1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Α1. Σελίδα 111 σχολικού βιβλίου Α2. Σελίδα 129 σχολικού βιβλίου Α3. i) Ψ ii) Το παράδειγμα σελίδα 35 σχολικού Σχ(34) Α4. α. Λ β. Λ γ. Σ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Για κάθε 1 2 , x x R αν 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x fx fx άρα η f γνήσια αύξουσα στο R Β2. α) i) 3 3 lim (x) lim 2 lim x x x f x x x ii) 3 3 lim () lim 2 lim x x x fx x x x β) Το σύνολο τιμών της f είναι ( ) lim ( ), lim () , , x x fR fx fx f συνεχής Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και ο αριθμός n=0 ανήκει στο ( ) f R άρα από Θ.Ε.Τ η f έχει ρίζα στο R. Η ρίζα είναι μοναδική αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο R, 1-1. Β3. 3 1 1 3 2 3 2 2 () 1 () ( 1) 1 1 2 3 3 1 1 3 3 0 3 3 0(1) f ύ f x x f f x fx x x x x x x x x x x x xx x 28/12/2018 Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου (Θερινά) Παπαναγιώτου Παναγιώτης
5
Embed
Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου · 5 αφού ()0 zz0,'() 00 e xtxt. την ()0 323 1 0 xt a a a a. Θεωρούμε συνάρτηση gx x x x() 3 1 32 συνεχής
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Α1. Σελίδα 111 σχολικού βιβλίου
Α2. Σελίδα 129 σχολικού βιβλίου
Α3. i) Ψ ii) Το παράδειγμα σελίδα 35 σχολικού Σχ(34)
Α4. α. Λ
β. Λ
γ. Σ
δ. Σ
ε. Σ
ΘΕΜΑ Β
Β1. Για κάθε 1 2, x x Rαν 3 3 3 3 3 3
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 22 2 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x f x f x άρα η f γνήσια
αύξουσα στο R
Β2. α) i) 3 3lim (x) lim 2 lim
x x x
f x x x
ii) 3 3lim ( ) lim 2 lim
x x x
f x x x x
β) Το σύνολο τιμών της f είναι ( ) lim ( ), lim ( ) , ,
x x
f R f x f x f συνεχής
Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και ο αριθμός n=0 ανήκει στο ( )f R άρα από Θ.Ε.Τ η f έχει ρίζα στο
R. Η ρίζα είναι μοναδική αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο R, 1-1.
Β3.
31 1
3 2 3 2
2
( ) 1 ( ) ( 1) 1 1 2
3 3 1 1 3 3 0
3 3 0(1)
f ύ
f x x f f x f x x x x
x x x x x x x x
x x x
28/12/2018
Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου (Θερινά)
Παπαναγιώτου Παναγιώτης
2
Το 2 3 3 x x έχει διακρίνουσα 2( 3) 4 1 3 3 0 άρα 2 3 3 0 x x για κάθε x R Τότε η (1)
δίνει 0x
Β4. Η 3 2'( ) 2 ' 3 1 f x x x x άρα '(0) 1 1 1 0 f
Το 0
lim ( ) (0) 2 0
x
f x f άρα f(x) θετικό κοντά στο 0 και ( ) ( )f x f x Τότε το ζητούμενο όριο είναι:
3
30 0 0
3 3 2 3
30 03 3
2 3 2 3
220 0
( ) 2 ( ) 2lim lim lim
( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1
1 1 1 1 1lim lim
1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 2lim lim 2
1 11
x x x
x x
x x
f x f x x x
f x f x x x
x x x x x x x x
x xx x x x
x x x x x xx
xx x
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Η f είναι συνεχής στο 1 1
,4
e
ως παραγωγίσιμη άρα απ το Θ.Μ.Ε τιμής για κάθε
1 1, : ( )
4
x m f x Me
:5
13 3 3
4
1 1 1 1( ) 5 3 5
4
1
1 1 13
4
5
m f M
m f x M m f m f f f Me
m f Me
f f fe
m M
αν m=Μ η f(x)=c (σταθερή) και το 0
1 1 13
4( )
5
f f fe
f x
για οποιοδήποτε x0 του
1 1,
4
e
αν ,m M f συνεχής τότε από Θ.Ε.Τ αφού
1 1 13
4
5
f f fe
n
ανήκει στο Σ.Τ υπάρχει
0 0
1 1 13
1 1 4, 0,1 :
4 5
f f fe
x f x ne
3
Γ2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) και συνεχής στο [0,1] ως παραγωγίσιμη και
(0) (1)f f άρα από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,1) : f'( ) 0 . Έστω υπάρχει και δεύτερη
ρίζα ξ1: ξ1<ξ (όμοια με ξ<ξ1) τότε η f’είναι παραγωγίσιμη στο (ξ1,ξ), f’ συνεχής στο [ξ1,ξ] ως
παραγωγίσιμη και f’ (ξ1)=f’(ξ)=0. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον
2 1 2( , ) : f''( ) 0 που είναι ΑΤΟΠΟ. Άρα η ρίζα ξ είναι μοναδική στο (0,1).
Γ3. Η εξίσωση γράφεται 2) '(x 1 0 x f x Θεωρούμε την συνάρτηση
( ) 2 '( ) 1 g x x f x x συνεχής στο [ξ,2] ως πράξεις των συνεχών x-1,x-2,f’(x)
(Οι x-1,x-2 συνεχείς ως πολυωνυμικές και η '( )f x συνεχής ως παραγωγίσιμη) Είναι
( ) (2) 2 '( ) 1 2 2 '(2) 2 1 1 1 0 g g f f γιατί ξ (0,1). Άρα από Θ.
Bolzano η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα ότι (ξ,2) (0, 2) άρα στο (0,1)
Γ4. Έστω Α(α,f(α), Β(β,f(β)), Γ(γ,f(γ)) τρία συνευθειακά σημεία στην Cf με α<β<γ. Τότε οι συντελεστές
διεύθυνσης των , είναι ίσοι ή ( ) ( ) ( ) ( )
(1)
f f a f f
Η f συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) άρα από Θ.Μ.Τ υπάρχει
1 1
( ) ( ), ( , ) : '( )
f ff
Όμοια υπάρχει
(1)
2 2 1 2
( ) ( )( , ) : '( ) '( ) '( )
f ff f f
.Η
'f είναι συνεχής στο [ξ1,ξ2], παραγωγίσιμη στο (ξ1,ξ2), 1 2'( ) '( )f f τότε από Θ. Rolle υπάρχει
3 1 2 3( , ) : ''( ) 0 f ΑΤΟΠΟ.
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Για κάθε , 1 1, x είναι
2 2 2
2 2 2
'( ) ( 1) '( ) ( 2 1) '( ) ( 1) 2
'( ) ( 1)( ) ' (x 1) ' '( ) [( 1) ]'
x x x x
x x x
f x x e f x x x e f x x e x e
f x x e e f x x e
Άρα η συνάρτηση
2
1
2
2
( 1) , 1
2( ) , 1
1 , 1
x
x
x e c x
f x xe
x e c x
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=-1 άρα έχουμε: 1 21 1
2 2 2lim ( ) lim ( ) ( 1)
x xf x f x f c c
e e e
Απ τις τελευταίες ισότητες είναι 1 2 0 c c άρα η 2( ) ( 1) , xf x x e x R
Δ2. α) Είναι 2 2 2 2'( ) 1 ' 1 ( ) ' 2x e 1 2 1 x x x x xf x x e x e x e x x e
4
Για κάθε 1 2, 1, x x με x1<x2
1 2
2 2
1 2
1 1
0 1 1 (1)
x x
x xεπίσης από
1 2 1 2
1 2 0 (2) x x x xx x e e e e Από (1) , (2) 1 22 2
1 2 1 2(x 1) ( 1) '( ) '( ) x xe x e f x f x άρα η
f’ είναι γνήσια αύξουσα στο [1, )
β) Για 21 x x x άρα 2 1 x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [1,x] άρα και συνεχής. Τότε
από Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 1
( ) (1)(1, x) : f'( )
1
f x f
x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη
στο [x,x2] άρα και συνεχής τότε από το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον
222
2 2 2
( )( ) ( )(x, x ) : f'( )
( 1)
f x f xf x f x
x x x x . Η συνάρτηση f’ είναι γνήσια αύξουσα στο [1, ] και
1 2 (1, ) άρα και
2 21 0
1 2
( ) ( )( ) 2'( ) '( ) ( ) 2 , 1(3)
1 ( 1)
xf x f x f x f xf x ef f f x e x
x x x x Η τελευταία σχέση (3)
ισχύει και σαν ισότητα για x=1 αφού (1) 2 2 2 0 f e e e και 21 (1)