Numerical analysis of junctions between thin shell.pdf

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ISSN0

249-6399

appor t

de r ec h er c he

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Numerical analysis of junctions between thin

shells, Part 2 : Approximation by finite element

methods

Michel Bernadou , Annie Cubier

N 2922

Juin 1996

THEME 4


2/39


3/39

N u m e r i c a l a n a l y s i s o f j u n c t i o n s b e t w e e n t h i n s h e l l s ,

P a r t 2 : A p p r o x i m a t i o n b y n i t e e l e m e n t m e t h o d s

M i c h e l B e r n a d o u

*

, A n n i e C u b i e r

* *

T h e m e 4 | S i m u l a t i o n

e t o p t i m i s a t i o n

d e s y s t e m e s c o m p l e x e s

P r o j e t M O D U L E F

R a p p o r t d e r e c h e r c h e n 2 9 2 2 | J u i n 1 9 9 6 | 3 6 p a g e s

A b s t r a c t : T h e p u r p o s e o f t h i s w o r k i s t o s t u d y t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f j u n c t i o n s

b e t w e e n t h i n s h e l l s . W e d e s c r i b e t h e a p p r o x i m a t i o n b y a \ p s e u d o - c o n f o r m i n g " n i t e

e l e m e n t m e t h o d a s s o c i a t e d w i t h t h e A r g y r i s t r i a n g l e a n d t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . U n d e r s u i t a b l e h y p o t h e s i s o n t h e i n t e g r a t i o n s c h e m e s a n d

o n t h e d a t a , w e p r o v e t h e c o n v e r g e n c e o f t h i s m e t h o d a n d w e d e r i v e a p r i o r i e r r o r

e s t i m a t e s .

K e y - w o r d s : T h i n s h e l l s . E l a s t i c j u n c t i o n . R i g i d j u n c t i o n . A r g y r i s T r i a n g l e .

N u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . E r r o r e s t i m a t e . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s

( R e s u m e : t s v p )

*

P o l e U n i v e r s i t a i r e L e o n a r d d e V i n c i

* *

I N R I A R o c q u e n c o u r t


4/39

A n a l y s e n u m e r i q u e d e j o n c t i o n s d e c o q u e s m i n c e s ,

P a r t i e 2 : A p p r o x i m a t i o n s p a r d e s m e t h o d e s d ' e l e m e n t s

n i s

R e s u m e : L e b u t d e c e t a r t i c l e e s t l ' a n a l y s e n u m e r i q u e d u p r o b l e m e d e j o n c -

t i o n s d e c o q u e s m i n c e s . N o u s d e c r i v o n s u n e m e t h o d e d ' a p p r o x i m a t i o n " p s e u d o -

c o n f o r m e " u t i l i s a n t l ' e l e m e n t n i d ' A r g y r i s e t p r e n a n t e n c o m p t e l e s p h e n o m e n e s

l i e s a l ' i n t e g r a t i o n n u m e r i q u e . S o u s d e s h y p o t h e s e s c o n v e n a b l e s s u r l e s s c h e m a s

d ' i n t e g r a t i o n n u m e r i q u e s e t s u r l e s d o n n e e s , n o u s m o n t r o n s l a c o n v e r g e n c e d e c e t t e

m e t h o d e e t n o u s d o n n o n s d e s e s t i m a t i o n s d ' e r r e u r a p r i o r i t a n t p o u r l e p r o b l e m e d e

j o n c t i o n e l a s t i q u e q u e p o u r l e p r o b l e m e d e j o n c t i o n r i g i d e

M o t s - c l e : C o q u e s m i n c e s . J o n c t i o n e l a s t i q u e . J o n c t i o n r i g i d e . T r i a n g l e

d ' A r g y r i s . I n t e g r a t i o n n u m e r i q u e . E s t i m a t i o n s d ' e r r e u r . S i m u l a t i o n s n u m e r i q u e s .


5/39

J u n c t i o n s b e t w e e n t h i n s h e l l s 3

1 I n t r o d u c t i o n

T h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f j u n c t i o n s b e t w e e n t h i n p l a t e s w a s s t u d i e d b y B e r n a d o u -

F a y o l l e - L e n e ( 1 9 8 9 ) w h i l e F a y o l l e ( 1 9 8 7 ) t h o r o u g h l y d e s c r i b e d t h e c o r r e s p o n d i n g

a p p r o x i m a t i o n b y c o n f o r m i n g n i t e e l e m e n t m e t h o d s . S u c h a n a p p r o x i m a t i o n i s

m u c h m o r e c o m p l i c a t e d i n c a s e o f j u n c t i o n s b e t w e e n t w o g e n e r a l t h i n s h e l l s . I n d e e d

t h e t r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n s w h i c h a p p e a r i n t h e d e n i t i o n o f t h e a d m i s s i b l e s p a c e s

c a n n o t b e e x a c t l y s a t i s e d i n t h e a s s o c i a t e d d i s c r e t e s p a c e s . T h u s , w e c o n s i d e r

p s e u d o - c o n f o r m i n g n i t e e l e m e n t m e t h o d s w h i c h a r e c o n f o r m i n g e v e r y w h e r e e x c e p t

a l o n g t h e j u n c t i o n .

I n t h e r s t p a r t o f t h i s w o r k ( B e r n a d o u - C u b i e r , t o a p p e a r ) , w e a n a l y s e t h e c o n t i -

n u o u s p r o b l e m s o f j u n c t i o n s b e t w e e n t w o t h i n s h e l l s a s s o c i a t e d w i t h a n e l a s t i c o r a

r i g i d b e h a v i o u r o f t h e h i n g e . W e s t a r t b y g i v i n g t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s o f t h e s e

p r o b l e m s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n s . W e s t u d y t h e n u m e r i c a l

p r o p e r t i e s o f t h e s e s e q u a t i o n s a n d s h o w t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e s o l u -

t i o n . W e a l s o p r o v e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m c o n v e r g e s t o

t h e s o l u t i o n o f t h e r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m w h e n t h e c o e c i e n t o f e l a s t i c s t i n e s s o f

t h e h i n g e b e c o m e s v e r y l a r g e .

I n t h i s s e c o n d p a r t o f t h e w o r k , w e s t a r t i n S e c t i o n 2 b y r e w r i t i n g t h e c o n t i -

n u o u s p r o b l e m s i n t e r m s o f m a t r i c e s a n d v e c t o r s , w h i c h a r e w e l l a d a p t e d t o t h e

a p p r o x i m a t i o n b y n i t e e l e m e n t m e t h o d s . I n S e c t i o n 3 , w e b u i l d t h e d i s c r e t e s p a c e s

w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e A r g y r i s t r i a n g l e , a n d w h i c h c o n t a i n t h e d i s c r e t e j u n c -

t i o n c o n d i t i o n s . T h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e t r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n s i s b a s e d o n t h e

r e s u l t s o b t a i n e d b y Z e n i s e k ( 1 9 8 1 ) f o r n o n h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s . F r o m

S e c t i o n 4 , w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m ; w e g i v e t h e

m a i n r e s u l t s c o n c e r n i n g t h e r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m i n S e c t i o n 6 . T h e n , w e s t a t e

t h e r s t d i s c r e t e p r o b l e m t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n a n d

t h e n o n c o n f o r m i t y o f t h e m e t h o d a l o n g t h e h i n g e . W e i n t r o d u c e i n t h i s p r o b l e m a n

a d d i t i o n a l l i n e a r f o r m w h i c h i s v o i d f o r c o n t i n u o u s p r o b l e m a n d w h i c h t a k e s i n t o

a c c o u n t t h e n o n c o n f o r m i t y o f t h e m e t h o d . T h e n w e p r o v e t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e -

n e s s o f t h e s o l u t i o n . T h i s r e s u l t i s b a s e d o n t h e t r a n s m i s s i o n o f a c l a m p e d c o n d i t i o n

b y t h e d i s c r e t e j u n c t i o n c o n d i t i o n s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . A f t e r w a r d s , w e g i v e a n

a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e w h i c h i s r e d u c e d t o t h e u s u a l i n t e r p o l a t i o n e r r o r ; t h i s i s

a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e d e n i t i o n o f t h e d i s c r e t e p r o b l e m b y u s i n g a n a d d i t i o -

n a l l i n e a r f o r m a s m e n t i o n n e d b e f o r e . I n S e c t i o n 5 , w e s t u d y t h e s e c o n d d i s c r e t e

p r o b l e m w h i c h t a k e s i n t o a c c o u n t t h e a d d i t i o n a l e e c t o f t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n .

W e p r o v e t h e u n i f o r m e l l i p t i c i t y o f t h e b i l i n e a r f o r m s a n d t h u s t h e e x i s t e n c e a n d

u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n o f t h i s p r o b l e m . N e x t , w e g i v e c r i t e r i a o n t h e i n t e g r a t i o n

s c h e m e s a n d r e q u i r e d r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s o n t h e d a t a s o t h a t t h e n i t e e l e m e n t

m e t h o d c o n v e r g e s . T h e s e c o n d i t i o n s l e a d t o a s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e s o f t h e s a m e

o r d e r t h a n t h e i n t e r p o l a t i o n e r r o r . T h e s e r e s u l t s a r e b a s e d o n l o c a l e r r o r e s t i m a t e s

s t u d i e d b y B e r n a d o u ( 1 9 9 6 ) a n d C u b i e r ( 1 9 9 4 ) . I n S e c t i o n 7 , w e i l l u s t r a t e p r e v i o u s

r e s u l t s b y s o m e n u m e r i c a l t e s t s o n r i g i d a n d e l a s t i c j u n c t i o n s b e t w e e n a c y l i n d e r a n d

a s p h e r i c a l e n d c a p . I n o r d e r t o v a l i d a t e o u r r e s u l t s , w e c o n s i d e r a c o r r e s p o n d i n g

R R n 2 9 2 2


6/39

4 M i c h e l B e r n a d o u , A n n i e C u b i e r

t e s t u s i n g t h e t h r e e d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t y m o d e l i n s t e a d o f a s h e l l m o d e l a n d w h i c h

r e p r e s e n t s a g o o d a p p r o x i m a t i o n o f a r i g i d j u n c t i o n . T h e r e s u l t o f t h i s t e s t i s v e r y

c l o s e d t o o u r s o b t a i n e d f o r r i g i d j u n c t i o n . M o r e o v e r , w e n d a g a i n n u m e r i c a l l y t h a t

t h e e l a s t i c j u n c t i o n b e c o m e s a l m o s t r i g i d w h e n t h e c o e c i e n t o f e l a s t i c s t i n e s s o f

t h e h i n g e b e c o m e s v e r y l a r g e .

N o t a t i o n s a n d r e f e r e n c e s : I n t h i s s e c o n d p a r t , w e m a k e m a n y r e f e r e n c e s t o t h e

n o t a t i o n s a n d t o t h e r e s u l t s o f P a r t 1 , j u s t b y a d d i n g " P a r t 1 " b e f o r e e a c h r e f e r e n c e .

2 V a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n s i n m a t r i x f o r m

I n t h i s s e c t i o n , w e g i v e n e w e x p r e s s i o n s i n t e r m s o f v e c t o r s a n d m a t r i c e s f o r t h e

b i l i n e a r a n d l i n e a r f o r m s w h i c h a p p e a r i n t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n s o f t h e e l a s t i c

a n d r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m s ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) a n d ( 3 . 2 4 ) ) . T h e b i l i n e a r f o r m a ;

w h i c h r e p r e s e n t s t h e a d d i t i o n o f t h e s t r a i n e n e r g y o f b o t h s h e l l s , c a n b e w r i t t e n

a ( u ; u

) ; ( v ; v

) =

Z

T

U A V d

1

d

2

+

Z

T

U

A

V

d

1

d

2

; ( 2 . 1 )

w h e r e t h e c o l u m n m a t r i x V ] ( a n d s i m i l a r l y U ; U

; V

] ) i s g i v e n b y :

T

V

1 1 2

= v

1

v

1 1

v

1 2

v

2

v

2 1

v

2 2

v

3

v

3 1

v

3 2

v

3 1 1

v

3 1 2

v

3 2 2

; ( 2 . 2 )

a n d w h e r e t h e s y m m e t r i c a l 1 2 1 2 m a t r i x A ] ( r e s p e c t i v e l y A

] ) d e p e n d s o n l y o n t h e

s h e l l t h i c k n e s s e , o n t h e m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s h e l l a n d o n t h e r s t , s e -

c o n d a n d t h i r d p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e a p p l i c a t i o n :

!

S ( r e s p .

:

!

S

)

w h i c h m a p s ( r e s p .

) o n t o t h e m i d d l e s u r f a c e S ( r e s p . S

) . S u b s e q u e n t l y , w e a s -

s u m e t h a t 2 ( C

3

(

) )

3

a n d

2 ( C

3

(

) )

3

T h e s e c o n d b i l i n e a r f o r m b ; ] w h i c h a p p e a r s i n t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f

e l a s t i c j u n c t i o n b e t w e e n s h e l l s ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) ) i s a s s o c i a t e d w i t h t h e s t r a i n e n e r g y

o f t h e h i n g e . W e d e n e a 2 4 2 4 m a t r i x C ] w h i c h o n l y d e p e n d s o n t h e g e o m e t r y

o f t h e h i n g e , a n d a c o l u m n v e c t o r V V

2 4 1

w h i c h c o l l e c t s t h e v e c t o r s V ] a n d

V

] d e n e d b y r e l a t i o n ( 2 . 2 ) . T h u s , w e h a v e :

b ( u ; u

) ; ( v ; v

) =

Z

?

T

U U

C V V

d s ( 2 . 3 )

M o r e o v e r , w e i n t r o d u c e a n e w p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e h i n g e ? , a s t h e i m a g e o f

a o n e - d i m e n s i o n a l i n t e r v a l ! = 0 ; 1 b y a m a p p i n g , i . e . , : ! !

? . N o w , w e

c a n s u b s t i t u t e t h i s a p p l i c a t i o n i n t o r e l a t i o n ( 2 . 3 ) t o o b t a i n

b ( u ; u

) ; ( v ; v

) =

Z

!

T

U U

C V V

d ! ; ( 2 . 4 )

w h e r e t h e u n d e r l i n e d q u a n t i t i e s a r e o b t a i n e d b y c o m p o s i t i o n w i t h t h e m a p p i n g

a n d a r e d e n e d o n t h e i n t e r v a l ! . T h e e l e m e n t d ! i s a s s o c i a t e d t o t h e l i n e e l e m e n t

d s a l o n g t h e h i n g e ? t h r o u g h t h e m a p p i n g =

3

X

i = 1

i

( t ) e

i

:

d s =

h

( d x

1

)

2

+ ( d x

2

)

2

+ ( d x

3

)

2

i

1 = 2

;

I N R I A


7/39


s o t h a t

d ! =

h

(

0

1

( t ) )

2

+ (

0

2

( t ) )

2

+ (

0

3

( t ) )

2

i

1 = 2

d t

T h e l i n e a r f o r m ` ] w h i c h r e p r e s e n t s t h e w o r k o f t h e e x t e r n a l l o a d s c a n b e w r i t t e n

( P a r t 1 , ( 2 . 1 8 ) a n d ( 3 . 1 3 ) )

` ( v ; v

) =

Z

T

P V d

1

d

2

+

Z

T

P

V

d

1

d

2

+

R

1

T

L

s

V d +

R

1

T

L

s

V

d

;

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 2 . 5 )

w h e r e

T

P

1 1 2

=

p

a p

1

0 0 p

2

0 0 p

3

0 0 0 0 0 ] ( 2 . 6 )

a n d

T

L

s 1 1 2

=

q

a

( g

)

0

( g

)

0

N

1

+ b

1

M

0 0 N

2

+ b

2

M

0 0

N

3

M

1

M

2

0 0 0 ]

9

>

=

>

;

( 2 . 7 )

I n t h e a b o v e e q u a t i o n s , p

i

a n d N

i

d e n o t e r e s p e c t i v e l y t h e c o v a r i a n t c o m p o n e n t s o f

t h e b o d y f o r c e r e s u l t a n t , o f t h e r e s u l t a n t a n d o f t h e r e s u l t a n t m o m e n t o f t h e s u r f a c e

l o a d s w h i l e b

a n d a a r e t h e s e c o n d f u n d a m e n t a l f o r m a n d t h e d e t e r m i n a n t o f t h e

r s t f u n d a m e n t a l f o r m ; a l l t h e s e q u a n t i t i e s a r e r e f e r e d t o t h e m i d d l e s u r f a c e S a n d ,

b y d e n i t i o n , M = M

a

a

3

. T h e v e c t o r s P

; L

s

] a r e o b t a i n e d b y a n a l o g y .

3 C o n s t r u c t i o n o f t h e d i s c r e t e a d m i s s i b l e s p a c e s

F r o m n o w o n , w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e d o m a i n s a n d

h a v e p o l y g o n a l b o u n -

d a r i e s . T h e n , w e c a n e x a c t l y c o v e r t h e s e d o m a i n s b y f a m i l i e s o f t r i a n g u l a t i o n s T

h

a n d T

h

. S u b s e q u e n t l y , w e a s s u m e t h a t t h e s e t r i a n g u l a t i o n s a r e c o m p a t i b l e a l o n g t h e

p a r t s a n d

o f t h e b o u n d a r i e s @ a n d @

: i n o t h e r w o r d s , t h e i r t r a c e s u p o n

a n d

a r e t h e i m a g e s o f a o n e d i m e n s i o n a l t r i a n g u l a t i o n T

h

o f t h e i n t e r v a l !

t h r o u g h t h e m a p p i n g s F =

? 1

?

a n d F

=

? 1

?

( F i g u r e 1 ) . F r o m n o w o n ,

f o r s i m p l i c i t y , w e n o t e

? 1

?

a n d

? 1

?

b y

? 1

a n d

? 1

. A l l t h e s e t r i a n g u l a t i o n s

a r e a s s u m e d t o b e r e g u l a r i n t h e s e n s e t h a t :

i ) T h e r e e x i s t s c o n s t a n t s a n d

s u c h t h a t

8 K 2 T

h

;

h

K

K

a n d 8 K

2 T

h

;

h

K

K

;

( 3 . 1 )

w h e r e h

K

= d i a m ( K ) ; h

K

= d i a m ( K

) ,

K

= s u p f d i a m ( S ) ; S i s a b a l l c o n t a i n e d i n K g

a n d

K

= s u p f d i a m ( S

) ; S

i s a b a l l c o n t a i n e d i n K

g

i i ) L e t h b e a r e a l n u m b e r d e n e d b y

h = s u p f m a x

K 2 T

h

h

K

; m a x

K

2 T

h

h

K

; m a x

K 2 T

h

h

K

g ; ( 3 . 2 )

w h e r e h

K

= d i a m ( K ) . T h e n , w e a s s u m e t h a t

h ! 0 ( 3 . 3 )

R R n 2 9 2 2


8/39


1

2

a

0

a

1

a

3

a

2

F

1

!

S

?

?

0

S

e

3

e

1

1

1

s

0

= 0 s

1

s

2

s

3

= 1

s

F

?

1

e

2

2

a

0

?

1

?

1

1

0

a

3

a

2

a

1

F i g . 1 : D i s c r e t i z a t i o n o f t h e h i n g e i m a g e s

W i t h t h e t r i a n g u l a t i o n s T

h

a n d T

h

, w e a s s o c i a t e t h e n i t e e l e m e n t s p a c e s X

h

a n d X

h

c o n s t r u c t e d f r o m t h e A r g y r i s t r i a n g l e ( A r g y r i s - F r i e d - S c h a r p f ( 1 9 6 8 ) ) , w h o s e

d e n i t i o n i s r e c a l l e d i n F i g u r e 2 , a n d t h e s p a c e s V

h

a n d V

h

:

V

h

= V

h 1

V

h 1

V

h 2

; V

h

= ( X

h

)

3

w h e r e

V

h 1

= f v 2 X

h

; v = 0 a l o n g

0

g a n d V

h 2

= f v 2 X

h

; v = v

= 0 a l o n g

0

g

a n d w h e r e i s t h e o u t w a r d u n i t n o r m a l v e c t o r t o t h e b o u n d a r y

0

. T h e s e d e n i t i o n s

a n d t h o s e o f ( P a r t 1 , ( 3 . 7 ) a n d ( 3 . 8 ) ) l e a d t o t h e i n c l u s i o n s

V

h

V a n d V

h

V

( 3 . 4 )

I N R I A


9/39


a3a2

a1

b2

b1

b3

c1

c2

c

3

P

K

= P

5

( K ) d i m P

K

= 2 1

K

= f p ( a

i

) D p ( a

i

) ( a

i 1

? a

i

) D p ( a

i

) ( a

i + 1

? a

i

) 1 i 3

D

2

p ( a

i

) ( a

j + 1

? a

j 1

)

2

1 i j 3 D p ( b

i

) ( a

i

? c

i

) 1 i 3 g

F i g . 2 : T h e A r g y r i s t r i a n g l e

I n o r d e r t o b u i l d t h e d i s c r e t e a d m i s s i b l e s p a c e s , w e h a v e t o d i s c r e t i z e t h e j u n c t i o n

c o n d i t i o n s ( e q u a l i t y o f t h e d i s p l a c e m e n t s a n d e q u a l i t y o f t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s

o f t h e r o t a t i o n s a l o n g t h e h i n g e ) , i . e . , w e h a v e t o e x p r e s s t h e s e c o n d i t i o n s i n t e r m s o f

t h e d e g r e e s o f f r e e d o m . T h i s i s a d e l i c a t e s t e p i n t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e c o n t i n u o u s

p r o b l e m s a n d i t l e a d s t o t h e n o n - c o n f o r m i t y o f t h e m e t h o d f o r t h e a p p r o x i m a t i o n

o f t h e t r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n s a l o n g t h e h i n g e . T h e e q u a l i t y o f t h e d i s p l a c e m e n t s

a l o n g t h e h i n g e i s a c o n d i t i o n w h i c h a p p e a r s f o r t h e e l a s t i c o r t h e r i g i d j u n c t i o n

p r o b l e m s a s w e l l . T h u s w e b e g i n b y s t u d y i n g t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h i s c o n d i t i o n .

3 . 1 T h e d i s c r e t e a d m i s s i b l e s p a c e f o r t h e e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m

F i r s t , l e t u s r e c a l l t h e c o n d i t i o n o f c o n t i n u i t y o f t h e d i s p l a c e m e n t a l o n g t h e h i n g e

( P a r t 1 , ( 2 . 3 1 )

1

) :

u ( ) = u

(

) ; 8 2 ; 8

2

s u c h t h a t ( ) =

(

) ( 3 . 5 )

T h e e q u a t i o n ( 3 . 5 ) i s v e c t o r i a l . F o r i t s d i s c r e t i z a t i o n , w e h a v e t o u s e c o m p o n e n t s

o f d i s p l a c e m e n t s . T h e v e c t o r s u a n d u

a r e e x p r e s s e d u p o n t h e c o n t r a v a r i a n t b a s e s

f a

1

; a

2

; a

3

g a n d f a

1

; a

2

; a

3

g w h i c h d i e r a l o n g t h e h i n g e . T h e r e f o r e w e h a v e t o

w r i t e r e l a t i o n ( 3 . 5 ) u p o n o n e o f t h e s e b a s e s , f o r e x a m p l e f a

i

g :

u

i

(

) = A

j

i

( ;

) u

j

( ) ;

w h e r e A

j

i

( ;

) = a

i

(

) a

j

( )

R R n 2 9 2 2


10/39


I n a d d i t i o n , w e i n t r o d u c e t h e t w o m a p p i n g s F : ! = 0 ; 1 ! a n d F

: ! !

w h i c h a r e a s s u m e d t o b e r e g u l a r . T h e c l o s e d i n t e r v a l ! i s s u b d i v i d e d i n t o n + 1 s e g -

m e n t s s

p

; s

p + 1

; f o r p = 0 ; : : ; n w i t h s

0

= 0 a n d s

n + 1

= 1 . T h u s F ( s

p

) = a

p

a n d

F

( s

p

) = a

p

w h e r e f a

p

g ; f a

p

g a r e t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s o f T

h

a n d T

h

l o c a t e d

a l o n g a n d

B y a n a l o g y w i t h Z e n i s e k ( 1 9 8 1 ) w h o c o n s i d e r e d t h e a p p r o x i m a t i o n o f n o n h o -

m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e a p p r o x i m a t i o n t h r o u g h A r g y r i s t r i a n g l e l e a d s

n a t u r a l l y t o i m p o s e t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

u

h i

F

( s

`

) = A

j

i

u

h j

F ( s

`

) ;

d

d s

u

h i

F

( s

`

) =

d

d s

A

j

i

u

h j

F

( s

`

) ;

d

2

d s

2

u

h i

F

( s

`

) =

d

2

d s

2

A

j

i

u

h j

F

( s

`

) ;

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 3 . 6 )

f o r ` = 0 ; : : ; n + 1 a n d w h e r e w e h a v e s e t f o r c l a r i t y A

j

i

( s

`

) = A

j

i

( a

`

; a

`

) = A

j

i

( F ( s

`

) ; F

( s

`

) )

R e m a r k 3 . 1 . 1 : C o m p o n e n t s u

h i

a n d u

h j

a r e p i e c e w i s e t w o d i m e n s i o n a l v e d e g r e e

p o l y n o m i a l s . S i n c e w e h a v e s u p p o s e d t h a t a n d

a r e r e c t i l i n e a r , t h e m a p p i n g s F

a n d F

a r e a n e . T h u s , t h e c o m p o s e d m a p p i n g s u

h i

F a n d u

h i

F

a r e p i e c e w i s e

o n e d i m e n s i o n a l v e d e g r e e p o l y n o m i a l s .

N o w , w e h a v e t o r e w r i t e ( 3 . 6 ) i n t e r m s o f d e g r e e s o f f r e e d o m o f A r g y r i s t r i a n g l e

a n d t h u s t o e x p r e s s t h e s e c o n d i t i o n s o n t h e r e f e r e n c e d o m a i n s a n d

. T h e r e i s

n o p r o b l e m f o r ( 3 . 6 )

1

w h i c h c a n b e d i r e c t l y w r i t t e n o n t h e b o u n d a r i e s o r

. F o r

( 3 . 6 )

2

w e u s e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

d

d s

( u

h i

F ) ( s

`

) = D u

h i

( F ( s

`

) ) D F ( s

`

)

A u n i t t a n g e n t v e c t o r t o i s g i v e n b y : D F ( s

`

) ( s

`

) = D F ( s

`

) s o t h a t b y

s e t t i n g u

h i ;

( a

`

) = D u

h i

( a

`

) , w e o b t a i n

d

d s

( u

h i

F ) ( s

`

) = D F ( s

`

) u

h i ;

( a

`

) ( 3 . 7 )

W i t h s i m i l a r a r g u m e n t s a n d s i n c e F i s a n e , w e h a v e :

d

2

d s

2

( u

h i

F ) ( s

`

) = D F ( s

`

)

2

u

h i ;

( a

`

) ( 3 . 8 )

I N R I A


11/39


T h u s , t h e d i s c r e t e j u n c t i o n c o n d i t i o n s f o r e l a s t i c p r o b l e m a r e o b t a i n e d f o r ` =

0 ; : : : ; n + 1 b y s u b s t i t u t i n g ( 3 . 7 ) a n d ( 3 . 8 ) i n t o r e l a t i o n ( 3 . 6 ) :

u

h i

( a

`

) = A

j

i

( s

`

) u

h j

( a

`

) ;

u

h i ;

( a

`

) =

(

d

d s

A

j

i

) ( s

`

) u

h j

( a

`

) + D F ( s

`

) A

j

i

( s

`

) u

h j ;

( a

`

)

= D F

( s

`

) ;

u

h i ;

( a

`

) =

(

(

d

2

d s

2

A

j

i

) ( s

`

) u

h j

( a

`

) + 2 D F ( s

`

) (

d

d s

A

j

i

) ( s

`

) u

h i ;

( a

`

)

+ D F ( s

`

)

2

A

j

i

( s

`

) u

h j ;

( a

`

)

o

= D F

( s

`

)

2

9

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 3 . 9 )

T h u s , t h e a d m i s s i b l e d i s c r e t e d i s p l a c e m e n t s p a c e f o r t h e e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m

i s d e n e d b y :

W

h e l

=

n

( v

h

; v

h

) 2 V

h

V

h

; s u c h t h a t r e l a t i o n s ( 3 . 9 ) a r e v e r i e d a t t h e

c o r r e s p o n d i n g v e r t i c e s f a

`

g a n d f a

`

g l o c a t e d o n a n d

o

9

>

>

=

>

>

;

( 3 . 1 0 )

3 . 2 T h e d i s c r e t e a d m i s s i b l e s p a c e f o r t h e r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m

W e p r o c e e d b y s i m i l a r i t y f o r t h e r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m w h i c h a m o u n t s t o d i s c r e -

t i z e t h e s e c o n d c o n d i t i o n ( P a r t 1 , ( 2 . 3 0 )

2

) r e l a t e d t o t h e e q u a l i t y o f t h e r o t a t i o n s .

T h e a p p r o x i m a t i o n t h r o u g h A r g y r i s t r i a n g l e l e a d s t o i m p o s e t h e f o l l o w i n g c o n d i -

t i o n s :

n

( u

h 3

+ b

u

h

) F ( s

`

) = ( t t

) n

( u

h 3

+ b

u

h

) F

( s

`

)

n

( u

h 3

+ b

u

h

) F ( q

|

) = ( t t

) n

( u

h 3

+ b

u

h

) F

( q

|

)

d

d s

f n

( u

h 3

+ b

u

h

) F g ( s

`

) =

d

d s

f ( t t

) n

( u

h 3

+ b

u

h

) F

g ( s

`

)

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

( 3 . 1 1 )

f o r ` = 0 ; : : ; n + 1 a n d | = 0 ; : : : ; n ; w h e r e n = n

a

i s t h e o u t w a r d u n i t n o r m a l v e c t o r

t o t h e j u n c t i o n ? i n t h e t a n g e n t p l a n e t o S a n d q

|

i s t h e m i d p o i n t o f s

`

; s

` + 1

I n o r d e r t o o b t a i n n o r m a l a n d t a n g e n t i a l d e r i v a t i v e s , w e u s e t h e r e l a t i o n

v

3

=

v

3

+

v

3

R R n 2 9 2 2


12/39

1 0 M i c h e l B e r n a d o u , A n n i e C u b i e r

w h e r e a n d a r e r e s p e c t i v e l y t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r a n d t h e o u t w a r d u n i t n o r m a l

v e c t o r t o t h e t r i a n g l e o f T

h

w h i c h h a s a s i d e o n . R e l a t i o n s ( 3 . 1 1 ) g i v e

n

( u

h 3

+ b

u

h

) ( a

`

) = ( t t

) n

( u

h 3

+ b

u

h

) ( a

`

)

n

(

u

h 3

+

u

h 3

+ b

u

h

) ( b

|

) = ( t t

) n

(

u

h 3

+

u

h 3

+ b

u

h

) ( b

|

)

D F ( s

`

)

n

n

( u

h 3

+ b

u

h

) + n

(

u

h 3

+

u

h 3

+ b

u

h ;

+

b

u

h

)

o

( a

`

) = ( t t

) D F

( s

`

)

n

n

( u

h 3

+ b

u

h

) + n

(

u

h 3

+

u

h 3

+ b

u

h ;

+ b

u

h

)

o

( a

`

)

9

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 3 . 1 2 )

f o r ` = 0 ; : : ; n + 1 a n d | = 0 ; : : ; n ;

a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r

u s e d i n ( 3 . 7 ) a n d b

|

i s t h e m i d p o i n t o f a

`

; a

` + 1

T h u s , t h e a d m i s s i b l e d i s c r e t e d i s p l a c e m e n t s p a c e f o r t h e r i g i d j u n c t i o n p r o b l e m

i s d e n e d b y :

W

h r i g

= f ( v

h

; v

h

) 2 V

h

V

h

; s u c h t h a t r e l a t i o n s ( 3 . 9 ) a n d ( 3 . 1 2 ) a r e v e r i e d

a t t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t i c e s f a

`

g ; f a

`

g ; f b

`

g a n d f b

`

g l o c a t e d o n a n d

g

9

>

=

>

;

( 3 . 1 3 )

R e m a r k 3 . 2 . 1 . T h i s d i s c r e t i z a t i o n o f j u n c t i o n c o n d i t i o n s i n v o l v e s t h e n o n c o n f o r m i t y

o f t h e a p p r o x i m a t i o n , i . e . ,

W

h e l

= W

e l

a n d W

h r i g

= W

r i g

S i n c e t h e n o n c o n f o r m i t y j u s t a p p e a r s a l o n g t h e h i n g e w h i l e t h e m e t h o d r e m a i n s

c o n f o r m f o r a l l t h e o t h e r t e r m s d e n e d o n a n d

, w e s a y t h a t t h e a p p r o x i m a t i o n

m e t h o d i s p s e u d o - c o n f o r m i n g .

R e m a r k 3 . 2 . 2 . I n r e l a t i o n s ( 3 . 1 2 ) , t h e q u a n t i t i e s u

h 3

( b

|

) ; u

h

( b

|

) a n d t h e a s s o c i a t e d

q u a n t i t i e s o n S

, a r e n o t d e g r e e s o f f r e e d o m o f A r g y r i s t r i a n g l e , b u t t h e y c a n b e

e x p r e s s e d f r o m t h e m t h r o u g h t h e d e n i t i o n o f t h e i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n .

4 F i r s t d i s c r e t e p r o b l e m f o r e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m

F r o m n o w o n , w e o n l y c o n s i d e r t h e e l a s t i c j u n c t i o n p r o b l e m . T h e r i g i d o n e c o u l d

b e c o n s i d e r e d s i m i l a r l y ; w e w i l l g i v e t h e c o r r e s p o n d i n g m a i n r e s u l t s i n S e c t i o n 6 .

4 . 1 D e n i t i o n o f t h e r s t d i s c r e t e p r o b l e m

T h e f o l l o w i n g v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n t a k e s o n l y i n t o a c c o u n t t h e n i t e e l e m e n t

a p p r o x i m a t i o n ; t h e e e c t o f t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n w i l l b e a n a l y z e d i n S e c t i o n

I N R I A


13/39

J u n c t i o n s b e t w e e n t h i n s h e l l s 1 1

5

F i n d ( u

k

h

; u

k

h

) 2 W

h e l

s u c h t h a t

a ( u

k

h

; u

k

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b ( u

k

h

; u

k

h

) ; ( v

h

; v

h

) = ` ( v

h

; v

h

) + f ( v

h

; v

h

) ;

8 ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

; k c o n s t a n t > 0 ;

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 4 . 1 )

w h e r e v

k

h

= v

k

h

F , v

k

h

= v

k

h

F

a n d w h e r e t h e s p a c e W

h e l

i s d e n e d b y r e l a t i o n ( 3 . 1 0 ) .

B y c o m p a r i s o n w i t h ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) ) w e h a v e i n t r o d u c e d a n e w l i n e a r f o r m f

w h i c h t a k e s i n t o a c c o u n t t h e n o n - c o n f o r m i t y o f t h e a p p r o x i m a t i o n a l o n g t h e h i n g e ,

i . e . ,

f ( v ; v

) =

Z

?

f N v ? N

v

g d ? =

Z

N v d +

Z

N

v

d

;

w h e r e N a n d N

a r e t h e r e s u l t a n t s o f t h e s u r f a c e l o a d . T h i s f o r m i s i d e n t i c a l l y z e r o

w h e n ( v ; v

) 2 W

e l

w h i l e i t i s g e n e r a l l y d i e r e n t f r o m z e r o w h e n a p p l i e d t o e l e m e n t s

( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

. I n t h a t c a s e , w e r e w r i t e i n m a t r i x f o r m

f ( v

h

; v

h

) =

Z

T

N V

h

d +

Z

T

N

V

h

d

; ( 4 . 2 )

w h e r e t h e c o l u m n v e c t o r s V

h

] a n d V

h

] a r e d e n e d i n ( 2 . 2 ) , a n d w h e r e w e h a v e s e t

T

N

1 1 2

= N

1

0 0 N

2

0 0 N

3

0 0 0 0 0 ]

( a n d a s i m i l a r e x p r e s s i o n f o r N

] ) . T h e i n t r o d u c t i o n o f t h i s l i n e a r f o r m f ] i n ( 4 . 1 )

l e a d s t o a s i m p l i c a t i o n i n t h e a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e ( s e e P a r a g r a p h 4 . 3 ) .

4 . 2 U n i f o r m e l l i p t i c i t y

I n t h i s p a r a g r a p h , w e p r o v e t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f a s o l u t i o n f o r p r o -

b l e m ( 4 . 1 ) . T h a t l e a d s t o s h o w t h e u n i f o r m W

h e l

- e l l i p t i c i t y w i t h r e s p e c t t o h o f t h e

b i l i n e a r f o r m a ; + k b ;

F i r s t , l e t u s r e c a l l s o m e d e n i t i o n s i n t r o d u c e d i n P a r t 1 . L e t s p a c e E b e

E = ( H

1

( ) )

2

H

2

( ) ( H

1

(

) )

2

H

2

(

)

e q u i p p e d w i t h t h e n o r m

k ( v ; v

) k

E

= f k v

1

k

2

1

+ k v

2

k

2

1

+ k v

3

k

2

2

+ k v

1

k

2

1

+ k v

2

k

2

1

+ k v

3

k

2

2

g

1 = 2

T h e s p a c e W

h e l

, d e n e d i n ( 3 . 1 0 ) , i s a l i n e a r s u b s p a c e o f E a n d t h e a b o v e m a p p i n g

i s a n o r m o n W

h e l

R R n 2 9 2 2


14/39


L e m m a 4 . 2 . 1 : T h e a p p l i c a t i o n ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

! k ( v

h

; v

h

) k

W

h e

i s a n o r m o n

W

h e l

w h e r e

k ( v

h

; v

h

) k

W

h e

= f a ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) g

1 = 2

I n t h i s e x p r e s s i o n , w e c o n s i d e r t h e d e n i t i o n o f t h e b i l i n e a r f o r m b ; g i v e n i n ( 2 . 3 ) .

P r o o f :

T h i s m a p p i n g i s c l e a r l y a s e m i - n o r m . T h u s w e j u s t h a v e t o s h o w t h a t :

k ( v

h

; v

h

) k

W

h e

= 0 ) ( v

h

; v

h

) = ( 0 ; 0 ) i n

T h e a s s u m p t i o n k ( v

h

; v

h

) k

W

h e

= 0 i m m e d i a t e l y i n v o l v e s :

i )

Z

e E

( v

h

)

( v

h

) +

e

2

1 2

( v

h

)

( v

h

)

p

a d

1

d

2

= 0 s o t h a t t h e b o u n -

d a r y c o n d i t i o n o n

0

g i v e s v

h

= 0 i n ;

i i ) t h e d i s c r e t e j u n c t i o n c o n d i t i o n s ( 3 . 9 ) i m p l y

v

h i

( a

`

) = v

h i ;

( a

`

) = v

h i ;

( a

`

) = 0 ( 4 . 3 )

f o r ` = 0 ; : : : ; n + 1 ; w h e r e f a

`

g i s t h e s e t o f v e r t i c e s l o c a t e d o n

S i n c e v

h i

a r e

v e d e g r e e p o l y n o m i a l s u p o n e a c h t r i a n g l e s i d e l o c a t e d o n

, r e l a t i o n s ( 4 . 3 ) i m -

p l y t r v

h i

= 0 o n

. M o r e o v e r , ( P a r t 1 , ( 2 . 1 5 ) , ( 3 . 1 2 ) ) a n d b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) =

0 l e a d s t o v

h 3 n

= 0 o n ? w h e r e n

= n

a

i s t h e u n i t o u t w a r d n o r m a l v e c t o r

t o ? l o c a t e d i n t h e t a n g e n t p l a n e t o S

H e r e , o u r p u r p o s e i s t o o b t a i n c l a m p e d c o n d i t i o n o n

, i . e . , v

h 3

= 0 o n

W e p o i n t o u t t h a t v

h 3 n

a n d v

h 3

a r e n o t t h e s a m e q u a n t i t i e s . I n d e e d , n

i s

d e n e d a l o n g ? w h e r e a s

i s d e n e d a l o n g

. T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s e t w o

q u a n t i t i e s i s :

v

h 3 n

= n

v

h 3

= n

(

v

h 3

+

v

h 3

) ( 4 . 4 )

M o r e o v e r , n o t e t h a t v

h 3

= 0 o n

i m p l i e s v

h 3

= 0 o n

. T h u s , b y u s i n g

i n a d d i t i o n r e l a t i o n ( 4 . 4 ) a n d t h e a s s u m p t i o n v

h 3 n

= 0 o n ? a n d n o t i c i n g

t h a t t h e q u a n t i t y n

i s d i e r e n t f r o m z e r o , w e o b t a i n t h e r e q u i r e d c l a m p e d

c o n d i t i o n v

h 3

= 0 o n

. T h e n , w e o b t a i n v

h

= 0 i n

L e m m a 4 . 2 . 2 : U p o n t h e s p a c e W

h e l

, t h e n o r m s k ( v ; v

) k

E

a n d k ( v ; v

) k

W

h e

a r e

u n i f o r m l y e q u i v a l e n t w i t h r e s p e c t t o h .

P r o o f : T h e p r o o f o f t h i s l e m m a i s b a s e d o n t h e s a m e a r g u m e n t s t o t h o s e o f P a r t 1 ,

T h e o r e m 3 . 1 . 1 . T h e u n i f o r m - e l l i p t i c i t y c o m e s f r o m t h e i n c l u s i o n s ( 3 . 4 ) w h i c h a l l o w

u s t o c h o o s e t h e s a m e c o n s t a n t s t h a n f o r t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) ) .

I N R I A


15/39


T h e o r e m 4 . 2 . 1 : P r o b l e m ( 4 . 1 ) h a s o n e a n d o n l y o n e s o l u t i o n .

P r o o f : S i n c e t h e b i l i n e a r f o r m a ; + k b ; ] i s u n i f o r m l y W

h e l

- e l l i p t i c a n d u n i f o r m l y

c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o h , a n d s i n c e t h e l i n e a r f o r m ` + f ] i s c l e a r l y u n i f o r m l y

c o n t i n u o u s , w e h a v e j u s t t o a p p l y t h e L a x - M i l g r a m l e m m a t o c o n c l u d e .

4 . 3 A b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e

T h e a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e i s u s e d i n p r a c t i c e t o o b t a i n a s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e .

I n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , t h e e s t i m a t i o n i s r e s t r i c t e d t o t h e u s u a l a p p r o x i m a t i o n

t h e o r y t e r m i n f

( v

h

v

h

) 2 W

h e

k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

w h i c h i s k n o w n a s s o o n a s a n i t e

e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i s c h o s e n .

T h e o r e m 4 . 3 . 1 : L e t u s c o n s i d e r t h e d i s c r e t e p r o b l e m ( 4 . 1 ) f o r w h i c h t h e b i l i n e a r

f o r m a ; + k b ; i s u n i f o r m l y W

h e l

- e l l i p t i c , i . e . , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t > 0 ,

i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t :

a ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) k ( v

h

; v

h

) k

2

E

; 8 ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

( 4 . 5 )

W e s u p p o s e , m o r e o v e r , t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t M > 0 , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h

t h a t

a ( v ; v

) ; ( w ; w

) + k b ( v ; v

) ; ( w ; w

) M k ( v ; v

) k

E

k ( w ; w

) k

E

8 ( v ; v

) 2 W

e l

+ W

h e l

; 8 ( w ; w

) 2 W

e l

+ W

h e l

)

( 4 . 6 )

T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t

k ( u

k

; u

k

) ? ( u

k

h

; u

k

h

) k

E

C i n f

( v

h

v

h

) 2 W

h e

k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

w h e r e ( u

k

; u

k

) ( r e s p . ( u

k

h

; u

k

h

) ) d e n o t e s t h e s o l u t i o n o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m ( P a r t

1 , ( 3 . 1 0 ) ) ( r e s p . o f t h e d i s c r e t e p r o b l e m ( 4 . 1 ) ) .

P r o o f : L e m m a 4 . 2 . 2 i n v o l v e s t h a t r e l a t i o n ( 4 . 5 ) i s v e r i e d . L i k e w i s e , r e l a t i o n ( 4 . 6 )

i s a c o n s e q u e n c e o f c o n t i n u i t y p r o p e r t i e s o f t h e b i l i n e a r f o r m s a ; ] a n d b ; ] . L e t

( v

h

; v

h

) b e a n y e l e m e n t o f t h e s p a c e W

h e l

; w e c a n w r i t e b y u s i n g r e l a t i o n s ( 4 . 1 )

a n d ( 4 . 5 )

k ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) k

2

E

a ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ k b ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

? a ( u

k

; u

k

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) ? k b ( u

k

; u

k

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ ` ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) + f ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

R R n 2 9 2 2


16/39


s o t h a t w i t h t h e c o n t i n u i t y p r o p e r t y ( 4 . 6 ) , w e o b t a i n :

k ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

M k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

+

s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? ` ( w

h

; w

h

) ? f ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

N o w , l e t u s o b t a i n a n e w e x p r e s s i o n f o r a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

F o r t h a t w e c o m e b a c k t o t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s o f t h e j u n c t i o n p r o b l e m g i v e n

i n ( P a r t 1 , ( 2 . 2 7 ) - ( 2 . 2 8 ) ) . M a k i n g t h e p r o d u c t o f t h e s e e q u a t i o n s b y t e s t f u n c t i o n s

( w

h

; w

h

) 2 W

h e l

a n d u s i n g G r e e n ' s f o r m u l a , w e n a l l y g e t w i t h n o t a t i o n s i n t r o d u c e d

i n ( 4 . 1 )

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

= ` ( w

h

; w

h

) +

Z

N w

h

d +

Z

N

w

h

d

= ` ( w

h

; w

h

) + f ( w

h

; w

h

) ;

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 4 . 7 )

s o t h a t t h e s e c o n d t e r m i n t h e a b o v e e s t i m a t i o n d i s a p p e a r s .

T o c o n c l u d e , i t r e m a i n s t o u s e t h e t r i a n g u l a r i n e g a l i t y a n d t o t a k e t h e m i n i m u m

w i t h r e s p e c t t o ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

R e m a r k 4 . 3 . 1 : T h e r e l a t i o n ( 4 . 7 ) a l l o w s u s t o c a n c e l t h e c o n s i s t e n c y t e r m t h a t

w e u s u a l l y n d i n t h e a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e a s s o c i a t e d w i t h n o n c o n f o r m i n g n i t e

e l e m e n t m e t h o d . H e r e , t h e n o n c o n f o r m i t y o n l y a p p e a r s a l o n g t h e h i n g e ? ; i t s e e c t

i s c i r c u m v e n t b y t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e l i n e a r f o r m f ] i n ( 4 . 1 ) .

A n o t h e r d i s c r e t e p r o b l e m c o u l d a l s o b e c o n s i d e r e d b y d r o p p i n g t e r m f ] i n ( 4 . 1 ) . I t

s h o u l d b e d i e r e n t f r o m p r o b l e m ( 4 . 1 ) a n d w o u l d l e a d t o a m o r e c l a s s i c a l a b s t r a c t

e r r o r e s t i m a t e i n c l u d i n g a c o n s i s t e n c y t e r m b a s e d o n t h e l i n e a r f o r m f ] . T h e

s o l u t i o n o f s u c h a p r o b l e m w o u l d b e r e a l l y c l o s e d t o t h a t o f p r o b l e m ( 4 . 1 ) .

5 S e c o n d d i s c r e t e p r o b l e m : a d d i t i o n a l e e c t o f n u m e -

r i c a l i n t e g r a t i o n

5 . 1 D e n i t i o n o f t h e s e c o n d d i s c r e t e p r o b l e m

T h e i n t e g r a l s d e n e d o v e r t h e d o m a i n s a n d

h a v e t o b e e v a l u a t e d o v e r a l l

t h e t r i a n g l e s K 2 T

h

a n d K

2 T

h

a n d t h e y a r e s e l d o m e x a c t l y c o m p u t e d i n p r a c t i c e .

O n e r a t h e r u s e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s c h e m e s . T h e n , l e t u s c o n s i d e r a n u m e r i c a l

i n t e g r a t i o n s c h e m e d e n e d o v e r a r e f e r e n c e t r i a n g l e

^

K ( f o r m o r e d e t a i l s s e e C i a r l e t

( 1 9 7 8 ) ) :

Z

^

K

^

( ^x ) d ^x

L

X

` = 1

^!

`

^

(

^

b

`

)

I N R I A


17/39


18/39


N o w , w e c a n g i v e t h e e x p r e s s i o n o f t h e s e c o n d d i s c r e t e p r o b l e m w h i c h t a k e s i n t o

a c c o u n t t h e a d d i t i o n a l e e c t o f t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n .

F i n d ( u

k

h

; u

k

h

) 2 W

h e l

s u c h t h a t

a

h

( u

k

h

; u

k

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b

h

( u

k

h

; u

k

h

) ; ( v

h

; v

h

) = `

h

( v

h

; v

h

) + f

h

( v

h

; v

h

)

8 ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

; k c o n s t a n t > 0 ;

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

;

( 5 . 3 )

w h e r e w e h a v e s e t ( c o m p a r e w i t h ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 4 ) ) :

a

h

( u

h

; u

h

) ; ( v

h

; v

h

) =

X

K 2 T

h

L

X

` = 1

!

` K

f

T

U

h

A V

h

g ( b

` K

)

+

X

K

2 T

h

L

X

` = 1

!

` K

f

T

U

h

A

V

h

g ( b

` K

)

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 5 . 4 )

b

h

( ( u

h

; u

h

) ; ( v

h

; v

h

) =

X

K 2 T

h

L

X

` = 1

!

` K

f

T

U

h

U

h

C V

h

V

h

g ( b

` K

)

( 5 . 5 )

T h e l i n e a r f o r m s a r e d e n e d b y ( c o m p a r e w i t h ( 2 . 5 ) ) :

`

h

( v

h

; v

h

) =

X

K 2 T

h

L

X

` = 1

!

` K

f

T

P V

h

g ( b

` K

) +

X

K

2 T

h

L

X

` = 1

!

` K

f

T

P

V

h

g ( b

` K

)

+

X

K 2 G

1

L

X

` = 1

!

` K

f

T

L

s

V

h

g ( b

` K

) +

X

K

2 G

1

L

X

` = 1

!

` K

f

T

L

s

V

h

g ( b

` K

)

9

>

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

>

;

( 5 . 6 )

w h e r e G

1

a n d G

1

d e n o t e t h e s e t s o f t h e s i d e s o f t r i a n g l e s w h i c h a r e l o c a t e d u p o n

1

a n d

1

. M o r e o v e r ( c o m p a r e w i t h ( 4 . 2 ) ) :

f

h

( v

h

; v

h

) =

X

K 2 G

L

X

` = 1

!

` K

f

T

N V

h

g ( b

` K

) +

X

K

2 G

L

X

` = 1

!

` K

f

T

N

V

h

g ( b

` K

)

( 5 . 7 )

w h e r e G a n d G

d e n o t e a g a i n t h e s e t s o f t h e s i d e s o f t r i a n g l e s l o c a t e d o n a n d

5 . 2 A b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e

T h e o r e m 5 . 2 . 1 : L e t u s c o n s i d e r a f a m i l y o f d i s c r e t e p r o b l e m s ( 5 . 3 ) f o r w h i c h t h e

b i l i n e a r f o r m s a

h

; + k b

h

; a r e W

h e l

- e l l i p t i c , u n i f o r m l y w i t h r e s p e c t t o h , i . e . ,

t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t > 0 , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t :

a

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) k ( v

h

; v

h

) k

2

E

; 8 ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

I N R I A


19/39


T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t

k ( u

k

; u

k

) ? ( u

k

h

; u

k

h

) k

E

C i n f

( v

h

v

h

) 2 W

h e

n

k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

+ s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

(

a ( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

) ? a

h

( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

+ k

b ( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

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) ? b

h

( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

) )

+ C s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

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) ? `

h

( w

h

; w

h

) ? f

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

( 5 . 8 )

w h e r e ( u

k

; u

k

) ( r e s p . ( u

k

h

; u

k

h

) ) d e n o t e s t h e s o l u t i o n o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m ( P a r t

1 , ( 3 . 1 0 ) ) ( r e s p . o f t h e d i s c r e t e p r o b l e m ( 5 . 3 ) ) .

P r o o f : T h e a s s u m p t i o n o f W

h e l

- e l l i p t i c i t y i n v o l v e s t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s

o f a s o l u t i o n ( u

k

h

; u

k

h

) f o r t h e d i s c r e t e p r o b l e m ( 5 . 3 ) . T h e n l e t ( v

h

; v

h

) b e a n y

e l e m e n t o f t h e s p a c e W

h e l

; w e c a n w r i t e :

k ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) k

2

E

a

h

( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ k b

h

( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

= a ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ k b ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ a ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) ? a

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( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ k b ( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

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) ? k b

h

( v

h

; v

h

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

? a ( u

k

; u

k

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

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) ? k b ( u

k

; u

k

) ; ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

+ `

h

( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) + f

h

( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

)

R R n 2 9 2 2


20/39


s o t h a t w i t h t h e c o n t i n u i t y p r o p e r t y ( 4 . 6 ) w e o b t a i n :

k ( u

k

h

; u

k

h

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

M k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

+ s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

(

a ( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

) ? a

h

( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

+ k

b ( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

) ? b

h

( v

h

; v

h

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

)

+ s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? `

h

( w

h

; w

h

) ? f

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

T o c o n c l u d e , i t r e m a i n s t o u s e t h e t r i a n g u l a r i n e g a l i t y a n d t o t a k e t h e m i n i m u m

w i t h r e s p e c t t o ( v

h

; v

h

) 2 W

h e l

I n t h e e s t i m a t e ( 5 . 8 ) , i n a d d i t i o n t o t h e u s u a l a p p r o x i m a t i o n t h e o r y t e r m i n f k ( u

k

; u

k

) ?

( v

h

; v

h

) k , w e n d t w o a d d i t i o n a l t e r m s w h i c h m e a s u r e t h e c o n s i s t e n c y e r r o r b e t -

w e e n t h e b i l i n e a r f o r m s a ; ] a n d a

h

; , b ; ] a n d b

h

; ] ; t h e y t a k e i n t o a c c o u n t

t h e e r r o r d u e t o t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . F i n a l l y , t h e l a s t t e r m c o m b i n e s t h e e r r o r

d u e t o b o t h a p p r o x i m a t i o n s , i . e . , n o n c o n f o r m i n g a p p r o x i m a t i o n a l o n g t h e h i n g e a n d

u s e o f t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t e c h n i q u e s .

5 . 3 U n i f o r m e l l i p t i c i t y

T h e u n i f o r m W

h e l

- e l l i p t i c i t y i s b a s e d o n t h e l o c a l e r r o r e s t i m a t e t h e o r e m s g i v e n

b y B e r n a d o u ( 1 9 9 6 , p . 5 3 - 6 1 ) f o r a t r i a n g l e K a n d b y C u b i e r ( 1 9 9 4 , p . 7 6 - 8 7 ) f o r

a t r i a n g l e s i d e K

0

. T h e s e t h e o r e m s g i v e a g e n e r a l r e s u l t o f e r r o r e s t i m a t e ; t h e y

s p e c i f y c r i t e r i a o n t h e c h o i c e o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s c h e m e s i n o r d e r t o o b t a i n t h e

s a m e o r d e r o f a s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e t h a n f o r e x a c t i n t e g r a t i o n .

T h e o r e m 5 . 3 . 1 : L e t T

h

a n d T

h

b e r e g u l a r f a m i l i e s o f t r i a n g u l a t i o n s o f t h e d o m a i n s

a n d

s a t i s f y i n g p r o p e r t i e s ( 3 . 1 ) t o ( 3 . 3 ) . L e t ( K ; P

K

;

K

) a n d ( K

; P

K

;

K

) b e

t w o a l m o s t a n e f a m i l i e s o f n i t e e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e A r g y r i s t r i a n g l e .

T h u s w e h a v e

P

K

= P

5

( K ) ; 8 K 2 T

h

a n d P

K

= P

5

( K

) ; 8 K

2 T

h

M o r e o v e r , a s s u m e t h a t t h e i n t e g r a t i o n s c h e m e o n t h e r e f e r e n c e t r i a n g l e

^

K s a t i s e s

t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

i ) t h e i n t e g r a t i o n n o d e s

^

b

`

2

^

K ; 8 ` = 1 ; : : ; L ;

i i )

^

E ( ^' ) = 0 ; 8 ^' 2 P

8

(

^

K )

L i k e w i s e , t h e i n t e g r a t i o n s c h e m e o n t h e r e f e r e n c e s e g m e n t

^

K

0

v e r i e s

i i i ) t h e i n t e g r a t i o n n o d e s

^

b

0

`

2

^

K

0

; 8 ` = 1 ; : : ; L

0

;

I N R I A


21/39


22/39


N o w , w e h a v e t o e s t i m a t e t h e t e r m b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) ? b

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

)

B y u s i n g d e n i t i o n ( 5 . 2 ) o f t h e e r r o r f u n c t i o n a l , w e o b t a i n

b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) ? b

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

)

X

K 2 T

h

2 4

X

I J = 1

E

0

K

( C

I J

V

h

V

h

I

V

h

V

h

J

)

I f w e d e n o t e

I

1

= f 1 ; : : ; 1 2 g f 1 ; : : ; 1 2 g ; I

2

= f 1 3 ; : : ; 2 4 g f 1 3 ; : : ; 2 4 g ;

I

3

= f 1 ; : : ; 1 2 g f 1 3 ; : : ; 2 4 g ; I

4

= f 1 3 ; : : ; 2 4 g f 1 ; : : ; 1 2 g ;

t h e n , w e h a v e t h e r e l a t i o n

X

K 2 T

h

2 4

X

I J = 1

E

0

K

( C

I J

V

h

V

h

I

V

h

V

h

J

) =

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

1

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

)

+

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

2

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

) +

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

3

I

4

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

)

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 5 . 1 3 )

W i t h t h e h y p o t h e s e s m a d e i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m , w e c a n a p p l y t o t h e s e

o n e d i m e n s i o n a l i n t e g r a t i o n t e r m s o f t h e r e l a t i o n ( 5 . 1 3 ) t h e s a m e k i n d o f t e c h n i q u e

a n d w e o b t a i n ( s e e C u b i e r ( 1 9 9 4 , p . 8 3 ) f o r d e t a i l s )

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

1

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

) C h

X

K 2 T

h

(

X

I J 2 I

1

k C

I J

k

1 1 K

) k v

h

k

2

V ( K )

;

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

2

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

) C h

X

K 2 T

h

(

X

I J 2 I

2

k C

I J

k

1 1 K

) k v

h

k

2

V

( K

)

;

X

K 2 T

h

X

I J 2 I

3

I

4

E

0

K

( C

I J

V

h

I

V

h

J

) C h

X

K 2 T

h

(

X

I J 2 I

3

I

4

k C

I J

k

1 1 K

) k v

h

k

V ( K )

k v

h

k

V

( K

)

;

s o t h a t t h e s u b s t i t u t i o n o f t h e s e i n e q u a l i t i e s i n t o r e l a t i o n ( 5 . 1 3 ) p r o v e s t h e e x i s t e n c e

o f a c o n s t a n t C , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t

b ( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) ? b

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

)

C h (

2 4

X

I J = 1

k C

I J

k

1 1 !

) k ( v

h

; v

h

) k

2

E

C h k ( v

h

; v

h

) k

2

E

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 5 . 1 4 )

B y s u b s t i t u t i n g r e l a t i o n s ( 5 . 1 1 ) , ( 5 . 1 2 ) , ( 5 . 1 4 ) i n t o r e l a t i o n ( 5 . 1 0 ) , w e g e t

a

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) + k b

h

( v

h

; v

h

) ; ( v

h

; v

h

) ( ? C h ) k ( v

h

; v

h

) k

2

E

a n d i t s u c e s t o t a k e =

2

a n d h

1

=

2 C

t o o b t a i n t h e e x p e c t e d e s t i m a t e ( 5 . 9 ) .

R e m a r k 5 . 3 . 1 : N u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s c h e m e s e x a c t f o r p o l y n o m i a l o f d e g r e e e i g h t

c a n b e f o u n d i n D u n a v a n t ( 1 9 8 5 , p . 1 1 4 0 ) f o r t h e t r i a n g l e a n d i n Z i e n k i e w i c z - T a y l o r

( 1 9 8 9 , p . 1 7 3 ) f o r a n i n t e r v a l .

I N R I A


23/39


5 . 4 A s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e

N o w , w e a r e a b l e t o e v a l u a t e t h e d i e r e n t t e r m s o f t h e a b s t r a c t e r r o r e s t i m a t e

( 5 . 8 ) a n d t o d e r i v e a n a s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e k ( u ; u

) ? ( u

h

; u

h

) k b e t w e e n t h e

s o l u t i o n ( u ; u

) o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) ) a n d t h e s o l u t i o n s o f t h e

d i s c r e t e p r o b l e m s ( 5 . 3 ) . B e f o r e g i v i n g t h e a s y m p t o t i c e r r o r e s t i m a t e t h e o r e m , l e t u s

s p e c i f y s o m e n o t a t i o n s :

k ( p ; p

) k

( W

4 q

( ) )

3

( W

4 q

(

) )

3 = f

3

X

i = 1

k p

i

k

q

4 q

+

3

X

i = 1

k p

i

k

q

4 q

g

1 = q

;

k ( L

s

; L

s

) k

( W

5 s

(

1

) )

1 2

( W

5 s

(

1

) )

1 2

= f

1 2

X

I = 1

k L

s

I

k

s

5 ; s ;

1

+

1 2

X

I = 1

k L

s I

k

s

5 ; s ;

1

g

1 = s

;

w h e r e q ; s a r e t w o i n t e g e r n u m b e r s 1

T h e o r e m 5 . 4 . 1 : L e t T

h

a n d T

h

b e t w o r e g u l a r f a m i l i e s o f t r i a n g u l a t i o n s o f t h e

d o m a i n s a n d

s a t i s f y i n g t h e p r o p e r t i e s ( 3 . 1 ) t o ( 3 . 3 ) . L e t ( K ; P

K

;

K

) a n d

( K

; P

K

;

K

) b e t w o a l m o s t a n e f a m i l i e s o f n i t e e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e A r -

g y r i s t r i a n g l e . M o r e o v e r , w e a s s u m e t h a t t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s c h e m e o n t h e

r e f e r e n c e t r i a n g l e

^

K s a t i s e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

i ) t h e i n t e g r a t i o n n o d e s

^

b

`

2

^

K ; 8 ` = 1 ; : : ; L ;

i i )

^

E ( ^' ) = 0 ; 8 ^' 2 P

8

(

^

K )

L i k e w i s e , t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s c h e m e o n t h e r e f e r e n c e i n t e r v a l

^

K

0

v e r i e s

i i i ) t h e i n t e g r a t i o n n o d e s

^

b

0

`

2

^

K

0

; 8 ` = 1 ; : : ; L

0

;

i v )

^

E

0

( ^' ) = 0 ; 8 ^' 2 P

8

(

^

K

0

)

A s s u m e t h a t

v ) t h e s o l u t i o n ( u

k

; u

k

) 2 W

e l

o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m ( P a r t 1 , ( 3 . 1 0 ) ) b e l o n g s

t o t h e s p a c e K ( ) K

(

) = ( H

5

( ) )

2

H

6

( ) ( H

5

(

) )

2

H

6

(

) ;

v i ) A

I J

2 W

4 1

( ) ; A

I J

2 W

4 1

(

) f o r I ; J = 1 ; : : ; 1 2 ;

v i i ) C

I J

2 W

4 1

( ! ) f o r I ; J = 1 ; : : ; 2 4 ;

v i i i ) p

i

2 W

4 q

( ) ; p

i

2 W

4 q

(

) f o r i = 1 ; : : ; 3 ;

i x ) N

i

2 W

5 s

( ) ; N

i

2 W

5 s

(

) f o r i = 1 ; : : ; 3 ;

x ) L

s

I

2 W

5 s

(

1

) ; L

s I

2 W

5 s

(

1

) f o r I = 1 ; : : ; 1 2 ,

R R n 2 9 2 2


24/39


w h e r e q ; s a r e i n t e g e r n u m b e r s 2 . T h e n , t h e r e e x i s t c o n s t a n t s C > 0 a n d h

1

> 0 ,

i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t f o r a n y h 2 0 ; h

1

, w e h a v e :

k ( u

k

; u

k

) ? ( u

k

h

; u

k

h

) k

E

C h

4

n

k ( u

k

; u

k

) k

K ( ) K

(

)

+ k ( p ; p

) k

( W

4 q

( ) )

3

( W

4 q

(

) )

3

+ h

1 = 2

k ( N ; N

) k

( W

5 s

( ) )

3

( W

5 s

(

) )

3 + k ( L

s

; L

s

) k

( W

5 s

(

1

) )

1 2

( W

5 s

(

1

) )

1 2

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 5 . 1 5 )

w h e r e ( u

k

h

; u

k

h

) i s t h e s o l u t i o n o f t h e d i s c r e t e p r o b l e m ( 5 . 3 ) .

P r o o f T h e c o n d i t i o n s f o r a p p l y i n g T h e o r e m 5 . 3 . 1 a r e s a t i s e d . H e n c e , t h e c o n d i -

t i o n o f t h e u n i f o r m W

h e l

- e l l i p t i c i t y i s v e r i e d a n d i t i s p o s s i b l e t o a p p l y T h e o r e m

5 . 2 . 1 . T h e r e f o r e , w e a r e g o i n g t o e v a l u a t e t h e d i e r e n t t e r m s o f t h e s e c o n d h a n d

m e m b e r o f t h e i n e q u a l i t y ( 5 . 8 ) . T h e p r o o f t a k e s v e s t e p s .

S t e p 1 : E s t i m a t e o f i n f

( v

h

v

h

) 2 W

h e

k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

L e t

h

b e t h e W

h e l

i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r o n t h e s p a c e W

e l

. W e d e n e

h

( v ; v

) = (

h

v ;

h

v

)

w h e r e

h

a n d

h

a r e t h e a s s o c i a t e d i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r s o n V

h

a n d V

h

. T h e n , w e

o b t a i n

( C i a r l e t ( 1 9 7 8 p . 1 2 4 ) )

i n f

( v

h

v

h

) 2 W

h e

k ( u

k

; u

k

) ? ( v

h

; v

h

) k

E

k ( u

k

; u

k

) ?

h

( u

k

; u

k

) k

E

C h

4

k ( u

k

; u

k

) k

K ( ) K

(

)

9

>

>

=

>

>

;

( 5 . 1 6 )

S t e p 2 : E s t i m a t e o f s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? a

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

B y u s i n g r e l a t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 5 . 1 ) :

a

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? a

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

X

K 2 T

h

1 2

X

I J = 1

E

K

( A

I J

h

U

k

I

W

J

) +

X

K

2 T

h

1 2

X

I J = 1

E

K

( A

I J

h

U

k

I

W

J

)

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 5 . 1 7 )

W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e r s t t e r m o f t h e s e c o n d h a n d m e m b e r o f i n e q u a l i t y

( 5 . 1 7 ) . T h e h y p o t h e s e s o f B e r n a d o u ( 1 9 9 6 , T h e o r e m 1 . 3 . 3 , p . 5 7 ) a r e v e r i e d . T h u s ,

w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e o f a c o n s t a n t C > 0 , i n d e p e n d e n t o f h , s u c h t h a t

X

K 2 T

h

1 2

X

I J = 1

E

K

( A

I J

h

U

k

I

W

J

)

C

X

K 2 T

h

h

4

K

(

1 2

X

I J = 1

k A

I J

k

4 1 K

) ( k

h

u

k

1

k

2

5 K

+ k

h

u

k

2

k

2

5 K

+ k

h

u

k

3

k

2

6 K

)

1 = 2

k w

h

k

V ( K )

I N R I A


25/39


w h e r e

h

u =

h

u

1

; (

h

u

1

)

1

; (

h

u

1

)

2

;

h

u

2

; (

h

u

2

)

1

; (

h

u

2

)

2

;

h

u

3

; (

h

u

3

)

1

; (

h

u

3

)

2

; (

h

u

3

)

1 1

; (

h

u

3

)

1 2

; (

h

u

3

)

2 2

T h e i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r

h 1

l e a v e s t h e s p a c e P

5

( K ) i n v a r i a n t , a n d w e o b t a i n

k

h

u

i

k

5 K

k u

i

k

5 K

+ k u

i

?

h

u

i

k

5 K

C k u

i

k

5 K

; i = 1 ; 2 ; 3

T h u s ,

X

K 2 T

h

1 2

X

I J = 1

E

K

( A

I J

h

U

k

I

W

h J

) C m a x

K 2 T

h

( h

K

)

4

(

1 2

X

I J = 1

k A

I J

k

4 1

) k u

k

k

K ( )

k w

h

k

V ( )

( 5 . 1 8 )

S i m i l a r l y f o r t h e s h e l l S

, w e c o u l d p r o v e

X

K

2 T

h

1 2

X

I J = 1

E

K

( A

I J

h

U

k

I

W

h I

) C m a x

K

2 T

h

( h

K

)

4

(

1 2

X

I J = 1

k A

I J

k

4 1

) k u

k

k

K

(

)

k w

h

k

V

(

)

( 5 . 1 9 )

B y c o m b i n i n g i n e q u a l i t i e s ( 5 . 1 8 ) , ( 5 . 1 9 ) a n d d e n i t i o n ( 3 . 2 ) , w e o b t a i n

a

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? a

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

C h

4

s u p

8

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

( 5 . 2 0 )

S t e p 3 : E s t i m a t e o f s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

b

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? b

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

T h e r e s t r i c t i o n o f a n A r g y r i s t r i a n g l e t o o n e o f i t s s i d e i s a P

5

- o n e - d i m e n s i o n a l

n i t e e l e m e n t , s o t h a t w e d e n e t h e i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n :

h

( u

k

; u

k

) = (

h

u

k

F ;

h

u

k

F

)

B y u s i n g t h e m a t r i x e x p r e s s i o n s ( 2 . 4 ) a n d ( 5 . 5 ) o f t h e b i l i n e a r f o r m s b ; ] a n d b

h

;

, a s i m i l a r o n e - d i m e n s i o n a l s t u d y t o t h e p r e v i o u s o n e s g i v e s ( f o r d e t a i l s , s e e C u b i e r

R R n 2 9 2 2


26/39


( 1 9 9 4 , T h e o r e m 5 . 2 . 4 , p . 8 3 ) )

b

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? b

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

C h

4

(

2 4

X

I J = 1

k C

I J

k

4 1 K

)

h

k u

k

k

K ( )

k w

h

k

V ( )

+ k u

k

k

K

(

)

k w

h

k

V

(

)

i

s o t h a t , w e o b t a i n

b

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? b

h

h

( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

C h

4

(

2 4

X

I J = 1

k C

I J

k

4 1 !

) k ( u

k

; u

k

) k

K ( ) K

(

)

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 5 . 2 1 )

S t e p 4 : E s t i m a t e o f

s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

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) ? `

h

( w

h

; w

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) ? f

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

B y u s i n g r e l a t i o n ( 4 . 7 ) , w e o b t a i n t h e n e w e s t i m a t e :

s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

a ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) + k b ( u

k

; u

k

) ; ( w

h

; w

h

) ? `

h

( w

h

; w

h

) ? f

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

` ( w

h

; w

h

) ? `

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

+ s u p

( w

h

w

h

) 2 W

h e

f ( w

h

; w

h

) ? f

h

( w

h

; w

h

)

k ( w

h

; w

h

) k

E

I n t h i s i n e q u a l i t y , w e n d t h e t e r m f ( w

h

; w

h

) ? f

h

( w

h

; w

h

) w h i c h c o m -

b i n e s t h e e r r o r s d u e t o t h e n o n c o n f o r m i t y o f t h e n i t e e l e m e n t m e t h o d a n d t o t h e

u s e o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . T h u s , i t r e m a i n s t o s t u d y t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e s

E s t i m a t e o f s u p

( w

h

w

h

)

Numerical analysis of junctions between thin shell.pdf

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