Obwody i Sygnaty Elektryczne rnnSc PRocRAMU SEMESTR I tematy zajgd liczba godzin wykL cwrcz. lab. proJ. Drzet. semrn. prac. nroblem. L. Og6lne pojpcia i klasyfikacja sygnal6w elektrycznych: Sygnaly elektryczne zdeterminowane - klasyfikacja i o g6lne zasady modelowania. I 2. Uklady elektryczne oraz zasady ich modelowania sieciowego i zaciskowego: Uklad elektryczny jako obiekt rzeczywisty, parametry pierwotne, elementy idealne i ich charakterystyki, klasa modeli SLS, wielkoSci zaciskowe, struktura modeli zaciskowych, wymuszenie i odpowiedZ. ) 3. Podstawowe prawa i twierdzenia Teorii Obwod6w: - Sied elektryczna i jej elementy (wgzel, galqL, oczko), macierze strukturalne : ) Podstawowe prawa Teorii Obwod6w: prawo Ohma, prqdowe prawo Kirchhoffa, napigciowe prawo Kirchhoffa, zasada Telegana,twierdzenie Thevenina, twierdzenie Nortona, r6wnowazno6d uklad6w, zasada superpozycii. ) I 4* 4. Metody analizy obwod6w liniowych pr4du stalego: - Model sygnalu i obwodu, prawa i twierdzenia Teorii Obwod6w dla pradu staleso: I I - Metody analizy obwod6w: metoda transfiguracji, metoda superpozycii ) 4 - Metody sieciowe analizy obwod6w metoda oczkowa ) ) * Metoda wgzlowa; ) ,, - Metoda zastgpczego generatora; ) ., Analiza obwod6w nieliniowych pr4du stalego. RAZEM W SEMESTRZE I ) 18 t2 4'k 12* 6. LITERATURA Autor Tytul Rok wvdania A. Sosnowski Teoria obwod6w elektrvcznvch t982 J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teori obwod6w. tom 1 t992 J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teor obwod6w. tom 2 1992 J. Osiowski. J. Szabatin Podstawy teori obwod6w. tom 3 1995 C. KepskiA.Sosnowski Teoria obwod6w sygnal6w - iwiczenia rachunkowe. Cz. I t978 C. Kgpski,H. Moroz,I. Persak, A. Sosnowski Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 2 1986 C. Kqpski, H. Moroz,I. Persak Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 3 1989 Praca zbiorowa Laboratorium teorii obwod6w cz. I r912 Praca zbiorowa Laboratoriumteorii obwod6w cz.2 r976 J. Osiowski Zarys rachunku oDeratoroweso 1981 M. Krakowski Elektrotechnika Teoretyczna.tom I Obwodv liniowe i nieliniowe 1999 H. C. Moroz Charaktervstvki liniowvch obwod6w stacionarnvch r972 S. Mitra Analiza i syntezauklad6w liniowvch aktvwnvch t974 J. Barzykowski, G. Nitecki Podstawy teorii obwod6w elektrycznych t. I. t.2 r995 r996 S. Osowski, L. Iwanejko, P. Preibisch, M. Choinacki Teoria obwod6w elektrvcznvch 1999 B.P. Lathi Teoria sysnal6w i uklad6w telekomunikacvinvch r970
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Obwody i Sygnaty Elektryczne
rnnSc PRocRAMU
SEMESTR I
tematy zajgd
liczba godzin
wykL cwrcz. lab. proJ.Drzet.
semrn. prac.nroblem.
L. Og6lne pojpcia i klasyfikacja sygnal6w elektrycznych:
Sygnaly elektryczne zdeterminowane - klasyfikacja io g6lne zasady modelowania.
I
2. Uklady elektryczne oraz zasady ich modelowaniasieciowego i zaciskowego:
Uklad elektryczny jako obiekt rzeczywisty, parametrypierwotne, elementy idealne i ich charakterystyki, klasamodeli SLS, wielkoSci zaciskowe, struktura modelizaciskowych, wymuszenie i odpowiedZ.
)
3. Podstawowe prawa i twierdzenia Teorii Obwod6w:- Sied elektryczna i jej elementy (wgzel, galqL, oczko),
macier ze strukturalne :
)
Podstawowe prawa Teorii Obwod6w: prawo Ohma,prqdowe prawo Kirchhoffa, napigciowe prawo Kirchhoffa,zasada Telegana, twierdzenie Thevenina, twierdzenieNortona, r6wnowazno6d uklad6w, zasada superpozycii.
) I 4*
4. Metody analizy obwod6w liniowych pr4du stalego:- Model sygnalu i obwodu, prawa i twierdzenia Teorii
Obwod6w dla pradu staleso:I I
- Metody analizy obwod6w: metoda transfiguracji, metodasuperpozycii
) 4
- Metody sieciowe analizy obwod6w metoda oczkowa ) )* Metoda wgzlowa; ) ,,
- Metoda zastgpczego generatora; ) .,
Analiza obwod6w nieliniowych pr4du stalego.
RAZEM W SEMESTRZE I
)
18 t24'k
12*
6. LITERATURAAutor Tytul Rok wvdania
A. Sosnowski Teoria obwod6w elektrvcznvch t982J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teori obwod6w. tom 1 t992J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teor obwod6w. tom 2 1992J. Osiowski. J. Szabatin Podstawy teori obwod6w. tom 3 1995C. KepskiA. Sosnowski Teoria obwod6w sygnal6w - iwiczenia rachunkowe. Cz. I t978C. Kgpski, H. Moroz,I. Persak,A. Sosnowski
Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 2 1986
C. Kqpski, H. Moroz,I. Persak Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 3 1989Praca zbiorowa Laboratorium teorii obwod6w cz. I r912Praca zbiorowa Laboratorium teorii obwod6w cz.2 r976J. Osiowski Zarys rachunku oDeratoroweso 1981M. Krakowski Elektrotechnika Teoretyczna. tom I Obwodv liniowe i nieliniowe 1999H. C. Moroz Charaktervstvki liniowvch obwod6w stacionarnvch r972S. Mitra Analiza i synteza uklad6w liniowvch aktvwnvch t974J. Barzykowski,G. Nitecki
Podstawy teorii obwod6w elektrycznycht . I . t . 2
r995r996
S. Osowski, L. Iwanejko, P.Preibisch, M. Choinacki
Teoria obwod6w elektrvcznvch 1999
B.P. Lathi Teoria sysnal6w i uklad6w telekomunikacvinvch r970
Sygnat elektryczny i jego klasyfikacja
W jEzyku potocznyrn sygnal kojarzy siE ze znakiem sluZ4cym do przekazywania
infonnacji, np. dZwigk, dym rtp. W naszym przypadku bgdziemy skupiali siE wylqcznie
na zjawiskach elektrycznych wywoluj4cych falg napigcia lub pr4du.
Sygnal elektryczlny jest to fala napigcia lub predu rozchodzqca siE ze 2r6dlawzdlu?
pewnych kierunk6w zwanych promieniami fali
Tak zdefiniowany sygnal opisany jest przez funkcjg wyraZong analitycznie lub
przedstawion4 w postaci wykresu. W przypadku og6lnym jest to funkcja
wsp6lrzgdnych przestrzennych i czasu.
Funkcj g sygnalu przedstawiamy zazwy czaj jako:
o FunkciQ wsp6hzgdnych przestrzennych dla ustalonego czasu - rozklad napipcia
lub prqdu
o Funkci€ czasu w okre5lonym punkcie przestrzeni - przebieg napipcia - u(t) lub
pr4du - i(/).
Badanie dowolnego ukladu frzycznego wymaga okreSlenia, kt6ra wielko6l fizyczna
lub ich zesp6l stanowi prryczynp zjawiska, a kl6ra wielkoS6 charakteryzuje zjawiska
zaistniale w wyniku dzialania okreSlonych przyczyrL. W tym celu wprowadza sig
pojgcia: wymuszenia i odpowiedzi ukladu frzycznego
Wymuszeniem nazywa siE wielkoS6 fizycznq stanowi4c4 zewngftznq przyczyne
zjawisk badanych w danym ukladzie.
OdpowiedZ ukladu fizycznego jest to wielko$d frzyczna charakteryzuj4ca zjawisko
powstale pod wplywem wymuszenia.
Na uklad frzyczny mohe dzialac jedno lub wiele wymuszefi a badanie
ftzycznego rrrohe dotyczy6 jednej lub wielu odpowiedzi.
W obwodzie elektrycznym wymuszenuarrrl se zazwyczE napipcia lub
Lr6dlowe. Natomi ast za odpowiedt obwodu przyjmuje siE przebiegi pr4d6w i
powstatych w jego galEziach lub elementach
Klasyfikacja sygnal6w
ZakladaJqc, 2e rozpatrywane obwody elektryczne spelniaj4
quasistacjonarnoSci, ograniczymy przedstawionq klasyfikacjq do
nazywanych przebiegami napigcia lub pr4du.
Funkcje opisujqce te sygnaly sq zalehne od jednej zmiennej, kt6rq jest
kryterium klasyfikacji przyjmujemy przebreg zalehnoSci funkcji f(t) sygnalu
ukladu
prQdy. ,
naplQc
warunek
sygnal6w
czas. Jako
od czasu.
Deterministyczne
N $'6' =
1 0s o
. o .c r t rBezwzglgdnie
calkowalne
snEe gsfi
Harmoniczne
- sygnaty stale : dla kt6rych/(r) = const.l / e (- "",1-."), oznaczanei lJ, I
- sygnaty zmienne : dla kt6rych/(/) I const.; / e (-"",+"") , oznaczarei i, u, i (t), u (t)
Sygnaly zmienne dziel4sig naokresowe i nieokresowe
Sygnal / (r) jest okresowy, jeLeli dla dowolnej dodatniej lub ujemnej warto6ci czasuzachodzi r6wno6i:
yQ+*r)= yQ)Okresem sygnalu nazywamy najmniejsz4z liczbT dla kt6rych zachodzipowy2sza
zaIe2noS6, k -Iiczba calkowita.
Przyklad
Sygnal u(t) - sin2ut + z"or(zo, * /)jest sygnalem okresowym o okres ie r =(#)= [#)
Sprawd zamy warunek okresowoSci
,(, *#)=,' ' [ro(,.#)) +zcos(zo(, * #).%)=
sin(20 t +2n)+ zcos( zut +t.r")
= sin 2ot + z"or( zo, * +) - uQ)\ . 3 )
Sygnaly u(t) = t , u(t)= ,-20t sQ sygnatami nieokresowymi
1 . usuniEcie z grafa tego zbioru galgzi Sez ich koric6wek) powoduje, ize graf staje sig
niesp6jny
2. po usuniEcit z grafii tego zbioru galgzi, powr6t jakiejkolwiek jednej galgzi tego
zbioru do grafu powoduje,2e stale sig on ponownie sp6jny.
39
Macierze strukturalne
Macierz incydencji
Infonrracje zawarte w grafie skierowanym G1 moima w pelni zapisat za ponrrocq
macierzy incydencji. Peln4 macierz incydencji, czyli pelnq macierz wgzlowq A" dla
grafu skierowanego Ga o n wgzlach ib galgziach jest macierz n x b.
A o = lorl , , - nr wQZ ta,i- nr gatEzi
Gdzie:
4t = I, jeLeb i - ty wgzel jest koricem j - tej galgn (strzalka skierowana od wgzla i -
tego),
aij = - l, je2,eli i - ty wgzel jest poczqtkiem j - tej galgzi
ai: = 0, jeZ.eli j - ta galqi nie jest incydentna z i - tym wgzlem
PruykJad
Graf skierowany o trzech wezlach ntezalehnych
f+ 100- 1
d
0
0- 1
+ 1
12
A o = nJ
4
a b c- 1 0 - 1
+ 1 - 1 0
0 0 + 1
0 + 1 0
"o
- 1
+ 10
Kazda kolumna petnej nracierzy incydencji ma dokladnie dwa elementy r6nre od zera,
r6wne 1 oraz -'l-, pozostale s4r6wne 0.
Bez zmniejszania iloSci zawartych informacji mozemy wykreSlii dowolny wiersz.
Wiersz taki mohna zawsze odtworzyl, kotzystajqc z wlasnoSci, ze suma element6w
kuizdej kolumny pelnej macierzy rncydencji jest r6wna zero
40
Macierz otrzymana przez wykre5lenie z pelnej macierzy incydencji Au dowolnego
wiers za nazyw amy macier zq incydencj i lub macier zq w pzlowe A.
Wq zel o dp o w radaj qcy skre Slonemu wiers zo w i nazywamy uklade m w pzt6w liniowo
niezaleinych
Macierz oczkowa
Rozpatrzmy graf skierowany o trzech oczkach niezaleZnych, oznaczmy wszystkie
mozliw e oczkatego grafu.
3
Oczka o zaznaczonych zwrotach n.rzywamy oczkami zorientowanymi. Peln4 rracierz
oczkowe B" grafu skierowanego Ga o b galqziach i ni zorientowanych oczkach jest
macierz o wymiaruch ni x b.
Bo=lb,,, lGdzie: i - nr oczka,j - nr galgzi.
brj = 1, jezeli galqZjnaleiry do oczkaiotazrna,ten samzwrot co oczko; bii = -1 jezeli
galqi j naleiry do oczka i oraz ma przeciwny zwrot ni? oczko; b;; = 0, jei:eli galqt j n:Le
nale?y do oczka i.
d / e
4 l
Przyklad
W y znaczy 6 macier z o czkow q
1
2
3B - -' 4
5
6
a b c d e
- 1 - 1 1 0 0
0 0 - 1 - 1 0
0 0 0 1 1- 1 - 1 0 - 1 0- 1 - 1 0 0 1
0 0 - 1 0 1
(a,b, c)
( t ,d )
(a,u)(a,b, d)
(a,b, c)
(t ,r)
Po wykreSleniu z pelnej macierzy oczkowej Bu takiej liczby wierszy aby pozostale
wiersze byly liniowo niezaleZne otrzymuje siE macierz oczkowq
Twierdzenie: Dla grafu sp6jnego Ga maj4cego b galEzi i n wEzl6w, macierz oczkowa
B ma (b - n + 1) wierszy.
Kahdy uklad oczek, kt6rym odpowtadajqliniowo nLezalehne wiersze macierzy Bu
nazywa siE ukladem oczek niezaleZnych
Usystematy zow ane metod E tw orzenia macier zy oczkowej otrzymuj e siq oparciu o
drzewo T.
Kazda cipciwa dopelnienia T" rdzenia z jednqi tylko jedn4Scieikqdrzewa T tworzy
oczko.
Zwrotoczka przyjmuje siE zgodnie ze zwrotem cigciwy.
Tak wybrane oczkanazywarte s4oczkami podstawowymi. Graf sp6jny maj4cy n
wgzl6w i b galEzi ma (b - n + 1) cipciw, a zatem r5wniez (b - n - 1) oczek
podstawowych.
42
\ "&'kq*--ErYk
PrzykJad
d' f f i .v
3 Jeke1idla grafu z rysunku drzewo zostanie
utworzone z galgzi (a, d), to macierz oczkowa bEdzie nastgpuj4ca:
a b c d s a d b c e
r [ r 1 o 1 o - l r [ r 4 1 0 o - lB - r r l o o 1 1 o l B - r r l o 4 o 1 o l
m lo o o 1 1l mlo { o o 1lKolumny ard tworzq drzewo, kolumny b,c,e tworzq dopelnienie, (cigciwa)
Np.
Nalezy zauwaty1, 2e nie wszystkie mozliwe uklady oczek niezalehnych mogg by6
utworzone w oparciu o odpowiadajqce im drzewa
Ukladowi oczek niezaleimych i 6 i2, ij nie
odpowiada 2adne drzewo.
Ze sposobu w jaki tworzona jest macierz B wynika, 2e macierz ta zawsze mo2e by6
podzielona nastgpujqpo: n = hlf], gdzie kolumny B1 odpowiadajqgatgziomdrzewa, a
kolumny macierzy jednostkowej L, stopnia (b - n +1), odpowiadaj4cigciwom.
Zaleimo(ci migdzy macrerzarrlri incydencji i macierzami oczkowymi nrohra zapisa6 w
postaci nastgpuj 4cych r6wnari:
B"A: - o; BAz - o; AB; - o
BoL' - o; A"B: - o; ABz - 0
Gdzie indeks T oznaczatranspozycjg macieruy.
43
Twierdzenia i prawa stosowane w teorii obwod6w
elektrycznych
Prawa Kirchhoffa (1847)
(Gustaw R. KirchhotT 1823 - 1887)
Okre3laj4 warunki r6wnowagi obwodu, ustalaj4c zwiryki pomigdzy przebiegami
elektrycznymi jego galgziach i oczkach.
Niech wgzel A stanowi punkt pol4czenia kofc6wek ba galEzi obwodu. Oznaczmy
przez ipnatghenie pr4du w k - tej galEzi.
Wedlug I prawa Kirchhoffa nazywanego teZ prawem bilansu pr4d6w:
Algebraiczna suma natpiefi prqd6w we wszystkith galgziach dolqczonych do
jednego, dowolnie wybranego wgzla obwodu jest w kaid.ej chwili r6wna zeru.
Powyzsze prawo mohna przedstawi6 w postaci r6wnania:
k
\,ttoio - 0eW kt6rym lr stanowi wsp6tczynnik o wartosci 1 lub - I, zalehnie od zwrotu strzalki
odpowiedniego prqdu na schemacie. Przyjmujemy nastQpuj qcq,umowQ:
JeheIi strzalka predu ik na schemacie jest zwr6cona do rozwaZanego wezla, to
wsp6lczynnik lr = I, jeheli strzalka pr4dv zwr6cona jest od wEzla to lr = - 1.
Przyklad
+ i t - i 2 + i s - i a - 0
44
Dla przedstawienia II prawa Kirchhoffa rozwahamy dowolne oczko pewnego
obwodu elektrycznego zakJadajqc,2e tworzy ie p3 element6w. Oznaczmy napigcie na
- tym elemencie oczkaptzez luu.
Wedtug II prawa Kirchhoffa nazywanego teZ prawem bilansu napiq6:
Algebraiczna surna napigd na wsrystkich elementach tworzqcych dowolnie wybrane
oczko obwodu jest w kaidej chwili r6wna zero.
Pi
Z'ouo -o
k=l
W kt6rym Vr. stanowi wsp6lczynnik o wartoSci 1 lub - 1 , w zalehnoSci od zwrotu
odpowiedniego napiQ cia na schemacie.
W celu jednoznacznego ustalenia wartoSci v1 :
ktdrych strzslki rnajq zwrot zgodnie z tym obiegiem prryjmuje sig 2c wspdlcqnnik t4
jest r6wny 7, a dla napigd o zwrocie przeciwnym - 7.
PrzykJad
Y : p i z
Zaklada sig dla oczka dodatni zwrot obiegu, a nastqmie dla wszystkith napigi,
i U awg
-.---.-p"U6
l5
* U ,
45
Rz
R e \
* j
e4 - u 6 - e 8 - u 8 * u o - 0
R6wnania Kirchhoffa mohna zaptsal w postaci macierzowej.
Oznaczamy wektory pr4d6w galEziowych oraz napig6 gatgziowych jako
ir
"2
o b
ur
u2I
t - . I O t A Z U - l
Pr4dowe prawo Kirchhoffa moZna wyrazil korzystajqc z macierzy incydencji
Au.i - 0
Napipciowe prawo Kirchhoffa mohna wyrazil korzystajqc z macierry oczkowej
Bu.u - 0
Powy2sze r6wnania nie tworzq uklad6w r6wnari liniowo niezaleinych.
R6wnanie pr4dowe jest spetnione wtedy i tylko wtedy, gdy
A.i = 0 (1)
Oznaczato,2e prqdowe prawo Kirchhoffa jest spelnione dla wszystkich wgzl6w wtedy
i tylko wtedy, gdy spehrionejest dla wpzl6w niezaleZnych.
Analogicznie r6wnanie napigciowe jest spelnione wtedy i tylko wtedy gdy
B.u = o (z)
OznaczaIo,2e napigciowe prawo Kirchhoffa jest spehrione dla wszystkich oczek tylko
wtedy gdy spetnionejest dla oczek niezaleZnych.
R6wnania (L) i (2) noszQ nazwg r6wnari r6wnowagi
46
1
2
3
4
a b
- 1 0
+ 1 - 1
0 0
0 + 1
c d e
- 1 0 0
0 0 - 1
+ 1 - 1 + 1
0 + 1 0
Przyldad
f+ 1
0
0- 1
0 - 1
- 1 0
0 + 1
0 0
0 - 1
- 1 + 1 ilA-{; l, L O
A o =
a
b
. cl =
d
e
f
2
1
4
5
1
6
io
ib
i,
id
i,
".f
' [ ' '
A . i - 2 1 + 1,L O
b c d
0 - 1 0- 1 0 0
0 + 1 - 1
e f
0 + 1- 1 0
+ 1 0
a
b
c
d
e
f
2
1
4
5
1
6
io
ib
i,
id
i"
" f
- - 2 - 4 + 6 + 2 - 1 - I + 4 - 5 + 1 = 0
47
Zasada Tellegena
W kaZdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymieniajecym energii zotoczeniem) skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkieelementy obwodu jest w kaidej chwili czasu r6wna zeru2
,n
A,t, E .bi"(#'):rr:+,'o
k- I
(2.3)
Pamigtaj4c, Ze w kahdej chwili niekt6re elementy obwodu faktycznie pobierajqmoc (p1 ) 0) a inne j q fakty cznie oddajqQt e< 0) z powyZs zej zaleimo!;ci wynika, i2:
suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego jest w kaidej chwilir6wna sumie mocy oddawanych przez pozostate elementy obwodu.
Zasada Tellegena zwana jest tak<ze zasadqbilansu mocv.
Taki sam wniosek formutuje sig w odniesieniu do energii pobranych i oddanychprzez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale czasu od t1 do t2:
(2.4)
Oznacza to, 2e
w dowolnym przedziale czasu <.t1,t2) suma energii pobranych przez elementyobwodu skupionego jest rdwna sumie energii oddanych przez pozostate elemenQobwodu.
Zasada Tellegena wyraZa zatemtakhe zasad4 zachowania enerqii.
t2I
Irn(/) - ot1
t 2 n
I I\ k=r
n
PnQ)k=I
48
TWIERDZENIA VASCHY'EGO
I twierdzenie Vaschy'ego
W obwodzie rozgalgzionym rozplyw prqdfw nie ulegnie zmianie, jeieli do kaid,ejgatgzi dolqczonej do dowolnego wgzla wlqczy sig szeregowo idealne, jednakoweo tym samym zwrocie wzglgdem wgzla, irddla napigcia.
Uwaga:o r6wnanie wynikaj4ce z PPK (I prawo
Kirchhoffa) dla przyhJadowowyr6hnionego wEzla nie ule ga zmianiepo wl4czeniu ir6det napigciowych,
o r6wnanie napigciowe dla dowo\niewybranego oczka, w kt6rym wystqpiwyr62niony wEzel, bgdzie dodatkowozawteralo dwa napiEcia uo oprzeciwnych znakach.
II twierdzenie Vaschy'ego
W obwodzie rozgalpzionym roztrrlyw pr4d6w nie ulegnie zmianie, jeieli dokaidej galpzi wybranego oczka wlqczy sig r6wnolegle idealne, jednakowe otym samym zwrocie wzglpdem obiegu oczka, f;rildla pr4du.
ft/v
-\
\
\id ./ r a w ,lL"fuTll-t
\. 69 \-7tu\ \ -/
\ -
\ l A .I
/
ilv
Uwaga:
r6wnania wynikajqce z PPK dlakazdego z wgzl6w przykladoworozpatrywanego oczka, bedq zawterulydodatkowo dwa predy iz o przeciwnychznakach.r6wnanie napiEciowe przykJadowowybranego oczka nie ulegnie zmianrepo wtqczeniu idealnych ir6delpr4dowych.
49
ZASADA WZAJEMNOSCI
Dla rozgalgzionego obwodu liniowego zawienjry,egojedno zr6dlo energii elektrycznej
jest prawdziwe nastgpujqpe twierdzenie, zwane zasadqwzajemno6ci:
Jeieli w dowolnym liniowym obwodzie elektrycznym, po wlqczeniu do jednej z jego
gatgzi ,rk" idealnego zrddta napigcia Up, powstanie w galgzi ,,1' prqd 16 to po
przemieszczeniu irddta E do galgzi l, w galgzi k wystryi prqd Ip r6wny prqdowi Iy
Twierdzenie to ilustruje rysunek
Rr
Ur
JeSli Ur = Up, to In = It
Uklady r6wnowaLne
C zE sto p ohqdanqrzeczq j e st :
o zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej)lubo przeksztalcenie obwodu do innej postaci,
kt6re jest r6wnowa2ne z obwodem wyj6ciowym.
Rr
k
Ukladpasywny
te
Dwa uklady s4 r6wnowaznemigdzy napiEciami i prqdamiidentyczne
z punktu widzenia ich zacisk6w,zwiqzanymi z tymi zaciskami se
jeheh zalehnoScrw obu ukladach
50
Przy klad : tr ansfiguracj a tr6j nik6w p asywnych
.e
PrzyHad na tablicy
Dany trfjkqt szukamy gwiazdy Dana gwiazda szukamy tr6jkqta
&R:r'&z
Rtz*Rzz*Rtr
&z RzzR2
&z*Rzz*R: rRzz R:r
R 3 =RtzrRzz*Rsr
Rtz-& *Rz*Rt=R'2 R 3
Rzz = R2+ Rr * R'=R'
J &
R r r = R 3 + R r * R ' = &^ R ,
5 1
T.asada kompensacji
wyodrgbniamy z rczgalgzionego obwodu elekffycznego garq2 biemq zawieraiqcq
rezystancjE R1. Ustalamy zwrot pr4du I w tej galgzi - tym samym okreslony jest zwrot
napiEcia galgziowego U x = e^ - e, .
Jt Rr 'H
a) U*
Pr4d, ani napiqcie galqziowe nie ulegnq zmisnfs, jeZeli do galgzr wlqczymy
przeciwsobnie dwa idealne, (R* = 0), identyczne ir6dla napigciowe E1. Warto6i silelekftomotorycznych jest r6wna napigciu galgziowemu lJy. E r = RJ r = [ r
' R,. Et Erm . l k _ j i l ^ 'Pa n"ry<_ __|} <_
b) U1 U1 U1
Poniewa2 potencjaly punkt6w m i p s4 identyczne, moilemy polqczyl te punkty
przewodem bezoporowym (dokonujemy zwarcia), eliminui4c z galgzi rezystanciE R1 itE z sil elektromotorycznych Ek, kt6rej zwrot jest zgodny ze zwrotem pr4du 11.
c)
Uzyskujemy ostatec zny uklad
Er.rc)"|+---
Ur
r6wnowaZny ukladowi z rysunku a)
Zasadg kompensacji formuluj emy zatem nastQpuj eco :
W obwodzie elefurycznym dowolnqrerystancjg R, w lafirej wystquje prqd J, moina
zastqii idealnym bddtem napigcin o sile elektromotorycznej E rtwnej napigcia narezystancji (U = R I) i o zwrocie przeciwnym do zwrotu prqdu
TWIERDZENIE THEVENINA I TWIERDZENIE NORTONA
Twierdzenie Thevenina
( o zas t W c zy m ir 6 dle / g e neratorze napi gciowy m)
Dowolny aktywny dw6jnik rezystancyjny moina zastqpi(, r6wnowainymrzeczywistym Lr6dlem napipciowym o napipciu Zr6dtowym Uo i rezystancjiwewn€ trznej Rw, przy czymi
- napipcie Lrildlowe Us jest r6wne napigciu na rozwartych zaciskachdw6jnika (napipciu stanu jalowego Us,
4={=c.u- prcd plynqcy przez konduktancie G* ; I - pred pobierany przez" &
odbiornik o rezystancji R.
E - U- r l
I . T -
R r &
spRAwNoS c LnonnnENnRcrr ELEKTRyczNEJ
spru.wNoSi nznczywrsrnco Zn6orl NlprncrlRozpatrujemy rzeczywiste ir6dlo napipcia RiN o napigciu ir6dlowym Us
i rezystancji wewngtrznej Ry obci4Tone dw6jnikiem o rezystancji Ro6".
Z obwodem tym zwiqzane sQ.
nastEpujgce moce:
Pcu- moc calkowita (mocoddawana ptzez idealneir6dlo napigcia do obwodu);
Prtru - moc tracona (moc pobieranaprzez rezystancjE wewngtrznqir6dla);
Prz - moc t?yteczna (mocpobierana przez obctqhenie,rnaczej moc oddawana przeznZw do obc.)
Sprawnofil rueczywistego ir6dla napigcia, definiuje sig jako:
(2.28)
PoniewaZ, zgodnie z zasad4 Tellegena: Pcu=Ps t r ( J *Puz (2.2e)
rJi,,,=P;z xi;r;i
Priru * Puz \a1 1Ro,[,
(2.30)
UP ./vlI I u -
-I C U uo
SPRAWNOSE RZECZYWISTEGO ZR6DLA PRADU
Rozpatrujemy tzeczywiste ir6dlo pr4du RZP o pr4dzie ir6dlowym Iyi konduktancji wewngtrznej G,yobciq2one dw6jnikiem o konduktancji G,r"
Z obwodem tym zwuqzane sq
nastgpujece moce:
Pc, - moc calkowita (mocoddawana przez idealne2r6dlo pr4du do obwodu);
Pr,rr - moc tracona (moc pobieranapfzez konduktancjgwewnQtrznqir6dla);
Prz - moc u?yteczna (mocpobierana ptzez obcrqhenie,tnaczej moc oddawana przeznhp do obc.)
Sprawno1(, rzeczywistego 2r6dta pr4du, definiuje sig jako:
(2.3r)
Poniew a2, zgodnie z zasadq Tellegena: Pc t=Ps t r l *Puz (2.32)
A,i,'uPui Go:6o'
Prt tr * Puz Gw *G;obc
ni.ERw,
ftr * Roi,
(2.33)
-
Pi,I
'Iy4 i =
WARTJNEKDOPASOWANIA
Problem uzyskania wysokiej sprawnoSci ptzekazywania energii nie zawsze jestproblemem najb ar dziej istotnym.
lV uktadach elektrycznych pierwszoplanowym jest problem uzyskaniamaksymalnej mocy pobieranej przez odbiornik. Uzyskanie tego efektunazy wamy D OPAS OWANIENI.
w.q.nuNBr poplsowANrA. to Zn6ur,n NEprncrl
Rozpatrujemy ponownie rueczywiste ir6dlo napiEcia wsp6lpracuj4ce zobci4Teniern ZakJadany, Ze paralr;ietry ir6dla Us > 0 i Ru, > 0 s4znane.
fftanic: Jaka powinna byi warto66 rezystancji obciqlenia Roa" > 0 aby w obci4Teniuwydzielila sig maksymalna moc P*= P*uex ?
W tym celu uzaleinianry moc Pu2 wydzielon4w obciqZeniu od rezystancji R,6":
Puz = I'Rou, - (J o'R o b , .
(2.34)(Rou, + R*)'
Obliczaj4c pochodn4tej funkcji wzglEdem Ro6" i przyr6wnujqc jqdo zera otrzymujemyr6wnanie:
dPuz u 02 (Rw - Rob_) _ o(Rou, + Rw )'
(2.3s)dRou,
kt6rego jedynym
r o zw rqzani em sp elni aj ecym
pr zy jete zalohenie j e st :
(2.36)
R6wnoS6 tg nazywarrrywarunkiem dopasowania
p - u o ''a i ,MAX
4R*
- R wRob,
59
WARI.JNEK DOPASOWANIA DO ZRoDLA PRADU
Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste 2r6dlo pr4du wsp6lpracuj4ce z obciq2eniem.ZakJadarry, 2e paralrlretry ir6dla I 7 > O i G w > 0 s4 znane.
fitanie: Jaka powinna byi warto6d kondullancji obci4Tenia Go6") 0 abyw obci@eniu wydzielila sig maksynalna moc Pa = P,,zutx ?
W tym celu uzale2niamy moe P42 wydzielon4w obci@niu od konduktancji Go6".Poniewa2 napiEcie na obciqT.eniu
U -
stqd moc wydzielona w obciqhentu
(2.31)IZ
(Gou, + G*)'
Obliczajqp pochodnqtej funkcji wzglgdem Go6"iprzyt6wnujqp jqdo zera otrzymujemyr6wnanie:
(2.38)
(2.3e)dPuz t 12 (c* - corr) _ o
(Gou, + G*)'tdGou,
kt6rego jedynym
r ozw Lqzaniem sp elni aj ecym
przy jqte zalohenie j e st :
Gob, = Gw (2.40)
R6wno56 tE nazywamywarunkiem dopasowania
Gob, + Gw
Puz :(J'Gouc = Ir'Gob,
60
PODSI.JMOWANIE
Obw6d, w kt6rym dw6jnik aktywny (DA) jest pol4czony z dw6jnikiem pasywnym(DP) - mozna zast4pi6 obwodem r6wnowa2nym.
RW
UWAGI:
. Ptzy tej samej mocy u2ytecznej, moce wytwarzane przez ir6dla w zaleZno5ci odprzyjgtego schematu zastepczego se r62ne, a zatam i ich sprawno3ci s4 r62ne izachodzi miedzy nimi zwi4Tek
n;';,,,,T,u6;,,.8.,,
{"/*
o R6wnowaznoSd schematu napigciowegowylqcznie napiEcia U r prqdu I, a zatemr6wnow ahne w sensie ener gety cznym.
i prqdowego danego DA dotyczymocy u?ytecznej. Schematy te nie sq
l"' ^.."Gw l{r Gon"
6 1
Polqczenie r6wnolegte dw6ch Lrildel napigcia
Na podstawie I i II prawa Kichhoffa mohna zapisal
I r + I r - I
R.r I r- R.zIz= Er- Ez
Rozwiqzujec ten uklad r6wnah wzglgdem 11 rI2 otrzymano
Rrz
{t, - I'r+I * sdri"
'
l I , = I ' r -1," I .
Rrt + Rr,
_ Er - E,
Rr, + Rr,
I't, I'z - pr@y robocze
I.- prqd wyr6wnawczy
Prqd wyr6wnawczy wywolany jest przez r6inic7 sil elektromotorycznych ir6del
energii inie zaleLy zupelnie od rezystancji odbiornika.
I*=0 gdy fi,1 = fi,,
Gdy fu) E2w6wczasI t> I ' toraz12 1I '2
Istnienie pr4du wyr6wnawczego powoduje powstanie dodatkowych strat mocy
ro=fi(4,+4,)
Mo2liwe szkodliwe skutki polq,czenia r6wnoleglego dw6ch zr6del napigcia o r6imych
silach elektromotorycznych.
o Przeplyw prqdu w ukladzie przy odlqczonymodbiorniku
o Nier6wnomierne obci4Zenie ir6del energii
r Dodatkowe sfraty energii
62
Metody analizy obwod6w elektrycznych
Obliczanie (analiza) obwodu elektrycznego polega na wyzuaczeniu wielkoSci
okreSlaj4cych jego stan elektryczny. g/i6lk6gsfami tyni sqzazwyczaj napigcia i prqdy
w galEziach obwodu. Przystgpuj4c do obliczeri zakladamy, irc darry jest schemat
obwodu i jego parametry. Mamy do dyspozycji 7 metod analizy
o Analiza obwod6w elektrycznych z zastosowaniem praw Kirchhoffa
o Analiza obwod6w elektrycznych metod4 transfiguracji
o Analiza obwod6w elektrycznych metod4 superpozycji
o Analiza obwod6w elektrycznych metod4pr4d6w oczkowych
o Analiza obwod6w elektrycznych metod4potencjal6w wgzlowych
o Analizaobwod6w elektrycznych metod4 Thevenina
o Analiza obwod6w elektrycznych metod{Nortona
METODA PRAW KIRCIIHOFFA
Do wyznaczenia pr4d6w i napig6 w galgziach obwodu moina zastosowa6 bezpoSrednio
prawa Kirchhoffa. W oparciu o I prawo Kirchhoffa uldada sip (n - 1) niezaleinych
r6wnari (n - iloS6 wgzl6w). Brakuj4ce r ownania w liczbie [b - (n - 1)] utdadamy
dla wybranych oczek niezaleZnych wedlug II prawa Kirchhoffa.
W ten spos6b otrzymujemy uklad r6wnaf algebrucznych, w kt6rych niewiadomymi s4
natp2enia pred6w (lub napigcia) w danej galEzi. Rozwiqpuj4c ten uklad r6wnaf
wyznaczamy odpowiednie wielkoSci elektryczne. Istotn4 wadq tej metody jest
stosunkowo du2a liczba r6wnaf opisujqcych obw6d, co powa2nie komplikuje
obliczenia.
PrzykJad na tablicy
63
METODA TRANSFIGURACJIPrzeztermin transfiguracji rozumiemy operacjg kolejnego uproszczenia struktury
obwodu (zmniejszenie liczby galgzi i wgzl6w, przy spelnionym wanrnku
r6wnowaZno5ci, tzn. zastgpowanie struktury bafiziej zlo2onej r6wnowa2n4 strukturq
prostsz{.
Przyjmujemy, 2e dwa uklady s4 r6wnowa2ne z punktu widzenia zacisk6w ay a2,
a3, ....an, jeheli zwiqzkj miedzy napigciami i prqdami zwiryanymi z tymi zaciskami s4
w obu ukladach identyczne.
W metodzie transfiguracji wykorzystujemy wczeSniej poznane zasady i
zaleino(ci:
a) zasadg zastgpowania ukladu rezystor6w polqczonych szeregowo jednym rezystorem
r6wnowaZnym o rezystancji n, = I&
b) zasadp zastgpowania ukladu rezystor6w polqpzonych r6wnolegle jednym rezystorem
r6wnowa2nym o kondunktan cji c, =icrk=l
c) zasadg r6wnowa2noSci napiEciowego i pr4dowego schematu dw6jnika zr6dlowego.
t - = % t u ^ = J ," & " G "_ t _ 1O " =
n , R " =
G _
d) zaTeimo{d u*=fu* i n, =in * okreSlaj4ce parametry dw6jnikak=l k=r
ustali6 zwroty pr4d6w galpziowych i obliczyd ich wartoSci.
Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, nv kt6rym DOPIEROTERAZ nanosimy (w spos6b dowolny) zwroty pr4d6w galgziowych.
y**\
{ ffi,,tuh s $
*u*
Snosdb I
Pr4dy w gatgziach zewngtrznych oczekokreSlone se przez predy oczkowe(obwodowe) tych oczek z odpowiednimznakiem.
W naszymptzyl<ladzie
It = It= 2,5
Iz= Iu = 1
I o = I m = 2
Prqdy w galpziacln wsp6lnych dladw6ch lub wipcej oczek sQ sumQalgebr aicznqpr4d6w tych oczek, czyh:
I r = I u - I u r - - 1
I+= II - Iur = 0,5
Is = II - III = 1,5
Spos6b 2
Pr4dy galgziowe mo2emy obliczyt r6wnieL wykorzystuj4c metod4 incydencjiprqdowej. Macrerz pr@6w galgziowych I, wyznaczamy w oparciu o macierz pr4d6woczkowych Iy korzystaj 4c z nacieruy lqczqcej pr4dowej a, :
I s = d I x
Elementy macierzy lqczqcej prqdowej c przyjmujqwarto3i +1, -1 lub 0
crgl = 1 je5li galqz ,,9" jest incydentna z oczkiem,,k" (tzn. naleZy do oczka ,,k")oraz zgodnie z nim skierowana
-l j.w., lecz skierowana przeciwnie
0 jeSli galry,,g" nie jest incydentna z oczkiem,$"
70
W naszymprzykladzie u
I-1
0
0
1
1
-0
.h) 1N
r-\rrt a As zoob ?GIsS 4
5
6
er oczka
i l i l l0 0
1 0
r - 10 - 1
- 1 0
0 1
Zatem:
I s = A " I y =
1 0
0 1
0 1
1 0
1 - 1
0 0
0
0- 1
- 1
0
1
2,5
1- 1
0,5
1,5
2
lz,s1
L:l=
"d**\
{ # * blu*
7 I
METODA NAPr4e W4ZLOWYCH
Metoda ta naleiry takirc do grupy metod algorytmicznych. W metodzie wgzlowejposzukujemy napig6 galgziowych.
Algorytm postgpowania pr4y analizie obwodu metodq w glow qjest nastgtuj qcy :
Naleiy:
1. okreSli6 hczbgm niezaleinych wgd6w w obwodzie;
m = w- 1 = 4 - L=3 {w-wpzly};
2. dokonad wyboru i oznaczenia wqzl6w niezaleirrych;
m niezaleimymi wgzlami sq wgzly a, b, c - natomiast w-ty wgzel oznaczony jakod jest wEzlem odniesienia;
G,
G, G,
G,
G,. G ,
I
3. ustalid zwroty napig6 wgztowych;
72
Przyjmujemyntezalehnymi a,niezalehnych.
istnienie napig6 migdzywEzlowych (pomiedzy wEzlanrtb ,c a uziemronym wgzlem odniesienia d) o zwrotach do wgzl6w
4. dla kaZdego niezaleinego wpzlaulo?y( r6wnanie bilansu prqd6w (PPK)
uwzglgdniajqc tylko napigcia wgzlowe;
Dla wEzla a:
Dla wgzlab:
Dla wEzla c:
(G, + Gz)u " - G2 u b - o u, : I rr.- I rz- G2 u o * (G, + Gz + Gs)u u - G3 u, = I rz * I rz
0 U o - G3 U u + (G, + G+)u, = I 14 - I rz
5. dokona6 rowdqzania uldadu r6wnaf, stosujqc jednqzeznanychmetod, np.
rugowania zrniennych, wyznacznik6w lub macierzowq;
-G2 o l[u,-l 1,,'-,,'1G z + G t + G t - G 3 l l r r l : l
I , z * I , t I- G 3 G z + G q ) l U , ) L I , + - I * )
jest "urrunur;"r*
= ,,
(Ix - G-' Itpo przeksztalceniach
6. ustali6 zwroty napigd galpziowych i obliczyd ich wartoSci.
Sposfib I
Je2eli galqlt l4czy wpzel odniesienia z wgzlem niezaleLnym, w6wczasnapipcie galgziowe r6wne jest liczbowo napipciu wpzlowemu (zodpowiednim znakiem). Czyli:
U t = U o
U t = U "
U s = U u
Natomiast napigcie na galpzi lqczqcej wezf niezaleLne jest r6wnealgebraicznej sumie napipd wpzlowych tych wpzl6w. Otrzymamy wiEc:
U z = U o - U u
U s = U u - U "
L
o o
?-'';'G"
3lu,l " o
oo
74
Soos6b 2
Napigcia galgziowe moZemy obliczyt r6wnie2 wykorzystujqp metod4 incydencjinapigciowej. Macietznapigl galgziowych U" Wznaczarry w oparciu o macierz napig6wgzlowych Uykorzystajqc z macieruy lqczqcej napigciowej p :
U r = S U y
Elementy nacierzy lqczqcej napigciowej p przyjmuj4warto3i +1, -1 lub 0
Fet = 1 jeSli galqL ,,9" jest incydentna z wgzlem ,,k" (tzn. wezel ,,k" jestkoric6wk4 gatgzi ,,9") oraz grot napigcia w gatEzi ,,g" jest zwr6cony dowgzla,,k".
j.w., lecz napigcie ma zwrot przeciwny
jeSli galqz,,g" nie jest incydentna z wEzlem ,,k"
wQzel
a b c1 0 0
1 - 1 0
0 1 - 1
0 0 1
0 1 0
ZnajomoSd napigd galpziowych pozwalagalpziowych
wyznaczenie pr4d6w
-1
0
' s 1
H zS $ 3S 4
5
UWAGA: na
e o
T- c
75\-
METODA Z ASTEP CZE,GO GENERATORA
Niejednokrotnie w zlohonych obwodach elekfrycznych:
r interesuienas wielko6ci elektryczne zwiqzane zjednQ wybranq galpziq,
o bqdL interesuje nas analiza stanu elektrycznego w obciq2eniu (stalym b4dZregulowanym) zasilanym ze zloizone go ukladu zasilania.
Nie ma w6wczas potrzeby dokonywania petnej analiz,y sieci.
Rozpatrzmy graf sieci elektrycznej, skladaj4cy sig z r6inych dowolnych galpzi,kl6re mog4 by6 aktywne lub pasywne. Przyjmijmy, 2rc poszukujemy pr4du i napigciagalEziowego w jednej wybranej galgziAB (szukamy1,a3 onzUa).
Galqtt AB mo2e by 6 zar6wnoo galgziq bezir6dlow4 opisywan4 funkcjq rezystancji R; lub
konduktancji Gy,c galgziqir6dlow4opisywanqpare. Uox, Rx lub Is, Gy.
Natomiast po,rwyjqcirt'' galqziAB z punktu widzenia zacisk6w A-B
pozostala czp((, sieci stanowr ztohony uklad zasrlania - dw6jnikLr6dlowy.
Oznacza to, 2e z punktu widzenia galpzi AB pozostalq czp56 obwodu, bEd4c4dw6jnikiem aktywny& moZna zast4pi6 schematem r6wnowa2nym zgodnie z
o twierdzeniem o zastgpczym generatome (ir6dle) napipcia
Ka2dy dw6jnik aktywny jest r6wnowazny galEzi aktywnej zawierujqcej idealnezr6dlo napiEcia o wartoSci U6 , r6wnej napigciu dw6jnika w stanie jalowyrn ipolqczony z nim szeregowo idealny rezystor o rezystancji Ry, okreSlonejstosunkiem warto6ci napigcia ir6dlowego Up i prqdu zwarcia I7 dw6jnika:
76
ffis, ,#g*pffi
$*
LUB
aktywnyrn" moina zast4pi6 schematem r6wnowainym zgodnie z
o twierdzeniem o zastgpczym generatorze (ir6dle) prqdu
Ka2dy dw6jnik aktywny jest r6wnowazny galgzi aktywnq zawierajqcej idealneZr6dlo pr4du o wartoSci I2,r6wnej prqdowi zwarcia dw6jnika i pol4czony z nimr6wnolegle idealny rezystora o konduktancji Gy , okeSlonej stosunkiemwartoSci pr4du zwarcia lTinapipaa w stanie jalowym Ua dw6jnika:
z punktu widzenia galgzi AB pozostal4 czg36, obwodu, bEd4cq dw6jnikiem
Gw=H
L
77
Tok,poStepowaffi .a..nrnlY'1wi1izifi aC2aniu
pr4du len' : : : : : : :
metod4 zastppc zegoLrildla napigcia
napigcia Uen
metod4 zastpp czego'Lr6dha prqdu
jest nastppujqcy:
L.w obwodzie o danym schemacie odlqczyc galqL w punktach A-B
(galV w kt6rej wystgpuje szukana wartoSi);
2.
dowoln4 metodq oblic zy 6
napipcie Uo
migdzy zaciskami A-B dw6jnika wstanie jalowym;
dowolnq metodqobhczyc
pr1d Ig
w zwartych zaciskach A-B dw6jnika;
3.
Obliczyd
rezystancjg wewngtrzn4 2r6dlazastppc zego Ry, (rezystancjEwrdzianq z zacisk6w A-B )
do wyznaczonego schematuzastEpc zego 2r6dla napiEci a nale?yprzylqczyc uprzednio odlqczonqgalqz i obliczy(, w niej predwykorzystujac prawo Ohma i IIprawo Kirchhoffa.
do wyznaczonego schematuzastEpczego Lr6dla pr4du nale?yprzylqczyc uprzednio odlqczonqgalqz t obliczy(, w niej napigciewykorzystujec prawo Ohma i I prawoKirchhoffa.
3. obliczyd rezystancj g wewngtrznq zrddtazwarcia, 2r6dla prqdu - przerwy);
zastgptczego R1a, Qr6dta napiqcia =
@ff i *
Bazuj qc na metodzie transfiguracj i :
Rrr/ - Rt Rz
* Ra :2oglr r Rr+R,
J
4. do wyznaczonego schematu ztstqtczego b6dla napigcia naleiy przytqczyduprzednio odlqczonq galqi,i oblicryi w niej prqd wykorqstujqc prawo Ohrna i IIprawo Kirchhoffa.
mw uoI _ - 0 ,5A
uoR W T R q
Metoda graficzrra wyznaczania rozpilywu prQd6w w gateziach lub napigd na
elementach
#
R 4
4IET,I
0.
R,
80
ELEMENTY I UKLADY NIELINIOWE
KLASYFIKACJA ELEMENToW NIELINIOWYCH
Delinicja 1.Obwodem elektrycznym nieliniowym n.Lzywamy taki obw6d w 1t6rym
wystgpuje co najmniej jeden element nieliniowy b@Z wigcej element6wnieliniowych wzajenmie sig nier6wnow arhqcych.
Definicia 2.Element obwodu elektrycznego nazywamy nieliniowym jeSli jegocharakterystyka y=fix) lub -<p$) jest nieliniowa, tzn. nie moima jej opisa6aralityczrie przy pomocy r6wnania prostej Q=ax+b).
Element nieliniowy, niezaleimie od tego czy jest to element pasywny czy tetalcywny, opisujemy przez podatie zbioru ci4glego (wykres) lub dyskretnego (tabela)zmiennych niezaleimych i wartoSci funkcji.
Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczarry przy pomocy symboligraficznych i opisu parametru nieliniowego jak na rysunku
u
Klasyfikacjg element6w nieliniowych moLna przeprowadzii w oparciu o r62nekryteria. W zale2noSci od przebiegu charaherystyki y--flx) rozr6imiamy elementynieliniowe:
a) symetrycznefl*)=-fi-x),rys.a,
b) niesymetryczneflx)*-fl--x), rys.b,c) jednoznaczte-kazdej wartoSci xe X odpowiada jedna i tylko jedna wartoS6 y,
rys.c)'
, R n , r C *
ry- *#J
u u{-- <-
uoQ)d n
v r
kY-
8 1
d) wieloznaczne-istniejq takie przedzialyx€(x1,x2), 2e wewn4trz tych przedzial6w y-f(x)niz jednq wartoS6, rys.d i e.
zmiennej ntezalehnej
mohe przyjmowad wiEcej
P rryktadow e przebie gi charakterystyk elementu nieliniow e go.
PARAMETRY STATYCZNE I DYNAMICZNE
Ograniczymy nasze rozwaZania do nieliniowych rezystancji. Je3li rezystor liniowyokre5lony jest jednoznaczrie przez podanie jego rezystancji R bqnt konduktancji G, toelement nieliniowy okreSla jego charakterystyka pr4dowo-napigciowa (t=e(a)).
Je6ti do zacisk6w rezystora nieliniowego przyloirymy okre3lone napigcie zp, toposluguj4c sig jego charakterystykqwyznaczymy warto66 prqdu w nim ptyn4cego lp.Punkt na charakterystyce wyznaczony wartoSci4 up nazlwarrr! w6wczas punktempgqrezystora (P).
Rozpatrzmy rezystor nieliniowy dany jego charakterystyk4 pr4dowo-napigciowqjak na rys.
Definicia
Rezystancja statyczna Rsf rezystora
nieliniowego, w danym punkcie pracy P,okreSlona jest stosunkiem napiEcia nazaciskach tego elementu (up) do prqdu wtym elemencie (ip)
RstP -
mozemy takhe zapisa(,
Rsrp :tgdp
U p
iP
L82
Rezystancja statyczna R51 posiada swe interpretacjE geometryczn4 - jestproporcjonalna do tangensa kqtz: zawarlego pomigdzy prostq l{czgce pocz4tek ukladuwsp6hzgdnych z danym punktem pracy rezystora nieliniowego a osi4 pr4du. Wog6lnymprzypadku k4t o"moZe przyjmowai wartoSci zprzedzialt [0',90"].7,atemtakzdefiniowana rezystancja statyczl;ra mohe przyjmowa6 warto6ci nieujemne
Rr r€ [0 , - ) ] Rs re R+
Definicia
Rezystancja dynamiczna R6 rezystora
nieliniowego okreSlona jest granic4stosunku przyrostu napigcia (Lu), doodpowiadajqcego mu przyrostu prqdu (Ai), gdy przyrost pr4du dqzynieogran iczente do zeta
Rd- l im + -d ''o Ai+O Ai di
a dla danego punktu pracy P
D - d " l^dp _El,
co moznatahie zapisal
Rap =tBFp
Rezystancja dynamiczna w danym punkcie pracy P jest proporcjonalna dowsp6lczynnika kierunkowego stycznej do charakterystyki w tym punkcie.W og6lnymprzypadku kqt B mo2e znieniat sig w granicach od 0o do 180o zatemRdmo2e przyjmowai wartofci zar6wno dodatnie jak i ujemne:
Rae(- - ,+*) ; Ra€R
PODSTAWOWE PRAWA W OBWODACH NIELINIOWYCH
oBowrffiuJE:
o Prqdowe Prawo Kirchhoffa. Napigciowe Prawo Kirchhoffa. Zasada kompensacjio Twierdzenie Theveninao Twierdzenie Nortona
NrE OBOWL\ZUJEz
o Prawo Ohmao Zasada superpozycji
METODY ANALIZY OBWOU6W NIELINIOWYCH
Dysponujac charakterystykami element6w nieliniowych wystqpuj4cych w
obwodzie, to mohna dokona6 anahzy tego obwodu na drodze transfiguracji i
ewentualnie retransfiguracji wykre6lnej (grafrcznej). Metody graficzne transfiguracji
obwodu nieliniowego przeprowadza sig w oparciu o prawa Kirchhoffa.
METODA CHARAKTERYSTYKI L,TCZNEJ
r Dla element6w pol4czonych szeregowo
Rozwa2amy polqczenie szeregowe nrezystor6w o charakterystykach okreSlonychr6wnaniami:
Ry: \ - fnrr( i ) , Ry2:u2= fn*r( i ) , . . . ,RNn:un - fpr , ( i )
W wyniku polqczenia szeregowego otrzymujemy:
n
u = u r + n2 + . . . + un= ) f * * ( ; )k=l
R6wnanie to okreSla charakterystykg nowego elementun
Rya: u - f n*r!) sdzie : f *r"(i) -I n"- (i)k=l
. Dla element6w polqczonych r6wnolegle
Rozwu2amy pol4czenie r6wnolegle n rczystor6w o charakterystykach okre5lonychr6wnaniami:
' / \ - , / \ - . / \f i l r r : h = Qnyl \u) , KN2i t2 = Qn*r \u) , . . . ,KNn :rn - (pRNn\u)
W wyniku pol4czenia szeregowego otrzymujemy:
nS l / \
t = t t *12+ . . .+ t " = )_Qn*o \u )k=l
R6wnanie to okre6la charakterystykp nowego elementun
RTsa :i = en*r(u) gdTie : e**r(u)=lO^*o@)k=l
UWAGI DO METODY CHARAKTERYSTYKI IICZNEJ:
o JeSli napigcie w elemencie zast&pczymobwodu szeregowego wynosi Uy,to po uzyskaniu charakterystyki lqpznej R11a moima znale26 na niej punktpracy P a nastgpnie pr4d w obwodzie Iy otaz napigcia na elementachobwodu.
. Je5li pr4d w elemencie zastepczym obwodu r6wnoleglego wynosi Ix, topo uzyskaniu charakterystyki lqcznej Ryx to wyznacza sig na niej punktpracy P a nastEpnie napigcie zasilaj4ce Uy orM pr4dy w galpztachobwodu.
85
METODA PRZECI4CIA CHARAKTERYSTYK
. Dla element6w pol4czonych szeregowo
Je5li napiEcie zasilaj4ce jest stale i jego ustalona warto56 nie ulega zmianie, to wcelu okre5lenia pr4du Ia (punktu pracy na charakterystyce lqcznej) nie trzebawyztaczat charakterystyki lqcznej. Stosowad mo2na w6wczas metodg przecipciacharaliterystyk tzw. " lustrTanego odbicia".
Tok postppowania:
1. wykreslamy charakterystykqelementu, np. Rm,
2. na osi U odmierzarny danqwartoS6Uynapigcia na zaciskach ukladu,
3. dla elementu R1,2 przyjmujemy ukladwsp6lrzEdnych o pocz4tku wpunkcie 0' (odleglym od punktu 0 oU*) i osi U malqcej zwrotprzeciwny
ni? dla elementu R1g7,
4. w nowym ukladzie wsp6lrzgdnychwykreSlamy charakterystyk Q. RNz,
5. punkt pracy obwodu P jest punktemprzecrecia charakterystyk a jegoodcigta dzieh Uyna Um i UNz.
K T4''/ x
. Dla element6w potqczonych r6wnolegle
Je5li znany jest pr4d zasilajqcy obw6d ft i wiadomym jest, 2e nie ulegnie onzmianie lub inaczej, tylko dla tej warto6ci pr4du chcemy okreSli6 napigcia i pr4dy wgalgziach, to nie musimy poszukiwa6 charakterystyki lqczne| Celem wyznaczeniapunktu pracy mo2emy poslu2ry6 siq metod4 "lz strzanego odbicin" .
Tok postgpowania:
1. wykreSlamy charakterystykg elementu,nP'Rnr,
2. na osi / odmieruamy dan4 wartoS6 ft ,
3. dla elementu R1g2 przyjmujemy ukladwsp6lr zedny ch o poc zqtku w punkcie0' (odlegtym od punktu 0 o I) i osipredu I malqcej zwrotprzeciwny nizdla elemeiltu R1,17,
4. w nowym ukladzie wsp6lrzEdnychwykreSlamy charakterystyk e Rxz,
5. punkt pracy obwodu P jest punktemprzeciecia charakterystyk a jegoruedna dzieli Iy na Ip i Iy2.