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Universidad Nacional de La PlataFacultad de Ciencias
EconmicasDepartamento de Economa
Apuntes sobre Nmeros ndices
(versin preliminar para alumnos1)
AGUSTIN LODOLA
La Plata, Marzo de 2006.-
1 Esta versin preliminar es para uso exclusivo de los alumnos
del seminario Medicin de la Economa. Todos los comentarios son
bienvenidos y pueden enviarse a [email protected]
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Agustn Ldola
PREFACIO 3
1 INTRODUCCIN 4
2 NMEROS NDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES 5
2.1 VALORES, PRECIOS Y VOLMENES 5 2.2 CONCEPTOS BSICOS 6 2.3
INDICES ELEMENTALES, AGREGACIN Y PONDERACIN 8 2.4 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS 15
3 NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA 16
3.1 CONSTRUCCIN 16 3.2 ALGUNOS PROCEDIMIENTOS COMUNES 32 3.3
UTILIZACIN 38 3.4 LOS INDICES DE PRECIOS EN ARGENTINA 48 3.5
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 48
4 LA TEORIA DE LOS NDICES DE PRECIOS 49
4.1 EL PROBLEMA DE LOS NMEROS NDICES 49 4.2 EL ENFOQUE AXIOMTICO
49 4.3 EL ENFOQUE ECONMICO 53 4.4 INDICES DE COSTO DE VIDA: DE
QUIN? 58 4.5 LOS NDICES ESPACIALES 61 4.6 NUEVOS BIENES: 61 4.7 LOS
INDICES DE PRECIOS DE PRODUCCIN 61 4.8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS
61
5 ACERCANDO LA PRCTICA Y LA TEORA 62
5.1 NDICES SUPERLATIVOS 62 5.2 INDICES DEMOCRATICOS 65 5.3
NDICES EN CADENA 66 5.4 INDICES MULTILATERALES 68 5.5 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS 70
6 TPICOS SOBRE NDICES DE PRECIOS 71
6.1 AJUSTES POR CALIDAD: ENCADENAMIENTO Y REGRESIONES HEDNICAS
71 6.2 LOS SESGOS 71 6.3 INFLACIN SUBYACENTE 71 6.4 EJERCICIOS Y
PROBLEMAS 71
7 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 72
7.1 BIBLIOGRAFA GENERAL 72 7.2 NOTA SOBRE LA BIBLIOGRAFA 73
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Apunte sobre Nmeros ndices
PREFACIO
Segn un conocido dicho popular las estadsticas deben consumirse,
al igual que las hamburguesas, sin averiguar cmo fueron hechas.
Estos apuntes parten de considerar justamente lo opuesto: conocer
cmo se construyen las estadsticas es fundamental para saber usarlas
correctamente. Considerando que la informacin estadstica es
solamente un reflejo de la realidad y por lo tanto un intento de
acercarse a la misma; hay diferencias importantes entre las dos.
Justamente conocer los detalles de su construccin permitir evaluar
esa brecha.
A riesgo de aburrir con justificaciones econmicas desde el
comienzo, pero no pudiendo ser infiel como mi profesin, voy a
empezar diciendo que en la explicacin de estos apuntes, se mezclan
cuestiones de oferta y demanda.
Entre las primeras se encuentra fundamentalmente un gusto muy
grande por los nmeros ndices, que naci en el momento que curs los
trabajos prcticos de la materia Macroeconoma I, hace ya trece aos.
Ese primer contacto se potenci siete aos despus, cuando estando del
otro lado del mostrador, me toc dictar dicho curso. Al mismo
tiempo, a estas experiencias casi exclusivamente acadmicas, se le
sumo las recurrentes ocasiones en la que en el ejercicio de la
profesin me enfrent con la necesidad de elaborar y utilizar nmeros
ndices. El entusiasmo con el tema, junto con la certeza de su
utilidad prctica, forman un elemento central que explica por qu
decid ofrecer estos apuntes.
Por otro lado, en las diferentes etapas de mi formacin, pero
principalmente como alumno y docente, me enfrent con el
inconveniente de no contar con bibliografa adecuada sobre el tema,
y por lo tanto comenc a experimentar una demanda insatisfecha, que
luego percib que no era solamente personal, sino de muchos
profesores y colegas. Ante esto comenc a investigar el problema y
comprob que la falta de bibliografa era ms aparente que real. Desde
hace mucho tiempo, en innumerables libros de textos y trabajos
publicados en revistas cientficas, se ha tratado extensamente el
tema de los nmeros ndices. Entonces cul era el problema?, haba
alguna falla de mercado, que mantena este exceso de demanda?. No
necesariamente. Me pareci que el problema fundamental es que esa
bibliografa esta escrita para otro mercado. Los libros de textos
que contienen notas sobre nmeros ndices, tienen como temas
principales otras cuestiones y lo referido al tema de ndices de
precios o cantidades solo ocupaba anexos y secciones interiores,
mezcladas con las cuestiones principales del libro. Por otro lado,
los trabajos cientficos, estaban escritos a un nivel distinto del
requerido para un curso inicial.
Estas dos cuestiones me decidieron a emprolijar unas notas que
haba armado para dar clases y convertirlas en estos apuntes sobre
Nmeros ndices. Su objetivo es principalmente pedaggico y apunta a
cubrir las necesidades de los alumnos que se enfrentan por primera
vez al estudio de este instrumental econmico. En realidad podra
decirse que estos apuntes pretenden ser un puente entre el exceso
de oferta en un mercado y el exceso de demanda en otro.
Tengo que agradecer en primer lugar a Marcelo Oviedo, quien me
facilit algunas notas que sirvieron como punto de partida de este
proyecto; al profesor Mario Szychowski, con quien compart como
ayudante, siete aos en la ctedra de Macroeconoma I; a Matas Busso y
Federico Cerimedo por compartir una parte de esta agenda de
investigacin; a Vernica Fossati por su investigacin sobre ndices
espaciales a Rafael Brigo y Victoria Dowbley por su colaboracin en
el seminario Medicin de la Economa y por tener que leer la primera
versin de estos apuntes.
Esta primera versin enfatiza sobre los ndices de precios y es
preliminar. El proyecto implica incorporar mayores detalles sobre
ndices de volumen fsico; ndices de comercio exterior y ms tpicos y
aplicaciones. El carcter preliminar de estos apuntes se refleja en
que muchas secciones estn en construccin.
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Agustn Ldola
1 INTRODUCCIN
El espacio y el tiempo agregan innumerables complejidades a
quienes deben tomar decisiones. La diferente localizacin de la
actividad productiva, el consumo, etc; y el perodo de tiempo que
implican los mismos, hacen que preguntas sencillas no tengan
respuestas satisfactorias simples. La siguiente pregunta constituye
un ejemplo. Cunto aumentaron los precios durante el ltimo ao?.
Supngase que como respuesta se obtiene una lista de 5000 bienes
acompaada de los precios al inicio y al final del ao y la
correspondiente variacin porcentual. Esto, como es obvio, no es til
ni operativo.
Precisamente, los nmeros ndices son medidas estadsticas usadas
para dar una respuesta breve y concisa a preguntas del tipo de la
recin sugerida. Si los precios de todos los bienes subieron en la
misma proporcin, por ejemplo un 5% al ao, sera fcil medir la
inflacin: la tasa de inflacin sera 5%. Las dificultades se deben al
hecho de que los precios de los diferentes bienes suben a tasas
distintas y algunos pueden incluso bajar. Ellos sealan tendencias
generales o cambios globales, no hechos especficos simples.
En trminos ms formales, el problema de los nmeros ndices trata
de separar, en las variaciones a lo largo del tiempo (o del
espacio) que experimentan los flujos de bienes y servicios, cuanto
de esa variacin se debe a los precios y cunto a los volmenes.
Sin embargo al igual que la economa, la medicin de la actividad
econmica no es una ciencia exacta. Los nmeros ndices forman parte
de esta ltima y por lo tanto tampoco estn exentos de este
comentario. Hay diferencias entre lo que se mide y lo que se debera
medir. Lo mismo ocurre con los nmeros ndices. Esto ha llevado a
separar los captulos en tres secciones principales. Tanto en los
ndices de precios como de cantidades, primero haremos referencia a
lo que sucede en la prctica, ms relacionado con lo que realizan la
mayora de las agencias estadsticas en el mundo. Luego se presentar
un breve resumen de cuestiones tericas. Obviamente esta parte solo
pretende ser una introduccin al tema que, como se comentar en las
secciones de notas sobre la bibliografa es muy extenso. En tercer
lugar estos captulos tendrn una seccin donde se resumir diversos
avances que han intentado lograr un acercamiento entre la prctica y
el deber ser del tema.
Profundizar en la tarea de construccin de nmeros ndices puede
ser una actividad tediosa, y para algunos sin importancia, sin
embargo estoy plenamente convencido que es una de las mejores
formas de comprender adecuadamente la informacin que de estos
nmeros se deduce y utilizarlos con mayor precisin.
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Apunte sobre Nmeros ndices
2 NMEROS NDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES
Como en toda construccin, es necesario primero armar cimientos
slidos y luego avanzar ladrillo por ladrillo. Antes de ver cmo se
construye un nmero ndice repasemos algunas definiciones que
utilizaremos en el resto del apunte. En este captulo se introducen
en primer lugar (seccin 2.1) los elementos que constituyen un nmero
ndice. Luego se presentan tres conceptos que sern fundamentales en
todo el apunte: nmero relativo (seccin 2.2), frmula de agregacin
(seccin 2.3) y ponderador (seccin 2.4).
2.1 Valores, Precios y Volmenes
El primer lugar es importante definir y establecer relaciones y
propiedades de tres conceptos: las cantidades, los precios y los
valores.
Siguiendo el manual de cuentas nacionales (SCN 1993), el valor
de un bien o servicio nico y homogneo es igual al precio por unidad
de cantidad (p) multiplicado por el nmero de unidades de cantidad
(q); es decir
V = p q
En contraste con el precio, el valor es independiente de la
unidad de cantidad elegida. El valor tiene dimensiones muy
diferentes a las del precio, y los trminos valor y precio no pueden
utilizarse indistintamente.
Respecto a las cantidades hay que resaltar que son aditivas slo
para un producto nico y homogneo. Las cantidades de diferentes
productos no son conmensurables ni aditivas, aunque se midan en las
mismas clases de unidades fsicas; por ejemplo, no es econmicamente
significativo sumar 10 toneladas de carbn y 20 toneladas de azcar,
aun cuando su peso conjunto de 30 toneladas pueda proporcionar una
informacin interesante para otros fines, como la carga de buques o
de vehculos.
El precio de un bien o servicio se define como el valor de una
unidad de ese bien o servicio. Los precios, al igual que las
cantidades, no son aditivos para los diferentes bienes o
servicios.
Mientras que por su parte los valores se expresan en trmino de
una unidad monetaria comn y son conmensurables y aditivos para
diferentes productos; segn se ha sealado, no varan con respecto a
la unidad de cantidad elegida. La agregacin de los valores de
diferentes bienes o servicios se justifican por el hecho de que, en
un sistema de mercado, los precios relativos de los diferentes
bienes o servicios deberan reflejar sus costos relativos de
produccin y sus utilidades relativas para los compradores, tanto si
stos pretenden utilizarlos para la produccin como para el
consumo.
En el sistema de cuentas nacionales se prefiere la denominacin
de ndice de volumen en lugar de ndice de cantidad, debido a la
ambigedad que presenta el uso de sta ltima. Un ejemplo puede
ilustrar lo anterior. Supngase que queremos tener un indicador de
la produccin de una industria que produce dos tipos de automviles,
uno de los cuales se vende a un precio que es el doble del otro.
Aunque los dos reciben el mismo nombre genrico de automviles, desde
el punto de vista econmico son dos productos totalmente
diferentes.
Ahora supongamos que entre dos perodos: a) permanece constante
el precio de cada modelo; b) permanece constante el nmero total de
automviles; c) la proporcin de modelos producidos de precio ms alto
aumenta del 50% al 80%. El siguiente grfico resume la
informacin.
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Agustn Ldola
Precio Cantidades Valores Ao 1 Ao 2 Ao 1 Ao 2 Var % Ao 1 Ao 2
Var %
Modelo A 50.000 50.000 100 160 5.000.000 8.000.000 60%Modelo B
25.000 25.000 100 40 2.500.000 1.000.000 -60%
200 200 0% 7.500.000 9.000.000 20%
De lo anterior se deduce que el valor total de la produccin
aumenta el 20% a causa del aumento de la proporcin de modelos de ms
alto precio, lo que constituye un aumento del volumen del 20%. Como
cada automvil de precio ms alto representa el doble de produccin
que el del precio ms bajo, un cambio en la produccin de modelos de
bajo precio a modelos de precio alto eleva el volumen de la
produccin aunque el nmero total de automviles producidos permanezca
invariable.
Si solamente nos quedamos con las cantidades, podramos afirmar
errneamente que la produccin de esta industria no ha variado, dado
que se producen la misma cantidad de automviles. Sin embargo, esta
interpretacin se basa en una confusin semntica debida a que el
mismo trmino genrico, automvil se aplica a dos productos que en
realidad son totalmente diferentes desde el punto de vista
econmico. No es legtimo sumar juntas cantidades que no son
idnticas, aun cuando se puedan medir en la misma clase de unidades
fsicas. Sumar conjuntamente modelos totalmente distintos de
automviles no tiene ms sentido que sumar toneladas de diferentes
alimentos; por ejemplo sumar toneladas de manzanas y de carne.
Por eso, en estos apuntes utilizaremos la expresin ndices de
volumen en lugar de ndices de cantidades.
2.2 Conceptos Bsicos
Un nmero ndice de precios (de volmenes) es una representacin
escalar de un conjunto de precios (volmenes) con relacin a algn
valor base. Su utilidad radica en sintetizar la evolucin de alguna
variable (precios, volmenes, valores) de una determinada canasta de
bienes o servicios consumidos, vendidos, o producidos por una
unidad econmica (familias, empresas, industrias, etc.) en el tiempo
o en el espacio.
La Canasta
En el clculo de un nmero ndice ya sea de precios, de volumen o
de valor, surge el inconveniente que existe una cantidad tan grande
de bienes en la economa, que si se pretende abarcarlos a todos, la
tarea sera muy ardua (por no decir imposible) y los nmeros ndices
perderan toda su operatividad. Esto obliga a que cuando se
construye un ndice el primer paso consista en determinar la
canasta, es decir el conjunto de bienes que se consideraran para la
construccin del indicador.
Bienes y Servicios
En segundo lugar, hay que precisar el concepto de bien. Por
ejemplo si estamos construyendo un ndice de precios de los
consumidores, el bien galletitas es una denominacin bastante
general, ya que estas pueden dividirse en galletitas dulces o otras
galletitas, a su vez dentro de las otras galletitas podemos
encontrar: de agua, de harina integral, etc. Por lo tanto y de
acuerdo al nivel de agregacin elegido, surgen diversos
agrupamientos: grupo, subgrupo, producto, variedad.
Empezando desde el nivel mas desagregado, nos encontramos con el
concepto de variedad, que son los agrupamientos que componen un
producto. En nuestro caso el producto otras galletitas se compone
de las variedades: galletitas de agua, galletitas de harina
integral, etc.
El trmino items o variedad es utilizado para denominar cualquier
bien o servicio incluido en la canasta relevada por el ndice (por
ejemplo galletitas saladas de agua) para el cual no se dispone de
ponderaciones internas ni de elementos para realizar una seleccin
de bienes y servicios proporcional a esas ponderaciones
desconocidas. Para cada variedad se calcula un ndice elemental.
Este es un promedio
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Apunte sobre Nmeros ndices
no ponderado de un conjunto de observaciones de precios
realizadas mediante entrevistas directas en una muestra de negocios
informantes. La razn por la cual los precios de los productos
comprendidos dentro de una variedad deben promediarse sin
ponderaciones es que, en la prctica, no se dispone de informacin
para determinar ponderaciones de cada uno de ellos en cada punto de
venta especfico.
A su vez los productos son cada uno de los agrupamientos que
componen un subgrupo. Por ejemplo el subgrupo productos de
panificacin, se compone por los productos: pan fresco, pan
envasado, facturas, galletitas dulces, otras galletitas, etc.
Ao base de la canasta y Perodo de Referencia
Decir que el precio de un determinado bien, digamos zapatos, en
el ao 2000 es de $8 por unidad, o que la produccin de ese bien en
dicho ao fue de 12.000 unidades no nos ofrece informacin de
utilidad para el objeto que estamos buscando. El inters mayor en
construir un nmero ndice es poder comparar el mismo en el tiempo (o
en el espacio), y por lo tanto surge la necesidad de elegir un
perodo (o un espacio geogrfico) contra el cual realizar las
comparaciones. Ser de mucha utilidad saber que el precio del zapato
en el ao 2000 es un 30% mayor que en 1990 (o que el precio del
zapato cuesta un 30% ms en la regin norte que en la regin sur).
Supongamos que elegimos como base de comparacin al ao 1990, al que
llamaremos ao base. Lo mismo sucede cuando queremos saber el
comportamiento de muchos precios o cantidades. En este caso
necesitamos elegir el ao base de toda la canasta de bienes.
No se debe confundir ao base de la canasta con ao base de la
serie del ndice o perodo de referencia. El trmino ao base se
refiere a la base de los precios o cantidades que estn siendo
utilizados como ponderadores. El trmino perodo de referencia se
refiere al perodo para el cual la serie de ndices es igual a 100.
El perodo de referencia puede cambiarse simplemente dividiendo la
serie del ndice por el valor que toma el ndice en el perodo de
referencia elegido. En cambio para modificar el perodo base de una
serie, debemos obtener nuevos datos de precios y/o de cantidades de
ese perodo que queremos transformar en base.
Dado que los datos del ao base sern utilizados como ponderadores
de la serie de ndices, se requiere que deba contemplarse "un ao
normal" y para ello deben tenerse en cuenta determinados requisitos
o condiciones, siendo los ms importantes:
a) que sea un ao reciente: es decir que se cumpla el objetivo
importante de que los precios a utilizar en la base como
estructuras de ponderaciones representen en buena medida a los
bienes transados actualmente en la economa.
b) que se verifique un elevado nivel de crecimiento: esto supone
que ese ao presente una tendencia ascendente de la actividad
econmica, dejando de lado aos con tasas de evolucin negativas o
bajos niveles de actividad.
c) que exista normalidad en las condiciones de mercado: se tiene
que evitar que en el perodo a elegir se hayan producido hechos
desequilibrantes como prdidas de cosechas, desastres de la
naturaleza, recesin, huelgas, control de precios, etc.
d) que exista cierta uniformidad en las variaciones de precios:
para evitar cambios significativos en la estructura de
valuacin.
e) que sea razonable la disponibilidad de informacin.
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Agustn Ldola
2.3 Indices Elementales, Agregacin y Ponderacin
2.3.1 Indices Elementales: Nmero Relativo
Comencemos entonces a transitar el camino de la construccin de
nmeros ndices dando el paso ms sencillo, que es el de elaborar un
ndice de precios de un producto a lo largo de un perodo. Lo mismo
sera para un ndice de produccin, salarios, ventas o cualquier otra
variable.
Supongamos que tenemos el precio que un determinado bien tena en
una serie de aos, tal como se expone en la siguiente tabla.
Precio de los ZapatosPerodo 1990-1993
En pesos
Ao Precio
1990 201991 251992 281993 40
Como ya hemos mencionado esta informacin no es muy til para el
propsito que buscamos, por lo tanto transformaremos esta serie de
precios en una serie de nmeros relativos.
El valor del ndice correspondiente a cada ao resultar de dividir
el precio de ese ao por el precio del ao elegido como base o de
referencia, multiplicndose generalmente el resultado por 100 que es
el valor que se asigna a la base. La multiplicacin por 100 es una
convencin que sirve para facilitar el trabajo posterior.
As, con estos datos, el ndice para el ao 1992 con base 1990
surge de la siguiente operacin:
140100202890
92 ==IP (2.1)
donde IP9290 es el ndice de precios del ao 1992 tomando como
base el ao 1990. Haciendo el mismo procedimiento para todos los aos
se obtiene la siguiente serie de ndices de precios:
ndice de Precio de los ZapatosPerodo 1990-1993
Base 1990=100
Ao ndice1990 1001991 1251992 1401993 200
El resultado nos dice que el ndice de precio de los zapatos para
el ao 1992 es 140. Este nmero es independiente de las unidades de
medida, no representa ni pares de zapatos, ni kilos, ni toneladas,
ni pesos (dlares, etc). Slo adquiere significado cuando se los
compara con otros ndices, ya sea del perodo base o de otro ao. Por
ejemplo, el resultado comentado indica que el precio de 1992 es el
40% ms alto que el de 1990. Esta variacin porcentual surge de:
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Apunte sobre Nmeros ndices
%4040,01100140
100100
100140
100100140%9092 ====
= (2.2)
Obviamente que este mismo clculo lo podramos haber hecho
directamente con los precios en lugar de armar nmeros ndices, sin
embargo la ventaja de estos ltimos va a quedar ms clara a medida
que necesitemos incorporar ms bienes. De todas maneras la
transformacin de precios a ndices puede ser de mucha utilidad
prctica, an en estos casos simples. Supongamos que en un momento
determinado necesitemos comparar dos series de precios o de
cantidades. Supongamos que queremos averiguar si los precios del
trigo (un importante producto agropecuario) ha evolucionado
diferente al del gasoil (un significativo insumo del agro). Para
ello tenemos las dos series de precios:
Precios de la Soja y GasoilPeriodo 1990-1996
Precios de la Soja Precio del gasoil$ por Tn $ por litro
1990 2500,00 0,101991 2664,00 0,121992 2702,00 0,141993 2704,00
0,201994 2800,00 0,301995 3200,00 0,401996 4200,00 0,50
Las diferentes caractersticas de los productos que se estn
comparando y las distintas unidades de medida no permiten a simple
vista decir algo sobre la evolucin de los precios relativos. Por lo
tanto construyamos un nmero ndice para cada bien, tomando a 1990
como ao base:
ndice de Precios de la Soja y GasoilBase 1990=100
Soja Gasoil
1990 100,0 100,01991 106,6 120,01992 108,1 140,01993 108,2
200,01994 112,0 300,01995 128,0 400,01996 168,0 500,0
De la observacin de los nmeros ndices surge con mayor claridad
que el precio del gasoil creci mucho ms (400%) que el de la soja
(68%), entre 1990 y 1996.
Estos ndices que hemos construido en esta seccin se denominan
ndices elementales. Son ndices de un nico bien y por lo tanto no
tiene ponderaciones.
2.3.2 Agregacin
Otro problema es elaborar un ndice para varios bienes (o un
ndice de un bien para el cual se tienen precios de diferentes
lugares de compra). Para esto necesitaremos una manera de agregar
dichos
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Agustn Ldola
bienes. Supongamos que se tiene tres variedades de un mismo bien
(o tres lugares de compra de un bien) cuyos precios en los aos 1990
y 1995 son los siguientes:
Variacin %1990 1995
(a) (b) (c) =(b)/(a) (d)=(c)-1
I 20 130 6,5 550%II 40 80 2,0 100%III 200 180 0,9 -10%
PreciosProducto (o lugar de compra)
Cociente
Se trata de elaborar un ndice para el ao 1995 tomando como base
el ao 1990. Teniendo en cuenta lo que hicimos anteriormente para
construir el ndice de un bien, lo primero que se viene a la mente
es realizar lo mismo para cada uno de los bienes, es decir dividir
el precio del ao que se est considerando por el precio que cada
bien tena en el ao elegido como base, y luego buscar alguna forma
de agregar dichos bienes.
El primer paso es el que aparece en la columna (c) del cuadro
anterior. En cuanto al procedimiento a adoptar para agregar los
bienes se puede citar cuatro alternativas principales:
a) promedio aritmtico, es decir sumar los datos que se quieren
promediar y dividirlos por el nmero de datos.
b) promedio geomtrico, es decir extraer la raz n-ensima del
producto de los n datos que se quieren promediar, que a su vez es
igual a realizar un cociente de medias geomtricas.
c) Promedio armnico: que es el recproco de la media aritmtica de
los recprocos de los valores a promediar.
d) cociente de los promedios aritmtico de cada ao.2
Promedio Aritmtico: ndice Simple de Carli
La primera alternativa es calcular una media aritmtica de los
diferentes cocientes. Para ello se suman la columna (c) del cuadro
anterior y se la divide por el nmero de observaciones (en este caso
3 observaciones).
PCA ={(130/20) + (80/40) + (180/200)}/3
La ecuacin sera
=
=
N
n n
cno
cCA pp
NP
10
1(2.3)
donde
PCAc0 ndice de precios elemental de Carli para el ao c tomando
como base el ao o
p0 indica el precio del bien en el perodo base
pc es el precio del bien en el perodo que se est
considerando
N es el nmero de bienes
2 Esto mismo es vlido para elaborar un ndice simple de
cantidades. En los ejercicios se pide construir ndices simples de
cantidades.
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Apunte sobre Nmeros ndices
Promedio Geomtrico: ndice Simple de Jevons
=
=
N
n
N
n
cno
cJ pp
P1
1
0 (2.4)
Promedio Armnico: ndice Simple Armnico (IPEH)
Npp
PN
ncn
on
ocH
=
=
1
1
(2.5)
Cocientes de Medias Aritmticas: ndice Simple de Dutot.
=
=
= N
nn
N
n
cn
ocD
pN
pNP
1
0
1
1
1
(2.6)
Los ndices calculados con las diferentes frmulas son los
siguientes:
ndices de Precios SimplesPerodo 1995
Base 1990=100
ndice Variacin % respecto al ao base
Media aritmtica 313,33 213% Media Geomtrica 227,02 127% Media
armnica 169,98 70% Cocientes de medias aritmticas 150,00 50%
Las variaciones de precios que ha sufrido esta economa de tres
bienes (o este bien en tres lugares de compra diferente) son muy
distintas de acuerdo a las diferentes frmulas. Haciendo un promedio
aritmtico la variacin fue de 213%, mientras que haciendo un
cociente de las medias aritmticas, resulta que la variacin fue de
slo 50%.
Cul es la mejor forma de calcular un ndice simple?. Esta
pregunta aparecer muchas veces en estos apuntes. En varias
oportunidades tendremos diferentes formas de construir un nmero
ndice. La
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Agustn Ldola
respuesta puede hallarse por dos caminos: uno estudiando las
propiedades matemticas de las frmulas y sobre la base de ello
juzgar cul de ellas cumple con la mayora de los requisitos. Esto
constituye el denominado enfoque axiomtico. La otra forma es ver
cul de los ndices se acerca ms a lo que establece la teora
econmica. Estos dos enfoques se vern con mayor detalle en la prxima
seccin.
En el caso de los ndices simples, es poco lo que puede aportar
la teora econmica para juzgar las bondades de cada frmula, en estos
casos tiene mayor utilidad evaluar algunas propiedades matemticas
de las mismas. 3
Una de ellas es la propiedad de reversibilidad temporal, que
dice lo siguiente: en el caso que tengamos ndice para tres aos
(1990, 1991 y 1992), entonces, si los precios en el ao 1992 son los
mismos que en 1990 o ao inicial, entonces la variacin de precios
entre 1991 y 1992 debe compensar a la variacin de precios
experimentada entre 1990 y 1991.
En trminos un poco ms formales, y suponiendo como es usual que
al ao base le damos un valor de 100, se debera verificar que:
(Pco * P0 c )/100 = 100 (2.7)
donde Pco es el ndice de precios del perodo c tomando como base
el perodo o e Poc es el ndice de precios del perodo o tomando como
base el c
Para comprobar esto y siguiendo con el ejemplo anterior,
supongamos que en lugar de calcular el ndice de precios del ao 1995
con base en el ao 1990, construimos el ndice de 1990 con base en el
ao 1995. Los resultados seran los siguientes:
ndices de Precios SimplesPerodo 1990
Base 1995=100ndice
Media aritmtica 58,83 Media Geomtrica 44,05 Media armnica 31,91
Cocientes de medias aritmticas 66,67
Por lo tanto, para cumplir con la propiedad de reversibilidad
temporal, la multiplicacin de estos ndices (de 1990, base 1995) por
los resultados obtenidos anteriormente (de 1995, base 1990) debe
ser igual a 100.
Media aritmtica: (313,33 * 58,83) /100 = 184,34
Media Geomtrica: (227,02 * 44,55) /100 = 100,00
Media Armnica: ( 169,98 * 31,91)/100 = 54,24
Cocientes de medias aritmticas: (150,0 * 66,67) / 100 =
100,00
Claramente, la media geomtrica y el cociente de medias
aritmticas cumplen con la propiedad, mientras que la media
aritmtica y armnica no la cumple. Puede ser til antes de continuar,
hacer algunas reflexiones sobre las diferencias entre las
diferentes frmulas de agregacin. En sentido matemtico ser muy
relevante preguntarse de qu dependen las diferencias de los
resultados arrojados por las diversas frmulas.
Las diferencias entre las medias aritmticas, geomtrica y armnica
dependen de la dispersin de los datos a promediar. En el caso
extremo que todos sean iguales las tres medias coinciden. Se
puede
3 Para un intento de aplicar teora econmica para comparar ndices
de precios simples o elementales puede verse Diewert (1995)
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-
Apunte sobre Nmeros ndices
comprobar que la aritmtica siempre va a ser mayor que la
geomtrica y sta ser mayor que la armnica. Por esta razn se dice que
los ndices que utilizan una media aritmtica tiene un sesgo hacia
arriba.
Concepto a Resaltar: Formulas de Agregacin
En esta seccin se han analizado diferentes frmulas de agregacin.
Estas sern un componente importante en el camino a construir un
nmero ndice, ya que el resultado depender, entre otras cosas, de la
frmula empleada.
2.3.3 ndices ponderados
En los ejemplos anteriores vimos que los tres productos (o los
tres lugares de compra) tenan la misma gravitacin al calcular la
variacin de precios del conjunto. Esto queda ms claro si observamos
en detalle alguna de las frmulas de agregacin. Por ejemplo del
ndice de Precios Simple de Carli (IPSCA):
PCA9590 = (1/3)*(130/20) + (1/3)*(80/40) + (1/3)*(200/80)=
En este ndice cada bien recibe un peso igual a 1/3. Lo mismo
sucede en todas las formulas de agregacin presentadas. Esto es
objetable, por ejemplo si se trata de seguir la evolucin de los
precios de las exportaciones argentinas (en cuyo caso se dara la
misma importancia a la soja que al vino) o de costo de vida (pues
no tiene la misma importancia el consumo de carne que el de
biromes) o tantos otros, sean ndices de precios o no. La misma
crtica podramos realizar si queremos construir un ndice de precios
para un bien que se adquiere en diferentes lugares de compra
(supermercados, almacenes, kioscos, etc.). En estos casos no
deberan pesar igual los distintos lugares de compra, ya que el
gasto en ese bien realizado en un tipo de negocios (por ejemplo
supermercados) seguramente no ser el mismo que el realizado en
otros (por ejemplo kioscos).
En tales casos es necesario ponderar, esto es, aplicar un
procedimiento que haga gravitar la variacin de precios de un
producto (o un determinado lugar de compra) con intensidad distinta
a la de otros. En cada caso habr que analizar el criterio de
ponderacin.
Supongamos que se tiene que construir un ndice de precios,
representativo del consumo de un determinado grupo de personas.
Consideremos que este grupo en algn perodo base, digamos 1980, tena
una canasta de bienes y servicios que se compona nicamente de tres
bienes: bien I, bien II y bien III. El peso de estos bienes en el
total difiere, y como se est tratando de armar un ndice ponderado,
este hecho debe tenerse en cuenta. Es decir, a diferencia del ndice
construido anteriormente (ndice simple), donde cada bien tena el
mismo peso, en este caso debe darse un peso diferente a cada bien.
Por lo tanto, si por ejemplo se quiere calcular un ndice de precios
ponderado para el ao c tomando como base el ao o, se podra utilizar
cualquiera de las siguientes frmulas de agregacin vistas
anteriormente:
1) Si se utiliza la frmula aritmtica, se obtiene:
100
++= oIII
cIII
IIIoII
cII
IIoI
cI
Ioc P
PsPPs
PPsP
O en forma general, para N bienes:
- 13 -
-
Agustn Ldola
1001
= =
N
non
cn
noc P
PsP (2.8)
donde Sn es el ponderador del bien n.
2) si se utiliza la frmula del promedio geomtrico
1001
0
= =
N
n
S
n
cno
c
n
ppP (2.9)
3) si se utiliza el cociente de medias
100
1
0
1
=
=
=
N
nnn
N
n
cnn
oc
ps
psP (2.10)
4) si se utiliza la media armnica
1001
1
=
=
N
ncn
on
n
oc
pps
H (2.11)
Donde los ponderadores se representan con la letra s. Las suma
de estos tiene que ser igual a uno.
El siguiente problema es determinar qu valor otorgarle a cada
ponderador, ya que no puede ser arbitrario. Es claro que, para un
ndice que intente medir el costo de la canasta de bienes consumida
por una determinada poblacin, lo ideal sera ponderar a cada bien
por la importancia que este tiene en el gasto total de la familia.
Es decir si las familias destinan el 50% de su gasto total en el
alquiler de la vivienda, es lgico que el ponderador de este
servicio sea de 0.5. Sin embargo, aunque estemos de acuerdo que el
ponderador sea la proporcin que ese bien representa en el total del
gasto, queda resolver en qu ao?, en el ao base?, o en el que
estamos considerando?. La diferencia no es menor, ya que si por
ejemplo estamos construyendo el ndice de precios de 1995, base
1980. El peso, por ejemplo, del alquiler puede ser muy diferente
entre ambos aos, y por lo tanto el ndice ser muy diferente.
- 14 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
Concepto a resaltar: Ponderador
En esta seccin se puso de manifiesto otro componente fundamental
en la construccin de un nmero ndice como es el peso que tendr cada
uno de los bienes.
En suma, de las ltimas secciones surgen dos cuestiones
fundamentales a tener en cuenta en la construccin de un nmero
ndice: a) la frmula de agregacin (aritmtica, armnica, geomtrica,
cociente de medias) y b) el valor del ponderador (ao base, ao
considerado)
De acuerdo a la forma en que se respondan estas cuestiones,
surgirn diferentes nmeros ndices. Dejaremos la frmula de agregacin
geomtrica para la ltima seccin y nos concentraremos en los
promedios aritmticos y armnicos, que son los ms utilizados en la
prctica.
2.4 Ejercicios y Problemas
Ejercicio 2.5.1.
En la ciudad de pocopan los consumidores tienen tres lugares
alternativos para comprar el pan: Negocio A, negocio B y negocio C.
Los precios y cantidades adquiridas en los diferentes lugares y
para los diferentes meses son los siguientes:
precio cantidad precio cantidad precio cantidad
Negocio A 0,8 200 0,9 190 0,9 190Negocio B 1,2 100 1,5 90 1,4
95Negocio C 1,5 50 1,5 60 1,7 40
mayo junio julio
El Concejo Deliberante de pocopan ha decidido incrementar los
salarios de los empleados municipales de acuerdo a las variaciones
del precio del pan. Para ello es necesario que la ciudad tenga un
ndice de precios del pan en forma mensual y lo contrata a usted
para que realice esa tarea. Calcule el ndice simple para los
diferentes meses e informe cual debera ser el incremento de
salarios en cada mes. es importante el mes que elige como base?
Sera su respuesta la misma si en lugar de contratarlo el
intendente, lo contrata el sindicato de empleados municipales.
Discuta las dos alternativas.
Ejercicio 2.5.2.
El intendente de pocopan, teniendo en cuenta que la produccin de
pan es la principal actividad del distrito y por lo tanto la
principal fuente de recursos municipales, ha decidido aprovechar
los datos obtenidos (precios y cantidades) de la encuesta realizada
en las panaderas para construir un indicador de produccin. Por lo
tanto se le pide a usted que construya, utilizando los datos del
cuadro anterior, las diferentes alternativas que podra tener ese
ndice para el perodo mayo-julio.
- 15 -
-
Agustn Ldola
3 NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA
Hemos repasado brevemente cuestiones generales sobre nmeros
ndices. Ahora nos dedicaremos a la parte prctica. Comenzaremos por
las cuestiones que tiene que ver con la construccin (seccin 3.1) de
los principales ndices de precios y volumen que utilizan las
agencias oficiales de estadsticas. Luego describiremos brevemente
algunos procedimientos comunes (Seccin 3.2) que se realizan con los
ndices y sus principales aplicaciones prcticas (seccin 3.3). Para
finalizar presentaremos los ms importantes ndices existentes en
Argentina (seccin 3.4)
3.1 Construccin
3.1.1 ndices de Laspeyres
ndice de Precios
Siguiendo el criterio de Laspeyres (1871), debemos considerar
como frmula de agregacin la media aritmtica presentada en (2.8)
=
=
N
non
cn
ioc
P
PsIP
1
(3.1)
y para calcular el ponderador de cada bien, se tiene en cuenta
la importancia que tiene ese bien en el ao base. Por lo tanto
comencemos por deducir el valor de s, que para el caso especfico
del ndice de precios de Laspeyres lo denominares con la letra
griega . Para ello hay que dividir el gasto en ese bien en el ao
base, por el gasto total en todos los bienes en dicho ao.
Gasto en el bien I en el ao base:
P QI IO0. (3.2)
donde Pi 0 es el precio del bien i en el perodo o (o base)
Gasto total en los tres bienes
000 ... IIIIIIOIIII
oI
oI QPQPQP ++
lo anterior se puede resumir
IIII oioi QP . (3.3)El cociente entre (3.2) y (3.3) nos
determina el ponderador para el bien I, que indicaremos con la
letra griega .
- 16 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
= oioioI
oI
IQPQP
(3.4)
Haciendo lo mismo para los otros dos bienes y reemplazando en la
ecuacin (3.1), obtenemos:
oioioI
oI
QP
QPoI
cI
P
P+ oii
oII
oII
QP
QP0 +o
II
cII
P
P
oioioI
oIII
QP
QPoIII
cIII
P
P (3.5)
Simplificando4 y agrupando5 la anterior expresin se obtiene la
siguiente frmula general para el ndice de precios de Laspeyres
(IPL).
=
=
= n
i
oi
oi
n
i
oi
ci
ocL
QP
QPP
1
1 (3.6)
Donde, respecto al PL el subndice indica el ao al que se quiere
hacer referencia y el suprandice el ao que se ha elegido como base.
Lo que hace este ndice es comparar el costo de adquirir la canasta
del ao base en el ao que se est considerando respecto al perodo
base. Para cada ao distinto de 1990 se deben comparar los precios
de ese ao referidos a la canasta del ao base, pues esta es la
caracterstica del IPL: comparar el precio que en distintos momentos
del tiempo cuesta la canasta relevante para el ao inicial tomado
como base.
De la ecuacin (3.1), tambin se puede obtener una formula general
para cuando se conoce el valor del ponderador:
= oi
ci
icL PPP 0 (3.7)
Hay dos caractersticas que es necesario resaltar en este punto.
Primero que el ndice de Laspeyres utiliza como ponderador al peso
que tiene el bien en el perodo elegido como base. Segundo que es un
promedio aritmtico de ndices elementales.
Tambin se puede mostrar la llamada formula de Laspeyres
modificada, que es la que en realidad utilizan la mayora de las
agencias de estadsticas del mundo. En esta frmula el ao de la
canasta es diferente del ao elegido como base. Esto surge
generalmente debido a que la publicacin de las nuevas series de
ndices de precios se produce un tiempo despus que la realizacin de
la encuesta de donde surge los valores de los ponderadores. As por
ejemplo, en Argentina la ltima encuesta nacional de gastos se
realiz entre 1996 y 1997 por lo tanto este es el perodo de la
canasta de bienes y servicios, pero se eligi como perodo base al ao
1999, de esta forma la ecuacin modificada de Laspeyres para el
ao
4 Fjese que en los tres miembros de esta suma aparece un mismo
nmero en el numerador y denominador Pi94 en el primero, etc.) por
lo tanto se puede simplificar.5 En los tres miembros de la suma, el
denominador es el mismo, por lo tanto se pueden agrupar.
- 17 -
-
Agustn Ldola
2000 sera la siguiente:
=
=
= n
iii
n
iii
L
QP
QPP
1
9799
1
972000
992000 x 100 (3.8)
En realidad se cambia la base de la serie del ndice pero no la
base de la canasta.
Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere calcular la inflacin
que experimentaron los estudiantes universitarios en una
determinada ciudad, entre 1988 y 1990. Por lo tanto se necesita un
ndice de precios relevantes para esa poblacin de referencia. A
travs de una encuesta a un nmero representativo de los mismos se
llega a la conclusin que la canasta de consumo correspondiente a
dicho grupo est constituida por dos bienes: fideos y libros y por
un servicio: alquileres.
En la siguiente tabla se muestra la informacin sobre cantidades
consumidas de dicho bienes en el perodo que se eligi como base
(1988) y la informacin de precios que se obtiene peridicamente de
otras encuestas especficas, para los aos 1988 y para 1990; columnas
(a), (b) y (c) respectivamente.
Precios y Cantidades ConsumidasEstudiantes Universitarios
Bien Cantidad Precios1988 1988 1990(a) (b) (c)
Fideos 10 5 8Libros 80 2 4Alquileres 1 40 45
Para obtener la inflacin entre 1988 y 1999 necesitamos construir
los ndices de precios de cada uno de esos aos. Dado que 1988 es el
ao elegido como base, ya conocemos que su valor es 100 por
convencin. Para el ndice correspondiente al ao 1990 utilizamos la
frmula (3.6).
Para obtener el numerador de esa frmula, construimos, en el
cuadro siguiente, la columna (e) que surge de multiplicar los
precios del ao que estamos considerando (1990) por las cantidades
del ao base (1988). La suma de esta columna es 445.
Clculo del ndice de Precios de Laspeyres
Bien Cantidad Precios Gasto1988 1988 1990 P88 Q88 P90 Q88(a) (b)
(c) (d)=(a)*(b) (e)=(a)*(c)
Fideos 10 5 8 50 80Libros 80 2 4 160 320Alquileres 1 40 45 40
45
Suma 250 445
Luego, para lograr el denominador de la frmula de Laspeyres,
construimos la columna (d), donde
- 18 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
para cada bien, se multiplica el precio y las cantidades del ao
elegido como base. Su valor es 250.
Dividiendo finalmente numerador por denominador y multiplicando
el resultado por 100, obtenemos el ndice de precios de Laspeyres
para 1990 (base 1988=100), IPL9088, que es igual a 178.
Este nmero, no tiene un valor en s mismo, y slo est indicado que
la canasta de bienes del perodo base, cuesta un 78% ms en el ao
considerado respecto al ao base. Esta variacin surge de la
siguiente operacin:
100*)1(% 8888
889090
88 =L
LL P
PP (3.9)
Con los datos anteriores podemos tambin calcular el ponderador
de cada bien. Para ello utilizamos la frmula (3.4). As de un gasto
total en el ao base de $250, en fideos se gast $50. Por lo tanto el
ponderador de este bien es 0,20 o 20% (=50/250). Lo mismo hacemos
con el ponderador de los libros (0,64 = 160/250) y de los
alquileres (0,16 = 40/250).
Habiendo calculado los ponderadores, podemos ahora utilizar la
frmula (3.7) para construir el ndice de Laspeyres. De esta forma el
PL para 1990 con base en el ao 1988 es el siguiente
PL9088 = ( 0,20 * (8/5) + 0,64 * (4/2) + 0,16 * (45/40)) * 100 =
178,00 (3.10)
En forma general entonces, el ndice de precios de Laspeyres para
un determinado ao c, tomando como base a un ao o es igual a:
100
1
1 =
=
=
n
i
oi
oi
n
i
oi
ci
ocL
QP
QPP (3.11)
Digresin: lgebra matricial
La ecuacin anterior puede simplificarse utilizando lgebra
matricial. Cuando se trata con pocos bienes no hay problemas en
seguir con la notacin anterior, pero en otros casos la utilizacin
de lgebra matricial (vectores principalmente) simplifica en gran
medida la forma de escribir. Por ejemplo podemos definir un vector
de precios del ao base, que denominaremos p0, como el conjunto
ordenado de los precios de todos los bienes en dicho ao (pI, pII,
...). De la misma forma el vector de cantidades, qc, puede
representar las cantidades de los bienes en el ao que estamos
considerando (qI, qII, ...). Lo til de definir a los conjuntos de
precios y cantidades como vectores es que la multiplicacin de dos
vectores se realiza de la siguiente manera:
Por ejemplo y utilizando los datos del ejemplo anterior, si
tenemos el vector (fila)
p0 = p 88 = [5, 2, 40]
y el vector (columna)
- 19 -
-
Agustn Ldola
q0 = q88 =
18010
el producto de p0 * q0 = [5 (10) + 2 (80) + 40 (1)] = 250, que
es el numerador del ndice de Laspeyres.
Y definiendo el vector (fila) pc = p90 = [8, 4, 45], el producto
de pc*q0 = [8*10 + 4*80 + 45*1 ]= 445, es el denominador del ndice
de Laspeyres.
Por lo tanto la ecuacin (10) utilizando la notacin vectorial
puede expresarse como:
10000
= o
cocL qp
qpP
Como puede observarse, en esta expresin no aparece el smbolo de
sumatoria debido a que los p y q no son simples precios y
cantidades de un bien sino vectores de precios y cantidades y por
lo tanto representan un conjunto de bienes.
Indice de Volumen
3.1.2 ndices de Paasche
ndice de Precios
El ndice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos.
En primer lugar utiliza como frmula de agregacin la media armnica,
expresada en la ecuacin (2).
.
=
=N
ncn
on
n
oc
pps
H
1
1 (3.12)
En segundo lugar considera que el ponderador (s) de cada bien es
el peso que tiene ese bien en el gasto total del ao que se est
considerando. Por lo tanto a diferencia de Laspeyres, donde para
cada bien exista un ponderador, en este caso habr un ponderador
para cada bien, pero tambin para cada ao. Es decir, no slo el peso
de los fideos ser diferente al de los libros (al igual que suceda
en el ndice de Laspeyres), sino el peso de los fideos (y el de
todos los bienes) puede ser diferente de acuerdo al ao que se est
considerando. Para el caso especfico del ndice de precios de
Paasche denominaremos al ponderador por la letra griega . Por lo
tanto el ndice de precios de Paasche para un determinado ao,
digamos 1995 para seguir con el ejemplo de los estudiantes, tomando
como base a 1994, se representa por la siguiente frmula:
- 20 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
10013
195
9495
9495 =
=i i
ii
P
PP
P (3.13)
Donde I, el ponderador del bien I, para el ao 1995 sera:
= 95959595
95
i
III QP
QP (3.14)
Calculando los ponderadores de los dems bienes y reemplazndolos
en la ecuacin (3.13), se obtiene
1001
95
94
9595
9595
95
94
9595
9595
95
94
9595
9595
9495
++
=
===
III
III
i
III
Iii
IIIIII
II
II
i
III
Iii
IIII
I
I
i
III
Iii
II
P
PP
QP
QPPP
QP
QPPP
QP
QP
P
extrayendo factor comn en el denominador y simplificando:
( ) 100*11
959495949594
95
1
95
9495
++=
=
IIIIIIIIIIIIn
i
P
QPQPQPQP
P
que es equivalente a:
100*1
95
1
95
95
1
94
9495
i
n
ii
i
n
ii
P
QP
QPP
=
=
=
expresando lo anterior como la recproca de su recproca
- 21 -
-
Agustn Ldola
100
1
9590
1
9595
9495 =
=
=
n
iii
n
iii
P
QP
QPP
en forma general
100
1
1 =
=
=
n
i
ci
oi
n
i
ci
ci
ocP
QP
QPP (3.15)
Donde ahora en el numerador y denominador, las cantidades son
las del ao que estamos considerando y no las del ao base como en la
frmula de Laspeyres. En este caso como el perodo de comparacin est
al final, cada ndice compara el costo de adquirir la canasta del ao
que se est considerando, respecto al ao base.
Sigamos con el ejemplo anterior, calculemos el incremento en el
costo de la canasta de bienes consumida por los estudiantes entre
1988 y 1990, de acuerdo a la frmula de Paasche. Para ello, adems de
los datos de precios para los dos perodos y cantidades para el
perodo base, tambin se necesita cantidades consumidas para todos
los aos. El requerimiento de informacin para construir un ndice de
Paasche es mayor que para el caso de Laspeyres. Los datos se
muestran en la siguiente tabla:
Precios y Cantidades Consumidas por los Estudiantes
Universitarios
Bien Cantidad Precios1988 1988 1990(a) (b) (c) (d)
Fideos 10 6 5 8Libros 80 50 2 4Alquileres 1 1 40 45
De la misma forma que hicimos para armar el ndice de Laspeyres,
calculemos cada parte de la frmula de Paasche. En este caso tenemos
que estimar la ecuacin (3.15). Para calcular el numerador
construimos la columna (e), que se obtiene de multiplicar el precio
que cada bien tena en el ao base (1988) por las cantidades del ao
que estamos considerando (1990). La suma de esta columna es
170.
- 22 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
Clculo del ndice de Precios de Paasche
Bien Cantidad Precios Gasto1988 1990 1988 1990 P88 Q90 P90
Q90(a) (b) (c) (d) (e) = (a) * (d) (f) = (b) * (d)
Fideos 10 10 5 8 30 48Libros 80 80 2 4 100 200Alquileres 1 1 40
45 40 45
Suma 170 293
Luego para obtener el valor del denominador construimos la
columna (f), que surge de multiplicar el precio que cada bien tiene
en el ao que estamos considerando por las cantidades consumidas en
ese ao (1990). La suma de la columna es 293.
Por ltimo, dividiendo numerador por denominador y multiplicando
el resultado por 100, obtenemos el ndice de precios de Paasche para
1990 (base 1988=100), IPP9088, que es igual a 172,35. Este nmero,
no tiene un valor en s mismo, y slo est indicado que la estructura
de bienes del perodo considerado hubiera costado un 72,35% menos en
el perodo base. Esta variacin surge de la siguiente operacin:
72,35%1001100
172,351001PP
PP
PP =
== )(% 8888
889090
88
Con los datos anteriores podemos tambin calcular el ponderador
de cada bien y para cada ao. Para ello utilizamos la frmula (3.11).
As de un gasto total en el ao 1990 de $293, en fideos se gast $48.
Por lo tanto el ponderador de este bien es 0,16 o 16% (=48/293). Lo
mismo hacemos con el ponderador de los libros (0,68 = 200/293) y de
los alquileres (0,15 = 45/293). Habiendo calculado los
ponderadores, podemos ahora utilizar la frmula (3.13) para
construir nuevamente el ndice de Paasche. De esta forma el IPP para
1990 con base en el ao 1988 es el siguiente
172,35100
45400,15
420,68
850,16
1PP =++
=8890
Por lo tanto utilizando el ndice de precios de Paasche la
variacin de precios fue 72,35%, mientras que si medimos esta
variacin por Laspeyres el resultado es de 78,00%. Por qu surgen
diferencias? Cul de esas frmulas es la correcta? Cul es la mejor?.
En realidad las dos frmulas son correctas y las diferencias pueden
explicarse tanto por las distintas frmulas de agregacin como por
los diferentes ponderadores que ambas utilizan. No es claro que una
de las frmulas sea mejor que otras. Como en el caso de la
comparacin que hicimos en los ndices elementales, en este caso,
tambin puede utilizarse las propiedades matemticas (enfoque
axiomtico) o la teora econmica, para ver cual de estos ndices es
mejor. En la prxima seccin se tratan estos dos enfoques, pero
realicemos un ejemplo para ir intuyendo cul de los ndices puede
cumplir mejor el objetivo buscado, que es medir la evolucin de los
precios de la economa.
- 23 -
-
Agustn Ldola
ndice de Volumen
3.1.3 Relacines entre los ndices de Paasche y Laspeyres
ndices de Precios
Supongamos que se desea construir un ndice de precio para la
fruta y existen dos tipos de frutas relevantes: manzanas y
naranjas. Es decir la canasta de este ndice esta integrada por
estos dos bienes. La tabla que sigue muestra los precios y las
cantidades consumidas de manzanas y naranjas en Abril, Mayo, Junio
y Julio.
Precios y Cantidades de Naranjas y ManzanasPerodo:
abril/julio
Abril Mayo Junio JulioP Q P Q P Q P Q
Naranjas 12 6 20 3 20 2 20 2Manzanas 4 7 4 10 4 15 2 30
Primero calculemos el ndice de precios de Laspeyres (IPL)
tomando al mes de Abril como base, como es convencional el ndice
para ese perodo es igual a 100, pero calculemos para el mes de
Mayo
148100287228120100
7461274620
=
+
+=
+
+=
abrmarLP
Tambin podemos calcular el ndice de Paasche (IPP), para el mes
de Junio:
11910060246040100
)154()212()154()220(
=+
+=
+
+=
ABRJUNPP
Haciendo lo mismo para los otros meses, obtenemos dos series de
ndices de precios. A partir de ellos es posible deducir las
variaciones mensuales del precio de las frutas. Los resultados para
todo el perodo de los dos ndices se exponen en la siguiente
tabla:
Precio de la FrutaPerodo abril-julio
En ndices (base abril=100) y variaciones porcentuales
mensuales
Laspeyres
(abril=100)
Variacin resp. Mes
anterior
Paasche (abril=100) Variacin resp.
mes anteriorAbril 100 100Mayo 148 48% 132 32%Junio 148 0% 119
-10%Julio 134 -9% 69 -42%
Realicemos algunos comentarios:
- 24 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
1. Las estimaciones de cambios de precios mensuales pueden
diferir substancialmente, dependiendo solamente de cmo el ndice es
construido.
En sentido matemtico, y como veremos ms detalladamente, las
diferencias estn en la frmula de agregacin y en los ponderadores
que difieren en las dos frmulas. En un anlisis ms intuitivo hay que
decir que las dos frmulas responden preguntas diferentes sobre la
evolucin del nivel de precios. Mientras que con el empleo de la
frmula de Laspeyres se trata de contestar Cunto ms (o menos) cuesta
en el perodo considerado la estructura de bienes del perodo base?;
con el empleo de la frmula de Paasche se trata de responder Cunto
menos (o ms) hubiera costado en el perodo base la estructura de
bienes del perodo considerado?
El ndice de Laspeyres y el de Paasche coinciden cuando el
consumidor no efecta sustituciones en su patrn de consumo. Las
curvas de indiferencia de ese consumidor seran ngulos rectos (del
tipo Leontieff). Sus elasticidades precio de demanda son iguales a
cero; es decir que se abstiene de efectuar sustituciones en su
canasta cuando se modifican los precios relativos. Si su ingreso
nominal permanece constante pero aumentasen los precios, este
consumidor reducira proporcionalmente su consumo de todos los
bienes, aun cuando algunos hayan aumentado ms que otros. Para este
consumidor, en suma, la utilidad se maximiza consumiendo una
canasta fija de bienes.
2. El ndice de Paasche es menor que el ndice de Laspeyres.
Matemticamente la explicacin puede venir por el lado de que la
media armnica (que se utiliza para construir un ndice de Paasche)
es siempre menor que la media aritmtica (que se utiliza en el ndice
de Laspeyres).
Pero adems tiene mucha influencia el tipo de ponderacin que cada
uno de ellos tiene implcito. Mientras que el de Laspeyres es fijo,
en la formula de Paasche es variable. Con la ponderacin mvil
(Paasche) existe mayor correspondencia con la realidad, pues si las
ventas de un producto disminuyen relativamente, tambin se reducir
su ponderacin y aumentar la de otros cuyas ventas aumentaron. Este
efecto sustitucin, que realizan los consumidores hacia bienes que
se abaratan, Laspeyres no lo tiene en cuenta.6
La importancia del ponderador queda reflejada si observamos los
ndices y las correspondientes variaciones en el mes de Julio. En
dicho mes hubo una declinacin sustancial en el precio de las
manzanas (50%). A diferencia de Paasche, el ndice de Laspeyres pone
menos peso sobre esta declinacin debido a la importancia relativa
de las manzanas en el perodo base, Abril. Verificar que para
Laspeyres, las naranjas en Julio tienen un ponderador de 28% (igual
que en todos los meses), sin embargo para Paasche el peso es de
60%.
3. El ndice de Paasche no slo toma en cuenta variaciones de
precios, sino tambin variaciones de cantidad.
A pesar de que con la ponderacin mvil existe mayor
correspondencia con las sustituciones entre bienes que realizan los
consumidores, tiene el inconveniente de que, aunque no se produzcan
cambios de precios, el nivel general del ndice puede subir o bajar
por el solo efecto de cambios de ponderacin, lo que da una idea
equvoca de la realidad. Observemos que si bien ninguno de los
precios cambia en Junio, el ndice de Paasche cambia
significativamente. El ndice de precios de Paasche no slo mide
variaciones de precios sino tambin variaciones de cantidad.
Con la ponderacin fija el nivel general de precios slo cambia si
hay variaciones de precios (o de produccin, segn el ndice); por
ello es preferido a los ndices anteriores, pero es posible, sin
embargo, que la magnitud de la variacin est influenciada por
productos que en la realidad han dejado de gravitar.
Hay que remarcar, que este problema est presente cuando se
comparan dos perodos que no son base. Se deja como ejercicio
demostrar que si el mes de Mayo hubiese sido el perodo base, las
dos frmulas hubiesen dado la misma variacin entre Mayo y Junio. En
este caso los ndices de Lasyperes y Paasche para Mayo y Junio
hubieran sido iguales a 100, y en consecuencia la variacin de
precios, medida por las dos frmulas, hubiera sido nula.7
6 Para ser puntillosos hay que remarcar que el efecto sustitucin
tampoco Paasche lo capta totalmente, ya que en este, al igual que
en Laspeyres, la canasta de bienes es fija. Por lo tanto Paasche
tiene en cuenta el efecto sustitucin si este se produce entre
bienes que integran la canasta original. 7 Puede verse Szychowski
(1977).
- 25 -
-
Agustn Ldola
4. En la prctica, la frmula de Laspeyres es ms fcil y econmica
de calcular que la de Paasche.
A pesar de lo anticipado en esta seccin y lo que agregaremos
luego cuando veamos cmo estas frmulas cumplen ciertos test
estadsticos, lo que define la utilizacin por parte de las agencias
de estadsticas de todo el mundo, de una frmula u otra son las
cuestiones de orden prctico.
Supongamos que se trata de un ndice de precios al consumidor. Si
se utiliza Laspeyres, el denominador es el valor de la canasta
familiar en el ao base, que se obtiene de una vez para todo el
perodo; y, en cuanto al numerador slo deben obtenerse los precios
de los bienes y servicios componentes de la canasta, pues las
cantidades son las del ao base. Si se aplicara Paasche, habra que
determinar los consumos (cantidades) de cada mes o ao de la serie,
lo que significa una considerable dificultad; y, adems, las
variaciones de precios. No hay duda de que en este caso es
preferible adoptar Laspeyres, y lo mismo si se tratara de un ndice
de precios mayoristas o minoristas, aunque para tal fin es
frecuente que se emplee una adecuacin de esa frmula, a la que nos
referiremos ms adelante.
En el caso de un ndice de precios de exportaciones o
importaciones se cuenta con informacin actualizada, tanto sobre las
cantidades comerciadas en cada ao, dato que se necesita para
calcular el denominador de Paasche, como sobre el valor de las
exportaciones o importaciones (numerador de la frmula) sin
necesidad de multiplicar precio por cantidad. En cambio sera algo
ms engorroso aplicar Laspeyres, porque habra que obtener para el
numerador los precios medios de los productos exportados o
importados. De ah que se prefiera Paasche. No obstante, ante la
falta de comparabilidad de los resultados de perodos intermedios de
la serie, es frecuente que se obtengan los ndices por grupos de
artculos y se les aplique una ponderacin, segn el valor comerciado
el ao base, obtenindose as un nivel general que permite tales
comparaciones, mientras no haya notables cambios en la composicin
de los grupos. Este tema se ver en extenso mas adelante, en el
captulo sobre ndices de Comercio Exterior.
ndices de Precios y de Volmenes
3.1.4 Otros ndices
La historia de los ndices de precios no termina con las frmulas
de Laspeyres y Paasche, en realidad se podra decir que recin
comienza con estas. Existe una enorme variedad de frmulas. Fisher
en su clsico libro presenta y analiza ms de un centenar de ellas.
En esta parte analizaremos las que son ms relevantes para el
objetivo de estos apuntes. En realidad veremos que estas surgen de
combinar de diferente forma las caractersticas (formas de
agregacin, ponderadores) ya vistas de los ndices de Laspeyres y
Paasche.
ndice de Palgrave
El ndice de Palgrave es una media aritmtica (como el de
Laspeyres) de los ndices elementales, pero con las ponderaciones
del perodo que se est considerando (como el de Paasche).
De esta forma partimos de la frmula (2.8)
=
=
N
non
cn
iocP P
PsP1
donde Si es el ponderador de Paasche, es decir . Por ejemplo,
siguiendo con el ndice de precios de los estudiantes para el bien I
para 1995 sera:
= 95959595
95
i
III
QP
QP
- 26 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
Reemplazando el en la ecuacin anterior, y multiplicando y
dividiendo el numerador por pio se
obtiene:
100
1
1
2
=
=
=
N
n
cn
cn
N
n
cn
cno
n
cn
PAL
qp
qppp
P
Veamos cual sera la inflacin experimentada por los estudiantes,
si se mide la misma a travs de
la frmula de Palgrave.
Clculo del ndice de Precios de PalgraveAo 1990
Bien Cantidad Precios Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990
P90/P88 P90 Q90 1990
a b c d e = d/c f = e2 x c x b g = b x d
Fideos 10 6 5 8 1,600 76,80 48,00 0,164Libros 80 50 2 4 2,000
400,00 200,00 0,683Alquileres 1 1 40 45 1,125 50,63 45,00 0,154
Total 527,43 293,00
En primer lugar, para calcular el numerador de la frmula,
construimos una columna que mida el cociente entre precio del ao
que estamos considerando y precio del ao base (columna e). Luego
multiplicamos el cuadrado de esa columna por el precio en el ao
base y por las cantidades del ao que estamos considerando (columna
f). La suma es 527,43 y es el numerador de la frmula. El
denominador lo obtenemos multiplicando los precios por las
cantidades del ao que estamos considerando (columna g). El
resultado es 293,00.
Dividiendo numerador por denominador y multiplicando por 100, se
tiene el ndice de precios de Palgrave para el ao 1990, tomando como
base 1988. Este toma un valor 180,01; lo que indica que los precios
para los estudiantes aumentaron (aprox.) un 80%.
ndice armnico
Otra frmula para construir un nmero ndice, conocida como ndice
armnico, es combinar las dos caractersticas utilizadas en el ndice
de Palgrave, pero al revs. Utilizar la forma de agregar de Paasche,
es decir hacer un promedio armnico, pero utilizando los
ponderadores de Laspeyres, o sea los del perodo base.
Por lo tanto en la ecuacin de la media armnica presentada en
(2.11)
=
=N
ncn
on
n
ocH
pps
P
1
1
- 27 -
-
Agustn Ldola
y el ponderador de cada bien (Sn) sera el de la frmula de
Laspeyres, es decir , que para el bien I sera:
= oioioI
oI
I QPQP
Calculando el ponderador para los otros bienes y reemplazndolos
en la frmula se obtiene el ndice armnico en funcin de precios y
cantidades:
100
1
21
=
=
=
N
n
on
cnc
n
on
N
n
on
on
ocH
qppp
qpP
Veamos en este caso, cunto sera la inflacin experimentada por
los estudiantes si medimos la variacin de precios por este
ndice.
Clculo del ndice de Precios Armnico
Bien Cantidad Precios Gasto Relativo Ponderador1988 1988 1990
P88 Q88 P88/P90 1988
a b c d = a x b e F = e2 x a x c f
Fideos 10 5 8 50 0,625 31,250 0,20Libros 80 2 4 160 0,500 80,000
0,64Alquileres 1 40 45 40 0,889 35,556 0,16
Total 250 146,8056
Al igual que los anteriores calculemos primero el numerador.
Para eso construimos la columna (d) que surge de multiplicar los
precios y cantidades del ao base. La suma de la misma es de 250.
Para el denominador calculamos en primer lugar la razn entre el
precio del ao base y el precio del ao que estamos considerando.
Luego multiplicamos el cuadrado de esta columna por las cantidades
del ao base y los precios del ao que estamos considerando (columna
f). El resultado es 146,81. El ndice de precios armnico es el
cociente entre ambos multiplicado por 100. Su valor es de 170,29 e
indica que los precios para los estudiantes se incrementaron un
70,29%.
ndices Geomtricos
Adems de los ndices mencionados, basados en frmulas de agregacin
aritmticas y armnicas, se han propuesto ndices basados agregar
precios de acuerdo a la media geomtrica.
Combinando esta frmula de agregacin geomtrica vista en (2.9) con
los ponderados del ao base y del ao que estamos considerando,
obtenemos los ndices geomtricos de Laspeyres y Paasche
respectivamente.
As obtenemos el ndice geomtrico de Laspeyres:
- 28 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
1001
0
0
= =
N
n
S
n
cno
cGL
n
ppP
y el ndice geomtrico de Paasche:
1001
0
= =
N
n
S
n
cno
cGL
cn
ppP (2.9)
Estos ndices geomtricos pueden expresarse en forma logartmica
como una media aritmtica ponderada de los logaritmos de los ndices
elementales de precios, por lo cual a veces se lo llaman ndices de
variacin logartmica (log-change index). As se obtienen los
respectivos ndices logartmicos de Laspeyres y Paasche:
10001
= = n
cn
N
n
on
ocLnGL p
pLnsP
10001
= = n
cn
N
n
cn
ocLnGP p
pLnsP
Clculo del ndice de Precios Geomtrico de Paasche
Clculo del ndice de Precios Geomtrico de Laspeyres
- 29 -
Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990 P90/P88 1990
a b c d e= d/c f g=e (elevadado a la) f
Fideos 10 6 5 8 1,600 0,164 1,080Libros 80 50 2 4 2,000 0,683
1,605Alquileres 1 1 40 45 1,125 0,154 1,018
Producto 1,765por 100 176,51
PreciosBien
Cantidad
-
Agustn Ldola
3.1.5 ndices Espaciales
Hasta ahora hemos hecho nfasis en la construccin de ndices de
precios intertemporales, es decir de aquellos ndices que comparan
la evolucin de los precios en el tiempo. Sin embargo existe otra
dimensin importante de los nmeros ndices, que se relaciona con
comparar precios en el espacio, ya sea entre pases o entre regiones
de un mismo pas.
Cuando la comparacin entre pases o regiones se reduce a dos de
ellas (comparaciones bilaterales), todo lo dicho hasta el momento
para los ndices intertemporales es aplicable tambin a este tipo de
ndices.
Un ndice espacial de precios mide diferencias en el nivel de
precios entre distintos lugares. Conceptualmente es similar al
ndice de precios visto anteriormente, pero en vez de referirse a la
medicin temporal de los movimientos de precios, se concentran en el
aspecto regional de los mismos.
Al nivel de las comparaciones internacionales, los ndices
espaciales adquieren particular importancia porque se puede
utilizar, en reemplazo de los tipos de cambios oficiales, para
convertir varios agregados econmicos en una unidad de moneda comn,
permitiendo as las comparaciones entre pases. Los agregados
econmicos convertidos representan valores reales.
Pero no reales en sentido de estar expresado en moneda de un
perodo de tiempo y de esta manera eliminar las variaciones
intertemporales de precios. En este caso el concepto de real hace
referencia a estar expresado en moneda de un pas determinado y as
se elimina las diferencias de precios entre pases. En otras
palabras, el consumo de un pas puede ser mayor que otro, ya sea
porque consume cantidades mayores de bienes o porque los precios de
esos bienes son ms altos en ese pas que en el otro. Esta diferencia
de precios entre pases es la que posibilita eliminar los ndices
espaciales de precios.
Ahora bien, no todo lo dicho para los ndices intertemporales se
aplica linealmente a los ndices espaciales. La principal diferencia
en la construccin de un ndice espacial de precios est dada por la
formacin de los precios relativos. En los casos anteriores estos
relativos se construan como el cociente entre el precio de una
determinada variedad en el perodo que estamos considerando versus
el precio de esa misma variedad en el perodo base. Ahora, en el
caso de los ndices espaciales, precios relativos representan el
cociente entre el precio de una variedad en una determinada
localidad versus el precio de esa misma variedad en la localidad
elegida como base.
Luego debe elegirse una formula de agregacin y un ponderador, al
igual que los ndices intertemporales vistos hasta ahora.
Por ejemplo utilizando el criterio de Paasche podemos optar por
el promedio armnico como formula de agregacin y como ponderador el
peso que cada variedad tiene en la localidad.
El ndice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos.
En primer lugar utiliza como frmula de agregacin la media armnica,
expresada en la ecuacin (2-11).
.
=
=N
ncn
on
n
oc
pp
sIH
1
1
- 30 -
Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990 P90/P88 1988
a b c d e= d/c f g=e (elevadado a la) f
Fideos 10 6 5 8 1,600 0,200 1,099Libros 80 50 2 4 2,000 0,640
1,558Alquileres 1 1 40 45 1,125 0,160 1,019
Producto 1,744por 100 174,45
BienCantidad Precios
-
Apunte sobre Nmeros ndices
En este caso pon indica el precio del bien n en la localidad o.
El ponderador sera el peso que ese bien tiene en el gasto total de
la localidad considerada.
3.1.6 En la realidad
En la seccin anterior hemos presentado los aspectos bsicos sobre
la construccin de ndices de precios de acuerdo a las principales
formulas disponibles. En todos esos casos hemos utilizado varias
simplificaciones respecto a lo que es la construccin habitual de
los ndices de precios en una oficina de estadstica (como el INDEC
en nuestro pas).
Por ejemplo, adems de haber utilizado pocos bienes cuando en la
realidad los ndices de precios toman en cuenta una cantidad
importante de bienes y servicios; una simplificacin importante fue
el concepto utilizado de bien. Hemos empleado el agrupamiento bien
pero en realidad, y como se comento en la parte inicial, hay
diversas desagregaciones a considerar, como el de variedad,
producto, subgrupo, grupo, etc.
La idea de esta parte es explicar sintticamente los diversos
pasos que se llevan a cabo en la prctica usual de construir nmeros
ndices. Esas prcticas surgen de los manuales metodolgicos de las
distintas agencias y en este caso enfatizaremos el caso argentino
(INDEC, 2001)
La principal caracterstica que debemos resaltar es que existen
diversos agrupamientos de bienes. As el menor nivel de agregacin lo
constituyen las denominadas variedades (como por ejemplo las
naranjas). Un conjunto de variedades constituyen lo que se denomina
un producto (p.e.: frutas ctricas). A su vez un conjunto de
productos constituye un subgrupo (p.e.: frutas frescas). El nivel
subsiguiente de agregacin se denomina grupo (p.e.: Frutas).
Asimismo para caracterizar completamente a una variedad se le
agregan una especificacin (por ejemplo leche en sachet de plstico)
y atributos como peso, tamao, modelo, marca (por ejemplo litro). As
se obtiene un artculo, definido como un bien o servicio especfico
caracterizado por una especificacin y atributos (por ejemplo leche
en sachet de plstico de un 1 litro marca La Granja).
A los efectos de construir un ndice de precios en la prctica,
las oficinas de estadsticas (como el INDEC en Argentina) tienen que
realizar diversos pasos, que pueden resumirse en los
siguientes8:
1. Calcular los precios medios de las variedades
2. Construir los ndices elementales de cada una de las
variedades
3. Agregar los ndices elementales.
Precios Medios de las Variedades
El primero de ellos tiene que ver con la obtencin de precios
para cada una de las variedades.
Los precios de las variedades son recopilados en puntos de venta
pertenecientes a una muestra de negocios informantes. A cada
informante se le asignan un conjunto de variedades. A su vez en
cada visita se relevan precios de distintos artculos pertenecientes
a cada una de las variedades.
Por lo tanto el precio medio de las variedades se obtienen en
los siguientes pasos:
en primer lugar se calculan la media geomtrica de los precios
observados para los artculos pertenecientes a la variedad
luego se calcula la media geomtrica del negocio, considerando
todas las visitas realizadas.
En tercer lugar se calcula una media geomtrica de los negocios,
considerando separadamente a los supermercados e hipermercados por
un lado y al resto de los negocios por el otro.
Por ltimo, cuando los precios de los artculos se observan en
ambos tipos de negocios, el precio de medio de la variedad se
calcula como un promedio ponderado de los precios geomtricos
calculados para cada tipo de negocio. Como ponderador () de los
precios de los hiper y supermercado se utiliza la proporcin de
ventas en el total realizada por
8 Lo que sigue se basa en INDEC (2001).
- 31 -
-
Agustn Ldola
este tipo de negocios, y como ponderador del resto de los
negocios la diferencia (1-).
Construccin de ndices Elementales
Una vez calculado los precios medios de las diferentes
variedades, el ndice elemental de cada variedad surge de comparar
el precio medio de ese mes con el precio medio del ao base.
Construccin de ndices de los Agrupamientos
Por ltimo, desde el nivel de producto hasta el nivel general, el
ndice de precios del momento t con respecto al ao base 0 se basa en
la frmula de Laspeyres (ecuacin 3.7).
3.2 Algunos Procedimientos Comunes
Habiendo repasado los principales aspectos sobre la construccin
de ndices de precios, en esta seccin describiremos algunos
procedimientos comunes en la utilizacin de los nmeros ndices, como
son el cambio de base de una serie o perodo de referencia, empalmar
series, desestacionalizar y hacer anlisis de incidencia.
3.2.1 Cambio de Base
En primer lugar debemos distinguir entre dos conceptos que puede
llevar a la confusin. Por un lado se encuentra el perodo base de la
canasta del ndice y por el otro se encuentra la base de la serie o
perodo de referencia. En esta seccin si bien vamos a ver un mtodo
simple para cambiar la base de la serie, tenemos que tener en
cuenta que siempre el perodo base de la canasta de bienes que lo
conforman se mantiene constante.
Para cambiar la base de un nmero ndice, sea ste de precios o de
cantidades, se debe dividir toda la serie por el valor que toma
dicho ndice en el ao que se pretende tomar como nueva base y luego
multiplicar por 100. -
Por ejemplo supongamos que tengamos la siguiente serie de
Indices de Precios de Laspeyres, base 1996=100. El ao 1996 es el ao
base de la canasta y el ao base de la serie.
- 32 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
ndice de Precios de LaspeyresPerodo 1996-2000
Base 1996=100Ao ndice Variacin % respecto
al mes anterior
1996 100,01997 108,0 8,0%1998 102,0 -5,6%1999 98,0 -3,9%2000
80,0 -18,4%
Ahora podemos cambiar el ao base de la serie, haciendo que el ao
2000 sea el perodo de referencia. Para ello dividimos uno a uno los
ndices de precios de cada ao por el ndice del ao 2000. El resultado
se expone en la siguiente tabla
ndice de Precios de LaspeyresPerodo 1996-2000
Base 2000=100
Ao ndice Variacin % respecto al mes
anterior
1996 125,01997 135,0 8,0%1998 127,5 -5,6%1999 122,5 -3,9%2000
100,0 -18,4%
Como vemos si bien el valor de los ndices ha cambiado, la
variacin de precios sigue siendo la misma, la canasta de bienes que
forman parte del ndice no se ha modificado. Es decir que entre, por
ejemplo, el ao 1996 y 1997, los bienes que la poblacin de
referencia consuma en 1996 aumentaron de precio un 8%. Esto no es
afectado por qu ao se elija como base de la serie.
3.2.2 Empalme
Esta operacin se requiere para los casos en que se tienen dos o
ms series de nmeros ndices que se hallan completas para los mismos
aos. Con una serie se intenta completar la otra. Si bien existen
diversos procedimientos para llevar a cabo esta operacin se
explicar slo la ms sencilla. La misma consiste en calcular el
incremento experimentado en cada uno de los aos de acuerdo a la
serie que se halla completa y aplicar dicho incremento a la serie
incompleta. Esto no es ms que una aplicacin de la regla de tres
simple.
Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos las siguientes series
de ndices de precios. La primera, base 1986=100, abarca el perodo
1986-1994; la segunda, base 1993=100, abarca los aos 1993 en
adelante.
- 33 -
-
Agustn Ldola
ndices de Precios
Serie SerieBase 1986=100 Base 1993=100
1986 100,01987 2346,01988 34500,01989 234563,01990 301478,01991
307500,01992 315342,01993 309431,0 100,01994 102,01995 104,01996
103,01997 106,01998 109,01999 112,02000 120,0
Por lo tanto si necesitamos una serie desde 1986 en adelante,
ninguna de las anteriores por s sola abarca todos los aos. Es
necesario empalmar las dos series. Para eso se hace lo siguiente.
En primer lugar para los aos ms recientes, desde 1993 en adelante,
la serie empalmada va a estar formada por los ndices
correspondientes a la serie 1993=100. Para los aos anteriores
aplicamos regla de tres simple. Es decir para el ndice del ao 1992
multiplicamos el ndice para 1992 de la serie base 1986=100
(=315342) por el ndice para 1993 de la serie 1993=100 (=100) y lo
dividimos por el ndice del ao 1993 de la serie 1986=100 (=309431).
El resultado es 101,91. Este resultado nos sirve para obtener el
ndice de precios para 1991 de la serie empalmada. Hacemos el mismo
procedimiento para todos los aos anteriores. El resultado se expone
en la siguiente tabla, donde adems se exponen las variaciones
porcentuales de las tres series, la serie base 1986=100, la base
1993=100 y la empalmada.
Serie Empalmada Serie Serie Serie EmpalmadaBase 1993=100 Base
1986=100 Base 1993=100 Base 1993=100
- indice -
- variaciones porcentuales -
1986 0,031987 0,76 2246,0% 2246,0%1988 11,15 1370,6% 1370,6%1989
75,80 579,9% 579,9%1990 97,43 28,5% 28,5%1991 99,38 2,0% 2,0%1992
101,91 2,6% 2,6%1993 100,00 -1,9% -1,9%1994 102,00 2% 2,0%1995
104,00 2% 2,0%1996 103,00 -1% -1,0%1997 106,00 3% 2,9%1998 109,00
3% 2,8%1999 112,00 3% 2,8%2000 120,00 7% 7,1%
- 34 -
-
Apunte sobre Nmeros ndices
Como se puede observar lo nico que hace este procedimiento es
mantener las variaciones porcentuales de cada serie. Es decir hasta
1992 las variaciones de la serie empalmada corresponden a la serie
1986=100, mientras que a partir de 1993 las variaciones son las de
la serie 1993=100.
Hay que mencionar que lo anterior es vlido porque estamos
empalmando un simple nmero ndice. Sin embargo en marco contable no
es posible preservar las relaciones contables entre un agregado y
sus componentes al mismo tiempo que se empalman por separado dicho
agregado y sus componentes. Estas cuestiones las explicaremos mejor
en la seccin 5.3.
3.2.3 Desestacionalizacin
Hay series de precios, demanda o produccin que experimentan
variaciones en alza o baja reproducidas anualmente en los mismos
perodos (meses, trimestres) por la incidencia de determinados
factores. As la demanda de ciertos productos experimenta un
incremento en diciembre (consumos navideos) o en verano. La
produccin industrial y de algunos servicios declina en enero y
febrero, meses de vacaciones, y la agrcola en diversos meses, segn
los productos de que se trate. Igual hecho se percibe en el
movimiento turstico, interno o internacional, en el trfico de
cargas y pasajeros, etc.
Es importante conocer la existencia de dicha estacionalidad para
interpretar correctamente el sentido de las variaciones de una
serie y tener un conocimiento estadstico de ellas.
El clculo de estas variaciones estacionales tiende a obtener las
desviaciones en valor absoluto que se producen en cada mes del ao
con respecto a la media; o bien coeficientes estacionales que,
aplicados a la serie sometida a factores estaciones, permite
obtener otra serie corregida de tales fluctuaciones.
Veamos un ejemplo. En el siguiente grfico se expone una serie
trimestral de Producto Bruto Interno de un determinado pas para el
perodo 1993-1998.
Como se puede observar, siempre en el primer trimestre del ao
(sealado en grfico con una lnea) se produce una cada del Producto
Bruto; por lo tanto se puede concluir que ese comportamiento es
estacional.
Para obtener una serie que corrija este efecto, vamos a proceder
de la siguiente manera. En primer lugar vamos a calcular para cada
trimestre el promedio de los cuatro trimestres ms cercano (ver
columna B en el siguiente cuadro); por ejemplo el valor promedio
obtenido para el IV trimestre del ao 1993
- 35 -
200,0
220,0
240,0
260,0
280,0
300,0
320,0
I 93 III
I 94 III
I 95 III
I 96 III
I 97 III
I 98 III
-
Agustn Ldola
(240,6) surge de promediar los trimestres: II-93 (241,9); III-93
(242,9); IV-93 (245,9) y I-94 (232,9).
Luego del cociente entre el valor del trimestre y el valor
promedio surge un ndice que refleja una medida cuantitativa de la
diferencia entre el valor que asume el Producto Bruto en ese
trimestre y el valor promedio. Por ejemplo el ndice para el IV
trimestre de 1993 (1,018631) surge de dividir el valor el valor del
PBI para ese trimestre (245,1) y el valor promedio