Introdução à Neurociência Computacional (Graduação)– Antonio Roque – Aula 13 1 O Modelo de FitzHugh-Nagumo A partir da análise do modelo de Hodgkin-Huxley no plano de fase rápido-lento (veja a aula 12), FitzHugh propôs um modelo bi-dimensional muito simples, mas capaz de produzir oscilações qualitativamente similares aos disparos de um neurônio. FitzHugh sabia muito bem que suas equações não forneciam uma descrição detalhada dos potenciais de ação de um neurônio, mas, como ele mesmo disse (FitzHugh, 1969): “para alguns propósitos é útil ter um modelo de uma membrana excitável que seja matematicamente tão simples quanto possível, mesmo que os resultados experimentais sejam reproduzidos de forma menos precisa”. O modelo de FitzHugh (1961), posteriormente aperfeiçoado por Nagumo et al. (1962) e, por isso, chamado hoje em dia de modelo de FitzHugh-Nagumo, possui duas variáveis: a voltagem de membrana V (variável rápida) e uma variável de repolarização lenta w. A variável w pode ser interpretada como representando o efeito dominante da condutância de K + para fora da célula após o pico do potencial de ação. As equações do modelo de FitzHugh-Nagumo são as seguintes: inj I w V V dt dV + − − = 3 3 τ (1) a bV w dt dw w + + − = τ . (2) Diferentes autores usam diferentes valores para os parâmetros dessas equações. Aqui, vamos usar os seguintes valores (Wilson, 1999): τ = 0,1 ms; τ w = 1,25 ms; b = 1,25; e a = 1,5. I inj é a corrente injetada na membrana e será tratada como um parâmetro livre, podendo assumir diferentes valores. Note que a constante de tempo para V é bem menor que a constante de tempo para w, refletindo o fato de que os processos de ativação do potencial de membrana são bem mais rápidos que os processos de repolarização. As equações que serão consideradas nesta aula são, portanto: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = inj I w V V dt dV 3 10 3 (3) ( ) 5 , 1 25 , 1 8 , 0 + + − = V w dt dw . (4) Consideremos inicialmente o caso em que I inj = 0. Para este caso, as equações das isóclinas nulas de V e w podem ser obtidas fazendo dV/dt = 0 e dw/dt = 0. Isto nos dá as seguintes equações:
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Introdução à Neurociência Computacional (Graduação)– Antonio Roque – Aula 13
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O Modelo de FitzHugh-Nagumo
A partir da análise do modelo de Hodgkin-Huxley no plano de fase rápido-lento (veja a aula 12),
FitzHugh propôs um modelo bi-dimensional muito simples, mas capaz de produzir oscilações
qualitativamente similares aos disparos de um neurônio.
FitzHugh sabia muito bem que suas equações não forneciam uma descrição detalhada dos potenciais de
ação de um neurônio, mas, como ele mesmo disse (FitzHugh, 1969): “para alguns propósitos é útil ter um
modelo de uma membrana excitável que seja matematicamente tão simples quanto possível, mesmo que
os resultados experimentais sejam reproduzidos de forma menos precisa”.
O modelo de FitzHugh (1961), posteriormente aperfeiçoado por Nagumo et al. (1962) e, por isso,
chamado hoje em dia de modelo de FitzHugh-Nagumo, possui duas variáveis: a voltagem de membrana V
(variável rápida) e uma variável de repolarização lenta w. A variável w pode ser interpretada como
representando o efeito dominante da condutância de K+ para fora da célula após o pico do potencial de
ação.
As equações do modelo de FitzHugh-Nagumo são as seguintes:
injIwVVdtdV
+−−=3
3
τ (1)
abVwdtdw
w ++−=τ . (2)
Diferentes autores usam diferentes valores para os parâmetros dessas equações. Aqui, vamos usar os
seguintes valores (Wilson, 1999): τ = 0,1 ms; τw = 1,25 ms; b = 1,25; e a = 1,5. Iinj é a corrente injetada na
membrana e será tratada como um parâmetro livre, podendo assumir diferentes valores. Note que a
constante de tempo para V é bem menor que a constante de tempo para w, refletindo o fato de que os
processos de ativação do potencial de membrana são bem mais rápidos que os processos de repolarização.
As equações que serão consideradas nesta aula são, portanto:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−= injIwVV
dtdV
310
3
(3)
( )5,125,18,0 ++−= Vwdtdw
. (4)
Consideremos inicialmente o caso em que Iinj = 0. Para este caso, as equações das isóclinas nulas de V e w
podem ser obtidas fazendo dV/dt = 0 e dw/dt = 0. Isto nos dá as seguintes equações:
Introdução à Neurociência Computacional (Graduação)– Antonio Roque – Aula 13