ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล : Exponential Function - 1 - ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จากฟังก์ชันที่เราได้ศึกษามาในเนื้อหาเรื่องฟังก์ชัน เช่น y = 3x + 2 หรือ y = x 2 เราเรียกฟังก์ชันเหล่านี้ว่า ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาฟังก์ชันอดิศัย ซึ่งต้องอาศัยความรู้เรื่องเลขยกกําลังด้วย เรา เรียกฟังก์ชันดังกล่าวว่าเป็น “ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล (Exponential Function)” บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล กําหนดด้วย f = {( , ) , , } 0 1 ∈ × = > ≠ x xy y aa a 1. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ก่อนที่จะทําความเข้าใจในหัวข้อนี้ เราจะมาทําความรู้จักกับคําว่า “ฟังก์ชันลด” และ “ฟังก์ชันเพิ่ม” เสียก่อน ฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) ฟังก์ชัน y = f(x) จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น ค่าของ y จะเพิ่มขึ้น เช่น f(x) = x 3 + 1 ฟังก์ชันลด (decreasing function) ฟังก์ชัน y = f(x) จะเป็นฟังก์ชันลด เมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น ค่าของ y จะลดลง เช่น f(x) = 1 x จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เราพบว่า ฐานจะต้องมากกว่าศูนย์ และไม่เท่ากับหนึ่ง เพราะถ้า มากกว่าหนึ่ง จะส่งผลให้กราฟเป็นกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ขอให้พิจารณากราฟมาตรฐานของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลต่อไปนี้ 4 2 - 5 fx () = 2 x พิจารณากราฟของสมการ y = 2 x 1. กราฟตัดแกน y ที่คู่อันดับ (0, 1) 2. โดเมนของกราฟ คือ 3. เรนจ์ของกราฟ คือ + 4 2 gx () = 1 2 x พิจารณากราฟของสมการ y = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 1 2 1. กราฟตัดแกน y ที่คู่อันดับ (0, 1) 2. โดเมนของกราฟ คือ 3. เรนจ์ของกราฟ คือ + จากตัวอย่างของกราฟทั้งสองนี้ สามารถสรุปข้อสังเกตของกราฟในกรณี y = a x ; a > 0, a ≠ 1 ได้ดังนี้ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = a x ; a > 0, a ≠ 1 จะตัดแกน y ที่คู่อันดับ (0, 1) เสมอ เพราะ a 0 = 1 2. โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล กรณี y = a x ; a > 0, a ≠ 1 คือเซตของจํานวนจริง เรนจ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล กรณี y = a x ; a > 0, a ≠ 1 คือเซตของจํานวนจริงบวก 3. กรณีที่ a อยู่ในช่วง (1, ∞) แล้ว y = a x จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม กรณีที่ a อยู่ในช่วง (0, 1) แล้ว y = a x จะเป็นฟังก์ชันลด
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
จากตัวอย่างของกราฟทั้งสองนี้ สามารถสรุปข้อสังเกตของกราฟในกรณี y = ax; a > 0, a ≠ 1 ได้ดังนี้ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = ax; a > 0, a ≠ 1 จะตัดแกน y ที่คู่อันดับ (0, 1) เสมอ เพราะ a0 = 1 2. โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล กรณี y = ax; a > 0, a ≠ 1 คือเซตของจํานวนจริง
เรนจ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล กรณี y = ax; a > 0, a ≠ 1 คือเซตของจํานวนจริงบวก 3. กรณีที่ a อยู่ในช่วง (1, ∞) แล้ว y = ax จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
กรณีที่ a อยู่ในช่วง (0, 1) แล้ว y = ax จะเป็นฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล : Exponential Function
- 2 -
4. ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก ไปทั่วถึง + นั่นคือ ax = ay ก็ต่อเม่ือ x = y 5. การเปรียบเทียบฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล y = ax กรณี a อยู่ในช่วง (0, 1) เป็นฟังก์ชันลด จะได้ว่า x > y ก็ต่อเม่ือ ax < ay x < y ก็ต่อเม่ือ ax > ay กรณี a อยู่ในช่วง (1, ∞) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จะได้ว่า x > y ก็ต่อเม่ือ ax > ay x < y ก็ต่อเม่ือ ax < ay
3. อสมการเอกซ์โปเนนเชียล อสมการเอกซ์โปเนนเชียล (Exponential Inequation) หมายถึง อสมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กําลัง และมีฐานเป็นค่าคงตัว การแก้สมการเอกซ์โปเนนเชียล เป็นการหาเซตคําตอบของตัวแปรซึ่งสอดคล้องกับสมการนั้น โดยใช้หลักการของการเป็นฟังก์ชันลดและฟังก์ชันเพิ่ม คือ กรณี a อยู่ในช่วง (0, 1) เป็นฟังก์ชันลด จะได้ว่า x > y ก็ต่อเม่ือ ax < ay x < y ก็ต่อเม่ือ ax > ay กรณี a อยู่ในช่วง (1, ∞) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จะได้ว่า x > y ก็ต่อเม่ือ ax > ay x < y ก็ต่อเม่ือ ax < ay ในกรณีที่อสมการมีฐานเป็นกลุ่มของนิพจน์ที่ไม่ทราบค่า ให้กําหนดให้ฐานอยู่ใน 3 กรณี คือ กรณีที่ฐานอยู่ในช่วง (0, 1), กรณีที่ฐานเท่ากับ 1 และกรณีที่ฐานอยู่ในช่วง (1, ∞) โดยให้นําคําตอบแต่ละช่วงมา intersect กับเงื่อนไขข้างต้นที่กําหนดไว้ และนําทั้งสามกรณีมา union กัน