О.М. Александра Навчальний посібник 16 основних тем та повторення * Весь необхідний теоретичний матеріал * Різнорівневі практичні завдання, * від найпростіших до завдань поглибленого рівня Особлива увага до задач із параметрами * 252 години занять * Відповіді до всіх завдань * Короткий математичний довідник * Чотирирічна апробація та вдосконалення * Специфікація ЗНО-2013 * ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН Ваш домашній репетитор
14
Embed
О.М. Александра - dk-books.com · для тих, хто самостійно готується до ЗНО з математики. Усі теми складено у
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
О.М. Александра
Навчальний посібник
16 основних тем та повторення *Весь необхідний теоретичний матеріал *Різнорівневі практичні завдання, *від найпростіших до завдань поглибленого рівняОсоблива увага до задач із параметрами *252 години занять *Відповіді до всіх завдань *Короткий математичний довідник *Чотирирічна апробація та вдосконалення *Специфікація ЗНО-2013 *
ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН
В а ш д о м а ш н і й р е п е т и т о р
ББК 22.1я72 А46
Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва
Александра О.М.А46 ПовнийкурспідготовкидоЗНОзматематики:Навч.посібник.—
Тернопіль:Навчальнакнига-Богдан,2012.—232с.
ISBN 978-966-10-3102-8
Виданняєпосібникомдляпідготовкидозовнішньогонезалежногооцінювання(ЗНО)якугруповійформі,такііндивідуально.Весьтеоретичний іпрактичнийматеріалподіленона16 тем таповторенняпередпробнимвипускнимтестуванням.16тематичнихтестівтапробний(випускний)тествидаютьсяокремояк«Тести.Додатокдопосібника“ПовнийкурспідготовкидоЗНОзматематики”».Усітестиподаноудвохваріантах.
Серію «Ваш домашній репетитор» засновано 2012 року
Від аВтора
З2008горокускладаннязовнішньогонезалежногооцінювання(даліЗНО)стаєобов’язковимдлябажаючихвступитидовищихнавчальнихзакладів,хочавипускнетестуваннязапровадилинабагатораніше.Відсамогопочаткуіпо2009йріквключноябравучастьуперевірці третьоїчастиниЗНОяквякості експерта, так і вякостістаршогоінструктораі,навіть,вякостікуратора.ТомуспецифікузавданьітематикуЗНОзнаю,яктокажуть,зсередини.Структуразавданьбулатрирівневою.Першачастинамістилазавданнянавибірправильноївідповіді,ікожнезавданняоцінювалосьв1бал.Другачастинамістилазавдання,доякихуспеціальновідведеніклітинкибланку відповідей треба було вписати числове значення відповіді;кожнезавданняцієїчастиниоцінювалосьу2бали.Третячастинамістилазавдання,доякихабітурієнтмавнадатидетальніпояснення.Оцінювалисьзавданняцієїчастинивід4охдо7мибалів,взалежностівідрівняскладності,іперевірялисьфахівцями,щозалучалисьцентрамимоніторингуякостіосвітизчисланайдосвідченішихвикладачів.
З2009горокудержававідмовиласьвідтакоїструктуриЗНО.Першачастиназалишиласьтакоюж,ікількістьбалівзакожнезавданнянезмінилась.Другачастинасталаміститизавданнянавстановленнявідповідностіміжзапитаннями(1-4)тавідповідямидоних(А-Д).Кожнезавданняцієїчастиниоцінювалосьвід0до4балів,взалежності від кількості наведених правильних відповідностей. Третяжчастинаміститьзавдання,докожногозякихабітурієнтмаєвписатиубланквідповідейчисловезначеннярозв’язку.Оцінказакожнуправильнозаписанувідповідь—2бали.Особливістюцьоготестування є те,щобланквідповідейперевіряєтьсялишекомп’ютером, беззалученняфахівців.Можецейнакраще,боекономлятьсядержавнікошти,якітребабулобзаплатитифахівцям,щоперевірялибтретючастину.Але,якнамене,втраченотворчийпідхіддоперевіркискладнихзавдань.
Посібник,передусім,адресованоучнямвипускних 11-их класівзагальноосвітніхшкіл,ліцеїв,коледжів, гімназійтощо,випускникамминулих років, що складатимуть ЗНО з математики; викладачамсистемидовузівськоїпідготовки,атакожпризначенодляфакульта-тивних занять.Посібникмістить16тематичнихрозділіві17йрозділ—повторення.Кожнатемазавершуєтьсятематичнимтестом,щоєзворотнимзв’язкомміжслухачамикурсівпідготовкитавикладачем.Тематичнітестирозробленіудвохваріантахісхожі,заструктурою,натестиЗНО.Всівони,які17йвипускнийтест(пробнетестування)містятьсяудодатку«Тести.Додатокдопосібника“ПовнийкурспідготовкидоЗНОзматематики”».17йтестподаноудвохваріантах:«Зошит1»і«Зошит2».Алесімнадцятий(випускний)тестіснуєу8ми(!)варіантах,замовитиякіможнававторазаелектронноюадресою[email protected],якііншітематичнітести.ВсівонинабраніуWordііготовідодрукууформатіА4набудьякомупринтері,якийєсьогоднічиневкожнійсім’ї.Цемаєзацікавитивикладачів, що ведуть курсову довузівську підготовку.
До всіх 1548ми задач посібника наведено відповіді. До тематичних тестів і до двох варіантів випускного тесту відповіді наведено вРозв’язнику,якийвиданоокремо.Вінбудекориснимдляучнів,щонемаютьзмогувідвідуватикурсипідготовки,бовньомунаданорозв’язкивсіхключовихзадачзбіркитазадачпідвищеноїскладності.
Необхідну теоретичну складову в посібнику розміщено, як правило,напочаткутеми.Вонадаєзмогунезалучатидопідготовчогопроцесу інші збірники та підручники. В кінці видання компактнозібранодовідниковийматеріал.
Задача 1.5. ВкладниквнісвОщадбанк3000грн.Ощадбанкнараховуєщорічно12%відсумивнеску.Якоюстанесуманарахункувкладникачерез4роки?
Властивості степенів та арифметичні дії з ними
ab a bn n n( ) = ⋅ . ab
ab
n n
n
= . a a am n m n⋅ = + .
a a am n m n: = - . a am n mn( ) = . a amnmn= .
a a0 1 0= ≠, . aa
nn
- =1 .
Знайдіть значення числових виразів (1.6-1.9):
1.6. -
-23
2
. 1.7. 142 7
15
13 14⋅.
1.8. 342 17
7 214
10
11 12
6 7
8⋅⋅: . 1.9. 16 25
2 5
4 2
8
23
15
23 1 6
12 1
3123
19
12
⋅
⋅
⋅
-
-
,.
Запишіть вирази у вигляді степеня з основою х (1.10-1.13):
1.10. -( ) ⋅x x2 3 . 1.11. x x3 4⋅ -( )- . 1.12. x
x6
7
-
. 1.13. x xn n n2 24- -: .
Формули скороченого множення. Тотожні перетворення алгебраїчних виразів
a b a b a b2 2- = -( ) +( ) . a b a ab b±( ) = ± +2 2 22 .
a b a b a ab b3 3 2 2± = ±( ) +( ) .
Заняття №154-156 105
Вписані та описані кола. Теорема Птолемея
У чотирикутнику, вписаному в коло, добутокдіагоналей дорівнює сумі добутків протилежнихсторін,d d ac be1 2 = + (рис.11.14).
У чотирикутнику, описаному навколо кола,сумипротилежнихсторінрівні.
Знайдіть довжину кола, описаного навколо (11.57-11.64):11.57.квадратазістороноюа.11.58.прямокутниказісторонамиaіb.11.59.правильноготрикутниказістороноюа.11.60.прямокутноготрикутниказкатетамиaіb.11.61.прямокутноготрикутниказкатетомаіпротилежнимкутомa.11.62.рівнобедреноготрикутниказосновоюаівисотоюh,проведеноюдооснови.11.63.рівнобедреноготрикутниказосновоюаібічноюстороноюb.11.64.прямокутниказістороноюаігостримкутомaміждіагоналями.
Знайдіть довжину кола, вписаного (11.65-11.72):11.65.уквадратзістороноюа.11.66.урівностороннійтрикутникзістороноюa.11.67.урівнобедренийпрямокутнийтрикутникзгіпотенузоюс.11.68.упрямокутнийтрикутникзгіпотенузоюс ігостримкутомa.11.69. упрямокутнийтрикутникзкатетома іприлеглимдоньогокутомa.11.70.урівнобедренийтрикутникзбічноюстороноюаікутомa,протилежнимоснові.11.71.урівнобедренийтрикутникзкутомa приосновіівисотоюh,опущеноюнаоснову.11.72.урівнобедренутрапеціюзбільшоюосновоюаігостримкутомa.
11.75.Навколоколазрадіусомrописанорівнобедренийтрикутникізкутом120º.Знайдітьйогосторони.11.76. Основа трикутника дорівнює 12 см, а сума бічних сторін—20см.Знайдітьдовжинувисотитрикутника,проведеноїдооснови,абиприцьомуйогоплощабуланайбільшою.
Заняття №157-159
Практикум з розв’язування задач
Розв’яжіть задачі (11.77-11.80):11.77. На рис. 11.15 зображено прямокутнийтрикутникАВС, гіпотенуза якого дорівнює 6, агострий кут—60°.На гіпотенузіАВ побудованорівностороннійΔABD,анакатетіСВ—рівностороннійΔCBE.Установіть відповідністьміжплощамизаданихфігур(1-4)ічисловимизначеннями(А-Д).
Площа Числове значення
1 ПлощатрикутникаАВС
2 ПлощатрикутникаСВЕ
3 ПлощафігуриADBC
4 ПлощатрикутникаАDС
А 27 32
Б 9 32
В 9 34
Г 12 3Д 9 3
11.78. На рис. 11.16 зображено трикутникАВС. Установіть відповідність між тригонометричнимифункціямизаданихкутів(1-4)іїхнімичисловимизначеннями(А-Д).
Довідник 227
8. duu
u Ccos2 = +∫ tg .
9. duu
u Csin2 = - +∫ ctg .
10. duu
u Csin
ln= +∫ tg2
.
11. duu
u Ccos
ln= +
+∫ tg
2 4p .
12. dua u
ua
C2 2-
= +∫ arcsin .
13. duu a
u u a C2 2
2 2
±= + ± +∫ ln .
14. dua u a
ua
C2 21
+= +∫ arctg .
Комбінаторика
1. Розміщення:
A n n n n m n mnm = -( ) -( ) - -( )( ) - -( )( )1 2 2 1... , або A n
n mnm =
-!
( )!.
2. Перестановки: P n nn = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅! ...1 2 3 .
3. Комбінації: C nm n mn
m =⋅ -( )
!! !
.
4. Біном Ньютона: x a C x C ax C a x C a x C an
nn
nn
nm m n m
nn n
nn n+( ) = + + + + + +- - - -0 1 1 1 1... ... .
5. Формула загального члена розкладу бінома Ньютона:
T C a x nm n m
a xm nm m n m m n m
+- -= =
⋅ -1!
! ( )!.
228 Довідник
Властивості комбінаторики
1. C nm n m
C nn m m
C Cnm
nn m
nm
nn m=
⋅ -( )=
-( )⇒ =- -!
! !, !
! !.
2. Якщо m = n, то A Pnm
n= .
3. При m = n, A Pnm
n= , nn n
n n n!( )!
!, !!
!,-
= = ⇒0
0! = 1.
Формули теорії ймовірностей
1. Ймовірність події P mn
= , де m — кількість очікуваних подій, n —
кількість усіх можливих подій.2. Формула Бернуллі: P C p q q pm n n
m m n m, ,= = -- 1 .
Використана література 229
Використана література
1. Апостолова Г.В. Хитромудрий модуль. К.: «Поліграфсервіс», 2001.2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметром. —
тера ЛТД, 2012.4. Дуда О.Д., Романюк В.Я., Балінська Л.А. Алгебра. Завдання для
підготовки до екзамену в 9-их класах. — Львів: ВНТЛ, 1999.5. Дуда О.Д., Романюк В.Я., Балінська Л.А. Геометрія. Завдання
для підготовки до екзамену в 9-их класах. — Львів: ВНТЛ, 1999.6. Истер А.С. 200 вариантов вступительного экзамена по математи-
ке. — Каменец-Подольский: АБЕТКА, 2001.7. Істер О.С. Комбінаторика, біном Ньютона та теорія ймовірностей
у школі. — К.: ФАКТ, 1997.8. Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. Збірник завдань
для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Части-на ІІ. Геометрія. Л.: ВНТЛ, 1997.
9. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. М.: Просвещение, 1990.
10. Сканаві М.І. Збірник задач з математики для вступників до вту-зів. — К.: Вища школа, 1992.
11. Титаренко О.М. 5770 задач з математики з відповідями. — Х.: Тор-сінг Плюс, 2005.
12. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2008. Тест із математики.
13. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2009. Тест із математики.
14. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2010. Тест із математики.
15. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2011. Тест із математики.
16. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2012. Тест із математики.
17. Ясінський В.В. Математика. Навчальний посібник для слухачів ФДП НТУУ «КПІ». — К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2005.
Зміст
Від автора ...............................................................................................3Тема 1. Відсотки. Числові та алгебраїчні вирази ......................5Тема 2. Алгебраїчні рівняння .........................................................12Тема 3. Рівняння з параметрами ...................................................20Тема 4. Системи алгебраїчних рівнянь з двома змінними ....28Тема 5. Нерівності та їх системи ...................................................34Тема 6. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи ....41Тема 7. Функції, їх властивості та графіки ................................45Тема 8. Прогресії. Ціла та дробова частини числа ..................51Тема 9. Тригонометричні функції, їх графіки та властивості ......................................................................................56Тема 10. Показникова та логарифмічна функції .....................80Тема 11. Планіметрія ........................................................................90Тема 12. Декартові координати. Вектори .................................108Тема 13. Стереометрія ....................................................................118Тема 14. Похідна та її застосування ...........................................132Тема 15. Первісна та інтеграл ......................................................140Тема 16. Комбінаторика. Теорія ймовірностей. Математична статистика ...............................................................144Тема 17. Повторення .......................................................................154Відповіді .............................................................................................184
Тема 1. Відсотки. Числові та алгебраїчні вирази .....................184Тема 2. Алгебраїчні рівняння .....................................................185Тема 3. Рівняння з параметрами ...............................................186Тема 4. Системи алгебраїчних рівнянь з двома змінними .....188Тема 5. Нерівності та їх системи .................................................189Тема 6. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи ......191
Зміст 231
Тема 7. Функції, їх властивості та графіки ...............................191Тема 8. Прогресії. Ціла та дробова частини числа ...................197Тема 9. Тригонометричні функції, їх графіки та властивості ................................................................................198Тема 10. Показникова та логарифмічна функції .....................202Тема 11. Планіметрія ...................................................................204Тема 12. Декартові координати. Вектори ..................................205Тема 13. Стереометрія .................................................................206Тема 14. Похідна та її застосування ...........................................207Тема 15. Первісна та інтеграл ....................................................208Тема 16. Комбінаторика. Теорія ймовірностей. Математична статистика .....................................................................................209Тема 17. Повторення ....................................................................209
Довідник .............................................................................................212Формули скороченого множення ................................................212Елементарні перетворення графіків функцій ..........................212Основні формули тригонометрії .................................................214Основні співвідношення між оберненими тригонометричними функціями .................................................216Властивості степенів ....................................................................219Властивості логарифмів ..............................................................220Трикутники ...................................................................................220Чотирикутники .............................................................................222Площа трикутника .......................................................................222Декартові координати ..................................................................222Вектори ..........................................................................................224Похідні елементарних функцій та правила їх обчислення ....225Таблиця основних невизначених інтегралів ............................226Комбінаторика ..............................................................................227Властивості комбінаторики .........................................................228Формули теорії ймовірностей ......................................................228