Nowi patroni olszty ´ nskich ulic — Marian Rejewski O strategicznym zastosowaniu teorii permutacji Adam Doliwa [email protected]WYKLAD INAUGURACYJNY WYDZIAL MATEMATYKI I I NFORMATYKI UWM Olsztyn, 28 wrze´ snia 2012 r. Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 1 / 22
22
Embed
Nowi patroni olsztynskich ulic --- =1=Marian Rejewski O ...wmii.uwm.edu.pl/~doliwa/Doliwa-Rejewski.pdf · [Gian Carlo Rota, Indiscrete Thoughts] Dobry matematyk potrafi dostrzegac
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Nowi patroni olsztynskich ulic — Marian RejewskiO strategicznym zastosowaniu teorii permutacji
Podczas XXVI Sesji Rady Miasta Olsztyna (29.09.2012 r.) radni nadalinazwy dwóm ulicom prowadzacym do budowanych obiektówOlsztynskiego Parku Naukowo-Technologicznego. Patronem drogigminnej oznaczonej symbolem 1KDD został Marian Rejewski -matematyk i kryptolog.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 2 / 22
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 3 / 22
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 4 / 22
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 5 / 22
W 1919 roku Hugo Koch opatentował maszyne szyfrujaca zezmiennym szyfrem podstawieniowym innym dla kazdego znaku.
Wirtualna ENIGMA http://www.biecek.pl/projects/Enigma2/Enigma.htmlAutor: dr inz. Przemysław Biecek (Instytut Matematyki Stosowanej iMechaniki, Uniwersytet Warszawski)
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 6 / 22
Kurs kryptologii dla matematyków
15 lipca 1928 roku Enigma w wersji G została dopuszczona do uzytkuw wojskach ladowych (Reichswera) Niemiec. Pomimo znajomosciogólnych zasad działania maszyny szyfrujacej wywiady angielskii francuski ze wzgledu na liczbe (rzedu 10114) mozliwych stanówurzadzenia uznały szyfr za niemozliwy do złamania.
W styczniu 1929 na Uniwersytecie Poznanskim zorganizowano kurskryptologii dla 26 wybranych studentów matematyki znajacych jezykniemiecki. Jesienia 1930 utworzono w Poznaniu filie Biura Szyfrów,w której zatrudniono m.in. Mariana Rejewskiego, Jerzego Rózyckiegoi Henryka Zygalskiego.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 7 / 22
Polscy kryptolodzy
Marian Rejewski Jerzy Rózycki Henryk Zygalski(1905-1980) (1909-1942) (1908-1978)
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 8 / 22
Polski radiowywiad podczas wojny z bolszewickaRosja 1918-1920
Jan Kowalewski (1892-1965) złamał w 1919 roku klucze szyfroweArmii Czerwonej. Wciagnał do współpracy wybitnych przedstawicielipolskiej szkoły matematycznej: Stanisława Lesniewskiego, StefanaMazurkiewicza, Wacława Sierpinskiego.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 9 / 22
Kontruderzenie znad Wieprza — „cud” nad Wisła
„nieprzyjaciel sam informował dokładnie nasze dowództwo o swym staniemoralnym i materialnym, o swych stanach liczebnych i stratach, o swychruchach, o osiagnietych zwyciestwach i poniesionych kleskach, o swychzamiarach i rozkazach, o miejscu postoju swych dowództw i rejonachdyslokacyjnych swych dywizji, brygad i pułków”
a b c d e f↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓b d f a e c↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓f c a e d b
=
a b c d e f↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓f c a e d b
(U ◦ T ) ◦ S = U ◦ (T ◦ S)
S ◦ S−1 = S−1 ◦ S = I =
a b c d e f↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓a b c d e f
S ◦ I = I ◦ S = SAdam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 12 / 22
Przykład geometryczny – grupa symetrii trójkatarównobocznego
A B
C
S
Rk – obrót o kπ3 wokół srodka trójkata S, k = 1, 2
OX – odbicie w prostej SX , X = A, B, CI – identycznosc
np. R1 = (ABC), OA = (BC)(A)Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 13 / 22
Permutacje a rozwiazywalnosc równan algebraicznych
François Viète (1540-1603)
W równaniu algebraicznym x2 + bx + c = 0 wyrazenia
b = −(x1 + x2), c = x1 · x2
nie zmieniaja znaku przy zamianie pierwiastków x1, x2 równania.Wyrazenie d = x1 − x2 zmienia (tylko) znak przy przestawieniupierwiastków, czyli jego kwadrat jest niezmienniczy
d2 = (x1 − x2)2 = (x1 + x2)
2 − 4x1 · x2 = b2 − 4c
Poniewaz znajomosc b oraz d pozwala wyznaczyc x1 i x2 wnioskujemystad, ze musza istniec wzory na pierwiastki wymagajace operacjialgebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnozenie, dzielenie) orazwyciagania pierwiastka kwadratowego.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 14 / 22
Permutacje a rozwiazywalnosc równan algebraicznychPodobna analiza znanych technik rozwiazywania równan algebraicz-nych stopnia trzeciego (Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tar-taglia (1500 - 1557)) oraz czwartego (Lodovico Ferrari (1522 - 1565))dokonana przez Josepha Louisa Lagrange’a (1736-1813) doprowadzi-ła Paolo Ruffiniego (1765-1822) do twierdzenia, ze
nie istnieja ogólne wzory na rozwiazania równania stopnia piategowykorzystujace operacje algebraiczne i pierwiastkowanie
Jakie równania maja rozwiazania przez pierwiastniki ?
Évariste Galois (1811-1832)Tworzac teorie grup Galois wyprzedził swoja epoke o kilkadziesiat lat.Camille Jordain, Traité des substitutions et des équationsalgébraiques, Gauthier-Villars, Paris 1870 (667 stron)
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 15 / 22
Oszacowanie liczby mozliwych stanów EnigmyKazdy z bebenków moze przyjac 26 róznych pozycji. Pozycjabebenków sie zmienia:
3! · 26 · 26 · 26 = 105 456 ' 105
Liczba połaczen szesciu par liter w łacznicy wtyczkowej:
Definicja i FaktInwolucja nazywamy permutacje bedaca swoja odwrotnoscia.Inwolucja w rozkładzie na cykle moze składac sie tylko z punktówstałych i transpozycji.
Twierdzenie 1Jesli dwie permutacje tego samego stopnia skladaja sie z samychtranspozycji rozłacznych, wtedy w ich złozeniu cykle rozłacznewystepuja w liczbie parzystej, a elementy transpozycji trafiaja do cyklio tej samej długosci.
Twierdzenie 2Jesli w rozkładzie permutacji na cykle rozłaczne jest parzysta liczbacykli o tej samej długosci to mozna taka permutacje rozłozyc na dwieinwolucje.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 17 / 22
Korzystajac ze swoich twierdzen, znajomosci psychiki niemieckichzołnierzy oraz kluczy dziennych z wrzesnia i pazdziernika 1932dostarczonych przez wywiad francuski, pod koniec grudnia 1932Rejewski zrekonstruował okablowanie wirników.Zeby zautomatyzowac pozostałe elementy procesu dekodowaniakryptolodzy zaprojektowali urzadzenia pomocnicze (cyklometr, kartycharakterystyk) umozliwiajace ustalenie klucza dziennego w 15 minut.
Po 15 wrzesnia 1938, kiedy Niemcy wprowadzili udoskonalenia wtechnice szyfrowania (zwiekszenie liczby ruchomych bebenków,zmienna liczba połaczen w łacznicy) kryptolodzy udoskonalalinarzedzia (tzw. bomba kryptologiczna – sprzezone szesc kopii Enigmynapedzane silnikiem elektrycznym, plachty perforowane).
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 18 / 22
W 1939 Niemcy ponownie zwiekszyli liczbe wirników, co wymagałozbudowania dodatkowych 54 (oprócz istniejacych szesciu) bombkryptologicznych oraz opracowania 60 kompletów płacht Zygalskiego.Przekraczało to ówczesne mozliwosci finansowe Biura Szyfrów.
Na spotkaniu 25 lipca 1939 w Pyrach pod Warszawa przekazano pojednym egzemplarzu kopii Enigmy wraz z dokumentacjaprzedstawicielom wywiadów Wielkiej Brytanii i Francji.
Bletchley Park Bomba Turinga Colossus
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 19 / 22
Siedziba Agencji Bezpieczenstwa Narodowego (National SecurityAgency) w Fort Meade w stanie Maryland — najwieksze skupiskomatematyków na swiecie.
Adam Doliwa (UWM) Rejewski 28-IX-2012 20 / 22
Tajemnica, a jednoczesnie chwała matematyki, lezy nie tak bardzo wtym, ze abstrakcyjne teorie okazuja sie byc stosowalne do rozwiazy-wania rzeczywistych zadan, lecz — i to jest cud nad cudami — w tym,ze teoria wymyslona do badania problemów jednego typu okazuje siebyc czesto jedyna droga do rozwiazania problemów zupełnie innegorodzaju, problemów do badania których nie była stworzona. Takieprzypadki wystepuja na tyle czesto, ze musza stanowic esencjematematyki.
Marian Rejewski, Wspomnienia z mojej pracy w Biurze SzyfrówOddziału II Sztabu Głównego w latach 1930-1945, WydawnictwoNaukowe UAM, Poznan 2011Marian Rejewski, An Application of the Theory of Permutations inBreaking the Enigma Cipher, Applicationes Mathematicae 16(1980) 543-559Zdzisław Opial, Algebra wyzsza, Panstwowe WydawnictwoNaukowe, Warszawa 1975Marek Grajek, Enigma. Blizej prawdy, Dom Wydawniczy REBIS,Poznan 2008Grzegorz Nowik, Zanim złamano „ENIGME” ... Polski radiowywiadwojskowy podczas wojny z bolszewicka Rosja 1918-1920, OficynaWydawnicza RYTM, Warszawa 2004 (T. 1), 2010 (T. 2)http://pl.wikipedia.org/wiki/Enigma