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Definicin de funcin Una funcin es una regla. Para hablar acerca
de una funcin, se requiere asignarle un nombre. Se emplearn letras
como ,,, .para representar funciones. Por ejemplo, se puede usar la
letra para representar una regla como sigue: "" es la regla
cuadrado del nmero Cuando se escribe (2), se entiende aplicar la
regla al nmero 2. Al aplicar la regla se obtiene (2) = 22= 4. De
manera similar, (3) = 32= 9 y en general () = 2. Dominio y
contradominio o Rango de la funcin Dominio de una funcin: es el
conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los
intervalos que le damos a X (variable independiente) forman el
conjunto de partida. Grficamente lo observamos en el eje horizontal
(abscisas). Leyendo como escribimos de izquierda a derecha. Rango
de una funcin: Es el conjunto formado por las imgenes. Son los
valores que toma la funcin Y (variable dependiente), por eso se
denomina f(x), su valor depende del valor que le damos a X. La
manera ms efectiva pare determinar el rango de una funcin consiste
en graficar la funcin y ver los valores que toma Y de abajo hacia
arriba. Funciones polinmicas Aquellas funciones cuya expresin
algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinmicas
tienen como dominio todo el conjunto de los nmeros reales: , puesto
que a partir de una expresin polinmica, se puede sustituir el valor
de por cualquier nmero que hayamos elegido y se puede calcular sin
ningn problema el nmero real imagen Y. Son funciones polinmicas: la
recta (funcin lineal o a fin), la parbola (funcin de segundo grado)
y los polinomios de grado superior.
Definicin de funcin Una funcin es una regla que asigna a cada
elemento en un conjunto A exactamente un elemento, llamado () , en
un conjunto B.
Dom () = tambin se puede expresar Dom () = (,)
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Funcin lineal La Recta Es un lugar geomtrico de todos los
puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes y cualesquiera
P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar, el valor, de la pendiente m,
resulta siempre una constante. Por experiencia sabemos que dos
puntos determinan el segmento de recta por el que pasa una recta, y
que esa recta es nica. En el plano cartesiano, una ecuacin con dos
variables de primer grado tiene como grafica una recta. La frmula
general de la recta es + + = 0, escrita en forma implcita, o bien =
+ en forma explcita. Para trazar una recta, lo ms prctico es buscar
sus puntos de interseccin con los ejes X e Y. conocida la ecuacin,
los puntos de interseccin se calculan dando el valor de cero a cada
una de las variables, dado lo anterior se tiene lo siguiente:
a) Eje X se obtiene cuando y=0, y se denota por (x,0) b) Eje Y
se obtiene cuando x=0, y se denota por (0,y)
En la forma = + , el valor de m destaca la caracterstica
inclinacin de la recta respecto al eje X, llamada pendiente de la
recta, y el valor de b indica el corte con el eje Y.
La letra griega se usa en matemticas para denotar cambio en. As,
podemos pensar en la pendiente como: =
=
La pendiente m mide la inclinacin de la recta respecto al eje x.
podemos hallar entonces, a partir de la pendiente del ngulo que
forma dicha recta con el eje x teniendo en cuenta que: m = tg La
ordenada al origen, es el punto de interseccin entre la recta y el
eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x=0, o sea la
imagen de cero
Definicin de la pendiente de una recta Sea una recta que no es
paralela al eje y sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos distintos de ,
la pendiente m de es: =
Si es paralela al eje , entonces la pendiente de no est
definida
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-15
-10
-5
0
5
10
15
-20 -10 0 10 20
0
1
2
3
4
-15 -10 -5 0 5 10 15
-13
-8
-3
2
7
12
-12 -7 -2 3 8 13
Funcin constante A las funciones constantes es comn confundirlas
con NO FUNCIONES, por no estar en trminos de x , Pero si aplicamos
la definicin de funcin a f x c , cumplir con ella y por lo tanto es
una funcin.
Funcin identidad es en la cual la pendiente es igual a uno 1m o
sea f x x para la cual a cada valor que tome x a la variable
dependiente f x le corresponder el mismo
Pendiente igual a 1
Funcin identidad
Carece del trmino constante.
Funcin creciente
Pendiente menor a cero
en
La funcin es decreciente
Pendiente igual a cero
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Frmulas de lnea recta:
= ( ) Forma de punto pendiente para la ecuacin de una recta Una
ecuacin para la recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente
es:
( ) = ( ) Ecuacin punto a punto Una ecuacin para la recta que
pasa por el punto (x1,y1) con pendiente es:
tan = 1 + Angulo entre dos rectas Para calcular el ngulo entre
dos rectas se utiliza la relacin:
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas entre si, cuando sus
pendientes son iguales, esto es, = siendo las pendientes de ambas
rectas. Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares entre
s, cuando el producto de sus pendientes es igual a 1. Esto es, =
1
= | + + | + Distancia de un punto a una recta La distancia
comprendida entre el punto (,) y la recta + + = 0 est determinada
por la relacin:
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Analticamente, la ecuacin de una recta puede estar perfectamente
determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su
ngulo de inclinacin.
Normalmente dos variables y estn linealmente relacionadas si = +
, donde y son nmeros reales y 0. Las relaciones lineales entre
variables se presentan con frecuencia en problemas aplicados.
Ejemplo 1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto
A(8,-2) y cuya pendiente es
.
Expresarla en su forma general y ordinaria. Solucin: a partir de
la forma ordinaria tenemos = + Sustituimos los valores del punto y
la pendiente en la ecuacin 2 = +
(8)
2 = + 345 = 2 245 = 345
Forma ordinaria =
+ Forma general
+ +
= 0
Ejemplo 2. Hallar la interseccin con los ejes coordenados y
hacer la grfica del siguiente segmento de recta: 2 + 6 = 0 Solucin:
si y = 0 si x = 0 2 + 6 = 0 = 2(0) + 6 2 = 6 = 6 =
= = 3
Interseccin de la recta con los ejes: (-3,0) y (0,6) Ejemplo 3.
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(-6,8) Y
B(3,-1), expresarla en su forma general. Solucin: clculo de la
pendiente =
=
= 1
Clculo de la ordenada: = + Sustituyendo los valores del punto B
y el valor de la pendiente en la ecuacin ordinaria 1 = 1
1 = 1(3) = 1 + 3 = 2
= 2 o bien en su forma general + 2 = 0
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Ejemplo 4. Hallar los valores que deben tener los coeficientes
de la ecuacin general + + = 0 de una recta, para que pase por los
dos puntos A(2,3) y B(-4,1). Solucin: los puntos A y B estn sobre
la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuacin + + = 0, por
lo tanto tenemos: Para el punto A(2,3) la ecuacin es 2 + 3 = Para
el punto B(-4,1) la ecuacin es 4 + = Resolviendo las ecuaciones en
trminos de C:
2 + 3 = . (1)4 + = (2)
= 37 Al sustituir en la ecuacin (1) =
Al sustituir en la formula general se tiene:
+ = 0
Al dividir la ecuacin por C y simplificamos se tiene: 3 + 7 = 0,
por lo tanto = 1, = 3 = 7 Ejemplo 5. Hallar la distancia de la
recta 4 5 + 10 = 0 al punto (2,3).
Solucin: la distancia de un punto a una recta est dada por: = ||
= |()()|() = la distancia entre la recta y el punto es , el signo
indica que el punto y el origen estn del mismo lado de la recta.
Ejemplo 6. Demostrar que los puntos (0,1),(3,5),(7,2)(4,2) son los
vrtices de un cuadrado. Solucin: calcular la distancia de ,,
= 9 + 16 = 5 = 16 + 9 = 5 = 9 + 16 = 5 = 16 + 9 = 5
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A
B
C
D -3-2-10123456
0 2 4 6 8
Ecuaciones de primer grado
Es un caso particular de una funcin lineal, cuando esta
intersecta al eje de las abscisas, lo que significa que la variable
dependiente es igual a cero 0f x , 0f x mx b o tambin se pueden
originar al igualar o combinar dos funciones lineales. f x g x
Donde f x y g x son funciones lineales.
Ecuaciones de primer grado con una incgnita Se requiere, para
una mejor comprensin del tema, las siguientes definiciones:
Igualdad: Es la expresin de que dos cantidades o expresiones
algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: 3 = 3 + = + 5 = 3 2
Ecuacin: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades
desconocidas llamadas incgnitas y que slo se verifica o es
verdadera para determinados valores de las incgnitas. Ejemplos: 2 =
02 3 = 0 3 + 4 = Identidad: Es una igualdad que se verifica para
cualesquiera valores de las letras que entran en ella. El signo de
la identidad es, que se lee idntico a Ejemplos: ( ) = 2 + = ( + )(
) Existe una diferencia fundamental entre una ecuacin y una
identidad; la ecuacin es posible resolverla conociendo ciertos
procedimientos para ello, mientras que una identidad no. En
realidad las identidades surgen cuando modificamos la forma de una
expresin algebraica con un propsito determinado, por ejemplo al
desarrollar un producto notable o al factorizar; tambin cuando al
resolver una ecuacin se sustituyen las soluciones, la ecuacin se
transforma en una identidad. Miembros: Se llama primer miembro de
una ecuacin o de una identidad a la expresin que est a la izquierda
del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresin
que est a la derecha.
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Ejemplo: 5 + 4 = 5 4 En la ecuacin anterior el miembro de la
izquierda es: 5 + 4 y el miembro de la derecha 5 4. Trminos: Son
cada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el
signo + o -, o la cantidad que est sola en un miembro. No deben
confundirse los miembros de una ecuacin con los trminos de la
misma, miembro y trmino son equivalentes slo cuando en un miembro
de una ecuacin hay una sola cantidad. Ejemplo: 5 + 4 = 5 4 En esta
ecuacin los trminos sern: 5, 4, 5, 4 Ejemplo: 3 = 7 2 Aqu el
miembro de la derecha es 3 pero tambin es un trmino. Distinguiremos
diversas clases de ecuaciones para aplicar en cada caso un
procedimiento para su solucin. Clases de ecuaciones Una ecuacin
numrica es una ecuacin que no tiene ms letras que las incgnitas.
Ejemplos: = 3 4 + 2 = 0 Aqu la nica letra es la incgnita y. Una
ecuacin literal es una ecuacin que adems de las incgnitas tiene
otras letras que representan cantidades conocidas. Es importante
sealar que a menos que se diga lo contrario, las ltimas letras del
abecedario sern la que se usen para representar a las incgnitas.
Ejemplo: 3 + 3 7 = 0 La incgnita es x y a es una cantidad conocida.
Una ecuacin es entera cuando ninguno de sus trminos tiene
denominador y fraccionaria cuando alguno de sus trminos tiene
denominador. Ejemplo: 2 5 = 0
= 0
La primera es una ecuacin entera y la segunda fraccionaria. Con
toda la informacin anterior ahora pasaremos a dar las definiciones
necesarias considerando a las ecuaciones que solo tienen una
incgnita. Grado de una ecuacin: Es el mayor exponente que tiene la
incgnita en la ecuacin.
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 9 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplos: 3 7 = + 1 2 = 9 2 + 3 4 = 0 Son ecuaciones de primer
grado, segundo grado y tercer grado respectivamente. Races o
soluciones: Son los valores de las incgnitas que verifican o
satisfacen la ecuacin, es decir, que sustituidos en lugar de las
incgnitas, convierten la ecuacin en identidad. Ejemplo: 3 5 = 1 Su
raz es 2 porque si = 2 al sustituir tenemos: 3(2) 5 = 1 Ejemplo: 2
= 0 Tiene dos races 0 y
al sustituir cada uno de estos valores se verifica la
igualdad.
As: 2(0) 0 = 0 o bien 2
= 2
=
= 0
Las ecuaciones de primer grado con una incgnita tiene una sola
raz, de acuerdo con el teorema fundamental del Algebra que dice:
Cada polinomio () de grado > 0 tiene al menos una raz. Y del
teorema de las n races: Cada polinomio () de grado > 0 se puede
expresar como el producto de n factores lineales. De aqu que, ()
tenga exactamente n races (no necesariamente distintas). Resolver
una ecuacin es hallar sus races, o sea el valor o los valores de
las incgnitas que satisfacen la ecuacin. Ahora bien para encontrar
la mecnica requerida para resolver ecuaciones usaremos el Axioma
fundamental de las ecuaciones: Si con cantidades iguales se
verifican operaciones iguales los resultados sern iguales. Reglas
que se derivan de este axioma.
Si a los dos miembros de una ecuacin se suma o se resta una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si los dos miembros de una ecuacin se multiplican o se dividen
por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Si los dos miembros de una ecuacin se elevan a una misma
potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raz, la
igualdad subsiste.
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 10 ~ AGO-DIC-2012
Trasposicin de trminos: Consiste en cambiar los trminos de una
ecuacin de un miembro al otro. Lo anterior se puede establecer como
una serie de reglas operativas las cuales se describen a
continuacin:
Cualquier trmino de una ecuacin se puede pasar de un miembro a
otro cambindole el signo.
Ejemplo: 3 7 = Al trasponer queda 3 = 7
Trminos iguales con signos iguales en distinto miembro de una
ecuacin pueden suprimirse Ejemplo + 7 3 = 8 3
Los signos de todos los trminos de una ecuacin se pueden cambiar
sin que la ecuacin vare.
Ejemplo: = 7 = 7 Resolucin de ecuaciones enteras de primer grado
con una incgnita. Regla general
Se efectan las operaciones indicadas, si las hay.
Se hace la trasposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos
los trminos que contengan la incgnita y ene le otro miembro todas
las cantidades conocidas.
Se reducen los trminos semejantes en cada miembro.
Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin
por el coeficiente de la incgnita.
A continuacin se incluyen abundantes ejemplos de solucin de
ecuaciones de primer grado. Las primeras se resuelven a detalle
para mostrar el mtodo, se pide que resuelva el resto. Resolver las
ecuaciones:
1. = Solucin:
5 8 = 15 3 = 15
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=
R. = 2. + = Solucin:
4 = 2 1 4 = 1 R. =
3. = R. = 4. + = + R. =
5. = + R. =
En algunas ecuaciones de primer grado primero deberemos eliminar
los signos de agrupacin en primer trmino. Las siguientes ecuaciones
pertenecen a este tipo. 1. ( + ) = ( + ) Solucin:
2 1 = 8 3 3 + 3 = 5 + 1 2 = 6 =
R. = 2. = ( + ) + ( + ) Solucin:
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 12 ~ AGO-DIC-2012
15 10 = 6 2 + 3 15 4 = 1 + 10 11 = 11 =
R. = 3. ( ) ( + ) = ( + ) ( ) R. =
4. ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) R. =
5. + ( + ) ( + ) = ( + ) + ( ) R. = En el grupo siguiente de
ecuaciones adems de signos de agrupacin tenemos productos que hay
que desarrollar antes de resolver. 1. + ( ) = ( + ) Solucin:
+ 3 3 = 6 8 12 4 + 8 = 6 + 3 12 = 3 =
R. =
2. ( ) + (+ ) = ( ) Solucin:
5 5 + 32 + 48 = 6 21 37 5 = 21 43
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 13 ~ AGO-DIC-2012
32 = 63 =
R. = 3. (+ ) ( ) = ( ) ( + ) R. = 4. (+ ) = + ( ) R. =
5. ( ) ( ) = ( + ) ( + ) R. = Por ltimo incluiremos un grupo que
requiere un poco ms de procedimientos. 1. ( ) [ + ( )] =
Solucin:
14 3 + 2 [5 + 2 + 1] = 0 11 + 2 4 1 = 0 7 = 1 =
R. =
2. ( ) ( + )( ) = [( + )] Solucin:
9 42 + 49 5(2 4 + 2) = [3 1] 9 42 + 49 10 + 15 + 10 = + 3 + 1 +
27 3 = 1 59 30 = 58 =
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 14 ~ AGO-DIC-2012
R. =
3. ( + ) = { + [( )]} R. = 4. + = + ( ) ( + ) R. = 5. + ( + ) +
= R. = Ecuaciones con expresiones fraccionarias Como anteriormente
se indic, una ecuacin fraccionaria contiene uno o varios trminos
con denominadores. Supresin de denominadores: Es una operacin que
consiste en convertir una ecuacin fraccionaria en una ecuacin
entera equivalente. Regla: Para suprimir denominadores en una
ecuacin se multiplican todos los trminos de la ecuacin por el mnimo
comn mltiplo de los denominadores. Cuando una fraccin cuyo
numerador es un polinomio est precedida del signo menos, hay que
tener cuidado de cambiar el signo a cada uno de los trminos de su
numerador al quitar el denominador. Pasamos a resolver ecuaciones
fraccionarias pero cuyo denominador es un monomio. Observe los
primeros y como se resuelven para que usted resuelva el resto.
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.
+ =
Solucin:
+ 5 = (6)
+ 30 = 2 6 + 6 = 2 30 7 = 28
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=
R. = 2.
+
=
+
= 0 (15)
9 10 + 3 = 0 = 3 R. = 3.
+
=
R. = 4.
+
=
R. = 5.
+ =
R. =
Desigualdades de primer grado
Las desigualdades se pueden obtener al preguntarse para cuales
valores de la variable independiente x , la variable dependiente f
x toma valores mayores que cero (+), o menores que cero (-).
Tambien se puede aplicar mayores o iguales que cero o menores o
iguales que cero
Si f x mx b 0 0 0 0f x f x tambien f x f x
Otra forma de donde puden surgir es de comparar funciones
lineales
f x g x f x g x f x g x f x g x
f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xf x g x h x f x g
x h x f x g x h x f x g x h x
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Donde ,f x g x y h x son funciones lineales
Desigualdades
Resolver ecuaciones, por ejemplo, 6 + 17 = 8 2 5 = 0 es una de
las tareas tradicionales de las matemticas. Pero es casi de la
misma importancia en clculo saber resolver una desigualdad por
ejemplo, 2 + 6 < 7 2 + 46 0 . Resolver una desigualdad es
encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que la hacen
verdadera. En contraste con una ecuacin, cuyo conjunto solucin en
general, consta de un nmero o quiza un conjunto finito de nmeros,
el conjunto solucin de una desigualdad por lo comn consta de un
intervalo completo de nmeros o, en algunos casos, la unin de tales
intervalos.
Propiedades de las desigualdades.
Dados dos nmeros reales, siempre podemos compararlos y decir si
son iguales o cal es ms grande.
Escribimos < para decir que a es menor que b y que para decir
que es menor o igual que.
En la recta, < significa que el punto correspondiente a est a
la izquierda del que corresponde a .
El orden de los nmeros reales tiene las siguientes propiedades:
a) Si y son nmeros reales, sucede una y slo una de las siguientes
relaciones
(propiedad tricotoma). = , > , < b) Si < < ,
entonces a< (propiedad transitiva) c) Si < y , entonces +
< + d) Si < , y > 0 entonces < e) Si < , y < 0
entonces > . podemos tener los tres casos siguientes.
< < < Conjunto e Intervalos
Definicin: Dados dos nmeros , en , con menor que , el intervalo
definido por y es el conjunto de nmeros en que estn entre y . Los
puntos y pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos
tener los siguientes casos.
a) Si y pertenecen al intervalo, ste se llama intervalo cerrado,
y escribimos: [,]= { | }.
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b) Si y no pertenece al intervalo, ste se llama intervalo
abierto y escribimos: (,) = { | < < }.
c) Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenecen al
intervalo tenemos estos dos casos (intervalos semiabiertos o
semicerrados) (,] = { | }. [,) = { | }.
Desigualdades lineales
Ejemplo 1.
Hallar la solucin de la siguiente desigualdad 3 + 11 6 + 8
Ordenar terminos sejantes 3 6 8 11 (-1) 3 3 3 3 1 por lo tanto el
conjunto es [1,)
Ejemplo 2. Hallar la solucin de la siguiente desigualdad 5 3 4
14 La desigualdad se separa en dos desigualdades. 5 3 4 y 3 4 14 5
3 4 3 4 14 5 + 4 3 3 18 9 3
6
3 [3,) (, 6] Se construye una tabla de valores y se sustituyen
en la desigualdad original
Se multiplica la desigualdad por un nmero negativo y se cambia
el orden de la desigualdad
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(, 3] [3,6] [6,) X= 0 X=3 X=10 X=5 X=6
Finalmente el intervalo que cumplen con la solucion es: [3,6] o
bien (, 6] U [3,) Ejercicios de desigualdade de primer grado
Para los siguientes ejercicos tambin indique que interpretacin
tendrian los planteamientos matematicos en trminos de funciones 1.2
5 > 3 R . (4,) 2.3 + 11 < 5 R. (, 2) 3.1 < 3 + 4 16 R.
[1,4] 4. 2 < 8 2 1 R. [
, 5]
5.5 3 16 6.
-
> 2 7. 3 3 + 7 12
8. 16 < 2 1312 23 9. 5 4 32 < 1 Aplicaciones de funcin
lineal Ejemplo . Hallar las coordenadas del punto en el cual las
rectas 3 4 + 6 = 0, 2 + 4 16 = 0 se interceptan. Solucin: se
resuelve el sistema de ecuaciones Despejamos una de las incgnitas
de las dos ecuaciones, elegimos la incgnita que tenga el
coeficiente ms bajo 2 = 16 4 = 8 2 Sustituimos en la otra ecuacin
la variable x, por el valor anterior 3(8 2) 4 = 6 Resolvemos la
ecuacin obtenida 24 6 4 = 6, 10 = 30, = 3
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Sustituimos el valor en la variable despejada = 8 2(3) = 2, = 3
por lo tanto las rectas se interceptan en el punto (2,3) Ejemplo 8.
Se desea conocer la concentracin de Riboflavina (vitamina del grupo
b), en una muestra de pescado, experimentalmente se realizo una
curva de calibracin en el espectrofotmetro s21D, dicha curva cumple
con la ley de Bouger Lambert-Beer (la absorbancia es directamente
proporcional a la concentracin), a continuacin se muestran los
datos inciales y finales de la curva.
a) Hallar la relacin matemtica entre absorbancia y % de
concentracin b) Si la muestra dio una absorbacia de 0.047, qu
porciento de concentracin le
corresponde? c) Si la muestra dio una absorbacia de 0.095, qu
porciento de concentracin le
corresponde?
Solucin: Relacin matemtica entre absorbancia y % de concentracin
Clculo de la pendiente: m =
= ..
.. = 0.29 Clculo de la ordenada: =() .= .( .) = . . Clculo de la
concentracin a una absorbancia de 0.047 = .
. = = ... = 0.16 Clculo de la concentracin a una absorbancia de
0.095 = .
. = = ... = 0.32 Ejemplo 9. Los productos farmacuticos deben
especificar dosis recomendada para adultos y nios. Dos formulas
para modificar los niveles de medicamento para adulto y para nios,
son:
Regla de Cowling: = ()
Regla de Frend: =
Si = 100 y dosis de adulto (en miligramos) y t denota la edad
del nio (en aos).
a) Para qu edad las dos formulas especifican la misma dosis? b)
Qu dosis se tiene para dicha edad?
% DE CONCENTRACION ABSORBANCIA 0.06 0.017 0.42 0.12
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Solucin:
a) Si a = 100 entonces se tiene: =
+
= =
+
= 4.166 + 4.166 Cowling
=
=
= 8t Frend
Si las dosis son iguales para ambas ecuaciones y despejando a t
tenemos que: 4.166 + 4.166 = 8t 8 4.166 = 4.166 3.834 = 4.166
= 1.09 b) 4.166 + 4.166 = 4.166(1.09) + 4.166 = 8.7
8t = 8(1.09) = 8.7 Ejemplo 10.
Se ha investigado que la frecuencia con que chirran los grillos
es una funcin lineal afn a la temperatura ambiental. Los siguientes
datos se obtuvieron experimentalmente.
x 41 44 F f(x) 4 16 Chirridos por minuto
a) Hallar la relacin matemtica de la frecuencia de chirridos de
los grillos en funcin de la temperatura
b) Determine la frecuencia de chirridos a una temperatura de 43
F
Solucin:
Clculo de la pendiente =
= 4 Clculo de la ordenada al origen 4 = + 4(41) = 160 Ecuacin: =
160 + 4 El nmero de chirridos por minuto a una temperatura de 43 F
es: = 160 + 4(43) = 12
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Ejercicios propuestos
1. Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de los
siguientes segmentos de recta. a) (5,2),(9,6) solucin: = 1 = 45 b)
(4,2),(4,7) solucin: = 90 c) (6,4),(5,8) solucin: = 1.09 = 133 d)
(5,9),(10,9) solucin: = 0 = 0
2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,3) y
tiene una pendiente
= 2. Solucin: = 2 1
3. . Un segmento de recta pasa por los puntos A (-3,-1) y B
(2,-6). Hallar su ecuacin. Solucin: = 4
4. . Determinar la ecuacin del segmento de recta con pendiente 6
que pasa por el
punto P (
, 2) Solucin: = 6 + 5
5. Se tienen los siguiente puntos en el plano A(2,3) y B(-4,5),
encontrar, la distancia entre los dos puntos y las coordenadas del
punto medio
Solucin: = 6.325 (1,4) 6. Hallar la distancia entre los puntos
(2,8)(3,5).
Solucin: 170
7. Sean (1,1) (3,0) dos puntos en el plano, determinar las
coordenadas del punto medio M del segmento . Solucin: (1,
)
8. Graficar la siguientes rectas a) 6 + 2 3 = 0 b) 2 + 3 5 = 0
c) + + 3 = 0
d) + 2 = 0
9. Demostrar que los puntos (3,9),(4,3)(11,3) son
colineales.
Solucin: = = =
10. Demostrar que los puntos (4,6),(2,4)(9,3) son los vrtices de
un triangulo rectngulo.
Solucin: Ubicar los puntos en el plano
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A
B
C
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
Los segmentos de recta que se formaran son perpendiculares y el
producto de sus pendientes debe ser igual a 1, Por lo que es un
triangulo rectngulo.
11. Calcular la longitud del segmento AB si se conoce que el
punto A tiene por coordenadas (5,3), y el punto B tiene como
coordenadas (4,1). Solucin: 85
12. Encontrar la ecuacin de la recta paralela a 2 + 7 = 0 que
pasa por el punto (1,3). Solucin: 2 + 5 = 0 13. En los pases
anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir
temperaturas. En esta escala el punto de congelacin del agua se
alcanza a 32F, y el de ebullicin a 212F. Nosotros usamos la escala
Celsius en la que estos puntos se alcanzan a 0C y 100C
respectivamente.
a) Hallar la ecuacin que relacione C con F y dibujarla. b) A
cuntos C equivalen 80F? c) A cuntos F equivalen 36C?
Solucin: a) F = 1.8C + 32, b) 80 F = 26.7 C, c) 36 C = 96.8 F
14. Un beb pesa 10 libras al nacer y 3 aos ms tarde el peso del nio
es 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia est
linealmente relacionado con la edad t (en aos). a) Exprese w en
trminos de t b) Cul es el peso en el sexto cumpleaos del nio? c) A
qu edad el nio pesar 70 libras? Solucin: a) () = 10 + 6.66 b) 49.96
libras c) 9 aos
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15. Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un
adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable para
un nio de edad , los farmacuticos usan la ecuacin = 0.0417( + 1),
suponga que la dosis para un adulto es 200 mg.
a) Determine la pendiente y que representa b) cul es la dosis
para un recin nacido?
Solucin: a) pendiente = 8.34 y represente el incremento en la
dosis por cada ao en la edad, b) 8.34 mg
16. La relacin entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y
Celsius (C) se expresa mediante la relacin: F = 1.8C + 32 Completar
la siguiente tabla y determinar la temperatura a la cual las dos
escalas tienen el mismo valor.
Solucin: -76F, -4F, 14F, 32F, -12.22C, 10C, 23.88C, 37.77C y
ambas escalas son iguales en el valor de -40.
17. En el juego de video que se muestra en la figura, un avin
vuela de izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por
y = 1 +
y dispara balas en la direccin tangente a
criaturas colocadas sobre el eje X, en X= 1, 2, 3 y 4
Mediante un clculo, la pendiente de la recta tangente a la
trayectoria en P (1,2) es m = -1 y en Q(
,
) es m = -
, determine si una criatura ser blanco de balas cuando el avin
est
en:
a) P b) Q
C F -60 -20 -10 0 10 50 75 100
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18. A partir de las siguientes figuras, obtener la ecuacin
lineal que relacione la distancia y el tiempo
19. En la superficie del mar, la presin del agua es cero y la
presin total es la presin atmosfrica, la cual tiene un valor de
14.6885 lbf/plg2 , por debajo de la superficie la presin aumenta 4
lbf/plg2 por cada 10 pies que se desciende.
a) Determine una ecuacin para la relacin entre presin y
profundidad del mar b) Trace una grafica de esta ecuacin obtenida
c) Qu representa la pendiente y la ordenada al origen de la
grafica?
20. La presin del gas es directamente proporcional a su
temperatura (Ley de Gay Lussac). Si aumentamos la temperatura,
aumentar la presin. Si disminuimos la temperatura, disminuir la
presin. En la siguiente grfica hallar la ecuacin que relacione
presin y temperatura
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Temperatura
21. En el laboratorio de qumica se elabor una solucin, en la
cual se midi la temperatura en dos tiempos diferentes, las
temperaturas fueron de 5C y 50C. Para estudiarla es ms conveniente
establecer una nueva escala de temperatura, a la cual la llamaremos
grados OMEGA (), si a 0 le corresponden -10C y a 100 le
corresponden 90C, determinar:
a) La funcin lineal, para calcular los grados Celsius como una
funcin de los grados OMEGA.
b) Utilizando la funcin del inciso anterior calcula los grados
Celsius que le corresponden a 60.
c) Calcula los grados omega que le corresponden a 5C y 50C.
22. Un auto inicia su movimiento en el kilometro 20 de una
carretera, siendo las 13:00 hrs del da y 9 horas despus de haber
comenzado, cruza el kilometro 70. Si este movimiento es rectilneo
uniforme en todo momento (funcin lineal), determina:
a) La funcin lineal, para calcular el desplazamiento como una
funcin del tiempo b) Utilizando la funcin del inciso anterior
calcular a que kilometro llegar en el
momento en que han transcurrido 11 horas de viaje. (las
condiciones del movimiento se mantendrn)
23. Un ingeniero qumico fabrica cosmticos y observa que cuesta
2200 pesos manufacturar 100 labiales rojo carmn en un da, y 4800
pesos producir 300 labiales en un da.
a) Si se supone que la relacin entre costo y nmero de labiales
fabricados es lineal, encuentre una ecuacin que exprese esta
relacin. Luego grafique la ecuacin.
b) Cul es la pendiente de la recta del inciso anterior y qu
representa? c) cul es la ordenada al origen de esta recta y qu
representa?
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 100 200 300 400 500
P r e s i n
K
atm
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Funcin de segundo grado
La parbola
Las cnicas de Apolonio Pergamo (262-190 a.C), constaban de ocho
libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un
cono a las que denomin cnicas. Apolonio descubri que se obtenan al
cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas
posiciones. Depende de cmo se corten, las secciones resultantes
sern crculos, elipses, hiprbolas o parbolas. Aunque estos conceptos
no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de su poca,
su importancia ha quedado plenamente justificada con el paso del
tiempo.
Uno de los puntos de la parbola es el punto medio entre el foco
y la directriz, este punto es el vrtice. En este caso el vrtice es
el origen. La distancia que hay entre el vrtice y el foco, as como
entre el vrtice y la directriz es p. la recta que une al vrtice con
el foco y que es perpendicular a la directriz se conoce como el eje
de simetra. Un segmento de recta que
Une dos puntos de una parbola se conoce como cuerda de la
parbola. La cuerda que pasa por el foco y es paralela a la
directriz, y por tanto perpendicular al eje de simetra es el lado
recto. La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia
del foco al vrtice. Esta longitud indica qu tan abierta o cerrada
es la parbola. Formas Canoncas La ecuacin de la parbola de vrtice
el origen y eje paralelo al eje es:
= 4 La ecuacin de la parbola de vrtice el origen y eje paralelo
al eje es:
= 4
Definicin de la parbola Es el lugar geomtrico de un punto que se
mueve en un plano, de tal manera, que su distancia a una recta
fija, es igual a su distancia a un punto fijo, situados ambos en el
mismo plano
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Formas Ordinarias La ecuacin de la parbola de vrtice (, ) y eje
paralelo al eje de las es: ( ) = 4( ) La ecuacin de la parbola de
vrtice (, ) y eje paralelo al eje de las es: ( ) = 4( ) Forma
general
La ecuacin + + + + = 0 es la ecuacin de una parbola, si alguno
de los coeficientes de los trminos cuadrticos es cero, esto es: A o
B=0
Comportamiento grfico y analtico de 2f x x . Esta funcin de
segundo grado es la base para transformaciones posteriores, por lo
cual es fundamental comprender su comportamiento. Para 0x tabulamos
los valores correspondientes para f x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0 1 4 9 16 25 36 49 64
Observamos el comportamiento de los valores de la variable
dependiente
Si a partir de 0x la variable independiente crece en uno, f x
crece al cuadrado.
Si a partir de 0x la variable independiente crece en dos, f x
crece al cuadrado.
Si a partir de 0x la variable independiente crece en tres, f x
crece al cuadrado.
Y as sucesivamente.
Entonces para valores 0x , f x crece directamente proporcional
al cuadrado.
La funcin es CRECIENTE.
La grafica completa tomando valores positivos y negativos de
x
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 28 ~ AGO-DIC-2012
2f x x
La monotona ,0 0,decreciente y es Creciente
La funcin 2f x x es la funcin anterior ms una constante como 2
2f x x
Si tabulamos queda
x 0 1 2 3 4 5
21f x x 0 1 4 9 16 25
22 2f x x 2 3 6 11 18 27
Observemos el comportamiento de las variable dependiente 2f x ,
nos damos cuenta que
a cada valor de 1f x le debemos agregar 2 y ahora en base a los
valores de x , 2f x
es directamente proporcional al cuadrado ms dos.
Para la grafica la variable independiente toma tanto valores
positivos como negativos
-10123456789
10111213141516
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 29 ~ AGO-DIC-2012
Grafica de 2 21 2 2f x x y f x x
Segn la grfica anterior nos damos cuenta que a cada punto de la
funcin 1f x (curva en azul) se desplaza hacia arriba (aumenta) dos
unidades resultando 2f x (curva en rojo) La monotona ,0
0,decreciente y es Creciente
Si en lugar de haber sumado dos a la funcin base 1f x le
hubiramos restado alguna
constante como por ejemplo 23 1f x x .
Tabulamos considerando solamente 0x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
21f x x 0 1 4 9 16 25 36 49 64
23 1f x x -1 0 3 8 15 24 35 48 63
Nos damos cuenta que a cada valor de la funcin base 1f x le
restamos 1, para obtener
3f x .
Para la grfica si consideraremos tanto valores positivos como
negativos de x
-10123456789
10111213141516
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 30 ~ AGO-DIC-2012
Grafica de 2 21 3 1f x x y f x x
Segn la grfica anterior nos damos cuenta que a cada punto de la
funcin 1f x (curva en azul) se desplaza hacia abajo (disminuye) una
unidad resultando 3f x (curva en rojo) La monotona ,0 0,decreciente
y es Creciente
La funcin 2f x x es la funcin base ms una constante directamente
a la
variable independiente. Como 22f x x
Ahora consideraremos 2x (abscisa del vrtice)
Si tabulamos queda
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
1f x 4 1 0 1 4 9 16 25
4f x 0 1 4 9 16 25 36 49
Para realizar la grfica si consideramos ms valores positivos y
negativos de x
-2-10123456789
1011121314
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 31 ~ AGO-DIC-2012
Grafica de 221 3 2f x x y f x x
De la grfica notamos que haber sumado dos a la variable
independiente ocasiona un corrimiento hacia la izquierda en dos
unidades de cada punto de la grfica base 1f x (azul) resultando la
curva 4f x (roja)
Adems algo importante 2 22 4 4f x x x x La monotona , 2
2,decreciente y es Creciente
El siguiente ejercicio es para el alumno Si en la funcin 2f x x
le restamos 3 directamente a la variable independiente quedando 23f
x x 2 6 9f x x x Cmo sera su comportamiento analtico y grafico?
Ahora 2f x x lo cual es una constante que multiplica a la funcin
base 21f x x como por ejemplo 25 2f x x . Realicemos una tabla
igual que antes solo para 0x
x 0 1 2 3 4 5 6 7
21f x x 0 1 4 9 16 25 36 49
25 2f x x 0 2 8 18 32 50 72 98
0123456789
10111213141516
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 32 ~ AGO-DIC-2012
Aqu observamos 5f x aumenta el doble del cuadrado, cuando x
aumenta a partir del vrtice.
Grafica 2 21 5 2f x x y f x x
En la grfica vemos que a partir del vrtice si x aumenta, 5f x
(curva roja) aumenta el doble del cuadrada para 0x .Muy importante
el coeficiente 2 es positivo. La monotona ,0 0,decreciente y es
Creciente
0123456789
10111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 33 ~ AGO-DIC-2012
Si el coeficiente fuera negativo. Comencemos con 1 26f x x .
Realicemos la tabla de valores. Para 0x
x 0 1 2 3 4 5 6 7
1f x 0 1 4 9 16 25 36 49
6f x 0 -1 -4 -9 -16 -25 -36 -49
Si el coeficiente del trmino cuadrtico es negativo. Observamos
que a partir del vrtice, s x aumenta 6f x disminuye, o sea la
funcin es decreciente y que 6f x tiene casi los mismos valores que
1f x , la nica diferencia es el signo.
Grafica 1 6f x y f x
Ahora para 27 3f x x observamos que el coeficiente es negativo,
realicemos la tabla respectiva. Para 0x a la derecha del
vrtice.
x 0 1 2 3 4 5 6 7
1f x 0 1 4 9 16 25 36 49
6f x 0 -3 -12 -27 -48 -75 -108 -147
-12-11-10
-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
101112
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 34 ~ AGO-DIC-2012
Notamos que si x aumenta, los valores de 7f x disminuye en el
triple del cuadrado. Esto a la derecha del vrtice, la funcin es
decreciente.
Grafica 21 7 3f x y f x x
La monotona ,0 0,Creciente y es Decreciente
Transformacin de la funcin 2f x ax bx c en 2f x x Primero
comencemos con la funcin 28 6 10f x x x la cual tiene uno como
coeficiente del trmino cuadrtico.
28
28
28
2
8
6 106 10 106 10 9 . . .
3 1
9
. . .
9
f x x x No es un trinomio cuadrado perfectof x x x El hace que
no sea un trinomio cuadrado perfecto y lo hacemos a un ladof x x x
Sumamos y restamos para acompletar el T C P
f x x Factorizamos el T C P y r
19 0educimos los numeros
-40-39-38-37-36-35-34-33-32-31-30-29-28-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10
-9-8-7-6-5-4-3-2-10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 35 ~ AGO-DIC-2012
Ahora nos damos cuenta que el vrtice de 1f x 1 0,0fV se desplaza
tres unidades a la izquierda y uno hacia arriba
83,1fV y a la derecha del vrtice la funcin es directamente
proporcional al cuadrado
Grafica de 21 8 6 10f x y f x x x
La monotona , 3 3,decreciente y es Creciente
Ahora 29 2 8 6f x x x
29
29
29
29
2 8 6
2 4 3 2
2 4 3
4 4
3
2 4 3 4
f x x x No es un trinomio cuadrado perfectof x x x
Factorizamos
Operaremos dentro del parentecisf x x x El hace que no sea un
trinomio cuadrado perfecto y lo hacemos a un lado
f x x x Sumamos y restamos
2
9
2
9
. . .
2 2 7 . . . 3
2 2 14
4
2
para acompletar el T C P
f x x Factorizamos el T C P y reducimos los numeros
f x x Multiplicamos
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 36 ~ AGO-DIC-2012
2 2
1 9 2 8 6f x x y f x x x
La monotona , 2 2,decreciente y es Creciente
El vrtice de 9f x con referencia al vrtice 1f x esta desplazado
dos unidades a la derecha y 14 unidades hacia abajo, encontrndose
en 2, 14V y adems de este vrtice a la derecha, es creciente y la
funcin es directamente proporcional al doble del cuadrado. El
siguiente ejercicio es para tomar en cuenta que no es forzoso que
siempre nos encontremos con nmeros enteros.
-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10
-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
1011121314151617181920
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 37 ~ AGO-DIC-2012
210
2 210
210
2
10
3 10 710 73 1,3 3
10 7 1003 . . .3 3 36
5
25 259 9
433 9
f x x x
f x x x Factorizamos para dejar el coeficiente de x en observe
los signos
f x x x Completamos el T C P sumando y restando simplificado
f x x
2
10
25 7 49 3 9
5 4 4 43 3 33 3 9 3
Factorizando y reduciendo
f x x Multiplicando por y simplificando
De lo anterior el vrtice en referencia al vrtice de 1f x esta
desplazado 53
a la derecha y
43
hacia arriba o sea 10
5 4,3 3f
V
y el coeficiente del trmino cuadrtico es 3 por lo que a
la derecha del vrtice la funcin disminuye el triple del
cuadrado. La funcin es decreciente a la derecha del vrtice
Grafica de 2 21 10 3 10 7f x x y f x x x
La monotona 5 5, ,3 3
Creciente y es Decreciente
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 38 ~ AGO-DIC-2012
Intersecciones de la funcin 2f x ax bx c Con el eje de las
ordenadas se da cuando la x toma el valor de cero y el punto de
interseccin de obtiene evaluando la funcin en cero 0f Por ejemplo
en 21f x x La interseccin es en 0x
21
1
00 0
f of
Ejemplo 2 3f x x x
2
2
30 0 3 00 0
0,0
f x x xff
Ejemplo
2
2
7 3
0 7 0 3 00 0
0,0
f x x x
ff
Ejemplo
2
2
3 5
0 3 0 50 5
0,5
f x x
ff
Ejemplo
2
2
4 7 4
0 4 0 7 0 40 4
0, 4
f x x x
ff
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 39 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo
2
2
3 10 2
0 3 0 10 0 20 2
0, 2
f x x x
ff
Con el eje de las abscisas se da cuando la f x toma el valor de
cero y el punto de interseccin de obtiene igualando la funcin a
cero 2 0f x ax bx c . Si la ecuacin formada no tiene solucin en el
conjunto de los nmeros reales, significa que la curva de la funcin
no intersecta al eje de las abscisas Ejemplo: 22 3 5 0f x x x si f
x 2 3 + 5 = 0 con lo cual queda formada una ecuacin de segundo
grado la cual es una situacin particular de la funcin de segundo
grado correspondiente. Una ecuacin de segundo grado es completa si
tiene la forma + + = 0 que contiene un trmino cuadrtico, uno lineal
y uno independiente de x. Una ecuacin es incompleta si son de la
forma + = 0o bien + = 0 Ejemplos: 3 7 = 0 2 + 3 = 0 Toda ecuacin de
segundo grado posee dos races. Frmula general La deduccin de esta
conocida frmula se incluye a continuacin: + + = 0 Trasponiendo + =
Dividiendo la ecuacin entre a +
=
Completando el cuadrado, para lo cual agregamos a ambos trminos
el cuadrado de la mitad del coeficiente del trmino lineal.
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 40 ~ AGO-DIC-2012
=
+
+
=
+
En el miembro izquierdo factorizamos y en el derecho sumamos las
fracciones
+ =
Extrayendo la raz cuadrada en ambos miembros
+
=
Trasponiendo
=
Finalmente
=
Con lo anterior se ve que una ecuacin de segundo grado se puede
resolver operando slo con sus coeficientes. Discriminante Una
ecuacin de segundo grado tiene dos y slo dos races cuyos valores
son:
= y = En cada una de estas expresiones la cantidad 4 se llama
discriminante y dependiendo del valor que tenga ser el tipo de
soluciones que se hallen. Naturaleza de las races El carcter de las
races depende, como se dijo anteriormente del valor del
discriminante. Por lo tanto pueden ocurrir tres posibilidades Races
reales diferentes Se presenta este caso cuando el discriminante 4
> 0
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 41 ~ AGO-DIC-2012
Races reales iguales Se dar este caso cuando 4 = 0 Races
complejas Por ltimo si 4 < 0 no podremos resolver dentro del
campo de los nmeros reales, as que se recurrir a los nmeros
imaginarios y por supuesto a los nmeros complejos. Lo cuan queda
fuera de nuestro campo de estudio en este momento. Es importante
notar que los coeficientes de la ecuacin de segundo grado pueden
ser enteros o fraccionarios, en ste ltimo caso es posible
multiplicar la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de ellos y se
transformarn en enteros; pero pueden ser nmeros irracionales. An la
solucin depende del valor del discriminante y si ste no es un
cuadrado perfecto se obtendr una solucin con nmeros irracionales
como ms adelante se ver. Pasamos ahora propiamente a exponer
ejercicios con ecuaciones de segundo grado y su solucin. Nuevamente
se pide revisar los primeros y resolver los ltimos. Resolver las
siguientes ecuaciones por la frmula general:
1. + = Solucin:
= 3, = 5, = 2 = ()()()()
() =
=
=
R. = = = = = = 2. 4 + = Solucin:
= 4, = 3, = 22 = ()()
()
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 42 ~ AGO-DIC-2012
=
=
=
R. = = = = = = 3. + = R. = = 4. = R. = = 5. = R. = = En
ocasiones primero se debe llevar la ecuacin a la forma + + = 0
antes de proceder a su solucin. Esta es la intencin del siguiente
grupo de problemas. 1. ( + ) = + Solucin:
+ 3 5 3 = 0 2 3 = 0 = 1, = 2, = 3 = ()()()()
() =
=
=
R. = = = = = = 2. ( ) = ( + )( )
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 43 ~ AGO-DIC-2012
Solucin:
9 6 = 16 + 9 22 = 0 = 1, = 9, = 22 = ()()
() =
=
=
R. = = = = = = 3. + = ( )( + ) R. = = 4. ( ) ( + ) = R. = = 5.
(+ ) = ( ) R. = = Creemos conveniente tambin incluir ecuaciones de
segundo grado con denominadores para recordar los procedimientos
requeridos para su solucin.
1.
=
Solucin:
= 0 (10)
2 5 3 = 0 = 2, = 5, = 3 = ()()()()
()
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 44 ~ AGO-DIC-2012
=
=
=
R. = = = = = = 2.
=
Solucin:
4
= 0 (2)
8 3 26 = 0 = 8, = 3, = 26 = ()()()()
() =
=
=
R. = = = = = = 3.
= ( )
R. = = 4.
( ) +
( ) =
R. = = 5.
=
R. = = + Otra forma muy comn de resolver ecuaciones de segundo
grado es por factorizacin. Las siguientes ecuaciones se resuelven
por este mtodo.
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 45 ~ AGO-DIC-2012
1. = Solucin:
( 3)( + 2) = 0 3 = 0 + 2 = 0 R. = = 2. + = Solucin:
+ 7 18 = 0 ( + 9)( 2) = 0 + 9 = 0 2 = 0 R. = = 3. = R. = = 4. =
R. = 5. + = R. = = Las ecuaciones literales tambin deben ser
incluidas en este estudio, ahora que se conocen los mtodos
fundamentales para resolver ecuaciones de segundo grado; esto
permitir seleccionar el mtodo ms adecuado. 1. + = Solucin:
( + 7)( 5) = 0 + 7 = 0 5 = 0 R. = = 2. 10 =
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 46 ~ AGO-DIC-2012
Solucin:
10 + 37 36 = 0
= 0
()()
= 0 ()()
= 0
(2 + 9)(5 4) = 0 2 + 9 = 05 4 = 0 R. = = 3. + = R. = = 4. = + R.
= = 5. + = R. = = Cuando falta el trmino lineal o el independiente
de una ecuacin de segundo grado, la solucin suele ser ms fcil, por
eso se incluyen dos bloques ms para considerar esta posibilidad.
Primero veamos las ecuaciones incompletas del tipo + = 0 1. =
Solucin:
=
16 = 0 ( + 4)( 4) = 0 + 4 = 0 4 = 0 R. = =
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 47 ~ AGO-DIC-2012
2. 5 = Solucin:
5 = 55 =
11 = 0 + 11 11 = 0 + 11 = 0 11 = 0 R. = = 3. 7 + = R. = = 4. =
R. = = 5. ( + )( ) = R. = = Ahora ecuaciones incompletas del tipo +
= 0 estas tienen la peculiaridad de que una de las soluciones
siempre ser cero. 1. = Solucin:
5 = 0 ( 5) = 0 = 0 5 = 0 R. = = 2. 4 = Solucin:
4 + 32 = 0
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 48 ~ AGO-DIC-2012
4( + 8) = 0 4 = 0 + 8 = 0 R. = = 3. = R. = = 4. + = ( + ) R. = =
5. ( ) ( + ) = R. = = Finalizamos esta parte incluyendo ecuaciones
que no son de segundo grado pero que pueden resolverse usando los
mtodos de stas. 1. + = Solucin:
( 9)( 1) = 0 9 = 0 1 = 0 ( + 3)( 3) = 0( + 1)( 1) = 0 + 3 = 0 3
= 0 + 1 = 0 1 = 0 R. = = = = 2. + = Solucin:
( 9)( 4) = 0 9 = 0 4 = 0 ( + 3)( 3) = 0( + 2)( 2) = 0 + 3 = 0 3
= 0 + 2 = 0 2 = 0 R. = = = =
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 49 ~ AGO-DIC-2012
3. + = R. = = = = 4. + = R. = = = = 5. + = R. = = = =
Desigualdades de segundo grado Surgen de preguntarnos Para qu
valores de x la funcin de segundo grado 2f x ax bx c es mayor que
cero o para que valores de x la funcin de segundo
grado 2f x ax bx c es menor que cero ?
0 00 0
f x f xf x f x
Cuando f x es una funcin de segundo grado: 2 2
2 2
0 00 0
ax bx c ax bx cax bx c ax bx c
Tambin pueden surgir de comparar dos funciones de segundo
grado
f x g x f x g xf x g x f x g x
Cuando f x y g x son funciones de segundo grado. Otra situacin
es de comparar una funcin de segundo grado con una lineal
f x g x f x g xf x g x f x g x
Cuando f x es una funcin de segundo grado y g x es una funcin
lineal.
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 50 ~ AGO-DIC-2012
Desigualdades con trmino cuadrtico
Hallar para que valores de x la funcin 22 3f x x x es menor que
cero 2 3 < 0
Factorizando: ( + 1)(2 3) < 0 Se tienen dos casos: i) + 1
< 0 2 3 < 0 < 1 2 < 3 (,1) (,
)
ii) + 1 > 0 2 3 > 0 > 1 2 > 3 (1,) (
,)
Tabla de valores propuestos (,1) (1,
) (
,) X= -5 X=-1 X=2 X=0 X=
Solucin: los valores que cumplen con la desigualdad estn en el
intervalo (1,
) Ejemplo Hallar los valores de x que satisfaga la condicin f x
g x Para 2 25 3 3 2f x x x y g x x 5 + 3 3 + 2 Ordenando la
desigualdad se tiene 2 + 3 2 0 Factorizando la desigualdad ( + 2)(2
1) Se tienen dos casos: i) + 2 0 2 1 0 2 2 1 [2,) [
,)
ii) + 2 0 2 1 0 2 2 1 (,2] (,
]
Tabla de valores propuestos (,2] [2,
] [
,)
X= -3 X=-2 X=1 X=0 X=
Solucin: (,2] [
,)
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 51 ~ AGO-DIC-2012
Ejercicios de desiguialdades de segundo grado Para los
siguientes ejercicos da una interpretacion en trminos de funciones
segn el planteamiento matematico 1) > 7 10 R. (-,2) U (5,)
23) 2 3 5x x
2) 2 3 10 0x x R. (-,-2) U (5,)
24) 4 5 9 0x x
Ejercicios Graficar la siguiente parbola completando el trinomio
cuadrado perfecto. Y = 5 + 20 + 17 Se desea la forma: = ( ) + Se
procede a factorizar los trminos en x: = 5( + 4) + 17 Se completa
el cuadrado: 5( + 4 + 4 4) + 17 5[ + 2) 4] + 17 5( + 2) 3 Vrtice:
V(-2,-3) Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y = 0 A
partir de la ecuacin obtenida: Y = 5( + 2) 3 5( + 2) 3 = 0 Se
despeja x-. x =
2 o bien x1 = 2 y x2 = 2
Si x = 0 en Y =5 + 20 + 17 entonces se tiene: y = 17 Cul es la
monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que
cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero? Ejemplo
Obtener el vrtice y las intersecciones de la parbola =
+ 2, haciendo uso del trinomio
cuadrado perfecto. Solucin: Se desea la forma: = ( ) + Se
procede a factorizar los trminos en x: =
( + 4)
Se completa el cuadrado: =
( + 4 + 4 4)
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 52 ~ AGO-DIC-2012
=
[( + 2) 4] =
( + 2) 2
Vrtice: V(-2,-2) Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y
= 0 A partir de la ecuacin obtenida =
( + 2) 2
0 =
( + 2) 2
( + 2) = 2
( + 2) = 4 + 2 = 4 = 2 2 por lo tanto se tiene (0,0) y (-4,0) Si
x = 0 en =
( + 2) 2
=
(0 + 2) 2 Y = 0 la interseccin es en (0,0) Cul es la monotona de
la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para
qu valores de x la funcin es menor que cero? Ejercicios Ejemplo La
rapidez de crecimiento (en libras por mes) de un infante est
relacionada con el peso actual (en libras) por la frmula = (21 ) ,
donde es una constante positiva y 0
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 53 ~ AGO-DIC-2012
Ejercicios propuestos
1. Hallar los puntos de interseccin de la parbola + 12 + 4 8 = 0
con la recta 4 6 = 0. Solucin:
,5 (1,2) 2. A partir de las siguientes parbolas calcular, a) las
coordenadas del vrtice, b) las intersecciones con los ejes
coordenados c) Monotonia, d) 0 0y y y .
i) 24 6 8 0y x x ii) 3 9 5 2 = 0 iii) 24 6 13 0y x x
3. Graficar la siguiente funcin completando el trinomio cuadrado
perfecto. Y = 2 + 8 Solucin: Vrtice: V(-1,9) Intersecciones con los
ejes de coordenadas (2,0), (4,0), (0,8) Cul es la monotona de la
funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu
valores de x la funcin es menor que cero? 4. Graficar la siguiente
funcin completando el trinomio cuadrado perfecto. Y = 4 Solucin:
Vrtice: V(2,-4) Intersecciones con los ejes de coordenadas (4,0),
(4,0), (0,0) Cul es la monotona de la funcin? Para qu valores de x
la funcin es mayor que cero? Para qu valores de x la funcin es
menor que cero? 5. Obtener el vrtice y las intersecciones de la
funcin = 3
, haciendo uso del
trinomio cuadrado perfecto. Solucin: V(1,
)
Intersecciones: 7 1, 0, 7 1, 0, (0, 3) Cul es la monotona de la
funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que cero? Para qu
valores de x la funcin es menor que cero?
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 54 ~ AGO-DIC-2012
6. Obtener el vrtice y las intersecciones de la funcin =
+ 2 + 7, haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto. Solucin:
V(3,10) Intersecciones: 30 + 3, 0, 30 + 3, 0, (0, 7) Cul es la
monotona de la funcin? Para qu valores de x la funcin es mayor que
cero? Para qu valores de x la funcin es menor que cero?
Aplicaciones de funciones de segundo grado 14. El nmero de manzanas
que produce cada rbol en una huerta depende de la densidad de
rboles plantados. Si se plantan arboles en un acre de tierra,
entonces cada rbol produce 900 9 manzanas, as que el nmero de
manzanas producidas por acre es () = (900 9),cuntos rboles se deben
plantar por acre a fin de obtener la produccin mxima de manzanas?
Solucin: = 50arboles de acre 15. La trayectoria que sigue una
persona al saltar desde una plataforma de 7 metros de altura est
dada por la ecuacin = 2 + 8, donde es la distancia horizontal y es
la altura, ambas variables estn dadas en metros. a) A qu distancia
entrara al agua a partir del punto mximo? b) Cul es la altura mxima
total que alcanza la persona a
partir del nivel del agua Solucin: a) 9 metros; b) 3 metros 16.
Cuando cierto frmaco se toma oralmente, su concentracin en el
torrente sanguneo del paciente despus de minutos est dada por () =
0.06 0.0002 donde 0 t 240 y la concentracin se mide en mg/L. cundo
se alcanza la concentracin mxima, y cul es esa concentracin
mxima?
Y
X
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 55 ~ AGO-DIC-2012
Funciones Racionales
Una funcin racional se define como aquella que se puede expresar
como el cociente de dos funciones polinomiales. Por consiguiente,
si y son funciones polinomiales y es la funcin definida como
() = ()()
El dominio
De una funcin racional consiste en los nmeros reales excepto
aquellos para los que el denominador es cero. Al graficar una
funcin racional, se recomienda tener cuidado en el comportamiento
de la grfica cerca de esos valores.
El Contradominio o rango
De una funcin racional consiste en los nmeros reales ()
(variable dependiente) para los cuales, la variable independiente x
existe en el conjunto de los nmeros reales, lo podemos determinar
mediante el despeje que se muestra a continuacin.
Si ;s x y f x ax b y g x cx d
ax bycx d
y cx d ax bcxy dy ax bcxy ax b dyx cy a b dy
b dyxcy a
El contradominio es el conjunto de valores de y que no ocasionen
cero en el denominador de la ltima expresin, a sea el contradominio
es el conjunto de los nmeros reales y
donde ayc
s aDom y c Ejemplos de funciones racionales:
() =
() =
() =
() =
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 56 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo 1. Bosquejar la siguiente grafica () =
() = 1
x puntos
(4) = 14 = 14 -4 (4, 14) (2) = 12 = 12 -2 (2, 12) (1) = 11 = 1
-1 (1,1)
12 = 1 12 = 2 12 ( 12 ,2)
14 = 1 14 = 4 14 ( 14 ,4)
12 = 1 12 = 2 12 (12 ,2)
14 = 1 14 = 4 14 (14 , 4)
(1) = 11 = 1 1 (1,1) (2) = 12 = 12 2 (2, 12)
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 57 ~ AGO-DIC-2012
-10 -5 5 10
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
smbolo significa xa- xa+ x- x
tiende a por la izquierda tiende a por la derecha tiende a menos
infinito; es decir, disminuye sin cota tiende a infinito; es decir,
incrementa sin cota
ASNTOTAS
Es el comportamiento de la curva para valores extremadamente
grades (positiva o negativamente) ya sea en la variable
independiente o en la variable dependiente.
() 0+
() = 0
() = 0-
() = 0 Asntota horizontal
Asntota vertical
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 58 ~ AGO-DIC-2012
ASNTOTA VERTICAL
Es el valor de las abscisas para el cual la funcin denominador
se hace cero y la funcin del numerador es diferente de cero, es un
valor fuera del dominio de la funcin. En nuestra
simbologa si
f xs xg x
es el valor que hace que 0g x y 0f x , para determinarlo
simplemente se plantea la ecuacin correspondiente, en el caso de
ax bs xcx d
la
ecuacin es 0cx d y por lo tanto dxc
es la asntota vertical. Cabe mencionar que
como esta asntota es una recta vertical la cual NO ES UNA
FUNCIN.
ASNTOTA HORIZONTAL
Es una funcin constante a la cual la variable dependiente se
acerca cada vez ms conforme la variable independiente se aleja de
cero ya sea hacia y una forma de
determinarla es a partir de la funcin ax bycx d
despejando a la variable independiente x
ax bycx d
y cx d ax bcxy dy ax bcxy ax b dyx cy a b dy
b dyxcy a
De la ltima expresin de calculamos que valor de y (variable
dependiente) ocasiona que
el denominador sea cero mediante la ecuacin 0cy a en este caso
ayc
ayc
Es la funcin constante el cual es la asntota horizontal
El cmo se defini a las asntotas, tanto verticales como
horizontales, es de forma intuitiva a partir de la observacin de
las grficas, la definicin formal de las asntotas se dejara para
cursos posteriores, ya que es necesario el concepto de lmite.
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 59 ~ AGO-DIC-2012
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-15 -10 -5 0 5 10 15
Transformaciones de =
Ejemplo 2. Bosqueje la siguiente funcin
() = 3 5
Tenemos una funcin racional de la forma () =
, se puede graficar si se desplaza,
alarga o refleja la grafica de () =
. (Recordar el tema 2.4)
() = 3(
) Factor 3 () = 3(( 5)) Puesto que () =
Podemos observar que la grafica de () se obtiene de la grafica
de () desplazando 5 unidades a la derecha y alargando verticalmente
por un factor de 3. As () tiene una asntota vertical en = 5 y una
asntota horizontal en = 0 La monotona 5 Decreciente
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 60 ~ AGO-DIC-2012
-3
-2
-1
0
1
2
3
-15 -10 -5 0 5 10 15
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Ejemplo 3. Bosqueje la siguiente funcin
() = 6 + 23 + 4
Al hacer la divisin larga tenemos () = 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-15 -10 -5 0 5 10 15
() = 1
Reflexin de la grafica () =
() = 1 + 4
Desplazamiento horizontal de cuatro unidades a la izquierda
() = 6 1 + 4
Desplazamiento vertical de seis unidades hacia arriba
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 61 ~ AGO-DIC-2012
0
2
4
6
8
10
12
-15 -10 -5 0 5 10 15
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-15 -10 -5 0 5 10 15
-6
-4
-2
0
2
4
6
-15 -10 -5 0 5 10 15
Finalmente se puede observar que la grafica de () se desplaza 5
unidades a la izquierda, y se desplaza hacia arriba 6 unidades. As
() tiene una asntota vertical = 4 y una asntota horizontal = 6. La
monotona 4 Creciente
Ejemplo 4. Bosqueje la siguiente funcin
() = 2 + 3 1
divisin larga se tiene () = 2 +
Al realizar la
() = 6 + 23 + 4
() = 1
() = 5
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 62 ~ AGO-DIC-2012
-6
-4
-2
0
2
4
6
-15 -10 -5 0 5 10 15
-30
-20
-10
0
10
20
30
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0bservamos que la grfica de () se desplaza 1 unidad a la
derecha, y se desplaza hacia arriba 2 unidades. As () tiene una
asntota vertical = 1 y una asntota horizontal = 2. y su interseccin
con el eje es en el punto (0,3) y (
, 0) con el eje .
La monotona 1 Decreciente
() = 5 1
() = 2 + 5 1
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 63 ~ AGO-DIC-2012
Intersecciones
Intersecciones con el eje de las ordenadas
Al igual que en las funciones de segundo grado es cuando la
variable independiente x toma el valor de cero y para determinar el
punto de interseccin tan solo hay que evaluar la funcin en cero 0f
siempre y cuando 0f exista.
Ejemplo determina la interseccin con el eje vertical para
1f xx
Evaluamos la funcin en 0x
100
f no existe en por lo tanto no hay interseccin con el eje
vertical.
Ejemplo determina la interseccin con el eje vertical para
35
g xx
Evaluamos la funcin en 0x
30 5
305
0
30,5
g
g
Ejemplo determina la interseccin con el eje vertical para
() =
Evaluamos la funcin en 0x
6 234
6 0 2300 4
2304
230,4
xt xx
t
t
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 64 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo determina la interseccin con el eje vertical para
() = 2 + 3 1
Evaluamos la funcin en 0x
2 0 3
0 1301
0 3, 3
0
0
p
p
p
Interseccin con el eje de las abscisas Es un caso particular de
la funcin racional, es cuando la variable dependiente toma el
valor
de cero para
0 0h x h xf x y f xg x g x
o sea queda planteada una
ecuacin racional. Una ecuacin racional tambin puede surgir de la
combinacin de funciones, las cuales no trabajares en este momento.
Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para
1 10 0f x si f x entoncesx x
Al querer despejar, multiplicando por ambos lados por x
1 0
1 0
x xx
Lo cual es un absurdo matemtico, por lo que no existe
interseccin con el eje de las abscisas
Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para
3 30 05 5
g x si g x entoncesx x
.
Y solo resta despejar a x
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 65 ~ AGO-DIC-2012
3 05
3 5 0 55
3 0
x
x xx
Nuevamente concluimos que no hay interseccin con el eje
horizontal.
Ejemplo determina la interseccin con el eje las abscisas
para
6 23 6 230 04 4
x xt x si t x entoncesx x
Despejemos x
6 23 4 0 44
6 23 06 23
23 236 6
23 ,06
x x xxxx
x
El cual es el punto de interseccin
Ejemplo determina la interseccin con el eje horizontal para
2 3 2 3 0 01 1
x xp x si p x entoncesx x
Solo resta despejar a x
2 3 1 0 11
2 3 02 3
3 32 2
3 ,02
x x xxxx
x
El cual es el punto de interseccin con el eje horizontal
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 66 ~ AGO-DIC-2012
Mostramos ahora ecuaciones en donde el denominador es compuesto
y en algunos casos se requiere factorizar el denominador. 1.
+
=
Solucin:
=
3(2 1) = 15 6 3 = 15 6 = 15 + 3 6 = 12 =
R. = 2.
=
Solucin:
2(4 + 1) = 3(4 1) 8 + 2 = 12 3 8 12 = 3 2 4 = 5 =
R. =
3.
=
R. = 4.
=
R. =
5.
=
-
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R. =
Desigualdades racionales Surgen al preguntarnos Qu valores de x
hacen que la f x sea mayor que cero (+)? Que valores de x hacen que
la f x sea menor que cero (-)? O sea 0 0 0 0f x f x f x f x
Para
h xf x donde h x ax b y g x cx dg x
Tambin pueden tener su origen en el comparar dos funciones
utilizando los signos
Un par de situaciones importantes si al querer despejar x en una
desigualdad, multiplicamos o dividimos, utilizamos un nmero
negativo, hay que invertir el signo de la desigualdad. Y la otra es
que el denominador nunca debe ser igualado a cero aunque el signo
del planteamiento sea .
Que valores de x hacen que 42 3
xf xx
sea mayor que cero
40 02 3
xf x o seax
Lo anterior se cumple si
1 2
3 1 2
3
4 0 2 3 030
230, ,2
0,
x y x
x x
S S
S S SS
4 5
6 4 5
6
4 0 2 3 030
23,0 ,2
3,2
x y x
x x
S S
S S S
S
3 6
3, 0,2
T
T
S S S
S
-
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Que valores de x hacen que 6 234
xf xx
sea menor o igual que cero
6 230 04
xf x o seax
Lo anterior se cumple s
1 2
3 1 2
3
6 23 0 4 023 46
23 , , 46
x y x
x x
S S
S S SS
4 5
6 4 5
6
6 23 0 4 023 46
23, 4,6
234,6
x y x
x x
S S
S S S
S
3 6
234,6
234,6
T
T
T
S S S
S
S
Ejemplo
S 42 3
xf xx
que valores de x producen que f x sea mayor que 2
Planteamos 42 + 3 > 2 Es esencial que todos los trminos
diferentes de cero estn en el mismo lado del signo de desigualdad.
Se ordena la desigualdad
2 > 0
Se resuleve la fraccin ()
> 0
> 0
Solucin: (,
)
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 69 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo
Para 13
xf xx
encontrar que valores de x hacen que 2 sea menor que f x
Planteamos
2 < + 1 3
Ordenando la desiguialdad
+ 2 > 0
3 5 3 > 0
Lo anterior se cumple si:
1 2
3 1 2
3
3 5 0 3 05 33
5 , 3,3
3,
x y x
x x
S S
S S SS
4 5
6 4 5
6
3 5 0 3 05 33
5, ,33
5,3
x y x
x x
S S
S S S
S
3 6
5, 3,35, 3,3
T
T
T
S S S
S
S
Ejercicios propuestos De las siguientes funciones encuentre las
intersecciones con los ejes, asntotas y grafique la funcin. Y
tambin determine 0, 0f x p x , 0, 0h x g x , 0, 0r x n x y 0, 0j x
i x
1.() = 1 1 5. () = 4 4 + 2 2.() = 1 + 4 6.() = 4 3 + 7 3.() = 3
+ 6 7. () = 2 + 66 + 3 4.() = 2 2 8. () = 2 + 3 1
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 70 ~ AGO-DIC-2012
Funcin radical f x x El dominio de la funcin es 0x ya que solo
para estos valores f x pertenece al conjunto de los nmeros reales,
en ocasiones los ejemplos sencillos ocultan informacin ya que no
siempre x debe ser mayor o igual que cero sino es la expresin en el
interior del radical la que debe ser 0
Solo que en este caso el Subradical tan solo es x pero en
trminos generales si f x g x
El dominio de la funcin se determina resolviendo la desigualdad
0g x En este ejemplo 0g x x x es el dominio de la funcin f x x Si
realizamos la grfica de la funcin anterior
Grafica f x x
El contradominio de la funcin es el conjunto de los nmeros
reales. Nos damos cuenta que no es una funcin ya que para cada
valor del dominio le corresponden dos valores para la variable
dependiente. Por lo anterior para tratarla como una funcin tan solo
tomamos un signo de la raz ya sea f x x f x x lo ms comn es tomar
el valor positivo.
Quedando
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10111213141516171819202122232425
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 71 ~ AGO-DIC-2012
Grafica f x x
Con lo cual el rango queda como 0, Para la funcin f x x es la
funcin anterior mas una contante, lo que ocasiona que el
contradominio de la funcin se modifique Por ejemplo en 2f x x el
dominio no se modifica pero el 2 produce un desplazamiento vertical
o sea todos y cada uno de los puntos de la grfica 1f x x se
desplazan dos unidades hacia arriba
Grfica de 1 2f x x y f x x
El rango de la funcin 2f x x es 2, Ejercicio para el alumno
realiza la grafica, determina el dominio y contradominio para 5f x
x
Funcin f x x o sea se le suma una constante directamente a la
variable independiente
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25
-
PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 72 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo 3f x x
Primero determinemos el dominio de la funcin 3g x x el dominio
de la funcin es 0g x o sea 3 0x 3x
3,fDom x Quiere decir que sumarle una constante a la x repercute
en un corrimiento a la izquierda en tres unidades de la funcin base
1f x x y cuyas graficas comparadas se muestran a continuacin
Grafica 1 3f x x y f x x
El rango de ambas funciones es Ejercicio para el alumno Si 4f x
x determina el dominio, rango realiza la grfica de la funcin
Respuestas
4,
0,f
f
Dom x
Contradominio
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10111213141516171819202122232425
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 73 ~ AGO-DIC-2012
Grfica 1 4f x x y f x x
Ejemplo determina el dominio , rango y grfica para 5 3f x x 5 3g
x x
Dominio es cuando 0 5 3 0g x o sea x 3 5
53
5,3f
x
x
Dom x
El contradominio 0, Grfica 1 5 3f x x y f x x
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10111213141516171819202122232425
-2-10123456789
10
-14-13-12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 74 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo para 4 2 3f x x determina el dominio, contradominio y
grfica de la funcin Para el dominio
4 20
4 2 04 2
2412
1 ,2f
g x xg x
xx
x
x
Dom x
Para el contradominio vemos que se re resta 3 a la funcin
radical, por lo que el contradominio es 3,
Grfica de 1 4 2 3f x x y f x x
Funcin 2f x ax bx c procedimiento para calcular el dominio de
este tipo de funciones es
Muy similar al anterior si lo visualizamos como f x g x el
dominio de la funcin se obtiene al resolver la desigualdad 0g x que
va a ser una desigualdad de segundo grado. Ejemplo
Determina el dominio y rango de 2 2 15f x x x donde 2 2 15g x x
x El dominio esta dado por 20 2 15 0g x o sea x x al resolver la
desigualdad
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 75 ~ AGO-DIC-2012
, 5 3,fDom x El rango es 0, porque no hay desplazamiento
vertical, ya que no se le suma o resta alguna constante.
Grfica 21 2 15f x x y f x x x
Ejercicio para el alumno
Determina el dominio, rango y grfica para 2 2 8f x x x
, 2 4,fDom Contradominio 0,
Grfica 2 2 8f x x x
-10123456789
10111213141516
-16-15-14-13-12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
-10123456789
1011121314151617181920
-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 76 ~ AGO-DIC-2012
Funcin ax bf xcx d
Determinar el dominio de este tipo de funciones es muy parecido
a lo realizado antes
Con ax bg xcx d
y el dominio es 0g x
Por ejemplo 6 23
4xf xx
para determinar el dominio 6 23
4xg xx
y replanteamos
6 230 04
xg x o seax
resolviendo la desigualdad
23, 4 ,6f
Dom
Por ejemplo 3 5
3x xf
x
para determinar el dominio 3 5
3x xg
x
y replanteamos
0g x o sea 3 5 03
xx
resolviendo la desigualdad anterior, determinamos el dominio
5, 3,3f
Dom x
Ejercicios Propuestos
Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones. 1. () = 3
+ 2 R. Dominio y rango todos los reales
16. () =
2. 2 + 3 = 7 R. Dominio y rango todos los reales
17. () =
3. 3 + 2( + 4) = 6 18. () = 2 + 4 Df:[5,) Rf: [0,)
4.
= 5 19.() = 15 5
5. 3
Df: , Rf: (, ) 20.() = 7
6. () = + 5 4 21.() = 6 + 8
7. () = 6 + 8 Df: 22.() = 3 4 4 Df: [ , ]
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 77 ~ AGO-DIC-2012
, Rf:
8.() = + 1 23. () = 12 Df: (-,-3][4,)
9.
Df: -{-
},
Rf: -{
}
24.() = 2 7 + 6 10. () =
Df: -{-
}, Rf: -
{}.
25.() = 2 + 3 14
11. () =
26. () =
Df: (1,)
12. () =
27. () =
Df: (2, )
13.() =
Df: -{1}. Rf: -{2}.
28. () =
14. () =
Df: (,1) (1,4) (4,)
29. () =
15. () =
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 78 ~ AGO-DIC-2012
Funcin compuesta Composicin de funciones Para ilustrar el
concepto supongamos que para una dada en el dominio de g, el valor
de la funcin () es un nmero en el dominio de la funcin . Eso quiere
decir que se puede evaluar (); en otras palabras, se puede evaluar
(). El dominio de es el conjunto de toda en el dominio de tal que
() est en el dominio de . En la figura anterior se ilustra las
relaciones entre ,. ntese que para en el dominio de , primero
hallamos () (que debe estar en el dominio de ) y luego, en segundo
trmino, encontramos (()). Para la funcin compuesta , invertimos
este orden, primero hallamos () y en segundo trmino hallamos (()).
El dominio de es el conjunto de toda en el dominio de tal que ()
est en el dominio de . Ejemplo 1. () = + 1() = 1 () = ( 1) + 1 () =
+ 1 1 () = 1 + 1 = () = = x Df: Df:
()() = (()) ()() = (())
COMBINACIONES ARITMTICAS
Si son dos funciones, la composicin de , representada por , es
la funcin definida por:
La composicin de , representada por , es la funcin definida
por:
x
g(x) f(g(x))
-
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COMISIN DE PRECLCULO PAG~ 79 ~ AGO-DIC-2012
Ejemplo 2. () =
() = + 1 () = + 1 1 () =
() = = () = = Df: Df: -{} Ejemplo 3. () = 2() = + 5 () = 2 + 5
() = + 5 2 se debe cumplir: 2 + 5 0 El dominio de () = [5,) el
dominio de () = [2,) + 5 2 0, + 5 0 as mismo: 2 + 5 0 2 0 al
resolver las siguientes desigualdades, 27 entonces Df: [27,)
tenemos 1,por lo tanto Df: [1,) 2 entonces Df: [2,) y 5 Df: [5,) Se
debe cumplir que el Dominio de () el dominio de () debe estar en el
este en el dominio de (), por lo tanto dominio de () . por lo tanto
Dfg: [2,) los valores sern: [1,) Ejemplo 4. () = 3() = + 2 () = 3 +
2 () = ( + 2) 3 + 2