Primos gemelos Hay algunos nmeros primos particularmente
interesantes. Por ejemplo, 2 y 3 son los nicos primos seguidos.
Pero hay un gran nmero de pares de nmeros primos que difieren en
dos unidades, por ejemplo:3 y 55 y 711 y 13etc.Cuando dos nmeros
primos se diferencian en dos unidades, como los anteriores, se dice
que son "primos gemelos". En esta actividad vamos a buscar alguno
ms y descubrir algunas interesantes propiedades de estos
nmeros.
Preguntas1. Busca todas las parejas de primos gemelos
comprendidas entre 1 y 100. Para ayudarte un poco puedes hacer clic
sobre la casilla de verificacin de "Primos". Utiliza la herramienta
"Tapa primos" para ir sealando los nmeros primos gemelos. Cuando
los tengas todos, comprueba tus resultados haciendo clic sobre la
casilla de verificacin. 2. Completa la siguiente tabla con los
resultados que has encontrado en el apartado anterior.
ParejaSumaProducto
3 y 5815
5 y 71235
11 y 1324143
3. Observa los resultados que has obtenido al sumar las parejas
de primos gemelos. Dejando a un lado la primera pareja, encuentras
alguna relacin entre las sumas restantes? Explcala con tus
palabras.4. Observa ahora los productos. Encuentras alguna relacin?
Una pequea pista: suma una unidad a cada producto; al hacerlo
obtienes: 16,36,144... que, a su vez, son cuadrados de otros
nmeros:42,62,122... Compara estos nmeros con las sumas, ves ahora
alguna relacin? Cmo la expresaras?
124. LOS NMEROS AMIGOS
ndice del artculo
124. LOS NMEROS AMIGOS
Pgina 2: Solucin
Todas las pginas
Comprueba que 2.620; 2.924 y 17.296; 18.416 son parejas de
nmeros amigos. ( Como curiosidad se sabe que la ltima pareja fue
descubierta por el jurista y matemtico francs P. Fermat)
Desde muy antiguo los matemticos se han preocupado por los
distintos nmeros y sus propiedades; as hay nmeros pares, impares,
primos, amigos, abundantes, poligonales, etc.El filsofo griego
Jmblico atribuye el descubrimiento de los nmeros amigos al propio
Pitgoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente
ancdota: Siendo preguntado Pitgoras qu es un amigo?, contest Alter
ego. Por analoga aplic el trmino amigos a dos nmeros cuya suma de
partes alcuotas es igual al otroDos nmeros amigos son dos enteros
positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de
b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se
considera divisor propio, pero no lo es el mismo nmero).
Un ejemplo de nmeros amigos es el par (220, 284), ya que:
* los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,
44, 55 y 110, que suman 284 * los divisores propios de 284 son 1,
2, 4, 71 y 142, que suman 220
Para los antiguos griegos( los pitagricoS) los nmeros amigos
tenan muchas propiedades intrigantes. Alrededor del ao 850,el
filsofo rabe Tabit ibn Qurra descubri una frmula con la que podan
se podan hallar nmeros amigos:
Deca el sabio rabe que si se cumplan las condiciones
siguientes:
p = 3 2n-1 - 1, q = 3 2n - 1, r = 9 22n-1 - 1,donde n > 1 es
entero y p, q, y r son nmeros primos, entonces 2npq y 2nr son un
par de nmeros amigos.
Esta frmula genera los pares (220, 284), (1.184, 1.210),
(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). Mientras que el par de
nmeros amigos (6.232, 6.368) no se puede hallar por la frmula
anterior. Hay que sealar que : no todos los nmeros amigos se
obtienen con el procedimiento de Tabit, pero si son amigos todos
los nmeros que se obtienen con dicho procedimiento.Por otra parte
hay que saber que la pareja de nmeros amigos ( 220 y 284) ya era
conocido por los griegos. El siguiente par de nmeros amigos fue
descubierto en el siglo XIII y redescubierto por Fermat en 1636
(los nmeros 17.296 y 18.416). El filsofo francs R. Descartes
descubri el siguiente par: 9.363.584 y 9.437.056. Hay que resear
que estos grandes pensadores se saltaron el par de nmeros amigos
1.184-1.210 que fue descubierto por un nio italiano de 16 aos
llamado Niccol Paganini.Para finalizar esbre breve resumen no hay
que olvidar al gran L. Euler, puesto que l trabajo incansablemente
tratando de encontrar frmulas para encontrar nmeros amigos. Los
nmeros sociables son una generalizacin de los nmeros amigos. Tres o
ms nmeros se dice que son sociables si la suma de los divisores del
primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del ltimo
el primero.Respecto al problema que nos ocupa tenemos que calcular
nicamente los divisores de cada nmero y ver qu ocurre.- El nmero
2.620 tiene exactamente 11 divisores( si excluimos el 2.620), los
divisores son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 131, 262, 524, 655 y 1.310
La suma de dichos divisores es igual a 2.924
- El nmero 2.924 tiene tambin 11 divisores ( si excluimos el
2.924), los divisores son:1, 2, 4, 17, 34, 43, 68, 86, 172, 731 y
1.462
La suma de dichos divisores es igual a 2.620
Luego efectivamente 2.620 y 2.924 son nmeros amigos.La otra
cuestin se hara igual, pero con un poco ms de paciencia.
NUMEROS SIMPATICOS
Un nmero de Friedman simptico es tal que los dgitos en la
expresin pueden ser reordenados para que se encuentren en el mismo
orden de aparicin que en el propio nmero. Por ejemplo, podemos
reordenar 127 = 27 - 1 como 127 = -1 + 27. Todas las expresiones
para esta clase de nmeros menores de 10000 involucran adiciones y
substracciones. Los primeros nmeros de esta clase son:
127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864,
3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585,
15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626,
15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688,
16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739
(secuencia A080035 en OEIS
Un nmero entero positivo es "simptico" si es mltiplo del
producto de sus cifras. Por ejemplo 312 es "simptico" porque312 =
52(3x1x2). Cuntos nmeros simpticos de dos cifras existen?
Hoy vamos a hablarles de los nmeros de Friedman. Puede haber
nmeros de Friedman en distintas bases, pero aqu nos referiremos
nicamente a los de base 10Un nmero entero se dice que es de
Friedman si podemos escribirlo utilizando sus mismos dgitos junto
con cualquiera de las cuatro operaciones aritmticas (+, -, ?, ) y
en ocasiones con potencia.Para entenderlo veamos unos ejemplos: los
cuatro primeros nmeros de Friedman (ms pequeos) son:25 = 52121 =
112125 = 51+2126 = 6 * 21Y el siguiente es el que da ttulo a
nuestro post:127= 27-1127 se dice tambin que es simptico (y es el
menor de ellos) porque podemos reorganizar las cifras de forma que
mantengan el orden en que aparecen en el nmero (1-2-7) ya que
podemos escribir:127= -1+ 27Aqu tenis la lista de los primeros 45
nmeros de Friedman (en negrita los que son simpticos)25, 121, 125,
126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024,
1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827,
2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507,
2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159.El que quiera
entretenerse, al estilo del post del reloj de 3 nueves, puede jugar
a encontrar las expresiones de Friedman para algunos de esos
nmeros. Y para los que no tengan ganas de intentarlo, aqu tenis las
soluciones.Ah, y como curiosidad, todos los nmeros romanos con ms
de un smbolo son nmeros de Friedman de forma trivial. Prueben si
no. Mira ste vdeo, qu moln:
NMEROS ENAMORADOS Una maana tan claracomo jams yo recuerdo,te
jur pan y cebolla,ternura y amor eterno.
Dos presentes cautivaron,al nacer, nuestros sentidos.De su andar
y su futurosomos aliento y camino.
Tres tesoros engalananmi corazn, donde anidan,y a la sombra de
sus besosvoy celebrando la vida
Cuatro almas anudadasen abrazos sonrientescompartimos
alegrasdesde octubre hasta septiembre.
Cinco continentes faltanen el mundo que yo anhelopara llenarlos
de amigos,de paz, de risas, de sueos.
Seis meses respiro calmay otros tantos me la inventopara besar
tus pestaascada da que despierto.
Los nmeros son regalosy su suma un homenajea los aos que
cumplimosinspirando el mismo aire.
Los nmeros ensean que hacer para dejarlo ms enamorado
Los fracasos pasados pueden influir sobre nuestra voluntad de
emprendimiento futuro al hacernos pensar que nuestras posibilidades
son inferiores a la realidad. Esta pequea historia, que he escrito
y ampliado ligeramente para ustedes, trata de dos valores
importantes para emprender: constancia y voluntad. Respecto a las
conclusiones que cada uno saque la suya. En el circo todo pareca
divertido: los payasos caan al suelo mientras rean a carcajadas y
una mujer haca malabares encima de un caballo. A travs los ojos de
los nios todo resultaba fascinante pero al final del espectculo uno
de estos jvenes observ con cierta tristeza a un elefante que se
miraba su pata encadenada. No poda imaginar por qu aquel tremendo
animal de fuerza descomunal poda estar preso por una simple cadena
as que dirigindose a su padre expres su duda: Por qu no se libera
el elefante? No se debe querer ir. Estar contento aqu porque le dan
bien de comer .- Dijo el padre intentando alejar a su hijo de la
barrera que les separaba del paquidermo. Pero no parece feliz.
Estar cansado porque acaba de trabajar. Al fin, con un ligero
empujn fraternal, reemprendieron su camino.Ambos se alejaron de all
aunque el padre ech una mirada atrs e imagin la historia de aquel
animal. Era algo triste que no quera decirle a su hijo pues podra
estropearle una tarde magnfica. Aquel elefante lleg siendo una cra
y fue encadenada a un poste por una cadena mucho menos resistente
que la actual pero que era incapaz de romper. Los intentos por
soltarse fueron constantes durante das y noches hasta que una maana
simplemente dej de luchar. Con el paso del tiempo el elefante iba
hacindose ms y ms poderoso y las cadenas relativamente ms fciles de
romper. No obstante, en la mente del elefante exista una prisin
mucho ms poderosa: el pensamiento de que nunca podra
romperlas.Ahora que haba desechado la idea de huir se haba
abandonado a su suerte. Ignoraba que si usara el empeo que utiliz
siendo una cra podra arrancar el poste, romper la cadena y arrancar
la carpa del circo. Haba olvidado incluso por qu huir pues ya no
tena ningn sentido planterselo. Era prisionero por las limitaciones
que se haba impuesto a s mismo por los fracasos del pasado. Desde
que se rindi ya podan quitarle las cadenas sin problemas.Unas
semanas ms tarde, en la playa, el padre pudo ver cmo su hijo se
sentaba con los brazos cruzados en la hamaca con el baador y parte
del pecho llenos de arena. Pareca molesto por algo as que le
pregunt con cario: Est todo bien? No! Cuntame hijo qu pas? Hice un
castillo de arena y un nio lo tir. explic airadamente mientras
sealaba a un punto inexacto de la playa. Pero hijo, no pasa nada.
Haremos otro. No quiero. Seguro que me lo vuelven a romper.Los
brazos volvieron a cruzarse y baj la mirada. Ante esto, el padre
record al elefante derrotado por s mismo y se levant sonriendo:
Ven, hijo. Te voy a ensear una cosa.Lo acerc a la orilla y con un
cubo comenz a construir un nuevo castillo que fue destruido por una
ola al poco tiempo. El nio miraba serio con los brazos cruzados
aunque escondiendo una pequea sonrisa. Sin decir una palabra su
padre volvi a hacer otro castillo y en esta ocasin aadi una fosa
alrededor a la que caa el agua de las olas. Pese al rpido esfuerzo
el agua desbordaba y con algo de tiempo el castillo se
desmoronaba.El hijo no tard en involucrarse en aquel juego y ya
eran cuatro las manos que cavaban rpidamente la fosa antes de que
llegara la siguiente ola. Rindose y jugando sin palabras se estaba
transmitiendo una frase de la madre Teresa de Calcuta que el padre
tena muy presente: Lo que tardaste aos en construir puede ser
destruido en una hora. An as, construye Emprender es aguantar,
seguir adelante levantndose tras algunas cadas y aprendiendo de
ellas. Es liberarse de las limitaciones del miedo y luchar por no
ser atado por las grandes cadenas de nuestras dudas. Mientras
jugaban, el padre miraba a su hijo pensando que nunca dejara que se
autoimpusiera limitaciones. Deba saber perder pero sin olvidar cmo
se gana: luchando. Al final se haban olvidado de los castillos
rotos y simplemente competan contra el mar. Y aquella leccin, que
nunca se expres con palabras, fue probablemente la ms importante
que aprendi de su padre.
El nmero pentagonal es aquel nmero figurado que puede ser tanto
un nmero triangular, como un nmero cuadrado, pero cuyos patrones
usados en su construccin no son simtricamente rotacionales.
Se sabe que el n-simo nmero pentagonal pn es el nmero de
distintos puntos en un patrn de puntos, el cual consiste en el
contorno de pentgonos regulares cuyos lados contienen de 1 a n
puntos, superpuestos, de forma que tienen en comn el vrtice. Para
demostrar esto un ejemplo: el tercero de ellos est formado de
contornos compuestos por 1,5 y 10 puntos respectivamente, pero el
1, 3 puntos del de 5, coinciden con 3 del de 10, dejando 12 puntos
distintos, 10 en forma de pentgono, y 2 dentro de el y asi
sucesivamente.
Tambin cabe mencionar que el n-simo nmero pentagonal es la
tercera parte del (3n-1)-simo nmero triangular.
Se considera que los nmeros pentagonales son muy importantes en
la teora de particiones de Euler, como est expresado en su teorema
del nmero pentagonal.
Para poder hallar el ensimo nmero pentagonal, se puede seguir la
siguiente frmula:
P 1= 1P2 = 1+4P3 = 1+4+7P4 = 1+4+7+10P5 = 1+4+7+10+13
Nmero 32
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- El nmero 32 treinta y dos es el nmero natural que viene luego
del treinta y uno y antes del treinta y tres.
- El nmero 32 treinta y dos es un nmero compuesto, que tiene los
siguientes factores propios: 1, 2, 4, 8 y 16.
- El nmero 32 treinta y dos ebido a la suma de sus factores es
31 < 32, se trata de un nmero defectivo.
- El nmero 32 treinta y dos es la quinta potencia de dos.
- El nmero 32 treinta y dos es un nmero de Leyland ya que 24 +
42 = 32.
- El nmero 32 treinta y dos es el nmero atmico del germanio
(Ge).
- El nmero 32 treinta y dos es el cdigo telefnico internacional
de Blgica.
- El nmero 32 treinta y dos es la temperatura en Fahrenheit a la
cual el agua se hace hielo.
- El nmero 32 treinta y dos es el nmero total de piezas en el
ajedrez.
- El nmero 32 treinta y dos es ek nmero de dientes que tiene un
humano.
- El nmero 32 treinta y dos es el nmero del mrtir o el redentor,
es un nmero de pruebas. - El nmero 32 treinta y dos tiene las
caractersticas del 5 super agudizadas. Necesita estar rodeado de
belleza y armona.
- El nmero 32 treinta y dos segun el significado de los sueos el
32 es dinero parece que en el tarot se suma el 32 seria 3+2 = 5
La causa quinta es la energa que se proyecta en todo el proceso
de la creacin y da lugar a la inteligencia que gua el proceso
creador con el fin de expresar la conciencia.
Es la capacidad de adaptacin que tiene la vida y la naturaleza
en cualquier ambiente hostil capaz de transformarlo y hacer de l un
lugar habitable mediante una gestin impecable de la energa.
Nmero 5
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El nmero 5 dentro del simbolismo cosmologico tiene un papel muy
importante. Tambin es muy sabido que existen tradiciones con los
elementos que conforman el mundo sensible en base al nmero 5.
Por ejemplo los hindus hablan de los cinco bhutas conocidos como
elementos densos, estos son el etr, el aire, el fuego, el agua y la
tierra, mientras que los chinos tienen los cinco wu hsing o
elementos mundanos (relacionados al mundo) que son el agua, el
fuego, el metal, la madera y la tierra, por otra parte dentro del
cristianismo medieval se tienen a los cinco elementos que son
quintaesencia, el aire, el fuego, el agua y la tierra.
Tambin dentro de la tradicin hind, el vocablo pacha (cinco)
adems de estar presente en la cosmologa se encuentra en las
ciencias, artes y tcnicas como la astrologa, esto es as:
- Pachadasha: el decimoquinto da de la quincena lunar; pachanga,
calendario o almanaque.- Ayurveda o medicina: pachakarman, los
cinco tipos de tratamiento; pachagni, los cinco fuegos del cuerpo
humano, pachaprana, los cinco aires vitales.- Pachakola (diettica)
con cinco especias: pachatikta, las cinco cosas amargas.-
Psicologa: pachaklesha, los cinco tipos de dolor; pachaindriya, los
cinco rganos de los sentidos.- Ritualstica: pachagavya, los cinco
productos de la vaca usados en el ritual vdico. Pachatirthi: los
cinco principales lugares de peregrinacin; pachama-kara, los cinco
componentes del ritual tntrico.- Politica: pachavarga, los cinco
tipos de espas.
Dentro de la cultura hind el nmero cinco tambin est presente en
los nombres de algunas deidades, como Shiva, como Pachamuhka
(figura de los cinco rostros) y Pachamantra-tanu (su cuerpo tiene
de cinco mantras).
Es bien sabido que el nmero cinco tambin est presente en la
naturaleza, es decir cada ser y sus partes, por ejemplo una persona
tiene cinco miembros (1 cabeza, 2 brazos y 2 piernas), cada manos y
cada pie tiene cinco dedos. Todas las plantas cuentan con cinco
partes (raz, tronco, hoja, flor y fruto), dentro de lo que son
minerales por ejemplo los cristales de pirita siguen un patrn
pentagonal.
Pero el nmero cinco es ms resaltante en lo que se refiere a la
cosmologa, explicando la importancia del pentgono y de la estrella
de cinco puntas. Se considera que la estrella de cinco puntas es un
simbolo de Shiva y sus cinco rostros que son el productor, el
conservador, el destructor, el ocultador y el que otorga
gracia.
Adems el nmero 5 era el smbolo con el cual se podia identificar
a la escuela de los pitagricos, quienes daban carcter teraputico al
conocido pentagrama que es considerado como el signo del
hombre.
Cuando el nmero 5 es invertido dentro del mundo de la magia, se
considera como el signo del Macho Cabro.
Nmero Ggol
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El nmero 10 tambin conocido bajo el nombre de nmero Ggol que en
ingles es googol, es un nmero descubierto en el ao de 1938 por
Milton Sirotta, quin increiblemente era un nio de tan solo 9 aos,
quin dice que:
1 ggol es equivalente a 10^100, lo que equivale a:
10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
Esto quiere decir que usando la forma oral y literal de los
nmeros se tiene que: un 1 continuado de seis ceros equivale a un
milln, luego un 1 continuado por doce ceros equivale a un billn,
entonces un 1 seguido de dieciocho ceros equivale a un trilln,
mientras que un 1 continuado de veinticuatro ceros viene a ser un
cuatrilln, un 1 seguido de treinta ceros es llamado un quintilln, y
as sucesivamente en las potencias del milln, de tal forma que un
Ggol es equivalente a diez mil hexadecillones. En resumen un ggol
es igual a un 1 que est seguido por cien ceros, o que en notacin
cientfica, un ggol es un 1 por diez a la cien.
Cabe resaltar que tan la forma oral, como la forma escrita de
los nmeros en ingls usa otro sistema, por ejemplo en espaol es un
billn, mientras que en ingls los billones son llamados como miles
de millones y en espaol son conocidos como millones de
millones.
Otra cosa que saber del nmero Ggol (10^100) es que fue utilizado
por el buscador ms reconocido y utilizado del internet, es decir
que este buscador toma el nombre de este super famoso nmero, pero
comete un error ortogrfico, siendo as que el buscador queda con el
nombre de "Google", entonces este nmero se entiende como si fuera
la idea del infinito.
Dentro de las matemticas el ggol no tiene mucha importancia, as
como tampoco tiene algn uso prctico, tan solo fue creado para
demostrar la diferencia que existe entre un nmero inimaginablemente
grande y el infinito, solo con este motivo es raramente usado en
las matemticas.
Se considera que un ggol tiene un valor mucha mayor al nmero de
tomos del universo, tambin se debe de saber que la figura geomtrica
regular que posee un ggol de caras, recibe el nombre de gugoledro o
tambin el nombre de googoledro, esta figura geomtrica tendra o
podra ser representada como una esfera, debido al infinito nmero de
caras que posee esta figura geomtrica.
Nmero 4
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- El nmero 4 es aquel nmero natural, que viene a continuacin del
tres y antes del cinco.
- El nmero 4 es el primer nmero compuesto, entonces sus
divisores son el 1, el 2 y el mismo.
- El nmero 4 debido a que la suma de sus divisores es 3 < 4,
es considerado como un nmero defectivo.
- El nmero 4 es el segundo cuadrado perfecto.
- El polgono que tiene 4 lados se llama cuadriltero.
- El poliedro que tiene 4 caras es un tetraedro.
- En el caso que se multiplique un nmero por 4 se obtiene el
cudruple del nmero inicial, y divide un nmero por 4 se obtiene un
cuarto del nmero inicial.
- Son 4 los elementos: tierra, agua, aire y fuego.
- El nmero 4 en la simbologa cristiana se ve en:
* El Gnesis describe que en el Jardn del Edn nacen 4 ros en
direccin a los 4 puntos cardinales. Esos 4 ros son: el Pisn, el
Guijn, el Hiddekel, y el Prat.* Hay 4 Padres de la Iglesia
principales.* Hay 4 Evangelios cannicos cristianos, atribuidos a
los cuatro evangelistas (Mateo, Marcos, Lucas y Juan).* En el
Apocalipsis de Juan Evangelista se dice que eran 4 seres vivientes
llenos de ojos por delante y por detrs: 1 semejante a un len, 2
Semejante a un toro, 3 Semejante a un hombre, 4 Semejante a un
guila.* Los Cuatro Jinetes del Apocalipsis: guerra, hambre, peste,
muerte.
- El nmero 4 en la religin budista ve las cuatro nobles
verdades.
- En la cultura china, se considera al 4 como un nmero de mala
suerte debido a su similitud fontica con la palabra que significa
muerte.
- En Japn, se considera mal presagio recibir un regalo compuesto
de 4 partes o piezas.
- En idioma rabe 4 se dice arba, origen del espaol arroba (4
arrobas = 1 quintal) cuyo smbolo @, y a travs del ingls ha dado la
vuelta al mundo; siendo junto con $ (pesos) y & (et, en latn y)
los smbolos espaoles ms exportados a otras culturas.
- El 4 corresponden al signo astronmico de Jpiter.
Nmero 4444
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El nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro en lo que respecta a lo
celestial, significa que los ngeles se encuentrn rodendo a la
persona que tiene este nmero en su vida, adems que ayuda a
reafirmar el amor y ayuda.
Este nmero (el cuatrocientos cuarenta y cuatro )adems manifiesta
la ayuda de los ngeles cerca de la personay algunas veces se
considera como una seal de los ngeles al estar en desacuerdo con
los pensamientos y con los sentimientos, es decir que puede llegar
a ser interpretada como una negacin de la parte csmica a las
preguntas que una persona se hace o de las ideas que esta pueda
tener.
En lo que respecta a lo que es numerologia angelical, el nmero
cuatrocientos cuarenta y cuatro significa la proteccin de los
ngeles en todo momento.
El nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro dentro de lo que es la
escuela del misterio descifra lo que esta ocurriendo en la vida,
esto lo descifra como una leccin para poder aprender sobre la
realidad.
Tambin el nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro es considerado
como el nmero de la resurreccin, en otras partes del mundo se
considera que este puede ser un nmero angelical.
Nmeros Capicas
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El nmero capica, es un nmero palndromo, que debe su nombre a las
palabras catalanas "cap" y "cua" que significan cabeza y cola.
Un nmero capica hace referencia a cualquier nmero simtrico que
puede ser leido de la misma forma as sea de izquierda a derecha,
como de derecha a izquierda, para entender mejor este nmero
especial veamos los siguientes ejemplos:
- 353.- 1309031.- 1771.
Entonces se entiende que el trmino de un nmero capica debe su
originen a la expresin que posee, adems este nmero simtrico puede
ser escrito en cualquier base de tal forma que se cumpla que :
a1a2a3...|... a3a2a1.
Existen algunas normas para poder determinar si un nmero es
capica o no, estas son:
- Que todos los nmeros que tiene base 10 y que van acompaados de
un dgito como el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, es considerado como
un nmero palindrmicos.
- En total son nueve nmeros capicas que tienen dos dgitos, pero
si se incluyen los ceros en la parte izquierda seran diez los
nmeros de este tipo, siendo estos: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y
99.
- Se tiene 93 dgitos en total ( aunque si se incluyen los ceros
a la izquierda seran 100 dgitos) dentro de los mil primeros nmeros,
estos son : 101, 111, 121,..., 181, 191, 202, 212,..., 292, 303,
313,..., 898, 909, 919, 929,..., 979, 989, 999.
- Dentro de los diez mil primeros nmeros, son un total de 94
dgitos o 100, al incluir los ceros a la izquierda, estos nmeros
son: 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881,
1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889,
9999.
- Mientras que son un total de 905 dgitos y 1000, si se incluyen
los ceros a la izquierda, dentro de los primeros cien mil primeros
nmeros, siendo estos los siguientes nmeros capicas: 10001, 11011,
11111, 11211, 11311, 11411, 11511,..., 99999.
Existe una regla que dice que los nmeros capicas dice que al
tomar un nmero al azar, que tenga ms de un dgito, luego es puesto
al revs y pasa a ser sumado hay una posibilidad que de como
resultado un nmero capica, por ejemplo:
21 + 12 = 33204 + 402 = 606
Existe otra forma de obtener un nmero capica, esto se logra
partiendo de los nmeros triangulares como los siguientes: 1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, etc.
Aunque tambin otra manera de obtener un nmero capica es que a
partir de un nmero dadose le adiciona el nmero que resulta de
invertir el orden de sus cifras, este proceso se repite la cantidad
de veces que sean necesarias hasta poder obtener un nmero capica,
pars entender esto veamos el siguiente ejemplo:
Se tiene el nmero 96:
96 + 69 = 165 ---> 165 + 561 = 726 ---> 726 + 627 =
1353,
Por ltimo se tiene:
1353 + 3531 = 4884
Nmeros Triangulares
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El nmero triangular es aquel nmero que puede ser recompuesto en
la forma de un tringulo equiltero, siendo el primer nmero
triangular el 1, los nmeros triangulares fueron de estudiados por
Pitgoras quien consideraba un nmero sagrado al 10 cuando este es
escrito en forma triangular, este nmero es conocido como Tetraktys
o triann.
Un nmero triangular representado por el smbolo Tn se encuentra
definido en la siguiente frmula:
Segn la ecuacin de RamanujanNagell, se considera que el nmero
triangular ms grande puede ser representado mediante la frmula 2k 1
es 4095.
Entonces cabe destacar que un nmero triangular es aquel nmero
que puede ser representado a travs de un patrn triangular que posee
puntos espaciados de forma equilibrada.
Adems los nmeros triangulares pueden ser obtenidos gracias a la
expresin:
[(n+1)(n+2)] /2;
Donde "n" es un numero natural mayor o igual que 1.
Un nmero triangular es aquel nmero de puntos que son
distribuidos en la forma de un tringulo perfectamente de lados
iguales.
Algunos ejemplos de nmeros triangulares se ven a
continuacin:
- El nmero tres, es considerado como un nmero triangular con 2
lados, debido a que puede ser descompyesto en: 3= 1 +2
- El nmero seis, tambin es un nmero triangular, pero este cuenta
con 3 lados, debido a que se descompone en: 6= 1+2+3
Existe una propiedad de los nmeros triangulares, la cual dice
que si se suman dos nmeros triangulares consecutivos, se llega a
tener como resultado un nmero cuadrado, por ejemplo, si se sumas,
3+6, se tiene como resultado el nmero cuadrado 9.
Nmeros Cuadrados
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El nmero cuadrado, es un concepto dado en la rama de lo que son
las matemticas, lo que corresponde al concepto de un nmero
cuadrado, es la definicin de un nmero entero que viene a ser el
cuadrado de algn otro nmero, para que se entienda un nmero cuadrado
es aquel nmero cuya raz cuadrada es un nmero entero.
Se entiende que es posible que un nmero cuadrado es considerado
como un cuadrado perfecto, siempre y cuando se puede ordenar dentro
de una figura cuadrada y los resultados sean exactos.
Se considera que un nmero libre de cuadrados es aquel nmero
entero positivo que no posee divisores cuadrados, exceptuando el
1.
Existe el teorema de los cuatro cuadrados, este es el teorema de
Lagrange, el cual determina que cualquier nmero entero positivo es
posible que pueda ser escrito igual la suma de cuatro perfectos
cuadrados. Mientras que tres cuadrados no son suficientes para ser
representados como nmeros de la forma 4k(8m + 7). As tambin este
teorema dice que un nmero positivo puede llegar a ser representado
como la suma de dos cuadrados solo si la factorizacin en nmeros
primos no tiene potencias impares de la forma 4k + 3.
Algunas reglas que se tienen para determinar si un nmero es
cuadrado son las siguientes:
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 0, su cuadrado termina en
00 y los precedente dgitos deben ser tambin un cuadrado.
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 1 o 9, el cuadrado
termina en 1 y el nmero formado por su precedente debe ser
divisible por cuatro.
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 2 u 8, su cuadrado
termina en 4 y el precedente dgito debe ser un nmero par.
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 3 o 7, su cuadrado
termina en el dgito 9 y el nmero formado por su precedentes dgitos
debe ser divisible entre cuatro.
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 4 o 6, su cuadrado
termina en 6 y el precedente dgito debe ser impar.
- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 5, su cuadrado termina en
25 y los precedentes dgitos deben ser 0, 2, 06, o 56.
En resumen un nmero cuadrado es entendido como el producto de
dos enteros idnticos, otro concepto es que los nmeros cuadrados
pueden ser representados siempre por puntos en la forma de un
cuadrado.
Por ltimo un nmero cuadrado es el resultado de la multiplicacin
de un nmero por s mismo, como se ve en la siguiente formula:a a =
a
Cabe mencionar finalmente que los nmeros cuadrados son aquellos
nmeros que tienen races cuadradas exactas.
Nmero Primo
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La definicin para un nmero primo consiste en explicar en que
este tipo de nmero es aquel nmero natural que es mayor a 1 y que
puede ser dividido solamente por dos nicos mmeros que son l mismo
nmero y el nmero 1.
Una de las excepciones es el nmero 1, ya que este singular nmero
es dividido por todos los nmeros hasta el infinito.
La primalidad es la propiedad de ser un nmero primo. Tambin
existe el nmero primo impar, el cual es aquel nmero primo mayor a
2.
Los nmeros primos han sido estudiados por muchos matemticos,
quienes han encontrado muchas teoras de esta clase de nmeros,
tambin han encontrado muchas hiptesis, como la de Riemann, la de
Goldbach, entre otras.
Aproximadamente en el ao 300 a. C., se da la primera prueba del
conocimiento de los nmeros primos, ya que el gran Euclides logra
definir este tipo de nmeros y los sustenta en los Elementos de
Euclides (tomos VII a IX), escritos en los que demuestra que
existen infinitos nmeros primos.
En resumen para entender mejor a los nmeros primos se sabe que
estos son los nmeros que tienen solo dos divisores, esto quiere
decir que pueden ser divisibles solamente por s mismos y por la
unidad.
Los siguientes nmeros son los nmeros primos menores a 100: 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Un par de ejemplos para entender de mejor manera lo que es un
nmero primo:
- El nmero 2 es divisible por s mismo y por 1 (unidad), por lo
tanto es un nmero primo.- El nmero 3 es divisible por s mismo y por
1 (unidad), por lo tanto es un nmero primo.- El nmero 4 es
divisible por s mismo, por 1 (unidad) y por 2, por lo tanto no es
un nmero primo.
Nmeros Binarios
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Un nmero binario es aquel valor numrico que pertenece al sistema
numrico, puede ser unicamente utilizado mediante dos dgitos
distintos los cuales son el 0 y el 1.
Un nmero binario es considerado como la base en todos los campos
aplicativos en lo que se refiere al estudio de las computadoras y
en electrnica, debido a que los dispositivos electrnicos pueden
representar de manera fcil dos estados distintos.
Los dgitos 0 y 1 que son los nmeros bases binarios pueden
representar por condiciones encendido/apagado en un circuito de
conmutacin electrnica, o por ausencia/presencia de magnetizacin de
un chip de memoria, un disco, o una cinta.
A continuacin mediante la tabla siguiente se demuestran los
valores de los nmeros binarios como el equivalente en los nmeros
decimales:
El nmero de Euler tambin conocido bajo el apelativo de nmero
neperiano, debe su nombre al matemtico Leonhard Euler, siuzo que
decifr este tipo de nmero a partir de dos formulas, una matemtica y
la otra fsica, formulaciones que se explican a continuacin:
Formulacin matemtica de los nmeros de Euler: segn esta frmula el
nmero de Euler es el resultado de la secuencia de E(n), es decir
que es la secuencia de nmeros enteros que se encuentran definidos
por el desarrollo de la serie de Taylor de la secante y de la
secante hiperblica, donde t viene a ser el ngulo del coseno
hiperblico.
El nmero de Euler tambin se encuentra entre los polinomios de
Euler, como valores impares, los cuales se obtienen con signos
alternados. A continuacin unos cuantos ejemplos:
E0 = 1E2 = 1E4 = 5E6 = 61E8 = 1.385E10 = 50.521E12 =
2.702.765E14 = 199.360.981E16 = 19.391.512.145E18 =
2.404.879.675.441
Formulacin fsica de los nmeros de Euler: segn esta formulacin se
tiene que este tipo de nmeros son adimensionales, que se usan en la
mecnica de fluidos, que adems ayudar a explicar la relacin entre la
prdida de presin en relacin con la energa cintica por el volumen
del flujo. Esto se explica con la siguiente frmula:
Donde:p : viene a ser la densidad del fluido.p(0) : viene a ser
la presin aguas arriba.p(1) : viene a ser la presin aguas abajo.v :
viene a ser la velocidad caracterstica del flujo.
Nmero 7
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El nmero siete "7" es un nmero muy utilizado en la cultura, ya
que se tiene que existen:
- Siete colores del arco iris:rojo, naranja, amarillo, verde,
azul, ndigo o ail y violeta.- Siete pecados capitales:soberbia,
avaricia, lujuria, ira, gula, envidia y pereza. - Siete das de la
semana:lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sbado y domingo.-
Siete sacramentos: bautizo, primera comunin,confirmacin,
matrimonio, penitencia, orden sacerdotal, uncin de los enfermos.-
Siete Chakras del cuerpo humano:Sajasrara chakra, Ag chakra,
Vishuddha chakra, Anajata chakra, Manipura chakra, Suadhisthana
chakra, Muladhara chakra.- Siete maravillas del mundo.- Siete notas
musicales: do, re, mi, fa, sol, la, si.- Siete planetas: marte,
mercurio, venus, jpiter, urano, neptuno y plutn.- Siete virtudes
cardinales: Contra la soberbia, humildad; contra la avaricia,
largueza; contra la lujuria, castidad; contra la ira, paciencia;
contra la gula, templanza; contra la envidia, caridad y contra la
pereza, diligencia. - Siete dones del Espritu Santo: Sabidura,
inteligencia, consejo, fortaleza, ciencia, piedad y Temor de Dios.
- Siete peticiones del Padre Nuestro.
Este nmero debe su origen a la popularidad que fue creada por
los antiguos astrnomos cuando vieron que las estrellas no podian
cambiar de posicin durante el ao pero observaron siete cuerpos
celestes que s lo hacan.
El nmero 7 tambin es considerado como nmero especial debidp a
que es el resultado de la suma de 3 (lo celeste) y 4 (lo terrenal),
por esto es considerado como un nmero perfecto, por que simboliza
la relacin de lo divino y lo humano, siendo el resultado la
creacin.
En la biblia tambin es un nmero muy comn en muchos libros, por
ejemplo en el Apocalipsis "se abren siete sellos antes de que se
desate la ira de Dios, que somete al mundo a siete juicios, 4 para
la naturaleza y 3 para el resto de las cosas y es escoltado por 7
ngeles que hacen sonar 7 trompetas para enviar 7 castigos sobre los
injustos".
Se sabe que William Shakespeare dividi la vida del hombre en 7
edades que seran: la infancia, la niez, el amante, el soldado, el
adulto, la edad avanzada y la senectud.
Tambin se sabe que el nmero siete es un nmero natural, continua
al 6 y precede al 8, se considera que el nmero 7 representa lo
bueno y el 8 lo malo. Tambin el nmero siete es el cuarto nmero
primo.
Nmero 10
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- El nmero 10 (diez) es el nmero natural que continua al nueve y
antecede al once.
- El nmero 10 en la numeracin romana se representa con una
X.
- El nmero 10 es un nmero compuesto, porque tiene los siguientes
factores propios: 1, 2 y 5.
- El nmero 10 debido a la suma de sus factores 8 < 10, se
trata de un nmero defectivo.
- El 10 es la base del sistema decimal.
- El 10 es el cuarto nmero triangular, despus del 6 y antes del
15.
- Un polgono de 10 lados recibe el nombre de decgono.
- El nmero 10 ha sido un nmero base de varias culturas y
civilizaciones
- El nmero 10 es el nmero de dedos que suman ambas manos.
- El nmero 10 es el primer nmero compuesto (1 y 0).
- El nmero 10 es el primer nmero de 2 cifras.
- El nmero 10 es el fundamento del sistema decimal.
- El nmero 10 es la base de la numeracin mgica.
- El nmero 10 es para los pitagricos, la suma de los
conocimientos humanos al ser la nueva unidad.
- El nmero 10 repetido 10 veces es 100.
- El nmero 100 repetido 10 veces da 1000.
- El nmero 10 contiene a todos los nmeros del mismo modo que las
categoras contienen todo lo conocido.
- El nmero 10 simboliza para los cristianos primitivos la ley de
Dios por los mandamientos. - El nmero 10 es llamado nmero
universal.
- El nmero 10 por contener a todos los restantes, se consideraba
como una representacin de la eternidad.
- El nmero 10 al estar compuesto por el 1 que significa Dios y
el 0, la nada, encierra en s la totalidad.
- El nmero 10 para Pitgoras, era la totalidad del cosmos.
- El nmero 10 en hebreo, corresponde con el nombre Iod, que en
griego es Iota y corresponde a nuestros sonidos Y, I, J.
- El nmero 10 para los griegos era la panteleia, es decir lo
completo, lo realizado.
- El nmero 10 para los mahometanos quiere decir que slo 10
animales admitidos en el paraso.
Nmero 100
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- El nmero 100 (cien) , tambin conocido o llamado como ciento,
es un nmero natural, el cual viene luego d- El nmero 99 (noventa y
nueve) y antes d- El nmero 101 (ciento uno).
- El nmero 100 tambin es representado por 10 en notacin
cientfica.
- El nmero 100 dentro del Sistema Internacional, recibe los
prefijos tpicos de hecto y cent o centi.
- El nmero 100 es un nmero compuesto.
- El nmero 100 tiene los siguientes factores propios: 1, 2, 4,
5, 10, 20, 25 y 50.
- El nmero 100 es un nmero abundante debido a la suma de sus
factores es 117 > 100.
- El nmero 100 es la fundacin del sistema de porcentajes.
- El nmero 100 es la suma de los primeros nueve nmeros primos
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23).
- El nmero 100 es un nmero octadecagonal.
- El nmero 100 es un nmero de Leyland ya que 26 + 62 = 100.
- El nmero 100 es el cuadrado de 10.
- El nmero 100 es el nmero atmico del fermio, un actnido.
- El nmero 100 es la temperatura en grados centgrados a la cual
el agua hierve a nivel del mar.
- El nmero 100 es el nmero de aos en un siglo.
- El nmero 100 es el nmero de divisiones de la mayora de las
divisas del mundo.
- El nmero 100 est presente en el refrn "Quien hace un cesto
hace ciento" y en Ms vale pjaro en mano, que ciento volando.
- El nmero 100 es el nmero de mujeres muertas en Nicaragua entre
enero y marzo del 2008 por la abolicin del aborto teraputico.
Nmero 12
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- El nmero 12simblicamente representa a la totalidad y eleccin.
- El nmero 12 es nombrado en la Biblia muchas veces por ejemplo:Las
12 tribus de Israel.Los 12 profetas menores del Antiguo
Testamento.Los 12 apstoles de Jess.Las 12 legiones de ngeles a la
disposicin de Jess.En el Apocalipsis se habla de 12 estrellas que
coronan a la Mujer, 12 puertas de Jerusaln, Los 12 frutos del rbol
de la vida. Las 12 estrellas que son, 12 horas diurnas y 12
nocturnas.Las 12 puertas de la Jerusaln Celeste.Los 12 Hermanos
Arvales (Antigua cofrada sacerdotal romana).
- El nmero es considerado como el nmero solar por excelencia y
una constante en la cultura mediterrnea.
- El nmero es smbolo del orden csmico, de la perfeccin y de la
unidad.
- El nmero se ve en la Bandera de la Unin Europea, que cuenta
con doce estrellas doradas.
- Los doce dioses griegos principales: Zeus, Hera, Apolo,
Afrodita, Atenea, Poseidn, Hefesto, Hermes, Ares, Artemisa, Demter
y Hestia.
- El nmero 12 es el nmero natural que viene despus del once y
antes del trece.
- El nmero 12 es un nmero compuesto, tiene los siguientes
factores propios: 1, 2, 3, 4 y 6. - El nmero 12 debido a la suma de
sus factores es 16 > 12, viene a ser un nmero abundante.
- El nmero es un nmero semiperfecto, por que la suma de sus
factores propios: 1, 2, 3 y 6 es igual a 12.
- El nmero es un nmero do-perfecto, debido a que la suma de
todos sus factores propios pares: 2, 4 y 6 es igual a 12.
- El poliedro que tiene 12 caras es llamado dodecaedro, sus
caras son de forma de pentgonos regulares.
- El nmero es el nmero atmico del magnesio (Mg).
- El nmero 12 es uno de los principales nmeros utilizados en la
historia de la humanidad. - En un ao la Luna gira unas doce veces
alrededor de la Tierra.
- Los antiguos astrnomos establecieran ms adelante los doce
signos del zodaco.
Nmero de Finonacci
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El nmero de Fibonacci es aquella sucesin de cifras que sigue la
siguiente frmula:
Fn = Fn-1 + Fn-2.
La sucesin de los nmeros de Fibonacci fue descrita por el
matemtico italiano Leonardo de Pisa, quin era conocido como
Fibonacci (en honor a este personaje es que estos nmeros reciben el
nombre).
Los nmeros de Fibonacci tiene muchas aplicaciones en las
matemticas, la teora de juegos, tambin aparece en configuraciones
biolgicas.
Segn esta frmula, la sucesin vendria a ser 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, etctera. de tal manera que cada elemento restante es la
suma de los dos anteriores o para entenderlo mejor sera decir que
la sucesin inicia con 1 y 1 , y a partir de ah cada elemento es la
suma de los dos anteriores.
Queda claro que los nmeros de Fibonachi, describen el
crecimiento de algo, pueden ser usados en los juegos de azar, en
clasificacin de datos o en mecanismos para recuperar informacin en
las computadoras, en los fractales. Tambin en algunas aplicaciones
de los nmero de cadenas de bits de longitud que no tienen ceros
consecutivos.
Adems los nmeros de Fibonacci tienen una gran cantidad de
propiedades y relaciones, algunas de ellas son muy evidentes, otras
pasan desapercibidas y otras son curiosas.
Pero se sabe que esta serie de nmeros fueron conocidos
anteriormente segn una frmula realizada por Binet en la cual indica
como calcular el -simo nmero de Fibonacci, una de esas formas es
siguiendo la siguiente frmula:
Para poder comprobar si un nmero entero positivo es o no un
nmero de Fibonacci, se debe seguir los pasos que propone la
propiedad siguiente:
" Si N es un nmero entero positivo, N es un nmero de Fibonacci
si y slo si 5.N(2)+4 5.N(2)-4 es un cuadrado perfecto".
Nmeros figuradosKarl Friedrich Gauss, llamado el Prncipe de las
Matemticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la
intencin de entretener a los nios mientras trabajaba, propuso a la
clase que sumaran todos los nmeros del 1 al 100. El profesor qued
sorprendido cuando Gauss, que tena 11 aos, dio la respuesta
correcta poco despus de ser formulada la pregunta. Seguramente,
Gauss procedi de la siguiente manera: S=101x50=5050 Seguramente
conocers los nmeros triangulares y cuadrados que fueron estudiados
por los Pitagricos en el s. VI a.C.Nmeros Triangulares:
Para los pitagricos el diez dispuesto en forma triangular
(triann) era una figura sagrada por la que tenan la costumbre de
jurar.Tabla de los nmeros triangulares:N1234...........n..
T13610Tn?..
Si observamos la naturaleza de los nmeros triangulares es fcil
reconocer las dos propiedades siguientes:Tn = Tn-1 + nTn = 1 + 2 +
3 + .... + n Basndote en la ltima propiedad, y procediendo como
Gauss, descubre la expresin del ensimo nmero triangular. Halla
tambin la expresin de los dos que le siguen.Nmeros cuadrados:
Tabla de los nmeros cuadrados:N1234...........n..
C14916...........n2..
Halla la expresin de los dos nmeros cuadrados que siguen al
ensimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.El esquema geomtrico
que muestra la figura siguiente manifiesta a relacin entre los
nmeros triangulares y los cuadrados:
Comprueba la igualdad de forma algebraica Existen ms tipos de
nmeros figurados:
Oblongos (Nmeros rectangulares en los que la dimensin de un lado
es una unidad mayor que el otro)
Pentagonales
Hexagonales
Estrellados
Cbicos
Tetradricos
Tcnicas para buscar el patrnMtodos geomtricos
El esquema anterior sugiere que un nmero pentagonal se expresa
como la suma de tres nmeros triangulares de un orden menor y de los
puntos de su lado Pn = 3 Pn-1 + n , de donde
Deduce del siguiente esquema el patrn de la secuencia de nmeros
estrellados.
Realiza la misma actividad con los nmeros hexagonales:
Ten presente que uno de los vrtices se cuenta dos
veces.Progresiones aritmticas Una progresin aritmtica (PA) es una
secuencia de nmeros reales de manera que cada trmino de la sucesin
se obtiene sumndole al anterior una cantidad fija, d, llamada
diferencia . Veamos algunos ejemplos:-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es
una PA con a1 = -8 y d = 5. 70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con
a1 = 70 y d = -30. 3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 =
3/2 y d = 5/2. De esta manera se tiene que :
En general tenemos queEn muchas ocasiones conviene saber cunto
vale la suma de los n primeros trminos de una PA:
Esto nos permite averiguar cmodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3
+ .... + n. Observamos que el ensimo nmero triangular se construye
sumando los n primeros trminos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4,
......, n, de primer trmino 1, ensimo trmino n y diferencia 1. Si
aplicamos la frmula anterior se tiene que Utilicemos lo estudiado
para hallar el la expresin del ensimo nmero pentagonal:P 1= 1P2 =
1+4P3 = 1+4+7P4 = 1+4+7+10P5 = 1+4+7+10+13Si consideramos la PA 1,
3, 4, 7,10, 13,... de primer trmino 1 y diferencia 3, tenemos que
Pn se corresponde con la suma de los n primeros trminos de la
sucesin. En virtud de las frmulas que hemos visto:
Halla, mediante una tcnica similar, el trmino general de los
nmeros hexagonales y estrellados.Diferencias finitas Comencemos
estudiando las diferencias entre los trminos consecutivos de una PA
cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...
Veamos la tabla de diferencias de la sucesin de nmeros
hexagonales:
Y la de los nmeros cbicos:
En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los
nmeros hexagonales lo son las diferencias segundas y, en el caso de
los nmeros cbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia. Lo
anterior, como se ver, no se debe a la casualidad.En general, si
una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras diferencias
fijas podemos concluir que la secuencia es una progresin aritmtica
de diferencia d y primer trmino a1 :
Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de trmino
general 2 n + 5, 3 n - 1 y -6 n + 9. Cmo son las secuencias de
trmino general an = a n + b?Veamos que cuando el trmino general de
una secuencia viene dada por un polinomio de segundo grado en n, an
= a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes:
Recprocamente, si las segundas diferencias son constantes el
trmino general ser del tipoan = a n2 + b n + c. Se pueden hallar
los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferencia
segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay
que restarle 3a al primer valor de D1. Por ltimo, para obtener el
coeficiente c, se restan a y b al primer trmino de la secuencia.
Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las
secuencias de trmino generaln2 + 3n + 2 y -n2 + 7 Investiga
utilizando diferencias el patrn de la secuencia de los nmeros
tetradricos. Estudia las diferencias de una sucesin de trmino
general an = a n 3 + b n 2 + c n + d Halla el trmino general de las
secuencias:2, 9, 20, 35, 54, 77,....4, 5, 8, 13, 20, 29,....
Llamamos nmeros poligonales a los que se generan mediante un
polgono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.
Comprueba que, si en la frmula ,cambiamos b por 1 obtenemos la
expresin general de los nmeros triangulares; si la cambiamos por 2
obtenemos la de los nmeros cuadrados: si lo hacemos por 3 se
obtiene la de los pentagonales, ... Comprueba que se verifican las
siguientes relaciones:Cn=Tn + Tn-1Pn=Cn + Tn-1Hn=Pn + Tn-1etc.No
siempre nos valen las diferencias: Cuando el trmino general de una
secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la tcnica
de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto
ocurre y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que
tambin son muy frecuentes en la literatura matemtica: las
progresiones geomtricas y las sucesiones recurrentes.Estudiemos
ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de
construccin de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1). Cunto
mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la lnea negra?Y
si considersemos a la infinidad de ellos?Resuelve la cuestin cuando
leas el siguiente apartado:
Progresiones geomtricas Una progresin geomtrica (PG) es una
secuencia de nmeros reales de manera que cada trmino de la sucesin
se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada
razn.De esta manera se tiene que :
En muchas ocasiones conviene saber cunto vale la suma de los n
primeros trminos de una PG:
Halla el permetro del copo de nieve de n capas:
En la frmula de la suma de los n primeros trminos de una PG , si
-1 < r < 1, se tiene que , es decir, rn se acercar a cero
tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.En
consecuencia la frmula de la suma de los infinitos trminos de una
PG sera . Calcula la longitud de la lnea quebrada cuando el proceso
de inscribir cuadrados se hace infinito. Cmo ser el permetro del
copo en ese mismo caso?Sucesiones recurrentesDe manera algo
imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas
en las que un trmino se expresa en funcin de trminos anteriores.
Veamos un par de casos que aclaren la idea:Averiguar el nmero de
caminos distintos que se pueden tomar desde los vrtices numerados
para llegar hasta 0 (no vale retroceder):
En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada trmino es
la suma de los dos anteriores)Segn esto la secuencia es 1, 2, 3, 5,
8, 13, ... Comprueba que al hacer las diferencias termina
apareciendo la propia sucesin, con lo que no se hacen constantes y
es imposible determinar, de esta manera, su trmino general. Las
Torres de Hanoi:Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma
que queden en la misma posicin. Los discos slo pueden situarse
descansando en alguno de los tres postes, sin que un disco mayor
pueda colocarse sobre otro menor.
Hallar la secuenciaN. De
discos12.................................n
N. mnimo de movimientos13.................................
Metodologa.Comenzar por pocos discos.Observar que antes de
terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo A
n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 A n-1 .Observar que de A1 = 1; A2 =
3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n - 1.Del hecho
de que A n = 1 + 2 A n-1 se deduce que las diferencia primera ser:D
= A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace constante.
Puedes estudiar lo que ocurre con las dems diferencias y comprobars
que ocurre lo mismo.Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones
recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una
expresin para su trmino general: An = 2n - 1.APNDICES Trayecto
desde las sucesiones recurrentes a las progresiones geomtricas
mediante una actividad recreativa debida a Lewis Carroll: El
cuadrado evanescente Se ha dicho que la Geometra es el arte de
razonar bien sobre figuras falsas. (CHASLES, en otro sentido,
claro)En esta paradoja aparente intervienen los nmeros 5, 8 y 13.
Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones,
comprobaremos que tambin funciona con los nmeros 8, 13 y 21. Lo
anterior huele a los trminos de la sucesin de Fibonacci, vista
anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos
anteriores.Precisamente, si construimos la paradoja con los nmeros
2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del
rectngulo no es una lnea, sino un delgado cuadriltero cuya rea vale
una unidad).Sean a, b, c tres trminos consecutivos de la sucesin de
Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a c +1, o b2 = a c
-1Consideremos una sucesin de trminos no necesariamente enteros, en
la que cada trmino se obtenga mediante la suma de los dos
anteriores. La pregunta es: se podrn dar las condiciones a + b = c
y b2 = a c?. Es decir, se podr cortar el cuadrado de tal forma que
al disponer las piezas del rectngulo tenga el rea igual al
cuadrado?.Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos
la ecuacin b2 - ab - a2 = 0.Cuya solucin positiva es Aparece el
nmero ureo!La nica sucesin de Fibonacci en la que cada trmino es el
producto de sus trminos adyacentes es la sucesin 1,N , 1+N, 1+2N,
2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de razn 1,N,N 2,N 3,N
4,...Trmino general de algunas sucesiones recurrentes: Veamos que,
en determinados casos particulares, se puede averiguar el trmino
general de una sucesin recurrente.Ecuacin caracterstica de una
sucesin recurrenteSi una relacin de recurrencia es del tipo: siendo
los ci nmeros reales, Se denomina ecuacin caracterstica de la
relacin a la expresin:
Est claro que la sucesin verifica la relacin de recurrencia sii
b es raz de la ecuacin caracterstica. En general, si la ecuacin
tiene races no nulas y distintas, entonces cualquier sucesin del
tipo: , donde las ci son arbitrarias, verifica la relacin de
recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede
obtener una solucin particular, pues estas condiciones determinan
un sistema de ecuaciones lineales en las incgnitas ci:
Y al ser las races distintas y no nulas, el determinante de la
matriz de los coeficientes, que es el producto de por un
determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una
solucin particular para An Veamos, como ejemplo, cmo obtener el
trmino general de la sucesin anterior:Una sucesin de Fibonacci
viene definida en los trminos , la ecuacin caracterstica asociada
es.Si concretamos en nuestro ejemplo del nmero de caminos, las
condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos as el sistema
cuyas soluciones son: . As pues, el trmino general de la sucesin
viene dado por la regla:, que se llama frmula de Binet (1786-1856)
porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente,
Moivre y D. Bernouilli. Dado que , tenemos que Por lo tanto para n
suficientemente grande. Encuentra el trmino general de la secuencia
1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada trmino se obtiene multiplicando
por cuatro el trmino anterior y restndole el triple del que est
detrs de ste.Algunas actividades recreativas relacionadas con el
tema: D. Juan el albail es especialista en enlosar patios de forma
cuadrada. Su diseo favorito consiste en utilizar losas rojas para
el interior y blancas para los bordes.He aqu algunos patios
construidos por l:
Si atendemos al nmero L de baldosas que tiene el patio en cada
lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indica el nmero
de baldosas blancas empleadas. L3456.................n
B8121620.................?
Un seor le pregunta a Juan la frmula para un patio con n
baldosas de lado. Sabras ayudarle a averiguar las baldosas blancas
y rojas que se necesitaran?El Jefe de D. Juan admira la idea de
poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su
especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la
mitad del otro pero tiene el problema de que se la contando. Sabras
ayudarle a calcular las baldosas blancas y rojas, en funcin del
nmero de baldosas del ancho del patio? El siguiente problema
aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas se
reparten cien medidas de trigo; la segunda recibe ms que la primera
tanto como la tercera ms que la segunda, la cuarta ms que la
tercera y la quinta ms que la cuarta. Adems, las dos primeras
recibieron siete veces menos que las tres restantes. Cunto
correspondi a cada una? Para 31 gallinas se ha preparado una
cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanal para
cada una. Esto se haca en el caso de que el nmero de gallinas
permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminua en
una el nmero de aves, la comida preparada dur el doble de lo
proyectado. Qu cantidad de comida prepararon como reserva y para
cunto tiempo fue calculada? Los soldados de una guarnicin costera
van a construir un fuerte en una isla. Si hubiese trabajado toda la
guarnicin hubiesen tardado 24 das. La isla se comunica con la costa
mediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.El
trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que lleg a la
isla, al da siguiente se le uni el segundo grupo, al tercer da el
tercero, etc. Sabiendo que todos los grupos eran iguales y que el
primero trabaj once veces ms que el ltimo, cuntos das trabaj cada
grupo? Veamos otro clsico problema: Un hortelano vendi al primero
de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardn ms media
manzana; al segundo la mitad de las restantes ms media, al tercero
la mitad de las que quedaban ms otra media manzana, etc. El sptimo
comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes ms media
manzana, agot la mercanca. Cuntas manzanas tena el jardn? Determina
la expresin de An :
Demuestra que si multiplicas por ocho un nmero triangular, y
sumas uno, obtienes un nmero cuadrado. Intenta demostrarlo mediante
un esquema geomtrico. (NOTA: la demostracin algebraica requiere
expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto) Realiza las
sumas:1+3+5+.....+(2n+1)3+4+5+.....+(n+2)5+8+11+....+(3n+2) Un
bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140
toneles que dispone. Con cuntos toneles se formar la base? Y si
fuesen 345 toneles, podra realizar su deseo? Una escuadrilla area
tiene unos cincuenta aviones aproximadamente y su formacin en vuelo
es un tringulo equiltero.Algunos aviones caen despus de un combate,
de manera que cuando los aviones restantes regresan lo hacen
formando cuatro tringulos equilteros de igual lado.Dinos cuntos
aviones tena la escuadrilla, sabiendo que con los aviones
derribados se poda haber formado otra formacin igual en tringulo
equiltero. Cuntos trozos, no necesariamente iguales, se pueden
obtener como mximo al realizar n cortes sobre una tarta?
Intenta obtener el mximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has
conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha
secuencia se hacen constantes. Se necesitaron 20 cubos para
construir esta torre de 4 capas. Expresa el nmero de cubos
necesario para realizar una de n capas.
Halla An (nmero mximo de regiones obtenidas por interseccin de n
crculos) A veces las apariencias engaan. Si observamos el nmero
mximo de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una
circunferencia, la observacin de los 5 primeros trminos parece
indicar que la secuencia sigue la frmula An = 2n-1. Claramente se
ve que el trmino sexto no cumple ya esa regla. Determina la
expresin general de la sucesin, sabiendo que sus primeros trminos
son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas
diferencias son constantes. Curiosidades con nmeros cuadrados:16 =
421156 = 342111556 = 33421115556 = 3334211115556 = 3333421111155556
= 333334212 = 1 112 = 1211112 = 1232111112 = 1234321111112 =
12345432192 = 81 992 = 98019992 = 99800199992 = 99980001999992 =
9999800001
El quinto nmero pentagonal es 35, cmo se calcula?
" un nmero pentagonal se expresa como la suma de tres nmeros
triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3
Pn-1 + n , Luego de simplificar queda : NPent(n) = ( 3* n^2 - n) /
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