Numeri Complessi - science.unitn.itserapion/Numeri Complessi.pdf · “Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublime in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale,

Numeri Complessi

“Radici quadrate di numeri negativi”

Perchè?

Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)



x(10− x) = 40

le soluzioni sono:x1 = 5 +

√−15

x2 = 5−√−15



x(10− x) = 40

le soluzioni sono:x1 = 5 +

√−15

x2 = 5−√−15

�5+

√−15

��5−

√−15

�

=25 + 5√−15− 5

√−15− (

√−15)2

=25 + 15 = 40

Girolamo Cardano (1501 – 1576?)

Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato

quanto inutile.”

“Lasciando da parte le torture mentali connesse:

(5 +√−15) · (5−

√−15) = 25− (−15) = 40

“E’ giusto che le radici delle equazioni siano spesso impossibili [complesse],

per esibire casi di problemi impossibili.”

Newton (1728)

Equazioni di terzo grado

Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 – Venezia 1557)

Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)

Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526)

Lodovico Ferrari (1522 –1565)

?

Formula risolutiva!

Forma ridotta!

La formula risolutiva si semplifica !!

Forma ridotta!

La formula risolutiva si semplifica !!

Caso Irriducibile

x1 = 4, x2 = −2−√3, x3 =

√3− 2

x3 − 15x− 4 = 0

le soluzioni sono:

Caso Irriducibile

x1 = 4, x2 = −2−√3, x3 =

√3− 2

x3 − 15x− 4 = 0

le soluzioni sono:

�4 �2 2 4

�40

�20

20

40

4

Usando la formula risolutiva

Caso Irriducibile

x1 = 4, x2 = −2−√3, x3 =

√3− 2

x3 − 15x− 4 = 0

le soluzioni sono:

x1 =3

�2 +

√−121 +

3

�2−

√−121 = 4

x2 = . . .

x3 = . . .

√−121 =

√−1

√121

√−121 =

√−1

√121

?Viene introdotto il simbolo i =

√−1

“Né le vere né le false [negative] radicisono sempre reali;

talvolta esse sono immaginarie.”

Descartes, Géométrie (1637)

Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)René Descartes

“Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublimein quel mostro dell’analisi,

quel portento del mondo ideale,quell’anfibio fra essere e non essere,

che chiamiamoradice immaginaria dell’unità negativa.”

Leibniz (1702)

“Dove sono i Numeri complessi?”

Rappresentazione grafica

1 2 3 4-1-2 0

Numeri reali

1/2

√3

Retta reale

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

4+2i

Numeri complessi

Piano complesso o piano di Argand-Gauss

Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

Jean-Robert Argand(Ginevra 1768 – Parigi, 1822)

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

Numeri complessi

Numeri immaginari

Numeri reali

C

i

2i

3i

−i

−2i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

Numeri complessi

Numeri immaginari

Numeri reali

C

Numeri complessi

i

2i

3i

−i

−2i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

Numeri complessi C

i

2i

3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo di z = distanza di z dall’origine

Numeri complessi C

i

2i

3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo di z

|z| =�

42 + 22 = 2√5

= distanza di z dall’origine

Numeri complessi C

i

2i

3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo, parte reale, parte immaginaria

Re(z)

Im(z)

Im(z) = 2Re(z) = 4|z| =�

42 + 22 = 2√5

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Numeri complessi

w = 2− i

Opposto di w

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Numeri complessi

−w = −2 + i

w = 2− i

-w = opposto di w

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Asse immaginario

Asse reale

Numeri complessi

−w = −2 + i

w = 2− i

coniugato di z

z = 4 + 2i

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Asse immaginario

Asse reale

Numeri complessi

−w = −2 + i

w = 2− i

Opposto e coniugato

z = 4 + 2i

z̄ = 4− 2i

z = a+ ib

Numeri complessi

z = a+ ib

Numeri complessi

z̄ = a− ib coniugato di z

−z = −a− ib opposto di z

z = a+ ib

Re(z) = a parte reale di z

Im(z) = b parte immaginaria di z

Numeri complessi



z = a+ ib

Re(z) = a parte reale di z

Im(z) = b parte immaginaria di z

modulo di z : |z| =�

a2 + b2

Numeri complessi



4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

|z|

Modulo di z

θ

Argomento di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i


4

2i

-i

-1

z=4+2i


|z|

Modulo di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i


|z|

Modulo di z

θ

Argomento di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i


|z|

Modulo di z

θ

Argomento di z

2 = |z| sin(θ)

4 = |z| cos(θ)

z = a+ bi

|z| =�a2 + b2 arg(z) = θ = arctan

�b

a

�

Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica

se a > 0 altrimenti · · ·

z = a+ bi


�b

a

�

a = |z| cos(θ)b = |z| sin(θ)



z = a+ bi


�b

a

�

a = |z| cos(θ)b = |z| sin(θ)


z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

= |z| (cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ))


Operazioni con Numeri Complessi


Somma: z + w, 2z, . . .


Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

z + w, 2z, . . .

zw,1

z, z2, z3 . . .


Somma:


Radici: quadrate, cubiche,...

z + w, 2z, . . .

zw,1

z, z2, z3 . . .

√z, 3

√z, . . .


Somma:



Esponenziali:

z + w, 2z, . . .

zw,1

z, z2, z3 . . .

√z, 3

√z, . . .

2z, iz, ii, . . .


Somma:



Esponenziali:

z + w, 2z, . . .

zw,1

z, z2, z3 . . .

√z, 3

√z, . . .

2z, iz, ii, . . .

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i

Somma di numeri complessi

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i


(3 + 2i)− (4 + 5i) = (3− 4) + (2− 5)i = −1− 3i

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i


a+ bi+ c+ di = a+ c+ (b+ d)i

(3 + 2i)− (4 + 5i) = (3− 4) + (2− 5)i = −1− 3i

Esempio

z = a+ ib, −z = −a− ib, z̄ = a− ib.

z + (−z) = 0

z + z̄ = 2a = 2Re(z)

¯̄z = z

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65


Regola del Parallelogramma

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65

z+w=6+i



1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65

z+w=6+i



Modulo della differenza di due numeri complessi

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

z

w



1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

z

w

−w



1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

z

w

z − w



1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

z

w

z − w

−w



1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

z

w

z − w

−w

Prodotto di numeri complessi

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i2 = (−i)2 = −1


i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i2 = (−i)2 = −1

(a+ ib) ∗ (c+ id) =


i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i2 = (−i)2 = −1

(a+ ib) ∗ (c+ id) = ac+ (bc+ ad)i+ (i)2bd


i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i2 = (−i)2 = −1


= ac+ (bc+ ad)i+ (−1)bd


i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i2 = (−i)2 = −1

(a+ ib) ∗ (c+ id) = (ac− bd) + (ad+ bc)i


= ac+ (bc+ ad)i+ (−1)bd


z = r (cos(θ) + i sin(θ))

w = s (cos(φ) + i sin(φ))

z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))

= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))

= rs (cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))




z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))

= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))

= rs (cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))

z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

i

1θ

z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))

z

r


w

φs


i

1θ


z

r


w

φs


θ + φ

i

1θ

z

r


w

φs

rs


θ + φ

z = r (cos(θ) + i sin(θ)) ; w = s (cos(φ) + i sin(φ))


i

1θ


zr

Inverso del numero complesso:

z−1 =

i

1θ


zr


1

z=

1

r

�cos(−θ) + sin(−θ)

�z−1 =

i

1θ


zr


1

z=

1

r

�cos(−θ) + sin(−θ)

�

z−1

z−1 =

−θ1

r

z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))Inverso del numero complesso

z−1 =1

r

�cos(−θ) + i sin(−θ)

�

z−1 =a

a2 + b2− i

b

a2 + b2

in forma trigonometrica:

in forma algebrica:

Esercizi

Scrivi in forma algebrica:3− 2i

4 + 3i

(2 + i)2

(2 + i)3

Scrivi in forma trigonometrica: 1 + i

(1 + i)2

Potenze di numeri complessi


z2 = r2�cos(2θ) + i sin(2θ)

�

z3 = r3�cos(3θ) + i sin(3θ)

�

...

zn = rn�cos(nθ) + i sin(nθ)

�

i

1θ

z2 = r2 (cos(2θ) + i sin(2θ))

z

z2

2θ r

r2

z = r�cos(θ) + i sin(θ)

�

a

i

1

r

θ

i b


z4 = r4 (cos(4θ) + i sin(4θ))

z

z2

z4

2θ

r4 4θ

θ

2θ

5 10 15

�5

5

10

15

z = 1 + i

z

Potenze di z=1+i

5 10 15

�5

5

10

15

z = 1 + i

z

z2

Potenze di z=1+i

5 10 15

�5

5

10

15

z = 1 + i

z

z2z3

z4 = −4

Potenze di z=1+i

5 10 15

�5

5

10

15

z = 1 + i

z

z2z3

z4 = −4

z5

z6 = −8i z7

z8 = 16

z9Potenze di z=1+i

5 10 15

�5

5

10

15

z = 1 + i

z

z2z3

z4 = −4

z5

z6 = −8i z7

z8 = 16

z9Potenze di z=1+i

z0 = 1

z−1

Esercizi

Disegnate sul piano di Gauss:

z =�1 + i

�20

z = i1002

z =1

w̄se w = 1 + i

√3

Radici di un numero complesso

Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al quadrato danno z.

s2 = r

2φ = θ + 2kπ


�e w = s

�cos(φ) + i sin(φ)

�

w =√z se e solo se w2 = z.

Supponiamo che:

allora se e solo se w2 = s2�cos(2φ) + i sin(2φ)

�= z

k = . . . ,−1, 0, 1, 2, . . .

Radici quadrate dell’unità immaginaria

w2 = s2�cos(2φ) + i sin(2φ)

�= i

se e solo se

s2 = 1

2φ =π

2+ 2kπ, k = · · ·− 1, 0, 1, . . .

cioè se

s = 1 e φ =π

4oppure φ =

π

4+ π

Radici quadrate di i

i

1

w1 = cos(π/4) + i sin(π/4)

Radici quadrate di i

i

1

w1 = cos(π/4) + i sin(π/4)

w2 = cos(5π/4) + i sin(5π/4)

s = r13

φ =θ

3+ k

2

3π

Radici terze di un numero complesso

Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo danno z.


�e w = s

�cos(φ) + i sin(φ)

�Supponiamo che:

allora se e solo se

w = 3√z se e solo se w3 = z

w3 = s3�cos(3φ) + i sin(3φ)

�= z

s3 = r

3φ = θ + 2kπ=⇒

k = . . . ,−1, 0, 1, 2, . . .

Radici cubiche di i:

i

1

3√i = {w1, w2, w3}

w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)

w1


i

1

3√i = {w1, w2, w3}

w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)

w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w1w2


i

1

3√i = {w1, w2, w3}

w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)

w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w3 = cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)

w1w2

w3


i

1

3√i = {w1, w2, w3}

w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)

w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w3 = cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)

w1w2

w3

Radici cubiche:

i

1 w1

w2

w3

3√1

3√z = {w1, w2, w3}

Radici cubiche:

iw2

w3

i

1

w1

w3

w2 = −1

3√1

3√−1

w1 = 1

3√z = {w1, w2, w3}

Radici quarte:

w1 = 1

4√z = {w1, w2, w3, w4}

4√1

w3 = −1

w2 = i

w3 = −i

=�1, i,−1,−i

�

Radici quarte:

i

1

4√z = {w1, w2, w3, w4}

4√−1

w1 =

√2

2+ i

√2

2w2 = −

√2

2+ i

√2

2

w3 = −√2

2− i

√2

2w4 =

√2

2− i

√2

2

=�√2

2+ i

√2

2,−

√2

2+ i

√2

2,−

√2

2− i

√2

2,

√2

2− i

√2

2

�

n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,

w2 = r1/n�cos

�θ

n+

2π

n

�+ i sin

�θ

n+

2π

n

��,


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,

w2 = r1/n�cos

�θ

n+

2π

n

�+ i sin

�θ

n+

2π

n

��,

w3 = r1/n�cos

�θ

n+ 2

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ 2

2π

n

��,


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,

w2 = r1/n�cos

�θ

n+

2π

n

�+ i sin

�θ

n+

2π

n

��,

w3 = r1/n�cos

�θ

n+ 2

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ 2

2π

n

��,

wn = r1/n�cos

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

��.

......


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,

w2 = r1/n�cos

�θ

n+

2π

n

�+ i sin

�θ

n+

2π

n

��,

w3 = r1/n�cos

�θ

n+ 2

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ 2

2π

n

��,

wn = r1/n�cos

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

��.

......

wn+1 = r1/n�cos

�θ

n+ 2π

�+ i sin

�θ

n+ 2π

��


w1 = r1/n�cos

�θ

n

�+ i sin

�θ

n

��,

w2 = r1/n�cos

�θ

n+

2π

n

�+ i sin

�θ

n+

2π

n

��,

w3 = r1/n�cos

�θ

n+ 2

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ 2

2π

n

��,

wn = r1/n�cos

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

�+ i sin

�θ

n+ (n− 1)

2π

n

��.

......

wn+1 = r1/n�cos

�θ

n+ 2π

�+ i sin

�θ

n+ 2π

��

=

�0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5

0.5

1.0

7√1

�0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5

0.5

1.0

7√1

2π

7

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5

0.5

1.0

15√1

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5

0.5

1.0

15√1

2π

15

x2 = a ha 2 soluzioni

x3 = a

xn = a

ha 3 soluzioni

ha n soluzioni

x =√a

x = 3√a

x = n√a

Teorema fondamentale dell’algebra

ha sempre

L’equazione

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + · · ·+ an−1x+ an = 0

n soluzioni nel campo complesso.

Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

Teorema fondamentale dell’algebra

ha sempre

L’equazione

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + · · ·+ an−1x+ an = 0

n

(Contandole con la loro molteplicità)

soluzioni nel campo complesso.

4√z2 �=

√z

Algebra

4√z2 �=

√z

Sono 4 numeri complessi Sono 2 numeri complessi

Algebra

4√z2 �=

√z

Sono 4 numeri complessi Sono 2 numeri complessi

nm = q

p �⇒ m√zn = p

√zq

Algebra

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