ODREĐIVANJE POMAKA NA STATIČKI ODREĐENIM SUSTAVIMA x z y h b L Za svaki presjek treba naći: tri unutrašnje sile - M, T, N tri deformacijske veličine - κ, ε, γ tri pomaka - u, v, ϕ Pomaci: Unutrašnje sile: L M T N x z L A x z u ϕ v A’ Deformacijske veličine: 1 ε 1 h κ ds h h γ Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 136
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ODREĐIVANJE POMAKA NA STATIČKI ODREĐENIM SUSTAVIMA
x
z
y
h
bL
Za svaki presjek treba naći: tri unutrašnje sile - M, T, N tri deformacijske veličine - κ, ε, γ tri pomaka - u, v, ϕ Pomaci: Unutrašnje sile:
Promjena duljine osi određuje se korištenjem dva uvjeta ravnoteže: suma projekcija sila ( ) i suma momenata (
0X =∑0M =∑ ).
0dAyR
yyR
dAyd
dE0dA0X11
=+
→+ϕ
ϕ∆⋅==σ⇒= ∫∫∫∑
dAyR
yd
dEMdAy0M1
2
∫∫∑ +ϕϕ∆⋅==σ⇒=
43421321
01
11
1
1
2dA
yRyRdAydA
yRyRydA
yRy
=
∫∫∫∫ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+
osneutralnu naobzirom spovršine
moment staticki
Aed
dEMAedAydAyR
y1
2⋅
ϕϕ∆⋅=⇒==
+→ ∫∫
RAeEdsM
AeEdMd M =ϕ=ϕ∆
ϕ∆=∆ dedsM → RAE
dsMdsM =∆
Relativna promjena duljine: EAM
R1
M =ε
Promjena kuta : )d( ϕ∆
dAyR
yd
dEM1
2
∫ +⋅
ϕϕ∆⋅=
e – mala veličina (uslijed male zakrivljenosti) → RyR1 =+
→ IR1dAy
R1dA
yRy 2
1
2==
+ ∫∫
⇒ IR1
ddEM ⋅ϕϕ∆⋅= →
IEdsMd M =ϕ∆
Relativna promjena kuta: IEM
M =κ
c) Utjecaj poprečne sile
Gτ=γ ;
IbST=τ →
IGbST=γ
T - poprečna sila S - stat. moment s obzirom na težište presjeka površine iznad ili ispod ordinate y=konst. I - moment tromosti poprečnog presjeka b - širina presjeka na mjestu y = konst.
b
τ
γ
..
..
ds ds
γ w = ds γ
Da bi vrijedila hipoteza o ravnim presjecima, raspodjela klizanja zamijeni se s prosječnim klizanjem kod kojega je .konstds =⋅γ
Rad posmičnih naprezanja pri stvarnoj deformaciji:
Pomaci i deformacija jednog diferencijalnog elementa osi:
O
u
v
dy
u + du
v + dv
dy + dv
dx + du
dx
(1+ ε) ds
ds
α+ϕ
α
x
y
Projekcije diferencijalnog elementa na koordinatne osi:
α= cosdsdx ; α= sindsdy Promjena duljine elementa: dsds ε=∆ Promjena kuta nagiba: α∆=α∆=ϕϕ=α∆ ddd;
ε − relativna promjena duljine osi štapa
ϕ − kut za koji se zaokrene tangenta na os štapa Projekcije deformiranog elementa osi grede: dudx + i dvdy + Veze pomaka u i v, kuta zaokreta ϕ i relativnog produljenja ε:
Određivanje progibne linije ravnog nosača - progib v(x); kut zaokreta ϕ(x) Progibna linija – neprekinuta i glatka krivulja Za slučaj čistog savijanja zakrivljenost nosača je:
IEM1 =
ρ (za utjecaj poprečne sile se može zanemariti) Lh <<
Zakrivljenost krivulje određena je izrazom:
23
2
2
2
dxdv1
dxvd
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
±=ρ
Za male progibe: ⇒ ( ) 1v 2 <<′ diferencijalna jednadžba elastične linije ravnog nosača za slučaj čistog savijanja:
IEM
dxvd2
2±=
Analitička metoda određivanja elastične linije nosača v(x)→
→=ϕdxdvtg pretpostavka malih progiba: →ϕ≈ϕtg
dx)x(dv)x( =ϕ
⇒ .konstIE =dxdv=ϕ
2
2
dxvdIEM −=
3
3
dxvdIE
dxdMT −==
4
4
dxvdIE
dxdTq =−=
• Uzastopno neposredno integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije • M(x) izraziti kao funkciju opterećenja q i apscise presjeka x • Konstante inegracije odrediti iz rubnih uvjeta
Grafoanalitička metoda određivanja pomaka nosača Zasniva se na matematičkoj analogiji:
qdx
MdMdx
vdIE 2
2
2
2−=↔−=
Fiktivni nosač – jednake duljine i krutosti kao stvarni nosač Fiktivno opterećenje:
Mq = , M - dijagram momenta savijanja konstruiran na stvarnom nosaču
- fiktivni moment savijanja M , fiktivna poprečna sila T Pozitivni dijagram momenata savijanja na stvarnome nosaču – pozitivno fiktivno opterećenje na fiktivnom nosaču usmjereno prema dolje Za fiktivni nosač:
Mdx
Mdqdx
Md2
2
2
2−=→−=
2
2
2
2
dxMd
dxvdIE =⇒ ili MvIE ′′=′′
Integracijom jednadžbe dobiva se:
CdxMd
dxdvIE +=
CTdxdvIET
dxMd +=→=
DxCMvIE ++= Konstante integracije ovise o rubnim uvjetima. Ako je na fiktivnom nosaču 0T = i 0M = u istim presjecima u kojima je i 0=ϕ 0v = na stvarnom nosaču ⇒ i 0C = 0D = Slijedi:
b) Analitički postupak - diskretni pomaci prema načelu virtualnog rada − u odabranom čvoru i na odabranom pravcu na rešetki postavi se jedinična sila 1F =
− u svim štapovima se odrede sile usljed jediničnog opterećenja 1is
− nepoznati pomak promatranog čvora na odabranom pravcu usljed zadanog opterećenja: pj
− za virtualne pomake se odaberu pomaci koje daje jedinična sila
F = 1
virtualni pomaci
Rad vanjske sile nad nepoznatim pomakom p1F = j: jp1W ⋅=
Rad unutrašnjih sila Si nad virtualnim pomacima: ( )∑=
=š
1iiiiu sEASW l
Uvjet ravnoteže prema načelu virtualnog rada:
uWW = ( )∑=
=⇒š
1iiiij sEASp l
Primjer: Traži se vertikalni pomak čvora 4 koji nastaje usljed opterećenja silama V1 i V2.
Dva stanja ravnoteže: , , M, T, N , , κ, ε, γ - stvarno stanje iF iR is ir
iF , iR , M , T , N is , ir , κ , ε , γ - virtualno stanje 44 344 21
4434421
moguće stanje ravnoteže moguće stanje deformacije Princip virtualnih pomaka i princip virtualnih sila za ova dva stanja:
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s
iiii dsTNMrRsF
Izrazi za deformacijske veličine:
EIM=κ ,
EAN=ε ,
GATk=γ ;
EIM=κ ,
EAN=ε ,
GATk=γ
Dobiva se:
∫∑∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+s
iiii dsGA
TTkAENN
IEMMrRsF
∫∑∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+s
iiii dsGA
TTkAENN
IEMMrRsF
⇒ ( ) ( )∑∑ +=+ iiiiiiii rRsFrRsF Teorem o uzajamnosti radova za dva stanja opterećenja:
opterećenje silama - prvo stanje opterećenja iFopterećenje silama - drugo stanje opterećenja kF
Pomaci: i ikδ kiδ
∑∑ δ=δ→ kikiki FF − Bettijev teorem o uzajamnosti radova
Rad vanjskih sila jednog stanja opterećenja na pomacima izazvanim drugim stanjem opterećenja jednak je radu vanjskih sila drugog stanja opterećenja na pomacima izazvanim prvim stanjem opterećenja.
CASTIGLIANOVI TEOREMI - sistem sila F1, F2, ..., Fn - generalizirane sile koje djeluju na elastično tijelo - odgovarajući pomaci δ1, δ2, ..., δn - generalizirani pomaci a) b)
F1
F2
Fk
Fn
δ1
δ2
δk
δn
dδk
dFk
dδk
dδn
dδ1
dδ2
F1
F2
Fk
Fn
δ1
δ2
δk
δn
a) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija pomaka: ),,,(UU n21 δδδ= K
Totalni diferencijal funkcije U:
nn
22
11
dUdUdUdU δδ∂
∂++δδ∂
∂+δδ∂
∂= . . . . .
kk dδ→δ :
kk
dUdU δδ∂
∂=
Na prirastu pomaka rad obavlja samo odgovarajuća sila Fkdδ k : kk dF δ
kkkk
dFdUdU δ=δδ∂
∂=
kk
UFδ∂
∂=⇒ - prvi Castiglianov teorem
b) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija sila: )F,,F,F(UU n21 K=
Ako u točki konstrukcije u kojoj treba odrediti pomak ne djeluje generalizirana sila, u toj točki se nanosi zamišljena sila F0 ili moment M0 u smjeru traženog pomaka. Potencijalna energija deformacije U izražava se kao funkcija zadanog opterećenja i zamišljenih generaliziranih sila (F0 ili M0).
0F0k
0FU
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=δ ;
0M0k
0MU
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=ϕ
PRIMJER: Treba odrediti kut zaokreta na ležaju B nosača prikazanog na slici. Utjecaj poprečne sile zanemariti!
A B
M0
x
y
x
q
ϕB
A Bl
Ležajne reakcije od stvarnog i fiktivnog opterećenja:
PRIMJER 2: Treba odrediti promjenu razmaka između točaka AB okvirnog nosača.
A B
l/2
a
F
l/2
A B
T
F /4l
M
A BF = 1A F = 1B
MAB
a
aa
IE8aFa
4F
21
IE1dx
IEMM 2
0
ABAB
llll=⋅⋅⋅⋅==δ ∫
PRIMJER 3: Treba odrediti vertikalni pomak točke D okvirne konstrukcije koja se na vanjskoj površini ohladi za , a na unutrašnjoj površini zagrije za . Poprečni presjek je konstantan pravokutnog oblika visine h.