Formula¸c˜ ao Original Conceitos Formula¸c˜ aoCombinat´oria Demonstra¸c˜ ao Generaliza¸c˜oes Bibliografia O Teorema da Amizade Semin´ ario Diagonal David Mesquita Faculdade de Ciˆ encias da Universidade do Porto 13 de Maio de 2009
Formulacao Original Conceitos Formulacao Combinatoria Demonstracao Generalizacoes Bibliografia
O Teorema da AmizadeSeminario Diagonal
David Mesquita
Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto
13 de Maio de 2009
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Teorema da Amizade,TAFormulacao Original
Suponha-se que numa sociedade, cada par de pessoas temexactamente um amigo em comum. Entao ha uma pessoa quee amiga de toda a gente.
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Conceitos 1
Definicao - Grafo (Simples)
Chama-se grafo,G, a um dupleto (V (G ),E (G )) ondeV (G ) = {v0, v1, ..., vn} e chamado o conjunto de vertices,E (G ) = {e1, ..., em} o conjunto das arestas.
Definicao- Grafo Finito
Um grafo diz-se finito se V (G ) e E (G ) forem finitos.
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Conceitos 2
Definicao - Grau
Chama-se grau de um vertice v ao numero d(v) de arestasque incidem sobre esse vertice.
Definicao - Adjacencia
Dois vertices u, v dizem-se adjacentes se estiverem ligadospor uma aresta. Escreveremos u ∼ v .
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Conceitos 3
Definicao - N-Caminho
Um n-caminho num grafo e uma sequencia finita(v1, ..., vn) ⊆ V (G ) onde vi ∼ vi+1, ∀i ∈ {1, ..., n − 1}.
Definicao - N-Ciclo
Um n-ciclo e um caminho (v0, ..., vn) ⊆ V (G ) onde v0 = vn evi 6= vj , ∀i , j ∈ {0, ..., n}.
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Exemplo
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Grafos de Amizade
Grafos que representam as relacoes de amizade.
Pessoas - Vertices.
Relacoes de Amizade - Arestas.
Dois vertices sao adjacentes se as respectivas pessoasforem amigas.
Nota
Estamos a assumir que a amizade e recıproca e sempre emrelacao a outrem.
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Teorema da AmizadeFormulacao Combinatoria
Grafo Amigo - A-Grafo
Um grafo G diz-se amigo sse quaisquer 2 vertices de G temexactamente um vertice adjacente a ambos.
Teorema da Amizade - Grafos
Seja G um A-grafo finito. Entao ha um vertice de G que eadjacente a todos.
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Quais sao os A-Grafos finitos?
O Teorema da Amizade, garante que estes sao os unicosA-grafos finitos.
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E para A-Grafos infinitos?O 5-ciclo iterado
Construa-se G0 assim:
G1 = 5− ciclo;
Gn+1 = Gn+{vizinhos comuns para pares (u, v) ⊂ Gn quenao os tinham};G0 = limn→∞ Gn
Conclusao
O TA nao tem analogo para A-grafos infinitos.
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Demonstracao- Paul Erdos, Alfred Renyi, Vera SosProva por reducao ao absurdo
Suponhamos que nenhum vertice de G = (V (G ),E (G )), umA− grafo, e adjacente a todos os outros. Isto e equivalente adizer que ∀u ∈ V (G ),∃v ∈ V (G ) : u 6∼ v .
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Parte 1 - Combinatoria
Proposicao
G e regular, i.e., temos d(u) = d(v), ∀u, v ∈ V (G ).
Prova
Nao pode haver ciclos de comprimento 4.
Fixados u, v , u 6∼ v temos d(u) = d(v) = k .
d(z) = k , ∀z ∈ V (G )− {u, v}.QED.
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Parte 1 - CombinatoriaVertices de G
Quantos tem?
G tem n = k2 − k + 1 vertices.
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Parte 2 - Algebra Linear
Se k ≤ 2 temos,
Passamos daqui em diante a supor k > 2.
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Parte 2 - Algebra LinearMatriz de adjacencia
Definicao
Chama-se matriz de adjacencia de G = (V (G ),E (G )) ,V (G ) = {v1, ..., vn}, a matriz M = (aij) definida por:
aij =
{1 se vi ∼ vj
0 se vi 6∼ vj
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Parte 2 - Algebra LinearA matriz de adjacencia de G
Como sera a matriz de adjacencia M de G?
Simetrica ( portanto, diagonalizavel).
Cada linha tem exactamente k 1’s.
Para quaisquer 2 linhas, ha uma coluna onde ambaslevam 1.
A diagonal so tem 0’s.
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Parte 2 - Algebra LinearA matriz M2
Esta matriz esta bem definida.
Forma
M2 = (k − 1)I + O , I a identidade, O a matriz com 1’s emtodas as entradas.
Valores proprios: k2 (multiplicidade 1) e k − 1(multiplicidade n − 1).
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Parte 2 -Algebra LinearValores proprios de M
Quais sao?
Resposta
k ,√
k − 1, −√
k − 1.
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Parte 2- Algebra LinearUsando o traco de M
α - numero de valores proprios√
k − 1;
β - numero de valores proprios −√
k − 1;
α + β = n − 1;
tr(M) = k + α√
k − 1− β√
k − 1 = 0
Como α 6= β,√
k − 1 = kα−β
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Parte 3 - Teoria de Numeros
Teorema
Se√
m ∈ Q, entao√
m ∈ N.
Prova - Deedekind,1858
n0 - menor natural tal que n0
√m ∈ N.
Se√
m /∈ N, existe l ∈ N tal que 0 <√
m − l < 1.
Se n1 = n0(√
m − l),entao n1 ∈ N.
n1
√m ∈ N mas n1 < n0.
Contradicao.
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Parte 3 - Teoria de Numeros
Seja entao h =√
k − 1 ∈ N.Voltando acima, tiramos
h(α− β) = k = h2 + 1.
Conclusao
h divide h2 e h2 + 1. Logo h = 1 e k = 2. Contradicao.
Esta demonstrado o Teorema da Amizade.
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O TA Generalizado
Suponha-se que numa festa, cada par de pessoas amigas temexactamente λ amigos em comum, e cada par de pessoas quenao se conhecem tem exactamente µ ≥ 1 amigos em comum.Entao ou toda a gente tem o mesmo numero de amigos, ou hauma pessoa que e amiga de toda a gente.
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Em Grafos
Definicao - (λ, µ)-Grafo
Grafo onde ∀u, v ∈ V (G ), u e v tem ou exactamente λvizinhos, se u ∼ v , ou exactamente µ vizinhos, se u 6∼ v .
Definicao - Grafo Fortemente Regular → GFR(n,k,λ, µ)
E um (λ, µ)− grafo de n vertices, onde d(v) = k , ∀v ∈ V .
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Grafos Fortemente Regulares
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O TA Generalizado
Seja G um (λ, µ)-grafo, µ ≥ 1. Entao ou G e fortementeregular, ou G tem um vertice adjacente a todos os outros.
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(λ, µ)-Grafos IrregularesCaracterizacao
Teorema
Seja G um (λ, µ)-Grafo irregular de n vertices. Entao uma dasseguintes afirmacoes ocorre:
µ = 0, G = mKλ+2 + tK1, n = m(λ + 2) + t;
µ = 1, G = K1 ∨ (mKλ+1), n = m(λ + 1) + 1;
Nota
G1 + G2 = (V (G1) ∪ V (G2),E (G1) ∪ E (G2)).G1 ∨ G2 = (V (G1) ∪ V (G2),E (G1) ∪ E (G2) ∪ {(u, v) : u ∈V (G1), v ∈ V (G2)}).
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Outra Formulacao
Seja G um grafo com a propriedade de entre quaisquer 2vertices existir um unico 2− caminho. Entao G tem umvertice que e adjacente a todos.
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Em aberto...
Conjectura de Kotzig - 1974
Seja l > 2. Entao nao ha grafos finitos com a propriedade deentre quaisquer 2 vertices existir um unico l − caminho .
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Problema
Suponha-se que numa festa, quaisquer m ≥ 2 pessoas temexactamente um amigo em comum. Encontra o numero deamigos da pessoa que tem mais amigos.
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Bibliografia I
IGNER, Martin; ZIEGLER, Gunter:Proofs from the Book,Terceira Edicao,Springer;
ERA, Ralucca; SHEN, Jian:Extension of Strongly RegularGraphs,THE ELECTRONIC JOURNAL OFCOMBINATORICS 15, (2008);