NUMERACIÓN

NUMERACION 1

• Numeración:

En vista de que la serie de los números naturales es ilimitada aparece como un problema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente: si a cada número se le da un nombre distinto aparece que para nombrar, por ejemplo los mil primeros números habra que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además. ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil?

Además al hombre no sólo le es necesario nombrar los números, sino Que debe representarlos por símbolos adecuados. Pero, sin duda. el problema de encontrar un signo para representar cada número nos parece todavfa más dificil que el de encontrarle un nombre.

la teoria de la númeración enseña el modo de resolver estos dos problemas.

Un sistema de númeración es un conjunto de reglas que nos permite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y 5;gn05 o cifras.

.. Base del sistema:

Al número fijo de unidades de un orden que se toman para fonnar una unidad del orden superior, se le llama base del sistema. En el sistema usual la base es diez, y lo explicamos en esta lección. luego explicaremos el sis­tema binario, cuya base es dos.

Observaciones:

{n :

abcd(o) O n : Base del s;stema

Es un número entero positivo mayor que 1

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1 } ¡a < n abe jn) C> Se debe cumplir que: b < n C> :.( n > a ; bYC )

c < n

2}- -abcd( n} = efg( m) I 3} - -

aoc(.) - e!9ímj ~ ~

i 4 cifras 3 cifras

.. ( n<~J I Si : a<e ... o. [n<:m ) ~

.. El Sistema Decimal:

la palabra decimal viene del latín decem Que significa diez. nuestro sistema de escribir numerales para representar números se basa en agrupar de diez en diez y por eso se llama sistema decimal. Oecimos Que la base del sistema es diez o que es un sistema de base diez. Usando diez como base y la idea de valor posicional. no necesitamos más símbolos que los dígitos in.doarábigos para escribirnurnerales para cualquier numero cardinaL Por eso.llamamos numerales indoarábigo$ a los que usamos. A fin d~e repasar el sistema para escribir numerales, estudie el siguiente cuadro.

Base Diez

Analisis de un numeral Indoarábigo (En base diez}

Dígitos Decimales: 0,1 , 2,3, 4,5,6, 7, 8, 9

Representación Literal de los números:

'} ab: Cualquier número de 2 cilras o digijos. (10, 11 , 12, ...... , 98, 99}

Nota: El menor número de Jos cifras es ellO SI el mayor número de 2 cifras eS el 99.

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") abc : Cualquier número de 3 cifras o dígitos. (100. 101 . 102 .. .. ...... 998, 999)

Nota: El me"or número de 3 cifras es el 100 JI el mayor número de 3 cifras es el 999 .

... ) 3abc: Cualquier número de 4 cifras Que empieza con la cifra 3.

1/1 Número Capicua: Es aquel número cuyos dígitos equidistantes de los extremos son iguales. es decir se leen igual por "ambos lados", veamos algunos ejemplos:

') aba : 101, 111. 121. 131 •.......... ..... ......... ....... ... .. .. . 202: 212, 222, 232, ... ..... ........ ... .................. ..

") abba : 1001, 1111. 1221 . 1331 . ..... .. ............... .. ; 2002, 2112. 2222, 2332, ..................... .. ............ .. ..

>F Valor Absoluto y Relativo de las Cifras:

1) Valor Absolulo de una Cifra.- Es elvaior que loma unacijra por la formaD fig..-a

'1) Valor Rela1ivo de una Cifra.- Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el número.

EjemPlo(j): I ValorAbsoluto=3

8326 l. Valor Relalivo = 300

• El Sistema Binario

Ejemplo ®: r Valor Absoluto = 5

65184 L Valor Relati~o = 5 000

En el sistema binario, agrupamos de dos en dos. Hoy en dia, las modernas computadoras electrónicas que utilizan el sistema binario (en base dos) y, en cierto modo también el sistema octal, han venido revolucionando la ciencia. Pueden completar en pocos minutos cálculos Que a un hombre le tomaría años.

El diagrama siguiente ayudará a comprender el sistema binario.

Base bos Dígitos Binarios: O, 1

~ Valores Posicionales

" ~ .<J Potencias de dos

1 <J Numeral en base dos

Base Diez 64 + 32 + O + 8 + 4 + O + 1 = 109

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Nota: El, el sistema de 11úmeració/J decimal o de base diez se utilizan los dígitos de O a 9 para escribir los numera/es coftesponJientes a cualquier número cardinal. En el sistema binario o de base Jos, se necesUan únicamente Jos dígitos, O y J para escribir el numeral correslwluJielJte a cualquier número cardillal.

El simbolo 11 (2) se lee de la siguiente manera: "Uno uno en base dos" lo cual signffica un grupo de dos y uno más. (1'12.;1(2)' t')

El símbolo 101(2t se lee de la siguiente manera: "Uno cero uno en base dos" lo cual significa un grupo cuatro cerO grupo de dos y uno más.

(10" 2) ; 1(2)' t 0(2)' t , ; 1(4) + 0(2) + 1)

Observaciones:

t) En todo sistema de numeración se utiliza la cifra O.

11) La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es el valor de la base menos uno.

Ejemplo: 324 La mayor cifra disponible es el 4, 15. - porque la base es 5.

abed La mayor cifra disponible puede ser In) ~ cualquiera de las cifras a, b, c, Ó d,

tomando el valor de (n - 1).

111) En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención se utilizan:

Principales sistemas de numeración:

Base Sistema Cifras Di sponibles

2 Binario O. 1 3

1I Ternario 0.1,2

4 11

Cuaternario O, " 2,3 5 Quinario 0,',2,3,4 6

11

Senario O. 1, 2, 3. 4, 5 7 Eplal O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 Oclal O. " 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 n Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,6 10 Decimal O. 1, 2, 3, 4, 5,6,7. S, 9 11 Un decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 12 Duodecimal 0,1,2,3, 4, 5,6,7,8.9,10,11

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.. Descomposición Polinómica de un Número:

Sea ,el número: N = abcd ..... .............. xyz(n)

"m"cifras

Descomponiendo polinómicamente se obtiene:

( N = a.nm ., + b.nm . 2 + e.nm • 3 + d·nm • 4 + =

• Descomponer polinómicamente un número es expresarlo como la suma de los Valores Relativos de cada una de sus cifras de dicho número.

Ejemplo (!): 4735 = 4 000 + 700 + 30+5 Q QQ.;)

4735 = 4xl03 + 7x102 + 3xl01 + 5

T 1IJ J T T J EJemplo®: 872(9) ~ 8_92 + 7-91

+ 2

Ejerr-p 3 2 5463(12) = 5-12 + 4-12 + 6-12 + 3

EJemplo@: -- 4 3 2 abcde n = a·n + b·n + e·n + d·n + e

Nota: Como se podrá observar en la descQmposjcjón /X'linQm;ca de un numero, el exponente Je la base e/e cada térmilJo es igual al número de CEras que quedan a la derecha de la cifra considerada.

Ejemplo:

.. Descomposición en Bloques:

Llamaremos "bloque" a un grupo de cifras, como lo veremos a continuación:

Sea; el número: abed; descomponiendolo polinómicamente se obtiene:

abcd = a_103 + b-10' + c-10 + d

abcd = ab -1Q' + cd LB/oque;r

... Descomponer polinómicamente por bloques los siguientes números:

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i. ~~ = ab ·l0' + a b = ab ·1DO + a b => :.¡abab = 101 ·ab ¡

ii)

= ab x l0 000 + ab x100 + ab :) . . lababab =- 10 101 xab I

iii) abeabe = abex l03 t abe

~~

;;:. abcx l 000 + abe =:::) :.Iabcabc = 1 001 abe I .. Conversión de Sistemas:

[primer Caso: I"de un sistema de base "n" al sistema de base 10(base decimal)"

-b: Método a Emplearse: Descomposición Polinómica.

EiempIO (j) : Convertir: 546(7) a base 10

Resolución:

546(7 ) = 5x72 + 4x7 ' + 6 => 546(7) = 5x49 + 28 + 6 = 279 :;;) ·-· I S46m = 279 1

Eiemplo @ : Convertir: 2013(4. a base 10

Resolución:

20 13(4) = 2x43 + Ox42 + l x4 ' .... 3

2013(4) = 2x64 + O + 4 + 3 = 135 => :. 12013(4) = 1351

** Método de Rulfin; :

Ejemplo 1 : Convertir: Ejemplo 2 : Convertir.

546(7) a base 10 2013(4. a base 10

Resolución: Resolución:

+~ + + +

5 2 o DO (7) G) 35 ~ 273 32 132

5~39 1279 1 " 1t 351 ~ 2 6 33

:. 1546(7) = ~I ". 1201 3(4, = 113511

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I Segundo caso, ¡"del sistema de base 10 (sistema decimal) a un sistema de base "n°.

* Método emplearse: Divisiones sucesivas

Ejemplo 1 : Convertir: 583 a base 2

Resolución:

I Ge ..... /izando: I

I

583

18

Ejemplo 2 : Convertir 672 al sistema cuaternario.

Resolución:

672 1 4

27 ita 4 32 -8 42- 4

® ® -2 101 4

\J\.,<C®~

•. 672: ®2200(4)

I Tercer caso' I "Del sistema de base "n° al sistema de base "k' ; n ~ k ~ 10".

* Método a emplearse: En pomer lugar. el número de base (n); se convierte a base Diez.

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En segundo lugar, el número obtenido se convierte a base "k" .

Ejemplo : Convertir: 235m a base 3.

Resolución:

En primer lugar convertimos el número 235", a base diez (sitema decimal)

235", = 2 x 7' + 3 x 7' + 5 .. ... 1 235(~ = 1241

Luego los números as! encontrado: o sea 124 lo oonver1imos al sistema de base 3 ; mediante dvisionessucesivas.

• Conversión de Sistemas en los Numeras Menores que la Unidad.

Primer caso : 1 "Del sistema de base "n" al sistema de base 1 O"

EjemploC!): Convertir: O,abcde(n) al sistema de base 10.

R I . . ~_. a bcd e

eso uClon: O,abcde(Jl) = - + 2 + j +,. + "5 n n n n

Ejemplo(j): Convertir: 0,123,., a base 10.

Resolución:

1 2 3 0.123(4) = 4 + 42 + 43 ; efectuamos la suma de fracciones:

I Segundo caso: I "Del sistema de base 10 (siterna decimal), al sistema de base n".

Ejemplo(J) Convertir: 0,390 625 al sistema de base 4 •

Resolución:

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~390 625x 4

1 ,5625 x 4 ..

,25 x4" 1,00 x 4

-0,390 625 ~ 0,121(4)

I Operaciones: I

0,390625 x 4 ~ 1,5625 ----y--'

~ 0,562 5 x 4 = 2,25

J.. T

0,25 x 4 = 1,00 T

.L. 0,00 x 4 = O

Nota: Solo se multiplican las partes decimales.

.. 0 ,390625 = 0,121(4) (Estas cifras deben ser menores quela base)

Ejemplo 0: Convertir. 0,251 2 al sistema de base 5.

Resolución:

¡~251 2x 5

(::' :: • 1 4 x 5

,00 x 5

c---'-.

O,2512~O,I112(5' O

I Casos EspeciaJeit de Conversión:

I OperacIones: I 0,251 2 x 5 = 1,256

0,256 x 5 = 1,28

0,28 x 5 = 1.4

0,4 x 5 = 2,00

0,000 x 5 = O

".1 0,251 2 = 0,1112(5'

Dado el número en base tln" se le separa en grupos de "1<" cifras a partir de la derecha. El número que se forma en cada grupo se convierte al sistema decimal (base diez), donde se obtienen las cnras del número en base n'.

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Ejemplo(J): Expresar: 1101110,,) al sistema de base 4.

Resolución:

La base 4 < > tiJ; donde: k ; ®: este valor de 2, nos indica que debemos separar en grupos de a 2 de derecha a izquierda, veamos:

base (4):

1232

.00 1101110121 ; 1232(4)

Ejemplo 0: Expresar. 1101011(21 al sistema de base 8.

Resolución:

La base 8 < > {iJ: donde: K = ®: este valor de 3: nos indica que debemos separar en grUrJS de a 3 de derecha a izquierda, veamos:

I ha." (2): 11 base (8):

1 101 011 1I 153 1 T ~. · 011(2) ;2022

+ 1·2 + 1 ;0 101(2); 1·2 + 0·2 + 1 ;riJJ .. 11101011(2); 153(8)

1(2);1D~

Segundo caso: " Cel sistema de base n'" al sistema de base otn" ",

Oado el número en base nk de cada cifra se obtiene "k" cifras al convertirse a base "n-.

Ejemplo ([): Convertir. 232(4) al sistema de base 20

Resolución:

la base 4 < > 22, donde: K = 2, este valor de 2. noS indica que cada cifra del

número 232. genera 2 cifras en base 2.

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o 1

base (2):

1011 10

:. 1 232t •• = 101110(,. 1

Ejemplo ®: Convertir. 465( •• al sistema de base 2.

Reso(ucJón:

La base 8 < > f!J ; donde: K = @; este valor de 3. nos indica que cada cilra del número 465, genera 3 cifras en base 2.

base (8):

'rL~.~c,:. O 3 2 Ó 6 = 110(,.

1 1

base (2):

---lOO 110101

: . 1 465tO) = 100110101 (2) 1

(prOblemas Resueltos)

Prob/ema(j): Hallar el valor de "n°. si: 123(0. = 231(5)

A) 6 6)7 C) 8 D}1 O E) 9

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: 123(0. = 231(5.

Obteníendo: 1·n2 + 2·n + 3 :: 2.52 + 3·5 + 1

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Donde:

n2 + 2n + 3 = 66

n2 + 2n ~ 63 ~ O ; factorizando se obtíene:

~_ t.~ nX +9

(n . 7)(n + 9) : O ; igualamos cada factor a cero ---r ---c 'i'

I ii) n + 9: O ". .'. 1 n = 09 11

Nota: De los Jos valores que loma nn": osea; n ;:; 7 Y n :;; ·9, sólo lomaremos el valor posifovo. pues la base de un cierto sistema nunca puede ser negativo.

: . I El valor de "nJl es: 7 I Rpta. B

Problema@:Hallar el máximo valor de: "a + n", si: aOa(l'I) = (2a)a(2n)

Al7 Bl8 C)4 01 5 E) 6

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: aOalol = (2a)a(20)

Obleniendo: a·n' + O·n + 11..= (2a)·(2n) + "'

~n2 = 4'a¡.

:·In = 41 Lu~o. si "n" toma el valor de 4, el máximo valor que puede tomar "a" es 3 y el mínimo valor que puede tomar .... atl es 1.

.. Ir·-a-+-n-'·-=-3-+-4-=-7'1 Rpta. A . T T T T .

Problema@: ¿Cuántos valores puedes tomar "b· para que se cumpla:

aoab(6) = bb(2b)

A) O B) 1 Cl2 013

Resolución:

Descomponemos polinómicamente: aOab(6) = bb(2b)

Obteniendo: a·6' + 0·6' + a·6 + b = b·10' + b·10 + (2b)

.E14 ...

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216a + 6a + b = 100b + 10b + 2b

ma=lttb 2a = lb Donde:

Como se podrá observar "b" puede tomar los valores de 2 y 4 pues ~ no se toma. porque lo máximo que puede tomar <lb" es 5.

<lb" puede tomar los valores de 2 y 4; osea "b" toma 2 valores. Rpta. e

problema@,' Hallar: "a + b + c" si: cee (8) = ab1

A) 11 6) 12 C) 13 D)14 E) más de 14

ResoJucion: Descomponemos polin6micamente el númerO del primer miembro:

2 -c-a -t e-S + e ;;;; abl

64c+6c+c= abl

730 = abl O 7

73(7) = abl

; ahora buscamos un número que multiplicado por 73 termine en 1. siendo este el 7.

511 = abl ; por comparación de términos: la = 51 Y I b = 1 I Tq '!Ir

"a + b + c' = 5 + 1 + 7 = 13 Rpta. e T W T--.J T

Problema ® : En que sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226.

1\) 12 6)11 C) 13 O) 14 E)16

Resolución: Del enunciado, planteamos la ecuación siguiente:

370 = 226("1 ; descomponemos polinómicamente el número del segundo =c::., miembro:

370 = 2.n2 -1- 2·n + 6

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364 : 2(n' + n) "" 182 ; n(n + 1 1 ----E:. 13(14): n(n + 1) => :. 1 n : 131 Rpta. C .,.... T ---r-

Problema@: El menor número de 4 cifras de base "n" se escribe 2ab en el sistema decimal. Hallar: "a + b + n·

A)6 B) 12 C) t3 O) 14 E) 15

Resolución: Del enunciado. planteamos la siguiente ecuación:

1000(0); 2ab Recuerda que:

1xn3 + Oxn2 + Oxn + O = 2ab 1) El menor número de 3 cifras en

base 3 es: 100(3

)

n3 = 2ab ; dando valores - El mayor número de 3 cifras a "n~ , se cumple diferentes en base 3 es: 210(3)

para: 1 n ; 61; veamos: '-----=-~~----~

63; 2ab => 216; 2ab : por comparación de lénnlnos. a; 1 Y b; 6 .,- Tr I

:. l"a+b+n"-1 +6+6;13 1 Rpta.C

Problema(f) : En que sistema de numeración se realizó: 41 - 35 := 5

A) Duodecimal B) Senarío Cl Undecimal O) Nonario

Resolución:

Sea: "x" la base del sistema empleado.

E) NA

41{x) - 32( .. 1 = 5()!) ; por descomposición polinómica, obtenemos:

(4. + 1) - (3. + 2) ; 5

4x+ 1 - 3x-2;5 => ... 1 x : 61 (Sislema Senario) Rpta. B ,.., Problema@:Hallar: "x + y" sí: xyy (9) ; (y + 1)(y + 1). (7)

A)9"

Resolución:

B)8 C)7 O) 6

Descomponemos polinómicamente: xyy (9) - (y + 1)(y + l)x (7)

Obteniendo: x(9)' + y(9) + Y = (y + 1 ).7" + (y + 1)-7 + x

81x + lOy = 49(y + 1) + 7(y+1) + x

E)5

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Transponemos términos:

81x - x = 56(y + 1) - 10y ""E.-...r

80x = 46y + 56 ; sacamos mitad a cada termino

40x = 23y + 28 ; por tanteo, "y" toma valor de 4 Q

4

40x = 23(4) + 28

40x=120 => :. ~

:.1 "x + y" = 3 + 4 = 71 Rpta. e T T T T .

prOblemaG): Si: 1010 (101,) = 1010

A) 9 8)4 C)3 D)5

Hallar el valor de "x".

Resolución:

E)7

- En primer lugar. descomponemos polinómicamenle la expresión: 101.

101,,=1 .X2

+O'X+1 => 1101><=x2

+11

Reemplazamos el valor hallado en la expresión inicial:

1010 ( 2 ) = 1010 x • 1

Descomponemos polin6micamente la expresión del primer miembro, obteniendo:

1-(x2 + 1)3 + 0·(x2 + 1)2 + 1(x2 + 1) + O = 1010

(x:¿ + 1):.l + (x:¿ + 1) = 1010; factoñzamos en el primer miembro: a

(x" + 1)[(x" + 1)2 + 1) = 10[101) -C I TT Por comparación: x? + 1 = 10 => l = 9 => .', Ix = 31 Rpta. e

Problema @ : Si se cumple: xxx (11) + XX "1) + X ",) = abB

Calcular: "a + b - x"

A) 10 B)8 C)7 D)3 E)4

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ResolUción:

Descomponiendo porinómicamente cada lérmino. obtenemos:

[x(II)'. x(ll) + xl + [x(ll) + xl + x = ab8

133. + 12. + • = ab6

146x = abe; 146 debe multiplicarse por 3 para Que el producto Q termine en 8. 3

146(3) = ab6

438 = ab6 : por comparación: 1 a = 41 Y 1 b= 31 TU TTI

.'. rt ·-a-+-:b- ----,x":-=- 4- . -3--- 3- _-- -'4 t Rpta. E

Problema @ : Hallar el término 50 am. en la siguiente serie aritmética:

123(n) , 128(0) • 132(n) •.......................

A) 396(n) B) 319(n) D) 389(0)

Resolución:

E) 315(0)

Como se trata de una serie aritmética, la razón es constante, veamos:

12~~:~.)l~32(n) •. .. ............ ...... ..

r r

Donde: Ir= 128,o, - 123,n,1 ........ . (1)

5 = n-6

.-. t n = 11 t

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Reemplazamos el valor de "n~ en la expresión inicial:

(e5tosnúmerosfos )

123(11) 1 128(H)' 132(11) , ................. convertimosabase10 ~ ---r -r= ~ I (111' + 211 + 3); (Hl' • 2-11 .8) ; (111 2 + 3·11 + 2); .............. .

? I f I 146 ; 151 ; 156 ; ......... .

'----" '----"

# de térmínos = + 1 (último - primerO)

Obtenemos:

~ razón

50 = T so -146 -==--:,-- + 1

5

T 50 - 146 I 49 = 5 "".·. T 50 = 391[

El número hallado 391, lo convertimos a base "n" osea a base 11 . veamos:

391 ~ 61 3s~ ®®3 ",---"íJ

. . 391 = 326,,,. = 326,". Rpta. e T T

Problema @: ¿C6mo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

545 (b) ; 7a3 (B) y 6b5 (a)

A) 25~61 E) 425(61

Resolución:

Analizando cada uno de los números dados, osea:

545 M ; 7a3 (B) y 6b5 (a) obtenemos:

O O O ~~ ~

(de estas t~es relaciones deducimos que: ) ) la-7Iy lb=61 <

;- Si J

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Luego: 545'bf = 545'6f = 5(6)' • 4(6) + 5 = 12091 (# menor)

- 2 = 7a3 (8f = 773(8f = 7(8) + 7(8) + 3 = ~

6b5,af = 665(7f = 6(7)' + 6(7) + 5 = 134 ti (# mayor)

Ahora convertimos el númerO menor (209) al sistema de base (6).

209~ 29 ~ r:> 1209 = 545(611

® @ 5 ~==-_____ --, "-' V I El menor de los números es: 545(6) I Rpla. B

Problema@ : ¿En que sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de numeración?

A) 6

Resolución:

B) 7 C)B O) 9 E)10

Sea; et mayor número de 3 cifras de base x --+ (x - 1)(x -1)(x - 1) (')

Del enunciado; planteamos la ecuación:

(x - 1)(X - 1)(X - 1) (,) = 57(x - 1)

Descomponiendo polinómicamente se obtiene:

(x -1) x' + (x - l)x + (x - 1) = 57 (x - 1),

(x - 1)[.' + x + 1) = 57 (x - 1)

)(2 + X + 1 - 57 = O

](~ +x-56=O

xx 8 x -7

Igulamos a cero cada factor:

x+8=0 .... x=-8

)(-7=O~ x=7

faetorizamos (x - 1) :

Tomamos el valor positivo

1 x =71

Rpla. B

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Resolución:

Sea el número de 2 cifras: ab

Número que resulta de invertir Sus cifras: ba

Del enunciado, planteamos la ecuación:

ba - 5 = 2ab ; transponemos términos

~ 1llt -~ '; 5. descomponiendo polinómicamente, se obtiene:

(10b + a) - 2(10. + b) = 5

lOb + a - 20a- 2b = 5

8b - 19a = 5 {) {)

; por tanteo, "b" 10ma el valor de 3 y "a" toma el valor de 1.

3 1

8(3) - 19(1) = 5 (cumple)

. . El producto de las cifras del número ab = 31: es: _=~=3 ~.B

Problema @ : Se tiene que xOxOx (n) '; xxx 1m) : la razón entre m y n2 es:

A) n + 1 B) n - 1 C) n Dl 8 El 1

Resolución:

En I~ expresión: xOxOx (n) = xxx (m) ; descomponiendo polinómicamente:

x_n4 + 0_n3 +x,-t! +O·n +X,; x·m2 + x·m +x

xon4 + )( on2

'; x·m2 + x·m; factorizamos "'x" en ambos miembros

x(n4 + n 2) '; x(m2 + m) ; simplificamos las "x".

n 4 + n2 = m2 + m; por comparación de términos

~ I CD n" = m'& => !n> = m 1I I@u I

Luego. hallamos la razón entre m y n2

osea:

Rpla. E

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I PROBLEMAS PROPUESTOS I

Problema [}: Hallar el valor de ~n·: si:

401 In) = 203(n~2)

A)5 B)6 e)7 0)8 E)9

Problema@:Hallarel valnr de ~n· ; ~i:

A)8 Bl9 ella O) 11 E) 12

problema@: l-lallar el valOf de "a + b"; si :

atb(9) = bba(6)

A)5 Bl6 e)7 0)8 E)9

Problcm!!@:S;:"a" es menor que 3. como se expresa a33(9) en el sistema de base 3. (Dar como respuesta la suma de sus cifras).

A) •• 2 O) 2 •• 2

Bl··3 E) a+ 1

C)2.+1

Problema@:Hallar: "a + x + y"; si:

aaaa(5) = )(yS

Al9 Bl 10 el 11 Dl 12 El 13

Problema @:Hallar"m + n" sabiendo que es lo menor posible y que: 66(m) = 88(nl

Al 39 B) 18 el26 0)28 El42

Problema 0: Hallar: "a + b"; si:

ab'B) + ba(9) = 1 abm

Al8 B)7 el6 Dl5 El4

prOblema@: Hallar: ·x +)1"; si: xy",) = y"m

Al4 B)5 el6 0)7 El8

Problema ~allaf cuántos vakl res de "a" satisfacen: a (2a)a = 11 . aa

All B)2 e)3 Ol4 E) 5

Problema @ : Un numero de dos cifras de baso 7 31 convortirco a baso " EO ropresenta por las dos cifras pero dispuestas en orden in­verso. DICho número es:

Al13 Bl12 epI Olla El 9

Problema @ : ¿Cual de los siguientes nume­rales representa la mayor cantidad?

Al 237, PI 124"

B) 16(10)" E) lOO"

e) 143"

Problema @:Hallar: en + )1"; si: 123[n} = 17)(

Al 11 O) 14

B) 12 e) 13 El Más de 14

Problema @:Hallarelvalorde·x" en:

(12(.~2 = 144,.)

A)3 Bl4 e) Cualquier entero Ol Moyor que 4 E) Mayor o igual que 4

Problema @: Encp.;e sistemadenumeración se cumple que: 7 x 7 = 61

A) 12 Bl9 elS 0)7 E)6

Problema @ : Cuánto es la séptima parte de la diferencia de las cifras de un numero de 2 cifras que es el cuadrado de la suma de sus cifras.

Al2 B)l el217 O) 117 E) N.A.

Problema 16: Si: )(53(1) = 1x1 x¡SJ; hallar el valor de ·x",

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Al2 Bl 3 el o 01 4

Problema @ : Calcular: -(a + n)"; si:

aaa(l2) = (02) nlOta)

B) 13 ee 011 2

Ell

Ell a

Al 9 Bl 8 el 7 01 6 El 5

Problema @ : Calcular "XM si se cumple:

loox f4f¡!) = xOO + 10x i' ___ _

Al9 Bll0 el l l 01 7 Ele

Problema @; si: iiTi = (a - 1) (a - 2) (a - 3) '" Problema : Calcular: "a + b"; si;

aaaO(1l) = abOab(51 Entonces: n (n - 1) (n · 2) (n .. 1); en base diez se escribe como:

A)18 Jf¡ 57 e) 117 01 207 E) 501

Problema @ : El número 764 esta escrito en el sistema de base ocho. ¿Cómo se escribirá en el sistema ternario?

. M 20011 2", O) 10111 2,3)

B) 101212,31 E) 210 11 2(3)

C) 210111'31

Problema @ : Escriba en el sistema de base

9 el número: x (x - 3) (x + 2)'6)

Al 147., O) 186.)

B) 174 .. , El 153(0)

C) 135 .. ,

Problema @:Calcular: ·p + q + r-; si se verifi­

ca.: pqr = 210315):; 1a7(8)

A) 4 B) 6 e)7 0) 8 El 12

Problema @ : lndlCar la suma de "(a + b)"; si:

(20) O (211)(5) = aba,, )

A)3 B) 4 el 5 0)7 Ele

Problema @ : El menor número de cuatro cifras del sistema duodecimal se expresa como 1331 en un sistema cuya base es: 13(nr ¿Cálcular el valor de "n"7

A) 6 B) 7 el 8 0) 9 E) 11

Problema @ : El mayor número de tres crtras diferentes de la base 6 se escribe como 3abc en la base 4. Hallar: "8 + b + c·.

A) 4 B) 5 el 6 0) 3 Ele

Problema @ : Calcular en base decimal.

1 35{al + 12b{Cl + 15a(b) + 14C(9)

Al 361 Bl 360 C) 362 O) 359 El 363

problema@: ¿ComoseeSCribe en base 9 el menor de los siguientes números?

7a3 e ; 545 b ; 6b5 •

Al 252, B) 352, e) 333, O) 418, E)12Bg

Problema @: Hallar Mn-: si: 4 2(0»)( 32(0) = 2 004(nl

A)6 B) 7 el8 0) 5 E) 9

Problema ~ : Si: a5 (9) +

ac (9) Hallar: Ma x b x CM

bbc,,)

abe (9)

Al 60 B) 72 C) 48 01 30 E)42

Problema@: En que sistema de numerad6n se cumple que el menor, número de 3 cifras es igual a 6 veces la base?

A) 8 0) 6

B)4 e)5 E) Faltan datos

Problema @ : Un número escrito en 2 bases Que se diferencian en 2 unidades está repre-

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sentado por 123 y 172. Hallar dicho número en el sislema decimal.

Al146 Bl120 C) 138 01140 El 102

Problema @: Si: 34(11) ;;; 5O(n . 2)' A cuánto equivale 55(1'1)" En el sistema decimal.

Ál 40 B) 38 e) 42 0150 El N.A.

Problema @ : Si: m (m + 2) (m - 3)60 = xYYrr¡; Dar el valor de: m .. )( + y

Al6 B)7 C)8 0)9 El15

Problema@:EI número 102 se escribe como 204 en base (k + 1). Hallar el valor de "k·.

A)5 B)6 e)7 0)8 El9

Problema @:Calculeel valor de: "x + n". Si:

3)(Y(I1) = 304(9)

A) 10 B) 12 e)14 0)16 El18

Problem~: Si a~b - (%) a (% F Hallar el máximo valor de -a".

A)5 B)6 e)7 D)8 E)9

Problema 6Bl : Hallar el valOr de "a" si el nú­mero ~ es el producto de cuatro núme­ros consecutivos.

A)l B)2 e)3 D)4 E) 5

Problema @¡ : Hallar: (b - a); Si:

") 1 OO~2?,., = 2072."

A) 4 Bl6 el8 Dl3 El5

ProbIema@:S': 1010(101 J::: 1010; Hanarel valor de "n" (n)

Al9 B)4 e)3 D)5 E)7

Problema (4t¡: Hallar el mayor número de 4 cifras tal qu;;;1a suma de sus cifras sea igual a 17. Dar como respuesta el número expresado en base 8.

A) 7433 , O) 2311~",

BI47211(8, E) 16313(6'

e) 36710(8,

Problema@:Respecto a un número se cum­ple que: escrito en una base cualquiera está for­mada por 3 cifras máximas y escrita en una base que es el doble de la anterior se escribe con 2 cifras también máximas. Hallar el número en base 9.

BI54(9, 1')70(8'

, ProblelJ1a@: Dado el número "N- de 10 ci· fras:

all0ll0ll0",; Hallar "N" en base 8.

A) 6 166", O) 6 616(6)

B) , 666,., E)7 616(6)

e) 6661(B,

Problema @ : Hallar un número de 3 cifras, cuya cifra de las unidades es 8, si este número se le suprime et número 8 el número resultante es los 4/41 del número original. Da, como res­puesta la suma de ofras del número original.

• A)10 B)11 e) 12 D) 13 E) 14

Problema @ : Hallar el valor de ~S"

s= 1010(2)" 1010(41 + 1010(61 + .. ,-.. + 1010(16)

Al 5 220 016960

B) 10440 El 8 352

e)6860

Problema@: Calcular: 3m + n~; si se sabe que los siguientes números estáncorredamente escritos:

ppo(l1}

A) 12 B)13 e)14 0115 E)16

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Problema ~: Si: ab(1) = ba(Il)" Determinar el valor de: "a + b"; sabiendo que "n~ está entre 20y30.

A) 3 8)4 C)5 0)6 E)7

Problema @: El siguiente resultado: 36b ... 216a + 37 se ha obtenido después de descom~ poner el número.

A) a (b - 1) (b)2'6)

C)aO(b+ 1)1 ,,,

E) b (a)(a + 1)~l

B) a(b) (b + 1)(6l

O) a (b+ 1)01,6,

Problema @ : Si se cumple que:

abab(n) = 221.

Hallar 91 valor da: (33 + b + 20) ~

A) 17 8) 13 e)18 0115 E) 21

Problema @ : En que sistema de numera· ción se cumple que: El mayor número de tres cifras excede en 436 untdades al menor núme­ro de tres cifras significativas (cifra significativa es diferente de cero).

A)4 B)5 C)8 0)11 E) 14

Problema @: Determinar cuántos números en la base cfiez cumplen lo siguiente:

a (2b)c'12l = (3a)bc'8l

A) 5 918 e) 10 DI?

Problema @:Hallar: Mm + n + xM; Si:

120x'01 = 64x = 2553(m)

E)16

A)17 8) 18 e)19 O) 20 E) 21

Problema @: Al número abe se le restó el núncro roa. y en el resuftado se observ6 Que la dfra de unidades era el doble que la cifra de cenlenas. Si: Ma + b + c" es lo máximo posible. Hallar: "a . b . e·.

A) 360 0)405

Problema

5) 324 E) 432

@:Si;

e) 486

(a - 4) (a) (a - 4),,, = xyyz,,,

Hallar:·x + y + z· "í

A)6 B)5 e)4 0)7 E) 8

Problema @:Si: 1 331 (o) = 260m); convertir: 43(fI) a base 10.

A) 22 O) 25

B)23 E) 26

C/a"" de Respuestas 1

l.A 15.8 29.6 2.0 16. O 30.8

3.C 17.C 31.0

4.A 18.6 32. A S.E 19.A 33. A 6.C 20.C 34. E

7.8 21. A 35.8 8.0 22.0 36.C 9.0 23.C 37.B

10.8 24.0 38.B

11. O 25. A 39. A 12.C 26.8 40.C

13.0 27. A 41. O 14. e 28. A 42.E

e) 24

43.8 44.0

45. B

46. A 47.C 48.0 49.C SO.C 51.8 S2.C 53.0 54.C

55. 8

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