This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Η εξίσωση xn = a ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
Εξισώσεις με κλάσματα ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4
Εξισώσεις με απόλυτες τιμές ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
Εξισώσεις 2ου βαθμού με έναν άγνωστο – Τύποι Vietta ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4
Η συνάρτηση f(x) = ax + b (ευθεία) ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9
Πράξεις με σύνολα ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10
Εξισωσεις που αναγονται σε δευτεροβαθμιες .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 15
Εφαρμογες στα τριγωνα ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 23
Εφαρμογες στα ορθογωνια τριγωνα ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 24
Σημείωση 1: Η νιοστή ρίζα είναι γενίκευση της τετραγωνικής
ρίζας. Την τετραγωνική ρίζα μπορούμε να τη γράψουμε και
ως
1
2 2x x x
Σημείωση 2: Οι νιοστές ρίζες είναι δυνάμεις με ρητούς
εκθέτες. Όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους
εκθέτες (που έχουμε δει σε προηγούμενη τάξη) συνεχίζουν
να ισχύουν και για τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη.
Ιδιότητες νιοστών ριζών
1
( άρτιος)
, 0 , , , , , , 0
nn
nn
m
m mn nn
kn n
kn nkm mkm m
n n n
n
nn
m n mn
n n
n
x y n k m n k m
x x
x x
x x x
x x x x
x y x y
x x
yy
x x
x y x y
Ιδιότητες απόλυτων τιμών
2
, αρτιος)
τριγωνική ανισότητα
0 0
,
(
,
( )
ή
n nn n
x x
x y y x
xxx y x y
y y
x x
x y x y x y x y
x y x y x y
x y y x x y x y
Αν 0 τότε:
0 0 0
0 0 0
ή
ή
x x
x x x
x x x x x
x x x x x x
Ιδιότητες ανισώσεων
1 1( 0)
( , , , 0)
, ( , , 0)n n
a b a ba b
a ba c b d
c d
a bac bd a b c d
c d
a b a b n a b
σελ. 4 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Εξισώσεις
Η εξίσωση xn = a
0a 0a
n περιττός
Μοναδική λύση:
nx a
Μοναδική λύση :
nx a
n άρτιος
Δύο λύσεις:
nx a
Αδύνατη
Ως παράδειγμα, ας λύσουμε τις παρακάτω απλές
εξισώσεις:
3 333
3 33
4 444
4
27 27 3 3
27 27 27 3
16 16 2 2
16 αδύνατη
x x
x x
x x
x
Εξισώσεις 2ου βαθμού με έναν άγνωστο – Τύποι Vietta
Σε προηγούμενη τάξη μάθαμε να λύνουμε με διακρίνουσα την εξίσωση με γενική μορφή
2 0
, , , 0
x x
Αν η εξίσωση έχει 0 και άρα δύο διαφορετικές λύσεις 1 2,x x , τότε ισχύουν οι τύποι Vietta:
1 2
1 2
2 2 0
bS x x
a
cP x x
a
ax bx c x Sx P
Εξισώσεις με κλάσματα
Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει κλάσματα
ακολουθούμε συγεκριμένα βήματα. Ας τα δούμε με ένα
παράδειγμα:
2
4
1
x
x x x
1. Βρίσκουμε τις νόμιμες τιμές που μπορεί να πάρει το x :
21 0 και 0
1 και ( 1) 0
1 και 0
x x x
x x x
x x
2. Παραγοντοποιουμε τους παρονομαστες:
4
1 ( 1)
x
x x x
3. Απλοποιουμε και λυνουμε την εξισωση:
2
4
1 ( 1)
4
4
2
x
x x x
xx
x
x
Εξισώσεις με απόλυτες τιμές
Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει
απόλυτες τιμές συνήθως εφαρμόζουμε τις
παρακάτω ιδιότητες:
2
ή
ή
x a x a x a
x a x a x a
x x
Παραδειγμα:
2
2
2 1 3 5
( 1) 3 5
1 3 5
άρα:
1 3 5 2
ή
31 3 5
2
x x x
x x
x x
x x x
x x x
σελ. 5 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Ανισώσεις
Ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές
Για να λύσουμε τετοιες ανισωσεις χρησιμοποιούμε κατάλληλα
τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών:
4 5
5 4 5
5 4 5 4
1 9
[ 1,9]
x
x
x
x
x
Ανισώσεις 2ου βαθμού
Έστω ότι έχουμε δύο ανισώσεις των οποίων το ένα μέλος είναι τριωνυμο και το άλλος μέλος 0:
2
2
4 5 0
6 0
x x
x x
Για να βρούμε που συναληθεύουν οι δύο ανισώσεις ακολουθούμε την παρακάτω
διαδικασία:
1. Βρίσκουμε τη διακρίνουσα των πολυωνύμων. Αν κάποιο έχει 0 αυτό σημαίνει ότι
το αντίστοιχο πολυώνυμο έχει σταθερό πρόσημο σε όλους τους πραγματικούς.
2. Αν και τα δύο πολυώνυμα έχουν 0 τότε τα παραγοντοποιούμε και σημειώνουμε τις
ρίζες τους. Στο παράδειγμά μας θα είναι:
2
2
4 5 5 1 0 ρίζες : 1, 5
6 2 3 0 ρίζες : 2, 3
x x x x
x x x x
3. Σχεδιάζουμε τους πίνακες προσήμων σημειώνοντας σε κάθε κουτί – διάστημα το αντίστοιχο πρόσημο όλων των παραγόντων που μας ενδιαφέρουν.
Τονιζουμε οτι στον οριζοντιο αξονα x τοποθετουμε τις ριζες του καθε πολυωνυμου.
4. Βρίσκουμε τις λύσεις της κάθε ανίσωσης και βλέπουμε σε ποιό
διάστημα συμπίπτουν:
Η 1η ανίσωση έχει ως λύσεις όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα
( 1,5) .
Η 2η ανίσωση αληθεύει για όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα
( , 2] [3, ) .
Οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν στο διάστημα [3,5) .
Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο
Μια ανίσωση της οποίας το ένα μέλος είναι γινόμενο ή πηλίκο
παραγόντων και το άλλο μέλος 0, λύνεται με κατάλληλο πίνακα
προσήμων.
Συχνα ειναι απαραιτητο να φερουμε την ανισωση στην
επιθυμητη μορφη. Για παραδειγμα:
2 4 2 44 4 0
1 1
4 12 40
1 1
2 4 4 10
1
6 80
1
x x
x x
xx
x x
x x
x
x
x
Τώρα μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με κατάλληλο πίνακα
τιμών.
Υπενθυμιση: Αποφευγουμε να πολλαπλασιάσουμε ή
διαιρέσουμε μια ανίσωση με μεταβλητή γιατι υπάρχει σοβαρό
ενδεχόμενο να οδηγηθούμε σε λάθος.
σελ. 6 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Ανισώσεις 2ου βαθμου (γραφικη λυση)
Μπορουμε να λυσουμε μια ανισωση 2ου βαθμου με τη βοηθεια του παρακατω σχηματος:
Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το προσημο του πολυωνυμου 2 6 5P x x . Τοτε:
1
2
0
9
5
1
x
x
Αρα:
0 για ( 5, 1)
0 για ( , 5) (1, )
P x
P x
Προσοχη: Η μεθοδος αυτη δουλευει μονο για ανισωσεις 2ου βαθμου και οχι για ανισωσεις γινομενο η πηλικο.
σελ. 7 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Πρόοδοι
Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος
1
1,2,3,,,
0
0
1
v
Αριθμητική πρόοδος
Γεωμετρική πρόοδος
Αναδρομικός τύπος 1 1
Ευθύς τύπος
1 1 1
1
Άθροισμα 1 1 1... 2 ( 1)2 2
v vS
1 1
1...
1S
«Τυπος ανατοκισμου»
Μια γεωμετρική πρόοδος που εμφανίζεται συχνά σε διάφορες εφαρμογές είναι
η εξής: Έστω ότι έχουμε ένα ποσό το οποίο αρχικά έχει την τιμή και αυξάνεται
(ή μειώνεται) με σταθερό ρυθμό , όπου κάποιο ποσοστό επί τοις εκατό. Σε
κάθε βήμα έχουμε:
1
2 1 1 1
3 2 2 2
1
1
1
....
1
Συνεπώς η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με ευθύ τύπο:
1 1
1 1 1 1
1
Αριθμητικός μέσος
Έστω μια αριθμητική πρόοδος και 3 διαδοχικοί
όροι της , , . Ο όρος ονομάζεται
αριθμητικός μέσος των , .
Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι
μιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν
2
Γεωμετρικός μέσος
Έστω μια γεωμετρική πρόοδος και 3
διαδοχικοί όροι της , , . Ο όρος
ονομάζεται γεωμετρικός μέσος μέσος των
, .
Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί
όροι μιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο
αν
2
σελ. 8 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Συναρτήσεις
Ορισμός συνάρτησης
Συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας
(τύπος) με τον οποίο κάθε στοιχείο x του Α αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα
στοιχείο ( )y f x του Β.
Το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και τo y η εξαρτημένη μεταβλητή. Το
( )f x ονομάζεται και τιμή της f στο x .
Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο ορισμού και το σύνολο B σύνολο τιμών:
: να ορίζεται
( ) ( ) : A
x f
f f x x
Αν για κάποια συνάρτηση δεν είμαστε σίγουροι ποιό ακριβώς είναι το σύνολο
τιμών μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε ότι .
Με βάση τον παραπάνω ορισμό απαγορεύεται μια συνάρτηση να έχει δύο
τιμές για το ίδιο x . Με άλλα λόγια δε μπορεί να ισχύει ( )f x a και
( )f x b με a b για κανένα x . Όμως μπορεί ένα συγκεκριμένο ( )f x να
αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά x .
Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη συνάρτηση 2( )f x x . Το x μπορεί να είναι
οποιοσδήποτε πραγματικός, άρα . Όποια τιμή και αν πάρει το x , το
( )f x θα είναι πάντα θετικός ή 0, άρα 2 : [0, )x x . Θα
γράψουμε λοιπόν:
2
: [0, )
( )
f
f x x
Παρατηρήστε ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση δύο διαφορετικά x μπορεί
να αντιστοιχούν στο ίδιο y , πχ: 4 (2) ( 2)y f f .
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Η γραφική παράσταση fC μιας συνάρτησης f στους άξονες είναι όλα τα ζευγάρια , ( ) :x f x x . Με άλλα λόγια, η γραφική
παράσταση είναι όλα τα σημεία ,x y στο επίπεδο που επαληθεύουν τον κανόνα της συνάρτησης.
Για να είναι μια καμπύλη γραφική παράσταση συνάρτησης πρέπει κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα y να τέμνει την καμπύλη το πολύ
σε ένα σημείο.
Στο διπλανό σχέδιο βλέπουμε πως μοιάζει μια καμπύλη που είναι συνάρτηση
(μπλέ χρώμα) και μια καμπύλη που δεν είναι συνάρτηση (κόκκινο χρώμα).
Έστω ότι έχουμε δύο συναρτήσεις ,f g . Τότε ισχύουν τα παρακάτω:
Η λύση της εξίσωσης ( ) ( )f x g x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x στα οποία τέμνονται οι καμπύλες ,f gC C .
Η λύση της ανίσωσης ( ) ( )f x g x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x για τα οποία η fC βρίσκεται κάτω από τη gC .
Αντίστοιχα για την ανίσωση ( ) ( )f x g x .
Η λύση της εξίσωσης ( ) 0f x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x .
Η λύση της εξίσωσης (0)y f (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα y στα οποία η fC τέμνει τον άξονα y .
Η λύση της ανίσωσης ( ) 0f x (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x για τα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x .
Αντίστοιχα για την ανίσωση ( ) 0f x .
σελ. 9 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Η συνάρτηση f(x) = ax + b (ευθεία)
Σε προηγούμενες τάξεις είχαμε αναφερθεί στη συνάρτηση
( )y f x ax b
x
και είχαμε πει ότι η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία. Υπενθυμίζουμε ότι ο συντελεστής του x , το a , ονομάζεται κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσης.
Από την τριγωνομετρία προκύπτει ότι αν είναι η γωνία (κατά τη θετική φορά) που σχηματίζει η ευθεία με τν άξονα x , τότε:
Αν 00 τότε 0a και η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x .
Αν 0 00 ,90 (οξεία γωνία) τότε 0a .
Αν 0 090 ,180 (αμβλεία γωνία) τότε 0a .
Αν 090 (ορθή γωνία) τότε a (η κλίση είναι άπειρη) και η
ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y .
Σε κάθε περίπτωση, αν 1 1,x y και 2 2,x y είναι δύο οποιαδήποτε σημεία μιας ευθείας τότε ισχύει
2 1
2 1
εφy y
ax x
Τέλος, αν δύο ευθείες έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 2,a a ισχύουν τα παρακάτω:
Οι ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν 1 2a a .
Οι ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν 1 2 1a a .
σελ. 10 μαθηματικά Α λυκείου minimath.eu
Πιθανότητες
Σύνολα
Σύνολο είναι μια ομάδα που περιέχει διάφορα στοιχεία. Για παράδειγμα:
{θετικοί ακέραιοι αριθμοί μαζί με το 0} {0,1,2,3,4,5,...}