Forte centrale - continuare Note de curs (in format PDF): www.math.ubbcluj.ro/~tgrosan/Infostud.htm/Mecanica.htm Reamintim: Numim forta centrala o forta F a carei directie trece in orice moment printr-un punct fix O, numit centrul fortei. Daca F.r < 0 atunci F se numeste atractiva Daca F.r > 0 atunci F se numeste repulsiva y x M 0 M e r e θ F v O r r 0 θ v 0 α Curs 10. Forte centrale. Continuare 1
27
Embed
Note de curs (in format PDF): tgrosan ...math.ubbcluj.ro/~tgrosan/MecanicaCurs10.pdf · si planeta Curs 10. Legea atractiei universale 14. Legea atractiei universale S-a dovedit ca
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Forte centrale - continuare
Note de curs (in format PDF):www.math.ubbcluj.ro/~tgrosan/Infostud.htm/Mecanica.htm
Reamintim:
Numim forta centrala o forta F a carei directie trece in orice moment printr-un punct fix O, numit centrul fortei.
Problema miscarii sub actiunea unei forte centrale se poate reduce la ecuatia lui Binet:
),,(112
2
2
2
trFrrd
dr
mc θθ
±=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− (1)
semn „+“ pentru forta repulsivasemn „–“ pentru forta atractiva
cu conditiile initiale:
αθ
θθθθ
ctgrrd
drr tt
0)(00)(
0
11;11
00
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==
==
(2)
unde c este constanta ariilor:
αθ sin0002
0 vrrc == & (3)
Curs 10. Forte centrale. Ecuatia lui Binet
2
Forte centrale - continuare
Daca forta F depinde doar de raza vectoare r (F = F(r)) atunci ca o alternativa la ecuatia lui Binet se poate aplica teorema energiei:
LdT δ=unde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
2mvddT
Utilizand teorema energiei se obtine:
∫=−⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ r
rdrrFmvmvdrFmvd
0
)(222
20
22
FdrrdrFrdr
rFrd
rrFrdFL =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=⋅=⋅=
2
2rrrrr
rrδ
Deci
Curs 10. Forte centrale. Cazul F = F(r)
3
hdrrFm
v += ∫ )(22 (4)constanta energiei
Forte centrale - continuare
Tinem cont ca:
Curs 10. Forte centrale. Cazul F = F(r)
4
unde h se determina din conditiile initiale:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+=
2
222
2
2222
111rrd
dcv
rc
rddcr
rrv
θ
θ
θ
θ
&
&
&&
hdrrFmrrd
dc +=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫ )(211
2
22
θ
hdrrFm
v += ∫ )(220
Deci:(5)
Legea atractiei universale
Plecand de la observatiile astronomice ale lui Tycho Brahe, Kepler (1596, 1609, 1619) a formulat urmatoarele legi care descriu miscarea oricarei planete in jurul Soarelui:
1. Orice planeta se misca in jurul Soarelui pe o elipsa avand Soarele in focar2. Planetele descriu arii egale in intervale de timp egale ( se respecta legea ariilor)3. Raportul dintre cubul semiaxei mari si patratul perioadei de miscare pe orbita
descrisa de o planeta este constant si acelas pentru toate planetele din Sistemul Solar. constant23 =Ta
Fie P(m) o planeta aflata in miscare in jurul Soarelui, S(M). Planeta si Soarele sunt considerate puncte materiale. Conform primei legi ale lui Kepler consideram ca miscarea lui P(m) are loc pe o elipsa din planul xOy avand semiaxa mare a si semiaxa mica b
x
y
S(c1,0)
P(m)
Af
F
a Or
b
θ
Ph
Ecuatia traiectoriei des-crisa de P(m) in coordonate polare este:
θcos1 epr
+=
(6)
11 <=ace a
bp2
=
(parametrul elipsei)(excentricitatea elipsei)
Curs 10. Legea atractiei universale
7
Legea atractiei universale
Din a doua lege a lui Kepler avem:
cr =θ&2 (7)
unde c este constanta ariilor. Deoarece raza vectoare a lui P(m) parcurge arii egale in intervale de timp egale deducem ca viteza sa in punctul cel mai apropiat de S, Ph, numit periheliu trebuie sa fie mai mare decat in punctul cel mai indepartat de S, Af, numit afeliu.
Din (6) avem:
ppe
rdd θθθ
cossin1'
2
2 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
pe
rθcos11 +
= deci (8a,b)
Curs 10. Legea atractiei universale
8
Legea atractiei universale
Admitem ca forta F pe care o exercita Soarele S asupra planetei P depinde explicit doar de r. Folosind teorema momentului cinetic
( )FMdtKd
oo
rrr
=
aratam ca F este o forta centrala:
( ) 0
0
2
)7(
=×⇔×=⇔
=
FrFrkrdtd rrrr
43421
r&θ( ) Frkr
dtd rrr
& ×=θ2
Asadar F trece tot timpul prin punctul S, deci este o forta centrala.
Curs 10. Legea atractiei universale
9
Legea atractiei universale
Deoarece forta F este o forta centrala putem aplica ecuatia lui Binet:
)(112
2
2
2
rFrrd
dr
mc=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
θ(9)
Folosind (8b) in (9) avem:
)(1cos2
2
rFrp
er
mc=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−
θ (10)
Utilizand (8a) in (10) obtinem:
2
2 1)(rp
mcrF −= (11)
Curs 10. Legea atractiei universale
10
Legea atractiei universale
Conform legii a treia a lui Kepler
(12)ℜ∈==⇒= µπnotatie
2
3
2
3
constant4constantTa
Ta
Tinand cont ca T este perioada de rotatie a planetei in jurul Soarelui, integrand (7) avem:
ba2)( 0
0
ba2elipseiaria2
2
0
2 πθθπ
π=⇒=⇒ ∫∫
+
=×=
cTcdtdrTt
t43421cr =θ&2
Obtinem:
Tbac π2
= (13)
Curs 10. Legea atractiei universale
11
Legea atractiei universale
Din (11) si (13) avem:
22
222 14)(rT
bapmrF π
−= (14)
Tinand cont de (12) ecuatia (14) devine:
(15)22
2
2
32
2
)12(
14)(rm
rapb
TamrF
abp
µπ
µ
−=−==
=321
Ecuatia (15) reprezinta marimea algebrica a fortei exercitata de soarele S asupra planetei P. Conform principiului actiunii si reactiunii deducem ca si planeta P atrage soarele S cu o forta FP egala in marime, insa de sens contrar:
Curs 10. Legea atractiei universale
12
Legea atractiei universale
2rMF P
Pµ
= (16)
In relatiile de mai sus sunt prezene marimile:M = masa Soareluim = masa planeteiµP= coeficient specific centrului atractiv al planeteiµ = coeficient specific centrului atractiv al Soarelui (e acelasi pentru toate
planetele ce orbiteaza in jurul Soarelui)Asadar:
⇔=⇔=⇔= MmrM
rmFF P
PP µµµµ
22
Curs 10. Legea atractiei universale
13
e acelasi pentru toate planetele
constant===⇔ fmM notatie
Pµµ
Legea atractiei universale
Constanta f se numeste constanta atractiei.
mMf Pµµ
== (17)
Inlocuind (17) in (15) obtinem legea atractiei:
rr
rMmfF
rr2−=2r
MmfF −= (18)sau vectorial
Legea atractiei: Forta de atractie exercitata de Soare in miscarea unei planete in jurul acestuia este direct proportionala cu masa planetei si masa Soarelui si invers proportionala cu patratul distantei dintre Soare si planeta
Curs 10. Legea atractiei universale
14
Legea atractiei universale
S-a dovedit ca aceasta lege este valabila nu numai pentru Sistemul Solar ci pentru toate corpurile din Univers. De aceea lege se numeste legea atractiei universale.
Forta F de tipul (15) se numeste forta newtoniana.
Este problema inversa a legii atractiei universale.
Problema lui Newton: Determinarea miscarii unui punct material P(m) sub actiunea unei forte centrale de tip newtonian
2)(rmrF µ
−= (19)
unde µ > 0 este o constanta iar r este distanta de la P la centrul atractiv S.Conform ipotezei forta F este o forta centrala, deci miscarea punctului P(m) este plana si respecta legea ariilor:
cr =θ&2 (20)
Obs.: Aceasta problema intervine in studiul corpurilor ceresti (problema celor doua corpuri), in miscareaelectronului in jurul nucleului atomic, etc.
Vom folosi ecuatia lui Binet pentru a deduce miscarea punctului P in jurul centrului atractiv S.
Curs 10. Problema lui Newton 16
Problema lui Newton
y
S
P(m)
Af
Fv0
r0r
α
θ P0
x
Din ecuatia lui Binet avem:
2)19(2
2
2
2 11rmF
rrdd
rcm
//−==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
//−
µθ
Curs 10. Problema lui Newton 17
Problema lui Newton
Obtinem:
22
2 11crrd
d µθ
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(21)
Ecuatia (21) este o ecuatie diferentiala de ordinul 2, liniara si neomogena. Solutia generala a ecuatiei (21) este:
ℜ∈+−= 11211 ,,)cos(1 θµθθ Cc
Cr
(22)
unde constantele de integrare C1 si θ1se determina din conditiile initiale:
αθ
θθθ
ctgrrd
drrt 0)(
000
11;)(0
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==
(23)
Curs 10. Problema lui Newton 18
Problema lui Newton
Notand in (22) pe:
peC
notatie=1
µµ 2
2
1 cppc notatie
=⇔= (24)si
obtinem:
pe
ppe
cC
r)cos(11)cos()cos(1 1
1211θθθθµθθ −+
=+−=+−=
sau
)cos(1 1θθ −+=
epr (25)
Ecuatia (25) reprezinta ecuatia unei conice care are focarul in S, iar axa focala face unghiul θ1 cu axa polara. Parametrul p este parametrul conicei, iar e este excentricitatea conicei.
Curs 10. Problema lui Newton 19
Problema lui Newton
Din relatiile (25) si conditiile initiale (23) obtinem:
)25(0)(
0
00
11)(
0
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
==
αθ
θ
θθ
ctgrrd
drr
t
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−=−
⇔
=
αθθθθθ
θθ
θθ
ctgrp
ep
edd
rpe
010
1
010
1)sin()cos(1
1)cos(
0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
−=−⇔
αθθ
θθ
ctgrpe
rpe
010
010
)sin(
1)cos((26a,b)
Curs 10. Problema lui Newton 20
Problema lui Newton
Ridicam la patrat relatiile (26a) si (26b) si le adunam:
12sin
1210
220
22
20
2
02
0
22 +−=+−+=
rp
rpctg
rp
rp
rpe
αα
Deci
Revenind la expresia fortei aratam ca F este conservativa,
adica exista potentialul V=V(r) astfel incat: .Obtinem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= 2
sin11 2
00
2
αrp
rpe
2)(rmrF µ
−=
drdVrF −=)(
rmV µ
−=
(27)
(28)
Curs 10. Problema lui Newton 21
Problema lui Newton
Exprimam lucrul mecanic elementar:
dVdrdrdVdrrFrdFL −=−==⋅= )(rr
δ
Din teorema energiei cinetice avem:
Iar prin integrare obtinem integrala prima a energiei
0)( =+⇒−== VTddVLdT δ
(29)0,',' tthhVT ≥∀ℜ∈=+
Avem:hmh
rmvm
rmmv
notatie/==/−/=− '
21
21
0
20
2 µµ
hr
v =−0
202
1 µ(30)
Curs 10. Problema lui Newton 22
Problema lui Newton
In (27) avem:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
=
=
0
200
0
2
200
0
2
20
220
20
0
2
20
2
0
2
sin
,2
00
2
221
212sin
1sin1
2sin
112sin
11
00
2
rvr
rc
vrr
cr
vrr
c
rc
rc
rp
rpe
vrc
cp
µµµ
µµαµα
µ
αµµαα
µ
Curs 10. Problema lui Newton 23
Problema lui Newton
Tinand cont de (30) avem
hcr
vrr
ceh
rv 2
2
20
200
0
22 21
221
0
20 µ
µµµ µ
+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
=−
(31)
Daca• e < 1 (h < 0) atunci conica este o elipsa• e > 1 (h > 0) atunci conica este o hiperbola• e = 1 (h = 0) atunci conica este o parabola
Prin urmare, daca h < 0, conica este o elipsa si am justificat astfel prima lege a lui KeplerCea de-a doua lege a lui Kepler rezulta din proprietatile fortei centrale si anume legea ariilor
Ramane sa obtinem legea a treia a lui Kepler.
Curs 10. Problema lui Newton 24
Problema lui Newton
Consideram ca miscarea lui P se face pe o elipsa:
axa polara
y
S
P
P2
F
aO
rb θ1
P1
x
axa focarelorv
P0
v0
θ α
Aratam ca: constant23 =Ta
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++
+−+
=+=)cos(1)cos(12
1)(21
111121 θπθθθ e
pe
pSPSPaAvem:
Curs 10. Problema lui Newton 25
Problema lui Newton
Obtinem asadar:
Curs 10. Problema lui Newton 26
Dar
Tinand cont de relatia (13) avem:
2
2
2
22
2
22 1
ab
aba
aOSe −=
−==
21 epa−
=
2)32(
2222
11)1(
epeabeab−
=−=⇒−=
(32)
(33)
cbaT π2
=(34)
Problema lui Newton
Utilizand (32) si (34) si (33) calculam raportul
Asadar am obtinut ceea ce reprezinta legea a treia a lui Kepler
Obs.: Am aratat ca miscarea unui punct material P sub actiunea unei forte centrale de tip Newtonian respecta legile lui Kepler.