O Átomo de Hidrogênio Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas: , , , , 2 2 2 r E r r V Separação de variáveis: F r R r , , , Y
O Átomo de HidrogênioEquação de Schrödinger em coordenadas esféricas:
,,,,2
22
rErrV
Separação de variáveis:
FrRr ,,
,Y
Átomo de hidrogênio
Substituindo na Eq. Schrödinger obtemos 3 equações:
O Átomo de Hidrogênio
22
2
md
d
0sen
1sensen
12
2
Fm
d
dF
d
d
0
12122
22
Rr
rVEdr
dRr
dr
d
r
Equação Azimutal
Equação de Colatitude
Equação Radial
As soluções das equações angulares (azimutal e colatitude) são dadas por:
A Função Angular
...,2,1,0; mAeim
mBPF m ...,2,1,0;cos
Função angular:
imm AeBPY cos,
1, ddY encontramos AB
A Função Radial
No caso geral, a solução é dada por:
rLnr
r
nr
rrR nn
12
00
exp
,...3,2,1n número quântico principal
O número quântico n define a energia do átomo, da mesma forma que no modelo de Bohr:
eV6.132n
E
1n
Interpretação da função angular
...,,2,1,0mmLz
1...,,2,1,01 nL
número quântico magnético
número quântico orbital
L está relacionado à grandeza momento angular orbital e seu módulo é quantizado:
Lz é a componente na direção z do momento angular orbital
A Função Angular
Exemplo: 2
6122 L
2,1,0, mmLz
Observe que:- Tanto o módulo quanto a componente z do momento angular são quantizados
A Função Angular
Quando l = 0, a função de onda exibe simetria esférica.
0,0 m
4
1,00 Y
A Função Angular
0,1 m
cos8
3,10 Y
1,1 m
ieY sen8
3,11
Quando l = 1, a função de onda exibe simetria em torno do eixo z.
A Função Angular
Portanto, o par (l, ml) define o tipo de simetria da função de onda:
Orbital (s)
Orbital (p)
Orbital (d)
Orbital (f)
0
1
2
3
Resumo: Átomo de Hidrogênio• Elétron confinado em 3 dimensões: 3 números quânticos
• n determina a energia do átomo
• l e ml determinam o momento angular do átomo e e a simetria da função de onda
O elétron possui um número quântico intrínseco de “spin”, formando um total de 4 números quânticos
2
1 SSz mmS
Átomos de muitos elétronsSão descritos pelos mesmos números quânticos que o átomo de hidrogênio
Como preencher os níveis de energia?
PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI: cada estado só pode ser ocupado por, no máximo, 1 elétron
MÍNIMA ENERGIA: os estados ocupados são sempre os de menor energia possível
LEI DE HUND: Deve-se maximizar o spin desde que os princípios anteriores não sejam violados.
,nfE
Átomos de muitos elétronsNúmero de estados possíveis:
212
1
0
212n
n
n = 1: 2 estadosn = 2: 8 estadosn = 3: 18 estados
Número de elementos por linha da tabela periódica!
Átomos de muitos elétrons
1) Considere as funções de onda a seguir, que representam dois estados distintos de um átomo de hidrogênio:
Considere que um elétron se encontrava inicialmente no estado descrito por 2 e, após emitir espontaneamente um fóton, passou a ocupar o estado descrito por 1. Determine:a) A energia do fóton emitido.b) O número total de estados nos quais a energia de ionização do elétron é a mesma que a representada pelo estado 2.d) A probabilidade de o elétron ser encontrado na região x > 0, após a emissão do fóton.e) A probabilidade de que, após a emissão do fóton ter ocorrido, o átomo emita espontaneamente um outro fóton em um tempo inferior a 10 ms. 2) Para cada uma das afirmativas abaixo, determine se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). a)Os números quânticos n = 2, l = 0, ml = 0 e ms = -1/2 descrevem o estado do elétron mais energético do átomo de carbono no estado fundamental.b) Dois átomos de hidrogênio no estado fundamental possuem, necessariamente, o mesmo valor de momento angular total.c) Se dois elétrons de comprimentos de onda iguais a 10 e 5 angstroms incidem numa barreira de potencial, o primeiro tem maior probabilidade de atravessá-la do que o segundo. d) O elétron, por possuir massa, sempre se comporta como partícula, enquanto o fóton, que não possui massa, pode se comportar tanto como partícula como quanto onda, dependendo do experimento.
Exercícios
0/2/3
01
1,, rre
rr
irr esenr
re
r
r
rr
0
3/
02/3
02 6
8
1,, 0
imm
nrnr ePrLe
nr
rkr
cos,, 12
0
0