November 21, 2013xpzhang.me/teach/CM18_Fall/slide07.pdf1 7.0 •¸ 2 7.1 ’É„Õ 7.1 ’Él 7.1.2 ’É—0!c„Õ 7.1.3 ’É„Õ—ïî0¡ 3 7.2 Ž< ﬁT(Runge-Kutta)„Õ 7.2.1

数值计算方法第七章常微分方程的数值解法

张晓平

November 21, 2013

张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 1 / 42

目录

1 7.0 简介

2 7.1 欧拉方法7.1 欧拉公式7.1.2 欧拉预估－校正方法7.1.3 欧拉方法的误差估计

3 7.2 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法7.2.1 龙格－库塔方法的基本思想7.2.2 二阶龙格－库塔方法7.2.3 高阶龙格－库塔公式


1 7.0 简介




1 常微分方程的求解问题在实践中经常遇到，但我们只知道一些特殊类型的常微分方程的解析解。

2 在科学与工程问题中遇到的常微分方程往往很复杂，许多情况下不可能求出解的表达式。

3 很多实际问题中，并不需要方程解的表达式，而仅仅需要获得解在若干点上的近似值即可

因此，研究常微分方程的数值解法就很有必要。


问题

本章讨论一阶常微分方程初值问题dydx= f (x, y)

y(x0) = y0

x ≥ x0 (1)

的数值解法。

理论上， f (x, y)对于y满足Lipschitz条件：

| f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2|,

则以上初值问题存在惟一解。


问题

本章讨论一阶常微分方程初值问题dydx= f (x, y)

y(x0) = y0

x ≥ x0 (1)

的数值解法。

理论上， f (x, y)对于y满足Lipschitz条件：

| f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2|,

则以上初值问题存在惟一解。


所谓数值解法，就是寻找y(x)在一系列离散节点

a ≤ x0 < x1 < · · · < xn < · · · ≤ b

上的近似值y0, y1, · · · , yn, · · ·，其相邻两个节点的距离hn = xn+1 − xn称为步长，我们总假定节点等距，即hn ≡ h，此时

xn = x0 + nh, n = 0, 1, 2, · · ·

此时节点xn对应的函数值为

y(xn) = y(x0 + nh), n = 0, 1, 2, · · ·


1 7.0 简介




1 7.0 简介


3 7.2 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法


7.1 欧拉方法7.1 欧拉公式

在方程(1)中，用向前差商代替导数，即

y′(xn) ≈y(xn+1) − y(xn)

h

有y(xn+1) ≈ y(xn) + h f (xn, y(xn)),

再用yn近似代替y(xn)，便导出显式欧拉公式 yn+1 = yn + h f (xn, yn),

y0 = y(x0)n = 0, 1, 2, · · · , (2)



在方程(1)中，用向后差商代替导数，即

y′(xn+1) ≈y(xn+1) − y(xn)

h

便可导出隐式欧拉公式 yn+1 = yn + h f (xn+1, yn+1),

y0 = y(x0)n = 0, 1, 2, · · · , (3)

这类隐式格式的计算远比显式格式困难！



在方程(1)中，用向后差商代替导数，即

y′(xn+1) ≈y(xn+1) − y(xn)

h

便可导出隐式欧拉公式 yn+1 = yn + h f (xn+1, yn+1),

y0 = y(x0)n = 0, 1, 2, · · · , (3)

这类隐式格式的计算远比显式格式困难！



在方程(1)中，用中心差商代替导数，即

y′(xn) ≈y(xn+1) − y(xn−1)

2h

便可导出两点欧拉公式

yn+1 = yn−1 + 2h f (xn, yn), n = 0, 1, 2, · · · , (4)

在计算yn+1时，需利用前两步的信息yn, yn−1。



在方程(1)中，用中心差商代替导数，即

y′(xn) ≈y(xn+1) − y(xn−1)

2h

便可导出两点欧拉公式

yn+1 = yn−1 + 2h f (xn, yn), n = 0, 1, 2, · · · , (4)

在计算yn+1时，需利用前两步的信息yn, yn−1。


1 7.0 简介




7.1 欧拉方法7.1.2 欧拉预估－校正方法

对方程y′ = f (x, y)的两端从xn到xn+1积分，得

y(xn+1) = y(xn) +∫ xn+1

xn

f (x, y(x)) dx.

利用梯形公式计算积分得

y(xn+1) ≈ y(xn) +h2

[ f (xn, y(xn)) + f (xn+1, y(xn+1))]

再用yn代替y(xn)的近似值，便可导出梯形公式

yn+1 = yn +h2

[ f (xn, yn) + f (xn+1, yn+1)], n = 0, 1, · · · .

梯形公式可视为显示欧拉公式与隐式欧拉公式的算术平均，它仍为隐式，不便于直接计算。



对方程y′ = f (x, y)的两端从xn到xn+1积分，得

y(xn+1) = y(xn) +∫ xn+1

xn

f (x, y(x)) dx.

利用梯形公式计算积分得

y(xn+1) ≈ y(xn) +h2

[ f (xn, y(xn)) + f (xn+1, y(xn+1))]

再用yn代替y(xn)的近似值，便可导出梯形公式

yn+1 = yn +h2

[ f (xn, yn) + f (xn+1, yn+1)], n = 0, 1, · · · .

梯形公式可视为显示欧拉公式与隐式欧拉公式的算术平均，它仍为隐式，不便于直接计算。



实际计算中，可将欧拉公式与梯形公式相结合，先由显示欧拉求得一个初步的近似值，记为yn+1，称之为预报值；再将该值代入梯形公式算得yn+1，这一步称为校正。流程如下

预估 yn+1 = yn + h f (xn, yn),

校正 yn+1 = yn +h2

[ f (xn, yn) + f (xn+1, yn+1)n = 0, 1, 2, · · · (5)

该公式称为欧拉预估－校正公式或改进的欧拉公式，它是一种显示公式，是对隐式梯形公式的改进，可以直接计算。



为便于上机编程，可将上述步骤改为yp = yn + h f (xn, yn),

yc = yn + h f (xn+1, yp),

yn+1 =12

(yp + yc)



例

利用欧拉公式和预估－校正公式求初值问题 y′ = y − 2xy

y(0) = 1

在[0, 1]上的数值解（取h = 0.1），并与精确解y =√

2x + 1进行比较。

解

欧拉公式 yn+1 = yn + h(yn −

2xn

yn

)y0 = 1, h = 0.1

n = 0, 1, 2, · · · , 9



解

预估－校正公式yn+1 = yn + h

(yn −

2xn

yn

)yn+1 = yn +

h2

(yn −

2xn

yn+ yn+1 −

2xn+1

yn+1

)y0 = 1, h = 0.1

n = 0, 1, 2, · · · , 9



Table: 计算结果

xn 欧拉公式yn 预估－校正公式yn 精确解y(xn) =√

2xn + 10.0 1 1 10.1 1.1 1.095909 1.0954450.2 1.191818 1.184097 1.1832160.3 1.277438 1.266201 1.2649110.4 1.358213 1.343360 1.3416410.5 1.435133 1.416402 1.4142140.6 1.508966 1.485956 1.4832400.7 1.580338 1.552514 1.5491930.8 1.649783 1.616475 1.6124520.9 1.717779 1.678166 1.6733201.0 1.784771 1.737867 1.732051



x

y

欧拉公式

预估－校正公式精确解

图: 计算结果


1 7.0 简介




定义

设yn为精确解，即yn = y(xn)，在此前提下，用某种数值方法计算yn+1的误差Rn = y(xn+1) − yn+1称为该数值方法计算yn+1的局部截断误差。

定义

若某一数值方法的局部截断误差为Rn = O(hp+1)，p为正整数，则称这种数值方法为p阶方法，或者说该方法有p阶精度。


定义

设yn为精确解，即yn = y(xn)，在此前提下，用某种数值方法计算yn+1的误差Rn = y(xn+1) − yn+1称为该数值方法计算yn+1的局部截断误差。

定义

若某一数值方法的局部截断误差为Rn = O(hp+1)，p为正整数，则称这种数值方法为p阶方法，或者说该方法有p阶精度。


定理

显式欧拉方法的局部截断误差为O(h2)，它为一阶方法。

证明.由泰勒公式

y(xn+1) = y(xn + h) = y(xn) + hy′(xn) +h2

2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + · · ·

对于显式欧拉公式，

yn+1 = yn + h f (xn, yn) = y(xn) + h f (xn, yn) = y(xn) + hy′(xn)

则其局部截断误差为

y(xn+1) − yn+1 =h2

2!y′′(xn) + · · · = O(h2)

�


定理




2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + · · ·




y(xn+1) − yn+1 =h2

2!y′′(xn) + · · · = O(h2)

�


定理




2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + · · ·




y(xn+1) − yn+1 =h2

2!y′′(xn) + · · · = O(h2)

�


定理




2!y′′(xn) +

h3

3!y′′′(xn) + · · ·




y(xn+1) − yn+1 =h2

2!y′′(xn) + · · · = O(h2)

�


定理

梯形公式为二阶方法。

证明.由梯形求积公式的误差知

|RT ( f )| ≤h3

12max |y′′(x)|

其局部截断误差为O(h3) �


定理

梯形公式为二阶方法。

证明.由梯形求积公式的误差知

|RT ( f )| ≤h3

12max |y′′(x)|

其局部截断误差为O(h3) �


定理

预估－校正公式为二阶方法。

证明.预估－校正公式可改写为

yn+1 = yn +12 (k1 + k2),

k1 = h f (xn, yn),

k2 = h f (xn + h, yn + k1).

在yn = y(xn)的前提下，

k1 = h f (xn, yn) = hy′(xn),

k2 = h f (xn + h, y(xn) + k1)

= h[f (xn, y(xn)) + h fx(xn, y(xn)) + k1 fy(xn, y(xn)) + O(h2)

]= h f (xn, y(xn)) + h2

[fx(xn, y(xn)) + f (xn, y(xn)) fy(xn, y(xn)) + O(h)

]= hy′(xn) + h2y′′(xn) + O(h3)


定理



yn+1 = yn +12 (k1 + k2),

k1 = h f (xn, yn),

k2 = h f (xn + h, yn + k1).


k1 = h f (xn, yn) = hy′(xn),

k2 = h f (xn + h, y(xn) + k1)


]= h f (xn, y(xn)) + h2


]= hy′(xn) + h2y′′(xn) + O(h3)


定理



yn+1 = yn +12 (k1 + k2),

k1 = h f (xn, yn),

k2 = h f (xn + h, yn + k1).


k1 = h f (xn, yn) = hy′(xn),

k2 = h f (xn + h, y(xn) + k1)


]= h f (xn, y(xn)) + h2


]= hy′(xn) + h2y′′(xn) + O(h3)


证明.将k1, k2代入原方程得，

yn+1 = yn + hy′(xn) +12

h2y′′(xn) + O(h3)

与泰勒公式比较，其截断误差为

y(xn+1) − yn+1 =h3

3!y′′′(xn) + · · ·

�


1 7.0 简介




1 7.0 简介

2 7.1 欧拉方法



7.2 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法7.2.1 龙格－库塔方法的基本思想

考察差商y(xn+1) − y(xn)

h，由微分中值定理，存在ξ，使得

y(xn+1) − y(xn)h

= y′(ξ), ξ ∈ (xn, xn+1).

由方程y′ = f (x, y(x))

得y(xn+1) = y(xn) + h f (ξ, y(ξ)),

称k? = f (ξ, y(ξ))为[xn, xn+1]的平均斜率。



只要对平均斜率提供一种近似算法，便相应导出一种计算格式。

1 显式欧拉公式

以k1 = (xn, yn)作为k?的近似

2 欧拉预估－校正公式

以xn与xn+1两个点的斜率值k1和k2取算术平均作为k?的近似

















龙格－库塔方法的基本思想

设法在[xn, xn+1]内多预报几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为k?的近似，则有可能构造出更高精度的计算格式。


1 7.0 简介

2 7.1 欧拉方法



7.2 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法7.2.2 二阶龙格－库塔方法

推广欧拉预估－校正方法，考察[xn, xn+1]内任一点

xn+p = xn + ph, 0 < p ≤ 1

用xn与xn+p两个点的斜率值k1和k2加权平均得到平均斜率k?。即令

yn+1 = yn + h[(1 − λ)k1 + λk2], λ待定



类似于欧拉预估－校正，取

k1 = f (xn, yn), yn+p = yn + phk1, k2 = f (xn+p, yn+p)

便得如下格式 yn+1 = yn + h[(1 − λ)k1 + λk2],

k1 = f (xn, yn),

k2 = f (xn + ph, yn + phk1)

(6)

希望适当选取λ, p，使上述格式具有更高精度。



类似于欧拉预估－校正，取

k1 = f (xn, yn), yn+p = yn + phk1, k2 = f (xn+p, yn+p)

便得如下格式 yn+1 = yn + h[(1 − λ)k1 + λk2],

k1 = f (xn, yn),

k2 = f (xn + ph, yn + phk1)

(6)

希望适当选取λ, p，使上述格式具有更高精度。



设yn = y(xn)，分别将k1和k2泰勒展开，

k1 = f (xn, yn) = hy′(xn),

k2 = f (xn + h, y(xn) + phk1)

= f (xn, y(xn)) + ph fx(xn, y(xn)) + phk1 fy(xn, y(xn)) + O(h2)

= f (xn, y(xn)) + ph[fx(xn, y(xn)) + f (xn, y(xn)) fy(xn, y(xn)) + O(h)

]= y′(xn) + phy′′(xn) + O(h2)

代入计算格式(6)得

yn+1 = y(xn) + hy′(xn) + λph2y′′(xn) + O(h3)

与泰勒公式

y(xn+1) = y(xn) + hy′(xn) +h2

2!y′′(xn) + O(h3)

要使计算格式具有二阶精度，须使λp = 12。



把满足λp = 12的公式(6)统称为二阶龙格－库塔公式。

1 当p = 1, λ =12时，(6)就是欧拉预估－校正公式

2 当p =12, λ = 1时，(6)形式为

yn+1 = yn + hk2,

k1 = f (xn, yn),

k2 = f (xn+ 12, yn +

h2 k1).

该公式可看作是用中点斜率值k2作为平均斜率k?的近似，它也可称为中点公式，具有二阶精度。



把满足λp = 12的公式(6)统称为二阶龙格－库塔公式。

1 当p = 1, λ =12时，(6)就是欧拉预估－校正公式

2 当p =12, λ = 1时，(6)形式为

yn+1 = yn + hk2,

k1 = f (xn, yn),

k2 = f (xn+ 12, yn +

h2 k1).

该公式可看作是用中点斜率值k2作为平均斜率k?的近似，它也可称为中点公式，具有二阶精度。


1 7.0 简介

2 7.1 欧拉方法



7.2 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法7.2.3 高阶龙格－库塔公式

常用的三阶龙格－库塔公式为

yn+1 = yn +h6

(k1 + 4k2 + k3),

k1 = f (xn, yn),

k2 = f(xn +

h2, yn +

h2

k1

),

k3 = f (xn + h, yn + h(−k1 + 2k2))

(7)



经典的四阶龙格－库塔公式为

yn+1 = yn +h6

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

k1 = f (xn, yn),

k2 = f(xn +

h2, yn +

h2

k1

),

k3 = f(xn +

h2, yn +

h2

k2

),

k4 = f (xn + h, yn + hk3)

(8)



例

用经典四阶龙格－库塔公式求解初值问题 y′ = y −2xy,

y(0) = 1

在[0, 1]上的数值解（取h = 0.2）。



解

k1 = yn −2xn

yn,

k2 = yn + 0.1k1 −2(xn + 0.1)yn + 0.1k1

,

k3 = yn + 0.1k2 −2(xn + 0.1)yn + 0.1k2

,

k4 = yn + 0.2k3 −2(xn + 0.2)yn + 0.2k3

,

yn+1 = yn +0.13

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),



Table: 计算结果

xn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0yn 1 1.18323 1.34167 1.48324 1.61251 1.73214

y(xn) 1 1.18322 1.34164 1.48324 1.61245 1.73205



x

y

图: 计算结果


November 21, 2013xpzhang.me/teach/CM18_Fall/slide07.pdf1 7.0 •¸ 2 7.1 ’É„Õ 7.1 ’Él 7.1.2 ’É—0!c„Õ 7.1.3 ’É„Õ—ïî0¡ 3 7.2 Ž< ﬁT(Runge-Kutta)„Õ 7.2.1

Documents