Numerische Simulation von Mantelkonvektion: 3D, Kugelschale, temperatur- und druckabhängige Viskosität Geodynamik Workshop Hamburg, 2004 Geodynamik Arbeitsgruppe.

Numerische Simulation von Mantelkonvektion:3D, Kugelschale, temperatur- und druckabhängige Viskosität

Geodynamik Workshop Hamburg, 2004

Geodynamik Arbeitsgruppe Prof. Dr. U. Hansen

Kai Stemmer, [email protected]

Universität MünsterInstitut für Geophysik

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Aufbau des Vortrages

• Motivation

• Grundlagen thermischer Konvektion mit variabler Viskosität– Mathematisches Modell

– Numerisches Modell

• Strömung in einer Kugelschale:– Stationäre Strömung:

Einfluss der temperaturabhängigen Viskosität

– Zeitabhängige Strömung:

Einfluss von temperatur- und druckabhängiger Viskosität / internen Wärmequellen

• Zusammenfassung

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Motivation

• Thermische Konvektion beeinflusst das Erscheinungsbild der Planeten• Erde: Mantelkonvektion ist dominantes dynamisches System• Wahre Konvektionsstruktur ist unbekannt

Notwendigkeit numerischer Modelle

Mantelkonvektion der Erde

Laborexperimente / analytische Lösungen / Evolutionsmodelle ?

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Motivation

Numerisches Modell der Mantelkonvektion

• Physikalische Abschätzungen: Viskosität tiefenabhängig • Laborexperimente: Rheologie druck-, spannungs- und temperaturabhängig • Die meisten Modelle haben Beschränkungen: kartesisch und/oder isoviskos• Lateral variable Viskosität bedeutet extrem hohen numerischen Aufwand

Strömungsstruktur in einer Kugelschale? (vgl. 3D Box)Einfluss stark temperatur- und tiefenabhänger Viskosität?Einfluss interner Wärmequellen?

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Grundlagen thermischer Konvektionmathematisches Modell

3 partielle DGL + Zustandsgleichung für die Dichte:

• Massenerhaltung: Kontinuitätsgleichung• Impulserhaltung: Bewegungsgleichung• Energieerhaltung: Wärmetransportgleichung

Boussinesq Approximation:

• Dichteänderungen resultieren nur durch Temperaturänderungen• Nur die mit Auftriebskräften gekoppelten Dichteänderungen berücksichtigen

Skalierung der Gleichungen mit intrinsischen Variablen:

• charakteristische Länge und Zeit: Schalendicke, thermische Diffusionszeit• Ähnlichkeitsparameter: Rayleigh-Zahl

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Grundlagen thermischer Konvektionmathematisches Modell

Modellgleichungen der Rayleigh-Bénard-Konvektion

0 v

Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)

Bewegungsgleichung (Impulserhaltung)

02

Ra

RaTTv

t

T QWärmetransportgleichung (Energieerhaltung)

0)( r

T eRaTpvv

Rayleigh-Zahl0

3

Tdg

Ra

0

3

k

gQdRa

Q

linearisierte Arrhenius-Gleichung

.

))(ln())(ln(exp 0 refprefT TrRTTT

skontrastViskosität pT ,

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Thermische Konvektion mit lateral variabler Viskositätnumerisches Modell

Implementierte Methoden:

• Diskretisierung mittels Finiter Volumen• Collocated grid• Gleichungen in kartesischer Formulierung• Primitive Variablen• Kugelschale topologisch in 6 Würfelflächen unterteilt• Massiv Parallel, Gebietszerlegung (MPI)

• Zeitschrittverfahren: implizites unterrelaxiertes Crank-Nicolson Verfahren• Lösung des LGS: Gauß-Seidel / konjugierte Gradienten• Druckkorrektur: SIMPLER und PWI

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Vorteile dieser räumlichen Diskretisierung:

• Effiziente Parallelisierung• Keine Singularitäten an den Polen• Rechtwinklige Gitterlinien• Implizite Lösungsmethode (finite Volumen)

Control Volume laterales Gitter

Thermische Konvektion mit lateral variabler Viskositätnumerisches Modell

Erzeugung des Gitters

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Ra=7000, kubisches Muster (l,m)=(4,0)+(4,4)

• Plume-Kanäle werden breiter• Plume-Köpfe werden größer

Mit steigendem Viskositätskontrast:

Wärmetransport zur Oberfläche weniger effektiv

Stationäre Strömungen in der KugelschaleEinfluss der temperaturabhängigen Viskosität

1T 100T

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Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität

010T 310T

510T 610T

512 10Ra


Strömungen in der KugelschaleTiefenprofile: temperaturabhängige Viskosität

Mobile Lid: R < 102

Sluggish Lid : R = 103-104

Stagnant Lid: R > 104

Beweglichkeit der oberen Schichtabhängig vom Viskositätskontrast!

512 10Ra


Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität

1,0,10512 PRaqRa

310 T 510 T

• Plumeförmige Aufströme • Plumeförmige/flächenhafte Abströme• Quasistationäre Strömung

sluggish lid stagnant lid

Aufströme beeinflussen sich nicht (hohe Symmetrie der Kugelschale)


Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen

310T 610T010T

512 10Ra


Strömungen in der KugelschaleTiefenprofile: temperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen


Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen

1,10,105,10 35512 PTRaqRa

Hochviskoses Material taucht spontan ab.

interne Wärmequellen 57%

Laterale Bewegung der Aufströme (Plumes)


Strömungen in der Kugelschaletemperatur- und tiefenabhängige Viskosität

Temperaturabhängigkeit und Tiefenabhängigkeit der Viskosität konkurrieren!

100,10,0,10 450 PTRaqRa

Existenz einer „high viscosity zone“im unteren Mantel!

512 10Ra


Tiefenprofile (lateral gemittelt)

high viscosity zone

100,10,0,10 450 PTRaqRa

Strömungen in der Kugelschaletemperatur- und tiefenabhängige Viskosität


Zusammenfassung

• Entwicklung eines sphärischen Mantelkonvektionsmodells:• 3D, Kugelschale, lateral variable Viskosität, zeitabhängig

• Hohe Symmetrie der Kugelschale: Kaum Interaktion zwischen Plumes• i.a. plumeförmige Aufströme und flächenhafte Abströme

• Interne Heizung: • Strömung stark zeitabhängig • spontane Abstromereignisse beinflussen Ort der Aufströme

• Temperaturabhängige Viskosität:• Starke Zunahme der mittleren Temperatur• Mobile, sluggish und stagnant lid• Sehr schmale Plumes mit sehr hohen Geschwindigkeiten• Hochviskoses Material an der Oberfläche hemmt Wärmetransport

Numerische Simulation von Mantelkonvektion: 3D, Kugelschale, temperatur- und druckabhängige Viskosität Geodynamik Workshop Hamburg, 2004 Geodynamik Arbeitsgruppe.

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