Wstęp do analizy matematycznej - notatki Spis treści 1. Odwzorowania i ich podstawowe własności........................................................................................................3 Def. Funkcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Iniekcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Suriekcja........................................................................................................................................................................................3 Def. Bijekcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Funkcje monotoniczne...................................................................................................................................................................3 Def. Ograniczoność funkcji...................................................................................................................................................................3 Def. Parzystość funkcji..........................................................................................................................................................................3 Def. Nieparzystość funkcji....................................................................................................................................................................3 Def. Okresowość funkcji.......................................................................................................................................................................4 Def. Składanie funkcji (superpozycja)..................................................................................................................................................4 Odwracanie funkcji................................................................................................................................................................................4 Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję..........................................................................................................................................4 2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości...................................................................................................................4 Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych..........................................................................................................................................4 Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych..................................................................................................5 Kresy zbiorów........................................................................................................................................................................................5 3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.......................................................5 Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych).......................................................................................................5 Zasada minimum dla liczb naturalnych.................................................................................................................................................5 Zasada minimum dla liczb całkowitych.................................................................................................................................................5 4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady ....................................................................................................................................................5 Def. Granica ciągu w R.........................................................................................................................................................................5 Warunek konieczny zbieżności ciągu....................................................................................................................................................5 Warunek wystarczający zbieżności ciągu..............................................................................................................................................5 Ciągi rozbieżne do nieskończoności......................................................................................................................................................6 5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.....................................................................................................................................................................6 Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych...............................................................................................6 Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych............................................................................................................6 Twierdzenie o trzech ciągach.................................................................................................................................................................6 6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie Bolzano- Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R................................................................................6 Def. Punkt skupienia..............................................................................................................................................................................6 Def. Podciąg..........................................................................................................................................................................................7 Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa........................................................................................................................................................7 Def. Warunek Cauchy'ego.....................................................................................................................................................................7 Zupełność przestrzeni R........................................................................................................................................................................7 7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów ...................................................................................................................................7 Warunek konieczny zbieżności szeregów..............................................................................................................................................7 Kryteria zbieżności szeregu...................................................................................................................................................................7 8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych..........................................................................................8 Twierdzenie Cauchy-Hadamarda...........................................................................................................................................................8 Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych ......................................................................................................................8 9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte........................................................9 Def. Przestrzeni metrycznej...................................................................................................................................................................9 Metryki..................................................................................................................................................................................................9 Def. Kula................................................................................................................................................................................................9 Def. Zbiór otwarty.................................................................................................................................................................................9 Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net ) 1
16
Embed
Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Wstęp do analizy matematycznej notatki
Spis treści1. Odwzorowania i ich podstawowe własności........................................................................................................3
Def. Funkcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Iniekcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Suriekcja........................................................................................................................................................................................3Def. Bijekcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Funkcje monotoniczne...................................................................................................................................................................3Def. Ograniczoność funkcji...................................................................................................................................................................3Def. Parzystość funkcji..........................................................................................................................................................................3Def. Nieparzystość funkcji....................................................................................................................................................................3Def. Okresowość funkcji.......................................................................................................................................................................4Def. Składanie funkcji (superpozycja)..................................................................................................................................................4Odwracanie funkcji................................................................................................................................................................................4Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję..........................................................................................................................................4
3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.......................................................5Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych).......................................................................................................5Zasada minimum dla liczb naturalnych.................................................................................................................................................5Zasada minimum dla liczb całkowitych.................................................................................................................................................5
4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady....................................................................................................................................................5
Def. Granica ciągu w R.........................................................................................................................................................................5Warunek konieczny zbieżności ciągu....................................................................................................................................................5Warunek wystarczający zbieżności ciągu..............................................................................................................................................5Ciągi rozbieżne do nieskończoności......................................................................................................................................................6
5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.....................................................................................................................................................................6
Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych...............................................................................................6Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych............................................................................................................6Twierdzenie o trzech ciągach.................................................................................................................................................................6
6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie BolzanoWeierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R................................................................................6
Def. Punkt skupienia..............................................................................................................................................................................6Def. Podciąg..........................................................................................................................................................................................7Twierdzenie BolzanoWeierstrassa........................................................................................................................................................7Def. Warunek Cauchy'ego.....................................................................................................................................................................7Zupełność przestrzeni R........................................................................................................................................................................7
7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów...................................................................................................................................7
8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie CauchyHadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych..........................................................................................8
Twierdzenie CauchyHadamarda...........................................................................................................................................................8Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych ......................................................................................................................8
9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte........................................................9
Def. Przestrzeni metrycznej...................................................................................................................................................................9Metryki..................................................................................................................................................................................................9Def. Kula................................................................................................................................................................................................9Def. Zbiór otwarty.................................................................................................................................................................................9
Def. Zbiór domknięty............................................................................................................................................................................910. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych........................................................................................................................10
Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych......................................................................................................................10Warunek konieczny zbieżności............................................................................................................................................................10Własność Hausdorffa...........................................................................................................................................................................10Def. Zbieżność w metrykach równoważnych......................................................................................................................................10
11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością................................................................................................................................................................................10
12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie...............................................................................10
Def. Granica funkcji (Heinego)...........................................................................................................................................................11Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)......................................................................................................................................................11
13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady..................................................................................................................................................11
Twierdzenie o trzech funkcjach............................................................................................................................................................11Twierdzenie o granicach funkcji..........................................................................................................................................................11
14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady...............................................................................................................................................................11
Definicja Heinego funkcji ciągłej........................................................................................................................................................11Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej...................................................................................................................................................12Ciągłość złożenia.................................................................................................................................................................................12Działania na funkcjach ciągłych..........................................................................................................................................................12
15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.............................................................................................................................................................12
16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady........................................................................................................................13
Nieciągłość pierwszego rodzaju.........................................................................................................................................................13Nieciągłość drugiego rodzaju.............................................................................................................................................................13Granice związane z funkcjami elementarnymi....................................................................................................................................13Funkcje ciągłe......................................................................................................................................................................................13
17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych............................................................................13
Def. Pochodna funkcji.........................................................................................................................................................................13Interpretacja geometryczna..................................................................................................................................................................13Interpretacja fizyczna...........................................................................................................................................................................14Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)..............................................................................................................14Pochodne funkcji elementarnych.........................................................................................................................................................14
18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania...............14Tw. Rolle'a............................................................................................................................................................................................14Tw. Lagrange'a.....................................................................................................................................................................................14Tw. Cauchy'ego....................................................................................................................................................................................14Wnioski:...............................................................................................................................................................................................14Wzór Taylora........................................................................................................................................................................................15
19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady..........15Def. Ekstremum lokalne......................................................................................................................................................................15Warunek konieczny ekstremum funkcji...............................................................................................................................................15I warunek wystarczający ekstremum funkcji.......................................................................................................................................15II warunek wystarczający ekstremum funkcji......................................................................................................................................16Def. Funkcji wypukłej.........................................................................................................................................................................16
20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej................16Def. Funkcja pierwotna........................................................................................................................................................................16
Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.
Def. Iniekcja
f : D fY Jest iniekcją (różnowartościowa), gdy:∀x1, x2
x1≠x2⇒ f x1≠ f x2
Przykład: f x =x
Def. Suriekcja
f : D fY Jest suriekcją („na”), gdy:∀y∈Y∃
x∈Xy= f x
Przykład: f x =x
Def. Bijekcja
f : D fY Jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.Przykład: f x =x
Def. Funkcje monotoniczne
Funkcja monotoniczna, to taka, która jest albo rosnąca, albo malejąca w przedziale.
• f(x) jest silnie rosnąca ⇔ ∀x1, x2∈D f
x1 x2⇒ f x1 f x 2 ,
• f(x) jest rosnąca ⇔ ∀x1, x2∈D f
x1 x2⇒ f x1≤ f x 2 ,
• itd.
Def. Ograniczoność funkcji
Funkcja jest ograniczona z góry, gdy:∃
M∈ℝ∀
x∈D f
f x M
Przykład: f x =−∣x∣
Funkcja jest ograniczona z dołu, gdy:∃
m∈ℝ∀
x∈D f
f x m
Przykład: f x =x2
Funkcja jest nieograniczona, jeśli jest nie jest ograniczona z góry i z dołu.
1. Aksjomaty ciała.1. Łączność dodawania i mnożenia.2. Przemienność dodawania i mnożenia.3. Istnienie el. neutralnych dla obu działań.4. Istnienie el. przeciwnych dla obu działań.5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2. Aksjomaty porządku.W zbiorze ℝ określona jest relacja porządku < spełniająca warunki.1. Dla x , y∈ℝ zachodzi x≠ y⇒xy∨ xy .2. Przechodniość
Dla x , y∈ℝ zachodzi xy∧ yz ⇒ xz .3. Asymetria
Dla x , y∈ℝ zachodzi xy ⇒¬y x .3. Aksjomaty związku między działaniami w ℝ , a relacją <.
1. Dla x , y , z∈ℝ zachodzi x y⇒ xzyz .2. Dla x , y , z∈ℝ zachodzi x y⇒ xzyz .
an=−∞ ), jeśli w dowolnym otoczeniu ∞ ( −∞ ) znajdują się prawie wszystkie
wyrazy ciągu an.limn∞
an=∞⇔ ∀M0
∃n0∈ℕ
∀n≥n0
an≥M
limn∞
an=−∞⇔ ∀M0
∃n0∈ℕ
∀nn0
an≤M
5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.
Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych
Tw. Jeśli ciągi an i bn są zbieżne to:
1. limn∞
an limn∞
bn= limn∞
anbn
2. limn∞
an−limn∞
bn=limn∞
an−bn
3. limn∞
an⋅limn∞
bn=limn∞an⋅bn
4.limn∞
an
limn∞
bn
=limn∞an
bn
dla bn≠0 i limn∞
bn≠0
Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych
Tw. Jeśli an i bn są ciągami zbieżnymi, to:
1. an≤bn p.w.⇒ limn∞
an≤limn∞
bn
Kontrprzykład: limn∞
1n≤ lim
n∞
−1n
, a to wcale nie znaczy, że 1n≤−1n
2. anbn p.w.⇒ limn∞
an≤limn∞
bn
3. limn∞
an limn∞
bn⇒anbn p.w.
Twierdzenie o trzech ciągach
an≤bn≤cn p.w.∧limn∞
an=g=limn∞
cn⇒ limn∞
bn=g
6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie BolzanoWeierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R.
Def. Punkt skupienia
Liczbę p∈ℝ nazywamy punktem skupienia ciągu xn, jeżeli w dowolnym otoczeniu p znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu xn.
Tw. Granica ciągu zbieżnego jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu.Tw. Każdy punkt skupienia ciągu jest granicą pewnego podciągu tego ciągu.
Podciąg to pewien ciąg utworzony z innego ciągu po usunięciu niektórych elementów. Jeśli xn będzie ciągiem ik :ℕℕ iniekcja, silnie rosnąca, to xk n= xkn
jest podciągiem ciągu xn.Tw. Dowolny ciąg zawiera podciąg monotoniczny
Twierdzenie BolzanoWeierstrassa
Ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Tw. Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, to również dany ciąg jest zbieżny do tej granicy.
Def. Warunek Cauchy'ego
xn jest ciągiem Cauchy'ego jeśli spełnia warunek:∀0∃n 0
∀m , n∈ℕ
∣xn−xm∣
Tw. limn∞
xn=g⇒WC
Zupełność przestrzeni R
ℝ jest przestrzenią zupełną tzn. WC ⇒ ∃g∈ℝ
limn∞
x n=g
7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów.
Warunek konieczny zbieżności szeregów
∑n=1
∞
x n∞⇒ limn∞
x n=0
Kontrprzykład: limn∞
1n=0 , ale ∑
n=1
∞ 1n=∞ , co można wykazać z kryterium kondensacyjnego.
Kryteria zbieżności szeregu
1. Kryterium porównawcze w wersji równoważnościowej: Jeśli 0≤x n≤yn to:
9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte.
Def. Przestrzeni metrycznej
Niech X≠∅ . Funkcję d : X×X [0,∞ nazywamy metryką w zbiorze X jeśli:1. ∀
x , y∈Xd x , y =d y , x
2. ∀x , y∈X
d x , y =0⇔ y= x
3. ∀x , y , z∈X
d x , z ≤d x , y d y , z (nierówność trójkąta)Def. Metryka d1 jest silniejsza od d2, jeśli jest spełniony warunek:
∀x∈X ,r0
∃0
K1x ,⊂K2 x , r
Metryki
• Naturalna: d x , y :=∣x−y∣
• Zerojedynkowa: d x , y :=[0, x=y ∨1, x≠y ]
• Euklidesowa w ℝn={x1 , x2 ,... , xn: x l∈ℝ∧l∈ℕ} :
Jeśli a=x1 , x2 ,... , x n i b=y1 , y2 ,... , yn , to d a ,b :=∑l=1
n
x l−y l2
Def. Kula
Załóżmy X≠∅ , x0∈X , r0Kulą (otwartą) o środku w x0 i promieniu r w przestrzeni X nazywamy zbiór
K x0, r ={x∈X : d x , x 0r}
Def. Zbiór otwarty
Zbiór A⊂X jest otwarty w przestrzeni metrycznej jeśli spełnia warunek:∀
x0∈A∃
r0K x0, r ⊂A
Def. Zbiór domknięty
Zbiór jest domknięty w przestrzeni metrycznej, jeśli X\A jest zbiorem otwartym.
10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.
Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych
xn g⇔∀0∃n0
∀nn0
d xn , g
Warunek konieczny zbieżności
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony
Własność Hausdorffa
∀g1, g2∈X
∃r0
K g1, r 1∩K g2,r 2=∅
Def. Zbieżność w metrykach równoważnych
Niech w przestrzeni X określone będą dwie metryki i . Mówimy, że są równoważne, jeśli dyktują tę sama zbieżność, tzn. dla dowolnego ciągu xnn∈ℕ i dla dowolnego x0 prawdziwa jest równoważność: xn , x00⇔xn , x0 0
11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością.
Def. Zbiory zwarte
Niech (X,d) będzie przestrzenią metrycznąA⊂X jest zwarty⇔ Każdy ciąg z A zawiera podciąg zbieżny do elementu z A• Przykład:
Przedział domknięty i ograniczony w R jest zbiorem zwartym. Wynika to z tw. BolzanoWeierstrassa, które mówi, że istnieje podciąg xn k
ciągu xn , że xn k g , a więc g∈[a ,b ] .
• Kontrprzykład:Zbiór R nie jest zwarty, bo xn=n∞
Tw. Każdy zbiór zwarty jest domknięty. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty.Tw. Jeśli podzbiór A⊂ℝn jest zwarty, to jest zbiorem ograniczonym.
Zupełność przestrzeni
Def. {xn}⊂X Jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli spełnia warunek:∀0∃n 0
∀n ,mn0
d xn , x m
Def. Przestrzeń zupełna(X,d) jest przestrzenią zupełną, jeśli dowolny ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny do elementów tej przestrzeni.Tw. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.Tw. Jeśli w przestrzeni metrycznej (X,d) każda kula domknięta jest zwarta, to jest to przestrzeń zupełna.
12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie.(X,Y) – przestrzenie metryczne
Tw. f spełnia warunek Libschitza ⇒ f jest ciągła w X
Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej
Funkcja jest ciągła w punkcie x ⇔∀0∃0∀y∈A∣x−y∣⇒∣ f x− f y ∣
Przykład: f x =x jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.Kontrprzykład: f x =sgn x nie jest ciągła w 0.
Ciągłość złożenia
limx x0
f x =x0∧g jest ciągła ⇒ limx x0
g [ f x]=g x0
• Wniosek: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
Działania na funkcjach ciągłych
• suma, różnica funkcji ciągłych jest ciągła w x0,• iloczyn funkcji ciągłych jest ciągła w x0,• iloraz funkcji ciągłych jest ciągła w x0,
15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.
Spójność
Def. Niech X ,d przestrzeń metryczna. A ,B⊂X Są rozgraniczone ⇔ A∩B=∅=A∩BDef. C⊂X Jest spójny, jeżeli nie jest sumą zbiorów rozgraniczonych.• Przykład: 0,1 , bo dla n∈0,1 0,n∪n ,1≠0,1• Kontrprzykład: A=0,1∪2,3 jest sumą zbiorów rozgraniczonych
Tw. X jest spójna ⇔ nie jest sumą dwóch zbiorów otwartych (domkniętych) i rozłącznych.• Przykład: ℝ
Tw. Niech f : XY będzie funkcją ciągłą i X – przestrzenią spójną. Wtedy f X jest przestrzenią spójną.Tw. Jeśli X ,d jest przestrzenią metryczną, spójną i f : Xℝ jest ciągła, to f X jest przedziałem.
Zwartość
Tw. Niech f : XY będzie funkcją ciągłą, X – przestrzenią metryczną i A⊂X zwarty. Wtedy f Ajest zwarty.• Wniosek: A⊂ℝn , Y – przestrzenią metryczną i f : AY ciągła to f A jest zwarty.
Własność Darboux funkcji ciągłejf : [a , b]ℝ ciągła
Jeśli f a ≤ f b∧y∈[ f a , f b ] ∨ f a≥ f b∧y∈[ f b , f a] to istnieje c∈[a ,b] : f c =yTw. Weierstrassa
A⊂X zwarty i f : Aℝ ciągła ⇒ f ma w A ekstrema globalne∃
x0∈A∀x∈A
f x ≤ f x0
∃x0∈A
∀x∈A
f x ≥ f x0
Tw. Jeśli f : [a ,b] jest ciągła i różnowartościowa, to f jest silnie monotoniczna.
Tw. Jeżeli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.
Nieciągłość pierwszego rodzaju
Funkcja ma nieciągłość pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica prawostronna i lewostronna tej funkcji. Nieciągłość nazywamy usuwalną, jeżeli te granice są sobie równe.
• Przykład: f x =sgn x
Nieciągłość drugiego rodzaju
Funkcja ma nieciągłość drugiego rodzaju jeżeli nie istnieje przynajmniej jedna z granic prawostronna lub lewostronna.
• Przykład: f x =1x
Granice związane z funkcjami elementarnymi
limx x0
sin xx=1 lim
x x0
arcsin xx
=1 limx x0
tan xx=1
limx x0
1x 1x=e lim
x x0
a x−1x=ln a lim
x x0
ln 1x x
=1
Funkcje ciągłe
• wymierne,• wykładnicze i logarytmiczne,• trygonometryczne,• pierwiastkowe
17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.
Def. Pochodna funkcji
Niech U⊂ℝ będzie przedziałem otwartym i f :Uℝ . Jeśli dla pewnego x0∈U istnieje skończona granica ilorazu różnicowego
limx x0
f x − f x0
x−x0
=limh0
f x0h− f x0
hto mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 z kolei punkt x0 nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f.Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w x0 i oznaczamy symbolem f'(x0).Funkcja różniczkowalna w x 0 oznacza, że jest w tym punkcie ciągła
Interpretacja geometryczna
Różniczkowalność f w x0 oznacza, że funkcja posiada styczną do wykresu w tym punkcie, nierównoległej do osi OY.