NUMEROS REAIS

Xosé Manuel Besteiro Colexio Apostólico Mercedario VERÍN

Números Reais

NÚMEROS REAIS(R)

NÚMEROS RACIONAIS Nº

I RRAC I ONA I S

Nº ENTEIROS(Z) Nº FRACCIONARIOS

NATURAIS(N)

ENTEIROSNEGATIVOS

DECIMAISLIMITADOS

ILIMITADOSPERIÓDICOS

PERIÓDICOSPUROS

PERIÓDICOS MIXTOS

Este conxunto está composto polos seguintes elementos:

R = Q I , ademáis N Z Q .

Conxunto de números reais

inicio

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Q={ p:q / p,q є Z e q≠ 0 }

N={1,2,3,4,5,6,7,8,...} Nº racional é o conxunto de fraccións equivalentes a unha dada

Números Naturais(NN) Un número natural é calquera dos números

0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito.

Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais.

O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta

Operacións de números naturais A suma de dous números naturais é

sempre outro nº natural O produto de dous nº naturais é

sempre outro nº natural A resta non sempre é posible entre

números naturais.

a-b é natural só se ba

Números enteiros negativos A cada número natural b distinto

de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b, chamado o oposto de b, que ten a propiedade

b + (-b) = 0

Números enteiros Ao conxunto dos números enteiros

represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z- e aos enteiros positivos con Z+.

ZZZ 0

Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un

enteiro.

Número Enteiros (ZZ) Aos números naturais e os seus

opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS

Representación na recta real

VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO

Números enteiros

Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así:

X

0XX =

X se X é positivo

-X se X é negativo

0X

Números fraccionarios Se a unha unidade a fraccionamos en n

partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por

Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é

e representa unha proporción da unidade

n

1

nm

8

2

TÉRMOS DUNHA FRACCIÓN

b

a NUMERADOR

DENOMINADOR

EXEMPLO:

5

3TRES

QUINTOS

Numerador

Denominador

¿Qué indica o denominador?

Indica as partes iguais en que se dividiu a unidade. Por exemplo.

A unidade dividiuse en 5 partes iguais ;cada parte é1/5

¿Que indica o numerador?¿Que indica o numerador?Indica o número de partes que se toman ou consideran da unidade dividida. Por exemplo

Se da unidade dividida se toma 3 partes entonces a fracción será 3/5

3/5

Números fraccionarios Se se multiplica ou divide numerador e

denominador dunha fracción por un mesmo nº(r) distinto de cero, a fracción non varía

n

m

rn

rm

n

m

rn

rm

Fraccións equivalentes Dúas fraccións e son equivalentes

ou iguais se se cumple:

b

a

d

c

cbda

b

a

b

a= cbda

Suma e resta de fraccións con igual denominador Súmanse ou réstanse os numeradores e

ponse o mesmo denominador

Ex:

d

cba

d

c

d

b

d

a

5

9

5

137

5

1

5

3

5

7

NON SE ELIMINAN DENOMINADORES

Suma e resta de fraccións con distinto denominador Substitúense por fraccións

equivalentes que teñan o mesmo denominador

Para elo. calculamos o m.c.m dos

denominadores O novo denominador común de todas será o m.c.m Dividimos o m.c.m entre o denominador de cada

unha e multiplicamos ese cociente polos numeradores

Sumamos e restamos numeradores e poñemos o mesmo denominador

Suma e resta de fraccións con distinto denominador Ex:

8

7

12

5

4

3

4=22 ; 12 = 22.3 ; 8 =23.

m.c.m(4,12,8) = 23.3 =24

24

29

24

211018

24

21

24

10

24

18

SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA

Produto de dúas fraccións Multiplícanse os numeradores e os

denominadores

Ex:

db

ca

d

c

b

a

35

12

57

43

5

4

7

3

PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m


División de dúas fraccións Multiplícase a primeira pola inversa da

segunda

Ex:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

28

15

47

53

4

5

4

3

5

4

7

3

PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m


Operacións combinadas de fraccións Se só hai sumas e restas entre

parénteses ou corchetes Quitamos os parénteses, corchetes, etc aplicando

as regras dos signos Sumamos ou restamos as fraccións resultantes

Ex:

20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3

20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3

20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3

Operacións combinadas de fraccións

Se hai produtos e/ou divisións entre parénteses:

SEGUIMOS A XERARQUÍA DE OPERACIÓNS:

1. Parénteses2. Produtos e divisións(de esquerda a

dereita)3. Sumas e restas (de esquerda a dereita)

Operacións combinadas de fraccións

Ex:

6

3

3

2

3

1

6

30

3

1

5

2:

6

1

3

1

3

2

3

1

2

3

6

21

3

1

5

2:

3

2

3

2:

1

Ejercicios

3

1 : .

3

7 a)

7

4

5

3

13

3

5

3

7

1- .

7

13- : -

2

7 . 2

. : 3

11

b)

3

7

3

2

1

6

1

809

71

5

3

Cada punto da recta correspóndese cun número real.Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade.

0 1-2 -1 32

Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos,

e cara a esquerda para os negativos.

Representación dos nº reais na recta real

Racionais comprendidos entre 0 e 1Racionais comprendidos entre 0 e 1

Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador.

Representaremos:

1ba

0 ba 53

•Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita.

0-1 21

•Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador.

5

3

53

•Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división.

•Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador.•O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real.

Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales, vexamos outro exemplo:

Racionais comprendidos entre 0 e 1.Racionais comprendidos entre 0 e 1.

114

Representaremos:

0-1 21

11

4

•Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita.

•Dividímola en 11 partes.

•Unimos a última división co punto 1.

•Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4.

114

Racionais maiores co 1Racionais maiores co 1Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador.

1ba ba Representamos:

725

•Efectuamos a división enteira (sen decimales).

25 7

3214

74

3725

•Representamos 7

4

32 54

7

4

725

a partir de 3.

Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda.

Racionais negativosRacionais negativos

•Efectuamos a división enteira (sen decimais).

25 7

3214

74

3725

•Representamos 7

4

-3 -2-5 -4

7

4

725

a partir de

Representamos:725

3

Irracionais co teorema de Pitágoras 1Irracionais co teorema de Pitágoras 1

•Trátase de representar números radicais do tipo:

13

ab

c

222 cba

Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3.

22 cba

22 3213

0 3

2

13

•Debúxase a recta real. •Márcase un dos números (3) e

trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta.

•O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo

•Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta. 13

a

•Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando.Por

ejemplo:

Usando o teorema de Pitágoras 2Usando o teorema de Pitágoras 2 a b

c

222 cba

22 cab

21 22 25

0 2

21

215 •Prestade atención á

construción do debuxoc

a

2225221

IntervalosIntervalos

Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b.

}bxa/Rx{)b,a(

•A este conxunto non pertenecen os extremos.

a b

Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. }bxa/Rx{b,a

•A este conxunto si pertenecen os extremos.

a b

Intervalos semiabertos ou semicerrados.

}bxa/Rx{b,a }bxa/Rx{b,a

a b a b

Aberto pola esquerda

Aberto pola dereita

SemirrectasSemirrectasNunha semirrecta atópanse tódolos números menores ou maiores ca un nº dado

c

Semirrecta pechada positiva

Semirrecta pechada negativa c

Un dos extremos do intervalo é sempre +∞ ou - ∞

cx/Rx,c Semirrecta aberta positiva

c cx/Rx,c

cx/Rxc,

c

Semirrecta aberta negativa cx/Rxc,

Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais

a é o numerador e b o denominador

Números racionais(QQ)

e e

Expresión decimal dos números racionais

Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador

Expresión decimal limitada (exacta) Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero Expresión decimal ilimitada periódica

pura Ex: 8/3 = 2,666…= No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma ,

unha cifra ou grupo de cifras (6)que se repite indefinidamente (período)

Expresión decimal ilimitada periódica mixta

EX: 23/6 = 3,8333…= No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras(3)

que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras(8) chamada anteperíodo

Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional

Ex Л = 3,141592… ;

Tipos de expresións decimais

62,

383

,

...,414213512

¿Cómo saber o tipo de expresión decimal sen dividir?

Factorizamos os denominadores Se o denominador contén só os factores 2,5 , ou ambos ,

é decimal limitada.

Ex: 2/25 ; 13/4 ; 324/500 Se o denominador non contén os factores nin 2 nin 5, é

periódica pura Ex: 2/3 ;2/21 Se o denominador contén os factores 2 e 5 ademáis

doutros factores, é periódica mixta E: 2/30 ; 7/ 110

É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal

Simplificamos a fracción obtida Demostración:X = 2,25.100 X = 225

Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado

4

9

100

225X

Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro É unha fracción que ten por numerador a parte enteira

seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período

Demostración: X = 2,43 43 43….100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade

seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira)

Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal100 X = 243,43 43 43…. X = 2,43 43 43…. 99 X = 243-2

Se podemos simplificamos

99

241

99

2243

X =

Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto

É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo.

Demostración: X = 2,4 56 56 56…. 10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos

ceros necesarios para pasar a periódica pura)Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros

necesarios para pasar o período para a parte enteira1000 X = 2456,56 56 56…. 10X = 24, 56 56 56… 990 X =2456-24

Se podemos simplificamos

990

2432

990

242456

X=

Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica

Non se poden escribir en forma de fracción Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar Redondeo:

Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está

Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior

Ex: = 1,7320508…

Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5)Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5)

Números Irracionais(II)

3

Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados Ex: = 1,25992105…

3 2

APROXIMACIÓN

POTENCIAS INTERVALO

Enteira 13=1; 23=8 1 < <2

Decimal1,13=1,3311,23=1,7281,33=2,197

1,2 < <1,3

centesimal1,243=1,9071,253=1,9531,263 =2,0004

1,25 < < 1,26

3 2

3 2

3 2

1 2

Determinación de intervalos encaixados

1.2

1.3

1 2.1 .2 .9.3 .8.4 .7.6.5

3 2

Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple: Cada intervalo está contido no anterior A diferenza entre os extremos tende a 0

“Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real”

Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)

FinFin

NUMEROS REAIS

Education