IT Mathe 2 / Numerik – Def. / Zahlen / Methoden Blankenbach / SS2013 / 23.06.2013 1 Numerik 2. Sem. Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65 75175 Pforzheim Überblick / Anwendungen / Motivation: Die Numerik beschäftigt sich mit der „nicht -mathematischen“ Lösung mittels Computer von Gleichungen, Nullstellen, Integralen etc. Hierbei können Aufgaben gelöst werden, die „klassisch“ nicht lösbar sind oder die Lösung zu aufwändig ist. Wichtig ist hierbei, dass die Numerik „fehlerbehaftet“ ist und somit Ergebnisse geprüft werden müssen. Beispiel aus der Medizin (Quelle: PTB) Die Elektrokardiografie (EKG) ist eines der am häufigsten eingesetzten Messverfahren im klinischen Alltag. Um die diagnostische Aussagekraft von EKG-Signalen zu verbessern, ist es notwendig, den Zusammenhang zwischen der Quelle dieser Signale, also der elektrischen Erregungsausbreitung im Herzmuskel, und den an der Körperoberfläche gemessenen EKG-Signalen genauer zu analysieren. Die dafür benötigte Rechenzeit ging bisher über Tage. Das numerische Herzmodell, das gegenwärtig in der PTB entwickelt wird, arbeitet inzwischen so schnell, dass Parametervariationen innerhalb von einigen Stunden durchgeführt werden können. Zum selber ausprobieren: jede Programmiersprache, MS EXCEL, MATLAB, … Empfohlene Literatur (als Ergänzung zum Skript, welches für Klausur ausreichend ist) : - Knorrenschild: Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung, FV Leipzig - Herzberger: Übungsbuch zur Numerischen Mathematik, Vieweg - Prof. Dietz: Skript Numerik, HS Pforzheim (auch Quelle für einige Beispiele) - Für mathematische Grundlagen: Papula : Mathematik für Ing. und NW, Vieweg
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Mathe 2 / Numerik – Def. / Zahlen / Methoden
Blankenbach / SS2013 / 23.06.2013 1
Numerik 2. Sem.
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen / Motivation:
Die Numerik beschäftigt sich mit der „nicht-mathematischen“ Lösung mittels Computer von
Gleichungen, Nullstellen, Integralen etc. Hierbei können Aufgaben gelöst werden, die
„klassisch“ nicht lösbar sind oder die Lösung zu aufwändig ist. Wichtig ist hierbei, dass die
Numerik „fehlerbehaftet“ ist und somit Ergebnisse geprüft werden müssen.
Beispiel aus der Medizin (Quelle: PTB)
Die Elektrokardiografie (EKG) ist eines
der am häufigsten eingesetzten
Messverfahren im klinischen Alltag. Um
die diagnostische Aussagekraft von
EKG-Signalen zu verbessern, ist es
notwendig, den Zusammenhang
zwischen der Quelle dieser Signale, also
der elektrischen Erregungsausbreitung
im Herzmuskel, und den an der Körperoberfläche gemessenen EKG-Signalen genauer zu
analysieren. Die dafür benötigte Rechenzeit ging bisher über Tage. Das numerische
Herzmodell, das gegenwärtig in der PTB entwickelt wird, arbeitet inzwischen so schnell, dass
Parametervariationen innerhalb von einigen Stunden durchgeführt werden können.
Zum selber ausprobieren: jede Programmiersprache, MS EXCEL, MATLAB, …
Empfohlene Literatur (als Ergänzung zum Skript, welches für Klausur ausreichend ist):
- Knorrenschild: Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung, FV Leipzig
- Herzberger: Übungsbuch zur Numerischen Mathematik, Vieweg
- Prof. Dietz: Skript Numerik, HS Pforzheim (auch Quelle für einige Beispiele)
- Für mathematische Grundlagen: Papula : Mathematik für Ing. und NW, Vieweg
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Faires-Burden: Das erste Ziel bei numerischen Verfahren ist es, eine Approximation für die
Lösung eines Problems zu finden.
Numerik - When Things Go Wrong ….
Beispiele
INTEL PENTIUM mit
„Rechenfehler“
Pentium-FDIV-Bug (Quelle: Wikipedia)
FDIV-Bug bezeichnet einen Hardwarefehler des Pentium-
Prozessors von Intel. Der Fehler wurde im November 1994
anderthalb Jahre nach der Markteinführung bekannt und sorgt bei
Gleitkomma-Divisionen mit bestimmten Werten für falsche
Ergebnisse. Kein anderer Fehler in einem CPU-Design hatte
jemals zuvor für so viel Wirbel und Aufregung bei Anwendern und
Fachleuten gesorgt.
Die Bezeichnung FDIV-Bug leitet sich vom Namen eines häufig
verwendeten Gleitkommabefehls bei x86-Prozessoren ab. Der
Fehler betrifft aber keineswegs ausschließlich den Befehl FDIV, wie
man vermuten könnte. Vielmehr sind alle Befehle betroffen, die die
fehlerhafte Divisionseinheit benutzen.
Gleitkomma-Zahlen: siehe nachfolgend im Skript
MS EXCEL mit
„Genauigkeitsfehler“
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Nicht immer ist die
Numerik schuld:
Satellitenabsturz
durch
unterschiedliche
physikalische
Einheiten
The Mars Climate Orbiter was a 338 kilogram (750 lb) robotic
space probe launched by NASA on December 11, 1998 to study
the Martian climate, atmosphere, surface changes and to act as the
communications relay in the Mars Surveyor '98 program, for Mars
Polar Lander. However, on September 23, 1999, communication
with the spacecraft was lost as the spacecraft went into orbital
insertion, due to ground based computer software which produced
output in non-SI units of pound-seconds (lbf×s) instead of the
metric units of newton-seconds (N×s) specified in the contract
between NASA and Lockheed. The spacecraft encountered Mars
at an improperly low altitude, causing it to incorrectly enter the
upper atmosphere and disintegrate. Quelle Wikipedia
Faustregeln für die Numerik:
Immer alle Teilschritte und Ergebnisse „kritisch“ beurteilen, mit Werten „spielen“
(Monte Carlo Simulation), Fehlerrechnung durchführen, …
Für komplexe Aufgaben „professionelle“ Programme (mit „geprüften“ Algorithmen)
verwenden wie MATLAB, NAG-Bibliothek etc. Falls eigene Implementierung, die
eigenen Ergebnisse mit solchen Programmen vergleichen.
Digitalisierungseffekte in der Messtechnik beachten: Hier liegen Zeit- und Amplituden-
diskrete Werte vor und keine mathematischen Funktionen. Dies ist vergleichbar mit
FOR-Schleifen und EXCEL. Somit erfolgen Nullstellen-Suche, Differentiation und
Integration „anders“, nämlich diskret und nicht mittels Funktionen.
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Einführung
Aufgabe der Numerik
Lösen von Aufgabenstellungen, die „zu Fuß“ nicht oder nur mit unverhältnismäßig
hohem Aufwand lösbar wären.
Rechenverfahren in der digitalen Signalverarbeiten (hier liegen nur diskrete Werte und
keine mathematischen Funktionen vor)
Probleme der Numerik
Alle Zahlen werden digital repräsentiert, die Anzahl der Binärstellen ist begrenzt (also
endlich viele Möglichkeiten für unendlich viele reelle Zahlen). Somit können
beispielsweise rationale (z.B. 2/3) und irrationalen Zahlen (z.B. ) nur näherungsweise
dargestellt werden. Das führt zu Rundungsfehlern bis hin zur „Auslöschung“ (z.B.
Subtraktion zweier nah beieinander liegender gebrochener Zahlen kann Null wg.
Rundungsfehlern ergeben)
Das Ergebnis einer numerischen Rechnung kann sehr stark vom verwendeten
Algorithmus abhängen. Eine „kritische“ Betrachtung aller Ergebnisse ist somit
notwendig.
Einordnung der Numerik
Numerische Methoden sind nur ein Teilgebiet der Lösung einer technischen Aufgabenstellung.
Beispiel: Freier Fall mit gx , gesucht: Zeit, die für 44,15 m freier Fall benötigt wird.
Aus der Physik:
s = ½ g t² t = sqr(2s/g) = 3,00 s (gerundet, Rechner zeigt mehr Nachkommastellen)
Wo liegen nun die Fehlerquellen?
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keine Reibung,
g nicht konstant
g ist Näherung
Fehler beim
Wurzelalgorithmus
Abschneiden von
Nachkommastellen
… ist anzugeben.
Quelle: Bollhöfer: Numerik
Diese Vorlesung: Numerik mit Fokus auf praxisnahen Methoden und Lösungsverfahren.
Beispiel: „numerisches Wurzelziehen“
Iterationsformel:
mit i als Iterationsindex, Z: Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll; xi ist zu Beginn der
Startwert, z.B. 2.
Der Startwert muss immer kleiner als das Ergebnis der Wurzel sein.
Startwertalsxmit
x
ZahlxWurzel
2
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Beispiel für Numerik-Fehler
Gesucht ist der Funktionswert für „0“, d.h. f(0)
Hier: MS EXCEL, liefert ähnlich wie Programmiersprachen bei „0“ offensichtlich falsche
Ergebnisse, lt. „Mathe“: f(0) = 0,5
Je näher man an „0“ herankommt, desto „falscher“ wird der berechnete Funktionswert:
z.B. f(10-10) = 827 !
Der exakte mathematische Funktionswert bei 0 ist 0,5 !
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Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen
Anwendungen:
Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik
Oft „schnellere“ Programmausführung mit Reihenentwicklung im Vergleich zur Verwendung
der gegebenen mathematischen Funktion z.B. Sinus etc., welche der Compiler bereitstellt.
Berechnung von Funktionswerten auch wenn der Compiler diese Funktion nicht bereitstellt.
Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen, ebenso Differentiation
In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert (oft auch, weil keine
exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)
Bsp: Hooke’sches Gesetz, T-abhängige Längenausdehnung bzw. elektrischer
Widerstand: X = Xo (1 + T)
Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = an
n
1
(R - 1)
an : n-tes Reihenglied
Reihe ist - konvergent, wenn an
n
1
= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)
- divergent: Grenzwert S existiert nicht an
n
1
=
Ideal: Unendliche Reihe
Reale Numerik: endliche Reihe an
n
N
1
= <sN> (R - 3)
Partialsumme
Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?
2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>
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Reihendefinitionen:
- geometrisch : an = a qn-1
- alternierend : a1 - a2 + a3 - …
- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)
- arithmetisch : an = a + (n-1) d
- harmonisch : an = 1/n
Geometrische Reihen
Def.: 1n
1n
qa
= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)
Konvergenzbed.: |q| < 1
Summe: q1
aS
für |q| < 1 (R - 5)
Bsp: ...4
1
2
11
2
1
2
1
1n
1n
1n
→ q = 1/2 also konvergent, a = 1
→ 2
2
11
1S
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Alternierende Reihen
Def.:
1n
n
1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)
Leibnitz - Konvergenzkriterium:
1) an > an+1 (R - 7)
2) 0alim nn
alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt
Bsp: ...3
1
2
11
n
11
1n
1n
an = 1/n
Leibnitz: 1) 1 1
1n n
2) limn n
1
0 → Reihe ist konvergent
Potenzreihen
Def.:
0n
n
n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x
3 + .... (R - 8)
mit an R
Potenzreihe = Polynom
Konvergenzradius 1n
n
n a
alimr
(R - 9)
- konvergent : |x| < r
- divergent : |x| > r
- keine Aussage : |x| = r
Bsp: ...2
x
1
x1
!n
x 2
0n
n
)1n(lim!n
)!1n(lim
a
alimr
nn1n
n
n
→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)
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Potenzdarstellung von Funktionen
Eine konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:
n
0n
n xa)x(fy
(R - 10)
somit gilt auch:
- Differential y f xd
dxa x n a xn
n
n
n
n
n' '( )
0 1
1
- Integral F x f x dx a x dx ax
nCn
n
n
n
n
n
( ) ( )
0 0
1
1
Bsp: ( )
x n
n 0
1 - x + x² - x³ + ...
mit a = 1, q = -x: geometrische Reihe
( )
xx
n
n 0
1
1 für |x|< 1
f(x) = 1 / (1+x) (Summe)
Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe