Маргарита Гиновска, Христина Спасевска 16_25_06 80_643 Prv del... · механичко движење на материјална точка. Материјална

1

Факултет за електротехника и информациски технологии

Маргарита Гиновска, Христина Спасевска

ФИЗИКА 1

Скопје, 2013

2

ВОВЕД ВО ФИЗИКАТА

Физиката е наука што ги изучува објек-тивните својства и најопштите форми на движења на материјата во природата, а нејзиното име потекнува од грчкиот збор физис ( ϕυσιζ) што значи природа. Според тоа задача на физиката е да ги изучува природните појави и да одговори на прашањата каде, кога и како настануваат.

Прано, некаде до средината на XVI век, физиката обединувала повеќе науки. Како посебна наука почнала да се развива по откритијата и достигнувањата на италијанскиот физичар и астроном Галилео Галилеј (1564 ‡ 1642). Тој прв започнал да користи научни методи во истражувањето на природата и физичките закони и заедно со Исак Њутн ги поставил темелите на класичната механика, која што го проучува движењето на макротелата.

Развојот на класичната електро-динамика е поврзана со достигнувањата на Максвел (1831 ‡ 1879). Овој приод трае сé до крајот на XIX век, за да втората половина на XIX век и почетокот на XX век е период на многу интензивен развој на физиката. Тоа овозможува и развој на сите други природни науки, но и на техникатаи новите технологии.

Почетокот на XX век е зачеток на модерната физика или физика на микро-честиците, каде што припаѓа и квантната механика. Поради брзиот развој и поврза-носта на физиката со другите науки во XX век се јавило потреба од развиток на постојните, но и создавање на нови научни дисциплини као што се биофизиката, физич-ката хемија, геофизиката, астрофизика и други.

Во втората половина на XX век исто така започнува забрзан развој на физиката на полуспроводниците, што овозможува значаен развој на електрониката, а со тоа и на информатиката, кибернетиката. Исто така не треба да се заборави откривањето на фисијата, како еден од основните енергетски механизми што придонесува за намалување на енергетската криза во светот.

Историски, поделбата на физиката на одделни дисциплини доаѓа паралелно со откривањето на нови природни појави. Уште во XIX век како посебни дисциплини се издвојуваат механиката на цврстите, течните и гасовитите тела, акустиката, термо-динамиката, електрицитетот, магнетизмот и оптиката.

Во почетокот на XX век новите откритија ја условуваат и појавата на нови дисциплини, како што се квантната, атомската и нуклеарната физика и физиката на тврдо тело.

Секое откритие во физиката придонесува за усовршување и развој на техниката и новите технологии. Секој нов технолошки пронајдок, пак, овозможува негова примена во физиката и нови откритија во неа. Од особено значење е нераскинливата врска меѓу математиката и физиката. Мерењата, решавањето на задачи, графичкото претставување на појавите и процесите не е можно без примена на математиката. Затоа честопати се вели дека математиката е јазик на физиката.

Според заклучоците на физиката светот околу нас е материјален, изграден од материја и основа на секоја појава е движењето. Материјата претставува објек-тивна реалност, постои независно од човекот кој ја прима преку своите сетила и ја изучува. Таа постои во најразлични облици, од елементарни честици, па до макротела. Секој предмет што се среќава во природата се вика физичко тело.

Материјата од која се состојат физичките тела или материјата што е содржана во нивните честици (молекулите и атомите) се вика супстанција.

Исто така материјата таа се јавува и во енергетски облик, т.е. во облик на физичко поле, кое што може да биде гравитационо, нуклеарно, светлинско и друго и во кое се одигруваат извесни процеси. Овие процеси се манифестираат со дејство на сила, што значи дека заемното дејство на телата во природата се одвива преку физичко поле. Така на пример, заемното дејство меѓу Земјата и Месечината се одвива во гравитационо поле; заемното дејство меѓу атомското јадро и електроните е во електростатско поле и слично. Важно е да се знае дека материјата и движењето се неразделни едно од друго. Материјата е во постојано движење, т.е. нема движење без материја и материја без движење. Промените на материјалниот свет кои се последица од движењето на материјата, се викаат природни појави. Нив во природата ги има многу заради многуте облици на движење на материјата. Во зависност од видот на движењето, физиката се дели на областите: механика, топлина, оптика, електричество и магнетизам, атомска и

3

нуклеарна физика. Поради тоа денес не се зборува за физиката како наука, туку за физички науки.

Со своите откритија физиката овозможува развој на многу области од пошироко практично значење. Основните достигнувања во физиката го забрзале и напредокот на техниката. Но и техниката возвраќа со создавање на машини, инструменти и апарати со кои физиката

навлегува во тајните на микросветот и вселената.

Затоа стручни кадри од различни профили треба да ја изучуваат физиката до тој степен да можат да ги применуваат нејзините достигнувања во производството, стопанските дејности, новите технологии, заштитата на животната средина, науката и други дејности.

ФИЗИЧКИ ВЕЛИЧИНИ И ЕДИНИЦИ

Физиката ги проучува и објаснува природните појави, при што се вршат набљудувања и се поставуваат хипотези, се прават експерименти и мерења, од кои што се изведуваат заклучоци и се поставуваат физичките закони.

Секоја појава во природата што може да се регистрира, може да се претстави со физичка величина. Физичките величини ги опишуваат физичките појави или опреде-лени својства на материјата. Врската помеѓу физичките величини кои карактеризираат една физичка појава го дава физичкиот закон за таа појава.

Физичкиот закон може да се запише (претстави) математички со што се добива равенката за тој закон. Физичкиот закон претставува квантитативната зависност меѓу физичките величини. Табела 1

Единици на основните физички величини

Физичка величина Мерна единица Ознака

Должина метар m Време секунда s

Маса килограм kg Термодинамичка температура келвин K Јачина на електрична струја ампер A Јачина на светлината кандела cd Количество на супстанција мол mol

Секоја физичка величина може да се измери. Да се измери една физичка величина значи да се спореди со неа еднородна величина која што предходно е земена за единица мерка. Табела 2 Префикси на мерните единици

Префикс Ознака Вредност

екса E 1018

пета P 1015

тера T 1012

гига G 109

мега M 106

кило k 103

хекто h 102

дека da 101

деци d 10–1

центи c 10–2

мили m 10–3

микро μ 10–6

нано n 10–9

пико p 10–12

фемто f 10–15

ато a 10–18

Измерената физичка големина X се изразува со производот од бројната вредност n и нејзината единица мерка x. Или ако се прикаже со равенка се добива:

X = n x (1.1)

Тргнувајќи од потребата за усогласување на мерните единици во светот, во 1960 година, на Меѓународната конференција за мерки и мерила во Париз е усвоен Меѓународен систем на единици, познат како SI (Systemè

International) систем. Со него се дефинирани седум основни (табела 1) и две дополнителни мерни единици. Сите останати мерни единици се изведени од основните и дополнителните единици. Тие се нарекуваат изведени единици.

Дополнителни единици се радијан (ознака rad) за рамнински агол и стерадијан (ознака sr) за просторен агол. Кога се решаваат задачи, сите мерни единици треба да се во SI системот. Многу често од практични причини за да се

4

олеснат прес-метките при решавањето проблеми, потре-бно е вредноста на физичката величина да се изрази во помала или поголема

мерна единица. За скратено запишување на пома-лите и поголемите мерни единици се корис-тат префиксите, дадени во табела 2.

5

1. МЕХАНИКА

Механиката претставува дел од физиката што ги проучува движењата и состојбите на материјалните тела. Таа го проучува најпростиот облик на движење на материјата, кој што се состои во поместување на телата или нивните делови едни во однос на други. Движењето секогаш се разгледува во однос на некое друго материјално тело за кое сметаме дека условно мирува. Апсолутното движење на телата без да се земе предвид тело или систем од тела во однос на кои се извршува движењето, нема никаква смисла. Во зависност од природата на телата чие што движење се изучува, механиката се дели на механика на материјална точка, механика на тврдо тело и механика на флуиди (хидро и аеромеханика). Во зависност од природата на задачите кои се разгледуваат, механиката се дели на: кинематика, каде што се проучува движењето на телата во зависност од времето, динамика - се зема предвид влијанието на силите врз движењето на телата и статика - се изучуваат телата во состојба на мирување, т.е. во рамнотежа под дејство на сили.

Механичкото движење исто така се дели на: транслаторно (паралелно поместување на секоја точка од телото) и вртливо (секоја точка од телото опишува круг при што центрите на круговите лежат на иста права, наречена оска на ротација).

Основните закони и принципи на класичната механика, формулирани уште од Исак Њутн, имаат свои граници на применливост. Денес, Њутновата механика се јавува само како граничен случај на релативистичката и квантната механика. Поточно релативистичката механика преминува во класична во случај на движење на тела со брзини многу помали од брзината на светлината. Или може да се каже дека Њутновата механика ги проучува бавните движења на макроскопските тела, додека пак релативистичката механика ги опишува движењата на микроскопските тела што се движат со големи брзини. Квантната механика преминува во класична механика во случаи кога телата имаат доволно големи маси.

1.1. КИНЕМАТИКА

Дел од механиката во која што се проучува движењето на телата не навлегувајќи во причините за неговото настанување, се нарекува кинематика. Во кинематиката се разгледува најпростиот вид на движење - механичко движење на материјална точка. Материјална точка е тело без димензии и маса. Таа претставува научна апстрактна категорија. Со оглед на тоа дека таа е тело без маса и димензии, при движењето на материјалната точка не се зема предвид заемнодејството на околната средина со неа. Тоа значи дека не се земаат предвид и силите кои што се причина за движењето на телата.

Поедоставувањето на движењата на

телата, а со тоа и закономернстите што важат во кинематиката, овозможиле уште многу оддамна

да се објаснат движењата на макроскопските тела, како и движењето на планетите.

Механичката состојба на телото во даден момент се определува од неговата положба и неговата брзина. При тоа основна задача на кинематиката е да се определи механичката состојба на системот во секој нареден момент од времето ако се знае состојбата на механичкиот систем во почетниот момент и законите кои го опишуваат движењето на системот.

6

1.1.1 ЕЛЕМЕНТИ НА ДВИЖЕЊЕТО

Движењето во најопшта смисла претставува трансформација на материјата во секој процес што се случува во природата, независно од тоа дали е физички, хемиски, биолошки или пак општествен.

Ако движењето го разгледуваме од аспект на закономерностите што важат во кинематиката - движењето на материјална точка претставува нејзино поместување со тек на времето, во однос на друга точка за која условно сметаме дека мирува.

Значи за да постои движење мора поместувањето на материјалната точка да се разгледува во однос на друга точка која се нарекува референтна точка. Ако референтната точка е координатен почеток на Декардов координатен систем (сл.1.1) тој систем се нарекува референтен систем.

z

y

x

kj

iO

Сл. 1.1 . Правоаголен Декартов

координатен систем Референтниот систем може да се избере

произволно. За проучување на механичкото движење на телата треба да се познаваат и својствата на референтниот систем во однос на кој што се врши тоа движење. Во зависност од изборот на референтното тело, референтниот систем може да биде хелиоцентричен (врзан за Сонцето), геоцентричен (врзан за Земјата) и лабораториски (врзан за лабораторијата). При тоа движењето на едно и исто тело спрема различни референтни системи може да има различен карактер. Ако референтниот систем се совпаѓа со самото тело, тогаш тоа се наоѓа во состојба на мирување, а спрема други референтни системи тоа се движи. Различните референтни системи се рамноправни и еднакво важни при испитување на движењето на телата. Во општ случај физичките појави се одвиваат на различен начин во различни референтни

системи, што дава можност во конкретен случај да се избере референтен систем во однос на кој движењето на телата би било најпросто.

За да се опише движењето на едно тело во однос на избраниот референтен систем, треба да се определи положбата на телото во просторот во било кој момент од времето.

z

y

x

k

ji

r

x i

y j

z k

M x,y,z( )

O

Сл.1.2. Радиус-вектор на точката М и неговите

компоненти Во даден момент од времето

местоположбата на материјалната точка М во референтниот координатен систем може да се претстави како на сл. 1.2.

При промена на својата положба во однос на референтниот систем движењето на материјалната точка М зависи од четири променливи: три просторни координати (x, y, z) и времето t , т.е. М(x,y,z,t).

Положбата на материјалната точка во тој момент се дефинира со радиус-векторот ОМ=r, кој што го поврзува координатниот почеток О со точката М. Радиус-векторот може да се претстави со релацијата:

kjir zyx ++= ,

додека пак модулот на радиус-векторот изнесува:

222 zyxr ++= .

Бидејќи радиус-векторот зависи од времето )(tf=r , следува дека секоја координата зависи од времето:

)(;)(;)( tfztfytfx === (1.1)

Овие равенки се нарекуваат параметарски равенки на движењето, а промента радиус-векторот со текот на времето :

7

( )kjirr tztytxt ++== )()()( (1.2)

го определува законот за движење на материјална точка.

Бидејќи во класичната механика времето и просторот се сметаат за непрекинати (континуирани), следи дека и функцијата (1.2), која што ја дефинира моментната положба на материјалната точка, мора да биде непрекината и еднозначно определена функција од времето, што овозможува да се диференцира по времето. Патеката (линијата) што зад себе ја остава материјалната точка при движење се нарекува патна линија или траекторија.

Дел од траекторијата што ја поминува материјалната точка за временски интервал ∆t се нарекува пат ∆s (сл. 1.3). Оваа физичка величина претставува функција од времето, со која што се опишува законот за патот:

)(tss = . (1.3)

z

x

k

j

r1

r2

∆r∆s

M1

M2

i yO

Сл. 1.3

Векторот r∆ што ги поврзува радиус-векторите на две положби на материјалната точка се нарекува поместување:

12 rrr −=∆

Поместувањето r∆ во најопшт случај се разликува од патот ∆s. Тие можат да бидат исти во само во следните два случаи:

1) Кога поместувањето на материјалната точка е мало (точките М1 и М2 се многу блиску) при многу мал временски интервал t∆ , кога важи:

1lim0

=∆∆

→∆ rs

t (1.4)

2) Кај праволиниско движење на материјална точка, кога патот што го поминува материјалната точка по права линија се совпаѓа со нејзиното поместување:

1=∆∆

rs

(1.5)

Во најопшт случај на движење на материјална точка во просторот, нејзиниот радиус-вектор r се менува по големина и насока при што траекторијата на движењето е сложена крива. Ако r се промени само по големина, траекторијата е права линија, а ако тој се промени само по насока, траекторијата е круг или дел од круг при движење во рамнина.

1.1.2. БРЗИНА И ЗАБРЗУВАЊЕ НА ТЕЛАТА

Промената на положбата на материјалната точка во просторот со текот на времето се нарекува брзина.

Нека )(1 trr = е радиус-векторот на материјалната точка во моментот на времето t , а )(2 tt ∆+= rr по време t∆ (сл. 1.4). Според тоа радиус-векторот што го опишува поместувањетона на материјалната точка во временски интервал t∆ изнесува:

)()( ttt rrr −∆+=∆ Односот меѓу промената на радиус-

векторот r∆ и временскиот интервал t∆ ја дефинира средната брзина т.е.

tsr ∆

∆=

rv (1.6)

Векторот на средната брзина има исти правец со векторот на поместувањето r∆ , а интензитетот е различен од интензитетот на векторот на поместувањето, бидејќи 0>∆t .

8

v

∆rr2

∆s

M1

M2

r1

vsr

z

x

k

ji yO

Сл. 1.3

Ако времето t∆ е многу мало (тежи кон

нула), тогаш точката 2M тежи кон 1M и векторот на поместувањето r∆ се совпаѓа со тангентата на траекторијата во точката 1M . Во тој случај и векторот t∆∆ /r се совпаѓа со правецот на тангентата на траекторијата во точката 1M , а неговата насока е во правецот на движење или во насока на поместувањето. Тој вектор претставува извод на векторот r по скаларот t и може да се определи со равенката :

rrrrrv ==∆

−∆+=

∆∆

=→∆→∆ dt

dt

tttt ott

)()(limlim0

,

или kjikjir zyxdtdz

dtdy

dtdx

dtd

++=++= .

(1.7)

Во механиката изводот на радиус-векторот на материјалната точка во даден временски интервал се нарекува моментна брзина на материјалната точка, т.е.:

dtdrv = . (1.8)

Ако е позната векторската функција )(trr = , моментната брзина на материјалната

точка се наоѓа математички со диференцирање. За многу мал временски интервал t∆

поместувањето на материјалната точка r∆ се совпаѓа со патот s∆ што го поминува материјалната точка во тој временски интервал. Значи ако t∆ тежи кон нула, s∆=∆r , па следува:

dtds

tsv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim , (1.9)

Од равенката (1.9) може да се заклучи дека големината или интензитетот (модулот) на

брзината е еднаква на изводот на патот по времето.

Во тридимензионален координатен систем брзината v може да се разложи по правците на координатните оски, при што се определува како збир од компонентните вектори по yx, и z оските, т. е: kjikjivvvv zyxvvv zyxzyx ++=++=++= . (1.10)

Тогаш модулот на векторот на брзината изнесува :

222zyx vvvv ++= , или

222

+

+

=

dtdz

dtdy

dtdxv . (1.11)

Векторот на брзината во општ случај може да се менува со текот на времето, т.е. )(tvv = . Промената на брзината во единица време се нарекува забрзување.

∆sM1

M2

v1

v2

∆v

∆vt

∆vrv2

asr

Сл. 1.5

Ако се разгледува движењето на точката

1M по криволиниската патека (сл.1.5). Во моментите t и tt ∆+ , нејзините брзини v1 и v2 во положбите, 1M и 2M , соодветно, се разликуваат по модул, правец и насока. Нивната векторска разлика ја дава промената на брзината во определен временски интервал, т.е. го дава векторот на промената на брзината:

12 vvv −=∆ . (1.12)

Односот помеѓу векторот на промената на брзината v и временскиот интервал за кој шро настанала таа промена го определува средното забрзување на материјалната точка во точката

1M , т.е.

tsr ∆∆

=va . (1.13)

9

Векторот sra има ист правец и насока со векторот ∆v, но различен интензитет, бидејќи

t∆ е скаларна величина поголема од нула. Од сл.1.4 се гледа дека векторот на забрзувањето на се поклопува со правецот на брзината, т.е. со правецот на поместувањето. Векторот на забрзувањето се поклопува со правецот на векторот на брзината само во специјални случаи и тоа, кога телото се движи по права линија или кога се разгледува моментната вредност на забрзувањето, во случај кога t∆ тежи кон нула:

dtd

ttsrt

vvaa =∆∆

==→∆→∆ 00

limlim . (1.14)

Равенката (1.14) го претставува моментно забрзување и може да се дефинира како прв извод на брзината по времето, или како втор извод на патот по времето, т.е.:

rrvva ==== 2

2

dtd

dtd

. (1.15)

Проекциите на забрзувањето врз координатните оски на правоаголниот Декартов координатен систем се определуваат како:

xva xx == ; yva yy == ; zva zz == . (1.16)

Вкупното забрзување може да се прикаже како векторски збир од компонентите на забрзувањето, т.е.:

kji

kjiaaaa

2

2

2

2

2

2

dtzd

dtyd

dtxd

zyxzyx

++

=++=++=

, (1.17)

бидејќи ортовите i, j и k се непроменливи и по интензитет и по правец во однос на дадениот координатен систем. Модулот на векторот на забрзувањето a може да се определи од равенката:

222zyx aaaa ++= =

2

2

22

2

22

2

2

+

+

dt

zddt

yddt

xd (1.18)

Резултантното забрзување на материјалната точка помеѓу точките 1M и 2M , се определува од равенката за вкупната промена на векторот на брзината ∆v (сл. 1.5), кој што претставува збир од два взаемно нормални вектори ∆vt и ∆vr:

trt ∆⋅∆+∆=∆

1vvv

⇒∆

∆+

∆∆

=∆∆

tttrt vvv

rtsr aaa += ,

или неговиот модул изнесува:

22rtsr aaa += . (1.19)

a

at

ar

Сл. 1.5

Забрзувањето при променливото криволиниско движење во рамнина е составено од две компоненти нормална ( ra ) и тангенцијална ( ta ), како што е прикажано на сл. 1.6. Компонентата ra се јавува поради промена на брзината по правец, а компонентата ta зара-ди промена на брзината по интензитет. Компонентата ra секогаш е насочена кон внатрешноста на кривината и го има правецот на радиусот на кривината. Поради тоа ra се нарекува радијално или центрипетално забрзување. Другата компонента ta е насочена по правецот на тангентата во дадена точка на кривината и затоа се нарекува тангенцијално забрзување. Пример 1.1

Радиусвекторот со кој се опишува движењето на едно тело со тек на времето

изнесува ( ) kCjBtiAttr ++= 2 , каде што

=A 5m/s2, =B 3m/s, =C 2m, а i , j и k се ортови на оските x , y , z . Да се определи:

а) Векторот на брзината и забрзувањето, б) Интензитетот на брзината на телото

после =t 2s од почетокот на движењето, в) Интензитетот на забрзувањето.

Решение:

а) Векторите на брзината и забрзувањето,

согласно равенките (1.8) и (1.14) се добиваат како прв односно втор извод на радиусвекторот по времето:

( ) ( ) jirv BAtdt

tdt +== 2

( ) ( ) ( ) ivra Adt

tddt

tdt 22

2

===

10

б) Интензитетот на брзината од равенката (1.11) изнесува:

222zyx νννν ++=

Бидејќи движењето се одвива во рамнина, брзината има само компоненти Atx 2=ν и

Ay 2=ν . Ако ови екомпоненти се заменат во (равенката (1.11) интензитетот на брзината изнесува:

=+= 2224 BtAν 20,22m/s

в) Интензитетот на забрзувањето,

согласно равенката (1.18), може да се пресмета:

==++= 2222 4Aaaaa zyx 10m/s2

Пример 1.2

Во моментот =t 0 едно тело започнува да се движи од координатниот почеток во x насока. Неговата брзината се менува според

следниот закон: ( )

−=

ktt 10νν , каде што

=0ν 30m/s , а =k 10s.

а) Да се определи зависноста ( )txx = , б) Колкава е вредноста на забрзување на

телото?

Решение:

а) Моментната брзината на телото претставува прв извод од радиусвекторот по времето:

dtdrv = (1)

Радиус-векторот во општ случај има компоненти по оските x , y и z :

kjir zyx ++= .

Бидејќи движењето на телото се одвива само по оската x , според условот на задачата радиусвекторот може да се определи како:

( ) ( )ir txt = (2)

За да се определи зависноста ( )txx = , равенката (1) се запишува како dtdx ν= . Со со интегрирање на оваа равенка во граници од 0 до t се добива:

( )

tktt

kt

tdtk

dtdtktdttx

tttt

−=−

=−=

−== ∫∫∫∫

21

2

1

020

0

0

0

00

00

0

ννν

νννν

б) Моментното забрзување претставу-ва

прв извод од брзината kjiv zyx ννν ++= по времето, согласно равенката (1.14);

dtdva =

Поради тоа што движењето се одвива само во насоката x и брзината ќе има само компонента xν компонента. Според тоа за забрзувањето се добива вредноста:

=−=

−===

kktv

dtd

dtd

dtd

a x 00 1

ννν-3m/s2

Негативниот предзнак на забрзувањето укажува дека движењето е забавено.

1.1.3 РАМНОМЕРНО КРУЖНО ДВИЖЕЊЕ НА МАТЕРИЈАЛНА ТОЧКА

Движењето на материјална точка по круг со брзина со постојан интензитет, при што

0=ta , а const=ra , па брзината се менува само по правец, се нарекува рамномерно кружно движење.

Кога материјалната точка ќе помине пат што одговара на лакот sMM ∆=21 (сл. 1.7), ка-ко дел од кругот со радиус R , за време t∆ . Промената на брзината по правец изнесува ∆v, а интензитетот на брзината на материјалната точка во положбите M1 и M2 е еднаквов

11

( vvv == 21 ). При тоа векторот на брзината

v ротирал за агол 21OMM∠=∆ϕ .

M1

M2R

O

∆ϕ

∆ϕ

v1

v2

v2∆v

∆s

N

M

Сл. 1.7

За мали агли ϕ∆ , т.е. кога времето t∆ на

движење е мало, тогаш лакот sMM ∆=21 може да се апроксимира со права линија. Во тој случја од сличноста на тријаголниците

21OMM и NMM1 следува:

Rs∆

=v

Δv (1.20)

а промената на векторот на брзината може да се определи од равенката:

sR

∆vΔv = .

(1.21)

Тогаш моментното забрзување на материјалната точка се определува како:

ts

Rt tot ∆∆

∆∆

∆∆

vva0

limlim→→

== (1.21)

Бидејќи моментната брзина на материјалната точка од равенката (1.9) се дефинира како:

vts

ot=

∆∆

→∆lim , (1.22)

за забрзувањето на материјалната точка се добива равнката:

Rr

2vaa == (1.23)

Векторот на забрзувањето е нормален на векторот на брзината, поради што материјалната точка при рамномерно кружно движење има само нормално забрзување. Тоа забрзување се нарекува центрипетално забрзување. Нормалното забрзување ја менува само насоката на векторот v , но не и неговиот интензитет.

1.1.4. ВИДОВИ НА КИНЕМАТИЧКИ ДВИЖЕЊА

Физичките величини: радиус-вектор, брзина и забрзување овозможуваат да се определи на движењето на материјалната точка без да се знае причината за настанување на тоа движење.

При проучувањето на движењето на материјалната точка, треба да се определи зависноста на овие величини од времето, т.е.

)(),( tt vvrr == и )(taa = . Видот на нивните функции, го дефинира типот на движењето на материјалната точка. Според обликот на траекторијата, т.е. според функцијата )(trr = , движењето може да се дефинира како праволиниско или криволиниско. Пра-волиниското движење е специјален случај на криволиниско движење, т.е. кога радиусот R на кривината на траекторијата се стреми кон бесконечна вредност ( ∞→R ).

Според функцијата на брзината на движење )(tvv = , движењата се делат на рамномерни и променливи, а според функцијата

на забрзувањето )(taa = , се делат на рамномерни и нерамномерни забрзани или забавени.

Од равенката (1.19) можат да се добијат сите специјални случаи на кинематички движења:

1. Ако радијалното забрзување има вредност 0=ra , тангенцијалното забрзу-вање

ta ги дефинира следните видови на движење:

а) 0=ta -рамномерно праволиниско;

б) .const0 =≠ta - рамномерно променливо праволиниско;

2. Ако радијалното забрзување има вредност const.0 =≠ra , движењето е криволиниско и тангенцијалното забрзување

ta ги дефинира следните видови на движење:

а) 0=ta - рамномерно криволиниско (кружно) движење;

12

б) .const0 =≠ta - рамномерно променливо криволиниско;

3. Ако )(f tt =a и )(f tr =a - движењето е нерамномерно променливо праволиниско или

криволиниско. За овие движења не постојат закони со кои тие може да се опишат.

1.1.5. ЗАКОН ЗА ПАТОТ И БРЗИНАТА ПРИ ПРАВОЛИНИСКО ДВИЖЕЊЕ

При рамномерно променливо право-линиско движење векторот на брзината има исти правец со траекторијата (патот) на движењето. Законот за промента брзината при ова движење може да се определи од равенката 1.15:

adtdv = ,

со интегирање во временски интервал од 0 до t , во кој што брзината има вредности помеѓу некоја почетна вредност v0 и v, соодветно:

∫∫ =t

o

v

vadtdv

o

.

при што се добива равенката:

atvv o =− , или atvv o += (1.24)

Равенката (1.24) претставува закон за брзина при рамномерно променливо праволиниско движење.

Законот за патот при ова движење се определува од равенката (1.9), со нејзино интегрирање во временски интервал од 0 до t , во кој што забрзувањето има вредности помеѓу 0 и a , соодветно:

vdtds = ⇒ ∫∫ =t

o

s

ovdtds ,

или ( )∫ +=t

oo dtatvs .

Со интегрирање и замена на границите, се добива законот за патот при рамномерно променливо праволиниско движење:

2

2attvs o += . (1.25)

Ако материјалната точка нема почетна брзина, 00 =v законот за брзината и забрзувањето при рамномерно променливо праволиниско движење можат да се определат од равените:

atv = и 2

2ats = . (1.26)

Ако е забрзувањето има вредности на 0>a , движењето е забрзано, а при вредности

на 0<a , движењето е забавено. При вредност за 0=a ; ovv = и vts = , станува збор за најпростото кинематичко движење - рамномерно праволиниско движење.

1.1.6. ДВИЖЕЊА НА ТЕЛАТА ПОД ДЕЈСТВО НА ЗЕМЈИНАТА ТЕЖА -

ИСТРЕЛИ

Движењата што се одвиваат под дејство на земјината тежа се нарекуваат истрели. Тие кинематички можат да се разгледуваат како рамномерно променливи движења со забрзување еднакво на земјиното g = 9,81 m/s2.

Слободно паѓање. Слободното паѓање на телата под дејство на Земјината тежа може да се

разгледа кинематички како специјален случај на рамномерно забрзано движење без почетна брзина. Тоа значи дека равенките (1.24) и (1.25) за брзина и пат кај рамномерно забрзано движење на телата

atvv o += и 2

2attvs o += ,

13

ќе го опишуваат и движењето на телата кога тие слободно паѓаат. Во случај на слободно паѓање вообичаено е патот s да се обележува со h, затоа што секогаш телото се пушта слободно да паѓа од некоја висина (сл. 1.8). За да се изведат релациите за слободно паѓање, треба забрзувањето а во овие изрази да го замениме со Земјиното забрзување g:

gtvv o += и 2

2gttvh o += . (1.27)

h

v

Сл. 1.8

Исто така е важно да се има предвид дека слободното паѓање е рамномерно забрзано движење без почетна брзина, што значи v0= 0. Тогаш од равенките (1.27) се добива:

gtv = (1.28)

и 2

2gth = (1.29)

Ако од равенката (1,28) се замени времето

t, со gvt = во изразот за висината h, се добива

и зависноста на брзината од висината при слободното паѓање, т.е:

ghv 2= . (1.30)

Вертикален истрел. Вертикалниот истрел дретставува движење на тело од дејство на земјината тежа кога тоа се сифрла вертикално нагоре со почетна брзина v0 (сл. 1.9).

h

Сл.1.9

Кинематички, вертикалниот истрел претставува рамномерно забавено движење со почетна брзина. Тогаш од равенките (1.24) и (1.25) може да се напишат како:

gtvv −= 0 (1.31)

и 2

2

0gttvhy −=≡ (1.32)

Во точката А телото ја губи својата брзина ( 0=v ), па равенката (1.31) може да се запише како :

gtv =0 (1.33)

Ако равенката (1.33) се замени во (1.32) , се добива вредноста за висината H што може да ја достигн телото во највискоката точка:

gvg

gv

gvvh

22

20

2

200

0 =−= (1.34)

Или, согласно равенката (1.34), почетната брзина со мкоја се истрелува телото изнесува:

ghv 20 = (1.35)

Ако се споредат равенките (1.30) и (1.35) следува дека времето за кое телото ќе се искачи на висина H, истрелано со брзина v е исто со времето телото слободно да падне од истата висина H. На подлогата телото ќе удри со брзина v.

Хоризонтален истрел. Хоризонталниот истрел претставува движење на тело исфрлено од дадена висина во хоризонтален правец. Тоа е сложено движење во рамнина кое што кинематички може да се разложи во Декардов правоаголен систем и тоа по оската x-рамномерно праволиниско движење и по оската y - слободно паѓање (сл. 1.10).

Сл.1.10 По оската x, движењето кинематички се

опишува со законите за пат и брзина при рамномерно праволиниско движење:

14

tvx x= и 0vvx = (1.36)

По оската y , движењето кинематички се опишува со законите за пат и брзина при слободно паѓање на тело од висина h:

gtvgthy y =−= ;2

2

(1.37)

Резултантната брзина на телото во моментот гога удира во подлогата (точка Б), согласно равенките (1.36) и (1.37), може да се пресмета како векторски збир на нејзините компоненти по оската x и оската y:

220

22 )(gtvvvv yx +=+= (1.38)

Исто така во точката А компонентата на патот по оската y изнесува 0=y , па за вкупното време на одвивање на дометот се добива равенката:

ghtgthy 20

2

2

=⇒=−= (1.39)

Дометот на телото во точката А се определува како:

ghvtvxD

200 == (1.40)

Кос истрел. Косиот истрел претставува движење на тело исфрлено по даден агол во однос на подлогата. Тоа исто така претставува сложено движење во рамнина и кое што кинематички може да се разложи во Декардов правоаголен систем и тоа по оската x и по оската y (сл. 1.11).

Сл. 1.11

15

Величина Оска x Оска y

Почетна брзина αcos00 vv x = αsin00 vv y =

Моментна брзина αcos0vvx = gtvvy −= αsin0

Закон за пат αcos00 tvtvx x ==

2sin

2

2

0

2

0gttvgttvy y −=−= α

Од равенката за законот за патот по оската x може да се определи времето на движење на телото:

αcos0vxt = (1.41)

Ако равенката (1.41) се замени во законот за патот по оската y за следи:

ααα 22

2

00 cos2cos

sin0

vxg

vxvy −=

или 222 cos2

tan0

xv

gxyα

α −= (1.42)

Равенка (1.42) ја претставува равенката на траекторијата при кос истрел.

Максимална висина на истелот hmax во точката C се определува при условите 0=yv и

maxyyh ≡= :

gtvgtvvy =⇒=−= αα sin0sin 00 ,

па време за кое телото ќе се качи во точката C изнесува:

g

vt αsin0= . (1.43)

Максималната висина што ја достигнува телото во точката C, кога равенката (1.43) ќе се замени во законот за патот по оската y, може да се пресмета како:

2

2200

0maxsin

2sinsin

gvg

gvvyh αα

α −== или

gvyh

2sin22

0max

α== (1.44)

Домет на телото xD во точката D може да се определи од условот дека траекторијата на косиот истрел е симетри чна во однос на точката C и времето за кое се одвива истрелот t1 е два пати поголемо од времето t потребно телото да се качи во точката А:

gvtt αsin22 0

1 == (1.45)

Ако равенката (1.45) се замени во законот за патот по оската x, тогаш дометот на телото при кос истрел може да се определи од равенката:

gvxD

α2sin20= . (1.46)

1.1.7 К ИНЕМАТИКА НА АПСОЛУТНО ТВРДО ТЕЛО

Во класичната механика апсолутно тврдо тело може да се разгледува како механички систем од голем број на материјални точки кај кои што при движењето нивните меѓусебни растојанија остануваат непро-менети. Во природата не постојат апсолутно тврди тела, туку секое реално тело при взаемодејство со другите тела може да се деформира.

Основните видови движења кои може да ги извршува апсолутно тврдо тело се: тран-слаторното и вртливо движење. Притоа секоја негова точка опишува своја патека.

При транслаторното движење на апсолутно тврдо тело, произволна права сврзана со телото, останува паралелна сама на себе. Тоа значи дека за едно исто време сите точки на

16

телото што се движи поминуваат еднакви патишта и по големина и по насока. Како резултат на тоа брзината и забрзувањата на сите точки на идеалното тврдо тело се исти. Поради

тоа при проучување на транслаторното движење на апсолутно тврдо тело, можат да се применуваат законите за движење на материјална точка.

1.1.7.1. ВРТЛИВО ДВИЖЕЊЕ НА АПСОЛУТНО ТВРДО ТЕЛО

При вртливото движење на апсолутно тврдо тело (ако телото во исто време не врши и транслаторно движење) сите негови точки се движат по кружници чии центри, лежат на една иста права, која се нарекува оска на вртење. Точките кои припаѓаат на оската на ротација при споменатото движење се неподвижни. Оската на вртење може да минува низ телото, но може да се наоѓа и надвор од него.

∆ϕ

∆ϕ

r1

r2M

N

Сл.1.12

Кога се разгледува случај на вртење на

апсолутно тврдо тело околу неподвижна оска, сите точки на телото опишуваат полн круг за ист временски интервал, иако тие се наоѓаат на различно растојание од оската на вртење. Тоа значи дека тие ќе поминуваат различни патишта со различна линеарна брзина. Сите точки за време t∆ ќе се завртат за агол ϕ∆ (сл. 1.12), т.е. за време t∆ радиусвекторот r ќе се заврти за агол ϕ∆ . Аголното поместување ϕ∆ расте со текот на времето по законот )(tϕϕ =∆ . Оваа функција која во однос на дадената оска ја определува положбата на телото во секој момент на времето се смета дека е еднозначна, непрекината и диференцијабилна во текот на целото движење. На аголното поместување му се припишуваат својства на вектор, т.е.

0ωϕ ϕ∆∆ = ,

каде што 0ω е орт во правец на оската околу која се врши аголното поместување.

Односот на аголното поместување и времето ја определува средната аголна брзина:

tsr ∆∆ϕ

ω = . (1.47)

Ако 0→∆t , се добива моментната аголна брзина

000limlim ω

ϕϕωω ω

∆∆

∆∆====

→→ dtd

ttsrt, (1.48)

каде што ω0 е орт на оската на ротација. Насоката на векторот на аголната брзина ω се определува со правилото на десен винт.

Таа претставува прв извод на аголот на завртување по времето. Таа е аксијален вектор - вектор кој има правец по оската на вртење, а насоката се определува по правилото на десен винт. Ако const=ω - движењето е рамномерно вртливо. Во тој случај ω го покажува аголот за кој телото се завртува за единица време. Времето потребно да се изврши едно цело завртување се нарекува период на завртување Т, а бројот на завртувања за единица време се нарекува фреквенција на завртување f, која претставува реципрочна вредност од периодот на завртување.

Ако за време T од еден период, аголот на завртување изнесува 2π, тогаш аголната брзина може да се определи од равенката (1.47):

Tπω 2

= . (1.49)

Бидејќи фреквенцијата е реципрочна

вредност од периодот (T

f 1= ), равенката (1.49)

ќе добие облик : ω= 2π f .

Векторот на аголната брзина може да се менува или како последица на промена на

17

брзината на вртење или заради промена на оската на ротација во просторот. Во првиот случај векторот на аголната брзина се менува по интензитет, а во вториот по правец. Ќе го разгледаме првиот случај. Промената на векторот на брзината во некој временски интер-вал t∆ се нарекува средно аголно забрзување и се определува од равенката:

tsr ∆∆

=ω

α , (1.50)

Моментната вредност на аголното забрзување, кога t∆ тежи кон нула, изнесува:

00limlim ω

ωωαα

dtd

dtd

totsrt

ω==

∆∆

==→∆→∆

, (1.51)

1.1.7.2 ЗАВИСНОСТ НА ЛИНЕАРНАТА И АГОЛНАТА БРЗИНА

Вртливото движење на некое тело е определено со големини кои се карактеристични за целото тело, т.е. )(),( tt ωωϕϕ == и

)(tαα = . Но секоја точка од телото кое се врти има и свои линеарни елементи на движење: пат s , брзина v и забрзување a . Меѓу нив постои определена релација.

Нека имаме тело кое ротира со аголна брзина ω во однос на оската 'OO , (сл. 1.8).

Точката M за време t∆ поминува пат s∆ по круг со радиус R . Од геометријата е познато дека лакот и радиусот се поврзани со равенката:

tRs

∆⋅∆=∆

1ϕ , t

Rts

∆∆

=∆∆ ϕ ,

ωRv = . (1.52)

M

r

∆s∆ϕ

Ox

y

z

ϕ

vR M1

2

ω

Сл. 1.13

Кога почетокот на координатниот систем не лежи во рамнината на радиус- векторот R лакот 21MM што го опишува дадена точка од телото се определува од равенката :

ϕϕ∆ϕ∆ sin21 rRMM == .

Тогаш моментната брзина изнесува:

ϕϕ sinlimlim0

21

0r

ttMMv

tt ∆∆

=∆

=→∆→∆

, или

Rrv ωϕω == sin .

Модулот на радијалното забрзување на точката M , согласно равенката (1.23), од телото што ротира изнесува:

RRvar

22

ω== , т.е. var ω= , (1.53)

а тангенцијалното забрзување на точката M може да се пресмета како:

α∆ω∆

∆ω

∆∆

∆∆∆R

tR

tRr

tva

otottt ====→→→

lim)(limlim0

(1.54) Нормалното ar и тангенцијалното at

забрзување се зголемуваат линеарно со зголемување на растојанието на разгледува-ната точка од оската на вртење.

Резултантното забрзување на телото претставува векторски збир од неговите компоненти–тангенцијалното и радијалното забррзување:

naaa rtrt aa +=+= τ ,

22rt aaa += = ( ) ( )22 vR ωα + (1.55)

Равенките за рамномерно променливо кружно движење можат да се изведат исто како и равенките кај рамномерно праволиниско променливо, ако се искористи аналогијата:

Величина Праволиниско движење

Криволиниско движење

Брзина v ω Пат / агол s ϕ Забрзување a α

Брзина atvv += 0 to αωω +=

18

Закон за пат / агол 2

2

0attvs +=

2

2ttoαωϕ +=

Пример 1.3 Мазен метален обрач со радиус =R 0,8m

се наоѓа во хоризонтална рамнина. Околу точката A од обрачот се врти прачка AB со постојана аголна брзина =ω 8rad/s. Колкаво е забрзувањето и брзината на алката C од обрачот низ која е провлечена прачката?

Решение: Аголната брзина на прачката може да се

определи согласно равенката (1.48) и изнесува ( )

dttdθω = . Законот за промената на аголот θ

што прачката го зафаќа со оската x во тек на времето е:

( ) 0θωθ += tt (1)

каде што 0θ е некој почетен агол. Патот s што ќе го помине алката односно

дложината на лакот AC , геометриски може да се определи од равенката ( ) ( )tRts θ2= и ако во неа се замени равенката (1), за патот се добува:

( ) 022 θω RtRts += (2)

Моментната брзаина на алката од равенка (1.9) и (2) може да се пресмета како:

( )=== ων R

dttds 2 12.8m/s

Тангенцијалното забрзување е при кружно движење на алаката изнесува:

0==dtdat

ν , (3)

а нормалното забрзување:

22

4 ων RR

an == (4)

Вкупното забрзување на алката се добива се пресметува од равенката (1.55):

nnt aaaa =+= 22

== 24 ωRa 204,8m/s2

19

1.2. ДИНАМИКА НА МАТЕРИЈАЛНА ТОЧКА

Динамиката е дел од механиката која го проучува движењето на телата, како и причините кои доведуваат до тоа движење. За разлика од кинематиката каде телата, чие движење се разгледува, беа третирани како материјални точки, без маса и димензии, во динамиката се напушта поимот материјална точка. Имено, за да можат да се објаснат причините поради кои настанува движењето, на телата им се препишува една од нивните најбитни карактеристики-масата.

Основа на динамиката се трите закони формулирани од англискиот физичар Исак Њутн (Isac Newton, 1642-1727) во неговиот труд „Математички основи на природната филозофија″, наречени принципи на меха-никата. Тие се резултат на долгогодишното испитување на Њутн и неговите претходници Архимед, Галилеј, Кеплер, Хајгенс и други. Принципите претставуваат општи закони кои не можат да бидат докажани непостредно. Нивната важност се потврдува со експериментални проверки на многу-бројните настани. Нивната улога во механи-ката може да се спореди со улогата на акси-омите во геометријата. Со помош на аксиомите во геометријата се докажуваат теоремите, а со помош на

Њутновите закони се изведуваат законите на сите видови механички движења.

Сите три Њутнови закони се тесно поврзани и тие ја дефинираат силата како основна динамичка величина, покрај масата и импулсот на телото.

Првиот Њутнов закон покажува дали дејствува сила на телото.

Вториот Њутнов закон ја одредува големината на силата што дејствува.

Третиот Њутнов закон покажува дека две тела секогаш взаемно дејствуваат со еднаква сила.

Њутнова механика успешно ги објаснува природните појави се до крајот на 19 век кога е откриен електронот и се отворило полето на истражувања на елементарни честички, кои што се движат со големи брзини. Феномените кои се откриени во таа област невозможно е да се објаснат со класичната Њутнова механика. Оваа теорија полека се заменува со релативистичката механика, која уште се нарекува и високо-брзинска механика и квантната механика. Но сепак, класичната механика не го губи своето значење, туку во овие две нови теории се јавува како специјален случај за макроскопски тела што се движат со мали брзини во споредба со брзината на светлината.

1.2.1. ПРВ ЊУТНОВ ЗАКОН

Првиот основен закон на динамиката е законот за инерција. Поставен е од Галилео Галилеј (Galileo Galilei, 1564-1642) кој што констатирал дека ако на некое тело не му дејствува околната средина или друго тело, тогаш тоа настојува да си ја задржи својата состојба. Оваа својство на телата се нарекува инерција. При испитување на движењето на тело по мазна хоризонтална рамнина, тој заклучил дека ако нема триење меѓу телото и рамнината движењето е рамномерно и праволиниско.

Њутн ги систематизира заклучоците на Галилеј и го дефинира првиот закон на механиката:

Секое тело кое се разгледува како материјална точка, ја задржува состојбата на мирување или рамномерно праволиниско

движење сé дотогаш додека некое друго тело не го принуди да ја промени таа состојба.

За да некое тело се изведе од состојба на мирување или рамномерно праволиниско движење потребно е различно напрегање со кое ќе се совлада отпорот на телото. Причина за појава на отпор кај телата е нивната маса. Значи масата е мерка за инертноста на телата Телото што се движи има константна брзина, т.е.

const.=v , или ако мирува, , само ако на телото не дејствуваат сили или нивната резултанта изнесува нула.

Првиот Њутнов закон е физичка претпоставка, т.е. во реални услови не може да се докаже. За да се докаже, посматраното тело треба да биде идеално изолирано од дејството на другите тела. Во реалноста таква изолација не постои.

20

Тело кое не взаемодејствува со други тела е наречено слободно тело. Праволиниското и рамномерно движење на слободното тело се нарекува движење по инерција. Движењето по инерција е последица на динамичкото својство на телата - инертноста.

Во кинематиката изборот на референтниот систем не е од значај. Во динамиката изборт на референтниот систем се избира така да важи законот за инерција (прв Њутнов закон). Овие системи

се нарекуваат инерцијални референтни системи.

Ако еден референтен систем е инерцијален, сите други референтни системи кои се движат рамномерно и праволиниски во однос на овој систем се исто така се инерцијални. Но, референтни системи кои се движат со некое забрзување во однос на овој систем се неинерцијални. Кај нив не важи законот за инерција.

1.2.2. СИЛА

Причина за деформација на телата или нивната промена на движење е нивното взаемо дејство, кое што настанува или со непосреден допир или со посредство на физичко поле. Квантитативна мерка за взаемодејството на телата во механиката претставува физичката големина сила. Таа е векторска величин.

F1

a1a2

F2

Сл. 1.14

Големините на силите можат да се спо-

редуваат според забрзувањето што тие го пре-дизвикуваат на дадените тела. Реалните физички сили не потекнуваат од ништо. Тие се последица на заемнодејството меѓу одделните тела, како и меѓу телата и подлогата и телата и физичките полиња.

Нека на пример силата предизвикува забрзување 1a на едно пробно тело, (сл. 1.14). Ако под дејство на друга сила 2F , истото тело се движи со n -пати поголемо забрзување, т.е.

12 aa n= , тогаш силата 2F е n -пати поголема од силата 1F . Насоката на силата се совпаѓа со насоката на забрзувањето кое го предизвикува.

Ако на телото дејствуваат повеќе сили

n321 FFFF .....,, нивното механичко дејство е еквивалентно на дејството на една единствена сила F која што е еднаква на векторскиот збир од сите сили, т.е.:

∑=

=++++=n

ii

1..... FFFFFF n321 (1.56)

каде што силата F е резултантна сила. Силите што дејствуваат врз некоја

материјална точка или врз еден систем од тела можат да бидат внатрешни и надворешни сили. Внатерешните потекнуваат од телата на условно одбраниот систем, а надворешните од телата надвор од системот.

Систем во кој дејствуваат само внатрешни сили се вика изолиран (затворен или слободен) систем. Резултантата од силите е нула 0=F . Ако 0≠F системот е неизолиран (отворен или неслободен). Строго земено во природата не постојат сосема изолирани системи. Сепак, во многу случаи, кога надворешните сили се значително послаби од внатрешните, системот може да се разгледува како да е изолиран.

1.2.3. МАСА И ИМПУЛС НА ТЕЛО

Една од основните карактеристики на секое тело е масата или инерцијата која претставува квантитативна мерка за неговата

инертност. Колку е масата поголема, телото е поинертно. Таа не зависи од надворешните влијанија и времето, туку е својство на телото.

21

Оваа физичка величина ги определува инертните и гравитационите својства на телата. Масата не може да се дефинира како “количество на материја” бидејќи материјата е поошт поим од масата. Масата не може да се смета нñ како “количество на супстанција”, бидејќи секоја супстанција поседува голем број различни својства, а инертноста е само едно од нив. Едно тело има иста маса на Земјата, Месечината или било каде во просторот затоа што содржи ист број атоми независно каде се наоѓа. Според тоа под поимот маса треба да се подразбира мерката за инерција на телата.

Масата е скаларна големина и масата на едно тело е збир од масите на одделни негови делови. Масите на различни тела можат да се споредат по забрзувањата што ги добиваат под дејство на една иста сила. Така една иста сила на различни тела ќе предизвика различни про-мени при нивните движења. Колку е поголемо забрзувањето a на телото толку е помала неговата маса m и обратно.

Во класичната механика постои и закон за одржување на масата според кој вкупната маса на механичкиот систем од тела останува иста при сите негови промени. Додека во релативистичката механика масата зависи од брзината на движење на телото според равенката:

2

20

1cv

mm

−

= (1.57)

Каде што m0 е масата на мирување на телото, v е неговата брзина, а c е брзината на светлината во вакуум. Од равенката (1.57) може да се заклучи дека масата на телото се зголемува со зголемување на брзината на телото.

Во класичната механика масата не се менува со промена на брзината на движење на материјалната точка. Производот на масата на материјалната точка или телото и нејзината брзина се нарекува импулс на телото:

vp m= . (1.58)

Импулсот p претставува векторска физичка величина, во ист правец со векторот на брзината на телото и интензитет бројно еднаков на производот од масата и брзината на телото. Во Декартовиот координатен систем, во општ случај, p има три компо-ненти долж оските:

.,, zzyyxx mvpmvpmvp === (1.59)

Ако масата на телото е константна и поголема од нула како што секогаш се претпо-ставува во класичната механика, промена на импулсот може да настане само поради промена на векторот на брзината v . Промената на импулсот има важна улога при определување на карактерот на движењето на телото под дејство на сила. Ако врз телото не дејствуваат сили, тогаш импулсот на телото има константна вредност:

const.=vm

1.2.4. ВТОР ЊУТНОВ ЗАКОН

Вториот Њутнов закон на динамиката се дефинира врз основа на набљудувањето на движењето на телата под дејство на сила, како и промената на нивната брзина:

Промената на импулсот на телото во даден временски интервал е еднаква на силата која дејствува на тоа тело. Или:

( ) Fv=

∆∆

tm , (1.60)

За мал временски интервал вториот Њутнов закон се определува со равенката:

( ) ( ) Fpvv===

∆∆

→∆ dtd

dtmd

tm

t 0lim . (1.61)

Вториот Њутнов закон претставува квалитативна и квантитативна врска меѓу причината за промена на движењето, т.е. силата и последицата, т.е. промена на векторот на импулсот на телото.

Во класичната механика, каде што масата на телото се смета за константна, равенката (1.61) може да се напише како:

.2

2Farv

=== mdtdm

dtdm (1.62)

Оваа равенка претставува диферен-цијална равенка од втор ред и се нарекува фундаментална динамичка равенка на движењето. Во неа силата F е резултанта на сите сили, како резултат на интеракциите на

22

телото со маса m со сите други тела, а a е за-брзување на телото во однос на некој инерцијален систем. Според ова вториот принцип на динамиката можеме да го дефинираме и во следнава форма:

Производот од масата на телото и неговото забрзување е еднаков на силата која дејствува на тоа тело.

Од условот за резултантна сила (1.56) и динамичката равенка (1.62) следува дека резултантната сила која што дејствува на едно тело може да се определи како:

∑=

=n

iim

1Fa (1.63)

Со вториот Њутнов закон не се дефинира ниту една од величините кои што дадени во него, бидејќи секоја од нив е предходно дефинирана. Овој закон дава квантитативна зависност на споменатите големини. На пример, под дејство на различни сили телото со маса m добива различни забрзувања, така да постои квантитативен однос

.3

3

2

2

1

1 maF

aF

aF

===

Равенката (1.62) може да се запише и во следниов облик:

pF ddt = ,

што значи дека промената на импулсот во определен временски интервал е пропор-ционална на производот од силата која дејствува и тој временски интервал. Оваа промена на импулсот настанува во правецот и насоката на таа сила. Величината dtF се нарекува елементарен импулс на силата F за бескрајно мал интервал на време dt .

Првиот и вториот Њутнов закон се независни еден од друг бидејќи првиот се однесува на својство на телото (масата), а вториот го карактеризира движењето на телото под дејство на сила.

Вториот закон на динамиката во овој облик важи само во инерцијални референтни системи. Во посебен случај кога

( )const.,00 === vaF телото се движи рамномерно праволиниски.

1.2.5. ТРЕТ ЊУТНОВ ЗАКОН

Секое дејство на едно тело над друго има карактер на заемно дејство: ако првото тело дејствува на второто со сила 21F , тогаш второто од своја страна дејствува на првото тело со сила

12F . Тие две сили со кои заемно си дејствуваат двете тела се еднакви по големина и правец, но се спротивно насочени, т.е.:

1221 FF −= (1.64)

Нападната точка на силата 21F е приложена во телото 1, а нападната точка на силата на против дејство 12F е приложена во телото 2 (сл.1.15).

Една од силите 21F се нарекува акција, а другата 12F реакција, или акционата и реакционата сила се еднакви по интензитет, но спротивно насочени, или заемното дејство на две тела секогаш е еднакво и спротивно насочено. Која од споменатите сили ќе ја нарекуваме акција, а која реакција, од физичка гледна точка е сосема исто, бидејќи двете сили имаат иста природа.

F21

1F12

2

а, двете тела взаемно се привлекуваат

F12

2

F21

1

б. двете тела взаемно се одбиваат

Сл. 1.15 Под дејство на силите, телата добиваат

забрзувања:

1

121 m

Fa = и 2

212 m

Fa = , (1.65)

од каде што од равенката (1.64) се добива:

1122 aa mm −= или 12

12 aa

mm

−= ,

23

што значи дека забрзувањата на двете тела се обратно пропорционални со нивните маси.

Во класичната механика, дејството на секое тело во даден момент е функција од сос-тојбата на останатите тела во истиот момент. Значи во Њутновата механика заемното дејство се врши со бескрајно голема брзина, т.е. се пренесува моментално. Тоа е можно само кога телата се движат со брзина многу помала од брзината на светлината ( cv << ). Значи третиот Њутнов закон ќе важи само во класичната механика.

Силите на акција и реакција секогаш имаат иста природа. На пример при судир на две билијардски топчиња се јавуваат еластични сили на одбивање. Два постојани магнета вза-емодејствуваат со магнетни сили, телата и Земјата се привлекуваат со гравитациони сили. Не е можно на пример силата на акција да е електрична, а на реакцијата да е гравитациона.

Врз основа на разгледувањето на трите Њутнови закони како целина, може да се зак-

лучи дека секое забрзување на телото е условено од дејството на некоја сила. Секоја сила е мерка за дејството на другите тела врз набљудуваното тело. Тоа значи дека нема сила без заемно дејство. Едно тело не може да поседува сила, туку само енергија. Силата не е својство на телото и не постои во него.

Законите на динамиката што ги формулирал Њутн претставуваат воопшту-вање на искуствата кои биле познати и пред него. Њутновата заслуга се состои во тоа што тој по-кажал дека сите механички движења можат да се дефинираат со помош на споменатите три закони. Овие закони се земени како основа на механиката, па затоа таа механика често се нарекува и Њутнова механика.

1.2.6. ФУНДАМЕНТАЛНИ ЗАЕМНИ ДЕЈСТВА ВО ПРИРОДАТА

Взаемодејствата на телата во природата можат да бидат најразлични. Но, во современата физика разликуваме четири фундаментални взаемодејства, а тоа се: гравитационото, електромагнетното, слабо нуклеарно и силното нуклеарно заемо дејство. Најслабо е гравитационото, а најјако е силното нуклеарно заемо дејство.

Современите физички теории покажуваат дека секое заемодејство се должи на размена на определен вид кванти, кои што се носители на заемодејството. До денес најдобро е проучено електромагнетното взаемодејство, чии носители се квантите на електромагнетното поле, наречени фотони.

Гравитационото заемодејство се потчинува на Њутновиот закон за взаемно прив-лекување. Создавањето на целосна квантна теорија на гравитација се судира со сериозни потешкотии. Теоријата предскажува два вида кванти на гравитационото взаемодејство, а тоа се гравитони и гравитино. Гравитационите бранови и квантите на гравитационото поле сé уште не се експериментално докажани.

Слабото заемодејство во повеќе случаи се јавува при процесите на распаѓање и прет-ворање на елементарните честици.

Силното заемодејство пак се јавува при соединување на елементарните честици. Пример на силно заемодејство се јадрените сили, кои ги држат протоните и неутроните во јадрата на атомите.

Се прават обиди да се обединат слабите и силните взаемодејства (Големо обеди-нување) и да се опишат со една теорија. Во последните години посебен интерес предизвикува супергравитацијата - теорија која се обидува да даде објаснување на сите взаемодејства во природата, вклучувајќи го и гравитационото.

Динамиката воглавно ги проучува гравитационите сили, силите на триење и елас-тичните сили. Гравитационите сили се последица на гравитационото заемодејство, а силите на триење и еластичните сили се последица на електромагнетното заемодејство.

1.2.6.1. ГРАВИТАЦИОНА СИЛА

24

Согласно со првиот принцип на механиката, телата кои не взаемодејствуваат со другите тела, се движат рамномерно и праволиниски или мируваат. Сите други движења се извршуваат под дејство на сили.

Обопштувајќи ги резултатите од многубројните астрономски набљудувања, Њутн дошол до заклучок дека вселенските тела взаемно се привлекуваат со сили кои имаат иста природа како и силата со која Земјата ги привлекува телата што нé опкружуваат. Силата на привлекување т.н. гравитациона сила дејствува меѓу сите тела во вселената, како меѓу Сонцето и планетите. Под дејство на гравитационата сила планетите се вртат околу Сонцето, сателитите околу планетите, а телата се одржуваат на планетите. Врз основа на на овие заклучоци Њутон го формулира и Законот за гравитација.

Сл. 1.16 Денес се претпоставува дека

гравитационите дејства компримираат огромни маси на меѓузвезден гас, образувајќи нови звезди. Структурата на самите звезди, како и целата вселена се последица на гравитационите дејства.

Њутновиот закон за гравитација гласи: Меѓу секои две тела (материјални точки)

дејствува сила на взаемно привлекување, наречена гравитациона сила, чија што големина е правопропорционална на производот од масите на телата, а обратнопропорционална на квадратот на растојанието меѓу нив.

Ако две материјални точки имаат маси 1m и 2m , соодветно, и се на растојание r една од друга (сл. 1.16), силата 12F со која материјална-та точка со маса 2m ја привлекува материјал-ната точка со маса 1m е определена од равенката за Њутновиот закон за гравитација :

nr

F 221

12mm ⋅

−= γ , (1.66)

каде што rrn = е единечен вектор по правец на

векторот r, γ е гравитациона константа чија вредност е определена 1789 година од англискиот физичар Хенри Кевендиш (Henry Cavendish) и изнесува:

2211 /kgmN10672,6 −⋅=γ

Негативниот предзнак во равенката (1.66) покажува дека правецот на силата 12F е во правец единечниот вектор n , а насоката е спротивна на n .

Согласно со третиот Њутнов закон и материјалната точка со маса 1m ја привлекува материјалната точка со маса 2m со сила еднаква по интензитет и правец на силата 12F , но со спротивна насока:

FFF =−= 1221 . (1.67)

Од равенките (1.66) и (1.67), модулот на гравитационата сила може да се определи како:

221

r

mmF γ= , (1.68)

Ако материјалните точки ги замениме со тела со конечна големина, тогаш растојанието r се определува од центарот на маса на телата.

m1m2

r

Сл. 1.17 Гравитационата сила е централна сила и

по природа е сосема различна од електричната и магнетната сила. Таа е последица од постоењето на телата, т.е. нивните маси и секогаш е привлечна за разлика од електричната и маг-нетната сила кои можат да бидат и привлечни и одбивни.

Гравитационата сила меѓу две тела со

ништо не може да биде засилена ниту ослабната, а најмалку отстранета. Таа се јавува во било кој медиум, па и во вакуум.

25

Гравитационата сила е инваријантна спрема Галилеевите трансформации (законот е ист во сите инерцијални системи).

Современата наука заемното дејство го објаснува со постоење на физичко поле како еден од облиците на постоење на материјата. Имено околу секое тело со маса m во просторот се чуствува дејство на некоја сила и тој простор се вика гравитационо поле, кое не се регистрира ако во него не е внесено друго тело со дадена маса. Поле на осамено тело се нарекува централно гравитационо поле. Со внесување на друго тело, т.е. друго поле, доаѓа до интеракција на тие две гравитациони полиња. Тоа заемно дејство е дадено со силата F :

EF pm= , (1.69)

каде што pm е масата на телото што се наоѓа во гравитационото поле на телото со маса m , а векторот E е колинеарен со векторот на гравитационата сила и претставува јачина на гравитационото поле. Тој може да се дефинира како гравитациона сила која што дејствува на единица маса:

nr

FE 2

mmp

γ−== . (1.70)

1.2.6.2. ТЕЖИНА НА ТЕЛАТА

Тежина на тело е силата на притисокот што телото го врши на хоризонтална подлога под дејство на Земјината тежа. Таа е еднаква на гравитационата сила со која Земјата ги привлекува телата кои се наоѓаат во близина на нејзината површина. Кога телото се наоѓа во рамнотежа, тежината на телото, сила mg со која тоа дејствува на подлогата е еднаква со гравитационата сила, сила со која Земјата декствува на телото:

mgR

mMG

z

z ==2

γ , (1.71)

каде што kg 1098,5 24⋅=ZM и

m 1038,6 6⋅=ZR се масата и радиусот на Земјата, соодветно.

Сите тела што се наоѓаат во полето на Земјината гравитација паѓаат на нејзината површина поради нејзината привлечна сила. При тоа тие се движат со земјино забрзување:

const.2

==z

z

R

Mg γ (1.72)

Земјиното забрзување g е функција од географската ширина ϕ и висината h на која што се наоѓа телото, т.е. ),( hfg ϕ= . Тоа е

најмало на екваторот ( 2m/s 87,9=g ), а

најголемо е на половите ( 2m/s 38,9 ). На

географска ширина 2m/s 18,9,45 ≈= goϕ . Земјиното забрзување опаѓа по линеарен закон

со растење на висината h над земјината површина:

−=

zRhghg 21)( . (1.73)

Забрзувањето на Месечината е помало од забрзувањето на Земјата бидејќи масата на Месечината е помала од масата на Земјата, т.е:

ZM gg 165,0= .

Пример 1.4

Мало тело со маса m лежи на мазна хоризонтална подлога. Во моментот 0=∆t на телото почнува да му дејаствува сила F , под агол θ во однос на хоризонталната подлога. Интензитетот на силата се менува со текот на времето по законот ktF = , каде што k е константа. Колкава е брзината на телото во моментот кога тоа се одвојува од подлогата?

Решение:

26

Компонентите на силата која што дејаствува на телото изнесуваат:

θcosFFx = и θsinFFy = . (1)

За телото да се одвои од подлогата потребно е да биде задоволен условот вертикалната компонента од силата

mgFy ≥ . (2)

Нека тоа се случува во момент на време 0t од почетниот момент, па ако се замени во равенките (1) и (2) се добива:

mgkt ≥θsin0 или θsin0 k

mgt ≥ (3)

Равенката на движење на телото од вториот Њутнов закон изнесува:

θcosktdtdvm = (4)

За да се определи брзината на телото во моментот кога тоа се одвојува од телото равенката (3) се интегрира во граници од 0 до v и од 0 до 0t :

∫ ∫=v t

tdtmkdv

0 0

0

cosθ или 2

cos 20t

mkv θ

≥ (5)

Од равенките (3) и (5) за брзината на телото во моментот кога тоа се одвојува од подлогата се добива:

θθθθ

tgkmg

kgm

mkv

sin2sin2cos 2

22

22

≥≥

1.2.6.3. ЕЛАСТИЧНИ СИЛИ

Дејството на сила врз некое тврдо тело може да биде изразено со промена на неговата положба во однос на околината или да се промени неговата форма.

Промената на формата на телото под дејство на сила се вика деформација. Деформацијата на телата може да биде трајна или моментна. Ако телото по престанокот на дејствување на силата не се врати во првобитната форма, тогаш таквата деформација е трајна и се вика пластична деформација. Телата кои што под дејство на сила трајно ја менуваат формата се викаат пластични тела. Доколу пак телото по престанокот на силата се враќа во првобитна форма, кај него се јавува еластична деформација и такво тело се вика еластично тело.

Кога на тело се дејствува со сили, може да се јави промена на неговите димензии како резултат на напрегањето во него:

SF

=σ (1.74)

каде што F е силата што дејствува на телото, а S е површината на неговиот напречен пресек, а количникот од силата F што дејствува на телото и површината нарекува напон σ. Ако силата е нормална на површината S, овој напон се нарекува нормален напон.

Кога силата F дејствува во рамнина на површината С, напрегањето се нарекува

напрегање при смолкнување а напонот-тангенцијален напон:

SF

=τ (1.75)

Деформацијата на телото на кое дејствува сила може да се изрази преку односот на промената на димнзиите (должината)-∆l и

првобитните димензии (должина)-l, како ll∆ .

Овој однос се нарекува релативна деформација.

Спред Хуковиот закон напонот кај еластичните тела е пропорционален со релативната деформација:

llE

SF ∆

= (1.76)

Коефициентот на пропорционалност во равенката (1.76) се нарекува Јунгов модул на еластичност.

Еластичните сили се јавуваат при мали деформации на секое реално тело. Деформа-циите се мали ако по престанокот на дејството на силата F која ги предизвикала, телото са-мостојно се враќа во првобитната големина и форма.

27

Fel

Fel

F

F

x

x

x

Сл. 1.18 На пример, според Хуковиот закон,

еластичната сила Fel е пропорционална со деформацијата на телото. Во случај на пружина која што на едниот крај е прицврстена (сл. 1.18), Хуковиот закон се запишува со равенката:

Fel = - kx, (1.77)

додека пак силата со која се деформира пружината изнесува F= kx, каде што x е координата на слободниот крај на Fel пружината, сметано од положбата на крајот во случај на недеформирана пружина, а е проекција на силата на еластичност врз оската x . Во услови на рамнотежа следува дека:

F = - Fel

Од сл. 1.18 се гледа дека Fel и x имаат секогаш спротивни знаци. Очигледно x ја дава промената на линеарната должина на пружината при истегнување ( 0>x ) и при збивање ( 0<x ), т.е. деформацијата на пружината.

Истите равенки се користат и при деформација на хомогена прачка.

Поради атомско-молекуларниот строеж на телата еластичните сили се определуваат според карактерот на меѓумолекуларното заемно дејство чија природа е електромагнетна.

1.2.6.4. КОНТАКТНИ СИЛИ

Контактните сили се јавуваат при заемодејство на телата кои што се наоѓаат во непосреден контакт. Кај апсолутно тврдите тела, контактните сили се сведуваат на сили на реакција на подлогата и сили на триење.

N

mg Сл. 1.20

Телото со маса m е поставено на

хоризонтална подлога (сл. 1.20) и се наоѓа во состојба на мирување. Телото дејствува на подлогата со сила на тежината gm , а подлогата дејствува на телото со сила на нормалната реакција на подлогата N . Во услови на рамнотежа силата на тежината gm е еднаква со силата N . Тие две сили имаат ист правец, но се спротивно насочени, т.е:

gN m−= (1.81)

Силата на реакција на подлогата е ограничена на случаи каде можеме да ја занемариме деформацијата на телата.

N

mg

F F1

Сл. 1.21

Ако телото се наоѓа прилепено до ѕид,

тоа заемодејствува едновремено и со подлогата и со ѕидот (сл. 1.21). Во услови на рамнотежа резултантната сила ќе биде еднаква на нула, и важи кога:

gN m−= и FF −=1 . (1.82)

СИЛИ НА ТРИЕЊЕ Триењето е физичка појава предиз-викана

од молекуларно-атомските заемо-дејства која што се забележува при непосреден контакт на тврдите тела, при релативното движење на делови од едно исто течно или гасовито тело, а исто така и при релативното движење на тврдо тело во течност или гас. Триењето меѓу тврдите

28

тела се нарекува надворешно или суво триење, а во течностите и гасовите се нарекува внатрешно или вискозно триење. Триење кое што се јавува при движење на тврдо тело во течност или гас се нарекува отпор на средината.

Триењето се изразува со помош на сила на триење trF која се јавува во допирните точки на телата. Интензитетот на силата на триење зависи од повеќе физички фактори од кои ќе ги споменеме само поважните: природата на телата кои се допираат и нивната агрегатна состојба, мазноста на допирните површини, силите на кохезија и атхезија на допирните површини, релативната брзина на движење на телата и друго.

N

mg

FFtr

Сл. 1.22

Кај сувото триење на тврдите тела, може

да се јави сила на триење при мирување и сила на триење при лизгање.

Нека на телото со маса m се дејствува со хоризонтална сила F (сл. 1.21). При мали вредности на силата F , при trFF < ,телото останува во состојба на мирување, што укажува на тоа дека меѓу површините кои се допираат се јавува сила на триење trF , која што го кочи

движењето. Ако trFF = телото се движи рамномерно праволиниски со постојана брзина v , а ако во услови кога trFF > , телото се движи забрзано со забрзување a .

Динамичката равенка за движење на телото во случај на постоење и на сила на триење, во векторски облик следува од равенката (1.63), т.е.:

∑=

=n

iim

1Fa или trFFa +=m . (1.83)

Во скаларен облик равенката (1.83) изнесува trFFma −= , а забрзувањето a на телото може да се определи како:

mFF

a tr−= .

Кога trFF < , тогаш trF претставува сила на триење при мирување или сила на статичко

триење. Додека при trFF ≥ , кога телото

почнува да се движи, trF се нарекува сила на триење при лизгање, која уште се нарекува сила на кинетичко триење.

Силата на триење е секогаш насочена по тангентата на допирните површини и дејствува спротивно од насоката во која дејствува надворешната сила.

Силата на триење при мирување е дадена со релацијата:

Ntr sF µ= , (1.84)

каде што N е силата на реакција на подлогата, а коефициентот на пропор-ционалноста sµ се нарекува коефициент на статичко триење. Тој зависи од природата, состојбата и чистотата на допирните површини. За чисти метални површини sµ има вредности од 0,3 до 1. Со користење на специјални масла тој може да се намали.

Силата на триење при лизгање е дадена со релацијата:

NF dtr µ= , (1.85)

каде што dµ е коефициент на кинетичко триење или динамичен коефициент, кој исто така зависи од видот и состојбата (мазноста) на допирните површини.

И двете сили на триење не зависат од големината на допирните површини.

Често пати разликата меѓу sµ и dµ е мала, па во задачите се користи ист коефициент на триење при пресметување на силата на триење и при мирување и при движење. Коефициентот на триење µ е бездимензионален број.

v

Ftr

Ftr max

v’0

Сл. 1.23

Силата на триење при лизгање се

определува со надворешната сила F која што телото со маса m го одржува во рамномерно

29

движење по подлогата. Таа зависи и од релативната брзина на движењето v .

Силата на триење при мирување има недефинирана големина, која што може да се движи меѓу вредностите од 0 до maxtrF .

На сл. 1.23 е даден графички приказ на зависноста на trF од брзината v , каде што кривата е симетрична во однос на координатниот почеток, т.е.:

( ) ( )vFvF −=+

При премин низ координатниот почеток силата го менува својот знак, а за брзина еднаква на нула, таа е неопределена (при 0=v ,

trF нема извод). Силата на триење при мирување е означена со вертикалната отсечка

max0 trF− . За мали брзини на движење на пример за брзини 'vv < , силата на триење при лизгање е нешто помала од максималната сила на триење maxtrF . При 'vv > , силата на триење при лизгање започнува повторно да расте. Ако не се бара голема точност при пресметување на силата на триење trF , може да се смета дека коефициентот µ не зависи од брзината. Тогаш зависноста ( )vFtr може да се прикаже со права (испрекината линија), каде што силата на триење при лизгање е еднаква на максималната сила на триење при мирување. Силите на триење во мирување не вршат работа, додека пак силите на триење при лизгање вршат секогаш вршат негативна работа.

N

mg

FFtr

Сл. 1.24

Силата на триење trF т.е. коефициентот на

триење µ може да се мери со направа наречена трибометар (сл. 1.24).

Силата на триење при мирување се определува со вредноста на онаа надворешна сила F која е способна телото да го изведе од состојба на мирување.

Силата на триење при лизгање па според тоа и коефициентот на триење при лизгање, се определува со вредноста на онаа надворешна сила која што на телото му овозможува да се

движи рамномерно. При овие услови важи равенката:

NFF tr µ== N

FNF tr==⇒ µ . (1.86)

Со трибометарот може да се докаже дека силата на триење не зависи од плоштината на допирните површини на телата што се тријат.

α

ααF

F tr

N

G

m

Сл. 1.25

Коефициентот на триење може едноставно

да се определи и при движење на тело со маса m на наведена рамнина, чиј што агол изнесува α (сл. 1.25). Тежината на телото изнесува:

mgG = .

Таа може да се разложи на две компоненти, сила F во правец на наведената рамнина и нор-малната компонента N . Од сликата се гледа дека

αsinGF = , а αcosGN = . Ако телото се движи рамномерно по наведената рамнина, тогаш F и trF се во рамнотежа, т.е. trFF = , па следува:

αµα cossin GG = , (1.87)

или, αααµ tg==

cossin . (1.88)

При движење на тело по наведена рамнина, без присуство на сила на триење, равенката на движење според вториот Њутнов закон ќе гласи:

αα sinsin gamgFma =⇒== (1.89)

Ако постои сила на триење, тогаш равенката за движење по наведена рамнина ќе гласи:

trFFma −=

αµα cossin mgmgma −= ,

а забрзувањето може да се определи од равенката:

( )αµα cossin −= ga (1.90)

30

1. Кога телото се движи со постојана брзина, тогаш αµα cossin0 =⇒=a или

αµ tg= . 2. Кога телото се движи забрзано, тогаш

αµα cossin0 >⇒>a или αµ tg< . 3. Кога телото се движи забавено, тогаш

αµα cossin0 <⇒<a или αµ tg> . Во природата и секојдневниот живот,

силите на триење имаат значајна улога. Понекогаш појавата на триење е штетна, а понекогаш полезна. За штетна се смета секогаш кога голем дел од механичката енергија се претвора во внатрешна енергија на телата што се тријат и нивната околина. Тогаш триењето треба да се намали, а тоа може да се направи со замена на сувото триење со вискозно, или триењето при лизгање се заменува со триење при тркалање. Триењето е полезно (на пр. при сите видови движења по земјината површина) бидејќи без него движењето на луѓето и на машините со кои луѓето работат би било невозможно. Пример 1.5

Тело со мали димензии почнува да се

движи низ коса рамнина со агол на наклон α . Коефициентот на триење меѓу телото и косата рамнина зависи од поминатиот пат по законот

ks=µ , каде што k е константа. а) Колкав пат ќе помине телото додека да

застане? б) Колкава е максималната брзина на

телото на тој пат? Решение:

Равенката за движење на телото кога тоа

се движи по косата рамнина изнесува:

αµαα cossinsin mgmgFmgFdtdvm tr

ii −=−== ∑

(1)

Ако во равенката (1) се замени вредноста

за коефициентот на триење се добива:

αα cossin mgksmgdtdvm −=

Или, αα cossin gksgdtdv

−= (2)

Бидејќи силата на триење се менува во зависност од изминатиот пат, брзината на телото ќе биде сложена функција и ќе зависи како од патот така и од времето ( )tsfv ,= . Во овој случај се бара извод од сложена функција па се добива:

dsdvv

dtds

dsdv

dtdv

== (3)

Со замена на равенката (2) во (3) следи:

( )dsgksgvdv αα cossin −=

Оваа равенка се интегрира за да се добие брзината на телото:

αα cos21sin

22

2

gksgsv−=

или, αα cossin2 22 gksgsv −= (4)

а) За да се определи патот што го поминало телото додека да застане се користи условот дека во тој момент неговата брзина ќе биде нула т.е 0=v , па од равенка (4) следува:

0cossin2 2 =− αα gksgs

ααα tg

kgkgs 2

cossin2

==

б) За да се определи максималната брзина всушност се решава проблем на екстремни точки каде првиот извод на брзината по патот е

нула т.е 0=dsdv , па од равенката (4) следува:

αα cossin2 2gksgsv −=

0cossin2

cossincossin22

cos2sin2

2

2

=−

−

=−

−=

αααα

αααα

gksgsgksg

gksgsgksg

dsdv

αα sincos gsgk =

αtgk

s 1=

На овој дел од патот брзината е максимална и вредноста за патот се заменува во

31

равенката за брзината. На тој начин се определува максималната брзина на телото по косата рамнина:

αα

αααα

αα

cossin

coscossin1sin

cossin12

2

2

2

2max

kg

kgk

kgv =−=

αα sinmax tgkgv =

Пример 1.6

Три тела со маси =1m 3 kg, =2m 2 kg и =3m 5 kg ставени се на коса рамнина. Првото и

второто тело се поврзани со пружина чиј коефициент на еластичност е =k 1 kN/m, додека пак второто и третото тело поврзани се со конец кој минува низ макара. Аголот на стрмнината е =α 30°. Колкаво е издолжувањето на пружината при движење на системот? Триењето да се занемари.

Решение:

Согласно сликата, равенката на движење

на системот од три тела се определува како:

( )α

αsin

sin

2

13321

gmgmgmammm

−−=++

Од равенката (1) за забрзувањето со кое се движат телата се добива:

( )321

213 sinmmm

mmmga

+++−

=α

(1)

Равенката на движење на првото тело врз кое дејствуваат силата тежа и еластичната сила на пружината, динамичката равенка изнесува:

αsin11 gmTam −= .

Од оваа равенка и равенката (1) се определува еластичната сила на пружината:

( )

++

+−+=

321

2131

sinsin

mmmmmm

gmTα

α (2)

Еластичната сила е еднаква на производот од коефициентот на еластичност и промената на должината на пружината, во овој случај издолжувањето:

kxT = (3) Од равенките (2) и (3) се определува

издолжувањето на пружината:

( )=

++

+−+==

321

2131 sinsinmmm

mmmkgm

kTx αα 2,

2 cm

ro

r

f(r)f(r)

∆r

∆f

Сл. 1.19

Ако ги исклучиме аморфните тела, тела

што имаат правилен близок поредок на атомите, сите други тврди тела во природата имаат кристален поредок, т.е. честиците имаат прави-лен распоред во целиот простор од телото. Атомите на секој кристал се стремат да заземат правилен распоред во просторот во кој силата која дејствува врз секоја честица од страна на останатите честици е еднаква на нула. Нека честиците од кои е изграден кристалот се неутрални атоми, а растојанијата на рамнотежните положби на атомите во кристалот се еднакви на or (сл. 1.19). Деформацијата на кристалот претставува поместување на атомите од рамнотежната положба. Ако го растегнуваме кристалот, растојанието меѓу атомите расте до

rro ∆+ , а ако го збиваме кристалот, тоа

растојание се намалува до rro ∆− . Деформаци-ите на кристалот ќе бидат мали, ако поместувањата r∆ се мали во споредба со рас-тојанијата or , т.е. 0rr <<∆ . Тогаш во мала

32

област околу точката or функцијата ( )rf може да се апроксимира со правата rk∆− , (испрекината линија на сл. 1.18). Математички тоа значи разложување на функцијата ( )rf во ред околу точката or и користење само на линеарниот член:

ffrfrf ∆+=∆+= 0)()( 0 . (1.78)

Од сл. 1.19 се гледа дека при зголемувањето на растојанието r∆ одговара соодветно зголемување на силата f∆ , т.е:

rkfkrf

∆−=∆⇒−=∆∆ . (1.79)

Ако последната равенка се замени во равенката (1.78) следува:

rkrf ∆−=)( , (1.80)

каде што k претставува коефициент на правецот.

Да претпоставиме дека во правец на деформација на кристалот има N честици. Секоја од тие честици покажува спротиставување на внатрешната сила на деформација rk∆− . Тоа значи дека во телото се јавува еластична сила:

kxrkNFel −=∆−= ,

во облик ист со Хуковиот закон, од што се заклучува дека по својот карактер Хуковиот закон се сведува на фундаменталниот закон за меѓумолекуларни взаемодејства и укажува на фактот дека еластичните сили имаат електромагнетен карактер.

1.2.6.5. ИНЕРЦИЈАЛНИ СИЛИ

Инерцијалните сили се јавуваат во неинерцијалните системи. Тоа се системи кои што во однос на инерцијалните се движат со забрзување 0≠oa .

Принципите на динамиката се формулирани за движења во однос на инер-цијални системи. Забрзувањето на матери-јалната точка и силата која го предизвикува тоа забрзување се инваријантни, т.е. се еднакви во сите инерцијални референтни системи.

Во инерцијалните системи не постојат инерцијални сили. Затоа, единствената причина која го условува забрзаното движење на телата во инерцијалните системи се Њутновите сили. Тоа се сите оние сили кои што се последица на заемодејството на разгледу-ваното тело со телата од неговата околина.

При премин од инерцијален во неинерцијален систем, телата во неинер-цијалниот систем добиваат дополнителни забрзувања, а тие потекнуваат од допол-нителните сили што се јавуваат во неинер-цијалните системи. Овие сили се наречени инерцијални сили.

O

x

y

z

O

x’

y’

z’

ao

a'

a

-ao

Сл. 1.26

Ако неинерцијалниот систем се движи со

забрзување oa во однос на произволно избран референтен систем (сл. 1.26), тогаш забрзувањето на материјалната точка a' измерено во неинерцијалниот систем се разликува од забрзувањето a измерено во инерцијалниот систем, т.е.:

oaaa' −= (1.91)

Забрзувањата што ги добиваат телата во неинерцијалните системи како да не се во согласност со вториот и третиот Њутнов закон. Па се поставува прашањето: дали вториот Њутнов закон ( )aF m= што важи во инерцијалните системи ќе важи и во неинерцијалните системи. Проблемот бил решен со воведување на инерцијални сили во неинерцијалните системи. Значи во неинерцијалните системи освен Њутнови сили

33

постојат и инерцијални сили. Или за разлика од Њутновите сили кои постојат и во инерцијалните и во неинерцијалните системи, инерцијалните сили се јавуваат при премин од инерцијален во неинерцијален систем, а се губат при премин од неинерцијален во инерцијален систем.

Според тоа, за да важи вториот Њутнов закон и во неинерцијален систем, тогаш тој треба да се запише во следниов облик,

inFFa' +=m , (1.92)

каде што 'a е забрзувањето на телото во неинерцијалниот систем, maF = е Њутнова сила, а силата:

( ) oin aaaF mm −=−−= ' , (1.93)

е инерцијалната сила. Пример 1.7

Нека на стативот S е закачено едно

нишало чие топче има маса m . Стативот е цврсто врзан за количката. Да се објасни појавата на инерцијални сили кога количката се движи со константно забрзување oa .

Решение:

SF in

T

G G

T

ao

F

R

α

Ако количката мирува или се движи

рамномерно праволиниски, т.е. претставува инерцијален систем, конецот од нишалото виси вертикално, а тежината G на топчето е во рамнотежа со силата на реакцијата, т.е. со силата на затегнување на конецот T . Тогаш согласно равенката (1.63), кога количката мирува, Вториот Њутнов закон ќе гласи:

0=+= TGF . Ако количката почне да се движи со забр-

зување oa , конецот на кој е закачено телото се отклонува од рамнотежната положба за агол α. Количката како систем поминува од инер-цијален во неинерцијален. Рамнотежата меѓу силите G и T е нарушена. Врз топчето сега

дејствува и инерцијалната сила oin aF m−= . Во однос на неинерцијалниот систем топчето мирува, независно од тоа што Њутновата сила

0≠+= TGF . Отсуството на забрзување на топчето во

неинерцијалниот систем може да се објасни со логичната претпоставка која се сведува на тоа дека во неинерцијалниот систем освен силите G и T , на топчето дејствува и инерцијална сила чиј модул е ист со Њутновата сила F , но има спротивна насока, т.е.:

oin aFF m−=−= .

Од примеров произлегува дека постоењето на инерцијалните сили е условено од својствата на неинерцијалните системи. Инерцијалните сили не се сили на заемно дејство, но сепак го поседуваат својството да даваат забрзување. Затоа воведувањето на инерцијални сили во равенките на движење во неинерцијалните системи е неопходно.

Со помош на инерцијалните сили се овозможува важење на вториот Њутнов закон. Но нивната појава бара дополнителен коментар. Сите сили за кои зборувавме досега се резултат на взаемодејството на телата. Во неинерцијалните системи ние не сме во состојба да го определиме телото од кое потекнуваат инерцијалните сили. Значи инерцијалните сили не се сили на взаемодејство. Тие се јавуваат од забрзаното движење на референтниот систем, т.е. инерцијалните сили не се последица на напрегање во самото тело, туку се од чисто кинематички карактер. Притоа не важи третиот Њутнов закон и законот за запазување на импулсот. Навистина еден систем од тела врз кој дејствуваат инерцијалните сили никогаш не може да биде затворен систем. Инерцијалните сили секогаш се надворешни сили за телата врз кои дејствуваат. Тие својства на инерцијалните сили ги тера физичарите да ги третираат како квазисили и да ги нарекуваат фиктивни сили.

Но кога би се поставило прашање дали инерцијалните сили се фиктивни или реални, одговорот сепак би бил дека тие се реални затоа што имаат потполно определено физичко значење - тие постојат само за набљудувач сврзан со неинерцијален референтен систем. Инерцијалните сили им соопштуваат на телата забрзување, извршуваат работа при нивното поместување и можат да се собираат со сите други сили. Пример 1.8

34

Да се определат еластичните сили во пружината на која што е закачено тело со маса m кога лифтот се движи нагоре и надоле со постојано забтзување oa .

Решение:

ao

aoFin

Fin

mg

Fel

(1) (2)

Карактеристично својство на инерцијалните сили е нивната пропорционалност со масата на телата на кои дејствуваат. Тоа својство ги прави инерцијалните сили аналогни на грави-тационите сили.

Ако лифтот мирува тежината на телото е урамнотежена со еластичната сила на пружината, т.е.:

gFG el m==

(1) Ако лифтот се движи со забрзување oa насочено вертикално нагоре (лифтот претставува неинерцијален систем), врз телото ќе дејствува и инерцијална сила inF , во спротивна насока од движењето на лифтот, така што еластичната сила изнесува:

gFF inel m+= или

( )gagaF ooel +=+= mmm .

Со други зборови телото ќе ја зголеми тежината за вредноста на инерцијалната сила, т.е. тоа натежнало.

(2) Ако пак лифтот се движи надолу со

забрзување oa следува:

( )ooinel agagFgF −=−=−= mmmm .

Телото ја намалува својата тежина за вредноста на инерцијалната сила, т.е. тоа олеснало.

Ако лифтот се движи надолу со забрзување ga = , телото ќе се наоѓа во бесте-

жинска состојба 0=elF , затоа што инерцијалната сила што се јавува при

слободното паѓање на неинерцијалниот систем gFin m= целосно ја компензира тежината на

телото gG m= . Според тоа: движењето на едно тело во бестежинска состојба се врши во отсуство и на инерцијални и на гравитациони сили. Пример 1.9

На системот прикажан на сликата телата со маси 1m и 2m се поставени на платформа, така што целиот систем се движи вертикално нагоре со забрзување a . Коефициентот на триење меѓу телата и платформата е µ . Да се определи забрзувањето на телата. Масата на конецот и макарата да се занемари.

Решение:

Со помош на сликата може да се

определат равенките на движење на двете тела. За првото тело во правец на оска x , т.е во насока на неговото движење дејствуваат силата на затегање T на конецот и силата на триење:

( )agmTam +−= 111 µ (1)

За второто тело во правец на оска y дејствуваат силата тежа и силата на затегнување на конецот :

( ) Tagmam −+= 212 (2)

Со собирање на равенките (1) и (2) и елиминација на силата T се определува забрзувањето на телата:

( )( )21

121 mm

agmma+

+−=

µ

Пример 1.10

Еластичен конец е прицврстен на ѕидовите на лифт и на него е закачено тело. Кога лифтот се движи со константна брзина нагоре, аголот на затегнување изнесува =1α 30°. Кога лифтот

35

се движи забрзано нагоре тој агол изнесува =2α 45°. Колкаво е забрзувањето на лифтот?

Решение:

Равенката на движење на закаченото тело кога =v const. ќе биде изразена преку силите на затегнување на конецот и силата тежа:

MgFz =1sin21

α (1)

Во случај кога лифтот се движи забрзано нагоре равенката на движењето на телото изнесува:

MgFMa z −= 2sin22

α (2)

Силата на затегнување на конецот е производ од коефициентот на еластичност и издолжувањето, па за двата случаи тие се соодветно:

( )022llkFz −=

( )011llkFz −=

каде што 0l е некоја почетна должина на конецот односно, нерастегнатиот конец.

2

02 cosα

ll =

1

01 cosα

ll = (3)

Ако се замени за силата на затегнување во равенката на движење (2) кога лифтот оди забрзано нагоре ќе се добие:

MgklMa −

−= 2

20 sin1

cos12 αα

За да се елиминираат k и 0l ја заменуваме силата на еластичност во равенката на движење на телото (2) кога лифтот се движи

со константна брзина, па за забрзувањето се добива:

=

−

−−

= 1cos1cos1

1

2

1

2

αα

αα

tgtgga 27,3 m/s2

ЦЕНТРИФУГАЛНА СИЛА

Центрифугалната сила е инерцијална сила која што се јавува при движење на телата по кружна парека (сл.1.27).

v

at

ar

R

M

O

ω

FnFc

Сл. 1.27

При движење на телото по кружна патека, нормално на траекторијата во секој момент од времето се јавува нормално забрзување

Fa 2ω=n ili Rvan

2= . Центрифугалната

сила се претставува инерцијална сила на силата

nn maF = . За да телото остане да се движи по патеката, важи условот:

fcn FF −= ,

од каде што за центрифугалната сила изнесува се добива равенката:

RvmFc

2= (1.94)

TR

Fin

ω

G

Сл. 1.28

Ако тело закачено за конец се наоѓа на

вртлива платформа (сл. 1.28), тогаш ќе се јави инерцијална сила , т.е. центрифугална сила

36

RaF riu2ωmm == . Таа дејствува во правец на

радиусот на кружницата со насока на дејството од центарот кон периферијата. R е радиус - вектор што го поврзува центарот на ротацијата со топчето кое што врши ротација:

RFF cpcf2ωm=−= . (1.95)

Пример 1.11

Сад со облик на пресечен конус со висина h , еднаква на дијаметарот на дното на конусот

=d 20 cm, и агол =α 60° меѓу неговиот раб и хоризонталата, ротира околу вертикална оска. При колкава вредност на аглната брзина на садот топче ќе биде исфрлено надвор од садот? Триењето да се занемари.

Решение:

Задачата може да се разгледува на два

начини:

1. При ротација на садот топчето се наоѓа на страничниот ѕид, на него дејствуваат две сили - тежината и центрифугалната сила. За топчето да излета од садот потребно е да се разгледаат компонентите на двете сили во правецот на движење на топчето, т.е по ѕидот од садот кон надвор. Во случајов треба компонентата на центрифугалната сила да биде поголема од компонентата на тежината, односно:

αα sincos mgFcf ≥ .

Центрифугалната сила е производ од масата на топчето и нормалното забрзување:

ααω sincos2 mgRm =

Преку геометријата на цртежот се изразува радиусот R преку познати величини, па одтаму за аголната брзина се добива:

2ddctg

gtg

+=

α

αω

2. За да се реши задачата се тргнува од законот за запазување на енергијата.

SmFmgh cf ⋅= αcos

SRmmgh ⋅= αω cos2 (1)

од геометријата на системот се определува

αsin=Sh , па ако се замени во равенката (1) ќе

се добие:

ααω

sincos2 hRgd = ,

а аголната брзина се определува како:

Rg

ααω

cossin

=

За да се изрази R преку познати величини

користиме дека 2dxR += и αctg

hx

= , па за

аголната брзина се добива:

=+

=ddctg

gtgα

αω2

2 8,88 rad/s

37

1.2.7. ИМПУЛС НА СИЛА

Ако импулсот на телото се менува со текот на времето тоа значи дека телото се движи забрзано и постои сила која што според вториот Њутнов закон може да се изрази со равенката:

( )dtmd

dtd vpF == . (1.96)

Производот на силата и времето се вика елементарен импулс на силата:

dtd ⋅= Fp . (1.97)

Тоа значи дека елементарната промена на импулсот на телото е пропорционална на елементарниот импулс на силата која дејствува на него. Ако се интегрира левата и десната страна на равенката (1.97) се добива:

∫ ∫ ⋅=p

p

t

to o

dtd Fp , или ∫ ⋅=−t

to

o

dtFpp , (1.98)

т.е. промената на импулсот на телото претсавува интеграл на силата по времето.

Доколку се работи за константна сила ( )const=F , решението на интегралот изнесува:

( )ott −=− Fpp o , или t∆=∆ Fp . (1.99)

Бидејќи во класичната механика масата на телото е constm = , а импулсот на телото изнесува vp m= , следува дека:

tFvm ∆∆ ⋅= или tmm o ∆⋅=− Fvv , (1.100)

што значи дека промената на импулсот на телото е еднаква на импулсот на силата.

Кога силта const=F , графички импулсот на силата ќе биде еднаков на површината заградена меѓу правата што ја опишува функцијата на силата во тек на времето и ординатите повлечени од ot и t (сл. 1.29).

F

F=const.

tto t

∆p

Сл. 1.29

Сл. 1.30

Ако силата F го менува интензитетот со

тек на времето, т.е ако ( )tf=F , тогаш се зема нејзината средна вредност srF , (сл. 1.30). Како средна сила подразбираме константна сила која што за исто време ќе даде исто крајно дејство како и променливата сила. Импулсот на сила е векторска величина која што има правец и насока еднаков со средната сила:

( ) ommmtsr vvvpF −=∆=∆=∆⋅ .

Овој случај може да се прикаже со релацијата:

( )∫ ⋅=−t

to

o

dttFpp , (1.101)

т.е. промената на импулсот претставува интеграл од елементарниот импулс на силата. Во овој случај импулсот на силата претставува површина заградена со кривата ( )tF и временската оска (сл. 1.30).

F

tot tto t

∆p

F t( )

Сл. 1.30

Кога станува збор за движења кои имаат

релативистичка природа, т.е. кога масата на телото се менува како резултат на забрзувањето, како што е зголемувањето на масата на забрзаните честици, лансирање на ракети и друго, ќе важи релацијата:

38

( ) ppvF ===dtd

dtmd . (1.102)

Тоа значи дека силата претставува прв извод од импулсот по времето. Краткотрајните сили со голем интензитет се викаат импулсивни. Од равенката 1.102 импулсот p во интервал на време tto − изнесува:

∫ ⋅=t

to

dtFp (1.103)

F

tto t

F(t)

dp

dt Сл. 1.31

Овој израз се користи за графичко

претставување и пресметување на импулсот на променлива сила. На (сл. 1.31) со кривата

( )tf=F е претставена промената на силата во време t . Површината на обележаниот правоаголник е пропорционална на елементар-ниот импулс dtd ⋅= Fp . Вкупниот импулс на силата F меѓу точките ot и t е еднаков на по-

вршината под кривата меѓу апцисите ot и t . Оваа површина се добива со интегрирање на функцијата ( )tf=F во назначениот интервал.

Од ова се гледа дека воведените релации за импулсот на силата овозмо-жуваат разни анализи и пресме-тувања кои се многу корисни од причина што импул-сивните сили тешко можат да се измерат, додека пак промената на импулсот на телото се мери полесно. На тој начин може да се дојде до повеќе податоци за импулсивната сила.

1.2.8. ЗАКОН ЗА ЗАПАЗУВАЊЕ НА ИМПУЛСОТ

Независно од сложениот карактер на движењето на одделни честици, секој механички систем како целина се карактеризира со физичките величини: импулс, момент на импулс и механичка енергија на системот. Ако тие не се менуваат со текот на времето, за нив ќе важат законите за запазување на енергијата, импулсот и моментот на импулсот кои што претставуваат фундаментални закони на физиката.

Независно од тоа што во рамките на класичната механика тие се добиваат како последица од Њутновите закони, нивната примена е значително поголема. Законите за запазување се во сила во сите области од физиката, вклучувајќи ја атомската и јадрената физика, во физиката на елементарните честици и други, каде што Њутновата механика не може да се примени.

Законот за запазување на импулсот е последица од Њутновите закони.

Ако едно тело кое е потполно изолирано од околината, значи на него не дејствува никаква сила, т.е. 0=F . Од вториот Њутнов закон dtd ⋅= Fp , следува дека и 0=pd . Тоа значи дека импулсот на телото кога не дејствува сила е постојана величина, т.е.:

∫ =−=p

p

d0

00ppp или opp = (1.104)

што значи дека крајниот импулс е еднаков на почетниот. Но ова е само специјален случај на општиот закон кој ќе важи и тогаш кога дејствува сила, т.е. кога постои взаемно дејство меѓу две тела.

v2

v20

v10

v1

m2

m2

m1

m1

Сл. 1.31

Кај наједноставниот случај на дејство на сили меѓу две тела независно од тоа за какви сили станува збор, еластична, магнетна, електрична или пак за меѓусебно дејство на тела

39

при судир, двете тела со маси 1m и 2m претставуваат изолиран систем, бидејќи дејството на околните тела врз нив е занемарено (сл. 1.32).

Тие се движат едно кон друго со брзина

10v и 20v соодветно. Првото тело со маса 1m ќе дејствува на второто тело со маса 2m со сила

21F . Според третиот Њутнов закон со исто толкава сила 12F ќе дејствува и второто тело на првото, но со спротивна насока, т.е.:

1221 FF −= . (1.105)

Според вториот Њутнов закон, силата со која првото тело дејствува на второто изнесува:

dtdm 2

221vF = , (1.06)

додека пак силата со која второто тело дејствува на првото изнесува:

dtdm 1

112vF = . (1.107)

Од равенките (1.05), (1.06) и (1.07) следува:

dt

dmdt

dm 11

22

vv−= (1.108)

Со интегрирање на равенката (1.108) се добива изразот:

∫∫ −=1

1

2

2

1122

v

v

v

v oo

dmdm vv

или oo mmmm 11112222 vvvv +−=− .

const.22112211 =+=+ oo mmmm vvvv , т.е. (1.109)

const.2121 =+=+ oo pppp ,

02211 =−+− oo pppp ,

021 =∆+∆ pp (1.110)

Равенките (1.109) и (1.110) го опишуваат општиот закон за запазување на импулсот на тело, кој што гласи:

Збирот од импулсите на двете тела кои се изолирани од околината пред и по судирот е постојана големина, односно вкупната промена на импулсот е еднаква на нула.

Овој закон ќе важи и за изолиран систем

од произволен број на тела. Тоа може да се

прикаже и во математичка форма. Кај еден затворен механички систем составен од n материјални точки, дејствуваат само внатершни сили 321 ,, FFF и т.н. Тогаш за секоја материјална точка ќе важи вториот Њутнов закон:

ii

dtd

Fp

= , за ni .,.........3,2,1= .

Или ако се сумират равенките за сите материјални точки на системот се добива равенката:

( ) nndtd FFFppp +++=+++ .............. 2121 ,

или

∑∑==

=n

ii

n

i

i

dtd

11F

p . (1.111)

Согласно третиот Њутнов закон, збирот на силите на десната страна е еднаков на нула, затоа што тоа се сили кои што имаат еднаков интензитет, а се спротивно насочени. Тоа значи дека промената на импулсот ќе биде нула, т.е.:

( ) 0.......21 =+++ ndtd ppp . (1.112)

Познато е дека кога диферен-цијалот од некоја големина е нула, тогаш таа има константна вредност, па според тоа:

+++ 321 ppp ..... const.=+ np , (1.113)

односно:

const. 11

∑∑==

==n

iii

n

ii m vp . (1.114)

Ова покажува дека кога се работи за интеракција на n тела во изолиран систем, вкупниот импулс е константен и еднаков на векторскиот збир од импулсите на одделните тела во системот. Со тоа е искажан законот за запазување на импулсот кој што претставува еден од основните закони во природата и важи за сите тела, вклучувајќи ги и елементарните честици.

Значи внатрешните сили на еден изолиран систем не можат да го изменат вкупниот импулс на телата во системот. Тоа може да го направи само сила што дејствува на системот од надвор.

Примери има многу: систем чамец и човек (кога човекот се придвижува во една насока, чамецот се придвижува во спротивна насока), при пукање од пушка (куршумот оди напред, а

40

пушката наназад). На основа на овој закон е заснована целата ракетна техника.

Пример 1.12

Човек се движи во чамец, кој што се наоѓа

во езеро, со брзина v1. Да се пресмета брзината со која што се движи чамецот. Масата на човекот изнесува m1, а на чамецот m2.

Решение:

v2

v1

Согласно законот за запазување на

импулсот од равенката (1.109) следува:

0220112211 vvvv mmmm +=+ (1)

Бидејќи во почетниот момент човекот мирувал, следува дека неговата почетна брзина , како ипочетната брзина на чамецот изнесува

001 =v и 002 =v , соодветно. При тоа равенката (1) го приме обликот:

02211 =+ vv mm ili 2211 vv mm −= (2)

Ако равенката (2) се напише скаларно се добива:

2211 vmvm =

а масата на чамецот може да пресмета од равенката:

1

212 v

vmm =

Пример 1.13

На врвот од подвижна коса рамнина со висина h , маса M и агол на наклон α се наоѓа тело со маса m кое што почнува да се движи под дејство на својата тежина. Коефициентот на триење меѓу косата рамнина и телото е µ . Колкав пат ќе помине косата рамнина додека телото стигне до нејзиното подножје и колкаво е неговото забрзување? Триењето меѓу косата рамнина и подлогата да се занемари.

Решение:

Движењето на телото и количката се резултат на третиот Њутнов закон па со помош на цетежот може да се запише законот за запазување на импулсот:

1cos Mdvmdv =α . (1)

Со диференцирање на равенката (1) по времето за забрзувањето на количката се добива:

1cos Mama =α или αcos1 aMma = (2)

Се запишувадинамичката равенката на движење на телото, на кое што дејствуваат силата на тежината и силата на триење:

αµα cossin mgmgma −=

и за забрзувањето на телото се добива:

( )αµα cossin −= ga

Патот што ќе го помине телото од врвот

до подножјето е 2

2atl = , од каде времето за кое

ќе го помине овој пат ќе биде alt 2

= .

Патот што ќе го помине косата рамнина за тоа време изнесува:

ala

Mmtas 2cos

22

21 ⋅== α .

Ако искористиме дека αsin=lh , односно

αsinhl = , за патот што ќе го помине количката

се се добива равенката:

αα

α hctgMmh

Mms ==

sincos

41

1.2.9. МЕХАНИЧКА РАБОТА

Механичката работа е физичка вели-чина поврзана со поместувањето на телата во просторот под дејство на некоја сила која со која што се совладува отпорот на изминатиот пат. При праволиниско движе-ње, работата што ја врши материјална точка под дејство на постојана сила која дејствува во правец на движење се определува како скаларен производ од силата F и поместува-њето кое што е еднакво на поминатиот пат s , т.е.

sF ⋅=A . (1.115) Работата всушност претставува мерка за

дејство на силата.

s

F

Ftα

Сл. 1.32

Нека на телото дејствува константна сила

F , но под агол α во однос на насоката на движењето (сл. 1.32), при што за определено време тоа поминува пат s .

Извршената работа ќе претставува произ-вод помеѓу тангенцијалната компонента tF на силата F и поминатиот пат s , т.е.:

αcos⋅=⋅= sFsFtA (1.116)

Тоа значи дека работата е скаларна величина, која што може да се дефинира како производ од проекцијата на силата по правецот на поместувањето и патот.

Алгебарскиот знак на извршената работа ќе зависи од знакот на αcos . Ако F и s зафаќаат

остар агол α < 090 , 0cos >α , работата е позитивна, ( )0>A , што значи врз телото се врши работа (добиена работа - силата врши поместување). Ако F и s зафаќаат тап агол

o90>α , 0cos <α , тоа значи дека работата е негативна, ( )0<A , односно телото врши работа, (потрошена работа - силата го спречува

движењето на телото и врши негативна работа). Ако силата е нормална на п 090=α мускулен напор.

Димензијата на работата е дадена со

[ ] [ ][ ] 22 −== TMLsFA , додека пак единица за работа е џул, т.е. m1N11J ⋅= .

Работата што ја извршува постојана сила во правец на поместувањето бројно е еднаква на плоштината на правоаголникот со страна F и s , (сл. 1.33).

A

F

F = const.

sF

s Сл. 1.33

Работа може се да врши и при

криволиниско движење под дејство на променлива сила, т.е. сила која се менува по модул и насока. (Пример: влечната сила на моторот на еден автомобил при негово движење по нерамен и стрмен пат). Но во границите на елементарното поместување rd , силата се смета за константна. Елементарното поместу-вање rd кое точката го извршува за бескрајно мал интервал на време dt е насочено по тангентата на траекторијата (сл. 1.34).

1

2dr

Ft

F

Fn

s

s1

2M

Сл. 1.34 Нека на материјалната точка М дејствува

сила F (сл. 1.34). Големината rF ddA ⋅= се на-рекува елементарна работа на силата F извршена при елементарно поместување rd . Ако силата F ја разло-жиме на две компоненти, насочени соответ-но по тангентата и по норма-лата на траекторијата, т.е. tn FFF += ,

42

компонен-тата nF не врши работа, бидејќи е нормална на елементарното поместување rd . Следува дека работа ќе врши само тангенцијал-ната компонента ( tF ) на силата, па елемен-тарната работа ќе биде дадена со изразот:

sFrF dddA tt ⋅== , (1.117)

каде што модулот на елементарното поместување dr е еднаков со поминатиот пат ds .

На (сл. 1.35) графички е претставена тангенцијалната компонента tF на силата како функција од патот s .

12

ss1 s2ds

dAFt

Сл. 1.35

Ако патот s поминат меѓу точките 1 и 2 го

разложиме на елементарни делови со должина ds , тогаш елементарната работа графички се претставува со површината на еден мал правоаголник dsFdA t ⋅= . Вкупната работа

12A на силата F на делот од траекторијата меѓу точките 1 и 2 се добива со сумирање на елементарните работи, т.е. површините на сите мали правоаголници:

∑ ∑= =

∆=∆=n

i

n

iiii sFAA

1 112 . (1.118)

Нивната вкупна површина (работата 12A ) е еднаква на површината на фигурата, обра-зувана од графикот на функцијата ( )sFt , апцисната оска и ординатите подигнати од почетната точка 1s и крајната точка 2s . Бидејќи криволиниското растоја-ние не може да се подели на конечен број праволиниски делови, работата 12A се добива од равенка (1.118) може да се определи како граничен случај кога

,0→∆ is а ∞→n :

∑=

→∆∆=

n

iiis

sFAi 1012 lim ,

или аналитички работата ќе биде дадена со определениот интеграл:

∫∫∫ ⋅⋅==⋅=2

1

2

1

cos2

112

s

s

s

st dsFdsFdrFA α , (1.119)

пресметан по траекторијата на материјал-ната точка. Интегралот има решение ако аголот

const=α , но ако тој е променлив, тогаш интегралот нема решение.

Ако врз материјалната точка дејству-ваат повеќе сили, работата е збир од рабо-тата на секоја сила поединечно.

Работата не е својство на телата бидејќи не ја поседуваат, таа само се извршува. За разлика од енергијата која телата ја поседуваат, работата е само процес.

1.2.10. МОЌНОСТ

Големината која ја карактеризира брзината на извршената работа од страна на силата, се нарекува моќност. Таа бројно е еднаква на работата извршена во единица време.

Ако моќноста се менува со текот на времето, тогаш средната моќност се определува со односот меѓу извршената работа A∆ за временски интервал t∆ , т.е.:

tAP

∆∆

= . (1.120)

Првиот извод на работата по времето ја

дава моќноста во даден момент на време, т.е.: dtdA

tAP

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Ако елементарната работата се замени со sF ddA ⋅= , следува:

vFsF⋅=

⋅=

dtdP , (1.122)

што значи дека моќноста може да се изрази со скаларниот производ на векторот на брзината v на материјалната точка која ја добива под дејство на силата F којашто дејствува на неа.

43

Доколку моќноста зависи од времето, т.е. )(tPP = , тогаш работата може да се изрази со

равенката:

∫=2

1

)(t

t

dttPA . (1.123)

Димензијата на моќноста е [ ] [ ][ ] 32 −== TMLP vF , додека пак нејзина

единица се нарекува ват, т.е. sJW

111 = .

1.2.11. ЕНЕРГИЈА

Енергијата претставува способност на телото да врши работа. Вкупната енергија на едно тело е збир од внатрешната и надворешната енергија. Внатрешната се дефинира преку движењето и заемното дејство на елементарните честици што го чинат тоа тело. Движењето е неотуѓиво својство на материјата. Тоа значи секоја честица располага со некоја енергија како мерка за нејзиното движење. Во физиката се изучуваат различни форми на движење на материјата, па за нив се воведуваат различни видови енергија:

хемиска, електрична, механичка и друга. Надворешната енергија е резултат на движењето и заемното дејство на макро-скопските тела. Таа се нарекува механичка енергија. Од искуство се знае дека материја-лната точка може да има механичка енергија. Оваа енргија може да биде кинетичка заради нејзиното движење или потенцијална енергија заради нејзината положба во полето на некоја потенцијална сила.

1.2.11.1. КИНЕТИЧКА ЕНЕРГИЈА

Дејството на силата F на материјална точка со маса m се манифестира со промена на нејзината брзина од 1v на 2v . Работата која што ја извршува силата се користи за промена на брзината на материјалната точка. Мерка за таа промена е кинетичката енергија која што претставува скаларна физичка величина. Силата F , во општ случај може да биде и резултанта од повеќе сили (како конзервативни, така и неконзер-вативни сили).

Елементарната работа извршена при елементарното поместување изнесува:

rF ddA ⋅= .

Ако во оваа равенка се замени dtdm vF = ;

dtd ⋅= vr vvvv dmdtdtdmdA ⋅=⋅⋅⋅=⇒ .

Со интегрирање на последната равенка за вкупната извршена работа се довива:

22

21

22

2

1

mvmvdmAv

v

−=⋅= ∫ vv , (1.124)

каде што 1v е почетна брзина на материјалната точка пред да дејствува силата, а 2v во брзи-ната што ја добива под дејство на силата за време t.

Физичката величина m

pmvEk 22

22== се

нарекува кинетичка енергија на материјална точка. Според тоа, работата може да се определи како:

kkk EEEAA ∆=−==1212 , (1.125)

т.е. работата на силата извршена при преместувањето на материјалната точка од положба 1 во положба 2 е пропорционална на промената на кинетичката енергија на материјалната точка, што значи кинетичката енергија на материјалната точка е функција од нејзиното движење, т.е. ( )vmfE ,= . При тоа не е важно како материјалната точка ја стекнува кине-тичката енергија и таа не зависи од коорди-натата на точката во просторот. Според тоа, кинетичката енергија не може да биде не-гативна, т.е секогаш има позитивна вред-ност,

44

или ако телото мирува таа е еднаква на нула ( 0≥kE ). Бидејќи брзината на матери-јалната точка е различна во различни инерцијални системи, тогаш и кинетичката енергија ќе зависи од системот во кој се изразува, т.е. кине-тичката енергија има релативен карактер.

Ако работата 0>A , кинетичката енергија

kE се зголемува (силите дејствуваат во насока-

та на движењето), а ако 0<A , kE се намалува (дејството на надворешните сили е спротивно на движењето на телото).

Ако во почетниот момент телото мирува, а на крај се движи со брзина v следува дека:

AmvEk ==2

2, (1.126)

што значи дека кинетичката енергија е еднаква на работата што ја врши надворешната сила, за да едно тело се забрза од состојба на мирување до брзина v , со други зборови, кинетичката енергија претставува, со други зборови, кинетичката енергија претставува “ акомулирана работа ”акомулирана” работа.

Бидејќи димензионо енергијата е еднаква на работата, таа ќе се мери во истата единица -

J1 .

1.2.11.2. ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА

Енергијата на материјалната точка која зависи само од нејзината местоположба, се вика потенцијална енергија. Таа секогаш се разгледува во поле на сили.

Работата што ја вршат силите на силовото поле над материјалната точка при поместување од положба 1 определена со радиусвекторот 1r , во положба 2 определена со радиус-векторот 2r во однос на центарот на полето O (сл. 1.36), ќе биде изразена со интегралот:

∫=2

1

r

r

dA rF (1.127)

f r ( )1

f r ( )2

b

a

1

2r1

r2

O Сл. 1.36

Силата F е функција од местоположбата

на материјалната точка, т.е. ( )rfF = . Таа е централна сила секогаш во правец на центарот на силовото поле. Во таков случај работата што

ја вршат централните сили бројно е еднаква на разликата од потенцијалната енергија на материјалната точка во положбите 1 и 2, т.е.:

( ) AEEE ppp −=−=∆12

, (1.128)

што значи работата што ја вршат внатрешните сили при поместувањето на материјалната точка условува намалување на потенцијалната енергија. Ако 00 <∆⇒> pEA , работата е

позитивна, а pE се намалува; ако

00 >∆⇒< pEA , работата е негативна, а pE се зголемува.

Потенцијалната енергија е функција единствено од координатите на материјалната точка и не зависи од нејзината брзина.

Од последната равенка се определува само промената на потенцијалната енергија E∆ која е еднаква на работата на силата само со спротивен знак. Притоа работата што ја врши силата на полето не зависи од тоа по кој пат се врши. Работата што ја врши силата по патот

""a е иста со работата што ја врши по патот ""b , што значи извршената работа зависи од

почетната и крајната положба на телото во просторот.

45

1.2.11.3. КОНЗЕРВАТИВНИ СИЛИ

Силите чија што работа не зависи од траекторијата по која се движи материјалната точка, туку само од почетната и крајната положба, се нарекуваат конзервативни сили. На (сл. 1.37) се прикажани три произволно избрани траектории cba ,, по кои материјалната точка под дејство на конзервативната сила F се преместува од положба 1 во положба 2.

1

2c

abAc

Ab

Aa

Сл. 1.37 Ако работата на силата во трите случаи ја

обележиме со cba AAA ,, , тогаш::

constAAAA cba ==== 12 . (1.129)

Карактеристично за конзервативните сили е тоа што работата извршена по затворена контура е еднаква на нула, т,е, ако материјалната точка од 1 до 2 се движи по траекторијата ""a а од 2 до 1 се враќа по траекторијата ""c , тогаш извршената работа:

0' 12122112 =−=+=+= AAAAAAA ca ,

затоа што,

1221' AAAA cc −=⇒−= . (1.130)

Бидејќи точките 1 и 2 и траекториите ""a и ""c се произволно избрани, станува збор за работа на конзервативна сила по произволно избрана контура L . Математички тоа се изразува со равенството:

0=∫L

drF . (1.131)

Кругот на интегралот значи дека интегрирањето се врши по затворена контура L .

Гравитационите и еластичните сили се конзервативни сили, а во електромагнетизмот, конзервативни се електричните и магнетните сили. Полето во кое тие дејствуваат се вика потенцијално поле. А просторот во кој дејствуваат било какви сили се вика силово поле.

Сите сили не се конзервативни. Ако работата што ја извршуваат силите зависи и од обликот на патот, нив ги нарекуваме непотенцијални или неконзервативни сили. Такви се силите на триење. Тие вршат негативна работа, т.е.:

∫L

drF < 0, (1.132)

поради што се нарекуваат и дисипативни сили. При нивната работа механичката енергија се претвора во внатрешна енергија и се ослободува определено количество топлина.

Нека на телото (или точката) покрај конзервативни, дејствуваат и неконзервативни сили. Тогаш согласно со теоријата за промена на кинетичката енергија, може да се запише:

knekkon EAA ∆=+ . (1.133)

Бидејќи работата што ја извршуваат конзервативните сили е еднаква на негативната промена на потенцијалната енергија

)( pkon EA ∆−= следува:

mehkpkpnek EEEEEA ∆=+∆=∆+∆= )( . (1.134)

Од последната равенка ( 1.134) следува дека работата на неконзервативните сили доведува до промена на механичката енергија на телото. Истата равенка може да се напише и во форма:

12 EEAnek −= , (1.135)

каде што 1E и 2E е механичката енергија на телото во положба 1 и 2, соодветно. Ако неконзервативните сили вршат позитивна работа ( nekA >0), механичката енергија на телото се наголемува ( 2E > 1E ); ако работата на неконзервативните сили е негативна ( nekA <0), механичката енергија на телото се намалува ( 2E < 1E

46

1.2.11.4. ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА ВО ПОЛЕ НА ЗЕМЈИНАТА ТЕЖА

Во близина на површината на Земјата, гравитационото поле е хомогено. Гравитационата сила меѓу масата на Земјата zM и масата на телото m се вика сила на земјината тежа. Блиску до површината на Земјата, силата на земјината тежа е константна и еднаква на тежината на телото, т.е.:

GmgR

mMF z ===

2γ . (1.136)

Сл. 1.38 За да се пресмета работата што ја врши

силатаG за да се помести материјалната точка од положба ( )11,1 yx во положба ( )22 ,2 yx (сл. 1.38), потребно е да се изрази елементарната работа dA . За тоа треба да се изразат векторот на силата на тежата G и векторот на елементарното поместување rd со нивните компоненти во однос на координатниот систем xoy:

jG mg−= (G>0 но има спротивна насока од j ) и jir dydxd += .

Тогаш елементарната работа изнесува:

( )jijrG dydxmgddA +⋅−== .

Бидејќи 0=⋅ ij ; а 1=⋅ jj , следува дека:

mgdydA −= ,

( ) mghyymgmgdyAy

y−=−−=−= ∫ 12

2

1

, (1.137)

( )12 pp EEA −−= , (1.138)

каде што 12 yyh −= е промена на висината на материјалната точка над земјината површина. Бидејќи траекторијата е избрана произволно, значи работата на силата G не зависи од траек-торијата, туку зависи исклучиво од висинската разлика на крајната и почетната положба. Ова може да се покаже и при движење на тело по наведена рамнина. Работата нема да зависи од поминатиот пат, туку само од промената на висината. Силата на земјината тежа врши негативна работа при подигање на телото ( )0>h , а позитивна при спуштање (при 0<h ). Во првиот случај промената на потенцијалната енергија на телото е позитивна, т.е. 0>∆ pE , а

во вториот 0<∆ pE . Ако работа вршат силите на полето, тогаш

pEA ∆−= , а ако работа вршат надворешни

сили тогаш pEA ∆= .

1.2.11.5. ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА НА ЕЛАСТИЧНИ СИЛИ

За еластично деформирана пружина во правец на оската x , важи Хуковиот закон:

kxFel −= .

Според цртежот прикажан на сл.1.39, пружината е дефoрмирана од положбата со координата 1x до положбата со координата 2x , така што еластичната сила извршила работа:

47

22

21

22

2

1

2

1

kxkxxdxkdxFA

x

x

x

xel +−=−== ∫∫ , (1.139)

или )(12 pp EEA −−= , каде што

1pE и 2pE

се потенцијалните енергии на пружините во две различни состојби на деформација.

Fel Fx

x1 x2 x

E

x1x2

0

p

x

Сл. 1.39

Равенката (1.139) покажува дека работата на надворешната сила зависи само од крајната и почетната деформација на пружината. Општата формула за пресметување на потенцијалната енергија на деформирана пружина гласи:

2

2kxE p = (1.140)

каде што ( x+ ) е деформација на растегнување, а ( x− ) е деформација на збивање. Кога 0=x (пружината не е деформирана), потенцијалната енергија на пружината е еднаква на нула ( 0=pE ). Параболата на сл. 1.39 претставува графички приказ на зависноста на потенцијалната енергија од деформацијата на пружината.

1.2.12. ЗАКОН ЗА ЗАПАЗУВАЊЕ НА ЕНЕРГИЈАТА

Во еден механички систем во кој што дејствуваат само конзервативни сили, работата на неконзервативните сили ќе биде еднаква на нула, т.е.:

0=∆= mehnek EA . (1.141)

Ова значи дека и промената на механичката енергија ќе биде еднаква на нула:

const.=+= pkmeh EEE . (1.142)

Ова равенство го изразува законот за запазување на механичката енергија, кој гласи: Механичката енергија на еден механички систем во кој дејствуваат само конзерва-тивни сили, не се менува со текот на времето.

Како последица на работата на конзервативните сили се јавува само претворање на кинетичката енергија во потенцијална и обратно, но вкупната енергија останува непроменета. Движењето на системот за кој важи законот за запазување на енергијата се нарекува конзервативно движење. Пример 1.14

Да се пресмета брзината на тело со маса m кое што паѓа од висина H .

Решение:

A

B

C

H

H-h

h

На телото дејствува само силата на

земјината тежа како конзервативна сила. Ако како референтна рамнина се земе површината на Земјата, тогаш неговата потенцијална енергија изнесува:

mgHEAp = .

Бидејќи телото мирува следува 00 ==

AkEv i .

48

Значи вкупната механичка енергија во точката A може да се определи како:

ApA EmgHE =+= 0 . (1.117)

Ако телото се пушти слободно да паѓа и во даден момент (во точката B ) ќе има потенцијална и кинетичка енергија т.е.:

mghEBp = и ( )hHmg

mvE B

kB−==

2

2,

каде што ghHgABvB )(222 −== . За вкупната енергија во точката B се

добива:

( )hHmgmghEEEBB kpB −+=+= , (1.118)

каде што mgHEB = и BA EE = . Во точката C потенцијалната и

кинетичката енергија на теловто изнесувват:

)0(;0 == HECp и

mgHgACmmvE C

kC===

22

2

2

.

Вкупната енергија во точката C и знесува:

mgHEEECC kpC =+= , (1.119)

Од равенките (1.117) , (1.118) и (1.119) следува дека вкупната енергија во сите три разгледувани точки е иста, т.е.:

gHvmvE

mgHEEEE

C

A

CBA 2

2

2 =⇒=

=

=== .

(1.120) Значи ако на телото не дејствуваат

неконзервативни сили туку само силата на Зем-јината тежа, вкупната механичка енергија на системот во било која точка е иста. Пример 1.15

Да се изведе законот за запазување на

механичката енергија при движење на телото по наведена рамнина кога:

a) Триењето помеѓу телото и рамнината се занемарува.

b) Постои триење помеѓу телото и рамнината

Решение:

а) Ако телото се движи по наведената

рамнина AB , тоа се движи под дејство на активната компонента од неговата тежина:

αsinmgmaF == ,

Тогаш, забрзувањето на телото што се движи по наведената рамнина изнесува:

αsinga = . (1)

Поминатиот пат на телото до точката М , движејќи се забрзано изнесува:

αsin2

2 hHatsAM −=== , (2)

а брзината во точката М изнесува v = at, или: нејзиниот квадрат ќе биде:

AMaasasatav 2222222 ==== ,

Ако во оваа равенка ги замениме равенките (1) и (2) се добива равенката:

αsin2

2 hHamAMammv −=⋅= ,

или mghmgHmv−=

2

2.

Вкупната енергија на телото во точката М изнесува:

mgHmghmvEM =+=2

2, (3)

што покажува дека вкупната механичка енергија на телото во положба M е еднаква на збирот од кинетичката и потенцијалната енергија. Значи и во овој случај ќе важи законот за запазување на енергијата.

б) Ако на телото што се движи по наведената рамнина дејствува сила на триење Ftr, тогаш равенката за движење ќе гласи:

49

trFFma −= ;

или забрзувањето изнесува:

mFF

a tr−= , (4)

Аналогно како во предходниот случај (а), квадратот на брзината ќе биде даден со равенката:

αα sin2

sin222 hH

mFFhHaasv tr −

⋅−

=−

== ,

или αα sinsin2

2 hHFhHFmvtr

−−

−= , (5)

Ако во равенката (5) силата F се замени со равенката αsinmgF = , за вкупната енергија на телото се добива:

sFhHmgmvtr−

−=

αα

sinsin

2

2,

или mgHsFmghmvtr =++

2

2. (6)

Вкупната енергија е еднаква на збирот од кинетичката и потенцијалната енергија и енергијата Etr = Atr = Ftr s, која што се троши за совладување на силата на триење.

Ако во изолиран систем, освен конзервативни сили дејствуваат и неконзервативни сили, како што се силата на триење, силата на отпорот на средината и др. механичката енергија на телата од системот се намалува, еквивалентно на извршената работа на дисипативните сили. Физичките процеси при кои механичката енергија се трансформира во друг вид на енергија, се нарекуваат дисипативни. Одвивањето на наведените процеси е пратено со трансформација на механичката енергија на системот во еквивалентно количество на топлина Q или друг вид на енергија:

const.=+= QEE meh (1.123)

За овакви процеси не важи законот за

запазување на механичката енергија, туку законот за запазување и трансформација на енергијата на сите облици на движење на мате-ријата. Односно, при било какви физички процеси енергијата не исчезнува нити пак се создава нова, туку само се претвора во други видови. При сите облици на движење на матери-јата, вкупната енергија останува непроменета.

Енергијата на еден систем од макроскопски тела може условно да се раздели на механичка и и други видови енергија.

Други видови на енергија се топлин-ската, хемиската, јадрената енергија, енергијата на топлотно зрачење и други. Од гледна точка на современата наука сите форми на немеханичка енергија се сведуваат на кинетичка и потенцијална енергија на микрочестиците во зависност од структурата на материјата. На пример топлинската енергија на идеален гас е збир од кинетичката енергија на хаотичното топлинско движење на молекулите на гасот. Хемиската енергија се определува од кинетичката енергија на атомите и молекулите (јадра и електронски обвивки) и потенцијалната енергија на нивното електрично взаемо-дејство. Јадрената (нуклеарна) енергија е збир од кинетичката и потенцијалната енергија на честиците на атомските јадра (протони и неутрони) кои заемодејствуваат со јадрените и електричните сили. Енергијата на електромагнетното зрачење е збир од кинетичката енергија на светлинските кванти (фотони), кои можат да се разгледуваат како микрочестици кои се движат со брзината на светлината.

Процесите во живата и неживата природа се врзани со непрекинато претворање на енер-гијата од еден вид во друг. Претворањето на енергијата постои како во вселената, така и во одделните клетки на живите организми.

50