �!��� ��&! � "#'(� �� !6� ��� ! 05!# �� ��"�� �� �
���* �0"� !(*M
0 < r < 2a r > 2a. ����N�
��� ���� ' � � ��K� � 0�" � ��(!�� ��&! �� �!���& �0"� !� !� �
�� �� !�(�� �� �5;�41 � Ia� % �!�� � !�! !�! !- �& �5 "
���(!( 0�" �5 ���& �� ��; � "�-� 3 �!���&� 0���� ��& ��0!5� 9 �
� � � �" �!��� � � ���� ��'0��� ���� � !�(� ��� ! ��� -��&
� ��(!�� !#4 ��*��!# ( �� 0�" �'��& ��0! �0 < r < 2a��
�!��� ��"����( 2���6( � ������ � !�(�( Ψ1(r) � � ! �'"��
�� � �0"� ! 0 < r < ∞� % "�-� � ���� ��'0��� ���� � !�(�( �
2���6Ψ2(r) ��(�"( ! ( ��� �' "�<� � � ��"#� &; � �� !� ����!���.
� - "� n ��"����( 2���6( Ψn(r) ����5& ��' ����"�! "#�� � � �� !
��" ��4 "�4� � "� �'"�� 2���6 n.� � !�(�( ����� n − 1M ���
�' " �� n = 2� ��� �'"� �� n = 3 !� �� ?��'���� �!���� ! �� ����
� 6""(6����& ! �� �5� ��!���( ������"� # � "� ��
<�� � � �"( ������ �����������4 ��"����4 2���64 � !�(�(
����!��5� - "�� n = 3M
Ψ3(r) = 1√27πa3
(1 − 2r
3a+ 2r2
27a3
)exp
(− r
3a
), ����O�
" ����� ��!���& ���!� ���� ! � � "���5 �!� ��� �(�
/- ����� -!� 0�" �5 ��� �����(� �� � ��!� ! !��4! 1 0�.
" "���5 ��� !��� !� ��5 �� �� � " �( � ��(!�� ! �0�����!#
�" �!����
9� �0 !�(! "# !��� -!� ��� !��� !� ���( ;��� ��� ����� �� �� .
� " �& � � ��K� � ��K� �� ���(��� � "-�5 ������ ! ! � �� !�(.
� �� �� ��!���� �!�! ��� ��� ��0"4�� ! (� ���- ���� ! � 4 � "��.
�� !# ���(!( ��0!5� C " ����!# � ��"(���� '�! "#��� �0��' �
!� ��*��! ( ��'��!#� -!� �� � !��" � �0 �" �!������ �0"�� " �
��"��5� �0��'�� �� "�&�� !��!26�������& �� �5 �! �" �!�����&
�0�"�-� 0�" !�-�� � � �� ! �!# � "��
G�'�!5 ��� &-� ��0��� �( ��- !� ��� ���! 05!# ��� � �5
� ���"'� 0�" !(� "5* �!����� " �! � ���!# ( * ���!� ��� �" �.
!������ E�!( ! ���5 ����!� ��&� ��� ;�&� �� �!��; �4 � �" �.
!����� �����" �!������ �!��� � ����� �����!# ";��� 0����"#��
��(��� ��"#'���!# ( � � .!�� ������ C " � ����� �" �!���� 2���.
6( �� �� � " �( !������ ����& ��� ����'��� �� � � ��K� �� � � ����� 3
��� �� � � ��K� � !� ! !� ��� -!�!#� -!� � ��5& �" �!��� ��*��! (
AK� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
�05-�� 0"� � (���� - � �!���&� <��!��� ����� ����!#� -!� � ��5&
' �* �� �!��; �4 �� �!����� (�"( ! ( ���!� ���� �� ���&� & � �
��- !� ���� 9��� �� � !��" � ���'5�� ! ( ��" '�5� �� �6 ��-���
�� ��!� � ����� ��
/ !����� ( ���!�� �� "�-� !(� "�� �!��� 0�"#;�- "����'�5*
�" �!������ ?� � �!* �" �!����� !# ���!� �� � %�"���5 2���6
�!* ���!� ��* �" �!����� �����!5� � ��-�"� �������!� !� � � (����
��� ��"#�� ��� !5� <�" �� ;�* �" �!����� �� ���!� �� � & !�� !
�!�� ! "#�� "�0�� ,"( ��- !� ��5* �6 ��� ����� -!�!#� -!� ����5&
' ���!� ��* �" �!����� ��*��! ( !�"#�� � ��" (���� 9��� �"( �!*
�" �!����� !(� "5* �!���� ���� �"�5 ��� �6 ��-�5 ! � 2����"5�
��!��5 05" ��"�- �5 �"( �!��� ��������� " !�"#�� ���'� ! � �*
'�� �� e2 → Ze2�
?�1 !� ��5� *����! � !��� �" �!���� (�"(4! ( �� �( �
� ������ � !�(�( �� !�(� �! (���� % ��!� ! !� ���KO� ����A�
�"( ���� "�0��� �� ��"�� ���� �" �!���� (n = 1)
E1 = −m(Ze2)2
2�2= −εБZ2, r1 = �
2
mZe2= a
Z. ����B�
? ��'�� !�� � '��(�� (��� ���� �� �" � �!�� �� �( ���!� �� � �" �.
!����� � "#� "#� ������41 � ( � 6 �!��� �� ! ! ������6�.
��"#�� ������!� '��(�� (��� �∼ Z 2)� ? ���!� ��� �" �!����� �('��5
!�� ��'5�� �5 *����! � !- � � �! ��� � "�-� �� �( ����!��
��!��5* ��'�� !� ! �� � � *�� �! �" � �!� � �" � �!� ������6���"#.
�� Z� 7� �0 �!�� � -# ��&� ! ��'�� �
*�$� ���������� 2�����.������� � ����#4���7 �������7
���.��
� !�& � '�"#!�! ! ��� �5��� ��5& 2����"�& ������ �"( ����� &
�� � �" �!���� � �!�� ��������� ��'��"( ! ������!# ��"- !� ���
���� � �� � �� �!���
<� �� � � ( ��� -!� ��"� � �1 !����!# ��0�� ��! �6�"�� ��.
'�6� ��!� ! !��41* � � *���� �" �!���� ' � �� !�5* �('���5*
� !�(�& n = 1, 2, 3 !� �� � ���!���� ��0���5* � !�(�&� % "�-�
�!��� ��������� ��*��(1 � ( � � ������ � !�(�� !� � �� n = 1� ��.
��"#��( �� �(� � �0*����( �"( !���� � �('����. ��0������ � � *���
�� ��5& ��! �6�" ��'�6�� � !��"( ! AK�� �%� /�5!5 8����� > �6�
�!- !"�� ����'�" ��"- (��� �5��� ��5* � �� !�5* ��! �6�"��
��'�6� ,� �'���( ����!���& � *��� �!� ��'�"� # ���! "#�5��
7� "���� � !�! � �0J( � � ��!- �* � �!��� � !�"#�� ��- .
!� ����� �� ��"- !� �����
��� '� !��� '"�- � '�"������5* �!���� ���*��(1* ( � �!��.
�5* ��-��*� ��'� � ��5* �!�����5*� !� � � ��" ��"(��5*� �'�*� � ��.
��* � !�""�� �� �!�� ! "#�� �'�* ���" �(*� �!"-� ! ( ��0�"#; &
9-3- Q�(���!�+� *�)�����(����� � ����&$��+# �:�)�(�# ������ AK�
��� !�!�&� ?� �!�5 !��* �0J �!�� � !�(! ' �(�� � �� !�5* � �!��"#.
�5* "�& �� �!�& ��-� ��'5��4! ( "� &-�!5��
+� &-�!5& � �!� �'�� ��� ! 05!# ��'0��� � ��'"-�5� �� �0�.
�� /� ��(�"( ! ( �� �" �!�- �����'�(� - � ' �'� �� 0��0�������
�!���� �'� �" �!����� � � !������*� ����0�5* ! �� -!� ��"#'���" #
� ��5!�* 8����� > �6�� �� ��� ��� �'�� �� � � 1 � � !�� ���.
*��(1 & �"�5 ��"�5 !� ��
G� ��"�� � "�& � "� &-�!5* � �!��* � �� � !��"( ! �0�& 0 .
���(��-��� ���" �(� %���! "#�� '�- � �!* � �!��� �!���� ��.
� "� � � !����" �4 ��� � " ��5* '������ ��� ! &�
%� ��5 � ��( !���( '������ ��� !# � �� ��"�� � "�& � �!��
�������� 05"� �0����� �� �� @�"#� ��� 1 � ANN�.� ���� /� ��; "�
-!� � � �!� �������� !# �( "�&� -� !�!5 ��!��5* ��"��5��4! ( �
�01�4 2����"�
ν = R(
1
22− 1
m2
), m = 3, 4, 5, . . . ����A�
% � �!�� ��� �� !� -� !�!5 ν -� !� �� ��!���4! � "-��N == ν
c= 1
λ
� =!� - "� ����'5�� !� ��"#�� ��"� �����& �"�5 ��"��5�� ! (
�� ��6 �"�5 �� ����� ��!� !� �� 9���& �� �0 ���'��( '��- �(
-� !�! � �!��"#�5* "�& 3 � �0��!�5* ��!� !��* � �−1) 3 !��.
- � �0� "��" � � �0 ��� !(� � �!��� !�- ��& ! *�� '� � �(
� �!��"#�5* ���� ��!��� � �"���& " "� &��& � � � % �!* ��6�*
�"( � @�"#� ��
N = R(
1
22− 1
m2
), m = 3, 4, 5, . . . ����I�
=� � �� �!�"#�� ��&� ��� '��- � ���226 �!� R � !��"( !
R = R/c = 109677,6 �−1. ����K�
% "-�� R ��'5��4! ���������� 0�� �����
F !����" ��� -!� IO "�& ���������� � �!�� ����'! "#��& !�-.
�� !#4 ��"��5��4! ( � 2����"� � @�"#� �� ����I�� � "� '����� �
�� !�(���& G�0 ��� ����& !����5� ����'5�� !� ����& !�-�� ! �� !.
� ! � �!�� ���(� � ����& !����5� ""4 !��� !� �� ��"#�� ���-��
2����"� @�"#� ��� ?" ����! "#��� �!� � ��� !� ���-�� ����0�����( ��.
��- ��( 2����"�� � �5��� � ����&.!� ���!� �� & '������ ��� !�
? �( @�"#� �� " �! � ����& 0"'��& �"#!��2�" !���& �0"� !(*
� �!��� 8�!���2( � �!�� �!�& � "�& �5"(�! ��� ��� !���
��� ����'��� �� � � ���� ?���( �"�����"����( ' �* 3 '��� �!�(
"�( Hα 3 � ! �"�� ��"�5 � 6562,8◦
U " �! � ��� ��& �0"� !
� �!��� C - !5& ( �5& ��� �5& 6� ! ��"� �� �( "��" ��� ���&� &
� � �� ;����� �� ��� !��� �( "& : � ����5* "�' ���� �!�"����
AKN ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
���(!( ��� ���� >���6� � " �! � �"#!��2�" !���& �0"� ! ��
λ = 3647◦
U�
>"�0��& �5 " ��"#�5* 2����" !�" 1 0�" �5���"5�� ����
05" �!��5!5 �( +�&���� ���" ��( �"#!��2�" !���( �0"� !#�M
N = R(
1
12− 1
m2
), m = 2, 3, 4, . . . ,
�( <�; �� �0"'�& �2����� �5& � !�M
N = R(
1
32− 1
m2
), m = 4, 5, 6, . . . ,
�( @���� !�M
N = R(
1
42− 1
m2
), m = 5, 6, 7, . . . ,
�( <2����M
N = R(
1
52− 1
m2
), m = 6, 7, 8, . . .
<� �!�� � � � " ���� !� � '��- � �� !�(���& G�0 �.
� R� % ��� G!6 �0J ��" � "� ���������� � �!�� � �(� �&�
�� 5�� �5* ���& 2����"�&M
N = R(
1
n2− 1
m2
), n = 1, 2, 3, . . . , m > n. ������
N
6563 4861 4340 3647
Hα Hβ Hγ
λ, A
2�� $� ���)����� �� ����� & ��)�� ������� ��) ������ �� + �� @���,1D
�����A ����� ��� � �=�+� -���� ����0 ���0 �����B � �4� ����������� �
1� ��5 �����
=!� 2����"� 05"� � !����" �� �� � ����� ���"'� �� � �� �!�"#�5*
����5* � AOBN �� '���"� �� ��(�" �( ����!���& � *���� 9�! 2��!� -!�
��� !�� *���;� �� 5��"� � � �!��"#�5 '������ ��� !� �� �����
�����" �� �5 "#� -!� ��� �!� -� ! ������.!� "�0����� 2'- ����
�5 "�� 7� � ���5!� �"� - ��� �0J( � �( � �����" � � � *��
C " � ���(!# �� ����� � -!� � (��( � �!��"#��( "�( !# � '�"#.
!�! �� ���( �" ��"�1 �(� �� � �� � � *�� �!��� ����� '
� �� !�5* ����� & �� � �g m) �� ����& �g n)� � �� �( ����!�
9-3- Q�(���!�+� *�)�����(����� � ����&$��+# �:�)�(�# ������ AKO
��!� ! !��41 � '"�- �( ��"��� 05!# ����� ��'�� ! �� �& �!*
����� &� !� ' ������ " �� !
�ωmn = Em − En = mee4
2�2
(1
n2− 1
m2
), ������
�
mee4
2�2= 13,6 �%� < � *��( '� # �! -� !�!5 � !� � � �"� ��"�5�
ω = 2πc/λ� ��*��� � 2����" G!6� ������� ���� !��� �5 ��"�-� �
(��� �5��� � �� !�(���& G�0 ��M
R = mee4
4πc�3= 109737,3 �−1. ������
�% �� " ��* 2����"�* �� '0 ��� � ����'�� �& �5 �0�'��-"
�� � �" �!���� ��� me)� D��- � ������ - " ��� � #�� 0"'�� � �� .
� �� �!�"#�� ��&� ����� '��- �4 �� !�(���& G�0 �� ����K�� ?* .
�� � � *����� �!� -�41�( � ��!��5� � �!��"#�5� �(�� ����'��� ��
� � ����
n = 6
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
ñåðèÿ Ëàéìàíà
ñåðèÿ Áàëüìåðà
ñåðèÿ Ïàøåíà
ñåðèÿ Áðåêêåòà
2�� $ ���)��� � �0�) ,����� ��) ������ � ����0���B ���- ?8�0 ��D
����) ������ ����) �����)
/�!- � '� � �( ���'���(! ( ������& !�-�� !#4� <��!���
� ��� � ��!� *���;� ������!# ! ��4 �� � �� �!��� D� # �� !.
�� ���- ����!#� -!� � ! ��4 �!��� ��������� � '�"#!�!5 ��!���& !�"#
*���;� ����" �� � �� �!��� � 05"� �� � �� � ����& ����& �� .
!�(���&M '��- � '��(�� �" �!���� 0��"� # ' ��5!�� )""� ���
�� 5 3 ' ��5!�� E�""�� �� !�(���& <"���� 3 ' ��5!�� �� 2�!�.
�22 �!� !� ��
A�B ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
� ��'������ " �� ! ��0��!#� -!� �"�;��& � �!�� � �� ���5.
��41& � ���6 !�& " ��& �� " �� �0J( �!# � � *���� �" �!��.
�� ����� ' �('���5* � !�(�& � ��0���� � !�(� "40�& �� .
!- ��& �� � & �0��!�� �� � *�� � �� !�5& ���� �# : ���!������
D�� !� !��� � -!� ������� � #�� �� ��� !��� � �� % " ���&� !��
-!� � � �!��"#�5 "� � !� -�4! ( �� '�- � 0�"#;� !�� �� .
�- �* �0J �!��� % -� !�� !� � � *��5 � ��� �����(� �5 ���
'��- �(� ����!���� - "� n ��0"4��" # �� " ����� � �'� '�.
��� ��� !��� !�� ����� !�����- �� � !���� �� ��"��* ���"� � �
N �� !� � �� N = 0,2 �−1 N = 0, 125 �−1�
*�'� �2�����4����# & ���
% �� � ( � �5��� �4 �"( �� !�(���& G�0 �� ������� ������6�.
��"#��& �� � ��'�6 �!��� �������� ��� � "(41 & � �!��"#��
��"�� � "�& '"�- �( � �(* @�"#� ��� +�&���� !� �� %*��(.
1�( � �!� �5��� � � "-�� m (�"( ! ( �� �& �" �!���� ��(�"� #
� ��!� ! !��41*2����"�* � ����� �c� �� �� �� '�� �� ��!�.
�� �� !- ��& �� � � 2��� − �2
2m� 7� �� �!�� �� ���"��"� #� -!�
�� � (��� 0 ��� -�� � "��� ��!��� � ;�"� # '���-� � ��� � �" �.
!���� ���"� � �������� (���� % � & !�! "#�� ! ���� �� ��!���!#
��� � ��� (���� !�� �" �!���� ���"� * �01 � 6 �!�� �� � /!��; .
� �� 5 ���������� (��� � �� �" �!���� � !��"( ! ��� ��� ANK��
��������� *�!( ��"�� �� � � ���"� '� ����
% � ���� ��0"� � �������� ����� �- !#� " �� !� �� 5
�" �!���� ��"#'���!# � ��� � ���4 �� �
μ = mM
m+M= m
1 + (m/M), ������
� M 3�� � (���� 9��� �!�-� ��� �5��� � �"( �� !�(���& G�0 �.
� �"( �!��� ��������� !���6���� �0�'��-� ��& ���"�� RH � ���.
�� ! ��
RH = μe4
4πc�3= R∞
1 + (m/M)= 109677,6 �−1. ����N�
D� # �� � �� �0�'��- �
R∞ = me4
4πc�3= 109737, 3 �−1 ����O�
�"( �� !�(���& G�0 ��� ��!���( 2����"#�� �!� -�"� 05 "�-�4 0 .
��� -�� !(� "�� (���� % � '�"#!�! �5 ��;" � '��- �4 RH � �- �#
0"'���� � !���� -!� 05"� � !����" �� �� � �� �!�"#���
7 05"� 05 � �0�� �5 "� � !����"��!# ( � 6�"#�� �� !���& � �.
!��"#��& !���� !� " 05 ��� � ��� "� � �!��5!4 !(� "�� ������.
�� 3 � &! �(�
9-9- M(��/ C�*��J 8�(��� ����� A�A
<� " !�� ��� ! !� ���( � # '�!���� 05"� �0��1 �� !(� "5�
��������� ��! � �"! "#��� � �" ���� ��� �( �� ���� �'�
�0�" " � ��" ��"5� ��� '� !��� �5�����4! ( 05 !� �� � �!� � .
����'�" �!- !"�� ��"- � � @�"#� �� !�� ��'5�� �5* '�!�.
�- �* ��0" !��� +� �� 1 �" #� ���5 ������ �!5 ����" # �
!����� �'�* -� !�! � !�-��� ��!� ! !� 2����"�& ����N� �� ���"�.
� � � � �1 !����� �!��� �������� (� ���& �� �&� ���� 0�"#; &
�� 5 �!��� �05-��� ��������MM ≈ 2MH � <� �!��
RD
RH
= 1 + (m/MH)
1 + (m/MD)≈ 1,000272. ����B�
,"( � ��5* "�& � +�&���� �!�! �� � !��"( ! ��� ��� 0, 3◦
U�
���"�-��( �������� �� ��� � ���4 �� � ���(�"( ! ( � ��"#.
�5* � �!��* ��'������� "(� �"( ��!���� Z = 2 M ≈ 4MH �
? �- !�� �!* �0 !�(! "# !� 2����"� G!6� �"( ��'������� "( ��".
�� !#4 ��!� ! !�� ! 2����" G!6� �"( ���������
?" �� ! �!� !!#� -!� �������� �� ��� � ���4 �� � �5 �� "� �!.
!�"���( # �! �� � !��" �& �"� - ��& � *���� =!� ��������� ����.
��� ����� ��"�-!# � �� � � !� ���� *��( ' ����� �( c� �� ��
� �� '���-� A� �������
*�*� ���.! :�2��D )����� �����
���� �5; ����"� # �0 �����(* �� �� �� ���"-��4 �� ���.
"��"� #� -!� �� (�"(4! ( �� � !- � 0 ��� -�� !����� 7� !���
�� ���"�� � � '������� /�� 05"� 05 � ��5�� " 05 ����� 05"
�� " �5 0 ��� -�� ��"�� /����� �� ���� � " -� !65� ��*��(1 .
( �� �����."0� ��� � " ���� ����� �� �� 0 ��� -�� ��"� �� � �
� � !�4! (� =!� �����! � ��(�" �4 ��� -��&;��5 ������ �����(�
%��� ����� ! �!�� ����� � ��'0 � � � �����0� �
D��; � ��!��; � � ��� � " ��� ! ��� �( : �� �(�M
ΔE τ ∼ �, ����A�
�('5��41 �� �( �'� � !�(�( τ ;��� � �� � !- ��� � �.
!�� Γ = ΔE� /�� � *��'� ��� *��� �( ;��5 Γ ��� � '�"#!�! � �.
" ���� !��� "�����( -� !65 ' ���! �6�"#��� (1��� �0 ����" (
� ���6 �� �5��1 & "��5� % "�-� �!��� � � *��5 0�" �5 ��* ����.
� & �� 0�" �'� ���! � �1 !�"(!# ( ��� ��� � & !� � �� ;�*
2��!���� ��5���� ��5 � � *��5�� !�� ������'��"#�� � ���!���5
� � *��5�� <� " �� ��� � "(4! !�� ��'5�� ��4 ����������� �����
����� Γест�
<� !�"�!5 @��� 2��!- � �� ���"��4!� -!� ;��� "40�� �����(
0 ��� -�� ��"�� 9� � ��� �5 ��"�-"� � ;�( ����� � c� �� ��
�"( �!��� ��������� % �� " �� � "�-� �!� ���(�"("� # � !��� -!� � ���.
�� � ��'0��� ��5 � !�(�( (�"(" # � !�(�(� ��� � " ���&
A�I ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
�� � &� 9 � � � � ��'0��� ��5 � !�(�( ��� ����"� � 4! ��.
� -�� �� �( �'�� !� � * �� � !- � ����� �0"���4! ��� -��&
;���&� =!� ���!��� - �('��� ! �� -!� �5 �� ��!���" �" �.
!�- �� ��" !�"#�� ��� !�-�� "5 ��!(� �( � ��� �" �!�����
(���� ���� ��- � �-" '������ �" �!�������� 9� � ���
� "� 05 � !� � �"� - ��& � *��� M 0 ' �- !� ! � � & ��0��5�
�('���5* �" �!�����!�5� ��" �� �5 ��"�-" 05 0 ��� -�� ��"�
���1 ��'0��� ��5 � !�(�( ! �5 ���!����"���� '��(� ��5*
-� !6�
?�"� �� �"� - ��& �" �!������� '��(� ���( -� !6���� ���.
��� ���� ��� � ��� ! '"�-�!# �� �4� ����!���� *��- �&
���"� �!�� ���6 � �����! � ��(�" �4 ! !� ���& ;��5
��'0��� ��5* � !�(�&� ?!��& ����!���� *��- �& �� - ! ! !.
� ���& ;��5 ����� & !� 0� ! ���" - �( '������ ����!���& �" �.
!�������� /����� �6 �!# *����! ��5& �� ;!�0 ����� �� � ���
�� � !��" �& �"� - ��& 2'�� 7���� �� �� ��!���( ! ��
��" �!��� : (���� ��� ���"#.� 6""(!�� ��"#'�( �"( �6 �� �� � .
� �'� ��'0��� ���� � !�(�( 2����"� τ ∼ E/P � � E ∼ mω2x2
2
3
��-�"#��( �� �(�m3 �� � �" �!����� x3 ���"!��� ��" 0��&� P 3
��1�� !# '"�- �(� �����( � ���"#��� ��0"� � P = 2e2x2
3c3=
= 2e2x2ω4
3c3
� ��*��� τ ∼ 3mc3
4e2ω2
� ,"( -� !�!5 ω = 2 · 1015 −1 ��ω ∼ 1 �%)
�! 4�� " �� ! τ ∼ 10−8 � 9���( � "-�� � & !�! "#�� *����! ��� �"(
�� � � ���!���5* � ������'��"#�5*� �!���5* � � *����� =!� ��!.
� ! !�� ! ! !� ���& ;�� "� Γ = �/τ ∼ 10−19 �� ∼ 10−8 �%
��!� ��� ��� �!� -� ! ;�� "� Δλ ∼ 5 · 10−8 ��� �� �"� ��"�5
6 �!�� "� λ ∼ 1 �����
G� ��!�� ! � �# ����� � !��� ���� � �!�� � � ; " ' ��'0��.
� ���� � !�(�( � � ����� � " �� � � *�� 05" ��1 � 6� ��"�
�"! "#�� !#4 τ � % �"� - ��& 2'� �!�� �� ��!!# ( ' ��'0��� �.
��� � !�(�( � � ����� � ���*��( �� ���� � ���� ��!�-�5 '��- �(
�� �� % ����!���& � *��� �!�� � ��� ! 05!#� �� ��"#�� � ���.
� ��!�-�5 '��- �( �� � � ��'����5� D��-!� �� �����.!� ��� �!�
�� � � �!�� ��*��" ( � ��'0��� ���� � !�(�� � �� " �����.!� ��� .
� " ���� ��� �!� �� ���'�" ( � � ������ � !�(�� �!�� � �� �;"
� � *�� �� !��� ��� 6� ��-�" �� ��!# (� � � *�� � �� �;�" ( !���
�� " !��� ��� ��! �� ���( '����-" (� < � *�� � !�(" ( � .!� ��
�! ���" 0 ÷ τ �
/!� !!# �� ����� � � ����& � ��� ��� �! �� � � �� �!�� �! �.
��" �!�� � � !�" ��*��!# ( �� � �*� � ����� ���'�" ( �� ��� ��
� ��'������ <��!��� !�! �� � ���& �! ���"� � ! - � ��!���� ���
��0"4��! "( ���*��! ��1 ���( �� � � *�� � !���( ��"��� �!� !#
!� � ��� � " ��� !# �� �� � �� ����& �5 ��� � ��� � "!# ��� �!
� � *��� �!��� ' ����� � !�(�( � ���� �
9-9- M(��/ C�*��J 8�(��� ����� A�K
%� � ���( � ��� � " ��� !#� !� � ��'0�� � ��� �!�* �� � �� � ��!�.
�5 ! " �5 �!��5 ' ���� !�� 0 ����0�5* ������4!� ��'0��.
� ��5& ���� �#� �����" �!�� !���& �����& !�! !- ��& *����! � !.
� �� ��0"( �!����� ��� � �� �� �( �'� ��!� ! !��41 � �����(
�� ��
% ��!� ! !� ����A� � ��� � " ��� !# �� �� � � �1 !�����(
�� � !- ��� �����( ��� � "( ! � ��� � " ��� !# '��- �( � �� �
"� -!� �����" �!��� � �� � !- ��4 ;���� D��-!� �� �( �'��
!� � �� �(� � ! - � ��!���� �!�� � � �� � ��� ! ��*��!# ( �� ����� �
��� � "( ! ;��� �!�� �� � !- ��� �����(�
% � ������ � !�(� �!��� �'(!5& �� �� 0 � 0 ' �� ;�* ��'� &.
!�&� ��� ! ��*��!# ( 0 ��� -�� ��"�� �� ��"#�� ' �!�� � !�(�(
�� ����� � � &! � ��� !� <��!��� � �����& ���� �# � ! 0 ��.
� -�� �� �( �'� � " ����! "#��� ��" ��4 ;���� =!� 0 ��� -��
!���& �� � !- �& ���� �#� %�'0��� ��5 � ����� � 4! ����5&
��4 ���"� ��� � " ���4 ��� -��4 �����"�! "#�� !# �'�� <��!�.
�� �� �0"���4! ��� -��& ;���&� /� ! � ;� � - � ����- * �� �(
�'�� +405 ���6 5� ����1�41 �� �( �'� �� ��!� ! !��41 �
����� � �����(! � �;� �4 �����( ! � ��5�� �- ����� � �;� �4
� �!��"#�5* "�&�
% ��- !� ��� �� �� ��!�� �� ��� �6�"#�5& �� ��� ����� &M
f =
{0, t < 0,
f0 exp(−t/2τ − iω0t), t � 0,
����I�
� τ 3 �� �( � "�� �6 �� � ��'0��� �( ���"- !�� �!���� ��
��'0��� ���� ����� E2)� � ω0 = (E2 − E1)/� 3 � ��!���( 6 �!��"#��(
-� !�!�� ��� ����"�� �� ��� �6�"#�5& '���� -� !� � ! � !� �� ��'.
��� ���� � "�� �6���5* ���6 �*� �0� "��" ��5*� ����� �� �0� ���
�� � �� �'��� !- �* !�"���� �(* -� !6� =� ��� �6�"#�5&
�� ��� ����� & '� # � � ! �5 "� '����� ������"#��� ���'��; .
�(� ����� �����( ����& -� !65� =!� � ��'������ /�� ���� �#� �'(!5&
�� �� 0 � �� ���� ! ( ��'�� � ����� ��-��� ��! � G -# � ! ";# �
� ��(!�� !(*� �� ! ( � ��� 0�"#;� ���� !��� �� ��0"# �������5*
�� ����� � 41* ��������4 �� �4 ����� &� ��!��5 �� ����.
4! (� ��� !�;�4! ( ��� �- � �� !��� -!� ! - � � �� � � ��"- .
!�� ��'0��� ��5* ����� & ���"- !�� �!���� �� ��'0��� ���� ����� �
�� �#;� ! ( �� ��� �6�"#��� 8��# . � �!� �!�� ���6 � !# � �!�
fω =∞∫0
f(t) exp (iω t) dt = if0
ω − ω0 +i
2τ
,
��!����� �!� -� ! ����������5& �� � !- �& � �!�
|fω|2 = 1
2πτ
1
(ω − ω0)2 +1
4τ2
,
∞∫−∞
|fω|2 dω = 1.
A�� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
=!� '� !��( ��� "�� �6 � ��( 2���� "�� ? � & �5 �� !�"���.
" # ��� �� '�- � !��� "�����( -� !6 ' (1��� C ;��� ��
��"��� �5 �!5� !� � �� �� !��&� ω = ω0±1/2τ � � !��"( !Δω = 1/τ �
-!� ��"��� 05!#�*�,� ���8�������� �������
?� �!��"#�5 '������ ��� ! '"�- �( �!���� � ����� � �! .
��� ��� ����'���* �"� ��"� ���! 05!# �- ���5� �0��'�� ��"#.
'����5 �� �� !�� � ��� " �" �!�����& !���!��5 "���5* �!�����
/�!- �& � �!� �!��� ��� � "( ! ( ��� � � � �� ;�* �" �!��.
���� =!� !����! ( � �0 ��� ( �5�� " ���(!# �� ����� � -!� ���
! � �!��5 � ��'�5* *�- �* � �� �(* � ��� !���4! ��'"-�4.
1 ( ��!- � � �!�5� %��!� �� �" �!���5�����" �!������ �!�.
�� ���(�"(4! ( � � ��!- �* � �!��* ";# �� !�"#��� �� ��"#��
�� ���.!� �"(4! �� ��� � � �� ;�* �" �!������ 7 �� � � !� ���
� ���!� �� �" �!���5 ���(�"(4! ( � � �! ��� �* � �!��*�
��� '� !��� � �! ��� � "�- ��'���4! �05-�� �� !����� .
� ��!��� �" �!������ 0��0�����41* � ��!��5& ��!��!��� �'� � .
�( ���� ! & �!� "#�5* �" �!����� �� �����* � ��� �*�� !# ��!��!���
��� *��(! "�-�&�5� �0��'�� � '�� �� ��� �! ����� /0��'�41 .
( �� �!�� '"�- � �� � !��"( ! �0�& "�-�&��4 �� " ����! "#�� !#
����!�* ���"# �� ��'��& �"! "#�� ! �0"��� ! �"�;�5� � �!����
?�"�;��& � �!� !����'��� '"�- �( �� � ���� �� � ! ��� ���
I
a á
0,04 0,06 0,08 0,10
50 êÂ
30 êÂ
40 êÂ
λ, íì 0,05 0,15 0,20
30 êÂ
25 êÂ
20 êÂ
15 êÂ
Kβ Kα
λ, íì
I
2�� $$ c����� ���)�+��1� ����1������1� �+�,-���� ��� �=�,-���� ����� )�D
�1� ��� @�AE �� 4� ��� �=�,-���� )���=�����1� ��� @"A
�� � ��!���& ��� � " ���& �"� ��"�5� ��- � � !����� �"��5* ��"�
9-<- ?�)�� `�*�� A��
��� �! � ��� ! � ! ��"��� � � !����� ����!�* 3 ���!�� ? ����!.
����"����& !����5 � �!� � '�� �0�5�� ! ( �� � ��!���& �"� ��"�5�
��� � "( ��& �� � & �" �!����� �� ��� !��� ����"�M
hν = eV. ����K�
?" �� ! ���- ����!#� -!� *����! � �"�;��� � �!�� !����'��� '.
"�- �( ����!- � � '�� ! �! �����5 ��!��!���� ?�1 !� ����
������� -!� !��� !����'�� '"�- � ��0"4�� ! (� ���� �� �( �" �.
!����� � �� �5;� ! � ��!���& ��� � " ���&� *����! ���& �"( � 1 !��
��!��!���� ��!- ��& � "-�5�
���� � �� �( �" �!����� ����� " �� �5;� ! �!� � "-��� !�
��'��� ! !�� ��'5�� �� *����! � !- �� '"�- � �� � ���� �� /��
!�� ��'5�� ! ( ��!���� -!� *����! ��� �"( � 1 !�� ��!��!���� ?� �!�
� �� � (�"( ! ( �"�;�5�� =!� '"�- � �5"(�! ��� ����*����!.
- �� � !�! ' � ��"#�* *����! ��5* "�&� ����5& �" � �! �� !
�� �; ��� ��� � " ��5&� !�"#�� �� �� �1& � �!� *����! � !- .
��� '"�- �(� ��- � �� '�� �� ! �! �� � *�- ��� � !�(�(�
=!� � '�� �!"-� ! � �! ��� �& � �!� �! ��!- ��� �� ! "# !�� !
�0 �-� ! � � ��'0��� � ���!� ��* �" �!������
<� " ����� *����! � !- ��� '"�- �( ���'�"� #� -!� �
� �!��"#�5 "� ������4! ( � �� ?���( ����!����"����( ' �*
��"�-"� ��� ����� �K� " ��41 3 L�M � N !� ��
*�/� 6���� E�2��
G �! ��� � "�- 3 �!� � #�� �5 ���-� !�!�� �" �!�����!��
'"�- � � =� �( � ����!�� �- �# "#��� � !5 (- ��'� 0�"#; �� �
����!�� ����� � !�� ?" ����! "#��� �� ��� �!���� *����! � !.
- ��� � �! ��� ��� '"�- �( ��������� ! ( ��! � & � ������5*
���6& �� �� ��!� ! !� ��� �� �5;�41* !�����4 �� �� ���
����� � !�� % (�� '� � � ���!� �� & �� � �������� ! �" �.
!����� �!��� �('��� '� � � � * ���2���6�
� � 0�" �5 �� ��! � �� � � ��! �� ���( ����!� '"�- �(�
! � 0�" ���-�5 -� ! �!��� ���� ��4! ( � � !��&� � C ! !� ���
�� ���"��!#� -!� � ��� ���!� �� �" �!���5� � "� 0"'� ! � (���
0�" ���-�� �� �('���5 � �����4! �-� ! � �!* ���6 �*�
> ��)�'" � AOAK : AOA� ���* � !����"� -!� -� !�!5 "�& *����! .
� !- ��� � �! ��� ��� � �!�� �('��5 ���(����5� ��� ��� �!�.
�� Z ��!��; � � √ν = A(Z − σ), ������
� A σ3� "-�5� �*���(41 �� '��- � � �� � "�* ����& !�&
� � �"( � * �" � �!��� ��� �(41 ( ��� � *�� �! � � ��
,"( K. � - "� σ = 1� �"( L. � σ = 7,5� D���� )�'"� �!� ����.
41& "� &��4 '�� �� !# � ��� ���� � ' -� !�!5 ��� ��� �!����
�5��"�( ! ( �� ��� ��� 7� !�"#�� �� ��� ��� -!� �� 05" ��"#'���� �"(
A�� ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
�!�-� �( ���(��� " �����( �" � �!�� � ���� � ��* ' � "# �"(
�0����� �( �����1 ��5* �" � �!�� !�0"65 ) �� " ���
%5; � �(' �0 ��� � � ����� & �� � ������������0��� �!�.
�� 05"� '�� - ��� -!� ��!� ! !��41 ��!��; �( ����� ��"#'���!#
��� �6 ��-�5 �"( ���!� ��* �" �!����� !(� "5* �!����� % ��!� ! !�
���KO� �� �( �" �!����� � ������������0��� �!�� ����!� ! ( �� ���.
�"�
En = −mee4
2�2
Z2
n2, n = 1, 2, 3, . . . ������
?��!� ! !� ����505 ��'�"� -!� �� � � *���*� ��� ��'"-�5� ����.
�(� ��'���4! � �!��"#�5 "�� -� !�!5 ��!��5* ��"��5 " ����!#
����"�
�ωnm = En − Em = RZ2[
1
m2− 1
n2
], "
√νnm = AZ. ������
?�('# �!�� �6 ��-��� �5��� �( 2����"�& )�'" �- ����� 7� 2��.
��"� ������ 3 !�"#�� �6 ���� /�� ���� � �-!5�� ! � & !�( ���*
�" �!������ � � 2����" )�'" !# �������-�5& -" �� �01& �"( � *
�!���� � ���- ��& ! �5 �" � �!��� ��-��( AA.� �hi��
, "� � !�� -!� ��!(��41 � & !� �!����� (��� �� ����5& '
�!���5* �" �!����� � "�0" �� � & !� � � !�"#�5* �" �!������ =!� ����.
���41 � & !� 2����"#�� �-!5�� ! ( �� �#; � �Z �� � ��!���4
� "-�� σ � 2����" )�'"� � � 0"� � (��� �" �!���� ! � "#�
� & !� (���� ! � "�0 �������41 � & !� � !�"#�5* �" �!������
?" ����! "#��� �( K �0('��� ��� ��� *��� � � ���& ���!� �.
� & ���� �" �!������ F!� ��� � � -!� �!� � ��� ����� �" �!������
����� �"( ! ( �1 !����� � 6 "�& � "�& KM Kα� Kβ � Kγ !� ��
@�" �!��" ���( ����� ���(!#.!�� � ��� ������ �" �!����� ����.
��� ! ( "#� � ,"( L. � σ = 7,5 !� �� ?" ��41 � 0�" �(�
� 3 M � N � O 3 �!� -�4! 1 0�" ���" ��5� ������� �9 ���5
��(�� � �� !�� � '"�- � � �'��-�41 ��!� ! !� ��� '"�- �
0�"#; & � �#; & �"��& ��"�5� ��'��" � � �! ��� ��& � �!��.
��� 0"�����( ��'"-4 � ������41 & �� �0�� ! �!* '"�- �&��
% ��!� ! !� � ��'���5� � "-�� σ ��'5��4! ���������� 1����
���������� ��- !� ��� �0J( �!# '��- � σ ����� " ��41� �0��'���
��� 0�� ! ����'��� �� � � "� K �!��� ��� ! ��*��!# ( � � ���
�" �!����� <� ���" � ����� ' �* � !� ! ( ���� % � '�"#!�! � � *�.
�5 � K. "�& � �1 !�"(4! ( � ��" -� !-�� ������������� (���� !� �
'��(�� Z − 1� =!� �!� -� ! '��- �4 σ = 1� -!� ���"� �!� -� ! �� � �.
� �!�"#�5� ����5��
?"�&L �� 1� ! N �" �!������<��!��� � � �K. L. "�(* �� ��! (
��N = 8+2 = 10 �" �!������ <� � � *���* �� �����!�5& ���� �# � �!��
"� �22 �!��5& '��(� �!����� � !��� !#Z−(N−1) = Z−9� �' �!*
�� ��� �& " �� !� -!� σ = 9� % � & !�! "#�� ! σ = 7,5� !� � � ! (
'�� !�� �� *��� � � ��� ! �� !- ��& �6 ���& �� � �� �!���=!�
9-<- ?�)�� `�*�� A��
�� *��� � �� ! "# !�� ! � !��� -!� �" �!���5� �-� !��41 � � � .
*���*� '�� !��4 -� !# �� � � ������(! �� ��"5* �� !�(�(* �! (���� �
! � �# ����������( � �#; � ? ����0�5� (�" � � �5 �� !�"���.
" # �� ���"' �" �!����5*��0! � �!�� ���������?�"� �� ��'������
�5 ��"��5 � ����!#� 2����"� ������ " ��41� �0��'��M
ν = R(Z − σ)2[
1
n2− 1
m2
]. ������
/! 4�� ��'� " �� ! '���� )�'" �������
% #�� ����5� (�"( ! ( !� �0 !�(! "# !��� -!� '��- � ������� σ
� '������& � ���'5�� ! ( ���� ! � � �"( � * �" � �!���
D��-!� ���!� �� ����5 �" �!����� �� !�� �5 �������� � �!����
��'�5* �" � �!��� ?" ����! "#��� � �����"#��� � !�(� �" �!�����(
! �� �!��� �� � !��"( ! �0�& �������� !# �� " ����! "#�5* "� �
�" �!������ ������41* (���� < ��5& ' �* 3 �!� 0"��&;& � (���
"�&K� '�! � � ! "�& L� '�! �3M � !� �� =!� �- �# ����5& �5��� �"(
�� !�� �( �� " ����! "#��& ! �� �!����
?* �� � � *����� �!� -�41*� ��!��5� � �!��"#�5�"�(� �.
(� *����! � !- ��� � �! ��� ��� '"�- �(� ����'��� ��- !� ���
�� � � ����
M
L
K
K�
K�
K� L�
L�
M�
L- ñåðèÿ
K- ñåðèÿ
Âî
çáóæ
äåí
èå
ñåð
èè
L-
Íåïðåðûâíûé ñïåêòð
Âî
çáóæ
äåí
èå
ñåð
èè
K-
2�� $' ��������� ����� 0 � ��������-����1� ����1������1� �+�,-���� :��
,� + �� ��)��� ���� KB LB M
A�N ,�- 9- M� �(� �:� �"�+& ����
<� !# ����."0� �� ;�� ��'� & !� � �" �!��� �5���� ' "�(K� /0.
��'����;�( ( ����� ( '���"�( ! ( �� ��!� ! !��41 � � � *�� �� ��.
���!�� � !� � "� K "0� ��0����� �" �!����� "0� �" �!���� '
"� � L� M !� ��� -!� �� ! ����4.!� "�4 K. �� j !��( ���.
6� K. � ��!� ! !�� ! � � *��� � K. "�& ��0����� �" �!���� ���
� � ��� 3 ���&�(( �����( !� "�� � � �!��"#��& ��� ���"�-��
2�����4! ( ��� � �!��"#�5 ��
7���� 6� " �� ! �!� !!#� -!� � �! ��� � "� ��� ����"� ��'.
���4! � ������-� � � � �� ! � , "� � !�� -!� �� '"�- �� ����.
� �� Kα."� ��'��� ! ����� ( � L. "� �!���� <��!��� ���'5��4! (
��'����5� � � *��5 �" �!����� ' "� � M � N � O !� �� �� L.������
��������� �5 '"�- � � L. � � �! ��� ��� '"�- �(� % ��4
�- � �# �! � � *��5 � "�4! ��'����5� '"�- � �& M � N !� ��
� � � � � �
���� ������ ������
������ ���� �
aF���G b��� ����
'�(/ �) ��C�������� "+�!
@%-��� ��)�5��� ,���4�����A
,� � E�.��� �.�3����
<� ��� � �" �!���� ����� (���� ���� Ψ.2���6( � ! �"���4
'�� �� !#� ��� �! ���"# � 1) !����! ( �1 !� ��5�� =!� ����.
�! � ����"�! "#���� ����!����4� -!� �!- !"�� ���(�"� # � ��5!�*
c! ��� > �"�*��
7�&� �� ��� '��- �( ��� ! �����!# ��� �!� 7�-� � '���- �
��'����5* '��- �(* ��� �6 ��� �!� �� ����4.!� � # Z� � *��� '
����� �(� ��� � "(41 � �0 !� ��5 '��- �( �� ��!��� LzM
LzΨ = LzΨ. ���A�
7�� ����� ��&! � ��� -�� � ����'��-�� � � �� �5��� "���� � .
; � � 9��� 0���! ��&� �5 � !�(�( ��� � " ��5� '��- � � Lz 3
��� �6 ��� �!� ��"- !�� ��� �( �� � # Z� <� ��"#��
Lz = −i� ∂
∂ϕ, ���I�
����� � ���A� � � � 5�� ! ( ���
−i�∂Ψ
∂ϕ= LzΨ. ���K�
<� " �� ����� � � ! *���;� '� !�� � ; � M
Ψ = Ψ0eiLzϕ/�. �����
=!� � ; � � ��� -��� � �� �5���� �� � �01 � "�-� � ����'��-��� ,"(
�0 � - �( ����'��-�� !� !� � �"( !�� -!�05 �� �"�*� �!"-�41*.
( �� Iπ� ��"����( 2���6( �����"� �������5 '��- �(� � �0*��.
�� ��!� 0���!#� -!�05 Ψ(ϕ + 2π) = Ψ(ϕ)� 9��� ' ����� " �� !� -!�05
1) C� =,��) � �4� ,�����=���� ���)��� ;)�)��� ����-��� ��4����< � ;,1D
���� )�)���<B ������� ����� 4� - ��� ����- ?��� � ,-��� ����� �,��
A�B ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
exp (2πiLz/�) = 1� !�� -!� �!��; � Lz/� ��"��� 05!# 6 "5� - "���
% !� �5 ��"�-� � " ��41 � "�� ����!����( ��� �6 ��� �!�M
Lz/� = m, �����
� m 3 "40� 6 "� - "�� m = 0, ±1, ±2, . . . C� ��'5��4! ������
�� �������� ������ ��!��� -!� ��� �� ! �����4 ��"# � (�" �(*�
�('���5* ���!�5� ��" ��
�!��� ��� �6( ��� �!� ��"- !�� ��� �( �� � # Z ����� 6 "���
- "� �� !�(��5* <"����M
Lz = m�, m = 0, ±1, ±2, . . . �����
? �- !�� ����� �5��� � �"( ��"����& 2���6 ��� ! 05!# � � �.
��� � ��
Ψ = 1√2πeimϕ. �����
���226 �! Ψ0 = 1/√
2π �� � � '� # ' � "��( �������� Ψ.2���.
6
2π∫0
|Ψ|2 dϕ = 1�
/0��!� ( ! � �# � ����� � � ��'����5* '��- �(* ������!� ��� �!�
��"- !�� ��� �(� % �����* �"� - ��& � *��� ����� '�� �!#
L2 = L2x + L2
y + L2z � ���"�-�� ��!��; � � ! � !� �"( �� ��.
!����M
L2 = L2x + L2
y + L2z. ���N�
?��!� ! !� ��� �"( � ��* � "-� �5��"�( ! ( ��� � !��⟨L2
⟩=
⟨L2
x
⟩+
⟨L2
y
⟩+
⟨L2
z
⟩. ���O�
G� ��!�� !�"#�� 2 �- �. �� !�-�5& "�-�& ������ �� "�.
-�& 6 �!��"#�5* "�� 9��� ��� �! ��"- !�� ��� �( �*���( ! (
� ! ��� � " ��� '��- � � ���� !��� � " � !� 2 �- ��& �.
� !� ⟨L2
x
⟩=
⟨L2
y
⟩=
⟨L2
z
⟩. ���AB�
<��!��� ⟨L2
⟩= 3
⟨L2
z
⟩. ���AA�
<� !# ! �� � ! � ��!��5&��� �! ���"# �� 9���� �"� �� ������
� ��� �6( �� � # Z ��� ! �����!# ";# ����- ��5& ��0�� '��- .
�&� /0�'��-� ��� ��"#�� '��- � - "� m � ����� ��� l� 9��� ��'.
����5 ��� �6 m� �� ����"� ����!����( ����� �!"-�41 ( ��� �!
���� �� ��6�M
m = −l, −(l − 1), . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , (l − 1), l. ���AI�
% � �!* ��� �6& 2l + 1 ;!���
P-0- Q��������)� �����/��& �� ������ *��$���& ������� ��:��!�� A�A
7������ ��&!
⟨L2
z
⟩
� @�� � -!�!#� -!� � 2l+1 '��- �( ��� �6Lz
������ ��(!�5� 9���
⟨L2
z
⟩= 1
2l+ 1
l∑m=−l
(�m)2 = �2
2l+ 1
l∑m=−l
m2 =
= 2�2
2l+ 1
l∑m=1
m2 = �2
3l(l + 1).
D� # �5 �� ��"#'���" # '� !�5� ��� � !��� � �� ��"�� � � ���6
"��5�M
l∑m=1
m2 = 1
6l(l + 1)(2l + 1). ���AK�
% � '�"#!�! ' ���AA� �5 ��"�-� �� -!� � ��& ������! ��� �!� ���"# �
! �5 ����� ! '��- �(⟨L2
⟩= �
2l(l + 1), ���A��
/0��!� ����� �� !�� -!�
√〈L2〉 > (Lz)max = �l� =!�! 2��! �('��
! �� -!� ������ � ��� ��� � " ��� '��- � ���! � !# !�"#�� ���� '
��� �6& ��� �!� ������ �� Lz) � ������! �2� ,� ��� ��� �6
�� �!�� � � 4! ��� � " ���� '��- �(� !�� -!�
⟨L2
x + L2y
⟩> 0�
/- �# -� !� � ����!���&� *��� ��� �!�� ! �5��'5��4! - "� l�
!� � ��� ��"#�� '��- � � ��� �6 �� � # Z� '� � ��� � ��6�*
�� !�(���& <"���� �� =!� ! ����"�4 �5 !��� 0�� � ��"#'���!#�
" ���!��� � ������� ! (�
,��� �����.����� �����!��# �� ������ 2��4���#
.�.���� �.�3����
�!��� �"���( '�� �� !# ��"����&2���6 � 2 �- �. �� !�-.
��� "�-� *����! �'� ! ( ����& - "M ��� �6 & m �"���� ��� �!�
�� � # Z � ������!�� � �� ���A���� ,��* *����! � !� �5 ���'�!#
�� � ��� �� % "-�� l (�"( ! ( ����& ' ���� &;* *����! � !�
� !�(�( �" �!�����& �0�"�-� �!���� <� ������ l ��"- !�� '��- .
�&� ��!��5 ��� ! �����!# ��� �6( ��� �!� ���"# � �� �5� " ���
������" � � ����� 2l + 1�
� !��- � � ���& � ��" !�& �� � �� �!�"#��& ����� �� ��!�.
��& � ���5��4! ( ����1#4 ��!���& !��(! ( ��� " �" �!�����&
�0�"�-� �!����� �5 !��"� � �!�� ���(� <� !��- �� � ��-.
��� � � �!�� ��� ���(!� ����!#� -!� �� l = 0 �5 � � � "�
s. � !�(� �� " l = 1 3 !� �!� p. � !�(� � " l = 2 3 !�
d. � !�(� � l = 3 3 f . � !�(� � � ��" 3 �� �"2��!� �g, h, i, . . . )�
A�I ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
=!� ! ����"�( '�� !������ ' ! ��!� � �!���1 "�-�5* � !�".
"�� ��� *��! �! ����1 �( ��"& �* ��"��! "#�5*� ��- !� ���
�� 5��41* ��0"4�� �� M
l = 0M <=>?@3 s. � !�(� �� '�& � �!��e
l = 1M @?ABCA@>D3 p. � !�(� �"���5& � �!��e
l = 2M EAFFG<H3 d. � !�(� ��22�'�5& � �!��e
l = 3M FGBE>IHBJ>D3 f . � !�(� �2����� �!�"#�5& � �!���
+ �� '�����!#� -!� � ��� s. � !�(� �0"��� ! ��� �!��� ����5�
��"4� ��!��� �! �"�� � '�� !� !� � (�"( ! ( 2 �- �. �� !�-�5��
,�"� -�������� 4���� &�������� � ������������@��.
���.�
% �� �5��1 � '"�� �� " ��( ����� � c� �� �� ��� �.
! "#�� � �" �!���� � ��"���� ��� ��" �!����� (���� �5 ����-" #
� ; �(�� � '�� �5� �! �"�� θ ϕ� ? &-� �5 �0 ��� � '�"#!�!5
� ; �(� �� ��!���� ����� ! ( �� ����� '�� �� !# � !�"#�� �!
���� �� �� �! �"��5* �������!�
D��; � ����� � c� �� �� �"( �" �!���� � ��"���� ��� ��" M
ΔΨ + 2me
�2
[E + Ze2
r
]Ψ = 0. ���A��
D� # �5 �0�'��-" �� � �" �!���� ���"�� me� -!�05 � ��!�!#
���!�5� ����!��5� - "�� m� G ; � �!�� ����� �( ��� ! 05!#
�� � !��" �� � ��
Ψ(r, θ, ϕ) = Φnlm(r)Ylm(θ, ϕ), ���A��
� � ��5& ����! "# �� 5�� ! ����"#��4� � �!���& 3 �"���4 '�.
� �� !# ��"����& 2���6� F"���( -� !# ��"����& 2���6 !# �0.
!� ���( 2���6( �� ��!��� ������!� �"���� ��� �!� � �� �K��N�� �K��O��
����" !���( ! ����� �4
− �2
2mer2Δ θ,ϕYlm(θ, ϕ) = �
2l(l+ 1)
2mer2Ylm(θ, ϕ). ���A��
�7������� -!�
L2
2mer2= − �
2
2mer2Δ θ,ϕ !# �� ��!�� 6 �!��0 ���& -�.
! �� !- ��& �� ��� D�� �� !# Ylm(θ, ϕ) �! �"� ϕ ��� � !�.
(�( ��� � " ��5� '��- � � ��� �6 ��� �!� Lz = m� � � �� ! (
2����"�&
Ylm(θ, ϕ) = Pml (cos θ)eimϕ ���AN�
� �� �����e 2���6 Pml (z)� ��'5�� �5 �� � �� ��5� ��"����� + .
������� �"( �� &-� � �� � !��"(4! �! � ���
P-L- �������+� $���� 5��)�(��� � �� �(� �:� �"��� ����� A�K
? �- !�� ���A�� ����� � c� �� �� �"( ����"#��& -� ! ���.
�� ! ��
ΔrΦ + 2me
�2
[E − �
2l(l+ 1)
2mer2+ Ze2
r
]Φ = 0. ���AO�
=!��� ����� �4 ����� ����!# 0�" ���5-�5& ��� " �� ! �2.
2 �!��5& ��! �6�"
Uэф(r) = −Ze2
r+ �
2l(l+ 1)
2mer2, ���IB�
��"4-�41&� ����� �05-��& ��"���� ��& -� !� 1 6 �!��0 ���4
�� �4� ��"���� ��( -� !# �*��! � '����� �−� �!� -� ! ��!(� �4�
� 6 �!��0 ���( -� !#3 � '����� �+� �!� -� ! �!!�"����4� % � '�"#.
!�! ��"�-�
ΔrΦ + 2me
�2[E − Uэф(r)] Φ = 0. ���IA�
/0��!� ����� �� !�� -!� �!� ����� � � �� ��! ���!��.
� ����!���� - "� m� ?" ����! "#��� �! m � 0�� ! '�� !# �� �(
E� ,���5& 2��! ��-! �- �� �� �� ��"#�� �5 � � � "� � 2 �- .
�. �� !�-�5� ��! �6�"��� � �! �! !��4! ��� ."0� �5� " ��5
������" �(� <��!���� � ��!�( �� !� -!� ��"����( 2���6( ��� ! (���
'�� !# �! �"� ϕ� �� �( � !�(�( ��"��� 05!# ��������& �"( � *
���� !�5* '��- �& m� ,���� (�" � ��'5�� ! ( �5���� � � �� �.
!- �* ����� &� C " � 2 �- ��( �� !�( ��! �6�"� ���� ! (
����; ���&� !� �� �( 0�� ! '�� !# �! m� 9���( !��6( ��'��� !�
����� �� �� ��"�� � �� �!�� �� ;� � ���!��� ��"(� %� ! ! ��
��� � "�-� 2 �- �. �� !�-��� ��! �6�"� �� �( � !�(�(
��� ! (��� '�� !# �! ������� �"���� ��� �!� l�
,"( ��*��� �( '��- �& �� � �!��� ����1#4 ����� �( ���AO�
����� �� ��"#'���!# ( ���6 ����&� ��!���( ���"�-�� !�&� -!� 05"�
� �"'����� �"( � !�(�( ��" �5� �"��5� ��� �!�� � �� "� �� � !���
'���-� A� ��'� "� �? ������� )5� ������� ��� �� � !�� ����!����(
@��� : D��� �2 "#��� ��41& � �����& '���- �"( '��- �& �� � � !�-.
�� ! !�! � � '�"#!�!� �!�05 �� ��"#'���!# ( �!� � !����� �-! �� -!�
ΔrΦ = 1
r
∂2(rΦ)
∂ r2
� �� � � 2���64 u(r) = rΦ(r) � � �; � ����� �
���IA� " ��41� �0��'��M
d2u
dr2+ p2(r)
�2u = 0. ���II�
D� # �� � �� �0�'��- �
p(r) =√
2me[E − Uэф(r)]. ���IK�
>��2� '�� �� ! Uэф(r) �"( "�-�( l �= 0 ����'�� �� � � ��A�
?�('���5� � !�(�(� �" �!���� �!� -�4! '��- �( �� � E < 0�
A�� ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
9 � �# �"( ��*��� �( '��- �& �� � ����� ��� �!# ����"�
����!����( @��� : D��� �2 "#��� ��!��� � ��; � "�-� � ! ��∮p(r)dr =
(nr + 1
2
)2π�. ���I��
D� # nr = 0, 1, 2, . . . 3 ���'��"#�� 6 "� - "�� /�� ��'5�� !.
r0
E
r1 r2
U rýô( )
2�� '� !��������� �����5� �
�������� �,�������) ���� ���
��� ���,���) ,1���) )�)����
( ��������� �������� ������ ��.
��"#�� �� 5�� ! ����!���� ���.
�"#��� ��� �( �" �!����� % ���I��
�! ������ �5��"�( ! ( �� ��".
���� � ���� ���'�"� - ���
��� �( -� !65� � �1 !�"( ����
� ��� �"� - �� !�-��� ����.
��!� r1 r2 �� � ��A�� !�� -!� � (����
�� ����"� ���I�� '�� 5�� ! ( " .
��41� �0��'��M
r2∫r1
p(r)dr = π�
(nr + 1
2
). ���I��
<� �!��� �"� �� ���IB�� ���IK��
p(r) = 2me |E| (r − r1)(r2 − r)
r2. ���I��
D��- �( r1 r2 ��� � "(4! ( ' ����� �(E = Uэф(r)� ��!��� ���! (
� ������!���� ����� �4
r2 − Ze2
|E|r + �
2l(l+ 1)
2me |E|= 0. ���I��
? �- !�� ���I�� ����"� ����!����( ���I�� ����� ! ��
√2me |E|
r2∫r1
√(r − r1)(r2 − r)dr
r= π�
(nr + 1
2
). ���IN�
� ��"#'� � �!�0"-�5&� �! ��"M
r2∫r1
√(r − r1)(r2 − r)dr
r= π
2(√r2 −√
r1)2.
?" ����! "#���
(√r2 −√
r1)2 = 2�√
2me |E|
(nr + 1
2
). ���IO�
P-L- �������+� $���� 5��)�(��� � �� �(� �:� �"��� ����� A��
,�" �� ��"#'� � ( ! �� ��& % !� �"( ������!��� ����� �( ���I��M
r1 + r2 = Ze2
|E|, r1r2 = �
2l(l+ 1)
2me |E|.
/! 4�� � !����� ��"�-!#
(√r2 −√
r1)2 = r1 + r1 − 2
√r1r2 = Ze2
|E|− 2
√�2l(l+ 1)
2me |E|. ���KB�
G� ��!���( ���'�"� - �� ��0"� � � �5 ����"� -!� � ���.
�" ����!����( ��� ! ( �������� A\I � ����!����� - "� n� ���"�-.
��� !�� �������� ��� ! ( �� ��0!�"#���� ��� �!� �!�� ��'5�� ��(
�������� +�� ���M l(l+1) →(l + 1
2
)2� <��!��� ' ���IO�� ���KB� ��"�-� �
Ze2
|E|− 2�√
2me |E|
(l + 1
2
)= 2�√
2me |E|
(nr + 1
2
),
"
Ze2
|E|= �√
2me |E|(nr + l + 1) .
/! 4�� ����-�! "#�� " �� ! � �- !�� '���� �� ��
E = −mee4
2�2
Z2
n2. ���KA�
D� # �� � �� �0�'��- �
n = nr + l + 1. ���KI�
% "-�� n ��'5�� ! ( ������ �������� ������
/0��!� ����� �� !�� -!� �5 ��"�-" 2��!- � �� '� !��
��� �5��� � �"( ����� & �� � �" �!���� � ������������0��� �!�� �
G�'�6� � !�! !�"#�� � !��� -!� �5 �('�" "���� ����!��� - "�
����"#�5� ����!��5� - "�� ��0!�"#�5� ��� �!���
/ !����� ( �� � "�� ��� ��� ! ���'�"� - ��� ��0"� .
�( � �� ��!��� ��& '���- �
% ��0�" �1 !� ���& �0"� ! ��� �( |E| ∼ |U |� !� � r ∼∼ Ze2
/ |E|� ,�� � (�"( ! ( ���'�"� - ��� " �"�� ��"�5 �
@��&"(� λ ∼ �
/√2me |E|� ��"� �� ���� �4 ��'� ��� �!�& �0"� !M
�√2me |E|
�Ze2
|E|
"
Ze2
�
√2me
|E| 1� %���( ���� !# -� !65 υ ∼ √|E| /me�
��"�-� ���� � ��� � !��M
Ze2
�υ 1, "
υ
c� Zα, ���KK�
A�� ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
� α 3 �� !�(���( !����& !���!��5� ��5� "����� ��� � �" �.
!���� ��"��� ��� *��!# �!�� ! "#�� ��"5� ���� !(� " � ��"
(��� 0�"#;� '��(��� Ze�
�!��� ��"�� � ; � '���- ����'5�� !� -!� !��&�� ����!��5* - "
n, l, m �� 5�� ! � ��!��� ��� � " ��� � !�(� �" �!���� � ����.
��������0��� �!�� � � ��!���� ��� � " ���& '��- � � 4! !� ����.
�� � ��� '� ��5 � "-�5 3 �� �(� ������! ��� �!� ���"# �
��� �6( ��� �!� ���"# ��
,�$� �@���4�4��! .����� ������������@��8� ���.�
/0 ���� ��� � !����" ��5 ����"� ����!����( ��'��"(4! �� !��.
!# �0�"�- -��4 ��� "# ������������0��� �!���� =!� ��� "# ��"#'� !
!��&�� ����!��5* - " n, l, m�
?� !�(�( �" �!���� � ������������0��� �!�� ��'� "(4! ( �� ����5
���� ! � � '��- � � "����� ����!���� - "� n� >����5 � ��4
�- � �# � "(! ( �� �������5 �������5� l� <������5 �� '"�� ���&
��� * � � ��!� ! !� �!� -�41�� '��- �(� l �0�'��-�4! (
0�����
l = 0 3 s, l = 1 3 p, l = 2 3 d,
l = 3 3 f, l = 4 3 K, l = 5 3 h !� ��
% ��� ����� � !�(�& ��"��� �-!5��!# !��� "���� ����!���
- "�� =!� � �"'� ! ( � �� '�� nl� 7���� ��
1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, . . .
<� ��� � " � ��'����5* � !�(�& " �� ! ����!# ��� � !��
n = nr + l + 1� �('5��41 "���� ����!��� - "� ����"#�5� - .
"�� �"��5� ��� �!��� /- ����� -!� �� '������� '��- � n � 1
��0!�"#�5& ��� �! l ��� ! ���0 �!# '��- �( � ����'��
0 � l � n− 1. ���K��
?��!� ! !��41 '��- �( ����"#��� ����!���� - "� ���0 �4! '��.
- �( n− 1 � nr � 0� !�� -!� ����
nr + l = ][^_` = n− 1.
?� !�(� � ���'; & �� � &� " ������� ���������� (�"(.
! ( s. � !�(� � F � � n = 1 � " ����! "#��� l = 0� ?��!� ! !� ���
m = 0� =!� !�� ��'5�� �� ������������� ���������� <� " �� �'��-�.
!� -!� !�"#�� ���� � !�(� � ! !���4 �� �4� ?�1 !��4! ���
s. � !�(�(� � ��!��5* n = 2, 3, 4, . . . � � l = 0� 7� � �! � !�(�(
�0"���4! 0�"#; & �� � &�
�����& �� � ��!� ! !�� ! !�"#�� ���� � !�(� l = 0� ���
2 �- �. �� !�-��� �� ��� � !��* � !�(�(* ;"� � -# � "��
P-3- �"���$�$��/ �� ��! �� �(� �:� �"���� ����� A��
; !�& �� �5- " � � '�� (1 & �! �"��5* �������! Ψ.2���6
�" �!���� � �!�� �������� � �� 2����"5 ����B�� ����A�� ������� ����O�
� � ��K�� %�"���5 2���6 �!* � !�(�& �� !�� ���� �.� �!��� r
� �(4! '��� nr = n − 1 ��'� �� ! ( n − 1 2 �- ��( �'"���( ��� �*.
�� !#� � Ψ.2���6( ���*��! - � ' ��"#�
D� s. � !�(� � " �� ! p. � !�(� � � ��!���� l = 1� ,"( �����.
� n � 2 �� l = 1 �1 !�� ! !� ��'"-�5 � !�(�( ��������&
�� � &� =! � !�(�( ��'"-�4! ( '��- � � ��� �6 ��� �!�M m == −1, 0, +1�
��� " �� ! ' ���KA�� �� '������� '��- �n � "-�� �� � ���'5.
�� ! ( ��������& �"( � * ���� !�5* ��0!�"#�5* ��� �!�� l � n− 1�
<� �50������ � '��- � l '��- �( �� � ���'5��4! ( �������5�
�� � * ��'����5* ��� �6(* ��0!�"#��� ��� �!� m� - "� ��!��5*
!# 2l + 1�
��� �� ����"� # �5; � (�" � � �� ��!���� ������ !��� �
�����4 �� � ��!� ! !�� ! � ��"#�� ��'"-�5* � !�(�&� ��'5��.
! ( ����������� ��"- !�� �� �0��� ���� �!�! ���� �# ��� ! 05!#
�� !�� �� ��'5�� ! ( ���������� ����������� 9��� �0��'��� p.���� �#
!���5 �!� *���!��� �5���� � �l = 1, 2l + 1 = 3)�
?* �� ����� & �� � �"( ������������0��� �!��� �- !�� �"���&
'�� �� ! Ψ.2���6 �� � !��" �� �� � � ��I�
E
n = 1
n =2
n = 3
n = 44s
3s
2s
1s
4p
3p
2p
4d
3d
4f
2�� '� :0�) ,����� �����������=��1� ��)
/!� !�� -!� �"( � * � !�(�& l > 0 ��"���5 2���6 �0��1�.
4! ( � ��"# � ��-�" �������!� !� � �� (�� � ���� !��� - � 0�"#; l�
! � 0�"#; � �� �� !�(� �" �!���� �� (���� <� " �� �- �����
�� ��"#�� 6 �!��0 ��5 "5� ��'���41 �� l �= 0� !� �(! ( ���"!#
�" �!��� �! 6 �!���
?�����( ��'���� � �5 ���� -!� � ������������0�5* �!���* � !�.
(� '�����5� "���5� ����!��5� - "�� n > 1 (�"( ! ( �5���� ��5��
A�N ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
���!�� !# �5���� �( �����
N =n−1∑l=0
(2l + 1) = n2. ���K��
7���� �� �� n = 3 � ! ( 32 = 9 ��'"-�5* ����!��5* � !�(�&�
�0"���41* ����& !�& � �� � &�
,�'� ��!��� ����:����! �� .�.���3 �.�3����
)5 �� ��!� " � �"'�������4 !��64� ���� �" �!��� ��*�.
�! ( � ��" !�- -��� (���� � !����"� -!� ����� �� � �5���� �5
�� ��0!�"#���� ��� �!�� 7� � ��5& �'"(� ����0�� �5���� � ��"�.
�� 05"� 05 � !# � !� � "�-� 1 "�-�5* � !�""��� � ��!��5* ���
��" �!�5& �" �!��� ��*��! ( � ��" �!����� � !�!�� ��-�5� ��"�.
�! "#�5� '��(���3(��� '��(���Z| e | Z−1 �" �!����� ������5�
'��(���−(Z−1)| e |� -� !-�� �������41* (���� % � & !�! "#�� ! �
�����& !��6 �5 � � � "� �� � ������������0�5� �!����� , .
"� � !��� -!� � Z − 1 �" �!����� �� ��"�� �5 �� 0�"#;* �� !�(�(*
�! (���� ���(��� 0���� ��� ���� � �∼ 10−8см)� % � '�"#!�! � !�!�-.
�5& �" �!��� ��*��! ( � �" �!�- ��� ��" � ��!��� 2����� ! ( ���
(����� !�� � !��;� ( Z − 1 �" �!������ '�� �� !# ��!���� �!
�� !�(�( �� 6 �!�� � � � �� ! ( ��� !�& 2����"�&
U(r) = − e2
r. ���K��
% !� � �� �( �0����� ��� �5; �5���� � �� ��0!�"#���� ��� �!�
� ! � !� !�"#�� � "�-� ��"( ��� ���K��� 9��� �5���� � ����
��'5��4! � "�-�&�5���
�!�05 ��� " �!# �22 �! �(!( �5���� �(� �� ��!�� �!�-� ���
�5��� � �"( ��! �6�"#��& �� � �" �!���� � �!�� M
U(r) = − e2
r+ A
r2+ . . . ���K��
%!��� �� " ��41 "�� �5 �-!5��4! �!�"�� � !���� ��"(
� �!�� �! ��"( !�- -��� '��(�� �� �5 "� ��"��5 -!�!# ( ��"5.
� ���������� )5 ����-� ( !�"#�� �5� ���5� "�� �5�� �� (
� ��� 2 �- ��4 �� !�4 ��! �6�"#��& �� �� '��; �� ���
�5; � ����� � c� �� �� �"( ����"#��& -� ! ��"����& 2���6
� �� ���AO��M
ΔrΦ + 2me
�2
[E − �
2l(l+ 1)
2mer2+ e2
r− A
r2
]Φ = 0. ���KN�
P-9- 7��(����$��)�� �(���� ��#������& ����)��+ A�O
%� � � �0�'��- �
l∗(l∗ + 1) = l(l + 1) + 2meA
�2. ���KO�
9��� ����� � ���KN� ��� ! !�! � ��� -!� ���AO�MΔrΦ + 2me
�2
[E − �
2l∗(l∗ + 1)
2mer2+ e2
r
]Φ = 0. ����B�
<��6 ���� ��"#� &; � � ; �( ��"�- ���� ����� �( � �!"-� ! ( �!
!�&� -!� ��� �("� # � "�-� �!��� ��������� % � '�"#!�! �5 ��"�-� �
�� � !- �& � �!�M
E(nr, l∗) = −mee4
2�2
1
(nr + l∗ + 1)2. ����A�
/0��!� ����� � -!� - "� l∗ �� � ������ ! 6 "�- " ��5�
��0!�"#�5� ��� �!�� l� � ��� � "( ! ( ' ����� �( ���KO�� ?-!�( ��.
�226 �! A �� !�!�-�� ��"5�� �5 ��� � ��0"� ��� '�� �!#
l∗ ≈ l + Δl, Δl = 2meA
�2(2l+ 1). ����I�
9 � �# ������ ��� ���#; � �� ! "���� ����!��� - "�
n = nr + l + 1 ����K�
'�� �!# �� � !- �& � �!� � ��
En,l = −mee4
2�2
1
(n+ Δl)2. ������
<� ��"#�� - "� n 6 "� � � �������� Δl 6 "5� - "�� � (�"( ! (
(��� '�� ! �! ��� �!� l� !� �� '������� '��- � "����� ����!����
- "� �5 0�� � � !#n ��'"-�5*� � ��"��41* ( ��� �� ����� �� � .
!- �* ����� &� ��'"-�41* ( '��- � � lM l = 0, 1, 2, . . . , n−1� =!�
�'��-� ! �(! �5���� �(� /!� !�� ������� -!� �2l + 1).���!�� �5.
���� � �� ���!���� ����!����� - "� �*���( ! (� ������ � ���"4.
-�4! (� �� ;� ��"(� ��'��;�41 2 �- ��4 �� !�4 �5� "(.
41 (��� � ��!��� ������" � � ��� !��� !� �
,�*� (���8���4����� 3����� ��37���.��# .����3��
)5 �� ��!� " ��� ! &; ! �5 3 ������������0�5& �!��
�!�� 1 "�-��� � !�""�� /����� �� !�!�-�� ��� !� ��" '�� � "�!#
�6 �� �"( 0�" "����& ! �5 3 ���*�!����& ��" ��"5�
A�B ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
<� � !��� ��"��4 �� �4 ��" ��"5 � �� ���5
E = E ���� + E ����� + E ���. ������
D� # � ��� "�� �� �� 5�� ! �� �4� �0� "��" ���4 �" �!�����&
���2���6 & �!����� �!��� �-!5�� ! ��" 0��(� !� � '� � �( �� .
!�(�( � ��� �!����� � !� !# �� ! �� �4 ���1 �( ��" ��"5 ���
6 "��� G� ��!�� � !� "�� �5 ��&� � ��!��; � � ��� ���
=� �4 �" �!�����& ���2���6 �� ���(��� � "-�5 ����� �6 .
�!# ��� 0���� ��4 �� �4M
E ���� ∼ mee4
2�2. ������
,"( �!�& �� � ����� !��� ��!# �6 ��� ��� ��"���� ��& �� � �" �.
!���� �� 0���� ��& ��0! M
E ���� ∼ e2/a, ������
�
a = �2
mee2
3 0���� �& ���� . ����N�
,"( !�� -!�05��"�-!# �6 ��� ��" 0�! "#��& �� ���" ��"5E ������
�� � !��� ��" ��"� ��� ! �� ���* �!���� �� 5 M ����5&� � �.
� ��5* �������& �22 �!���& � !�� !#4 κ� =!� ����� � "�!#� � (
U r( )
r0 r
U0
2�� '� ( -�������� �� + ���)�D
��� �����5� ����� ����1�� �,0 ��)D
��� )����,�� �� � �������� )�4�,
��) )�
� ���� -!� ��! �6�"#��( �� �(
��" ��"5 '�� ! �! �� !�(�(� �.
�� �!���� !��� ��� ����'��� ��
� � ��K� 9��� �� ��"5* �!�"�� .
�(* �! ��"�� �( ������ (� �!.
� -�41 � !�-� ������ r = r0
�� ����& U(r)� '�� �� !# ��! �.
6�"#��& �� � �! � 1 �( x == r − r0 ����� �� � !��!# � ��
U(r) = U(r0) + 1
2U ′′(r0)(r − r0)2+
+ . . . ≈ U0 + 1
2κx2, ����O�
� U0 = U(r0)� κ = U ′′(r0)� 9���(
'�� �� !# U �! � 1 �( x �'��.
-� !� -!� ! �� � � ! 0( ��� ��.
���- �& � 6""(!���
�'� � � �� !�(�( x � ��� �!���� !���& ��" ��"5 �� 5�� !.
( ����� � � μx = −κx� � μ = M/2 3 ��� � ���( �� �� /! 4��
" �� ! �6 ��� ����& -� !�!5 ��" 0��&M
ω =√
2κ/M.
P-9- 7��(����$��)�� �(���� ��#������& ����)��+ A�A
<� ��"#�� �� � !- �& � �!� �����- ��� � 6""(!��� ��.
! �6�"#��& �� � &
U(x) = 1
2κx2 = 1
4Mω2x2
��� � "( ! ( 2����"�& E = �ω(n + 1/2)� ��" 0�! "#��4 �� �4 ��" .
��"5 �5 ��� � �6 �!# ���
E ����� ∼ �ω√
κ/M. ����B�
/6 �� � "-�� �22 �!���& � !�� ! �(' �!���� κ� ,"( �!��
� � �; � 2����"� ����O� � �� U(r) ≈ U(r0) + U1
x2
r20.
?��� !��" � 2����"�& U(x) = U0 + κx2/2 �� ! �6 ���
U1 = 1
2κ r20. ����A�
,�" �-! �� -!� � "-�� r0 ���(��� ��'� �� �!���� !� � ���(��� 0����.
��� ���� �� r0 ∼ a� <� �!�� ! "#��� � 1 � �!���� �� �� !�(�(
���(��� r0 * �� �( �'���� & !�( � �( ! ( �� � "-�� ���(��� 0�.
��� ��& �� �MU1 ∼ εБ = mee4/2�2� �� ��"#�� "� ��!(� �( �!����
��� � "( ! ( !�"#�� �" �!�����& ���2���6 & ��* �!����� 9��� �0.
��'��� '��"4-� �� -!�
U1 ∼ 1
2κa2 ∼ εБ. ����I�
<� ��"#�� εБ ∼ E����� !�
κ ∼ E ����
/a2. ����K�
% ��!� ! !� �!� ��*��� E ����� ∼ �
√κ
M∼ �
√E ����
Ma2
� <�� !������
4�� �5��� �& ������ ����N� �� !
E ����� ∼ E ����
√me
M. ������
���"�-�5� �0��'�� � !����� ��"�-!# �6 ��� ���1�! "#��& �� �.
��" ��"5� G� ��!���( ��" ��"� ��� � !�& ��!�!��� '��; � �
���1�! "#��4 �� �4M
E ��� = L2
2I, ������
A�I ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
� I 3��� �! � �6� F-!5��( ����!���� ��� �!� ���"# �� �����
'�� �!# ����� �� � ��!�!��� � ��
E ��� = B l(l + 1), ������
� �� � �� !�� ��'5�� ��( ����(������ ����������
B = �2/2I.
,"( �� ��!��� ��& ��" ��"5 ��� �! � �6 I ∼ Ma2� �� ��"#��
*����! ��� �� !�(� � ��� �!���� ���(��� a� 9��� �� ;!�0 ���1�.
! "#��& �� � ��" ��"5
E ��� ∼ �2
Ma2= e2
a
�2
Me2a∼ E ����me
M. ������
9��� �0��'��� �5 ��"�-" " ��41 ��!��; � M
E ���� : E ����� : E ��� ∼ 1 :√
me
M: me
M. ����N�
<�� � �- " ���4�6 ����<� ��"#�� 0���� ��( �� �( εБ ∼ E ���� ∼∼ 10 �%� � �!��; � �� 5 �" �!���� � �� �!��� me/M ∼ 10−4� !�
E ����� ∼ 10−1 �%, E��� ∼ 10−3 �%. ����O�
=!� �'��-� !� -!� �� � !- �& � �!� ��" ��"5 �� � !��"( ! �0�& ��.
0�� �" �!����5* ����� &� ����5& ' ��!��5* �� 1 �"( ! ( �� �4 ��" .
0�! "#�5* �������� &� % ��4 �- � �# �� " �� �� 1 �"(4! ( �� �4
���1�! "#�5* �������� &� =!� * �� ��- !� ��� ���""4 !������� ��
� � ����
E1
(el)
E(vib)
E(rot)
E2
(el)
E 3
(el)
2�� '� ( -�������� �� ����1���-����0 ,����� �,0 ��)��� )����,��
P-P- Q��C���� �������� )���$����� ��C���/ A�K
,�,� ���:���� .�.����� ����4����� ���:���!
G� ��!�� ! �� ' ���* �" �!������ <� !# �"���& ��� �! �����
�" �!���� �1� � ����� �2� 9� 0� ! ( ��&! ������5& �"���& ��� �!
! �5� % �"� - ��& � *��� ����� � ;� ! ( ��� !�M ����� �� .
��"#'���!# ( �05-�5� ����"�� "�� �( � �!����ML = L1 + L2, ����B�
��� �!� ���� ��� !������� �� � � ���� �� % ����!���& � *��� '���-�
� ��"#�� � "���( ! (� �� ��"#�� ��� ��� �6� !�� �"�5 � �!����
�"��5* ��� �!�� ���! �����!# ";# � �� !�5& ��0�� '��- �&�
L2
L1
= L
( )L2 z
a á
= L
L1
L2
â
L1
L2
L
2�� ' :��4���� )�)���� +1 � +2 �� �=�-��), �� ��, @�AE ���4���� )�D
)���� �,)) ���� )�)��� � � �=���"�) +� -����) �����5�� @"AE �� 4�B �� ���
�=� +� ��� )�)��� � )���"�� ���-���� @�A
@�� � �� ���"��!#� -!� -� !65����!- � � �'���� & !��4! ���
������ !�� -!� � �!��5�1 �2 �*���(4! ( ����'�#� % " � !� '�!��.
� ��� !��� !�� �*���(!# ( 0�� ! !��� ������5& ��� �! ! �5 ��
C " � ���"4-!#� "�0� �'���� & !� � !� �*���(!# ( 0�� ! !�"#��
������5& �"���& ��� �! �� � ��� �!5 �1 �2� ���01 ����(� ��.
��'�# �*���(!# ( � 0���!� %� ! ! �� ����" !���! "#��& !�-�� !#4
����� -!�!#� -!� �*���(!# ( 0���! �"�5 � �!���� �1 �2� 7� ('5�
�"� - ��&2'� �!� ���� �� ! !� �! ��� !�64� -!� � �!��5�1 �2
�� 6 ��4! ����� �5� " ���& � Z� '����� ��& � �!���� ��������
��� �!� �� � �(( � �� �5��� ������" � � ��� !��� !� � �� � !��"((
� '� ��5� �� �"�5 ��� �6 �� � # Z�
8��!- � ��� ���� �('�!# ����!��5 - "� �"���� ��� �!� ! .
�5 ����!��5� - "�� ��� �!�� ������ ' �" �!������ <� !# ���
' �" �!����� � ! ��� �!� *����! �'� �5& - "�� l1� ����& 3 - .
"�� l2� %�'��� ! ����� M �����5 ��'����5 ����!��5 - "� ��������
���1 �( lL
% ��!� ! !� �01� ����"�� �5 ��"��5 �� ��"#'���!# (
��!��; � � ����B�� � ( � ���� -!� � ����!���& � *��� �!� ��� �.
!�� ��"��� �5��"�(!# ( �"( �� ��!���� � ��* '��- �&� <��!���� �
-� !�� !� � � ���"�-�� ��� � !�� �"( ��� �6& ��� �!��M
m = m1 +m2. ����A�
A�� ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
)5 '�� �� -!� - "� l1 l2 ��� � "(4! ��� ��"#�5 '��- �(
��� �6 ��!� ! !��41*�"��5*��� �!���<��!������ ��"#�� '��.
- � m � !��"( !
mmax = (m1)max + (m2)max = l1 + l2.
% ��4 �- � �# � "-�� mmax ��� � "( ! ��� ��"#�� ��'����� '��.
- � �������� ��� �!� l� ?" ����! "#��� �1 !�� ! � !�(� ��.
� �!��
l = l1 + l2. ����I�
G� ��!� ��5& "�-�&� ���� ��� �6( (L2)z = �l2� �!� -� ! ��.
��"#���� �"� � ��� � �!���� L2 � #4 Z �� �"� - ��& 2'� �!���
��!� ! !����"� 05 !��6(� ����L1 ↑↑ L2 ↑↑ L)� =!�! "�-�& ��- !� �.
�� ���""4 !������ �� � � ���� �
���"�-������"#�� '��- � ��"������ �!� � �"'� ! (� ����
� �!��5 �1 �2 ��!����"" "#�5� 9��� � '�"#!��41 � !�(� � !
��� �!
l = |l1 − l2| . ����K�
9��� �0��'��� � ��'����5 '��- �( �������� ��� �!� '��"4- .
�5 � �! ���"
|l1 − l2| � l � l1 + l2. ������
7�&� �� ��� � ��� '��- �( ' �!�� ����'������! � �"'���!# (�
)5 ��"��5 �- !# ������������� �� ��"�� � �"��5�� �5* � �!����
��� �!��� <�� � �"( ��� � " ��� !� -!� l1 > l2� %50 � � � # Z !���
-!�05 ��� �6( ��� �!��1 �� � � "� '��- � m1 = l1� 9��� ��� �6(
��� �!� �2 �� �!� � # ��� ! �����!# '��- �(
m2 = −l2, −l2 + 1, . . . , 0, . . . , l2 − 1, l2 ������
� ! !� ���� � ��6�* �� !�(���& <"������
)�� ��"#�� '��- � ��� �6 m � " ����! "#��� '��- � ��.
������ ��� �!� l ��� � "! ( � "�� �
m = l1 +m2. ������
�� ( � ���� -!� - "� m2 ���0 � ! '��- �( ������� �5 '��"4-� �� -!�
� '�"#!��41& � �!�� ��� �!� ��� ! � !# "40� ����!��� - "� l '
� ��
l = l1 + l2, l1 + l2 − 1, l1 + l2 − 2, l1 − l2. ������
<� �!�� �"( ������ ' �!* '��- �& l � ! ( 2l + 1 � !�(�&� �!".
-�41* ( '��- � � ��� �6m �������� � �!��� ��� �!��
D�� !�� -!� " 05 '��-�"#�� ���'�"� #� -!� l1 < l2� !� ��� �#;
'��- � �������� ��� �!� � !��"� 05 l2 − l1�
P-P- Q��C���� �������� )���$����� ��C���/ A��
/01 - "� � !�(�&� ��!��5 ��� ! �����!# ���1�! "#�� ��.
� � ���* -� !6� !#
l1+l2∑l=|l1−l2|
(2l + 1) = (2l1 + 1)(2l2 + 1). ����N�
<� � !��"( ! �! � ��&! - "� � !�(�& ���1 �( ! �5 ���*
�" �!����� 0 ' ���6 ���5 �� ����! "#��� "�� �( * ��� �!��� /��
����("� # 05 ���'� � �4 - "� ��'"-�5* ��� �6& ����� �"����
��� �!� (2l1+1) �� - "� ��� �6& �������� �!� (2l2+1)� !� � � "-�
(2l1 +1)(2l2 +1)� =!�� �- ����� ������ ! � '�"#!�!�� ����N�� �� ��"#��
"�� � ��� �!�� � ��� ! '� �!# ��"��� - "� � !�(�&M � �( ! (
!�"#�� �� �0 * � � - " �(�
?" �� ! 1 ��' ���- ����!#� -!� �� �� ��!� � "�� �( ��� �.
!�� �5 �� ���"��" �! �! !� �'���� & !�( � ��� �" �!������ C "
� �'���� & !� � ! � !�� !� ����5& ' ��� �!�� ����'�# � �*��.
�( ! (� � �*���( ! ( ";# ������5& ��� �! ! �5� /����� ���6
!���� �'���� & !�( ��"� � ����" !���(!# '����� �*��� �( ��� �.
!� ���"# �� <��!��� � '�"#!�! "�� �( ���� ! ( !��� � � ��� 05"�
� !����" �� �5; �
G� ��!�� ����� � !��� ��� '��- �( ���! �����!# ��"(��5
���'� � �( ��� �!���
<� !# ��� ��� �!� l1 l2 �"��5��4! ( � ���M
l = l1 + l2. ����O�
%�'���( �!� ��� � !�� � ������!� ��"�-�
l2 = (l1 + l2)2 = l21 + l22 + 2l1l2,�!���� " �� !
l1l2 = 1
2(l2 − l21 − l22). ����B�
=!� ��� � !�� �� � !��"( ! �0�& �05-��4 ! �� �� �� �� �� � !����.
� !�� �5����41�4 ������! !����5 !� ��"#��� �c2) - � ' �� ���
!����5 �a b) ��" � ��� �� αM
c2 = a2 + b2 − 2ab cosα.
<� ��!��� ��� ���'� �( ! ( 2����"� ����B� � ����!���& � *��� �
<� �� � �� �5 ��"��5 �- !#� -!� ��� � !�� ����O� ����B� ��"��5
�5��"�(!# ( �"( �� ��!����� !�� -!�
l = l1 + l2, ����A i�
l1l2 = 1
2(l2 − l21 − l22). ����A 0�
A�� ,�- P- X�(�#� ) �� ��� �����- `����� ��:��!��
,�" �-! �� -!� �"� �� ����A i� � � '�"#!�! ����!���� *��- ��.
� "�� �( ��� �!�� l1 l2� *����! �'� �5* ����!��5� - "�� l1
l2� ��'����! � !�(�( ��� �!�� �� ����!��� - "� l ��!���� ��� !
�����!# '��- �(
l = | l1 − l2 |, . . . , l1 + l2. ����I�
�� ( �!� � ��� � � *��( � ����A 0� � � ��� '��- �(�� ��"�-� �5��.
� �
〈l1l2〉 = 1
2[l(l + 1) − l1(l1 + 1) − l2(l2 + 1)]. ����K�
���"�-�5��0��'��� !����� ��&!� ����� �� � �� '��- � ��.
"(���� ���'� � �( 〈l l1〉� � *��( ' !��� !��
l22 = (l − l1)2 = l2 + l21 − 2l l1,
��*���
〈l l1〉 = 1
2
⟨l2 + l21 − l22
⟩= 1
2[l(l + 1) + l1(l1 + 1) − l2(l2 + 1)]. ������
9��� �0��'��� � ��"(��5 ���'� � �( �5����4! ( - � ' ����!�.
�5 - "� ��!� ! !��41* ��� �!���
,�/� ����:����� ����� ��.3�� B,� "C
,"( ���0 !�� -! �( ���� �5��� 2����"5 ���AK�� /0�'��-� ����4
���� ���
S =l∑
m=1
m2. �<��A�
G� ��!�� ��'�� !#
Q =l∑
m=1
[(m+ 1)3 −m3
]. �<��I�
? ����& !����5� �- ����� -!� �!� ���� �����
Q = (l + 1)3 − 1, �<��K�
�� ��"#�� � � & �5����4! � "�� �5 � ���� � ���� �� " �� ��
? ����& !����5� � � �; � �!� � ����� �� ��5� (m+ 1)3M
Q =l∑
m=1
[3m2 + 3m+ 1
]. �<����
P-<- '(���C����- M+�� 2�(���+ cP-.Ld A��
�� ( � ���� -!�
l∑m=1
m = l(l+ 1)
2,
l∑m=1
1 = l, �<����
� � �; � �<���� � ��
Q = 3S + 3 l(l+ 1)
2+ l. �<����
? �- !�� �<��K� ��*��� ����4 ����MS = 1
3
[(l + 1)3 − 1 − 3 l(l+ 1)
2− l
]= l(l+ 1)(2l+ 1)
6. �<����
=!� �5��� � 05"� ��"#'����� � � ������ ! � ! �
� � � � � �
�������������� ��
������� ]����(��- � � ��+���B �+�8������
� ������-���
@9+ ��)�5��D�,����1� ��� ��A
/� � E�8������ .�.����
/���& ' ���� &;* *����! � !� ! �5 ����1* ( '��(��� (�.
"( ! ( ���!�5& ��� �!� ��� � "(41& �'���� & !� �!�& ! �5
�� ;�� ���!�5� ��" �� /� !��� ��� � "( ! ���!�� ��" � �'��.
�� �� ��� '��(����
% �"� - ��& �" �!������� ���!�5& ��� �! �!�� !���� ���.
�! ( ��!��; � �
µ = 1
cIS. �N�A�
D� # I 3 !�� � �!� � � �3 � �!�� �"�1�� �!�� �!� � � �!��� � 41&
�"��� �����4 �"�1�� �!�� ������" ��5& �� �����" � �"� �� !
q
r
S
I
2�� #� C 1������ )�)��� ���
� ����)
�!�� � ��!� ! !� ����"�� 0����.
-���e �� � N�A�� <� �!�� �� �!��� ��.
� 1 ��5& �� �� ;� ���!�� ��.
" �� � & !�� ! ��� �! "5� ����5&
M = [µ, B], �N�I�
�����(1& � !���� -!� ���!�5& ��.
� �! !� �! ( �� �!����!# ( �� ��.
����" �4 ��"(�
<�! �6�"#��( �� �( ! �5 ��.
��1* ( '��(��� �!����� ���!�5�
��� �!�� µ � ���!��� ��" � �����
U = −µB. �N�K�
?��� � ! �� ����1* ( '��(���� � 41�( ���!�5& ��� �! µ�
�'�� ! �� 0�"#;* �� !�(�(* ���!�� ��"
B = rot [µ, r]
r3= 3r(µr) − µr2
r5. �N���
F !����� �('# � ��� � *��- �� ���!�5� ��� �!��� G� .
��!�� �"( ��� !�!5 ������& �!�� ���� � r� <� !# �� �!�� 6���.
"�� ! '��(� q � ���� !#4 υ �� � N�A�� 9��� � ��� �0��1 �( '��(��
<-.- `������+� ������+ A�O
��� � T = 2πr
υ
� � !�� I = q
T= qυ
2πr
� ?��!� ! !� ��� ���!�5& ��� �!
�!�� ���� ! ( ����5�
µ = 1
c
qυ
2πrπr2n = q
2crυn = q
2c[r, v] �N���
�� 3 ��-�5& � �!�� �����" � �"� �� ! �!���� <�"�- ��� ��!��.
; � �0�01� ! ( �� "�-�& ! �5 '��(� ��5* -� !6M
µ = 1
2c
∑i
qi[ri, vi], �N���
� �� � i ��� �� ! -� !65�
G� ��!�� ��-�"� ���� -� !6�� % �����(� -!� �� ��� � ��
�!�� ��� �! ���"# � -� !65 � !��!L = [r, p] = m0[r, v]� � m0 3
�� �� ' �N��� ��"�-� � ����4 �('#M
µ = q
2m0cL. �N���
/0�'��-�
γ = q
2m0c. �N�N�
=!� � "-�� ��'5�� ! ( ����������� ���������� ?��!� ! !� ���
�('# ���!��� �"���� ��� �!�� '��; ! ( � ��
µ = γL. �N�O�
% "�-� ! �5� � !�(1 & ' ��'�5* -� !6� ��!��; � �N�O�� ��.
�01 ����(� ���'5�� ! ( � ���� �"�5�� /����� " �!��; � qi/mi
�������� �"( � * -� !6� !� ��!��; � �N�O� ��� � "! �('# ���!.
��� �"���� ��� �!�� �"( � & ! �5�
% ����!���& � *��� ��� �! ���"# � ����!� ! (� % " � !� �('
�N�O� ����!���!# ( 0�� ! ���!�5& ��� �!�
<� �� � � ��&� � ��'����5 '��- �( ��� �6 ���!��� ��.
� �!� �� �50�����4 � #� <�� �!��( �N�O� �� � # Z� � � μz = γLz�
% �����(� -!� �!� ��� � !�� � ����!���& � *��� ��"��� �5��"�(!# (
�"( � ��* '��- �&� � ��'����5 '��- �( ��� �6 �"���� ��� �!�
�!# Lz = m�, m = 0, ±1, ±2, . . . � '��"4-� �� -!�
μz = γm�, m = 0, ±1, ±2, . . . �N�AB�
? �- !�� ��� � " �( �����!��� �!��; �( �N�N� � � �; � �����
��!��; � M
μz = μ0m, m = 0, ±1, ±2, . . . , �N�AA�
A�B ,�- <- `������+& ������ � �:��
� �� � �� � "-��
μ0 = q�
2m0c, �N�AI�
-� !� ��'5�� ��( ���������
�!� �� � ! ( � "-�5 ���!��� ��� �!� μ =√〈µ2〉� !� � ��!� !.
!� �N�O� ��*���
μ =√
〈µ2〉 =√γ2〈L2〉 = | γ |�
√l(l + 1) = | μ0|
√l(l + 1). �N�AK�
)���"#�� � ��" �� '��- � ���!��� ��� �!� �� !� ! ( ��
l = 1 ����� μ = |μ0|√
2�/��� E�8����� +���
�' 2����"5 �N�AA� � "�-� �" �!���� �q = −e < 0� m0 = me) 1)
��*���
μz = −μБm, m = 0, ±1, ±2, . . . , �N�A��
� � "-��
μБ = e�
2mec= 9,274 · 10−21 ��/> , �N�A��
!# !�� ��'5�� �5& ������� ���� 3 �� � ���� ����! ���!���
��� �!��
,"( ��'�5* -� !6 � "-�� ��� !��� ��'"-��� !�� ��� �� �5���� ! (
� !�"#�� - � ' ����5 ��� !��!5� �� - � ' �� � '��(� -� !65�
?��5& 0�"#;�& ��� !�� � -� !65� � 41 & ��� �#;�4 �� �� !� �
� �" �!����� ,"( ���!��� �q = e > 0, m0 = mp) ��!� ! !��41�( � "-.
�� �N�AI�M
μяд = |e|�2mpc
= 5,0508 · 10−24 ��/> , �N�A��
��'5�� ! ( ������ ���������
/�"� ��!��� ����:����! � .�8�����. ����
=� �( ���!��� ��� �!� � ���!��� ��" �� ! ( ��"(��5� ���.
'� � � � ��� �!� �� ��" �N�K�� !� � '�� ! �! �"� � ��� ���!�5�
��� �!�� ���!�5� ��" �� C " �50��!# � # Z �� ������" �4 ��.
"( �� !�
U = −μ0Bm, m = 0, ±1, ±2, . . . �N�A��
9�� ��� ��� �6( ���!��� ��� �!� ����!� ! (� !� �� �( ���!.
��� ��� �!� � ��" ����� ! � �� !�5& �(� '��- �&� <��!��� ��
1) 7 ���� 1� � )� �=�+� - �) + ��� �������� ��)���) −e � ������������
��� 1 �) e > 0
<-3- Q:�� A�A
��� 1 � -� !65 � ��" � � ��'��� ! !�"#�� � ����� & �� ��
��"#�� ��� �6& ���!��� ��� �!� ��� � !�
9��� �0��'��� � ���!��� ��" " �� ! ����!# �� 1 �" �( ����.
� & '�����5� '��- � � ��0!�"#��� ��� �!� l �� �4 2l + 1 ���.
� !��!�5* �������� & ;��� ΔE = μБB� ��� ����'��� �� � � N�I� =!�
�'��-� !� -!� ���!�� ��" ��� ! �5���� � �� ���!���� ����!�.
���� - "� ���� �6 ��0!�"#��� ��� �!���
�E
B = 0
E
�2
�1
0
�1
�2
B = 0 m
2�� #� 2 �8������� ) 1�����) ���� ,���� � ��=�� ����) )�)����) l ` �
� ���,����B � +�������� " 1�) ΔE = μБ 7
/�$� ����
% ��!� ! !� � ��'���5� ��� - "� ��� �6& ���!��� ��.
� �!� �� �5� " ���4 � # ����� 2l + 1� � � �������� l 3 ��0!�"#��
����!��� - "� " ����!��� - "� ��"��� ��� �!� ��"- !�� ��� .
�(� D��-!� ��� -!�� �� ��5! - "� ��� �6&m� �5 �� � �� �!�"#��
��&� � - "� l� !� � ��&� � ��� �! ��"- !�� ��� �(�
/�5!5 �!�� !�� �� ��5 � ��� '� !��� 05" �� !��" �5 c! ����
> �"�*��� %�� " � !� * ! *��� 05"� �# '�� � "��� �� �� �!��
�1 !� ��� � �� �; � !�������
%�����������0�5& �!�� � � ������ � !�(�� !� � � s. � !�(��
� ! l = 0� ?" ����! "#��� � ! ( !�"#�� ���� ������ �!� m = 0�
?��!� ! !� ��� � ��5! !�� c! ��� > �"�*� ��"��� ��"�-�!# ( ���
� �� 1 �" ���( "�(� % p. � !�(� �l = 1) ��'����5 !� '��- �(
��� �6 ��� �!� ���"# �M l = +1, 0, −1� D��-!� ���� � �!�"�� ���&�
��"��5 ��(�!# ( 1 �� �!�"�� ��5 ������ �!5� ������ �!5� ���01
����(� ��"��5 ��(�"(!# ( � � - !�5* ��"- !��* �2l + 1 ;!����
c! �� > �"�* '�-�" �!�"�� � ��-�� � ��'0��� ��5* �!���� .
� 0�� � "#��� ��� � -��� ���!��� ��" � =! �!��5� �0"���( ����
��" �!�5� �" �!������ � � ������ � !�(� ��"��5 �0"���!# ����5.
� ��"4 ��� �!�� ���"# � ���!�5� ��� �!��� <��!��� " ����"�
A�I ,�- <- `������+& ������ � �:��
����!# ��(�" �( ����& "�� ���"�-��( !��6( ����"� # �"(
*�"������ � ��'0��� ���� �!������� ��������� /����� � �0�* ��5!�*
��0"4��" # �� "��
9��� �0��'��� � '�"#!�! ��5!� c! ��� > �"�*� ��- !� ��� ���.
!��� -! ��;� �5����� �0 �" �!�����& !���!�� ������������0���
�!����, "� � !��� -!� '"�� ���( �5; ! ��( � ��"�� � !�� �5 " � -!� ��
����!���� ���1�! "#�5* ��� �& ��� ����-�� ! ( ���(.
! � � �� ��!� � � *��- ��� ���!��� ��� �!��� ";# �'��.
�� �5* ��0!�"#�5� ��� � � �" �!���� ��� !�-�� ���� � �-!5.
�� !� � ����� ! �� ����� �0 !� ��5& � *��- �& ���!�5&
��� �!5 �" �!����� =! � *��- �& ���! !��41& �� ���!�5&
��� �!5 ��'5��4! ( ����5�� 9� ��& !�� �" �!����� � " � !� ��.
!���� �� �0"��� ! � *��- �� ���!�5� ��� �!��� ��'5�� ! (
���� �" �!����� <� ����� �� & ����5& ��� �! "#�� �!"-� ! (
�! �����0�� �0 �����; � ( �5; ��0!�"#��� ��� �!�� �'���� ���
��� � � �" �!���� ��� !�-��
D� #� ����"�&� 6 " ��0��'�� �0��!!# ����� �� ����5& '�0��.
�5& ('5���5& ���# '� ��"& �� "��� _kW^� ��� *��(1 ' !���� .
� 6��� ('5�� �lWY RkW^^Y 3 ����� _kW^^Y^ 3 ��( !#� � � ����� ���
��(� � � � � ! ��� ��"-��� 05 !�� ���1 � � -� !� �'��-� ! *!������4
'����!"�� !#�
� � ��� �" �!��������� ����&!� �!����"(( # �! � ��"#�*2��.
!��� <��1 � � ����!# ( �� ����5 ! * ��5!�� !��c! ��� > �"�*�� �
��!��5* ��0"4��"� # �� 1 �" � ��-�� �!����� '�� ���� ��*���;* ( �
s. � !�(�� �� ��� ��-��� 7� � s. � !�(� � *��- �&� � " ����! "#.
��� ���!�5& ��0!�"#�5 ��� �!5 ����5 ��"4� %� ! ! � 2��!
�!�"�� �( ��-�� � &!��"#�5* �!���� � ���!��� ��" �� ! "# !�� !
� !��� -!� � .!�� ���!�5& ��� �! � ! (� G� 1 �" � �� ��� ��-��
����'5�� !� -!� ��� �6( �!�� ��� �!� �� ������" � ��"( ��� ! ���.
��!# !�"#�� ��� '��- �(� <� 6'���5 '� � �( �0 �"4!��& � "-�5
�0 !� ���� ���!��� ��� �!� �" �!���� ��" '��- � � ������41
� "-��& ��� !��� @��� �"( �" �!���� μБ� 9��� �0��'��� ��5! ����.
'�"� -!� �!��� � 41& ��� �" �!��� ��*��(1& ( � s. � !�(�� �0"�.
�� ! ���!�5� ��� �!�� µ� ��� �6( ��!���� �� ������" � ���!.
��� ��"( ����� ! !�"#�� ��� '��- �(M
μz = ±μБ. �N�AN�
?�1 !����� �!�� ��� �!� � !�� � !�(�� � ��!���� ��0!�"#�5&
��� �! '�� ���� �! �! !�� !� ����� �0J( �!#� ��� �� �0 ���� �5&
��� �! � �� � � !� ��� ����� �" �!�����
� �!��� ��0��"( ! ( 1 ��� �# '�5& ���� �!� ?� �!�5 �!�����
� 41* ��� ��!- �& �" �!���� ���'5��4! ( 0�" "���5�� - �
�!� " �� ! ' �� � !��" ���& ��� ! �� ��� �( �" �!���� � ��" (�.
�� ��� !# ��� �- !�� �������41 � � & !�( ���* �" �!������� G -#
<-3- Q:�� A�K
� ! � !��� -!� "� "���5* �& 1 "�-�5* � !�""�� (�"(4! ( ��0" !.
�5�� 7�0�" *���;� '� ! � ��0" ! � "!�& "� ��!�( �-� !�
��'5��4! ���&��& � "!�& "� &�� =!� !�� ��'5�� ��( D."�( �� 1 �.
" �� �� ������ �!5D1 D2� �! !�(1 ��� �! ���� �� 6◦
U �λ1 = 5896◦
U�
λ2 = 5890◦
U)� -!� " �� ��0"4�� ! ( *���;� ��'� ��5� � �!��� !.
���� +��� G�" & �!� ����"� -!� ��� 6� !�� �� �� "�' ��'"-� ! �! ��
"� '"�- �(� G� 1 �" � �����."0� �� � !- ��� �����( � � �.
!��"#��& "�� �� ����� 0"'�� �� ��"�� ��5* ����� & � � �!��"#�5*
"�&� ��'5��4! ������ �������� �����( �"���
?�!# � "� � !�! � !��� -!� �� !� ����& � �!��"#��& "�� �!� .
-�41 & � � *��� 1) 3p1 → 3s1 �� � N�K� ��� ��0"4�� ! ( ��0" !� ��� �!�
����'��� �� � � N�K� �
3p
3s
D
a
D1 D2
á
3s
3p
2�� #� ����0���B ���- ?8�� ������ 4����� ����� � ����U �A =�+ ,-�� � �D
8������� �pD,���� @��)������� ��� ?��� ���, ����?AE "A � ,-���) � �8��D
����� �pD,����
<�*��! (� !��� �0��'��� -!�!# Kp.! �� hi � !�(1� ' ���*
0"'�* ����� &� ? !�-� '� �( �� ��!� ��5* �� * ��� ��"�� �&
�0J( �!# �!� � ��'������ % �# Kp.! �� �n = 3� l = 1) � !�! ' ����
����� ��������%�� ��� ����� ����� & �m = 0, ±1)� � ��� � ' ���
������� %� �� ;� � ��" �� 1 �" � �!�� ! ��� ��� ! ��� *��!# ��
!� ��������(� /����� � �� � �� �! �� !� !��" !� ��0"4�� ! ( ��0.
" ! �� !�� � �! �! !� �� ;� � ��"(� /! 4�� " �� ! �5���� -!� !� *
����!��5* - " n, l, m � �� !�!�-�� �"( ��"��� �� ��( � !�(�(
�" �!���� � �!�� �
%� ! ! � " �� �0J( �!# ��0" !�� �� 1 �" � ! ���� ������.
" �!�5* �!����� " �� ! �� ���"�� � � !��� -!� �" �!���
� ! �� �������� ���!�5& ��� �!� % �!���* �� � * � !�(�(*� ���.
� s. � !�(�(� �"( ��!���� ��0!�"#�5& ��� �! ��� � ��"4� �1 !�� !
���!� �� ���!�� ��" ��0!�"#��� ��� *��� �(� % �!�� ��" �
����0�� !���� ��� �!� � ! � !� � ��5! c! ��� > �"�*�� ��'���.
�5 �� �� �!�6 ���!��� ��� �!� �" �!����� ��!� ! !��41 ����
� "#�� ��'"-�41� ( �����(� �� ��
1) ��4� =,��� ��� + ��B -�� ����������� ������� �������� � ���� �)���
� ����� ��������� 3sB ����� �+=,4������ ��������� ���� 3p
A�� ,�- <- `������+& ������ � �:��
9� ����!��5 - "� n, l, m 05" �� � �5 �� �01 � �� ��!� �
���!��!����� ��� �( �" �!����� *��( ' � !� * ! � � & ��0�.
�5� ,��� "����� �� * ��� �" �!��� �� ��!���" ( ��� !�-��� 7�
���� � " � � & !�! "#�5& ��'� � � � !����" �� �'� !�� ";#� -!�
*����! ��5& ��� !��� !� ��5& ��'� � �" �!���� '�� ���� � �� �5;� !
10−14 �� )����� " ����! "#��� �� ��!���!# �" �!��� ��� �� � "#�5&
"�-�& ��"�� ! "�� � ��"� ! "� ��� ! ���1�!# ( ����� �� & � � % �� .
� "#��� � � *�� �� ��"#� &; � �� �#; � ��'� ��� �!� ! "� 0�� !
�����"��!# ���1�!# (� �� ��� �!� �� � "#�� ��"� ! "� �!"-� ! ( �!
��! ��"#��& !�-�� ��!���( ���1�!# ( � ��� ! �� ��� � " �4 � "�
0 �5 " ��� !���(!(������!� �"( �0J �!� ��" ��&��'� ��� !� C "
05 ����� 05"� �� ��!���!# �" �!��� ��� ! "� ��� -��& ���!(� ��� !�
!� ��� ���� !� * �� !���! "#�5* ! � � & ��0��5� �0"���" 05 ���1�.
! "#�5� ! � �(� ��0��5� ?��!� ! !� ���� �� � " 05 � *��- �&
��� �! � ��� � (�� ���1�41 ( '��(� ��� ! "�� ���!�5& ��� �!�
7� � ( ������ ���- ��&� ��� -�� ! ��'� ��� �" �!���� � ��*��"�
� ��4 ��"#'� ����* ���� �!��� 7����!�� � !��� ���!��� -"��
% AOI�.� ��� F" �0 � >��� �! ��� ���" � � �� � �� �!�"#�5*
2��!�� �5����" � "�4 ��! '�� ��� �� �" �!���� � *��- �&
���!�5& ��� �!5 !�"# � 2����"#��� ��� �� ��� 5��4! ( �� �
me '��(� −e�
% "-�� � *��- ��� ��� �!� " �� ��� � "( ! ( ' � '�"#!�!��
� �!�� ���- �* " �����& 1 "�-�5* � !�""��� <���0�� � (����
��� �!�� ��� �! �" �!���� ��"� � 05!# ����!����� <��!��� " � ��.
6�* � � "-�� � *��- ��� ��� �!� !# s� !� ��"��5 05!# ��'����5
2s + 1 ��� �6& �!�� ��� �!� �� �5� " ��� ������" � � =!� ��"��.
!#4 ����0�� !���� ��� ��0!�"#�5& ��� �! l � ! 2l + 1 ��'����5
�� �!�6 �!�� ! "#�� �50������ ������" �(�
9�! 2��!� -!� ! ��5 ��!�( �� � !��"(4! �0�& ��0" !5� �����! �
�5����� -!� �� �" �!���� � ! !�"#�� �� ��'����5 �� �!�6� !� �
2s+ 1 = 2� �5 � �
s = 1/2. �N�AO�
=!� ��!��; � �� ! ����!��� - "� � *��- ��� ��� �!� �" �!�����
?��!� ! !� ��� �� ��'� ���� �� � ��� �6( � *��- ��� ��� �!� ��
�5� " ���4 � # ��� ! �����!# ��� '��- �(M
sz = ±�/2. �N�IB�
<�(�" � ��"�6 "5* ����!��5* - " �5"(�! !������ �� !���.
�� !# " �05� ��� !# ! * " �5* 2'- �* �� � !��" �& � ��.
� ! "��!# ��! � � * !��� ! " "���� !� 9��� �� � !��" �
� ���1�41 � ( ���!(� ���� �" �!��� *�!( � !������ �� � � ����
% -� !�� !� �"( !�� -!�05 !�"# ��"5& �0J �!� ��� �" �!���� �� � !#
��� -�5& �"���& ��� �! �N�IB�� !�-� � ��� �*�� ! ��"��5 05"
05 ���!# ( � � �* � !���& ���� !#4� % ���� � " � �� � !���
<-3- Q:�� A��
��� �! ���"# � �" �!���� � ��
Lz = Iω = �/2. �N�IA�
D� # I 3 ��� �! � �6 �" �!����� % "�-� ���������� ;��� ���.
� � re� ��� '� !��� Iш = 3
5mer
2e � <��!��� ��"��� I ∼ Iш� <� ��"#��
���� !# !�- � ��� �*�� ! ;��� ����� v = ωre� ' �N�IA� ��*���
v = �re
2I∼ �
mre. �N�II�
,"( �6 �� � "-�5 re ��� �� -!� �� �( �" �!���� mec2 � !
�" �!�� !�!- �� ��� *��� � � !� � �� ���(��� � "-�5
Uкул ∼ e2
re∼ mec
2.
<� " �� ��!��; � ��� � "( ! !�� ��'5�� �5& �"� - �& ����
�" �!����M
r0 = e2
mec2. �N�IK�
<��!���� ��"��( re ∼ r0� ��"�-� ' �N�II�
υ ∼ �c
e2c = c
α≈ 137c, �N�I��
-!� �� ��� ���(��� �� �5;� ! ���� !# � !�d
C " 05 �5 �'(" � ��- !� �6 �� ���� � �" �!���� � ����!�.
��� ��4 �"��� re ∼ Λ = �
mec
� !� �� !� �N�I�� ��"�-" 05 υ ∼ c� % !�
� �� �( � ! ����* � �����& �"( !���&� 0�" ���!� !-��&�� - �
�N�I��� �6 ��M ��� �� �!� -�"� # �5; � '� � �( ����'5��"� -!� �" �.
!��� � � ! 0( ��� -� !6� ���� �� " ��� -�5�� !� ���� � �#;�
� ����!���� ��& �"�5�
%���� � ��� *��� � ��� �!� ���"# � �" �!���� ��"�� !#4 � .
;� ! ( � � "(!� ! ��& ����!���& � *��� � � ��!���& ��"�6 "5 '��- .
�( � ��� ��"�-�4! ( ' � #�� �01* �� ���"�� �&� % �����* �
��; � '"�� �( ����� ";# !�� -!� ��"#'���� ��"�6 "5* ����!�.
�5* - " �"( ��� �" �!���� � � ! � � '�"#!�!��� ��*��(1� ( � ��"���
�"� ����5� �� � �� �!���
�!��� �" �!��� �0"��� ! �0 !� ��5� ���!�5� ��� �!�� µ� ��� �.
6( ��!���� �� "40� '������ ������" � ��� ! �����!# !�"#�� ���
'��- �(M
μz = ±μБ = ± e�
2mec. �N�I��
% �!�& '�� �-! ��� -!� '��(� �" �!���� !# −e < 0� ?������( �N�I��
�N�IB�� �5 ���� -!� �!��; � ������ ���!��� ��� �!� �
A�� ,�- <- `������+& ������ � �:��
������� � *��- ���� ��� �!� �����
μz
sz
= − e
mec. �N�I��
=!� '��-!� -!� �5 ��� � '�� �!#
µ = − e
mecs. �N�I��
9��� �0��'��� �����!�� �!��; � � ��!��� �"( ��� !��� !� �.
��� ���0!�"#���� �� �N�N�� ���1 �( �" �!���� ����� γl = − e
2mec
� �"(
�0 !� ���� ��� �" �!���� ���'5�� ! ( ���� 0�"#;�M γs = − e
mec
�
% �"� - ��& ����!���& � *��� �!�! 2��! (�"( ! ( - !� �� � �� �.
!�"#�5�� % � "(!� ! ��& ����!���& � *��� ����� � ,���� ��'��.
""� �5- "!# ���!�5& ��� �! �" �!���� ��"� ����"#�� '��- �
�����!��� �!��; �( 0 ' ���" - �( ���*."0� ����"�! "#�5*
��! ' " �� � �� �!�"#�5* 2��!��� 7� �!� " �! �� �� �� � "��
��; � '"�� �(�
�!�05 �- !# �!"- ���!�5* ��� �!�� ��0!�"#��� ������
��� *��� �(� ��!��; � �
µ = −KμБJ �N�IN�
2����"#�� ����(! !�� ��'5�� �5& )����� /���� K "� ���!��� K.2��!���
D��� �−� '� # �('�� ! �� -!� '��(� �" �!���� �!�6�! " �� � ��� !��
@��� �� ��� � " �4 ��"��! "#��( � "-��� % �N�IN� �5 ����0��'.
�� �0�'��-" ���"�� � ��� �! ���"# � ���0!�"#�5& � " ���.
�5& ��� '� � ��5& � ��6�* �� !�(���& <"���� �� % -� !�� !� '��.
5��( �N�IN� �"( ��0!�"#��� ������ ���!�5* ��� �!��� � �
µs = −KsμБs, K s = 2,
µl = −K lμБl, K l = 1.
�N�IO�
��� � 5 l s ���'5��4!� � ����� � ��� ��� �! � ! � -#�
/�'� 0����! ���3��3��
�!��� �" �!����-� !�� ! ��'� � ���* ���1 �(*M � �0 !� ���� � ���.
���� � ��� !��� !� ���� ���0!�"#����� C� ����5& � ��0!�"#�5&
� ��� �!5� �"��5��( # �� ����"�� "�� �( � �!����� ��4! �� ��.
6�* �) � '�"#!��41& ��� �! � ����5&
j = l + s. �N�KB�
?" ��( D��� �2 "#��� ���� ��'5��4! ���!� ��� ����!��5�
<-6- =��)�/ ��(�)��(� A��
- "��� /�� �� � !��"( ! �0�& ��"�5& � *��- �& ��� �! �����" �.
!������ �!���� <� ��"#�� �"( �" �!���� s = 1/2� ��"�5& ��� �! � ��
(�"( ! ( ��"�6 "5�e �5 � � "0� j = l + 1/2� "0� j = l − 1/2�
G� ��!�� �" �!���� � ��!���� l �= 0� F � � !# ��� !��� !� ���
���1 � � /���( # �� ��0!�"#�� ��� � �" �!����� �5� "� � # 3
������" � � *��- ��� ��� �!�� 9��� �� ��� ! 05!# ����( �'��.
�� ���!����"���5� �� �0�� �� �!����� �� �!��; �4 � ������.
" �4 �!�� ��� �!�M ��� �� ������" �4� !�� ���!� � �� @"�����(
��� �4 �" �!���� ��'��� ! �'���� & !� � ���!��� ��� �!�
��"���� �� ��" � (��� ��!����� =� �( �!�� �'���� & !�( '�� !
�! !��� ��� �� �!�����5 �!�� ! "#�� ��� ���� �� ��0!�"#�5&
��� �!� ,� �� �!�6 3 �� �� �� =!� �����! � ��0" !����
�� 1 �" �4�
/�� ";# s.! ��5 �l = 0) �" !�5� !�� ��� � �!�� "�-� � ! ���.
!��� !� ���� ���1 �(�
�!��� ��'����� !# ���(��& �� �!�6 ��� �" �!���� �!�� ! "#.
�� � ��0!�"#��� ��� �!� �����" �!�� �� 1 �" �4 ����� & �� �
�" �!���� � " � !� ���!��� �'���� & !�( ������ ��0!�"#.
��� ��� �&�
G� ��!� ��� �� 1 �" � ����� & �� ! ��'��� !����& !���!��5
(��� ���(�"( ! ( � ��!- �* � �!��*�
7 !����� ��"�-!# (���4 �6 ��� � "-�5 !����& !���!��5� %� .
��"#'� � ( ���'�"� - �� �� � !��" �(�� ?�0 !� ��5& ���!.
�5& ��� �! �" �!���� ��� � ��� !��� @���� μ = −μБ� ,"( ��*��� �(
�� � �'���� & !�( ���!��� ��� �!� ��"���� �� ��" � � � &.
� � � ! �� �! - !�� �('����4 �" �!������ 9��� � �!�& ! � �����
�" �!���� 0�� ! ���1�!# ( (��� � ���� !#4 � �'�� ! � !�-� ��*��� .
�( �" �!���� ���!�� ��"
B = 1
c[v, E]. �N�KA�
7������� -!� �!� ��!��; � � ! � !� � � � "(!� ! ��� ��.
0"� � ��� ! 05!# " �� ��"�- �� ' '����� @� :?������ % ����
� " � �"� �� �!��� '����� ���!�� ��" �0J ���� �" � �!� !��� jdV
����� dB = 1
c
[j, r]
r3dV � < � &� � '� # � !�- -���� '��(��� � ( � ���� -!�
�0J ���( �"�!�� !# !��� j = ρ v� � �3 ���� !# '��(��� � ρ3 �0J ���(
�"�!�� !# '��(��� D�� �(( ρdV → q� ��"�-�
dB → B = q
c
[v, r
r3
]= 1
c[v, E],
� E = qr
r3
3 ����(� ��� !# �" �!�- ��� ��" !�- -��� '��(�� q�
<�! �6�"#��( �� �( �'���� & !�( ���!��� ��� �!� ���!.
�5� ��" � ����� U = −µB = −1
cµ[v, E]� %�'���1�( # � "�0���!����4
A�N ,�- <- `������+& ������ � �:��
! �� �! - !�� � ����! ( (���� � �" �!��� ���1� ! ( ����� � � �
���� !#4 (−v)� ��"�-�
U = 1
cµ[v, E] = 1
c[µ, v]E = −1
cμzυE. �N�KI�
D� # ��(�" ( '��� �−�� �� ��"#�� [µ, v] ↑↓ E �� μz > 0 �� � N����
z
E v
2�� #� %������������ � ���D
��4���� ������ �������� ����D
���� , � � ���4������� ��)��D
1� �������-����1� ���� - �� + D
� ��� �+ �,0 �+)�4��0 ���D
��� 5�� ������1� ) 1�����1�
)�)��� �������� µ
7���� 6� �-!5��(� -!� μz = ±μБ� ��"�.
-� � U = ∓1
cμБυE� !�� -!� 0"�����( ��.
"-4 ��� ����� � !�(� �� 1 �"(.
! ( �� ��� ��������(� �� !�(� � ���
��!��5� � !��"( !
ΔE = 2ε0, ε0 = υ
cμБE. �N�KK�
/6 �� � "-�� ε0 �� � ��� 0����.
��& ! ���
=" �!�- �� ��" � �!�� �6 ���
��� E ∼ e
r2
� % ��- !� �6 �� �� .
!�(�( r �" �!���� �� 6 �!�� ��� �
0���� �& ���� r ∼ a = �2
mee2
� � �"( � .
"-�5 v ��'#� � '��- � ���� ! �" �.
!���� �� � ���& 0���� ��& ��0! M υ ∼ υБ = �
mea= e2
�
� �� ( � ���� -!�
μБ = e�
2mec
� ��"�-�
ε0 ∼ e2/
�
c
e�
2mec
e
(�2/mee2)2
= εБα2, �N�K��
� εБ = mee4
2�2
3 0���� ��( �� �(� �
α = e2
�c≈
1
137
�N�K��
3 �� !�(���( !����& !���!��5� =!�& �6 �� ����� ����!# � ��"#��
��& ��� " '�� !!#� -!�
α = υБ
c. �N�K��
9��� ���� ! (� -!�
ε0 ∼ εБ(υБ
c
)2
. �N�K��
<� " ��(( �6 ��� ���- ���� ! !�! 2��!� -!� ��'����� � !����&
!���!��5 !# - !� � "(!� ! �& �22 �!�
<-9- Q��(#���)�/ ��(�)��(� A�O
9��� �0��'��� �� 1 �" � ����� & !����& !���!��5 � ! �� ;!�0
���(���
(ΔE)т.с. ∼ 10−4εБ ∼ 10−3 �%. �N�KN�
/�*� ����7�����! ���3��3��
@�" !�-�5 � �!�� ���- � " �����( ����'�"� -!� �����
!����& !���!��5� �1 !�� ! 1 0�" !���� �� 1 �" � � �!��"#.
�5* "�& � " ����! "#��� �� � !- �* ����� &� =!� �� 1 �" �
��"�-"� ��'��� ����������� �������� C ��� *��� � �('��� �
�'���� & !� � ���!��� ��� �!� (��� ���!�5� ��" �� �'���� .
�5� �" �!����� �!����
<��� � � �6 ��� � �*!����� �� 1 �" �( �� ��� � � ������ �.
!�(�( �!��� ��������� % �!�� "�-� �5� � �'���� & !� ������
���!��� ��� �!� �" �!���� ���!�5� ��� �!�� ���!���� <� " �.
�& �� ���(��� � "-�5 �� ! ( (� ��5� ��� !���� �N�A��� @�" !�-��
� '��- � !#
μp = 2,79μяд = 2, 79 e�
2mpc. �N�KO�
=� �( �'���� & !�( ���* ����"" "#�5* ���!�5* ��� �!��
p
e
2�� # %�� �+ �,0 �+)�4��0
������������0 ������ 5�� ) 1���D
��0)�)���� ��� @������ A � ����D
����
�� ! (2����"�& U = μ1μ2
/r3� � r3
�� !�(� � ��� ���
?����5 ���!�5 ��� �!5 �" �.
!���� ���!��� ���! ���'�!# ( ".
0� ����"" "#�5� �� � N���� "0� ��.
!����"" "#�5�� ?��!� ! !� ��� ��'.
�� !# �� �& �!* ���* � !�(�& 0�.
� ! �����
ΔE = 2μeμp
r3. �N��B�
?-!�(� -!� �" �!��� ��*��! ( �!
(��� �� �� !�(� � ���& 0���� ��&
��0!5� !� � r ∼ a = �2/mee2� ���.
!��"(( � �N��B� �5��� �( �"( ���!.
�5* ��� �!�� �" �!���� �μe = μБ == e�/2mec) ���!��� �N�KO�� ��"�-�
�� " � "���5* �� �0��'����&
(ΔE)с.т.с. = 2 · 2,79 μ2Б
a3
me
mp
= 2, 79me
mp
α2εБ. �N��A�
�� ( � ���� -!� �� � ���!��� ��� ��� � IBBB ��' 0�"#; �� 5
�" �!����� '��"4-� �� -!� �� ;!�0 � �*!����& !���!��5 � !��"( !
(ΔE)с.т.с. ∼ 10−3(ΔE)т.с. ∼ 10−6 �%. �N��I�
ANB ,�- <- `������+& ������ � �:��
<�� � ���( �6 ��� ����" !���! "#�� �� 5�� ! �� � �� �!�"#��
��0"4�� �� �� 1 �" � ����� &�
/�,� ����F��@�������� �2��.���#�����
&��������� � ���.�
�!��� �5 � !����"� -!� �� ��� � �" �!���� � �!�� ��'��� !
�'���� & !� � �0 !� ����� ������ ���!��� ��� �!� �" �.
!�- �� ��" �� =!� �!� ��� � �05-�� 2����"��4! !��� �0��'���
-!� � ! � !� ������� �������� �������������� G�'�� ! (� 05"� 05
��0�& � ���� !��& �;0��& ����!#� -!� �� �'���� & !�� ! ��.
0!�&� 7� ���� � " � ! ( � ��� �'���� & !� ������������!���
��� �!� �" �!���� �!���5� �" �!�- �� ��" � � �'���� �5� (����
���� �" �!������� ��- � �!� �'���� & !� ��'��� ! 0"�����(
�� ������� ��� �4� %50����5 ' �!�& 2��'5 ��� "��� � ���
���0!�� ��" ��'��� ������� �'���� & !�4�
7�� !� ��!# ��0"� ���� ��"- !� ���� �- !� ��.��0!�"#.
��� �'���� & !�( �" �!����� � �!�� � <� ���"���� -!� � �� ��2.
2 �!��� � ��" � � & !��41 �� �" �!���� (�"( ! ( 6 �!��"#��. �� !.
�-�5�� !�� -!� ��! �6�"#��( �� �( '�� ! !�"#�� �! ����"#��&
�������!5M V = V (r)� 9��� �" �!�- �� ��" ����� �� � !��!# �
��
E = − 1
(−e)gradV = 1
e
dV
drn, n = r
r. �N��K�
�D� # -!� ! ( e > 0�� =" �!���� �0"���( ���!�5� ��� �!��
µ = −Kse�
2mecs, �N����
��� ! ( � �!�� �" �!�- ��� ��" � =� �4 �'���� & !�( ���!��.
� ��� �!� ��" � ����� ��&! ��'�5� �� ���� )5 � !����� (
�� ������ ��"�� !#4 ���"�-��� ��"#'�������� �5; � � ������2 �
�� �(1 ���� !����& !���!�� �
<� !# �" �!��� ��� ! ( � ���� !#4 v = p
me
� < � &� � � ! ��
�! - !�� �('����4 �" �!������ 9��� ����� � � 0���! ���!# ( '��(�5
�!��� � ���� !#4 (−v) = − p
me
� �'����( ���!�� ��"
H = −1
c[v, E] = − 1
mec[p, E]. �N����
?��!� ! !� ��� �� �( �'���� & !�( ���!��� ��� �!� �" �!����
�!� ��" � ���� ! ( �����&
ULS = −µH = 1
mecµ[p, E] = Ks
e�
2m2ec
2[E, p] s. �N����
<-<- � :����/���& ���)�& ��(�)��(+ ANA
)5 �-" ��� � !�� �N����� <�� !��"(( 4�� �5��� � �"( ����(� ���.
! �" �!�- ��� ��"( �N��K� �-!5��( ��� � " � ��0!�"#��� ��.
� �!� [r, p] = �l� ��"�-� �5��� � �"( �� � ��.��0!�"#���
�'���� & !�(M
ULS = Ks�
2m2ec
2
dV
dr
[r
r, p
]s = Λ2 1
r
dV
drls, �N��� i�
� �� � �� ����!���� ��( �"�� ��"�5 �" �!���� Λ = �
mec
�-! ��� -!�
Ks = 2� D�� �(( � �N��� i� � �!��5 � � �� ��!����� ��*��� � ����&
��0��� � ��"#!����M
ULS = Λ2 1
r
dV
drl s. �N��� 0�
9��� �0��'��� �� �( ��.��0!�"#��� �'���� & !�( ��� � .
"( ! ( ��� �!�� ��! �6�"#��& �� � �" �!���� � �!�� � ���� !���
�� �( ���� ! ( ��'"-��& � '�� �� ! �! �� �!�6 ��� ��0.
!�"#��� ��� �!�� % ���� � " � �� ��"#�� �� �" �!���� s = 1/2� !� ��
l � 1 � ��"�5& �"���& ��� �! j ��� ! �����!# '��- �(
j = l − 1/2 j = l + 1/2 �N��N�
� "�-�& l = 0 � �� � !��"( ! �! � �� �� ��"#�� �� �!�� ��.��0.
!�"#�� �'���� & !� ���01 �! �! !�� !�� 9��� �0 !� ��5 '��- �(
�� ��!��� l s ����� ��&! �� '� !���� ����"� ������M
j = l + s, 〈ls〉 = 1
2[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s+ 1)]. �N��O�
�� ( � ��� �N��N�� ��"�-�
〈ls〉 =
{l при j = l + 1/2,
−(l + 1) при j = l − 1/2.
�N��B�
)5 ��;"� -!� �� �( ��.��0!�"#��� �'���� & !�( '�� ! ���
�! ��0!�"#���� !�� �! ��"��� �"���� ��� �!� �" �!�����
9��� �0��'��� �� " ����! "#�5& �- ! �22 �!�� ��.��0!�"#���
�'���� & !�( ��� ! 05!# ���� � � ����1#4 �05-��� ����� .
�( c� �� ��� � �-! �� ����"�! "#��( ��! �6�"#��( �� �(
�N��� 0�� �N��B��/�/� � �����!���# �����# ���3��3��
,"( ������������0��� �!��� �� � !- �& � �!�� �-!5��41&
!����4 !���!���� ����� ��"�-!# ' � "(!� ! ��& ����!���& ! ���
0�'��41 & �� !�� ��'5�� ��� ����� � ,����� 9�-�� !# 2����"5
ANI ,�- <- `������+& ������ � �:��
������� /�� �� ! " ��41 '��- �( �� � ������������0�5*
! ����M
Enj = −RZ2
n2− α2R
Z4
n3
[1
j + 1/2+ 3
4n
], �N��A�
� R = mee4
2�2
3 �� !�(���( G�0 ��� n 3 "���� ����!��� - "��
� j 3 ��"�5& �"���& ��� �! �" �!����� )5 ���� -!� !�-�5& �� - !
�� ! !�! � �� ;!�0 !����& !���!��5 �∼ α2εБ)� -!� 05" � !����" � �5;
�� � ��� �6 ����
9���� �� 1 �" � ����� & ��'��� !� ��� �!� �0 ����"� # �5; �
'.'� ��.��0!�"#��� �'���� & !�(� ?"�0� !# �!�� �'���� & !�(
�����! � �!�� ! "#��& ��"� !� !� � !���� ! �� 1 �" �(� % ".
-�� �������-��� -" �� � �N��I� ��� � "( ! ( ��"� !#4 ���226 �!�
α2 ∼ 5 · 10−5�
8����"� �N��A� *���;� �� 5�� ! � !�"#�� ��!- � � �!�5 H�
HY� VW !� �� � �� � �! ��� � � �!�5� D� # " �� !� ������� ��'�!#
� ��"#�� "�� � ���6��"#��& '��-�� ! ��� !��!5 !����& !���!��5
α ≈ 1/137� %����� ��� -��� -!� � "-�� !����& !���!��5 � ��!- �*
� �!��* ���* �!���� ������6���"#�� α2� 7� �!� � "� � ����-.
�� ! (�
��� -��� � �!�� ���( 3 ����� ��" ��! "#��( !�-��(� �' � * 2��.
��� �!�"#�5* ! !� ��5* ���� � � & ��0�" ��"�� � �"'� ! ( ���.
2�6�� �� ����� �5 ��'5��� M �<���"#��( �"� 2��6( !# �5 .
;�( !�� �# ��'���(�� /����� ��"#��.�0��# �# '�� �� ! ���41&
�� ��"��!� �� ��' � � �!�� ��� " �! �� ����� ��; � '"�� �(�
7� �� ! ! � � "#'(� ����-��( �0J �'"�� �( � �!�� ���- ���
��! ��"�� ��� ��!# ���6��"#�5 ��� �!5 �01 2'- ��& '��-��.
!�� - "� !����5* � ��� ��� �!�� ! ( ����� � �� !�(���& !����&
!���!��5 α� =!� �� !� ���( 0 '��'� ���( � "-��� ��!���4 �����
�0��'���!# ' 2����� �!�"#�5* 2'- �* �� !�(��5* �, c, e� <� ���.
�5� �� AOO�.& ��
1
α= 137,03599993(52) �N��I�
�� ��0��* ���'��� ��� ;�� !# �� " ��* 62��� =!� �- �# 0"'�� � 6 .
"��� - "�� *�!( �!"-� ! ( �! � � �� '� ���4 � "-�� ≈ 3 · 10−2�
?�('# �!�& 0 '��'� ���& ���0��6 ����5* ��� !��! � � �!��"#�5�
'������ ��� !(�� 0"'� !# 1/α � 6 "��� � � !��� � ��� !���� - "�
�� ! "# !��4!� ��.������� � ��"- ����&.!� �- �# "�0���& �('
� ��� �" �!��������& �'��(� �" �!���� e ���� !# �� ��� !��� �(
�" �!�����!�5* ��� � �� !�! c) ����!���& � *����& ��� !�(���(
<"�����)� ?" �� ! '�� !!#� -!� � ����!���& �" �!������� ��� !��!�α�
(�"(( # ! !� ���& *����! � !��& �! � ��� ! ���6 �� �" �!��.
���!��� �'���� & !�(� �5 !��� ! ��"5� 0 '��'� ��5� ����� !���
�� ��0"� ���� � ; � ��!� ! !��41* ����� �& � !���� ! ��
��'��1 �&�
<->- `����5��)�(���+& ����- jj% � LS%��/*! ANK
/�1� �����!��! &��������� � .��8�&���������. ���.�G
jjF � LSF��!2�
G� ��!�� �����" �!����5& �!��� )5 ��"�-� � !�� ��'5�� ��4 '�.
��-� ���* ! "� � ; � ��!���&� ��� � ��� ! &; � "�-� ! �5 !� *
! "� � �"� - ��&.!� 2'� �� � !��"( ! �0�& �# '��4 ��! ��!.
- ��4 ���0" ��� % ����!���& � � *��� ��"�� � ��� ! ( ���01
0 '��� ��5� 3 !�-�� � ; � ���01 � ��'������ /����� �"( ��"�- .
�( � ��!���& �� !�!�-�� �����& �2����6 � ��'����5* � !�(�(*
! �5 !�-�5 � ; �( � ����5� % � ���� ��0"� � �5 �� � 0� .
� � �'���� & !� � �" �!����� � ��� �0�& � ;� � '���-�� ��-�"�
��"��(� -!� �" �!���5 ���4! ( � ��" (��� 0 ' ���*."0� ��'��1 �&
� '�� �� ��� �! ����� C " � �!� ���� ! ( � �0*���5�� !� �� *���
� "� �-! � ��!� ! !��41 ��������
<��; � ������� ' �" �!������ ��� � '���- �0 �!�� ���������
!� ����!��5 - "�3 ni, li, ji� ?��!� ! !��41 ��� �!5 �"��5��4!.
( � �!���� � " �5 �� � 0� � � �'���� & !� � �" �!������ ��"�5&
� *��- �& ��� �! ��� � j =∑i
j i� ���"�-�� ��0!�"#�5& ���.
�5& ��� �!5 ����5 ��!� ! !� ��� l =∑i
l i� s =∑i
s i�
/����� �"( !��� -!�05 ��� � "!#� ��� ���� ����!��5� - "�.
� �� 5��!# � �"#�5& �!��� �'���� & !� �" �!����� ��*��! ( �
� �-!5��!#� C " �'���� & !� �- �# "�0�� ��0!�"#�5� ��� �!��
����� ��0"� ��� ��� !��!# ��0!�"#�5 ����!��5 - "�� ��!��5
�! ��� �!5 � " 05 � �! �! !� �('� D� # �1 !� ��5 ��� 2��.
!���M ��"���� �� �'���� & !� �" �!����� � ��� �0�& �('# ��.
0!�"#��� ������ ��� �!�� �"( ������ ' �" �!������ G�"# �!*
2��!���� ��� � "( ! ( �� �(� �" �!���.�" �!������ �Uee� ��.
��0!�"#��� �ULS� �'���� & !�( ��!� ! !� ���� % '�� �� ! �! �.
�!��; �( � ��� �� �5� "(4! ( " ��41 !��6�
<� ���"���� -!� ��0!�"#�5& ����5& ��� �!5 ������ �" �.
!���� �('��5 "#��& �('#4� � ��� �� ���� �" �!���5 �"(4! "�0��
,��� "����� � ! � !� � ��� � !��
ULS Uee. �N��K�
% �!�& !��6 �" �!���5 ��� 05 � '�� �� 2�����4! ��& ����.
1�! "#�5& !�!� �� !�"#�� ���� � "�; # ���!� 0(�� � !���4! ��
�� ;� �'���� & !� � ����5& �" �!��� � �!� "#�� ! ����� *����.
! �'���!# ����!��5� - "�� � ��"��� ��� �!� j� % �!��5 li si �"(
������ i.� �" �!���� �����"��4!� *�!( � ��0"� ���� �5 " � �� .
6 ����!# ����� ������" �( �� & ���5 j i = l i + s i� �� �0��1�(
�����(� �� ��'��1�41 � & !� ���* �" �!������ � !�"#�� � �.
!��5 j i ��'"-�5* �" �!����� �0J ��(4! ( � ��"�5& �"���& ��� �!
j =∑
i
j i, �N����
AN� ,�- <- `������+& ������ � �:��
�� 6 ��(� � ��4 �- � �#� ����� � ��
=!� !��6( ��'5�� ! ( "�-� � jj. �(' * ��!- � ���""4.
!������� �� � � N���
?"�-�& jj. �(' � !� -� ! ( � ���� @�" �� ��� !��� � ���!����.
"���5& �� � "#�5& "�-�&� ���� � � * �" �!����� �0J ��(4! ( ��
�!� "#�� ! � �!��5 ������ ��0!�"#��� ��� �!�� � ������5
� �!��5
l =∑
i
li, s =∑
i
si, �N����
��!��5 � ��4 �- � �# �0J ��(4! ( � ������5& ��� �! ! �5
j = l + s. �N����
% �!��5 li ���1�4! ( ����� ��"��� ��0!�"#��� ��� �!� �� � ��5
si 3����� ��"��� ��� �� % �!��5� � �� � ��4�- � �#� �� 6 ��4!
����� � �!��� ��"��� ��� �!� ! �5�
=!� �('# ��'5�� ! (LS. �('#4 " �('#4 G� "� :?���� � �� �� !�
���!� 0"(4! !��� ��'���( ������"#��( �('#� �G� ":?���� ��� ��(
�('#�� /�� ���""4 !������� �� � � N��� + �� ���(!#� -!� �� � !- .
�& ��! �&� ���� � �"'� ! ( �� ��!� ��5& � *��'� "�� �( ��.
� �!��� !#
ULS � Uee �N����
�!� -� ! "#���� ��"���� ���� � ��" �!������� �'���� & !�4�
j
j1
j2
s1
s2
l 1
l 2
j
s1
s2
l
l 1
l 2
s
2�� #$ :�,- � jjD��+� �,0 �������D
�� C ��� "���0��� ������� ���?D
�����,?� ���5����? )�)���� .1 � .2
������������ ;���0< �����0 )�)��D
�� /1 � /2 &���"�� ������ ���?����D
�,�� ���5����?)�)��� /1 ����������D
�� �,)) ���1� ��0� ��?8�1��� )�)��D
� / ` /1+/2
2�� #' :�,- �LSD��+� �,0 ����D
�����
D�� !�� -!� '��- �( ���� �" �!����� ����5 si = 1/2� !�� -!� �!
� �!��5 � �� "0� ����"" "#�5� "0� ��!����"" "#�5� 7� � � N�� �"(
0�"#; & ��"(��� ! � ��� �� '�0��� � � �& ��"�
<->- `����5��)�(���+& ����- jj% � LS%��/*! AN�
7������� -!� ��.��0!�"#�� �'���� & !� (�"( ! ( ���(�" �.
� � "(!� ! �* �22 �!��� -!� ��� � "( ! � "��( ��'����� �( jj.
�('� ��� ���� ' �N��A�� �� �( ��.��0!�"#��� �'���� & !�( �"(
���!� ��* �" �!����� �!��� '�� ! �! '��(�� (��� ��� ULS ∼ Z4� � !�
�� �( ��� ��"���� ��( �� �( Uee � �( ! ( �!�� ! "#�� "�0�� <��!�.
�� �� !�� Z ��� *��! �� ! � ��� � 1 � �! LS. �(' � !�����
jj. �('� %� ! ! � � - !�� �� �� " ��(( � �!���* � � !� -� ! (�
% � ��!���� ��0"� � � � & ����� ����!# ";# � "�-� �" �!�����
���!� ��* �0�"�- � !(� "5* �!���� �Z ∼ 90)� ���� � "(!� ! � �2.
2 �!5 ��-��4! ��!# '�� !��4 ��"# 1)� /����� jj. �('# *����! ��� �"(
���"���� ����!���� � &!������ � (�� �
/!� !�� ����� 6� -!� �!�� ! "#��( ��"# ��.��0!�"#��� ��"�.
��� ��� �'���� & !�& ��� ! ���'�!# ( ��'"-��& �"( ��'�5* ����� &
����� �!���� � � '�"#!�! - ����! ��'���!# �5 � ���� ��!�-�5 !�5
�('�% -� !�� !� � � "�-� "( �Z = 2) � ����( �" �!������ � !���
�!���� 1 "�-��' � "#�5* � !�""�� �� 41* ��� �" �!���� �� �� ;� &
�0�"�-� � � �1 !�"( ! ( LM. �('#�
1) 7 1� $ )� ,�� ����� @�) @$�.AAB -�� �������� �������� � ����� =�������
��=��� ���,1 ��� ,� � @Z ` ��B n ` �A �� +� ���� ������ �..... �)d�B -��
������ �)� �� ��������? ���
� � � � �
����� �����
���������� ����
��������� ����������
;���! )�"�) �C� �� )�"�)J )�)�&C� 5�� )�"�) W<
@(���,5��A
1� � ���. 8���!D ����F � ����.��� ���;��
/��� ' �! � � &;* ����!���� *��- �* (�" �& (�"( ! ( � .
62- �� �'���� & !� -� !6� ��'���41 � " � !� * !��� .
!� ��� !� =!� (�" � � �('��� ����."0� �05-�5� "��
� � ! �"� - ��� ���"��� % !� � �� �( ��� � ! ��� ��(��
�!��; � � �0 �����; �� ( � �� �5��1 & "�� ���(!4 ����
,"( �5( � �( �1 !�� � "� �� ��!�� �!�� "(� C� �" �!�����(
�0�"�-�� �� ��! ��� �" �!����� ��- � �"( �* � ! � !� LS. �('#�
,�� ��0!�"#�5 ��� �!� l1 l2 �0��'�4! ��"�5& ��0!�"#�5& ��� �! l�
��!��5& ��"� � 05!# 6 "�- " ��5� ��� ! �����!# !�"#�� '��- �(
l = |l1 − l2| , |l1 − l2| + 1, . . . , l1 + l2.
���"�-�� ��� � �!��� ��� s1 s2� �0J ��(( #� �0��'�4! ��"�5&
����5& ��� �! s� ��!��5& �"( ���* �" �!����� !�� ��"� � 05!# 6 "�.
- " ��5�� 9�� ��� s1 = 1/2 s2 = 1/2� !� ��'����5 !�"#�� ��� '��- �(M
s = 0 s = 1� �!� -�41 "�-�(� ��!����"" "#�5* ����"" "#�5*
���� ��!� ! !� ����
<� �!�& ��-� � '�� �� ! �! '��- �( ��"��� ��� ! ��5 "(
�� ����4! ( �� �� �� �; ��� �!� "#�5 ����5M �� s = 0 �5 ��"�-� �
! ��5 ���������� � �� s = 1 3 ! ��5 ����������
D� # �5 ��"#'���" "��� �! ��� ���� *��(1 �! � - ���
�θερμη� 3 ! �"�!�� ����� ;���� ���!� 0"( �� � � �!�� ��� �!��.
��& 2'� � /�� � ! �5 " �����( �� � �!���� *����! �'� ���
��� � " ��5� '��- �(� ��"��� ��0!�"#��� ��"��� ������
��� �!���
) ��� ! ���� � ���& �!���& ���� � ! �- � �01 �� �� �����.
" ��! 2'- � ��'�5� �!����� ����6���� �� ��� ����� � �('�.
�5� !� � � ��� �� � ! � � *����� ?� �!�� ���- � ��& !�� ����.
��!� "( � '�� ��'"-�4! (�
% ���� " ��"�5& ����5& ��� �! ��� � s = 0� !�� -!� ��"�5&
� *��- �& ��� �! �!��� ������ ! ��"�5� ��0!�"#�5� ��� �!���
>-0- '(��K�: '���� AN�
j = l� % " � !� �!�� � ! ��5 ���� "( �" !�5� ������� ��0.
!�"#���� ����!����� - "� l ��!� ! !�� ! � �� 1 �" ��5& ���� �#
���!� ��� ����!��5� - "�� j = l�
% ��!� " ��"�5& �� ��� � s = 1� �� � �!���� �"��5�� ! (
��"�5� ��0!�"#�5� ��� �!�� l� ����( ��"�5& � *��- �& ��� �!
�!��� j� 9�� ��� � �! !� � �!��� 6 "�- " ��5 � !� j ����� ! !�
'��- �(M j = l − 1, j = l, j = l + 1.
<��!��� ������� '��- �4 ��0!�"#��� ����!���� - "� l ��!� ! !��.
4! !� �����( ��0�� ! ���� ��!� "( �0��'� ! ! �� !��" !��� ��.
0"4�� ��4 �� � �� �!�"#���
���"�-�� 1 "�-��' � "#�5 �" � �!5 Xi� XY� Pi� Sm� Rn� � 41 �
��� "&� ��� �� ;� �" �!����� � ��� !���4! !��" !�5& � �!��
7 �*��( � 0�" "���5 ! �� !- � �� !�� �(� �!� !�� -!� �5.
- " � �� � ��'�6 ���� "(� !� � �� �� � �0*����& �"(
���" �( ����� �" �!���� ' �!��� ���� "(� ��*��(1 � ( � � ������
� !�(�� ��"� � "-��� �- �# 0"'��4 � �� � �� �!�"#�� ��0"4�� .
���� '��- �4 I���� �%�
/0��!� ( � ���6��"#���� ����� � �0 � ������ � !�(� �!����
���� "( �!���� ��!� "(�
% "�-� ���� "(� �"( ��!���� ��"�5& ����5& ��� �! ��� � ��"4�
� �����& ���� �#� �� ��"�� ��5& �� I���� �% �� ��! �6�"� ��'�.
6� *���;� ��� � "( ! ( � �!�� ���- �� � !����� % "�-� �
��!� "(� �"( ��!���� ��"�5& ����5& ��� �! ��� � ��6 � � �.
!�� ���- � " �����( � ��4! � ����& "�� ��!���4 �����
05"� 05 �('�!# � � *���� �� ���� �# "���5� ����!��5� - "��
n = 1� �� ��� !����5� �� � � ������� ��"��� 05!# "���� ����!���
- "� ���� � 3 ��� � �����(� -!�( �'� �� �*� � ������ �� � !- .
��� � !�(�( �" �!�����& ! �5 �!���� %� ! ! � � � !�"#�5
!��" !�5 �� � !- � ! ��5 ��!� "( �!- !"�� ���(�"(4! ( � �
� �!��*� =� � �� �!� !��� �0��'��� '� !��"( ! ���(!# !�! �5���� -!�
� ��!� "( � �������� ! � ��'����5* � !�(�& � ! !�� � !�(�(�
��!��� ��"��� 05!# � ����5��
1��� ���;�� �3��
G� ��!�� 0�" ����! "#�� !�! ! �� ��!� "(� ��!��5& ��"� �
05!# � ����5�� �' � �0 !� ��5* � 6�"#�5* ��& !� �0��1� ! ��
0( ����� !� �0 !�(! "# !��� -!� �� �!�� ����� � ����!��5 - "�
������ ' ���* �" �!����� �!��� "( �������5�
%�.� ��5*� �0� �" �!���� � 4! �������5 "���5 ����!��5 - "�
n1 = n2 = 1� =!� �0 !�(! "# !�� ������ ! !����5� � "�-� ���� "(�
%�.�!��5*� � "� !�� -!� ��0!�"#�� ����!��� - "� l � ��.
� ! �� �� *��!# n − 1� �"( �0�* �" �!����� ��� ��"��� 05!# ��" .
�5�� l1 = l2 = 0� ?" ����! "#��� ��0!�"#�5 ��� �!5� * ��� �6
�������5� ��- � ��(!#.!�� ��� � ��!� "(� !�� � ���� "(�
ANN ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
7���� 6� �.!� !#*� ��5 �0�* �" �!����� ����"" "#�5� !�� -!� *
��� �6 �������5� (s1)z = (s2)z = +1/2� 7� �!� �� ���6��"#��
�!"-� ! ( �! "�-�( ���� "(� � ��5 ��!����"" "#�5�
9��� �0��'��� �"( !�� ! ��� ��!� "(� ��!��5& ��"� � 05" 05 "�.
�!# � ����5� � �� � !- ��� � �!� �!* �!����� ��"�5 ��0��5
����!��5* - " �0�* �" �!����� ��"�� !#4 ������4! ��� ������
� � ��� �!�� ! ��� � ����� � �1 !�� !d
=!� !��6( '� !��"� %�"#2��� <��" ���� ! �01�4 ���� ���
� * '� !�5* �!���5* � �!��� 6 "#4 �5( �!#� � �5����4! " ��� .
"0� 1 ��� � " ��5 ! ��5 � "�-�(* ���* �" � �!��� /��'�"� #�
-!� ���� �5����4!� <�- � ���'�"� #� -!� � ��� ���� ! �� �5����"�
����!��5 - "� �� ���&� & � � ���* �" �!����� ' - "� ! *� ��!��5�
" ����"� 05 �� "(!# �!�! ! ��� ��"�� !#4 ������"�
��5� "����� " ! �� � ��!���� �!��� ������� ! ( !��� �0��.
'��� -!� ��!� ! !��41 �" �!���5 �0"���4! �������5� ����!��5�
- "��� !� !���& ! �� �1 !����!# � ��� !�
% AOI�.� ��� %� <��" ��� ��1�� ����- �� �0�01 � �5����"
��! '�� �� ����;�4 �!� ��� � � -!� �� ����� ����� �� � �!���
� ���! �� ��"��!# ( ��� �" 0�" � �" �!����� ,�"#� &; " ����.
�( �� ��� �� ���!� ��" �!� ��"�� � � &-� �5 ����� � � � ���
� ���6� <��"�
?�1 !��4! ��� 2����"���� �!�� ���6��� /��� ' ��0�"
�01* "� !M � ����� ����!���� � !�(� � ��� ! ��*��!# ( 0�"
����� �" �!�����
)5 ���� -!� �1 !����� (��05 � ������ �n = 1� l = 0� s1z == s2z = +1/2) �����( ��!� "( ���!��� -! �!��� ���6��� <�.
����( ���6�� <��" � ������"��41 '��- � ����� ' � ��-�5*
�� !�"�!�� ! ��� ����� �!� ����!#� -!� �0 ���� �5& ! �� ��!� "(
� �1 !�� ! ��!���� -!� � �1 !����� '��� 1 �� ���6���<��"�
G ;�( '���-� � ��� � �" �!���� � �" �!�� !�!- �����" (���� �5
��"�-" ! �� ��'� ; ��5* ����� & �� �� �� " ����! "#�� '��.
�� �5* �" �!����� �� � � �� "- �( � �� �� <� �!�� ! !� ���
05"� ����!#� -!� �� � (��� � ��'0��� ���� �!�� � �" �!���5 ��"�.
�5 ��*��!# ( �� ���� ��� � ����� � � ���� ��� �� s. � !�(��
� ��� �� ��5& ��5! ����'5�� !� -!� � �!���* �� � � �� !� '��(�� (�.
��� !� � �� � � *�� �! �" � �!� � �" � �!�� ��� *��! �� " ����! "#.
�� '���"� � ����� & �� �� �� ��� !�� !��! ( � ���- ��( .
! �� �" � �!�� ,��� ) �� " ��� � � ��� ���6� <��" ��'��"( !
���(!# �!��
1�"� 0�@��;� E���������
/- ����� -!� �1 !����� �0�"�- -��& !���!��5 �!���� (�"( ! (
���� ' ���� &;* " � !�& ���6�� <��"� �� ��� �� �!�� ('5�
��� ! ( �0J( �!# � ���-�� !# ��& !� *�- �* �" � �!���
>-L- =�"��K� `�� ������ ANO
��� '� !��� � !�0"6 ) �� " �� �" � �!5 �� ��"�� �5 �� ����.
"��� ��!��5 � �����-�"#�� !��" � ��!� ! !� *�- �� ��& !���
�" � �!�� * �!���5 � �� 7� ���� � " � ;�41� 2��!���� (�"( ! (
� �!���5& � ��5 &-� '�� � � �1 !����� '�!������ � �!���5&
��� � Z� !� � - "� �" �!������ �0��1�41* ( ����� (��� � � &!��"#.
��� �!�� �
%� � � " ��41�4 ! ����"�4� ?�������� !# �" �!����� '����.
�5� '��- � � "����� ����!���� - "� n 0�� � ��'5��!# ����� ?"�
�0�'��-�4! ( '�"���5� 0����� "�!� ��� �"2��!�� ��� ����'��� �
!�0"� O�A� >����(!� ����� �� -!� ����� �" �!������ *����! �'� �5* "��.
�5� ����!��5� - "�� n = 1� �0��'� ! K. "�&� �� n = 2 �5 � �
L. "�& !� ��
?�������� !# �" �!����� '�����5� '��- � � ��0!�"#��� ��� �.
!� l �0��'� ! � ������ /0�'��- �( �0�"�- � ���"�-�5 ! �� ��!��5
�0 ����" # � "�� � �!�0"� O�I��
* = � � 5 �� %=�+� -���� ����������0 ���� ��)
n � � � �
%=�+� -���� ���� K L M N O
� �=���"�� -���� ��������� ���� � # �# �� .
* = � � 5 �� %=�+� -���� ����������0 �=���-�� ��)
l � � � �
%=���-� s p d f G
� �=���"�� -���� ��������� �=���-�� � $ �. �� �#
��� �5 � !����" ��� � ����5& "�& �� ��! ��� � " ��� - "�
�0�"�- �� �� ���� � "� n � ! ( n �0�"�- �� � ��!��5* l = 0, 1, . . . ,n− 1�
D�� !�� -!� ���� ! ��� � "�&� '�� �(4! ! ����� ��0�"�-����
� �� !� �� � ���� ��� ! ���� ��0�"�-��� ��"#'�4! "��� ����.
�0�"�-���� )5� ������� 0�� � '� # ��"#'���!# ( �� � ���& ��� ! ��.
��"� &�
% #�� ����5� (�"( ! ( ����� � ��� ! �0�"�- � "� �� 7 !�����
���(!#� -!� - "� ��'"-�5* � !�(�& � �0�"�-� ��� � "( ! ( - "��
��'"-�5* ��� �6& ��0!�"#��� ��� �!� l� �!� -�41 � �!�& �0�"�-� �
!� � 2l + 1� ���� !��� " �� ! �- !#� -!� � ��!� ! !� ���6���
<��" �� '�����5* '��- �(* n, l, m ��� ! �1 !����!# !�"#�� ���
AOB ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
�" �!����� ��- � ��� �6 * ���� ��"��5 � !# ���!����"���5
'���M s1z = −1/2 s2z = +1/2� 9��� �0��'��� �0�"�-�� l � "40��
�50������ "� ��� ! �� 1�!#
Nnl = 2(2l + 1) �O�A�
�" �!������ ,"( � ��5* �(! �0�"�- � ��!� ! !��41 - "� ��� � ��
� !�0"� O�I�
C��� !# "�( ��� � "( ! ( - "�� ��'"-�5* �0�"�- �� � �0��.
'�41*� ��� !#4 �0�"�- �� <� ��"#�� � "� n � ! ( n �0�"�- �
�0 � l � n− 1)� !� ��"��( ��� !# "�( ���'5�� ! ( �����&
Nn =n−1∑l=0
2(2l + 1) = 2n2. �O�I�
,"( � ��5* �(! "� � �!� - "� ��� � �� � !�0"� O�A�
G� ��!�� ! � �# ���(��� '���"� �( �" �!����5* �0�"�- � " �*
�!����� <�� ! &;� (�"( ! ( �!�� �������� �Z = 1�� C� �" �.
!��� � � ������ � !�(� ��*��! ( � K. "� � "���� ����!��� - .
"� n = 1�
<� � � *�� � "4��(�"( ! ( �!���& �" �!����/� !�� ��! ( �K.
"�&� ,"( �0�* �" �!����� n = 1� '��-! l = 0, m = 0� 7� �� ���6��
<��" �� ��"��5 � !# ��'"-�5 ��� �6 ���M s1z = +1/2 s2z == −1/2� � �!� � � % K. "� � 4! ( � !� !�"#�� �"( ���* �" �!������
% �!�� � !�� �� !�� �( !�0"65 ) �� " � �5� " ��( @���� ��'�.
�� � ! ��4 � ���- ��& ! �5� � � *��( ;� '� ;��� �! �� �5��.
1* �" � �!��� 0�" ��� !5*� � �� " ��41�� 0�" "���5�� % ��-�"
������ " ��41 �;�� �5 � � �" � �! '� !��& �" �!�����& ���.
2���6 &� '�! � �� "-�� � '��(� (��� �� ��6� ��0��"( � �" �.
!��� �� � �2 � �" �!�����& �0�"�-�� � *�!� �'��!#� ��� ���� �!�!
�" �!��� (� !�
�!��� � K. "� !# � !� !�"#�� �"( ���* �" �!����� �!� �0�"�-��
- ��5�� ! ( " �� C " ��(�"( ! ( !� !& �" �!���� !� �� ��� ! �!
!�"#�� � L. "�&�
% � � L. "�& ����� ��� !!# N �" �!������ ��!��5 �� �0�"�-���
�� �� � "(4! ( " ��41� �0��'��� %�.� ��5*� � 4! ( ��� �" �!����
� s.�0�"�-� �l = 0)� �!"-�41 ( ��� �! ���� ������" �(� ����
,�" � �� ��"#�� �"( L. "�( n = 2� ��0!�"#�5& ��� �! ��� ! �����!#
!��� '��- � l = 1 �p.�0�"�-���� =!��� '��- �4 ��!� ! !��4! !� ���.
�6Mm = −1, 0, +1� �"( �����& ' ��!��5* ��'����5 �� �� �!�6
���� �!��� 2 · 3 + 2 = 8�
,�" " ��4! �!��5 �" � �!��� � ��!��5* '���"�( ! ( M . "�&� ,"(
� � n = 3� ?" ����! "#��� - "� l ����� ! '��- �( B� A� I� ��� �5 ��
'�� �� �0�"�-�� l = 0 �� ! � !� ���� �" �!������ l = 1 3� �" �!������ �
l = 2 �� 1� ! (2l+1)·2 = (2·2+1)·2 = 10 �" �!������ % ��� ��"�-� ! (
AN �" �!������ ��'� " ��5* �� �������5 �� I� � AB �" �!������ <�� !�(
!�0"� O�K ����'5�� !� ��� �!� ��� *��!�
>-L- =�"��K� `�� ������ AOA
* = � � 5 �� ����� ���� � �=���-��
:���B KB LB M B
n n = 1 n = 2 n = 3
l . � . � � .
m . −1 . +1 . −2 −1 . +1 +2 −1 . +1 .
sz ±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2±1
2
7��1�
�����D
����
� # �#
?�1 !�� ! !���6����( * �� '�� �" �!����5* ���2���6&
�!����� % � & ���'5��4! ( "� � ��� ��� ���� �0�"�-� � ���"����
,"( �� " ��* �����! ( - "� ��*��(1* ( � �* �" �!����� �� ��
����'�! "( ! � ��� 7���� �� " � �0�"�-� p� �!�� (1 & ( � "�4 L�
� ! ( K �" �!����� !� �!�& �0�"�-� !��! ( � ��!� ! !� ���" 2p3�
�!��� �� " ��(�" �( !� !# � �" �!���� ��-�� ! '���"�(!# (L. "�&�
=!� �!��5 VW� X � X� P� h� o� p� hY� �!�� � ��� � ! ��"�� !#4 �����" �.
!�����5& L. "�& 3 N �" �!������ ?" ��41& �" �!��� ������( ! ( �� �
M . "�&� 9��� �0��'��� �5 ��"�-� � hi� Sm� Uq !� ��
< ��5 �� �0�"�-� "�(M �N �" �!������ �0��'�4! �!���& ����!�&
� ��� !�0"65 ) �� " �� 3 �! ��!�( �� ������ =" �!����5 ���2.
���6 ��!�( ����� " ��41 M
Натрий 11hi 1s22s22p63s1,
Аргон 18Un 1s22s22p63s23p6.
?��'���� ""4 !��� ! !�0"� O��� ����'5��41�( '���"� � �!* ���*
� ��5* � ����� � ���- ��& ! �5 �" � �!���
,�"#; � "� � "���( ! (� 7�-��( ��"( ��" � �! g AO�� �0�"�-��
�s '���"�( ! ( ���#; � - � KdM
Калий 19T 1s22s22p63s23p6 4s1,
Кальций 20Pi 1s22s22p63s23p6 4s2.
AOI ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
* = � � 5 �� / �������� ����������0 �=���-�� ��1��0 ��)�
:��� K L M
%=���-� �s �s �p �s �p �d
C ���) ����� -����
��������� �=���-��
� � $ � $ �.
e !��)��� EионB �7
� f ��B$. �
� fM ��B� �
� gQ B�' � �
� hM �B�# � �
h #B� � � �
$ c ��B�� � � �
' i ��B�' � � �
# j ��B $ � � �
� k �#B$ � �
�. iM ��B�# � � $
�� il �B�� � � $ �
�� m\ 'B$� � � $ �
�� no B�$ � � $ � �
�� pQ 'B�� � � $ � �
� q �.B� � � $ � �
�$ p �.B�� � � $ � �
�' co ��B�$ � � $ �
�# nN � B$� � � $ � $
>-3- '(����� \�� � AOK
=!� �����! � ��(�" �4 0�"#;* � ������ 9��� � "��� � �0J.
( �( ! ( ! �� -!� �����4 ��"# ��-�� ! ��!# 6 �!��0 ���( �� �(
L2
2mer2= �
2l(l+ 1)
2mer2
� �1 !� ���( � ��� �"( �0�"�- � 0�"#;� ��.
0!�"#�5� ��� �!��� % � '�"#!�! �� � !- �& ���(��� " �����(
� !�(�& � �( ! ( !��� �0��'��� -!� �� !� �0�"�-� Kd �l = 2) �� �.
!- � �5���� ���'5�� ! ( ��-�"� '���"�!# �0�"�-�� �s �l = 0)�
<� ���"�-��& ��-� '�� ���� ! ( '���"� � �0�"�- � �d �l = 2)
�f �l = 3)�
,"( ""4 !��6 ��� *��(1* � "��� �& ��� � � �" �!����5
���2���6 � ��!��5* �" � �!��M
Скандий 21R] 1s2 2s2 2p6 3s2 4s2 3d1,
Никель 28hW 1s2 2s2 2p6 3s2 4s2 3d8,
Медь 29Pr 1s2 2s2 2p6 3s2 4s1 3d10,
Криптон 36Tn 1s2 2s2 2p6 3s2 4s2 4p6 3d10.
?" �� ! !��� ����(��!# ����� "��!������ " � ���' � "#�5* �" .
� �!��� 3 A� �" � �!�� ��� ��� �N : �A ��! 6 �( �� "4! 6(�� F �!*
�" � �!�� '���"�( ! ( �0�"�-�� 4f � ��"��& ��� !#4 A� �" �!�������
!��� ��� �� '���"� �5 �0�"�-� �s� �p �s �*�!( '� # !��� � .
4! ( � ��!��5 � � �"(��� !�� 7���� �� ���2���6( 6 �( ��" .
� �! �N� !#
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 4p6 3d10 5s2 5p6 4d10 6s2 4f2.
D� # �0�"�-� ���'��5 � ���(�� * '���"� �( �� � � �� !��" .
�( ���5* �" �!������ %� ! ! � � ��� �" �!���5 �������5* s.
p.�0�"�- � ��� � "(4! *�- � ��& !�� �" � �!��� �� ��"#�� d.
f .�" �!���5 ��*��(! ( 0"� � (���� <� �!�& ��-� � "��!���5 �0.
"���4! *���5� *�- �� ��& !����
?" �� ! �!� !!#� -!� � ���5 '�� �;�4! ( 2�������� � ��"��.
!#4 '���"� ��5* �0�"�- �� =!� � �!�5 �'5 HY� hY� Un� Tn� �Y� f^�
=� �( ��'�6 Eион * �!���� ���'5�� ! ( ��� ��"#��& �� ��*
�(��*�� D��- �( Eион �� �" �!���.��"#!�*� ��� � �5 !�0"� O��� 9���
�0��'��� ��!� ! !��41 �!��5 ���'5��4! ( ��0�" � !�&-�5�� �.
�22 � �!�5� � �� ;�� ��'� & !�(��
?��� � ��5 � !��5 ��'��"(4! �� -!�!# �� � ��� ����!���& � *�.
�� �� ��"�� � �" �!����� � �!���* �!���� �� � & !�0"6 ) �� .
" ��� % !� � �� �(� �05-�� �!� � � "� ! (� �' ���"'� � �!��"#�5*
����5* �5( �( ! ( !���( ���!��� ��!���( '�! � ��!�� ! ( ����.
"�� ����!���& � *���� �"� 26�� ! (� !�0�"�� ! (� � " �����
'������ ! (� 7� �!� �� " �! �� �� � "�� ��; � '"�� �(�
AO� ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
1�$� ������ H3���
<���� !���!��5 �" �!�����& �0�"�-� �� � !��"(4! �! � *����.
! � !� 3 ��0!�"#�5&� ����5& ��"�5& ��� �!5 3 � � �!����
<� �� � � �� � � �0�'��- � �"( ! ���� �!����� /05-�� ��"#.
'� ! ( " ��41�( ���"��M
2S+1LJ , �O�K�
� ���� ��( 0���� �L) �!���� ! ��"�5& ��0!�"#�5& ��� �! � �� �05-.
��� ���"� ��� �!�� '�� 5�� ��� '�"����& 0����&M S� P � D !� ��
+ �5& � �*�& �- "���&� �� � 2S + 1 �!���� ! ����5& ��� �! S
�!��� ��'5�� ! ( ��"#!�" !�� !#4 ! ��� �- "� ��'"-�5* �� �!�6&
����� <� ��"#�� ��"- ��� �����! � ��.��0!�"#���� �'���.
� & !�4� �� S < L ��"#!�" !�� !# ! ��� ��� � "( ! - "� ������ �!
!����& !���!��5� /����� ��'��� ���"#!�" !�� !#� �*���( ! ( ��
S > L� *�!( - "� ������ �! !����& !���!��5 � �!�� "�-� ����� 2L+1�
7���� 6� ���& �- "���&� �� � J ���'5�� ! ��"�5& �"���& ��� �!
�!����<�� ��� ��� ! "��!# ���" 2D3/2� �'��-�41&� -!� �5 � �
� "� ! ����� � ��!���� ��0!�"#�5& ��� �! L = 2� �� S = 1/2�
� ��"�5& ��� �! J = 3/2�
G� ��!�� ����� �0 ��� � " � ! ��� � ������ � !�(�( �!����
<� �� � � ����� �- !#� -!� ��"�� !#4 '���"� ��5 �0�"�-� �0"�.
��4! ��" �5� ������5� ��0!�"#�5� ����5� ��� �!��� =!�
!����! ( �- ���5�� " � ����!#� -!� ��� !# �0�"�-� ��� � "( !.
( - "�� ��'"-�5* �� �!�6& � �!���� ��0!�"#��� ��� �!� ����
% "�-� � 6 "��� '���"� ���& �0�"�-� ��"#'����5 � ��'����5
�� �!�6 �!* � �!����� 9��� �0��'��� ����5& ��0!�"#�5& ��.
� �!5 �!��� ��� � "(4! ( �0�"�-���� '���"� ��5� !�"#�� -� !-���
% AOI� � 8���* E��� ����- � � !����"� -!� ! �� � �����.
� � !�(�( �!��� ��� ! 05!# �5� " � � � � * ��'����5* ! ����
����1#4 " ��41 � ����"��
A� 7�� �#; & �� � & �0"��� ! ! �� ��0�"#;� ��'����5� '��.
- � � ��"��� ��� S ��0�"#;� ��� �50������ S) '��- � � ��".
��� ��0!�"#��� ��� �!� L�
C1 ���� ����"� ��'��"( ! ��&! ��"�5& �"���& ��� �!� �!� -�4.
1& � ������� � !�(�4�
I� )�"#!�" !5� �0��'�����5 �����" �!�5� �" �!������ (�"(4!.
( ����"#�5� �!� � �� �( �� ! ! �� !�� ��"��� ��� �!� J)� "
'���"� �� � 0�" ��"���5 �0�"�-�� �0��1 ��5� �!� � �� �( �05.
�� ! �� !�� J)� " '���"� �� 0�" ��"���5 �0�"�-��
=!� �!� ��� � �'��-� !� -!� � "�-� � ���� '���"� �� � 0�" ��.
"���5 �0�"�-� L� ����"#��& �� � �!� -� ! ��"�5& ��� �! J == |L− S|� C " � '���"� �� 0�" ��"���5 �0�"�-�� !� ��� �! J
��� � "! ( 2����"�& J = L+ S�
% !(� "5* �!���* ���! �1 !����!# �� � '���"� ��5 �0�"�-��
% �!�� "�-� ��-�"� ����1#4 ����" E���� ��*��(! *����! � !�
>-6- =�C �������+� $����K+- e������! ���������!�� :�(��������) AO�
�����& ' �!* �0�"�- �� � '�! � �� ��&� ��5� *����! � !��� ����.
1#4 ! * � ����" ��� � "(4! ����� !�5 � � �!����
<��""4 !��� �� ��� ��0�!�4! 2����"������5 ����"�� G� ��!.
�� � ��- !� ��� �� �!�� �" ���� 6� C� �" �!�����( * �� !#
6P : 1s22s22p2 �O���
�" �5& ���& �� � ��� � ���"� �" � �!� �'��-� !� -!� (��� �!���
� ! '��(� Z = 6)�
%���� -!� �0�"�-�� Ip '���"� �� ";# -� !-��M � � & � ! ( ���
�" �!���� �' ; ! ��'����5* �"( �����& �0�"�-��� /0� �" �!���� � .
4! ��0!�"#�5& ��� �! l = 1 ��5 s = 1/2� <��!��� ��0!�"#�5&
��� �! ! �5 ��� ! �����!# '��- �( L = 0, 1, 2� � �� 3 '��.
- �( S = 0, 1� 9��� �0��'��� � ���6� ��'����5 � ��'"-�5* �.
!�(�&� /�� � "� ����� !�5 � ������ � !�(�(� % ��!� ! !�
����"�� E���� �� �!� -� ! ! �� ��� ��"#�5� ��'����5� ����� �
��; � "�-� 3 � ���� S = 1� <� �!�� ��� �6 ��� s1z = s2z == +1/2� !� � ����5 � !�(�( �������5� <��!��� � �" �!����� ��"�.
�5 �!"-�!# ( ��� �6 ��0!�"#��� ��� �!�� �� !��� �0��'��� -!�05
�0 � -!# ��� ��"#�� ��'����� '��- � L� =!� ��'������ "m1 == 1� m2 = 0� 9��� ������5& ��0!�"#�5& ��� �! L = 1 + 0 = 1� <�.
��"#�� �0�"�-�� '���"� �� � � � - � ����"����� !� J = L−S = 0� ?" .
����! "#��� ! �� � ������ � !�(�( �!��� ����� ! �� 3P0� 7��(��
�� ��'����5 � !�(�(� ! ��5 ��!��5* '�� 5��4! ( ��� 3P1 3P2 ��"(
��!��5* ��!� ! !� ��� J = L−S+1 = 1 J = L−S+2 = 2)� =!�� ����.
��� � !�(�( 0�"#; & �� � & ���- ����(� ��'0��� ��5 � !�(�(��
% ��- !� ����� ��� �� �� ��!�� �!�� � "����� �" �!�����&
���2���6 &
8o : 1s22s22p4. �O���
% �!�� "�-� � � �" �!���� Ip.�0�"�-� �� � ���! � !# ����.
���5 ��� �6 ��� �!�� ��� � � ��'����5 K ��'"-�5 ��� �6
��0!�"#��� ��� �!��� % !� ��� ��"#�5& �� �!��� ���� ! ( ���.
�5� S =[
1
2+ 1
2+ 1
2
]− 1
2= 1 �!� �" �!���� � 4! sz = +1/2� � �
- !� �!�� sz = −1/2)� D��- � ��0!�"#��� ��� �!� �� �!�� � !��!
L = [(+1) + (0)+ (−1)]+ (+1) = 1� <� ��"#�� '���"� �� 0�" ��"���5
�0�"�-�� !� J = L + S = 2� 9��� �0��'��� ! �� � ������ � !�(�(
� "����� '�� 5�� ! ( ��� 3P2�
1�'� 0�:���������� 4����;�� I������� ������������
������������
��- !� ��5 �� ��� �( �!�� ! "#�� ���6�� <��" ��'��"(4!
�� � "�!# 6 "5& �(� �5����� � ��& !��* �!����� /����� �� ���* "�.
-�(* ��"��5 ��"#'���!# ( 0�" ��� � " ��5 � ��"- !� ��5 �!� �.
�� �(� ,"( * 2����"���� �5 �!�-�� � ��!��5 �� � !��" �(�
AO� ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
���� ' ��!��5* (�"( ! ( ���(! � !��� !� ��5* -� !6�*� ��!�.
!��� �!� ���(! ���"� ( ��M �" �!���5 �������5� ���!��5 �������5�
�!��5 ��!�( � � ������ � !�(� �������5 !� �� =!� ����� �����!#
!��� -!� �� ������������� -� !65 �5 � ��� � ��'"-!# � � �����
�� � �� �! M "40�( ���( � �!-�� ����"�� %� ! ! � �1 !��.
4! �0J �!5 ����������� �� � !��� !� ��5 � <� " �� �'��-� !� -!� �5
��� �� *�!( 05 �5 " ���� ������ ����!# *� � '�! � �50��!# � �����&
�� " ����! "#�� !� 9����5� ����� �� ����!- � "405 ����� ���.
- � �0J �!5� % -� !�� !� �� "40�4 � -��� ����� ��5 " ���� ��� .
! � !�� ��� ����
< � � �� � !�� ���* ���������� -� !6
(a, b) → (b, a)
�����! � � ��!����� '� � �4 � !�(�( ! �5 �*�!( 05 '� - ! '.
� � �( ��"�� �( �� !����M � !�(�( �� �� " � � !����� � ���.
6� ��'"-�5� % "�-� � !��� !� ��5* -� !6 !���& �0� � � !��
(e, e) → (e, e)
� � ���� '� � �(� � �����!� !� � � !�(�( ! �5 �� �� "
� � !����� � �!-�5� � ��'"-�5�
G� ��!�� ! �� ���* !��� !� ��5* -� !6� �* ��"����( 2���.
6(Ψ '�� ! ��� �! �������! (r1, r2)� !�� �! ���� (s1, s2) �!* -� !6�
/0�'��-� q = (r, s) 3 �������� !# �������! ����5* � � � ��5*
�"( ����& -� !65� 9��� Ψ = Ψ(q1, q2)�
<� � � !������* !��� !� ��5* -� !6 2'- �� ���0"4�� .
�� � � !�(� ! �5 � ��� ! '� �!# (� =!� �'��-� !� -!� ��"��.
��( 2���6( � � '�"#!�! � � !����� ��� ! ���0� ! !�"#�� 2�'��5&
����! "#M
Ψ(q2, q1) = eiϕΨ(q1, q2), �O���
� |eiϕ|2 = 1� % � '�"#!�! ���!����& � � !����� ��"�-� �
Ψ(q1, q2) = e2iϕΨ(q1, q2). �O���
/! 4�� " �� ! e2iϕ = 1� !�� -!�
eiϕ = ±1. �O�N�
=!� '��- �(� 2�'���� ����! "( �!� -�4! ��"���5 2���6� ����" .
!���(41 � �"� �� �O���� � "��(�
Ψ(q2, q1) = +Ψ(q1, q2) �� eiϕ = +1 �O�O�
"
Ψ(q2, q1) = −Ψ(q1, q2) �� eiϕ = −1. �O�AB�
C " ��"���5 2���6 " ��4! � "��4 �O�O�� !� ��!� ! !��41
-� !65 ��'5��4! ( ������� % "�-� � � ���� �5��"�( ! ( � "��
�O�AB�� -� !65 ��'5��4! ( )��������
% � "(!� ! ��& ����!���& ! �� ��"( ����'5�� ! ( ! �� ��� �"� .
�� ��!���& -� !65� �� ��!��5* !# 6 "� - "� �" ��"#�� (�"(4! (
>-9- M������/ 2��)K�/ :(� �$��� �:��� AO�
0�'����� � -� !65 ��"�6 "5� ���� 3 2 ������� =!� �!� ��� .
� 05"� � !����" �� � AO�B � %� <��" ��'5�� ! ( ������� � �����
����� �� ����������� �� ! ( � ���� -!� �� ��0"# 0�'���� ���-�(.
! ( !�! !� @�' :=&�;! &��� � �� ��0"# 2 ������ 3 !�! !�
8 �� :,������ 7 !����� ���(!#� -!� � !����( -� !6�� ��"4-�41�(
- !�� - "� 2 ������� � �� (�"( ! ( 0�'����� !��� ��� ' 0�'����
� ��'����� � "�!# 2 �����
��� �5 �� '�� �� �" �!���5 (�"(4! ( 2 ������� � �!��� � �"� .
� �!�� (! ( ���!��5 � &!���5� �� ��!��5* !��� ��� � s = 1/2�
@�'���� � (�"(4! ( '� !�5 ��� 2�!��5� � !��� � '��5�
1�*� �������! 3��;�! ��� 34��� �����
D� # �� !�� � !����!# ( ���!�� �� !���!�� ��"���5* 2���6&�
�-!5��41* ��"- ��� -� !65� ��� �5 �� "� � ! ( ���6.
��"#�� ��'"- � ��� ��0!�"#�5� ��� �!�� ����� C " � ��5&
�('�� � �� �5��5� ������!�� ����� �������!�5* � & �� �.
!��"( ! ( �� ��!���� �22 � �6�����( �� �������!�� �" �"����
!� �!���& �!� � ���� 0���- ���!� �� & ����!���& *����! � !��&� '�.
�� ! ( � �� !�5� ��0���� - " �� -� !�� !� �� & ��� �6 & �� � #��
?��!� ! !� ��� ��"����( 2���6( -� !65 � ���� '�� ! ��� �! ����.
���!� !�� �! �����& � � � ���& szM
ψ = ψ(x, y, z; sz). �O�AA�
<� ��"#�� � "-�� sz (�"( ! ( � �� !��& � � � ���&� ���0 �41 &
2s + 1 '��- �&� !� 2���6( �O�AA� !# �� �1 !�� �������� !# 2s + 12���6& �������!� % -� !��� "�-� ��� s = 1/2 � � � ���( sz ���0 .
� ! � � ��� '��- �(� �� !� ����& 2���6 ψ ���0�� �� ��!���!#
�� 2���6M
a = ψ(x, y, z, +1/2),
b = ψ(x, y, z, −1/2).
�O�AI�
<�"��4 � ��"����4 2���64 �� �!�� ����� '�� 5��!# � �� !�"06�
ψ(x, y, z, sz) =
(a(x, y, z)
b(x, y, z)
). �O�AK�
������ �!5 a b !# ���"!��5 � ��(!�� ! ��*��� �( -� !65
� ����5* � !�(�(* sz = +1/2 sz = −1/2 ��!� ! !� ���� <�"��(
� ��(!�� !# �0�����!# -� !6� � ��� !�� ! !�-� r !#
dW = (|a(r)|2 + |b(r)|2)dV = ψ+(r, sz)ψ(r, sz)dV. �O�A��
D� # �� � �� �� ��6( ���!��� ���(� �( �"( !�"06� �O�AK�M
ψ+ = (a∗, b∗), �O�A��
AON ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
�� " - � � � ���� � ψ+ ψ � �1 !�"( ! ( �� �05-�5� ����"��
� � ���� �( ��!�6 �� ������ "�-� 3 !��� !�"06���
C " -� !6� ��*��! ( � ��� � " ���� ������ � !�(�� !�
��"����4 2���64 ����� �� � !��!# � ��
ψ1 = a(r)χ+1/2 �O�A��
�"( "�-�( sz = +1/2 "
ψ2 = b(r)χ−1/2 �O�A��
�"( "�-�( sz = −1/2� % �!* 2����"�* � "-�5 χ±1/2 !# !�"065
χ+1/2 =(
10
), χ−1/2 =
(01
). �O�AN�
C " �5 � � � "� -� !6 & � ���� ��"#� !� ��"����( 2���6(
���! ( � ��"(��3 �� !� ���&2���6 �������!� % "�-� � -� !.
65 � ���� s > 0 ��"����( 2���6( ��� ! 05!# �� � !��" �� !�"06��
- "�� ������ �! 2s+ 1�
1�,� E���.���4����! ��.3������� ����;��� �3��
<� " �!* '�� -��& �� ��!�� ! �� ���* !��� !� ��5* -� !6�
<� ���"���� -!� �05-�� "��� �'���� & !� � ��� �� �! �!.
!�� !� >��"#!���� ! �5 !��� '�� 5�� ! ( � ��
H = H1 + H2,
� H1 H2 3 ��"#!����5 �!� "#�� � ���& �!���& -� !6� <� !#
-� !6� A ��*��! ( � ����!���� � !�(� α� � -� !6� I 3 � ����!����
� !�(� β� /0�'��-�( ��"���5 2���6 �!* -� !6 ψα(r1) ψβ(r2)�
� � ����� �( �"( ����-� !-�5* !�6�����5* � !�(�&M
H1ψα(r1) = Eαψα(r1),
H2ψβ(r2) = Eβψβ(r2).
�O�AO�
7� �! � � ! � ��(!�� !# !�� �05!(� -!� ��� �" �!��� ��*��! (
� !�-� (x1, y1, z1)� � �!���& ������ � ��� 3 � !�-� (x2, y2, z2)� ���".
!��� � ��(!�� ! !���� �05!(� �- ����� ����� ���'� � �4
ψαβ(r1, r2) = ψα(r1) ψβ(r2). �O�IB�
D�� # �!� �� ���"�� !� -!� ����� ���� �!# �� ��5! !�! 2��!� -!�
� ��� � ��5& �" �!��� ��*��! ( � � ���& !�-� � � �!���& 3 �� �!�.
��&� /����� �" �!���5 !��� !� ��5 � ��'����� ���� �!#� � ��*�.
�! ( ����& ' ���5 � ��'"-�5* �" �!������ ����� ��� � "#'( ��� " .
�!# '� !�� �!�� & ������ ' �" �!����� �� * ��! � �! !�-� 3 � �#
!�� �!��& !�� � !� ���� !��� 2����"#��& !�-� '� �(2���6( �O�IB�
� ����" !���( ! ��& !�� �� !� �O�O� " �O�AB� ��!��� � ��� .
��� �"( �� ��( -� !6 !��� !� ��5*�
>-<- �"������ �*���� �&����� AOO
,"( !�� -!�05 '�� �!# ����"#��4 ��"����4 2���64� �����
��"��5� �0��'�� �� !�'���!#� <� �!�� �"( ! �5 0�'���� ��.
"�-� �
ψαβ(q1, q2) = 1√2
[ψα(q1) ψβ(q2) + ψα(q2) ψβ(q1)] , �O�IA�
� � "�-� 2 ������
ψαβ(q1, q2) = 1√2
[ψα(q1) ψβ(q2) − ψα(q2) ψβ(q1)] . �O�II�
% �!* 2����"�* �� � � ��������-�5& ����! "# 1/√
2� �� ���"�.
�41& ��'����� !# �������� �� ��6� ����-� !-�5* ��"���5*
2���6& ψα(r1) ψβ(r2)�
C " 05 �5 � " ! �� ' 0�"#; � - "� -� !6� !� ��"��5 05"
05 ���'� ! ��!� ! !��41�4 �� !�'�64 !��� �0��'��� -!�05
�� � � !����� �� �� ���5 -� !6 ��"����( 2���6( ���'�"� # �� !.
�-��& � "�-� 0�'���� ��! �� !�-��& � "�-� 2 �������
9 � �# � �� � !��"( ! !���� ��"�-!# ���6� <��"� % ���� � " �
" ��� 2 ����� ��*��(! ( � ����� ����!���� � !�(�� !� � α = β�
!� ' �O�II� � � �" ��� " �� !
ψαα(q1, q2) = 1√2
[ψα(q1) ψα(q2) − ψα(q2)ψα(q1)] ≡ 0.
=!� �'��-� !� -!� � �1 !�� ! ���* !��� !� ��5* 2 ������� ��!��5
05 ������ � ��� ��*��" # � ����� !��� ����!���� � !�(�� ����
!��� ' �O�II� ����� -!� " 2 ����5 ��*��(! ( � ��������� ������
� !�(�� s1z = s2z � !� ��"����(2���6( ! �5ψαβ(q1, q2) �0��1� ! (
� ��"# �� r2 → r1 �!� � q1 → q2)� ��5� "����� ��� 2 ����� � ������.
��� ������ � !�(� � ���! ������ � ��� ��*��!# ( � ����& !�-�
��� !��� !��� =!� ����� �! ��� !����!# !��� -!� � ��� !��� !� �.
�5� 2 ������ ��'��� ! �22 �!��� �!!�"���� � � �('����
� & !� � ���*."0� �05-�5* "�
�' �O�IA� ����� -!� �"( 0�'���� ����0�5 �!� ��� �( � ��0�.
!�4!M 0�'��5 ���! ��*��!# ( � �������5* ����!��5* � !�(�(* ��.
�! � ����- ��� 0"��!# ( � "� ��� -��� ��� .!� "5 �!!�"����(
� �� �(! !��4! �!�����
1�/� �@.����� �2��.���#�����
�' �� ��'����� ����� -!� 0"�����( ���6�� <��" *����! �
�'���� & !�( ���* !��� !� ��5* 2 ������ '�� ! �! ��"��� �.
�� ! �5� 9���( '�� �� !# ��'��� ! � " � !� ��& !� �� !�
��"����& 2���6 �!�� ! "#�� � � !������ -� !6 �� �1 !�� �!��.
�� ! �"� �����5&� ���� "������5& *����! � * ��� �(� ��� "
��(�� � "��� �'���� & !� -� !6 �! �! !�� !�
IBB ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
%'���� �"(� -� !6� �0� "��" ��� * !��� !� ��� !#4� ��.
'5��4! � ���� �������������� =!� �'���� & !� (�"( ! ( - !�
����!��5� �22 �!�� ������� ! �� � � *�� � �"� - ��& � *��� �
? � ��!���& ��" & � "���� ! �0� ��� �'���� & !� ����� �� �.
!��"(!# " ��41� �0��'��� G� ��!�� ��� �" �!����� ' ��!��5* ���
��*��! ( � �!�� 6 �!��� � !�-� r1� � �!���& 3 � �!�� 6 �!���
� !�-� r2� ����5& �" �!��� ������! � ��!��� �� �( !� � ����� �!�� �
!� � ������ <� �!�� �5 � ��� � ��'�!#� ����& ' �* � ����� �!��
��*��! (� 9��� �0��'��� ��� *��! � �� �5��5& ��0� � �2����6.
&� � ��� �!����� '� ��!��5� �5 � � � !�(� ��0"4��!#� �� ��!��5&
�����! � ���"� ��0"4�� �5� (�" �(��
C " �" �!���5��*��(! ( � ����� ������ � !�(�� !� �� � ���!
"#�� 0"'!# ( � " � !� ���6�� <��" 3 ��'��� ! * �22 �!�.
�� �!!�"���� � � �� ��"#�� 2 ����5 � � �� � ��*��(! ( ��"#;
��� �! ����� - � !�� � '��(� ��5 0�'��5� �" �!�� !�!- ��( �� �(
����� ! (� C " � ��5 �" �!����� �� �!�����5 ���!����"�����
!� ���6� <��" � '��� 1� ! �" �!����� 0"��!# (� /����� �� �!��
�" �!�� !�!- ��( �� �( * �'���� & !�( ���5;� ! (�
�' ��'����� ����� -!� �0� ��� �'���� & !� � �( ! �� �4
�05-�5* ���� �'���� & !�( � " � !� � � �� �� � " �( -� !6 �
��� !��� !� �
7�&� � �������� � �� � ! �5� ��"4-�41 & ��� �" �!�����
7������� -!� " ��5 �" �!����� ����"" "#�5 �↑↑)� !� �5 �.
���� �0 ��!� � !�(�(*� " � ��5 ��!����"" "#�5 �↑↓)� !� �!�
���� � !�(�(� �� ( � ��� '��- � ��"��� ��� ! �5� �! � !�.
(�( ��'5��4! !��� !��" !�5� �s = 1, 2s + 1 = 3) �" !�5�
�s = 0, 2s+ 1 = 1)�
=� �( ��"���� ��� �'���� & !�( �" �!����� �����
V (r1, r2) = e2
r12, �O�IK�
� r1 r2 3 ���� 5.� �!��5 �" �!������ � r12 = |r1 − r2|3 �� !�(�
� ��� ��� <� �01� ����"�� � �� '��- � �!�& �� � �� ! (
2����"�&
〈V 〉 =∫
Ψ∗(r1, r2)V (r1, r2)Ψ(r1, r2)dV1dV2, �O�I��
� ��"����( 2���6( Ψ(r1, r2) �� ���"�� ! ( �����������& � "�� �∫ |Ψ(r1, r2)|2dV1dV2 = 1� ?-!�( � ��" �!����� �'���� & !� "�05�
�� ���� �4 �'���� & !� � �" �!����� (����� �5 ��� � ��0".
� ��� '�� �!# ��"����4 2���64 Ψ(r1, r2) 2���6 &� � ��!���& �" �.
!���5 -!�4! ( ���01 � �'���� & !��41� ��� ������
,"( !�� -!�05 �� !��!# !� 0� ��4 2���64� �-! �� -!� ��"���� ��
>-<- �"������ �*���� �&����� IBA
�'���� & !� ����!- � � �"( ! �� ����� � !�(� ! �5 1)�
<��!��� ��"��4 ��"����4 2���64� �!� -�41�4 ��� � " ����� '��- .
�4 ��� ! �5� ����� �� � !��!# � �� ���'� � �(Ψ(r1, r2, s1z, s2z) = χ(s1z, s2z)Φ(r1, r2). �O�I��
D� # χ(s1z, s2z) 3 �����( -� !#� ��"�� !#4 ��� � "( ��( '��- �(�
��� �6& ��� �� � # z� � Φ(r1, r2) 3 ��� !��� !� ���( -� !#�
7 !����� ���(!#� -!� �����( -� !#� ����" !���(41�( � "��4
χ(s2z, s1z) = +χ(s1z, s2z), �O�I��
�!� -� ! ��!� � !�(�4� !� � ��������� ��� s = 1� C " � �����(
-� !# ��! �� !�-��M
χ(s2z, s1z) = −χ(s1z, s2z), �O�I��
!� �5 � � � "� ���� � !�(� �� ���� ������5& �� s = 0� ?��'��.
�� !����! ( �- ���5�� " �- !#� -!� � "�-� ��!� � !�(�( ��0�
��� �� �!�����5 ��������� � � !������ ���01 � � �( ! �� ��"�.
� �( ����� !��� ��� � "�-� ���� � !�(�( � ��5 ��!����"" "#�5�
!���( � � !������ �����!� *�!( 05 2����"#��� � � ��!����� '� � �4
������ � !�(�( ! �5�
,�" �-! �� -!� �"( 2 ������� �����5� (�"(4! ( �" �!���5� ������
��"����( 2���6( �O�I�� ��"��� 05!# ��! �� !�-��&� <��!��� � "�.
-� ��!� � !�(�( ����� �����( -� !# ��"����& 2���6 �� !�-���
��� !��� !� ���( -� !# ��"��� 05!# ��! �� !�-��&M
Φ(r2, r1) = −Φ(r1, r2), �O�IN�
� � "�-� ���� � !�(�( ����� �����( -� !# ��! �� !�-��� 3 �.
� !�-��&M
Φ(r2, r1) = +Φ(r1, r2). �O�IO�
C " �0�'��-!# - � ' ϕα(r) �����" �!�����4 ��"����4 2���64� !�
�- !�� ��'����� ����� '�� �!#
Φa(r1, r2) = 1√2[ϕα(r1)ϕβ(r2) − ϕα(r2)ϕβ(r1)] �O�KB�
�"( ��!� � !�(�(
Φs(r1, r2) = 1√2[ϕα(r1)ϕβ(r2) + ϕα(r2)ϕβ(r1)] �O�KA�
�"( ���� � !�(�(� % �O�KB� �� � a � 2���6 Φ �'��-� ! ��! �� !.
�-��4 ��� !��� !� ���4 -� !#� � � �O�KA� �� � s 3 �� !�-��4�
��� � 5 α β ���'5��4! ����!��5 � !�(�( �" �!���� � �!�� �����
� ������ � !�(�(��
1) (,�������� ���� �������������� �����,�� ������ � + ���� ������� 4�
�1� � ���� ��,8��������� ��"� ���������) ����D��=�� ����1� + �)��������B
������� ������� ���) �� =�)
IBI ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
9 � �# � !����� '�� �!# �5��� � �"( � �� & �� � �'���� &.
!�( �" �!������ <� ���"��(� -!� �����( -� !# ��"����& 2���6 ���.
������� �� ��6� �χ+χ = 1)� �"� �� �O�IK�� �O�I�� �O�KB�� �O�KA�
��*���
〈V 〉 = 1
2
∫e2
r12|ϕα(r1)ϕβ(r2) ± ϕα(r2)ϕβ(r1)|2 dV1dV2 = Iкул ± Iоб.
�O�KI�
D��� �+� �!� -� ! ���� � !�(�4 �s = 0)� � '��� �−� 3 ��!� � !�(�4
�s = 1)� % �O�KI� �� � �5 �0�'��- �(
Iкул =∫ρα(r1)ρβ(r2)
r12dV1dV2, �O�KK�
Iобм =∫ρ∗αβ(r1)ραβ(r2)
r12dV1dV2. �O�K��
ρα(r) = e2|ϕα(r)|2 , �O�K��
ραβ(r) = e2ϕ∗α(r) ϕβ(r). �O�K��
��� ���� ' ��� � ��5* 2����"� �� �( �'���� & !�( �" �!�����
� !�! ' ���* -� ! &M Iкул Iоб� %5��� � �"( Iкул � ! �"� - �&
�� �� � !��"( ! �0�& �05-��4 �� �4 ��"���� ��� �'���� & !�(�
?"�� �� Iоб �0� "��" �� !��� !� ��� !#4 -� !6 ��'5�� ! ( � ���
������������ % ��"���� ��4�� �4�*��! �05-��( �"�!�� !# '��(��
�O�K��� % �0� ���4 � �� �4 �*��! � "-�� �O�K��� ��!���4 � "����
����� ��'��!# �0� ���& �"�!�� !#4 '��(��� C ������! ����"( | ραβ(r) |2
��� � "( ! �"�!�� !# � ��(!�� ! ������ � ���� ��*��� �( ���* �" �.
!����� � ����& !�-� ��� !��� !�� ��"( "�-�(� ���� �22 �!5 !��� !� �.
�� ! � �-!5��4! (�� /- ����� -!� �!� � "-�� �!"-�� �! ��"(� "
��"���5 2���6 � ���� �!���� �" �!����� � � ��5��4! (� �� ��� �
�!* � "��(* ��-��4! ���(�"(!# ( �22 �!5� �0� "��" ��5 !��� !� �.
�� !#4 -� !6�
%0�"#;� !� "�-� � �0� ��5&�! ��"��"��! " ��<��!��� �� �.
( ��!� � !�(�( �s = 1) ���'5�� ! ( � �#; � - � �� �( ���� � !�(.
�( �s = 0)� =!�! 2��! �� ! ����!���� *��- �� �0� ����� �*�!(
�"( -� !��� "�-�( ���*�" �!�����& ! �5� ����- � � !����" �.
��� ����"� E����� �� ��!����� � � ������ � !�(� �� �" �!�����&
! �5 ��"� � 05!# ��� ��"#�5��
/��'5�� ! (� � ��� �0� ��� �'���� & !� �� ! �1 !� ���4
��"# � �0��'���� ����" �!��& �(' � ��" ��"�*� % ��- !� ��� ��
�� ��!�� ��" ��"� �������� H2�
C " �" �!���5 �'���� & !��41* �!���� ��*��(! ( � ���!����.
"���5* ����5* � !�(�(* �-!� ��!� ! !�� ! ���� � !�(�4 ��" ��.
"5�� !� �� ���! 0"��!# (� % � '�"#!�! � ��� !��� !� � ��� (����
�" �!���5 ���! ��*��!# ( 0�"#;�& � ��(!�� !#4� 2�����( � �!�&
�0"� ! ��" �!����� �0"����� % ��4 �- � �# �������41 � & !�
>-<- �"������ �*���� �&����� IBK
��0"���� �����! � �� �#; �4 �!!�"����( (� � ��� � * ��!(.
� �4 � ��0"����� ���� !��� �� "- � �� !����& �" �!����� �0"� !
��� �( �����!� � ��!� ! !� ��!��; � � � ��� � " ��� ! &�
� �� �#; �4 * � �� & �� !- ��& �� �� % !� ��"��( �� �(
! �5 ����� ! ( ��(�"( ! ( �� !�!�-�� "#�� ��!(� � �!�����
�'��41 ��" ��"� � ���� � !�(��
C " �" �!���5 ��*��(! ( � ��������� ������ � !�(� �-!� ��!.
� ! !�� ! ! � � ��*��(1 & ( � ��!� � !�(��� !� �" �!���5 ���'5��.
4! ( ��� !��� !� ��� ��'� ��5� � ��'�5� �!����� �!!�"���� (� �
� "�� ! ( 3 ����� ��! �6�"#��& �� � �� !� ! ( �� 0 ��.
� -��� ���" � �!���� ��� �! ����� ���� !��� ��'�� !� ! � ��((
U
r0 r
2�� �� / ���)���� �����5� �����
����1�� + �)�������� ��)� �D
����� ��,- � ������������� @↑↑)
� � � ��������� @↑↓) 7���-�� r0
���� +� -���� � ������1� � �����D
��� )�4�, ��) )� ��� ���������1�
���������
�� !- ��( �� �( �" �!�����
�� " � !� �� �( �� !����&
�0"� ! ��� �(�� =!� �����! �
�� "- �4 �� � ! �5 � ��'.
����� ! �0��'���!# ��" ��"� � ��.
!� � !�(��
9��� �0��'��� �('���� � !�(.
� ���* �!���� �1 !�� ! !�"#�� �
"�-� ��"��� ��� s = 0 � �" !.
��� � !�(�(�� !��� ��� � !�(�
� ���� s = 1 �" !��" !�� �.
!�(� � ���'5�� ! ( � � !�&-�5��
D�� �� !# ��! �6�"#��& �� �
�'���� & !�( ���* �!���� ������.
�� �! �� !�(�( r � ��� (���� �"(
��!�. ���� � !�(�& ����'��� ��
� � O�A� ""4 !���41 � ��'���� �
% '��"4- � �!�& "��5 ��&� �
�� �� ��!���� �� 5��41 � �� �.
4 �0� ���� �'���� & !�( �" �.
!������ <� !# �� ��!��5 ��� � ���� �!���� �" �!����� !# s1 s2�
��- �
⟨s21
⟩=
⟨s22
⟩= 1
2
(1
2+ 1
)= 3
4
� ,�" '�� !�� -!�
s1s2 = 1
2
[(s1 + s2)2 − s2
1 − s22
].
/! 4�� ( ��� -!� �0 !� ��5 '��- �( �� ��!��� s1s2 !#
s1s2 = 1
2
[s(s+ 1) − 2 · 1
2
(1
2+ 1
)]= 1
2
[s(s+ 1) − 3
2
].
?��!� ! !� ��� �� ��!��
1
2[1 + 4s1s2] � ! �0 !� ��5 '��- �(
1
2(1 + 4s1s2) =
{ −1, s = 0,
+1, s = 1.
�O�K��
IB� ,�- >- '(��K�: '����J :�(�� �$��)�/ ������� 5�������� `�� ������
/�� �- ����� '�� (! �� ������� � ���� s� ���� �������� ������ � ��
��������� �� 5��41�4 �0� ��� �'���� & !� �" �!������ �����
�� � !��!# � ��
Vоб = 1
2Iоб [1 + 4s1s2] . �O�KN�
/0�01 � �� "�-�& ! �5� ��"4-�41 & ���'��"#�� - "� �" �.
!������ � �� � !��"( ! !����M
Vоб =∑i, k
Jik
[1
2+ 2sisk
], �O�KO�
� �������� ���'���! ( �� � � �" �!����� ! �5� % "-.
�5 Jik ��'5��4! ( �0� ��5� �! ��"�� ��� ���"� Iоб)� /0��!�
����� �� !�� -!� �5��� � �O�KN� �" �O�KO�� �5"(�! �� 2��� !��
� � ��� �� ��!�� �'���� & !�( ����5* ���!�5* ��� �!�� �" �!��.
���� % �� ��!��� ��� &-� "�-� !���( !���!��� Vоб ���� � �('�.
�� ���!�5� �'���� & !� �� � (�"( ! ( ���(�" � � ���6�� <��.
"� D�� !�� -!� � ��� �0� ��5� �'���� & !� � �0� "��" �� (�" �
2 ������ !'�� � �"� �� ! ��� �� �"�� ���& %� > &' �0 ���� ���
�� 5�� ! ( ��"#!������ ��� �O�KO��
� � � � � ��
���������� ��������
6�� ��)� �,B ��� � ��,1,?
@F : ���=����A
�!��� ������ *����! �'� ! ( ��"- � � ��!���� � �� !��� ��.
0��� ��'� ; ��5* � �1 !�����4 ����!��5* � !�(�& 3 � �� !�5*
����� & �� �� D������ ��� ��'��� ! ����� � !��� �� ���� ����"��
��� ��� *��(! � � *��5 � ��� ! � " �5� �����(��
5� � ���� � .�.��� �.�3���� �����
%ANON ��� ��?���� �& ! �� !- ��� � ��'�" ���1�41 � & !�
�""�!- � ��"(�'�����5* � !��5* ��"�� ����41* �� �� !�""� �'
� �!� ��� �( " ����"�� -!� � !���( ��"�� � ! �0 !� ��5& ��� �!
���"# ��
�!�05 �0 �!# ( � ��'������ �� ��!�� '��(� e� ���1�41& ( ��
������& ��0! ����� � z �� � AB�A�� % �!�& !��6 '��(� �'��.
! ���"#�� '"�- � � �� ��"#�� � ���- � � �( ! ( ���"#�5&
re
z
2�� �.� !�������B � 8 ?8����
�� ��,1��� ��=��� @� �=I������?
������ : �����1�A
��� �! �" �!���� d = er �!�� ! "#.
�� (���� D�� !�� -!� �"� �� '���.
��� �" �!������� � ������" �
� z� � �� ����"(���& �"� �� !
��0!5� '"�- � � ! ������4
��"(�'�64� � � ������" �� � �.
� ����"(���� � z� 3 "� &��4�
�!�05 �"4-!# �� " ��44� �� !�.
!�-�� �� ��!� !# ! �� 0�"#;��
- "� ���" &� " ��1* � ����& �"� .
�� !� 9��� � � '�"#!�! �! �2 � �.
6 ��"� �! �!� "#�5* ���" & �.
!��"(41�( '"�- �( � ������" ��
� �� ����"(���� � z� - '� !�
G� ��!�� �!�� ��������� <� !#
��! � �� � '� - ! '"�- �( ��.
"5� !�� -!� ����� ��"#'���!# ( 2����"��� �� 5��41� ������ ���
���1 � �" �!���� ����� (���� <� ���"��� �"( ��� !�!5� -!� �" �!���
��*��! ( �� ������& ��0! ���� � r� C " �"���( ���� !# ���1 �(
�" �!���� !# ω� !� 6 �!��0 ���( "� �����
Fц.б. = meυ2
r= meω
2r. �AB�A�
IB� ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
?"� ��"���� ��� ��!(� �( � (���
Fкул = e2
r2
�AB�I�
������� ;�� ! 6 �!��0 ���4 "�M
meω2r = e2
r2. �AB�K�
/! 4�� ��*��� �('# �"���& ���� ! �" �!���� ���� � ��0!5M
ω =√
e2
mer3. �AB���
<�"��( �� �( �" �!���� �- !�� �AB�K� �����
E = meυ2
2− e2
r= meω2r2
2− e2
r= − e2
2r. �AB���
D� - ! '"�- �( ���� ��0!5 � �( ! (� <� �!��
dE = e2
2r2dr. �AB���
? �- !�� �AB��� ��� �! ���"# � �" �!���� ����� �� � !��!# � ��
L = meυr = meωr2 = mer
2
√e2
mer3=
√e2mer, �AB���
!�� -!� �� '� � � ���� � ��0!5 ���'5�� ! (
dL = 1
2
√e2me
rdr. �AB�N�
� ��"#'�( �AB��� �AB�N�� ��*���
dE
dL=
√e2
mer3= ω. �AB�O�
<� ��"#�� ��"��( �� �( ��� �! ���"# � ! �5 ��" �!��� ++ � !� �*���(4! (� � ! ��� ! ��� �� �4� !�� ��� �! ���"# ��
�('# ��!��5* ��� � "( ! ( ��&� ���& 2����"�& �AB�O�� % "-�� ω ��
�!�� ������ ! -� !�!�& '"�- �(� �� ��"#�� ��� ��� � "( ! -� !�!�
'� � �( ���"#��� ��� �!� '��(�� ��" �!������ �'� !��� -!� � ! .
�� �� ! ( ���6(� �����!��� �� � & dE = �ω� 9���� � ��!� ! !�
�AB�O�� ����! 0�� ! ��� !# ��� �! ���"# � dL = �M �� �!� � "-��
0�� ! �05��!# ��� �6( ��0!�"#��� ��� �!� Lz = m� �" �!���� ��
'"�- � ����� 2�!����
?��'���� ���'5�� ! �� !�� -!� �� �" �!�- ��� ���"#��� '"�- .
� �� ��4! ( 2�!��5 � ����
s = 1. �AB�AB�
.Z-.- Q:�� � ������ ��:��!�� 2����� IB�
<����0� � ���(!# ��- !� ��� �5 " �0 !� ���� ��� �!� 2�!����
�!�� !��� 2�!��L8�!�� � �� � � !� ��� �('�� � � !���& ��"��&�
/ � !���& ��"� �5 '�� �� -!� �!� ��� � -��( ��"�� -!�� " ����! "#���
�"( � ��'����� !� " ��( ��"(�'�6(� % ��!� � �� � ?%�.! *�� �
�� ���-!�4! ��0�!�!# "� &�� ��"(�'������& ��"��&� ��!���& ���.
1 � !# � "� � �� � �� �! � 7� ��'����� � !�"#�� "� &��(� �� 6�.
��"(���( ��"(�'�6(� ��!���4 � ��!� �� � !��"(4! ��� �� "� &�5
�'���� � �� ����"(��5 ��"(�'�6 � ���� 2�' π/2�
% ����!���& � *��� ���0� '� *���5 ��"(�'�6 0��!# � ".
� &�5 � � 6���"(��5 � ������" ��5 � ���!����"���5 !����5
�� ��� AB�I� � AB�I� �� 9��� "� &����"(�'������( ��"�� �� � AB�I� ��
!# �� ���'6( ���* ��"� ������& ��"(�'�6 & ���0���!� ��� � .
��� ����� - "� ������ �!� � � !�� ��� � ��� ������ �!5 �50���5�
k �
y
x
a á â
k
2�� �.� ������+ 5�� �������) 1������ ����U �A �� � ������+ 5��E "A �� �
������+ 5��E �A ������ � ������+ 5�� @ϕ = ZrOSPA
G� ��!�� 6���"(��� ��"(�'�����5& � !� % �!�� � ���1� ! ( ��
����� % �" � �!����& � !���& ��"� � 6���"(��� ��"(�'������&� ��.
�! !�� ! ���1 � � ���� !��� � "� ��� � -�� ! � !��5* ��"� ��".
����& � �!�� �� ����� ��!���� ���1� ! ( � �!�� �� ������" � " ��
��� �4 ��"�5 � !�� " ���!��
<��!��� ( ��� -!� ���� �5 *�!� ����!���� *��- � �� �!# 2�!���
!� ���'5�� ! (� -!� �� 2�!��� � ��� � ��"4� C " 05 �� 2�!��� 05"
05 ��� � ��"4� !� � ! � �� 05 05!# ��"(�'�����
��� �5 �� " ' ���"'� �22 �!� ?���� ���� 2�!��� "�-�� ���.
�!# �� s = 1� F "40�& ����& -� !65 �� �� � ������ A� ��'����5
2s + 1 = 3 ��� �6 ��� �� '0����� ������" � M sz = +1, 0, −1�
F 2�!��� � "� �0 !�! ��- M �� ��� ! ��*��!# ( !�"#�� � ���* �.
���5* � !�(�(* ��� �6(� ��� �� ������" � �� ��� !��� �(�
����5� !�"#�� sz = +1 sz = −1� =!� ��& !�� 2�!��� � �6�� ! (
��� � -�� !#4 � !���& ��" �!�����!��&� ��"�5�
% ���� � " � � " � !� ��� � -�� ! �" �!�����!�5* ��"� � ��.
���� �� � ��� �0 �!�& !��6 �5 ������ � �!�� � ��!����" �
� �!��� �� <��!��� ��!� � �6�� �5& ��"(�'�6 & ��"�5� !� �
���1 � � � �!��� �� ��� ! � !# !�"#�� �� �� �!�6M �� ������" .
�4 �� ��� !��� �( ��"�5 �!� � �� ������" �4 ��"����� � �!��� ��
���!��
IBN ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
<�"(�'�6���� � !�(� �����0J �!�� ���� ���0�� *����! �.
'���!# ����!��5� - "��� ��'5�� �5� �������������� �� ��� � " �4
����5� ��� �6 ��� �� ������" � ���"# �M
λ = 1
p(sp). �AB�AA�
C " λ > 0� !� ����(!� -!� -� !6� � ! �����4 " �������!���4
���"#�� !#� " � λ < 0� ���"#�� !# ��'5�� ! ( " ��& " " ����.
!���&�,"( 2�!���� � ��!� ! !� ����( ��'����5� ��"(�'�6���5�
� !�(�(�� ���"#�� !# ��� ! �����!# ��� '��- �(M
λ = ±1. �AB�AI�
<����0� ����!# � ��& !��* 2�!��� � �����* � � "(!� ! ��&
����!���& � *��� '�!����! "#��� %� ! ! � ����� � "�!# � �
��- !� ��5 �!� ��� �(� 8�!�� ��� ! ( � ���� !#4 � !�� !�� -!�
� ��'����� � � &! � ! �� �! - !�� � 05 �� ����" (� 7� �!� '��-!�
-!� � ��'����� ��'� "!# � ��"�5& �"���& ��� �! �� ��0!�"#��4
-� !# �� �!� � �0 !� ��5& ��� �!�� % �(' �!� �!� ��� � � -!�
�� 2�!��� s = 1� �'��-� ! !�"#�� !�� -!� �!� '��- � !# ���������
��"- !�� ��� �!� ���"# �� ��!��� ��� ! �� ! 2�!��� , "� � !���
-!� 2�!��5 ��'���4! � � '�"#!�! ��� �( �'� � �( � !�(�(� ! .
�5 -� !6 �'��(����� ����� � �� � � *���* �" �!����� � �!���* ���*
�� � !- �* ����� & �� ��� � ?��!� ! !� ��� ��� �! ���"# � 2�.
!��� ��� � "( ! ( �� !���� ���� '� � � ��� �!� ���"# � ! �5
���'�;"� � � '�"#!�! � �� ���( " ��"�1 �(�
/ !����� ( � ���� �����0� �� �"� 2��6 � !�(�& 2�!����
,"( �!�� ��� ������0! ( !��� ����� ���(! � ��� - !�� !#�
5��� I������� ������������ ����@��2�����!
�������� ���������
<��(! - !�� ! ��� � "( ! ��& !�� ��"����& 2���6 �� �� �0.
��'���� �� � �������!� �?��'� ���- ��� �� -!� �!� - !�� !# �!.
"-� ! ( �! - !�� ! �!�� ! "#�� � � !������ -� !6� � ��!���& �5
����" � �� �5��1 & "�� � �(' 2����"�����& ���6�� <��"��
<�� �� �0��'���� � �� � � 4! � ��� �� �0��'���� ' ���"#.
��� �!��� �(M
r → −r �AB�AK�
�� � AB�K� ��� 8����"#�� � & !� �!�� �� �0��'����( '�� 5�� ! ( " .
��41� �0��'��� %� � � �� ��!�� �� � P � ��!��5& � & !�� ! �� ���.
�"�
Pr = −r. �AB�A��
.Z-0- e������! ���������!�� :(��"(�*�����/ ����(��� )��( ���� IBO
v −v
a á
a a
2�� �.� �������� �������1� @�A � ��� ����1� @"A ������ ��� ����=� +� ���
������� @��� 4���� +��� ��A
?��!� ! !� ��� � & !� �!�� �� ��!��� �� ��"����4 2���64 � !�! �
" ��41 �M
PΨ(r) = Ψ(−r). �AB�A��
=!� ����"� ��'��"( ! ��&! �0 !� ��5 '��- �( �� ��!��� P � <�.
� �(( �����5 �!�! �� ��!�� � ��"����& 2���6� �5 ��"��5 ��"�-!#�
�"� �� �AB�A��� !��� !� ��� �� �0��'���� M
P 2Ψ(r) = Ψ(r). �AB�A��
C " �0�'��-!# ���"�� P �0 !� ��� '��- � �� ��!��� P � !� ��!.
��; � �AB�A�� �'��-� !� -!�
P 2 = 1 " P = ±1. �AB�A��
C " � � ��!���� � !�(� ���� ! ( P = +1� !� ����(!� -!� �����
� !�(� (�"( ! ( ������ � !�(� � P = −1 3 ���������
<� !# � ! ( � ��!���( 2���6( �������! f(r)� C " �!� 2���6(
� � �( ! ( ��� �� ������!�* ! �5 �������!� !�� �� �� �0��'�.
��� �� � � !� ��� ��'5�� ! ( ��"(���� C " � ��� ������!��
�!�� ! "#�� ������!��� �� � �( ! '��� �� �� �0��'���� �� � � !�
��� ��'5�� ! ( � ��� ��"(����
���"�-�� � 4! ( ��"(��5 � �!��5 �� �"#�5 � �!��5 �"
� ���� �!��5�� � ! � ��� � ��! 0( �������� �� �� �0��'����.
(* ���1 �( ! � �������! 3 ��� �05-�5 � �!��5� % !� � �� �(
��"(��5 � �!��5 *����! �'�4! ( ��� � " ��5� ������" � � � ���.
!��� !� � !��� ��� ������" � � ���� �!���� '��� ! ( � "����� � ��!.
� ! !� �50���� ��"��! "#��� ������" �( ���1 �( ������ �� ��
����"� 0����-���� <� �!��� � � ' ���" �� � AB�K� ��"(��5 � �!�.
�5 ��� � �(4! ������" � �� ���!����"���� � � �� �"#�5 � �!��5 ���
������" �( � � �(4!�
8����"#�� � & !� �� ��!��� �� � P �� ��"(��5& ��� �� �"#.
�5& ��� � �!��5 '�� 5�� ! ( " ��41� �0��'��M
Pv = −v, Pa = a. �AB�AN�
IAB ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
<�� ��� ��"(��5* � �!���� (�"(4! ( ���� .� �!�� !�-� � � �!��
���"# �� � �!�� ����(� ��� ! �" �!�- ��� ��"(� !� �� <�� ���
�� �"#�5* � �!���� (�"(4! ( � �!�� ��� �!� ���"# �L = [r, p]� � �!��
����(� ��� ! ���!��� ��"( �� � �!�� ��� � !� ��
5�"� I������� ��������.�7���4����7 �@J�����
7�&� � - !�� !# -� !65� �('����4 ��� � � � 6 �!��"#��� ��" �
/��'5�� ! (� � !�6������� � !�(� ��"����( 2���6( ��� ! 05!#
�� � !��" �� � ��
Ψ(r) = R(r)Ylm(θ, ϕ),
Ylm(θ, ϕ) = eimϕPml (cos θ).
�AB�AO�
D� # Pml (z) 3 �� � �� ��5 ��"���5 + ������M
Pml (z) = (−1)m(1 − z2)m/2 dm
dzmPl(z),
�5����41 ( - � ' �05-�5 ��"���5 + ������M
Pl(z) = 1
2ll!
dl
dzl(z2 − 1)l.
%-� !�� !�P 0l (z)≡Pl(z)� <����0�� � ��& !��� �!* ��"����������
��'�����!# ( � "40�� �- 0�� �� ��! ��!- ��& 2'� � ,"( �� �
�� !�!�-�� !��� -!� �! ��"���5�0"���4! ! � ��& !���� -!�Pml (−z) =
= (−1)l−mPml (z)�
<� �0��'���� �� � ���! ( � 2 �- �* �������!�* �
'�� � θ → π − θ,
ϕ→ π + ϕ.
�AB�IB�
?��!� ! !� ��� �"( ��"����& 2���6 �!� �'��-� !
Pml (cos (π − θ)) = Pm
l (− cos θ) = (−1)l−mPml (cos θ),
eim(π+ϕ) = (−1)meimϕ,
Ylm(π − θ, π + ϕ) = (−1)m(−1)l−mYlm(θ, ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ) .
�AB�IA�
9��� �0��'��� � !�(�( ��� � " ��5� �"��5� ��� �!�� � 4! - !.
�� !# (−1)l�
<� !# ! �� � !�! ' -� ! & A B ������ �� �!������ ��!��5
� 4! - !�� !#PA PB ��!� ! !� ���� � "�PA PB ��'5��4! ( ����
������ ��������� -� ! & ! �5 �('��5 ���!� ��� ! � �(�
��0��5� 9��� ��"����( 2���6( � & ! �5����� ���'� � �4��"��.
�5* 2���6& -� ! &� ����� ����� �� ��"����4 2���64 �!�� ! "#���
.Z-3- ?�)�� ��#(�����/ $������� IAA
��� �(� <� �!�� ��"��( - !�� !# ! �5 ��� ! 05!# �� � !��" ��
� ��
P = PAPB(−1)l, �AB�II�
� l3��� �! ���"# � �!�� ! "#��� ��� �( -� ! &A B� � (−1)l 3
- !�� !# ��"����& 2���6 �!�� ! "#��� ��� �(�
=" � �!���5� -� !6�� ��� 5��4! ���!� ��44 - !�� !# " ��4.
1� �0��'���
C " -� !6� 3 0�'��� !� �'� �"4- � � 2�!���� - !�� !# ��� !
� !# ��� � " ��� '��- � ��� � "( ! ( ' �� � �� �!��� � ��!�.
�5* ��� *��(! �� ���1 �( -� !6� �� �5��"�( ! ( '���� �*��� �(
- !�� !�
C " -� !65 � ���� s = 0 �0"���4! - !�� !#4 P = +1� !� *
��'5��4! ��������� ������� � " - !�� !#4 P = −1� 3 !� �������
��������� �������
,"( 2 ������ ���!� ��(( - !�� !# � ��� � " �� ����'��-��� �"(
�* ����! ( ������������� ��������� ��������� !� � - !�� !# �� �!.
��; �4 � � ��!��5� 2����� �!�"#�5� -� !6��� % -� !�� !� �"( �" �.
!����� ���!��� � &!���� ��������
P = +1. �AB�IK�
5�$� 6���� ��7������! 4�������
G� ��!�� ! ��� � !�(1�4 ' n -� !6� �'���� & !��41* ���
����� \ " �� ;�� ��" �� D��; � ����� � c� �� �� �"(
!���& ! �5M
i�∂Ψ
∂ t= HΨ, �AB�I��
� ��"#!���� �� � !��� � ��
H = T + U . �AB�I��
D� # T 3 �� ��!�� �� !- ��& �� � �0��'�41* ! �� -� !6M
T =∑
i
p2i
2mi
, �AB�I��
� U 3 �� ��!��� �� 5��41& �'���� & !� -� !6 � ��� �0�&
�� ;�� ��"(�� /- ����� -!� �� �0��'���� �� � �������!
� � �( ! �� ��!�� T �
�!� �� � ! ( �� ��!��� �'���� & !�( U � !� �05-�� �� !��� ����.
��! � �� �!��; �4 � �� �0��'����4 �� � � 7���� �� " � !
� !� ����� �'���� & !� � ��� � "( �� !�"#�� �� !�(�(� � ���
IAI ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
-� !6��� !� �� �4 �'���� & !�( -� !6 ����� '�� �!# � ��
U =∑i, k
U0( |ri − rk | ). �AB�I��
?��& !�� ������!�� ! (P U) = U �"( !���� �'���� & !�( �- �����
%'���� & !� -� !6� �0"���41* ���"#�5� ��� �!�� �� �" �!�.
- �� ��" � � -� !6� � 41* ���!�5& ��� �! µ� ���!�5�
��" � ��
U(d,E) = −dE, U(µ,H) = −µH, �AB�IN�
!��� (�"( ! ( ������!�5�� �� ��"#�� � � ���� "�-� � �� ��!�� U
�*��! ��"(��� ���'� � � ���* ��"(��5* � �!����� � �� �!���� 3
���* �� �"#�5* � �!����� ���"�-��( !��6( � ! � !� � ���.
* "�-�(*� ���� �� �! !�� ! �05-�� �" �!�����!�� " "#��
�(� ��� � �'���� & !� �
�� ( � ��� ��'���� � �� ���"���� -!� �� '� � � '���� ����.
���! � "�� �5 � ��"#!���� � !�4! ( 0 ' '� � �(� =!� '��.
-!� -!�
P (HΨ) = H(PΨ), " P H − HP = 0. �AB�IO�
9��� �0��'��� ��"#!���� �� ��!�� - !�� ! �����!��4! ���
����� � " ����! "#��� �� �( - !�� !# ���! � !# ������ � ���
��� � " ��5 '��- �(� C " � ��-�"#�5& ��� �! - !�� !# � "� ��� � .
" ��� '��- � � !� ��� (�"( ! ( �*���(41 & ( � "-��&�
<���� � �!� � � � �� � � !� ��� �� ��!���( ���"464 ! �5�
<� !# � ��� �! t = 0 � ! ( � !�(� ��� � " ���& - !�� !#4�
9���� �"� �� ����� �4 �AB�I���
Ψ(r, t+ Δt) = Ψ(r, t) + 1
i�HΨ(r, t)Δt =
(1 + 1
i�HΔt
)Ψ(r, t). �AB�KB�
/� ��!��� !�(1& � ��0��*� (�"( ! ( - !�5�� <��!��� ' �AB�KB� " .
�� !� -!� 2���6 Ψ(r, t) Ψ(r, t + Δt) � 4! ��������4 - !�� !#�
% -� !�� !� " Ψ(r, t) 3 - !��( 2���6( �������!� !� Ψ(r, t + Δt)
!��� - !��( 2���6(� ,��� "����� �� �� �� �� � � �� ��"5&
;�Δt - !�� !# ��"����& 2���6 � '� �"� #� 7� �!� '��-!� -!� ��
�� �� "40�& ��� -�5& 3 � ��"5& 3 ;� ��� � !��"(41& �4
��"5* ;���� - !�� !# � '� �! (�
?��'���� � !��"( ! �� ���� ������ ���������� ��������M "
��"#!���� ! �5 � � �( ! ( �� �� �0��'���� �� � �����.
��!� !� - !�� !# ��"����& 2���6 �*���( ! (�
��� " �� ! ' ��'������ � �" �!�����!�5* ���6 �* - !�� !#
��"��� �*���(!# (�
.Z-6- e������! � )�����2�)�K�/ �����/��& 2������ IAK
5�'� I������� � ������ ���;�! �����!��# ������
8�!��� ��� �� ����"� #� (�"( ! ( 0�'����� /����� �� ��� ! ( �
���� !#4 � !� �"( � � � ��'����� ����'��-�� ��'� "!# ��"�5& �.
"���& ��� �! �� ����5& ��0!�"#�5&M � � !�(� ��� � "( ! (
��"�5� �"��5� ��� �!�� j� F"���& ��� �! ��� � "( ! !� �� !�
'"�- �( �!�� ! "#�� ���1 �( ��� � "( ! �� �� � " � '"�- �(
�� ������" �(�� =" �!�����!�� '"�- � ��"�5� ��� �!�� �.
��"# � j = 0 � ��'������ �� ��"#�� ��� �0"���"� 05 2 �- ��& �.
� !� &� =!�� ������� � ��'����� � " � !� ��� � -�� ! �" �!����.
�!�5* ��"�� <��!��� � �� ���'5�� ! ( j � 1� �� !� � ��!���& ��" &
� "���� ! ����(!� -!� �� 2�!��� ��� � ��6 � !� � ����"#�� ��'.
������� ��� �!� ���"# ��
C " ��� �! 2�!��� ��� � j� � - !�� !# P � !� � � !�(� �0�'��-�4!
���"�� jπ� � π = signP 3'��� - "�P � 7���� �� �� j = 1, P = −1
� � ���" 1−�
8�!��5 ���! �0��'��5��!# ( '� - ! '� � �( ��"�� �& '��(���
" ���!�5* ��� �!�� -� !6� �0��'�41* '"�-�41�4 ! ���
?��!� ! !� ��� ��'"-�4! " ��41 !�5 2�!�����
A� 8�!�� ��� �!�� j - !�� !#4 P = (−1)j ��'5��4! 2j.��"#.
�5� �" �!�- �� 2�!���� �0�'��-�4! ��� Ej.2�!�� ������ ��
E1, E2, . . . )� D��- � j = 1 �!� -� ! ���"#���� �2j = 2) '"�- �4�
j = 2 3 ��������"#���� �2j = 4) '"�- �4� j = 3 3 ��!���"#����
�2j = 8) '"�- �4 !� ��
I� 8�!�� ��� �!�� j - !�� !#4P = (−1)j+1 ��'5��4! 2j.��"#�5�
���!�5�2�!�����0�'��-�4!���Mj.2�!�� ������ ��M1, M2, . . . )�
9��� �0��'��� ��'����5 " ��41 � !�(�( 2�!����M
E1 (1−), E2 (2+), E3 (3−), . . . ,
M1 (1+), M2 (2−), M3 (3+), . . .
�AB�KA�
�� ��0��* ���'��5 �"#! ���!��5 �0�'��- �( !�� 2�!�����
% -� !�� !� �� �" �!�- ��� ���"#��� '"�- � �0��'�4! ( 2�.
!��5 ��� �!�� j = 1 - !�� !#4 P = −1� =!� 2�!��5� �0�'��-� �5
���"�� EA " 1−� <� ���!��� ���"#��� '"�- �� ���� � �(.
! ( ���!�5& ��� �! ! �5� �0��'�4! ( 2�!��5 ��� �!�� j = 1
- !�� !#4 P = +1� =!� 2�!��5� �0�'��-� �5 ���"�� M1 " 1+�
��- !� ��� ���(!# ��'�6� � ��� ��� � ��5� "�-�(� ����� '
" ��41* ��0��� �&� =" �!�- �� ���"#�� '"�- � ��'��� !�
���� � �( ! ( ���"#�5& ��� �! ! �5 �� 7� � �!�� � (�"( ! ( ��"(�.
�5� � �!����� � - !�� !# ����� −1� =!�& � - !�� !#4 �0"���4!
'"�-� �5 2�!��5� 7������� -!� � �!�& !��6 � �!��5 ����(� ���.
! ��"( � � � ��"#� & '�� ����5
E = 1
c2r[[dn]n], H = 1
c2r[dn]. �AB�KI�
IA� ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
)��!�� ���"#�� '"�- � ��'��� !� ���� � �( ! ( ���!�5&
��� �! ! �5 µ� 7� � �!�� µ (�"( ! ( �� �"#�5� � �!���� � - !.
�� !# ����� +1� =!�& � - !�� !#4 �0"���4! � ��� �5 2�!��5�
<� �!�� �" �!�- �� ���!�� ��"( � ��"#� & '�� ����5
E = 1
c2r[nµ], H = 1
c2r[[µn]n]. �AB�KK�
)���� !��� ��'�!#� -!� �" �!�- �� ���"#�� '"�- � � �6.
�� ! ( � 6""(6(� '��(��� '����� �5� ��"(��5� � �!����� )�.
�!�� � ���"#�� '"�- � � �6�� ! ( ���1 � � '��(��� !� �
�����5� !����� � � �(41� ( �� �!��� � '����� �5� �� �"#.
�5� � �!���� � �� �� � � AB�K � �!��5 � � ��!� ! !� �����
?" �� ! �!� !!# ����� �0 !�(! "# !��� % �!�� ���"#��� ��� �.
!� ��� � "( ! ( ��"�� � � '��(��� � ��� !��� !� � d =∑ieiri� !���
��� � �!�� ���!��� ��� �!� ��� � "( ! ( !��� ���� !(� '��(����
µ = 1
2c
∑iei[ri, vi]� <��!��� �! � ��� !# ���!��� ���"#��� '.
"�- �( IM = 2µ2
3c3
�� ��! ����"�! "#�5& ����! "# ∼ (υ/c)2 ��
���� �4 �! � ��� !#4 �" �!�- ��� ���"#��� '"�- �( IE =
= 2d2
3c3
� =!� '��-!� -!� �� ��"5* ���� !(* ��� �(* -� !6 �υ � c)
��������!# 0�� ! � ��� �" �!�- �� '"�- � � " �� ����."0�
��-��� ��� � ���� ! ( '��� 1 ��5� " "#�� �����" ��5� �� ���.
� �4 ���!�5� '"�- � ��� ? !�-� '� �( ����!���& � *��� ���.
�� �!� ��� � �'��-� !� -!� � � *��5� �('���5 '� � � � ���!.
��� ��� �!�� ��"��5 ���! ��!# ��"�& � ��(!�� !#4 �� ���� �4
� � *����� � �1 !�"( �5� �� '� � � ���"#��� ��� �!��
9�-�� !��� �! � ��� !# ��������"#��� '"�- �(� �"� ��
�" �!������� � ��� � "( ! ( 2����"�& IQ = 1
180c5
���
Q2
αβ ∼ IE (υ/c)2�
%��01 � �! � ��� !# �" �!�- ��� j.��"#��� '"�- �( IEj ∼∼ (υ/c)2(j−1) IE � � �! � ��� !# ���!��� j.��"#��� '"�- �(
IMj ∼ (υ/c)2j IE ��� �5 "� IE ≡ IE1)� <��!��� � �05-�5* � "��(*
� �� ������ ! �" �!�- �� ���"#�� '"�- � � =!�! �5��� �5
�-! � �� �� ���"' �!���5* ����6���5* � � *�����
<�� � ��5 �5; 2����"#�5 �5���5 ����� ��( �!# ����1#4
0�" ��"(��5*� *�!( � !��* ��0��� �&�
C "2�!�� ��1 �6 �!��� ! �5� !� �!�� ! �( !����"#�5&��.
� �! ��"- !�� ��� �(� �('���5& !�"#�� � ���� 2�!���� !� � �!��
! �( ! ��6� ��� �!�� C " � �!�� �� �� ! 2�!�� ��� ;���� �-!� �.
�!� ! !�� ! 2j.��"#���� '"�- �4 j � 2�� !� !��� �� ���� !�� ��! �(.
! 1 � ��!��5& ��0!�"#�5& ��� �! ��"- !�� ��� �(� 7� �� .
��� ��� � � ��!� ����!- � � ��'������ , & !�! "#��� " 2�!��
�� �� ! ( ' ���( �!��� ����.!� ��� �!�� ��"- !�� ��� �(� !�
.Z-9- '(����� ��"�(� IA�
���� �� ���&� & � � -!�!#� -!� � ��� �! �� ���( ��"����( 2���6(
2�!��� �� ���4 �!��� 05"� � "��� � �� � * � !�"#�5* � !�* ��"�� 7� �!�
� ��'������ ,"�� ��"�5 � !� �� "!���∼ 5000◦
U= 5 · 10−5 �� � ��'� �
�!��� ���(��� 10−8 �� D��-!� ��"�� ����� � !� � �BBB ��' 0�"#;
��'� �� �!��� ' � � "#'( ���������!# !���4 Ψ.2���64� ��!���(
05"� 05 � !� ��'� ��� �!���� <��!��� � ��!� �1 !�� ! � !�� ���.
�"�M ��� �! ��"- !�� ��� �(� ��� �5& � !��� � �� ��� � ���
2�!��� � ��6 ��
� �� ��� 2�!��� ��� ;��� �!��� ���&� ��"�� ��(!��� % ��(!�� !#
'"�- �(� ��� (1 � ��� �!� ����5& � ��6 � � ���&� � � 107÷108 ��'
� �#; � - � '"�- �(� ��� (1 � ��� �!� ����5& ��6 �
5�*� ������ ��@���
<� !# �� ����!���4 ! �� ��"�� �� �� ;� ��'� & !� � /���.
-� ( "�-� �� ���� ! �� ��*��! ( � ��" �" �!�����!��& ��"�5�
@�� � -!�!#� -!� �!� ��"�� � '���� ��� !� � �"( �! � �41 & �� ���5
����� & �� � E1 E2 �5��"� �� � "�� @���M
�ω = E2 − E1. �AB�K��
F "�� �AB�K�� � �0*����� �� � �� !�!�-��� %����4 ��"# �� !
!�� ��� '� �( ! ( ����!��� � !�(� ! �5 �� � � *�� �����
�����( �� � �� ����&� )5 *����! �'� � � !�(�( ! �5 ��.
��1#4 ��0��� ����!��5* - "� �* '� � �( ��� � & !� � '"�- �(
�!�4�# � ���'��"#�5� -!� �����! � �1 !�����4 ���"� ��� � .
" ��5* ����- �&� ����" �!0���� � !����"��41* ���� !�5 ����.
!��5 � � *��5 � ��� �����(� �� � ! �5 �� ��"�� � �� �
�� ;� � ��'� & !�(�
G� ��!�� ����6���� ��'� & !� � !� � �� ��� " ��"�1 .
� 2�!���� 2����"�� � � ����5 ����"� �!0����
8'- � �� �0 ��� � ����" �!0��� � -# � ! �0 '"�- � �" �.
!�����!�5* ��"� �" �!������=" �!���� !� ��.� ��5*� �" �!�- �&
'��(�� ��.�!��5*� �0 !� ��5& ���!�5& ��� �!� ? �"� - ��& !�-�
'� �( �� ��� � !� ��'����� "0� � � '�"#!�! ��� �( �" �!�- .
��� '��(��� "0� � � '�"#!�! ������!� ���!��� ��� �!��
%5; 05"� � !����" ��� -!� �� ��� � !�� �('���� ���!.
�5� ��� �!��� *�!(� ���01 ����(� �1 !�� !� �� (�"( ! ( �- �# "�.
05�� % ��!- ��& � �!�� ���� " � '�-�!# �- �# "�05 "��
!� �� ��� � � !�� �('���5� � � ����!�� �0 !� ���� ���!��.
� ��� �!� �" �!����� ����� �� � 0� �!#� % � ������ �� ��� � !�
�('��� ��� � � '��(��� � � � ����5� ���!�5� ��� �!�� �" �.
!����� ?" ����! "#��� �� " ��& � ��"� � � �(!# ( �� '"�- �� !� �
�� � � *�� �����( �� ���� �#� /! 4�� �5! �� ! � ��� ����"�M
ΔS = 0. �AB�K��
IA� ,�- .Z- @� ��K����+� :�(�#� +
?" �� ! !�"#�� ����!#� -!� �!� ����"� � (�"( ! ( �- �# !����
�- �# !�-�5�� /�� � ��� �"( "#�5* "�&�
,�" �-! �� -!� � ��(!�� !# !��� -!� ��1 ��5& 2�!�� �� ! ��.
� �! ���"# � 0�"#; ��65� ��"�� �� ��"#�� ��"�� ��(!�5� (�"(.
4! ( ���6 5 ��"#!��"#�5 ���������"#�5 � ��!���"#�5 !��; ��
<��!��� �� �� ��� 2�!��� �!�� ! �( ! ��6� ��� �!� ��� ��"�.
1 �� �- ����� ��"�-� !��
?-!�(� -!� '"�- � (�"( ! ( �" �!�- �� ���"#�5�� '��"4-� ��
-!� �� �� ��� � !� ��� ! ( ��-�5& ��� �!� C " � ! �; "
� ������" � �� !� �� �� ��-�� ��� �!� �!�� � ������" �(�
� �!�� � !�" �� ��6� �"�� " ����- M ΔJ = ±1� C " � ! �&� !
� � �� ����"(���� ������" �� !� � �!�� � '� �! ( �� ������" �4�
� � �� � "-� M ΔJ = 0� <�� �6( � �!��� � � �( ! ( !�-�� !��� �
�0��'��� ?" ����! "#��� ! � � *��5 ��'����5� �� ��!��5* �� ���
���"�1 � � ����� 2�!��� ��������� ! ( �� ��!� ��5� �5; '� .
� �(� ����!��5* - " J mM
ΔJ = 0, ±1, Δm = 0, ±1. �AB�K��
/ �05& "�-�&� ���� ��-�"#�5& ��� �! �!��� ��� � ��"4� <� ��"#��
2�!�� �0('�! "#�� ��"� � �� ! ��-�5& ��� �!� !� �� '����� �*��.
� �( ��� �!� �!�� ��"� � ��"�-!# ��-�5& ��� �!� 7��0���!� "
� � '�"#!�! �� ���( 2�!��� ��� �! �!��� ���'�" ( ����5� ��"4� !�
" �� ! ��'�!#� -!� �� '"�- �( �!�� � " ��-�5& ��� �!� % ����
� " � ��� -�5& ��� �! ! �5 ��� � ��� �!� 2�!��� �!� � ��6 �e
��-�"#�5& ��� �!� ����5& ��-�"#���� ��� �!� �!���� !��� ��"� � ���.
�(!# ( ��6 � 9��� �0��'��� � �����&� � �0�& !��6 � ��'�����
����"� ΔJ = 0� ��� �"4-� ! (�
G� ��!�� "�-�&� ���� �� ��� � !� �('��� '� � � � �.
!�(�( ����� �" �!����� � � !�"#�5 � '�!����4! (� =!�! �" �!���
� " ��� �! ��� �64 m� F-! � 2����"������5& �5; '���� �.
*��� �( - !�� !� % �� ��!��� ��� &-� �" �!�- ��� ���"#���
'"�- � - !�� !# E1.2�!��� Pγ = −1� <� !# �" �!��� � �( ! ��& ��.
� �!M l1 → l2� 9��� '���� �*��� �( - !�� ! � !���� � � *�� �'��-� !�
-!� ��"��� �5��"�(!# ( ��� � !��
(−1)l1 = (−1)l2Pγ . �AB�K��
/! 4�� �5! �� ! ����"� �!0���M
l1 − l2 = ±1. �AB�KN�
9��� �0��'��� � � *��5 0 ' '� � �( ��0!�"#��� ��� �!� �!� � ��Δl = 0) '��� 1 �5 '������ �*��� �( - !�� !� < � *��5 � |Δl | >> 1 '��� 1 �5 '������ �*��� �( ��� �!� ���"# �� �� ��"#�� ��� �!
2�!��� �� ���"#��� '"�- � ��� � A� =! � � "��( ��� � "(4!
'� � � ��� �!� � � �!���M ΔL = ±1�
/!� !� !��� � -!� � � � *���* �!� "#�5* �" �!������ �0� "��" ��5*
���!�5� ���"#�5� '"�- � �� - !�� !# 2�!��� Pγ = +1� <��!��� �
!��* � � *���* ��"��� �5��"�(!# ( ����"� �!0��� ΔL = 0�
.Z-9- '(����� ��"�(� IA�
<�����( !� � �� �!��� � �- �# !����� �� ��� �4� ��� � �
����"� �!0��� � !�& 2��� � � ��!���& �� �05-�� ��"#'�4! (�
C " ��-�"#�5& ��� -�5& ��� �!5 �!��� �!"-�5 �! ��"(� !�
ΔJ = 0, ±1, ΔmJ = 0, ±1;
ΔL = 0, ±1, ΔmL = 0, ±1;
ΔS = 0.
�AB�KO�
% ! * "�-�(*� ���� ��-�"#�5& " ��� -�5& ��� �!5 ����5 ��"4� �
!��� � ���6 �* �-� ! � �� !� ���� �" �!���� ����"� ΔJ = 0
ΔL = 0 �"4-�4! (M
ΔJ = ±1; ΔmJ = 0, ±1 �� Jнач = 0 " Jкон = 0, �AB��B�
ΔL = ±1; ΔmL = 0, ±1 �� Lнач = 0 " Lкон = 0 �AB��A�
�����"� ΔmJ = 0 ΔmL = 0 ! � � � � ��'����5� �� ��"#��
� ��" ��& ��� �! ��� ! � !# ��" ��4 ��� �64��
D�� !�� -!� ����"� �!0��� -� !� ��'5��4! ����"�� '��� !�� � (
� ��� '��� ! �� � �1 !�" � � � *����� � ����" !���(41* � "��(�
�AB�KO� : �AB��A�� <��- ��� � !��� � -!� �! ����"� �0� "��" �5 � �0*�.
��� !#4 �5��"� �( '������ �*��� �( �� �� ��� �" ��"�1 .
�� 2�!��� �� !����0�� ����� !���� ��!��5��� �0"��� !� C " � � *��
' ����� � !�(�( � ���� � �1 !�"( ! ( � ����1#4 � !�� !� �!*
����" '��� !� � ! ��'����5 � � *��5 ���* !���� 9�� 0 '5'"�-�.
! "#�5 � � *��5 ��� *��(!� ����� �� �� �" �!������ ���� " ��
����� �(* �!���� ��� ������
� � � � � ��
������ �������
;f ������� ��������� �������
����� � ���������� ��$ �����<
@C ��� � � ���A
� � �.�=���� �����������7 ����# � .�8�����. ����
% �� �5��1* "���* �5 ��;" � ���(!4 ���� �!!�"���( # �! � .
'�"#!�!�� ��5!�� c! ��� : > �"�*� ���"'� ��0" !�� � � �!��* 1 "�-.
�5* � !�""��� <� ��!�� ! � �#� ��� ��� !� � �0 !� ��5& ���!�5&
��� �! �" �!����� ���(�"( ! ( � !�� ��'5�� ��� �22 �! D �����
=22 �! D ���� '��"4-� ! ( � '� � � -� !�!5 � �!��"#�5* ".
�& ��� � & !� � �� ;� � ���!��� ��"(� ��"�� ���� �� '"�-�4.
1�4 " ��"�1�41�4 �!����4 ! ��� ���� -� !�!�5* '� � �&
�1 !� ��5� (�"( ! ( *����! � ��"(�'�6 '"�- �(� �� �� ���
� 1 !��� �� �22 �! D �����
G� ��!�� ��-�"� �"� - ��4 ���!�� ��0"4� �( �22 �!�� �� .
*��(1�4 � �� � � !� ��� � ��5!�� <! �� D ����� /�5!5 ������" #
�"( �- �# �'��& ' " ��.�"�0�& "� ����(� ) ��� ��"4 �� �" �!��.
���!� ��������5� ��" � ����(� ��� !#4 10 ÷ 15 �= �� ��"�� � .
!�-�� "� &-�!�� � �!��� ? �� -�� ���!� ��� � �" � ���� �!� � "�.
4! � ���!���!� � ! �� -!�05 ����� 05"� � ! ��0"4� � � !�"#��
��� � � ��"( �!�� ��'5�� �5& ��� � -�5& �22 �!�� �� ���"# ��"( ����.
��"#�5& �22 �!�� ?* �� ��5!� D ���� �� � !��" �� �� � � AA�A�
<"� !��� λ/4 ��'�� 7��"( ���"'��4! *����! � ��"(�'�6
� !�� � �!����2 3 � � �!��
,"( � ��!��5* ��� !5* "�& � �!�� ! "#�� "#�5* ��"(* � '�"#.
!�!5 ��"( "�-� � H� s^� Pl� ���(! ( � " ��41 ���
+�(� � 41�( � �! �! !� ��"( -� !�!� ν� �� 1 �"( ! (� % ��� .
� -��� ������" � ��0"4�� ! ( !��" ! -� !�!�� ν+Δν� ν ν − Δν�
+� ν ± Δν ��"(�'����5 � �� ����"(��� ���!���� ��"4� =!� !��
��'5�� �5 σ.������ �!5� =" �!�- �� ��" σ.������ �! � �� ����.
"(��� �� ;� �� ���!���� ��"4� <�"(�'�6( � � 1 ���& ������ �.
!5 ν ��!� ! !�� ! ��" 0��(� �" �!�- ��� � �!��� ���"# ������" �(
�����-��41 � ��"( 3 �!� π.������ �!��
% �����"#��� �22 �! "�( �� � !��"( ! ( � �� ��0" !� -� !�!�.
� ν + Δν ν − Δν� ��- � ������ �!5 �!�� ��0" !� � 4! ������4
��"(�'�64 ���!����"���5* ������" �& �� ������� " ���� ����
��!� ! !� ���� ��! � ��� ! π.������ �!5 6���"(��� ��"(�'����.
�5* ������ �! ������4!� ��! � ��� ! σ.������ �! ����5 ��� �����
�����( ' �* ���� "�0 π.������ �!5�
..-.- Q��N���� �:�)�(��!�+# ����& � ��������� :��� IAO
NS
λ /4
ñâåòS
SN
N
2�� ��� :0�) ,�� ���� �� � =�?����? ������ /��) � U λ/4 T �� ����� B
i T ���+) ������B p T �������1� �B N � S T ���?� �������) 1��� B �������
)�4�, ���?� )� ) 1��� T ������ ����� ) 1�����1� ����
% "-�� � 1 �( -� !�!5 Δν ������6���"#�� ���!���� ��"4�
,������� ��!���( �05-�� �����! ( � �!* "�-�(*� �- �# ����'�! "#.
�� �� � AA�I��
ν ν− Δ ν ν+ Δ
π σ
ν ν− Δ ν ν+ Δ
σ
ν
Ïîëÿ íåò
Ïîïåðå÷íûé ýôôåêò
Ïðîäîëüíûé ýôôåêò
2�� ��� :����� ����� ����� ������� /��) �
IIB ,�- ..- 722�)� ?������
G� �� � " � �! � ��� ! & � "���� ����'��� �5 �!�& ��"�- ��<�
� � *�� � Δν = 0 �� H → 0 "� "��4! ( �������( �! � �.
�� !# � !� ! ( �����& *����&�
��� -�����4����! �����! & ���� 6��.���
9�� -!� �5 &-� �� ��!� "� !# ���(�" � !�� ��'5�� ��� ����
������� " �������� 1))���� ;������ 7����"#�5& �22 �! ����� ! (
�"� - ���� ���"'�� �5��"� ����� +�� �6 � �� � ��� � �" �!���.
�5* �� � !��" �&� <��-! "#�� ��� " �!# '� � �� ��� �(��
�'"�- � ����*����!- ��� � !� �� ��!��� ! ( � �!�� ���*��
��� � '�"#!�! ��� �( �" �!���� �� ��� !��� �����- ���� '������
!� � ��� � & !� � ���'�����& "5� 9��� '� � � '"�- �( !#
� '�"#!�! '� � �( ��� �( �" �!���� '� - ! ����"�! "#��& "5�
��!���& ���!�� ��" � & !�� ! �� ����1& ( �" �!���� =!� "�
+�� �6�M 1)
F = − e
c[v, H]. �AA�A�
9 � �# ��'"��� ��" 0�! "#�� ��� � �" �!���� � �! �! !� ��.
"( �� �����- �� ��" 0�� ���"# ������" �( ���!��� ��"( ���
�����5 ������ ��5 ��� �(� �0� � �"� �� !� � �� ����"(���& ��.
����" �4 ��"(� �� ���� ' �* ������ ���1 �(� ���� 3 " ���� 7�
� ���4 ������ �!� ��" � � & !�� !� !�� ��� sinϕ = 0 �� ϕ 3 ��"
� ��� � �!���� � ��� % "�-� � �����5* ������ �! �� �" �!���
� & !��4! ��0���-�5 "5 ± eυH/c� ������" ��5 �� ���� ��
�!��� ��" 0�! "#�� ��� � ���"# ��"( � !� ! ( � '� ��5�� ,�.
� �( � �� ����� ���0� !�4! 0�"#;�4 " � �#;�4 -� !�!� �
'�� �� ! �! !��� �� "-�� ! ( " �� �#;� ! ( 6 �!�� !� �! "#.
��( "��
7��� � '� � ��� "���� ��� � '��(�� ��!� ! !�� ! !� � ����.
*����!- �� ��" 0��(� -� !�!�� ν + Δν� ν ν − Δν�
C " �5 ��!�� � �� ����"(��� ��"4� !� ��� -� !�!� ν� ��!.
� ! !��41�4 ��" 0��4 �" �!���� ���"# ��"( �!� � π.������ �!��� ���
��" 0��( ν + Δν ν − Δν� ��!� ! !��41 ��" 0��4 �" �!���� � �.
� ����"(��� ��"4 �!� � σ.������ �!5��
9�� �� +�� �6� �0J( �( ! ( ��0"4� � �����"#��� !��" !� � ��5!
D �����
% ������" � ���"# ���!��� ��"( ������ �!� ν � 0�� ! '"�-�!# (
� "� ��� � -�� ! �" �!�����!�5* ��"�� �� !�!5 ν±Δν �� � !��(! (
� �� 6���"(��� ��"(�'�����5* ��"� " ��� ������ ���1 �(� D���
'��(�� ��� � "( ! ������" � ���1 �( �� � AA�K�� /� ���'�" ( �!�6�.
! "#�5� ��" �!�����
1) 7 ���� 1� � )� �=�+� - �) + ��� �������� � � @−eAB �-�� � ���-��, e b .
..-0- ������$��)�/ ���(�/ 522�)�� ?������ IIA
% "-�� ��� -� !�!5 " �� �5- "!#� <� !# � �! �! !� ��"(
6 �!�� !� �! "#��( "�� �0 � -��41�( ������ ��� � �" �!�����
v�e v �e
2�� ��� ( �� ���-����� ������ ������ /��) �
�0 � -�� ! ( ���'����� ��!(� � �−κr� 9��� ������( -� !�!� ω
�� ! ( � "�� �
κr = meω2r, ω = ω0 =
√κ/me. �AA�I�
<� '� � � ��"( 6 �!�� !� �! "#��( "� � �( ! (� <� �!�� �"(
" ��� ���� ���'5�� ! (
κr = meω2лr + e
cυлH, �AA�K�
� �"( ������ ����
κr = meω2пr − e
cυпH. �AA���
7� υл = ωлr� υп = ωпr� 9��� ����� �( �AA�K�� �AA��� � � �;�! ( � ��
meω2лr + e
cωлrH − κr = 0,
meω2пr + e
cωпrH − κr = 0.
�AA���
G ; �( �!* ����� �& �!#
ωл = − eH
2mec+
√κ
me
+ e2H2
4m2ec
2,
ωп = eH
2mec+
√κ
me
+ e2H2
4m2ec
2.
�AA���
�)5 � !��" !�"#�� '��� �+� � � � ���� �� �� ��"#�� �! � � � ( !�"#.
�� ��"��! "#�5� ���� � ����� �(�� �� ( � ���� -!� κ/me = ω20 � � � .
�; � ������!�5& ��� �# � �AA��� � �� √κ
me
+ e2H2
4m2ec
2= ω0
√1 + e2H2
4m2ec
2ω20
.
III ,�- ..- 722�)� ?������
=!� � "-�� ��"�!# �� �""���� �� ! � ����!- � ����� ω0� 9���
ωл = ω0 − Ω,
ωп = ω0 + Ω,
�AA���
�
Ω = eH
2mec
�AA�N�
!# -� !�!� "������� ��& �� 6 � ?�� -� !�!5� ����5&
Δν = Δω
2π≡ ωп − ω0
2π= Ω
2π= 1
4π
eH
mec, �AA�O�
���'5�� ! ( ������6���"#�5� ��"4� ��� �!� ��0"4��"� # � �� � �.
� �! � <�"�-�41 ( ' ��5!� '��- � e/me *���;� ������ ! '� !.
�5� '��- � � �"( �" �!�����
9��� �0��'��� ��5!5 D ���� �� �� � �� +�� �6� ��� " � �5�����
-!� �" �!�- �� '��(���� ��� � "(41� ��!- � ��& !�� �!����
(�"( ! ( �" �!���� =!� � & !�! "#�� !���
7� �5 �� '�� �� -!� ��� � � �" �!���� � �!�� �� 5�� ! ( ����.
!��5� '������� /����� �� �� - � � � &! � ����!����� �� ��4
�22 �!� D ����� �� ��!�� �22 �! 8���� (�
�"� ( ��� %�����!
% AN�� ��� )� 8���� & �0�����" ���1 � �"� �� ! ��"(�'�6
� !��5* ��"�� ��'���41 ��� � & !� � ���!��� ��"(�
�� ( ��5!� ��� !� �� � AA���� <"� ����"(�'�����5& � ! �� �� ! (
���"# ���!��� ��"(� 7��"# h2 ��'��"( ! ��� � "!# ��" ������!�
N 1 N2
S
N S
2�� ��� :0�) ���� �� � =�?����? ������ � � ���
�"� �� ! ��"(�'�6� =!�! ��" � '�� ! �! ������" �( �� ��� !��� .
�( � !� ������6���" � � "-� ��"( �"� ��! � !� � � 1 !� M
ϕ = V LH, �AA�AB�
� V 3 *����! ���( �"( � 1 !�� �� !�(���( % �� �
<� �� & �! �22 �! 8���� ( ! �� �('�� �22 �!�� D ����� , &.
!�! "#��� �22 �! D ���� ��0"4�� ! ( � !�"#�� �� "�(* '"�- �(�
..-L- 722�)� 4�(� �/ IIK
�� � ��"�1 � �� ������ 1))��� ;������� <� �����"#��� ��0"4.
� � �� "�-� �����"#��� ' ���.�22 �!�� � '��( "�( ��"�1 �(
��'����� ! (� �� 1 �"(( �� !�4� ?�� �����& ' ������ �! �� ! (
! � � �5��� � � �AA�O� �"( �����5* ��"(�'�6& ��'��� ������" �(
���1 �(�
9�� ��� � (�� � '���� �� ������"#�� � ��"�1 � ��������� ! (
�����"#��& � � � &� �0��!�5& �22 �! D ���� ����! � �� � .
� � ���5* ���5*� ��- � ��'"-��� �"( � !� �����& " ��& ����.
��& ��"(�'�6� ?* ��!-�� �!� ����� �� � !��!# � ����� �� � AA����
n
ω 0 ω
2�� �� :��1 ������������0 ����0 ��� ���� @"���0�,������ � �����A �
�� �� @"���0� � �����A ��,1��0 ������+ 5��
' ��!���� ����� -!� �"( '������& -� !�!5 ����'�! " �� "��" �( �"(
������ " ��� ���� �!"-�4! ( ��� �! ����� <� ��"#�� �!� � � !
� �!"-4 2�'��5* ���� ! & ��!� ! !��41* ��"�� � � '�"#!�! ��'.
��� ! ���1 � �"� �� ! ��"(�'�6 "� &�� ��"(�'������� � !��
/ !����� ( ���!�� �� �"� - ��& ! �� �22 �!� 8���� (�
)5 � � � "� �22 �!��� ��0"4��41� ( � �����"#��� �!�� .
! "#�� ���!��� ��"( ������" �� !�� -!� � �22 �! D ���� � .
4! ( �� ��"�5 ������& ��"(�'�6 &� �0 � � 1 ���& -� !�!�&
�ω = ω0 ± Δω)� <� � !��� ��"�5 ������& ��"(�'�6 & ���
E(п)x = E0 cos (ωt− kпz) ,
E(п)y = E0 cos
(ωt− kпz + π
2
) �AA�AA ��
�"( "�-�( �������!���& ��"(�'�6
E(л)x = E0 cos (ωt− kлz) ,
E(л)y = E0 cos
(ωt− kлz − π
2
) �AA�AA 0�
II� ,�- ..- 722�)� ?������
�"( "�-�( " ����!���& ��"(�'�6� <� ���"�� ! (� -!� �"� � ��"�5
�� ��� !���(4! ( � ������" � � z� /0�'��-�
kп = k + α,
kл = k − α.
�AA�AI�
?�� ���'6( ��"� �AA�AA �� �AA�AA 0� �� !
Ex = E(л)x + E
(п)x = 2E0 cos (αz) cos (ωt− kz) ,
Ey = E(л)y + E
(п)y = 2E0 sin (αz) cos (ωt− kz) .
�AA�AK�
% ������ - � z �!� "� &�� ��"(�'������( ��"��� /����� �"� .
�� !# ��"(�'�6 �� ��! L ������-�� ! ( �� ��"
ϕ = αL. �AA�A��
?�(� � ��" ���1 �( ����'�! "(� �� "��" �( �"( ��!� ! !��4.
1* ��"�� <� ��� � " �4 2�'���& ���� ! �� � ����� �AA�AI� � �
υп = ω
k + α, υл = ω
k − α. �AA�A��
? ����& !����5� 2�'���( ���� !# �('��� ����'�! " � �� "��" �(
��!��; � � υ = c/n� !�� -!�
nп = c
υп= c
ω(k + α), nл = c
υл= c
ω(k − α). �AA�A��
?" ����! "#��� nп − nл = 2c
ωα� "
α = ω
2c(nп − nл) = π
λ(nп − nл) . �AA�A��
�� ( � ���� -!� ����'�! "# �� "��" �( '�� ! �! -� !�!5� ��*���
Δn≡ n(ωп) − n(ωл) = (ωп − ωл) dndω
= 2Ω(dn
dλ
dλ
dω
)= − eH
2πmec2λ2 dn
dλ.
D� # ��"#'����5 ��� � !��
dλ
dω= − λ2
2πc
2����"5 �AA���� �AA�N�� % � .
'�"#!�! �"( �� !�(���& % �� ��"�-� ! ( �5��� �
V = α
H= π
λ
Δn
H= − e
2mec2λdn
dλ. �AA�AN�
��! � ��� -!� '��� �"� ������!� �"� �� ! ��"(�'�6 � '�� !
�! ������" �( �� ��� !��� �( � !� 3 �� ��"4 " ���!� ��"(� =!�
�('��� ! �� -!� ����(� ��� !# ���!��� ��"( �� 5�� ! ( �� .
�"#�5� � �!���� � �������" � ��!���� '��� ! (� ����� �� ����"��
0����-����
..-3- ��������/ ���(�/ 522�)�� ?������ II�
�$� -�������! �����! & ���� 6��.���
< � &� � ! � �# � ����!���& !���!��� �22 �!� D �����
)5 '�� �� -!� �0��1 � �" �!����� 0���- �����" �!�� ��������
!���� �����! � ��'����� �4���!��� ���"( ���!�5���� �!��
μl = − e
2mecL = −μБl. �AA�AO�
D� # �5 �� " ��� !�� @���
μБ = e�
2mec
�AA�IB�
0 '��'� ��5& � �!�� ��� �!� l = L/��
/���( # �� ��"(��5 �� � !��" �( �"� - ��& 2'�� �5
H
L
θ
ml
2�� ��$ ���5����� )�)��� �)D
�,��� ���,1 ������ ����� ) 1D
�����1� ����
������ -!� ���!�5& ��� �! � ��.
" �� 6 �� !� <�" !� �! ( ��'.
� ���!# ��� �! ���"# ��"(� =!��� �� .
�(! !�� ! � �6( ���1 �( �" �!�����
<�"�-� ! ( *���;� '� !��( ���.
!�� ��� �( ��"-��� �� ����
�� � AA���� =!� ���- ��( �� 6 (
�� �1 !�� "��! �������� �� ��'�.
"� # 05� ���'��"#��� �50��� +�� �.
6 � �� � !��" �( ��� �( �" �!����
�� �"� - ��� ���"' �����"#���
' ���.�22 �!�� <� !���� ���- ���
��� �� ���� 6 ����� ������.
" �( �� ������ �!� ��� �!� �� ���.
��( m� ��"��� 05!#� � " � !� ���.
!��� !� ���� ����!����(� 6 "5� - "��� ,���"�! "#��( �� �(� ��.
!���4 �!�� ���0� !� ! � ��" � �����
Eмагн = −μHH. �AA�IA�
7�
μH = −μБm, �AA�II�
!�� -!�
Eмагн = μБHm, �AA�IK�
� m3 6 "� - "�� % " � !� �!�� ���� �# �� � � ���!��� ��"
�� 1 �"( ! ( �� �4 ���� !��!�5* �������� &� ��- � �� !�(�
� ��� � ��� ��������(�
ΔEмаг = μБH = e�
2mecH
II� ,�- ..- 722�)� ?������
��!� ! !�� ! ��� -� !�!5 �� � "-��
Δω = eH
2mec, �AA�I��
�����4 "������� ��& -� !�! � =!� ������ ! ��"�- ���& ��� �"� .
- ��& 2����"�& �AA�O�� <�� � � ���0��4 �� - !��42����"� �"( ���
-� !�!5M
ν = eH
4πmec= 1,4 · 106H >6, �AA�I��
� ���!�� ��" �5��� �� � �� ! ��*�
�!��� �5 ��"�-" �� 1 �" � "�� 9 � �# � - " ������ �!�
����5& ! �� �� 1 �"( ! ( �� 2l+1 ������! !�(1* ! ��� ��!� ! !� ���
2l + 1 ��'����5� �� �!�6(� � �!��� ��� �!� �� 9 � � � � �����(
"�( ��� ! �� 1 �!# ( !�"#�� �� !� ������ �!5�
, "� ��! � - �� D� # � !���4! � �� ����"� �!0���� �����0�� �� .
��!� ��5 � �� �5��1 & "�� � ,"( ���0 !�� ���!��� � ����5 �5���5�
<� �� ��� � !�� ��� (1 � ��6� ��� �!� ��"- !�� ��� .
�(� ��"�5& ��� �! j '� �! (M
Δj = 0, ±1, Δmj = 0, ±1;
Δl = 0, ±1, Δml = 0, ±1;
Δs = 0.
�AA�I��
%�'���1�( # ! � �# � �22 �!� D ����� �5 ���� -!� � ! � ��.
�!�5* �������� & �� � �AA�IK�� ��.� ��5*� ��'����5 � � *��5 � �.
�� � ��� ��������(� ����� �����( �� � "�� Δm = ±1� 7� �!
� � *��5� �"� �� �AA�I��� �� ��'���5* ��"(* " ��! � ��������'�� �
%�.�!��5*� ��'����5 � � *��5 � ��� ���!�5� ��������(�� ��.
���" ��1���'"-�5� ��!- �������(�� !� � � ��� � !��"(41�
�� 1 �" ��5* ���" ����� &� D� # ��0�!� ! ����"� �!0���Δm = 0, ±1�
� ��� ��� �����! � ��(�" �4 !��" !��
7� * � � � AA�� ��'��!�"#�5 "� ����'5��4! � �� 1 �" �.
�5 ��!- � ����� �� �� �� !�(� � ��� ��!��5� ��!� !.
!�� ! *����& ��!- ��& "�� 9�-� �� "�(* ����'5��4!�� 1 �" .
�( ��!- �* ����� &� 62��� �!� - �5 '��- �( m� ?!� "�
���'5��4! ��'� ; ��5 � � *��5� % "-�� ��-�� �� � ��������
�"( � * !� "��� ���"�� ��5* ������� <��!��� ��!� ! !��41 � � .
*��5 ���������4! ( '"�- � � ����& !�& � -� !�!5� ���"�-��
�0 !�! � "� � !� "���� ������" ��5� � �!��"#�� ��' " �" ���
9��� �0��'��� ��"�-� ! ( ��� !�& !��" ! �" ��0" !��
=!� * �� � � ";#""4 !��6(� C "� �5 '��; � �� ���;*
����� & � �� E1 + E(1)маг E2 + E
(2)маг �5- "� ��'�� !# �� �&� !�
��&� �� -!�
�ω = ΔE = ΔE(0) + e�H
2mec(m2 −m1), �AA�I��
..-6- g�����!�+& 522�)� ?������ II�
� ΔE(0) = E2 −E1 3 �� !�(� � ��� �����(� � �! �! !� ���!.
��� ��"(� 7�
m2 −m1 = Δm = 0, ±1,
-!� �� ! ���5& !��" !�
�2 �1 0 �1 �2
�2 �1 0 �1 �2
2�� ��' ����0��� )�4�, ) 1�����)� ���,����)� ��,- � ������1� ������
/��) �
�!��� �"� �� ����"�� �!0��� ��'���4! !� "�� ����
Δm = +1 3 -� !�!� �� "-�� ! (�
Δm = 0 3 -� !�!� � � �( ! (�
Δm = −1 3 -� !�!� �� �#;� ! (�
<� ��0"4� � ���"# ���!��� ��"( ����!5� ��!� ! !��41 ".
�(� Δm = ±1� � 4! ��� �6 ��� �!� ��"- !�� ��� �( �� ��.
����" � ��� �(� ����5 ±1� =!� ��!���� -!� �5 ��!�� ���"# ��"(�
!�� -!� ������" � ��� �( 2�!��� ������ ! ������" � � ��"(� D��.
-!� ��� �5 �� '�� �� �! 2�!��5 ��!� ! !��4! 6���"(��� ��"(�'����.
���� � !�� ,"( � � 1 ���& ������ �!5 Δm = 0� ���!��� ��!� ! !��.
41& 2�!�� ��"� � � !# ��� �64 ��� �� !� � � # �!� � �� ��" ���
�����4 ��"4� 7� " �5 ��!�� ���"# ��"(� !� ��" ��( ��� �6( ��
��" !# ��" ��( ��� �6( �� ������" � ��� �(� �'.'� ��� � -�� !
� !���� ����!� !��* ��� �6& � 05�� !� ���!��� "�( Δm = 0 ��
�� ��!� � ���"# ��"( � �����
<� ��0"4� � ��� � � ��"( "�� ��!��5 ���"# ��"( 05" 6���.
"(��� ��"(�'�����5�� ����! ( ��"(�'�����5� "� &��� 7 � 1 �.
��( ������ �!� ��0"4�� ! (� !�� ��� '��� ! �� � � *�� Δm = 0 ��0�!� !
!�"#�� � ������" � ��� �( 2�!���� 9�� ��� "�( ���� �� ��0"4.
� � ��� � � ��"( � ���� �� ��0"4� � ���"# !�� ��� �5 *�!��
-!�05 �!� 05"� � ��� � �"� � � �5 ��"��5 ��"(�'���!# "� &��
���"# ��"(�
IIN ,�- ..- 722�)� ?������
�'� ���.�����# & ��� 6��.���
% �� �5��1 � ������2 �5 ����" � �����"#��� �22 �! D �����
/����� �� �1& �����"#���� �22 �!� !� �� 1 �" �( 3 !��" ! '
���*σ.������ �!����&π.������ �!53��0"4�� ! ( � ����/�*����! .
�'� ! !�"#�� ��� !5 � �!��"#�5 "�� !�� ��'5�� �5 ��"(��5
"�� % 0�"#;� !� � � �!��"#�5 "� "���5 �� � !��"(4!
�0�& ��"#!�" !5� ,�� �"( ��� !�� ��"#!�" !� 3 '� !��� � ".
!�� ��0" !� ��!�( 3 ��'� & !� ���!��� ��"( �� ! �- �# "����4
���!��� ,�0" ! �� 1 �"( ! ( � ��" !��� �0��'��� -!� "�( D2 �� ! �
������ �!� � "�(D1 3 � ������ �!5�
�� !# ' �* (�"( ! ( π.������ �!��� -� !# 3 σ.������ �!��� ,"(
���* �� 1 �" � 0�"#; � �"( ���* � �#; � - � �����"#�� �� 1 �.
" �
eH
2mec
� !�� � ��" � �'� !�5 ���'�� 0�" "���5 "�-��
?"���� !# ���!�5 �!�� �����"#��� ' ���.�22 �!� � "�-�&�5� �0.
��'�� �('��� � "���5� *����! ��� "� � �! �! !� �� ;� � ��"(�
)5 �� '�� �� -!� ��"#!�" !�� !# � �!��� �0J( �( ! ( �"(� � ����
9�-�� !��� �� �" �!���� �!� ! !� � � '� �����"#�5& �22 �! D �����
D� # ���'�"� # �1 !� ��5� !� �0 !�(! "# !��� -!� �����!��
�!��; � �"( ������ ��� �!� ���� � �#; �����!��� �!��.
; �( �"( ��0!�"#��� ��� �!�M �"( ��0!�"#��� ��� �!� �5 � �
µl = − e
2mecl, �AA�IN�
� �"( ������
µs = − e
mecs. �AA�IO�
C " 05 �!� 05"� � !��� !� ��"�5& ���!�5& ��� �! µ = µl + µs
05" 05 ����"" " � ��"���� � *��- ���� ��� �!� j = l + s� /�������
������" ��5 µ � ���!��� ��" �� 6 ����" 05 �� ! �����
������" �( ��"( � ��!� ! !� ����"�� ��� !��� !� ���� ����!�.
���(� 9��� �� !� ��� �!"- �� �- ! ��� � "� # 05 � !���� -!�
- "� ��'����5* �� �!�6 ����("� # 05 � 2l + 1� i 2j + 1� ����5&
� ��'��1 ��5& ! �� �� 1 �" ( 05 �� 2j + 1 ���!�5* �������� &�
7� ����"� �!0��� � "-�� �� 1 �" �( � '� �" # 05� � � �!�
� !�" ( 05 �� ���� ��!� ! !��41� �����"#���� �22 �!� D �����
7� ����� � " ������" � ��"��� ���!��� ��� �!�µ � ����.
�� ! ������" � � ��"��� � *��- ��� ��� �!� � 7�� � � �!� �"(
���'��"#�5* � �!���� � �� ������" �( ��!��5* ��'"-�5 �� � AA�N��
)� ;!�0 ���'��" �� ���!��� �� !# � �!�� µl ���� �"�� � - � �� 9���
� !�� � �� ;!�0 � �!�� µs 0�� ! �- !� �� �"�� ��
�' � � AA�N ����� -!� ������" � ��"��� � *��- ��� ��� �!�
� ������ ! µ� ���� ��- ���
% ��!� ! !� � �5 "�� � �!��� 3 ��"��� �"���� ��� �!� 3
�5 ��"��5 -!�!#� -!� �!��� � �� ! �� � ( �!� � �!����( �����.
��� ���1�4! ( ����� ������" �( � �!��� � <��!��� "40�& � �!���
..-6- g�����!�+& 522�)� ?������ IIO
������" ��5& � ���"# � �� 6 �� ! ����� � �� !�!� �!�& ���6
����"#�� � "�� �!�� � ���(���� -!� �� 1 �" � ��"#!�" !� 3 !��.
��( !���!�����
l j
μ
μμ
μ l
s μ s
2�� ��# %������������ � �����4���� ���� ��?8�0 ,1���1� � ) 1�����1�
)�)����
,"( ���6 ��� � �" ��5* �� ���� �4 �� 6 &� �� !�!�-��
'��!# ";# � �� �� �� � � � "-�5� %� �� ;� � ���!��� ��"
�!�� � � ! 0( !��� ��� " 05 �� � " ���!�5& ��� �! 〈µ〉время�
?� �� �! µ �� �� � � ����� ��� �6 µ �� � # ���1 �(� <��!���
� "�0�� ���!��� ��" �� ��- �� � "�0��� �5 �5( �� ��'�� � �!��
�0"��� ! �22 �!��5� ���!�5� ��� �!�� µj � ������" ��5� ���"# �
9 � �# �5 ��� � ���!��!# ! �� ��� �(� ��!��5 05" ���� � �5
�� ����!���� ���"' �����"#��� ' ���.�22 �!��
/0"���( � *��- �� ���!�5� ��� �!��� �!�� �� 6 �� !
����� ������" �( ���!��� ��"(� % �!�� �� �!�� ��� ! �� �!��.
��!# ( �� �!��; �4 � ��"4 2j + 1 �� �0��� �����( �� �!�6( *����.
! �'� ! ( ������ �!�& m � �!��� � ������" � ��"( �!� � ��� �6 &
� �!��� �� ������" � ��"(�� �����& �� �!�6 ��!� ! !�� ! ��.
�!��( �� �( −µ||H = −μ||Hm
j
��!��; �
m
j
� ! �5 " �� �� �
�"� � ��� ������" �(� � �!���� � µ||)� <��!��� � ��'��1 ��5&
! �� �� 1 �"( ! ( �� 2j+1 �������� &� �! !�(1* ��� �! ���� �� � ".
-��
1
jµ||H �
IKB ,�- ..- 722�)� ?������
9��� �0��'��� �� � !- �� �� 1 �" � ��� � "( ! � �& ��22 �.
!��5&� ���!�5& ��� �! �!���� ��!��5& � �01 � "�-� � ��� � ���.
'� � �4 ��� !��� @���
e�
2mec
�� ��"�5& � *��- �& ��� �! j� � '�.
� ! �! � !�"#�5* ����!��5* - "� � -� !�� ! �! �"��� ����'5��41*
������" � � �!���� � ��; & ��� "� =!�! �22 �!��5& ��� �! �����
'�� �!# � ��
µ|| = −K e�
2mecj = −KμБj, �AA�KB�
� '��� �−� �-!5�� ! �!�6�! "#�5& '��� '��(�� �" �!���� �−e�� � ���.
�! "# K �� 5�� ! �!"- ��; � � �!����� "�-�( �! �����"#���
' ���.�22 �!�� )���! "# K ��'5�� ! ( �05-�� K.2��!���� " 2��!�.
��� �� 1 �" �( +���ZY� 9��� ����"�! "#��( �� �( �����
Eмаг = −KμБHm = −K �ωLm, �AA�KA�
� ωL = eH
2mec
3 �"� - ��( "������� ��( -� !�!�� /! 4�� " �� !�
-!� � ��'��1 ��5& ! �� 3 *���5& ���� �# �� � 3 *�!( �� 1 �.
"( ! ( �� 2j + 1 ������! !�(1* �������� &� �� � "-�� �� 1 �" �(
��� � "( ! ( K.2��!���� � !��"( ! KhνL� �
νL = ωL/2π.
8��!��+��� ��'"- � �"( ��'"-�5* ! ����� � �!� �0J( �( ! ��"-
0�"#;�� - "� "�& � � *��� � ��� �����(� � �����"#��� �22 �! �
G� 1 �"(41 ( "� �0��'�4! � "�� �6 � �& !��" !� � ��4!
0�"#;� - "� ������ �! � ��!� ! !� ! �� -!� ��'�� ! �� � �"(
� � *����� ��� � "( �5* � ! � � ����"�� �!0���� Δm = 0, ±1�
� �������5� ��� �!� 05"� � �����"#��� �22 �! � =!� ��"(��� ��( �( !
* �� �� � AA�O�� ����0��( ��� � ���& ��� �� � AA����
�2 �1 0 �1 �2
�3 �3�2 �1 0 �1 �2
2�� ��� ����0��� )�4�, ) 1�����)� ���,����)� ��,- � ��) ����1�
������ /��) �
..-6- g�����!�+& 522�)� ?������ IKA
9�� ��� �� 1 �" � � �*� � ��� � ! ���� ��'"-��� ��"�-� ! (
���� ��'�5* "�&� + �� ���(!#� -!� �"( ����� & A I �� -� !�!5
� � *��� � ��" �� ! ( 2����"�&
Δν = νL(K2m2 − K1m1). �AA�KI�
9��� �"(m2 = 0 m1 = 0, ±1 �� 1 �" �( �����! ( ����5�
Δν = 0, Δν = −K1νL, Δν = K1νL,
�"(m2 = 1 ��!� ! !� ���
Δν = K2νL, Δν = (K2 − K1)νL, Δν = (K2 − 2K1)νL
!� ���!��� �� 1 �" � "�& � �����"#��� ' ���.�22 �! �1 !� ���
'�� ! �! 2��!���� +��� �"( � �*� � ��� � � !�(�&� 7�&! '��.
- �( K.2��!���� ����� ����1#4 � �!����& ��� " � �� � � AA�N��
�' � � AA�N " �� �� !#� -!�
μ|| = μl cos (l, j) + μs cos (s, j). �AA�KK�
D��; � � "-�5� �*��(1 � �AA�KK�� � ��
μ|| = −KμБj, μl = −KlμБl, μs = −KsμБs, �AA�K��
� ����! " K l K s ��'5��4! ( ��!� ! !� ��� ��0!�"#�5� ���.
�5� K.2��!����� /� *����! �'�4! �����!�� �!��; � �"( ��.
l j
s
( , )s j
( , )l j
2�� ���. 7�������� ���4����
��=�� ����1� )�)��� � ����
������ )�)��� :�)��� @.B /A �
@0B /A �=�+� - ?� ,1�� )�4�, ����D
����,?8�)� ����� )�
0!�"#��� ������ �"��5* ��� �.
!��� % "-��μБ = e�
2mec
!#� ��� �05-.
��� ��� !�� @���� ��� �5 '�� �� �"(
�" �!����Kl = 1, Ks = 2. �AA�K��
)5 0�� �� ������� � �!# � �01 �
�� � � ��"#'�( ���� (��� '��- .
�& �AA�K��� ? �- !�� �AA�K�� ����� �
�AA�KK� �� ('5� K.2��!���� � � � 5.
�� ! ( � ��
K = K ll
jcos (l, j) + K s
s
jcos (s, j).
�AA�K��
�?���"5 (l, j) (s, j) �0�'��-�4! �"5 � ��� ��!� ! !��41� � �!�.
����� �' ������5 �"( "�� �( � �!���� � � �� � AA�AB� �� ! �� �
�� �� �� ��*���
cos (l, j) = j2 + l2 − s2
2jl, cos (s, j) = j2 + s2 − l2
2js. �AA�K��
IKI ,�- ..- 722�)� ?������
9��� 2��!�� +��� K = Kl
j2 + l2 − s2
2j2+ Ks
j2 + s2 − l2
2j2. �AA�KN�
)5 ���� " �"� - �& �5���� <� ���6�� ��!� ! !�( �� 0�"#.
;* ����!��5* - "�* � '�"#!�! ��"� � 05!# � � � �"( ����!���& � *�.
����!�05 ��"�-!# ����!���� *��- �& � '�"#!�!� �5 ��"��5 � 4��
'�� �!#
j2 → j(j + 1), l2 → l(l + 1), s2 → s(s+ 1).
,"( �" �!���� �- !�� �AA�K�� ��"�-�
K = � l + � s
2+ � l − � s
2
l(l+ 1) − s(s+ 1)
j(j + 1)= 3
2+ s(s+ 1) − l(l+ 1)
2j(j + 1). �AA�KO�
G '�"#!�!5 �� - !� �� 2����"�� �AA�KO� �AA�KI� �� ��� �� ������4!
�� � �� �!���
7�; �5��� 2����"5 �AA�KO� ����" ( �� ��"(��5 �"� - � �� �.
!��" �(� F� !�� ���!��� ��� ! 0�" ���� �!�5& ����!���� *��.
- �& �5���� � ��*��! ( � !# � "� � �05-�5� � "-����
� �� ��!�����
<� � !��� �� ��!�� ���!��� ��� �!� ���
µ = µl + µs = −μБ(Kll + Kss). �AA��B�
<� �!�� �� ��!�� ��"��� �"���� ��� �!� ��� �
j = l + s. �AA��A�
?� !��"(41�4 � �!��� µ� ����"" "#��4 j� '��; � ���
µ|| = −KμБj. �AA��I�
? ����& !����5� ��� �!��( � �!�� �AA��B� �� j� ��"�-�
µ j = −μБ[Kl(j l) + Ks(j s)]. �AA��K�
=!� � � "-��� �"� �� �AA��I�� �����
µ||j = −KμБj2. �AA����
<��'���( � � �� � � �AA��K� �AA���� ��������( � '�"#!�!5�
��"�-�
Kl 〈j l〉 + Ks 〈j s〉 = K
⟨j2⟩. �AA����
..-6- g�����!�+& 522�)� ?������ IKK
?� �� '��- �( �� ��!����� �*��(1 � �� " ��44 2����"�� �5- "(.
4! ( �� * � � '"�� ���& � "� �� �� ���� �-!5��( �('# �AA��A�� ��*���
〈j l〉 = 1
2[j(j + 1) + l(l + 1) − s(s+ 1)],
〈j s〉 = 1
2[j(j + 1) + s(s+ 1) − l(l + 1)],⟨
j2⟩
= j(j + 1).
�AA����
<�� !������ �!* �5��� �& � �AA���� �� !
K = �l + �s
2+ �l − �s
2
l(l+ 1) − s(s+ 1)
j(j + 1), �AA����
-!�� ! !� ���� ������ ! ��"�- ���& �5; 2����"�& �AA�KO��
<� " !�� ��� �5 ��� " �1 !����� �����"#��� �22 �!�� ��.
��!��� ��� �0 !�! � "� �����"#�5� �22 �!���
% � "� � !��� -!� �� �5��� 2��!��� +��� �5 �� ���"��" ��.
�!�� ��" ��"5�� � �� ��"5* ��"(* � �!��5 � � 0"�����( ��.
��0!�"#���� �'���� & !�4 �('5��4! ( � ��5& � �!�� � ��!��5&
��� 6 "� �� 6 �� ! ����� "��5* "�& ���!��� ��"(� =!� �.
'�� ! "����4 ���!��� )5 � � ���&�� ��� �!����� M �� " !��
��� � � "��" # � � �!� �('�" ( ���!�5& ��� �!� �!�! ��� �!
���� ��� �!����!# �� � # � � '�! � � # ��� ! ����!# ��'�5 ��� �.
6 �� ������" � ���!��� ��"(� % # �!�� ���!! ( ����� � �!��� �
���.!� ���!! ( ���!�5& ��� �!e �� �!�� �1 !� ���4 ��"# �� !
��� �6( ��"��� ���!��� ��� �!� �� � # �
% ���!��� ��" �� �( �'���� & !�( �!��� ��" � !#−µэфH�
7� " ��" �- �# "#��� !� �� �( �'���� & !�( �� ���� ! ( �� !�
-� !M
U = ULH + USH + ULS .
D� # ULH = −µlH 3 �'���� & !� ��"( ��0!�"#�5� ���!�5�
��� �!��� USH = −µsH 3 �'���� & !� ��"( � ����5� ��� �!���
� ULS 3 ��.��0!�"#�� �'���� & !� �
C " ��" H � "��� !� �� " ��� -" ��� ����� �� � 0� -#� ��5�
"����� LS. �('# �� ! (� % �!�� "�-� ��0"4�� ! ( � � *�� �! "�����
������"#���� �22 �!� D ���� � ��� !��� ������"#������ ,���� (�" �
��'5��4! �22 �!�� <�; �� : @���� % "#��� ���!��� ��" ��0!�"#.
�5& �����& ��� �!5 � '�� �� ��� �! ���� �� 6 ��4! �����
��"( H �� � AA�AA�� <�"��( �� �( �'���� & !�( ��" �
Eмаг = μБH[l cos (l,H) + 2s cos (s,H)]. �AA��N�
<� !# ml 3 6 "�- " ���( ��� �6( � �� ������" � ��"(�
C " �- !#� -!� �� ��� ! �� �!����!# ( !�"#�� ����"" "#�� "
IK� ,�- ..- 722�)� ?������
��!����"" "#�� ��"4 �!� �ms = ±1/2)� !� �5 ��"�-� � ' �AA��N�
Eмаг = μБH(ml + 2ms), ms = ±1/2, �AA��O�
-!� �� ! �����"#�5& �22 �! D ���� ��� Δms = 0)�
�!��� �"���� �� "-��( ���!�� ��" � �5 �� ! � ��� � � *��� �!
�����"#��� ' ���.�22 �!� � �����"#����� < � *����4 �0"� !# � !��.
"( ! �0"� !# �22 �!� <�; �� : @���� F "���� !# ! ����"� �!- !"��
H
mll
σ
H
s
2�� ���� ��+ ���) � ���5�����
��=�� ����1� � ������1� )�)��D
�� ���,1 � �� ����� ) 1�����1�
���� @��,- � ������1� ����A
�����9 � �# � ��"#�� "�� � "�05*
��"(*�)5 ����"� -!� �� ��� 1 �
�!��� � ���!�� ��" "� �� 1 �.
"(4! (���� � ������ �!� G�'�5 ���.
�6 � �!��� ���0� !�4! ��'��4
�� �4� � ��� � �!� 0�� ! � �(!#.
( �� � � *�� � 0 ��� -�� "�0���
��"4L, "� � !��� -!� � ��!� ! !�
��!��; � � � ��� � " ��� ! & �
������ '� �"4- � � ���� ��� .
�� � 4! ��� -��4 ;���M
ΔEΔt = 2π�, �AA��B�
� Δt 3 �� �( �'� �!��� � ��'0��.
� ���� � !�(�� C " ��" "�0�
�� !�(� � ��� �����(� � �� �5;� ! ;��5 * ��'�5!(� !� �����
-!�!#� -!� � ��� *��! �5� " �( - !�* ��� �6& ��� �!��� � !��
� �5� " � ��� � " ��5* ��� �6& ��� �!�� ��� *��! !�"#�� !�.
��� ���� ��" �� !�!�-�� � "�� �"( !��� -!�05 ����� � � !�" � � .
��5��!# (�
�*� (���8���4����� 3����� � ����7��� ��! ���.�
�����! � .�8�����. ����
<� !��� � (���� �� ���!�� ����� & � � *���� �"( �!���� ��!�(
� "�-�(* "�0�� "#��� ���!�5* ��" &�
��� '� !��� �!�� ��!�( � � ������ � !�(� � ! �" �!�����4
!���!���
hiM 1s22s22p63s1. �AA��A�
< ��� ��'0��� ��� � !�(� �!� -� ! � � *��� �� !� ���� ��" �!.
��� �" �!���� � Kp.�0�"�-��� !�� -!� ��'0��� ��� � !�(� !#
hi∗: 1s22s22p63p1. �AA��I�
..-9- 7��(����$��)�� �(���� ����� ���(�/ IK�
D��; � ! ��5 � ������ ��'0��� ���� � !�(�&� 7������� -!�
! ��5 �0�'��-�4! ( ���"�� 2S+1LJ � � L� S J 3 ��!� ! !� ���
��0!�"#�5& ��� �!� �� ��"�5& �"���& ��� �! �!���� ,"( ��*��.
� �( ! ���� �-! �� -!� � !�(� �!��� � �0�* "�-�(* ��� � "( ! (
�� !� ��5� �" �!������ % "�-� � ������ � !�(�( �AA��A� � �
l = 0, s = 1/2 ⇒ j = l + s = 1/2, �AA��K�
� � "�-� ��'0��� ���� � !�(�( � 4! ( �� ��'����� !M
l = 1, s = 1/2 ⇒ j =
{l − s = 1/2,
l + s = 3/2.
�AA����
?��!� ! !� ��� ! �� � ������ � !�(�( !# 2S1/2� � ! ��5 ��'0��� �.
�5* � !�(�&3 2P1/2 2P3/2� <� �!����� ����"� E���� � ��� ' �!*
� !�(�& � ! � �#;�4 �� �4� - � �!��� � 9��� �0��'��� � �! �!.
!� ���!��� ��"( � 4! ( � � *��5
2P1/2 → 2S1/2 2P3/2 → 2S1/2. �AA����
=!� ���&��( � "!�( "�( ��!�(� � ��!���& �� ����"� # � "� N ��
�0 ��� � ���(!( ����
G� ��!�� ��-�"� "�-�& "�0�� ���!��� ��"(� " ����! "#���
"����� �22 �!� D ����� <� ��"4- � ���!��� ��"( ����5& '
����� & �� 1 �"( ! ( �� ��������� - "� ��!��5* ����� 2J + 1� ��� �!�
����'��� �� � � AA�AIM � ����� �'; ��'0��� ��� � !�(�( 3 ��
H = 0
2P3/2
2P1/2
D2 D1
g = 4/3
g = 2/3
g = 2
m j
�3/2
�1/2
�1/2
�3/2
�1/2
�1/2
�1/2
�1/22S1/2
H =0
2�� ���� ����0��� )�4�, ���,����)� ������1� � �+=,4�����1� ���������
� ���� ��� ��) ����) ������� /��) �
IK� ,�- ..- 722�)� ?������
��� ��������(� � � �*� ��'0��� ��� � !�(� 3 �� - !5� ����.
!��!�5* ��������(�
<� ��*��� � ���� !�5* � � *���� " �� ! ����!#� -!� ����"�
�!0��� � ������ "�-� !����5M
ΔJ = ±1, ΔL = ±1, ΔS = 0. �AA����
%!��� ' �!* ����" �'��-� !� -!� � ��'����5 � � *��5 � ��� ��'.
0��� ��5� � !�(�(� 2P3/2 → 2P1/2� �!����( * �� � � *���� ��.
- !� ��� ����'��� �� � � AA�AI� <���"�� �!0��� ΔmJ = 0, ±1 ���.
�" !���(4! � � AB � � *����� ��!��5 �0��'�4! ��0"4�� �5& � �!�
'"�- �( �� �����"#��� �22 �! D �����
<� !# ! � �# ���!�� ��" "#�� � !� � � �"'� ! ( ��� !�& �22 �!
D ����� % �!�� "�-� - "� �������� &� �� ��!��� ��� *��! �� 1 �.
" � *���5* ����� & P S � ���!��� ��" � ��� � "( ! (� �"� ��
�AA��O�� � "-��&ml + 2msM
E = E0 + μБH(ml + 2ms), �AA����
� !��"( ! ��� � "�-� � ������ � !�(�( �ml = 0, ms = −1/2,+1/2) �(!# � "�-� ��'0��� ���� � !�(�( �ml = −1, 0, +1, ms == −1/2, +1/2)� ?��!� ! !��41�( * �� � � *���� ����'��� �� � � AA�AK�
<� ��� � " � ���� !�5* � � *���� " �� ! ������� !����!# ( ���.
�"�� ΔmS = 0 Δ(mL + 2mS) = 0, ±1� % !� � !�4! ( !�
H = 0 H =0
2P3/2
2P1/2
2S1/2
ΔmL = 0 ΔmL =_
1ΔmL = +1
+1/2
−1/2
+1
0
mL mS m mL S+2
_+1/2+_1
−2
0
0 −1/2
+1/2
+1
−1
−1
+2
−1/2
+1
−1
0
0
+1/2
2�� ���� 2 �8������� ,����� � ����0��� ��� ���) ����) ������� /��) �
��'"-�5 "�� �!� -�41 !� � ��'"-�5� ����� � � *����� ��- �
������ �!5 ���!� ����& ���5 �!� -�4! ��������& �� � � � *����
� � � � � ��
��������� �����������
���������
���������� ������
;=��!)� ���J )�� *����J )� � �� � ��J *����
��)C�J )�)�& ����( ] :�:���+& ���<
@4- [�K8� * � 1����� / � �,��� A
�� � -�& �;����� (#�)��#��
G� ��!�� ��� �����( �� � E2 > E1� � ��� ��!��5� ��'� ; �
����6���5& � � *�� �� -� !�!
ω21 = E2 − E1
�
, �AI�A�
��� � "( ��& � "�� �� ��!��� � ��; � "�-� � �- ����� !# 2����
'�� '����� �*��� �( �� ��
) ��� �� � !- �� � !�(�(� E2 E1� ���01 ����(� ��'.
����5 ��� '"�-�! "#�5 � !� � ����6���5 � !�� 0 '5'"�-�! "#�5
� � *��5� / !��"(( �! �� " �� � !���� � �0��!� ( � ����6���5�
� � *����� !� � � � � *����� ��-�5& ��! ��!��5* ���! ( � '"�- �4
���"�1 �4� 2�!��� �� � AI�A��
A21 B21 B12
E2
E 1
Ñïîíòàííûéïåðåõîä
Èíäóöèðîâàííûåïåðåõîäû
2�� ��� :���� ���� � ���,5��� ���� ����0���
<� �� � � " �� ! � !# � ��� �1 !����� ������'��"#��.
� �� ���( '"�- �(� �!��5� ��*��(1 ( � � �*� � �� � !- ���
� !�(� �E2)� ���! �� �;�!# ���!���5 � � *��5 � ��� � !�(.
� �E1)� =! � � *��5 ������'��"#�5� * � ��(!�� !# � '�� ! �!
IKN ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
�� ;�* ��'� & !�&� � !�� - " ����6���5*� ��"4-�( � '���� �5 �
";# 05 �� � ��'��;�" �!�� " !���!��� � ����� & �� ��
?���!���� � ������'��"#�� � '"�- � (�"( ! ( �22 �!�� ����.
!��5�� % �"� - ��& � *��� � !� !�0"#�� � !�(� � �0"���41
�� � &� 0�"#; & �� �!��; �4� �� � � ��!���� � ������ � !�&-.
��� � !�(�(� � �! �! !� �� ;�* ��'��1 �& ��� ! �!# 0 ��� -��
��"�� % ����!���& �0"� ! !��� � !� !�0"#�� � !�(� ���!����
�� ���� ! ( � ��!���& �!"-��& �! ��"( � �� & ���� !#4�
<��� ���"�� �4� � ��(!�� !# ���!������ � *��� -� !65' � �*.
� � � !�(�( � ��� �E2 → E1) ������6���"#�� �� � �� D� �� �( dt
�!� � ��(!�� !# � !��"( ! !���
dW(спон)21 = A21 dt, �AI�I�
� � "-�� A21 ��'5�� ! ( ���226 �!�� =&�;! &�� �"( ���!����.
� '"�- �(� 9��� �0��'��� �� !�"�� ! (� -!� � ��(!�� !# ���!�����
'"�- �( � ��6� �� � �� "� -!� !� � ��� � ���� !# ���!�����
�� ����� �� !�(��� �� ��� � " �4 ����� ��!� ! !��41 �� ���226.
�!� =&�;! &�� A21M
w(спон)21 = dW
(спон)21
dt= A21. �AI�K�
?���!���� '"�- � �� 5�� ! ���6 ������'��"#��� � � *�.
�� -� !65 ' � �*� � � !�(�( � ��� � ?������'��"#�5* � � *����
�'� �� �* � 05�� !� D� " � � �*� � �����( � !��6� ���� 0 '5'.
"�-�! "#�5 ���6 5 � �1 !� ��5� ��� ! ��� *��!# !�"#�� ��! �
��"�1 �( 2�!���� -� !�!5 �AI�A�� C ! !� ��� �"� 26����!# ���.
*��(1 �� �!�� � � *��5 ' ��� � �� � !- ��� � !�(�( �
� �*� ��� � � *��5� ���6������5 �� ;�� �" �!�����!�5� ��.
" � � '���� ��& -� !�!5� 9���( ! ����"�( ��'��"( ! �� ��!���!#
� '���� �� ��"�1 � '"�- �( ��� � '�"#!�! ���6������5* ��.
" � � � *���� �'� �� �*� 7� ��" ��� ! ���6����!# � � *��5 � �.
*� ��'�
% AOA�.� ��� �� =&�;! &�� �� ��!���( ���6 5 �� ���( ��.
"�1 �( '"�- �( �� � ��� �� � !��" �( � 2�!���*� �� ���"��"� -!�
���(�� ���6������5� ��"�1 � � �1 !�� ! (�" � ���6��.
������ '"�- �(� �� !�"����" ��& !�� ���6������5* � � *�����
-� !� ��'5�� �5* �5���� ��5� " !��"������5�� ?" �� ! ��.
'��!#� -!� � �! !� ! ����� 0���- ��"�� !#4 �����" �!�5�� �� !�.
!�-�� �5��'! "#�� � � ��4! �!# (�" �(�
% ��!� ! !� �� !�"�!�� =&�;! &�� � ��(!�� !# ���6�����.
�5* � � *���� � ��6� �� � � ������6���"#�� �"�!�� ! �� �
�� ;� � ��"( � ��-��� � �!��"#��� �! ���" �!� � � �!��"#��&
�0J ���& �"�!�� ! �� ��M
w(ин)21 = B21ρω, �AI���
w(ин)12 = B12ρω, �AI���
.0-.- ��522�K����+ 7&�8��&�� IKO
� B12 B21 3 � "-�5� ��'5�� �5 ���226 �!�� =&�;! &�� �"(
���6�������� ��"�1 �( '"�- �( ��!� ! !� ���� � ���(��� �.
� � �� A I ���'5�� ! ������" � � � *����
<� �!�� �� ���"�� ! ( ��� � !�� -� !�!5 �� ;� � ��"( �0 !� �.
��& -� !�! � � *��� E1 ↔ E2 �� !�"�� ! (� -!� ����!5 �" �!����.
�!��� ��"(� '"�-� �5 �� ���6������5* � � *���* � �*� ��'�
��"�� !#4 !��� !� ��5 ����!�� ��"(� �5'5��41 � �! � � *��5� =!�
�'��-� !� -!� �� ;� �" �!�����!�� ��" ��" � �'����� �� �.
��6������5* � � *���*� � 4! �������5 -� !�!�� 2�'�� ��"(�'�64
������" � �� ��� !��� �(� /� � ��'"-�5�
D�� !�� -!� � ��'"-�� !#� ��"��( !��� !� ��� !# 2�!���� !��.
"�������� �!� � �!��-���� !��"��41 � �!� � � ��-���� '�- .
�& (�"( ! ( 2����� �!�"#��& � ����& !���& �����& ����� ��� ����� �
"�' ��* 3 ����!���( �" �!������
?�1 !����� ���6������5* � � *���� ����� ���(!# �� �� � .
��� �� � !��" �& �"� - ��& �" �!�������� % ���� � " � �� !#
� � � � ! ( � ��!��� �" �!�����!�� ��" -� !�!�& ω� 9��� ���
� & !� � � ���- ��& �5�����41 & "5 '��(�5 ��-��! �� �;�!#
��" 0��( !�& � -� !�!�&� � � 0�"#; �"�!�� !# �� � ��"( � � � �
! � "#� �� ��-��4! ( '��(�5� !� � �! � �� ��"�1� ! ( �� �.
( ��"(� <� ��"#�� ���"!��� ��" 0��& '��(��� a ������6���"#�� ��.
�"!�� ��"( E� � �� �( '��(��� ������6���"#�� a2 ∼ E2� !� �!�
�'��-� !� -!� � ��(!�� !# ���6�������� ��"�1 �( ������6���"#��
�"�!�� ! �� � ��"( ρ� �% �!�� " ��41 � �0'�6�* ���"�� E �5
�0�'��-� � ����(� ��� !# �" �!�- ��� ��"( �" �!�����!��& ��"�5��
/0��!��� � � '�"#!�! �5���� ��5* ��" 0��& '��(�5 ��-��! '"�-�!#
�� -� !�! ��"( ω� % � '�"#!�! 0�� ! ��'���!# �!��-�� ����6�����.
�� � �� � �!�� '"�- � � � � 0�"#; ���"!��� ��" 0��& '��(��� a�
! � �! � �� * '"�- � M Iизл ∼ a2 ∼ E2� ?" ����! "#��� �! �.
��� !# ���6�������� '"�- �( !��� ������6���"#�� �"�!�� !
�� � � 41 � ( � � � ��"(�
=! � ��0��� �( �� � ��� �"� - ��& �" �!������� ��'��.
"(4! ��- !� ��� ���(!# ��-�� !��� !� ��� ! *����� ���6��.
������ '"�- �(� �� ��"#�� *���� �!��-�� '"�- �( �0"���4!
!��� ����& !�& � -� !�!�&�
G� ��!���( �� ��0"# ����!��5* -� !6� ��*��(1* ( � ! ��� !�!
�� ! �� ��!�� T � " ��( � "��( ������ ( �!�� �� ��0"( � ��"
� �0 !� ���� '"�- �(� �� �� ��� ��"�1� ��� �� � � *���*
� ��� �����(� �� � � !��"(41* �� ��0"# -� !6� =&�;! &� � !�.
���" �('# � ��� ���226 �!��M
A21 = ω2
π2c3�ω B21 �AI���
B21 = B12. �AI���
I�B ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
<� " �� � ��� �"( "�-�(� ���� ���!�� ! �5���� �( �!� � !�.
! !- � � �� ����� & I A �������5 � �� '���-� AN ' ��'� "�
�? �������
<�� � ��5 ��!��; �( �- �# ����5� /� ����(! � �����& � ��.
(!�� ! �� � � - ! �� ���� -� !6� ���� � �5���� ��� � !�(� �
���6�������� '"�- �( ��"�1 �( � ������6���"#�� ! � ��.
(!�� ! ���!����� '"�- �( ���226 �!� =&�;! &�� B21� 9��� �
'��� 1 �5 ���6������5 � � *��5� � ��� ! 05!# ���!����� '"�.
- �( � ���0���!� !��� � � ! ���!������ � ��� ! 05!# ���6��.
������ '"�- �(�
% ��!��; � � ��� � ��(!�� !(� ���!����� ���6��������
'"�- �& � (���� �� �*��! ��0 -� !�!5 '"�- �( � �� �AI����� <�
���-* ����5* � "��(* �!� '�� �� !# �����! � !���� -!� ��"# ���.
!����� '"�- �( ��"� �� ����-� !�!�* � "�� � ��!- ��� ����'�� �
� ��� -� !� ��� � "( ! �� �( �'� -� !6 � ��'0��� ���� � !�(��
���� �����������! )����� ����� ����7���
G� ��!�� ����� � � �!��"#��& ;�� "� ����6����� �'.
"�-�! "#��� " ��"�1�! "#���� � � *����
% "���* �(!�& ; !�& �0 ����" ( ����� � ��� -�� ! ;��5
�����( �� �� �� �( �'� -� !6 �� ��!���� ����- �� � ! �".
! "#�� !# τ � C ! !� ���� "405 ���6 5� �;�(41 ���� �# �� ��
�����(! � �;� �4 � �!��"#�5* "�& ��!� ! !��41* � � *�����
9��� �0��'��� � ��� � " ��� !# �� � � !�(�( �����! � � ��� .
� " ��� ! -� !�!5 � � *���� �����& 1/τ �
% "-�� τ �� � !��"( ! �0�& *����! ��5& �� ;!�0 �� � �� � �0*�.
���� �"( !��� -!�05 ��'0��� ���( ! �� �!��"� ��4 �� �4� D��- .
� τ ��� � "( ! ( ���� !(� ���!�����'"�- �(0 '5'"�-�! "#�5*
� "�� �6���5* � � *����� ��� !�;�41* ��'0��� ��5& ���� �# �� �.
� % �! �! !� �� ;�* ��'� & !�& ���!���� '"�- � (�"( ! (
�� !� ��5� 2��!����� ��� � "(41� �� �( �'� � !�(�(� <��!���
��� �#;�( ��'�����( !�� ��'5�� ��( ! !� ���( ;��� "� ��� .
� "( ! ( ���� !#4 ���!����� � � *��� A21M
Δω0 = A21. �AI�N�
% " � !� ������6���"#�� ! ���226 �!� =&�;! &�� A21 ��0�
-� !�!5 ! !� ���( ;��� 0�" �1 !� ��� �� �5 ��* -� !�!�*� /�.
���� �05-�� �"(� � ���!����� '"�- �( �� ;��� "� � � *���
����� �� � 0� -#� !�� ��� � � �"#�5* � "��(* !�"����! "#�5 � "��.
�6���5 ���6 5 0�" �22 �!��� ����1�4! �� �( �'��
9 � � � � ��0�" �01�� 2����� �!�"#�5� � *��'���� ����.
-��41� � �*� �� �( �'� -� !65 �� ��'0��� ���� ����� � (�"( ! (
���!���� '"�- � � ��!��� ��"���� !��� �0��'��� � !# � �!��"#.
��4 ;���� ��!� ! !��41�4 ���� ! ���!����� �� �����
.0-0- Q:�)�(��!��/ 8�(��� ����� :�(�#� � I�A
����!���( �" �!�������� ��'��"( ! �5- "!# � �!��"#�� �� �� .
� " � 2�!���� ���!����� '"�- �(� *��(1* �����( ;���&
ΔE = �A21� ���!�� "� ���!����� '"�- �( ���'5�� ! ( � 41�
!�� ��'5�� ��4 "�� �6 �� 2���� ;���& �AI�N��
+�� �6 �� 2���� "� ��� � "( ! ( 2���.2��!���� � �� ����N��
G(ω) = Δω0
2π
1
(ω0 − ω)2 + (Δω0/2)2. �AI�O�
8���6( G(ω) ����" !���( ! !� 0����4 ��������
∫G(ω)dω = 1 ��
��!���� �� ���"�� ! (� -!� ;��� "� ��"�� Δω0 � ω0)�
9����5 � �!��"#�5 ��& !�� ���!����� '"�- �(� C� �! � �.
�� !# -� !�!�� '�� ��� ?" ����! "#��� � � ��(!�� !# � ! � ��!��5&
� �!�� ��!��5& ����� �� � !��!# � ��
w(спон)ω = G(ω)w(спон) = G(ω)A21. �AI�AB�
<� �!�� � �0*����� -!�05
∫w(спон)
ω dω = w(спон). �AI�AA�
%5; 05"� ��� � �� �5��� � �AI���� �('5��41 ��� �����
� ��(!�� ! ���!����� ���6�������� '"�- �&� =!� �('# �'��.
-� !� -!� � ��(!�� !# ���6�������� '"�- �( !��� -� !�!�� '�� ��
� ! � �!��"#��4 �"�!�� !#
w(ин)ω = G(ω)w(ин) = G(ω)B21ρω. �AI�AI�
<� �!��� ��� � "�-� ���!����� '"�- �(� � �0*����� -!�05
∫w(ин)
ω dω =∫G(ω)B21ρωdω = w(ин). �AI�AK�
C " ���6��41 '"�- � ����*����!-��� !� �� �� !��&� !�-.
�� � � '���� ���� ! ( ρω = ρδ(ω−ω0)� � δ(x)3� "#!�.2���6(,�����
9��� �AI�AK� �� !
w(ин) = G(ω0)B21ρ = 2
πΔω0
B21ρ. �AI�A��
?����1 � �� � � �'�� �;�(41 � �!��"#�5 "� ���.
6������5* � � *����� �� �#;� ! � ��(!�� !# !��* � � *����� ���6.
�� �5*� '���� �5�����*����!- ��'"�- � �� �0��!��������6�.
��"#�� ;�� "��
%5��� � �AI�A�� ���� �� ! � "; ���4 �! � � !���!����� % �� .
� "#��� "�-� � ���� � "-�� Δω0 ��� � "( ! ( !�"#�� ! !� ���&
I�I ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
;���& "�� " �� ! ��"��!# Δω0 = A21� 7� ���226 �!5 =&�.
;! &�� A21 B21 �('��5 � ��� �0�& ��(��& ������6���"#�� !#4�
<��!��� ' �AI��� � !����� ��&! ���226 �! B21M
B21 = Δω0π2c3
�ω3.
<�� !��� �!� �5��� � � �AI�A�� ���'� �( � "���5 �� �0��'����(�
��"�-� �
w(ин) = 2πc3
�ω3ρ = 1
2π
N
T, �AI�A��
� T = 2π/ω 3 � ��� ��" 0��& ��"(� λ 3 �"�� ��"�5 � '���� ���
'"�- �(� � � "-�� N = nλ3 3 - "� ����!�� � �" � �!����� ��0.
� ���#4 � �"�� ��"�5� n = ρ/�ω � ! �5 " - "� ����!�� �!��
'"�- �(� ��*��(1* ( �� ��-�5& �0J ��
9��� �0��'��� " � �!��"#��( "�( ��0"4�� ��� � � *��� �;.
� �� ���� ";# ���!���5� '"�- � �� !� - "� ����!�� ���6�����.
��� '"�- �(� �� �� �5* � ��6� �� � � ����& -� !6 &� ��(��
������6���"#�� - "� ����!�� ���6��41 � '"�- �(� ��*��(1*.
( �� �" � �!���5& �0J � λ3� �!� ����� � � ���� ��!� ! !��41*
��" 0��& ��"(�
F;� � "�� �0� "��" ��� ��� -�� !#4 �� � � �'� � !�.
(�&� �('���5* �� ��!��� �5� � � *����� ��'5�� ! ( ��������5��
����5& �!��� ��*��(1& ( � ��!� ! !��41 � � !�(�� '"�-� ! ��
� � *�� � �*� ��' "�4 ;���& Δω 2���.2��!���� G(ω)� ���.
"�-�� ����5& �!��� ��*��(1& ( � ��!� ! !��41 ���� � � !�(��
��"�1� ! �� � � *�� �'� �� �* '"�- � � � �!� ;���& Δω
� ��!� ! !� � � �!��"#��& '�� �� !#4 G(ω)� 7 ��'����� ���.
�!# ����4."0� ��� � " ���4 � �!��"#��4 ������ �!� � � �!� G(ω)
������.!� ������ ��� � " ����� �!���� �'(!��� ' �� ��0"( 0 ����0.
�5*� <� ���������� �;� �� �� '�� �� ! �! � �����5� � �.
!��"#��( '�� �� !# G(ω) !# ���( � �!��"#��( *����! � !�� ���
����� �!���� !�� � & * �������� !� �'� � � �!�& *����! � .
!�� � ���6� ��'����� �� !�� " ��� ��'� & !� �� �� ��0"#
�!����� ��� *��! ������ � ��� �������5� �0��'�� �"( � * �!�.
��� �� ��0"(�
<�� ��� ���������� �;� �( (�"(4! ( �;� � ! !� ���
�;� � !�"����! "#�� � �'�* � �"�'� �'���� ��'�(��� ,��� � .
"�3� ��������� �;� � � =� � �� �!�"#�� ��0"4�� �5 � �!��"#.
�5 "� ���! (�!# ( 0 !���!���5� ��"�� � �� ��0���� � ��'� .
;� ��& �� ���'6 & � ��"#�* ��������� �;� ��5* "�&� % �!*
� "��(* �����( -� !6� �" ����� -� !6� '"�-� ! " ��"�1� ! �
�� � "�* ";# -� ! � & �� � �� �!�"#�� ��0"4�� ��& "�� �� ���
!���( � �!��"#��( "�( ��'5�� ! ( � ��������� �;� ���&� <�-��&
� ���������� �;� �( ��� ! 05!# "40� �0 !�(! "# !��� �����(1
� ��'"-(� � � "��(* '"�- �( ���"�1 �(� �"( ��'�5* ���� ���.
��"#�� �������5* �!���� " �� ��� �� ��0"( -� !6�
.0-L- h���&��� :����N���� (�*��������� �*��$���/ I�K
<�� ! &;� ��� ��� � ���������� �;� �( (�"( ! ( �;� � �
��0"4�� �� �� � �!��"#��� " ����� �'���� ��'�(�� � " � !�
�22 �!� ,��" �� �� ! �"���� ��� � �!���� �'�� D�� !�� -!� ��.
�" ��� �� �;� � �� ��� � ""�� ��� �� �� � " � �!���� �'� ��
���� !(� �� ! �� ��� 2���� "� � �� '���-� AO ' ��'� "� �? �������
��"� ����#��� ��8��=���� ��2�������8� �2�34���!
% "� ��� � !�� ���226 �!�� =&�;! &�� �B12 = B21� ���6.
������5 � � *��5 � �*� ��' � '"�- � � �� �� �'� �� �*
� ��"�1 � � �� �� � �� - ! �� ��� �!�� ������ ��(!�5� % 6 "��
� � ������ ��& ����!���& ! � �5���� ��5* � � *���� ���*
����� & �� � �*� ���'5�� ! ( 0�"#; � - � �0��!�5* � � *����� ��!���
-!� ��'� -� !6 0�"#; � - � �� �*�� =!� �����! � ��"�1 �4 �� �.
�� ;� � � '���� ��� '"�- �(� ���6��41 � ��!� ! !��41
� � *��5�
, & !�! "#��� '� � � �� � �� ;� � ��"( '"�- �( � ��-.
��� �0J � ����!���& ! �5 ��� � "( ! ( ��'�� !#4 �� �&� '"�-� .
�5* ��"�1� �5* �� ������"#�5* � � *���* ��' �� �*� <� !#
! �� � ��-��� �0J � �� ��! n � '���� �5* �!����� n = n1 +n2�
� �� � 5 A I �!�� (! ( ��!� ! !� ��� � ��� �� � �*� �� �����(��
9��� '"�-� ��( ��1�� !# ����� n2w21�ω� � ��"�1� ��( 3 n1w12�ω�
?" ����! "#��� � ��!� ! !� �AI�A�� ���� !# '� � �( �"�!�� !
�� � �� "�-� � �5���� ��5* � !�(�& A I� �����
dρ
dt= (n2 − n1)B21
2ρ
π Δω0
�ω. �AI�A��
=!� � "-�� �� n1 > n2 �!�6�! "#��� =� �( �� ;� � ��"( ��"�1�.
! (� <� '�� !�����"�1 � �!�& �� � �� " ��� !n1 n2 '� �(.
4! (� � �(( ! � ��5� ���� !# ��"�1 �(� <� � 0� �( !�"# "#�5�
�"(� � ��"( �� � 1 !��� �5 � !� � ( � �� � "�* �05-��&� ��"�' ���&�
"� &��& ��!�� �"( ��!���& *����! ��� � '�� �� !# ���226 �!�
��"�1 �( '"�- �( �! � �! � ��� !�
,"( '"�- �(� �� ��� !���(41 � ( � �� ��"�5� 0 �1 & � ����.
!#4 c � ������" � � z� ���226 �! ��"�1 �( ��� � "( ! ( ���
α = −1
I
dI
dz. �AI�A��
<� ��"#�� I = ][^_` · ρ dz = cdt� !�
α = − 1
cρ
dρ
dt. �AI�AN�
9��� ' �AI�A�� �5 ��"�-� �
α = (n1 − n2)B212
π cΔω0
�ω. �AI�AO�
I�� ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
% ��!- ��� ����'�� ��� ����"� n2 � n1 ≈ n
α = nB212�ω
π cΔω0
. �AI�IB�
=!��� �5��� �4 ����� ����!# ����4� 0�" ��"(���4 2�����
<� " � "���5*�� �0��'����&� �� ��"#'����; # 1 ��' �('#4 �AI���
� ��� ���226 �!�� =&�;! &�� �� �( � �� ��!� � �"�� ��"�5
'"�- �( λ� �5 ��� � '�� �!# ���226 �! ��"�1 �( α � ��
α = nσ. �AI�IA�
=!� '�� # ����! � �� ��!� � !�� ��'5�� �� �22 �!��� - .
� σ �'���� & !�( -� !65 � '���� �5� �" �!�����!�5� ��" �
"� ���!��� - � � '���� ��� ��"�1 �(� *����! �'�41 ��"�.
1�! "#�5 ��& !�� -� !65� =!� � "-�� ���'5�� ! ( �����&
σ = λ2
2π
A21
Δω0
. �AI�II�
% �� � "#��� "�-� ! !� ���� �;� �( A21 = Δω0� !�� -!�
σ = λ2
2π
� % � �"#�� ! *����! ��5 '��- �( - �( ��"�1 �( � '��.
�� ! �! � �!��"#��� ����'��� ����� !��� � � *��� ����� !���
�!��� " ��! � �- �# ;����� ����'�� �10−12 ÷ 10−24 �2��
<��- ��� � 1 ��'� -!� �5; � -# ;"� � "� &��� ���226 �!
��"�1 �( " ���226 �! ��"�1 �( ��"�� ��"�� ���� � ".
-�� �!�� ���226 �!� � '�� ! �! �! � ��� ! ��"�� 7 '��.
�� !# ���226 �!� ��"�1 �( �! �! � ��� ! ��"�1� ���
'"�- �( ��!� ! !�� ! *���;� '� !���� � ��!� '����� @� �� :+��.
0 �!� : @ ��� =!�! '���� � ��; � �� ��!� � ��"�- � � �� ���"�� ��
-!� ��"�1� �� '"�- � � �5'5�� ! �!�"�� �& �� �� � " �( - "�
-� !6 �� �����(� �� � �! ! �������- � ������ ����
��$� (��������������� �2��.���#����� � ��2��������
���@��:����
% �� �5��1 � �� ��!� � 05"� � !����" �� �('# ���226 �.
!�� =&�;! &�� !��* 2 ��� ��"�- �* *����! � !� � '���� ���
�'���� & !�( '"�- �( �������� !#4 �!����� ��� - � ���22.
6 �! ��"�1 �(� ,"( !�� -!�05 ���(!#� ��� ����!���( � *���� ���*�.
�! � ��"- !� ����� �� ��4 �'���� & !�( '"�- �( ���6�.
�"#�� ����!��5� ! ���� ��"�-!# �� � !��" � � � !���* ��� .
� " �( � ��(!�� ! & � � *����� - �& ��"�1 �( !� �� � � �0*����
���� ! ����!���� *��- �� �� ��!� � �
<� " ����! "#��( ����!���( ! ��( '"�- �( ��"�1 �( � !� 05.
"� 2����"������ <���)� ,����� � AOI�.� ��� � �� � �� !�!�-��& � .
� �� !���� '��� � �� �<��6�5 ����!���& � *����� 3 )�M
.0-3- 7��)�(� �:��!��� �*���� �&����� � (�*�������� :(�"��C���� I��
7����� AO�O�� /����� ��"#��.�0��# !��� " ����� !���6������
�� ��!� �4 �!�& ! �� ��" �� �5*��! '� ���� ��; � '"�� �(�
/���-� ( ��"��"� - �� �� ��!� � �� � *�� ��!���� ��
���! 05!# ��"�- �5 ����5 � '�"#!�!5 ��� � � ��!���� � 6 "��
*����! ��� �"( ��!- ��& � ����.� � �!�� ��� "�' ���& 2'��
% �!�� �� ��!� � ! �� �-� !6�t ��" '"�- �(� ��'0�� ! ( ��
�� -� !M ����!���( -� !6� �"� - �� ��" '"�- �(� ?��!� ! !� �.
�� �� �( !���& ! �5 �� � !��"( ! ( ��� �������( �� �( �!� "#��
�'(!5* -� !65 ��"( '"�- �( �"4 �� �( �'���� & !�( � ���
��� �� !6� �� 5�� ! ( ��"����& 2���6 &� ����" !���(41 & ����.
� �4c� �� ��� � ��!��� �*��! ��� ��'��1 � �� ��!�� �'���� &.
!�(� ��!� ! !��41& �� � �'���� & !�(�
G� ��!�� ���"#�� �'���� & !� �" �!�- ��� ��"(
E(t) = E0 cosωt = 1
2E0
(eiω t + e−iω t
)
�AI�IK�
�" �!�����!��& ��"�5 ���*����� ��& ����!���& -� !6 &� <� !# �.
��"#�5& ��� �! � � *��� � ��� �!� �����(� ��� � �� 9��� �� �(
�'���� & !�( -� !65 ��" � � !��"( !
V = −dE(t). �AI�I��
,"( ��� !�!5 � ��"#� &; � 0�� � -!�!# � �!��5 � � ����"" "#�5��
<� !# �� !��&�� -� !�!5 ��"( ω �!�� ! "#�� -� !�!5 � � *��� ω21
Δ = ω − ω21 �AI�I��
� �� ��"�M
|Δ| � ω21, ω. �AI�I��
=!� !# � "�� !��� -!� �� ��!��� �� �'���� & !� (�"( ! (
� '���� �5�� /�� ���� �"�� �� ! * ���� ���� �� �( �'���� & !�(
� ";��� � "�� � �� '�� !�� � �#; �� � !- ��� �� !�(�(
� ��� �����(�M
V = dE� �ω21. �AI�I��
<� ����; � �!�� � "��( ��'��1 � �0 !� ��5* -� !�! -� !.
65 !����! ( '�� !�5� ���(! � '���� � ! �( ! ��& �"� &�5&�
�5 "� ,"( *���;� ��'� ; ��5* � � *����� !� � �� d� �� �5;�41 �
10−18 �� ?>?= �A , 0�&�� � "�� �AI�I�� ��-�� ! '�� !�� ����;�!# (
�"( �2����� ��� '"�- �( �� �! � ��� ! 1011÷1013%!
/
�2� � �"(
����� �"#!��2�" !���� 3 �� 1013 ÷ 1015%!
/
�2� ��! � ��� !
!���� ���(��� � �� !�(1 �� �( " �� �� !��5 � !���� "�' ���&
2'��
���� !��� � �0*���� � !# � ��� " ��41 ����� �0 !�.
(! "# !��� ,"( �*��� �( � '���� ��� *����! �� �'���� & !�( ��.
��(� ��� !# ��"( '"�- �( E � ��"��� �� �5;�!# �!����4 ����(.
� ��� !# ��"( Eат. ∼ e/a2 = 5 · 109 %/ � " ��� ��0"��!# ( � � &M
I�� ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
E� Eат. �AI�IN�
D� # � ";� ������!#� -!� e = 4,8 · 10−10 �� ?>?=3 '��(� �" �!����
a = 0, 53 · 10−8 � 3 ���� � ���& 0���� ��& ��0!5 �!��� ����.
����� <�"4 � "-�5 5 · 109 %/ � ��!� ! !�� ! �! � ��� !# "� &��
��"(�'������� '"�- �(� ��� ��� �����( 3,5 · 1016 %!/ �2� <��!����
��� ����"�� *�!( � � ��� � "�� �AI�I�� ���'5�� ! ( 0�" � !���
<� �5��"� � � "��& �AI�I�� : �AI�IN� ����� � c� �� ��� ��.
5��41 �� ��!��� �� �'���� & !� � � ;� ! ( � � '���� ��� ��.
0"� �� ���� ��'5�� ��� !��� ��0"� � � ���1�41 & ( ��"�5�
<� !# �������( �� �( �!� "#�� �'(!5* -� !65 ��"( '"�- �(
�� 5�� ! ( ��"#!������ H0� 9��� �"( Ψ.2���6 -� !65 � ��"
'"�- �( �5 � � ����� �
i�∂Ψ
∂ t= (H0 + V )Ψ, �AI�IO�
� �� ��!�� �'���� & !�( V � ��� ��" � -� !6 & ��!� ! !�� !
�� � �'���� & !�( �AI�I��� =!� �'��-� !� -!� � ���"#��� ��0"� .
� �� ��!�� �'���� & !�( ���! ( � �� ��!��� ���"#��� ��� �!�
� � *��� dM
V = −1
2E0
(eiω t + e−iω t
)d. �AI�KB�
�� ��� �� ��!�� ���"#��� ��� �!� � � *��� d� !�-� � � ��!�-�5
�" � �!5
d12 =∫ϕ∗
2dϕ1 dx dy dz =∫ϕ∗
1dϕ2 dx dy dz = d21, �AI�KA�
�-!5��4! � 62- ��4 ������ ����� !��& ����!���& -� !65 �
�'���� & !� �"� - �� �" �!�����!�5� ��" �� ?!�6�����5
��"���5 2���6 ϕ1 ϕ2 '�� (! !�"#�� �! ��� !��� !� ��5* �������!
� ����" !���(( �����( �� �� !�6�������� ����� �4 c� �� ��M
H0ϕ1 = E1ϕ1, H0ϕ2 = E2ϕ2, �AI�KI�
��"�� !#4 *����! �'�4! � !�(�( A I �� ��!��� ��& ����!���& .
! �5 ������ �� � E1 < E2)�
9���� ���� -� !�!� � 6""(6& ��'��1 �( �AI�KB� 0"'�� � �0 !� �.
��& -� !�! � � *��� ω21 = (E2 − E1)/�� ����������� ����� �����������
�� !"�"#$ ������� !"�"%$ ����� ��&��� � ����������� ��������
��'� ��������! ��2�������8� ���@��:���!
D�� (1 �! �� � � ����� � c� �� �� �AI�IO� � � '���� ���
��0"� � �"( ���*����� ��& -� !65 ���! ( � ���� ����� �(� �"(
���"!�� ��"���5* 2���6& � ���� �!���� � !�(�& -� !65� <�"�.
-� �! ����� �(�
.0-9- ��K���/K�� ������������& I��
<� !# ����(Ψ.2���6( �� � !��"( ! �0�& �� ���'64 *���5*
��"���5* 2���6& -� !65 '�� (1� �! �� � � ���226 �!��M
Ψ = a1(t)Φ1 + a2(t)Φ2, �AI�KK�
�
Φ1 = ϕ1(r) exp (−iE1t/�), Φ2 = ϕ2(r) exp (−iE2t/�),
i '�� (1 !�"#�� �! ��� !��� !� ��5* �������! 2���6 ϕ1 ϕ2 �!#
!�6�����5 ��"���5 2���6 � !�(�& A I ��; & ���*����� ��&
����!���& ! �5 � " ����! "#��� ����" !���(4! ����� �(� �AI�KI��
<�� !��� �AI�KK� � �AI�IO� �- !�� �AI�KI�� F�����( ��"�-�; .
( ����� � � � ���� "�-� �� ϕ∗1� � �� �!���� "�-� 3 �� ϕ∗
2�
��-" ��� �! ���( �� � � ��� !��� !� ��5� � � � ��5� �- !��
��!������������ ! ��"���5* 2���6&� ��*��� � ���� ����� �(�M
i�da1
dt= −1
2a2
[eiω t + e−iω t
]e−iω21tE0d12,
i�da2
dt= −1
2a1
[eiω t + e−iω t
]eiω21tE0d21.
�AI�K��
% �!* ����� �(* ��"#'����� ��� � " � �AI�KA� ��!�-�5* �" � �!��
�� ��!��� ���"#��� ��� �!� � � *����
F��� !� ! � �# ����� �( �AI�K��� �-!( � "�� � '���� �� ! �AI�I��
��� !� 05 !�� � 6""��41 -" �5 ��� exp [±i(ω + ω21)t] ≈
≈ exp [±2iω21t]M
i�da1
dt= −1
2E0d12a2 e
−i(ω21−ω)t,
i�da2
dt= −1
2E0d21a1 ei(ω21−ω)t.
�AI�K��
<� � !��� ! � �# � �" ��� � �(41 ( �� �� � � ���226 �!5
a1 a2 � �� !�-��� �� M
a1 = ψ1 exp [−i(ω21 − ω) t/2] ,
a2 = ψ2 exp[i(ω21 − ω) t/2] .
�AI�K��
,"( ���"!�� * � 6""(6&ψ1 ψ2 ' �AI�K�� ��"�-�4! ( !��� ����� �(
i�dψ1
dt= −1
2(�ω21 − �ω) ψ1 − 1
2E0d12ψ2,
i�dψ2
dt= 1
2(�ω21 − �ω)ψ2 − 1
2E0d12ψ1,
�AI�K��
��!��5 (�"(4! ( ���5� ����� �(� � '���� ��� ��0"� �(�
I�N ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
��*� ��;���!;�� ������������#
=��"46( �� �� � �2���6&ψ1 ψ2� �!�� ! "#�� ��!��5* '�� ��5
����� �( � '���� ��� ��0"� �( �AI�K��� ��� � "( ! ������ ��.
��& Ψ.2���6 �� ��!��� ��& ���*����� ��& -� !65 ��� � & !� �
� '���� ��� ��"( E(t)� <� �!�� ������!5 ����" & |ψ1|2 |ψ2|2 ��� � .
"(4! � ��(!�� ! ��&! -� !6� �� �����(* A I ��!� ! !� ���� ,���
"����� ������! ����"( �!* 2���6& ��� � "( ! ������ �� " ���.
! & ����� & A I ��� � & !� � '"�- �(�
G� ��!�� ��'� & !� �� � '���� ��4 � �� ��"( �� !�(���& ��.
�"!��5 E0� ��"4-� ��� � ��� �! t = 0� <� !# � �!�! ��� �! -� !6�
��*��"� # �� ��� � ����� � ψ1(t = 0) = 1� � � �*�& ���� �# 05" �� !�
ψ2(t = 0) = 0�
���� ���"!��� ��"( '"�- �( �� !�(���� ����� �( � '���� ���
��0"� �( �AI�K�� �!# "� &�5 ����� �( �� !�(��5� ���226.
�!��� %5����( ψ1 ' �!���� ����� �( - � ' ψ2�
ψ1 = − 2
E0d12
[i�dψ2
dt+ �ω − �ω21
2ψ2
], �AI�KN�
��� !��"(( � '�"#!�! � � ��� ' �*� " �� ��"�-!# �"( 2���6 ψ2
����� � �!���� ���(���� ��!��� ���'5�� ! ( ����� � � �����- .
��� � 6""(!���M
ψ2 + Δ2 + Ω20
4ψ2 = 0, " ψ2 + Ω2ψ2 = 0, �AI�KO�
� -� !�!� � 6""(6& ��� � " �� ��!��; � �
Ω = 1
2
√Δ2 + Ω2
0, �AI��B�
G�'�� !# Δ = ω − ω21 !# �! !��&�� -� !�!5 ��"( �!�� ! "#�� -� !�!5
� � *���� � � "-��
Ω0 = d12E0
�
�AI��A�
��'5�� ! ( -� !�!�& G�0� G ; � ����� �( �AI�KO� *���;� '� !��M
ψ2 = A cosΩt+B sin Ωt.
% ���(!5* ��-�"#�5* � "��(* A = 0� D��- � ���226 �!� B
����� � !����!# ' �!���� ����� �( � �AI�K��� � �� t = 0 " �� !
��"��!# ψ1 = 1, ψ2 = 0, ψ2 = BΩ� =!� �� ! B = iΩ0/2Ω� 9���
ψ2 = iΩ0
2Ωsin Ωt. �AI��I�
.0-9- ��K���/K�� ������������& I�O
<� �!�� ' �AI�KN� �5! �� !� -!�
ψ1 = cosΩt− iΔ
2Ωsin Ωt. �AI��K�
%���� -!� ��"���5 2���6 ! * � !�(�&� ��!��5 � �! �! !�
�� ;�* ��'� & !�& 05" !�6�����5�� ! � �# ���'5��4! ( � 6"".
��41� �� �� � � -� !�!�& � ,"( �� �! � �� � ��(!�� !# '� " .
�( � �*� � ��!����� �����(� /�� � !��"( !|ψ2|2 = 1
2
Ω20
Δ2 + Ω20
(1 − cos 2Ωt). �AI����
<�"�- ���( 2����"� �� 5�� ! *����! ��5 - �!5 ���6 � '� " �(
� �*� � �����( ��� � & !� � ����*����!- ��� ��"(� 0"'��� � � .
'���� �����
�'2����"5 �AI���� " �� !� -!� �� " ��� !# � �*� � �����( � 6"".
�� ! �� �� � �� �����" ���� ��"#�5�'��- � � |ψ2|2max = Ω20
Δ2 + Ω20
-� !�!�& I� ��� � "( ��& ��� �� !��&��&� !�� -� !�!�& G�0� /- ��.
��� -!� �� � * Δ �= 0 � "-�� |ψ2|2max < 1� !� � � �!��5 ������ � ���
� ���! ���'�!# ( �� � �*� � ����� �
?� �!��"#��( '�� �� !# ���"!��5 ��" 0��& � �AI���� � ! "�� �.
6 �� 2����� !� � ��!� ! !�� ! "�-�4 ���������� �;� �( ��"�;.
���&� �����& -� !�! G�0�
/ !����� ( �� �� � "#�5* -� !�5* "�-�(*�
<� 0�"#;�& �! !��&� " �� "�0�� ��" '"�- �(� ����Δ2 Ω20�
����� ��"��!# Ω = Δ/2� !�� -!�
|ψ2|2 = Ω20
2Δ2(1 − cosΔt). �AI����
% �0��!��� �� � "#��� "�-� ��"�& �! !��&� "� -!� �����" �!���
�� �! � ���� ��" '"�- �( Δ2 � Ω20� � � Ω = Ω0/2
|ψ2|2 = 1
2(1 − cosΩ0 t). �AI����
?�5 " ���* �� " ��*2����" �� !�!�-�� ���'��- ��<��! � ����
�0"�- �� ����(� ��� !# ��"( ��!���� !�"# � "��� -!� -� !�!� G�0 �.
1 !� ��� �� �5;� ! �! !��&�� -� !�!5 ��"( �! !�-��� � '���� �� ���*.
����� ��( ����!���( ! �� � 6""�� ! � ��� � �*�� ���� ����.
�(� -� !�!�& G�0 � �� �AI������ % "�0�� � ��" � ���� ��!� ! !��4.
1�( �� -� !�!� G�0 ���� � �#; �! !��&� -� !�!5 ��"( �! !�-��� � .
'���� �� � ��(!�� !# ��*��� �( -� !65�� � �*� ������ ����� � ��.
!� ! ��65 � �� �AI������ <� �!�� � 6""(6 � ��(!�� ! ��� *�.
�(! -� !�!�& �! !��&�� 7���� 6� � "�-� !�-��� � '���� � �Δ = 0) -�.
!6� � �0*���� !#4 �� !� ! � �*� � �����( �� "�0�� ��" � *�!(
I�B ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
'� �"! "#�� �� �(� ��� � "( �� � �!�� "�-� � �" ��� !#4 � 6""(.
6& G�0�
7���� ������� ����!#� -!� � ���� � ��� �5; �� ��!� � �5.
��"� �� 0 ' �����."0� �- !� ���6 �� � �0��!��� � "�� �6�����
�� ���� � �*� � �����(� =!� ���� �"�� !�"#�� �"( ! * �� � ��5* �.
! ���"��� �� ��!��5* � "�� �6���5 ���6 5 ����� -!�!# � �1 .
!� ��5��
��,� ������ 3)������
G� ��!�� 0�" �����0�� � �!��"#��4 '�� �� !# �AI����� %5;
05"� ���- ����!� !� ����� �0 !�(! "# !��� -!� " ��" �! !�� �� �!
!�-��� � '���� �� Δ �= 0� (�"( ! ( "�05�� Ω20 � Δ2� !� � ��(!�� !#
��&! -� !6� �� � �*� � ����� ����� � �� !� ! ��65� 7� �� ".
- � ����(� ��� ! ��"( �5'����5& �!� �� ! Ω0 �� ���" ��4! �"(.
� �! !��&�� <� Ω20 Δ2� ��� �5 '�� �� �� " ��� !# � �*� � �����(
0�"#;�& -� !�!�& � 6""�� ! � ��� ��" � ��6 &� ?" ����! "#���
��" �22 �!��� �;�( ! � � *���
%���� � ��" ��� �;� � � � *��� �" �����(� �- �# ��� �� G -#
� ! � ����- ��� �;� �� ���� ��� � & !� � "#��� ��"( -�.
!6� � ���- � � ��(!�� !#4� 0"'��& � ��6 � � �1 !�"( !
� � *�� � ��� �����(� A I� � ��!�( �� �! !��&�� -� !�!5 ��"( �!
-� !�!5 � � *���� ?� �!��"#��( '�� �� !# � ��(!�� ! � � *��� �AI����
(�"( ! ( "�� �6 ��&� � � '���� �5& '��� ��! "# ��!���&� ���(�� ������.
!�� �! !��&�� �*��! ������! -� !�!5 G�0� ��41 &� !��� �0��'���
��"# ���������� �;� �(� ?" ����! "#��� !��� ����(� � �! �! !�
� "�� �6���5* ���6 �� ����� �� ! � �� ��!� � ����- ��
��" �� �;� � d12E0/�� �1 !� ��� '� �(41 � '���� �5 ��&.
!�� ���*����� ��& ����!���& ! �5 �� 0�"#;* ����(� ��� !(* ��"(
�" �!�����!��& ��"�5�
<� � 1 � -� !�!5 "� � � *��� �� � "-�� Ω0 ��!� ! !��.
41 '� � � �� � 2�!���� ���6��41 � �!�! � � *��� � !��"(.
!�Ω0� C�� !� ��5��'���� & !� �����1�'� �!# � "-�� �� �.
!- ��� '�'��� � ��� �����(� I A� (�"( ! ( � �� ��!��� ��&
!��6 �" �!�����"#�� �'���� & !� �� � & ∼ d12E0� <����.
���� �!* ���* �� �& ��� ���� �� !� ��� " ����"� ����!#� '��- .
� -� !�!5 G�0 �AI��A�� D�� !�� � !�!� -!� ��0��� �( ��'� ��� !
!�-�� !��� � �0��'�� ��'��"(4! ��� � "!# '��- � ��" ��� �;� .
�(� C�� !� ��5� ����� !��� '���-� � 41� ��'� ��� !# -� !�!5�
(�"( ! ( ���0��6( d12E0/��
7���� 6� �� !�� � !����!# ( �� ����� ���6��"#��� ����� �
�'�-�( ��"�1 � �� ��� '"�- �( ���*����� ��& ! ��&� �5
���-�" �� ���"��"� -!� !��� �5��"� �� � "�� � '���� �� !
ω = ω21 = (E2 − E1)/�.
.0-P- '������ �8�(���� I�A
,�" �5 �� ��!� " !��64� ���� �!� � "�� ����;� ! (M ���.
'5�� ! ( "0� ω > ω21� "0� ω < ω21� <� �!�� �5 ��;"� -!� -� !#
�!���� � � � ���- � � � *��! � ��'0��� ��� � !�(� � !� � ��
���� �# E2� %�'��� ! ����� M ��� �!� �"� � ! ( '������ �*��� �(
�� �L %���� !�! � �0 ��� � !�� � "�-� ω < ω21� ���� �� �
����!� '"�- �( (��� � �� !�!�-��� -!�05 � � 0�� !# �!�� ��� �
�����( �� � �*�&� %���� � ;� ! ( ����1#4 ��!��; �( � ��� � .
" ��� !�
% � & !�! "#�� ! � �����& !��6 �5 � � � "� � !�6����.
�5����6 ���<� ��"#�� �!�� ! - � � �� � �� �( ! �� � !�(� �
�� � *����! �'� ! ( ��� � " ��5� '��- � � �� �� @�" !��� �5
� ��� � !��� ����!# � ��"�� � �� � !- �* ����� &� �� ��"#.
�� �! ����� ��� � "(4! ( ' '���- �0 �!�� � �! �! !� �" �!�����!.
��� ��"(� <�" �����!� ��.� ��5*� � � 1 �4 ����� &� � ��.�!��5*�
� "�-� � !�6�����5* � !�(�& 3 � �;� �4� ��'�5!4 ����� &�
<� " �� � "� ! ��'����5� � � *�� �� � !�-��� �5��"� � � "��(
� '���� �� <� ��"#�� *����! ��� �� �( ���6 � τ ∼ 1/2Ω� ��'���41�(
� ��� � " ��� !# �� � � !��"( ! ΔE ∼ �/τ ∼ 2�Ω� �' ��� � " �(
-� !�!5 Ω � �AI��B� " �� !� -!� ΔE � �|Δ |� � Δ = ω − ω21 3 �! !��&.
�� -� !�!5 ��"( �! � '���� �� % !� �5 ��"�-� � ! !� ��5& �5����
-!� � �� � "�*� ���� �� �5* ��!��; � � � ��� � " ��� ! &� ������
����; �( '����� �*��� �( �� � � ��� *��!�
D�� �;�( ���"' ����� �� " ��� ! & ���*����� ��& ����!���& .
! �5 � � '���� ��� ��" ����*����!- ��� �" �!�����!��� '"�.
- �(� '�� !�� -!� 0�" ��"�� '"�� � ��� � �� � u�B � '���-
� �!��� ������2� ��M /���� /+ N+" /�)��( O+!+ ����!���( � *�.
���� 3 )�M 8'��!"!� IBBA�
% '��"4- � �!�� ������2� � !����� ( ���!�� �� 0�" "�����
���6 3 ����2�!����� ��"�1 �� �!# ��!���� � " ��41 ��
<� !# �� � ����� 2�!��� � �� !�!�-��� -!�05 � � � ! �!��5 � ��'.
0��� ��� � !�(� � � !� 0� ! ( �� ���&� & � � ��� 2�!���� % ��!.
� ! !� �� !�"�!�� @��� �� �� � !- �� ��0��� �(� �" �!��.
���!�� ��" � � !�(1 ' !��* 2�!����� � ��� ! ��'0��!# ! ��
� � ��"#��.�0��# '�� !��& � ��(!�� !#4�� � ��!�( �� ��� -��4 ;�.
�� ����� &� �� ��"#�� � ������ ��! �'���� & !�( �!� "#�5� �!����
�-� !�� ! !�"#�� ��� 2�!��� C1 � � � ��(!�5� �� � !��"(4! ( ���.
6 5� � ��!��5* �"( ��'0��� �( �!��� !� 0�4! ( !� 0�" 2�!�����
G� ��!�� � ��- !� ��� �� ���*2�!���� ��"�1 � �� � AI�I��
9���& ���6 ���'5�� ! ( ��'����5� 0"�����( !���� -!� �� ���� ��.
!�-��& !��� ���� ��"�1� ! ( � ��5& 2�!��� ��'��� ! � � �"#�� � �
��!��"#�� � � ��0"4�� �� � !�(� � ��!��� ��� ! �1 !����!# ";#
����!�� �� �( τ ∼ �/ΔE ∼ 1/ω21� % ! - � �!�� ����!��� �� � .
� �!�� ��"� � � � !# ��"�!!# �!���& 2�!�� � � &! �� � � �"#��
� !�(� � % ��(!�� !# !���� ���6 � ! � 0�"#; � - � �5; �! � �.
�� !# ��"( '"�- �(� /����� � �!"- �! "�-�(� ���� �"( ��'0��� �(
I�I ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
! �5 �� !�!�-�� ����� 2�!���� � ��(!�� !# ���*2�!����� ��"�.
1 �( ���'5�� ! ( ������6���"#��& ������!� �! � ��� !� %��01
E1
E2
��
E1 + ��
��
2�� ��� �� 1� )) �,0�������1� �+=,4����� ��)
� "�-� ����2�!���5*���6 �� � ��(!�� !# ������6���"#��w ∼ IN �
� N 3 - "� 2�!����� � �0*���5* �"( � � *��� E1 → E2� /6 ��
����'5��4!� -!� � �"#�� ����2�!���� ��"�1 � ��0"4�� ! ( ";#
�� ! * �! � ��� !(* ��"(� ��!��5 �� !�4! ( ����1#4 ��1�5*
"�' ����
?" �� ! ���- ����!#� -!� '���� �*��� �( �� � � ����;� ! ( �
�!�� ���6 � *�!( �� ��! � !� -� ! ( !��(� � ��'�����( � �"� - .
��& 2'� � C � �"'� �� !# � ����!���& � *��� �0� "��" �� ! �� -!�
���6 � !�6�����5& !�"# ����!�&� -!� ��'���41�( � ��� � " �.
�� !# �� � � �����! � � '��� !��
��/� E����4��# &��.��� ��������� ��������8� .�.����
����7��� � ��& �;���� (#�)��#�� �12
,"( !�� -!�05 �('�!# ��"�- ���4 �5; � ��(!�� !# � � *��� �AI����
���226 �!��=&�;! &��B12 �"( ���6�������� � � *���� ���� ��.
� �!# �!�! � '�"#!�! � "�-�4 ! �"���� '"�- �( �- !# � �!��"#.
��4 ;��� � � *���� ?� �!��"#��( �! � ��� !# ! �"���� '"�- �(
�!�� ! "#�� ��"�� ;��� � �!�� -� '�5-�&�� � "��� ?" ����! "#���
��� ���" �! �� ��"#'���!# ( 2����"�& �AI����� �!�� (1 & ( � -� !����
"�-�4 "�05* ��" & 0�"#;* �! !�� �� <� � !��� &-� � 0�"
���0��� �"( ��������� ��" ���"'� �� M
W =(d12E0
�
)2 sin2[(ω − ω21)t/2]
(ω − ω21)2. �AI����
%*��(1�( � 2����"� �AI���� � "-�� E0 �('��� �"�!�� !#4 �� �.
�" �!�- ��� ��"( �" �!�����!��& ��"�5 ��� !5� *���;� '.
� !�5� ��!��; � �M E20 = 8πρ� <� �5��� �AI���� �5 �� ��!���"
.0-<- `��(�$�+& 5������ �:�(���(� �:��!���� ������� :�(�#� � I�K
�" �!�- �� ��" � ��"(�'������ ���"# ������" �( ���"(� % "�-�
'�!������ ! �"���� '"�- �( �"�!�� !# �� � �" �!�- ��� ��"(
�� ������.!� ������ �50������� ������" �4 � !��"( ! !� !#4 -� !#
��"��& �� � �!�� ��"(� ���� !��� � �"� ��& ��"� � �� ��� !���(.
41 & ( � ��0����� ��� !��� !� � !�"#�� ��"���� ��"��& �� � ��".
�5 '��"4- �� � �" �!�- ��� ��" � ?" ����! "#��� ����� -!�!#�
-!� ������! ����(� ��� ! �" �!�- ��� ��"( ! �"���� '"�- �( �
=&�;! &��� ��& ��"� ! �('�� �0J ���& �"�!�� !#4 �!�� '"�- �(
��!��; � � E20 = 4πρ/3�
<"�!�� !# �� � ��"( ! �"���� '"�- �( �� �� � " �� �� � ��
� �!�� -� !�! � ��!� ! !� 2����"�& <"����� % !� � �� �( 2����"�
�AI���� �5� � �� �"( ����*����!- ��& �� ;� & "5� <�"��4 � ��(!.
�� !# � � *��� � ��" ! �"���� '"�- �( ����� ��� � "!#� ����! .
������ �5��� � �AI���� �"(W (ω, t) �� � � -� !�!�� ��"( ! �"����
'"�- �(� -!�(� -!� � �AI���� �*��! � �!��"#��( �"�!�� !# ������!�
����(� ��� ! ��"( E2ω = 4πρω/3� 9��� �0��'��� ��"��( � ��(!�� !#
���6�������� � � *��� � ��" ! �"���� '"�- �( �����
P (t) =∫W (ω, t)dω = 4π
3
(d12
�
)2∫ρω
sin2[(ω − ω21)t/2]
(ω − ω21)2dω. �AI��N�
8���6( ρω (�"( ! ( �- �# �"����&� �
sin2[(ω − ω21)t/2]
(ω − ω21)2
�� ! � '�� �5.
��� ��5& � '���� �5& *����! �� 9��� ρω �5�� ! ( '� '��� �! ��"�
�� '��- � ω = ω21� � !�� -!� � !� ! (� " �� ���! ( � �!�0"-�����
�! ��"�� % � '�"#!�! ��"�-� �
P (t) = 2π2
3
(d12
�
)2
ρωt. �AI��O�
%����& � �0 ��� !#4 ��"�- ���� �5��� �( (�"( ! ( !�� -!� � ��.
(!�� !# � � *��� ��� � & !� � ��'��1 �( ������6���"#�� �� � �
�!�� � & !�( t� -!� ��"�� !#4 ��!� ! !�� ! �� !�"�!� =&�;! &�� � � .
��(!�� !(* ���6������5* � � *�����
%� � � � ��(!�� !# � � *��� � ��6� �� � �M
w12 = dP (t)
dt= 2π2
3
(d12
�
)2
ρω. �AI��B�
?������( �!� �5��� � �� !�"�!�� =&�;! &�� �AI����
w12 = B12ρω, �AI��A�
�5 ��"�-� � ����-�! "#�� �5��� � �"( ���226 �!�=&�;! &��B12M
B12 = 2π2
3
(d12
�
)2
. �AI��I�
I�� ,�- .0- Q:������+� � �+��C ���+� :�(�#� +- @�*������+� :(�K���+
?�� �; ��� ���"�-�5� �0��'�� ����� ��"�-!# �5��� � �"( ��.
�226 �!� B21� ��!��5& � ��; � ���*����� ��� "�-� 0 ' �5���� �(
���'5�� ! ( ����5�B12� ���226 �! � =&�;! &��A21� ��� � "(41&
� ��(!�� !# ���!����� �� ����� !��� �� �0�� ��"�- � 05!# � ��� !�
�!��� '��- �( ���226 �!�� =&�;! &�� B12 B21 ��� � "(4! (
� "-��& ��!� ! !��41 � ��!�-��� �" � �!� �� ��!��� ���"#���
��� �!� � � *��� d12 = d21� �5- " � ��!���� �"( 0�"#;�� - "�
��� !5* �" �!����5* ���2���6& ���"� �� !���� � !���� ����!���&
� *���� %� ���* "�-�(* ��*��! (� ������� ��0 �!# � �� � �� �.
!�"#���� ��� � " �4 �!* ���"#�5* ��� �!���
<�� � � - " ��5 �6 ��� % ����� ��!- ��� ����'�� *����.
! ���( �"( � �!�� ���- � *���;� ��'� ; ��5* "#�5* "�& � .
'���� ��� ��"�1 �( � "-�� d12 � !��"( ! ���, 0�& �10−18 ?>?=��
=!��� ���"#���� ��� �!� ��!� ! !��4! ���226 �!5 =&�;! &��
B12 = 6 · 1018 ?>?= A12 = 107с−1 = 10)>6 ��� " �� 3 �"( �".
�5 ��"�5 B�� ����� -!� �� ! ! !� ��� �� �( �'� � B�A �� � %� !
! � -� !�!� G�0 � �!* � "��(* � !��"( ! ! � AB)>6 �� �! � �.
�� ! ����*����!- ��� �0"�- �( � � � 10�%!/ �2� �� !�( ��
�! � ��� ! � 1)%!/ �2 '��- �( � 1011 >6� "� � ���(!5* � � �.
!�� ��� ��6�*� 3,3 �−1�
� � � � � ��
��������� ����������
glSMNsQPQRt olPQuroQRt
@J +������,) "�����������A
����� T �����������,?8 � �� =������ � ��D
+����=� +� � �)�� B ���,- �) � �+ � ������
� +��D������
������������ T � ������ �+ ��� J +������,)
��)���� )����� @+����-���A
@:�� �� 7�=���� ���� 1A
"� � ��������
����!5 '"�- �( �" �!�����!��� ��"(� 2�!��5 �!# 0�'��5� <�.
�!��� �� ���! � ����- ��� '���"�(!# ���� !� � ����!��� � !�(.
� � <� ���6�������� �� ��� 2�!��5� ��� *���5 � ���6��4.
1 � !�� '"�- ��5 ����!���& ! ��&� ���6������5 � ��"�� !#4
!��� !� ��5� � �!"-�5 ��� �! ����� /� � 4! �� �; ��� ����.
���5 -� !�!5� ��"(�'�6 ������" �( �� ��� !��� �(�
�"� - ��( �" �!�����!��( ��"�� !# � '�"#!�! '���"� �( ���.
� !��� !� ��5� 0�'���� � ��!���� '������� � !�(�( ��"(
'"�- �(� =" �!�����!��( ��"�� ���6�������� '"�- �(� (�"(.
( # � '�"#!�!�� '���"� �( ���6������5� ����!�� � ��� !�� �.
!�(�( ��"( '"�- �(� ��!��� '����� ���6��41 & ��"��&� !#
!�-��( ���(�
�' �!�� �5! �� ! ��'����� !# �� � �!��� � " �( �"� - ��&
�" �!�����!��& ��"�5 ����!���& ! ��&� F !��& !��� ���6� � &.
!�( ��!��5* � ����� �� �!* � �����(*� ��"�-" ��� ����� "�' .
���� � ��!� ! !��41�( �!�� "# '���( ��'5�� ! ( ����!���& �" �!���.
��&� -!� ����"#�� !�-�� � � �� ! �!# � "��
?"��� �+�DCG� " �VURvf� !# �00� ��!��� ��"�('5-��� �5��.
� �( �VWmw` UxkqWy]i`W[^ z{ R`Wxrqi`Yl vxW__W[^ [| filWi`W[^�� -!� �'��.
-� ! �F " � � !� �� � � !��� ���6�������� �� ���( '"�- .
�(�� 9 ��� �!�! ����"#�� 05 !�� ��; " � �� �& ('5�� �� �� � �
I�� ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
��!���� -!� �� !�-�� �!���� ! �!# ����� �� � � �� � �����" �!5
"0� � �� !�!�-�� !�-�5� "0� ";��� � 0"��'��-�5�
� !��( ����!���& �" �!���� ��-�"� # 2��!- � � AOKO �� ����
%���8�0����!����'�" ��'����� !# � " �( � !� '� - ! �5���� ����
�� ���( � �"�'� �� � ��& �� " ��� !#4�
% AO�K : AO�� � 7� >� @� �� ��)� <��*���� �'��" ��" ��"(��5&
����!��5& � ��!�� ��������'���� ��0�!�41& �� ����� �hH3�� =!�!
� ��!�� ��"�-" ��'��� ���� �! ��� �� !�� � �� �0��'6� "��� �"�.
' �� ! � �!"- �� -!� � ���( 0���� ��'���( ��� *��! �! �SW]n[}i~Y���
,"�� ��"�5 '"�- �( � !��"("� λ = 1,24 � �-� !�!� ν = 24840)>6��
% AO�� � � '�� �� ��' � �� !��" ,�� >������ E� � & � �� 9��� �
% AO�B � 9� ) &��� �'��" "�' �� ��0�!��;& �� ��0� �
% AO�� � �� 9��� �� ��)� <��*����� 7� >� @� ��� 05"� �� ��� ��7�.
0 " � ��( �� �( �� 2'� �'� 2����� �!�"#�5 " �����( � �0"� !
����!���& �" �!������
+�' � �" ���������� ��������� ���������� /�>� 3 �!� � !��& !���
� ���41 �� � �!�� �" �!�����!�� '"�- � ��!- ��� ��.
��'��� '� - ! �5���� ���� �� ���( " �5���� ���� �� (�(
� !� ��!���& � ��&�
/ �����& *����! ���& - �!�& "�' ���� �1 !� ��� �!"-�41 & *
�! �05-�5* !�-���� � !�� (�"( ! ( �5 ���( ����*����!-�� !# ��.
����" ��� !#� ��� !��� !� ���( �� � ���( �� � �!�� !# * '"�- �(�
-!� �����! � ��'����� ! ���6 �!�����!# � #�� 0�"#;�4 �� �4 �
���&� ��"�� � �!��"#��� �! ���" � � #�� �'��� ! " ��� �" ��
-� '�5-�&�� ����!�* �!� '��* �� � ��
�� ��� �� �0�� !# "�' ��� �� � "#�� ���6 �!�����!# �� �4 � .
!���� '"�- �( � ��� !��� !� � �� �� � � � � �!��"#��� �! ���"
������5�� ! �! � � ����!���& �" �!���� �
=!� "��� �5 �� �(1� � ���(! ����� ' �'��! " & ����!���& �" �.
!����� "��� �!� 7�0 " � ��& �� �� ���� ��� �" � ����� )*�&"�.
�-� <��*����� �AOA� : IBBI��
"��� -�8���������� ���3;��������8� �234���!
% "�� �� ���6�!�& ��� �! "#�� � ���*����� ��& ����!���& .
! � ����! "#�� �����0�� �� ��'��� � � ��(!�� !(* ���6������5*
� � *���� �'� �� �* � �*� ��'� ��!� ! !� ��� *����! �'� �5* ��.
�226 �!�� =&�;! &�� B12 B21� %� � �� 05"� !��� � ��(!�� !#
���!����� ����6����� �� ���� � �*� � �����(� *����! �'� ��( ��.
�226 �!�� =&�;! &�� A21�
,"( �� ��( ! �������- ��� ������ ( � ! � -� !6� �0"�.
��41* � �� !�5� �����(� �� �� ��"( * '"�- �( =&�;! &�
�� " � �� ��!� � ���6������5 ��" � � � *��5 ' � �*� � � !�.
(�( � ��� ' ��� � � � �*� � ?��!� ! !��41 � "-�5 �.
�!��; �( � ��� �� ��4! ( 2����"�� �AI�K� : �AI���� �' �!* 2����"�
.L-0- ����(�������! �� �K�(�������� �*�$���/ I��
� -� !�� !� ����� -!� !��� � '��� 1 �5 ���6������5 � � *��5�
� ��� ! 05!# ���!����� '"�- �(� ���0���!� � � ! ���!���5*
� � *����� � ��� ! 05!# ���6�������� '"�- �(� <� �!�� � ��(!.
�� !# �� " �� � ��� � "( ! ( � "-��& ��!�-��� �" � �!� �� ��!���
���"#��� ��� �!� � � *���� !� � *����! ��� ����� !��� ���!� �� &
!���!��5 ����!���& -� !65 � �� �AI��O���
% ��!��; � �AI��� � ��� � ��(!�� !(� ���!����� ���6��.
������ '"�- �& �*��! � "-�� ω2/π2c3� �����( �0J ���& �"�!�� !
- "� � 6""(!���� ��"( �!��� ��"�� !��� ��" 0��&� ��" 0�! "#�5*
���� � ��-��� � �!��"#��� �! ���" �"( ��0����� ��� !��� !���
% "� �!�� � ��(!�� !# ���!����� '"�- �( � ��0�������� !��� !�
������6���"#�� ω3� ���!��� � ��"# ��"� �� ����-� !�!�* � "�� �
��!� �
?�������( � ��(!�� !# '"�-�! "#��� � � *��� �"( ����& -� !65
�����
w =[ω2
π2c3�ω + ρω
]B21. �AK�A�
,"( ����!���& �" �!����� ������� ��� � "(41� (�"( ! ( !�! 2��!�
-!� � ��(!�� !# ���6�������� '"�- �( ������6���"#�� �"�!�� !
�� � ���6��41 � ��"(� <� �� !�!�-�� 0�"#;�& �"�!�� ! �!��
��"(� ��� ���� ' �AK�A�� ��� *��! "���5� �0��'�� ���6�������
'"�- � � =!� '"�- � �� � �!�� � "� ��& !� ���6 � ���6.
�������� � �� ���(� ?���!���5 � � � *��5� � ��� -��� - ! �
�����(! � �;� �4 � �!�� '"�- �( ! � � �#; ��� - � �5; ��"#
�5���� ��5* � � *�����
D� # �� !�� �0 ��!# ����� � �� � �!�� ! ���6�������� '"�.
- �(� ��! � � �� � �!�� ! ! * " �5* ��" 0��& (�"( ! ( ��"-
�� !�(���� 2�'���� ��!��; �( � ��� ��� % ����!���& �0"� ! � .
"� ��!��; �( � ��� � " ��� ! & ��� �( : �� �(�
ΔE Δt ∼ � �AK�I�
"� -!� 0"� � �! � "�� � "� �����" �!��� �� ��!��; �( � ��� .
� " ��� ! & �- "� ����!�� :2�'� ��"�5�
ΔnΔϕ ∼ 1 �AK�K�
2�'� �" �!�����!��& ��"�5 ϕ !�-�� ��� � " �� !�"#�� � !�� "�-� �
���� - "� ����!�� n � ��� � " ���� <��!��� 0 �5 " ��� ����!#
� 2�' ����� ����!�� /����� " �"( ���* ��"� '� !�5 � '��- �(
������"#�5* 2�'� � * ��'�� !#� !� ��!��; � � ��� � " ��� ! &
��'� ;� ! ��� � " � ��"��� - "� ����!��� � !��"(( � ��� � " ��5��
� ����& � ��� ' ��"� ��� ����!5 �!�� (! (� <��!��� �� "�� � �
���� ��"�� �� � �!�5* �" �!�����!�5* '"�- �&� ��!� ! !��41*
� ��"#�� ����!��� �5 ����� � "�� � !��� !� ��5*� � ��'"-.
�5* ����!���
I�N ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
����!5� ��!� ! !��41 '"�- �(� �������5� -� !�!��� ��.
����" �(� �� ��� !��� �(� 2�'�� ��"(�'�6(�� � "#'( �!"-!#
��� �! ����� /� (�"(4! ( 0�'���� ���-�(4! ( !�! !� @�' :
=&�;! &��� * - "�� ��*��(1 ( �� ��� � 6""(!�� ��"( ���� !�
��" 0��&� ���� ������ ��� ! 05!# � ����- ��5�� ?� !�(� � � ��"(
'"�- �( ��� � "( ! ( - "�� 2�!���� � ��� � �� ��� �!� �� 0�"#;��
- " � ��'"-�5* ����!�� ��'��"( ! � � *��!# � �"� - ���� �� .
��!� �4 �" �!�����!��� '"�- �(� �"( ��!���� *����! � � ���.
6� �� ���'6 ��" 0��&� � !�� - " �� � �!�5*� % "� *����! �.
�5* ��& !� 0�'���� �� !�� - "� ��!�� ���6�������� �� ���(
� ��6� �� � � �! � ��� !# ���6��41 &� !� � *����&� ��"�5
���� !� !� � 2�'�� -� !�!� !� �� �*���(4! (�
% �!"- �! ���!����� '"�- �(� �22 �!� - !� ����!����� ���.
6������� '"�- � � ! �"� - � ���"�� <��!��� ����� � !�
� ����!���& �" �!���� '���� ! ��"��"� - �� �� ��!� � � ��� .
� � ��!����� ��� �!� �� �!� -�"� # � "�� �� ���6�!�&� � 6 "�� �"(
� *����! ���� <� �!�� " �� ��� " ��� ! ( �*��� � �� � �!�� !
�� �� �5* ����!�� '"�- �(� �"� - �� ��" �5����� ! ��(�" �
� 6""��41 � ���"#��� ��� �!�� �5- "( ��� �� ����"�� ����!�.
��& � *��� �� � �!��� �5�����41 & " � % ��4 �- � �#� � 6".
"��41& ���"#�5& ��� �! �'�� ! �� � �!�� �� � 6""��41
��" '"�- �(�
=!� �� � �!�� !# �����! �� � � ! � �����0��'�5� ��& !��� "�.
' ���� ��!��5 !�"# ��'! "#�� �!"-�4! * �! �05-�5* !�-���� � !��
"�"� ����#��� 3�������
G����� ��( ����!���( ! �� ��"�1� ! �� �4 �� ;� � '"�- .
�(� G� ��!�� !��64� ���� ����5 � ��(!�� ! ���6������5* � .
� *���� � �*� ��' � '"�- � � �� �� �'� �� �* � ��"�1 � �
�� �� � �� - ! �� ���� -� !6�� % �!* � "��(* � ! � ���*
-� !6 �01 - "� � � *���� ���* ����� & �� � �*� �� �� *��!
- "� �0��!�5* � � *����� ��!��� -!� ��'� -� !6 0�"#; � - � �� �*��
=!� �����! � ��"�1 �4 � '���� ��� '"�- �(� ���6��41 �
��!� ! !��41 � � *��5� ���226 �! ��"�1 �( � '�� ! �! �.
! � ��� ! ��"�1� ��� '"�- �( ���"�1 � "� &��� �� ! * ����
���� � "�� �6���5 ���6 5 05 !�� �� ���� �4 � ���� !#4 '� .
" �( � �*� � �����( � '���� �5� ��" � ��'���1�4! -� !65 ��'� <�.
!�(��� ��"- ����!- � � '� ���� '05!�� -� !6 �� ��� �
����� �0 � -�� ! �� !�(� !�� ���226 �!� ��"�1 �( � '���� ���
'"�- �(� �0 � -�� ! "� &�� !# ��"�1 �(� <�"�1 � � '���� .
��� '"�- �( �� ��!� �� � "�� �� ���6�!�&�
F " � ��'��� ! � � "��(*� ���� - "� ��!�� �� ���( '"�- .
�( �� ���6������5* � � *���* �� �5;� ! - "� ��!�� ��"�1 �(�
,"( �!�� � �0*����� -!�05 �� " ��� !# � �*� � �����( �� �5;�"�
.L-L- h���&��� �������� I�O
�� " ��� !# ��� �M
n2 > n1. �AK���
<� �!�� � �� �AI�AO�� ���226 �! ��"�1 �(� ��� " ����"� ��.
��!#� !# � "-�� �!�6�! "#��(� F " � �'��-� ! �!�6�! "#�� ��.
"�1 � �
9��� �0��'��� �� "- � �"�!�� ! �� � ��"( �� ;� � '"�- .
�(� !� � � � " � � ��� *��! � ����!���& ! � !���� ���� ���.
��� �� �� �� � " � �� " ��� ! & � � & !�� ����; ��� -!� � �*�
� !�(�( �� " �5 "#� � - � ��� �
? ! �5 ����!��5* -� !6� � ��!��5* *�!( 05 �"( ���* ����� & �� �.
0�" �5 ��� �� ��"�� ��5& �!� � ��!� ! !��41& 0�"#; & �� ��
���� �# �� " � "#� ��� � �����(� ��'5��4! ( ! ��� �� �.
& �� " ��� ! &�% �* �� �� � " � �� " ��� ! &�� �!������ ��
�!��; �4 � ������ ����� �� �� 5�� ����� ����� �� 0�"#6����� ��&
!�! !��&� ����� !���4 �� �!�������4 ! �� ��'5��4! ! ��&
�!�6�! "#��& ! �� ��!���&� %� � � �!�� ! ���� (�"( ! ( 2����"#.
�5� " � !� � ��� � �( �� �� � " �( @�"#6����
n2
n1
= exp(−E2 − E1
kT
)
�AK���
� � ������ �5� ! ��� �� � & �� " ��� ! &� , & !�! "#��� '
�AK��� ����� -!� �� E2 > E1 � "�� n2 > n1 " �� ! ��!���!- ��
" !�"#�� -!�!#� -!� T < 0�
+; ��5& � �� � � !� ���� 2'- ��� �5 "� ! ��� ��!�6�.
! "#��( �0 �"4!��( ! �� ��!���� *���;!�"#�� �� & ���6���"#��&����.
; ��� !#4� ���- ����41 & ! �������- ��4� ������ �� !# ! �
�� � & �� " ��� ! & � �0*���� !# '�!��!5 �� � �� �'���
���� ���� �!�� � ������ ��� � !�(�(�
F " � ��"�� ��"� "� &�� �� ! * ���� ���� � " ��� '"�- �
� �5'5�� ! '�� !�5* �!�"�� �& �� �� � " �( - "� -� !6 �� �����(�
�� � �! � !�(�( *����& �� � � 9��� ���226 �! � " �(� ��.
��0�� ���226 �!� "� &��� ��"�1 �(� � '�� ! �! �! � ��� !
�*����� ��"��
/0�'��-� ���"�� Z � "-�� �0 �"4!��& �� � � �! �! !�
�� ;� � ��"�M
Z = n2 − n1 > 0. �AK���
9��� �5��� � �AI�AO� �"( ���226 �!� ��"�1 �( ���*����� ��& .
! �5 �- !�� ��� � " �( - �( ��"�1 �( �AI�II� � � � 5�� ! (
� ��
α = Zσ �AK���
� ! �5 " "� &���� !� � ��!� ! !��41 � ��"5� ��"��� ���22.
6 �!� � " �( � 6 �!� �� �!�������& "� � '���� ��� ��"�1 .
�(� ,"( 6 " & �����& "��5 �5 � � �0�'��-" α → −α �� ���� �4
I�B ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
��� � " � � �AI�AO�� !�� -!� ! � �# � "-�� α � ! �5 " ���226 �.
!� � " �(� % "-��α '� �( ! ( � �0��!�5* ��!� !��* �� �−1�� � '�.
� �� ! �! ����� !��& !��6 �����( '��- �( �! 10−2 �� 100 ]�−1�
% "� �� ��� �6�"#��� *����! �� � " �( "�0�� ��"� � � ��
0 �1 & ��"�5 � "-�� α � "! ��!�� ����"#�� -� !� ��'5��4! !���
����'�! " � " ��� � �!�� � " �(�
�� !�!��4 � � �!��"#��4� '�� �� !# � " �( ��"�� ��"� ��� .
� "( ! 2���.2��!�� �� �!�������& "� ��"�1 �( G(ω)M
α(ω) = α0G(ω). �AK�N�
/- ����� -!� � � �� 0 �1 &��"�5��� � �� ��� �6�"#��� � .
" �( � �!��"#��( ;��� ��"� 5 ����� ���( !���� � "! "( �"����
��� ! (� , & !�! "#��� �� ��"#�� � ��(!�� !# �5���� ���� '"�- �(
������6���"#�� �"�!�� ! �� � 41 � ( '"�- �(� !� ��0�" ��.
!��� �� ! ! �! � ��� !# ! * ������ �! � �!��� �! � ��� !# ��!��5*
�5; � !� � �!� -�41* -� !�!�� �0"' ��� ���� 2���6 G(ω)�
"�$� ( ��� ����=���!
G� ��!�� '� � � �� " ��� ! & � ! � ���* ����� & �� �.
� ��� *��(1 ��� � & !� � � '���� ��� �" �!�����!��� ��"(�
� "�� �6���5* ���!���5* ����6���5* � � *����� %5�; � !��
��'5�� �5 ���� !�5 ��� !- � � ����� �( �"( �� " ��� ! & �� .
��!��� �5* ���* ����� & n1 n2�
<� �� � �� '��; � '���� �*��� �( - "� -� !6M
n = n1 + n2 = ][^_`. �AK�O�
,�" � '� � � �"�!�� ! - "� -� !6 �� � �*� � ����� n2 �� ! (
����� � �
dn2
dt= −
(w
(0)21 + 1
τ0
)n2 + w
(0)12 n1 − w
(инд)21 n2 + w
(инд)12 n1. �AK�AB�
% �����& -� ! '� # � ��5& -" � ��!� ! !�� ! �*��� -� !6 � �!����
�����( '� - ! ���!����� �� ���� � � ��(!�� !#4 � ��6 �� � �
1/τ0) 0 '5'"�-�! "#��& � "�� �6 � � ��(!�� !#4 w(0)21 )� %!���& -" �
�!� -� ! '� " �4 � �*� � �����( '� - ! 0 '5'"�-�! "#��� ����� -�.
!6 ��� � �����( � � ��(!�� !#4 w(0)12 e � ��!- ��� ����'�� � �
E2−E1 kT � � ��w(0)21 w
(0)12 )� 9� !& - !� �!5& -" �5 �0� "��" �5
���6������5� � � *���� 1↔ 2�
<�� !��"(( � �AK�AB� n1 = n − n2� � �����(� -!� B12 = B21� '��.
5��( w(ин)21 � �� �AI�A��� ��"�-� �
dn2
dt= −
(1
τ+ 4B12
πΔω0
ρ
)n2 +
(w
(0)12 + 2B12
πΔω0
ρ
)n, �AK�AA�
.L-3- 722�)� ���+N���/ I�A
� �"( �22 �!���& ���� ! � "�� �6 �� ��!��� ��& ���*����� ��&
! �5 �� � �� �0�'��- �
1
τ= 1
τ0+ w
(0)12 + w
(0)21 . �AK�AI�
% �! �! !� �� ;� � ��"(� ��� �!� ���� ' �AK�AA�� ! �� � "�� .
�� ! � �� � � � τ �
,"( ����1 �( '�� 0�� � -!�!#� -!� � �! � �41 � �� ��.
!- ��� ����'�� � �*�& ���� �# E2 �� !�"#�� �5 ��� -!� ����
0 '5'"�-�! "#�5 ���6 5 � ���! ��"#��.�0��# '�� !�� '� "(!# �!�!
���� �#� ,��� "����� �5 ��"��� w(0)12 = 0� =!� �� ���"�� � �.
��"#�� � '� �( ! �!# ������5* ��" � '�"#!�!��� � ";# ����1� !
* '�� #�
% !�6�����5* � "��(* dn2/ dt = 0 �5 " �� ��"�-� � ' �AK�AA�
n2 = (2B12τ/πcΔω0) I
(1 + 4B12τ/πcΔω0) In, �AK�AK�
� I = cρ 3 �"�!�� !# ��!��� �� � " �! � ��� !# � '���� ���
'"�- �(� % �! �! !� '"�- �(� !� � �� I = 0� ���� ! ( n2 = 0 n1 == n� !�� -!� n2 − n1 = −n� <� �5 ���& �! � ��� !� !� � �� I → ∞�
�� " ��� ! � �*� � ��� � ����� & �5������4! (M n2 = n1 = n/2�
n2 − n1 = 0� <�� *��! ��"�� �� 51 � � � *��� 1↔ 2 � '���� �5�
'"�- � ��
D�� # �AK�AK� ��'��"( ! �� ! ���0��4 *����! � !��M
Is = πcΔω0
4B12τ, �AK�A��
� 41�4 �5 " �! � ��� ! �� 51 �(� 8����"5 �AI���� �AI���
�AI�II� ��'��"(4! �('�!# �! � ��� !# �� 51 �( Is - � � � '�.
��� ��� ��"�1 �(M
Is = �ω
2στ, �AK�A��
-!� �����! � ��"(������ 2'- � ( ���� !�"�����4 �5 "� �!�&
� "-�5�
, & !�! "#�� � �� �AK��� ��" �� ����� !� Z = n2 − n1� ��� � .
"(41& � "-�� � '���� ��� � " �( " ��"�1 �(� ����1#4
��!��; �& �AK�AK� : �AK�A�� ��� ! 05!# �� � !��" � � ��
Z = Z0
1 + I/Is, �AK�A��
� Z0 �'��-� ! ��!� ! !��41�4 ��'�� !# �� " ��� ! & � �! �! !�
�� ;� � ��"(� !� � �� I = 0� % ���(!�� �5; �� ���"�� � w(0)12 = 0
� "-�� Z0 = −n�
I�I ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
��� " �� ! ' �AK�A��� � �����-�"#��( ��'�� !# �� " ��� ! & ���� !
�� "- � � �! � ��� ! �0"�- �(� E����! ��5& �� ;!�0 '� � �(
'��� ! ( � "-��& Is� ���� �! � ��� !# �0"�- �( �� !� ! '��- �(
I = Is� � �����-�"#��( ��'�� !# �� " ��� ! & ���� ! ���� � <� I � Is
�22 �!�� �� 51 �( ����� �� � 0� -#�
% "-�� Is ���� �� ! ��"(��� 2'- �� !�"����� M � � "��(*
� �� �5���� �0"�- �( ���'� � � - � ��"�1 �( σ �� �! � �.
�� !# '"�- �( I � '� � ���4 � ��6�* �ω� !� � � "-�� σI/�ω� �� !
'��- � � �� & ���� ! ��!�� ���6�������� ��"�1 �(� ���� �!�
���� !#� �� "-��( # �� !�� �! � ��� !� �� !� ! ���� ! � "��.
�6����� �� ���� �� " ��� ! � �*� � �����( 1/τ �!� � �� I ∼ Is)�
�� 51 � !����! ( '�� !�5��
D� # � �0*���� ���- ����!#� -!� '"�� ��� �5; ���� �"�� �"(
��������� �;� ��5* "�&� �� 51�41* ( ��� 6 "� �� �� "- �
�! � ��� ! �0"�- �(� 7 ��������� �;� � !� 0� ! �!� "#���
���"'��
=22 �! �� 51 �( �� ! �����4 ��"# � ����!���& �" �!���� � 7�.
51 � �� �#;� ! �22 �!��5& ���226 �! ��"�1 �( � �� �!��.
����5* � '���� �5* ��"�1�41* ! �� �����( *� !��� �0��'��� �
��� � !" ��� � !�(� � -!� -� !� 05�� ! �- �# ��" '�5�� 7� 51 �
��� ! ���226 �! � " �( �� �!������5* ! �� -!� -� !� 05.
�� ! �- �# � � "�! "#�5�� 7� 51 � (�"( ! ( !�& � "� &�� !#4� ��!�.
��( ���6��"#�� ����-�� ! �! � ��� !# '"�- �( "�' ��5* .
� ��!����� 7���� 6� � ! ��* � ���� �����(� �� � �� 51 �
����� ' � '���� �5* � � *���� ��� ! �5'��!# �� � 4 �� " ��� ! &
����� � � *����
7� 51 � �� " ��� ! & ����� & �� � � '���� ��� � � *��� ��.
! 2����� �!�"#�5& *����! �� % ! - � ����� ����& !�� ��!�
'���� @� �� :+��0 �!� : @ �� -!�" ( � �� "����& �� ���&� )5 "# �
��'������ �� �#; � ��"�1 �( �� �� "- � �! � ��� ! �0.
"�- �( �� ��5 �5 ��'�" �0� ����" ?��� %��"�� 1 � IB.* ���*
��.� � ��� '���"� �� ��(�" �( "�' ���� 7 "� &�5& *����! � ���6 .
� ��"�1 �( � !� 0�"#;�& �! � ��� ! ��'��"" %��"��� �� !
! ��� �� "� &��( ��!���� @���- �5� � #�� ;���� �� ��� !��.
� ��5�� �!�! ! ��� ���0� " 1 0�" 0��!5& �5 " �� " ��'��.
��� �( "�' ���� �0� "���;* 0���� ��'�! ��!� �5 ���& �! �.
��� !�
,� * ��� �5 �� ��!���" � �� �5��5& � ��� D� # ����� �!�-.
�!# ! ����"�4� 7 �� �5��5& � ��3 �!� � �� ��0�!5� !�0"#��
�����"��41& ( � ! - � �� � �� '�� !�� 0�"#; � �� � � � "��.
�6� % � !�"#�� 3 �!� ���"# �5& � ��� ,"! "#�� ! ���"#.
�� ���! "#�� ��'"-�!# (� @�� � ��'5��!# � �*����!�� ! �.
��"# 5� �"! "#�� !# ��!��5* τи !�"# ��"�� -!� '� �� �( * � & !�(
� �� "�� �6���5����6 ���������"�� !#4�� � 0� -#� τи � τ �
<� !���� �� � ���� � �� �*���( ! ( �� � �!�� !# ��"���5* 2���.
6& ���*����� ��& ����!���& ! �5� �'���� & !��41 & "#�5�
.L-6- 1������� � ���+N����� I�K
� '���� �5� �" �!�����!�5� ��" �� % � '�"#!�! ��0"4��4! ( � 6".
"(6 G�0� �� ���5 � "�� �� ���6�!�&� ��� ! 05!# � �1 !�" �
6 "5& �(� ���* �! � �5* �22 �!��� �� ��!��5* �5 '� # � !����".
��!# ( � 0�� ��
����!�& ���"# 3 �!� ���"# � �"! "#�� !# ��!���� !# � ".
-�� ���(��� " � ��"#�� � �#; �� � � � "�� �6� τи � τ � % �!�&
!��6 " �� ! ����!# �22 �!� �� 51 �( �� �"�!�� ! �� � �0.
"�- �(
F =∫τи
I(t) dt. �AK�A��
��! ��" �AK�A�� �� ! �� "#��4 ��'� �� � �0"�- �(� ��"�- ���& .
! ��& '� �� �( � & !�( ���"# � τи� % "-�� F '� �( ! ( � ,���"(*
�� ������!�5& ��!� !�� - � �!"-� ! ( �! �"�!�� ! ��!��� �� �
�!� � �! � ��� ! I) �0"�- �(� '� �( ��& � %�!!�* �� ������!�5&
��!� !��
<� �� "- � �� � ���"# � �� !��� ! �22 �! �� 51 �( � !��
�5 " � -!� �� !��F ��"#� &; � �� !�n2 � ��� *��! ��� !� ��!����
-!� � �!��5 � � 0��; �5 �����( A �� ���� �# I� ���� �# A - �����
� �0��!��( � "�� �6( '� �� �( � & !�( ���"# � τи ����!- � � ���.
*��!�
%� �( � ��- !� ����� !�� �� 51 �( � "-��
Fs = Isτ = �ω/2σ, �AK�AN�
� 41�4 �- ���5& �5 " �"�!�� ! �� � �� 51 �(� � ;� ��
��" ��� ��-�"#��� � "�� n2 = 0 "� &�� �22 � �6�"#�� ����� .
� � ���� ���(��� �AK�AA�
dn2
dt= − 1
τ
(1 + I
Is
)n2 + I
2τIsn,
��"�-�� -!� � ���6� � & !�( "#��� ��"�� !� � �� � "�� I Is�
�"( n2 ���� �"�� ��� !�( 2����"�M
n2(F ) = 1
2n [1 − exp (−F/Fs)]. �AK�AO�
/! 4�� " �� !� -!� �� � (
Z = Z0 exp (−F/Fs) �AK�IB�
��"�� !#4 �� 51� ! ( �!� � Z → 0) ��
F Fs. �AK�IA�
I�� ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
"�'� �������� � ����=����.
% ����!���& �" �!���� 6 "#4 ��"�- �( �� � "#�� 0�"#;* '��- .
�& ��1�� ! " �� � "�' ���� '"�- �( ��"#'�4! ( ����!��5
� "! "� =!� ��'��"( ! �!� "!# � ��64 '"�- �( �5 ���� ��- .
!�� �� � �0*����& �����"(6 � �! � � " �(�
<� ��� � " � �5*����& ��1�� ! "�' ���.� "! " & " �� ! ��.
�(!# �� ����� �22 �!�� 51 �(�%5; 05"���"�- ��2����"� �AK�A���
����'5��41�(� ��� '� �( ! ( � �����-�"#��( �� � ( �� !�� �! �.
��� ! ��"�� ? �- !�� �!�& '�� �� ! ����� � � � �� � '"�.
- �( ���"# � z � � � ���226 �!�� � � '���� �5* ��! �# β
"� &�5� ���226 �!�� � " �( α0 '�� 5�� ! ( ���
dI
dz= −βI + α0I
1 + I/Is. �AK�II�
=!� ����� � ����� � ;!# (���� <�"�-�41 ( �� �!�� !��� 6 �.
� �!�� ����� � �� ! � ���6� ��'����� !# ��&! �5*����4 �! �.
��� !# I(L) � '�� �� ! �! �*����& Iвх �� ��'"-�5* '��- �(*
����� !��� α0, β, I '������& �"� � "! "( L� /����� �!� � ; �
� �01 � �� �"�*� �0�'� �� ��� %� ! ! �� � !����� ���� ! ��- .
!� ��� " ����� ��� � �( � ; �(�
<� �� � �� �!� !�� -!� �� � "�� α0/β < 1 �! � ��� !# '"�.
- �( ����!���� �05�� ! �� ��"( �� !�� �"�5 � '���!��� L� �� ��"#��
�"� �� �AK�II� ���'�����( dI/dz < 0� ?" ����! "#��� �� ��"�� ���2.
26 �! � " �( �" 0�"#;* ��! �(*� ��" � � "! " '�!�*� !�
% �0��!��� "�-� α0/β > 1 �! � ��� !# ��"� �� �5*�� ' �� !�.
!�-�� �"���� � "! "( �� !� ! '��- �(
I(z)|z→∞ = Im =(α0
β− 1
)Is,
��!��� ��� ! 05!# ��&� �� ' �AK�II�� " ��"��!# dI/dz = 0� ?��!� !.
!� ���� " Iвх < Im� !� ��" � "�� ! (� 7��0���!� " Iвх > Im�
!� �� � "�0"( ! (� /05-�� �� � !��"( ! �! � "�-�& α0/β 1� -!� �5
0�� � ��" �� ���"��!#� 9��� Im = (α0/β)Is�
G� ��!�� ! � �# -� !�5 "�-��
<� ��"�� ����� ��"�� I � Is� ! !� ��5� �0��'�� ��0"4�� !.
( �� ��� �6�"#�5& �� ! �5*����& �! � ��� ! �"��& � "! "(MI(L) = Iвх exp [(α0 − β)L]. �AK�IK�
% �! �! !� ��! �# �� � �β = 0)� �� �� "#��� �� 51 � �I Is)
�� ��� �6�"#�5& �� ! � �( ! ( "� &�5�M
I(L) = Iвх + α0LIs. �AK�I��
.L-9- ,���(�K�/ I��
=!� �'��-� !� -!� � �! �! !� ��! �# ��1�5& �� 51�41& ��" �.
�� ! �����" ���4 ����5� �" � �!���5� �-� !��� � "! "( �� �4
��0��"( ! � �01& ��!���
<� ��"- ��! �# !��6( �1 !� ��� � �( ! (� % "�-� ��"5*�
�� ��� -�5* '��- �& �!��; �( β/α0 � 1 �� I Is
I(L) = α0
βIs[1 − exp (−βL)] + Iвх exp (−βL). �AK�I��
<� 0�"#;* �"��* �βL 1) �*����& ��" '�!�*� !� � �5*����& �� !.
� ! ��� ��"#��� '��- �(
Imax = α0
βIs. �AK�I��
/! 4�� " �� ! !�! ����5& �5���� -!� � "�' � .� "! " 0 �1 &
��"�5 �! � ��� !# �5*����� '"�- �( ��� � "( ! ( � ��� -��� - .
! �! � ��� !#4 �� 51 �(� ���226 �!�� "� &��� � " �( ��.
�226 �!�� ��! �#� )�� ��"#�� '��- � �! � ��� ! '"�- �(�
�� ��� !���(41 � ( �� � "! "4� � !����"�� ! ( !���� ���� � � -!�
��� ! '"�-!# ��-�5& �!� '�� �"�5 ��!���� � 1 !�� � � ��
��"��� �� 51 �(� ��"�1� ! ( '� - ! � � '���� �5* ��! �# �� !�� �
�!� '� � @�"�� '�- ���& ��"�1 ���& �� � �����! � �� ���1 .
�4 �� !� �! � ��� ! '"�- �( �� � � � ��"#� &; � �� ��� !��.
� �( ���"# � "! "(�
7� �!� ����� �0 !�(! "# !�� 1 � ��-�" �B.* ���� �0��!" �����
��)� <��*����� G� ��!���( !��64 "#��� �� 51 �(� I/Is 1� ��
'�� �" ����� � � � �� � '"�- �( �AK�II� ����1 ��5� ����� � �
dI
dz= −βI + α0Is. �AK�I��
C " �! � ��� !# �� !� ! �� � "#��� '��- �(� !� dI/ dz = 0�
9��� ��'� ��"�-� � !�! � � '�"#!�! �AK�I���
%5; ;"� � -# �0 � " � � �� �5��5* ��"��� �'�- � � ���.
*��� �( ���"# �5* ��"�� - � ' �� 51�41 ( � "��41 �"
��"�1�41 � � '���� �5 � �5� � !��"(( -� !# �� �� !� � "� &��&
��!�� " �! �� ����� ��; � '"�� �(� /!� !� ";#� -!� �"( �.
��"# �� '"�- �(� ����!�* � �!� - ���� � ��"#�� ��� �5 " � � � "�.
�(* "#��� �� 51 �( ���� �"�� 2����"�
Fmax = α0
βFs, �AK�IN�
����0��( �AK�I��� D� # Fs 3 �"�!�� !# �� � �� 51 �( �AK�AN��
I�� ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
"�*� ������;�!
�!��� � ����!���& �" �!���� ���6������� �� ��� '"�- �(
� ! * "�-�(*� ���� �'���� ���� .!� �� �( ���� ���� ! ( �� � ( ��.
" ��� ! &� ��"#'� ! ( �"( �� � �!��� � " �( �" �!�����!�5*
��" 0��& "�' ���.� "! "(�� /����� �� � �!�5 �" �!�����!�5
��" 0��( ��!- ��� ����'��� �'��4! ( "�' ���. � ��!�����<� �.
��'��- � � � "! "( � !�! � !��� -!�05 �� "-��!# ����(� ��� !#
��"( �" �!�����!��& ��"�5� �� !���41 & �� � �*��� =!� �� "- �
��"��� ���������!# ( �*��� � � 2�'��5*� -� !�!�5* ���01 ���.
!��� !� ��5* �� � ��5* *����! � !� *����� '"�- �(�
+�' �5. � ��!��5 ��"��5 05!# !�-���� '"�- �(� '������4.
1 � ( � �� � � !� ��� � � ��!�� �5*��(1 � ' � � �� �� ;� ���.
!��� !��� ,"( "�' ���& � ��6� ��� �"( � ��6 ���01 � � �0*��.
�� ��"��! "#��( �0��!��( �('#� ��5� "����� �22 �!��5 "�' ��5
� ��!��5 (�"(4! ( ��!���" 0�! "#�5� ! ���� � ��!��5* � ��.
6( �" �!�����!�5* ��" 0��& � �1 !�"( ! ( � ���6 �� � �!���
� " �( ��" 0��& �� ��!� ! !��41 & �0��!��& �('� % �"�
! �� & ��!���" 0�! "#�5* ! � "�' ��5 � ��!��5 �!�� !��� !� �
�0��!��& �('#4� ��"��5 ����!# ����*����!- �� '"�- � �
D� # " �� ! �����!# (� /!�4�# � � �� � ��!� ��� ! ( ����'�.
��!# !� 0� ��4 �0��!��4 �('#� ?�1 !��4! ���!��� "�' �5. � ��!��5�
'"�-�41 �0 !� ��5 ;��5� � � ������ � " ��� ���!���� '"�.
- � � 7� �!� �!� "#��( ! ���
% �� � ( � ��!���" 0�! "#�5� "�' ���� <� !# �5 �� � �� !�!# �.
� � �� " ��� ! &� !� � �� !# �5 �� � ��"�-�!# � "��41�4 � ��
"� �5� "����� � �� �!�6�! "#�5� ��"�1 � �� ��"# ���� �!.
�6�! "#�� ��"�1 � ��"�- ��� ( ��� -!� ��!� ! !��41�( �0��!��(
�('# ��� � ! � � ��6� =!� �0��!��( �('# �0 � -�� ! ( ��� 1 �.
� � �5 �!�6�! "#�5� ��"�1 � � � � '���!���
����!���( �" �!������ �� ���&� & � � �� �� �� ��� *��� �4�
!# -� !# �" �!����� 7 �0*���5� �" � �!�� ��!���" 0�! "#�5* � !.
��& !� �" �!���� (�"( ! ( -� !�!�� " �!���( 6 �# 3 � '���� �5&
���!�� !�� " ��� ���� % �"� - ��& �" �!���� �"�����"��.
��� ��������'��� ��"#'�4! ( ���' !�6�����5 6 � � � � ����
!���� !� � 6 � � � ��!�- ��5� ����� !���� ?" ����! "#��� ��'� .
�5 ��!� ! !��41* � '���� �5* ���!���� ���� � �#; �"�5 ��"�5
'"�- �(� <� � � *�� � ?%� � "� � '��� �����- �( �"�5 ��"�5
6 � !����(! ( �1 !� ��� � !�6�����5�� ��"���5�� ��"������5.
�� G '���!��5� �5��"� ��5 ' �!� '��� !��* 6 � &� *����! �'�4! (
��'� ���� �����5� �"��& ��"�5� b ��� -!� �"( ��!- �* ��"�
�!�! ��!# � �� �" ��7 �0*��� � � *�� � � '���!���� ��'� ���� ���.
� 0�"#;� �"�5 ��"�5�
G ;�41& ;� 05" � "�� ��)� <��*����5�� ��!��5& � AO�N ���
�� �"��" �"( ��"#'����( � ����!���& �" �!���� !�� ��'5�� �5& �!.
��5!5& � '���!��� � !�(1& ' ���* ' ���"� �0��1 ��5* ��� !� -� ���
.L-P- 1�����/ ������*"�C ���/ I��
���� �� ��"�� ��5* �� �� !�(� L λ ��� �! ����� <� �1 !��
� �� & ��� ! &; & ���2���6 �!��5!5& � '���!�� !# �! �2 ��.
� !� 8�0� :< ��� ���� � � � �' ���"#�� ��� !��� !�� ��� 1� ! (
� "��41& �" � �!� ��'����� ��'����� � � ��6�
, & !�! "#��� �� ��!�� ���*����& ��!- �& � "! "# � '�.
��!���� �� � AK�A�� �� � !��"(41& �0�& �! �2 ��� !� 8�0� :< ���
Ç1 Ç 2
Àêòèâíàÿñðåäà
Âûõîäíîåèçëó÷åíèå
L
2�� ��� :0�) ��+�� ��� /1 T 1�,0�� +��� ��B /1 T ���,���+� -��� +��� ��B
������� T �� ������� �,-��B L T ����-��� � ���� ��+�� ���
'���"� ��5& � "��41� � 1 !���� %*����& ��" ���� ! �� " ��
' ���"��! �2 ��� !���F " ��5& ��" �5*��! - � ' ����� -� !-��
���'��-�� ' ���"��<��'� �( "�� � ���"!��� �5; �;* ' �! �2 .
��� !�� �� " �������!�5* �� �� � " 30 ��� -�����!�5*� �!��� �&�
� !����� ��"�-!# ���226 �! � � ��- �!�& ! �5 �� ��1�� ! �"(
����*����!- ��� '"�- �( �� �"� ��"�5 λM
G = (1 −R)2K
1 − 2RK cos (4πL/λ) +R2K2. �AK�IO�
D� # K 3 ���226 �! � " �( � �5 � ��� ' ���"�� � '���!��� �
� �� 0 �1 & ��"�5 '� ��� ���*��� K = exp (αL)� R 3 ���226 �!
�!��� �( ��� ��1�� !� ������ ' ' ���" �! �2 ��� !��� % � '���� �
!� � �� � "�� cos (4πL/λ) = 1� ��"�-� �
G = (1 −R)2K
(1 −RK)2. �AK�KB�
<��- ��� �� -!� �������� �! �2 ���41* "�- &� �������!��
�5!��;* �!��� � �� ���6�* � '���!��� �������!�� ���; �;*
� "��41�4 � ��� ��'����� !�"#�� �� � "��RK < 1� <�K → R−1
���226 �! � " �( G �0��1� ! ( � 0 ��� -�� !#� =!� �'��-� !� -!�
��'��� ! � ��6(�
I�N ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
"�,� ������! ��.���2@3:����!
/- ����� -!� � "��
RK = 1, " α = αкр = 1
Lln
(1
R
)
�AK�KA ��
!# �� � !- �� � "�� � ��� � "(41 ���� �����'0��� �(� C�
�5 " �� � "#�� ��� !M ��! � �� � '� ��� ���*�� ��"��5 05!# ���.
� � �����5 � " � � '� �!�! � ���*���
D�� !�� -!� � "�� �����'0��� �( � !����� ��"�-!#� � �� � �.
!� ��� �� ��!���( '���� '� � �( �! � ��� ! '"�- �( �� � �
� ���*��� �( �� � '���!���� % ���� � " � �� !# R1 R2 3 ���2.
26 �!5 �!��� �( ' ���" D1 D2 � �� � � AK�A�� � L 3 ��!- ��(
�"�� � '���!���� G� ��!�� ��"��� !�� �!��( ��!���& ��-�� ! ( ��
' ���" D2 ������" �� �"�0# ��!���& � �5� <�� �� -!� � ��-�"#�5&
��� �! �! � ��� !# '"�- �( ����� I0� <��&�( � '���!��� ��"�� �� ".
-! �! � ��� !# �� '��- �( I0eαL �α3���226 �! � " �(�� <� "
�!��� �( �! ' ���"� D1 �! � ��� !# ��"�5 � !��! R1I0eαL� <��&�(
�!���& ��' - � ' � '���!�� �!��'�; # �! ' ���"� D2� ��"�� 0�� ! � !#
�! � ��� !# I1 = R1R2I0e2αL� 9��� �0��'��� '� ��� 6�" �! � �.
�� !# '� �! ( � n = I1/I0 = R1R2I0e2αL ��'� F " � ��'������ "
n > 1� !� � " ���226 �! � " �( �� �5;� ! ��!- �� '��- � M
α > αc = 1
2Lln
(1
R1R2
). �AK�KA 0�
<� R1 = R2 �!� � "�� � �- ����� ������ ! �AK�KA ��
"�/� �@�����! ��!2�
<�� 1 � � �5 �!�6�! "#�5� ��"�1 � � � �0J ��5& � '���.
!�� �0 � -�� ! � �1 !�" � � �0*����& �0��!��& �('� C " � .
'���!�� �� !�� � � � '���� -� !�!�& '"�- �( ����!��5* -� !6� !�
�� �(� '"�-� ��( �� � �� � 41* � !� ���!���5* � � *���*�
�����"�� ! ( � � '���!�� � ����& �" � � ��"#�*� ' � � '���� �5*
���� =!� �����" ���( �� �( ��'� & !�� ! �� 1 � '"�-�; -� !65�
!��"��( ��!5 ���6�������� �� ���( '"�- �(� ��!��� � ��4
�- � �# �5'5�� ! �� ��� '"�- �(� 0 ����0���� 9�� ��'��� !
��"��! "#��( �0��!��( �('#� C " ��1�� !# ���6�������� '"�- .
�(� � ��"���� ���� !�41�( � ���6 �!�& �0��!��& �('� �� �5;� !
��1�� !# ��'��� ���� ! �"��5* ��! �# ��! �# �� '"�- � �� �� ;�
��� !��� !��� !� � " �5��"� �5 � "��( �����'0��� �(� !� � � '���.
!�� ��'���4! � '�!�*�41 ��" 0��(� @"�����( ��& !��� ���6��.
������ '"�- �( ��'���41 � ��!���& � � � '���!��� ��" 0��( �
�5 ; & ! � �����*����!-�5 ����������" �5� % ����!��5 -� !.
65 ��0�- � ! "� ��"�- ���� !��� �0��'�� "�' �� ��0�!�4! �*������
.L-<- �"(����/ ��/*! I�O
�* '� !��"( ! �*����� ��0�!�!# ��"��! "#��( �0��!��( �('#� � �.
1 !�"( ��( �����" ��5� � � '���!�� '"�- � � � ���6 �6.
�����( ��!�� �� ���( '"�- �(�
��5� "����� � ��'���� ����� 2����"����!# !��� -!� � .
! � !� �����'� & !� '"�- �(� b�" �( �����'� & !�( �� ���*
��'� "�* 2'� �! ��� !��4! ��� � !����" � �0��!��& �('� % �0.
1 � "�-� ��� �0��!��& �('#4 �/?� � 4! � ��� ��'� & !� � '�"#!�.
!�� �����."0� ���6 � �� *����! � � ���! ���( �� � AK�I�� %� ��5
Öåïü îáðàòíîé ñâÿçè
Âõîä Âûõîä
2�� ��� :0�) �=� ���� ��+� 7 ���,����� �=� ���� ��+� �����) @+ "���0�D
���� =���A ;����� = �� ��< 0����� ��1� � �0����� ��� ;��?-����< 5���
�=� ���� ��+� � 0�� ��� ���� � �4� ��1� � � �0��
! ��� ��0��!��( �('#� ��(�" ( � ����! *�� � � � �0�'��-�"� #
�" �!�- �� ��'� & !� !��� � ������& 6 � "������� � "! "( ��
6 �# !��%�� " � !� �!�! ! ��� !�"��� �(!# ( �����* ��'� "�*
���� 3 *�� 0�"�� �6�"� !� ��
G�'"-�4! ��� !�� /?M ������������ ����(�������� <�"��.
! "#��( /? �����! � �� "- �4 �!�"�� �( �� "40�4 !������ �5.
*����� ��"� �! !��� ��!��5& ��'���" 05 � ! � 0 ' 6 � /?
�2"��!��6 ���� !�4!�� /!�6�! "#��( � /? �����! � �� �#; �4
�!�"�� �( �5*����� ��"� �2"��!��6 '�!�*�4!�� 9��� �0��'��� ��.
"��! "#��( /? �5��"�( ! 2���64 �� ��-� ! �5� � �!�6�! "#��(
/? 3 !�0"'�!���� ����� !�5 � *��'�5 � �"'�6 /? ���! 05!#
��5� ��'"-�5� � '�� �� ! �! !�� � !��& !�� ! �5�
% ��; � "�-� �� �5���� ���& � ��6 '"�- �( � �"'� ! (
��"��! "#��( �0��!��( �('#� !��� ��� �� ��"�1 � 3 �!�6�! "#.
��( �0��!��( �('#� < ���( ' �* ������ !� " �5��"�( ! ( � "��
�� � �� " ��� ! ����� & n2 > n1� <��!��� ��� *��! � " �
'"�- �(� % �0��!��� "�-� � ���� 0�" �1 !� ���4 ��"# �� ! ��.
"�1 � � ������ ! �!�6�! "#��( �0��!��( �('# '"�- � '�!�*� !�
)���� ������!# ���� ��'"-�5* * � �- !��( ! �5 ' ���"
��!��5� ��0�-� � 1 !��� �"( �����& ' �* ��"�-!# � "��( �.
����'0��� �(� /01� �"( � * ' �* (�"( ! ( !� 0���� !��� -!�05
� " � '� ��� �22 �!��5& ���*�� '"�- �( - � ' � 4 ! �� �� .
�5;�"� � ��! � �� � � � '���!�� '� !�! � ���*���
F "�� RK = 1 �" �����" �!�5 ��� �� ! 0�"�� ���"!��� /�.
���� �"( ��'����� �( ��!���" 0�! "#��� � ��� � �0*��� !���
I�B ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
0�"�� 2�'� G '���� �� � "�� cos (4πL/λ) = 1 �5��"�( ! ( �"( '"�- .
�( !�& -� !�!5� �"( ��!���& � 2�'��5 ��0 �'���� ���� � ��4! (
�� �"� � '���!��� ��"��5�� ! ( 6 "� - "� ��"���"�� =!� � "��
-� !�!�� '�� �� � " ����! "#��� ��� ! 05!# ��"#'����� �"( ��� � .
" �( -� !�!5 � ��6�
"�1� I������ 8�����;��
8�'��5& ��0 � "�' ���� � '���!�� � !�! ' !� * � !��"(41*�
/��� ' �*� � �� � � !� ��� �('����( "� &�5� ��'� ��� � '���.
!��� ��� -�� !#4 ���� ! � !�� !���"#�� ��� &-� � �! � ���
7 !���"#�5 -� !�!�� '�� �5 2�'��5 ��0 � �0� "��" ��5 � .
� � ���5� ��& !��� � �!��"#��& "� � " �( ���"�1 �(� ��.
0�- � � 1 !�� � '���� ��& ����& ����� ���( �0 !� ��� � '���!���
"�' ���
% �1�� ! � -# � ! � �'����& ���� � �6 2�'��5* ��0 ��� ���.
1* ��'����!# � ���* � ����5* �" � �!�* "�' ��3 � ��0�- � � 1 !�
� � '���!�� �
% �����* ����& ��" 0�! "#��& ���5 2�'���( *����! � !�� "40�.
� � '���!��� ��"�� !#4 �����" �!�� !�����& �"( ����-��� ��" 0�.
! "#��� LCR.���!���� 8�'���( *����! � !�� ����-��� ��" 0�! "#.
��� ���!��� *���;� '� !��� " �� ����'�!#� -!� �� ��"5* �! !��&��*
�! � '���� ��& -� !�!5 ����"�! "#�5& �� 2�'5 �� � '���!�� � .
!��"( !
ϕр = 2δωр/Δωр, �AK�KI�
� δωр = ωр−ω3�! !��&�� -� !�!5 '"�- �(ω �! 6 �!��"#��& -� !�!5
�� !��&� � '���!��� ωр� Δωр 3;��� ��"� 5 ����� ���( �� ����
� '���!��� �� ����& ��� ��
<���!- � ���"�-�� '�� 5�� ! ( 2�'��5& ��0 � � 1 !� � ��'.
���41& !��� �� �! !��&� -� !�!5 '"�- �( �! 6 �!�� �� �!��.
�����& "� ��"�1 �(� =!� � ���! "#��� �� ��"#�� ���*����� ��(
����!���( ! �� ��� -�5� �� � � � �'� � �*� � �����( � � �.
!��"#��� �!��; � ��"�� !#4 ����0�� �"� - ���� �����- ����
� 6""(!��� �('�� !� � �� <� �� � "� ��"�1 �( ;.
��� �� �#;� ! (� % � �� 0 �1 & ��"�5 �!� �� �#; � � � "���
<� ���226 �! � " �( �� ��1�� !G ;��� "� � " �( !#
Δωл/ lnG� � Δωл 3 ;��� "� ��"�1 �(� 9��� �"( ��"5* �!.
!�� � Δωл = ωл − ω -� !�!5 '"�- �( �! 6 �!��"#��& -� !�!5 "�
� '���� ��� � � *��� ωл ���'5�� ! (� -!� 2�'��5& ��0 � � 1 !� ��.
� ! 05!# �� � !��" � � ��
ϕл = − δωл
ΔωлlnG. �AK�KK�
9���� ��������( ��� ���� �! 2�'��5 ��� �5 ��"�-� � � "�.
� 0�"�� � 2�'� '���41 -� !�!� � ��6 "�' ���
.L-.Z- B�"(������! (�*�����(� I�A
% � '�"#!�! �"( -� !�!5 � ��6� � "#�� �!"-�41 & ( �! 0"'.
�* ��� ���� 6 �!��"#�5* -� !�! "� � '���!���� � �ω = ωрΔωл/ lnK + ωлΔωр
Δωл/ lnK + Δωр, �AK�K��
� K 3 ���226 �! � " �( �� ���"!�� � lnK = ln√G�
�� !�!� � ��6 ����������� "�' �� �!"-� ! ( ��� �! -� !�!5 � '�.
��!���� !�� �! -� !�!5 "�� " � '���!�� �� !�� � � !�-�� �� "�4
�ωр �= ωл)� 9�"#�� � �� � " �- �# �'��& "� " �- �# �5 ���� � " .
�(� Δωл/ lnK → 0� -� !�!� � ��6 !� �! ( � -� !�! "�� % ���.
!����"����� -� !��� "�-� �- �# ;����& "�� Δωл Δωр lnK�
-� !�!� � ��6 ��� � "( ! ( -� !�!�& �� !��&� � '���!���� =! �.
�0��� �( � 4! ��(�� �!��; � � ���0" � ����!��5* !�����!��
-� !�!5 �� � ��� ����!��5* ��" ��"(��5* � ��!���� ?%� �!� � �� � .
��� ��' ���. � ��!������ ����& !����5� � "�' ��� � � !���� ��&
-� !�!�& '"�- �( 3 ����&�
8����"� �AK�K�� 05"� ��"�- �� ��)� <��*����5� � AO�� ��� ��� .
�! "#�� � ����-���� ��' �� � � ��"#�� ��& '�� � ������ �01
'��- � 05"� ���- ����!� 1 � ! �� � ��� ? !�-� '� �( 2'� "�.
' ��� ������ -!� � "�-� ;����& "� -� !�!� � ��6 ��� � "( ! (
�� !��&��& � '���!����
"� 5� ��@�������� ��2�������
% �(� ��"�� �& ��" '�� '��!# ��0��!�� !# � '���!���Q� ��� � "(.
��4 �"( ��" 0�! "#��& ! �5 ��!��; � �Q = ωτE � � ω3-� !�!�
��" 0��& ! �5� τE 3 �� �(� '� ��!��� �� �( �05�� ! � e ��'�
,"( ��*��� �( Q ����� �� ��"#'���!# ( ! �� -!� �� ��"�� '�!�*�.
� � ! � !� ��0"� ���( 2����"� Q = 2π E0
ΔE
� � E0 3 �� �(
! �5 � ��-�" �����."0� � ���� ��" 0��&� ΔE 3 �� �(� ! �( .
��( '� �!�! � ���� G� ��!�� � '���!��� ����'���5& �� � � AK�A� ,"(
��"�5 � !���� � '���!�� � ��� ��" 0��& ��� � T = λ/c� !� � ��� �
�� � �� '� ��!��� 0 �1�( ��"�� ���*��! �� !�(� � ����� �"� ��".
�5 λ �2�'� ��"�5 � 2� �������& !�-� � �( ! ( �� Pπ�� D� ��� 6�"
��"�� � � '���!�� ���*��! ��!# IL� �5!�� �!��� � �! ���* ' �.
��"� <� �!�� � � � !� ! ( �� �(� �����( E0R1R2� � ! �( ! ( �� �(
(ΔE)2L = E0(1 −R1R2)� =!� ��! �( � �1 !�"( ! ( '� �� �(���*��� ��".
��& ��! IL� ?��!� ! !� ��� '� � ��� T �!� � �� ��! λ� ��! �( � !��!
(ΔE)λ = (ΔE)2Lλ
2L
� !�� -!� ��0��!�� !# � '���!��� ���'5�� ! ( �����&
Q = 2π E0
(ΔE)λ
= L
λ
4π
1 − R1R2
. �AK�K��
I�I ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
7���� �� " L = 1�� λ = 0,5��� �ν ≈ 0, 6 · 1015 >6�� R1 = R2 == 0,95� !� ��0��!�� !# !���� � '���!��� � !��!Q = 2,6 · 108�
,�0��!�� !# � '���!��� �('��� ;���& � �!�� '"�- �(M Q == ν/Δν� ,"( �� ��!��� ��� � '���!���
Δν = ν
Q= 0, 6 · 1015
2,6 · 108= 2, 3 · 106 >6. �AK�K��
/- ����� -!�Δν�ν� 9����0��'��� � �!� "�' ���� '"�- �( (�"( ! (
� �5 ���& ! � � ����*����!- ���
/ !����� ( !��� ���!�� �� �6 �� ;��5 "� '"�- �( � � '�.
��!�� �
��� �� 05"� ��'��� �5; � � '���!�� �� �1 !�� ���"�- � �.
! �2 ��� !�� 8�0� :< ��� <��!��� � � � '"�- � ��� ! � !# ";#
��� � " ��5 �"�5 ��"�� ��� � "( �5 ��!��; � � 2L = mλ, m == 1, 2, . . . =! '��- �( �"�5 ��"�5 �!� -�4! 6 �!��� "�& ����� .
���( � '���!���� =!�! � �5��� � �� � � !� ��� " �� ! ' 2����"5
�AK�IO�� � ��!���& ����� ���(!# G = Gmax " cos (4πL/λ) = 1� 9�"#.
�� !�� ��"�5 ���! �������!�� 6���"����!# � � '���!�� � �"( �*
��'����� � " � �
7�&� � �� !�(� � ��� 0"��&;� �"��� ��"�� ��!��5 ���!
��'� ;�!# ( ����1#4 � '���!���� <� !# ����(�� '"�- � � �"��&
��"�5 λ� � "��!# ( ��� ! !��� '"�- � !���& �"��& ��"�5 λ′� -!�
(m+1)λ′ = 2L� 9��� � � � ����( �0"� !# �! �2 ��� !�� ��� � "! (
� "�� � (m + 1)λ′ = mλ� " λ − λ′ ≡ Δλр = λ′/m ≈ λ/m ��� " ��
��0"� � ���� �"��� " ���(��� �! �2 � �6 m 1)� 9�� ���
m = 2L/λ� !�
Δλр ≈λ2
2L. �AK�K��
C " ��"��(;��� "� '"�- �(Δλ� �#; � - �Δλр�Δλ�Δλр�
!� � '���� �5 ��& !�� � '���!��� "�0� ��'5��4! (� � ��� � "( ! (
� '���� �5� ��& !��� ���& � �!��"#��& "�� % �0��!��� "�-�
Δλ � Δλр � '���!�� �1 !� ��� �"( ! �� -� !�!� '"�- �(M � � �.
!� ���! ��'����!# � ��"#�� 0"'�* ��-! ����*����!- �* "�&�
<� !#� ����� �� � �� � !�! '��" ��" �!���5�� ��A∼ 10 �!� �
Mc2 ∼ 1010 эВ�� ,"( �6 ��� ��� � " ��41 '��- �( ����� !���M ! �.
� ��!��� � �5 KBB� �≈ 1/40 �%�� ! !� ��� �� �( �'� ��'0��� ���.
� �����( ��" ��" τес ∼ 10−8 � -� !�!� '"�- �( ν ∼ 0,6 · 1015 >6 ��"��
��"�5 λ = c/ν ∼ 0, 5����� 9��� ! !� ���( ;��� "� Δωес ∼∼ 108с−1 " Δνес ∼ 0,17 · 108 >6� � ��"#'�( � ��- !� �6 �� ���� !
��� �( ��" ��" � "-�� ���(��� ! �"���& ���� ! υ ∼ √kБT/M �
��&� �� -!� ���" ��� ��( ;��� "� � !��"( !
ΔνД ∼ νυ
c∼ ν
√kБT
Mc2∼ 9,5 · 108 >6. �AK�KN�
.L-.Z- B�"(������! (�*�����(� I�K
,"( � '���!��� �"��& L = 1 м � � � ����( �0"� !# � !��"( !Δλр = λ2
2L= 1
2L
(c
ν
)2
∼ 1, 25 · 10−11 � = 1,25 · 10−7 ���. �AK�KO�
?�('���5& �!� ��'0�� -� !�! ��� � "( ! ( ' !�� � "��(� -!� νn == c
λn
= c
2Ln� n = 1, 2, . . . � ��� �
Δνр = Δ(c
λ
)= с
2L= 1,5 · 108 >6. �AK��B�
9��� �0��'��� � ������ ��� � ��"��( ;��� "� Δν = Δνес ++ΔνД ∼ 109 >6 �"��5��41�( ( ' ! !� ���& ���" ��� ��&� 0�"#;
� � � ����& �0"� ! �∼ 108 >6�� � '���!�� "�' �� �5� "( ! �'� �
��-! ����*����!- � "��
?!��� ����(� � "-�� Δνр ��� � "( ! !�"#�� �� !�(� � ��� ".
�(� �!� � � ��� 6 �!��� ����� �� �5* � '���!���� "�&�� =22 �.
!���( � ;��� ���& "�� ��� � "( ��( �� ��"�;�� 2���6
����� ���(G(λ) � �� �AK�IO��� ���'5�� ! ( � �#; M (Δνр)эф = ν/Q� ,"(
�5 �����0��!��� � '���!��� �!� � "-�� ��� ! ���'�!# ( �1 !� ���
� �#; � - � Δνр� % �� ��!��� ��� ��� � ��'�6� � !��"( ! ��-!
��� ���(��� � �� �AK�K����
<��(!# ��'�6� � ��� Δνр (Δνр)эф ��'��"( ! � � AK�K� �� ��!����
����'��� '�� �� !# G(λ) �"( "�-�( K = 1 � �� �AK�IO�� 7�������-!�
ν = c/λ� !�� -!� �� Δν�ν ���� ! ( Δν = (c/λ2)Δλ " Δν/ν = Δλ/λ�
?��!� ! !� ��� 2���� � '���� �5* ���� �� ���5* G(λ) G(ν) ����.
!- � ��������� %���� -!� 0"�����( 2��� ����&G(λ) �22 �!���(
;��� "� (Δλр)эф ���'5�� ! ( ���� � �#; � - � �� !�(� � ���
� ��� "�(� Δλр� ?" ����! "#��� (Δνр)эф � Δνр�
G( )�
��p
( )ýô��p
1
�
2�� ��� 7�� �,��5�� ����,�� ��� G(λ) ��+�� ��� � ������ ��=��������?
7����B -�� �������� �"���� ������)��1� )���"� � �������� )�4�, 5���� )�
�������0 �����
I�� ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
"� � E����� ��2����! �������� ������������#
�!��� �� � � ��6 ����!���� � "! "(� ��� *��(1 & �� �
��� 1 � � � '���!��� ��'����� �����'0��� � � "! "(� <��� �.
����'0��� �( ��� � "( ! ( �� �!�� ' ���"'� "� &��� ���226 �!�
� " �( � � ��������� � "! "(� ���"' 2�'��5* ��!��; �& ��
�����'0��� � ��'��"( ! ��&! -� !�!� � ��6� +� &��( ! ��( ��
0�"#; � �� �0��� ���"!��� � ��6 ��� ! 05!# ��&� �� !�"#�� �
�����* � "� &��& ! ���
%5*����4 ��1�� !# "�' ��5* � ��!����� ��� � "�-� � "! " &�
��� � "(4! �22 �! �� 51 �( ��"- � � '���� �5* ��! �# �� �
'"�- �(� )5 � 0�� � �� ��!���!# �!�! ����� ��"#��.�0��# ��.
���0��� -!�05 � �� ���1�!# �� �"�� �5& ! � ! � ����1 ��5& ��� � �!
" �6& �� ����!���& �" �!���� � /���-� ( ";# " ��41� ���.
!5� ��0��� �(��
8'- � "�' ���( � ��6( �0� "��" �� '"�- � � � �5 �.
� � & �� " ��� ! &� ��! � ��� !# � ��6 � ��� -��� - ! ��� .
� "( ! ( �"�!�� !#4 �� � �� " ��� ! &� ��� � "(41 & � "-��
'��� � �� � � ��-��� �0J � ��!���& � �5 "�' ��� /6 �� !��
-!� ��� ! ��!# ��!���( � ��� " ��41� �0��'��� <� !# � !�6����.
�5* � "��(* ���� !# �'���( �� � � !��"( ! Λ -� !6 � ��-.
��� �0J � '� ��6� �� � �� 9��� ��� ��"#�� ��'�����( ��1�� !#
'"�- �(� �!� ���( � ��6 �0J �� ��!���� � 1 !��� � !��"( !
P = Λ�ω. �AK��A�
=!� ��� !� ��!��; � � ! � 0�" !�-�� � - � �5; ��1�� !# "�' ���
�����!� ����� �� � "�-� � �� �5���� Po2."�' �� �λ = 10,6���� �
!���& �6 �� � -!� �� �� ���� �� *�� ��'0��� ���� �'� � m (�/ )
��� ��"#��( ��1�� !# � ��6 � !��"( ! 250 m ��%!��
��� �5 �� *���;� '�� �� �"( ��'����� �( �22 �!� � " �( �" �.
!�����!��& ��"�5- "� �!������ � �*� � �� � !- �������� ��"�.
�� 05!# 0�"#; � - � �� ��� �� <� �'��� "�' ��� � �����( ���0" ��
� !�("� � �'��� �� � ��& �� " ��� !� % �(' �!� ���!�� 2��.
��"�� � � �����4 � 4 � !���� �'���( �� � �
?���& ��� !�& �� � !��"( ! ( ���*����� ��( * ��� �!# ��!���& �
" ��41 �� �� !65 � �5 �0"���4! ����( �� � !- �� � !�(�(.
�� � ��� ��!��5� ��� *��(! � ����5 � � *��5� ��� � ��( �� " �.
�� !# � �!�& * � �'�� ! ( ����1#4 ����-� 3 ����� �� � � � ���
=!� ����-�� ����� � �1 !�!# ����1#4 ��1��� �" �!�����!���
'"�- �(� �<� "�0�� ��'� & !� �*���( ! ( � !�(� � 0"'�� � ���.
��� ����� �05-�5� ���(���� '� " �( ����� & Ni ∼ exp(−Ei/kT )�
!� � 0 ' �'���( �� � �� " ��� ! &�� % � '�"#!�! � & !�( ��1���
���"# � ����-� ��� *��(! �5���� ��5 � � *��5 ����� �����( ��
����&� !�� -!� � ��� �� ��� �!� t = t1) �� " ��� !# ����� & ���'5��.
! ( ���!����"����& *����&� ������ ��& �� " ��� !� C " ����-��
0�� ! �����"��!# (� !� �� " ��� ! ����� & ���� ��� �(4! ( � !���
.L-..- `��� + ��* ���/ ����(��� ������������& I��
=!�! �22 �! �5 �����0�� �0 ����" � �� �5��1 & "�� � /����� " ��.
��-�� 0�� ! �� !�!�-�� �"! "#��&� !� � � '�"#!�! � & !�( � "�� �6��.
�5* ���6 �� ���"!��� ��" 0��& 0�� ! �� �#;�!# ( �� ��"( �� � AK����
N N2 1−
Δ Nèí
0 t1
P
ΔΝ ðàâ
t
2�� ��� (���= ��� � +����� � ����������� �����)� �,0 ,����� ��� ������D
�) )�8��� � � -��U ΔNрав T � +����� � ����������� ��������� ���)���� D
)�-����1� � ������E ΔNин T ) ���) ��� � ������� � ����������� ,�����B
�����1 �) � � � -���E ��� � ����� �� ��� �� 5�? �������� � ����������
����� ����� 8���� ������� � � -��
� ! � � !����! ( � !�(� 0"'�� '��- �(� �� " ��� ! &
N2 ≈ N1�
9��� �0��'��� �"( ��"�- �( ��� ��"#��� �22 �!� ����-�� ��"���
05!# ���!���� � ���& '����-��!# ( � ��� �! t = t1� ���� ��'�� !#
�� " ��� ! &ΔN = N2−N1 ��� ��"#���7��5&���"# ����-���� !
05!# '���1 � !�"#�� �� " ����-��( � "�� �6���5* ���6 ���
�' ��'����� ����� -!� �"( �22 �!���& ��0�!5 � ��!��� �� ���*.
����� ��& * � � �0*����� -!�05 ���"# ����-� � " 0�"#;�4 � �.
!��"#��4 (��� !# � ��� !�� ! -� !�!5 � ��6 05" �� !�!�-�� ���!.
���� � ��5� �� " �"! "#�� !#� �"� ������4 � ����� � 6""(6&
�� " ��� ! & ����� &�� ?"���� !# � �1 !�" �( !���& ���"# ��& ��.
��-�� � !��� � !�0"#�� !# � ��� ��� '"�- �( �0� "��" �!��'
�! ����!- ��� ��� � �( ���*����� ��& * �5�
% �� !�(1 �� �( ;���� ��� �(4! ( !� *����� ��( - !5� *����.
� ��( * �5�
< ��5& "�' �� �� !�� ��5& 9� ) &������ ��0�!�" �� ������������
���� �� � AK���� ?�!# �!�& * �5 � !�! � " ��41 �� <�� � & !� �
�� ;� � !�-��� ��� *��! � � 0�� �!���� �� � �*�& ���� �# �Q��
D�! � '� - ! ��������������� � � *��� ��� *��! '� " � ��0�- �
�����( �P�� % �!�& * � �� � ��( �� " ��� !# ��'��� ! � ��� �����(.
� R P� � � *��5 � ��� ��!��5� �'��4! "�' ��� '"�- � � �!�05
�!� * �� �22 �!��� ��0�!�"�� ���� �# Q ��"� � 05!# �� !�!�-�� ;��.
��� -!�05 �0 � -!# 0�"#;�4 � ��(!�� !# '�*��!� �� � �� F��� �# � P
I�� ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
��"� � 05!# ���� Z{� � =!� � �0*���� �"( !��� -!�05 �� ��-�"� ��0�.
- � � � *��� � � ��6 �5���� ���� '"�- �(� ��'��"� �� !�!�-��(
��'�� !# '� " ��� ! & ����� & ΔN = N2 −N1�
E
1
2
3Í
àêà÷
êà
Çàñåëåíèå âåðõíåãî
ðàáî÷åãî óðîâíÿ, 10 cτ∼−3
Ðàáî÷èé ïåðåõîä
τ∼ 10 c−3
2�� �� *��0,���� � �0�) � =��� � +�� _���� �� ��� ����� � T ��)��
,����� 9����� � � ���������� �� ��+,���� )�4�, ,����)� . � 0
G �" !-��( * �� ����� & ��0����� "�' �� ����'��� �� � � AK���
G�0�-� ��! ��"�� (�"( ! ( �� !�"" ��0��� � !�(1& ' �������
�Uq2o3� ��0����& B�B�a Pn2o3 ���5 !� *��" �!��� *����Pn 3+ '�� 1�.
4! -� !# ���� �"4��( Uq3+�� ������ (�"( ! ( ��" �!����
E
Y
B
U
RR2
R1
2�� ��$ :0�) ������0 ,����� � ����0��� �,=����) � +��� 7 �=�+� -���D
�0 ,����� ������+� �� =,��B 0���8�� ���� VvhwT �,=�� �� ����"���?
� �0�)� � ��� ��� ,����� L �=� +� � ,����)� U BBBY B ,����� 0 ���� � �
=��+��0 ,����� R = R1B R2
;����& '��� 1 ���& '���&� ���5 *���� �'��4! ����"�! "#�5 ����.
� � '��� 1 ���& '�� ������ B R�� < � *��5 ��"�1 � � ����!��
.L-..- `��� + ��* ���/ ����(��� ������������& I��
� �1 !�"(4! ( �� ����� U � B� Y � ? �!* ����� & ��� *��(! 0 '5'"�.
-�! "#�5 � � *��5 '� " � � ��0�- � �����( R�
�'"�- � �� � � *���* ���&��� �����(R � � ����� � !�(� ��
�"��* ��"�5 λ1 = 694,3 нм λ2 = 692, 8 �� �� ���� ! ��0�� *����.
! ���4 ��'���4 ���� ��� � �� ��� �����( U �� ! � ! �"��& ��"�5
λ = 560 ��� � �����( Y 3 λ = 410 ��� ,"( ����-� "�' �� ��"#'�.
! ( � ������( "����� ��41�( � ! � ;����� � �!��"#��� ����'�� �
F����U � Y (�"(4! ( ;���� �0 � -��4! '�*��! �� 10÷15 % �� �.
"���5�
9� *����� ��( * �� �� � AK��� �0"��� ! � �� !�!���� % -� !�� !�
1 �� ��-�"� � ��6 ����� '�!��!!# �� �4 �"( �5�������( '�.
" ��� ! &� !� � �� '���"� � �����( P �� ���&� & � � �� !�� �
� !�(�(� -!� �����( R� +;# �� �� �5; � �!�� ����"#��� '�.
��"� �( ��0�- � �����(������� -!5��!# ����-�"� � ��6�? �!�
�('��� !�� -!� � ��'����� � �"'���!# � �� �5���4 � ��64 '"�.
- �( 3 �� � �� �5���& ����-� � !����"�� ! ( !��� �� �� � " � �
�� ��!���� '� " ��� !# �����( ���� ! �� !�� � �� ��
F��'����� � �� !�!�� "; �� ��������������� ����� ��- !� ���
����'����( �� � � AK��� % �!�& * � ��0�-& � � *�� � �1 !�"( ! (� �.
�� �����(� Q P� /����� � " � !� 0�"#;�&;��5 �����( P �� 05 !��
��� ���� �4 ����� � Q� ��� !�;� ! (� <��!��� �� � ��( �� " �.
�� !# N3 > N2 �*���( ! ( ����!- � �� "40�& ! � � '���"� �(
�����( Q� =!� �'��-� ! ��'����� !# � �� �5���& � ��6 '"�- �(�
E
1
2
3
Íàê
à÷êà
4Çàñåëåíèå
âåðõíåãî ðàáî÷åãîóðîâíÿ
Ðàáî÷èé ïåðåõîä
Îñâîáîæäåíèåíèæíåãî ðàáî÷åãî
óðîâíÿ
2�� ��' H�����0,���� � �0�) ��+� ��� �������� � ���������� � +�� 0
<� - !5� *����� ��& * � ��0�!�4! !�� !� ���! "#�5 "�' �5� ���
"�' � �� � ������� ! �" � " ��>."�' � 1) �hl3+M �UQ."�' ��� G�0�-
1) F==��� �,� 9F� @��� wnxA � �"����� ���� � � ;9����� 3F�?)����D
�� �� � �<
I�N ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
! "� �� � !��"( ! �0�& �� !�"" ����!�� � ��!���� -� !# ���� �3+
'�� 1 �� ���� � ����� �3Uq5o12 +1,5ahl3+� / �����( �"�� ��"�5
'"�- �( �!�� "�' �� !# λ = 1, 06����
?*����( * �� ��"#'� ! ( � �'��5* "�' ��*� % -� !�� !� � �'�.
�5* �" �!����'�(��5* "�' ��* �� � ( �'�� ! ( ��� ����"� � �'��5*
� (*� ���� �� �( ��'0��� ���& �" �!����� ��'�(�� � �����&� ��
��!- � � ��!���& ������ �!5 � � ���6 � ����* !�"���.
� �&� ��1* ��"5� � 26!�� �� �� ���'� '���� �� � � �� ! (
� �*�� "�' ��5� �����(� ��!���& �'���& ��� �
% ��- !� ����� !��� ��� �� �� � � AK�N ����'��� * �� ����� &
� � *���� �"( "&.� ������ "�' ��� =!�! "�' � ��0�!� ! � � �� �5�.
��� � �� �'�� ! � ����� '"�- � �� �"� ��"�5 λ = 0,63����
%� ;�& !�-�� ��'0���� ! �!��5 "(� D�! � � � '�"#!�! !�"�.
��� �& �!��5 "( � � ��4! �� �4 ��'0��� �( �!���� � ��� �HY∗++hY→hY∗+HY+Eкин�� � ��� �����(� ��!���� ��� *��(! ��0�-
� � *��5�
11
0S
23
1S
21
0S
Óðîâíè He Óðîâíè Ne
3S
1,15 ìêì
4S
5S3,39 ìêì
0,63 ìêì
3P
4P
2�� ��# :0�) ,����� 1���� � ���� ����) �+=,4�����) ���������) 1�D
��� ��������,?� ����1�� ��B#� �7 � �.B$� �7 :�������� 1���� �3S1 � �1S0 T
)�� �� =������ � ��)���) 4�+�� ������ � )� ����� ���� �S � S =��+�� �
,����) �3S1 � �1S0 1����B -�� � ��+����� ��,8������� ��������,? ����� -�,
����1�� �� 1���� � ����, ��� ����������� ��)�
% �'�����- �* "�' ��* �� � ( �'�� ! ( �� � '��� �*"��� .
� �� ����! "#�� ������ �� ��� !�� ��" ��"(���� �'� � � �*'��.
����� ��!�� � ����'������� !��� -!�05 �� �!�� �*"��� � � ' �����
�� � ��" ��"(��5* ��" 0��&� ��!� ! !��41* ��� �� �����4 "�.
' ���� � � *���� ��� !�;�" ( 05 !� � �*� � �����(�
?� � ���* /�> ����(� � Po2."�' �5� ��'��"(41 ��"�-�!# � �.
� �5��� '"�- � 0�"#;�& ��1�� ! �102 ÷ 103 �%!� � �2����� ���
����'�� � �!�� �λ = 10,6��� λ = 9, 6����� % �!* "�' ��* '"�- �
.L-..- `��� + ��* ���/ ����(��� ������������& I�O
� ��� ! ( �� � � *���* � ��� ��" 0�! "#�5� �����(� ��" ��"5
?/2� ,"( ����-� "�' �� � �' ��0��"( ! ( �'�!� ��!��5& ��'0���� ! (
�" �!�- �� ��'�(���� � '�! � � � �� ! �� �4 ��" ��"�� Po2� ����
!��� � �'���4 � # ��0��"( ! ( "&� ��!��5& ��'��"( ! �22 �!���
� �1 !�"(!# ��� !�; � ��� � ��" 0�! "#��� �����( ��" ��" ?/2�
9�-�� ��!��; � ���6 �!��6& ������ �!�� � � !��"( ! Po2 :
h2 :HY= 1 : 1 : 8�
)5 � 0�� � �����0� ����!# � ����� !�5* "�' ��5* ��� !���6(*
� ��& !��* "�' ���� =!� � �*��! � ��;� '���-�� 7� �� ��"#�� "���5�
� ����!���& �" �!���� (�"( ! ( �� � ( �� " ��� ! & � ! ������.
�- � � ������ ��& ! � ����!��5* ����� & �� �� �5 � �
����(� � 1 � ��"#�� ��0�" �� ��� !��� ��5* ! *�- �* � !�.
��� �'���(�
% *�- �* �'��5* "�' ��* �� � ( �'�� ! ( �� � ������ ���
�� �� � " � �� �� �5� "�; & ( � *�� ��'�! ��- ��& *�- ��&
� ��6� � ��� ��" 0�! "#�5� �����(� ��" ��".������!�� � ��6�
% �� � ��5* �'��5* "�' ��* �� � ( �'�� ! ( � ���"# ��� �" �.
!�- ��� ��'�(� " ��� � & !� � ��-�� 05 !�5* �" �!����� �"( !��
��'5�� �5* �� � ��5* ��" ��"� !� � ��" ��"� �1 !��41* !�"#�� �
��'0��� ���� �" �!������ � !�(�� / ������� �" �!������� � !�(.
�4 !��*��" ��" ��!� ! !�� ! ��'" !�5& ! ��M �!* ��" ��" � � ������
� !�(�� �1 !�� !�/0��'�( # ��� � & !� � �" �!������ ������ ��
��� 2��!�� �� � �1 !�����( �'��4! �� � 4 �� �!��; �4 �
� ������� � !�(�4� �� ����41 �� ( ��-! ���� ���� !� � 05 !� �
- � '� ���� ��" ��"(��� ��" 0�� �
% ��" �!�- �* "�' ��* �� !� ���� ! " ���!- � �� �; ��5
�� !�""5 " ! �"�� �� � ( �'�� ! ( � ! � ����� & �� � ��.
� �5* ���� ��� � & !� � � �����! "#��� '"�- �( ����-�� ��.
!���(� �5������( �� " ��� ! ����& ���5 ����� &� �� ��1 !� ���
�� "( ! ��� ' �* �� �!��; �4 � ������.!� !� !# �� " - !� �!�.
�� �����4� ) !�� � �����! "#��� '"�- �( ����-� 05" �� �"�� �
7� >� @� ��5� ��)� <��*����5� ��� �! "#�� � �'��5� � ��� �
AO�� ��� 7� @"��0 � ��� �"( !� ���! "#�5* �������!�5* ��' ���
� AO�� ���� ) !�� ��"#'� ! ( !��� �� �'��� � � !���� �5* ��
-� !�! '"�- �( "�' ��� �� 6 �!��* ����;���( �!�� ��'5�� �5* F .
6 �!��*� � �� !�""�* �� ���* �� !����* ����- �* ��� ! " &�
% ��"�����������5* "�' ��* �� !� ���� ! " �� � ( �'�� ! ( ��
�� �6 �� ! " & �" �!�- �� !���� � �0"� !# �p :n�.� � *��� �5.
���� ���� ��"���������� � ��� �" �!����5� � !�(�(� � �� �.
!- �* '���
<�� � � ��"�����������5* �� !�""�� � ����!���& �" �!����
05"� � AO�O ��� �� �"�� �� 7� >� @� ��5�� � � AO�K ��� j��� �"2 .
��� �� �"��" � AO�N ��� � �"'���" ��"�����������5& ! ��"�' ��
� ��!���� ��!���& � ��& (�"( ! ( ��"������������( ! �� !���!����
�!��� � � ��� ����!���& �" �!���� " �! ����!��5& �0J �! 3 ��.
!���( ��0�-�( � �� �� � & �� " ��� ! & � �� !�� ����!�����5*
INB ,�- .L- ��������/ 5��)�(���)�
����� & �� �� =!� � �� �*��- �� ��"��! "#��& �0��!��& �('#4� � �.
1 !�"( ��& �22 �!�� ���6�������� �� ���( '"�- �( � � '���.
!�� � % "�' ��* ��!���( � �� '��� � ! �� �4 � "�� ! '"�- � �
�22 �! ���6�������� '"�- �( �0 � -�� ! �� � �!�� !# � " .
�(� � � '���!�� 2����� ! � �!��"#�5 ��� !��� !� ��5 ��& !��
'"�- �(�
@���- � ������ �� 2����� �!�"#�5* ��"�� �(* 2'� ��.� � ��
� �� �� � �� ����!���& � *��� ��!�� ����!���( �" �!����� ��"�
� � ����4��� ��'����� !# ���6 �!�����!# �� �4�" �!�����!��.
� '"�- �( � ��� !��� !� � �� �� � � � � �!��"#��� �! ���" � =!�
����("� ��!�� �� ��- !� ��� ���5& ���� �#� �"( ��!����� � -� !�� !�
*����! ��� ��'�! ��� � �& � �0"� !(*� !���6���� � ��!- �*�
� � � � � ��
������ ������ ����
T ,���(�� ���"���� #���� "+ :�����(��!B
)�) "��"�( �(��� �����+� � (�
@9+ �=����� U ��+��� ",���
T CU C��B ��$$A
/���' ���� &;* ������" �& ��� � ���& ���� (�"( ! ( (� ���(
2'��� % �!�& �0"� ! � ��"��& � � ���(�"(4! ( � '����5 ����!���&
� *���� ���� !��� (� ���( 2'�� � ! ��'���0��'� &; ��� � .
�( � ��� � ���& ! *�� � F-!5��( ��'���� � �5 � �!�& "�� ���!��
2����"�� � � ����5 �� � !��" �( �0 �!����� (�� � ��& !��*�
$� � ������ !���
7�-� � '"�� � !��� -!� �� ��!�� � !�� (���� ���� � ��� ! &.
; � ��& !�� �� � � � �0*����4 ! ����"�4�
% AOAA � =� G ' �2���� '�-�( �� (� α.-� !6 �� � !�""- �*
2�"#�*� � !����"� -!� �!��5 � !�(! ' ������!��� (���� '����41 �
� '��-! "#��4 ��"4 �0J �� �!���� �" �!������ ��*��(1* ( �! (��� ��
'��-! "#��� �� !�(�� @5"� � !����" ��� -!� ���� (��� '�� ! �!
�!����� � � A �'� � ���� � �!���5* ��6�* �� 5� �� '�����
R ≈ r0A1/3, �A��A�
� � "-�� r0 = 1,3·10−13 �� ,"( ���� �( '�� !�� -!� ���� � ���&
0���� ��& ��0!5 � !��"( !
a = �2
mee2≈ 5,3 · 10−9 �.
% (� ���& 2'� ;���� ��� �( ! ( �� ! ���( ��6� �"�5
�8 ���M 18 �� = 10−13 �� C ����1 ��� �0�'��- � M 8 " 8��
9��� �0��'��� r0 = 1, 3 8��
? &-� !� ��� � !����" ��� -!� �!���� (��� � !�! ' -� !6 ���*
INI ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
!��� 3 ���!���� � &!������ =! -� !65 ��'5��4! ������� ��! "�!�
BGCDHG<3 (����� �* �� 5 ����5 1)
mpc2 = 938,3 МэВ, mnc
2 = 939,6 )�%. �A��I ��
<� �!��; �4 � �� �" �!����mec2 = 0, 511 )�% ��"�-� �
mp = 1836,2me, mn = 1838,7me. �A��I 0�
G�'�� !# �� � &!���� ���!��� � !��"( ! mn −mp ≈ 2, 5me�
<�� � � !��� ���!�5 ��� �!5 ���"����M
μp = 2,8μя, μn = −1,9μя, �A��K�
� � "-��
μя = e�
2mpc= 5,0508 · 10−24 �� · > −1 �A����
��'5�� ! ( (� ��5� ��� !����� ? �5 ���& !�-�� !#4 �5��"�( ! ( ��!.
��; �
μp
μn
= −3
2. �A����
<� !# (��� �� ��!A ���"����� � !�� - " Z ���!���� N = A−Z
� &!������ 9��� (��� �0�'��-�4! ���"�� AZ� �� 3 ���" �" � �!���
7���� �� ���" 168o �0�'��-� ! (��� �!��� � "������ �� ���1 N
���!���� N � &!����� �� � 3 A� ���"������
�!��5� (��� ��!��5* �� ���! ���� !�� - "� ���!����Z� �� ��'��
- "� � &!�����N = A−Z� ��'5��4! ( ��������� <�� ��� '�!����
(�"(4! ( ������� 11H� � &! �& 2
1� !�!& 31��
�!��5� (��� ��!��5* �� ���! �������� - "� ���"����A� �� ��'��
- "� ���!���� Z� ��'5��4! ( ��� ����� % ��- !� ��� �� '�0����
����� ���'�!# '�!�� "( 32HY !�!& 3
1��
?��& !�� (� � '�� (! �! !��� - !�5� " � - !�5� (�"( ! ( - "�
���"���� ��!� ! !��41 � !��� % �(' �!� ���(!� " ��41�( ! �.
���"�(M
- !�5 Z, - !�5 N 3 - !��.- !�5 (����
- !�5 Z, � - !�5 N 3 - !��.� - !�5 (����
� - !�5 Z, - !�5 N 3 � - !��.- !�5 (����
� - !�5 Z, � - !�5 N 3 � - !��.� - !�5 (����
1) 7 ���������+��� � ��+��� ���)��� ���0 - ���5 ) ��� - ���5 - ��� �+)���?�
��������D���� 0 @� � �� �,�� ,� +� ?� �0 ����1�? ����� mc2)
.3-0- 7��)�(�� A :(������/ � ��&�(�� A :(������/ �� ��� / (� INK
$��� (������� 9 ��������! � ��#���� 9��������!
.����� !���
/��� ' � ��5* ��� " & (��� � !�("� � !��� -!� (��� � !�! ' ���!�.
��� �" �!������ =!� ��! '�� ������� ���!��� -"� �� � �� �!�"#�5�
����5�� % ���� � " � �6 �� �� �4 �" �!���� � (�� � <� ���"��(� -!�
�" �!��� ��*��! ( � �0"� ! ���(��� ��'� �� (��� 2R ∼ 6 · 10−13 �
(�"( ! ( �"#!��� "(!� ! �� �Ee ≈ pc)� ��*���
p ∼ h
2R, Ee ∼ pc ∼ hc
2R∼
∼ 2 · 3,14 · 6, 6 · 10−16 (�� · �) · 3 · 1010 (��/�)
6 · 10−13 ��
∼ 200 )�%.
?��!� ! !� ��� �� β.�� ��� (��� ��"� 05 �� ��!# �" �!���5 �� �.
(� !���� ���(���� /����� � ��5!�* ��0"4��" # !�"#�� �� � �" �.
!����� ���(��� A )�%� <��!��� �" �!���.���!����( ��� "# (��� ��� ���.
!��� -�1�( �� � �� �!�"#�5� ����5� 05"� �!0��; ���
% AOKI � ,�� � ��� �!��5" � &!���5 3 -� !65 �� �&� 0"'��& �
�� ���!���� �� !�"#�� �" �!�- � � &!��"#�5 � % !�� � ��� %� > &.
' �0 � �� '�� ��� ,�,� ���� ��� �� �"��" ��� "#� �� ��!���&
(��� � !�! ' ���!���� � &!������ /6 �� �� �4 ���"��� � (�� �
<� ���"��(� -!� -� !6� � � "(!� ! ��( ��� ! ( � �0"� ! ���(���
2R ∼ 6 · 10−13 �� ��*���
p ∼ h
2R, En ∼ Ep ∼ p2
2Mp
∼ h2
8MpR2∼ 6 )�%.
=!� � "-�� �� ��!� ! !�� ! � �"#�5� '��- �(� �� � �(' ���"�.
��� � (�� �
$�"� K������ ����
?"5� �� ����41 ���"��5 � (�� � � "�� �� �1 !� ��� �� �5.
;�4! �05-�5 ��"���� � "5� % � '�"#!�! " �����& 05"� � !�.
���" ��� -!� (� ��� �'���� & !� �0"��� ! " ��41� � ����5�
��& !���M
A� ����!��� & !� � ���(�"(41 ( � !��� -!� (� ��5 "5 � & !��4!
�� �� !�(�(* r ∼ 10−13 �e
I� �� 51 � � ���(�"(41 ( � !��� -!� ����5& ���"�� �'���� &.
!�� ! !�"#�� � 0�"#;� - "�� ���* ���"����e
K� '��(����( � '�� �� !# (� ��5* "� � !�(1�( � !��� -!� '� �5.
- !�� ��"���� �* " "5 ��!(� �( � "40�& ��� p : p� p :n� n :n�
�0� "��" ��5 (� ��5� �'���� & !� �� ����!- � �������5e
�� (� ��5 "5 � 6 �!��"#�5 '�� (! �! ���� ! & ���� ���.
"�����
IN� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
$�$� (���8�! ��!2� !���
�!�05 ��'� "!# (��� �� �!� "#�5 ���"��5� ����� '�!��!!# � ��.
!��� ��"- !�� �� �� ��'5�� �� 1������� ������ �� ( � ��� �('#
� ��� �� � & �� �&E = mc2� ����� '�� �!# " ��41 �5��� �
�� � �(' (���� �� ���1 � A ���"����� � !�� - " Z ���!����M
Eсвяз = [Zmp + (A− Z)mn −mя(A, Z)]c2, �A����
� mя(A, Z) 3 �� � (���� % "-��
Δ = Eсвяз/c2 �A����
��'5�� ! ( ��)���� ����� � f = Δ/A3 ��������� ��1))�(������
% ��- !� ��� �� ���� �� -!� �� �( �(' � &!���� �(��� � &! �(�
� !��"( ! Eсвяз(21D) ≈ 2,25 )�%� � �� �( �(' α.-� !65 �(��� "(.
�� ����� Eсвяз(42HY) ≈ 28,11 )�%�
7� � � A��A ����'��� �� � �� �!�"#�� � !����" ���( '�� �� !#
�� "#��& �� � �(' (� � �� �� - ! �� ��� ���"��� ε = Eсвяз/A �!
�!����� � � �- "� ���"������
��� ���� ' � � A��A� ��0�"#; '��- �( ε � 4! (���� �� ���1
- "� ���"���� A ∼ 50÷ 60� !� � (��� �" � �!�� Pn : s^� % -� !�� !� �"(
� " '� 5626pY �� �( �(' �� !� ! � "-�5 εmax ≈ 8,7 )�%/���"��� �
�"( ����� 23892� εmax ≈ 7,5 )�%/���"���
?!��� ����(� �� � � A��A ����'��� ";# � � �� ���( '�� �� !#
ε(A)� % � & !�! "#�� ! �!� �� �( '�� ! � !�"#�� �! A� �� �! Z�
@�" !��� � 4! ( �!� "#�5 � ���� "#�5 � � � �"(��� ! *��� � .
�"#��& '�� �� ! ε(A, Z)� �!� -�41 � �0� � !�&-�5� �!�� ��'5��.
�5� ��- ��� (�����
9�! 2��!� -!� �� "#��( �� �( �(' �!�� ! "#�� � �" ��� � �( ! (
�! (��� � (���� �'��-� ! ��"- �� 51 �( (� ��5* "� C " 05 ����5&
���"�� �'���� & !����" ����5�� !� � ! � A ���"���� �1 !����.
"� 05
A(A+ 1)
2
�(' &� !�� -!� ��! �6�"#��( �� �( � 1 !�� 05"� 05
U ∼ −|U1 |A(A+ 1)
2
� � U1 3 �� �( ����& ���5� � '��� ���� � �!.
���� ! ��"- ��!(� �( ���"����� <� �!�� �� �( �(' �� "� 05
� ������6���"#�� - "� ���"���� A� � 05 !� �∼ A2)� =!� ���!��� .
-! �� � �� �!�"#�� ��&� ���& '������ ��� !� ?��'���� �'��-� !� -!�
���"�� ��� ! �22 �!��� �'���� & !����!# !�"#�� � 0�"#;� - "��
���* ���"����� ?!��6( '� # ���"�-�� !�&� -!� � ! � !� � "�-�
�!����� �'���� & !��41* ���� �!���� �0��'�41* ��" ��"��
?� !�� ��" ��"5 ��� � "( ! ( ";# ��" �!�� !(� �" � �!�� ������ ��
�!�� �" ���� ��� ! �� � ��!# !�"#�� � �!��� ��������� �0��'���� ��.
" ��"� PH4� �� " - � � ��" �!�� ! - ��5��4! (��
.3-6- ��:��!��/ �� ��! / (�- 4�(���� M�&K*�))�(� IN�
,��� ���(�" � � ��& !�� �� 51 �( (� ��5* " (�"( ! ( !�!
2��!� -!� �0J � (��� �� ! ! ������6���"#�� - "� ���"����M V ∼ A�
9,0
8,5
7,5
7,0
6,5
50 100 150 200 250
A
ε, ÌýÂ/íóêëîí
8,0
2�� ��� / ���)���� ,������� ����1��
��+� ���� �� -��� �,�����
C " 05 �� 51 � �! �! !����.
"�� !� ���"���� 05"� 05 �� �.
!- � �5���� ��� ��"#��
0"'!# (� �� �#;� ��! �6.
�"#��4 �� �4 1)� <� ��"-
� �� 51 �( �5�5; �� �
! �5 ���"���� � '��-! " �
�� �� �#; � �0J �� ! �5�
!� � �� �� �#; � �� !�(�(
� ��� -� !6��� ��'"-�5
2��!��5 ��& �����5 �� ��.
��4! ���"��5 �! "#��� 0".
� �( ������ �� �!!�"���� �
�0� "��" ��� ���6��� <��"�
����!���� *��- ��( � ��� � .
" ��� !# ���"# � � (�� !� �� ��
9�! 2��!� -!� ����( ε(A) � ! ��� ���� �'��-� !� -!� �� � !- �
�5���5� ���! ���'�!# ( � ��6 � " �( (� �� % ���� � " � �� ��!.
�� � ��64M A → A1 + A2
(240) → (120) + (120) .
�A��N�
?�"� �� � � A��A ε240 ≈ 7,5 )�%/���"��� ε120 ≈ 8,5 )�%/���"��� <�.
�!��� � ����� ��! � " �( ��"��� �5� "(!# ( �� �(
ΔE = Eкон − Eнач = 2 · 120ε120 − 240ε240 == 240(ε120 − ε240) ≈ 240 МэВ . �A��O�
,"( ���� �( '�� !�� -!� � *�- �* � ��6(* �� � !- �&
�5*�� �05-�� � !��"( ! � "-�� ∼ (1 − 100) �%/акт� !� � � "-��
�� � : � ���(���� � �#;�4�
�' � � A��A ���� !��� � -!� �"( " �* (� � �� � !- � �5���5
� ��6 �! '�� � �"( !(� "5* (� � 3 � ��6 � " �(�
$�'� -�������! .����� !���� %��.3�� ��#;2������
/���& ' � ��5* �� ! ! � � #�� �"���!�����& (�"� # !�� ��.
'5�� ��( ��� "#��( ��� "#� � ��!���& (��� �� ��!���"� # ��� ���"(
(� ���� � 1 !�� 3 ����!- � � ��� ��& ���� !�
1) 7 � -���� � 1������ � ��1�� )�4�� + )�����B -�� ���� =� �� �,8���� ��
��� ��� ��� ��� )�4�, )�0 ��-����)� - ���5 )�B �� ��� �������) ��� 1� �� D
5�����1� �����4���� �) =��� =� �1���� �4 ���� �� )���) ����1� �+)�4��1�
�=I�)
IN� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
/6 �� �"�!�� !# (� ���� � 1 !��� <� � 0� �( � 2 �!�� �� 5 ��
���� �4 �� �& ���"����� �� � !����� � (��� � �� Mя ≈ Am� �
m3 �� � ���"���� ? ����& !����5� " �"�!�� !# (� ���� � 1 !��
!# ρя� !� !� � �� � ����� '�� �!# ���Mя ≈ ρя4
3πR3� � ���� (���
�('�� - "�� ���"���� 2����"�& �A��A� R ≈ r0A1/3� 9��� �0��'���
��*���
ρя ≈Am
(4/3)πR3≈
3m
4π r30≈ 1,7 · 1014 / �3. �A��AB�
�'� � �( �� 5 ��'"-�5* (� � ����'�"� -!� �� �( �(' ��� 2���.
6( - "� ���"���� '��(�� (��� �"( 0�"#;� !�� (� � ����" !���! "#��
� � �� ! ( ��"�����- ��& 2����"�&
Eсвяз = aVA− aSA2/3 − aC
Z2
A1/3− aT
(A− 2Z)2
A+ aP
δ
Aν. �A��AA�
%*��(1 � �!� 2����"� ���226 �!5 ����5
aV = 15,75)�%, aS = 17,8)�%, aC = 0,71)�%,
aT = 23,7)�%, aP = 34)�%.
�A��AI i�
<���'�! "# ! � � ν � �� " �� � "�� ��� � '�� �� ! �! �� �0�
������ ��6 � ! '��- � � �! ���" 1/3 < ν < 1� �!� �� � ! (
���226 �!� δ� !� � '��- � '�� ! �! - !�� ! - "Z N = A− ZM⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−1 �� � - !�5* N Z,
0 �� � - !�5* A = Z +N,
+1 �� - !�5* N Z.
�A��AI 0�
?��!��; � �A��AA� �� ! ��'��� )���� ���(�������
�P� p� ~[^ �YW�_�i]�Yn� AOK���
<�( �� �5 " "�� �5* � 2����" �A��AA��
A� <� ��"#�� �0J � (���� �"� �� �A��A�� ������6���" � - "� ���"�.
���� V ∼ A� !� � ��� "�� �� �� ! �0J ���4 �� �4 (���MEV = aVA�
I� @"�����( ��"-4 ��� �*�� ! ! ���"��5� ��!��5 ��*��(! ( �
��� �*�� !��� "� � �5!5��4! � & !� !�"#�� -� ! ���* ���"�.
��� (��� "�0 �� ����4! ( � (�� � <� ��"#�� �"�1��# ��� �*��.
! S = 4πR2я ∼ A2/3� �� �( �(' (��� �� �#;� ! ( �� ES = aSA2/3�
K� <� ��"#�� (��� �� ��! ���!��5 ���"��! "#�� '��(� ��5
-� !65�� ��'���4! ��"���� � "5�!!�"����(� �����(1 � �� �#.
; �4 �� � �(' (���� C "� ����� �� -!�!#� -!� ���!��5 ���.
��� ��� �� �� � " �5 �� �0J ��� !� �" �!�� !�!- ��( �� �( (���
.3-9- 1���&$��+& �*�"�( IN�
� !��"("� 05 Eкул = 3
5
(Ze)2
R
� /! 4�� " �� ! �6 ��� ��"��� ��"���� �*
" � �� �4 �('M EC = aCZ2
A
� � ���226 �! aC ���0�� ! ( '
� "��( ��"�-; � �"� ����( �� � �� �!�"#�5� ����5��
�� % "-�� ET = aT(A− 2Z)2
A= aT
(N − Z)2
A
�!���� ! �� � �� �.
!�"#�� �0����� ���4 ���5; ���4 � !�&-�� !# (� � ����5� - "��
���!���� Z � &!����� N = A− Z� !� � (� � Z = N = A/2� ,"( !��*
(� � "�� �� ET ����"#�� �� Z = N � !� � ��!� ! !��41�( ��0����
� �� � �(' �−ET ) ��� ��"#��� % "-�� ET ��'5�� ! ( 1�������
��������
<�� *��� � �!�� "�� ��� ����� ���(!# ' " ��41* ��0��.
� �&� 7��"��5 (�"(4! ( 2 ������� <��!��� � � ������ � !�(�
�� �� �� � "(4! ( �� �� � !- �� �����(� � ��!� ! !� ���.
6��� <��"� 7���� �� " � ! ( - !5� �������5* ���"���� !� �
� ������ � !�(� �� ��"��5 '��(!# ��� ��� �� � !- � ����.
�( ��� ��� ���"��� �� ���� �#3 � ���� ��� �*� ���� ���'��� C "
� � 4! ( ���"��5 ���* ��!��� !� � �� '�&��! !�"#�� ���� ��5&
���& �� � !- �& ���� �#� % � '�"#!�! �� �( ! �5 ���� ! (
� �#; � - � � "�-� ���"���� !�"#�� ����� ��!��
�� <� " �� "�� �� � 2����" �A��AA�� EP = aPδ
Aν
� ��'5�� ! (
1������� ����������� /�� �'��-� !� -!� ��0�"#; & � !�&-�� !#4�0"���.
4! - !��.- !�5 (��� ��"( �* δ = +1)� � ��� �#; &3� - !��.� - !�5
��"( �* δ = −1)� 7�"- �!�& ��0��� � �� � �0� "��" �� �1 !��.
��� � � ������(�� !� � �0J �� �( ���"���� ����� !�� � ���5� ?��.
���� �0� "��" �� ��"- � � 62- ��� ���"��.���"����� �'�.
��� & !�( � (���*� � �1 !�"( ��� - � ' �� � � !�� � �5 3 (� ����
� 1 !��� 7��"��.���"���5 ���5 �0"���4! 6 "5� ����� !� � (�"(4!.
( 0�'����� ���! ���� � ����!# ( �� ��� � �� � !- ��� �����
��� ��"#�� �"( �* � ��0�!� ! ���6� <��"�� /! �! !� ����!� ���
�"( �0��'����( ���5 �����! � ���� �4 �� � �('� !� � � �� �#.
; �4 !�0"#�� ! (����
$�*� ����#4���# �2�@��
<� 2� �������� - " ���"���� �� �( �(' (��� '�� ! �! - .
"� ���!����� 7� � � A��I ����'�� ��2� '�� �� ! �� � �(' Eсвяз
�! Z �"( '�0�� A = 127� ��� ���� ' ��2��� �1 !�� ! ��0�"
� !�&-�� (���� !� � �0"���41 ��0�"#; & �� � & �('�
7�&� � '��(� (��� ��0�" !�0"#��� '�0���� /���-� ( &-�
"�-� � � - !�5* '��- �& A� 9��� �� �( ������( ����� ��"4 '
�A��AA� ��*���
dEсвяз
dZ= −ac
2Z
A1/3+ 2aT
2(A− 2Z)
A= 0,
INN ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
�!���� " �� !
Z = A
2 + (ac/2aT )A2/3≈
A
2 + 0,015A2/3. �A��AK�
9��� �0��'��� � " �* (���* - "� ���!���� � &!����� ��� ���
�������5 ����5 ����� ��"��� �01 � - "� ���"����� % !(� "5*
� (���* �A 1) - "� � &!����� ��� ! �1 !� ��� �� �5;�!# - "�
���!����� 7���� �� � ��0�" � !�&-��� (�� � �� ���1 � A = 237
���"����� ��"���� �"� �� �A��AK�� ��*��!# ( Z = 92 ���!��� ��!� (���
����� 23792U)�
$�,� +���F������ !���
��� ���� ' ��'������ " ����."0� �0��'�� ��'��� ! (���
� ��!��"#�5� ��!��; � � � &!����� ���!����� !� �� �5���� �� .
���!!# ( � 0�" � !�&-�� (���� � ��!���� - "� ���!���� 0"'�� �
� "-� �A��AK�� =!�! ���6 0�"#;�& � ��(!�� !#4 � ! ��! � ��.
"�1 �( " �� ���( �" �!����� " ��'!������ <� !��- ��
��-��� ���6 5� � ��!��5* �-� !��4! �" �!���5 ��'!���5� ��'5.
��4! β.���6 ��� , "� � !��� -!� � ��5* � ��5* " �����(* ��.
����!��� ! 05" �0����� �5 !� ��� '"�- �&� ��'����5* α.� β.
γ.����6 &� %!���& ' �*� ��� ���'�"� #� �� � !��"( ! �0�& ��!�� �" �.
!������ β.-� !6� ?� � β.���6 �� �5� "(4! β −.�� ���� β +.�� ���
K.'�*��!� < ��5& ' �* �!� -� ! �� ���4 �" �!������ �!���& 3 .
�� ���4 ��'!������ �� " ��& ���6 � !�! � '�*��! �" �!�����
0"��&; & � (��� K.�0�"�-� �!��� ����� � ��'5��4! �0��!�5�
β.�� �������
7 �0*���5� � "�� � β−.�� ���� (�"( ! ( � ��� � !��
M(A,Z) > M(A,Z + 1) +me, �A��A��
�5����41 !� !� 0���� � -!�05 � � '�"#!�! ���6 � �0��'��5��"� #
(��� 0�"#; & �� � & �(' � ��!� ! !� ��� � �#; & �� �&�� � .
��"#'�( ��� � " � �� � �('� � ��� � !�� �A��A�� ����� � � � �!#
� ��
Eсвяз(A,Z) < Eсвяз(A,Z + 1) −mec2. �A��A��
���"�-�� � �0*���� � "�� β+.�� ���� � !�! � !��� -!�
M(A,Z) > M(A,Z − 1) +me, �A��A��
�� ��"#�� ��'!��� �" �!��� � 4! �������5 �� 5�
�!�05 ��� " �!#� ��� ��� *��! � !����" � ��!��"#��� ��!��.
; �( � &!����� ���!���� � (�� � *�� β.���6 �� �� ��!�� ��.
������ ����'����4 �� � � A��I� ,"( 0�"#; & ��"(��� ! �� � !��� �!�
������� � ��� �� � ��� ����'��� �� � � A��K� % � '�"#!�! β.�� ����
�� �( (��� �� �#;� ! (� � '�0����41�( !�-�� �� ����& ��� �� ! (
.3-P- ;���%(��:� / �( INO
�� ��� & ��'�����& �!� !�� �!� -�41 & !�0"#���� '�0��� Z == Zm� =!� ������� �!� -� ! "�-�4 � - !�5*A� �"( ��!��5* � 2����"
%�&6' �� �� �A��AA� � "-�� δ = 0�
7 ��"#�� "��� !��6( � "�-� - !�5* '��- �& ��"���
- "� ���"���� A� % �!�� "�-� ���! � �"'��5��!# ( - !��.- !�5
Eñâÿç
Z
8,4
8,42
8,38
51 52 53 54 55 56
8,36
−Eñâÿç
β−- ðàñïàä Zm β+
- ðàñïàä
Z
2�� ��� / ���)���� ����1�� ��+�
��� � A = 127 �� -��� ������� Z
2�� ��� �� 1� )) βD� �� � ��D
� � ��-����) -����) �,����� A
6���0� � ����� ,� +� �� �����D
�� ������� ����0��� ��� ��D
+,��� �� ���,�� ��� ��������� @��D
+������A ���5��� ����� 8 ����B
��1� �����1 ���� ��+" � ��-� �
����� Z = Zm
� - !��.� - !�5 (���� 7� �"( !��* (� � �� �( ������( �� � ��.
" ��(� �� ������ β.���6 �� � 4! ( �� ���5 � ���� ' ��!��5*
�!� -� ! '��- �4 δ = +1 � 2����" %�&6' �� ��� � ����( 3 '��- �4
δ = −1� < ���( ����( �!� -� ! 0�"#; & �� � �(' " �! ��
�!���&� �!� -�41 & � �#; & �� �� 7� � � A��� ����'��� �� " ����.
! "#�� !# β.� � *���� �"( "�-� �� ���� ����� ���5* ��*��! ( ��
� - !�� �� � A���� �� - !�� �� � A���� � - "� ���!���� Zm� % � ����
"�-� '��- � Zm �!� -� ! ������ � �*� & ����& ��� 5��41 &
� - !��.� - !�5 (���� " ����! "#��� � - !�5 Z)� � �� �!���� "�-�
'��- � Zm �!� -� ! ������ ��� & ����& ��� 5��41 & - !��.
- !�5 (���� " ����! "#��� - !�5 Z)�
<� ���"' � '�"#!�!�� " �� ! ����!#� -!� �� � * � � *���* '��(�
(��� � �( ! ( �� ��6�� !� � � ������ ��! β.�� ���� �� � � A��� �5 � .
� *��� ��� & ����& �� � �*�44 �0��!��� < � *��5 '� � � �
'��(�� ��'� �� �� ��65 �'��-�" 05 �� ��� ������ � ��� ���*
�" �!����� ���'!������� =!�! ���6 ��"�� ��(! � ��� ! � ���.
��!# ( �� ����� �
��� ���� ' ��� � ���& * �5 � � *����� � "�-� � - !�5* Zm
� ���6 6 ��-� ���! �0��'���!# ( ��� � !�&-�5 ��� �!��; �4
IOB ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
� β.�� ������ '�0��� 0"'�� '��- �(� �� � �('� % "�-�
� - !�5* '��- �& Zm �0��'� ! ( '�0�� Z = Zm� ���� !��� � � ��.
!��5* ����"�* ���! �0��'���!# ( '�0��5 Z = Zm − 2 Z = Zm + 2�
% ��(!�� !# β.�� ���� �!* '�0�� ��"�� �� ��"#�� !���& �� ��� ��"� �
���������!# ( �� ��� � ���* �" �!����� ���'!�������
−Eñâÿç
Zm −2 Zm Zm +2
Zm − íå÷åòíîå Z− ÷åòíûå
áà
Z
Z− íå÷åòíûå
Zm −2 Zm Zm +2
Z− íå÷åòíûå
Z− ÷åòíûåZm − íå÷åòíîå
−Eñâÿç
Z
2�� ��� �� 1� ))� βD� �� �� ���� � -����) +� -����) �����1� -��� �,���D
�� A ��� ��,- �B ��1� ) ���),) ����1�� ��+� ���0������ � ��-����� @�A �
-����� @"A +� -���� -��� ������� Z H����)� ��-� )� ,� + �� ���������B ���D
� ���4 8�� ��������,?8�� �����B �����)� T �� ���� ���4 8�� �����
2 �������� )�4�, �������)� ��-� )� �� ��� =�5��� ���� ���� ΔZ = 1
9��� �0��'��� � '�� �� ! �! - "� ���"���� � *����� (�� �
� '�"#!�! β.�� ����� ���! �0��'��5��!# ( �! ����� �� !� * ��'"-�5*
(� ����� ���� ' � ����� A��K A���� �� �( (��� � ! ����� ��
��� � " ���� ��!��; � - "� ���!���� � &!������ C " �� !��.
!# !� *� ���4 ������� '�� �� ! �� � (��� �! - "� � &!�����
N = A− Z - "� ���!���� Z� !� ��'��� ! ��� �*�� !# � �� � "�0��
�'; !�-� ��!���� �!� -�4! !�0"#�5� '�!����� % �!�& �(' ���
� "�0� ��'5��4! ������� ��� �������� (� �� % � & !�! "#�� ! (����
� !�&-�5 �� �!��; �4 � β.�� ������ ���! ���'�!# ( � � !�&-�5�
�� �!��; �4��5����6 ���7� � � A��� ����'��� ������� !�0"#.
�5* (� �� � ���'��5 � ����5 !�5 ������!��� !� �!� ! !� ��5 '�
�� ���5 (� ��
/0 ��� ! � �# � �!� �" �!������ ��'���41* � � '�"#!�! β.�� ��.
��� =� � �� �!�"#�� 05"� ��"�- �� '�� �� !#� ����'����( �� � � A����
��� ���� ' � ����� � �!� (�"( ! ( � �� �5��5�� ��- � �1 !.
�� ! ���-��(� ��� ��"#��( �� �(� �05-�� " ��1�( � �0"� ! '��.
- �& 1 ÷ 2 )�%� �� ���� ������41�( '� �� � "5 �!�& �0"� !�
?�1 !����� ���-��& �� � �" �!����� " �� �0J( �!# ����.
1#4 '����� �*��� �( �� �� % ���� � " � " � ( �� �( �� ����
.3-P- ;���%(��:� / �( IOA
��� ! ( �" �!������ !� � �� !- ��( �� �( ���'5�� ! ( �����&
Tгран ≈ M(A,Z)c2 − [M(A,Z + 1)c2 +mec2] −mec
2. �A��A� i�
C " ���(!# �"( �6 ��� -!� ��'�6� �� � ��* (� � ��� � "( ! (
��'�6 & �� � &!���� ���!��� �mn −mp ≈ 2,5me)� !� ���� ! (� -!�
Tгран ≈ (mn −mp)c2 −mec2
≈ 1,5mec2
≈ 0, 76 )�%.
% � & !�! "#�� ! ��0"4�� ��( ���-��( �� �( � ��"#�� 0�"#;
��&� ���& � "-�5� �� ��"#�� � (�� � &!��� �0"��� ! � ��!���& �� .
!- ��& �� � &� -� !# ��!���& !��� ��� ! � � ����!# ( �5" !�41 ��
' (��� �" �!�����
2�� �� ����� �� =�������� � ������� � � �� � �� � �+�����
N
100
80
60
40
20
0,5 1,0 1,5
83
210Bi
Tβm ce
2
2�� ��$ :����� ��������� βD� �� � ��),� D��.
IOI ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
���"�-�� �A��A� i� ����� �6 �!# ���-��4 �� �4 β+.�� �����
<� ��"#�� �� � ��'!���� ������ ! �� �& �" �!����� ���-��( �� �.
( ��'!����� ���'5�� ! ( �����&
Tгран ≈ M(A,Z)c2 − [M(A,Z − 1)c2 +mec2] −mec
2. �A��A� 0�
%�'����� � ������������ � �!�� β.�� ���� �� T � Tгран� �.
"� �� ��! ' %� <��"� �('��� ! �� -!� � ���6 �� ���� � &!����
�0��'� ! ( !� !#( -� !6�� ��'5�� ��( &-� �" �!����5� ��!� &!���M
n→ p+ e+ νe. �A��AN�
=!� -� !6� ��� ! � ��!���4 -� !# �� � �� ����� ��- � - � 0�"#.
; '�0�� ! ��!� &!���� ! � � �#;�4 �� �4 ���0� !� ! �" �!����
7�"- � ��6 �A��AN�� � !��� '��- � ���-��& �� � ��'��"(.
4! � !����!# � ��!��5 ��& !�� � &!���� /��� ' �* 3 !�� -!� �� �
� &!���� " � ��" ��(� !� ��"�( � "-�� ���- ��!� &!��� � ��
'�0��" 05 �� �4 � � � mνc2� ���-��( �� �( �" �!���� �� �#.
;�"� # 05 �� �!� � � "-���� ���� !��� �� ��"#�� !� ' �-� !��41*
� � ��6 �A��AN� -� !65 �n, p, e)32 ����5 �� 41 �� A\I�� !� �.
"� �� '����� �*��� �( ��� �!� ���"# � - !� �!�( -� !6� �νe) !���
2 ���� � ���� A\I�
$�/� �@���4�4��! .����� !���
��� �� �!� -�"� #� � & !�! "#��( '�� �� !# �� � �('
Eсвяз(A, Z) �� ��! � � �"(��� !� ��!��5 � ���! 05!# �0J( � �5
�� � ��� ��� "#��& ��� " (���� % -� !�� !� �1 !��4! (���� �0"�.
��41 ���5; ���& �� � & �(' � " ����! "#��� � �0� � !�&-�5 �
9�� (��� ��'5��4! (���������� F �*� ��� ����'�" '� � �(� - "�
���!���� Z \" - "� � &!����� N � ! ��� � " ��5 '��- �(M
Z, N = 2, 8, 20, 50, 82, 126, . . . �A��AO�
<�� � ��5 - "� ��'5��4! ��������� 1)� b���� � ��!��5* - "�
���!���� - "� � &!����� ������ � ��� ��- � � ��'5��4! ������
���������� <�� �5 !��* (� �M
42HY (Z = 2, N = 2),
168o (Z = 8, N = 8),
20882�z (Z = 82, N = 126).
1) H ��� ������� � ) 1�-����) � �4� ��� B �����4 8�� �# �,�����
.3-<- �"���$�$��/ �� ��! / (� IOK
<���0�5 � � �"(��� ! �� � �('� �����(1 � ���5; �4
� !�&-�� ! � ��!��5* (� �� ���! 05!# �� ��5 � �����* ���*���� ��.
'5�� ��� � ��������� ������� ?�!# �!�& ��� " � !�! � " ��41 ��
?-!� ! (� -!� � ���"��5 �� ! 2�����4! �22 �!��� ��� �"�.
������ ��" � ,�" �� ��!��� ! ( ��� � �!� "#�5* ���"���� �
�!�� � �� � ��" � <� �!�� �� ���"�� ! (� -!� ����5& ���"�� ��� ! (
��-! � '�� �� �! ���*� ��� " 05 �'���� & !� � ��� �� 05.
"� "�05�� % � & !�! "#�� ! ��(�� ���"��.���"���� �'���� & !�
� "��� �� ��� �-!5�� ! ( �� � � � ��� �"� ������� ��"(� ?��!� !.
!� ��� !�-�� !# ��0"� �( '�� ! �! !��� �� ��"#�� ���-�� �50���
�22 �!��5& ��! �6�" �"( ���"���� � (�� �
9�� � ��� �" �!���5 � �!���*� ���"��5� �"� �� ��� "� ��*��(! (
� (�� � ��� � " ��5* �0�"�-��*� b���� ���5; ���& � !�&-�� !#4
�!� -�4! ��"�� !#4 '���"� ��5 �0�"�-�� /!"- �0�"�- -��& ��� .
" (��� �! ! �� �!��� � !�!� ��.� ��5*� � !��� -!� �" �!��� � �!��
��*��! ( � ��"���� ��� ��" (��� ���* �" �!������ !��� ��� ���"��
� (�� 3 � � ��"���� ��� ��" ����!��� & !��41* (� ��5* "� ���.
'����5* ���� ���"����� %�.�!��5*� �1 !�� ! !�"#�� ��� ��
�" �!������ !��� ��� ���"���� 3 ��� ���M ���!��5 � &!���5�
7�&� � � ��5 !� ��- � - "�� ,"( �!�� �� ���"���� -!�
� ���"��5 �'��4! � ��!��� �22 �!��� ��" � ��!��� � � �( ! (
�� � ��'����5* '� � �(* ��"�� �( � � !�(�(� �50������
���"���� ,�" �5 -!� �� -!� � ���"��5 ����! ( � '�� �� � �!��
� �� � ��" �
<� ���"��( � �� ��" 2 �- �. �� !�-�5�� ��� � �"( ��.
! �6�"#��& �� � ���"��� � (�� " ��41 �5��� � M
U(x, y, z) = −U0 + mω2r2
2, r2 = x2 + y2 + z2. �A��IB�
9��� ����� � c� �� �� �"( ���"��� '��; ! ( � ��
Δψ + 2m
�2[E − U(x, y, z)]ψ = 0. �A��IA�
@�� � � ;�!# �!� ����� � � !���� ��'� " �( � � � ��5*� !� � ��"���
ψ(x, y, z) = ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z).
<�� !��� �!� �� � !��" � � ����� � �A��IA� ��'� "���"�-�; (
����� � ��-" ��� �� ψ� =!� �� ![ψ′′
1
ψ1
− 2m
�2
mω2x2
2
]+
[ψ′′
2
ψ2
− 2m
�2
mω2y2
2
]+
+[ψ′′
3
ψ3
− 2m
�2
mω2z2
2
]+ E + U0 = 0. �A��II�
IO� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
% " ��& -� ! �!�� �5��� �( �����( ' ��0�� '�� ! �! ��'�5*�
� '�� �5* ���� �!�� �x� y " z�� <� ��"#�� ��� � !�� ��"��� �5��".
�(!# ( !��� !� ���� �"( ���'��"#�5* '��- �& ���� �!��� !� �5��� .
�( � ��0��* ��"��5 ����(!# ( � ��!��5� �� !�(��5�� % -� !�� !� �"(
� ���& ��0� ��"�� �
ψ′′1
ψ1
− 2m
�2
mω2x2
2= −2m
�2E1,
"
ψ′′1 + 2m
�2
[E1 − mω2x2
2
]ψ1 = 0. �A��IK i�
���"�-�� �"( �!���& !� !# & ��0�� ��*���
ψ′′2 + 2m
�2
[E2 − mω2y2
2
]ψ2 = 0, �A��IK 0�
ψ′′3 + 2m
�2
[E3 − mω2z2
2
]ψ3 = 0. �A��IK ��
<� �!��� �"� �� �A��II�� ��� !��!5 E1, E2, E3 ��"��5 05!# �('��5
��"��& �� � & ���"��� ��!��; � �
E1 + E2 + E3 = E + U0. �A��IK �
����� ' ����� �& �A��IK i� : �A��IK �� �� 5�� ! ����� ��5& ��.
���- �& � 6""(!��� F���� �� � �!* � 6""(!���� ��4! ( 2��.
��"��
E1 = �ω(n1 + 1
2
), E2 = �ω
(n2 + 1
2
), E3 = �ω
(n3 + 1
2
),
� ��!��5* � "-�5 n1� n2� n3 3 � �!�6�! "#�5 6 "5 - "�� /! 4���
�"� �� �A��IK �� ��*���
E = E1 + E2 + E3 − U0 = −U0 + �ω(N + 3
2
), �A��I��
� �� � �� "���� ����!��� - "�
N = n1 + n2 + n3, �A��I��
���0 �41 6 "�- " ��5& �(� '��- �&MN = 0, 1, 2, . . .
����!��5 � !�(�(� �!� -�41 ��'"-�5���0���� - "n1�n2�n3�
��'"-�5� /������ �"� �� �A��I��� ��'�5� ��0���� �������5� '��- .
� � "����� ����!���� - "�N �!� -�4! �������5 '��- �( �� ��
=!� �'��-� ! ��"- �5���� �( �� � !- �* ����� &� 7 �5���� �.
�5� (�"( ! ( !�"#�� � !�(� N = 0� �� ��"#�� �� �!� -� ! ";# ����
����!��� � !�(� n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0� @�� � �0�'��-�!# �����
�� �� �!� -�41 ��0��� - " n1, n2, n3� ���"�� En1n2n2 �
.3->- Q:��%�("����!��� �*���� �&����� IO�
/ ������� � !�(�4 �n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0, N = 0) �!� -� !
�� �(
E000 = −U0 + 3
2�ω. �A��I��
7� �!�� ����� ��� ! ��*��!# ( I ���"��� ����� ��� � � ���� ��� �*�
���� ���'���
?" ��41& ���� �# �N = 1) �0��'� ! ( !� �( � !�(�(�M
{n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0},{n1 = 0, n2 = 1, n3 = 0},{n1 = 0, n2 = 0, n3 = 1}.
<� �!��
E100 = E010 = E001 = −U0 + 5
2�ω. �A��I��
% ������ ' � !�(�& �!�� �����( ��� ! ��*��!# ( ��� ��"#�� �� I
���"��� ����� ���� % �� " ����! "#��� ���� �# N = 1 �� 1� !
3 × 2 = 6 ���"�����
b���� � ��!���� ��"�� !#4 '���"� �5 �� � ��5 �0�"�-�� �� ��!
2 + 6 = 8 ���"�����
?" ��41 �� �����4 �N = 2) �!� -�4! � � !�(�&M
E200 = E020 = E002 = E110 = E101 = E011 = −U0 + 7
2�ω. �A��IN�
7� �!�� ����� ��� ! ��*��!# ( 6 × 2 = 12 ���"�����
b���� � ��!���� ��"�� !#4 '���"� �5 � !� ��� �0�"�-�� �.
� ��! 2 + 6 + 12 = 20 ���"�����
9��� �0��'��� �5��"�-" � ��5 !���- �* - "�M I� N� IB� <�
��"- ���"���� ���* ���� ����� ' ��&� ��5* - " �!��.
�� ! '���"� � ���!����& " � &!�����& ��� ! �5� ���� !���
" �� ! ����!#� -!� ���!��5 � �! �" �!�- �& '��(�� <��!��� � " �.
!� ��"���� ��� �!!�"����( ����� ���!����& ��� ! �5 ���'5��.
4! ( � ��"#�� �5; ��!� ! !��41* ����� & � &!�����& ��� ! �5�
,"( ���� �( '�� !�� -!� �� '���"� � �!���5* �0�"�- � - "�
�" �!����� � "� "���5� ����!��5� - "�� n ����( ! ( 2n2� !�� -!�
���"��� ��- �* - " 05" 05
12 × 2 = 2,
(12 + 22) × 2 = 2 + 8 = 10,
(12 + 22 + 32) × 2 = 2 + 8 + 18 = 28
�A��IO�
!� �� G�'"- � *����! � '���"� �( (� ��5* �!���5* �0�"�- � �(.
'��� � ��"���� �� *����! ��� (� ��5* "�
IO� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
$�1� ����F��@�������� �2��.���#�����
� !������ �@���4��
��"- !� ��5 �6 �� �� � �(' (� �� � ������5 �� '"�� �.
��& �5; ����1 ���& ��� " �0�"�- �� ���! ����!# � '�"#!�!5� "#.
�� �� *��(1 ( �� � �� �!�"#�5� ����5�� % -� !�� !� ��- .
� - "� ��-��( - !� �!�� ��" � ��&� ��5 �� '"�� ���& * � �
� ��!� ! !��4! ��0"4�� �5� '��- �(�� , "� � !��� -!� � � !�(�(*
0�"#; & �� � & �1 !� ���4 ��"# ��-�� ! ��!# ��.��0!�"#��
�'���� & !� � � �(41 ��� '��- � �� �� !�� �'���� �� ��"�.
� � ����� &� %5���� � ����� & ��� ! (� !�� -!� ����5& ���� �#
�� � !��"( ! �0�& ��0�� 0"'�*� �� ��'� " ��5* ����� &� 9��� �!�-� .
� ��� " ��'��"( ! ��&! �� " ��41 ��- � - "��
7 �����( # � �����0�� �0 ��� � '�!����!�& ���0" �5� �!� !�
!�"#��� -!� �� !�!�-�� *���; �6 �� �� � !- �* ����� & ���"�.
��� ����� ��"�-!#� " ��"#'���!# �5��� � �"( �� � ��.
��0!�"#��� �'���� & !�( !�� � ���� -!� � "�-� �" �!����� �
�!�� � �� ���� ����� ���(!#
ULS = −a
r
dV
drl s.
D� # �"( ��� !��!5 a " �� ! ��"#'���!# '��- �
a = α(
�
Mc
)2
,
� M 3 �� � ���"���� � ����� !� α �50�� ! ( ' ��� !��" �(
�� � �� �!�"#�5� ����5�� /��'5�� ! (� ��"�-; ��0"� � ��.
!� ! ( �� α ≈ 10�
� ��"#'�( ��'"-�5 ��0"� ��5 �22 �!��5 ��! �6�"5 V (r)�
����� ��&! ����� �� � ���"��� '�! � ��&! �0�"�-�� C "� ��.
��� �� ��"#'���!# � 6""(!����4 ��� "#� � ��!���&
V (r) = −U0 + Mω2r2
2,
!� ���'5�� ! (� -!�
ULS = −aMω2〈ls〉 = −1
2aljMω2,
alj = α(
�
Mc
)2{l �� j = l + 1/2,
−(l + 1) �� j = l − 1/2.
9��� �0��'��� ��� � �!�& ����1 ���& ��� " �5 ��"�-� � �� 1 �" �
����� & � '�� �� ! �! '��- �& ��0!�"#��� ��"��� ��� �!��M
EN lj = −U0 +(N + 3
2
)�ω − al jMω2.
.3->- Q:��%�("����!��� �*���� �&����� IO�
G� ��!���( '���-� � !� *� ���� � 6""(!�� � 2 �- �* �����.
��!�*� ����� �('�!# "���� ����!��� - "� N ����"#�5� ����!��5�
- "�� nr� �nr = 0, 1, 2, . . . � ��0!�"#�5� ��� �!�� lMN = 2nr + l.
/- ����� -!� �� '������� '��- �N ��� ��"#�� '��- � ��0!�"#.
��� ��� �!� ����� lmax = N �
��� ���� ' ��� � ��5* 2����"� � "-�� ��.��0!�"#��� �'�.
��� & !�( ��'�� !� ! �� !�� ��0!�"#��� ��� �!�� % " � !� �!��
�� 0�"#;* '��- �(*N ��.��0!�"#�� �'���� & !� ��� ! �1 .
!� ��� '� �!# ���(��� '���"� �( �0�"�- ��
% (� ���& 2'� � !�(�( ���"��� �05-�� �0�'��-�4! ( ���"��
nlj � D� # l j 3 ��0!�"#�5& ��"�5& ��� �!5 ���"���� � - "� n
���0 � ! 6 "�- " ��5 '��- �(� ��-��( A� �'��-� !� -!� ���"
lj ��(�"( ! ( � �� " ����! "#�� ! n.& ��'� G� - !5 ����'5��4!� -!�� ��.
��� �� � (�� ��6� 20882�z (Z = 82, N = 126) ���(��� '���"� �(
* = � � 5 ��� ������� + �������� �=���-�� ������� )� ���5�
:��� %=���-�� ��j N ΣN
. �s1/2 � �
� �p3/2�p1/2 $ #
� �d5/2�d3/2�s1/2 �� �.
� �f7/2 # �#
� �f5/2�p3/2�p1/2�g9/2 �� .
�g7/2�d5/2�h11/2�d3/2�s1/2 �� #�
$ �h9/2�f7/2�i13/2�f5/2�p3/2�p1/2 �� ��$
�0�"�- � �"( � &!����� !����� ��� ���'��� � !�0"� A��A� /0�"�-�� 1f7/2 �
!�0"6 �5� " �� � ��� !�(! "#�5& "�&� �� ��"#�� ��� �!� " �� �! �.
��* �0�"�- � �� !�!�-�� 0�"#;� �� � !- �� �! ���"��� � !���
��!���� -!� (��� - "�� ���"���� IN �0"���4! �(��� ��& !� ��- �*
(� �� ��� � "�-� � ��* - " �IB �B��
,"( ���!���� ���(��� ���'5�� ! ( 0"'��� *�!( �� ��"�� � �0�"�.
- � � �� � "�* "�( ��� ! � ���� �!"-�!# ( �! ���'������ % !�0"6
�� �( � &!����� � �� � "�* "�( ��'�� !� ! �! �0�"�-� � �0�"�-� " .
�� �������� % !� !# & ��"��� ���'��� ��"��& - "� � &!����� � "� � �
� �� " �� & 3 ��"�� - "� � &!����� � (�� ��"�� !#4 '���"� ��5.
� "�(� �� ������ ��"4-! "#��� <� ��*��� � - "� ���"���� �
ION ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
�0�"�-��* " �� ! ����!#� -!� - "� � !�(�& '�����5� '��- � �
��"��� ��� �!� j !# 2j + 1� ,"( 0�"#;� !�� (� � ���(��� '���"� �(
�0�"�- � ���"�- � !���� -!� � ! � !� �"( ��6��
$� 5� ���� !���
G�'"-�5 �6 �� ����'�"� -!� �� �( ��.��0!�"#��� �'���� &.
!�( ���"��� � (�� �ELS) ��"� �� ���� �4 �� � & �'���� & !�(
���"��� ��� �"� �����5� ��" � (��� �EU )� �� � "�� �� ���� �4
�� � & ��(��� ���"��.���"����� �'���� & !�( �ENN )M
ENN < ELS < EU . �A��KB�
< ��� � ��� � !�� �'��-� !� -!� � (�� � �"'� ! ( "�-�& jj. �('� ?" .
����! "#��� ��"�5& �"���& ��� �! (��� 2����� ! ( ' ��� �!�� �!� "#.
�5* ���"���� � '���"� ��5* �0�"�- � �� " ��41 �� ����"�M ��-�"�
�� ��0!�"#�5& ��� �! ������ ���"��� �"��5��4! ( � ��"�5& ��.
� �! ���"���� � '�! � �! ��� �!5 �"��5��4! ( � ��"�5& ��� �! (���M
j i = li + si, I =∑
i
j i. �A��KA�
��� �05-�� � ����!���& � *��� � � �� '��- � ������!� ��"��� ��.
� �!� (��� �����
〈I2〉 = I(I + 1). �A��KI�
�% �!* 2����"�* �� ���"�� ! (� -!� � ��� �!5 '� �(4! ( � ��6�*
�� !�(���& <"���� � ��
?������5& ��� �! (��� ��'5�� ! ( ����� ����� /� ��� � "( ! � �*.
!����4 !���!��� � �!��"#�5* "�& �!���� �6 ��� � "-�5 ��!���&
05"� ��"�- �� � "� N � �� �N��A�� �N��I��� / !����� ( 1 ��' �� �!�� ��.
��� � � ( � ��� ��'���� ��� � �� (��� �(' ��� ���!���
��� �!��
<� !# K .2��!�� (��� ��� � K я� ,"( ��*��� �( �!�� 2��!��� ���.
�� �� !��!# !�� � � ��� �"( ��*��� �( ���!�5* ��� �!�� �!����
� ( !�"#�� � ���� -!� � (�� � �"'� ! ( jj. �('#� ? �- !�� ��'�����
���!�5& ��� �! (��� ����� '�� �!# � ��
µ = K яμяI, �A��KK�
� μя = e�
2mpc
3(� ��5& ��� !���mp 3�� � ���!���� ?��!� ! !� ���
�� �( �'���� & !�( ���!��� ��� �!� (��� ���!�5� ��" �Bоб�
�'���� �5� �" �!�����& �0�"�-��& �!��� � � ! ��*��� �( (���� �����
Uс.т.с. = −µBоб. �A��K��
% ��4 �- � �#� ��" Bоб ��� � "( ! ( ���!�5� ��� �!�� �" �.
!�����& �0�"�-� �!���� 7���� �� " �� ��!���!# �!� �0�"�-�� ���
������ ��� �����- ��� ! "� ��"�5����!�5���� �!��µат = �J�
.3-..- � (���# �� ��/# / (� IOO
!� Bоб = 8π
3V�J �� V 3 �0J � �!����� 9��� �0��'��� �� ��!�� �� �
���!��� �'���� & !�( (��� �" �!�����& �0�"�-��& ��� � � �*.
!����& !���!��5� ����� ! ��
Uс.т.с. = AIJ. �A��K��
% "-�� �� � �'���� & !�( ����� �! 4�� ��&!� ���� �( ����!�.
��� *��- �� � � �� � � ?� �� �! ��"(���� ���'� � �( ��� !
05!# ��&� �� !�����!�5� �� ���� �� ���� �-!5��(� -!� ��"�5& ��.
� �! �!��� ��� � F = I + J� ��- �
〈F2〉 = F (F + 1), 〈I2〉 = I(I + 1), 〈J2〉 = J(J + 1),
��*���
〈IJ〉 = 1
2[〈(I + J)2〉 − 〈I2〉 − 〈J2〉] = 1
2[F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)].
<�"�5 ��� �!5 (��� �" �!�����& �0�"�-� � 4! ��� � " ��5
'��- �(� <��!��� � "-�� � �*!����� �� 1 �" �( ��� � "( ! ( ��".
�5� ��� �!�� �!��� F � ��!��5& ��� ! ���0 �!# '��- �(
F = I + J, I + J − 1, . . . , |I − J |. �A��K��
?" ����! "#��� � � � ! ( min{2I + 1, 2J + 1} "�&� ��� � "( �5*
�����(�
A
2F (F + 1)�
� " ���( �6 ��� � "-�5 �� � � �*!����� �� 1 �" �( 05"�
��"�- �� � " NM
Uс.т.с. ∼ εБα2 me
Mp
.
<� ��"#��me/Mp ∼ 10−3� �� �( � �*!����� �� 1 �" �( � �!��"#.
�5* "�& ��� ��� �� !� ���(��� � �#; �� �� ��� � "(41 & !��.
��4 !���!���� �� �# ���(���� � �#; 0���� ��& �� �� Uс.т. ∼∼ 10−7εБ ∼ 10−6 �%�
$� � � ��38�7 .����!7 !���
/0�"�- -��(��� "#3�!��� �1 !�� ����-� !-�� �� �� ��& !�
(� ���� � 1 !��� !� � �� �� ��� � �( �!� "#�5* ���"�����
��� "#��( ��� "# � ������ �� !�� ! !� ���� �� ���"�� �� -!�
� ! ( "#�� � ����"���� �'���� & !� � !� � �"�� ��0�����
���0 � ���"���� � (� ���� � 1 !� ��"� �� ���� �4 ��'� ��� (�.
�� �lсвоб�Rя)� =!� !�-� �!���� ! � & !�! "#�� !#M ��0"4�� ! ( ����
� !�(�& (� �� ��!��5 ���� � ��"��5��4! ( � ��0"� � � '�� .
��� ��� �( ���"����� @�" !��� � (�� ���"�� � ! �"�� ��"�5 �
@��&"(� �����4 λ = �√2mpE
∼ 10−12 �� -!� �� �5;� ! *����! ��5 ��'.
� �5 (��� �∼ 10−13 �)� =!� (��� �� ! "# !�� !� -!� ��� � ���"����
KBB ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
� (�"( ! ( � '�� �5�� b��� �� � !��"( ! �0�& ! �� ���* -� !6
������ �� � !(� "5* (���* - "� ���"���� � !��"( !∼ 250�� =!� ��'��.
""� 2����"����!# !�� ��'5�� �5 ��"" �!��5 ��� "� �!# ��!��5* �
!��� -!� �� ��!���4! ( � �!� "#�5 ���"��5� � � ��!���( � ��3(� �.
��( ��! �(� % !���& � � ���! ��'���!# ��'���0��'�5 ��'0��� �(�
���"�-��( !��6( � ! � !� � �������� � ���� �� ��!���.
4! (� ! !� ���� � ��� �( �!� "#�5* ��" ��"� � ��� � ���� !
��� � ��!���� � 2����� ��� ! "��
<�� � � ��� �5 ��"" �!��5* ��'0��� �& � (���*�
b��� ���! ���'�!# ( � 2���������5�� !� � � !# � 2 �- ��4
2����� =!� �����!� � -� !�� !� � ��(�" �4 � �* ��� �!�� � �6�
-!� � ��4 �- � �# ���(�"( ! ( � �1 !����� ���1�! "#�5* ����� &
�� � E(rot ) = BI(I + 1)�
b��� ���! � ���- � � �(!# ��4 2����� �5!(��( # !� ���"#
����� ������" �(� !� ���"# ������ =!� �!� -� ! ��" 0��(� ��� �*��.
! (��� �� � A�����
)��! ��'���!# ��" 0��( ����!����&� �� &!�����&� ���� ! &
�!�� ! "#�� ��� ���� �� � A��N�� 9 �� !- � �!�! !� ��'0��� �&
2�� ��' ( ��,������� ����= ���
����0����� ���
" ����" ��@� )��" � AO�� � % � .
��6(* 2�!�� " �( (� � �22 �! ��.
0"4��" ( � AO�� �
% 2�������� ��'0��� ����
� !�(�( ��� ! �����!# �-� !
0�"#;� - "� ���"����� 9��� ���.
�(!� -!� � ! � !� ���! �& � .
'���� �� =!�! !� ��'0��� �& ���.
(�"( ! ( � �� ;����� ��� ����
� '�� �� ! - �& �� ��(!�� ! &�
(� ��5* � ��6& �! �� � ��" !�41* -� !6� =� �( ��! ��� � .
'���� � �05-�� " �! � ����'�� 15 ÷ 20 )�% � ! ;��� ���(���
2 ÷ 10 )�%�
/6 ��� '�� �� ! � -� !�!5 �! �!����� � � �"( ���"#�5* ��.
" 0��&� !�� '�0��� ��5* �� � � A��N� ����� ��"�-!# ' " ��41*
à
n p+
n
p
á
p
n
2�� ��# %������������ ����= ��� ;����������< � ;���������< 4��������B
������8�� � �+��������? 1�1 �����1� ��+�� �� U �A ��������� ����= ���E
"A � ��,������� ����= ���
.3-.0- g�!2�%(��:� / �( KBA
��0��� �&� G '���� � �!� -� ! ��'����� � !�(- & ��"�5� =!� '��.
-!� -!� �� ��� !� (��� IR �� 1� ! ( 6 "� - "� �"� ��"�M λ ∼ R�
?" ����! "#���
Eг.р. = �ω ∼ R−1 ∼ A−1/3.
=!� '�� �� !# � �"�*� ���!� ���� ! ( � �� � �� �!�*� ��"- !� ���
�� �( ��! ��� � '���� � �"( � � A��N� � ����" !���! "#�� � � ��.
! ( 2����"�&
Eг.р. ≈ 78A−1/3 )�%.
?"�0� ��'0��� ��5 � !�(�( (� ���� � 1 !�� ����� �� ��!�.
��!# ����1#4 ����� ����������(� ?�!# � !��� � " ��41 �� <� !#
0�"#;�( ! �� -� !6 ��*��! ( � � !�(� ������ (� <� ���"����
-!� � �� � � ;"� � "�0� ��'0��� ��� � !�(� � ����� �� � � '�"#!�!
��"�1 �( 2�!���� % � '�"#!�! � � & ��'����! ��"�5� � 2�������.
� ��!��5* �-� !�� ! 0�"#;� - "� -� !6 �� �� � " 3 � -� !65��
=! ��"�5 ����� �� ��!���!# ����!���� *��- � ��� �������� !#
����!��� � �1* ���'���"# �k ���'�� �4 �ω(k)� ?!��6( '� #
���"�-�� !�&� -!� � ! � !� � ����!���& �" �!������� � ���� �" �.
!�����!�� ��" �� ��!��� ! ( ��� ! �� 2�!���� 3 ����!�� ��"(�
/01� � �!* ���* ! ��* (�"( ! ( !�� -!� *���� ��" ���" 0��( ���.
"����&���� ! �" �!�����!�� ��" � �� 5�� ! ( ��"���5� ����� .
� �� � �" � �!���5 ��" 0��(� �� 5�� �5 �"� �� ��"���� �����
�� ��!���!# - !� 2����"#��� 0 '�!�� ! "#�� � ����� !��& �����
��"�5� ��� ��"�5 � @��&"( � ��!��5* -� !6 3 ����!�� ��"(� 9��
����!5 � �"�!��& � � ��'5��4! ( ���'-� !6��� �* ��& !�� ���!
05!# ��*��� �� ��& !�� *���5* -� !6 � �5 ����"������ �� ���!
����"#�� "#�� �!"-�!# (� �� ��"#�� ���'-� !65 2�����4! ( ��
�-� ! 0�"#;�� - "� � ��-�5* -� !6�
���� ���� �# ��'0��� �( ��"� ���'-� !6 ��"� 3 * ����� �� .
��!���!# ��� ��'� � ��5& ���-! � �"#�5&� �'� <� �!�� �� �( ��'.
0��� �( � �5 ����� ��� �� �& ���'-� !6 � " �� � 0� -# � ��.
� !�"���� �(��� /� �� �'� (�"( ! ( 0�" ��� !�& '���- &� - �
�� �� *����& ���� � �������& ! �5� 7� �!�� ('5� ��& !��
�������"����� (��� ��� � "(4! ( ��� � � �����:���* ���'���"�.
���� /����� �� �5 ��* �����(* ��'0��� �( ���'-� !6 ���'5�� ! (
����� �� �5!5��4! -� !5 !�"���� �( � ��� " � !� � � � *�� �
���'-� !6�� ���'5�� ! ( ��"�������!��5� �� ���� �4 *���5�
�� �0�� �� ��( ! �5� D��-! "#�5& ��"�� � ��'��0�!�� � !��� ���.
'-�!6 � ! �� (��� � "�� �� @� )��"�� � ;��"�&�
$� �� ��� �F������ !���
<���� �� ��!� ���� �5; (�" �( β.�� ���� ��'����5 ���
���6 5 �� ���1 �( � � !�&-�5* (� � � ��� � 0�" � !�&-�5 �
% �!�� ������2 �5 �� ��!�� (�" � α.�� ����� !� � � ��64� ���! .
��41�4 �� * �
KBI ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
(A, Z) → (A− 4, Z − 2) + α. �A��K��
D� # ���"�� α �0�'��- �� �"#2�.-� !6�� (��� "(.�� � �1�(
'��(� I �� ���1�( � � � ���"���M α = 42HY�
<� �� � � �!� !�� -!� � �0*���5� � "�� � �1 !�����(
α.�� ���� �"( (��� AZ� (�"( ! ( � ��� � !��
Q = [M(A, Z) −M(A− 4, Z − 2) −m(42HY)]c2 > 0. �A��KN�
% "-�� �−Q� !# �� �( �(' α.-� !65 ��! �� �� (����� !��
-!� Q 3 �!� �� �( α.�� ����� F��� � !��� � -!� *����! ��5 �� � ��
�'� (� �� �0� "��" ��5 α.�� ������ ���! � �(!# ( � �- �# ;���*
�� � "�*M �! 3 · 10−7 ��"( (� � 21284�[) �� (2÷ 5) · 1015 " ! �14258 PY� 144
60 hl�
17472 H|� ��� 1017 " ! �20482 �z��
7�&� � ��!��; � � ��� �� !- �� �� �(�α.-� !65 �Eα)
(� ���� � ��"�� �Eя)� <� !# � ��-�"#�5& ��� �! *���� (��� ����.
"� # �! � ��5� �52� �� � �50�� ! �5 6 �!�� �� �� 7� � �����
'����� �*��� �( �� �( �� ���� Q � � *��! � �� !- ��4 �� �4
�0��'�41* ( ������ �! α.-� !65 (���
p2α
2mα
+ p2я
2Mя= Q.
% ! � 6 �!�� �� ���"# 5 �0 * ������ �! �������5M
pα = pя ≡ p� <��!���
p2α
2
(1
mα
+ 1
Mя
)= Q,
�!���� " �� !
Eα = p2
2mα
= QMя
Mя +mα
,
Eя = p2
2Mя= Q
mα
Mя +mα
.
�A��KO�
9��� �0��'��� �� �( �� ���� �� �� � "( ! ( � ��� -� !6�� �0��!��
������6���"#�� * �� ��M
Eα
Eя= Mя
mα
. �A���B�
G� ��!�� ! � �# ��- !� ���4 ! ��4 α.�� ����� =!�! ���6 ���.
*��! � �� !��M
A� 2�������� � ��! �� ��� (�� �"� ! �� ' - !5� * ���"����
�2p+ 2n)� � 41 � ��� ��"#��4 �� �4 �('e
I� �5*�� �"� ! �� '� �� � "5 (����
?" �� ! � !# � ���� -!� � (�� ����* � �"#�5* α.-� !6 � !� !��
-!� ��(�" � � (�� �"� ! �� � � �( ! �� � !- ��� � !�(�( (����
<�� !� � !�(� ���"���� � (�� �� � !��"( ! �0�& �� ���'64 ���*
.3-.0- g�!2�%(��:� / �( KBK
� !�(�&� ' ��!��5* ���� �!� -� ! * ��� !���� ��� �4 � ��
�"� ! ��� � ���� 3 * ��-! � '�� ���� ��� �4 � �0J � (����
%!���( !��( α.�� ���� ��� ! 05!# ����" !���! "#�� �0J( � �� ��
� ��� �� � !��" �& � !��� "#��� �22 �! � G� ��!����� "#� �"� ��
��!���& (��� (�"( ! ( �"( α.-� !6 ��! �6�"#��& (��& "�0�5 U0
���� � Rя� ������ ���� � (��� �� � A��O�M
U(r) =
⎧⎨⎩−U0, r < Rя,
2(Z − 2)e2
r, r > Rя.
�A���A�
U
Um
0
�U0
R ÿ R1 r
E
2�� ��� �� ��� + ���)���� �����5� ����� ����1�� ��� αD- ���5� �� � �����D
��� �� 5���� ���
D� # �� ���"�� ! (� -!� ��! �� �� (��� �� ���"� Z ���!����� �
� !�!�� (��� �� ��! (Z − 2) ���!����� %��!� (��� α.-� !6� ��� ! (
����!- � ��0����� � �� (��� �� � � & !��4! "5 ��"���� ���
�!!�"����(� !�� -!� �'�� ! ( ��! �6�"#�5& 0��# �� �� �(! !��41&
�5*��� -� !6 ' (���� %5 �!� 0��# �� Um ����� �6 �!# ' � "��(
Um ≈2(Z − 2)e2
Rя. �A���I�
7 !����� ���� �!#� -!� �� Z = 100, Rя = 10−12 � �! 4�� " �� !
Um ∼ 30)�%�
<� !# α.-� !6� � ! �� �4 E > 0� <���6� �� !# 0��# �� ����2.
26 �! ���*��� �(� � ���'�"� - ��� ��0"� � � ! ��
D ≈ D0 exp
⎡⎣− 2
�
R1∫
Rя
√2mα[U(r) − E] dr
⎤⎦ . �A���K�
KB� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
D� # R1 3 !�-�� �5*��� α.-� !65 ' ���0��# ���& �0"� ! ��"� - .
��( !�-�� ������!��� ��� � "( ��( ' � "��(
E = 2(Z − 2)e2
R1
, " R1 = 2(Z − 2)e2
E. �A�����
��! ��"� �*��(1& � �A���K�� � !����� �5- "!# !�-��� /����� �5
����-� ( -� !�5� "�-� �� ����
E
Um
� 1, "
Rя
R1
� 1. �A�����
9���( !��6( � ! � !� �"( !�-�5* '��- �& �� � α.-� !6 ��
� ��"#�* )�% ������ �� �"( (��� 23892� �� �( α.-� !6 � !��"( !
E = 4,21)�% � Um)� 9��� �! ��"� �*��(1& � �A���K�� �5- "( ! (
" ��41� �0��'��M
R1∫
Rя
√2mα
[2(Z − 2)e2
r− E
]dr =
√2mα2(Z − 2)e2
R1∫
Rя
√1
r− 1
R1
dr =
=(r=R1x2)
2√
2mα2(Z − 2)e2R1
1∫
Rя/R1
√1 − x2 dx ≈ π
√2mα2(Z − 2)e2R1.
<�� !��"(( 4�� �5��� � �A����� �"( � "-�5 R1� ��"�-�
D ≈ D0 exp[− C√
E
], C = 2π
�
2(Z − 2)e2√
2mα. �A�����
,"( ��*��� �( � ��(!�� ! �� ���� ����� �����!# ��&� ���4 � .
"-�� D �� - "� �������� α.-� !65 � ! �� (�5 '� ��6� �� � ��
!� � �� � "-�����(���υα/2Rя� � υα 3*����! ���( ���� !#α.-� !65
� (�� � 9��� �0��'��� �"( � ��(!�� ! �� ���� � ��6� �� � � ��"�.
-� � �6 ���
β ≈ β0 exp[− C√
E
], β0 = υα
2RяD0. �A�����
D��( � "-�� β� ����� � !����!# '����� �� ��!����� �05�� ! - "�
� �� ���;* ( (� �M
dN
dt= −βN, N = N0e
−β t. �A���N�
<� " ��44 2����"� -� !� '�� 5��4! � ��
N = N02−t/T0,5 ,
.3-.0- g�!2�%(��:� / �( KB�
����( �� �( T0,5� ��'5�� �� � ����� ��"��� ����� !� � �� �(� '� ��!���
- "� � �� ���;* ( (� � �� �#;� ! ( � ��� ��'�� 7� � ����� �A�����
�"( �!�� �� � � ����� ��"�-!# ��!��; �
lnT0,5 = B + C√E, �A���O i�
� ��!���� � "-�5 A B "�0� '�� (! �! �� � α.-� !65� <� ��"#.
�� �� 0�"#;�� �� !�(� �! (��� ���� !# α.-� !65 υα =√
2E/mα�
�� " �� ��!��; � ��� ! 05!# � � � ��� � �����" �!��� �� M
lnT0,5 = B + C′
υα
. �A���O 0�
8����"� �A���O i� �� ! ��'��� ������ ,������ 7$������� =!�! '����
05" �� � �� �!�"#�� � !����" � � AOAA : AOAI � �0J( �( ! "#��4
'�� �� !# � ���� ��"��� ���� (� � �! ���� ! �5" !�41* α.-� !6�
/� �� ��� �� ���!� ���� ! ( �"( - !��.- !�5* (� � *�� �"( (� �
� - !�5� '��- �(� Z \" N = C − Z� ?�"� �� �A����� � "-.
�� C ∼ (Z − 2)� /����� " �� ��!��� �5 (��� � 4! �!�� ! "#��
0"'� '��- �( - "� Z� !� �"( �* ���226 �! C ����� -!�!# ����.
!- � �������5��F� !�� � �!�& �(' �!� !!#� -!�α.�� ���� ���� �.
� �5 ��� ����"� !(� "5 (��� �Z > 82)� �� ��"#�� � �* �� �( �('
�1 !� ��� ����� ! (� <��!��� '� � �( Z �� � � *�� �! �����
α.��!���� (��� � ������ �!�� ! "#�� � � "��
%�'��� ! ����� M ��- �� (��� �5��� �� !!# α.-� !6�� � � ��
�!� "#�� ! ���!�� " � &!���L
��'�"� # 05� �5 �!� 0��# �� �"( ���!��� � !��"( ! ��� ��� A\I �!
�5 �!5 0��# �� �"( α.-� !65 ��� ��"#�� '��(� ���!��� � ��� ��'� � �#;
'��(�� α.-� !65� �5*�� ���!���� ��"� � 05!# 0�" � ��(!�5�� - �
α.-� !6� /����� �!� � !��� G� ��!�� �!�! ����� �����0� � =� �(
�(' ���"��� � !(� "�� (�� � !��"( ! � "-�� ���(��� �)�%� 7�&� �
�� �4 �(' ���"���� � α.-� !6 � �'� !��� -!� �� �( �(' (��� 42HY
� !��"( ! Eсвяз(42HY) = 28,28 )�%� � �� �( �(' (��� !�!( 3
1� �����
Eсвяз(31�) = 8,48 )�%� <��!��� �"( '�" - �( ���!��� ' α.-� !65
!� 0� ! ( '�!��!!# ΔE = (28, 28 − 8,48) )�% = 19, 8 )�%� ���"�-���
'��( �� �4 �(' (��� "(.K� Eсвяз(32HY) = 7,72 )�%� ��*���� -!�
�"( '�" - �( � &!���� ' α.-� !65 !� 0� ! ( '�!��!!# �� �4 ΔE == (28,28−7, 72) )�% = 20,6 )�%� 9��� �0��'��� �� �( �(' ���!���
α.-� !6 & �5; � - � (����� " ����! "#��� 0�" � ��(!�� �� ���
���"��� � � !�� α.-� !65� - � � '�"�������� �� � 9 � � � � �
AO�K � %��� >�"#��� �� 05"� �0����� �� ���!����( ������!��� !#�
/!� !� 1 ��� 2��!��� ��!��5& ��� ! �"(!# �� �22 �!��� !# α.
�� ����� =!� 3 ��"- 6 �!��0 ���� 0��# ��� ��'���41 � �� � ��.
" �5* ��� �!�* ���"# �� <� �!��
Uэф(r) = Uкул + Uц.б = 2(Z − 2)e2
r+ �
2l(l+ 1)
2mαr2. �A���B�
KB� ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
/����� 6 �!��0 ��5 "5 � �(4! �5 �!� 0��# �� � "#��� ,�� �"(
0�"#;* '��- �& ��� �!� �l = 5) ���'5�� ! (
Uц.б ∼ �25 · 6
2mαR2я∼ 1,5 )�%,
-!� �1 !� ��� � �#; �5 �!5 ��"���� ��� 0��# �� �∼ 30 )�%��
7���� 6� �� ��!�� ����� � � �!� �0��'�41* ( α.-� !6� <� �.
� � �� � !����� ���(!#� -!� ��"�5& ��0"4�� �5& � �!� α.-� !6 ��".
� � 05!# �!�� ! "#�� �'��� % ���� � " � ����1#4 2����"5 > &.
�� :7 !!�"� � !����� � !����!#� -!� (���� �� ��41 α.-� !65
�� �(� � �#; � )�%� ���! !�"# ��"�� -!� * ����� -!�!# ����.
!- � !�0"#�5�� C " � (��� �� ��4! α.-� !65 �� �(�
0�" O )�%� !� � �* 0��# � �"( α.-� !6 �'�� �! (��� �� ����4! (
����!- � ���� ����
,�" �-! �� -!� �� � !- � � !�(�( (� � ��� � "(4! ( ";#
- "�� ���"���� ����� � ��'0��� �(� ��� �5 �� " �� ��� � �0�.
"�- -��& ��� "� �� � !- � ����� � �� !�5� 9��� �0��'��� � � .
��6
(A, Z) → (A− 4, Z − 2) + α
��-�"#�� ��� -�� � !�(�( � 4! !��� ��� � " ��5 '��- �(
�� �� ?" ����! "#��� �� �( α.-� !6 ��� ! �����!# !��� 2�.
������5 '��- �(� C " ��! �� �� ��- �� (��� ��*��(! ( � � .
������ � !�(�� !� � �!� α.-� !6 � !�! ' ����& ��"� 5� C " �
��- �� (��� ��� ! ��'���!# � ��'0��� ��5* � !�(�(*� !� � �!� α.
-� !6 0�� ! �� ���!# � ��"#�� ��"� � 7���� �� � � ��6 α.�� ����
�����.IK�
23592� → 231
90�w + 42α
��0"4��4! ( !� ����5 α.-� !6 �� �(� ����O )�%� ��K�B )�%
��A�B )�%� ?��!� ! !� ��� ��- �� (��� 23190�w �0��'�4! ( � � ������
� !�(� �� ���* ��'0��� ��5* �����(*� ,�"#� &;& � � *�� !��(
' ��'0��� ��5* � !�(�& � � ����� � �1 !�"( ! ( ��! � '"�- �(
γ.����!���
$� "� ��..�F������ !���D ��3�����!! ��������!D
& ��� �:�
>����.�� ����� ��'5��4! � � *�� (� � ' ��'0��� ��5* � !�(�&
� � !�(�( � �#; & �� � & �� ��� � γ.����!��� =� �( γ.
����!��� �0��'�41* ( � �!* � � *���*� ��� � "( ! ( ��'�� !#4 �� �.
& ��-�"#��� ��� -��� � !�(�& (� � � !��"( ! � "-�5 ��
2 ÷ 2, 5 )�%� =!�! ���6 �05-�� ��0"4�� ! ( � ! * "�-�(*� ���� (���
"#�� ��'0��� ��� �� �(! ��'0��� �( ��! � �� ���( ���"����
� ��'����� ��� '����� �*��� �( �� �� " � ! ��"�4 � ��(!�� !#
��� ! � " �5� ��-�����
.3-.3- f �(�+� �*���(+ KB�
<���� �05-��� γ.�� ���� ��'����5 (�" �(� ���� γ.����!5 � �0.
��'�4! ( � ��0����� � !�(�� /��� ' !��* (�" �& ��'5�� ! ( ����
������ ���������� � !�! � " ��41 �� %�'0��� ��� (��� ��� ! � .
� ��!# ��4 �� �4 ������ ' 0"��&;* �" �!����� �!����& �0�"�-��
��!��5& '�! � �50�� 5�� ! ( ' �!���� � ( �� �4
Ee = ΔE − Ee, связ. �A���A�
D� #ΔE3�� �( (� ���� � � *����Ee, связ 3�� �( �(' �" �!����
� �!�� � F "�� ��'����� ! ���!� �� & ���� � � !�! � !��� -!�
� "-�� Ee > 0� /!� !�� -!� � "�-� !(� "5* (� �K.�" �!���5 ���!
05!# "#�� �('��5 �!���� ��� �( Ee, связ � "���� !�� -!� ���� � (
��K.�" �!����* ��� ! �! �! !����!#�
% ���6 ���!� �� & ���� � ' �!��� �50�� 5�� ! ( �" �!���
���'5�� �5& ���� � ���5�� �0��'� ! ( ����� ( � �" �!�����& �0�"�-.
� �!���� =!� ����� ( ���5����� ��� ! '���"�(!# ( � � '�"#!�! � � *�.
��� �" �!����� �� � ��0���; ( � !� 0�" �5 ��* �� � !- �*
����� &� �����( � ��'����� �4 *����! � !- ��� � �! ��� ���
'"�- �(�
%�'������ ������� ��( !��6(M '05!�� �� � �����! � �50��.
5���4�" �!���� � �*�*�0�"�- � �!��� �0 ' �� ���(γ.����!��� 1)�
=!� (�" � ��"�-"� ��'��� 1))����2�� ��� $� UrmYn� AOI��� % � '�"#.
!�! � �!����& �0�"�-� �0��'� ! ( �!���( �5���� =� �( /� .�" �!�����
� '�� ! �! �� � !�-���� �����(1 � � ��'����� �4 � ���&
�" �!�����& ����� ��� � "( ! ( !�"#�� ��'�� !#4 �� �& ��'0��.
� ��5* � !�(�& �!���M
EОже = E1 − E2 − E3, �A���I�
� E1 3�� �(��'������� �!��� ����� &�� ���!� �� &�0�"�-� �
E2 3 �� �( �!��� �� " '���"� �( ����� ���� ' �" �!����� �!�.
��� E3 3 �������( �� �( �5" !� /� .�" �!���� ' �������!�� ��'�.
������ �!���� /��'5�� ! (� �� �( /� .�" �!�����EОже �"( ��'"-�5*
�!���� � !��"( ! �05-�� 50÷3000 �% ��� � "( ! ( ��& !��� �� ��.
41* * �!����� <��!��� �� /� . � �!�������� � !����!# *�- �&
� !�� ��� �*�� !�5* "� � !� ��5* ! "� " ����!# *�- �& � !��
�'�� !� �� ?��!� ! !��41&� !�� ��"�-" ��'��� /� . � �!�� ����
$� $� K������ �2�.���
b��� ��� ����"� � 4! �- �# 0�"#;� - "� ��'"-�5* ��'0��� �.
�5* � !�(�&� E����! ��5 � ���5 * γ.�� ���� �05-�� � � "� 3
���(��� 10−7 ÷ 10−12 �
1) / )���)B -�� � ���� ��)����=���-�� @����+ 5�� ��) A)�4�� =��� ��+� D
� � ��"��)� ����-��� )�U ����1������) �+�,-����)B =�����)� �������� )�B
��� )� � � �
KBN ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
%AOIA �/� >��� �0�����"� -!� � � ��6β−.�� ���� (��� !��( 23490�w
�0��'�4! ( (��� ���!��!�( 23490�i� ��- � �0��'�41 ( (��� � 4!
��� ��'"-�5 � ���� ��"��� ����M ���� -� � A�II ���!5� % � '�"#!�.
! �� " ��41 � β−.�� ���� �! (��� �� ���1�4! ( � (��� ����� 23492��
% AOK� � �� %� ���-�!�� �!������� �!��5" �1 !����� ���*
� ����� ��"��� ���� � (� � 0���� 8035XnM ��� -� � AN ���!� <� �0"�.
- � � &!����� 0���� 7935Xn ��� *��! (� ���( � ��6(
7935Xn + n→ 80∗
35 Xn �A���K�
�0��'���� � (� � � ��'0��� ���� � !�(� ��!� �!� - �� '� '��-.
��& �(��� �� ��5� - "���� C " �� �( � &!���� ��"�� !� �� �(
��'0��� �( 0"'�� � �� � �(' � &!���� � (�� 8035Xn� ,�"#� &;
!�� �� ���� ��'0��� ��5* (� � ����'��5 �� � � A��AB�
10,090 ÌýÂ
2,074 ÌýÂ
1,990 ÌýÂ
4,42 ÷
17,6 ìèí
β + β −
γ1
γ2
γ 3
80*
35Br
80
35
mBr
80
35 Br
8034 Se
8036 Kr
γ 3
10−13
ñ
2�� ���. :0�) � �� �� �+=,4�����1� ��� =��) � �=� +� ���) �+�)����1�
��������� @5−) 2 �� � ���� =��) B � 0���8�0�� ������) ���������B )�4��
�����0����� �� � � � ) β+D� �� � B β−D� �� � � �,��) ����������1� + 0 �
6���0��� ������ ��� + � ,����� @2−AB � ������� ��,8��������� ����0�� �+
�+�)����1� ���������
,�"����1 ��'0��� ��5 � !�(�( (� � ��"�-" ��'��� �'�.
� ��5* � !�(�&�� � ��� (�" � 3 �(� ���& '�� ��� b� ��5 '�.
� �5 �0�'��-�4! �05-�5� ���"��� �� ��0��" � � �� � � �m� �
�!������ � �� =!�! �� � ��� *��! �! "��� �xY`i_`izqY� 3 � !� !�.
0"#�5&� ��-! � !�&-�5&� 9��� �0��'��� ���"5 �������;* ( '�.
� ��� 3 �!� 234m90 �i 80m
35 Xn�
%� � �� �'� (� ��5* '�� ��� ��� !��4! ( �! ���� ���� ��
� ��"#�* " !� /��� ' ��0�"#;* ' '� !�5* � ����� ��"��� ����
.3-.3- f �(�+� �*���(+ KBO
�0"��� ! '�� � 210m83 XW 3 3 · 106 " !� )�� (��� � 4! 0�" �����
'�� ���
<�-�� �1 !�����( (� ���& '�� � � !�! � !��� -!� � ��(!.
�� !# γ.�� ���� '�� ���� (��� ��� ! ���'�!# ( ��"�& '.'� � �0 ���.
! & ����!���� � !�(�( '�� ��� 7�0�" -� !� �!� ��0"4�� ! ( � ! *
"�-�(*� ���� ��!� ! !��41 ��'0��� ��� � !�(� �0"��� ! �� �.
& E(m)� 0"'��& � �� � � ������ � !�(�( E(0)� ���� !��� (��� �
��'0��� ���� � ������ � !�(�(* ��"��5 �0"���!# "#�� ��'"-�4.
1� ( '��- �(� ���� ��- !� ��� ���(!#� ��� ��0�!�4! 2����".
������5 !� 0����(� ����� ' " ��41* ��0��� �&�
���"!��� �" �!�����!��� ��"( �� L.��"#��� '"�- � ���.
���6���"#�� � "-� (Rω
c
)L
, �A�����
� R 3 *����! ��5& "� &�5& ��'� � '"�-�41 & ! �5� ?��!� !.
!� ��� ��1�� !# � " ����! "#��� � ��(!�� !# '"�- �( �����! ( ���.
���6���"#�5�
w ∼(Rω
c
)2L
. �A�����
,"( γ.� � *��� -� !�!� ��� � "( ! ( ��!��; � � �ω = ΔE ≡ E(m) −−E(0)� <� �� ��� γ.����!�� ��"� � �5��"�(!# ( !��� '���� �*��.
� �( ��� �!� ���"# �M L = ΔI ≡ I(m) − I(0)� � I(m) I(0) 3 ��5
��'0��� ���� � ������ � !�(�& (���� <��!���
w ∼(R
c�ΔE
)2ΔI
. �A�����
<� " ��(( 2����"� �� ! ��"- !� ��� �0� ����� !� 0����&� �� �J.
(�"( �5* � '�� ���M ��"5 '��- �( ΔE 0�"#; '��- �( ΔI � <�.
�!��� �� 0�"#;�& ��'�6 ���� γ.'"�- � ��"��� �0"���!# �5 ���&
��"#!��"#�� !#4� !� � 05!# "0� ��������"#�5�� "0� ��!���"#�5�
!� �� 9��� � ��(!�� !# �� ���� '�� �� ���� ! ( ��"�&�
D�� !�� -!� ���"�-�5 ��0��� �( 05" ��"#'����5 �� � !�.
���" � ����" �!0��� ΔS = 0� ΔJ = 0, ±1 �"( �!���5* � � *����M
� ��(!�� !# ��"#!��"#��� '"�- �( � L = 2, 3, . . . ) ��"� � ���
� " � !� 0�"#;�& �"�5 ��"�5 '"�-� ��� ����!��
<�� � � � ��!��5 ����5 �0 ����(��!5* � ��-�" ��'� "� (���*�
/��'�"� #� -!� ��.- !�� !# � '�� ���� (��� 80m35 Xn !# 5−� � �
� ������ � !�(�( 3 �!� 1−� < � *�� ' '�� ���� � !�(�( � �.
1 !�"( ! ( �� ���� ��!�-�5& ���� �# 2−� �! !�(1& �! '�� ���� ��
ΔE = 48,85 ��% �0"���41& ��"5� �� � � � �'� � �� � � A��AB��
,"( '�� ���� � !�(�( ���!��!�( 234m90 �i ��.- !�� !# !# 0−�
� 0"��&;& ���� �#� �� ��!��5& ��"� � � �1 !�"(!# ( � � *��� �! !�!
�� �K�OI ��% � ! ��.- !�� !# 3+� < ��� γ.�� ���� '�� �� !�"#
� "�� -!� �1 !� ��� 0�"#; & � ��(!�� !#4 ��� *��! � β.�� ����
KAB ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
% � '�"#!�! ���'5�� ! (� -!� '�� ��� � !�(� �� ! � �#; �� �(
�A�II ���� - � � ����� ���� -�M �� �( �'� �0�* � !�(�& ����- ��
"���5� �0��'�� β.�� ������ � � γ.� � *�����
7���� 6� " �� ! �!� !!#� -!� �1 !��4! (� ��5 '�� �5� �0"�.
��41 ! � � '��- �(� ���� -!� (��� � � ������ � !�(�� ��
�!"-�41 ( �! �* �� �� & !���!�� � %�'����5 !��� (� ��5 '�.
� �5� �!"-�41 ( 2����& �!� � ��"- � � 2 �-�� !� � ��!���&
��� -��& � 2����6� 3 !�� ��'5�� �5 (� ��5 '�� �5 2���5� < .
� *��5 ' !��* � !�(�& � � ����� ���! 05!# '�!���� �5 �� �5�
��-���� - � �� ��!���"� # �5; �
$� '� ������� !���
% AOKO � /� >��� 8� c!�� ��� ����'�"� -!� �� �0"�- � �����
� &!����� ��'���4! (��� � �#;� �!���5� � �� '��(���� =!�
�'��-�"�� -!� � ! � !� �5���� ��� � " � (� �� 7��(�� �5���� �.
�5�� ��'����� ���!���� � ������'��"#�� � � " � !(� "5* (� �
�*�!( 0�" � ��(!�5� (�"(4! ( ��� ����"� ��� !�5 �� ������ =!�
(�" � �0�����" � AO�B � >� 7� 8" ��� ���� < !����� /����� �"(
� �*!(� "5* (� � � ��� ���!���� � " � (�"( ! ( ������41�
����"�� �� ����� ����-��41� * �� �( �'��
��� 05"� ����'��� �5; � �� �A��N�� �A��O��� �"( !(� "5* (� � � " .
� 3 �� � !- � �5���5& ���6 M �� ����5& ��! � " �( !(� "��
(��� �5� "( ! ( �� �( ���(��� IBB )�%� % !� � �� �( �!� (�" � �
� & !�! "#�� ! ��0"4�� ! ( !�"#�� � "�-� ��5* !(� "5* (� �� /0J.
( � � ������ 2��!� �� � ��� ��� "#��& ��� " �� �"��" ��-!
������ � ��� � AOKO � b��� 8� �� "#� 7� @�� ,�� F" �� ?�!# * �
� " ��41 ��
b��� ��� ! � 2�������!# ( ��� ���"( ���� !� ����!- � � � .
�(( �� � �0J ��� =!� ���"(� ������� '��(� ��� % � ������ � !�(�
���"( � ! ��-! 2 �- ��4 2����� <��!��� �� !(� � �� 2����6(�
���" �����! � �� �#; �4 ��"���� ��& �� �� ? ����& !����5�
�!� � 2����6( �����! � �� "- �4 �"�1�� ��� �*�� ! ���"� �
� '�"#!�! - � ��'�� !� ! ��� �*�� !��( �� �(� % !� ����.!� �0.
��'�� � �( ! ( ��"��( �� �( (���� C " �� ��"�& � 2����6 �� �(
�� �#;� ! ( �ΔE < 0)� !� ���'5�� ! ( �5����& ��"#� &;�( � 2����6(�
�5!(��� (���� =!� �'��-� !� -!� (��� � � !�&-�� �� �!��; �4 � !�.
�� � 2����6(� ��� ! ������'��"#�� ��'� "!# ( �� -� !� C "
� '� � � �� � ΔE > 0� !� � 2����6( ���'5�� ! ( �� � !- �
� �5����&� % �!�� "�-� ���6 � " �( " ��'��� �� !� '�!���� ��
7� � � A��AA �� � !��" � ��- !� ��5& �� '�� �� ! �� � (�.
�� U �! � "-�5 � 2����6 ε� 7� � � A��AA� � ��'� ����'��� 2����
(���� �!� -�41�( *����! ���& � "-� � 2����6� % �(� "�-� � ��.
�'; & �� � & �0"��� ! (��� ��"�&� �� ��� -��& � 2����6 &� =!�
�!��� �� �� � � A��AA� � ��� ��"- ������ �� ε = ε0 > 0� 7�"-
.3-.6- B������ / �( KAA
!���� ������ �('��� � �0 ��� !(� �0�"�- -��& !���!��5 (����
% !�� "�-� � ���� (��� � � !�&-�� �� �!��; �4 � � " �4� '�� .
�� !# U �ε� � ! ��� ����'���5& �� � � A��AA� �
G ���� A��AA ��'��"( ! ���(!# (�" � ���!����� � " �( (� ��
� !�&-�5* �� �!��; �4 � ��"5� � 2����6(� �� � A��O� ��M �"( �� �#.
; �( �� � (��� ����� �� ���" !# ����� �������� !� � ���&! - � '
�0"� !#E < Um� =!� ��'����� '� - ! !��� "#��� �22 �!�� <� �!�� - �
�� " �! �����E �� ����& U(ε)� ! � � � � ��(!�5� ���'5�� ! (
� " � (���� ! � 0�"#; � �� �( �'� �� �!��; �4 � �!��� ���6 ��
7��0���!� " E = Um� !� (��� ���'5�� ! ( �0 �"4!�� � � !�&-�5�
� "! ( ����!- � ��'� �� " �� � �0��'����(�
7�&� � ���6� � !�&-�� ! (� � �� �!��; �4 � � " �4�
U
Um
E
0 ε 0 ε
a á
0 ε
Um
U
2�� ���� ( -�������� �� + ���)���� ����1�� ��� �� ���-��� �����) D
5�� ��,- �0 ��� B ,����-��1� @�A � ��,����-��1� @"A �� ����"���? � ) ��)
�����) 5��)
<� !# � � � 2����������� � !�(� (��� � ! �� ;��� ����.
� R� <� ���"���� -!� � � 2����������� � !�(� (��� � ! 2����
�""� ��� ���1 �( ��"�� (� (a, b, b)� %� � � ����� !� ε� *����! �.
'�41& � 2����64 (���� " ��41� �0��'��M
a = R(1 + ε), b = R√1 + ε
. �A�����
% �!* �� ���"�� �(* �0J � ���" � � �( ! ( � � '�"#!�! � 2����6M
V = 4π
3R3 = 4π
3ab2.
?�"� �� 2����" %�&6' �� �� �A��AA� �1 !� ��5 �� � 2����6
2��!��5 �-!5��4! ( " ��41� "�� �5� � �� � �('M
−aSA2/3 − aC
Z2
A1/3. �A���N i�
7�� &-� ���0� ����!# � �0 �� � �('� � � ��"��& �� � (����
�� ( � ���� -!� �� ! �� � �(' �'��-� ! �� �#; � ��"��& �� ��
KAI ,�- .3- Q�(����� � ���&���� / �(
�5 ��"��5 �'(!# "�� �5 � �A���N i� ���!����"���5� '������ !� �
�� ��!���!# � "-��
ES + EC = aSA2/3 + aC
Z2
A1/3. �A���N 0�
?"�� �5 � �A���N 0� ��� � �5 �"( "�-�( 2 �- ��& 2���5 (����
,"( (���� � 41 � 2���� �""� ��� ��"�� (� �A������ ����� �- !#
'� � �( ��� �*�� !��& ��"���� ��& �� �&� )���� ����'�!#� -!�
�� |ε| � 1ΔES
ES
= 2
5ε2,
ΔEC
EC
= −1
5ε2. �A���O�
<��!��� '� � � �� � (��� �� ��"�& � 2����6 � !��"( !
ΔE = 1
5
[2aSA
2/3 − aCZ2
A1/3
]ε2. �A���B�
��� 05"� ��'��� �5; � (��� ���'5�� ! ( � � !�&-�5� �� �!��; �4
� � " �4� " �� ��"�& � 2����6 ���� ! ( ΔE > 0� =!� � "��
�'��-� !� �"� �� �A���B�� -!�
Z2
A>
2aS
aC
≈ 50. �A���A�
C " �5��"�( ! ( ���!����"���� � ��� � !��� !� (��� � !�&-�� ��
�!��; �4���"5� � 2����6(�� % "-��Z2/A ��'5��4! ��������
�������� (����
9����0��'��� � "�� �A���A� ��� � "( ! ���6� �0 �"4!��&� � !�&.
-�� ! (� �� � ��"#'�( 2����"�� �5����41�4 '��(� (��� - � ' ��"��
- "� ���"���� �"( β. !�0"#�5* '�0����� Z = A
2 + (aC
/2aT )A2/3
� �����
����'�!# ����1#4 �A���A�� -!� � � !�&-�5 � (���� ��-��(
A = 385, Z = 138. �A���I�
G�'�� ! (� � ��'���� ���� �"�� !�"#�� � !�� "�-� � " � �!�&
�0"� ! ����� ��� �(!# 2����" %�&6' �� ���
D� # �� !�� �!� !!#� -!� � !��� ������5 �" � �!5 �(��� - .
"�� ���!���� Z > 92) � ����� � �1 !��4!� �� ��"#�� �� �( * �'.
� � �#; �� � � �1 !�����( D �" �∼ 5 · 109 " !�� *�!( ��� !
05!# ����"#�� 0�"#;�� <�� � � �"( ����� �� � �� �'� ��5* ��".
����1* '�!���� � ��!��5* !��� ������� 7���� �� � �!��& 23793hk
� ! � ��� ��"��� ���� T1/2 ≈ 2,14 · 106 " ! �� �����& � *��'� �� .
���� 3 α.������!��� !#�� '�!�� �"�!��( 24493�r � ! �� �( �'�
T1/2 ≈ 8,2 · 107 " ! �����-�� �� α.��!��� !#4 ���!���5� �� .
������� �� �( �'� '�!��� �4�( 24794Px � !��"( ! T1/2 ≈ 1,6 · 107
�����- �� α.�� ������� ��"2���& 25198P| �� ���� ! ( ��� ��� '�
.3-.6- B������ / �( KAK
OBB " ! !� �� =" � �!5 � Z > 107 �0"���4! �� � � � �'�� .
- "( �5� !5 (-�5� ��"(� ����5 � �#; �
�!��� !(� "5 (��� � � !�&-�5 � � '�"#!�! �����."0� ���6 .
� �� ���� �� ���1�4! ( � �5 � � !�&-�5 �" ��"����1 � (����
<� �!�� ���'�"� #� -!� �� �( �'� !��� ������5* �" � �!�� �05�� !
�� !�� Z� % !� � �� �( ! �� !- � " �����(� � ������5 ��
� �� �; � !�������& �0�"�- -��& ��� "� ����'�"� -!� �1 !�� ! !��
��'5�� �5& �� !����� !�0"#�� !�� � ��!���� (��� �0"���4! ���5; �.
��& � !�&-�� !#4� =!�! � !����� ��*��! ( �� ��- �� - "� ���.
!���� Z ≈ 114� % -� !�� !� �� - " � &!�����N ≈ 184 (��� 184114� ���.
'5�� ! ( �����5 ��- �� � " ����! "#��� ��"��� �0"���!# � �0�&
� !�&-�� !#4� , & !�! "#��� �! '������5 � �� " �� �� �( �!.
� "#�5 (��� 0"'��Z �0"���" �����5�� ����� ���- �� �� .
� ��� �'�� =!�� ��.������� � "� ! ��'����5� ��"�- � '� �.
�5* ��"- !� !��* �" � �!�� * " ����� �05-�5� 2'��.
*�- �� � !����� % !� � �� �( ����5& � !������ ��� � ��
�� " ��& � !��� �������& �0"� !� �� ��"#�� �� �� ��"�� � �� !�!�-��
0"'�� � ����� �0 �"4!��& � � !�&-�� ! �A���A��
������������������������������������������������������
D�� �;�( '"�� � ��-�" ����!���& � *���� �!� !�� ������� -!� �
!���� � !�" # !�� ! �5� ��� �5���� ��� � " � (� � �('���5
�!� ����� 5 (� ���& �� � !�� ���0" �5 ! ���(� ���� �! '�� � &.
!�����& 2'� �(� ���*� ���� !��� ���� ' ���� &;* ������" �&
��� � ���& 2'�3 2'�� �" � �!���5* -� !6 �" 2'�� �5 ��*
�� �&�3!��� � !�"� # '� ������ �!�& ���% �!�� � !��� ��"#� &.
; ��"�� �( ����!���& � *��� � 2'� !� ���� ! "� �� -� !�� !�
� 2'� � !�""�� ��"������������� � 2'� � �*�������� ! !� ��
��"��� � !��!# �� ���� �!� "#��& ���
���������
�@ 3��������<�����8���
;����(� �+& ��CJ �:���"�+&J �"(�N�/�! �
:(�8���J (�*��/ ��! *�(�� "� �N���J ����%
�� ��*+���!�/ �$��+�
@(���,5��A
<� � !��"( ! �! � ��� " �!#� ��� �� =� c� �� � ��; " �
�� �� ����� �4� '�� �;�41 �� "�- ��4 * �� ����!���& � *����
� *���5� ����!�� �� ��� �& c� �� �� 05"� !�� -!� ���� !#
�� ��� !��� �( -� !65.��"�5 !# �������( ���� !# ��"�5� ���- �.
���(� c� �� � -!�" -� !6� 6��� ��"�� ��"���5� ��� !��� � � �
�� !�� �0J �!5 �� � !��" �( ��"����& ��!��
<� �� � �� c� �� � �0 �" ( � !��� -!� !�� �!�� � !����
"�-� �05-��& -� !65 ���! 05!# ����0��'�� �� ��5 ����1#4
����6����� ���6��� ,"( � !� � � � ����'�! " � �� "��" �( n
���� �"� ���6� 8 ���M
δ
B∫
A
n ds = 0, �,�A�
� �"( -� !65 '�����5� '��- � � �� � E 3 ���6� )�� �!4M
δ
B∫
A
√2m[E − U(r)] ds = 0. �,�I�
% �,�A� �,�I� E< 3 �!� �" � �! �"�5 !�� �!��� � ��(41 & !�-�
A B��!�05 ��� !# ���"�4� ��� �!� ���6���� " �� ! � � � �!#
���6� 8 ��� � ��� �� � �� ���� �-! �� -!� 2�'���( ���� !# � !� �
� � �����
u = c
n. �,�K�
9��� ��!��; � �,�A� ��� ! ��
δ
B∫
A
ds
u= 0, �,���
B�:������� KA�
<� " �!�� ��!��; �( �,��� �"( � !� �,�I� �"( -� !6 ���'5��.
4! ( � �!-�5�� " ���(!#� -!� -� !6� *����! �'� ! ( 2�'���&
���� !#4
u = C√2m[E − U(r)]
. �,���
D� # C 3 � ��!���( ��� !��!�� � '�� (1�( �! �������!�
%� ! ! � � �"#��(� 2'- ��( -� !6� ��"��� ���!# ( �
���� !#4
υ = 1
m
√2m(E − U), �,���
��!���(� �� �5 " c� �� ��� �� � !��"( ! �0�& ���� !# �������4�
9���( � !��6( � ! � !� � "�-� � !�M � �"#�5& � !���& ��"
� � � �� ��� !���( ! ( � ��� �������& ���� !#4� =!� ��0��� .
� � �'(!� ' ��!�� ��'��"( ! �('�!# 2�'���4 �������4 ���� !
-� !65�
��� '� !��� 2�'���( u �������( υ ���� ! � !� ��� � "(4! (
2����"��
u = ω
k, �,���
υ = dω
dk. �,�N�
<� ��"#�� �"� �� �,��� k = ω/u� ��!��; � �,�N� ����� � � � �!# �
" ��41 � �� M
1
υ= dk
dω= d
dω
(ω
u
). �,�O�
,�" c� �� � �- " ��! '�<"����� �"� �� ��!���& �� �( ����.
!� �('��� � -� !�!�& ��!��; � �
E = �ω. �,�AB�
=!� ��'��""� � � � �!# 2����"� �,�O� " ��41� �0��'��M
1
υ= d
dE
(E
u
)
�,�AA�
� !���� �� ��� �!# � -� !6��� <�� !��"(( 4�� �5��� �( �,���
�,���� ��"�-�
m√2m(E − U)
= d
dE
(E
C
√2m(E − U)
).
D�� 5��( " ��4 -� !# �!�� ��� � !�� � ��
m√2m(E − U)
= d
dE
(√2m(E − U)
),
��*��� � '��"4- �4� -!�(E
C− 1
)√2m(E − U) = ][^_`, �,�AI�
KA� B�:�������
� ��� !��!� �][^_`� � '�� ! �! �� �� <� ��"#�� ��� � !�� �,�AI�
��"��� �5��"�(!# ( �"( � * '��- �& �� � E� " �� ! ��"��!#
][^_` = 0 C = E� 9��� �0��'��� �5 ��"�-" ����-�! "#�� �5��.
� � �"( 2�'���& ���� ! -� !65M
u = E√2m(E − U)
, �,�AK�
��!��� � � ��"��� ��!� ! !� �,���� ��� ! 05!# �� � !��" �� � ��
u = E
p, p =
√2m(E − U). �,�A��
D�� !� !��� � -!� ��� !��" � �!�& 2����"5 2����"�� �,����
�,�AB� �� ! �('# � ��� ��"���5� - "�� k ���"# �� -� !65M
p = �k. �,�A��
?��!� ! !� ��� �"( �"�5 ��"�5 -� !65 ��"�-� ! ( �5��� �
λ = uT = 2πu
ω= 2π�u
E= 2π�
p= h√
2m(E − U)= h
mυ, �,�A��
� �� � �� �05-�� �0�'��- � h = 2π�� D� # ��"#'����5 2����"5
�,�AK�� �,�A���
9 � �# ����� �� !��!# ��"���� ����� � �"( -� !6� D� � ����
��"#� &;* �� ��� �& c� �� � �'(" ��"���� ����� �
1
u2
∂2ψ
∂ t2− Δψ = 0. �,�A��
% � � �*��! 2�'���( ���� !# u� �5��� � �"( ��!���& ���� � �,�AK��
G� ��!���( � !�(�( '�����5� '��- � � �� � E "� -!� �����.
" �!��� -� !�!5 ω = E/�M
ψ = ψ0(r) exp (−iω t) = ψ0(r) exp(−iE t
�
), �,�AN�
� � �; � �,�A�� � ��
Δψ + E2
�2u2ψ = 0
"� �� " ��� !����� 4�� �5��� �( �,�AK�� � ��
Δψ + 2m
�2(E − U)ψ = 0. �,�AO�
=!� '� !�� ����� � c� �� ��� ��� � "(41 ��"����4 2���.
64 �"( !�6�����5* � !�(�&� �!�05 �! 4�� � � &! � ����� �4
B�:������� KA�
�"( ���'��"#�5*� � !�� - " � !�6�����5*� � !�(�&� �� !�!�-��
'�� !!#� -!� �"� �� �,�AN�
∂ψ
∂ t= −iE
�
ψ, " Eψ = i�∂ψ
∂ t. �,�IB�
� �"4-�( ����1#4 �!�� ��� � !�� �� �4 ' ����� �( �,�AO��
��"�-�
i�∂ψ
∂ t= − �
2
2mΔψ + Uψ. �,�IA�
=!� !# ����-�! "#��( 2���� ����� �( c� �� �� �"( -� !65 �
��! �6�"#��� ��" U(r)�
?" �� ! �!� !!#� -!� �� c� �� � �� ���6� �'� 05" �� � �� -!�
-� !6 � !� � � 4! ( !�"#�� ��"�5M -� !65 3 �!� ��"���5 ��� !5�
?��!� ! !� ��� �� ��"��"� -!� ��'��0�!�" ������� � *����� ������
��"� � ��! �6�"#�5* ��"(*� % ��(!�� !��4 � �! ��� !�64 ! ���
�� �"�� ���4 )� @������ c� �� � � *�! " ��'����!#� �!� !� ! �
� � � � � #� � )� <"����M �C " � & !�! "#�� ������ �� !���4 #
���5���!# � !��� � 1����
��E����� ��T�A ��)�B �A + ����"B � - ��B
�A ����� � ���-�� B ��������-���
�� ����� T � �� ����B ����)���
@�+ � ������D�,����1� ��� ��A
������� @�� � � ��b�� ��bA T
1�,����� + ����� �� � ���D��=� � D
,-���B ,-�=��� � �� ���=��)� � 5�D
��? =���� 1�,=���1� �� �+,-����
@�+ ��5��������-����1� ��� ��A
D � � � - � A� � ��"#'�( �� �0��'����( +�� �6�� ����'�!#� -!� �� �
2�!��� ����� ��"4�
G ; � � 9� 0���� +�� �6.������!�� ! 2'- ��& ! ��
�'��-� !� -!� �� �( ���"# ! �5 �� �0��'�4! ( �� � � *�� �!
����& � �6�"#��& ! �5 �! - !� � ����& �� 2����"�� �� �0��'���.
�& +�� �6� �"( �.� �!��� ���"# � p = (E/c, px, py, pz)M
E′ = E − pV√1 − (V /c)2
, p′x = px − (V/c2)E√
1 − (V /c)2, p′y = py, p′z = pz. �A�
D� # � "-�5 0 ' ;!�*� �!�� (! ( � "�0���!����& ! � �! - !� K�
� � "-�5 � ;!�*�� 3 � ! � K ′� ����1 & ( � ���� !#4 V
�!�� ! "#��K� % �!�� ���� ! V ! �5K ′ �!�� ! "#�� ! �5K
�� ���"�� ! ( ������" ��5� ���"# � x�
? ����& !����5� ��� '� !�� ' �"� - ��& �" �!�������� -�.
!�!� ��"����& � �!�� �" �!�����!��& ��"�5 !��� �0��'�4! �� !
�.� �!�� k = (ω/c, kx, ky, kz)� =!�! 2��! " �� ! ' !��� -!� 2�'� ��"�5
���� � "(41�(� � -� !�� !� - "� �'"��� !# ������! �!�� ! "#��
� � *��� �! ����& � �6�"#��& ! �5 �! - !� � ����&M ϕ = ωt−kr == inv � % � '�"#!�! ���'5�� ! (� -!� 2����"5 � � - !� � 4! ��
ω′ = ω − kV√1 − (V /c)2
, k′x = px − (V/c2)ω√
1 − (V /c)2, k′y = ky, k′z = kz. �I�
F����� '� # ��-" ��� � ��� ��� � !�� �� �� !�(���4 <"����M
�ω′ = �ω − �kV√1 − (V /c)2
. �K�
Q�����( KAO
,"( ��"�- �( ����& �(' � ��� �� � & ���"# �� 2�!��� � ���.
��� -!� ��! '� <"���� � !�("� � !��� -!� �� �( 2�!��� �('��� �
-� !�!�& ��!��; � �
E = �ω, ���
��- � !��� ��� � !�� ��"��� �5��"�(!# ( � ���'��"#��& ! � �!.
- !� � �- !�� !�"#�� ��'������ '� � �( -� !�!5 '� - ! �22 �!�
,��" ���� =!� '��-!� -!� �5 ��"��5 ��"��!#E′ = �ω′ ���
�� !� �K� ��"�-�
E′ = E − �kV√1 − (V /c)2
. ���
?������( ��"�- ��� ��� � !�� � ��5� ��� � !��� � �A�� � � �.
" ��� '��"4-� �� -!� px = �kx� %��� ���'��"#�� ! � "-�5 ��.
����" �( ���� !� �('# ���"# � ��"����� � �!��� ����� '�� �!#
� � �!����� �� M
p = �k. ���
9��� �0��'��� � �(' ���"# � 2�!��� � ��"����� � �!��� ��.
���! !� 0���� � "(!� ! ��& ������!�� ! '������ 2'��
<� ��"#�� �"( � !� -� !�!� ��"����& � �!�� ��"�5 �('��5 ��!.
��; � � ω = ck� ������( �!� ��� � !�� ��-" ��� �� �� '��"4-� �� -!�
���"�-��( �('# �1 !�� ! � ��� �� � & ���"# �� 2�!���M
E = pc. �N�
7� �� " �� ��� � !��� �"� �� 2����"
E =√
(pc)2 + (m0c2)2, �O�
�'��-� !� -!� �� � 2�!��� ����� ��"4�m0 = 0�
?" �� ! !��� �!� !!#� -!� ��!��; � �N� ����� � !����!# � ��.
� � !� ��� ' 2����" �"( �� � ���"# � �" �!�����!��& ��"�5�
% ���� � " � �0J ���( �"�!�� !# �� � �" �!�����!��� ��"( �� ! (
�5��� � �
w = E2 +H2
8π, �AB�
� �0J ���( �"�!�� !# ���"# � 3 �5��� � �
g = 1
c2S = 1
4πc[EH]. �AA�
D� # �3� �!�� <�&�!��� % �"� ��& �" �!�����!��& ��"� � ������
��" 0��( � �!���� ����(� ��� ! & �" �!�- ��� ��� ���!��� ���
KIB Q�����(
��" & �2�'�5� * ���"!��5 ����5� � �� � �!��5 � � �'����
� �� ����"(��5M E⊥H� <��!��� ����� '�� �!#
w = 1
4πE2, K = 1
4πcE2, �AI�
�!���� " �� ! ����( �('#M w = K c�
D � � � - � I� <�"�-!# 2����"�� ��� � "(41�4 '� � � �"�5 ��".
�5 2�!��� �� �� (� �� ����(1 � ( �" �!��� ��22 �! ����!�����
G ; � � <� !# �" �!��� 3 ��0���5&� � �� �( �(' � �!��
�
�k
p
�k
2�� � ( ���, ���),�� ������
(�)���� !������� �� - � ������D
��B υ0 = 0 �k T �)�,��� � ��� ?D
8�1� ����� B �k′ T �)�,��� � ���D
����1� ����� B p′ T �)�,��� � ���D
����1� ��������
��"� �� ���� �4 �� � & 2�!�.
��� <� ���"���� -!� �" �!��� ��-�.
"� ����" (� v0 = 0� /0�'��-�( �� �.
4 ����( �" �!���� ��� E0 = m0c2�
� �� �4 ���"# �" �!���� �� "
!�"���� �( 3 ��!� ! !� ��� ���
E′ p′� '��; � '����5 �*��� �(
�� �M
�ω + E0 = �ω′ + E′ �A�
���"# �M
�k = p′ + �k′. �I�
D� # � "-�5 0 ' ;!�*�� ��.
5��4! �" �!��� 2�!�� �� !�"�.
��� �(� � � "-�5 � ;!�*�.
� 3 �� " !�"���� �(� ,������
'����� �*��� �( ���"# � ����'���
�� � � A�
=� �( ����1 � ( �" �!���� �('��� � ���� !#4 ��!��; � �
E = m0c2√1 − (υ/c)2
. �K�
,"( ��"#� &;* �� - !�� ���0�� �� ! �0�'��- �
m = m0√1 − (υ/c)2
, ���
!�� -!� �5��� �( �"( ���"# � �� � �" �!���� �� " !�"���� �(
2�!���� ����! 0�" ������!�5& ��M p′ = mv E′ = mc2�
�' '����� �*��� �( ���"# � " �� !
�(k− k′) = m(v)v,
"
m2υ2 = �2(k2 + k′2 − 2kk′ cos θ). ���
Q�����( KIA
<� ��"#�� k = ω/c� ' '����� �*��� �( �� � �5! �� !
�k +m0c = �k′ +mc,
"
mc = m0c+ �(k − k′). ���
%�'���( �!� ��� � !�� � ������!� ��"�-�
m2c2 = m20c
2 + �2(k − k′)2 + 2m0c�(k − k′) =
= m20c
2 + �2(k2 + k′2 − 2kk′) + 2m0c�(k − k′) . ���
%5-!�( ��-" ��� ��� ' ���� ��*���m2(c2 − υ2) = m2
0c2 + 2m0c�(k − k′) − 2�
2kk′(1 − cos θ). �N�
?�"� �� ���m2(c2 − υ2) = m20c
2� <��!��� ' �N� " �� !
2m0c�(k − k′) = 2�2kk′(1 − cos θ), �O�
"
k − k′ = �kk′
m0c(1 − cos θ).
F�����( �0 !����5 �!�� ��� � !�� �� Iπ � "( �� kk′� ��"�-�
2π
k′− 2π
k= 2π�
m0c(1 − cos θ).
�� ( � ���� -!� �"�� ��"�5λ �('��� ��"���5� - "�� k ��!��; � �
λ = 2π/k� ��*��� ����-�! "#�� � ��!��; �4
λ′ − λ = λ0(1 − cos θ). �AB�
<� �!�� �5 ��"�-" (��� �5��� � �"( ��� !��!5 λ0M
λ0 = 2π�
m0c≡ 2πΛ. �AA�
% "-��
Λ = �
m0c= 0,00386
◦
U= 3, 86 · 10−11 � �AI�
��'5�� ! ( ����!���� ��& �"��& ��"�5� C ���� �0�'��-�4! ���.
"�� λ ��� ���"� �� � - ����!�&� �� !�(���& <"���� � = h/2π)�
D � � � - � K� � *��( ' �� � !��" �( � 2�!���*� ��&! ���" � � ���.
'����� � !���
G ; � � G� ��!�� '"�- � -� !�!�& ν� ����41 �� �����.
" �� �"� ��4 ��� �*�� !# �; � ��"�1� �� � 1 !���� ����5&
2�!�� ��!��� '"�- �( �0"��� ! �� � & E = hν ���"# �� p = E/c�
KII Q�����(
D� �� �( Δt �� ��� �*�� !# �"�1�� S ����� ! - "� 2�!����� �����
N = cΔtSn� � n 3 - "� 2�!���� � ��-��� �0J � ��� !��� !���
'��(!�� '"�- � �� ?��!� ! !� ��� '� ��6� �� � � �; � 0�� !
� � ��� ���"# � ����5&
Δp
Δt= Np
Δt= cSnp = nSE = nShν. �A�
% "-�� n ����� �� � !��!# ���
n = w
hν, �I�
� w 3 �"�!�� !# �� � '"�- �(� <��!��� ��!��; � �A� ���.
�� ! ��
Δp
Δt= Sw. �K�
<� ��"#�� ���"# � ��01� �5& � ��6� �� � �� !# "�� !� ��&� �.
��( � "-�� !# � ��(( "�� ��!���& '"�- � � & !�� ! �� �; �#�
,��" � � ��� � "( ! ( "�& � �� - ! �� ��-��4 �"�1��# ��.
� �*�� !M
P = 1
S
Δp
Δt= w. ���
)5�� ��!� " "�-�&� ���� '"�- � ��"�� !#4��"�1� ! ( � 1 .
!��� �; �� C " � '"�- � -� !-�� �!���� ! ( � ���226 �!��
�!��� �( R �� �! � ��� !�� !� � "-�� ���" �( 0�� ! �"��5��!#.
( ' ���* -� ! &M ���" �(� ���'������ '"�- � � �� �������
�� ��� �*�� !#� ���" �(� ���'������ '"�- � �� �!��� ��5� �!
��� �*�� !M
P = Pпад + Pот. ���
<� ��"#�� Pпад = w� Pот = Rw� !�
P = (1 +R)w. ���
D�� !�� -!� �! � ��� !# �"� -��� � !�� ����41 � �� ��� �*.
�� !# D �"� � !��"( ! I = 2 ���"
/( �2 · ��)� - �� ��!� ! !�� ! ���" .
� � ���'����� �"� -�5� � !��� P = 4,7 · 10−6 Н/
�2 ��� � "��
��"��� ��"�1 �(� R = 0)�
D � � � - � �� � *��( ' �� � !��" �( � 2�!���*� ��"�-!# 2����"� �"(
�22 �!� ,��" �� � "�-� !�-���� ����1 � ( ��� !� -� �� ����
� ���� !#4 V � c�
G ; � � G� ��!�� ���6 � � ��!���� ����1 ( ! "� �� .
�� ! 2�!��5� <� !# ! "� ���-�" � "� ���!� ��44 �� �4 U0� � �� "
�� ���( 2�!���3 �� �4U ′� ��5� "����� �� �� ��� �����
2�!��� ���!� ��(( �� �( � 1 !�� � �( ! ( �� � "-��U0 − U ′ = hν0, �A�
Q�����( KIK
� ν0 3-� !�!� 2�!��� � ! � �! - !� 0 ��� -�� !(� "�� !�-����
��� � "( ��( !�"#�� ��& !��� ���� '"�-�41 � ! "� �!� � !���!���&
�
�k
MV
MV
�
2�� � �� 1� )) �)�,����
����-��� @�+�,- ?8�1� ��� A
� ���,8����1� �����
� �� � !- �* ����� &�� <� !# .
!�-�� � ! �� �M � ��- � �!� �� �
0�� � -!�!# �� !�!�-�� 0�"#;�&� -!�.
05 '� � � � !�(�( ! "� � � '�"#!�!
�� ���( 2�!��� ���'�"� # ��"5�� /�.
���� *�!( �!� '� � � � � "��� �5
��"��5 �- !# �22 �! �!��-� ,"( �!�.
� '��; � '����5 �*��� �( �� �
���"# �M
MV 2
2+ U0 = MV ′2
2+ U ′ + hν, �I�
MV = MV′ + �k, �K�
� � 3 ��"����& � �!�� ��1 ���� 2�!���� ,������ ���"# �� �"(
�� ��!��� ��� ���6 � ����'��� �� � � A�
,"( ��*��� �( ��0"4�� ��& -� !�!5 2�!��� ν �� �0��'� � ����� .
� �I�M
M
2(V + V′)(V − V′) = h(ν − ν0). ���
D� # �5 '�� �" ��'�� !# U0 − U ′ � "-��& hν0� ,�" �-! �� -!�
'� � � ���� ! ! "� � � '�"#!�! �� ���( 2�!��� ��"�� !�� -!�
����� ��"��!# V + V′ ≈ 2V� =!� �� !
M(V − V′)V = h(ν − ν0). ���
D�� �(( ���'� � � M(V − V′) � "-��& �k = h
2πk � ��!� ! !�
'������ �*��� �( ���"# �� ��"�-�
kV = 2π(ν − ν0). ���
?�"� �� � � A ��� � " �4��"����� - "� �k = 2πν/c� � � �; �
��"(��� ���'� � � kV � ��
kV = kV cos θ = 2πν
cV cos θ. ���
% � '�"#!�! ' ��� ��"�-� � ���� �5��� � �"( ��� -� !�!5M
ν = ν0
1 − (V /c) cos θ≈ ν0
(1 + V
ccos θ
). �N�
D�� !�� -!� �� �5 "� �5���� �� " �� &2����"5 � � & �� ���"�� !.
(� -!� �� θ = 0 !�-��'"�- �( ��!��� ��� ! ( ��� !� -��� �����
���� !��� � � *��( � �����5� -� !�!��� 2����"� ��� -� !� '�� 5��4!
� ��
ω = ω0 + kV, �O�
KI� Q�����(
� �"�� ��"����� � �!��� � ����� k = ω0/c�
<�� � � !��� �5��� �5��� �( �"( �22 �!� ,��" �� �"( "�-�(
���'��"#�5* �� !�� - " 0�"#;*� ���� ! & ��� �( !�-����
<� !# !�-�� � !���� ��"� ��*��! ( � ! � �! - !� S′� ��.
��1 & ( � ���� !#4 V �!�� ! "#�� "�0���!����& ! �5 S� ��� '.
� !��� ��"��( �� �(E ���"# �� ! �0��'�4! �.� �!��� ������ �.
!5 ��!���� �� �0��'�4! ( �� � � *�� �! ����& � �6�"#��& ! �5
�! - !� � ����& �� 2����"�� �� �0��'����( +�� �6�� % -� !�� !�
E′ = E − pV cos θ√1 − V 2
/c2. �AB�
D� # θ3��" �� ! � �! - !� �� ����� � ��� � �!���� ���� !2�.
!��� ������" � � ��� �( ! �5 S′� ,�" ��"#'� � " ��41
��!��; �(M
E′ = hν0, E = hν, p = E/c = hν/c. �AA�
<�� !��"(( �! �5��� �( � �N� ��'� ;�( ��"�-�; ( ��� � !�� �!��.
! "#�� ν� ��"�-�
ν = ν0
√1 − V 2
/c2
1 − (V /c) cos θ. �AI�
=!� 2����"� � �� � " V � c � � *��! � 2����"� ���� ��"�- ���4 �5;
' �5* ��0��� �&�
% -� !��� "�-� � ���� θ = 0� ' �AB� " �� !
ν = ν0
√1 + V /c
1 − V /c, �AK�
-!� �!� -� ! �05-���� �5��� �4 �"( �����"#��� �22 �!� ,��" ��� ��.
�� !�-�� ��"� ��0"�� ! ( � �� ���� ���"# ��(��&� � ��(4.
1 & *� C " � θ = π/2� !� ' �AB� " �� !
ν = ν0
√1 − V 2
/c2. �A��
=!� 2����"� �� 5�� ! ��� � -�5& �22 �! ,��" ��� �!� -�41& "�-�4�
���� ��" �� 5"� ! ( � �� ����"(��� ������" �4 ��� �( !�-.
����D � � � - � �� � ��"#'�( '����5 ! ��������� ��&! ! �� ��!����4
'�� �� !# �"�!�� ! �� � ������ ��� '"�- �(�
G ; � � 8�!��5 3 �!� �"#!��� "(!� ! � -� !65� ����1.
( � ���� !#4 υ = c� <��!��� ���" � 2�!����� �'� �('��� �"�!.
�� !#4 �� � ��!��; � �
P = ρ/3. �A�
Q�����( KI�
,"( ������ ��� '"�- �( �"�!�� !# �� � !# 2���6( !�"#��
! �� ��!��5�?" ����! "#��� ���!� ��(( �� �('"�- �(� ��*��(1 � (
� �0J � V � �����
U(T, V ) = ρ(T )V. �I�
7�&� � '�� �� !# ρ �! ! �� ��!��5� � ��"#'� � � ����� ! ����.
���- �� ��!��; � M
TdS = dU + PdV, �K�
� S 3 ��!���(� P 3 ���" � � V 3 �0J �� ? ����& !����5� -!�(
U = U(T, V )� ��� � '�� �!#
TdS =(∂U
∂T
)VdT +
[(∂U
∂V
)T
+ P
]dV. ���
<�"��( '� # dT = 0� � �T
(∂S
∂V
)T
=(∂U
∂V
)T
+ P. ���
,"( �"4- �( ��!��� ' �!�� ��� � !�� �� ��"#'� � ( !��� .
!���)�� � ""�� �� ���� �"( ��0����& �� �F = U−TS ���� �"��
��� � !�� dF = −SdT − PdV � <��!��� S = −(∂F
∂T
)V, P = −
(∂F
∂V
)T
�
�!���� " �� ! !��� !��
(∂S
∂V
)T
=(∂P
∂T
)V
� 9��� �0��'��� ��"�-� �
T(∂P
∂T
)V
=(∂U
∂V
)T
+ P. ���
<�� !������ 4�� �5��� �& �A� �I� �"( ���" �( P �� � U������ ��� '"�- �( �����! � �22 � �6�"#���� ����� �4
T1
3
dρ
dT= ρ+ 1
3ρ, "
dρ
dT= 4ρ
T. ���
G ; � ��"�- ���� ����� �( � ! ��
ρ = aT 4. �N�
��� !��!� a � ��� ! 05!# ��� � " �� !�"#�� � !���� ! ���������
D�� !�� -!� �"( '�!������ �'� �� ��; � "�-� 3 2�!���� �����.
� ��� '"�- �(� �"�!�� !# ��!��� �� � �� ! ( 2����"�&
q = 1
4n〈ε υ〉, �O�
� n3 ���6 �!��6( -� !6 �-� !�\ �3)� υ 3 ���� !# -� !6� ε3 �� �.
(� ��*��(1�( ( �� -� !6�� � �"��5 ��0� �'��-�4! � � �� � ��
!�! !- ���� �� �� � " �4 -� !6� ,"( 2�!���� � � !�� � "-�� q
KI� Q�����(
������ ! �! � ��� !#4 '"�- �( I � <� ��"#�� υ = c� n〈ε〉 = ρ 3
�"�!�� !# �� �� !�
I = cρ
4= ca
4T 4. �AB�
?���� � �!�� ��� � !�� '������ ?! 2��� : @�"#6���� �I = σT 4� ��'.
��"( ! �5��'!# ��� !��!� a - � ' �� !�(���4 ?! 2��� : @�"#6���� σM
a = 4σ
c. �AA�
D � � � - � �� 7�&! ! �"� ��� !# ������ ��� '"�- �(�
G ; � � � ��"#'� � ! �������- � !��� !��� @�� � *�.
�!# ' '����� �*��� �( �� � � 2���
δQ = dU + PdV. �A�
��� '� !��� ! �"� ��� !# ��� � "( ! ( ��!��; � �
Cпроцесс =(δQ
dT
)процесс
. �I�
/��� �- ����� '�� ! �! ����� !��� ���6 �� -!� ���- ����!� �� � ��
����6 ��)5��&� � ! �"� ��� !# � ���* ���6 �*M '�*��- ��� �V == ][^_`� '�0��- ��� �P = ][^_`��
G� ��!���( ���!� ��44 �� �4 ��� 2���64 ! �� ��!��5 �0J .
��� '��; �
dU =(∂U
∂T
)VdT +
(∂U
∂V
)TdV. �K�
? �- !�� ��� � !� �A� : �K� ��*��� �5��� � �"( ! �"� ��� !M
CпроцессdT =(∂U
∂T
)VdT +
[(∂U
∂V
)T
+ P
]dV. ���
,"( ��*��� �( ! �"� ��� ! �� �� !�(���� �0J � ��"�� � '� #
dV = 0� !�� -!� ���'5�� ! (
CV =(∂U
∂T
)V. ���
��� 05"� ����'��� � '���- �� ���!� ��(( �� �( ������ ��� '"�.
- �(� '����41 � �0J � V � 41 � ! �� ��!��� T � �����
U = aT 4V, ���
� a3 � ��!���( ��� !��!�� 9��� ' ��� " �� !� -!�
CV = Vdρ
dT= 4aT 3V. ���
Q�����( KI�
7�&� � ! � �# ! �"� ��� !# �� �� !�(���� ���" � CP � ,"( ���.
��� ��� '"�- �( '�0��- �& ���6 �P = ][^_`� (�"( ! ( ����.
�� � ��� '�! ��- �� �T = ][^_`�� �� ��"#�� � ! � !� ����� �
� !�(�( P = ρ/3� � ��!���� ρ = ρ(T )� =!� �'��-� !� -!� � ������ ���.
6 dT = 0� ?" ����! "#���CP = ∞� =!�! � � '�"#!�! ����� ��"�-!#
2����"#�� ' ��!��; �( ���� % ���� � " � � � �; � �!� ��!��; �
�"( "�-�( P = ][^_` � ��
CP =(∂U
∂T
)V
+[(
∂U
∂V
)T
+ P
] (∂V
∂T
)P
= CV + (∂U/∂V )T + P
(∂T/∂V )P
. �N�
,"( ������ ��� '"�- �( � "-�5� !�(1 � - "! " � �����4!
��"��! "#�5 '��- �( �"( � * � ��" �5* ! �� ��!��� <��'�����( �
(∂T/∂V )P � !�(1�( � '��� ��! " � ����� ��"4� �� ��"#�� �� �� !�(����
���" � ! �� ��!��� ������ ��� '"�- �( � '�� ! �! �0J �� � "�
����� �( � !�(�(� =!� �'��-� !� -!� CP = ∞�
D � � � - � �� <�"�-!# �('# � ��� �0J ���& �"�!�� !#4 �� � ���.
��� ��� ! �"���� '"�- �( '"�-�! "#��& �� �0�� !#4 ! "��
G ; � � ,"( ��"��!5 '"�� �( �� ����! "#�� ���� � ��!��5
��� � " �( 2�!�� !��
5����� 1������ Φ ��'5�� ! ( ��"- !�� �� � '"�- �(� � � .
�� �� � ��6� �� � �� [Φ] = %!� %5� "� '"�- � -� !�!��
� ��"�& ��� !�� ! -� !�!5 ω� 9��� ����� �� ! ����������� �����
����� ������ '"�- �( Φω ��!��; � �
dΦ = Φωdω. �A�
<�!�� �� � dΦ �"�1�� ��� �*�� ! ! "� dS � ! " �5& ��" dΩ��� �
dΦ = BdΩ dS⊥ = BdΩ dS cosΘ. �I�
% "-�� B ��'5�� ! ( ������������� �������������� ����� ������
���� � ������� ����������� " 1������������� ��������� ? � & �(.
'��� ��������� RM
R =∫B cosΘ dΩ. �K�
-����������� ������������� ����� ����� Bω �� -� !�! ω ��� � "(.
! ( ��!��; � �
dB = Bωdω. ���
���"�-�� ��!��; � �
dR = Rωdω ���
����! ( ������������ ��������� Rω �
� !�-�� � � !(1 ( ! "�� ��'5�� ! ( �� �������� � " �� ! �����
� /� ������ " � �� ��! "#��( �� �0�� !# � '�� ! �! ������.
" �(� ��5� "����� �� �"�1��� ��������& ������ �"�1��#4
KIN Q�����(
dS⊥�� � A� '"�-�4! � ��� !�! � ! " �5& ��" �������5& ��!��
�� ��
<� !# �� '����� +��0 �!� '"�-� ! �"� ��( ��� �*�� !# �0 � Θ �� π/2)� % �!�� "�-� �� ��! "#��( �� �0�� !# B � !�� !# R
dS
�
dS
dS
2�� � ���� � dS � ���) � dS⊥ ���D
8 �� ����8���� ����0�����
�('��5 ��� !5� ��!��; � �M
R =
π/2∫
Θ=0
B cosΘ dΩ =
=
π/2∫
Θ=0
B cosΘ 2π sin Θ dΘ = πB.
���
<� !# �� ! "� ���� ! ��!�� �� �.
Φ(пад)� <� �!�� ! "� ��"�1� !
��!�� �� � Φ(погл)� % "-�� A = Φ(погл)/Φ(пад) ��'5�� ! ( �����%��
������� ����� ������ ! "�� G� ��!���( '"�- � �� -� !�! ω� �����
�� ! ����������� �����%������� ����� �����Aω = Φ(погл)ω
/Φ(пад)
ω �
<� �!��
Φ(погл) =∫
Φ(пад)ω dω. ���
< � &� � ! � �# � � ; �4 �� !��" ���& '���-�
G� ��!�� � !�(� ������ ( ��"�1�41 � ! "� '"�- �(�
Θ
dS
v dt
2�� � ( ���, + ��� (��01��
<� !# ρω 3 � �!��"#��( �"�!�� !#
�� � ������ ��� '"�- �( �� �.
�-��� �0J � �� %5� "� ����'��
� �!�� ω ÷ ω + dω� % " � !� '�!��.
� ��"( '"�- �( " !(1�( � ! " �5&
��" d� !#
dΩ
4π
� � ��!� ! !��41�(
�"�!�� !# �� � ��! ���" -� !�!dω
����� ρωdωdΩ
4π
� D� �� �( dt �� ��� �*.
�� ! ��" !! '"�- � � ���" ��� �!
� �� �� !�(� υ⊥ dt = c cosΘ dt
�� � I�� =� �( '"�- �(� ��*��(1 .
� ( � 6"��� �5 �!�& υ⊥ dt �"�1�.
�#4 � �����( dS� �����dU = dSυ⊥ dtρωdω
dΩ
4π= cρω
4πdω cosΘ dΩ dS dt. �N�
Q�����( KIO
<��!��� ��!�� �� �� ����41& �� ! "�� ��� �
dΦ(пад) = dU
dt= cρω
4πdω cosΘ dΩ dS. �O�
=!�! ��!�� ��"�1� ! ( ! "��M
dΦ(погл) = AωdΦ(пад). �AB�
<�"�1 ���( �� �( �� �0��'� ! ( � '"�-� ��4 �� �4M
dΦ(изл) = Bωdω cosΘ dSdΩ. �AA�
% � !�(� ������ ( ��"�1 ��5& '"�- ��5& ��!�� ������4!M
dΦ(погл) = dΦ(изл)� /! 4�� " �� !� -!�
Aωcρω
4πdω cosΘ dS dΩ = Bωdω cosΘ dS dΩ, �AI�
"
Bω
Aω
= cρω
4π. �AK�
<�"�- ��� ��� � !�� �5���� ! ����� ������)�M �!��; � �� ��.
! "#��& �� �0�� ! ! "� � � ��"�1�! "#��& �� �0�� ! ��������
�"( � * ! " (�"( ! ( ��� � �"#��& 2���6 & -� !�!5 �0 �"4!��&
! �� ��!��5� ,���5& '���� 05" � !����" � � AN�O �
9 "�� �"( ��!���� Aω = 1� ��'5�� ! ( � ������� �����e ��� ��".
�� !#4 ��"�1� ! ����41 �� � � '"�- � � �� � ��0�!5��(� � �
������ �� '"�- � ! �� ��!���&� �����& ! �� ��!�� ! "�� <��!���
�!��; �
Bω
Aω
= Eω ������ ! �� ��! "#��& �� �0�� !#4 �0 �"4!��
- ���� ! "�� � �"( �� " �� & 2����"� �AK� �� ! (��� �5��� � - � '
�"�!�� !# �� � ������ ��� '"�- �(M
Eω = cρω
4π. �A��
D�� !�� -!� '"�- � �0 �"4!�� - ���� ! "� " �� ! '�����
+��0 �!��
D � � � - � N� 7�&! � �!��"#��4�"�!�� !#��� �- "� � !�(�&� �" �.
!�����!��� '"�- �( � ��"� !� ��'� �5 ��!���& ���� 0�"#; �"�5
��"�5�
G ; � � 7�&� � - "� ��'"-�5* � 6""(!���� -� !�!��
ω÷ω+dω� G� ��!�� '"�- � � ��� 1 ��� � 0�"#;�& ��(����"#�5&
(1� �0J ��� V � !������ Lx, Ly, Lz� <�" '"�- �( � �!�� (1�
�� � !��"( ! �0�& �� ���'64 �"� �* ��"�� *����! �'� �5* -� !�.
!�& ω ��"���5� � �!���� �� ?-!�(� -!� ��" ��*��! ( � ������ � � �
KKB Q�����(
�('# � ��� ω �M ω = ck� % (1� ' ���"#�5� ! ���� ��� �6
��"����� � �!��� ���! �����!# " ��41 '��- �(M
kx = 2π
Lx
Nx, ky = 2π
Ly
Ny, kz = 2π
Lz
Nz, �A�
� Nx, Ny, Nz = 0, ±1, ±2, . . . /! 4�� ��*���� -!� - "� ΔNx
��'"-�5* '��- �& kx � �! ���" Δkx ����� ΔNx = Lx
2πΔkx� ���"�-.
�� ΔNy = Ly
2πΔky � ΔNz = Lz
2πΔkz � <�"�� - "� ��'"-�5* '��- �&
��"���5* � �!���� � ����'��
kx ÷ kx + Δkx, ky ÷ ky + Δky, kz ÷ kz + Δkz �I�
�����
ΔN = ΔNxΔNyΔNz = LxLyLz
(2π)3ΔkxΔkyΔkz. �K�
9 � �# � �0*���� �- !# �� ��'����5 ��"(�'�6 2�!����� -!�
������ ! ��"�- ��� - "� ΔN � �� ( � ���� -!� LxLyLz = V 3 �0J �
(1��� ��"�-� ����-�! "#�� ��� ��"#�� ��'����� - "� 2�!���� �
(1� � �" � �! �0J �� K.� ���� �.��� !��� !��M
dN = 2V d3k
(2π)3. ���
<� ��"#�� �5 � � � "� ������ �5� '"�- � �� ��!��� '�.
!������ '�� 5��( d3k = k2dkd٠�5��"�(( �! ������ �� � �
������" �(� � ! " ��� �" Ω = 4π� ��"�-� �� !� ���
dN = Vk2dk
π2. ���
7���� 6� � � *��( �! ��"���5* - " � -� !�!�� �� 2����" ω = ck�
��*��� � ������ ��!��; �4 �"( ��"��� - "� ��� � ����'��
-� !�! ω ÷ ω + dωM
dN = Vω2dω
π2c3. ���
% "-��
1
V
dN
dω= ω2
π2c3
���
�� ! � �!��"#��4 �"�!�� !# - "� ��� �" �!�����!��� ��"( � ��-.
��� �0J � ��"� !�
8����"� ��� ���� ���0�� ��"#'���!# � ��� �� � � � &�( �! -� !�!
� �"��� ��"� �� 2����" ω = 2πc/λ ���'� �( '�� �� dω/ω → dλ/λ�
9��� �� !� ��� 0�� � � !#
dN = ndλ = V8π
λ3
dλ
λ. �N�
Q�����( KKA
% !���� �� �!� ��!��; � �� ! - "� ���� ������41* � ����'��
�"� ��"� λ÷ λ+ dλ�
D � � � - � O� %5� ! 2����"� <"�����
G ; � � =� �( �" �!�����!��� ��"( �����
W =∫
E2 + H2
8πdV. �A�
<� � !��� ��" � �� �� ���'6 �"� �* ��"�M
E = E0(ω,k) exp[i(kr− ωt)], H = H0(ω,k) exp[i(kr− ωt)]. �I�
9���� � " � !� � �� � �!�� ! �!� "#�5* ��"�� ��"��( �� �( ��� !
05!# �� � !��" �� � �� ���5 �� �& �!� "#�5* ��"�M
E =∑
��� ���
������
Ei. �K�
? �����&�"� ��& ��"��& ��� !��"( ! ( �����- �& � 6""(!��� �� �.
( ��!����� �"� �� ����!���& � *��� � ����!� ! (M
En =(n+ 1
2
)�ω. ���
=!� '��-!� -!� �" �!�����!�� ��" ��� ! 05!# �� � !��" �� � ��
� ��!���& �������� ! ����!�� ��" 0��&�
D�� !�� -!� �"� �� ��! ' <"���� � ! '"�-� ! ( ��"�1� ! (
���6(�� =!� '��-!� -!� �� � * ���6 �* �'���� & !�( � 1 !���
��" �5 !��� ! !�"#�� � �� ����!�� 3 2�!���� �� � & �ω ���"#.
�� �k� 9��� �0��'��� ��" �� � !��"( ! �0�& �������� !# 2�!�����
2�!���5& �'� ���� �� � ���"# �� 2�!�� �0"��� ! � ��!���& ��.
"(�'�6 & �" ���"#�� !#4�� % "� ��� � -�� ! �" �!�����!�5*
��"� �"( ������ ��"����� � �!��� �1 !��4! �� � '�� �5 ��"(.
�'�6 � ���"#�� !�� ��!��5 0�� � ��� ����!# �� � �� j = 1, 2�
=� �( 2�!����� �'� ����� ��� �� �& �0��'�41* � 2�!����M
E =∑k, j
�ωk, j
(nk, j + 1
2
), nk, j = 0, 1, 2, . . . , ���
� �3 ��"����& � �!���
<� " �!* '�� -��& �5� � � ��-�"� �� �� � " � <"����� ��� � .
"(41 � �� - "� '���"� �( n �"( 2�!���� -� !�!�& ω�
��� �� ����"� #� �" �!�����!�� ��" ����� �� ��!���!# ���
�������� !# � 6""(!���� ��'�5� -� !�!��� G� ��!�� �����.
- �& � 6""(!�� �0 !� ���& -� !�!�& ω� C� �� �( ��� ! ���.
��!# '��- �(� ���� �5 2����"�& ���� % ��!� ! !� �� �� � " � �
KKI Q�����(
@�"#6���� - "� -� !6 �� � & En � � !�(� ������ ( �� ! ( �5.
��� � �
Nn = A exp(− En
kБT
), ���
� A 3 ��������-��( �� !�(���(� kБ 3 �� !�(���( @�"#6����� 9���
� ��(( �� �( � 6""(!��� ���'5�� ! ( �����&
〈E〉 =∑NnEn∑Nn
= 1
2�ω +
∞∑n=0
n�ω exp
(− n�ω
kБT
)∞∑
n=0exp
(− n�ω
kБT
) =(nω + 1
2
)�ω, ���
� �� � �� �0�'��- �
nω = 1
exp (�ω/kБT ) − 1. �N�
<� " �� ��!��; � ��'5�� ! ( ������������� 5������ /�� �� !
� �� - "� 2�!����� ��*��(1* ( �� ��� � 6""(!�� -� !�!�& ω�
�"� �� ���� ��� � "( ! � ��44 �� �4 � 6""(!����
C " �����!# - "� � 6""(!���� �� � ��44 �� �4 ����� � .
6""(!��� 〈E〉 -� !�!�& ω(k)� !� �5 ��&� � �� �4 '"�- �(M
dU = �ω(k)nkdN, �O�
� � "-�� dN �� ! ( 2����"�&
dN = 2V d3k
(2π)3,
��"�- ���& � �� �5��1 & '���- � �� 2����"� ����� ?��!� ! !� ��� �� !�
�O� ��"�-�
dU = 2V d3k
(2π)3
�ω
exp (�ω/kБT ) − 1. �AB�
% �5��� � �"( �� �En �5 �!0�� " "�� �� �ω/2� !�� ��� �
��"�� � ��"��4 �� �4 ! �5 � '�� ! �! ! �� ��!��5 � !���( ! (
��! � ��� ��" ��� �����( ���-�"� �! - !�� �� ��
C " ! � �# �- !# '�!���4 '"�- �(� !� " �� ! �5��"�!# �! .
������ �� � ��'����5� ������" �(� ��"����� � �!���� -!� �� !dU = V
ω2dω
π2c3
�ω
exp (�ω/kБT ) − 1. �AA�
/! 4�� �"( � �!��"#��& �"�!�� ! �� � '"�- �( ρω = 1
V
dU
dω
��*�.
�� �5��� �
ρω = 1
π2c3
�ω3
exp (�ω/kБT ) − 1. �AI�
Q�����( KKK
<�"�- ��� ��!��; � ��'5�� ! ( )����� 5������ F����� ρω ��
c/4 � � &�( � 6�"- ��& -� !�! ν = ω/2π� ��"�-� �5��� � �"(
�� ��! "#��& �� �0�� ! �0 �"4!�� - ���� ! "�� ��� � ��� � "� A
�2����"� �A�I����
D � � � - � AB� 7�&! � "-�� �"�!�� ! ��!��� ! �"���� '"�- �(�
�'���� ��� "� � � 1 !�� !�"1��& L� ��� !�� �� ! �� ��!��5 T
� 41 � ���226 �! ��"�1 �( α�
G ; � � % ��!� ! !� '������ ?! 2��� : @�"#6���� �� ���
! "� �� ! �� ��!�� T �'�� ! ������ �� ! �"��� '"�- � �! �.
��� !#4
I∞ = σT 4. �A�
G� ��!�� �� ��� !��� � '"�- �( ���"# � z� <� !# '"�- �
�! � ��� !#4 I ������ ! �� "�& � 1 !�� !�"1��& dz� 7� �!�� ��!
0�� ! ��"�1 �� -� !# '"�- �(� �����(
(dI)1 = −αI dz. �I�
=!� '��-!� -!� "�& � ! ��"�1�! "#��4 �� �0�� !#
A = α dz. �K�
9��� �� '����� ��*�2� �� ��!��� �5& �-� !�� � �5 ���'� � ! '.
"�- � �! � ��� !#4
(dI)2 = Acρ
4= α dzσT 4. ���
% � '�"#!�! ��"�� '� � � �! � ��� ! �� ���*��� � "�(
� !��!
dI = (−I + σT 4)α dz.
)5 ��"�-" �22 � �6�"#�� ����� �
dI
dz= (−I + σT 4)α, ���
� ; � ��!���� �� ��-�"#��� � "��
I|z=0 = I0 ���
� ! ��
I = σT 4 + (I0 − σT 4)e−αz. ���
% -� !��� "�-� � ���� I0 = 0� !� � �� ��!��� ! ( �0 !� ��� '"�- �
"�(� ��*���
I = σT 4(1 − e−αz), �N�
� �� �5*�� ' "�( !�"1��& L �! � ��� !# � !��!
I = σT 4(1 − e−αL). �O�
KK� Q�����(
9��� �0��'��� !�"#�� �� !�!�-�� !�" !5 "� � 1 !�� �'��4! '.
"�- � � �! � ��� !# ��!���� " �� ! '����� ?! 2��� : @�"#6���� �A��
7 �0*���� �!� !!# " ��41 � % � "�� '���- �� ���"��"� #�
-!� ���226 �! ��"�1 �( �"( '"�- �( ������� �� � * -� !�!�*
��� � α� -!� ��'��"("� ��"#'���!# �5��� � �"( �! � ��� ! � ��
�A�� % � & !�! "#�� ! � 1 !�� ��� ! ��"�1�!# '"�- � ��.��'����
�� ��'"-�5* -� !�!�*� <� !#� ����� �� '"�- � ��"�1� ! ( � � �.
!��"#��� ����'�� Δω� � ��!���� ��� ��� ! �� �� � ������� �� � .
" � �� � �� ! � �(� ��0��5 �!� � �� �ω � kT )� @�� � -!�!#�
-!� � �!�� ����'�� ���226 �! ��"�1 �( ������� �"( � * -� !�!
��� � α� % �!�� � ����'�� �5 0�� � � !�����!# ���*��(1 '"�.
- � � 9��� �! � ��� !# ����� �� � !��!# � ��
I∞ = BkT, �AB�
� B = c
4
∫
(Δω)
ω2dω
π2c3
3 � "-��� �-!5��41�( - "� ���"4- ��5*� ! .
� � & ��0��5 ��"(� ,�"#� &; �� - !5 ���"�-�5 ��� � ��5� �5; �
% � '�"#!�! ��"�-�
I = BkT (1 − e−αL). �AA�
G� ��!� ���( '���-� � ! � �� � � !� ��� �!��; � � ��!- .
��& ���� !� 3 0 ���!��!���� '� � �4 ! �� ��!��5 ��'"-�5*
! "� G�'"-�5 � !��5 ��4!� ���01 ����(� ��'"-�5 '��- �( ! �� ��.
!��5� % -� !�� !� ����� ��� � "!# �������� ��������M ��� �����
! �� ��!�� �0 �"4!�� - ���� ! "�� � 41 � !�! � �"���& ��'� �
!� � � �!��"#��4 �� � !- ��4 (��� !# Bω� -!� '�-� �� ! "��
% ��!� ! !� 2����"�& �AA� �! � ��� !# '"�- �( I∞ = BkT �
�'���� ��( 0 ��� -�� !�" !5� "� �� ������ ! �� �50������ � �!��"#.
��� ����'�� � �! � ��� !#4 '"�- �( �0 �"4!�� - ���� ! "�� C "
05 �5 ������" '� � � �! � ��� ! '"�- �( �! "�( ��� -��&
!�"1�5� !� ��"�-" 05 �22 �!���4 �(��� !��4� ! �� ��!���M
Tяр = T (1 − e−αL), �AI�
��!���( �!"-� ! ( �!T � � � !�"1 "�& � 1 !��� ! � !�-� �5'� �"
05 !���4 ! �� ��!���� !� � ! � 0"� '��- � Tяр � ! �� ��!��
! "� T �
D � � � - � AA� � ��"#'�( '����5 ! ��������� ����'�!#� -!� � �.
!��"#��( �"�!�� !# �� � ������ ��� '"�- �(����!���� ��'�� !� !
�� !�� ! �� ��!��5 '"�- �(� �5� "����� �� T2 > T1 �"( "40�&
-� !�!5 ω � ! � !� � ��� � !�� ρω(T2) > ρω(T1)�
G ; � � ��� 05"� ����'��� � "� A� � �!��"#��( �"�!�� !# �� �
'"�- �( �� ! ( 2����"�& <"����M
ρω = �ω3
π2c3
1
exp (�ω/kБT ) − 1. �A�
Q�����( KK�
>��2� �!�� �� �� � " �( �"( ���* ! �� ��!�� T1 T2� � T2 > T1�
����'�� �� � � A�N� �' �!�� � ���� ����� -!� - � �5; ! �� ��!��� '.
"�- �(� ! � �5; ���*��! ����( ρω� % � & !�! "#�� ! �!�� ! "#��
�� ��"�� � ���5* ρω(T1) ρω(T2) ����� � !����!# �� � ��� �!�.
��� ��-�"� ! ��������� � ����� !'��( (��5& �� 2���6 ρω(T )�
% ����� " � �� !# � ����& ��� ! �� ��! ( ������ �� '"�- �
�� ! �� ��!�� T1� � � ����& 3 �� ! �� ��!�� T2� ��- � T1 < T2�
<�� � � �! ��� ! � ���!��! - � ' ���� 2"#!���� ����� ��41�
'"�- � -� !�!�& ω � �! ���" dω �� � A��
T1 T2
Ñîñóä 1 Ôèëüòð Ñîñóä 2
2�� � %=)�� ����1��� �,0 �)������B �����4 8�0 � ������� �+�,-���� ���
� +��-��0 ��)��� �,� 0 T1 < T2B -���+ ������B ����,�� ?8�� �+�,-���� ,+��)
������ ����) �� � +��� ω ÷ ω + dω
<� ��"#���"�!�� !# ��!��� �� �'�!������'"�- �( �����dq == cρωdω/4� ������5& ��!�� �� � � � �� A ��� �
dq = dq2 − dq1 = c[ρω(T2) − ρω(T1)] dω/4. �I�
?�"� �� �!�������-�"� ! �������� �2����"���� �"��'� �� � ��'.
��� � ������'��"#�5& � � *�� ! �"� �! ! "� � � ��� !�� � ! "�
0�" ��� !��� �0 ' '� � �( � !�(�( � * �5* ! "�� =!� �'��-� !�
-!� ��!�� �� � ��"� � 05!# ������" � � � ��� � 41& � �#;�4
! �� ��!��� �T1)� !� � dq > 0� ?" ����! "#��� ρω(T1) < ρω(T2)�
%��� ���'��"#�� ! �50������ � �!��"#��� ����'��� �!� � ��.
� � !�� �5��"�( ! ( �"( � * -� !�!� ,���'���� �!� ��� � �'��-� !
!��� � -!� ���5 ρω(T ) �"( ��'�5* ! �� ��!�� �� � � � ��4! (�
D � � � - � AI� %5� ! �('# � �� ������!-�5* �!�"�� �& ���* 2.
'- �* � "-�� �� ��!��5 ��!��5* � �����!��4!�
G ; � � <� !#2'- � � "-�5A B !����5� -!� �����!�!��
�� � !��"(41* * �� ��!���� �!"- � �! ��"(M
[A, B] = iC. �A�
/� ��!��5 A B ��"��5 05!# ���!��5�� �� ��"#�� �� � !��"(4! 2.
'- � � "-�5� !� � A+ = A� B+ = B� )���! "# i � �����& -� !
KK� Q�����(
�� � � ! �� -!�05 �0 � -!# ���!��� !# �� ��!��� C� C+ = C� <�.
� �� -!� � �� '��- �( � "-� A B ����5 ��"4M
〈A〉 = 〈B〉 = 0. �I�
C " �!� � !��� !� �� !�!�-�� �� ! �� ��!��5 A1 = A − 〈A〉 B1 == B − 〈B〉� �"( ��!��5* !� 0���� �I� �� �5��"�( ! (� 7������� -!�
� �� '��- � ��� � "( ! ( ���
〈A〉 =∫
Ψ∗AΨdV.
,"(����1 �( '�� ���� ��!�-�5*2����" -!� ���"����42���.
64 Ψ �����������&M
∫Ψ∗Ψ dV = 1�
%� � � �� ��!�� Q = ξ A + iB� � ξ 3 � ��!��5& � & !�! "#�5&
����� !�� ?��!� ! !� ��� � � '�"#!�! ���!�� ��� ���(� �( � �
Q+ = ξ A+ − iB+ = ξ A− iB.
%� � � 2���64 ����� !�� ξ
f(ξ) =∫(QΨ)∗(QΨ)dV. �K�
/- ����� -!� f(ξ) � 0�
� ��"#'�( ��� � " � ���!��� ���(� ���� �� ��!���� � � �; �
��� � !�� �K� � ��
f(ξ) =∫
Ψ∗Q+QΨdV, ���
"
f(ξ) =∫
Ψ∗(ξA− iB)(ξA+ iB)ΨdV =
=∫
Ψ∗(ξ2A2 + B2 + iξ[A, B])ΨdV = ξ2⟨A2
⟩+
⟨B2
⟩− ξ 〈C〉 . ���
D� # �5 ��"#'���" ��� � !�� �A� �� " � �� '��- �(� F-! �
��" � -!� f(ξ) � 0 �"( � * ξ� =!� '��-!� -!� � ������! ������!���
!� *-" �� � ��� � ��� ! 05!# ��"��! "#�5�M
Δ ≡ 〈C〉2 − 4⟨A2
⟩ ⟨B2
⟩� 0. ���
/! 4�� �5! �� ! ���� ��!��; � � ��� � " ��� ! &M⟨A2
⟩ ⟨B2
⟩� 1
4〈C〉2 . ���
Q�����( KK�
% ��- !� ��� �� ��"��� A = x� B = px = −i� d
dx
� <� ��"#.
�� [x, px] = i�� !� C = �� % ��- !� � ��� � " ��� ! & �������!5
���"# � ��� � * � �� ������!-�5 �!�"�� �( �! � ��* �����5*
��"4�M
Δx =√〈Δx〉2 =
√〈x〉2, Δp =
√〈Δp〉2 =
√〈p〉2. �N�
9��� ' ��� � � �" ��� ��"�-� �
ΔxΔp � �/2. �O�
=!� ��!��; � � ��� � " ��� ! & � 2��� % &"(�
<�"�-� �� " �� ��!��; � ��(�5� �5- " � ��<� ���"����
-!� -� !6� �� �;� ! 2�!�� ��� � � !�� -!� ��"����( 2���6(
�0��1� ! ( � ��"# �� 0 ��� -�� !M
Ψ(−∞) = Ψ(+∞) = 0. �AB�
?-!�( ��"����4 2���64 �����������&M
∞∫−∞
|Ψ(x)|2 dx = 1, �AA�
�� ��!�� �! ��"
f(ξ) =∞∫
−∞
∣∣∣xΨ(x) + ξdΨ
dx
∣∣∣2 dx, �AI�
� ξ 3 � & !�! "#�5& ����� !�� < � �; � �!�! �! ��"� �� ��5�
������! ����"(M
f(ξ) =∞∫
−∞x2|Ψ(x)|2 dx+ ξ2
∞∫−∞
∣∣∣ dΨdx
∣∣∣2 dx+ ξ
∞∫−∞
(Ψ∗ dΨ
dx+ ΨdΨ∗
dx
)x dx.
�AK�
< ��5& �! ��" � �����& -� ! �- !�� � "��( �������� �AA�
��� �
∞∫−∞
x2|Ψ(x)|2 dx =⟨x2
⟩. �A��
%!���& �! ��" � �����& -� ! �� �0��'� ! ( ��! � �! ������(
KKN Q�����(
�� -� !(�M
ξ2∞∫
−∞
dΨ∗
dx
dΨ
dxdx = ξ2
(Ψ∗ dΨ
dx
)∞
−∞︸ ︷︷ ︸=0
−ξ2∞∫
−∞Ψ∗ d2Ψ
dx2dx = −ξ2
∞∫−∞
Ψ∗ d2Ψdx2
dx.
�A��
% �����( �5��� � �"( �� ��!��� ���"# �� ��"�-� �
− d2Ψ
dx2= 1
�2
(−i� d
dx
)2
Ψ = p2x
�2Ψ, �A��
!�� -!� �! ��" �A�� ����� ! ��
∞∫−∞
Ψ∗ p2x�2
Ψ dx = 1
�2
⟨p2
x
⟩. �A��
9� !& �! ��" � �AK� � � � 5�� ! ( � ��
ξ
∞∫−∞
d(Ψ∗Ψ)
dxx dx = ξ
⎡⎢⎣xΨ∗Ψ|∞−∞︸ ︷︷ ︸=0
−∞∫
−∞Ψ∗Ψ dx
⎤⎥⎦ = −ξ. �AN�
9��� �0��'��� ��*��� � " ��41 �� �5��� �4 �"( 2���6 f(ξ)M
f(ξ) =⟨x2
⟩+ ξ2
⟨p2x
⟩�2
− ξ. �AO�
)���"#�� '��- � �!�& 2���6 �� !� ! ( �� � "��
df(ξ)
dξ= 2ξ
⟨p2x
⟩�2
− 1 = 0, " ξ = ξm = �2
2〈p2x〉, �IB�
� !��"( !
fmin =⟨x2
⟩− �2
2〈p2x〉. �IA�
�' ��� � " �( 2���6 f(ξ) " �� !� -!�
f(ξ) � f(ξm) � 0.
<��!��� ' �IA� " �� ! ��!��; � ⟨x2
⟩ ⟨p2
x
⟩� �
2/4. �II�
<� ��"#�� -!� ! (� -!� 〈x〉 = 0 〈px〉 = 0� !� ��"��(Δx =
√〈x2〉, Δpx =
√〈p2
x〉, �IK�
Q�����( KKO
������ � ��� � !�� �II� �05-�5& ��M
ΔxΔpx � �/2, �I��
-!� �� � !��"( ! �0�& ���� ��!��; � � ��� � " ��� ! &�
% ��- !� ����"� �( ��&� �� �� ����� �� ��"����& 2���6 ��.
!� ! ( ��� � !��
ΔxΔpx = �/2. �I��
,"( �!�� �-! �� -!� �!� ��� � !�� � �1 !�"( ! ( �� � "��� -!� �
�IA� ���� ! ( fmin = 0� D��- � f = fmin �� !� ! ( �� ξ = ξm� % "�
� �!�6�! "#�� ! ���5�! ��"#��� �5��� �( � 2���6 f(ξ) ( ��� -!�
� "�� fmin = 0 ��� ! 05!# �5��"� ��� !�"#�� " ���� ! (
xΨ(x) + ξdΨ
dx= 0, �I��
� ����� ��"��!# ξ = ξm ' �IB�� G ;�( �!� �22 � �6�"#�� ����� .
� � ��"�-�
Ψ = Ψ0 exp(− x2
2ξm
). �I��
7���� 6� �-!5��(� -!� �� � "�� �I�� ���� ! (
ξm = �2
2〈p2x〉= 2
⟨x2
⟩, �IN�
� � �; � �I�� � ��
Ψ = Ψ0 exp(− x2
4〈x2〉
). �IO�
D�� !�� -!� � ; � �IO� �� ! ��"����4 2���64 �����- ���
� 6""(!��� � � ������ � !�(�� �� ��� ���!��� ��"#'���� �.
�!��; �( � ��� � " ��� ! & � 2��� % &"( �� ! � "�-� � 6""(!���
����"#�5 ���"�!# �� - "��5* ���226 �!��� �6 �� '��- �& �� �.
!- �* ����� &�
D � � � - � AK� � " ����!# ���"464 "���"'������� ��"�����
��� !��
G ; � � 9� 0� ! ( � ;!# ����� � c� �� ��
i�∂Ψ
∂ t= HΨ, H = p2
2m= − �
2
2mΔ, �A�
��-�"#�5� � "�� �
Ψ(r, t)|t=0 ≡ Ψ0(r) = Ψ0 exp(− r2
2δ2+ i
p0r
�
). �I�
K�B Q�����(
,���� � !�(� �� 5�� ! ��"��� 6 �!� ��!���& �� ��� !���( ! ( �
���� !#4 v = p0/m� � - � " �� �0 �!# (� �5- "� � �!�� �"�!�� !
��!��� � ��(!�� !M
j = �
2mi[Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗] r=0 = p0
m|Ψ0|2 .
,"( � ; �( '���- �5 �� ��"#'� � ( �� ����;���� ��"#'� �5�
�8��# .��!� � G�'"��� *���5& ��"����& ��� ! �� �"� � ��"�5� !� �
� �! ��" 8��# M
Ψ0(r) =∫f(p)eipr/� d3p
(2π �)3,
f(p) =∫
Ψ0(r)e−ipr/�dV.
�K�
< ��� ' �!* ��� � !� �'��-� !� -!� ��-�"#��( ��"����( 2���6( !#
�� ���'6( �"� �* ��"� eipr/� ���226 �!�� f(p)� �!�05 ��&!
�� � ���4 '�� �� !# �!* ��"�� �� !�!�-�� �- !#� -!� �� �( E
���"# p � � "(!� ! �* -� !6 �('��5 ��!��; � � E = p2/2m�
?��!� ! !� ��� ��"��( '�� # �"� ��& ��"�5 ��"���5� � �!����
k = p/� � ! ��
exp(ipr
�
− iEt
�
)= exp
(ipr
�
− ip2
2m�
t).
<� ��"#�� �����( ��"�� �� ��� !���( ! ( � '�� �� �! ���*� � ���.
'��"#�5& ��� �! �� ���'64 ����� �� � !��!# � ��
Ψ(r, t) =∫f(p) exp
(ipr
�
− ip2
2m�
t)
d3p
(2π�)3. ���
�!�05 ��"�-!# � ; � � '�����!�& 2��� � �� !�!�-�� ��� !��!# 4��
(��� �5��� � �"( ���226 �!�� f(p)� ��!��5 ���! 05!# ��&� �5
����1#4 �!���� ��� � !�� � �K�M
f(p) =∫
Ψ0(r)e−ipr/�dV = Ψ0
∫exp
(− r2
2δ2+ i
(p0 − p)r
�
)dV. ���
%*��(1& 4�� �! ��" �5- "( ! ( �� !�!�-�� ��� !�� ,"( ���0 !��
�5- " �& �0�'��-� q = p0−p ��� �� -!� � �!�� � ������" � ���"#
Q�����( K�A
� x� 9��� �5��� � ��� ����� � ! � ���'� � �4 !� * �! ��"��
<�� ���M
∫exp
(− r2
2δ2+ i
(p0 − p)r
�
)dV =
=∞∫
−∞exp
(− x2
2δ2+ i
qx
�
)dx
∞∫−∞
exp(− y2
2δ2
)dy
∞∫−∞
exp(− z2
2δ2
)dz =
= (2πδ2)3/2 exp(− q2δ2
2�2
).
<�� !������ �!�� �5��� �( � ��� �� !
Ψ(r, t) = Ψ0
∫(2πδ2)3/2 exp
(− (p − p0)2δ2
2�2
)exp
(ipr
�
− ip2
2m�
t)
d3p
(2π�)3.
=!�! �! ��" !��� ���! ( � �! ��"�� <�� ���M
Ψ(r, t) = Ψ0
(δ2
2π�2
)3/2∫
exp(− (p − p0)2δ2
2�2+ i
pr
�
− ip2
2m�
t)d3p =
= Ψ0
(δ2
2π�2
)3/2∫
exp[−p2
(δ2
2�2+ it
2m�
)+ p
(ir
�
+ p0δ2
�2
)− p2
0δ2
2�2
]d3p =
= Ψ0
(δ2
2π�2
)3/2
exp(−p2
0δ2
2�2
) ∫exp
[−ap2 + 2pρ]d3p.
D� # �� � ��� �� � �5 �0�'��- �( a = δ2
2�2+ it
2m�
, ρ = i
2�
r + p0δ2
2�2
�
,�"#� &; �5- " �( !�����!�5 �����(! � ����-�! "#����
� '�"#!�!�M
Ψ(r, t) = Ψ0
(δ 2
2π�2
)3/2 (π
a
)3/2
exp(−p2
0δ2
2�2+ ρ2
a
)=
= Ψ0
1 + i�t/mδ 2
exp(− 1
2δ2
(r − ip0δ2/
�)2
1 + i�t/mδ 2
− p20δ
2
2�2
). ���
+ �� ���� �!#� -!� ��&� ���( 2���6( ����" !���( ! ��� ��-�"#����
� "��4 �I�� !�� ����� �4 �A�� /����� � !���& 2��� � ; � � ��"(�.
��� <��!��� 6 " ��0��'�� ��&! �� �� � " � � ��(!�� ! & ��*��� �(
-� !65M
W ∼ |Ψ|2 = Ψ20δ2
δ2(t)exp
(− (r − p0t/m)2
δ2(t)
). ���
K�I Q�����(
D� # 05"� ���0�� �� ! �0�'��- � �"( *����! ���&;��5 ��"�����
��� !� � ��� �! �� � � tM
δ(t) = δ
√1 +
(�t
/mδ2
)2, δ(0) = δ. �N�
9��� �0��'��� 6 �!� ��� !� ��� ! ( � ���� !#4 v = p0/m� � ;.
��� �� ! ! �� '����� �N��
D � � � - � A�� � *��( ' ����� �( c� �� ��� ���� ! ��'� " �
��� �( ! �5 ���* -� !6 �� ��� � * 6 �!�� �� �!�� ! "#.
�� ��� � -� !6�
G ; � � G� ��!�� ! �� ���* -� !6� ��! �6�"#��( �� �(
�'���� & !�( ��!��5* '�� ! !�"#�� �! �� !�(�( r = | r1 − r2 |
� ��� ��� U = U(r)� %�"����( 2���6( ! � �# '�� ! �! �����.
��! �0 * -� !6M Ψ = Ψ(r1, r2)� C �5 " � !�! � !��� -!� � "-��
|Ψ(r1, r2)|2 dV1dV2 !# � ��(!�� !# !��� -!� -� !6� A ��*��! ( � �" .
� �! �0J �� dV1 � ��� !�� ! !�-� r1� � -� !6� I3 � �" � �! �0J ��
dV2 � ��� !�� ! !�-� r2�
�� ( � ��� �� ��!� � !�6�����5* � !�(�&� �5 � �5� �"
'�� �� !# �! �� � �� ��!���( � ! �05-�5& ��M ∼ exp (−iEt/�)�
C " �� 5 -� !6 !#m1 m2� !� ��"#!���� ! �5 ���'5�� ! (
����5�
H = T1 + T2 + U(r);
T1 = − �2
2m1
Δ1, T2 = − �2
2m2
Δ2.
�A�
D� # Δ1 Δ2 3 "��"� ��5� � ��!��5* �22 � �6����� � �1 !�"(.
! ( �� �������!�� ��!� ! !� ��� -� !6 A I� % � '�"#!�! �5 ��;"
� " ��41 �� ����� �4 c� �� ��M
− �2
2m1
Δ1Ψ − �2
2m2
Δ2Ψ + U(r)Ψ = EΨ. �I�
<���0�� !���� ��� � � *��� � �1 !�"( ! ( � � *�� �! �������!
�!� "#�5* -� !6 � �������!�� 6 �!�� �� � �!�� ! "#��& �����.
��! � �!�! � � *�� ���0�� � "�!# � ��; � "�-� M
R = m1r1 +m2r2
m1 +m2
, r = r1 − r2. �K�
�������!5 � �!���� �0�'��-� ��� (X, Y, Z)� � �������!5 � �!��� 3
��� (x, y, z)�
<� �0��'� � "�� ��
− �2
2m1
∂2Ψ
∂ x21
− �2
2m2
∂2Ψ
∂ x22
���
Q�����( K�K
� " ��& -� ! �I�� <� ��"#�� X = m1x1 +m2x2
m1 +m2
, x = x1 − x2� !� ��
�05-�5� ����"�� �� �0��'����( ���'����5* " �� ! '�� �!#
∂Ψ
∂ x1
= ∂Ψ
∂X
∂X
∂x1
+ ∂Ψ
∂ x
∂ x
∂ x1
= m1
m1 +m2
∂Ψ
∂X+ ∂Ψ
∂ x.
,�" ��*��� �!���4 ���'�����4M
∂2Ψ
∂ x21
= ∂
∂X
(∂Ψ
∂ x1
)∂X
∂ x1
+ ∂
∂ x
(∂Ψ
∂ x1
)∂ x
∂ x1
=
=(
m1
m1 +m2
)2∂2Ψ
∂X2+ 2m1
m1 +m2
∂2Ψ
∂X∂ x+ ∂2Ψ
∂ x2.
���"�-�� ��"�-�4! ( ���'����5 �� � � � ���& x2M
∂Ψ
∂ x2
= ∂Ψ
∂X
∂X
∂x2
+ ∂Ψ
∂ x
∂ x
∂ x2
= m2
m1 +m2
∂Ψ
∂X− ∂Ψ
∂ x,
∂2Ψ
∂ x22
=(
m2
m1 +m2
)2∂2Ψ
∂X2− 2m2
m1 +m2
∂2Ψ
∂X∂ x+ ∂2Ψ
∂ x2.
<�� !��"(( ��&� ��5 �5��� �( �"( �!��5* ���'����5* � ����
��"�-� �− �
2
2m1
∂2Ψ
∂ x21
− �2
2m2
∂2Ψ
∂ x22
= − �2
2M
∂2Ψ
∂X2− �
2
2μ
∂2Ψ
∂ x2, ���
� �� � �5 ��"��( ��� � ���( �� 5 ! �5M
M = m1 +m2, μ = m1m2
m1 +m2
. ���
���"�-�� �� �0��'�4! ( ���'����5 �� �������!�� y z� % !�
�5 ��*��� � " ��41 & 2��� ����� �( c� �� ��M
− �2
2MΔRΨ − �
2
2μΔrΨ + U(r)Ψ = EΨ. ���
/� ��!��
TR = − �2
2MΔR
!# �� ��!�� �� !- ��& �� � ! �5 ��� 6 "��� !� � ��! ��"#��&
!�-� �� 5M � ��*��(1 & ( � 6 �!� �� ! �5� � �� ��!��
Tr = −�2
2μΔr
�� 5�� ! �� !- ��4 �� �4 �!�� ! "#��� ��� �( -� !6 .
! �5� <�"�- ��5& � '�"#!�! ��"�� !#4 ���"�- � ��!� ! !��41 ��
�!� ��� �4 ' �"� - ��& � *����
K�� Q�����(
@�� � ��!# � ; � ����� �( ��� � �� ���'� � �(
Ψ(R, r) = Ψц.м.(R)Ψотн(r), �N�
� ��!���� � ��5& ����! "# �� 5�� ! ��� � 6 �!�� �� � � �!���&3
�!�� ! "#�� ��� � -� !6� <�� !��"(( �!� �5��� � � ��� � "(
��-" ��� ��"�-�; ( ����� � �� �N�� ��&� �[− �
2
2M
ΔRΨц.м.
Ψц.м.
]+
[−�
2
2μ
ΔrΨотн
Ψотн+ U(r)
]= E. �O�
% " ��& -� ! � "-�5� !�(1 � � ���& �!���& ������!�5* ��0.
��* '�� (! �! ��'"-�5* � � � ��5*� <��!��� �"( !��� -!�05 ��� � !��
�5��"�("� # �� ���'��"#�5* '��- �(* �������! � � � �0*�����
-!�05 �� ���� ��0�� 05"� �� !�(��5�� =!� �����! � ���� ����.
� �(�M
− �2
2MΔRΨц.м. = Eц.м.Ψц.м. �AB�
−�2
2μΔrΨотн + U(r)Ψотн = EотнΨотн. �AA�
�' �* � ��� �� 5�� ! ��0���� ��� � 6 �!�� �� �� !- .
��& �� � & Eц.м.� � �!��� 3 �!�� ! "#�� ��� � �� � & Eотн
�� ��"- ��! �6�"#��& �� � �'���� & !�( U(r)� /- ����� �5
��"��5 ��!� 0���!#� -!�05
Eц.м. + Eотн = E. �AI�
9��� �0��'��� �5 �0 �" #� -!� � # ���"'� ���� � ��5& �"( ���.
! &; & ! �5 ���* -� !6 3 �!��� �������� 3 05" � � �� " !�"#��
�� !� �� 5 �" �!���� ��"#'���!# ��� � ���4 �� � -� !6� ����
!��� �5 ��� "� -!� 6 �!� �� ! �5 -� !6� �� ��!���4 � � &.
!��4! �� ;� "5� ��� ! ( ��� ��0����( -� !6�� =!� ���!� ���� !
'������ !# ��'� " �( � * ! � � & ��0��5 ! �5 �� ��� ;� �
����!� �� �� < ��5 �� 5��4! ��� � ! �5 ��� 6 "��� � �!��5
�-!5��4! '� � � ���!� �� � � !�(�( ! "��
D � � � - � A�� 7�&! ��"�� � �� � !- ��� �����( � � "��& �.
� !�-��& ����� ���& ��(����"#��& ��! �6�"#��& (� �
G ; � � ��� '� !��� � 0 ��� -�� "�0���& ��(����"#��& ��.
! �6�"#��& (� ����� �1 !��4! � �� ��4! ( 2����"�&En = π2
�2
2ma2n2, n = 1, 2, 3, . . . , �A�
� �� �( �! -!5�� ! ( �! ��� (�5� � � "-�� a3;��� (�5� % � ".
��& (� � ���� U0 � E1� ���� �# !��� � ! (� 7�&� � � ��"�� � �
Q�����( K��
� ���5& ���� �# �!� -� ! � ������� � !�(�4� � ��!���� ��"����(
0
U x( )
x
aI II III
E
�U 0
á� ( )x
a /2�a /2
xa /2�a /2
2�� � �����5� ��� � �) @�A �
���� � �,��5�� ������1� �����D
���� @"A 6���0��� ������ ��� D
+ � ����1���-����� ,�����
2���6( � � ! �'"�� (�"( ! (
�� !�-��& �!�� ! "#�� � ��5
(�5 �� � A��
%50 � � '� ��-�"� �! - !� �� �
��"�� � � �*� � ���( (�5� 9���
�� �(� �!� -�41�( �����4� ���� !.
( �!�6�! "#��&� E < 0� %��� �.
� !� ��"����& 2���6 �� !�!�-��
�� ��!� !# ����� � c� �� ��
d2ψ
dx2+ 2m
�2[E − U(x)] ψ = 0 �I�
!�"#�� �"( �0"� ! & �� ����
% �0"� ! ��
d2ψ
dx2+ 2m
�2[U0 − |E|] ψ = 0. �K�
% �0"� ! ���d2ψ
dx2− 2m|E|
�2ψ = 0. ���
%���( �0�'��- �(
k2 = 2m
�2[U0 − |E|], ���
q2 = 2m
�2|E|, ���
� � �; � ����� �( �I�� �K� � ��
d2ψ
dx2+ k2ψ = 0, −a/2 < x < a/2,
d2ψ
dx2− q2ψ = 0, x > a/2.
���
?��!� ! !� ��� � ; �( �!* ����� �& !#
ψ = A2 cos kx, −a/2 < x < a/2,
ψ = A3e−qx, x > a/2.
�N�
?;��� � ; �& �� x = a/2
ψ|x=a/2−0 = ψ|x=a/2+0 , ψ′|x=a/2−0 = ψ′|x=a/2+0
K�� Q�����(
�� !
A2 cos ka2
= A3e−qa/2,
−kA2 sin ka
2= −qA3e
−qa/2.
�O�
/! 4�� " �� ! ����� � �"( ��*��� �( ����� & �� �M
ctg ka
2= k
q> 0. �AB�
<�"�- ��� ����� � ���0��� � � �!# � ����� � ��"#'�( !��.
��� !�- �� !��� !�� cos ka2
= ± ctg (ka/2)√1 + ctg2(ka/2)
= ± k√k2 + q2
� ? �- .
!�� ��� � " �& �K�� ��� ��"�-� �
cos ka2
= ±√
�2
2mU0
k = ±√
2�2
ma2U0
ka
2. �AA�
/0�'��-�
γ =√
2�2
ma2U0
�AI�
z = ka/2� 9��� ����� � �AB� ����� ! ��
cos z = γ z. �AK�
<�"�- ��� ����� � ���0�� " ����!# ��2- � �� � I� ��� ,�.
�� !�5 � ; �( �5� "(4! ( ! � � "�� �� -!� �"� �� �AB� �"( �*
��"��� �5��"�(!# ( � ��� � !�� ctg z > 0 �� � I� �� !� � ���� �! z ��".
� � ������!# � ����'��5 [0, π/2]� [π, 3π/2] !� �� D��( � ; � ����� �(
�AK�� " �� ��&! � ; � ����� �( �AB�M
E = −U0 + 2�2
ma2z2. �A��
,�" �-! �� -!� � '�� �� ! �! "�0�5 (�5 �'��- �( � ":
-�5 U0) ����� !� γ ���0 � ! �"� �� �AI� '��- �( �! B �� 0 ��� -.
�� !� ?��!� ! !� ��� � �( ! ( ���"�� ��(��& γ z� /����� �� � * γ
� ; � � ! (� =!� �'��-� !� -!� � ��"# ����� � "��& (� � ! (
�� � !- �& ���� �#�
7�&� � � (���� �� ��"�� � �����( � � "��& (� � F-! �� -!� z == ka/2 � 1� � ����� !� γ 1 �"�0�� (�5 U0 ��"��� <� ��"#�� ��
��"5* z � � cos z ≈ 1 − z2/2� ����� � �AK� ����� � � � �!# � ��
z = 1
γ
(1 − z2
2
). �A��
Q�����( K��
à á
cos z
� z
z
0
/2 z /2
ctg z
2�� � �� ��-����� ��"���� ,� ����� @��A ���,���)�� �� � +��� �+)������
����)����� z ��������?��� ,�����) ctg z > 0
@�� � � ;�!# �!� ����� � � !���� �� " ����! "#�5* ��0"� �&�
% �'; � ��0"� � ��"��� z(0) = 1/γ� 9��� � " ��41 � ��0".
� � ����� ��"��!# z(1) = 1
γ
(1 − 1
2γ2
)
� "
(z(1)
)2= 1
γ2
(1 − 1
γ2
)
�
<�� !��"(( �!� �5��� � � �A�� �- !�� ��� � " �( ����� !�� γ ' �AI��
��"�-�E = −ma2
2�2U2
0 . �A��
�D�� !�� -!� " 05 �5 ����-" # ��0"� � � z(0) = 1/γ� !�
��"�-" 05 � ; � E = 0��
D � � � - � A�� 7�&! ����"#��4 "�0�� 2 �- �. �� !�-��&
�K.� ���&� ��(����"#��& ��! �6�"#��& (�5� �� ��!���& � � & ��(�"(.
! ( �� � !- �& ���� �#�
G ; � � G� ��!��K.� ���4(�� �� � A�� F���� � c� �� ��
�"( -� !65 � !���& (� � ! ��
Δψ + 2m
�2[E − U(r)]ψ = 0. �A�
/ ����� � !�(� (�"( ! ( 2 �- �. �� !�-�5�� -!� ��'��"( !
'�� �!# Δψ = d2ψ
dr2+ 2
r
dψ
dr= 1
r
d2(rψ)
dr2
� <��!���� ����( 2���64 u = rψ�
� � �; � ����� � �A�M
d2u
dr2+ 2m
�2[E − U(r)] u = 0. �I�
K�N Q�����(
% -� !�� !� � �0"� !(* � �� �!� ����� � ����� ! " ��41& ��M
u′′ + 2m
�2[E + U0] u = 0, 0 < r < R,
u′′ + 2m
�2E u = 0, r > R.
�K�
D� # ;!�* �'��-� ! �22 � �6����� �� � � � ���& r� <��- ��� ��
-!� '� # �! - ! �� � � � ! ( �! � �*� � ���( (�5� !�� -!� �('������
� !�(�4 ��� � !- ���������4� ��!� ! !��4! '��- �( �� �E << 0� %� � � �0�'��- �(
k2 = 2m
�2[E + U0], q2 = −2m
�2E. ���
9��� � ; � ����� �& �K� '�� 5��4! ( " ��41� �0��'��M
0
U r( )
E
r
I II
U0
R
2�� � � + � -� �$ �D)��� �
���)�,1���� � �����5� ��� �
�)
u = A sin kr +B cos kr, 0 < r < R,
u = Ce−qr, r > R.
���
,�" ��"#'� � � "��( ;��M
а) u|r=0 = 0,
б) |r=R−0 = u|r=R+0,
в) u′|r=R−0 = u′|r=R+0.
���
% �!�� ��0�� � ��� � "�� ��'��� !
� " � !� !��� -!� u = rψ� <� ��"#�� ��.
! �6�"#��( �� �( U(r) � 4�� ��� -���
��"����( 2���6( ψ ��� � ; � ����� .
�(c� �� �� �A� !��� ��� -��� ?��!� !.
!� ��� �� r → 0 ���� ! ( u = rψ → 0�
? �- !�� �� �� �"( � ; �( � �0"� ! 0 < r < R � ��� ���'5�� ! ( B == 0� !�� -!� � �!�& �0"� ! u = A sin kr� <��'���( ;��� �!�� � ; �(
� ; � � � �0"� ! r > R ����1#4 � "��& �� 0� �� ��� ��"�-�
A sin kR = Ce−qR,
kA cos kR = −qCe−qR.
���
/! 4�� " �� !
tg kR = −k
q< 0. �N�
< � �; � �!� ����� � � �� ��"#'����; # !��� !���sin kR = ± tg kR√
1 + tg2 kR= ± k√
k2 + q2, �O�
Q�����( K�O
� �-! �5 ��� � " �( � "-� k q� %� � � �0�'��- �(
z = kR, γ =√
�2
2mR2U0
. �AB�
9��� '���-� ���! ( � ��*��� �4 ���� & ����� �(
sin z = ±γ z,tg z < 0.
�AA�
,�" ���0�� " ����!# � ; � ��2- � �� � I�� ��� ���� '
� � I� �� � ; � � ����" !���(41 !� 0����4 tg z < 0 �� � I� �� ��(�.
"( ! (� !�"#�� " ���"�� ��(��& γ z �� !�!�-�� ��"M
γ � γmax = 2
π. �AI�
sin z
�êðz
�z
/ 2 z
à
tg z
á
/ 2 z
2�� � �� ��-����� ��"���� ,� ����� @��A ���,���)�)� ���?��� ����� ��B
��� ������0 tg z < 0
?�- !����� � " �( � "-�5γ � �AB� �! 4����*���� "�� ��(�" �(
�� � !- ��� �����( � !� *� ���& (� M
U � Umin = π2�2
8mR2. �AK�
<� '��- � U = Umin ���� �# ��*��! ( �� '��- � �� �
E = 0�9��� �0��'��� � !� *� ���& (� ���� �# ��� ! ��'����!#� !�"#��
" "�0�� (�5 �� !�!�-�� � "���
K�B Q�����(
D � � � - � A�� <�"�-!# !�-�� � ; � '���- �0 �� � !- �* ����.
�(* �!��� ��������� �-!5��41 ��0!�"#�5& ��� �! �" �!�����
G ; � � % "� � '���-� �0 �� � !- �* �����(* ������������0.
��� �!��� 05"� � ; �� �"( "�-�( 2 �- �. �� !�-�5* � !�(�&�
% "� � �� � !- � ����� 05" ��&� �5 �- !�� ��0!�"#��� ��� �.
!� �" �!����� /����� � �� " �� � "�-� �5 ��"#'���" ���*��� � ��.
����5& �� ���'�"� - ��� ��0"� �� 7� �� ! ( � ; � �� !��.
" ���& '���- �� � ��� ����� �( c� �� ��� % "���5* - �!�* � !��
���"�- � !���� -!� 05" ��"#'���� � "� ��
D��; � ����� � c� �� �� �"( �" �!���� � �!�� ��������M
Hψ = Eψ, �A�
� ��"#!���� �� ! ( �5��� � �
H = p2
2m− e2
r. �I�
,"( � � *��� � "�-�4 �!��� ���� �" �!����� '��(��� (��� Ze
�� !�!�-�� �� � * ��"#� &;* 2����"�* '�� �!# e2 → Ze2�
?�"� �� ��'������ � "� � �� ��!�� �� !- ��& �� � �����
�� � !��!# � ��
p2
2m= p2r
2m+ L2
2mr2, �K�
�
p2r
2m= −�2Δ r,
L2
2mr2= − �
2
2mr2Δ θ, ϕ = − �
2
2mr2
[1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ ∂
∂θ
)+ 1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
].
���
@�� � ��!# � ; � ����� �( �A� � ��
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ), ���
� θ� ϕ3 �"��5 � � � ��5 2 �- ��& ! �5 �������!� G� ��!.
���( � !�(�( ��� � " ��5� '��- � � �"���� ��� �!� � ( �
���� -!� �� ��!�� L � & !�� ! !�"#�� �� �"��5 � � � ��5 � �5 ��"��5
��"��!#
L2ψ = l(l + 1)ψ, ���
"
L2Y (θ, ϕ) = l(l + 1)Y (θ, ϕ). ���
b��5& �� 2���6& Y (θ, ϕ) �"( �� &-� � �� � !��"( ! �! � ��
%���� !�� -!� �! 2���6 (��� '�� (! �! ���!��� ����!���� - "�m�
��� � "(41 � ��� �64 �"���� ��� �!� �� �5� " ���4 � #� /����� �!
Q�����( K�A
�!�� - "� � '�� (! �0 !� ��5 '��- �( �� ��!��� L2� " ����! "#.
��� �0 !� ��5 '��- �( ��"#!������ !� � � �!� ��'����5* '��- �&
�� � �" �!����� ��� ����(!� � ! � !� �5���� � �� � !- ���
� �!�� �� ���!���� ����!����� - "�M �� '������� '��- � l '��- .
�( �� � �������5 �� � * ���� !�5* '��- �(*m�
? �- !�� ��'����� ����� � c� �� �� �"( ����"#��& -� ! ��".
����& 2���6 R(r) ����� ! ��
− �2
2mΔ rR(r) + �
2l(l+ 1)
2mr2R(r) + U(r) = ER(r). �N�
�� ( � ���� -!� ����"#��( -� !# "��"� ��� ����� ΔrR = d2R
dr2+ 2
r
dR
dr
�
�5 ��*��� � �05���� ����� �22 � �6�"#���� ����� �4M
d2R
dr2+ 2
r
dR
dr+ 2m
�2
[E + e2
r− �
2l(l+ 1)
2mr2
]R = 0. �O�
,"( ���0 !�� ��"#� &;* �5- " �& �� �0��'� � �!� ����� � � @�.
� � '� �(!# �"�5 � ��6�* 0���� ��� ���� � a� � �� �3� ��.
6�* �� � A.& 0���� ��& ��0!5� ��5� "����� �� � � 0 '��'� ��5
� � � ��5 ρ = r
a, ε = E
E1
; a = �2
me2, E1 = me4
2�2. �AB�
���� !��� � ( � ���� -!� �� �( �" �!���� � �!�� �!�6�! "#��� �� .
� � �0�'��- �
ε = −η2. �AA�
% �0�'��- �(* �AB�� �AA� ����� � �O� ����� ! ��
d2R
dρ2+ 2
ρ
dR
dρ+
[−η2 + 2
ρ− l(l+ 1)
ρ2
]R = 0. �AI�
7���� 6� �� � � 2���64
u(ρ) = ρR(ρ). �AK�
% � '�"#!�! �5 ��*��� � " ��41 �� ����� �4M
d2u
dρ2+
[−η2 + 2
ρ− l(l+ 1)
ρ2
]u = 0. �A��
<� �� � �� � !����� � !����!# � ��!�!�� � ; �( �!�� ����� .
�( �� ρ→ ∞� ,"( �!�� �� !�!�-�� �!0�� !# �!��� !� !# "�� �5
� ������!�5* ��0��* � ;!# ��"�-�; ( ��� !� �22 � �6�"#��
K�I Q�����(
����� � �!���� ���(���M
u′′ − η2u = 0;
u|ρ→∞ ∼ e−η ρ.
�A��
%!��� � ; � ����� �( �!0��; ��� �� ��"#�� ��� �� ��� �6�"#��
�� ! ! �� ρ→ ∞�
,�" �� � � 2���64 w�ρ� ��!��; � �
u(ρ) = e−η ρw(ρ). �A��
<�� !��"(( �A�� � �A��� ��"�-� ����� � �"( w�ρ�M
d2w
dρ2− 2η dw
dρ+
[2
ρ− l(l+ 1)
ρ2
]w = 0. �A��
@�� � ��!# � ; � �!�� ����� �( � �� �(��
w(ρ) = ρσ∞∑
k=0
akρk. �AN�
<�� !������ �!�� �(�� � ����� � �A�� �� !
ρσ
{ ∞∑k=0
ak(k + σ)(k + σ − 1)ρk−2 − 2η∞∑
k=0
ak(k + σ)ρk−1+
+∞∑
k=0
ak
[2ρk−1 − l(l + 1)ρk−2
]}= 0. �AO�
<� k = 0 � 2���5* ��0��* � ! ( "�� �� � ������6���"#�� 1/ρ2�
���226 �! �� � � ��"� � 05!# ��� � ��"4M
a0[σ(σ − 1) − l(l + 1)] = 0. �IB�
G ; � �!�� ����� �( ��'��"( ! ��&! � "-�� σM
σ = l + 1. �IA�
%!��� � ; � σ = −l �� ! � ����- ��� �� ρ → 0 � ; � w ∼∼ ρ−l, R ∼ ρ−(l+1) ��"��� 05!# �!0��; ��� ,"( ��*��� �( ���22.
6 �!�� ak � � ������ � � !�"#�5 -" �5 �(��M
ρσ∞∑
k=0
[ak(k + σ + 1)(k + σ)−2ηak(k + σ) + 2ak − l(l + 1)ak+1] ρk−1 = 0.
�II�
Q�����( K�K
<� ��"#�� " ��( -� !# �!�� ��� � !�� ��"��� �0��1�!# ( � ��"# !��� .
!� ���� !� � �� � * ρ� ����� ������(!# ��"4 ���226 �!5 �� � *
! � �(* ρM
ak+1(k + σ + 1)(k + σ) − 2ηak(k + σ) + 2ak − l(l + 1)ak+1 = 0.
=!� �����! � � ���� �!���� ��!��; �4� �('5��41 �� ���226.
�!5 akM
ak+1 = 2[η (k + σ) − 1]
(k + σ + 1)(k + σ) − l(l+ 1)ak. �IK�
C " �(� �AN� �� � �0�5�� ! (� !� � � ���226 �!5 ak �!"-�5
�! ��"(� !� �� k → ∞ � �
ak+1 ≈2η
kak.
<� " �� ��!��; � �'��-� !� -!� �� 0�"#;* '��- �(* k ���22.
6 �!5 �(�� �AN� � ��! 0( ��� ak ∼ (2η)k
k!
� F-! �� -!� � ���226 �!5
ak �� 0�"#;* k � 4! �������5& '��� � ���� !��� ��'"�� � �� .
��� �!5 � �(� )��"�� �� � ! �� ex =∞∑
k=0
xk
k!
� 9��� !�-�� !#4 ��
��������� � �(41* ( �� ! � ����� '������ �� 0�"#;* '��- �(* ρ
���� ! ( w ∼ exp (+2ηρ)� =!� '��-!� -!� 2���6( u�ρ� �� ��� �6�"#.
�� ��'�� !� !M u(ρ) = e−η ρw(ρ) ∼ eη ρ� 9��� ��� � � � ���� !���
�� ��"#�� ��"����( 2���6( ��"��� 05!# ����- ���&� ?" ����! "#���
�(� �AN� �0�5�� ! (� !� � �1 !�� ! � ��!��� ��� ��"#�� '��- �
k = nr� �"( ��!���� ���� ! ( anr+1 = 0� % �� " ��41 ���226 �.
!5 ak, k > nr + 1, �"� �� �IK� !��� �0��1�4! ( � ��"#� <� �!�� '
2����"5 �IK� " �� !
η (nr + σ) − 1 = 0, " η = 1
nr + l+ 1. �I��
<� " �� ��� � !�� �- !�� �0�'��- �& �AB�� �AA� ��� ! 05!# � � �.
��� � ��
E = − E1
(nr + l+ 1)2= −me4
2�2
1
n2. �I��
D� # �� � �� �0�'��- � �"( "����� ����!���� - "�
n = nr + l + 1. �I��
G���"#�� ����!��� - "� nr ���'5�� ! - "� �!"-�5* �! ��"( -" .
��� �(�� �AN�� � !��� - "� �'"�� ���" &� ����"#��& -� ! ��"����&
2���6� <� �� �� �5 "� � "-�� nr ���0 � ! 6 "�- " ��5& �(�
'��- �&
nr = 0, 1, 2, . . . �I��
K�� Q�����(
<� ��"#�� nr � 0, l � 0� !� �"� �� �I�� "���� ����!��� - "� ��� !
�����!# !�� !�"#�� 6 "5 ��"��! "#�5 '��- �(M
n = 1, 2, 3, . . . �IN�
D�� !�� -!� �5��� � �"( ����"#��& -� ! ��"����& 2���6
� ! ��
Rnl(ρ) = e−η ρ
ρwnl(ρ), wnl(ρ) = ρl+1
n−l−1∑k=0
akρk. �IO�
b��5& �� �!�& 2���6 '�� ! �! '��- �& "����� ����!���� - "� n
��� �!� l� ,"( � ������ � !�(�( �!��� ��������� �!� -�41 � �.
���"#���� '��- �4 "����� ����!���� - "� �!� � �� l = 0� nr = 0�
n = 1)� ' �IO� " �� !
R10(ρ) = a0e−η ρ. �KB�
/0��!������ �� !�! ���! "#�5&2��!� -!� �� " ����! "#��( ! �.
�( �!��� ��������� � �������( �� !�-��� � ; � ����� �(
c� �� ��� ��� "� � ��� -��� !� � !��� ��0��� '��- �& �� �
�I��� -!� �" � �!����( 0���� ��( ! ��(� � !��� ���'�"� - �� ��.
0"� � �
D � � � - � AN� <�"�-!# �� �� � " � <"���� *��( ' �� � !��" �(
� ���!���5* �5���� ��5* � � *���* � ���*����� ��& ! � �
G ; � � <� !# � ! � � ! ( N2 �!����� ��*��(1* ( � �.
!�(� �� � & E2� N1 �!���� � � !�(� �� � & E1� E2 > E1�
% � !�(� ������ ( - "� � � *���� � ��(��� ������" � E2 → E1
����� - "� � � *���� � �0��!��� ������" � E1 → E2� � "� ���.
!���5* � � *���� E2 → E1 � ��6� �� � � �����A21N2� - "� �5.
���� ��5* � � *���� � !�� � ������" � 3 B21ρωN2� � � �0��!���
������" � 3 B12ρωN1� D� # ρω 3 � �!��"#��( �"�!�� !# �� �
'"�- �(� ? �- !�� �!�� � "�� ������ ( '�� 5�� ! ( � ��
A21N2 +B21ρωN2 = B12ρωN1. �A�
G� �� � " � �!���� �� �����(� �� � ��� � "( ! ( �� �� � " �.
� @�"#6����M
Ni = AKi exp(− Ei
kБT
), �I�
� Ki 3 ���!�� !# �5���� �( i.� �����(� A3 ��������-��( �� !�(�.
��(� <��!��� ' �A� " �� !
N2
N1
= �2
�1
exp(− �ω
kБT
). �K�
Q�����( K��
D� # �-! ��� -!� �ω = E2−E1 3�� �( ����!� '"�- �(� ��"�1� ���
" �� �� ��� �� � � *�� � 9��� ' �A� " �� !
ρω = A21N2
B12N1 −B21N2
= A21
B12
�1
�2
exp
(�ω
kБT
)−B21
. ���
<� �5 ��* ! �� ��!���* �kБT �ω� '"�- � 0�� ! �� ���!# ���.
� 2�!���� ��"�!�� !# �� � '"�- �( ρω � "���� <��!��� � ��(!�� !
���6������5* � � *���� �B21ρω B12ρω) 0���! ���� 0�"#; � ��(!.
�� ! ���!���5* � � *���� �A21)� <� ��"#�� ���226 �!5 =&�;! &��
� '�� (! �! ! �� ��!��5� �� �5 ��* ! �� ��!���*
B21ρωN2 = B12ρωN1,
N2
N1
= �2
�1
exp(− �ω
kБT
)→ �2
�1
.
���
�' �!* ��!��; �& �5! �� ! �('# ���226 �!�� =&�;! &��M
K2B21 = K1B12. ���
=!� ��'��"( ! � � � �!# 2����"� ��� � ��
ρω = A21
B21
1
exp (�ω/kБT ) − 1. ���
<� �5 ��* ! �� ��!���* �! 4�� " �� !
ρω = A21
B21
kБT
�ω. �N�
? ����& !����5� �� !��* ! �� ��!���* � ! � !� �� �� � " �
G�" ( :,�� �M
ρω = ω2
π2c3kБT. �O�
?���� � �5��� �& �N� �O� �"( ρω ����'5�� !� -!�
A21
B21
= ω2
π2c3�ω. �AB�
<�� !������ �!�� �5��� �( � ��� �����! � 2����" <"����M
ρω = �ω3
π2c3
1
exp (�ω/kБT ) − 1. �AA�
K�� Q�����(
/0��!� ����� �� !�� -!� �!��; � � ��(!�� ! & ���6�������.
� ���!����� �� ���(� � ��!� ! !� ���� �����
Wвын
Wспон= ρωB21
A21
= nω. �AI�
D� # nω 3 � �� - "� '���"� �(� ���� �� �� �� � " � � <"����M
nω = 1
exp
(�ω
kБT
)− 1
. �AK�
F!� ��� � � �� ���1 ( � 2����" �AI�� ���"� ! !� ���� % �.
��� � " � - � 0�"#; nω� ! � 0�"#; 2�!���� � � � ! � 0�" � .
��(!�5 �5���� ��5 � � *��5 �� ���� �4 � � *���� ���!���5.
�� ?��!��; � �AI� ����'5�� ! !��� � -!� � �1 !�� ! !��6&� ��.
�� �� �! !��4! !�"#�� ���!���5 " !�"#�� �5���� ��5 � � *��5M
�0� !�� ���6 �� � �� �1 !��4! ������ � ���� *�!( ��'"-��&
� ��(!�� !#4�
G� ��!� ��5& �5��� 2����"5 <"���� �� �"�� � �� =&�;! &��� �
AOA� � =!�! ���*�� ��� " � !� ��� " � ��'����� �4 ����!���& �" �.
!�����
D � � � - � AO� <�"�-!# � �!��"#�� �� �� � " � '"�- �(� �'��.
�� ��� �� ��0" � -� !6 �� � � *���* � ��� �����(� E2 E1� � !�.
���"��41 ( 0"�����( �22 �!� ,��" �� � �' ��� � ""�� �� �� .
�� � " � � -� !6 �� ���� !(��
G ; � � ,��� !� ��-�"�� -!� ! !� ���( ;��� "� �� .
� 0� ��� ��"�� % �!�� "�-� � " 05 �!��5 � �5!5��" �!��-� !�
�� �'����" 05 ����*����!- �� '"�- � -� !�!�&
E2 − E1 = �ω0. �A�
<��!��� *���� � �!��"#�� �� �� � " � ����� 05"� 05 �� � !�.
�!# � ��
G(0)(ω) = δ(ω − ω0). �I�
C " '"�-�41& �!�� ��� ! ( � ���� !#4 �� !� � " � !� �22 �!�
,��" �� �� ��� 0�� ! ��0"4��!# -� !�!� '"�- �(� �����4
ω′0 = ω0 + kv, �K�
� ��"����& � �!�� � ! �"�� k = ω0/c � �� '���-� ��� D� # �-! ��� -!�
*����! ��5 ���� ! �!���� υ� c�
Q�����( K��
% �' � ��(!�� ! ��'"-�5* ���� ! & �!������4! ( �� �� � " � �
)�� � ""�M
nf(v)d3υ = n
(m
2πkБT
)3/2
exp(− mv2
2kБT
)d 3υ. ���
D� # n3 - "� �!���� � ��6 �0J �� �'�� � 2���6( f(v) ����" !��.
�( ! � "��4 ��������M
∫f(v)d 3υ = 1, ���
� ��!���� �! ������ �� �����& ' ������ �! ���� ! �υx� υy� υz)
���'���! ( � �� � "�* �! −∞ �� +∞� ��� " � !� 2���.2��!�� '"�.
- �( �� ��0"( �!���� ���� ! ( ����5�
GД(ω) =∫δ(ω − ω0 − kv)f(v)d3υ. ���
,"( �5- " �( �!���! ��"� �50 � �� #x �������" � � �!�����
9��� δ.2���6( � �� ��! � � � ��5* υy υz� �! ��" �� �!�
� � � ��5� " �� �5- "( ! (� % � '�"#!�! ��"�-� �
GД(ω) =(
m
2πkБT
)1/2∞∫
−∞δ(ω − ω0 − kυx) exp
(− mυ2
x
2kБT
)dυx. ���
=!�! �! ��" �� �5- "( ! (� *��( ' ��& !� δ.2���6� -!� �� !
GД(ω) = 1
ΔωД√π
exp[− (ω − ω0)2
(ΔωД)2
]. �N�
%�; �;�( � �!� 2����"� � "-��
ΔωД = kυT = ω0υT
c
�O�
� ! �5 " *����! ���&;��5 � �!�� �� 5�� ! ���" ��� �� �;.
� � � �!��� �('���� ! �"��5� ��� � � �!���� �'�� D� # �� � ��
�0�'��- �
υT =√
2kБT
m
�AB�
K�N Q�����(
�"( ��0�" � ��(!��& ���� ! ��" ��"� �!� -�41 & ��� ���� 2���.
6 �� �� � " �( �!���� �� �0 �"4!��& � "-� ���� !
Φ(υ) = 4πυ2f(υ) = 4π(
m
2πkБT
)3/2
υ2 exp(− mυ2
2kБT
).
%5��� � �N� �� 5�� ! !�� ��'5�� ��4 �� ��� 2���� � �!��"#.
��& "� ;���& �O�� F "�� �������� �5��"� ��M
∞∫−∞
GД(ω)dω =∞∫
−∞
1
ΔωД√π
exp[− (ω − ω0)2
(ΔωД)2
]dω = 1. �AA�
>�� ��� 2���� ��"�- �� � �� ���"�� �� -!� ! !� ���( ;���
"� �� � 0� ��� ��"�M
Δωес � ΔωД. �AI�
C " �!� � ��� � !�� � �5��"�( ! (� !� 2���� "� � ! ��� ���� .
��!�-�5& � ��� "�� �6 � ��& �� ���&� b��5& �� 2���.2��!��� �"(
�!�� "�-�( ��� ! 05!# � !����" �� " �- !#� -!� *����& (�"( ! (
"�� �6 � ��( 2����
G0(ω) = Δω0
2π
1
(ω − ω0)2 + (Δω0/2)2, �AK�
� ��!���& Δω0 3 ! !� ���( ;���� ,"( �- !� �22 �!� ,��" �� �5
��"��5� ��.� ��5*� '�� �!# -� !�!� ω0 �� ω′0 � ��!� ! !� �K�� -!�
�� ! 2���.2��!��
G0(ω) = Δω0
2π
1
(ω − ω0 − kv)2 + (Δω0/2)2. �A��
� ��.�!��5*� ����� ���'� ! � � �� � �� � � ���� !(� �!����M
GД(ω) =∫G0(ω)f(v)d3υ. �A��
%50��( � # x ���"# ��"����� � �!��� � �5��"�(( �! ������
�� ������ �!�� ���� ! υy υz� ��"�-�
G(ω) =(
m
2πkБT
)1/2Δω0
2π
∞∫−∞
exp(−mυ2
x
/2kБT
)(ω − ω0 − kυx)2 + (Δω0/2)2
dυx. �A��
Q�����( K�O
C " � "�� �AI� �5��"�( ! (� !� �!� �5��� � ���! ( � �N�� , & !�.
! "#��� ���5�! ��"#�� �5��� � �� �!�� �� ��! � �" ��� � �(4.
1& ( ����! "#
exp(−mυ2
x
/2kБT
), �A��
!��� ��� ����& ����! "#[(ω − ω0 − kυx)2 + (Δω0/2)2
]−1, �AN�
�����!�� � �( ! ( 05 !��� <��!���� �5�� ( '.��� '���� �! ��"� ���.
�! "# �A�� �� '��- � υx = (ω − ω0)/k �5- "(( � !��;& (
�! ��"�
∞∫−∞
dυx
(ω − ω0 − kυx)2 + (Δω0/2)2= 2π
Δω0k, �AO�
��*��� � �� ���& 2��� "� �N��
% �0��!��� "�-� Δωес ΔωД �5 ��"�-� � "�� �6 � �& ���!��M
����! "# �AN� � �( ! ( � �" ��� ��� ! 05!# �5� � '.��� '����
�! ��"� �� '��- �υx = 0� / !�41& ( �! ��" �5- "( ! ( ��� !�M
∞∫−∞
exp(−mυ2
x
/2kБT
)dυx =
(2πkБT
m
)1/2
, �IB�
�5 ��"�-� � ���!�� �AK��
% ���� ��!�-�5* "�-�(* Δωес ∼ ΔωД �*��(1& � �A�� �! ��"
� �5���� ! ( � �" � �!���5* 2���6(*� �� � ������ ����� !��� "�-�
� !����� ��&! � - " ��� '��- � �
Учебное издание
КАРЛОВ Николай ВасильевичКИРИЧЕНКО Николай Александрович
НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Редактор О.А. КонстантиноваОригинал-макет: В.И. Шутов
Подписано в печать 28.09.2004. Формат 60�90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,5. Уч.-изд. л. 29,25. Тираж 1500 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17БE-mail: [email protected], [email protected]
Сайт: http://www.fml.ruИнтернет-магазин: http://www.fmllib.ru
Отпечатано с электронных носителей издательствав ОАО «Московская типография № 6»
115088, г. Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
ISBN 978-5-9221-0538-5
9+HifJ C-LKPNSP+