o professor pde e os desafios da escola pública paranaense

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA CONSTRUÇÃO DE PIP AS

ROSENI GORETI TOSCAN

FRANCISCO BELTRÃO - PR

ABRIL/2010

2

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA CONSTRUÇÃO DE PIP AS

Unidade Didática desenvolvida no

Programa de Desenvolvimento

Educacional PDE – 2009 como requisito

para Intervenção Pedagógica no Colégio

Estadual Tancredo Neves Ensino

Fundamental e Médio.

ORIENTANDA: ROSENI GORETI TOSCAN

ORIENTADORA: ARLENI ELISE SELLA

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

3

Sumário

TEMA DE ESTUDO: GEOMETRIA.......................... ..........................................4

TÍTULO: O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA CONSTRUÇÃ O DE

PIPAS.................................................................................................................4

INTRODUÇÃO ...................................................................................................4

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................. ...........................................6

ATIVIDADES PROPOSTAS............................... ................................................8

ATIVIDADE 01 ....................................... ............................................................9

PESQUISANDO E CONTANDO A HISTÓRIA DA PIPA .......... .........................9

HISTORIA DAS PIPAS ................................. ...................................................10

ATIVIDADE 02 ....................................... ..........................................................12

A CONSTRUÇÃO DAS PIPAS ........................................................................12

REFERÊNCIAS ................................................................................................32

4

TEMA DE ESTUDO: GEOMETRIA

TÍTULO: O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA CONSTRUÇÃ O DE

PIPAS

INTRODUÇÃO

O presente material didático está sendo desenvolvido para cumprir a

segunda etapa do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE-

2009/2010.

O mesmo serve como subsídio ao trabalho que será realizado com os

alunos da 6ª série do Colégio Estadual Tancredo Neves, cujas atividades serão

desenvolvidas com o devido acompanhamento da professora Orientadora

Arleni Elise Sella e irá auxiliar na compreensão de alguns conteúdos

relacionados à geometria.

Esta unidade didática visa servir, também, de auxílio aos professores e

futuros professores em sua prática docente, haja vista, que se trata de um tema

que abrange vários conteúdos matemáticos que podem, por meio da mesma,

ser trabalhados de forma diferenciada e melhorada facilitando assim a

aprendizagem dos alunos.

A unidade será desenvolvida por meio da construção de pipas e de

conteúdos matemáticos relacionados a essa construção. As atividades serão

aplicadas na disciplina de Matemática, com intuito de proporcionar aos alunos

uma abordagem diferenciada para se trabalhar alguns conteúdos de geometria.

Como primeiro passo os alunos irão pesquisar e conhecer a história das

pipas com todos os seus mistérios e encantos. Em seguida cada um

confeccionará sua própria pipa e nesse momento observará os conteúdos

geométricos envolvidos na confecção por meio de questionamentos feitos pela

professora. Após a construção e os questionamentos relacionados aos

conteúdos, cada aluno produzirá um pequeno texto no qual irá relatar o que

entendeu sobre os conteúdos geométricos envolvidos no processo de

construção da pipa. Estes textos ficarão registrados nos cadernos dos alunos e

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serão revistos, analisados e discutidos para a verificação da aprendizagem dos

conteúdos.

No segundo momento, os alunos serão levados a um campo aberto para

verificar se as pipas irão voar. Essa prática é necessária, pois se as pipas não

voarem eles deverão constatar qual foi, ou quais foram os erros cometidos na

confecção.

Em seguida, serão discutidos os conteúdos programáticos de geometria

envolvidos no processo e trabalhados exercícios matemáticos e geométricos.

Nesta etapa podem ser retomadas, se necessário, algumas idéias relacionadas

aos conceitos de geometria observados na confecção da pipa.

Durante todo o processo, ocorrerá a avaliação do desenvolvimento das

atividades presentes nesta Unidade. Os critérios envolvidos serão,

principalmente, a participação, criatividade e envolvimento de cada aluno nas

atividades propostas, além de uma avaliação escrita referente aos conteúdos

trabalhados.

Trabalhar com objetos concretos permite que o educando perceba a

Geometria, presente no seu dia a dia e não somente por meio de fórmulas e

teoremas. Assim, durante a construção das pipas, será possível estudar e

aprofundar conteúdos geométricos que surgem, tais como: formas

geométricas, segmentos de retas, ângulos, simetrias, medidas, entre outras, de

forma diferenciada permitindo ao educando desenvolver e melhorar habilidades

para resolver problemas e situações relacionadas a seu cotidiano.

Em relação ao estudo da geometria, tanto no Ensino Fundamental como

no Ensino Médio, percebe-se que os alunos possuem dificuldades de entender

os conceitos e aplicações envolvendo os conteúdos estudados. Desde as

séries iniciais são trabalhadas as figuras e objetos planos desenhadas no livro,

ou no quadro não se fazendo relações com objetos de nossa realidade.

As figuras mais conhecidas e trabalhadas em sala de aula são: o

quadrado, o círculo e o triângulo, as quais, muitas vezes, acabam sendo

tratadas de modo abstrato, sem sentido para os alunos, tanto que ao

manusearem objetos tridimensionais não conseguem facilmente representá-los

bidimensionalmente. Outra questão surge quando, ao representar os

polígonos, os alunos têm dificuldade para retirar deles suas propriedades e

características fundamentais. Dificuldades estas que podem ser facilmente

6

sanadas se os alunos relacionarem os polígonos com objetos encontrados em

seu dia a dia.

Atualmente as escolas trabalham a geometria por meio de dedução das

fórmulas e resolução de exercícios, sendo um trabalho muito mecânico. Com

isso os alunos se confundem na realização das atividades e não compreendem

seus conceitos, não conseguem visualizar os objetos e nem fazer relação com

o que está ao seu redor.

É importante que o ensino de matemática proporcione aos alunos o

desenvolvimento de algumas habilidades, como por exemplo, ser capaz de

solucionar alguns problemas que envolvam geometria. Isto deve ocorrer não de

uma forma isolada, mas de uma maneira ordenada, conduzindo o aluno à

solução adequada e significativa de problemas. Portanto deve ser um trabalho

contínuo e em todas as séries.

O trabalho com pipa pode ser inserido em vários períodos do

desenvolvimento do aluno, da pré-escola ao Ensino Médio. Com a construção

da pipa e a brincadeira de soltá-la, podem ser criadas várias situações de

escrita e de leitura. Por exemplo, como prevenção de acidentes com pipas.

A geometria, com sua abordagem menos abstrata, favorece e enriquece

o aprendizado. Assim, o projeto O Ensino da Geometria por Meio da

Construção de Pipas será desenvolvido utilizando material concreto, facilitando

a manipulação do objeto para então ocorrer à formulação dos conceitos.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A Geometria surgiu, provavelmente, em tempos muito remotos da

antiguidade tendo origem provável na agrimensura ou medição de terrenos.

Civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, da

Babilônia à China, passando pelos Hindus.

A sistematização da geometria, iniciada por Tales de Mileto continua ao

longo dos séculos. Suas origens coincidem com as necessidades do dia a dia.

Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever

os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que

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sempre dependeram de operações geométricas. A noção de distância foi um

dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos. A necessidade de

delinear a terra levou a noção de figura geométrica simples como retângulos,

quadrados e triângulos; a construção de muros e moradias deu noções de

linhas verticais paralelas e perpendiculares. Outras observações do cotidiano

do homem primitivo deram à concepção de curvas, superfícies e sólidos.

Conforme Eves (1992, p.1): “As primeiras considerações que o Homem fez a

respeito da geometria são, inquestionavelmente, muito antigas. Parecem ter se

originado de simples observações provenientes da capacidade humana de

conhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos.”

A Geometria constitui parte importante do Currículo, pois a partir dela o

aluno desenvolve o pensamento espacial. Ao mesmo tempo em que o aluno

desenvolve este tipo de pensamento, descrevendo a sua própria ocupação e

movimentação do espaço, ele também descreve e representa o mundo em que

vive. É um processo dinâmico.

Trabalhando o pensamento geométrico contribui-se para a

aprendizagem de números e medidas. As atividades geométricas, como outras

em Matemática, permitem também ao aluno identificar regularidades, buscar

semelhanças e diferenças, argumentar a favor ou contra, e formular referidas

hipóteses.

Pavanello (1993) entende que, de fato, a Geometria é a ciência do

espaço, trabalha com formas e medições. Mas é fundamental reconhecer que

nos tempos atuais a percepção de espaço é diferente e que se distinguem

novas formas geométricas, assim como se avalia e se quantifica de outro modo

e se trabalham as quantidades com uma outra dinâmica. Essa nova forma

requer do homem novas maneiras de explicar, lidar e se desempenhar no seu

ambiente natural e social. São outros os fenômenos e os questionamentos que

impactam e estimulam o imaginário dos jovens. Ao reconhecer novas teorias

de aprendizagem, novas metodologias e novos materiais didáticos, está se

trazendo professores e educandos ao mundo como ele se apresenta hoje.

Fala-se muito, nos dias atuais, da necessidade do aluno construir seu

próprio conhecimento. Para isso, considera-se imprescindível que ele tenha a

oportunidade de fazer explorações, representações, construções, discussões, e

que possa investigar descobrir, descrever e perceber propriedades. A

8

geometria é excepcionalmente rica em oportunidades para que essas metas

sejam alcançadas. Dessa forma, a exploração informal da Geometria pode ser

motivadora e matematicamente produtiva se recair sobre a investigação, ao

invés de se ocupar com definições a serem memorizadas e fórmulas a serem

decoradas.

Referindo-se ao ensino da geometria, Pavanello diz:

O objetivo do trabalho com a geometria no Ensino Fundamental não deve ser a memorização de definições, enunciados, demonstrações ou fórmula, mas o de proporcionar oportunidades para que os alunos realizem as suas primeiras explorações sistemáticas. É somente explorando figuras, propriedades e relações, comparando, classificando, medindo, representando, construindo, transformando que os alunos poderão construir significativamente o seu conhecimento. (PAVANELLO, 1999, p. 37).

É importante que novos métodos impulsionem o trabalho com a

Geometria em sala de aula, dentre eles, as aplicações dos conceitos

geométricos de forma prática envolvendo o cotidiano do educando. Assim, a

Geometria ajuda a falar da inserção do homem no espaço, da utilização deste

espaço, da sua divisão, e da construção de estratégias para resolver

problemas relacionados ao mundo em que vive. Assim, Trautenmuller, entende

que:

(...) precisa-se ter bem claro que a compreensão espacial é necessária para interpretar, compreender e apreciar o nosso mundo, que é essencialmente geométrico. Sendo assim, um hábito que deve ser estimulado nos alunos é o de observar as formas geométricas que os rodeiam, pois eles precisam ter consciência de que a geometria estudada na sala de aula é a mesma aplicada na construção de um prédio, de um carro... No cálculo do volume de determinados recipientes, bem como na confecção de embalagens. (TRAUTENMULLER, 2005, p. 135).

Neste sentido, trabalhar a geometria a partir de situações e materiais

concretos utilizados no cotidiano dos alunos é sem dúvida uma das maneiras

de promover o conhecimento em todos os níveis da escolaridade, bem como,

um grande desafio a ser encarado e superado por educadores comprometidos

com o desenvolvimento de seus educandos.

ATIVIDADES PROPOSTAS

A Geometria constitui parte importante da matemática, pois ela auxilia no

desenvolvimento do pensamento espacial e trabalha o pensamento geométrico

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contribuindo para a aprendizagem de números e medidas. As atividades

geométricas, como outras em Matemática, permitem também ao aluno

identificar regularidades, buscar semelhanças e diferenças, argumentar a favor

ou contra, formular hipóteses e constatar seus resultados.

Neste sentido, a geometria trabalhada a partir de situações e materiais

concretos utilizados no cotidiano dos alunos, se torna uma das maneiras de

promover o conhecimento em todos os níveis da escolaridade, bem como, um

desafio a ser encarado e superado por educadores comprometidos com o

desenvolvimento de seus educandos.

Dessa forma, as atividades desenvolvidas neste trabalho, estão

relacionadas aos conteúdos propostos de maneira prática, no qual o aluno

possa observar, visualizar, formar seus próprios conceitos e concretizar seus

resultados.

ATIVIDADE 01

PESQUISANDO E CONTANDO A HISTÓRIA DA PIPA

Esta atividade tem por objetivo estimular os alunos a conhecerem a

história das pipas, suas lendas, mistérios e mitos, bem como suas

contribuições e sua utilização.

Como primeiro passo os alunos serão levados ao laboratório de

informática do colégio e receberão instruções de como utilizar a internet, bem

como algumas sugestões de sítios a serem pesquisados para dar mais enfoque

e orientação à pesquisa.

Cada aluno fará a pesquisa de forma individual ou em dupla, registrando

em seu caderno tudo o que considerar relevante a respeito da história e

utilização da pipa, pois ao retornar à sala de aula, farão uma apresentação dos

pontos destacados aos seus colegas.

Após conhecer a história das pipas por meio de pesquisa e tê-la contada

aos colegas na sala, cada aluno deverá escrever um texto e ilustrar partes da

história que considerar mais importante e ou interessante. As ilustrações feitas

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pelos alunos serão expostas em um mural para que toda a comunidade escolar

possa também conhecer fatos importantes referentes às pipas.

Ao final desse processo, cada aluno receberá um resumo da história das

pipas para que possa colar em seu caderno como registro. O texto que lhe será

entregue é o que segue abaixo:

HISTORIA DAS PIPAS

...A história das pipas possui mistérios, lendas, símbolos e mitos. Ela também encanta pela

magia e beleza. Tudo deve ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua

limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o motivo para que ele

desse asas a sua imaginação.

...Pipa, papagaio ou pandorga, entre outras denominações, pode ser definido como um

brinquedo que voa preso a extremidade de uma linha ou barbante. Em geral, tem uma armação

leve de bambu ou madeira, sobre a qual se estica uma folha de papel ou plástico. A Pipa

também ajuda na construção dos conceitos matemáticos. Com ela podemos ensinar a geometria

de forma lúdica, desenvolvendo o raciocínio lógico sempre promovendo, nesta construção, a

formação do indivíduo com um trabalho cooperativo onde há respeito pelo ambiente em que se

vive.

...Quem achar, contudo que as pipas não têm outra utilidade, a não ser diversão, engana-se. O

milenar brinquedo auxiliou na criação do pára-raios, esteve presente na primeira transmissão

radiofônica e ainda auxiliou Santos Dumont em suas primeiras experiências, entre outros

atributos.

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...Os historiadores acreditam que tenha sido inventada entre 400 e 300 (a.C.) por Arquitas, um

grego da cidade de Tarena. Os chineses afirmam, contudo, que o general Han Sin a inventou em

206 (a.C para uso dos militares). Em 1749 o escocês Alexander Wilson usou vários termômetros

presos às pipas para medir a temperatura nas alturas. Já Benjamim Franklin, em 1752, utilizando

uma pipa forrada de pano, demonstrou em um dia de chuva, que nas nuvens existe eletricidade

estática, criando assim o pára-raios.

...O inglês Douglas Archibasld, em 1883, prendeu um anemômetro (medidor de vento) à linha de

uma pipa e mediu a velocidade do vento a 360m de altura. A aerofotografia com o auxílio de

pipas também é muito praticada desde o fim do século XIX. Guglielmo Marconi em 1901 usou

uma pipa para erguer uma antena e fez a primeira transmissão de rádio. No fim do século XIX e

início do século XX, o homem estava decidido a construir uma máquina que lhe permitisse voar,

nessa época ele só tinha duas referências de vôo, que eram as aves e a pipa. Muitos tentaram

imitar os pássaros com suas máquinas sem sucesso, outros tentavam usando pipas. Em 1906,

depois de vários testes, o brasileiro Alberto Santos Dumont fez o primeiro vôo, usando um

conjunto de pipas-caixas, acionadas por suas próprias forças. Este avião recebeu o nome de “14

BIS”. Fonte: http://www.pipas.art.br/

...Nós brasileiros conhecemos a pipa por meio dos colonizadores portugueses por volta de 1596

que, por sua vez, as conheceram nas suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido de

nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas avançadas anunciavam por

meio de pipas quando algum perigo se aproximava. Mais uma prova de que a pipa era

conhecida na África há muito mais tempo, pois os negros já a cultuavam como oferenda aos

deuses. http://www.pipas.com.br/

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Fonte: Texto adaptado de http://erikaneri.blogspot.com/2009/06/pipas-e-matematica . Acesso em 26 de jan. de 2010. A avaliação dessa atividade será feita pelo interesse na pesquisa e

também na criatividade dos textos e das ilustrações produzidas para o mural.

ATIVIDADE 02

A CONSTRUÇÃO DAS PIPAS O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos, por meio da

construção da pipa, se apropriem do conhecimento geométrico de forma

prática.

Apropriar-se da sequência de movimentos envolvidos na construção de

uma pipa exige atenção. Medir, comparar, cortar, colar, estimar são ações que

exigem de quem as faz para que as decisões tomadas sejam as adequadas

para a realização do produto final.

No momento da construção poderá ser feito o registro descritivo do

processo, também, poderá ser feito o desenho da pipa no caderno, por meio do

qual, o aluno poderá observar mais claramente as figuras presentes na

estrutura.

A pipa a ser construída terá a forma hexagonal, tendo em vista que este

modelo é o mais apropriado para o desenvolvimento dos conteúdos propostos

para esta Unidade. .

MATERIAL: Varetas de bambu ou madeira leve, papel seda, cola branca,

tesoura, régua, linha 10 para pipa.

COMO FAZER:

Para construir a estrutura da pipa usa-se uma vareta de 60 cm e duas

varetas de 30 cm. Inicialmente mede-se 20 cm em cada ponta da vareta de 60

cm marcando os pontos P e Q nos quais serão amarradas as varetas de 30

cm, que ficarão paralelas uma a outra, e perpendiculares à vareta de 60 cm.

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Encontre o ponto médio (divide o segmento em duas partes de mesmo

tamanho. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.) da

vareta de 30 cm marque, nele, um ponto M1 e amarre-o em um dos pontos P

ou Q da vareta de 60 cm. Repetir o procedimento para a outra vareta de 30 cm.

Faça agora o contorno da pipa com linha 10. Amarre a linha 10 em uma

das pontas da vareta (Chame de vértice A), em seguida estique a linha até

chegar ao vértice B e amarre-a. Repita esse procedimento até ligar todos os

vértices da pipa, ou seja, do vértice A até o vértice F.

Observe que formamos um polígono. Você o conhece?

P P

Q

Q

P

M1

A

C

B F

E

D

Q

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Depois de formar a estrutura da pipa, corte e cole o papel. Não esqueça

que você deve medir o papel deixando-o um pouco maior que a estrutura para

que ele possa ser dobrado e colado sobre a mesma.

CONTEÚDOS ABORDADOS:

Para cada conteúdo abordado nesta Unidade Didática, além de uma

introdução ao conteúdo, serão sugeridas algumas atividades. Porém, este

trabalho pode ser adaptado de acordo com a realidade de cada unidade de

ensino. Portanto, os conteúdos seguem com sugestões de atividades que

podem ser modificadas e melhoradas, caso haja necessidade, para que os

objetivos sejam alcançados.

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Nesse momento serão retomados os textos produzidos pelos alunos no

momento da construção das pipas, nos quais cada um descreveu o que

entendeu sobre os conteúdos abordados. Os textos serão revistos e os alunos

em dupla, farão a análise e o debate de como este texto pode agora, ser

reestruturado com base nos novos conhecimentos adquiridos.

MEDIDAS DE COMPRIMENTO:

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas próprias unidades de

medidas. A partir do momento em que passou a viver em grupos e à proporção

que esses aglomerados cresciam, a necessidade de medir aumentava ainda

mais. As maneiras como mediam as grandezas eram bastante simples:

usavam partes do próprio corpo, como o comprimento do pé, a largura da mão

ou a grossura do dedo, o palmo e a passada, ou ainda uma vara ou um bastão.

Com o surgimento das primeiras civilizações, tais processos não mais

satisfaziam às necessidades dos homens, pois os mesmos sabiam constatar

as diferenças daquelas partes para cada indivíduo. As construções de casas a

navios, a divisão de terras e o comércio com outros povos exigiam medidas

padrões, que fossem as mesmas em qualquer lugar.

Ao que tudo indica, nenhum padrão foi criado em termos nacionais, até

que, na Inglaterra, Ricardo I (reinou de 1189 a 1199, já no século XII)

determinou unidades para comprimento e para capacidade. Estas eram de

ferro e mantidas em várias regiões do país por autoridades regionais com o

objetivo de comprovar a veracidade de uma medida. Estas medidas eram a

jarda (seria a medida da distância do nariz do rei Henrique I até a ponta do seu

braço esticado) e o galão, até hoje usados pelos países de língua inglesa.

Em fins do século XVIII, foi criada uma comissão para a determinação e

construção de padrões, de tal modo que fossem universais. Após estudos e

pesquisas, a comissão concluiu que a unidade de comprimento deveria

pertencer ao sistema decimal, Imediatamente foram tomadas as medidas

necessárias para o trabalho e designadas cinco comissões para a execução.

Devido à demora que o empreendimento levaria e à urgência da criação do

sistema, foi proposto e aceito pela Assembléia o metro provisório, baseado na

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medida antiga. Mais tarde as unidades padrões foram definidas como o metro,

o quilograma e o segundo.

O metro foi definido como a décima milionésima parte do meridiano

terrestre medido de Dunkerke a Barcelona.

A unidade de massa era o quilograma, construído em platina iridiada,

massa próxima de 1 litro. O segundo era a unidade de tempo, de valor 86 400

avos do dia solar médio.

Por decreto-lei, as unidades tornaram-se oficiais na França e, passados

alguns anos, vários países já as adotavam.

Os padrões foram feitos e cópias exatas foram enviadas aos países que

legalizaram o Sistema Métrico Decimal.

Em 1960, na XI Conferência Internacional de Pesos e Medidas, foi

adotado o Sistema Internacional de Unidades (SI) e suas grandezas

fundamentais são: Comprimento, Massa, Tempo, Intensidade Elétrica,

Temperatura e Intensidade Luminosa.

O Brasil adotou oficialmente o Sistema Métrico Decimal em 1928.

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, possui ainda os

seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos

prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili.

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias,

enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias.

Hoje, o Sistema Internacional de Unidades (SI) estabelece que o metro

seja a medida oficial usada nas atividades científicas, econômicas e industriais.

No Brasil, o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade

Industrial (INMETRO) é o órgão responsável pela manutenção dos padrões do

SI.

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que

permitem ao homem moderno medir comprimentos como: metro, trena, régua,

etc. As medidas fazem parte da vida cotidiana e vem acompanhando a

evolução da humanidade.

Nesse trabalho, as medidas de comprimento estão presentes ao

fazermos a medida do papel e das varetas para a construção da pipa. A

unidade de medida nesse processo será o centímetro, medido com o uso da

régua ou fita métrica, porém, por meio dessa unidade poderão ser introduzidas

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e trabalhadas as demais: metro, decímetro, milímetro, quilômetro, decâmetro e

hectômetro. Incluindo também as transformações de unidades e suas

utilidades.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES OBJETIVO: - Entender fatos históricos referentes às medidas;

-Conceituar medidas de comprimento;

-Utilizar medidas e suas transformações para resolver

exercícios.

A atividade de medida mais importante neste trabalho será realizada na

confecção da pipa.

a) Os alunos levarão para a sala de aula as varetas de bambu ou

madeira para confeccionar a pipa, o professor deverá pedir para que os alunos

usem a régua ou uma fita métrica para determinar o comprimento exato das

varetas: duas de 30 cm e uma de 60 cm.

b) Também será utilizada uma folha de papel seda, a qual deverá ser

medida pelos alunos. Lembrar o aluno que o papel deverá ficar um pouco

maior que a estrutura da pipa para que este possa ser dobrado e colado sobre

o bambu.

c) Além da medida do comprimento das varetas, o aluno deverá achar o

ponto médio nas duas varetas de 30 cm, para que estas possam ser coladas

ou amarradas na vareta de 60 cm (Nesta atividade o professor poderá trabalhar

o conceito de ponto médio). Na vareta de 60 cm, o aluno deverá medir,

começando de um dos vértices da vareta, 20 cm e marcar um ponto A onde

será amarrada uma das varetas de 30 cm. Partindo do ponto A, deverá medir

mais 20 cm e marcar um ponto B, no qual será amarrada a outra vareta de 30

cm.

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Nestas atividades o professor irá utilizar a medida do centímetro, porém,

partindo dela, poderá fazer medidas na própria sala de aula, como por

exemplo, medir o comprimento e a largura da sala, o comprimento e a largura

da porta da sala, do quadro, da mesa, do vidro da janela, a espessura do vidro,

do caderno e outras medidas que possam ser realizadas dentro ou fora da sala

de aula. Com essas medidas o professor poderá fazer transformações de

centímetro para metro e vice-versa, de centímetro para milímetro e vice-versa.

Também poderá aproveitar para trabalhar os submúltiplos do metro pedindo ao

aluno qual a distância que ele percorre para chegar à escola, a distância entre

sua cidade e outra que ele conheça, e outras questões que o professor poderá

formular observando o dia a dia do aluno.

SIMETRIA

A simetria é por vezes definida como a existência de proporções

perfeitas e harmoniosas ou como uma característica que permite que um objeto

seja dividido em partes de igual formato e tamanho.

Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é

um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No

20cm

20cm

20cm

A

B

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entanto, no plano, a idéia básica é bastante clara: uma figura no plano é

simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que

as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando

sobrepostas.

A simetria está presente em várias atividades como de marceneiros,

artistas, estilistas e engenheiros, além de ser importante na geometria, na

matemática, biologia, arte, literatura, física e arquitetura. É uma característica

observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou em

outros objetos. Portanto, é encontrada em quase toda parte do mundo que nos

rodeia.

Na geometria, a simetria é a semelhança exata da forma em torno de

uma linha reta, ponto ou plano. As simetrias podem ser de vários tipos, porém

as principais são as simetrias axiais e as simetrias centrais.

A simetria utilizada no desenvolvimento do projeto “O Estudo da

Geometria Por Meio da Construção de Pipas” será a axial, que é aquela na

qual os pontos, objetos ou partes de objetos é a imagem espelhada um do

outro em relação à reta dada, a qual é chamada eixo de simetria.

Ao construir a pipa, é possível perceber a simetria entre os lados

opostos à vareta de 60 cm (considerada reta ou eixo de simetria), ou seja,

esses lados ficam espelhados ou sobrepostos. Também os dois triângulos

retângulos, que ficam nos extremos da pipa, são simétricos, pois, se

sobrepõem.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

OBJETIVOS: - Identificar formas simétricas;

- Verificar o conceito de simetria.

1- Construa uma réplica da pipa apenas com papel, dobre-o e identifique onde

estão e quais são os eixos de simetria. Feito isto, cole-a no caderno.

2- Discuta com seus colegas e descubra palavras e objetos que possuam eixos

de simetria, escreva-os e desenhe-os em seu caderno.

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3- Das figuras distribuídas pelo seu professor, (nesta atividade o professor

levará para a sala de aula várias figuras, algumas com eixo de simetria e outras

sem o eixo de simetria) identifique quais delas possuem eixo de simetria. Das

que possuem, identifique quais são os eixos de simetria e depois registre em

seu caderno e apresente para seus colegas.

4- Elabore faixas com ornamentos geométricos a partir das figuras a seguir.

Em quais faixas você pode localizar o eixo de simetria?

5-Agora você já pode falar de simetria. Escreva o conceito do que você

entende por simetria e discuta com seus colegas e professor.

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Não é possível saber ao certo quando surgiram as figuras geométricas,

pois não há existência de registros, a não ser as que o homem primitivo

desenhava nas cavernas, nos quais ele expressava o que sentia e o que via.

Eram as chamadas pinturas rupestres, desenhos naturais, livres, que ficaram

registrados em muitas cavernas em diversas regiões do mundo. O homem

primitivo não sabia o que eram triângulos, quadrados ou hexágonos, pelo

menos até sentir a necessidade de construí-los, quando passou a viver fora

das cavernas. Com esta mudança teve início uma nova e importante atividade:

a de construir. Inicialmente rústicas, as construções logo exigiram um

aprimoramento nos traços e nas definições. O desenho tornou-se uma

ferramenta básica nesse processo, aliada à valorização das formas como

elemento de harmonia e beleza. Foi na Grécia que se deu um importante passo

na teorização da ciência das formas.

Sabe-se, também, que pouco depois de 2600a.C. o escriba Ahmes

registrou cálculos de áreas de círculos, retângulos e triângulos no papiro de

21

Rhind. E que entre 2000a.C 1600 a.C. os babilônios já conheciam as figuras

básicas (o retângulo, o quadrado e o triângulo). (www.somatematica.com.br).

Contudo, foi na natureza que eles observaram as mais diferentes formas

geométricas, elas estão presentes em quase tudo o que vemos em nosso dia-

a-dia. Hoje, desenvolve-se grande parte da geometria baseando-se nestas

formas.

Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma

grande quantidade de forma que nos lembram figuras geométricas; uma placa

de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos

numerosas formas geométricas, nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos

utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos. Essas formas

geométricas receberam o nome de polígonos e, dependendo do número de

lados ou ângulos, recebem nomenclaturas diferenciadas. Os polígonos mais

simples são: o quadrado, os triângulos e o retângulo.

Na construção da pipa serão formadas quatro figuras geométricas:

triângulo, retângulo, pentágono e hexágono. Por meio destas poderão ser

estudadas as demais.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES OBJETIVOS: - Identificar as formas geométricas presentes na estrutura da

pipa e outras formas que possam surgir.

P

C

B F

E

D

Q

A

22

1- Utilizando a estrutura da pipa, identifique as formas geométricas

formadas, desenhando a pipa em uma folha de papel sulfite. Depois

pinte cada forma geométrica de uma cor diferente.

2- Agora recorte as formas geométricas que você identificou no desenho.

Com quantas formas diferentes você ficou?

3- Que tal brincarmos um pouco com estas figuras? Então faça o seguinte:

- Junte os quatro triângulos formados e monte outras figuras. Mude a

posição dos triângulos, tente várias formas diferentes, não esqueça de registrar

em seu caderno cada figura formada e nomeá-la quando possível.

- Agora pegue somente três triângulos e junte-os, formou alguma

figura? Mude a posição dos triângulos, que figura formou? Você pode nomeá-

la? Registre em seu caderno.

-Tente agora com apenas dois triângulos, que figura formou? Troque a

posição dos triângulos, formou figura? Registre em seu caderno.

-Agora junte os dois retângulos, que figura você formou? Se mudar a

posição dos retângulos, que figura formará?

-E se juntarmos de forma diferente todas as figuras formadas no

desenho da pipa, será que vamos formar outras figuras geométricas? Que

forma terão essas figuras? (Aqui o professor poderá explorar o conceito de

polígono regular, irregular, figuras convexas e não convexas e outros conceitos

relacionados com figuras geométricas). Forme o máximo de figuras que você

consiga imaginar, não esqueça de registrá-las em seu caderno e nomeá-las

quando possível.

ÂNGULOS

Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na

tentativa de encontrar respostas para a vida na Terra, assim como, entender os

corpos celestes que aparecem à nossa vista. A Astronomia talvez tenha sido a

primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da

Matemática.

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Os antigos egípcios e árabes acreditavam que o Sol girava em torno da

Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Dessa forma,

a cada dia o Sol percorria um arco da circunferência de sua órbita. Essa

circunferência tinha como vértice o centro da terra e cada arco da

circunferência correspondia a um ângulo. Assim o ângulo passou a ser uma

unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Hoje, sabemos que é a Terra que gira ao redor do Sol e que para dar

uma volta inteira demora 365 dias + 6 h, por isso manteve-se a tradição de que

o arco da circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa

circunferência, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação

desta medida usa um pequeno ”o“ colocado como expoente do número, como

1º.

A importância dos ângulos não fica só na teoria, eles estão presentes

em situações cotidianas como: no ponteiro dos relógios, na classificação de

figuras geométricas, nos estacionamentos de veículos, nas construções, etc.

Assim, ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas

semi-retas, que não pertencem à mesma reta, mas possuem uma origem em

comum, chamada de vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma

propriedade que não varia e pode ser medida em graus ou radianos e para

determinar esta medida pode-se utilizar um transferidor.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados

como: reto, agudo, obtuso e raso.

Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus.

Ao lado temos um ângulo de 45 graus.

Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os

seus lados estão localizados em retas perpendiculares.

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Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura

ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.

Raso: Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas

opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

Ao amarrar as varetas na estrutura da pipa, poderá ser observada a

formação de ângulos retos, ou seja, ângulos de 90º. Por meio desse ângulo

poderão ser trabalhados todos os demais.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

OBJETIVOS: - Identificar os ângulos formados na pipa;

- Verificar os ângulos de figuras geométricas;

- Realizar medidas dos Ângulos;

1- Observe as figuras geométricas formadas na estrutura da pipa, use o

desenho dela que você fez no caderno. Com um transferidor e a ajuda do

professor, faça a medida de cada ângulo e anote-os em seus respectivos

desenhos.

2- Agora some as medidas dos ângulos internos de cada figura formada na

estrutura da pipa. O que você observa? Qual é a medida da soma dos ângulos

internos de cada triângulo? E qual é a medida da soma dos ângulos internos de

cada retângulo? Escreva suas conclusões no caderno.

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3- Você observou diferença na soma dos ângulos internos do triângulo com a

soma dos ângulos internos do retângulo? Por que isso acontece? Explique.

4- Com as informações dadas sobre ângulos e as medidas feitas nas

atividades 1 e 2, classifique cada ângulo como: agudo, obtuso, reto, raso,

complementar e suplementar? Anote suas conclusões em seu caderno.

5- Para construir a pipa você seguiu alguns passos importantes, onde foram

sendo formados os ângulos. O que aconteceria com a pipa se os ângulos de

sua estrutura não estivessem com suas medidas exatas? Será que ela voaria?

Por quê?

6- Será que os ângulos são importantes apenas na construção de pipas? Onde

mais são utilizados os ângulos? Escreva em seu caderno um pequeno texto

falando sobre esse assunto.

Após estas atividades, o professor poderá introduzir outras com figuras

diferentes e ângulos com medidas diferentes. Poderá trabalhar também as

operações com medidas de ângulos, relacionando o ângulo com medidas de

tempo: hora, minuto e segundo para que o aluno consiga entender melhor as

transformações de medidas.

RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES:

a) PARALELAS: Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e

não possuem qualquer ponto em comum.

É usual a notação a//b, para indicar que as retas a e b são paralelas.

a

b

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Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada,

pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na

Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.

b) CONCORRENTES: Duas retas são concorrentes se possuem um único

ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas

linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência

ocorre no cruzamento das retas (ruas).

c) PERPENDICULARES : são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus.

Propriedade da reta perpendicular : Por um ponto localizado fora de uma reta

dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.

As retas paralelas e perpendiculares serão trabalhadas na montagem da

estrutura da pipa. As duas varetas de 30 cm devem ficar paralelas uma da

outra e a vareta de 60 cm, perpendicular às duas varetas de 30 cm. Dessa

forma o aluno poderá observar e diferenciar paralelismo de perpendicularismo.

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SUGESTÃO DE ATIVIDADES: OBJETIVO: Identificar o conceito e diferenciar retas paralelas e

perpendiculares.

1- Faça um novo desenho da pipa que você construiu, e faça o que se pede:

a) Identifique nele as retas paralelas;

b) Sinalize com uma cor diferente um par de retas concorrentes;

c) Com outra cor identifique um par de retas perpendiculares.

d) Localize retas paralelas e perpendiculares na sala de aula. Anote-as no seu

caderno.

Além dessas questões, o professor pode pedir para que o aluno observe

retas paralelas, concorrentes e perpendiculares encontradas no pátio da

escola, na quadra de esportes, no prédio da escola, em sua casa, na rua etc.

ÁREA E PERÍMETRO:

Provavelmente, o cálculo de área deve ter surgido da observação dos

sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra. Certo dia, ao

passar por entre os trabalhadores que estavam pavimentando com mosaicos

quadrados uma superfície retangular, um sacerdote notou que, para conhecer

o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número

tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do

retângulo: multiplicar a base pela altura. (www.somatematica,com.br)

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos sacerdotes fiscais

seguiram um raciocínio extremamente geométrico, basta tomar um quadrado

ou um retângulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o

quadrado tenha 16 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a

área dessas figuras. Cortando o quadrado ou o retângulo em duas partes

iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área,

naturalmente, é a metade da área do quadrado ou do retângulo. Surgiu então,

a fórmula do cálculo da área do triângulo: multiplica a base pela altura e divide

o resultado por dois.

Quando se deparavam com uma superfície irregular da terra (nem

quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam

28

para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer,

traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este

ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas

davam a área total. Esse método, em uso até hoje, produzia pequenos erros,

quando o terreno não era plano ou possuía bordas curvas.

Estas fórmulas mais simples foram sendo adaptadas ao longo do tempo,

surgindo assim a fórmula para cálculo da área de cada figura dependendo do

seu formato.

Povos da Antiguidade como babilônios, chineses, egípcios, hindus e

gregos, calculavam área de algumas figuras geométricas de maneira bastante

precisa.

Determinar áreas para construção de moradias e monumentos, eram

problemas relacionados com a realidade desses povos. Os babilônios usavam

como unidades de área:

-1 sar, que corresponde a 36m² aproximadamente, para medir a área de

casas.

-1 iku, que corresponde a 100sar (aproximadamente 3600m²). Para

medir a área dos campos.

Atualmente as unidades mais usadas para medir áreas são:

-O metro quadrado (m²), correspondente a um quadrado de 1metro de

lado.

-O centímetro quadrado (cm²), que corresponde à área de um quadrado

de 1centímetro de lado. Usado para medir pequenas superfícies.

-O quilômetro quadrado (km²), que corresponde a um quadrado de

1quilômetro de lado. É usado para medir grandes superfícies.

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem

uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.,

dependendo da superfície que será calculada.

Perímetro é a distância que circunda um objeto.

Um polígono tem perímetro igual à soma do comprimento de suas

arestas (lados).

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A capacidade de diferenciar as noções de área e perímetro é

fundamental em vários aspectos da geometria. Estas noções são muitas vezes

consideradas claras, mas nossos alunos não as observam.

Com os alunos da 6ª série, a pipa é um excelente objeto para trabalhar

medidas e construir perímetros e áreas. Esses cálculos podem ser realizados

pelos alunos diretamente, e podem ser problematizados pelo professor.

Na construção da pipa poderá ser calculada a área e o perímetro de

cada figura que a compõe, pois, cada lado terá sua medida. A régua poderá ser

usada para medir a hipotenusa dos triângulos, bem como seus catetos. Por fim,

somando as áreas de todas as figuras se chegará à área total (hexágono).

Para calcular o perímetro do hexágono poderá ser usada uma régua e medir a

linha que forma o contorno da pipa.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

OBJETIVOS: - Conceituar área e perímetro;

- Diferenciar área e perímetro;

- Realizar medidas e cálculos de área e perímetro; Você já trabalhou com as figuras geométricas formadas com o desenho

da pipa feito no seu caderno nas questões relacionadas à “figuras

geométricas”. As medidas também foram feitas no momento da construção da

pipa. Agora vamos utilizar essas figuras para fazer cálculos. Para isso, observe

a figura da pipa formada no seu caderno. Porém para facilitar a identificação de

cada figura, vamos enumerá-las da seguinte forma:

30

1) Calcule a área e o perímetro das figuras 2 e 5.

2) Agora, calcule a área e o perímetro das figuras 1, 3, 4 e 6.

3) Anote o que você observou.

4) Com os cálculos feitos nas questões 1 e 2 você consegue calcular a área

total de sua pipa? E o perímetro? Anote em seu caderno o desenvolvimento de

seu raciocínio e a resposta.

5) Existe outra maneira de calcular a área total de sua pipa? Se existe, qual é?

Explique.

6) E para calcular o perímetro de sua pipa na totalidade, como proceder?

Explique.

7) Você consegue agora conceituar o que é área e perímetro e qual sua

diferença? Anote em seu caderno e comente com seu professor e colegas.

Partindo das atividades acima, o professor poderá trabalhar a área e o

perímetro de outras figuras com formatos diferentes que os próprios alunos

1

2

3 4

5

6

31

poderão trazer para a sala e aula. Também calcular a área e o perímetro da

sala de aula, da carteira, da mesa do professor, da porta e outros objetos.

Trabalhar planta baixa de casas, áreas e perímetros de terrenos de campo de

futebol e outras atividades dependendo da criatividade do professor.

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REFERÊNCIAS CAMARGO, Joseli Almeida; PEREZ, Marlene; Reflexões sobre o ensino/Aprendizagem da geometria, Curitiba, Secretaria de Estado da Educação – SEED, PR, 1998. EVES, Howard. Tradução de Hygino H.Domingues. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula - Geometria. São Paulo: Atual Editora, 1992. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr, José Ruy; A Conquista da Matemática: a+nova. São Paulo, FTD, 2002. LIMA, Elvira Souza. Pipa – Cultura Ciência e Cidadania. São Paulo, Sobradinho, 2005. LORENZATO, Sergio. Porque não ensinar GEOMETRIA? A educação matemática em revista – SBEM, Rio de Janeiro, ano III, p. 30-36,1° Semestre 1995. PARANÁ, Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação - SEED – Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica – DCE. Curitiba, 2008. PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké. Campinas: UNICAMP/FE/CEMPEM. Ano1, v.1, março, p. 7-17, 1993. Disponível em: <http://www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=29> acesso em: 28/06/2010. _______________. A geometria no Ensino Fundamental. Revista Teoria e Pratica da Educação. V.1, n2, p 33-41, março de 1999. Disponível em: <http://www.dtp.uem.br/rtpe/volumes/v1n2/sumario.htm>. Acesso em: 06/05/2010. TRAUTENMULLER, Maricleia Sippert. O Ensino da Geometria. Revista Matemática. v.3, n.3, p.123-136. Frederico Westphalen, nov. 2005. VOCE, Silvio. Pipas: Origens, Lendas, Mitos... Disponível em: <http//www.pipas.com.br> Acesso em: 10/09/2009. <www.somatemática.com.br>. Acesso em: 07/05/2010.