ГЕОМЕТРИЯ - mavod.tjmavod.tj/mybook/books/9714727142623847.pdf · ва хосиятхои онхо мебошад. Фанни геометрия аз кадом модца

У сто Бурхонов, Ч,умъа Шарифов

ГЕОМЕТРИЯкитоби дарсй барои синфи 7

Вазорати маорифи Нумхурии Тоникистон тавсия кардааст

Душанбе2013

ББК - 22.151Я72+74.262.21 Ш - 30

Усго Бурхонов, ^умъа ШарифовГеометрия, китоби дарсй барои синфи 7. КВД «Комбината

полиграфии ш.Душанбе» соли 2013,112 сах,ифа.

Ч,адвали истифодаи ичоравии китоб

№Ному

насабихонанда

Синф Солихониш

Холати китоб (бахои китобдор)Аввали

СОЛ

ОхириСОЛ

Омузгорони мухтарамХох,ишмандем фикру мулох,изах,ои худро оид ба мазмуни

китоби мазкур ба нишонии 734024 ш. Душанбе, кучаи Айнй 45, Пажух,инпох,и рушди маорифи Академияи тах,силоти Точикистон ирсол намоед.

ISBN 978-99947-944-7-8

САРСУХАНХонандагони азиз! Шумо бо мафхуми нукда, порча, нур, хати

рост, кунч, секунча шинос хасгед. Инхо як кисми мафхумхои геометрианд. Геометрия як киеми математика мебошад. Калимаи «геометрия» юнонй буда, маънояш «заминченкунй» аст.

Дар замонхои кадим геометрия, асосан барои ченкунихо дар сатхи Замин лозим буд. Нисбат ба замонхои кадим доираи омузиши масьалахои геометрия хеле васеъ гаштааст. Геометрияи хозира барои ченкунихо дар сатхи Замин, хамворй, фазо, кайхон ва заррачахои хурде, ки ба чашм ноаёнанд, зарур аст.

Геометрия ба мисли алгебра таърихи кадим дорад. Ин илм дар давлатхои кддимаи Миср, Бобул ва Юнон ба вучуд омадааст.

Аввалин асархои геометрй дар асрхои XVII то милод, яъне такрибан 3700 сол пеш аз замони мо дар Мисри кадим навишта шудааст. Дар ин асархо коидахо ва тарзхои хисоб кардани масохат ва хачми шаклхои гуногуни геометрй дар асоси тачрибахои хаёгии одамон баён карда шудааст.

Барои илми геометрия хизмати олими Юнони кдцим Евклид, ки солхои 330 - 275-уми пеш аз милод хаёт ба cap бурдааст, хеле бузург мебошад. Евклид дойр ба геометрия асари машхуре навиштааст, ки «Ибтидо» ном дорад. У дар ин асараш хамаи маълумотхои геометрии то замони худ мавчуд бударо ба тартиб дароварда, илми геометрияро ба таври аксиоматикй баён кардааст.

Евклид якчанд мафхумхои одитаринро бегаъриф кабул намуд ва дар асоси ин мафхумхо мафхумхои дигари геометриро таъриф дод. У якчанд тасдикоти одиро, ки дурустиашон аз худи хаёт бармеояд, беисбот кабул кард. Чунин тасдикоти беисботро аксиома меноманд. Тасдикогхои дигари геометриро дар асоси мафхумхои ибтидой ва аксиомахо исбот кард. Тасдикоте, ки дурустиаш исбогро галаб мекунад, теорема ном дорад.

Китоби Евклид зиёда аз 2000 сол хамчун китоби дарсии геометрия ба хисоб мерафт. Китоби дарсие, ки шумо холо дар даст доред, мазмунаш геомегрияи евклидй мебошад. Гузаштагони мо Умари Хайём, Абурайхони Берунй, Абуалй ибни Сино. Насриддини Туей ва дигарон аз геометрияи Евклид бохабар будаанд. Онхо ба асархои худ дойр ба илми геометрия ва барои тараккиёти минбат^даи ин илм хизма!хои босазое намудаанд.

3

Олими бузурги рус Н.И. Лобачевский (солхои 1793-1854) дар гараккиёти илми геометрия гардиши бузурге ба вучуд овард. У геометрияи наверо ба вучуд овард, ки он геометрияи гайриевклидй ном дорад. Хизмати Н.И. Лобачевский дар он аст, ки олимони сохди математика дар асоси асархои у намудхои дигари геометрияро кашф намуданд.

Нукга. порча, хати рост, кунч, секунча, квадрат, давра, дойра, куб, нур, кура ва гайра мисоли ш аклхои геометрй мебошанд.

Геометрия илмест, ки мавзуи тадкикоташ шаклхои геометрй ва хосиятхои онхо мебошад. Фанни геометрия аз кадом модца сохта шудани ашёхоро намеомузад. Масалан, барои гидкикогчии илми геометрия аз шиша, чуб ё охан сохта шудани квадрат фарк надорад. Дар геометрия намуд, мавкеи чойгиршавии шаклхо, андоза, масохат, хачм ва дигар бузургихои ба онх,о вобаста гад кик карда мсшавад. Геометрияе, ки шумо дар мактаб меомузед, аз ду кием иборат аст:

а) Планиметрия - хосияги шаклхо дар хамворй;б) Стереометрия - хосияти шаклхо дар фазо.Шумо дар синфхои 7-9 планиме грияро омухта. дар синфх,ои

10-11 етереометрияро хохед омухт.Донишхои геометрй барои халли масъалах,ои заминченкунй.

кайхоннавардй, мошинсозй, хавопаймой, сохтани харитахо, бинокорй, бахрнавардй, мухандией, маъданшиноей, табиатшиноей ва гайрахо хеле заруранд.

Агар шумо яке аз сохахои дар боло номбаршударо пешаи касби ояпдаи худ карданй бошед, пас ба омузиши фанни геометрия диккати чиддй дихед!

4

ГЕОМЕТРИЯРО ЧИ ТАВР ЬОЯД ОМУХТ?

Мавзуъхо ва мафхумхои геометрй тарзе ифода ёфтаанд, ки яке бо дигаре сахт алокаманд мебошанд. Аз ин ру. аз худ накардани як ё якчанд мавзуъ боиси мушкил гаштани омузиши мавзуъхои минбаъда мстардад.

Кушиш намоед, ки дойр ба хдр як мавзуи геометрй дониши кофй дошта бошед. Агар шумо аз руйи маслихатхои зерин амал намоед. боварй дорем. ки сохиби донишхои мукаммали геометрй хохед гашт.

1. Хднгоми омузиши ин ва ё он мавзуъ еаросема нашуда. ба хар як чумла ва калимаи наве. ки ба шумо вомехурад. диктат дихед.

2. Мафхумхои нав бо ранги сиёх навишта шудаанд. Шумо кушиш намоед, ки шаклхоро шиносед, онхоро худатон тасвир намоед ва монандашро аз мухити атроф ёбед.

3. Таърифи мафхумхо ва матни гасдикотро бо забони худатон озод баён карда тавонед. Бо ин максад аввал аз кигоб ду ё се бор гаъриф ё магнро хонда, ба раемхои мувофик назора намоед. Синае, китобро нушида, дар варак хамон расмро кашед. магн ё таърифро аввал дахонй баён намуда, баъдан дар варак нависед. раем ва навиштачоти худро бо матни китоби дарей мукоиса кунед.

4 Хамеша бо ду ё се рафикагон дойр ба таърифхо. хосиятхо ва тарзи исботи тасдикот ва халли масъалахо саволу чавоб ва бахс намоед.

5. Дар охири хар як мавзуъ якчанд саволхо дода шудаанд.Кушиш намоед, ки ба он саволхо чавоб дихед.6. Шумо бояд гайр аз дафтари асоси боз дафгари хотира

дошта бошед. Дар дафтарчаи хотираатон таърифхо, хосиятхо. тасдикот ва формулахои асосиро нависед.

7. Кушиш намоед, ки хар як шакли нави геометриро аз когаз, кардон, чуб, пластилин ё маводи дигар сохта тавонед.

8. Барои дуруст кашидани раем ва накшаи шаклхо аз каламхои ранга, хаткашак, паргор, купчченкунак (транспортир), когазхои катакчадор, секуичаи навдпакашй истифода баред.

9. Масъалахоеро. ки дар китоб хал шудаанд ва ё омузгор ба шумо мефахмонад, дар хона мустакилона аз нав хал намоед. Исботи тасдикотро хамеша як ё якчанд маротиба мустакилона ичро намоед.

5

10. Дар китоби дарсй намунаи халли баъзе масъалахо оварда шудааст. Кушиш намоед, ки масъалаи халшударо омухга. масъалахои бокимондаро хал намоед.

11. Баъзе маслихатхои дитарро омузгор ба шумо гавсия хохад дод. Дар хотир доред: «Кореро, ки имруз метавон кард, ба фардо магузор!»

ЧАНД МАСЛИХА i S.vР О 1 \ ( Я IУ \ГОР

1. Пас аз эълони хар як мавзуъ. шавку рагбаги шотирдонро ба омузиши мафхумхою тасдикоти нав бедор намоед. Аз ин ру, бештар ба мухит ва хаёти харрузаи шогирдон нигаред, диккати онхоро ба татбики амалии мафхумхо, хосиятхо, формулахо ва халли масьалах,о чалб намоед.

2. Хангоми омузиши мавзуъхои назариявй. пеш аз хама дар лавхаи синф саволхои асосиро чудо карда нависед. Баъд аз баён кардани таърифи мафхумхо ва хосиягхои асосй онхоро аз се ё чор хонандаи кобилияташон гуногун пурсида такрор намоед.

3. Хангоми омузонидани ин ё он мафхум ё хосияти навбатй ба расми мувофик мурочиат кунед, фарки онро аз дигар расмхо нишон дихед. Кушиш кунед, ки шогирдон худашон таърифхо ва хосиятхоро баён намоянд.

4. Ба тарзи сохтани расмхо диккат дихед. Хар як расмро дар вазъиятхои гуногун кашида, кушиш намоед, ки шогирдон онхоро мустакилона дар дафтар ё тахтаи синф кашида тавонанд.

5. Хангоми омузиши мавзуъхои назариявй ба хонандагон имконият дихед, ки онхо матни китобро мустакилона хонанд. Баъд аз хондани ма гни китоб вобаста ба саволхои иайдошуда бо ахли синф мубохиса ташкил намоед. Имконият дихед, ки шогирдон ба саволи хамдигар чавоб диханд.

6. Хангоми таълими халли машкхо талаботи масъаларо аник намоед. Вобаста ба талаботи масъала расми мувофик созед, шарти масъаларо ба мазмуни раем мувофик, кунонед.

Харакат намоед, ки бо иштироки фаъолонаи шогирдон алгоритм ё таргиби хал муайян гардад. Бо иваз намудани номи ишорахо ва кимати ададии онхо бахс ё кори мустакилона ташкил намоед.

7. Ба шогирдон халли якчанд масъала ва ё исботи хосиягхоеро хамчун кори мусгакил вогузор намоед, ки онхо аз ухдаи хал ё исботи вай\о баромада тавонанд. Агар ичрои машк барои шогирдони шумо мушкилй намояд, онро ба машки сабук rap иваз намоед. Масъалахоро дар тахтаи синф хал намуда.

6

барои руйбардор кардани шогирдон розигй надихед. Агар онхо эътироф кунанд, ки халли масъаларо фахмидаанд. тахгаро тоза намоед ва имконияг дихед, ки халли онро дар синф ва ё дар хона аз нав мустакилона идро намоянд.

8. Шарт нест. ки хамаи масъалахои китоби дарсй дар синф пурра хал карда туда, он дар тахтаи синф ва дафтархои шогирдон навишта шавад. Хдлли масъалахои такягохй бояд пурра идро карда шаванд. Хдлли масъалахои монанд дар синф бо иштироки фаъолонаи хонандагон мухокима гардида, алгоритми хал тартиб дода шавад. Масъала фахмо хисоб карда мешавад, агар шогирдон эътироф намоянд, ки аз ухдаи хал баромада метавонанд. Хдлро шогирдон мустакилона дар синф ва ё хона ичро намоянд.

9. Баъди омузиши хар як боб дар катори кори хаттй, сандиши дахонй гузаронидан лозим аст. Шогирдоне, ки аз санчиш намегузаранд, ба дарси иловагй чалб карда шуда. аз нав сандиш месупоранд.

7

ПЛАНИМ ЕТРИЯ

Ф А С Л И 1МАФХУМХОИ ОДИТАРИНИ ГЕОМЕТРЙ

1. Нукта он аст. ки кисмхо надорад.2. Хат дарозии бебар аст.3. Худудхои хат нуктахоянд.4. Хати рост хамон аст, ки нисбат ба хамаи нуктахояш

якхел чойгир аст.Евклид

§1. НУ к г А, ХАТ ВА ХАГИ РОСТ1. Нукта. Евклид нуктаро чунин маънидод кардааст, ки

гуё кисмхо надорад. Ин ба он далолат мекунад, ки нукта бар. дарозй ва баландй надорад. Аммо хамаи ашёхои моро ихота карда, ин се андозаро сохибанд. Масалан. изи бо нуги кдлам гузошташуда бо вучуди бисёр хурд буданаш гафсй. бар ва дарозй дорад. Тасвири нуктае. ки Евклид дар назар дорад. аз имкон берун аст. Д ар як нуги калам миллионхо нуктахоро чойгир кардан мумкин аст. Дар геометрия мафхуми нукта таьриф дода намешавад. Агар нуги каламро хуб тез карда, дар руйи варак из гузорем, ин тасвири нукта аст. вале ин тасвир нуктаи хакикй нест.

Дар геометрия нуктахоро бо харфхои калони алифбои лотинй A.B,C,D,E.F ва гайра ишора мекунанд.Б а расми 1 ни га ред.

•В .Снуктаи В нуктаи С

Расми !

2. Хат. Аз руйи гуфтаи Евклид гуё хат дарозии бебар бошад. Хати хакикй ба монанди ресмони дарозест, ки ибтидою интихо ва гафсию бар надорад. Тасвири хатро бо калам дар варак кашидан мумкин аст.

Хатхо рост. кач. гирд (мудаввар), мавчмонанд, морпеч. шикаста. сарбаста мешаванд (расми 2).

•Ануктаи А

8

о ихати мудаввар хати кач хати рост

хати мавчмонанд хати морпеч

хати шикаста хати сарбаста

Расми 2

Хатхоро ба воситаи харфхои хурди алифбои лотинй а,Ь, с, d ..... ишора менамоянд.

Чисм дар натичаи харакат изи муайяне мегузорад. Агар бари чунин изро ба инобат нагирем, онро хати харакат гуфтан мумкин аст.

Хит из шумории бисёри нуцтих;о иборат ист. Нуцти\ое мивчудинд, ки ба хат тааллук, доринд ви иуктихое мивцуданд, ки ба хит тааллук, надорипд.

Мисол: Нуктахои А. В. С. D ба хати а тааллук доравд. (расми 3). Нуктахои M.N.P.K ба ин хат тааллук надоранд.

Агар нуктаи А ба хати а тааллук дошта бошад, чунин ишора мекунанд: А е и Агар нуктаи К ба хати а тааллук, на дошта бошад. чунин менависанд: К g а, Агар нукта ба

Дар хотир доред:

а

Расми 3

9

хат тааллук дошта бошад, он гох мегуянд, ки хат аз ин нукта мегузарад. Баъзан чунин хам мегуянд: «нукта дар хат мехобад».

Супориш\о1. Ба расми 3 нигаред ва дар дафтаратон ба воситаи

ишора тааллук доштан ё надоштани нуктахоро дар хати а нависед.

2. Я гон хати ихтиёрии b-ро созед. Навиштахои зеринро бо се тарз хонед ва нуктахоро дар раем гузоред. А е Ь, Р£ Ь, D е Ь, К e b. М е b, Е е Ь, Ф е Ь, С е Ь, В е Ь, О е Ь,Агар дар хат як ё ду нукта гузошта шавад, хат ба киемхо чудо мешавад. Х,удуди киемхо и хат нуктахо мебошанд.

в

Расми 4Дар расми 4 хати а ба ду кисми а\ ва а± чудо шудааст,

худуди ин киемхо нуктаи А аст. Хати b бо ду нуктаи А ва В ба се кием чудо шудааст. Ин киемхо ал, а? ва а? мебошанд. Кисми Oi факат як худуд дорад (нуктаи А), кисми ai ду худуд дорад (А ва В) ва кисми аз факат як худуд дорад (нуктаи В).

Агар кисми хат як худуд дошта бошад, он гох ин худудро ибтидои кисми хат гуфтан равост. Агар кисми хат ду худуд дошта бошад, якеро ибгидо ва дигареро интихо мегуянд.

Супоришх^о3. Ягон хати с-ро сохта, дар он се нуктаи А,В ва С-ро

гузоред. Хат ба чанд кием чудо шуд? Аз ин киемхо чандтояш як худуд ва чандтои дигараш ду худуд дорад?

4. Агар дар ягон хат 2,4,6,8,....... . 100 нукта гузорем,микдори киемхо чандто мешаванд. Чандтояш як ва чандтояш дутогй худуд доранд?

5. А гар дар ягон хат 1,3,5,7,9,....... ,9 9 нукта гузорем,

10

микдори к,исмхо чандто мешаванд. Чандтояш як ва чандтояш дутогй худуд доранд?

3. Хати рост. Тасаввур кунед, ки ду вагон ресмони дарозе доранд. Онхо ресмонро таранг кашида ба самтхои мукобил харакат мекунанд (расми 5)

Дар ин холат ресмони таранг кашидашуда тасаввуроти хати ростро медихад. Мисоли хатхои рост симхои телефон, нурхои аз сурохии танг гузаранда ва гайра шуда метавонанд, агар онхо аз ду тараф беохир давом ёбанд ё худ ибтидою интихо надошта бошанд. Мувофики гуфтаи Евклид «хати рост хатест, ки нисбат ба хамаи нуктахонш якхел чойгир аст». Аз ин гуфтаи Евклид бармеояд, ки хати рост аз нуктахои зиёд иборат буда, качихо ва хамидагию мавчхо надорад. Дар геометрия хати ростро мафхуми одитарин хисобида таъриф намедихаид. Гуфтаи Евклидро барои мафхуми хати рост таъриф хисобидан дуруст нест.

Дар геометрияи мактабй аз мафхуми хати рост ба таври васеъ истифода мебаранд. Аксарияти шаклхои геометрй аз шумораи зиёди киемхои хати рост иборатанд.

Ба фикри шумо аз як нукта чанд хати рост мегузарад? Аз ду нукта чй?

Аз як нукта хатхои рости беш умор мегузаранд (расми 6, а)).

1. Л з ду нуктаи гуногун фацит як хати рост мегузарад. Дар х;ак,нкат, аз ду ну к, та хагщои бешумор мегузаранд,

Расми 5

б)Расми 6

Дар хотир доред:

11

(расми 6, б )), вале фак,ат яктояш хати рост аст. Хати ростро бо хаткаишк (расми 7) мекашанд. Хати ростро бо ду х1арфи калон ё бо як х;арфи хурди лотипй ишора мекунанд. Масалан: АВ, CD ё а, Ь...

2. Нуктах,ое мавцуданд, ки ба хати рост тааллук, доранд ва нуктахое мавцуданд, ки ба хати рост тааллук, надоранд. Хати рост нук,тах,ои бешумор дорад, вай дарозй дораду бар ва гафсй не. Хати рост ибтидою интих^о надорад.

___ ____________ а_______в ___

I3™1 Т И"1 ?""■ limy M l | l ( 7 la a B " " | .......

• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >

Расми 7

4. Хамворй ва сатх. Хар як ашёе, ки дар табиат мавчуд аст. кдбати беруние дорад, ки онро ихота мекунад. Масалан, бадани одамро пусти бадан ихота кардааст. Дарахгон хам кабати берунй-пуст доранд. Ин кабатро ба монанди пардаи тунуке тасаввур кардан мумкин аст, ки бару дарозй дорад. аммо гафсй надорад.

Чунин пардаи тунук барои чисмхо ва ашёхо сатх мебошад. Дар забони гуфтугуйй сатхи об. сатхи миз, сатхи Замин. сатхи кура ва гайра вомехуранд. Евклид гуфта буд: «сатх, онест, ки танхо дарозй ва бар дорад». Дар хар сатх нуктахои бешумор мавчуданд. Дар сатх хатхои бешуморро чойгир кардан мумкин аст. Хатхо сатхро ба кдсмхо чудо мекунанд.

Ба гуфтаи Евклид: «Худуди сатх хат аст».Деворхои хонаро бо когазхои гулдор ё охаку рангхои

махсус оро медиханд. Дар ин холат кабати когазхо ва рангхо. мисоли сатххо мебошанд.

Укёнус ё бахрро тасаввур кунед. ки обаш тамоман ором бошад. Сатхи ин хел об моро ба тасаввуроги хамворй ме о вара д. Х,амворй сатхест. ки аз чор тараф бехудуд аст. Сатхи девор сатхи миз. сатхи оина ва гайра кисмхои ин ё он хамворй мебошанд. Х,амвории хакикиро сохтан ё дар хаёт вохурдан аз имкон берун аст. аммо кисмхои хамворй дар хама чо дучор меоянд.

Хдмвориро дар шакли чоргушахо тасвир карда, онро бо харфхои алифбои юнонй а (алфа), (3 (бета), у (гамма) ва гайра ишора мекунанд.

12

Дар хотир доред:

Хамворй мафхуми одитарин аст, онро таъриф намеди\анд. Хамворй бар ва дарозй дорад, вале гафсй надорад. \амвориро ба чор самт беинтих^о давом додан мумкин аст. Х,амворй аз нуцтах;ои бешумор иборат аст. Дар х;амворй хатх;ои роста бешуморро цойгир кардан мумкин аст.

5. Нимхамворй. А гар дар хдмворй хати рости Ь-ро чойгир намоем, он хамвориро ба ду кием чудо мекунад. Хдр як кием нимхамворй мебошад. Х,удуди нимхамворй аз як тараф хати рост аст (расми 8)

Супоришх;о6. Дар хамворй ду хати рост созед. Хамворй ба чанд

киемхо чудо шуд? Чанд холатхои гуногун чой доранд?7. Дар хамворй се хати ростро тавре созед, ки хамворй

ба: а) 4 к,исм; б) 6 к,исм; в) 7 кием чудо шавад.8. Агар дар сатхи Замин куххо. пастию баландихо

мавчуд набошанд, онро хамворй гуфтан мумкин аст?9. Дар расми 9 хатхои рости а, Ь, с, d, кашида шудаанд.

Онхо хамвориро ба чанд киемхо чудо кардаанд?

13

6. Hyp Дар хати рости а нуктаи А-ро нишона мекунем (Расми 10 ). Ин нукта хати ростро ба ду кием чудо мекунад. Х^ар як кием нур мебошад. Нук,таи А ибтидои ин нурхо аст.

А анур нур

Расми 10

Дар хотир доред:К,исми хати рост, ки аз як тараф бо нукрш мах,дуд аст,

нур номида мешавад. Нур ибтидо дораду интих^о не.Шуоъхои чарог ва Офтоб мисли нурхо мебошанд. Онхо

аз як нукта баромада беинтихо давом меёбанд. Нурхоро бо як харфи хурд ё бо ду харфи калоне, ки харфи аввалинаш ибтидои нур аст, иш ора мекунанд. Ба расми 11 нигаред.

D С' -..............1

нури CD

7. Порча. Агар дар хати рост ду нуктаи А ва В-ро гузорем, хати рост ба се кием чудо мешавад. К,исми байн порча мебошад.

А В онур порчаи АВ нур

Расми 12Таьриф. Он кисми хати рост, ки бо ду нукта махдуд аст,

порча номида мешавад.Нуктахои махдудкуианда нугхои порча мебошанд.

Порчаро бо харфхои хурди алифбои лотинй а, Ь, с, d ,....... ёбо ду харфи калони алифбои лотинй ишора мекунанд. Ба расми 13 нигаред.

._____ __а_______. С ,----------------------- JOпорчаи а порчаи CD

,в ьпорчаи АВ порчаи Ь

Г-.к чи ! ,i14

Хднгоми кашидани порчахд нурхо ва хатхои рост ин тавр рафтор мекунанд: Нугхои порчаро бо нуктахои равшан тасвир менамоянд. Ибтидои нур бо нукта нишона карда мешавад Нугхои хати ростро ба ту тараф беинтихо давом додан мумкин аст. Дар расми 14 нури АВ, порчаи CD ва хати рости MN тасвир ёфтааст.

Л______ нур_________В_________

С порча D»----------------- -—— -------------»

М хати рост N

Расми 14

Порчаро дар хаёт сари хар кадам дидан мумкин аст. Пояхои миз, калам, сими телефон аз як симчуб то дигараш, тегахои хона ва гайра мисолхои порчахо мебошанд

8. Тартиби чойгиршавни нуктахо дар хати рост. Дар хати рости а се нуктахои А,В,С,-ро бо шаш тарз чойгир кардан мумкин аст.1) А В С 3) В А С 5) С А В

—•---------- • --------- • — ---- т-------- ф .... .щ— — щ-------щ------- а-----

2) А С В 4) В С А 6) С В А

Расми 15

Дар холати 1) ва 6) нуктаи В дар байни нуктахои А ва С мехобад Дар холати 2) ва 4) нуктаи С дар байни нуктахои А ва В вокеъ мебошад. Дар холати 3) ва 5) нуктаи А дар байни В ва С чойгир аст.

Дар хотир доред:Аз се нуктахои дар хати рост хобида, факат яктояш

дар байни дутой дигараш мехобад.

15

Супоришхо10. Дар хати рости а чор нуктаи A,B,C,D~po гузоред.

Кадоме аз нуктахо дар байни нуктахои дигар мехобад? Хдмаи холатхои имконпазирро нишон дихед.

11. Дар нури ОА нуктаи А ва В-ро тасвир кунед. Х,олатхои имконпазирро нишон дихед. Кадом нук,та дар байни нуктаи О ва нуктаи дигар мехобад.

12. Дар порчаи АВ ду нуктаи С ва D-po нишона кунед. Кадом нукта: а) дар байни А ва D, б) дар байни D ва В,в) дар байни С ва В; г) дар байни А ва С; f) дар байни А ва В хобида метавонад?

9. Холати чойгиршавии хатхои рост. Ба сифати ду хати рост ду чубчаи ростхата ва ба сифати хамворй сатхи мизро интихоб намуда, муайян кунед, ки дар руйи миз чубчахоро бо чанд тарз чойгир кардан мумкин аст.

Ду хати рост дар хамворй бо се тарз чойгир мешаванд.1. Ду хати рост ягон нуктаи умумй надоранд (расми 16)

а........................ ь V'ЧД1 !• К'СЬ,1 •, 'арг'»

'

Расми 162. Ду хати рост факат як нуктаи умумй доранд (расми 17)

2. Ду хати рост акаллан ду нуктаи умумй доранд (расми 18)

В С а~ * ' b

Расми 18

Дар хотир доред:Д у хати росте, ки дар х;амворй хобида ягон нуктаи умумй

надоранд, хатхрирости нараллел номида мешаванд.16

Дар расми 16 хатхои рости а ва b параллеланд. Ибораи «Хати рости а параллели хати рости Ь» чунин ишора карда мешавад: а II b

Дар расми 19 холатхои гуногуни тасвири хатхои рости параллел нишон дода шудааст.

Расми 19

Релсхои рохи охан, симхои телефон, тегаи мукобили миз ё дафтар, равонакхои зинапоя, сохилхои канал ва гайра мисоли хатхои рости параллел мебошанд.

Дар хотир доред:Ду хати росте, ки фак,ат як нуцтаи умумй доранд,

хатх;ои рости буранда номида мешавад.

Дар расми 17 хатхои рости бурандаи с ва d, инчунин нуктаи буриши онхо А тасвир ёфтааст. Ибораи «хати рости с хати рости d-po дар нуктаи А мебурад» чунин навишта мешавад:

e n d = А.

Дар хотир доред:Ду хати росте, ки ацаллан ду нуктаи умумй доранд,

хатх;ои рости х;ам цоя ш ава и да номида мешаванд.Ишорааш: а=Ь (дар расми 18)

Дар расми 18 хатхои рости хамчояшавандаи а ва Ъ ва ду нуктаи умумии онхо В ва С тасвир ёфтаанд. Навиигги а=Ь маънои. «хатхои рости а ва b хамчояшаванда хастанд»-ро дорад.

Агар ду хати рост хамчоя бошанд, онхо нуктахои бешумори умумй доранд, баъзан ин гуна хатхои ростро хамон як хати рост мехисобанд.

17

Аксиома, таьриф, теорема ва исботДар геометрия мафхумхои нукта, хати рост ва хамворй

мафхумхои одитарин хисоб мешаванд. Мафхумхои одитаринро таъриф намедиханд.

Оё медонед, ки таъриф чист?Таъриф цумла ва ё гурух,и цумла.у>ест, ки барои аник,

кардана ягон мафуум хизмат мекунанд. Агар ба ягон шакли геометрй таъриф дода шавад, бояд таъриф имконият дихад, ки ин шакл аз байни шаклхои дигар чудо карда шавад. Дар таърифи мафхумхо хамон аломат ё хосиятхое зикр карда мешаванд, ки дар дигар мафхумхои маълум мавчуд набошанд.

Масалан, чумлаи «К,исми хати росте, ки аз ду тараф бо нукта махдуд аст, порча номида мешавад» таъриф мебошад. Аломати фарккунанда «ду нуктаи махдудкунанда» мебошад. Нур хам кисми хати рост аст, вале факат як нуктаи махдудкунанда дорад.

Д ар геометрия гайр аз мафхумхои нукта, хати рост ва хамворй, дигар хамаи мафхумхо таъриф дода мешаванд. Муносибати байни мафхумхои одитарин, ки ба шакли тасдикоти маълум кабул карда шудаанд, аксиомахо мебошанд. Ба тарики дигар, аксиома тасдицест, ки исбот карда намешавад. Масалан, тасдики «аз ду нукта факат як хати рост мегузарад» аксиома мебошад. Дар геометрия гайр аз аксиомахо дигар хамаи тасдикот аз нуктаи назари дуруст ва ё нодуруст буданашон исбот карда мешаванд.

Теорема чист?Хосият ё тасдике, ки дурустиаш исботро талаб мекунад,

теорема номида мешавад.Масалан, тасдикй: «агар ду хати рост ба хати рости

сеюм параллел бошад, он гох онхо параллеланд» теорема аст. Хдкикат будани ин тасдик исботро талаб мекунад.

Исбог чист? Мух1окимароние, ки барои к,абул ё рад кардани ягон тасдик, лозим аст, исбот ном дорад.

Дар мавзуъхои оянда шумо бо таъриф, теорема ва исботхои гуногуншинос хохед шуд.

18

§2. АКСИОМАМ ПАРАЛЛЕЛИИ ХАТХОИ РОСТ

Аз нуктаи берунаи хати рост ба хати рости додашуда чанд хати рости параллел гузаронидан мумкин аст? Ин савол то Евклид, дар давраи хаёти у ва то замони зиндагии олими рус И. И. Лобачевский дикдати ахли илмро чалб карда буд. Мувофики акидаи Евклид:

Аз нуктаи беруни хати рост ба хати рости додашуда факат якто хати рости параллел гузаронидан мумкин аст.

. __________________ Ь___

А а

Расми 20 (а)

Евклид ин тасдикро хамчун аксиомаи (постулати) панчуми китобаш кабул карда буд. Ин тасдик дар замони хозира аксиомаи параллелии хатхои рост ном дорад.

Дар замони Евклид ва такрибан 2000 сол пас аз он олимони гуногун ба монанди: Ламберт, Лежандр, Саккери аз Аврупо, Умари Хайём, Насриддини Туей аз Осиёи Миёна ва дигарон кушиш кардаанд, ки ин постулатро хамчун теорема исбот кунанд. Мутаассифона, ба хато рох доданд. Ба хар хол кушишхои онхо барабас нарафт, ин кушишхо боиси тараккиёти минбаъдаи илми геометрия гардид. Танхо ба олими рус Н.И. Лобачевский муяссар гашт, ки ба саволи дар боло гузошташуда чавоби сахех дихад. Н.И Лобачевский исбот кард, ки дар доираи геометрияи евклидй постулати панчумро хамчун теорема исбот кардан гайриимкон аст. (Аз руйи фахмиши геометрияи евклидй аз нуктаи беруни хати рост ба хати рости додашуда факат якто хати рости параллел мегузарад).

Мутаассифона хамворие, ки Евклид дар назар дошт, дар амал вучуд надорад. Агар тасаввур кунем, ки сатхи Замин хамвор аст, аз сабаби курашакл будани Замин хамворй аз хамвории Евклид фарк мекунад.

Н. И. Лобачевский геометрияи наверо кашф намуд, ки дар он аз нуктаи беруни хати рост, ба хати рости додашуда зиёда аз як хати рости параллел гузаронидан мумкин буд.

19

Агар хати ростро дар сатх,и Замин гузаронем, аз сабаби курашаклии Замин он каме хамида менамояд. Аз ин ру, баъзан хатхои рости аз нуктаи А гузаранда, ба хати рости додашуда то андозае наздик шуда, пас онро набурида дур мешаванд.

Дар чунин геометрияе, ки онро Н. И. Лобачевский «хаёлй» номида буд, постулати панчуми Евклид дойр ба хатхои рости параллел чой надорад. Бо хамин кашфи худ Н. И. Лобачевский дар геометрия табадцулоти бузурге ба вучуд овард. Ин кашф номи Н. И. Лобачевскийро машхур кард.

§ 3. ХОЛ А ГИ НОЙГИРШАВИИ НУРХО

Ду нур дар яке аз холатхои дар расми 21 тасвирёфта вокеъ мебошанд:

d

Раем к 20 (б)

а с1) Ь 2) d

Нурх,ои а ва b \амсамт. Нурх;ои с ва d мукрбилсамт.

3) А В С 4) В А 0 С

Нурх̂ ои АС ва ВС х̂ амсамт. Нурх о̂и О В ва АС мукрбил­самт.

Нурх;ои а ва Ь гуногунсамту буранда.

Нурх;ои с ва d гуногунсамту набуранда.

20

оНурх̂ ои О А ва О В гуногунсамту Hypx.au О А ва ОВ пургой ибтидои умумидошта мебошанд. муцобилсамти дорой ибти-

Аз расми 21 маълум аст, ки ду нур метавонанд хамсамт, гуногунсамт ва мукобилсамт бошанд. Ду нури мукобилсамти дорой ибтидои умумй нурхо и пуркунандаи якдигаранд.

Маълум аст, ки хати рост хамвориро ба ду нимхамворй чудо мекунад. Агар сархади нимхамворихо хати рости р буда, ду нури хамсамт аз нуктахои хати рости р ибтидо гиранд, онхо дар як нимхамворй мехобанд. Ба тарики дигар нурхои хамсамт хамеша дар як нимхамворй мехобанд, ки сархади он хати рости аз ибтидои онхо гузаранда мебошад.

Агар ду нур аз сархади нимхамворихо ибтидо ёфта мукобилсамт бошанд, дар нимхамворихои гуногун мехобанд.

дои умумй мебошанд, онх;о- ро нурхои пуркунанда мено- манд.

Расми 21

Расми 22

Р

Расми 23

21

МАСЪАЛАХО

1) Ба расми 24 нигаред ва муайян кунед. ки кадом нурхо: а) хам сам т; б) м ук,обилсам т; в) гу н о гу н сам т; г) сархади ним хдмвориро буранда; г) хам дигарро буранда; д) пуркунандаи якди гар м ебош анд.

Расми 242) Ду нури АВ ва CD хамсамтанд. Агар онхоро то хати

рост пурра намоем, хатхои рост чй тавр чойгир мешаванд?3) Ду нури АВ ва CD-и муцобилсамт кашед, ин нурхоро то

хати рост пурра намоед. Хатхои рости хосилшуда чй гунаанд?4) Нурхои M N ва РК-ро тарзе кашед, ки самти гуногун

дошта бошад. Онхо дар чй гуна хатхои рост чойгиранд?5) Дар хати рости а, чор нуктаи А, В, С, D,-po гузоред.

а) Хдмаи нурхои ибтидояшон ин нуктахоро нависед; б) Кадом нурхо хамсамт, мукобилсамт ва гуногунсамт мебошанд? г) Чанд порча хосил шуд?

6) Ду нуре созед, ки: а) дорой як нуктаи умумй бошанд;б) дорой як порчаи умумй бошанд; в) дорой як нури умумй бошанд.

Дар хотир доред:Агар ду нук,та ба нурхои пуркунанда тааллук, дошта

бошанд, он гох, ибтидои умумии нурх о̂ дар байни ин и у к, max; о мехобад. Агар х;ар ду нук,та ба як нур тааллук, дошта бошанд, он гох, ибтидои нур дар байни нук,тах,о намехобад(Расми 25)

А О В

О А В•--------- а----------

Расми 25

22

7). Нур ва порча дода шудааст. Х,олатх,ои чойгиршавии порчаро нисбат ба нур муайян намоед.

8). Порча ва хати рост дар хамворие дода шудаанд. Хрлатхои чойгиршавии порчаро нисбат ба хати рост ва нимхамворихо муайян намоед.

9) Дар расми 26 нурхое нишон дода шудаанд, ки самтхои сатхи Заминро муайян мекунанд;а) Нурхои раем чй тавр чойгиранд?б) Кадом нурх,о ба чап, ба рост, ба боло, ба поён равонанд? г) Нурхои ОМ. ON, OP. OK ба кучо равонанд?

§4. ЧЕН КАРДАН И ПОРЧАХО .Тачриба: Дар вараки дафтар ё дар тахтаи синф нуре

кашед. Нугхои паргорро дар масофаи муайян чойгир намоед. Дар ибтидои нур нуктаи О гузоред. Аз нуктаи О ба воситаи паргор нуктахои А, В, С, D, Е-ро тавре нишона кунед, ки масофахои ОА, АВ, ВС, CD, ва DE якхела бошанд. Дар зери нуктахои О, А, В, С, D, Е мувофикан ададхои 0, 1, 2, 3, 4, 5-ро гузоред. Ба саволхои зерин чавоб дихед: а) Порчаи ОВ аз порчаи ОА чанд маротиба калон аст? б) Порчахои ОС, OD, ОЕ аз порчаи ОА чанд маротибагй калонанд?

Дар замонхои кадим одамон барои чен кардани масофах.с ё дарозихо, асбобхои ченкунанда надоштанд. Бинобар ин, аз мукоисаи порчахо истифода мебурданд. Ачдоди мо Зарои чен кардани бар ва дарозихо аз вачаб, ангушт ё кадам истифода мекарданд.

Ба чунин тарзи ченкунй дарозии вачаб, ангушт ё кадам як вохдд кабул карда мешуд. Агар гуем, ки дарозии чуб 10 вачаб аст, ин маънои онро дорад, ки дарозии чуб аз вачаб 10 маротиба калон аст.

Таъриф. Ду порча баробар номида мешаванд, агар .\апгоми нугхои онх;оро болои х,ам гузоштан х,амцоя шаванд.

Ибораи «порчаи АВ баробари порчаи CD» чунин навишта мешавад: АВ = CD

Бигзор ду порчаи АВ ва CD дода шуда бошанд.

шимол

Нануб

Расми 26

23

Барои мукриса кардани порчах,ои АВ ва CD нук/пахри А ва С-ро хрмчря намуда, порчаи CD-po дар нуриАВ цойгирмехунем (расми 27).

1). Агар пук,таи В ба D х;а.нцоя шаванд, порчах;ои АВ ва CD баробаранд (расми 27 а): АВ = CD

2). Агар нуктаи D дар байни нуцтах;ои А ва В цойгир шавад, порчаи АВ канон аз CD ист: АВ > CD (расми 27 б).

3). Агар нуктаи В дар байни нук,тах;ои А ва D цойгир шавад, порчаи АВт порчаи CDхурд аст: АВ < CD (расми 27в)

А В А В А В

С£ -- Ч С

----------------щ

Dш—.... —- ----шс

А в А

--в

D В

ш---------- ——-

А ВАВ = CD D AB>CD АВ <CD

а) б) в)

D—в

D

Расми 27

4). Агар ибтидои нур ва ягон нуги порчаи додшиударо \амцоя кунем, нуги дигари порча дар нур фацат як нщпшро муайян мекунад.

Аз мисоле, ки шумо мушохида намудед, дарозии порчаи ОА як вохид буд. Дар он чо, порчаи ОВ=2-ОА = 2 вохид, ОС=

3 0А=3 вохид, OD=4-OA=4 вохид, 0Е=5 0А=5 вохид. Дар хамин

мисол порчаи ОЕ=5 вохид ва OA=AB=BC=CD=DE=l вохид мебошанд. Дарозии порчаи ОЕ ба суммаи дарозии кисмхои ОА, АВ, ВС, CD, DE баробар аст. К,исмдои порчаи ОЕ нуктахои дохилии умумй надоранд (ба расми 28 нигаред).

A B C D Е0 1 2 3 4 5

Расми 28

Дарозии порча чунин таъриф дода мешавад:Дарозии порча адади мусбатест, ки се шарти зеринро

каноат мекунад: 1. Агар порча ба кисмхое чудо шуда бошад, ки нуктахои дохилии умумй надошта бошанд, он

24

гох, дарозии порча ба суммаи дарозихои кисмхояшон баробар аст. 2. Порчахои баробар дарозии баробар доранд.3. Дарозии порчаи вохидй ба як вохид баробар мебошад.

Дар натичди гачрибахо бисёр одамон ба хулосае омаданд, ки вохидхои дарозиро доимй кабул намоянд. Вохидй байналхалкии дарозй 1 метр (1 м) кабул карда шудааст, ки он такрибан ба аз 40000000 як хиссаи меридианаи Замин (1/40000000) баробар аст. Ин эталон дар шакли милаи металй аст, ки дарозиаш 1 м буда, дар холати 0!1С нигох дошта мешавад. Он дар шахри Париж (пойтахги Фаронса) махфуз аст. Нусхаи чунин эталон дар дигар мамлакатхо низ вучуд дорад.

Барои чен кардани дарозихо ва масофахо аз дигар вохидхо. ки дар мукоиса бо метр тартиб дода шудаанд, истифода мебаранд.

Масофаи байни нуктахои А ва В маънои дарозии порчаи АВ-ро дорад.

Барои мукоисаи порчахо аз муносибатхои зерин истифода мебаранд:

1) Порчахои АВ ва CD баробаранд; AB=CD,2) Порчахои АВ аз порчаи CD калон аст; АВ > CD3) Порчаи АВ аз порчаи CD хурд аст; АВ < CD4) Порчаи АВ калон ё баробари порчаи CD аст; АВ > CD5) Порчаи АВ хурд ё баробари CD аст; АВ < CD6) П орчаи АВ аз порчаи CD к-маротиба калон аст; АВ = k-CD7) Порчаи АВ аз порчаи CD к-маротиба хурд аст; AB=CD /к8) Порчаи АВ аз CD а вохид калон аст; AB=CD+ а

Дар хо! tip доред:

1см=0,01м 1дм=0,1м 1мм=0,001м 1км=1000м=103м. 1мил= 1,852км.

1м=100см. 1м=10дм 1м=1000мм 1дм=10см 1 см= 10мм

1дм=100мм=102мм 1 км= 10000дм= 104дм1 км=100000см=105см1 км=1000000мм=106мм

25

9) Порчаи АВ ва CD b вохид хурд аст; AB=CD-b10) Фарки порчахои АВ ва CD; AB-CD

Агар гуем, ки нуктахои А, В, С дар як хати рост мехобанд, он гох яке аз шартхои зерин ичро мешавад:

1. АВ=АС+СВ.Бо тарикд дигар, нуктаи С дар байни нуктахои А ва В мехобад.

2. АС=АВ+ВСНуктаи В дар байни нуктаи А ва С мехобад.

3. ВС=ВА+АС.Нуктаи А дар байни нуктахои В ва С мехобад.

м N к о м р

к М N Р о м

N----ф--- К—•—

м М Р оРасми 29

Барой чен кардани масофа ва дарозй, аз хаткашаки таксимотдор (чадвал), рулетка, штакгенсеркул, планчуб, спидометр, микрометр ва гайра истифода мебаранд.

Диктанти зеринро аз руйи расмхо ичро намоед1. Расми 29-ро дар дафтаратон кашида, дар зери хар

кадом аввал ба воситаи ишорахои харфй, сипас ба восигаи шархи чумлагй мавкеи чойгиршавии нуктахоро дар нур ва хати рост нависед.

Аз расми 29 истифода бурда, бо ишорахои харфй ва чумлахо муносибатхои мукоисавии порчахои M N ва NK, KN ва MN, ОМ ва ОР-ро нависед.

2. Расми 30-ро дар дафтаратон кашида, дарозии порчаи ОЕ-ро 1 вохид кабул карда, дарозии порчахои ОА, OB. ОК, ОМ, ON, MN, АС, ВС, CD, DN, KM ва KN-po муайян кунед. Дар раем хамагй чанд порча хает? Кадом порча аз хама калон аст?

Онро бо чанд тарз ба намуди суммаи порчахои дигар назиштан мумкин аст?

26

о Е А В С D М N К. ш------- ш----------9-------- в------------ *-----—— а---------- ф------— *-

Расми 30

3. Агар дарозии порча бо ададхои касрй ифода шуда бошад, онро чй тавр месозанд?

Миеол.1) Агар порчаи АВ=3,5 см бошад, мо аввал бо хаткашак порчаи Зсм-ро кашида, дар давомаш 5мм-ро чойгир мекунонем, яъне Ав=3,5см=3см 5мм:

Шумо порчахои АВ=5,Зсм, C D = 4 .8 cm в а МР=0,7 см-ро созед.

2) А гар порчаи А В = 4 -см бошад, аввал мо порчаи 42 2см-ро кашида, пас ~см= - -10 мм = 4 мм-ро дар давомаш

мегузорем.Шумо порчах,ои зеринро бо хаткашак кашед: а) АВ 8 - см, CD =-см, РК=5 - см, МЕ=3-сл<

4 5 2 53) Агар порчаи ОВ=2 4 ОЕ бошад, аввал мо порчаи

вохидии ОЕ-ро мекашем. сипас порчаи ба 2 ОЕ баробарро4 2кашида, дар давомаш порчаи 0,4 О Е=-- ОЕ^ - ОЕ-ро мекашем,

яъне ОВ=2-ОЕ+1 ОЕ

Ба таври дигар кашидани 0,4 ОЕ: порчаи ОЕ-ро ба дах кисми баробар чудо карда, аз он 4 кисмашро мегирад.

Шумо порчахои зеринро кашед:

а) ОМ=0,6 0Е; б) ОК=3,7-ОЕ; в) ОР = 8,5-ОЕ

г) 0С=7,8 0Е; д) ОА=2,8-ОЕ

<2 ОЕ

2,4 ОЕ

Расми 31

27

1). Ба мо 3,6 дм; 4,5 м; 3,2 км дода шудааст. Талаб карда мешавад, ки онхоро бо см-хо ифода кунем:3,6 дм=3,6 ■ 10см=36 см; 3.2км=3,2 ■ 1000м=3200м = 3200 ■ ■100см = 320000см; 4,5м=4,5 • 100см=450см.

Шумо 4,7 дм. 6,3м ва 9,4 км-ро бо см-хо ифода кунед.2). Агар 450 дм, 45 дм, 4,7 дм, 8,3 м ва 6 см дода шуда

бошад. онхоро ин тавр бо км-хо ифода мекунем: 45 дм = (45:10)м=4,5м=(4,5:1000)км=0.0045км

450 дм=(450:10)м=45м=(45:1000)км=0,045 км.4.7 дм=(4,7:10)м=0.00047 км.8,3м=(8,3:1000)км=0,0083км: 6см=(6:10)дм=0,6 дм =(0,6:10)м=0,06м=0.00006кмШ умо 370 дм; 48 дм; 0.6 дм; 780 м; 9.4м; 820 см;

15000 см; 4 см ва 5мм-ро бо км-хо ифода кунед.7

3) Агар 6 -м м дода шуда бошад, онро ин тавр бо км8

ифода кардан мумкин аст: 1 км=1000 м= 10000 см, пас;, 7 55 1 55 11

О - М М = — ----------------К М = --------------- К М = --------------- КМ.8 8 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0

Шумо 5 -мм, 8 - дм, 9 - м, 450мм, 4 - м , 9 — см-ро бо км-хо7 3 5 8 10

ифода кунед.

САВОЛХО БАРОН СА1ЩИШ

1. Кадом мафхумхои геометриро таъриф додан шарт нест? Евклид дар бораи онхо чй гуфта буд?2. Евклид кист ва кадом китобро навиштааст?3. Калимаи геометрия чй маъно дорад?4. Геометрия аз чанд кием иборат аст?5. Аз ду нукта чанд хати рост мегузарад?6. Ду хати рост чанд холати ч,ойгиршавй доранд?7. Чй гуна хатхои ростро параллел меноманд? Онхоро дар

кучо дидан мумкин аст?8. Чй гуна хатхои рост бурандаанд?9. Хати рост хамвориро ба чанд кием чудо мекунад ва хар

як кисмаш чй ном дорад?

Суиоришх,о барон кори мустакил

28

10. Нур чист? Хднгоми тасвир нурро аз хати рост чй тавр фарк мекунанд?

11. Нурхо чанд холати чойгиршавй доранд? Х,амаи холатхоро тасвир намоед?

12. Порча чист? Намудхои ишораи порча чй гунаанд?13. Н. И. Лобачевский кй буд?14. Аз ачдоди гузаштаи мо, кихо дойр ба геометрия асархо

эчод кардаанд?15. Вохидхои дарозй, кадоманд ва кадомаш эталони

дарозй мебошад?16. Шумо дар бораи хат чй медонед, хатхо чанд намуд доранд?17. Сатх чист? Дойр ба сатх мисол оваред.18. Ду порча чанд холати чойгиршавй доранд? Онхоро

тасвир намоед.19. Дарозиро ба воситаи кадом асбобхо чен менамоянд?20. Хосиятхои асосии дарозй кадомхоянд?21. Аксиома чист?22. Теорема ва исбот чист?23. Таъриф чи гуна мулохиза (чумла) аст?24. Шумо кадом шаклхои геометриро медонед?25. Агар як нукта дар байни ду нуктаи дигар вокеъ бошад,

онро чй тавр тасвир менамоянд?

МАСЬАЛАХО1. Дар хамворй 4 нуктаи А, В, С, D-po интихоб кунед. Аз

ин нуктахо чанд хати рост мегузарад? Чанд порчахо хосил мешаванд, ки нугхояшон хамин нуктахо бошанд.

Хал:Пеш аз хама холатхои чойгиршавии нуктахоро муайян

мекунем.1) Чор нуктаи А, В, С, D метавонанд хамчоя шаванд, он

гох онхо як нуктаро тасвир мекунанд. Аз нукта хати рости микдораш бешумор мегузарад ва ягон порча хосил намешавад.

2) Чор нукта метавонад сетогй: а) А, В, С дар як хати рост ва D берун аз он; б) А, С, D дар як хати рост, В берун аз он;в) В, A, D дар як хати рост, С берун аз он хобад. Хдмагй 4 хати рост ва 6 порча хосил мешавад.

29

Расми 32

1) Аз чор нукта хеч кадом аз сетоаш дар хати рост намехобад. Дар ин холат 6 хати рост ва 6-порча хосил мешавад.

4) Х,ар чор нукта метавонанд, дар як хати рост хобанд. Дар ин холат як хати рост ва 6 порча хосил мешавад.

А В С D—-----•------- •------- •-------«г----------

Расми 34

Чавоб: Аз 4 нукта ё як, ё чор, ё шаш, ё бешумор хатхои рост мегузаранд. Аз 4-нукта (агар хамчоя нашаванд) 6 порчахои АВ, AD, АС, ВС, ва CD тартиб додан мумкин аст.

Оё мо масъаларо пурра хал кардем. Ба фикри шумо боз кадом холатхои дигар чой доштанаш мумкин аст?

Агар шумо халли масъаларо фахмида бошед, онро барои мавридхои зерин ичро намоед:

а) барои 3-нукта; б) барои 5-нукта; в) барои 6- нукта;г) барои 10-нук'га.

2. Д ар хамворй: а) се хати рост; б) чор хати рост; в) панч хати рост; г) дах хати ростро бо тарзхои гуногун кашед. Онхо дар чанд нукта хамдигарро мебуранд?

3. Хати рости а ва се нуктахои А, В, С, дода шудаанд. Нуктахо нисбат ба ин хати рост дар кадом нимхамворихо чойгир мешаванд? Кадом порчахо хати ростро мебуранд?

(Хдмчояшавии нуктахоро ба эътибор нагиред).\а л Х,олатх,ои зерин имконпазир аст.

1). Нуктахои А, В, С дар як хати рости а мехобанд.

В

Расми 35

Се порчаи АВ, ВС, АС хосил мешавад. Х,ар се порчахо дар сархади нимхамворихо мехобанд. Х,ар се порча дар хати рост чойгиранд.

2). Ду нукта дар хати рости а ва яктоаш берун аз он мехобад.

к . .в)

Расми 36

Як нукта дар нимхамворй ва дутоаш дар сархади нимхамворихо мехобанд. Се порчаи АВ, АС, СВ хосил мешавад.

Як порча дар хати рости а чойгир аст. Дутоаш бо хати рости а яктогй нуктаи умумй доранд.

3). Як нукта дар хати рости а ва дутоаш дар як нимхамворй мехобанд.

а)

в

6)Расми 37

в)

Се порча хосил мешавад, хар сеаш дар як нимхамворй хобида ду порча ба хати рости а нуктаи умумй доранд.

4). Як нукта дар хати рости а ва дутой дигараш дар нимхамворихо гуногун мехобанд.

31

Се порча хосил мешавад. Яктоаш хати рости а-ро бурида, дутоаш бо ин хати рост нуги умумй доранд.

5) Х,ар се нукта дар як нимхамворй мехобанд.

Се порча хосил мешавад, ки хеч кадомашон хати ростро намебуранд.

Ба фикри шумо боз кадом холат носанчида монд, он холатро ёбед ва расмхои мувофикро кашед.

4. Хати рости а-ро дар хамворй созед. Тасаввур кунед, ки ин рохи мошингард бошад; а) чор; б) панч бино сохтан лозим аст. Хдр ду биноро рохи пиёдагард пайваст мекунад. Як тарафи рохро чап, дигарашро рост хисобед. Кадом вакт рохи пиёдагарди байни бинохо бо рохи мошингард бурида мешавад? Дар кадом холат рохи пиёдагард ба рохи мошингард параллел шуда метавонад?

5. Дар канори рохи мошингард: а) панч; б) чор; в) шаш симчуб шинонидаанд. Чанд порчаи сими ин симчубхоро пайвасткунанда лозим аст? (Х,ар порчаи сим факат ду симчубро пайваст мекунад). Агар симчубхо ранги гуногун дошта бошанд, он гох онхо бо чанд тарз чойгир мешаванд? Дар хар холат кадом симчуб дар байн мехобад?

6 Канорхои дарё параллел мебошанд. Дар ду канори дарё:а) се, б) чор; в) панч; г) шаш дарахтро ба чанд тарз шинондан мумкин аст? Агар хар ду дарахтро бо сим пайваст кунем, чанд порчаи сим лозим аст?

7. Хати рости р хамвориро ба ду нимхамворй чудо мекунад. Чор нурро, ки ибтидояшон дар хати рости р вокеъ аст, барои холатхои гуногун тадкик намоед. Дар кадом холат нурхо хамсамт, гуногунсамт, мукобилсамт ва пуркунандаи якдигар мешаванд?

в

аРасми 39

32

Хал: 1) Х,ар чор нур дар хати ростир мехобанд.Р А В С D М р

Нурхои AM, ВМ. СМ, ва DM хамсамтанд. Х,еч кадомашон мукобилсамт ва пуркунанда нестанд.

м а __ в N р

Расми 41Нурхои AM ва AN мукобилсамт ва пуркунанда, нурхои

ВМ ва BN мукобил ва пуркунанда. нурхои AM ва BN мукобилсамт мебошанд.

2). Се нур дар хати рости р ва яктояш дар нимхамворие хобида, ибтидояш дар хати рости р чойгир аст.

м___р

B C D

Расми 42

Нури AN нисбат ба нурхои ВМ, СМ ва DM гуногунсамт буда, нурхои ВМ. CM, DM хамсамтанд.

Расми 43

4). Нурхои AN ва ВМ ё хамсамт ё гуногунсамт, нурхои СК ва DK метавонанд хамсамг бошанд. Нури AN бо СК, нури ВМ ва DK гуногунсамт мебошад. (расми 43)

5). Нурхои AN, ВМ ва СК дар як нимхамворй, нури D F дар хати рости р мехобад.

Нурхои AN, ВМ ва СК метавонанд хамсамт бошанд. Баьзан дутоаш хамсамт шуда метавонанд. Нурхои AN, ВМ. СК бо нури DF гуногунсамтанд. (расми 44)6) Х,ар чор нур дар як нимхамворй мехобанд. ■

Р_А В С D

Расми 45Нурхо бо тарзхои гуногун хамсамт ё гуногунсамт

мебошанд.Дар ин чо кисми хал нишон дода шудааст. Шумо халро

давом дихед ва ба охир расонед.8) Се нурро дар хамворй дар холатхое созед, ки дар хати

рости р нахобанд. Дар кадом холат: 1) онхо дар як нимхамворй мехобанд. 2) нурхо ба хати рости р нуктаи умумй доранд, агар хеч кадоми онхо хамчоя нашаванд?

9. Нуктахои А, В, С, D. дар хамворй мехобанд. Агар АВ=3 см, ВС=4 см, CD=5 см. АС=7 см бошанд, дар кадом холат хар чор нукта дар як хати рост мехобад?

Х,ал: Нуктахои А, В, С дар як хати рост мехобанд, зеро АС=АВ+ВС мебошад, АВ+ВС=Зсм+4см=7см=АС. Барой он ки нуктаи D дар ин хати рост хобад, бояд A B + B C + C D = 3 cm+ 4 cm+ 5 cm= 1 2 cm бошад.

А В С D----------т-------«------ щ------ в----------

Расми 46

10. Масъалаи болоро барои мавриди чор нури ибтидояшон дар хати рости р набуда хал кунед.

11. Дар кадом холат се нуктаи А, В, С дар як хати рост мехобанд ва кадомаш дар байни дутой дигараш мехобад, агар:

а). АВ=5см, ВС=2см, АС=7см; б) АВ=4,Здм, ВС= 1,7дм, АС=6см; в) АВ=10см, ВС=Зсм, АС=7см; г) АВ=6мм, ВС=8см, АС^б мм бошад?

12. Чор нуктаро ихтиёрй дар як хати рост кайд кунед.

34

Нуктахоро бо тартиби А, В, С, D гиред. М асоф ахои АВ. ВС, CD -po бо хаткаш ак чен кунед. Д урустии баробарихои зер и н р о сан чед : а). А С = В С +А В ; б). BD =BC+CD ; в). AD=AB+BC+CD; г). AD=AB+BD: д). AD=AC+CD.

13. Ч ор нуктаро тарзе гузоред, ки дар як хати рост нахобанд. П орчахои АВ, ВС, CD , АС ва BD-po чен карда, дурустии нобаробарихои зеринро санчед:a) AD<AC+CD; б) AD<AB+BC+CD; в) BD<BC+CD;г) AD<AC+CD.

14. Агар порчаи A D = 2 cm бошад, порчахои зеринро созед: а) АВ=2 AD, б). AC=3AD, в). A M =8A D , г) AE=2,5AD

15. Порчаи AD=20cm аст. Порчахои зеринро созед: AB=-AD, АС = -AD, AM = - AD.

2 5 516. Порчаи M N=10cm аст. Порчахои зеринро созед:

МА=0.4 MN; МВ=1,5 MN; МС=0,8 MN.17. Масофаи байни шахрхои Душанбе ва Кулоб 200 км

аст. Ин масофаро аввал ба м, баъд бо дм, сипас бо см ва дар охир бо мм ифода кунед.

18. Порчаи АВ=12 см ва ВС=5 см аст. Порчахои АВ+ВС ва АВ-ВС-ро созед.

Х,ал:

< ---------12 см------- ^ < —— 5см —^ —7 см- >!<■■■5 см

А M B С

Расми 47

Ба расми 47 нигаред АС=АВ+ВС=12см+5см= 17см.АМ=АВ-ВС= АВ -ВМ= 12см-5см=7см.

19. Порчахои АВ ва ВС дода шудаанд. Порчахои АВ+ВС, АВ-ВС, 2(АВ+ВС), З(АВ-ВС), | (АВ+ВС), 25(АВ-ВС)-ро созед, агар:

а) АВ=2см. ВС=4см. б) АВ=4см, ВС=Зсм.в) АВ=5см, ВС=Зсм. г) АВ= ~ дм. ВС= ^ дм бошад.

35

ФАСЛИ IIКУНЧХО ВА ЧЕН КАРДАНИ КУНЧХО

§1.к у н ч

1. Мафхуми кунч. Шумо ба гушахои дафтар, миз, фарши хона, ду рохи росте, ки аз як истгох мебароянд, нигаред. Агар онхоро хаттй тасвир кунем, яке аз шаклхои расми 48-ро доранд.

Расми 48

Дар ин расмхо ду нуреро мебинед, ки аз як нукта мебароянд, онхо кунчро ташкил мекунанд.

Таъриф Шакле, ки из ду нури гуногуни нуцтаи ибтидояшон умумй ташкил ёфтааст, куну номида мешавад.

Ибтидои нурхо куллаи кунч, худи нурхо тарафхои кунч мебошанд. Дар расми 49 (а) нуктаи 0 куллаи кунч, нурхои ОА ва ОВ тарафхои кунч мебошанд. Кунчхоро бо се харфи калони алифбои лсггинй, ки харфи мобайнй ишораи куллаи кунч ва ду харфи дигар ишораи тарафхои кунч мебошанд, ишора мекунанд.

Масалан:zAOB-''кунчи АОВ”, zPM K -’’кунчи РМ К”. Баъзан

кунчхоро бо як харф. ки куллаи кунч аст ё бо ду харфи хурде, ки онхо нурхои тарафхои кунч мебошанд, ишорат мекунанд.

Масалан: Z.O, z М ё z. (ab)Кунч, хамвориро ба ду кием ё соха чудо мекунад.

Кунчхоро дар амалия бо ду порчаи симе, ки аз як нукта мебароянд, месозанд. Аксар вакт хангоми аз варак, тахта ё моддаи дигар сохтани кунч кисми хамвории байни нурхоро нигох медоранд. Кунчхои дар расми 48 тасвирёфта ва таърифи дар боло баёншуда барои кунчхои хаттианд.

2. К,исми х;амворие, ки бо ду нури аз як нуцта бароянда мах,дуд аст, кунчц х^амвор ном дорад.

36

Расми 49Агар ягон нур аз куллаи кунч гузашта

дар дохили он хобад, онро нури дохилии кунч мегуянд. Агар ягон порча, ду нуктаи тарафхои гуногуни кунчро пайваст кунад, нури дохилии кунч ин порчаро мебурад. Дар кунчи АОВ нури ОС нури дохилии кунч мебошад, вай порчаи АВ-ро мебурад ва кунчро ба ду кисмхо чудо мекунад (расми 50).

МАСЪАЛАХО.Ба расми 51 нигаред ва ба воситаи ишорахо кунчхоро нависед.

Расми 512. Кунчхои зеринро созед ва харфхои мувофикро гузоред: zM OK. zEO F, zA . zD , z(ab), z(mn).3. Кунчи MAK-po созед ва дар он нури дохилии АС-ро

гузаронед. Кунчхои хосилшударо номбар кунед.4. Кунчи АВС-ро сохта, дар он нурхои дохилии BD ва ВЕ-ро

созед, ишорахоро гузошта кунчхои хосилшударо номбар кунед.

37

5. Дар як нимхамворй аз як нуктаи сархади чор нурро созед, ишорахоро гузошта кунчхои хосил шу даро номбар намоед.

6. Ду хати рости бурандаро кашед. Кунчхои хосилшударо номбар кунед.

§2. k’У ПНИ КУШ ОД МУКОИС А КАРДАНИ К У Н Ч \()

1. Кунчи кушод. Ба расми 52 нигаред. Шумо кунчи AOAi -ро мебинед. Нуктаи О-куллаи кунч, нурхои ОА ва OAi нурхои пуркунандаи якдигар буда, тарафхои кунч мебошанд. Кунчи AOAi кунчи кушод аст.

Aj_____________ ^ _______________ А.О

Расми 52

Таъриф. Кунче, ки тарафхояш нурхои пуркунандаи якдигаранд, кунчи кушод ном дорад.

2. Мукоисаи кунчхо. Дар расми 53 шумо кунчхои АОВ ва Ai Oi Bi-po мебинед.

Расми 53Кунчхоро ин тавр мукоиса мекунанд. Яке аз кунчхоро

аз когаз бурида чудо мекунем. Нури OiAi-po ба нури ОА аз ибтидояшон хамчоя мекунем. Кунчи AiGiBi-po дар нимхамворие, ки кунчи АОВ вокеъ аст, чойгир мекунем. Агар нури OiBi бо нури ОВ хамчоя шавад, кунчхои АОВ ва А 1О 1В 1 низ хамчоя мешаванд.

Таъриф. Д у купце, ки рангами болои .\и.м гузоштап \амчоя мешаванд, кунчхои баробар ном доранд.

Хангом и болои хам гузоштани ду кунчи АОВ ва А 1О 1В1

аввал нурхои ОА ва OiAi хамчоя мекунем, дар ин холат агар:1). нури ОВ ба нури OiBi хамчоя ш авад, он гох

zA O B = z А 1О 1В1 мешавад (расми 54, а).

38

2). нури ОВ нури дохилии кунчи А 1О 1В1 бошад, он гох z AOB<(z. АЮ Ш ^мешавад (расми 54, б).

3). нури OiBi нури дохилии кунчи АОВ бошад. он гох AOB>(z AiOiBi) мешавад (расми 54, в).

3. Градус. Чен кардани кунчхо. Кунчи кушодро ба воситаи гузаронидани нурхои дох или ба 180 хисеаи баробар таксим мекунанд. Дар натича кунче хосил мешавад, ки бузургиаш 1°(як градус) хисоб карда мешавад.

Таъриф. Аз 180 як х,иссаи купцы кушодро як градусменоманд, яъпе 1°— — миссии кунчи кушод мебошад.

Бузургии кунчи кушод ба 180° баробар аст.Барои чен кардани кунчхо гайр аз градус боз аз

дакикахо ва сонияхо низ истифода мебаранд: 1(нк да кика)

1" (як сония) = — •]'= —— *1° ё 1°=60' = 3600".v 7 6 0 3 6 0 0

Миеол: 5°=5*60'=300-60"=18000"

Кунчхои зеринро бо дакика ва сонияхо ифо.тд намоед; 4°; 30°; 60°; 2.5°;

а! б) в)zA O B -z AiOiBi zAOB<(zAiOiBi) zAOB>(zAiOiBi)

Расми 54

Кунчхоро бо ёрии асбобе, ки кунччен- кунак (транспортир) ном дорад, чен мекунанд.

<АОВ=50°< ВОС = 70 <АОС=120° <COD=60°

,оА

Расми 55

39

5. Аксиомам чей кардани кунчхоБа хар як кунч бузургии мусбате мувофкк меояд, ки се

шарти зеринро каноат мекунонад:1). Кунчхои баробар ченаки градусии баробар доранд.2). Агар кунч ба воситаи нурхои дохилй ба кунчхое чудо шуда

бошад, ки нуктахои дохили умумй надошта бошанд, он гох бузургиаш ба суммаи бузургихои градусии кисмхояш баробар аст.

3). Бузургии кунчи кушод ба 180°баробар аст.

1. Кунчи кушодро ба воситаи нурхои дохилй ба се кунч чудо намоед. Ба воситаи кунчченкунак он кунчхоро чен карда, суммаашонро ёбед.

2. Бо ёрии кунчченкунак кунчхои дафтаратонро чен кунед.3. Бо ёрии кунчченкунак кунчхои бузургиашон:20°, 30°,

45°, 90°, 120°. 130°,150°-ро созед.4. Кунчхои дар раем тасвирёфтаро чен кунед (расми 56).

5. Ду хати рости бурандаро созед. Хдр чор кунчи хосилшударо чен кунед, суммаи онхоро ёбед.

6. Бо назардид кунчи кушодро аввал ба ду, сипас ба чор ва баъд ба шаш кисми баробар таксим намоед. Кунчхои хосилшударо чен карда ба хам кукоиса кунед.

7. Ду хати рости параллелро сохта, онхоро бо хати рости сеюм буред. Х,ашт кунчи хосилшударо чен карда бо хам мукоиса намоед.

МАСЪАЛАХО.

D

NB\

ОА

С Е М DРасми 56

§3. НАМУДХОИ КУНЧХО

1. Кунчи рост. Ба расми 57 нигаред. Дар ин раем zAOB ва кунчи кушод и z АОА1 тасвир ёфтаанд. Кунчи АОВ кунчи

В

рост мебошад. Агар онро бо кунчи Ai АО

Расми 57

Таъриф. Нисфи кунци кушодро кунци рост меноманд. Бузургии кунци рост ба 90° баробар аст.

Расми 58 ” v'

Ба кунчи рост дар хаёт вохурдан мумкин аст. Кунчхои сатхи миз, кунчхои варак ва дафтар, кунчхои девори хона ва гайра мисоли кунчхои росганд. Як кунчи кушод ба ду кунчи рост баробар аст. Дар расми 57 zAOAi=zAOB+z.BOAi=90°+90D=180f) аст. Ба тарики дигар, zAOAi=2zAOB - мебошад.

2. Кунчи тез. Кунчхои дар расми 58 тасвирёфтаро мушохида намоед. Ба осонй пай бурдан мумкин аст, ки Z. АОВ аз кунчи рости CKD хурд аст. Кунчи АОВ кунчи тез мебошанд.

Таъриф. Кунце, ки аз кунци рост хурд аст, кунци тез номида мешавад. Бузургии кунци тез аз 00 то 90° мебошад.

Кунчхои бузургиашон 1°, 5°, 20°, 30°, 45°, 60°, 75°, 89°, мисоли кунчхои тез мебошад.

3. Кунчи кунд Ба расми 59 нигаред. Он чо се кунч: яке рост, дигаре кушод ва дар байн кунчи АОВ-ро мебинед. Кунчи АОВ аз кунчи рост калон буда, аз кунчи кушод хурд аст. Z.AOB кунчи кунд мебошанд.

Ы в

Расми 59

Таъриф. Кунче, ки аз кунчи рост калону аз кунчи кушод хурд аст, кунчи кунд ном дорад. Бузургии кунчи кунд аз 90° калону аз 180° хурд аст.

Хдмин тарик, кунчхо 4 намуд доштаанд: кунчи кушод, кунчи рост, кунчи тез ва кунчи кунд.

D

Н

41

МЛСЬЛЛЛХО

1. Аз кунчхои зерин кадомахи тез ва кадомаш кунд аст: 40°; 150°; 127°; 89°: 5°: 36°; 91°; 189°; 112°; 30°: 70п; 120°; ?

2. Бо ёрии хаткашак кунчхои зеринро созед: zA O B - кунчи тез; zC B P-кунчи кунд; zD E P -кунчи кушод.

3. Агар кунчхои АОВ ва ВОС тез бошанд, кунчи zAOB н-zBOC-po чен карда кунчи калокро ёбед.

4. Кунчи кунди АОВ-ро созед. Кунчи ВОС-ро тарзе созед, ки zA O C =zA O B-zBO C шавад. Бо кунчченкунак кунчхоро чен карда, дурустии баробариро санчед.

5. Дар расми 60 якчанд кунч тасвир ёфтаанд. Аз ин кунчхо кадомаш рост, кадомаш кунд ва кадомаш кушод аст.

6. Дар расми 61 якчанд шакли геометрй тасвир ёфтаанд. о Кунчхои хар як шаклро чен карда суммаи онхоро ёбед.

7. Дар хар як шакли расми д761 кунчхои тез рост ва кундро номбар кунед. Расми 60

В______________ с7 V.

>1 rA D

Расми 61

8. Ба расми 62 нигаред. Кунчхои 1. 2, 3. 4, 5 ва 6-ро чен карда бо хам мукоиса намоед. Бузургии z l+ z 2 , z3 4- z4. z5+ z6-po ёбед.

42

Расми 62

Агар нурхои а, Ь, с хамсамт бошанд. онх,о бо хати рости р. ки аз ибтидояшон мегузарад, чй гуна кунчхоро ташки : медиханд?

9. Ба расми 63 нигаред. Суммаи кунчхои 1, 2, 3, 4-ро ба воситаи кунчченкунак

чен карда ёбед. Агар ду хати рост дар як нукта бурида шаванд, чанд кунч хосил мешавад, аз онхо бузургихои кадомашон баробар аст. Суммаи кунчхои хосилшуда ба чанд градус баробар аст?

10. Кунчи 150°-ро созед, онро ба ду кунч чудо кунед, ки яктояш рост ва дигараш тез бошад.

11. Кунчи 75°-ро созед, онро то кунчи 120° пурра намоед.

§4. КУНЧХОИ ХАМ СОЯ В А АМУДЙ (ВЕРТИКАЛИ)

1. Кунчхои хамсоя. Ба расми 64 нигаред. Дар он шумо кунчхои АОВ ва ВОС-ро мебинед. Онхо як тарафи умумии ОВ-ро доранд. Тарафхои ОА ва ОС нурхои пуркунандаи якдигаранд. Хдр дуй ин кунчхо дар якчоягй кунчхои хамсояро ташкил медиханд.

Расми 64 43

1. Таъриф. Д у купце, ки як тарафи умумй дои/та, тарафхои дигарашон нурхои пуркунандаи якдигаранд, кунцх;ои щмсая номида мешаванд.

Теорема. Суммам кунчхои хамсон ба 180° баробар аст.Исбот. Ба расми 64 нигаред.

zA O B +zB O C =zA O C = 180°.Кунчи АОС кунчи кушод буда. кунчхои АОВ ва ВОС

кунчхои хамсояанд.2. Кунчи амудй. Ба расми 65 нигаред. Дар он шумо

кунчхои АОВ ва AiOBi-po мебинед. Х,ар дуй онхо дар якчоягй кунчхои амудй (вертикалй) мебошанд. Тарафхои ОА ва ОВ-и кунчи АОВ, мувофикан нурхои пуркунандаи тарафхои OAi ва OBi-и кунчи AiOBi мебошанд.

Таъриф. Ду кунце, ки тарафхояшон нурхои пуркунандаи якдигаранд, куп цх,ои амудй номида мешаванд.

Дар расми 65 кунчхои ВО А, ва AOBi кунчхои амудй мебошанд. Дар расми 65 хамаи кунчхои бо хам амудиро номбар кунед.

Теорема. Кунц^ои амудй баробаранд.И с б о т. Ба расми 66 нигаред. Дар ин раем кунчхои а ва

/? амудй буда, Z.2 ба хар кадоми онхо хамсоя мебошад: а+<2=180° ва <2+ /?=180°. Аз ин чо а+ < 2= < 2+ /? ё а = /?.

4. Биссектрисаи кунч. Ба расми 67 нигаред; дар он zAOC ва нури ОВ-ро мебинед. Нури ОВ аз куллаи кунч баромада, кунчи АОС-ро ба ду кунчхои баробар чудо намудааст. Нури ОВ барои /-АОС биссектриса мебошад.

44

Таъриф. Hype, ки аз Kyjmau куну баромада онро ба ду кисни баробар пищат мекунад, биссектрисаи кунч. ном дорад.

zAOB=zBOC= a zAOC=zAOB+zBQC=2 а

МАСЪАЛАРО1. Яке аз кунчх,ои хамсоя 30° аст. Кунчи дигарро ёбед.Хал: Ба расми 68 нигаред, кунчи х ва 30° кунчхои

хамсояанд: х +30°= 180°, х =150°2. Кунчи а ба: 120°: 40°; 80°; 100°; 1°; 175°; баробар аст.

Кунчи х ба а хамсоя аст. Кунчи х-ро ёбед.3. Кунчхои х ва у амудианд. А гар кунчи х дорой

кдматгои 50°. 60°, 70° 120° бошад. киматхои кунчи у-ро ёбед.4. Кунчи а рост ва кунчи /? ба а хамсоя аст, Расми

мувофикро кашед ва кунчи /? -ро ёбед.5. Кунчхои а ва /3 хамсояанд. Агар кунчи а кунд бошад,

/? чй гуна аст?6. Кунчхои а ва /? хамсояанд. Кунчи в кунчи тез аст, а чй

гуна кунч, аст?7. Ба расми 69 нигаред. Нуралй z(ab) ва z(bc)-po хамсоя

гшндошт. Оё Нуралй хак аст? Дар зери хар раем дуруст ё но ду руст будани онро нависед.

Расми 698. Оё кунчхои зерин хамсояанд: а) 40° ва 50°; б) 60°; ва 120°;

в) 1«; ва 179°; г) 91° ва 89°; д) 150° ва 120°; е) 130° ва 140°?9. Кунчи АОВ ба 80° баробар аст.

Нури ОС биссектрисаи ин кунч аст. zAOC-po ёбед.

Х,ал: Ба расми 70 нигаред. <АОВ=80°,< АОС =.*<АОС=- ■< АОВ = - ■ 80°=40°

2 2

Ч̂ авоб: 40°

45

10. Дар кунчхои АОВ. СМК, DEP биссектрисахо созед, агар: zAOB=120°, zCM K=90°, < DEP =180° ва zDAB=60° бошад. Биссектрисахо кунчхоро ба ду кисми хар кадомашон /? чудо мекунанд. К,имати /?-ро ёбед.

11. Ду кунчи хдмсоя кашед. Дар хар кадом биссектриса гузаронед. Биссектрисахо кадом кунчро ташкил менамоянд?

12. Се хати рост дар нуктаи 0 хамдигарро мебуранд. Ба кунчхои хосилшуда ракам гузоред. Кунчхои амудиро номбар кунед. Кадом кунчхо хамсояанд? Х,амагй чанд кунчи гайрикушод хосил шуд?

13. Масъалаи 12-ро барои чор хати рост хал кунед.14. Агар а ва Ъ хатхои рости параллел ва с бурандаи

онхо бошад, хамагй чанд кунч хосил мешавад? Кунчхоро ракам гузоред. Кунчхои хамсоя. амудй ва баробарро нишон дихед.

15. Кунчи кушод кашед. Биссектрисаи онро созед. Дар хар кунчи хосилшуда боз биссектриса гузаронед. Хдмагй чанд кунч хосил шуд? Бузургии хар кунч ба чанд градус баробар аст? Кадом кунчхо хамсояанд?

Нишондод: Нурхои хосилшударо бо харфхои а,Ь,с ва Faiipa ишора намоед.

§5. КУНЧХОИ ТАРАФХОЯШОН ХАМСАМТ КУНЧХОИ ЧИЛЛИКИ ВА ЯКТАРАФА

АЛОМАТХОИ ПАРАЛЛЕЛИИ ХАТХОИ РОСТ

1. Кунчхои чилликй ва яктарафа. Ба расми 71 нигаред. Ду хати рости а ва b-ро хати рости с мебурад. Дар буриш шумо кунчхои 1.2,3.4.5,6.7 ва 8-ро мебинед. Кунчи 1 ва кунчи 3, кунчи 2 ва кунчи 4 кунчхои чилликии дохилй. z l ва z4, z2 ва z3 кунчхои яктарафаи дохилй. z l ва z5, z2 ва z 6. z3 ва z7, z4 ва z8 кунчхои мувофик ном доранд.

46

Расми 71

Теорема. Агар а IIЪ ва с бурандаи онхо бошад, он го.\:а) Кунчхои чилликии дохилй баробаранд: z /= z i, z2=z4;б) Суммаи кунчхои жтарафан дохилй ба 18(Р баробар аст:£1+ а 4--а 2+£3=180°;в) Кунчхои мувофик, баробаранд: z /= z 5 , z4 = z ?,

z3= z7 , z 2 = z 6 (расми 71).И с б о т: Куллаи z4-po якчоя ба хати рости b кад-кади

хати рости с кучонда ба куллаи Z8 хамчоя мекунем. Хатхои рости а ва b болои хам меафтанд. Тарафхои дуюми z4 ва z8 хамчоя шуда, як нурро ташкил медиханд. Азбаски Z 4 ва Z8 пурра болои хам афтида хамчоя мешаванд, пас z4= z8 аст.

Расми 72Азбаски z4=z8 буда. z l ва z8 хамсояанд, пас

zl+z4=zl+z8=180°, zl+z4=180° мешавад.Аз тарафи дигар z2=z8 хамчун кунчхои амудй буда,

z4=z8 аст, z2=z4 мешавад.

Супоришхо1). Исбот кунед, ки агар zl+z4=180° бошад, пас а II b

аст (расми 72)2). а II b ва с-бурандаи онхо. Агар кимати як кунче, ки

дар буриш хосил мешавад ба 30° баробар бошад, бузургии7 кунчи дигарро ёбед.

47

Х,ал: Ба расми 72 нигаред. Бигзор z8=30° бошад. z6=z4=z2=z8=30°, зеро z6 ва z4, z2 ва zS -амудй буда, z2 ва z4 чилликй мебошанд. Кунчх,ои 8 ва 7 хамсояанд, аз ин ру, z7=180°-300=150° мешавад. Аз тарафи дигар, z5=z3=zl=z7=150° мешавад.

Ч,авоб: чорто кунчи 30° ва чорто кунчи 150°. Шумо масъалаи ба ин монандро дар холати z l =60° будан хал намоед.

2. Кунчхои тарафхояшон хамсамт. Ба расми 73 нигаред. Дар раем ду кунчи АОВ ва А 1О 1В1 кунчхои тарафхояшон хамсамт мебошанд.

Теорема. Кунчхои тарафхояшон хамсамт баробаранд.И с б о т . zA O B=o ва z A iO iB i=<7i ишора мекунем. Аз

куллаи харду кунч (О ва Oi) хати рости р-ро мегузаронем (расми 73).

Расми 73

zl=z3 ва z2=z4 аст, чунки онхо кунчхои мувофиканд.zl+a+z2=180° ва z3+ai+z4=180°. Аз ин чо:z l+ a+z2=z3+ai +z4 ва а = ai ё zAOB=zAiOiBi

Теорема. Кунц^ое, ки тарафхояшон мукрбилсамтанд, баробар мебошанд.

48

И с б о т . Азбаски дар расми 74 нурхои ОА ва Oi Ai, ОВ ва OiBi мукобилсамтанд, кунчх,ои АОВ ва AiOiBi кунчхои тарафхояшон мукобилсамт мебошанд. Тарафхои кунчи AiOiBi-po ба хати рост табдил до да, кунчи ба он амудии А2О 1В2-РО хосил мекунем. ZA2O 1B2 ва = zAOB тарафхои хамсамт доранд. Аз ин ру, онхо баробаранд. zA 0B =zA 20iB 2 ва z Ai0jBi=zA20iB2 пас zA O B =:z А 1О 1В2

МАСЪАЛАРО1. а II b ва с бурандаи онхо мебошад. Суммаи ду кунчи

хосилшуда 180° аст. Хдмаи кунчхои хосилшударо ёбед.2. Хатхои рости а ва Ь-ро хати рости с мебурад (расми

75). Агар а=/? бошад, исбот кунед, ки а II b аст.3. Нурхои АВ ва А 1В1 бо хати рости р кунчхои 30°-ро ташкил

медиханд. Исбот кунед, ки нурхои АВ ва А 1В1 ё хдмсамт, ё мукобилсамтанд (А ва А) дар хати рости р мехобанд).

4. Агар нурхои а ва b хамсамт буда, хати рости р аз ибтидои онхо гузарад, исбот кунед, ки онхо бо ин хати рост кунчхои баробарро ташкил медиханд.

5. Ба расми 76 нигаред. Маълум аст, ки АВ || DC ва AD || ВС мебошад. Исбот кунед, ки zl+ z2+z3+z4= 360° аст.

49

6. Дар расми 77 секунчаи ABC тасвир шудааст. Хати рости р||АВ аст. Исбот кунед, ки я+/?+у= 180° аст.

Расми 777. Се хати рости а, Ь, с параллеланд. Хати рости р онхоро

мебурад. Дар буриш 12-то кунч хосил мешавад. Агар яке аз кунчхо 50° бошад, 11-то кунчи бокимондаро ёбед.

8. Аз нуктаи A -и беруни хати рости а хати рости ба он параллелро созед. Хангоми сохтан аз кунчченкунак ва хаткашак истифода баред.

Хал.1). Хати рости а ва берун аз он нуктаи А-ро месозем.2). Аз нуктаи А хати рости буррандаи АВ-ро нисбат ба а

месозем. В нуктаи бурриш аст.3). Кунчи байни АВ ва хати рости «-ро чен мекунем.4). Аз нуктаи А кунчи ба он баробарро месозем, ки

тарафаш нури АВ бошад.5). Тарафи дар хати рости А В нахобидаро ба хати рост

табдил медихем.

§6. ХА ГХОИ РОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1. Мафхуми хатхои рости перпендикуляр. Дар расми 78 хатхои рости буррандаи а ва b тасвир ёфтаанд. Чорто кунчи 1,2, 3 ва 4 хосил шудаанд. Хар чори онхо, кунчхои ростанд, яъне z l= z 2 = z 3 = z 4 = 9 0 °мебошад.

Расми 78 a l b50

Хатхои рости а ва b бо хам перпендикуляранд.Таърнф: Д у хати росте, ки дар бурриш кунцх1ои ростро

х;осил мекунанд, хатхои рости бо х;ам перпендикуляр номида мешаванд.

Агар а ба b перпендикуляр бошад, инро чунин менависанд: a l b .

Тегахои миз, ки аз як кулла мебароянд, тегахои аз як кулла барояндаи дафтар. тегахои девор ва хатхое, ки дар фарши хона чойгиранд ва аз як кулла мебароянд, мисоли хатхои рости перпендикуляр мебошанд. Порчахое, ки як нуги умумй доранду кунчи ростро ташкил медиханд, перпендикуляр мебошанд. (расми 79)

В *D

АВ1АС ABIC D

В

А-

с

£

сРасми 79

ABIC D D

Порча ба_хати рост перпендикуляр аст, агар бо хати рост як нуктаи умумй дошта, бо он кунчи ростро ташкил кунад (расми 80)

А

ВАВ±я

.М аCD1 а МР±«

D , РРасми 80

Ду нур перпендикуляранд, агар онхо нукгаи умумй дошта, кунчи ростро ташкил намоянд (расми 81)

д ! h b я ! h b

a l bа) Расми 81

51

Супориш: Шумо холатхои перпендикулярии нур ва хати рост, порча ва нурро тасвир намуда, онхоро шарх дихед. Ба фшсри шумо тарафхои кадом кунч бо хам перпендикуляранд?

2. Баъзе хосиятхои перпендикулярии хатхои рост.Теорема. Агар ду хати рости а ва Ь ба хати рости сеюм с

перпендикуляр бошад, он гол; онх;о параллеланд. (Агар а 1с ва b lc , он гох> а||Ь).

а 1са b

OL

b lc

Расми 82

Исбот: Ба расми 82 нигаред. a le буда z l = 90° аст, b lc буда, z2 = 90° мебошад. Аз ин чо z l = z2 = 90° буда, а || Ь мебошад.

Теорема Аз нуктаи A-и беруш хати рости а ба ин хати рост факит ж хати рости перпендикулярро гузаронидан мумкин аст.

И с б о т. Ба расми 83 нигаред. Аз нуктаи А хати рости буррандаро тарзе месозем, ки бо а кунчи ростро ташкил дихад. онро ба b ишорат мекунем. О-нуктаи бурриш. Фарз мекунем. ки боз ягон хати рости с аз нуктаи А гузашта ба а перпендикуляр аст. Нуктаи бурриш В аст. Азбаски c la пас z2=90° аст. Аз тарафи дигар zl=z2=90°-po хосил кардем, ки онхо кунчхои мувофиканд. Азбаски zl= z2 аст, бинобар ин, бояд b lc бошад, вале хатхои рости параллел хамдигарро намебуранд. Азбаски b ва с дар нуктаи А мебуранд, фарзи мо дар бораи аз нуктаи А гузаштани ду хатхои рости ба а перпендикуляр нодуруст аст.

в/1

/___ . а

С А

Расми 84

52

Яъне, аз як нукта ба хати рост факат як перпендикуляр гузаронидан мумкин аст.

Супориш. Шумо нуктаи А-ро дар хати рости а интихоб карда, исбот кунед, ки аз он хам як хати рости а перпендикуляр мегузарад.

3. Перпендикуляр ва моил. Барои сохтани порчахо ва хатхои рости перпендикуляр аз асбобе, ки кунчи рост дорад, истифода мебаранд.

Шумо дар расми 84 порчаеро мебинед, ки як нугаш дар хати рости а буда, ба он перпендикуляр аст: A B it/ Порчаи АВ-ба хати рости а перпендикуляр мебошад. Нуктаи А асоси перпендикуляр аст. Порчаи ВС хам бо хати рости а нуги умумии С-ро дорад, аммо порчаи ВС ба хати рости а моил аст. Нуктаи С-асоси моил мебошад. Порчаи АС (асоси перпендикуляр то асоси моил) проексияи моил дар хати рости а мебошад. Ба расми 85 нигаред. Аз нуктаи М ба хати рости а як перпендикуляр ва якчанд моилхо гузаронида шудааст. Аз ин чо хулоса мебарояд, ки аз як нуктаи беруни хати рост ба он як перпендикуляр ва микдори бешумори моилхоро гузаронидан мумкин аст.

м

А В О С D

Расми 85

Расми 86

53

МАСЪАЛАХО

1. Дар расми 86 перпендикуляр ва моилхои тасвиршударо номбар кунед.

2. Ба воситаи секунчаи накшакашй: а) аз нуктаи А-и хати рости а; б) аз нуктаи М-и берунаи хати рости а перпендикуляр гузаронед.

3. Кадом хатхои рости дар раем 87 буда бо хамдигар перпендикуляранд?

с/

Расми 87

4. Кадом порчахо ба нуриа перпендикуляранд? (расми 88).

N.

Е , и

DМ а

А*

В± С*Расми 88

5. Аз нуктаи М ба хати рости а перпендикуляр ва моил гузаронед. Бо хаткашак дарозии перпендикуляр ва моилро чен карда онхоро мукоиса намоед.

• 6. Дар расми 89 кадом шаклхо кисмхои перпендикуляр доранд?

7 . Г . U . H . 1 . Z

Расми 89

54

с

1 а

2 ь

Расми 90

7. Дар расми 90 хатхои рости а ва b хати рости с-ро буридаанд. Агар z l= z2 = 9 0 ° бошад, он гох а ва с. b ва с , а ва b чй гуна чойгиранд?

8. Суммаи чор кунчи дафтаратон ба чанд градус б а роб ар аст?

9. Порчахои заринро кашед: A B 1BC1C D 1D E1EM . Кадом порчахо дар хатхои рости пареллел мехобанд?

10. Ба расми 91 нигаред, агар zl=30°, /.2=60° бошад, суммаи кунчхои / . ] , Z.2. /.3-ро ёбед.

Расми 9111* а || b ва с|| d буда, a le аст. Исбот кунед. ки bid мебошад.

1. Кунч чист?2. Намудхои кунч кадомхоянд?3. Кунчхои хамсояро таъриф дихед.4. Теоремаро дар бораи кунчхои хамсоя баён намоед.5. Таърифи кунчи ростро баён карда, чунин кунчро кашед.6. Кунчи кунд чист?7. Кунчи тезро кашед ва онро таъриф дихед.8. Кунчи амудй чист?9. Теорма дар бораи кунчхои амудиро баён кунед.

\ Г /

CABOJIX.O БАРОИ САННИШ

55

10. Кунчх,ои чилликй ва яктарафаро таъриф дихед ва онхоро созед.

11. Ду кунче кашед ки тарафхояшон мукобилсамт бошанд12. Хатхои рости перпендикулярро таъриф дихед.13. Як хати рост кашед ва ба он порча, нур ва хати

рости перпендикуляр гузаронед.14. Хатхои перпендикуляр ва моилро созед.15. Теоремаро дар бораи кунчхои тарафхояшон хамсамт

баён кунед.16. Теоремаро дар бораи ду хати рости ба хати рости

сеюм перпендикуляр исбот кунед.17. Биссектрисаи кунчро таъриф дихед.18. Кадом нур кунчро ба ду кисми баробар таксим мекунад?19. Як градус чист?20. Кадом кунчхоро баробар меноманд?21. 1201 чанд градус аст?22. Ду хати рост хдмдигарро мебурранд ва дар бурршд хдр чор

кунчхои хосилшуда баробаранд. Ин хатхои рост чй гуна хдстанд?23. Ду хати рости параллел. хати рости сеюмро буридаанд.Яке аз кунчхои хосилшуда рост аст. Кунчхои дигар чанд

градусй мебошанд?24. Аз як нукта ба хати рост ду нури перпендикуляр

гузаронида шудааст. Нукта нисбат ба хати рост дар кучо мехобад? Нурхои сохташуда чй гуна чойгиранд?

МАСЪАЛАХО1. Кунчхои хамсояро ёбед, агар бузургии градусии онхо

хамчун 3:7 нисбат дошта бошад.Х,ал: Кунчхои х ва у хамсояанд. Мувофики шарти

масъала х:у=3:7 (расмми 92). Аз ин чо х=(3/7)у. Аз тарафи дигар. х+у=180°, бинобар ин, (3/7)у+у=180°, 10у=7Т80°,

у=7Т8°=126°, х=ЗТ8=54°. Ч а в о б : 54° ва 126°.

2. Агар кунчхои хамсоя хамчун: 2:3; 11:25; 22:23 нисбат дошта бошанд, бузургии градусии онхоро ёбед.

3. Яке аз кунчхои хамсоя аз дигараш 30° калон аст.Бузургии градусии онхоро ёбед.4. Яке аз кунчи хамсоя аз дигараш 3 маротиба калон аст.Бузургии градусии онхоро ёбед.

56

5. Кунч ба чанд градус баробар аст, агар суммаи ду кунчи ба он хамсоя ба 120° баробар бошад.

6. Ду хати рост хдмдигарро мебурранд. Яке аз кунчхои дар бурриш хосилшуда 30° аст. Бузургии се кунчи дигарро ёбед.

7. Бузургии хар кадом кунчро ёбед, агар суммаи се кунчи дар бурриши ду хати рост хосипшуда 210° бошад.

/

Z Z z -V

Расми 92 Расми 938. Бузургии кунчро ёбед, агар биссектриса бо яке

тарафхо кунчи: а) 50°; б) 60°; в) 40°-ро ташкил дихед.9. Исбот кунед, ки биссектрисахои кунчхои хамсоя

перпендикуляранд.11. Суммаи ду кунчи амудй ба 130° баробар аст.

Бузургии хар кадоми онхоро ёбед.12. Аз куллаи кунчи кушод се нури а , Ь, с мебароянд.

Чор кунчи хосилшуда хамчун 1:2:3:4 нисбат доранд. Бузургии хар як кунчро ёбед.

Х,ал. Бо х кунчеро. ки бузургиаш ба як хисса баробар аст, ишора мекунем (расми 93), он гох, z l= x , z.2=2x. z3=3x ва z.4=4x мебошад. Аз тарафи дигар. zl+z.2+z.3+z4=180°, х+2х+3х+4х=180°: 10х=180°; х=18°. z l = 18°, z2=2 -18°=36°. z3=3-18°=540, z4=4-18°=72°.

Чавоб: 18°, 36°, 54°, 72°.13. М асъалаи 12-ро барои ду нур ва хамчун 3:7:8 нисбат

доштани кунчхои хосилшуда, хал кунед.14. Ду хати рости параллел, бо хати рости сеюм, бурида

мешаванд. Фарки ду кунчи хосилшуда 80° аст. Бузургии 8 кунчи хосилшударо ёбед.

15. Аз хати рост дар нимхамворихои гуногун ду кунчи ABC ва BCD кашида шудаанд. Агар нуктахои В ва С дар хати рост хобида, нурхои АВ ва CD мукобилсамт бошанд, исбот кунед, ки zA B C =zB C D аст.

57

16. Аз нуктаи М ба хаги рости р перпендикуляри МО ва моили МА-ро гузарониданд (расми 94). Агар z l = 130° бошад, zM O A +zM A O -po ёбед.

М

17. Аз нуктаи М ва К ба хати рости р моилхои МА ва КА-ро гузарониданд. Маълум аст, ки М А1КА. Агар моилхо бо хати рост кунчхои баробарро ташкил диханд, бузургии ин кунчхоро ёбед.

18. Аз нуктаи М ва К ба хати рости р моилхои МА||КАл- ро гузарониданд. Исбот кунед, ки моилхо бо хати рост кунчхои баробарро ташкил медиханд.

19. Хатхои рости а ва h параллеланд. Аз нуктахои А ва В-и хати рости а ба хати рости b перпендикулярхои AAi ва BBi-po гузарониданд, Исбот кунед, ки AAi || BBi мебошад.

20. Хатхои рости и ва b пераплел буда, нуктахои К ва М дар хати рост b мехобанд. Аз ин нуктахо ба хати рости а моитхри МА за КВ гузаронида шудаанд. Агар МА|КВ бошад. исбот кунед. ки онхо бо хати рости b кунчхои баробарро ташкш мекунанд.

21. Исбот кунед. ки кунчхои тарафхояшон мувофикан перпендикуляр, баробаранд.

22. Исбот кунед, ки агар а , Ь, с хатхои рост буда, a lb ва b lc бошанд, он гох сг||с аст.

23. Исбот кунед, ки агар а, Ь, с хатхои рост буда, a lb b lc ва c ld бошанд, он гох a id ва b id аст.

24. Дар расми 95 хатхои рости параллели а ва b хатхои рости пераллели с ва d-po мебуранд. Агар кунчи а ба 120° баробар бошад, кунчи /?-ро ёбед.

25. Дар расми масъалаи 24 агар а-/?=80° бошад, кунчхои а ва /?-ро ёбед.

РРасми 94

Расми 9558

ФАСЛИ IIIСЕКУНЧДХО

§1. СЕКУННА. СУММАИ КУНЧХОИ СЕКУНДА

I. Мафхуми секунча. Дар хамворй се нуктаи А. В ва С- ро нишона кунед. Нуктахо метавонанд дар як хати рост хобанд ва метавонанд дар як хати рост нахобанд. Агар се нуктаи дар як хати рост нахобандаро ба воситаи порчахо пайваст кунем. секунча хосил мешавад.

в

ь

Расми 96

Таьриф. С е к у н ц а шакли геометрис мебошад, ки аз се нуктаи дар як хати рост нахобапда ва порчах^ои онхоро цуфт-цуфт пайвасткунанда иборат аст.

Дар расми 96 секунчаи ABC тасвир ёфтааст. Ибораи «секунчаи АВС»-ро ин тавр менависанд: ДАВС. Нуктахои А. В. С куллахо ва гюрчахои АВ, ВС, АС тарафхои секунча мебошанд. Секунча се кунчи zA , z В ва zC-po дорад. Дар секунча тарафхоро баъзан бо харфхои а, Ь, с ишора мекунанд.

Дар ин холат тарафхо, бо харфи хурди ишораи кунчи мукобппи онхо ишора карда мешаванд. яъне СВ=я, АВ=с, АС=Ь

Дар секунча кунчхоро ин тавр ишора менамоянд: zA =zB A C =a, zB=zABC=/? ва z C = z A СВ=у.Таъри(|). Дар секунца суммаи тарафхоро периметр

меноманд: р — АВ+ВС+ 4С =а+ Ь+с

2. Суммаи кунчхои секунча Теорема: Суммаи кунцх^ои секунча ба 180° баробар аст.Исбот. Ба расми 97 нигаред. Бонд сг+/?+у= 180° бошад.

Азбаски АВ||р аст, кунчи а ва z l ; кунчи /? ва z2 кунчхои59

чилликии дохилианд. Аз тарафи дигар z l+ y+z2=180° аст. Инак a+/?+y=zl+z.2+y=180°; яъне а + /? + у =180°

Мксол: 1) Оё секунчае вучуд дорад. ки кунчхояш 30°, 100° ва 40° бошад.

Хал. а=30°, /?=Ю0°. у = 40°, а+/?+у=300+1000+40°=1700 170°<180°, пас чунин секунча вучуд надорад. Шумо вучуд доштан ё надоштаии секунчаро барои мавриди: 1) 30°. 100°. 50°. 2) 1°, 89°. 90°. 3) 400,100°. 40°; 4) 120°. 20°. 40° санчед.

2) Дар секунча а =30°, /? =40° мебошад. Кунчи сеюм -ро ёбед. Хал. а+(3+у= 180°, 180° -(«+/?)= 180°-(300+400)= 110°

НавоГ*: 110°.

3. Намудхон секунчаА) Ба расми 98 нигаред, дар он секунчае тасвир ёфтааст,

ки <А=55 , <В=45 , <С=80° мебошад. Маълум аст, ки хар се кунч тез мебошанд.

Таъриф, Секунчае, ки х.ар се кунчаш тез аст, секунчаи тезкунца ном дорад.

Дар расми 99 секунчае тасвир ёфтааст, ки факат як кунчаш рост аст, ду кунчи дигараш (Z.A ва Z.B) тез мебошанд.

Таъриф. Секунчае, ки як кунчи рост дорад, секупчаи росткунча номида мешавад.

Дар секунчаи росткунча тарафи мукобили кунчи рост хобида гипотенуза ном дорад; тарафхое, ки кунчи ростро ташкил менамоянд, катетхо номида мешаванд.

Теорема. Дар секунчаи росткунча суммаи ду кунчи тез ба 90п баробар аст.

60

Расми 99 Расми 100

Исбот. Ба расми 99 нигаред, zC=90°, ZA ва ZB тез. Азбаски zA+zB+zC=180° мебошад, пас zA+zB=180°- ZC= 180°-90°=90°; zA+zB=90° мешавад.

Супоришхо

Дар секунча z C -рост ва zA , zB тезанд. Яке аз кунчхои тезро ёбед, агар: 1) zA=30°; 2) zB=70°; 3) zA=85°;4) zB=40°; 5) zA=80°; 6) zB=55° бошад.

Б)Ба расми 100 нигаред, zA=120°-KyH 4H кунд. zB=40°- тез, zC =20°-T e3. Ин секунча факат як кунчи кунд дорад.

Таъриф. Секунцае, ки як кунцаш кунд аст, секунцаи кундкунца номида мешавад.

СупорипщоАз руйи кунчхои додашуда намуди секунчаро муайян кунед1) zA=10°, zB=70°, zC=100°2) zA=60°, zB=90°, zC=30°3) ZA=70°, zB=80°, zC=30°4) zA=130°, zB=20° zC=30°5) zA=60°, ZB=70°, zC=50°6) zA=zB=84°, zC=12°В) Ба расми 101 нигаред. Дар он секунчае тасвир ёфтааст,

ки хар се тарафхояш баробаранд: АВ=ВС=АС=а.Таъриф. Секунцае, ки х,ар се тарафхояш баробаранд,

секунцаи баробартараф ном дорад.

61

Расми 101с

Расми 102

Баъзан секунчаи баробартарафро секунчаи мунтазам мегуянд.

Г) Ба расми 102 нигаред. Шумо секунчаеро мебинед, ки ду тарафк баробар дорад: АС=ВС=а

Таъриф. Секунцае, ки ду тарафи баробар дорад, секунцаи баробарпах;лу номида мешавад.

Дар секунчаи баробарпахлуи ABC АС=ВС=йг-пахлухо ва АВ=с-асос ном дорад. zC -po кунчи назди кулла мегуянд.

F) Ба расми 103 нигаред. Секунчае тасвир ёфтааст, ки тарафхои баробар надорад, яъне аф Ь^с

Таъриф. Секунцае, ки тарафхои баробар надорад, секунцаи гуногунтараф номида мешавад.

Инак шумо ба шаш намуди секунчахо шинос шудед. Секунчахо аз руйи бузургии кунчхояшон ба се намуд ва аз руйи дарозии мукоисавии тарафхояшон ба се намуд чудо мешудаанд: секунчахои тезкунча, росткунча, кундкунча ва секунчахои баробартараф, баробарпахлу, гуногунтараф.

М ашк. Агар дар секунча дарозии тарафхо маълум бошанд, намуди секунчаро муайян кунед: 1) я=4см, Ь=5см, с=8см 2) о=7см, Ь=7см, с=7см 3) я=30м, Ь=40м, с=30м 4) АВ=5дм, ВС=10 дм, АС=12дм 5) АВ=4,5см, ВС=6,5см, АС=9 см 6) АВ=18мм, ВС=13 мм. АС=24 мм.

4. Кунчи берунии секунча. Ба расми 104 нигаред. Дар он z l ба /.а хамсоя мебошад.

Таъриф Купце, ки ба кунци дохилии секунца х;амсоя аст, кунци берунии секунца ном дорад.

Дар расми 104 кунчи 1 кунчи берунии секунча аст.Теоремаи 1. Суммаи кунчхои берунии секунча, ки дар

хар кулла яктогй гирифта шудаанд, ба 360° баробар аст.Исбот. Дар расми 105 бояд zl+z2+z3=360° бошад. Ба

мо маълум аст, ки а+/?+у=180°, z l ба а , z2 ба /?, z3 ба у62

хамсояанд. аз ин но z.l+o=180°, z2+/?=180°, z3+y=180°. Хар се баробарихоро чамъ мекунем:

В ' В

АРасми 104

bРасми 103

(z l+ z2+ z3 ) +(а+(3+у)=540° (zl+z2+z3)+180°=540°,zl+z2+z3=540°-180°=360°.

Инак, zl+z2+z3=360°.Теорема 2. Кунци берунии секунца, 6а суммаи ду кунци

дарунни ба он х,амсоя набуда баробар аст.Исбот. Ба расми 105 нигаред. Бояд z l= /?+ y бошад. Ба

мо маълум аст. ки 1 ва а х д м с о я а н д , аз ин ру zl+r/=180°, z l = 180°-tf. Аз тарафи дигар, a + f t+ y - 180°, /?+у=180°-я Хамин тарик z l= /?+y .Машк. 1) Георемаи 2-ро барои кунчхои 2 ва 3 исбот намоед.

2) Дар секунчаи росткунча яке аз кунчхои берунй 150° аст.Кунчхои тези секунчаро ёбед.3) Оё кунчи берунии секунча ба 180° баробар шуда

метавонад?4) Кунчи дохилии секунчаи баробарпахду ба 30° баробар аст.Хамаи кунчхои дохилй ва беруниро ёбед.

МАСЪАЛАХО

1. Дар расми 106 чандто секунча мавчуд аст? Онхоро номбар кунед.

2. Секунчаи кундкунчаи СРК-ро кашед, кунчхо ва тарафхои онро номбар кунед. Бо ёрии кунчченкунак ва

63

хаткашак муайян кунед, ки мукобили кунчи калон кадом тараф мехобад.

Расми 1063. Кунчхои секунча хамчун 2:3:5 нисбат доранд.

Бузургии кунчхои секунчаро ёбед.4. Исбот кунед, ки секунча ду кунчи рост надорад.5. Исбот кунед, ки секунча ду кунчи кунд надорад.6. Исбот кунед, ки секунча як кунчи рост ва як кунчи

кунд надорад.7. Дар расми 107 zA=30° ва zB=40° аст. Агар AiBi ||АВ

бошад, кунчхои секунчаи AiBiC-po ёбед.8. Агар дар секунча zA+z.B=90° бошад, вай чй гуна

секунча аст?9. Дар секунчаи росткунча яке аз кунчхои тез аз

дигараш 20° калон аст. Кунчхои секунчаро ёбед.10. Дар секунчаи ABC zA=z.B=z.C мебошад. Кунчхои

секунча чанд градусианд?12. Агар д=4 см, Ь=5 см, ва с=8 см бошад, периметри

секунчаро ёбед.13. Агар дар секунча а< Ь<с бошад, вай чй гуна секунча аст?14. Периметри "секунчаи баробарпахлу 54 см аст. Агар

тарафхои секунча чун 2:2:5 нисбат дошта бошанд, ин тарафхоро ёбед.

15. Дар секунчаи баробартараф периметр ба 60 м баробар аст. Тарафхои секунчаро ёбед.

16. ДА ВС баробарпахлу мебошад. Агар тарафи АВ аз ВС 20см дароз буда, периметри секунча 100 см бошад, тарафхои секунчаро ёбед.

17. Агар ду кунчи секунча ба 30° ва 80° баробар бошанд, кунчхои берунии секунчаро ёбед.

18. Дар секунча кунчи берунй аз кунчи дохилии ба он хамсоя набуда 2 маротиба калон аст. Агар кунчхои ба ин кунч хамсоя набудаи секунча баробар бошанд, кунчхои секунчаро ёбед.

19. Биссектрисаи кунчи берунии секунча бо тараф и секунча кунчи 30°-ро таш ки л м едихад . А гар ф арки ду кунчи секун ча, ки ба та р а ф и ВС ч асп и д аан д

64

Расми 107

А

С

Расми 108

20° бошад, кунчхои секунчаро ёбед (биесектрисаро аз куллаи А гузаронед).

20. Кунчхои шакли дар расми 108 тасвирёфтаро ёбед, агар AB||DC, AD||BC буда, AABD се кунчи баробарро дошта бошад.

§2. АЛОМАТХОИ БА РО БА РИ И СЕк'УНЧДХО

I . Таьрифи баробарии секунчахоДар расми 109 ду секунчаи ABC ва А 1В1С 1 тасвир

ёфтаанд. Дар ин секунчахо тарафхо ва кунчхои мувофик бо хам баробаранд:

AB=AiBi, BC=BiCi, AC=AiCi,. z A =zA i, z.B=z.Bi, zC = zC i

с

Расми109

Таъриф. Д у секунца баробар номида мешаванд, агар тарифно ва кунцх;ои мувофикц баробар дошта бошанд.

АгарАВ—А1В1 zA -zA i AB=AiBi ва zB=zBi AC=AiCi zC=zCi

бошад, он гох Д АВС=Д А 1В1С1 мешавад.

Мисол. 1. Ду секунчаи ABC ва А 1В1С 1 баробаранд. Агар АВ=4см, BiCi=5cm, АС=7см ва zA=60° zB=40°- zC=80° бошад, кисмхои номаълуми хар ду секунчаро ёбед.

Хал. Аз баробарии секунчахои ABC ва А 1В 1С 1

бармеояд, ки

zA i=zA =60°, zAi=60°AiBi=AB=4 см, AiBi=4 см,ВС= BiC i=5cm. ВС=5см ва zB=zBi=40°, <В=40°.A iC i=AC=7cm. A iC i=7cm; z C = z C i=80°, < C i=80°.2. Дар холати AABC=AAiBiCi, zA=50°. AB=10m.

zB=60°, АС=20м будан. тарафхо ва кунчхои AAiBiCi-po ёбед.

2. Аломати якуми баробарии секунчахоТеорема. Агар ду тараф ва кунци дар байни ин тарифно

хобидаи як секунца мувофицан ба ду тариф ва кунци дар байни ин тарифно хобидаи секунцаи дигар баробар бошанд, он гох, ин секунцах;о баробаранд.

AB=AiB,бошад, он гох AABC=AAiBiCi мешавад.Агар AC=AiCi

zA=zAiсбот. Ду секунчаи ABC ва A iB iC i-po месозем

(расми 110).

Тарафхои секунчаи AiBiCi-po ба нурхои AiCi ва AiBi табдил медихем. Кунчи А-ро бо кунчи А| хамчоя мекунем.

66

Азбаски zA =zA i= tf аст, нури АС ба AiCi ва нури АВ ба AiBi хамчоя мешавад. Бигзор нуктахои В ва С вазъияти нуктахои В2 ва С2-ро иинол намоянд. он гох ДА)В2С2=ААВС мешавад. Аз AC=AiCi ва A C=AiC 2 бармеояд. ки A iCi=A iC 2 буда, нуктахои Ci ва С 2 болои хам меафтанд. Аз AB=AiBi ва AB=AiB 2 бармеояд, ки AiBi=AiB 2 буда, нуктахои Bi ва В2 хамчоя мешаванд. Азбаски нуктахои Ai, В2, С2 ,- аз ДА1В2С2 мебошанд. Аз баробарии AAiBiCi=AAiB2C 2 ва AABC=AAiB2C2 хулоса бароварда навиштан мумкин аст: AABC=AAiBiCi

Масъала. Секунчахои ABC ва А 1В1С 1 секунчахои росткунча буда, катетхои мувофикан баробар доранд. Исбот кунед, ки онхо баробаранд (расми 111)

Исбот: Бигзор zC =zC i=90° AC=AiCi, BC=BiCi бошад. Тасдик кардан лозим аст. ки AABC=AAiBiCi. Аз шарти масъала хулоса мебарояд, ки ду тараф ва кунчи дар байни ин тарафхо хобидаи хдр ду секунча мувофикан баробаранд.

Аз ин ру, AABC=AAiBiCi аст.Натича. Д у секунцаи росткунца баробаранд, агар

катетхои мувофикан баробар дошта бошанд.

3. Алома гхои дуюми баробарии секунчахоТеорема. Агар як тараф ва ду кунци ба ин тараф

часпидаи як се купца мувофикан ба як тараф ва ду кунци ба ин пшраф часпидаи секунцаи дигар баробар бошанд, он гох, ин секунцах,о баробаранд.

Маълум. ДАВС ва ДА1В1С 1, AB=AiBi, zA = zA i =а, zB =zB i =/?

Матлуб. AABC=AAiBiCi (расми 112).Исбот. Порчаи AiBi-po ба хати рост табдил дода,

хамвориро ба ду нимхамворй чудо мекунем. Азбаски

Расми 111

67

AB=AiBi аст, мо онхоро хамчоя карда, ДАВС-ро дар нимхамвории ДА1В1С2 чойгир мекуионем ва бигзор холати AAiBiCa-po ишгол намояд. zA i= zA 2- а пас нури А 1С2 бо нури ACi хамчоя мешавад. zB i= zB 2=/?, аз ин 4 0 мебарояд, ки нури В1С2 бо нури В1С 1 хамчоя мешавад. Нуктаи С2, ки бурриши нурхои А 1С2 ва В1С2 буд, ба нуктаи Ci-и бурриши нурхои А 1С2

ва В1С 1 хамчоя хохад шуд. Аз ин 4 0 AAiBiC^AAiBiC? мебошад. Аз баробархои A A B C-A A iB iC i^A iB iC i бармеояд. ки AABC=AAiBiCi мебошад.

Масъала. Ду секунчаи росткунча яктогй катет ва кунчи тези мувофикдн баробар доранд. Исбот кунед, ки ин секунчахо баробаранд.

Расми 113Исбот. Бигзор ДАВС ва ДА1В1С 1 секунчахои росткунча

буда. zC=zCi=90°, AC=AiCi=b, zA =zA i=a бошанд (расми 113). Исбот мекунем, ки AABC=AAiBiCi мебошад. Ба тарафи A C,zA ва zC, ба тарафи А 1С 1, zA ва zC 1 часпидаанд, аз ин ру, AABC=AAiBiCi мебошад.

Натича. Ду секунчаи росткунча баробаранд, агар онхо катет ва яктогй кунчи тези баробар дошта бошанд..

Масъала. Исбот кунед, ки агар ду секунчаи росткунча гипотенуза ва яктогй кунчи тези баробар дошта бошанд, онхо баробаранд.

Исбот. Дода шудааст: ДАВС ва ДА1В1С 1, zC=zCi=90°, AB=AiBi ва A=zAi=a. Исбог мекунем, ки AABC=AAiBiCi аст.

Маълум аст, ки zA+zB=90°, a+zB=90°, zB=90°, zB=90°- a Аз тарафи дигар zAi+zBi=90°, а + zBi=90°, zBi=90°-tf

68

Аз ин ру, zB = zB i дар секунчахои ЛВС ва А 1В1С 1 яктогй тарафхои AB=AiBi маълуманд. Аз ин ру, AABC=AAiBiCi.

Натича. Д у секунцаи росткунцае, ки гипотенуза ва кунцх;ои теш мувофикан баробар доранд, бо хам баробаранд.

МАСЬАЛАХО

1. Ду порчахои АВ ва CD дар нуктаи О хамдигарро бурида ба ду хиссаи баробар таксим мешаванд. Исбот кунед, ки AAOC=ABOD мебошад.

2. Дар масъалаи 1 исбот кунед, ки AC||BD аст.3. Дар масъалаи 1 исбот кунед, ки ACOB=AAOD мебошад.4. Дар масъалаи 1 исбот кунед, ки AD||CB аст.5. Дар масъалаи 1 агар АВ=10 см бошад, BD-po ёбед.6. Дар байни нуктахои М ва Р (расми 114) монеае мавчуд

асг Агар ОР~ОРь ОМ=ОМ| ва M iP i=400m бошанд, масофаи МР-ро ёбед

7. Дар расми 115 секунчахои ABC ва ABCi тарафи умумии АВ-ро доранд. Агар zCAB=zCiBA=« бошад, исбот кунед, ки AABC=ACiBA мебошад.

8. Ду секунчаи МОР ва MiOPi куллаи умумии О-ро доранд. Агар OP=OPi буда, z P -z P j бошад, исбот кунед, ки AMOP^AMjOPi (расми 114)

9. Дар секунчаи ABC ва AiBiQ zA=zAi=40°, zB=zB!=50° ва АВ=А1В1 мебошанд. Агар АС=20см бошад, AiCi-po ёбед.

10. Нуктаи М дар тарафи АС ва нуктаи Р дар тарафи ВС

М Р С С,

Расми 114 Расми 115

С

Расми 117 Расми 118

хобида, АМ =ВР ва zM A B=zPBA мебошад. Исбот кунед, ки АР=ВМ аст.

11. Дар расми 116, z l= z 2 ва z3=z4 буда. АС=50 м аст. Масофаи ACi-po ёбед.

12. Дар расми 116 агар СВ=40 м бошад. масофаи BCi-po ёбед.13. Дар расми 117 AB||DC ва AD||BC мебошад. Исбог

кунед, ки AABD=ACDB.14. Дар масъалаи 13 агар дар байни нуктахои D ва С

монеае мавчуд бошаду масофаи АВ ба 200 м баробар бошад, дарозии DC-po ёбед.

15. Секунчахои росткунчаи ABC ва ABCi баробар бошанд, исбот кунед, ки AACB=ABCiA мебошад.

§3. МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА ВА БАЛАНДИИ СЕКУНЧА

1. Ба расми 118 нигаред. Порчаи AM куллаи секунчаро ба миёначойи тарафи мукобил пайваст кардааст.-

Таъриф. Порчае, ки куллаи секунцаро ба миёнацойи тарафи мукобил пайваст мекунад, медианаи секунца номида мешавад.

Агар медиана аз куллаи А гузаронида шуда бошад, онро бо т а ишора мекунанд. Чунин медианахоро аз куллахои В ва С гузаронидан мумкин аст. Х,ар як секунча се медиана дорад: ma, т 3, т с, (расми 119).

2) Ба расми 120 нигаред. Аз куллаи А ба давоми тарафи ВС перпендикуляри АН фароварда шудааст.

Таъриф. Порчае, ки аз куллаи секунца ба тарафи он ё ба давоми тарафи он перпендикуляр фароварда шудааст, баландии секунца пом дорад.

70

вА,В = А,С А,В = BiC

А,С = С,В А

А А ! “ П1а 1 В B i- ш ь

С C C i = ш с

Расми 119Баландии секунчаро, ки аз куллаи А фароварда шудааст, бо

ha ишора мекунанд. Хар як секунда се баландй дорад, онхо мувофикан бо ha, hB, hc, ишора карда мешаванд (расми 120)

3. Таъриф. Порчае, ки куллаи секунцаро ба ягон нуцтаи тарафи мукрбил пайваст карда, кунци секунцаро ба ду щеми баробар пищеим мекунад, биссектрисаи секунца ном дорад.

Хар як секунча се биссектриса дорад. Дар расми 121 порчахои AAt, BBi BaCCi биссектрисахо мебошанд.(расми 121-ро кашед).

Дар расми 122 аз куллаи A-и ДАВС биссектриса, медиана ва баландй гузаронида шудааст. Ин гюрчахо дар баъзе секунчахо якхела буда, дар баъзеи дигарашон аз хдмдигар фарк мекунанд.

1. Секунчаи тезкунчаи МКР-ро кашида дар он медиана, биссектриса ва баландиро аз нуктаи М гузаронед.

2. Секунчаи росткунча кашед, аз се кулла баландихоро гузаронед. Баландихо хамдигарро дар кадом нукта мебуранд?

3. Секунчаи кундкунча кашед ва дар он хар се биссектрисаро гузаронед.

4. Секунчаи ихтиёрй кашида хар се баландии онро гузаронед.Ин баландихоро ба хати рост табдил дихед. Онхо дар чанд

нукта бурида мешаванд95. Секунча кашед ва дар он хар се медианахоро гузаронед.

МАСЪАЛАХО

АН = Ьа CD = hc BE = h b

A A H 1 B C CD 1 A В

С BE 1 AC

Расми 120

71

AAj =laвв,=/йcc,= /f

Расми 121

AH=haAAi=faAM=m„

Расмп 122

Медианахо дар чанд нукта хдмдигарро мебуранд?6. Секунчае кашед. Х,ар се биссектрисаро гузаронед.

Биссектрисахо дар чанд нукта хдмдигарро мебуранд.7. Дар кадом секунча медианахо, баландихо ва биссектрисахои

аз куллаи дилхох гузаронидашуда якхелаанд.8. Исбот кунед ки медианаи секунчаи баробарпахггу, ки ба асос

фароварда шудааст, онро ба ду кисми баробар таксим мекунад.9. Дар расми 123 AM биссектрисаи секунчаи ABC буда,

а= 90° аст. Исбот кунед, ки ДАВМ=ДАСМ мебошад.

Расми 123 Расми 124

10. Исбот кунед, ки дар секунчаи росткунча катети мукобили кунчи 30° ба нисфи гипотенуза баробар аст.

72

Маълум: ДАВС, zC=90°, zA=30° (расми 124).

Матлуб: а = - , ё ВС = —2 ’ 2

Исбот Аз нуктаи С порчаи CBi=CB-po месозем. BBi=2 а мешавад.Аз баробарихои АС=АС, B tC=BC=a бармеояд, ки ААВ[ С=ДАВС буда, AB=ABi=c мебошад

<BiAB=300+30°=600. ДАВВ] секунчаи баробартараф аст.

с АВAB=ABi=BBi, BBi=AB; 2а=с ва а = - яъне ВС= — мебошад.

§ 4 ХОСИЯТХОИ СЕКУНЧАИ БАРОБАРПАХЛУ

Теоремам I Дар секунцаи баробарпахлу кунцх,ои назди асос баробаранд

Исбот. Фарз мекунем, ки ABC секунчаи баробарпахдуи асосаш АС мебошад (расми 125). Исбот кунед, ки дар ин секунча Z-A^ZC аст. Мувофики аломати якуми баробарии секунчах,о секунчаи ВАС ба секунчаи ВСА баробар аст. Дар хдкикат, АВ=ВС, ВС=АВ, zB=zB аст Аз баробарии ин секунчахо бармеояд, ки zA=zC аст. Теорема исбот шуд.

Теоремаи 2.А гар дар секунца ду кунц баробар бошанд, он го.\ вай баробарпахлу аст.

Исбот. Фарз мекунем, ки дар ДАВС кунчхои А ва С ба хамдигар баробаранд. (расми 126). Нишон медихем, ки АВ=ВС аст. Мувофики аломати дуюми баробарии секунчахо секунчаи АСВ ба секунчаи САВ баробар аст. Хдкикатан, АС=СА, zC=zA, zA=zC аст. Аз баробарии секунчахо бармеояд, ки АВ=ВС аст.

Теоремаи 2 ба теоремаи 1 баръакс мебошад.Хулосаи теоремаи 1 шарти теоремаи 2 аст. Шарти теоремаи

1 бошад, хулосаи теоремаи 2 аст. Оянда хангоми омузиши геометрия чандин маротиба чунин теоремахоро мушохида менамоем.

73

Масъала. Исбот кунед, ки дар секунчаи баробартараф дар як кунч ба 60° баробар аст.

В/3.

V в

А < ........ .. А I 12 | ( \

МРасми 125 Расми 126

Маълум: ДАВС-баробартараф, яъне АВ=ВС=АС.Матлуб: zA=zB=zC=60°.Исбот. Азбаски АВ=ВС аст, пас ДАВС-баробарпахлу буда,

zA=zC мебошад. Аз тарафи дигар, АВ=АС, яъне ДВАС баробарпахлу бада, zB=zC мебошад. Аз баробарии zA=zC, zB=zC бармеояд, ки zA=zB=zC аст.

Маълум аст, ки zA+zB+zC=180°, zA=zBzC=x, х+х+х=180°, Зх=180°, х=60° яъне zA=zB=zC=60°

Супориш. Агар дар секунча zA=zB=zC=60° бошад, ин гуна секунча баробартараф аст, инро исбот кунед.

Нагича. Дар секунчаи дилхох мукобили тарафхои баробар кунчхои баробар мехобанд (хосияти баръакс низ чой дорад).

Теоремаи 3. Дар секунцаи баробарпахлу медианаи аз кулла ба асос фаровардашуда биссектриса ва баландии секунца низ мебошад.

Маълум: ДАВС-баробарпахлу, яъне АВ=ВС ва ВМ- медиана (расми 126).

Матлуб; ВМ-биссектриса ВМ-баландйИсбот: Азбаски ВА=ВС, АМ=МС ва zA=zC аст, пас

мувофики аломати якуми баробарии секунчахо ДВАМ=ДВСМ мешавад. Бинобар ин, z3=z4 буда, ВМ биссектрисаи ДАВС аст.

2-zA+2-z3=2-zC+2-z4= 180° ё zA+z3=zC+z4=90° Аз ин чо z l=z2=90° мебошад. Аз ин баробари бармеояд, ки ВМ1 АС аст.

Яъне, ВМ баландии ДАВС мебошад.

74

МАСЪАЛАРО

1. Дар ДАВС, АВ=ВС буда, ВМ биссектриса мебошад. Исбот кунед, ки ВМ медиана ва баландй асг.

2. Дар секунчаи ABC. АВ=ВС буда, ВМ баландй мебошад. Исбот кунед, ки ВМ медиана ва биссектриса аст.3. Дар кадом секунча хдр се баландихо, медианахо ва

биссектриса баробаранд.4. Дар секунчаи баробарпахлу кунчи назди кулла 60° аст. Кунчхои назди асосро ёбед.5. Исбот кунед, ки секунчаи росткунчаи кунчи тезаш ба

45° баробарбуда, секунчаи баробарпахлу мебошад.6. Агар кунчи назди куллаи секунчаи баробарпахлу аз

кунчи назди асос 60° зиёд бошад, кунчхои онро ёбед.

Исбот: Кунче, ки медианахои аз куллахои назди асос гузаронидашудаи секунчаи баробарпахлу баробаранд.

§ 5. АЛОМАТИ СЕЮМИ БАРОБАРИИ СЕКУНЦАХО

Теорема. Агар се тарафи як секунца муиофчкап ба се тарафи секунцаи дигар баробар бошад, он гох; ин секунцах;о баробаранд.

Маълум: ДАВС ва ДА1В1С 1, AB=AiBi, AC=AiCi, BC=BiCi.

Матлуб: AABC=AAiBiCi (расми 127).Исбот: Таъриф AiBi-и AAiBiCi-po ба хати рости р табдил

дода, хамвориро ба ду нимхамворй чудо мекунем. Тарафи АВ-и ДАВС-ро бо тарафи AiBi-и ДА1В1С 1 хамчоя менамоем. Онхо хамчоя мешаванд, чунки AiBi=AB аст. Секунчаи АВС-ро дар нимхамворие. ки ДА1В1С1 вокеъ аст, чойгир мекунонем. Бигзор вай мавкеи ДА1В1С 1 гирад. Нуктахои Ci ва О-ро пайвасг мекунем. Дар миёначойи порчаи С1С2 нуктаи D-po меёбем.

75

Порчах,ои Ai D ва BiD-po месозем. Азбаски AiCi=AC=AiC2

ва BiCi=BC=BiC2 мешаванд, пас А 1С 1С2 ва ВiС iС2-секунчахои баробарпахдуянд. Порчахои AiD ва BjD- медианахо буда, баландихои секунчахои А 1С 1С2 ва В1С 1С2 мебошанд. Аз тарафи дигар, аз нуктаи D дар хамворй ба хати рости С 1С2

факат як перпендикуляр гузаронидан мумкин аст. Нуктахои Ci ва С2 гуногун буда наметавонанд. Инак Ci=C2 хамон як нукга мебошад ва секунчахои ДА1В1С1 ва ДА1В1С2 низ хамон як секунчаанд, яъне ДАВС-ДА1В1С1

1. Секунчахои ABCi ва АВС2 баробарпахлу буда, нуктахои Ci ва С-2 дар тарафхои гуногуни хати рост АВ мехобанд. Исбот кунед, ки AACiC2=ACiC2 мебошад (расми 128).

2. Порчаи АВ ба порчаи CD перпендикуляр буда, дар нуктаи О хамдигарро мебурранд. Агар ОА=ОВ бошад, исбот кунед, ки ДАОС=ДВОС мебошад.

3. Дар масъалаи 2 исбот кунед, ки ДАОВ=ДАСЮ ва ДА CD мебошанд.

4. Исбот кунед, ки нуктахои миёначойи тарафхои секунчаи баробарпахлу, дар навбати худ куллахои секунчаи баробарпахлу мебошанд.

5. Исбот кунед, ки агар нуктахои миёначойи тарафхои секунчаи баробартарафро бо хам пайваст кунем, секунчаи баробартараф хосил мешавад.

6. Дар расми 129 секунчаи АЕВ ва секунчаи CED баробарпахлу буда, асосхояшон миёначойи умумй доранд.

Исбот кунед, ки секунчаи АСЕ ба секунчаи BDE баробар аст.

МАСЪАЛАХ,0

В

Расми 12И

76

7) Дар масъалаи 6 исбот кунед, ки ACBE=ADAE мебошад.

§ 6. БАЪЗЕ НАТИЧАХО АЗ АЛОМА Г \О И БАРОБАРИИ СЕКУНЧАХО

1. Чор аломати баробарии секунчахои росткунча1. Ду секунчаи росткунча, агар яктогй катет ва

гипотенузаи баробар дошта бошад, онхо баробаранд.2. Ду секунчаи росткунча, агар дутогй катети баробар

дошта бошанд, онхо баробаранд.3. Ду секунчаи росткунча, агар гипотенуза ва яктогй

кунчи тези баробар дошта бошанд, онхо баробаранд.4. Ду секунчаи росткунча, агар яктогй катет ва яктогй

кунчи тези баробар дошта бошанд, онхо баробаранд.Дурустии ин аломатхо дар мавзуи аломатхои баробарии секунчахо исбот шуда буданд.

Расми 130 Расми 131

Теорема дойр ба моилхд>и баробарТеорема. Агар аз ягон нукта ба хати рост ду моили

баробар гузаронида шуда бошад, он гох проексияи ин моилхо бо хам баробаранд.

77

Маълум: ОВ -Lp ва АВ=ВС моилхо.Матлуб: ОА=ОС проексияхо (расми 130)Исбот. Азбаски АВ =ВС мебошад, пас секунчаи росткунчаи

АОВ ба секунчаи росткунчаи СОВ баробар буда, порчаи ОА ба порчаи ОС баробар аст, яъне проексияхои моилхои баробар бо хам баробар шуданд.

Бояд кайд кард, ки агар моили АВ ба моили СВ баробар бошад, пас хардуи онхо ба хати рости р кунчхои баробарро ташкил медиханд, яъне <ОАВ=<ОСВ мебошад.

3. Муносибати байни тарафхо ва кунчхои секунча.Теорема. Дар секунчаи дилхох, мукобили тарафи калон,

кунчи калон мехобад.Маълум: ДАВС ва АВ>ВС.Матлуб: <С аз <В калон аст (расми 131).Исбот: Аз нуктаи А дар нури АВ порчаи AD=AC - ро

мегузорем. Нуктаи С-ро бо нуктаи D пайваст мекунем.’ <С=<АСВ аз <1=<ACD калон аст, зеро нури CD нури дохилии <АСВ мебошад.

Аз тарафи дигар <2=<В+<4 аст, зеро <2 кунчи берунии ДАСО мебошад ва <2 аз <В калон будааст.

Дар натича <С аз <1 калон буда, <1=<2 ва <2 аз <В калон шуд, аз ин чо хулоса мебарояд, ки <С аз <В калон аст.

Теоремаи баръакси хамин теоремаро тартиб дода, онро мустакнлона худатон исбот кунед.

4. Нобаробарии секунча.Теорема. Суммаи дарозии ду тарафи секунча, аз дарозии

тарафи сеюм калон аст.Маълум: ДАВС, АС = Ь, ВС = а, АВ = с тарафхо.Матлуб: АС+СВ>АВ ё а+Ъ>с

АС+А В>ВС ё Ь+с > а А В+ВС>АС ё а + с>Ь

Исбот: Ба расми 132 нигаред.

78

сРасми 132

Аз нук,таи С нури пуркунанда ба нури СА-ро месозем. Дар ин нур порчаи CD=CB = « - ро чудо мекунем. Нуктаи В - ро ба нуктаи D пайваст менамоем. ABCD баробарпахлу аст, аз ин чивдт <1=<2 дар AABD, AD>AB мебошад. Аз баски AD=AC+CD=AC+BC аст, пас АС+ВС>АВ шуд, яъне а+Ь>с. Исбот, ду холати дигарро худатон мустакилона ичро намоед.

МАСЪАЛАХО1. Дар ду секунчаи росткунчаи ABC. ва A iBjC'i

<A =<A i=40°, AB=AiB i=6cm мебошанд. Исбот кунед, ки ин секунчахои росткунча баробаранд.

2. Дар ду секунчаи росткунчаи ABC ва AiB tС) гипотенуза AiBi=30cm ва <А=30° аст. Агар AABC=AAiBiCi бошад, катети ВС - ро ёбед.

3. Порчаи AB1CD буда, АВ=20 дм мебошад. Нуктаи О (буриши порчахои АВ в CD) дар миёначойи порчаи АВ мехобад.

Агар zADB=60° бошад, порчахои AD ва DB-po ёбед.4. Аз нукта ба хати рост ду моил гузарониданд. Агар ин

моилхо проексияхои баробар дошта башанд, онхо баробаранд (инро исбот кунед).

5. Аз нукта ба хати рост перпендикуляр ва моил гузарониданд.

79

Расми 133

Дарозии моил аз перпендикуляр ду маротиба калон аст. Кунчи байни моил ва перпендикулярро ёбед.

6. Аз ду нуктаи беруни хати рост ба он ду перпендикуляр ва ду моили баробар гузарониданд. Исбот кунед, ки ин моилхо проексияхои баробар доранд.

7. Дар секунча zA=30° ва z.B=40° мебошад. Тарафхои секунчаро мукоиса кунед.

8. Дар секунча АВ=7 см, CD=8 см ва АС=13 см мебошад. Кунчхои секунчаро мукоиса кунед.

9. Исбот кунед, ки дар секунчаи росткунча катет аз гипотенуза хурд аст.

10. Исбот кунед, ки моил аз перпендикуляр калон аст, агар онхо аз як нукта гузаронида шуда бошанд.

11. Исбот кунед, ки проексияи моил аз худи моил хурд аст.12. Исбот кунед, ки дар секунчаи кундкунча, тарафи

калонтарин мукобили кунчи кунд мехобад.13. Оё секунча сохтан мумкин аст, агар: а) а =4 см, Ь=5см,

с=10 см б) а=4см, Ь=5см, с=8см в) а =20см, Ь=3см,с=7 см г ) а=8см, Ь=4см, с=4см f ) а =4см, Ь=4см, с=4см е) а=10 дм, Ь=10 дм, с=16 дм бошад?

14. Исбот кунед, ки AD<AB+BC+CD (расми 133)15. Агар АВ=10 см, ВС=15 см, АС=25 см бошанд,

нуктахои А,В,С чй гуна чойгиранд?16. Агар АВ=20 см, ВС=12 см, АС=24 см бошанд,

нуктахои А,В,С чй гуна чойгиранд?17. Кадоме аз секунчахои зерин баробаранд, агар:

a) zB =60°, А В=10 см. б) zA = 40°, zB =50°, А С = 1 0 см ;в) ВС= 5 см, АВ=10 см, zC=90°; г) zA=50°, zB=40°. АС=10 см бошад?

С АВОЛХО БАРОИ ( АНЧИШ1. Ба мафхуми секунча таъриф дихед.2. Исбот кунед ки суммаи кунчхои секунча ба 18СР баробар аст.

80

3. Намудхои секунчаро номбар кунед.4. Секунчаи росткунчаро таъриф дихед.5. Ба катет ва гипотенуза таъриф дихед.6. Суммаи кунчхои тези секунчаи росткунчаро ёбед.7. Ба секунчаи баробарпахлу таъриф дихед.8 .Хосияти кунчхои назди асоси секунчаи баробарпахлуро

баён кунед.9. Хосияти биссектрисаи секунчаи баробарпахлуро

исбот кунед.] 0. Ба секунчаи кундкунча таъриф дихед.11. Секунчае, ки хар се кунчхояш баробар аст, чй гуна

секунча мебошад?12. Секунчаи росткунчае, ки дорой кунчи 45° мебошад,

чй гуна секунча аст?13. Ба кунчи берунии секунча таъриф дихед.14. Хосиятхои кунчи берунии секунчаро исбот кунед.15. Аломати якуми баробарии секунчахоро баён кунед.16. Аломати дуюми баробарии секунчахоро исбот кунед.17. Аломати сеюми баробарии секунчахоро исбот кунед.18. Аломатхои баробарии секунчахои росткунчаро баён кунед.19. Медиана чист?20. Ба баландии секунча таъриф дихед.21. Ба биссектрисаи кунчи секунча таъриф дихед.22. Хосияти катети мукобили кунчи 30° хобидаи

секунчаи росткунчаро баён кунед.23. Хосияти моилхои баробарро оред ва онро исбот кунед.24. Нобаробарии секунчаро нависед ва маънидод кунед.25. Агар кунчхои секунча маълум бошанд, тарафхоро чй

тавр мукоиса мекунанд?26. Исбот кунед, ки дар секунчаи баробартараф хамаи

кунчхо ба 60° баробар мебошанд.27. Секунча кашед ва хар се баландихоро гузаронед.28. Исбот кунед, ки дар секунча кунчи берунй аз кунчи

дилхохи дохилии ба он хамсоя набуда калон аст.29. Суммаи кунчхои берунии секунча ба чанд градус

баробар аст?30. Бо ёрии аломатхои баробарии секунчахо масофаи

дастнорасро чй тавр меёбанд?

М АСЪАЛАХР1. Аз миёначойи порчаи CD ба ин порча хати рости

перпендикуляр гузарониданд. Исбот кунед, ки нуктаи дилхохи ин перпендикуляр аз нугхои ин порча дар як хел дури вокеъ мебошад.

81

2. Нуктаи D дар тарафи АВ-и ДАВС ва нуктаи D, дар тарафи AiBi-и ДА1В1С 1 мехобад. Агар DB=DiBi ва AADC=AAiDiCi бошад, исбот кунед, ки AABC=AAiBiCi аст.

3. Баробарии секунчахо ро аз руйи медиана ва кунче, ки медиана онро гаксим мекунад, исбот кунед.

Н и ш о и д о д: Медианаро боз як бори дигар дар давоми худаш гузоред.

4. Порчахои А В ва BD дар нуктаи О хамдигарро мебуранд.

Агар zB A O =zD C O ва А О -С О бошад, исбот кунед, ки ABAO=ADCO мебошад.

5. Периметри секунчаи баробарпахлу 10 см ва тарафи пахлуиаш 3 см аст. Асоси секунчаро ёбед.

6. Периметри секунчаи баробарбахду 2 м ва асосаш 0.6 м аст.Дарозии тарафхои пахлуиро ёбед.7. Периметри секунчаи баробарпахлу 18,4 дм буда: 1)

асосаш аз тарафи пахлуй 0.6 дм хурд аст. 2) асос аз тарафи пахлуй 3,4 дм калон аст. Тарафхои секунчаро ёбед.

8. Баробарии секунчахои баробарпахлуро аз руйи биссектрисахои кунчхои назди асос исбот кунед.

9. Дар секунчаи баробарпахлу тарафи пахлуй 40 дм буда, кунчи назди асос 30° аст. Баландии секунчаро, ки ба тарафи асос фароварда шудааст, ёбед.

10. Исбот кунед. ки дар секунчаи росткунча медианаи бо гипотенуза фаровардашуда ба нисфи гипотенуза баробар аст.

11. Баробарии секунчахо ро аз руйи ду тараф ва медианаи ба тарафи сеюм фаровардашуда исбот кунед.

12. Баробарии секунчахоро аз руйи ду тараф ва медианаи ба тарафи сеюм фаровардашуда исбот кунед.

13. Дар расми 134 zD B C =zD A C ва ВО=АО мебошад.Исбот кунед, ки z C = z D ва AC=BD аст.14. Ба расми 135 нигаред. Дар он AB=CD, AB||CDAD=BC, AD||BC; B E lA C ; D F lA C .Исбот кунед, ки AABE=ACDF мебошад.

С D

32

в с

15 A iap ДАВС=ДВСА бошад, исбот кунед, ки ДАВС баробартараф асг.

16. Агар A M =A iM i, BC=BiCi, zA M B -zA iM iB i, М ва Mi мувофикан миёначойи тарафхои ВС ва BiCi бошанд, исбот кунед, ки AABC=AAiBiCi аст.

17. Агар АВ=40м, ВС=30м, АС=60 м бошанд. кадом кунчи секунчаи ABC калон аст?

18. Кунчи берунии секунчаи баробарпахлу ба 140° баробар аст. Кунчхои дохили онро ёбед.

19. Яке аз кунчхои берунии секунчаи росткунча 150° аст. Кунчхои дохилии онро ёбед.

20. Проексияи моил ба нисфи моил баробар аст. Кунчи байни моил ва перпендикулярро ёбед.

ФАСЛИ IV

§1. Л АВРА ВА ХОЛАТХ.ОИ НОЙГИП' ’ 4ВИИ ДАВРАХ,0. ДОИРА

. Дйяра. Нуги тези паргорро ба нуктаи хамворй гузошта,

О нуги каламдорашро давр мезанонем. Дар ин

холат ш акли геометрие хосил меш авад, ки он давра ном дорад.

L Таъриф. Цой и геометрии нуцта^ои хамворй, ки из нущтаи додаш уда дар як хел масофа вокеапд, oaepi номида мешавад.

Дар расми 136 давра тасвир ёфтааст. О маркази давра мебошад, ки аз хама нуктахои давра дар якхел масофа вокеъ аст.

Порчахои ОА ва ОВ радиусхои давра буда, бо г ишора карда мешаванд.

83

Таъриф. Порчае, ки марками давраро ба нук^таи он пайваст мекунад, радиуси давра ном дорад.

Хдмаи радиусхои як давра бо хам баробаранд, яъне ОА=ОВ=г. Давра нуктахои бешумор дорад, аз ин ру, радиусхояш бешумор аст.

2. Диаметр ва хорда. Таъриф. Порчае, ки ду нщтаи давраро бо х;ам мепайвандад, хордаи давра номида мешавад.

Дар расми 137 а) лорчахои АВ ва CD хордахо мебошанд.

Аз як нуктаи давра хордахои бешумор гузаронидан мумкин аст. Давра хордахои бешумор дорад.

М

Расми 137

Таъриф. Хордае, ки аз марками давра мегузарад, диаметр номида мешавад.

Дар расми 137 б) порчаи AM диаметр мебошад. Х,ар як давра диаметрхои бешумор дорад. Х,амаи диаметрхои як давра бо хам баробаранд. Дар расми 138 якчанд диаметрхо тасвир ёфтаанд: AB=CD=M P=KE=c/

а)

В

Расми 138

Дар давра як диаметр ба ду радиус баробар аст. Яъне d=2 • г; АВ=2 • г

Аз баробарии ОА=ОВ= г бармеояд, ки ( расми 138 б).) АВ=2г аст.

84

М АСЪАЛАРО1. А гар г радиуси давра буда, дарозиаш : 5 см; 16 см;

4 см; 7 дм бошад, дарозии диаметри давраро ёбед.2. Агар d диаметри давра буда, дарозиаиг.ЗО см; 15 см;

36 м; 14 м; ва 18 м бошад, радиуси давраро ёбед.3. Аз мух,ити атроф шаклхоеро номбар кунед, ки

кисмхои даврашакл до ран д.4. Х,олатх,ои чойгиршавии порчаро нисбат ба давра

тадкик карда, расмхои мувофик кашед.5. Х,олатхои чойгиршавии нурро нисбат ба давра тадкик

карда, расмхои мувофик кашед.3. Буранда ва расанда. Холати чойгиршавии хати ростро

нисбат ба давра муоина менамоем.1). Хати рсоти а (расми 139, а) бо давра ягон нуктаи умумй

надорад. Агар хати рост бо давра нуктаи умумй надошта бошад, вай давраро намебурад. Дар и и холат масофаи маркази давра то хати рост аз радиус калон аст: ОА>г.

2). Давра бо хати рости а (расми 139, б) як нуктаи умумй дорад. Дар ин холат масофа аз маркази давра то хати рости b ба радиус баробар мебошад: ОА= г. Дар ин холат ОА 1 b мебошад.

Таъриф. Хати росте, ки аз нуги радиуси давра гузашта ба ин радиус перпендикуляр аст, расандаи давра ном дорад.

А а--J -— ..... А Ь D

/ | \( г 1 ( с \ с / |а \ в

\ °* / V / XО* Г с

брч. В)ОА>г ОА>=г ОА<г

набуранда расанда бурандаРасми 139

Дар расми 139. б) хати рости b расандаи давра мебошад.3. Дар расми 139 в) хати рости с бо давра ду нуктаи

умумии С ва В-ро дорад. Дар ин холат масофаи байни марказ то хати рости с аз радиуси давра хурд аст: ОА < г.

Таъриф. Хати росте, ки бо давра ду нуцтаи умумй дорад, бурандаи давра номида мешавад.

Дар расми 139, в) хати рости с бурандаи давра мебошад.4. Дойра Давра хамвориро ба ду соха ( кием) чудо мекунад.

85

Сохаи дохили ва беруни ( расми 140).Таъриф. Кисми ^амворй, ки бо давра мах,дуд аст, дойра

номида мешавад.

ОА <RА-дар дохили

чавра

OA=RА-дар давра

Расми! 41

OA>R\-дар беруни

давра

Нуктахо нисба т ба давра се хел чойгир мешаванд (расми 141):1) Агар OA<R шавад, нуктаи А дар дохили давра

мехобад.2) Агар OA=R бошад, А дар давра мехобад.3) Агар O A >R бошад, нуктаи А берун аз давра мехобад.

Машкхо1. Радиуси давра R=5 см аст. Ин давраро кашед. О-маркази давра. Агар: ОХ=Зсм; ОХ=7 см; ОХ~4,5 см;

ОХ=5 см бошад, нуктаи X дар кучо мехобад?2. О-маркази давра ва R=8 см аст. Агар нуктаи X шарги

OX<R-po ичро кунад, вай дар кадом шакш геометрй мехобад?3. Нуктаи X дар хати рости а хобида, О маркази давраи

радиусаш R=4 см мебошад. ОХ±а буда: а) ОХ=2 см;б) ОХ=4 см в) ОХ=6 см аст. Дар кадом холат хати рости

а давраро мебурад?5. Холати чонгиршании ду давра. Ба расми 142 нигаред.

Ду давра метавонанд як ё ду нуктаи умумй дошта бошанд. Онхо нуктаи умумй хам надошта метавонанд.

86

1) Дар расми 142, 1). ааврахо дорой нуктаи умумии А мебошанд. d=00j=R-r

Даврахое, ки факат як нуктаи умумй доранд бо хам расандаанд. Даврахои расми 142, 1) аз дохил расандаавд. Агар даврахо аз дохил расанда бошанд, шарги R-r=d ичро мешавад.

Д ар ин чо OA=R радиуси давраи калон, O iA =r радиуси давраи хурд буда, O O ^ d -масофаи байни марказхои даврахо мебошад.

2) Дар расми 142,2) даврахо як нуктаи умумии А доранд.Онхо аз берун расандаанд. Барой даврахои аз берун

расанда шарти d= R + r ичро мешавад.3) Дар расми 142, 3) даврахо факат ду нуктаи умумии А

ва В-ро доранд. Ду даврае, ки факат ду нуктаи умумй доранд, даврахои буранда номида мешаванд. Даврахои буранда шарти d<R +r-po каноат мекунонанд.

4) Дар расми 142, 4) ду давра маркази умумй доранд, даврахои хаммарказ (консентрикй) номида мешаванд.

Даврахои консентрй шарти ОА-ОВ=АВ-ро каноат мекунонанд. яъне R-r=AB (АВ- масофаи байни даврахо).

5) Даврахои расми 142, 5) хам нуктаи умумй надоранд. Даврахое, ки нуктаи умумй надоранд, даврахои набуранда мебошанд. Дар расмхои 142; 4), 142; 5), 142; 6) даврахо иабурандаанд.

Агар як давра дар беруни давраи дигар хобад, шарти d> R+r ичро мешавад.

4) 5) 6)Расми 142

87

МАСЪАЛЛХО1. Х,олатхои чойгиршавии хати рост ва давраро тасвир

намоед, агар R=3 см ва масофахои марказ то хаги рост ОХ:а) 2 см; б) 3 см; в) 5 см бошад.

2. Агар ОА=ОВ бошад. чанд давраи марказаш О ва аз нуктахои А ва В гузарандаро сохтан мумкин аст?

3. Нуктахои А, В. С. D. Е дар давра мехобанд. Хдр ду нуктаро бо порча пайваст намоед. Чанд хорда хосил шуд?

4. Дар давра ду, се. чор, шаш нукта гузошта, онхоро бо хордахо пайваст кунед. Дар хар маврид чанд хорда хосил мешавад?

5. Дар давра диаметра А В гузаронед. Исбот кунед. ки маркази давра дар байни нуктахои А ва В мехобад.

6. Давраи марказаш О ва радиусаш R=6 см-ро кашед.Порчахои АВ=4 см, ОВ=6 см, ОС=8 см-ро созед.

Нуктахои А, В. С нисбат ба давра чй тавр чойгир мешаванд?

7. Агар d-масофаи байни марказхо, R ва г радиуси даврахо бошанд. даврахо чй тавр чойгиранд: а) Ь=8см; R=5 см, г=3 см: б) d=8 см. R=3 см, г=2 см; в) ё=см; R=6 см, г=4 см; г) b=8 см. R=4 см, 1-3 см; д) d=8cM, R=12 см, г=4 см?

8. Дар давра нуктаи А-ро интихоб кунед. Аз ин нукта радиуси ОА ва расандаи d-po созед. Кунчи байни радиус ка расандаро чен кунед.

9. Давраро бо паргор чй тавр ба шаш ва се кисми баробар таксим кардан мумкин аст>

§2. Х 0 1АГИ ЧОП ГИРША ВИИ ШАКЛХО ИИСБАТ БА ДАВРА

I. Кунчи маркази. Камони давра. Дар расми 143 кисми давраро мебинем, ки дар байни нуктахои А ва В чойгир аст.

Таъриф. Кисми давраро, ки дар байни ду нукрши давра вок,еъ аст, камони давра меноманд.

Ибораи «камони АВ»-ро чунин ишора мекунанд: АВ.Камонхо мисли кунчхо бо градус чен карда мешаванд.Нимдавра камонест, ки бузургиаш 180° аст.Ба кунчи АОВ-и расми 143 нигаред. Куллаи ин кунч

маркази давра буда, тарафхояш радиусхои ОА ва ОВ мебошанд. zA O B-кунчи марказй мебошад.

Таъриф. Купце, ки куллааш маркази давра буда, тарафхояш радиусх;о мебошанд, кунчи марказй ном дорад.

88

Кунчи марказии АОВ ба камони АВ такя мекунад. Кунчи марказй ва камони ба он такякунанда бузургии градусии якхела доранд, яъне бузургии кунчи марказй ба бузургии^ камони ба он такякунанда баробар аст: /А О В=А В. Азбаски давра аз ду ним давра иборат аст

Расми 143 Расми i44

ва кунчи ба нимдавра такякунанда кунчи кушод мебошад. пас бузургии градусии тамоми давра ба 360° баробар асг.

2. Кунчи дару н каши да. Дар расми 144 кунчи ABC тасвир ёфтааст, ки куллааш дар давра хобида, тарафхои АВ ва ВС-аш хордахо мебошанд. zABC кунчи дарункашида мебошад.

Таъриф. Купце, ки кулпааш нщпиш давра буда, тариф хоти хордахо мебошанд, кунци дарункашида номида мешавад.

Теорема. Бузургии кунци дарункашида ба нисфи бузургии камони ба он такякунанда баробар аст.

Маълум: zACB ва АВ.Матлуб: zACB=- ■ АВИсбот. Кунчи АСВ нисбат ба марказй О се холати

чойгиршавй дорад. Теоремаро барои хар як холат алохида исбот менамоем. А) Марказй давра (расми 145, а)) дар як гарафи zACB мехобад. z2 кунчи берунии ДАОС буда, z2=AB аст. Аз тараф и дигар, z2 кунчи берунии ДАОС буда, 2- z l=z2 мебошад. Аз ин ру, z l= ^ • Z2 = ^ • АВ; zACB = ^ • АВ мебошад.

Б) Дар расми 145, б) марказй О дар дохили < АСВ мехобад.

<АСВ = z l+ z 2 = - AD + - DB = - ( AD + д в |= - ■ АВ

В) Маркази давра дар беруни zACB мехобад (расми 145, в) zABC =zA CD - <BCD= ^ • AD - \ ■ BD = i • (AD-BD)

=- АВ; zACB = - ■ AB.2 2

с С

Расми1453. Кунчхои дарункашидаи ба як камон такякунанда Т еорема. Кунц^ои дарункашида, ки ба \амчн як камон

такя мекунанд, бо х;амдигар баробаранд. рМаълум: A"B ва /Ll=/L2. лЗ (расми 146).Матлуб: Z1=Z.2=Z3.Исбот. Аз теорема дар бораи кунчи

дарункашида бармеояд, ки z l= ~ ■ /Гв

z.2= - АВ ва jL3= - • АВ Аз ин но:2 2

zl=z2=z3.Расми 146

Масъала. Исбот кунед, ки кунчи дарункашида, ки ба диаметр такя мекунад, кунчи рост аст.

Маълум: АВ-диаметр. z АСВ (расми 147).Матлуб: zACB=90° г - ____Исбот. Кунчи АСВ хам ба диаметри / / ' \

А В ва хам ба камони АВ (нимдавра) ( 'такя мекунад. АВ=180°, аз ин ру. а | • |вzACB = ̂АВ= \ Т80°=90°, Z.ACB = 90°, V J

Расми 146

90

МАСЪАЛАРО

1. Бузургии кунчхои марказиро ёбед. агар онхо ба камонхоизерини давра такя намоянд: 1) ба нисфи давра; 2) ба моряки

1 1 1 давра: 3) ба - хиссаи давра 4) ба - хиссаи давра; 5) ба - хиссаи2 6 4

нимдавра; 6) ба - хиссаи нимдавра: 6) ба - хиссаи нимдавра.2. Кунчи дарункашида ва кунчи марказй ба хамон як камон

такя мекунанд. Агар кунчи марказй маълум бошад, кунчи дарункашидаро ёбед: 1) 30°; 2) 60°; 3) 90°; 4) 120°; 5) 1501

3. Кунчи дарункаш ида ба бузургии зерин баробар аст:1) 25°; 2) 40°; 3) 22°5; 4) 60; 5) 74°12. Кунчи марказии ба он мувофик, ёфта шавад,

4. Хорда ба камоне такя мекунад, ки бузургиаш 60° аст.Исбот кунед, ки дарозии ин хорда ба радиус баробар аст.5. Аз як нуктаи давра ду хордаи ба радиус баробар

кашида шудааст. Кунчи байни хордахои давраро ёбед.4. Секунчаи дарункашида.Таъриф. Секунцае, ки к1уллах1ояш дар давра мехобанд,

секунцаи дарункашида ном дорад.Дар расми 148 секунчаи ABC секунчаи дарункашида

буда, давра ба он берункашида мебошад. Аз раем дидан душвор нест, ки тарафхои секунча порчахои АВ, ВС ва АС хордахои давра мебошанд.

Х,олатхои чойгиршавии маркази давраро нисбат ба секунча тадкик намоед.

Теорема. Ну к, та и буриши перпендикулярной миёнацойи тарафхои секунца маркази давраи берункашида мебошад.

Матлуб: О-маркази давраи берункашида.Исбот. ДАОВ, ДАОС ва ДСОВ секунчахои баробарпахлу мебошанд (расми 148), чунки OA=OB=OC=R. Аз баробарпахлу будани секунчахо маълум мегардад, ки

в

Расми 148 Расми 14991

AO=BO=CO=R

порчахои OK, ОМ ва OP дар як вакг хам баландй ва хам медиана мебошанд. Аз ин чо порчахои ОК. ОМ ва ОР перпендикулярхои миёначойи тарафхои ДАВС буда, нуктаи О марказй давраи берункашида мебошад.

6. Давраи дар секунча дарункашидаТаъриф. Агар тарифной се купца расиндах,ои давра

бошанд, давраро давраи дарункашида меноманд.Дар ин холат секунча берункашидаи давра мебошад.

Дар расми 149 порчахои ОМ =ОР=ОК=г радиусхои давраи дарункашида мебошанд.

Теорема. Марказй давраи дарункашидаи секунца нуктаи буриши биссектриса.х;ои секунца мебошад.

Исбот. Дар расми 149 нуктаи О марказй давраи дарункашида мебошад. Аз тарафи дигар, дар нуктаи О нурхои АО. ВО. СО хамдигарро мебуранд. Исбот мекунем, ки нурхои АО. ВО ва СО биссектрисахои кунчхои секунчаанд.

ДАОМ ва ДАОК секунчахои росткунча мебошанд. Аз ОМ=ОК= г бармеояд. ки Д А ОМ=ДАОК аст. Аз дурусгии ДАОМ=ДАОК бармеояд, ки Д СОК=ДСОР ва ДВОМ=ДВОР шуда, нурхои СО ва ВО биссектрисахо мешаванд. Храмин тарик нуктаи О нуктаи буриши биссектрисахои секунча мебошад.

Натнчахо. 1) Дар атрофи секунча факат як давраи берункашида сохтан мумкин аст.

2). Дар дохили секунча факат як давраи дарункашида сохтан мумкин аст.

Исботи ин натичахоро ба шумо хавола мекунем.7. Кунчи байни расанда ва хорда.Теорема. Кунце, ки дар байни расанда ва хордаи аз як

нуктаи давра гузаронидашуда х;осил мешавад, ба нисфи камоне баробар аст, ки ба ин хорда такя мекунад.

Расми 150 Расми 151

92

Д.ш.а: АТ-расанда, АВ-хорда, АВ-камон. (расми 150) Матлуб: <ВАТ=^- АВ (расми 150).Исбот. АО-ро то бурида шудан ба давра давом медихем. < ОАВ = i (180°- АВ).

<ТА В =< ОАТ—< ОАВ = 90°- 90°+ - • АВ; <T A B =i -АВ2 2

8. Теорема дар бораи ду расандаи аз як нукта гузаронидашуда.

Теорема. Агар аз ягон нукта ба давра ду расанда гузаронида шавад, масофа.^о аз он нукта то нуктахои расиш баробаранд.

Дода шудааст: МА ваМВ-расандахо.Матлуб: М А=М В (расми 151).Исбот: Секунчахои ОАМ ва ОВМ секунчахои

росткунчаанд, чунки z l= z 2 = 9 0 ° . О А =О В=г, пас ДОАМ = ДОВМ, аз ин чо бармеояд. ки АМ =М В аст.

9. Теорема дар бораи диаметри ба хорда перпендикуляр. Теорема. Диаметре, ки б а хорда перпендикуляр аст,

хорда ва камони ба ин хорда такякунандаро ба ду кцсми баробар чудо мекунад.

Дода шудааст: АВ-хорда, CD-диаметр. АВ 1 CD Матлуб: АМ =М В. AD = DB (расми 152).

С

Исбот. Ба расми 152 нигаред. ОА=ОВ, ва ДАОВ баробарпахлу.

CD 1 АВ, пас ОМ 1 АВ. ОМ-баландй, биссектриса ва медианаи ДАОВ мебошад. Аз ин чо АМ =М В, z. 1=<2, z l= /£ b , z2=D B ва A b= D B мебошад. Бинобар ин, АМ =М В= ^ А В ва A D -D B = ^ ■ А Ь мебошад.

93

САВОЛХО БАРОИ САН НИШ1. Давраро чй тавр таъриф медихднд?2. Таърифи радиус ва диаметрро баён кунед.3. Таърифи хорда ва расандаи давраро оред.4. Камони давра чист?5. Таърифи кунчи марказиро баён кунед.6. Таьрифи кунчи дарункашидаро оред.7. Теоремаро дар бораи кунчи дарункашида исбот кунед.8. Теоремаро дар бораи кунчи байни расанда ва хорда

баён кунед.9. Секунчаи дарункашида чист?10. Таърифи секунчаи берункашидаро баён кунед.11. Хосияти ду расандаи аз як нукта гузаронидашударо

баён кунед.12. Холатхои чойгиршавии нукта ва давраро баён кунед.13. Хрлатхои чойгиршавии хати рост ва давраро баён кунед.14. Кунчи дарункашида нисбат ба маркази давра чй

тавр чойгир шуда метавонад?15. Хосияти кунчи ба диаметр такякунанда чй гуна аст?16.Ду давра нисбат ба хамдигар чй тавр чойгир шуда

метавонанд?17. Кадом вакт ду давра расандаанд?18. Кадом вакт ду давра бурандаанд?19. Хосияти кунчхои дарункашидаро. ки ба хамон як

камон такя мекунанд. баён кунед.20. Теоремаро дар бораи диаметри ба хорда перпендикуляр

баён кунед.21. Таърифи доираро баён намоед.22. Маркази давраи берункашидаро чй тавр меёбанд?23. Маркази давраи дарункашида дар кучо мехобад?24. Маркази давраи дар атрофи секунчаи росткунча

берункашида дар кучо мехобад?25. Дар кадом секунча маркази давраи дарункашида ва

берункашида хамчоя мешаванд?

МАСЪАЛАХО

1. Исбот кунед, ки перпендикулярхои миёначойи тарафхои секунча хамдигарро дар як нукта мебуранд.

94

2. Исбот кунед, ки биссектрисахои секунча хдмдигарро дар як нукта мебуранд.

3. Исбот кунед, ки дар секунчаи баробартараф даврахои дарункашида ва берункашида дорой хдмон як марказ мебошанд.

4. Исбот кунед. ки м и ён ач о й и ги п о тен у за м ар к азй д ав р аи бер у н каш и даи секу н ч аи р о стку н ч а м ебош ад .

5. Исбот кунед, ки дар секунчаи росткунча медианаи ба гипотенуза фаровардаш уда ба нисфи гипотенуза баробар аст.

6. Гипотенузаи секунчаи росткунча ба 10 см баробар аст.Медианаи ба гипотенуза фаровардашударо ёбед.7. Аз нуктае ба давра расанда ва буранда гузаронидаанд.Агар ин нукта дар давра хобида, хордаи хосилшуда ба

радиус баробар бошад, кунчи байни расанда ва бурандаро ёбед.

8. Аз нукта ба давра ду расанда гузаронида шудааст.И сбот кунед, ки бурандаи, аз м арказ ва ин нукта

гузаранда, биссектрисаи кунчи байни расандахо мебошад.

9. Кунчи байни хорда ва радиуси давра ба 60° баробар мебошад. Агар радиуси давра 14 см бошад. дарозии хордаро ёбед.

10. Кунчи байни радиусхои давра 120° аст. Х ордахои ба ин кунч такякунанда 15 см аст. Радиуси давраро ёбед.

11. Исбот кунед, ки диаметри аз миёначойи хорда гузаранда ба ин хорда перпендикуляр аст.

12. Д ар давра ду секунча дарункаш идаанд, ки 'он хо дорой яктогй кунчи 30° мебош анд. А гар ин секунчахо ба диам етр такя кунанд, исбот кунед, ки онхо баробаранд?

95

Ф АСЛИ V

С О Х Т А Щ О И ГЕО М ЕТРЙ

§1. ТАЛАБОТИ АС ОСИ Д О И Р БА С О Х Т А Щ О И ГЕО М ЕТРЙ

1.Масъала дойр ба сохтан чист?Дар геометрия масъалахое вомехуранд, ки дар онхо бо

ёрии як ё якчанд аебоб ва дода шудани баъзе шаклхо ва маълумоти асосй дойр ба онхо. сохтани шакли нави геометрй талаб карда мешавад. Чунин масъалахоро масъалахо дойр ба сохтанхои геометрй меноманд. Сохтанхои геометрй таърихи кадима доранд. Аввалин масъалахо дойр ба сохтан дар замони Евклид ва хатто пеш аз он дикдати олимонро ба худ чалб карда буданд.

Хаткашаки бетаксимоти дутарафа ва паргор асбобхои асосй барои сохтанхои геометрй мебошанд.

Х,ар кадоми онхо барои ичрои амалиёти махсус истифода бурда мешаванд. Чунин амалиётро аксиомаи ин асбобхо меноманд.

2. Аксиомахои хаткаш акБо хаткашак дар хамворй: 1). Хати рости дилхох 2).

Хати рости аз нуктаи маълум гузаранда 3). Хати рости аз ду нуктаи додашуда гузарандаро сохтан мумкин аст.

Бо ёрии хаткашак дигар амалиётро ичро кардан тавсия дода намешавад, аз чумла бо ёрии хаткашак чен кардан ва сохтани порчахои дарозиаш маълум мамнуъ хисоб мешавад.

3. Аксиомахои паргорБо паргор дар хамворй: 1). Аз маркази маълум давраи

радиусаш додашударо сохтан мумкин аст. 2). Порчаи ба порчаи додашуда баробарро дар хати рост чудо кардан мумкин аст.

4. Масъалахои одитарин дойр ба сохтанхои геометрйБо хаткашак ва паргор якчоя як катор масъалахоро

дойр ба сохтан хал намудан мумкин аст:1. Аз нуктаи маълум сохтани хати рости перпендикуляр

ба хати рости додашуда.96

2. Сохтани нуктаи миёначойи порча.3. Сохтани перпендикуляр ба миёначойи порча.4. Сохтани кунчи ба кунчи додашуда баробар.5. Сохтани биссектрисаи кунчи додашуда.6. Сохтани секунча, бо дода шудани се тарафи он.7. Сохтани секунча бо дода шудани як тараф ва ду

кунчи ба он часпида.8. Сохтани секунча аз руйи ду тараф ва кунчи байни ин

тарафхо.Масъалахои номбурда масъалахои одитарини

сохтанхои геометрй мебошанд ва дар мавзуъхои оянда шумо ба халли онхо шинос хохед шуд.

4. Мархалахои асосии халли масъалахо дойр ба сохтанХалли масъалахо дойр ба сохтан, асосан, дар чор мархала

ичро карда мешавад: тахлил, сохтан, исбот ва тадкик.1. Тахлилро чй тавр мегузаронанд? Тахлил мархалаи

асосие аст, ки рохи хал чустучу карда шуда, низоми ичрои сохтан (алгоритми хал) тартиб дода мешавад.

Дар ин мархала шарти масъала бо диккат хонда шуда, маълум ва матлубхо аник, карда мешаванд. Тасаввур менамоянд, ки шакли геометрии талабкардашуда. аллакай сохта шудааст.

Бо ин максад расми тахминиро месозанд. Кушиш менамоянд. ки дар алокамандй бо раем ва хосиятхои маълум масъаларо ба зермасъалахое, ки сохтанаш одй аст, чудо намоянд. Дар тахлил аз матлуб ба маълум фикр кардан мувофики максад аст.

Дар охири тахлил низоми сохтан тартиб дода мешавад.2. Сохтан чй тавр ичро карда мешавад? Д ар аввали

сохтан он шаклхоеро интихоб мекунанд, ки дар шарти масъала дода шуда бошанд. Сипае, як-як сохтанхои дар низоми хал овардашударо бо ёрии паргор ва хаткашак ичро мекунанд.

Хатхо ва порчахои ёрирасонро хиратар ва хатхою порчахои асосиро равшан тасвир менамоянд.

3. Исбот чй тавр ичро карда мешавад? Пас аз ичрои сохтан, ягон шакли геометрй хосил мешавад. Дар ин мархала мукаррар мекунанд, ки ш акли геометрии сохташ уда хамон матлуб аст, ки онро масъала талаб мекунад. Аз

97

ин ру, хосиятх,о ва муносибатхои маълуми назарияро истифода бурда, дурустии сохтанро тасдик, мекунанд. Баъзан барои исботи дурустии сохтан аз ченкунию мук,о исакунихо истифода мебаранд.

4. Тадкик чй тавр гузаронида мешавад?Хднгоми тадкик роххои дигари сохтан, ки аз

мархалахои асосй фарк мекунанд, чустучу карда мешаванд. Бо максади хаматарафа гузаронидани тадкик, гохо мавкеи чойгиршавии маълумхо ва тагйироти андозахои онхо роли мухим мебозад. Хднгоми тадкик чанд хал доштани масъала аник карда мешавад.

Баъзан халли масъалахо дойр ба сохтанро дар ду мархала ичро мекунанд. Дар чунин маврид тадкик бо тахдил ва исбот бо сохтан хамчоя карда мешавад.

§2. СОХТАНИ ХАТХОИ РОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1. Ба ду кисми баробар тацсим кардани порча.Масъала. Порчаи АВ дода шудааст. Онро ба ду кисми

баробар таксим намоед.Тахлил. Маълум: Порчаи АВ.

Матлуб. Нуктаи О ба шарте, ки ОА=ОВ шавад.Бигзор порчаи АВ ва нуктаи О дар миёначойи он сохта

шуда бошад (расми 153). Нуктаи О аз нугхои порча дар масофаи якхела вокеъ аст. чунки ОА=ОВ мебошад. Оё чунин нуктаи дигар М вучуд дорад, ки АМ =М В шавад? Нуктаи М-ро тарзе интихоб намоед, ки ЛАМ В баробарпахлу шавад. Порчаи ОМ медиана ва баландии ДАМ В мебошад, аз ин ру, ОМ 1АВ аст. Агар аз нуктаи А давраи А(АМ) ва аз нуктаи В давраи В (ВМ)-ро созем, даврахо дар ду нукта хамдигарро мебуранд. Аз нуктахои бурйш хати рост сохта, нуктаи О-ро ёфтан мумкин аст.

Низоми сохтан.а) Тасвири порчаи АВ.

АВб) Сохтани давраи А(г), г аз — калон мебошад.

98

в) Сохтани давраи В(г).г) Буриши А(г) ва B(r) (М ва Mi):д) Сохтани хати рости MMiе) О-буриши АВ ва MMi

Расми 153Исбот: Нуктаи М-ро ба А ва В пайваст мекунем. Ду

секунчаи росткунчаи АОМ ва ВОМ хосил мешаванд. Азбаски АМ=ВМ= г гипотенузахо ва ОМ катети умумй мебошанд- пас ДАОМ=ДВОМ аст. Аз ин чо ОА=ОВ буда. нуктаи О дар миёначойи порчаи АВ мехобад. Пас. сохтан дуруст ичро шудааст.

Тадкик: Масъала халли ягона дорад, зеро аз нуктаи О, ки миёначойи порчаи АВ аст, ба хати рости АВ факат як перпендикуляр гузаронидан мумкин аст. Агар нуктаи О дар буриши хатхои рости ММ, ва АВ гирифта нашавад, ОАзЮВ мешавад. Аз ин чо нуктаи О хатман миёначойи порчаи АВ аст.

Таъриф. Хати роете, ки аз миёнацойи порча гузашта ба ин порча перпендикуляр ист, перпендикуляри миёпацойи порча ном дорад.

2. Сохтани перпендикуляр ба хати рост.Кори мустакипона аз руйи низоми сохтан.1) Порчае дода шудааст. Перпендикуляри миёначойи ин

порчаро созед.Сохтанро мувофики низоми масъалаи дар боло хал

кардашуда ичро намоед. (расми 153)2) Аз нуктаи хати рости додашуда ба ин хати рост

перпендикуляр гузаронед.

99

Низоми сохтан.а) Хати рости а ва дар он нуктаи О.б) Сохтани давраи О(г). г-ихтиёрй.в) Буриши О(г) бо хати рости а (нуктахои А ва В).г) Даврахои А(г) ва В(г).д) Буриши даврахои А(г) ва В(г) (нуктаи М).е) Хати рости ОМ-матлуб.3) Аз нуктаи беруни хати рост ба он сохтани перпендикуляр.Низоми сохтан.а) Сохтани хати рости а ва берун аз он нуктаи М.б) Сохтани давраи M(R) (давра хати ростро бурад).в) Буриши M(R) бо хати рост а (нуктахои А ва В).г) Сохтани даврахои A(R) ва B(R).д) Буриши даврахои A(R) ва B(R) (нуктахои М ва Mi).е) Сохтани хати рости ММд-матлуб.

МАСЪАЛАХО

1. Порча дода шудааст. Ин порчаро ба чор кисми баробар таксим кунед.

2. Секунча дода шудааст. Перпендикулярхои миёначойи тарафхои секунчаро созед.

3. Исбот кунед, ки перпендикулярхои миёначойи тарафхои секунча хамдигарро дар як нукта мебуранд ва ин нукта марказй давраи берункашида аст.

4. Секунча дода шудааст. Хдр се баландии секунчаро созед. Исбот кунед. ки агар хар се баландии секунчаро ба хати рост табдил дихем, он гох онхо дар як нукта хамдигарро мебуранд.

5. Давра ва ду нуктаи А ва В дода шудаанд. Дар давра нуктаеро ёбед, ки он аз нуктахои А ва В дар як хел масофа вокеъ бошад.

6. Чор нукта: А. В. С, D. дода шудаанд. Нуктаи Х-ро тавре гузоред. ки АХ=ВХ ва СХ= DX бошад.

7. Нуктахои А ва В ва хати рости а дода шудаанд. Нуктаи Х-ро дар хати рости а чунон гузоред, ки АХ=ВХ бошад.

8. Исбот кунед, ки хар се баландии секунчаи росткунча дар куллаи кунчи рост хамдигарро мебуранд.

9. Исбот кунед, ки марказй давраи берункашидаи секунчаи росткунча дар миёначойи гипотенуза мехобад.

100

§3. СОХТАНИ КУНЧРО ВА СЕКУНЧАРО1. Сохтани кунчи ба кунчи додашуда баробарМасъала. Кунче дода шудааст. Кунче созед, ки ба кунчи

додашуда баробар бошад.Тахлил. Бигзор кунчи додашуда, кунчи ба он баробар

бошад (расми 154).Агар аз нуктахои А ва Ai даврахои А (г) ва В (г) -ро

сохта, порчахои СВ ва CiBr po пайваст кунем, секунчах,ои ВАС ва BiAxCi хосил мешаванд. Азбаски AC=AiCi, AB=AiBi ва <А= <Ai аст, пас AABC=AAiBaCi мешавад! Аз ин чо <ВАС= Bi Ai Ci

Низоми сохтан.а). Кунчи САВ кунчи маълум, нуктаи А датиёрй.б). Сохтани нури AiBi.

в). Сохтани даврахои А (г) ва А г( г), г-ихтиёрй.г). Нуктахои В ва С дар буриши А(г) ва < САВ.г). Сохтани порчаи ВС.д). Сохтани давраи Bi (ВС).е). Ci буриши Ai(r) бо Bi (ВС), ё). Сохтани нури Ai С i.

Матлуб: < CiAiBi =<САВ.Исбот. AiBi = АВ = г, AiCi = АС=г ва BiCi=BC аст, пас

AABC=AAiBiCi мешавад. Аз баробарии ДАВС ва ДА1В1С 1 хулоса мебарояд, ки сохтан дуруст ичро карда шуда, <CiAiBi=<CAB. мебошад.

А

Расми 155

101

Тадкик- Агар даврах,ои A(r), Ai(r) ва Bi(BC) -ро созем, давраи Bi(BC) давраи Ai(r)-po дар ду нуктаи Сг ва С2 мебурад. Аз ин ру, ду кунчи С 1А 1В1 ва С 2А 1В1-Р0 сохтан мумкин аст, ки ба <САВ баробаранд. Мо метавонем давраи Ci(CB)-po кашида, дар натича кунчи <B:AiCi-h ба <САВ баробарро хосил кунем. Аз тарафи дигар, <BiAiCi=<B 2AiCi мебошад. Аз ин ру, масъала як хал дорад.

Агар мо чойи нуктаи Ai ва самти нури AiCi-po тагйир дихем. микдори зиёди халли масъаларо меёбем. Дар хамаи холатхо кунчхои сохташуда ба хамдигар баробаранд.

2. Сохтани биссектрисаи кунчМасъала. Кунче дода шудааст. Биссектрисаи ин кунчро

созед.Низоми сохтан.

а). Тасвири кунчи САВ-и маълум.б). Сохтани давраи А(г).в). Буриши А(г) бо нурхои АВ ва АС (нуктахои В ва С).г). Сохтани даврахои В(г) ва С(г).д. Буриши В(г) ва С(г) (нуктаи D).е). Сохтани нури AD. Нури AD -матлуб.Исбот: AB=AC=r, BD=CD=r, пас AABD=AACD мебошад.

Аз ин чо <1 = <2 буда, нури AD биссектрисаи кунчи САВ мебошад, аз ин ру, сохтан дуруст ичро шудааст.

Тадкик: Азбаски кунчи дилхох як биссектриса дорад, халли масъала ягона аст.

Масъала. Кунче дода шудааст. Ин кунчро ба ду кисми баробар чудо кунед.

Ин масъала ва масъалаи дар боло хал кардашуда баробаркуваанд. Онхо як тарзи хал доранд. Сохтани биссектриса боиси он мегардад. ки кунч ба ду кисми баробар таксим мешавад.

102

3. Сохтани секунчахо.Кори мустакилона.1). Секунчае созед, ки тарафхояш ба се порчаи

додашудаи a, ft, с баробар бошад.а). Интихоби маълумхо:

а b с9-----“---- • , а----------- ■ f • .. —• ,б). Сохтани хати рости ВС -и ихтиёрй.в). Сохтани ВС=с дар ин хати рост.г). Сохтани давраи В(а).д). Сохтани давраи С(Ь).е). Нуктаи А (буриши В(а) ва С(Ь)). ё). Сохтани порчахои АВ= а ва АС=ЬМатлуб: ДАВС.Сохтан, исбот ва тадкики масъаларо ба шумо хавола

менамоем.2. Секунчае созед, ки ду тарафаш порчахои а ва b буда,

кунчи баини ин тарафхо маълум бошад.Низоми сохтан.а).Интихоби маълумхо:

.---- ?-----. .----- Ь----- .б). Сохтани кунчи <АСВ=ув). Сохтани С(Ь) ва ВС=Ь (ёфтани нуктаи BVг). Сохтани С(а) ва А С =^ (ёфтани нуктаи А).д). Сохтани порчаи АВ.Матлуб: ДАВССохтан, исбот ва тадкикро мустакилона ичро намоед.3) Секунчае созед, ки тарафаш порчаи а буда, ду кунч т

ба ин тараф часпидааш (3 ва у бошанд.Низоми сохтана. Интихоби маълумхо:

/ у \ ____, а____ _____________ ,

б). Сохтани хати рости СВ.в). Сохтани порчаи СВ= а ва нуктахои С, В.г). Сохтани <АСВ= у.д). Сохтани <СВА=Ь.е). Буриши нурхои СА ва ВА (нуктаи А).Матлуб: ДАВССохтан. исбот ва тадкикро мустакилона ичро намоед.

103

МАСЪАЛАРО1. Секунча дода шудааст. Хдр се биссектрисаи

секунчаро созед. Исбот кунед, ки онхо хамдигарро дар як нукта мебуранд ва ин нукта маркази давраи дарункашида мебошад.

2. Кунч дода шудааст. Ин кунчро ба чор хиссаи баробар таксим кунед.

3. Секунчае дода шудааст. Секунчаи ба он баробарро созед.4. Давраи радиусаш маълумро тарзе созед, ки аз ду

нуктаи додашуда гузарад.5. Секунчае кашед, ки тарафхояшро порчахои а, Ь, с

ташкил намоянд: 1) а= 3 см, Ь=2 см, с=4 см; 2) а=4 см, Ь=3 см, с=5см; 3) а - 6 см, Ь=4см, с=5 см.

6. Секунчаи АВС-ро аз руйи маълумоти зерин созед: а) АВ=6 см. ВС=5 см, <A-5(f, б) АВ=5 см, АС=8 см, <В=30°.

7. Секунчаи АВС-ро аз руйи маълумоти зерин созед:а) АВ=5см, <А =60°, <В=50°, б) АВ=6см, < А = < В = 50°.

8. Секунчаи баробартарафе созед, ки тарафаш порчаи додашуда бошад.

9. Аз руйи асоси маълум ва кунчи назди асос секунчаи баробарпахлу созед.

10. Секунча дода шудааст. Медианахои онро созед.11. Кунчхои 60° ва 30°-ро созед.12. Секунчаи росткунчае созед, ки кунчи тез ва

гипотенузааш маълум бошад.13. Секунчаи росткунчае созед, ки катет ва кунчи тезаш

маълум бошад.14. Секунчаи росткунчае созед, ки як катет ва

гипотенузааш маълум бошад.15. Секунчаи росткунчаи хар ду катеташ маълумро

тасвир кунед.

САВОЛХО БАРОИ САНЧИШ1. Асбобхои асосии сохтан ва аксиомахои онхоро баён

кунед.2. Масъалахо дойр ба сохтан чй гуна масъалаанд?3. Сохтанхои одитарини геометриро номбар кунед.4. Мархалахои сохтан кадомхоянд?5. Тахлил чист?6. Сохтан чист?7. Тадкдкчист?8. Исбот чй гуна мархала аст?

104

9. Перпендикуляри миёначойи порча чист?10. Тарзи сохтани секунчаро аз руйи се тарафаш

маънидод кунед.11. Тарзи сохтани секунчаро аз руйи як тараф ва ду

кунчи ба он часпида нишон дихед.12. Тарзи сохтани секунчаро аз руйи ду тараф ва кунчи

байни ин тарафхо фахмонед.13. Гузарондани перпендикулярро ба хати рост аз

нуктаи маълум нишон дихед.14. Тарзи сохтани биссектрисаи кунчро фахмонед.15. Тарзи сохтани кунчи оа кунчи додашуда баробарро

баён кунед.МАСЪАЛАХ.О

1. Даврае кашед, ки он дарункашидаи секунчаи додашуда бошад.

Низоми сохтана). Тасвири секунчаи маълуми ABC.б). Сохтани биссектрисаи <Ав). Сохтани биссектрисаи <Вг). Нуктаи О-буриши биссектрисахо.г). Сохтани порчаи CD 1АВ, D дар АВ.д). Сохтани давраи 0 ( 0 D).

Матлуб: Давраи O(OD).2.Даврае созед, ки берункашидаи секунчаи додашуда

бошад.Нишондод. Марказй давра нуктаи буриши перпендикулярхои

миёначойи ду тарафхои секунча мебошад.3. Секунчаи баробарпахлуе созед, ки тарафи пахдуй ва

баландии ба асос фаровардашудааш дода шуда бошад.Низоми сохтана). Тасвири маълумхо:

а = Ь___ , hпахлу баланди

б). Сохтани хатхои рости перпендикуляр аз ягон нуктаи D.в). Сохтани порчаи CD дар яке аз нурхо. CD=hг). Сохтани давраи С (а).д). Сохтани нуктахои А ва В (буриши С(а)).е). Сохтани порчахои АС ва СВ.Матлуб: ДАВС

105

4. Секунчаро аз руйи ду тараф ва баландии ба тарафи сеюм фаровардашуда созед.

5. Секунчаи баробарпахдуро аз руйи асос ва радиуси давраи берункашида созед.

Тахлил. Бигзор ДАВС -матлуб бошад, он гох АВ=ВС ва BD баландии ба асос фаровардашуда мебошад. Агар О- маркази давраи берункашида бошад, он гох OB=OA=OC=R ва АС=Ь дода шудаанд. Секунчаи АОС-ро аз руйи се тараф сохта, нуктаи О-ро меёбем.

Давраи O(R) имконият медихад, ки нуктаи В-ро ёбем (расми 158).

Низоми сохтанро мустакилона тартиб дода, онро ичро намоед.

6. Секунчае созед, ки ду тараф ва медианаи ба яке аз ин тарафхо фаровардашудааш маълум бошад.

Д.ш.а:с Ь т 0•----------* •----------• » Я

тараф тараф медиана

Матлуб. ДАВС (расми 157).Низоми сохтан.а. Сохтани порчаи А С-Ьб. Сохтани D (миёначойи порчаи АС).в. Сохтани секунчаи ABD аз руйи се тараф: АВ=С,

BD=mb. AD=2-bг. Сохтани порчаи ВС.Матлуб: ДАВС.Сохтан ва тадкикро мустакилона ичро намоед.7. Секунчаро аз руйи ду тараф ва медианаи ба тарафи

сеюм фаровардашудаи он созед.106

сМаълумхо:

ьтараф тараф медиана

Расми 158

Нишондод: Медиана т с-ро дучанда кунед.Матлуб: ДАВС (расми 159).Ба раем дикдат дихед; аввал масъаларо тахлил карда,

низоми халро тартиб дихед ва баъдан онро ичро намоед.8. Секунчаро аз руйи як тараф, медианаи ба ин тараф

фаровардашуда ва радиуси давраи берункашидаи он созед.Н и ш о н д о д . Аввал порчаи АС-и маълум ва

миёначойи он нуктаи D-тро созед. Сипае, ДАВС -ро бо тарафхои ОА=ОС=г-и маълум сохта, давраи О(г) гузаронед. Давраи D (г), давраи О(г)- ро мебурад ва дар буриш нуктаи В хосил мегардад.

9. Секунчаро аз руйи як тараф ва медианаю баландии ба ин тараф фаровардашуда созед.

Н и ш о н д о д . Сохтанро аз баландй огоз намоед.10. Агар як тараф. кунчи ба ин тараф часпида ва суммаи ду

тарафи дигар дода шуда бошанд, секунчаро созед.Нишондод Маълумхо AC=b. AD=a+c ва <А= а мебошанд.

Аввал AACD-po аз руйи AC=b, AD=o+c ва <А=а созед.

Тахлил, низоми сохтан, сохтану исбот ва тадкикро мустакилона ичро намоед.

11.Секунчаро аз руйи як тараф. кунчи ба он часпида ва фарки ду тарафхои дигар созед.

12.Секунчаи росткунчаро аз руйи як тараф ва суммаи гипотенузаю катети дигар созед.

13.Расандаи умумии ду давраи додашударо созед.14.Аз нуктаи беруни давраи додашуда ба он расанда

гузаронед.15. Порчаи додашударо ба 8 кисми баробар таксим кунед.

с

Расми 159 Расми 160

107

16.Секунчаи баробартарафро созед, агар радиуси давраи берункашидааш дода шуда бошад.

17.Секунчаи баробартарафро созед, агар радиуси давраи дарункашидааш дода шуда бошад.

18. Аз нуктахои давраи додашуда диаметр ва хордаи ба радиус баробар гузаронида шудааст. Кунчи байни онхоро ёбед.

19. Аз нуктахои давраи додашуда ду хордае гузаронида шудаанд. ки хар кадомаш ба радиус баробаранд. Кунчи байни хордахоро ёбед.

20.Даврахои радиусашон 30 см ва 40 см ба якдигар расандаанд. Дар мавриди расишхои берунй ва дохилй масофаи байни марказхои даврахоро ёбед.

21.Агар ду давра факат як нуктаи умумй дошта бошанд, он гох онхо дар ин нукта ба якдигар расандаанд. Инро исбот кунед.

ЧАВОБ ВА Н ИШ ОНДОД БА ХАЛЛИ МАСЬАЛАХО

Фасли 1. МАФХУМХОИ ОДИТАРИНИ ГЕОМЕТРЙ (Ч,авоби масъалахо аз сахифаи 29-32)

11. а) Нуктахои А, В, С дар як хати рост мехобанд, зеро АВ+ВС=АС (5см+2см=7см) мебошад. Нуктаи В дар байни нуктахои А ва С мехобад.

в) Нуктаи С дар байни нуктахои А ва В мехобад.

а о в15. А) • -------------- • ---------------- • AB=2.AD=4 см

А с В М D16. • ---------- • ------------• ----------- • -----------•

А В = 7 2 A D = 10 с м, А С = 2/ в - А В = 4см;AM = 7s A D = 16см;

17. а) МА=4см;МВ=15см.МС=8см.20. а) 6 см; б) 8 см; в) 7 см; г) 0.9 дм.

Фасли 2. КУНЧХО ВА ЧЕН КАРДАНИ КУНЧХО (Чавоби масъалахо аз сахифаи 56-68)

2. 72° ва 108°; 55°ва 125°; 88°ва92°.3. 75°ва 105°.4. 45е ва 135°.6. 75°, 105°, 75°, 105°.8. а) 100°; б) 120°; в) 80°.

11. 65°ва 65э.108

13. 30°, 70°, 80°.14. 4-то кунчи 50° ва 4-то кунчи 130°.17. 45°, 45°.2 2. Н и ш о н д о д : Аз хосиятиперпендикулярии хатхои

рост истифода намоед.24. 60°.25. 140°. 40°.

Фасли 3. СЕКУНЧДХ,0(Ч,авоби масъалахо аз сахифаи 81-83)

6. 0,7 м; 0,7 м.7. 2) 5 дм; 5 дм; 8,4 дм.

8. Нишондод: Хосиятхои секунчаи баробарпахдуро ба ёд оваред.9. 20дм.10. 40°.40°, 100°.11. 30°, 60°, 90°.12.30°.

Фасли 4. ДАВРА ВА ДОИРА (Чавоби масъалахо аз сахифаи 95-96)

6. 5 см.7. 30°.9. 14см.10. 5л/3 см.11. Н и ш о н д о д : ба расми 1 нигаред.12. Н и ш о н д о д : ба расми 2 нигаред.

Фасли 5. СОХТАНХОИ ГЕОМЕТРЙ (Чавоби масъалахо аз сахифаи 104-107)

4. Сохтани секунчаи АВС-ро аз руйи тарафхои ВС=а, АС=Ь ва баландии CD =hc ичро намоед.

14. Низоми сохтан.а) Сохтани давраи радиусаш ОВ ва берун аз он нуктаи А.б) Сохтани давраи A(R). Давра хати ростро мебурад.в) Буриши A(R) бо хати рост (нуктахои С ва D).

18. 60б.19. 120°.20. 70 см, 10 см.21 . Н и ш о н д о д . Аввал исбот кунед, ки нуктаи

умумии даврахои додашуда дар хати рости аз маркази онхо мегузашта вок,еъ аст.

109

МУНДАРИЧА

Сарсухан................................................................................. ...... 3Геометрияро чй тавр бояд омухт?............................... ......... 5Чанд маслихат барои омузгор................................................6Фасли I. Мафхумхои одитарини геометрй................. ....... 8§1. Нук,та, хат ва хати рост............................................... ....... 8§2. Аксиомаи пареллелии хатхои рост................................. 19§3. Х,олати чойгиршавии нурхо.................................. ........... 20§4. Чен кардани порчахо........................ ..................................23Саволхо барои санчиш...................................................... ...... 28М асъалахо................................................................................... 29Фасли II. Кунчхо ва чен кардани кунчхо.................... ....... 36§1. Кунч.................................................................................. ....... 36§2. Кунчи кушод. Мук,оиса кардани кунчхо.............. ........ 38§3. Намудхои кунчхо................................................................. 40§4. Кунчхои хамсоя ва амудй (вертикалй).................. ........43§5.Кунчхои тарафхояшон хамсамт. Кунчхои чилликй ва яктарафа. Аломатхои параллелии хатхоирост.................................................................................................46§6. Хатхои рости перпендикуляр..................................... .....50 .Саволхо барои санчиш...................................................... ...... 55М асъалахо....................................................................................56Фасли III. Секунчахо.......................................................... ..... 59§1. Секунча. Суммаи кунчхои секунча.................................59Масъалахои ам алй ................................................................... 63§2. Аломатхои баробарии секунчахо................................... 65М асъалахо................................................................................... 69§3. Медиана, биссектриса ва баландии секунча........ .......70§4. Хосиягхои секунчаи баробарпахлу ........................ .....73М асъалахо............................................................................. ...... 75§5. Аломати сеюми баробарии секунчахо.................. ....... 75М асъалахо............................................................................. ...... 76

110

§6. Баъзе натичахо аз аломатх,ои баробариисекунчахо................................................................................. .....77Масъалахо.............................................................................. ..... 79Саволхо барои санчиш.............................................................80М асъалахо................................................... ............................ ... 81Фасли IV. Давра ва дойра................................................... ... 83§1. Давра ва холатхои чойгиршавии он. Д ойра...............83§2. Хрлати чойгиршавии шаклхо нисбат ба давра.... 88Саволхо барои санчиш............................................................ 94М асъалахо................................................................................ ...94Фасли V. Сохтанхои геометрй...............................................96§1. Талаботи асосй дойр ба сохтанхои геометрй.............96§2. Сохтани хатхои рости перпендикуляр.................. .....98М асъалахо.............................................................................. .....100§3. Сохтани кунчхо ва секунчахо..................................... .... 101Саволхо барои санчиш............................................................104М асъалахо............................................................................. .....105Чдвоб ва нишондод ба халли м асъалахо..................... ....108

i l l

§6. Баъзе натичахо аз аломатхои баробариисекунчахо................................................................................. .....77М асъалахо.............................................................................. ......79Саволхо барои санчиш............................................................. 80М асъалахо................................................... ............................ ....81Фасли IV. Давра ва дойра................................................... ....83§1. Давра ва холатхои чойгиршавии он. Д ойра............... 83§2. Х,олати чойгиршавии шаклхо нисбат ба давра.... 88Саволхо барои санчиш.............................................................94М асъалахо................................................................................ ....94Фасли V. Сохтанхои геометрй......................................... ..... 96§1. Талаботи асосй дойр ба сохтанхои геометрй............. 96§2. Сохтани хатхои рости перпендикуляр.................. ......98М асъалахо.............................................................................. ..... 100§3. Сохтани кунчхо ва секунчахо..................................... .....101Саволхо барои санчиш.............................................................104М асъалахо............................................................................. ..... 105Ч,авоб ва нишондод ба халли м асъалахо..................... .....Ю8

111