ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS João Roberto Barbosa 1 NOTAS DE AULAS rev 15set2018 ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS Uma grande importância é dada à disciplina mecânica dos fluidos, uma vez que se precisa formar pessoal capacitado para o desenvolvimento de projetos significativos como os que se desenvolvem no DCTA. O ITA tem papel importante na formação de recursos humanos nesse área. As figuras que ilustram a capa destas Notas de Aulas estão associadas ao projeto do rotor do primeiro estágio do compressor axial de alto desempenho que faz parte da turbina TAPP, cujo projeto está sendo desenvolvido essencialmente com a participação de professores, pesquisadores e ALUNOS do ITA. Chega-se à forma geométrica apresentada através de muitas considerações, mas a final depende quase que exclusivamente do cálculo do escoamento entre as pás, o que não se consegue sem os fundamentos da mecânica dos fluidos apresentados nestas Notas de Aulas. A disciplina ME-201 é apresentada sob o ponto de vista teórico e não cuida da solução numérica das equações desenvolvidas, mas é importante ressaltar ao aluno a importância do que aprenderão, através de aplicações importantes, como o estágio de compressor mencionado.
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NOTAS DE AULAS rev 15set2018 ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS€¦ · ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS . Uma grande importância é dada à disciplina mecânica dos fluidos, uma vez
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João Roberto Barbosa 1
NOTAS DE AULAS rev 15set2018
ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS Uma grande importância é dada à disciplina mecânica dos fluidos, uma
vez que se precisa formar pessoal capacitado para o desenvolvimento de projetos significativos como os que se desenvolvem no DCTA. O ITA tem papel importante na formação de recursos humanos nesse área.
As figuras que ilustram a capa destas Notas de Aulas estão associadas ao
projeto do rotor do primeiro estágio do compressor axial de alto desempenho que faz parte da turbina TAPP, cujo projeto está sendo desenvolvido essencialmente com a participação de professores, pesquisadores e ALUNOS do ITA. Chega-se à forma geométrica apresentada através de muitas considerações, mas a final depende quase que exclusivamente do cálculo do escoamento entre as pás, o que não se consegue sem os fundamentos da mecânica dos fluidos apresentados nestas Notas de Aulas. A disciplina ME-201 é apresentada sob o ponto de vista teórico e não cuida da solução numérica das equações desenvolvidas, mas é importante ressaltar ao aluno a importância do que aprenderão, através de aplicações importantes, como o estágio de compressor mencionado.
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APRESENTAÇÃO Edição digitalizada
Esta edição continua sendo uma revisão das edições anteriores, mas deixa de
ser um documento manuscrito. Continua em forma ainda não definitiva, especialmente
porque novos erros podem ter sido introduzidos com a digitalização das equações.
Defeitos e omissões continuam presentes, mas poderão ser corrigidos, como tem
acontecido, com auxílio dos alunos e outros leitores mais dedicados, razão pela qual
encorajo todos a contribuírem com indicação do que precisa ser corrigido.
Esta edição das Notas de Aulas não havia sido publicada em função da
necessidade de revisão cuidadosa da grafia utilizada nas milhares de expressões. Entretanto,
julgou-se conveniente que, mesmo faltando tal revisão cuidadosa, fosse divulgada, na
esperança de receber retorno dos alunos e outros possíveis leitores, indicando as correções
“ortográficas” que ainda precisam ser feitas. O autor agradece tais retornos, que permitirão
aprimoramento destas Notas de Aulas de Mecânica dos Fluidos, para apoio às aulas no ITA.
Em espacial aos alunos Álvaro Coppieter e Ricardo Hess, que iniciaram a digitalização.
Tem-se verificado que muitos alunos matriculados nesta disciplina têm interesse
em mecânica dos fluidos computacional (CFD), razão pela qual se esforça para que lhes seja
apresentada a matéria numa forma que lhes dê oportunidade de desenvolverem o
conhecimento mínimo para seus estudos; opta-se pelo conteúdo e sua apresentação como o
resumido nestas Notas de Aulas.
A matéria MECÂNICA DOS FLUIDOS, como apresentada, requer do aluno
um conhecimento mais aprofundado de matemática, compatível com as disciplinas ensinadas
nos diversos cursos do ITA. Estas Notas de Aulas foram preparadas para permitir que o
aluno acompanhe e participe ativamente das atividades em classe, sem necessidade de
fazer grandes anotações. Devem servir como guia de estudo e não como livro-texto. São
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um resumo da vasta matéria relacionada à mecânica dos fluidos que será vista neste
curso.
Busca-se a fundamentação teórica para o estudo de escoamentos de interesse em
engenharia, através da recapitulação e aprofundamento dos conceitos e das técnicas
matemáticas dos cursos de graduação. Parte-se da formulação geral para a obtenção de
informações sobre escoamentos particulares. Toda a formulação teórica já foi utilizada para a
obtenção das equações de conservação e constitutivas. Para as aplicações particulares devem
ser estudadas as simplificações requeridas. Um bom conhecimento de matemática
(cálculo – especialmente funções de várias variáveis -, geometria analítica, equações
diferenciais e variável complexa), em compensação, é exigido.
Alguns exercícios resolvidos foram incluídos para elucidar a aplicação da
teoria. O aluno deve entender os passos dados para a solução desses exercícios, pois
acompanhar apenas o que foi feito não lhe garante o conhecimento completo da matéria, o
que é requerido para a aprovação no curso.
As Notas de Aulas continuam com a pretensão de dar aos alunos uma visão
geral da matéria mecânica dos fluidos. Para obter respostas a todas as questões básicas que
poderão surgir, mesmo no decorrer do curso, é necessário estudo mais aprofundado, não
coberto por este curso. O assunto abrangido neste documento serve como roteiro para
estudo e nunca substituirá textos consagrados pela abrangência e clareza. A bibliografia
indica alguns deles e é recomendado ao aluno que a consulte com freqüência.
As duas referências iniciais serviram de suporte à definição da abordagem da
discipina.
João Roberto Barbosa, março de 2018.
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APRESENTAÇÃO Edição manuscrita
Estas Notas de Aulas:
a. apresentam a matéria MECÂNICA DOS FLUIDOS aos alunos de
ME201. Foram baseadas em manuscritos cedidos pelo Prof. Euclides de
Carvalho Fernandes, responsável pela disciplina no âmbito da Divisão de
Engenharia Mecânica-Aeronáutica, e adaptada no decorrer dos anos em
que fiquei responsável pela disciplina, no início deste século. Muitas
partes do texto são adaptações diretas que fiz dos que aparecem na
literatura indicada.
b. Foram preparadas para permitir que o aluno acompanhe e participe
ativamente das atividades em classe, sem necessidade de fazer anotações.
Devem servir como guia de estudo e não como livro-texto.
c. São um resumo da vasta matéria relacionada à mecânica dos fluidos que
será vista na disciplina ME-201. Esta edição continua sendo uma revisão
das edições anteriores e não está, ainda, na forma definitiva.
d. Não se detiveram na discussão filosófica de distinção, ou não, de leis ou
princípios da natureza, mas o leitor é incentivado a meditar sobre o
assunto. Igualmente, nada se registra sobre a historia da ciência aplicada
ao assunto ora em pauta, ainda que seja muito importante para o leitor
conhecer o processo do desenvolvimento da teoria hoje muito bem aceita
por todos os pesquisadores.
Busca-se a fundamentação teórica para o estudo de escoamentos de interesse em
engenharia através da recapitulação e aprofundamento dos conceitos e das técnicas
matemáticas dos cursos de graduação. Parte-se da formulação geral para a obtenção de
informações sobre escoamentos particulares.
Toda a formulação teórica já foi utilizada para a obtenção das equações de
conservação e constitutivas. Para as aplicações particulares devem ser estudadas as
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simplificações requeridas. Um bom conhecimento de matemática (cálculo – especialmente
funções de várias variáveis -, geometria analítica, equações diferenciais e variável complexa),
em compensação, é exigido.
Alguns exercícios resolvidos foram incluídos para elucidar a aplicação da teoria.
O aluno deve entender os passos dados para a solução desses exercícios, pois acompanhar
apenas o que foi feito não lhe garante o conhecimento completo da matéria, o que é requerido
para a aprovação no curso.
As Notas de Aulas continuam com a pretensão de dar aos alunos uma visão geral
da matéria mecânica dos fluidos. Para obter respostas a todas as questões básicas que poderão
surgir, mesmo no decorrer do curso, é necessário estudo mais aprofundado, não coberto por
este curso.
O assunto abrangido neste documento serve como roteiro para estudo e nunca
substituirá textos consagrados pela abrangência e clareza. A bibliografia indica alguns deles e
é recomendado ao aluno que a consulte com freqüência.
Defeitos e omissões continuam presentes, mas poderão ser corrigidos, como tem
acontecido, com auxílio dos alunos mais dedicados.
João Roberto Barbosa, julho de 2005.
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1.3.16 - Tensor Ortogonal ......................................................................................................................................... 25 1.3.17 - Transformação de coordenadas (mudança de sistemas) ......................................................................... 26 1.3.18 - Autovalores e autovetores ........................................................................................................................... 27 1.4 - Introdução ao estudo das curvas no E³ ................................................................................................................ 31
1.4.1 - Linha de corrente no instante t.................................................................................................................... 33 1.4.2 - Tubo e superfície de corrente ..................................................................................................................... 35 1.4.3 - Trajetória da partícula .................................................................................................................................. 36 1.4.4 - Linha (curva) de emissão ............................................................................................................................ 38 1.4.5 - Linha (curva) de tempo................................................................................................................................ 38 1.5 - Conceitos fundamentais ........................................................................................................................................ 39 1.6 - Hipótese do contínuo. ............................................................................................................................................ 40 1.7 - Tipos de abordagem de problemas de escoamento............................................................................................ 42 1.8 - Trajetória da partícula ............................................................................................................................................ 46
1.8.1 - Velocidade da partícula ............................................................................................................................... 47 1.8.2 - Aceleração da partícula ............................................................................................................................... 47 1.8.3 - Escoamento Permanente ............................................................................................................................ 48 1.8.4 - Escoamento Uniforme ................................................................................................................................. 49 1.8.5 - Obtenção das equações da linha de corrente conhecido o campo de velocidades ................................ 50 1.9 - Coordenadas cilíndricas (polares) ........................................................................................................................ 54 1.1 - Coordenadas generalizadas ................................................................................................................................. 55
2 - PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO .............................................................................................................................. 60 2.1 - Teorema do transporte de Reynolds .................................................................................................................... 60
2.1.1 - Derivadas com relação ao tempo ............................................................................................................... 62 2.1.2 - Velocidade e aceleração ............................................................................................................................. 63 2.2 - Princípio da conservação de massa ..................................................................................................................... 74
2.2.1 - Formas particulares ..................................................................................................................................... 75 2.3 - Princípio da conserevação da quantidade de movimento ................................................................................... 76
2.3.1 - Conserevação da quantidade de movimento linear ................................................................................... 76 2.3.2 - Conservação da quantidade de movimento angular ................................................................................. 82 2.4 - Princípio da conservação da energia ................................................................................................................... 87
2.4.1 - Obsservação 1 ............................................................................................................................................. 91 2.4.2 - Variação da energia, no volume de controle, com o tempo ...................................................................... 93 2.4.3 - Bomba hidráulica ......................................................................................................................................... 96 2.5 - Adequação a Sistemas não Inerciais ................................................................................................................. 100
3 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS .................................................................................................................................. 103 3.1 - Tipos de movimentos de interesse ..................................................................................................................... 105
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3.1.3 - Deformação angular .................................................................................................................................. 111 3.1.4 - Deformação volumétrica............................................................................................................................ 112 3.1.5 - Movimento de um corpo deformável ........................................................................................................ 114 3.2 - O vetor vorticidade ............................................................................................................................................... 116 3.3 - Fluidos Newtonianos ........................................................................................................................................... 119
3.3.1 - Interpretação de ................................................................................................................................... 121
3.4 - Equações de Navier-Stokes ................................................................................................................................ 123 3.5 - Equações relevantes para solução numérica das equações de Navier-Stokes .............................................. 125 3.6 - Alguns tipos de escoamentos simplificados de interesse ................................................................................. 135
3.6.1 - Escoamento de Couette plano .................................................................................................................. 135 3.6.2 - Escoamento de Poiseuille plano ............................................................................................................... 138 3.6.3 - Escoamento de Hagen-Poiseuille ............................................................................................................. 141 3.6.4 - Escoamento de Couette numa região anular ........................................................................................... 149 3.6.5 - Escoamento de Hagen-Poiseuille entre 2 tubos concêntricos inclinados .............................................. 153
3.6.6 - Escoamento entre 2 placas planas paralelas, infinitas, movendo-se com velocidades sv e iv ....... 159
3.6.7 - Escoamento entre dois tubos concêntricos com velocidades iv e ev , sujeito a gradiente de pressão
163 3.6.8 - Escoamento num espaço estreito formado por duas paredes não paralelas ........................................ 167
4 - ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS .......................................................................................................................... 173 4.1 - Conceitos fundamentais ...................................................................................................................................... 173 4.2 - Escoamentos Potenciais – soluções analíticas das equações de Navier-Stokes............................................ 175 4.3 - Transporte da vorticidade em um fluido viscoso, incopressível e de densidade homogênea ......................... 184 4.4 - Função de Corrente ............................................................................................................................................. 189 4.5 - Função Potencial de Velocidade ........................................................................................................................ 196
5.5.1 - Fonte colocada num escoamento uniforme ............................................................................................. 207 5.5.2 - Fonte e sumidouro colocados num escoamento uniforme - Ovais de Rankine ..................................... 212 5.5.3 - Dipolo num escoamento uniforme (escoamento ao redor de um cilindro) ............................................. 216 5.5.4 - Escoamento ao redor de um cilindro com circulação .............................................................................. 220 5.6 - Escoamento potencial complexo 2-D ................................................................................................................. 223
5.6.1 - Escoamento paralelo uniforme ................................................................................................................. 226 5.6.2 - Exemplo 1 – Função Direta ....................................................................................................................... 228 5.6.3 - Exemplo 2 – Função Inversa .................................................................................................................... 231 5.7 - Transformação conforme e o escoamento ao redor de perfis aerodinâmicos – transformação de Joukovsky
2335.7.1 - Mapeamento de um círculo num aerofólio simétrico (2-D) – sem arqueamento ................................... 233 5.7.2 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) – com arqueamento ................................................... 243 5.7.3 - Mapeamento de um círculo num aerofólio (2-D) – com arqueamento e sustentação, levando em conta incidência e espessura do aerofólio.................................................................................................................................. 244
Perfil parabólico e gradiente de pressão nulo............................................................................................................. 287
6.3.8 - Transição na placa plana .......................................................................................................................... 292 6.4 - Distribuição de temperatura numa camada limite compressível ....................................................................... 294
6.4.1 - Espessura da quantidade de movimento da camada limite ......................................................... 296
6.4.2 - Transferência de calor em camada limite 2-D compressível, regime permanente ................................ 297 6.4.3 - Adimensionalização das equações da camada limite incompressívelo 2-D .......................................... 298 6.4.4 - Transsferência de calor numa camada limite 2-D compressível, quando Pr 1 ............................... 306 6.4.5 - Transnferência de calor numa camada limite 2-D compressível, quando Pr 1 .............................. 310 6.5 - Introdução ao estudo da camada limite turbulenta numa placa plana .............................................................. 313
7 - BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................ 316 7.1 - INTRODUCTION TO CONTINUUM MECHANICS ............................................................................................ 316 7.2 - LECTURES ON FLUID MECHANICS ................................................................................................................ 316 7.3 - BOUNDARY LAYER THEORY ........................................................................................................................... 316 7.4 - FLUID DYNAMICS, THEORETICAL AND COMPUTATIONAL APPROACHES ............................................. 316 7.5 - INTRODUCTION TO TENSOR CALCULUS AND CONTINUUM MECHANICS.............................................. 316 7.6 - COMPUTATIONAL FLUID MECHANICS AND HEAT TRANSFER .................................................................. 316 7.7 - FUNDAMENTALS OF FLUID MECHANICS ...................................................................................................... 316
8 - ANEXO I ....................................................................................................................................................................... 317 8.1 - SÉRIE NO 1 .......................................................................................................................................................... 317 8.2 - SÉRIE NO 2 .......................................................................................................................................................... 319 8.3 - SÉRIE NO 3 .......................................................................................................................................................... 320 8.4 - SÉRIE NO 4 .......................................................................................................................................................... 322 8.5 - SÉRIE NO 5 .......................................................................................................................................................... 323 8.6 - SÉRIE NO 6 .......................................................................................................................................................... 324 8.7 - SÉRIE NO 7 .......................................................................................................................................................... 327 8.8 - SÉRIE NO 8 .......................................................................................................................................................... 329 8.9 - SÉRIE NO 9 .......................................................................................................................................................... 330 8.10 - SÉRIE NO 10 ........................................................................................................................................................ 332 8.11 - SÉRIE NO 11 ........................................................................................................................................................ 333 8.12 - SÉRIE NO 12 ........................................................................................................................................................ 334 8.13 - Prova 1 ................................................................................................................................................................. 335 8.14 - Prova 2 ................................................................................................................................................................. 338 8.15 - Prova 3 ................................................................................................................................................................. 339 8.16 - Prova 4 ................................................................................................................................................................. 340
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1 - INTRODUÇÃO
Informação Geral 1.1 -
Em “Principles of Laws of Nature”, de Dr. Werner Gitt, capítulo 2, publicado em
março de 2009, conceituam-se “leis” e/ou “principios da natureza”:
Lei da natureza:
Se a verdade de uma afirmação é verificada repetidamente de forma
reproduzível, de modo que é considerada como geralmente válida, então
temos uma lei natural. As estruturas e fenômenos encontrados no mundo
real podem ser descritos em termos das leis da natureza na forma de
princípios que são universalmente válidos. Isso vale tanto para o
desenvolvimento cronológico quanto para as relações estruturais internas.
As leis da natureza descrevem os fenômenos, eventos e resultados que
ocorrem na interação entre matéria e energia. Por estas razões, emoções
psicológicas como amor, luto ou alegria e questões filosóficas são excluídas
das ciências naturais. Declarações sobre eventos naturais podem ser
classificadas de acordo com o grau de certeza, a saber: modelos, teorias,
hipóteses, paradigmas, especulações e ficção.
Interessa-se por como representar o o fenômeno de as partículas de fluido se
moverem num determinado espaço. São feitos modelos físicos e matemáticos para dar a
correspondência matemática ao fenômeno físico, permitindo-se prever o que pode acontecer
sob determinadas circunstâncias. Tais modelos podem ser simples ou bastante complexos.
Assim, com as mesmas palavras daquele autor:
Modelo:
Modelos são representações da realidade. Somente as propriedades
mais importantes são refletidas e os aspectos menores ou não reconhecidos
não são cobertos. Modelos são importantes por causa de sua capacidade de
ilustrar. Um modelo é uma representação deliberada, mas simplificada da
realidade, e descreve as estruturas observadas de uma maneira
prontamente compreensível. É possível ter mais de um modelo para uma
dada realidade e, por ser por natureza provisório e simples, qualquer
Nos casos em que as tensões são causadas apenas pela pressão (como fluido
estático), 11 22 331P3
11 22 33 11 22 33 kk 11 22 33
11 22 33 11 22 33
1 12 D D D D P3 2
1 2 D D D 3 D D D P3
11 22 331 2 3 D D D P3
Como P resulta que 2 3 0 , ou
23
(válido para velocidades moderadas e para gases).
Como v 0 para um escoamento incompressível, v 0 , não tendo
influência, portanto, o coeficiente .
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Como o estado de tensões em um fluido em movimento de corpo rígido (incluindo
repouso) deve ser dado por um tensor isotrópico, é natural que, para um fluido em movimento
(geral) o tensor de tensões seja decomposto em duas partes: uma que depende das taxas de
deformações do fluido e outra que não depende explicitamente delas:
PI ou ij ij ij
tensor tensor pressãode de (não depende)tensões tensões
viscosas(depende)
P
Tem-se, também, v I 2 D e
11 22 33 11 22 331 1 2 3 D D D P3 3
Logo, se ijD 0 , P não é a tensão normal compressiva totalem qualquer plano
considerado, nem também a tensão média compressiva normal, pois
11 kk 11 12 12
22 kk 22 13 13
33 kk 33 23 23
P D 2 D T 2 DP D 2 D T 2 DP D 2 D T 2 D
Se ijD 0 (líquido em repouso), P é a tensão normal total em qualquer plano
passando pelo ponto.
3.3.1 - Interpretação de
Considere-se um escoamento viscoso, cujo campo de velocidades é dado, sem
perda de generalidade, por
1 1 2 2 3 1 2 3v v x , v 0 e v 0, com x : x ,x ,x .
Para esse escoamento, se j iij
i j
v v1D2 x x
:
11 21 31
12 22 32
13 23 33
D 0 D 0 D 0D 0 D 0 D 0D 0 D 0 D 0
`e, daí 112 21
2
v1D D2 x
.
Como 2 D v I e 31 2
1 2 3
vv vv 0x x x
. Segue-se que
ij ij2 D . Então,
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João Roberto Barbosa 122
111 11 21 21 31
2
112 12 22 32
2
13 13 23 33 33
v2 D 0 2 D 0x
v2 D 0 0x
2 D 0 0 2 D 0
Apenas 112 21
2
v 0x
. Segue-se que é a constante de proporcionalidade
entre a tensão de cizalhamento 12 e o gradiente de velocidade, isto é, é o “coeficiente de
viscosidade”.
Como PI e ij ij ij ij2 D v P , tem-se:
11 11 21 12 31 13
12 21 12 22 22 32 23
13 31 13 23 32 23 33 33
P v 2 D 2 D 2 D2 D P v 2 D 2 D2 D 2 D P v 2 D
P, na expressão acima, é chamada de Pressão. Esse termo é ambíguo pois se
ijD 0 , P não é nem a tensão normal compressiva (a menos que 0 ), nem a tensão média
compressiva ii13 .
Deve-se lembrar que ijP é apenas a parte de ij que não depende
explicitamente das taxas de deformação.
Se 23
, ii
BULK VISCOSITYCOEFFICIENTcoeficiente deviscosidade global
2P D3
Obs.: alguns autores definem como “bulk viscosity coefficient” apenas o
coeficiente , associado à variação volumétrica (coeficiente de viscosidade volumétrica).
Fica claro, portanto, que a pressão não é a tensão normal média.
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Equações de Navier-Stokes 3.4 -
São resultado dos trabalhos de Claude Louis Marie Henri Navier (1785- 1836) e
Sir George.G. Stokes (1819- 1903), que a história diz terem trabalhado separadamente no
mesmo assunto...
São as equações (escalares) de conservação da quantidade de movimento obtidas a
partir da equação geral
( v) ( vv) P g 0t
,
com 2 D v I .
Observação importante: muitas vezes as equações equações de Navier-Stokes
são confundidas com o sistema de equações composto pelas equações de conservação: de
quantidade de movimento e de massa, (e, em alguns casos, quantidade de movimento, de
massa e de energia).
Deve-se ter em mente que as equações até agora deduzidas se referem a
escoamentos laminares, que são escoamentos “ordenados”, em que as partículas de fluido se
movem em camadas, ou lâminas, “escorregando” sobre partículas de lâminas adjacentes, sem
se misturar com elas.
Esse tipo de escoamento pode ser observado quando a velocidade v é pequana.
Em velocidades “elevadas”, partículas de camadas adjacentes se misturam aleatoriamente e,
portanto, o escoamento não é mais laminar: passa a chamar-se escoamento turbulento, que
não é estudado neste curso.
Neste curso os escoamentos a serem considerados serão laminares, a menos que
expressamente indicado em contrário.
As equações de Navier-Stokes são, portanto, as formas escalares obtidas de
( v) ( vv) P g 0t
ou
( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t
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Mostra-se, também, que de ( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t
pode-se chegar a Dv P 2 D ( v)I g 0Dt
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Equações relevantes para solução numérica das 3.5 -
equações de Navier-Stokes
Embora a disciplina ME-210 não inclua no seu conteúdo métodos numéricos para
solução dos problemas diferenciais associados a escoamentos de fluidos em geral e,
especialmente, de fluidos newtonianos, este capítulo tem a intenção de introduzir o estudante
a tal estudo, apresentando uma das formas usuais em que são escritas as equações de
conservação (de massa, de quantidade de movimento, de energia), bem como de equações
constitutivas e termodinâmicas, necessárias para se chegar a um sistema possível determinado
(número de equações igual ao número de incógnitas).
Nada será registrado a respeito dos métodos numéricos, pois este assunto deve ser
objetivo de outras disciplinas.
Assim, um sistema constituído pelas 7 equações:
Conservação de massa (1 equação)
Conservação da quantidade de movimento linear (3 equações)
Conservação da energia - Primeira Lei da Termodinâmica - (1 equação)
Constitutiva do fluido - equação de estado – (1 equação)
Equação termodinâmica (1 equação)
com as 7 incógnitas
1. (densidade) 1 incógnita
2. iv (componentes das velocidades nas 3 direções) 3 incógnitas
3. P (pressão) 1 incógnita
4. E (energia interna) 1 incógnita
5. T (temperatura) 1 incógnita
pode ser estudado e, para tanto, serão utilizadas as seguintes equações (já desenvolvidas):
1) Conservação de massa (1 equação):
( v) 0
t 2) Conservação da quantiade de movimento (3 equações):
( v) ( vv) P g 0t
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João Roberto Barbosa 126
Como foi desenvolvida, a única força de campo considerada foi a gravitacional.
Entretanto, e especialmente visando aos problemas a serem resolvidos ligados a máquinas de
fluxo, no lugar de g será utilizado um símbolo mais genérico (forças de campo ou de corpo)
1 3 3F: F ,F ,F , que pode levar em conta, por exemplo, acelerações causadas pela rotação da
partícula de fluido ao redor de algum eixo da máquina. Desta forma, a equação a ser
considerada é:
( v) ( vv) P F 0t
3) Conservação da energia, sem transferência de calor e sem geração de energia (1
equação): 2 2
VC SC VC SC
v v(e )dV (e )(v n)dS g vdV ( Pv v) ndS 0t 2 2
que, por razões análogas, fica:
2 2
VC SC VC SC
v v(e )dV (e )(v n)dS F vdV ( Pv v) ndS 0t 2 2
4) Equação termodinâmica (1 equação)
Ve C T
É imediato que se possam extrair as equações algébricas correspondentes, já
isolando no primeiro termo as componentes de DDt
, por conveniência:
kk
v 0t x
iji k i i
k i j
Pv v v Ft x x x
i i k i i i i i ij jk i i i i
1 1 Te v v v e v v Fv Pv v kt 2 x 2 x x x x
Pode-se notar que todas essas equações, por constituição, são da forma
(conservativa):
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João Roberto Barbosa 127
i
i
GV Jt x
, isto é, 31 2 GG GV J
t x y z
, em que
T
1 2 3 i i1V , v , v , v , e v v2
, t i i
1e e v v2
T
1 2 3 i iJ 0, F , F , F , v F
i
1 i 1i 1i
2 i 2i 2ii
3 i 3i 3i
i i i i j iji
vv v Pv v P
Gv v P
1 Te v v v Pv k v2 x
. Esta matriz contém os fluxos
de massa, quantidade de movimento e de energia e, por isso, é usualmente chamada de matriz
de fluxos.
Fazendo a mudança de variáveis T1, 2, 3 1 2 3q q ,q ,q v , v , v tem-se, para
G:
i
1 i 1i 1i
2 i 2i 2ii
3 i 3i 3i
i i i i j iji
vq v Pq v P
Gq v P
1 1 T 1e v v q Pq k q2 x
Assim,
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João Roberto Barbosa 128
1
1 1 11
2 1 211
3 1 31
i i 1 1 1 11 2 12 3 131
q1 q q P
1 q qG
1 q q
1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x
2
1 2 12
2 2 222
3 2 32
i i 2 2 1 21 2 22 3 232
q1 q q
1 q q PG
1 q q
1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x
3
1 3 13
2 3 233
3 3 33
i i i 3 1 31 2 32 3 333
q1 q q
1 q qG
1 q q P
1 1 T 1e v v q Pq k q q q2 x
Definindo energia total por unidade de volume da partícula:
2i i i
1 1E e v v e v2 2
, i tE e , tem-se, para G:
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João Roberto Barbosa 129
1
1 1 11
2 1 211
3 1 31
1 1 11 2 12 3 131
q1 q q P
1 q qG
1 q q
1 T 1E P q k q q qx
2
1 2 12
2 2 222
3 2 32
2 1 21 2 22 3 232
q1 q q
1 q q PG
1 q q
1 T 1E P q k q q qx
3
1 3 13
2 3 233
3 3 33
3 1 31 2 32 3 333
q1 q q
1 q qG
1 q q P
1 T 1E P q k q q qx
Desta forma, deve-se procurar solução 1 2 3,q ,q ,q ,E,P,T , portanto 7
incógnitas, com as 5 equações de conservação: 1 de massa, 3 de quantidade de movimento e 1
de energia e as outras duas (de estado e termodinâmica). A sexta equação que precisa ser
considerada é uma equação constitutiva do fluido (equação de estado), que, para os gases de
interesse, é a equação de estado dos gases perfeitos P RT . Nesta forma, introduz-se uma
nova variável T. Mas, a energia interna, e portanto a energia total E, podem ser expressas em
função de T: ve C T , com v vC C T . Também podem-se ter k k T e T , que
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João Roberto Barbosa 130
podem ser obtidos das relações termodinâmicas ou a partir de polinômios especialmente
calculados para o fluido em análise.
Tem-se
P
V P
RC1
e C T C R T P 1 eP RT
ou
i i
2 2 2i i 1 2 3
1P 1 E v v21 1P 1 E q q 1 E q q q2 2
Assim, o sistema das 7 equações consideradas passa a ser possível e determinado.
Geralmente, quando se desenvolvem algoritmos (conjunto das regras e
procedimentos lógicos bem definidos que levam à solução de um problema em um número
finito de etapas) para solução numérica do sistema de equações de Navier-Stokes, primeiro se
obtém resultados considerando escoamento sem atrito e sem troca de calor e, então, o
problema completo (“viscoso”). Desta forma, é costume modificar a equação
31 2 GG GV Jt x y z
, separando a matriz G em duas outras, a primeira contendo as
partes “não viscosas” e as forças de campo (no exemplo abaixo foi considerado que o fluido
gira em torno do eixo z), e a segunda contendo as partes “viscosas” e de calor:
1 2 31v 2v 3vG G G G G GV J
t x y z
em que
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1
1 1
11
2 1 211 1v
31
3 11 11 2 12 3 13
1
1
q1 0q q P
1 q qG G
1 q q T 1k q q qx1 E P q
2
1 2
122 2
222 2v
323 2 32
1 21 2 22 3 232
2
q1 q q 0
1 q q PG G
1 q qT 1k q q qx
1 E P q
3
1 3
13
2 3 233 3v
33
3 31 31 2 32 3 33
3
3
q1 0q q
1 q qG G
1 q q P T 1k q q qx1 E P q
No caso do estudo do escoamento em passagens entre pás de máquinas de fluxo,
de grande interesse em aprimoramento de projetos de compressores e turbinas utilizados nas turbinas a gás, é conveniente que, no lugar das velocidades absolutas, se usem as relativas a um sistema não inercial, que gira com a máquina. Escolheu-se o eixo z coincidente com o eixo da máquina, mas poderia ser qualquer um dos 3 eixos coordenados.
A equação de conservação de massa é invariante quanto ao sistema considerado. As equações de Navier-Stokes precisam ser reformaladas (a dedução não será
apresentada nestas Notas de Aulas), passando a ser, com a consideração de aceleração centrípeta e aceleração de Coriolis
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João Roberto Barbosa 132
Na forma vetorial
( v) ( vv) P F 0t
F g r 2 v
aceleraçãoaceleração de Corioliscentrípeta
F
( v) ( vv) P g r 2 v 0t
Na forma escalar
iji k i ipq qjk p j k ijk j k
k i jaceleração aceleraçãocentrípeta de Coriolis
Pv v v r 2 vt x x x
e a ligação entre as velocidades absoluta e relativa é dada por
i i ijk j kabsoluta relativa tan gencial
V v r
e k k 1 2 3r r e xe ye ze é o vetor de posição.
2 1 2 3 3 1 1
3 2 3 1 1 2 2
1 3 1 2 2 3 3
r y x x z e
z y y x e
x z z y e
Usualmente a máquina gira em torno de um eixo. Se este for considerado o eixo z,
então 3 3e e
2 2 23 3 1 3 3 2 3 1 3 2 3 1 2r x e y e xe ye xe ye
Para a aceleração de Coriolis,
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 32 V 2 v v e v v e v v e 3 2 1 3 1 2 3 2 1 1 22 v 2 v e v e 2 v e v e
Portanto, a matriz F será:
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João Roberto Barbosa 133
aceleraçãoaceleração de Corioliscentrípeta
F g r 2 v
2x 1 y 2 z 3 3 1 2 3 2 1 1 2
aceleração aceleraçãocentrípeta de Coriolis
2 2x 3 3 2 1 y 3 3 1 2 z 3
F g e g e g e xe ye 2 v e v e
F g x 2 v e g y 2 v e g e
Para o caso especial de o eixo de rotação coincidir com o eixo 3e :
2 2x 3 3 2 1 y 3 3 1 2F g x 2 v e g y 2 v e
A matriz J fica, então:
2x 3 3 2
12
2 y 3 3 1
3
2 2i i1 x 3 3 2 1 y 3 3 1
00
g x 2 vFJ F g y 2 v
F 0v F
v g x 2 v v g y 2 v
Deve-se observar que as velocidades são as relativas ao sistema não inercial e que,
formalmente, as equações de conservação são idênticas às desenvolvidas para o sistema
inercial. Em termos das variáveis conservadas:
2x 3 3 2
12
2 y 3 3 1
3
i i2 2
1 x 3 3 2 1 y 3 3 1
0
2g x q0F
2J F g y qF
0v F
2 2v g x q v g y q
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João Roberto Barbosa 134
A figura acima indica as relações entre os sistemas inercial e não inercial. É de
caráter geral. No que foi apresentado relativamente às equações foi levado em conta um caso
comum, de interesse ao estudo das turbinas a gás:
a) As origens dos dois sistemas estão coindidentes
O eixo de rotação coincide com o eixo z (ou 3x )
b) A aceleração da origem dos sistemas é nula
c) A velocidade angular do eixo de rotação é constante.
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João Roberto Barbosa 135
Alguns tipos de escoamentos simplificados de interesse 3.6 -
Observando-se os tipos de escoamentos que ocorrem na natureza, alguns deles, de
ineresse prático, podem ser modelados de maneira simplificada. As equações resultantes
podem ser resolvidas analiticamente. Alguns desses escoamentos serão analizados a seguir.
Têm interesse como informações de referências para, por exemplo, validações de programas
computacionais para cálculo de escoamentos mais complexos.
3.6.1 - Escoamento de Couette plano
É um escoamento permanente, 1-D, sem gradiente de pressão na direção do
escoamento entre 2 placas planas paralelas infinitas, uma fixa e a outra se movendo com
velocidade constante 0v .
r r z zv v e v e v e
1 1
2
3
v v yv 0v 0
A equação de conservação da quantidade de movimento, na formageral, e:
( v) ( vv) P 2 D ( v)I g 0t
Levando-se em conta as hipóteses do escoamento de Couette plano:
( v) 0tv 0cons tan te
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João Roberto Barbosa 136
Admitindo-se, também, que cons tan te , tem-se
( vv) P 2 D g 0
Na direção x adicionalmente tem-se xg 0 , pois g está na direção y,
xP P 0x
por hipótese.
Então, na formaescalar, as equações de Navier-Stokes ficam:
2 2 21 1 1 1 1 1
1 2 3 x 2 2 2` 0 0` 0
0 0 0 0 0
v v v v v vPv v v g 0x y z x x y z
Por hipótese, 1 1 2 3v v y , v 0,v 0 e, portanto,
2 21 1 1 1
2 2v v v v0, 0, 0, 0x z x z
Com todas as simplificações introduzidas, resulta: 2
12v 0
y
e, portanto, 2
12v 0
y
, pois 0 . Segue-se que
21 1
1 1 1 22v v0 C v C y C
yy
Das condições de contorno, 1 1 0v y 0 0, e v y d v , vem
01 2 1 0 1 1
vv 0 0 C e v d v C d Cd
Assim, 01
vv yd
, isto é, v varia linearmente no canal entre as placas.
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João Roberto Barbosa 137
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3.6.2 - Escoamento de Poiseuille plano
É um escoamento permanente, 1-D, incompressível, viscoso, num canal formado
por duas placas planas paralelas infinitas, com gradiente de pressão na direção do escoamento.
r r z zv v e v e v e
1 1
2
3
v v yv 0v 0
Por facilidade, o sistema de coordenadas foi colocado na altura média do canal,
sem perda de generalidade.
Seguindo-se o mesmo procedimento para o cálculo do escoamento de Couette
Plano (A), tem-se, para as equações de Navier-Stokes na direção x:
2 2 21 1 1 1 1 1
1 2 3 x 2 2 2` 0 0` 0
0 0 0 0
v v v v v vPv v v g 0x y z x x y z
21
2vP 0
x y
21
2v 1 P
xy
11
v 1 P y Cy x
e
2
1 1 21 P yv C y C
x 2
(solução geral)
Impondo-se as condições de contorno:
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João Roberto Barbosa 139
2
1 1 2
2
1 1 2
1 P bv b 0 0 C b Cx 2
1 P bv b 0 0 C b Cx 2
Somando-se membro a membro estas duas equações resulta: 2 2
2 21 P b 1 P b0 2C C
x 2 2 x 2
Da simetria do escoamento em relação ao eixo x:
21
1 12 y 0y 0
v 1 P0 y C 0 C 0xy
. Portanto,
22
11 P y 1 Pv b
x 2 2 x
ou 2 21
1 Pv y b2 x
, isto é, a velocidade v varia de
forma parabólica em qualquer seção do canal.
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3.6.3 - Escoamento de Hagen-Poiseuille
É um escoamento permanente, 1-D, viscoso, com simetria axial, num cilindro
circular de comprimento infinito.
Nste exemplo, o cilindro é considerado inclinado em relação ao eixo x e paralelo em relação
ao plano x-z.
r r z zv v e v e v e
2 2 2r x y
A localização dos eixos coordenados (e mesmo a escolha do sistema de
coordenadas) escolhida é a seguinte:
Como há simetria axial do escoamento, o mesmo será calculado num plano
passando pelo eixo do cilindro. Neste caso, um sistema de coordenadas
cartezianas ortonormal (s.c.c.o.) é adequado.
Entretanto, a escolha de um sistema de coordenadas cilíndricas é mais
apropriado para a informação sobre v : r zv 0, v 0, v v r .
As 3 equações de Navier-Stokes simplificadas (por haver sido escolhido o s.c.c.o.:
2 2 21 1 1 1 1 1
1 2 3 x 2 2 2` 0 0
0 0 0 00 0
v v v v v vPv v v g 0 (1)x y z x x y z
2 2 22 2 2 2 2 2
2 3 y 2 2 201 ` 0 00 0 0 00 0
v v v v v vPv v v g 0 (2)x y z y x y z
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 142
2 2 23 3 3 3 3 3
1 2 3 Z 2 2 20 0
0 0
v v v v v vPv v v g 0 (3)x y z x x y z
Neste caso,
1 x
2 z
y3 3
v 0 g g.cosv 0 g g.sen
g 0v v x, y
Segue-se que
x
2 23 3
Z 2 2
P g 0 (1a)xP 0 (2a)y
v vP g 0 (3a)z x y
De (2a) segue-se que P não dependede y.
xP g g.cos (1b)x
2 23 3
2 2
2 23 3
2 2
v vP g.sen 0z x y
v vPou g.sen 0 (3b)z x y
De (1b): P g.cosx
e P g.cos 0
z x z
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João Roberto Barbosa 143
P P P0x z z x z
não depende de x.
De (3b): 2 2
3 3Z 2 2
2 23 3
2 2
2 23 3
2 2
independe de z
0
v vP g 0z x y
v vPg.sen 0z z x y
v vP g.sen 0z z z x y
e, portanto, P P0
z z z
independe de z.
Como há simetria axial, também Pz
independe de y. Então P
z
é constante e
pode ser calculado a partir de pressões em 2 pontos distintos, em pontos num segmento
paralelo ao eixo do cilindro: A b
AB
P PPz L
Solução do escoamento:
De (3a):
2 23 3
Z 2 2
2 23 3
2 2
v vP g 0z x y
v v 1 P g.senzx y
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João Roberto Barbosa 144
O seguno membro desta equação é constante: 1 P g.sen
z
; daí,
2 23 3
2 2v v
x y
. A solução desta equação é simplificada se for utilizado um sisteme de
coordenadas cilíndricas. Para isto, observar que:
2 2
3 3 3 332 2
v v (r) v vr xv (r)x x x r x x r rx x
23 3 3 3v v v v1 1 r 1 x 1x
r r r r r x r r r r r r
,
isto é, 2 2
3 3 3
2
v v v1 x 1x r r r r r r
Analogamente, 2 2
3 3 3
2
v v v1 y 1y r r r r r r
. Daí,
2 2 2 23 3 3 3
2 2
v v v v2 x y 1x y r r r r r r
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 22 2
v v v v v v v v v2 1 2 1 1 1r rx y r r r r r r r r r r rr r r
Então, 2
3 32
v v1 (3d)r r r
Entretanto,
23 3 3
2v v v1 1 r
r r r r rr
e, daí, 3v1 r (3e)r r r
, equação
que, integrada, vem
3
23
1
vr rr r
v rr Cr 2
3 1v Crr 2 r
, para r 0 (eixo do cilindro).
2
3 1 2rv C ln r C4
(solução geral)
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João Roberto Barbosa 145
As constantes 1C e 2C são obtidas para que as condições de contorno sejam
satisfeitas.
1C : para deerminar 1C pode-se levar em consideração que a velocidade 3v é
finita em todo o campo. Assim, para r 0 (eixo z) deve-se ter 1C =0, pois ln r 0 .
Segue-se que 1C =0. Poderia, também, ser levada em conta a simetria do escoamento em
relação ao eixo z: 3
r 0
v 0r
.
3 1
r 0 r 0
v Cr 0r 2 r
e, de novo, 1C =0.
Para se determinar 2C :
dv 02
pois a velocidade nas paredes do tubo é nula, pela condição de
aderência:
2
2
2
2
2 2
rv v r C4
dd d2v 0 C C2 4 16
Então, 2 2 2
2r d dv v r r4 16 4 4
. Assim, finalmente,
2
21 P dv v r g.sen r4 z 4
isto é, v tem um “perfil parabólico” em qualquer seção transversal do tubo: a forma do perfil
de velocidades é a de um parabolóide de revolução.
Pode-se também afirmar que
a velocidade máxima do escoamento se dá no eixo do tubo (mostrar) e vale: 2
2máx
1 P 1 P dv g.sen d g.sen16 z 4 z 2
.
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João Roberto Barbosa 146
Também, 2 2
2 22
22máx
1 P d 1 dg.sen r r4 z 2 4 2v r111 Pv Rdg.sen d
1616 z
, com dR2
.
A velocidade média do escoamento, definida por 2
3
S
1 dv vdS A v vA 4
será
d 2222
2 r 0 0
d 222
2 r 0
d24 2 2
20
2
1 1 P dv g.sen r rdrd4 z 2d
4
2 1 P dg.sen r rdr4 z 2d
4
2 P r d rg.senz 4 2 2d
2 P g.senzd
4
4
2
d24
1 P dg.senz 22 d
Então,
4 2
21 P d 1 P dv g.sen g.sen
z 2 8 z 2d2x42
, isto é,
máx1v v2
A vazão no tubo:
3
S S S S
m v dS v dS vdS v dS
2 21 P d dg.sen8 z 2 4
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22P d Pg.sen g.sen R
32 z 2 32 z
4P g.sen d128 z
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3.6.4 - Escoamento de Couette numa região anular
É um escoamento permanente, 2-D, incompressível, entre 2 cilindros coaxiais de
comprimento infinito, causado pela rotação dos cilindros com velocidades angulares
constntes. É uma aproximação ao escoamento num mancal hidrodinâmico.
O escoamento tem simetria axial.
Tem-se:
r r z zv v e v e v e
rv 0
v v r (não depende de )
zv 0
Adota-se um s.c.clíndrico em função da geometria do escoamento.
A componente das equações de Navier-Stokes na direção é: 0
rr z0 0
` 0 0 0
2 2 2r
2 2 2 2 2 2
0 0` 0 0
v v v v v v vv vt r r z r
v v v v vv1 P 1 1 2gr r rr r z r r
Após as simplificações indicadas tem-se: 2
2 2v v v10 g
r rr r
Rescrevendo de modo apropriado:
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João Roberto Barbosa 150
2
2 2v v v1 g
r rr r
Multiplicando-se membro a membro esta equação por 2r resulta 2
2 22v vr r v g r
rr
Sabe-se que hBv Arr
é uma solução da equação diferencial homogênea
associada e que 2P
g1v r3
é uma solução particular da equação completa. Então,
2g1 Bv r Ar3 r
é a solução geral.
Para cada um dos cilindros tem-se as condições de contorno:
1
2
21 1 1 1
1
22 2 2 2
2
g1 Bv r r Ar (A)3 r
g1 Bv r r Ar (B)3 r
`
Multiplicando-se a primeira equação por 2r e a segunda por 1r tem-se:
21 1 2 1 2 1 2 2
1
22 2 1 2 1 2 1 1
2
g1 Br r r r Ar r r3 r
g1 Br r r r Ar r r3 r
Subtraindo membro a membro estas equações resulta:
2 22 1
2 1 1 2 1 2 2 11 2
g r r1r r r r r r B3 r r
. Isolando B,
2 2
1 22 1 2 12 2
2 1
gr r 1B r r3r r
21 1 1
1 1
1 1 21
g1 1 BA r r `r 3 r
g1 Br3 r
2 2
1 21 1 2 1 2 12 2 2
2 1 1
g gr r1 1 1A r r r3 3r r r
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João Roberto Barbosa 151
2 22 2
1 2 1 12 22 12 1
gr r1 r3 r rr r
2 2 2 22 2 1 2
2 1 12 2 22 12 1 2
gr r r r11 r3 r rr r r
2 2 22 1 2
2 1 12 2 22 12 1 2
gr r r1 r3 r rr r r
ou 2 2 2
2 2 1 1 212 2
2 12 1
gr r r1A r3 r rr r
Segue-se que a solução do problema será:
2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 1 21 1 2 2 12 2 2 2
2 12 1 2 1
g g gr r r r r1 1 1 1v r r r r r r3 3 r r 3 rr r r r
Na ausência de forças de campo, g 0 e, daí,
2 22 2 1 1
2 22 1
r rAr r
2 2
1 21 22 2
2 1
r rBr r
Também, r zv 0 e v 0 .
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João Roberto Barbosa 152
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João Roberto Barbosa 153
3.6.5 - Escoamento de Hagen-Poiseuille entre 2 tubos
concêntricos inclinados
É um escoamento permanente, viscoso, de simetria axial, no canal formado por 2
tubos concêntricos, com gradiente de pressão ao longo do canal.
Tem-se:
1 1 2 2 3 3v v e v e v e
r 1v 0 v 0
2v 0 v 0 (não depende de )
z z 3 3 1 2v v r v v x ,x
1xg g.cos
2xg 0 (perpendicular ao plano da figura)
3xg g.sen
As 3 equações de Navier-Stokes num s.c.c.o. são:
1
2 2 21 1 1 1 1 1
1 2 3 x 2 2 21 2 3 1 1 2 3` 0 0
0 0 0 0 0 0
v v v v v vPv v v g 0 (A)x x x x x x x
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João Roberto Barbosa 154
2
2 2 22 2 2 2 2 2
1 2 3 x 2 2 21 2 3 2 1 2 30 ` 01 0
0 0 0 0 0 0
v v v v v vPv v v g 0 (B)x x x x x x x
3
2 2 23 3 3 3 3 3
1 2 3 x 2 2 21 2 3 3 1 2 30 0
0 0
v v v v v vPv v v g 0 (C)x x x x x x x
Após as simplificações indicadas tem-se:
1 1
3
x x1 1
2 22 2 2 2
3 3 3 3x 2 2 2 2
3 31 2 1 2
P P(A1) g 0 g g.cosx x
P P(B1) 0 0x x
v v v vP P(C1) g 0 g.senx xx x x x
De (A1): 3 1 1 3
P P 0x x x x
pois
3 3
Pg.cos 0x x
não
depende de 1x .
De (B1): 3 2 2 3
P P 0x x x x
pois
2 3
P P0x x
não depende de 2x .
De (C1):
3
3
3
2 23 3
2 23 3 3 31 2
v não dependede x
não dependede x
v vP Pg.sen 0x x x xx x
não depende
de 3x .
Logo, 3
Px
é constante e pode ser “medido” a partir da medição de pressões entre
2 pontos quaisquer numa reta paralela ao eixo de concentricidade.
A b
3 AB
P PP P constx L L
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João Roberto Barbosa 155
Portanto, a equação (C1) se reduz a 2 2
3 32 21 2
v vP g.senL x x
.
Pondo2 2
3 32 21 2
P g.sen v vL vemx x
, que é a equação de Poisson,
ainda a ser resolvida.
A solução geral, já obtidana solução do problema de Hagen-Poiseuille para um
tubo inclinado, é: 2
3 1 2rv C ln r C4
. As constantes 1C e 2C podem ser obtidas a partir
da imposição das condições de contorno: 3 1v r 0 e 3 2v r 0 (aderência).
21
1 1 2
22
1 2 2
2 22 2
1 2 1
r0 C ln r C4r0 C ln r C4r r0 C ln r ln r
4
Daí
2 2 2 22 2 2 2
12 1 2
1
r r r r4Cln r ln r 4 rln
r
2 2 2 2 22 22 2 2 2 2
2 1 2 2 2 2 22 2
1 1
r r r r r1 1C C ln r r ln r ln r r4 4 4 4r rln ln
r r
Segue-se que
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João Roberto Barbosa 156
2 2 2 22 1 2 12 2
3 2 22 22
1 1
2 21 22 2
3 22 2
1
1 1r r r r1 14 4v r ln r r ln rr r4 4ln lnr r1 r r1 ln r4v r r r4 ln rln
r
A vazão em massa numa seção transversal é dada por:
3 3
S S S
m v dS v dS v dS
2 2
1 1
r 2 r
3 3r r 0 r r
m v rdrd 2 v rdr
2
1
2 2
1 1
2 2r 1 22 2
2r r 2 2
1
r r2 22 22 1 22
2 2r r r1
1 r r1 ln r4m 2 r r rdrr4 ln rlnr
r r2 r r ln rm r r drr4 4 2 ln rlnr
Como 2 2
1 1
r r
2 2r r r r
ln r ln rr dr rdrln r ln r
, fazendo integração por partes tomand rdr=dv:
2
2 2
ln r r ln r 1rdrln r 2 ln r r
vem:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
2 2
1
r r r r r r r r r r rm lnr2 4 2 4 2 2 r 4 4lnr
2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 1 1 2 1
1 22
1
r r r rr r r r rm r r r8 4 4 2 2 4lnr
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João Roberto Barbosa 157
2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 1 1 2 1
1 22
1
r r r rr r r r rm r r r2 4 4 2 2 4lnr
22 2
1 22 22 1
2
1
r rm r r r8 ln
r
Então,
22 21 22 2
2 12
1
P g.sen r rLm r r r8 lnr
A velocidade máxima do escoamento é calculada a partir da condição 3v 0r
,
isto é:
2 2
1 22 23 2
2 2
1
1 r r1 ln r4v r r r4 ln rlnr
2 2
1 2 23
2
21
11 r rv 1 4 rr 0r rr 2 lnrr
2 21 23
2
1
r rv 12r 0rr rlnr
, de que resulta:
2 22 1
22
1
r rrr2 lnr
para a velocidade
máxima.
Observar que a velocidade máxima não ocorre no meio do canal mas, sim,
próxima do cilindro interno!
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João Roberto Barbosa 158
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João Roberto Barbosa 159
3.6.6 - Escoamento entre 2 placas planas paralelas,
infinitas, movendo-se com velocidades sv e iv
Para simplificação de cálculos a origem do sistema de coordenadas cartesianas
ortonormal foi colocado na altura média do canal entre as 2 placas.
1 1 2 1 2 1 2 2v v x ,x e v x ,x e
'1 1 1 2 1 2
2 2 1 2
1 s s 1
1 i i 1
v v x , x v x
v v x , x 0
v x ,h v v e
v x , h v v e
As equações de Navier-Stokes são:
1
2 21 1 1 1
1 2 x 2 21 2 1 1 20 ` 0
0 0
v v v vPv v g 0 (A)x x x x x
2
2 22 2 2 2
1 2 x 2 21 2 2 1 2` 0
0 0 0 0
v v v vPv v g 0 (B)x x x x x
Após as simplificações indicadas e utilizando a notação
1 2 x yx x y x g 0 g g
De (A): 2 2
1 12 2v vP 1 P0 (A1)
x xy y
De (B) P P0 g g (B1)y y
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João Roberto Barbosa 160
De (B1) vem 1P gy C e como em y=0 tem-se 0 0P P P P gy .
De (A1): Para um gradiente constante de pressão na direção x, Px
,
1 P K (cons tan te)x
. Então
21
2
11
2
1 1 2
v 1 P kxy
v ky Cy
yv k C y C2
Como
2
1 s 1 2
2
1 i 1 2
hv h v k C h C2hv h v k C h C2
, subtraindo-se membro a
membro estas equações, obtém-se: s is i 1 1
v vv v 2C h C2h
e de
2
s 1 2
2 2s i
2 s 1 s
2s i
2 s
hv k C h C2
v vh hC v k C h v k h2 2 2h
v vhC v k2 2
Portanto, 2 2
s i s iv v v vh hv k y k2 2h 2 2
, ou
2 2 s i s iv v v vkv y h y2 2h 2
2 2 s i s i s sv v v v 2v 2vkv y h y2 2h 2
2 2 s is
v vk 1v y h y h v2 2 h
Finalmente, 2 2 s is
v v1 1v k y h y h v2 2 h
, de que se conclui que o
escoamento tem um perfil parabólico.
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João Roberto Barbosa 161
Casos particulares:
a) Poiseuille plano:
2 2s i
1v v 0 v k y h2
b) Couette plano:
2 2 si s s
v1 1v 0 e v 0 v v k y h y h2 2 h
2 2 2 2s ss s
v v1 1 1 1 1v v k y h y v k y h y h2 2 h 2 2 2 h
Se k=0, sv1v y h2 h
A velocidade máxima é calculada a partir de v 0y
.
s i s iv v v vv 1ky 0 yy 2 h 2hk
22s i s i s i
máx sv v v v v v1 1v k h h v
2 2hk 2 h 2hk
2 4 2 2
s i s is imáx s 2 2
v v 4h k v v 2h kv v1 1v v k2 2 h 2hk4h k
A velocidade máxima não ocorre, necessariamente, na posição média do canal.
No caso particular de 2 2s i máx
1 1 Pv v 0 v k h h2 2 x
, como no caso
do escoamento de Poiseuille plano!
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João Roberto Barbosa 162
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3.6.7 - Escoamento entre dois tubos concêntricos com
velocidades iv e ev , sujeito a gradiente de pressão
Considere-se escoamento com simetria axial:
r r 2 z zv v e v e v e
r
z z
z
v 0v 0v v rg 0g g.seng g.cos
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas são: ` 0
2r r r r
r z0
0` 0 0 0 0
v vv v v vv vt r r z r
` 0
2 2 2 2r r r r r
r 2 2 2 2 2 2
0 0` 0 ` 0 0
vv v v v v1 P 1 1 2g (A)r r r rr r z r r
` 0 0
rr z0
` 0 0 0 0
v v v v v v vv vt r r z r
` 02 2 2 2
r2 2 2 2 2 2
0 ` 0 00 ` 0 0
v v v v vv1 P 1 1 2g (B)r r rr r z r r
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João Roberto Barbosa 164
` 0
z z z zr z0
` 0 0 0
vv v v vv vt r r z
2 2 2z z z z
z 2 2 2 2
` 0 0
v v v v1 P 1 1g (C)r z r rr r z
Após as simplificações indicadas,
r
2z z
z 2
1 P0 g (A1)r
1 P0 g (B1)r
v v1 P 10 g (C1)z r rr
Pondo z
1 P gz
e como 2
z z z2
v v v1 1 rr z r r rz
tem-se
zv1 rr r r
, de onde se obtém 2
z 1 21v r C ln r C4
(solução geral).
As condições de contorno permitem calcular 1 2C e C :
2z i i i 1 i 2
2z e e e 1 e 2
1v r v r C ln r C (1)41v r v r C ln r C (2)4
Subtraindo-se membro a membro (1) de (2) vem:
2 2e i e i
1e
i
1 r r v v4C rln
r
De (2) vem 2 2
e i e i22 e e e
e
i
1v v r r1 4C v r ln rr4 lnr
e, portanto, a solução
será:
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João Roberto Barbosa 165
2 2
e i e i2 2z z e e
e e
i
1v v r r1 r4v v r v r r lnr4 rlnr
No caso particular de e iv v 0 , recai-se no problema de Hagen-Poiseuille:
2 2
e i2 2z z e
e e
i
1 r r1 r4v v r r r lnr4 rlnr
Para apenas o tubo interno se movendo:
2 2
i e i2 2z z e
e e
i
1v r r1 r4v v r r r lnr4 rlnr
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João Roberto Barbosa 166
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João Roberto Barbosa 167
3.6.8 - Escoamento num espaço estreito formado por duas
paredes não paralelas
Uma dessas paredes é fixa e a outra se move à velocidade 10v . A distância h entre
as duas paredes varia com 1x .
Hipóteses:
1) escoamento 2-D
2) 2v 0 (escoamento sõ na direção 1x - portanto o ângulo deve ser muito
pequeno)
De 2(v) P g v 0t
vem 2 2
1 1 12 2
1 1 2
v v vP 0t x x x
3) Regime permanente
2 21 1
2 21 1 2
v vP0 0 (1)t x x x
4) h 01
L (ordem de grandeza dos parâmetros envlvidos na equação (1)
2 21 1
2 21 1 2
v vP0 0 (1)t x x x
210 101 1
2 2 2 21 1 1 1
2 222 110 101 1
2 22 2
v vv vO Ox L x L v v
x xv vv vO Ox h x h
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João Roberto Barbosa 168
21
21 2
vP 0 (2)x x
5) Condições de contorno:
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2
'1 1 2 1 2 '
1 2 12 1 2
v v x , x v x , x e v x , x e
v x , x v xv v x e
v x , x 0
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2
'1 1 2 1 2 '
1 2 12 1 2
'1 10'1 1
2 2 2
v v x , x v x , x e v x , x e
v x , x v xv v x e
v x , x 0
v 0 v (parte inf erior se move)
v h x 0 (parte superior está parada)
P 0, x P L, x 0 (não há efeito de pontas) x
Solução:
Integrando-se (2) na direção 2x :
12 1
1 222
1 1 2 21
22
1 1 2 21
vP x C 0x x
xP v C x C 0x 2
x1 Pv C x Cx 2
Como
21
1 1 1 1 101
21
101
11
h x1 Pv h x 0 0 C h x vx 2
h xP vx 2e C
h x
Logo
21
101
11
2102
1 1 2 2 101 1 1
h xP vx 2C
h x
vx1 P 1 Pv h x x x vx 2 2 x h x
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João Roberto Barbosa 169
22 2 21 1 2 10 1
1 1 1 1
x x x1 Pv v x v 1 h x 1h x 2 x h x h x
para cada 1x .
A vazão de fluido pela fenda é calculada por
1
2
1
2
1
h(x )
1 2 2
S x 0
h(x )22 2 2
10 1 21 1 1 1x 0
h x2 3 2
22 2 210 2 10 12
1 1 11 0
21
10 1 10
m v dS l v x dx
x x x1 Pl v 1 h x 1 dxh x 2 x h x h x
x x x1 Pl v x v h x2h x 2 x 2h x3h x
h xl v h x v
3 31 12
1 21 1 11
1 1 1210 1 10 1
1
312
10 1 11
h x h x1 P h x2h x 2 x 2h x3h x
h x h x h x1 Pl v h x v h x2 2 x 3 2
h x1 1 P 1 1l v h x h x2 2 x 3 2 2
1 12
10 1 10 1 11
h x h x1 1 Pm l v h x v h x h x2 2 x 3 2
310 1 1
1
1 1 Pm l v h x h x2 12 x
Como m é constante, então
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João Roberto Barbosa 170
10 1
103 2 31 1 1 1
1 mv h xP 1 m 12 l 6 v 12x lh x h x h x
12
10
2 31 1 1
mvP l6 2 (3)
x h x h x
Integrando-se (3) na direção 1x :
1 1x x1 1
1 a 10 2 31 10 0
dx dxmP x P 6 v 12lh x h x
Para 1 a ax 0, P 0 P 0 P 0 P e para
1 a ax L, P L P 0 P L P
L L1 1
a 10 2 31 10 0
L L1 1
10 2 21 10 0
10L L1 1
3 31 10 0
dx dxmP L P 6 v 12lh x h x
dx dx6 vh x h x1m lv
2dx dx112l h x h x
Portanto, a vazão, como a distribuição de pressão, está fixada em função de
1h x :
0 Lxh h h hL
, tem-se Lxdh h h dxL
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João Roberto Barbosa 171
0
h xxh(x)1
2 2 00 L 0 L 0 L 00 h
0 0
0 L 0 0 0 L
dx L dh L L 1 11 hh h h h h h h(x) hh h
h h(x) h h(x)L Lh h h(x)h h(x)h h h
Assim, L
2L 00
dx Lh hh
Também,
0
h(x)h xx 2
3 3 2 200 L 0 L 0 L 00 h
0 L2 2
0 L
hdx L dh L 1 L 1 1h h h h 2 2 h hh h h (x) h
h h12 h h
Segue-se que 0 L 0 L10 10
0 L 0 L2 2
0 L
Lh h h h1m lv lvh h12 h h
2 h h
, ou seja, 0 L10
0 L
h hm lvh h
.
A distribuição de pressão pode ser calculada de:
1 1x x1 1
1 a 10 2 31 10 0
2 20 1 0 1L 0
a 10 10 2 21 0 0 L L 0 0 L 1 0
2 20 1 0 1L
a 10 20 L 0 1 L 0 1
0 1 La 10
0 0 L 1 L
dx dxmP x P 6 v 12lh x h x
h h x h h xh hL 1 LP 6 v 12 vh x h h h h h 2 h h h x h
h h x h h xhLP 6 vh h h h x h h h x
h h x hLP 6 v 1h h h h x h h
0 1
0 1
h h xh x
Então
0 1 0 1L
1 a 100 0 L 1 L 0 1
h h x h h xhLP x P 6 v 1h h h h x h h h x
.
Como
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João Roberto Barbosa 172
0 L11 0 0 L 1 0 1
0 L0 1 1
0 L10 1 0 0 L 0 1
h hxh x h h h h x h xL Lh hh h x x
Lh hxh h x 2h h h 2h x
L L
,vem
0 L 0 L1 0 1
L1 a 10
0 L 0 L0 0 L L 00 1 0 1
h h h hx 2h xhL L LP x P 6 v 1h h h hh h h h hh x h xL L
0 L0 1
1 L1 a 10
0 L0 L L 00 10 0 1
h h2h xx h LP x P 6 v 1 h hh h h h h xh h xLL
Notar, também, que, se 0 Lh h resulta 1 aP x P , como esperado.
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João Roberto Barbosa 173
4 - ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS
Conceitos fundamentais 4.1 -
Definição: Vorticidade do escoamento é o vetor dado por v .
Definição: Velocidade angular de uma partícula é o vetor que represeenta a
rotação de corpo rígido de uma partícula. 1 v2
.
Tem-se, então, 2 .
Como já foi mostrado, pode-se escrever:
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
v vv v v v1 1 1e e e2 x x 2 x x 2 x x
Então,
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
v vv v v v2 e e ex x x x x x
, ou
ki ijk
j
v i 1,2,3x
O tensor R de rotação é dado por t
ij i j1R v v R e e2
e está associado a
e a por 1Rr r 2 r2
Definição: Escoamento irrotacional é aquele em que 0 , isto é, se v 0
ou se 0 ou se R 0 .
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João Roberto Barbosa 174
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João Roberto Barbosa 175
Escoamentos Potenciais – soluções analíticas das 4.2 -
equações de Navier-Stokes
Seja 31: T , , R 0, t R R uma função real e seja v um campo de
velociddes definido sobre T tal que 2
1 2 31 2 3
ii
C ;
v v v , isto é, vx x x
daí, v , i 1,2,3.x
Então,
3 21
2 3 2 3 3 2
312
3 1 3 1 1 3
2 13
1 2 1 2 2 1
v v 0x x x x x x
vv 0x x x x x x
v v 0x x x x x x
e, portanto, a vorticidade é nula: 1 1 2 2 3 3e e e 0 .
A função 1 2 3: x , x , x , t define um campo de velocidades tal que 0 , isto é,
um escoamento irrotacional.
Deve-se observar que nem todas as funções 1 2 3: x , x , x , t definem um campo
de velocidades que é fisicamente possível.
A função 1 2 3: x , x , x , t deve satisfazer certos requisitos para que a equação
da continuidade seja verificada. Para fluidos incompressívels, v 0 e, então,
20 0 0 (equação de Laplace), ou seja, a função potencial de
velocidade 1 2 3: x , x , x , t deve datisfazer a equação de Laplace, 2 0 .
É prepciso saber se escoamentos irrotacionais são dinamicamente possívels (tanto
viscocos como não viscosos).
Caso 1: Escoamento irrotacional de um fluido incompressível, não viscoso, de
densidade homogênea.
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João Roberto Barbosa 176
A diádica de tensões 0 0não incompvisc
2 D v P I
se reduz a
ij ijPI P .
A equação de conservação da quantidade de movimento é dada por
0invisc
Dv g PDt
ou Dv g P Equação de EulerDt
i ij i
j i
v v Pv gt x x
Se existir um potencial G tal que ii
Ggx
, então
ii i i i i
i
1 P 1 P G P Ggx x x x x
P Gx
Então i ij
j i
v v Pv Gt x x
.
O termo ij
j
vvdx
pode ser alterado para levar em consideração a irrotaciionalidade:
ji
j i
vvdx dx
e, assim, j 2 2i
j j j j j jj i i i
vv 1 1v v v v v , pois v v vx x 2 x 2 x
Como ij
i i i
vv ex t t x x t
, vem:
2
i i i
1 vx t 2 x x t
ou 2
i
1 Pv G 0x t 2
, isto é, os
termos (soma) entre colchetesnão dependem de ix , i 1,2,3. Só podem, portanto, depender
de t. Assim,
21 Pv G f tt 2
Esta equação é chamada de Equação de Bernoulli generalizada.
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João Roberto Barbosa 177
No caso particular de escoamento permanente, 21 Pv G const2
, que é
conhecida como Equação de Bernoulli.
O potencial G pode ser detrminado imediatamente se considerarmos
g g z gz , isto é, G=gz.
Segue-se que 21 Pv gz const2
, em que, no caso, g gz !
A equação de Bernoulli é uma equação (fórmula...?) muito útil em problemas
em que a viscosidade pode ser desprezada.
A dedução acima mostrou que escoamentos irrotacionais são dinamicamente
possíveis desde que as forças de campo sejam potenciais. No caso de as forças
de campo serem apenas a gravitacional, G=gz é o potencial aplicável.
Exercício: seja 3 21 2 3 1 2 3: x , x ,x , t x , x ,x x 3xy
a) Mostrar que satisfaz a equação de Laplace
b) Calcular o campo de velocidades irrotacional associado
c) Calculalr a distribuição de pressão para um fluido incompressível e homogêneo
se, para (0,0,0) tem-se 0P P e G=gz.
d) Se o plano y=0 é uma fronteira sólida, calculara a componente tangencial da
velocidade nesse plano.
Solução:
a)
22 2
2
2
2
2
2
3x 3y 6xx x
6xy 6xy y
0 0z z
Logo 2 6x 6x 0 0
b)
2 21
1
z
v 3x 3yx
v 6xyy
v 0z
,
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João Roberto Barbosa 178
então, 2 21 2v 3 y x e 6xye
c) Da equação de Bernoulli, 2
0
1 Pv g z const2
.
Em (0,0,0):
1
2
3
0
v 0v 0v 0P PG g.0 0
Portanto 2 0 0P P1 0 0 K K2
2 2 2 2 20 01 2 3
P P P1 P 1 1v gz v gz v v v gz2 2 2
2 22 20
22 2 2 2
24 2 2 4 2 2
4 2 2 4 2 2
4 2 2 4 4 2 2 4
22 2
P P 3x 3y 6xy gz2
9 x y 36x y gz2
9 x 2x y y 36x y gz2
9x 18x y 9y 36x y gz2
99x 18x y 9y gz x 2x y y gz2 29 9x y gz2
4r gz
2
Segue-se que 40
9P P r gz2
.
d) Se 2 21 2 3 1y 0 v 3x , v 0, v 0 e v 3x e ( v não tem
componente normal ao plano y=0, que pode ser interpretado como o fluido se “escorregando”
na fronteira sólida.
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João Roberto Barbosa 179
Caso 2: Escoamentos irrotacionais que são soluções das Equações de Navier-
Stokes.
As equações de conservaão da quantidade de movimento linear, conhecidas como
equações de Navier-Stokes, são: Dv g PDt
, com 0
incompr
2 D v
.
Então, 2
i i ij i
j i i j
v v vPv gt x x x x
. Pondo ii
vx
, sendo =
função potencial de velocidade e lembrando que 2 2 2
i
i j i j i i i j
0eq. deLaplace
v 0x x x x x x x x
,
então os termos envolvendo viscosidade desaparecem das equações de Navier-Stokes (no caso
de escoamentos irrotacionais) e elas tomoam a forma da Equação de Euler: Dv g PDt
ou i ij i
j i
v v Pv gt x x
.
Então, se o fluido viscoso tem densidade homogênea e as forças de campo são
conservativas (no caso, g é!), isto é, g g z , escoamentos irrotacionais são dinamicamente
possíveis também para fluidos viscosos.
Como pode haver fronteiras sólidas e, nelas, há aderência do escoamento, então as
componentes tangenciais e normal da velocidade na fronteira devem ser as mesmas da
fronteira sólida. Isto quer dizer que tais velocidades devem ser prescritas.
Asim, se y=0 é uma fronteira sólida parada, então x zv v 0 devem ser
especificadas como velocidades tangenciais e yv 0 como velocidade normal.
Para o escoamento irrotacional, as condições que deve obedecer na fronteira
sólida são, portanto, =constante, visto que
x1
y2
z3
0 vx
0 vx
e 0 vx
na fronteira sólida, o que dá
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João Roberto Barbosa 180
0n
, que é a derivada direcional de na direção normal à superfície:
nn
.
Em geral, não existe solução da Equação de Laplace satisfazendo, ao mesmo
tempo, as condições de contorno em toda a fronteira:`
const
0n
a menos que o movimento da fronteira seja consistente com os requisitos de irrotacionalidade
do escoamento.
Por exemplo, considere-se o escoamento de Couette entre 2 cilindros (viscoso,
permanente, 2-D, ...), com r zv v 0 e Bv Arr .
Tem-se zk , com y xz
v v vvx y r r
.
Então,
2z
rv1 1 B 1 1r Ar Ar B 2Ar 2Ar r r r r r r r
22 22 22 2 1 1 2 1
z 2 2 1 12 21 1irrotacional2 2
r r r2A 0 r r 0rr r
.
Entretanto, em alguns escoamentos, sob certas condições, a vorticidade gerada
pelas fronteiras sólidas fica confinada a uma camada fina do fluido, próxima da fronteira, e o
escoamento fora dessa camada é irrotacional se tiver sido originado de um estado de
irrotacionalidade, isto é, se o escoamento antes da parede for irrotacional.
Deve-se também observar que, mesmo que os termos viscosos não apareçam nas
equações de Navier-Stokes no caso de escoamentos irrotacionais, não quer dizer que não haja
dissipação viscosa num escoamento irrotacional de um fluido viscoso.
Se, pelo menos, um componente de D foro 0 haverá dissipação viscosa e a taxa
de trabalho imposta ao escoamento para mantê-lo irrotacional é exatamente igual à taxa de
dissipação viscosa, dada por: tinc : v , com
t k iinc ij i j m k ij
m j
v v: v e e : e ex x
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João Roberto Barbosa 181
j iij ij ij
i j j
2 2 2 2 2 2ij ij ij ij ij ij 11 22 33 12 13 23
v vvi 2 D D Rx x x
2 D D D R 2 D D 2 D D D 2D 2D 2D
Note-se que, parafluido incompressível, 2compr inc kkD .
Exemplo: Um escoamento de Couette plano é dado por:
u Kyv 0w 0
`
Se a temperatura na placa fixa é mantida à temperatura iT e a placa móvel a sT ,
calcular a distribuição de temperatura de equilíbrio.
Solução: A temperatura é uma função de y apenas: T T y .
A equação da energia é dada por H0
0
De k T : v gDt
. Em regime
permanente, k=const e Hg 0 , resultando:
H0
0
De k T : v gDt
00 ` 0
De e e eu v 0Dt t x y
(e não depende de x)
2 t
0incomp
0 k T P v : v
(regime permanente)
Daí, 2 tk T : v 0 e t 221
u: v K K Ky
, pois só u 0y
.
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João Roberto Barbosa 182
Segue-se que 2 2 2 2k T K 0 T Kk
e
2 2 2CT K C T T y y Ay Bk 2
i i
2s i2 s i
s i s
T 0 T T BCT T d T TC Cd2T d T d Ad T T A
2 d d 2
2s i2 2
i
T T K1 2kT T(y) K y y T2 k d
, de que resulta: 2
2 2 s ii
T T1 1 KT(y) T K y y2 k d 2 k d
(perfil de temperatura parabólico)
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João Roberto Barbosa 183
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 184
Transporte da vorticidade em um fluido viscoso, 4.3 -
incopressível e de densidade homogênea
Um fluido é incompressível se a densidade de cada partícula não varia com o
tempo, independentemente de seu estado de tensão, isto é, D 0Dt .
A equação da continuidade dá i
i
vD 0Dt x
. Então, i
i
v 0x
e i
i
v 0x
, isto é,
v 0 . Um fluido incompress´vel não tem necessariamente densidade uniforme. Por
exempo, a água do mar, com diferentes concentrações de sal, tem densidades diferentes,
dependendo da profundidade considerada.
Se o fluido for, adicionalmente, homogêneo, então =constante em todos os
pontos.
As equações de Navier-Stokes para forças de campo potenciais, pondo gz ,
pode ser rescrita como Dv g z PDt
. Então,
Dv P 1gzDt
P 1
.
Como 2 D , tem-se 2
i i ij 2
j j j
Pv v v1vt x x x
. Pondo
,
vem:
2i i i
j 2j j j
Pv v vvt x x x
, que são as equações de Navier-Stokes para
fluido incompressível e homogêneo (i).
Multiplicando-se membro a membro a equação (I) por mninx
, isto é,
calculando-se o rotacional de ambos os lados da equação:
i imni mni
n n
v vx t t x
.
Mas
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 185
3 3i 2 1 2 2mni m
n 3 2 3 1 2 3m 1 m 2 m 3
v vv v v v vx x x x x x x
(vorticidade) (ii)
imni m
n
vx t t
(a)
2m m i i m
j mni 2j n j j
v vvt x x x x
(iii)
Também,
ji i imni j mni j
n j n j n j
j i imni j mni
n j n j
vv v vv vx x x x x x
v v vvx x x x
Logo,
ji imni j mni j m
n j n j n
vv vv vx x x x x
(b)
Ainda, 2
mni mnin i n i
P P 0x x x x
(c)
pois G 0 para qualquer função escalar G (rotacional do gradiente é nulo!).
Adicionalmente,
2 2 2
i i i imni mni m
n j j j j n j j
v v v vx x x x x x x x
(d)
Substituindo-se esses resutados inermediários (a), (b), (c) e (d) em (ii) resulta:
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 186
' '
2m m i i m
j mni 2j n j j
k kijk i i ijk
j j
jikij k
j i
jikij k
j i
j j jimni mni k ji k
n j n i
jmni
v vv (iii)t x x x x
v v2 e ,x x
vve como 2R , tem sex x
vvx x
v v vve, daí,x x x x
v
' '
j jmni k ji k
n i n0
rotacionaldogradiente
v vx x x
' ' ' ' ' 'j j j
mni nj mjk ji k mk k nk kn n n
n mmn nn m mm nn n
n n
n m mm n n
n n nv 0
v v vx x x
v vx x
v v v (e)x x x
Substituindo-se (e) em (iii) resulta:
m
2m m m m
j nj n j j
DDt
2m m m
nn j j
2
vvt x x x x
e, daí,
D v , ouDt x x x
D v (iv)Dt
que é a forma vetorial da equação do transporte da vorticidade.
Para o caso de escoamento 2-D:
1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3v v x ,x ,x , t e v x ,x ,x , t e 0e , com 3x = constante:
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 187
3 32 1 2 21 2 3
3 2 3 1 2 3
2 23 3 3
2 3
v vv v v ve e ex x x x x x
v v e ex x
Notar que, em coordenadas polares e em coordenadas cartezianas ortonormais,
v é dado por, respectivamente,
r r r
rpolares
z z z
v v v1 vr r z
v v v1v vr r z
v v v1r r z
e
1 1 1
1 2 3
2 2 2scco 1 2 3
3 3 3
1 2 3
v v vx x xv v vvx x xv v vx x x
Assim,
1 1 1 1 1
1 2 3 1 21
2 2 2 2 22
1 2 3 1 233
3 3 3
1 2 31 2 3
v v v v v 0x x x x x
0 0v v v v vv 0 0 0x x x x x
00 0 0v v vx x xx x x
.
Então, a equação (iv) passa a ser 2DDt , ou 23
3DDt
.
Para 3 , 2 2
1 2 2 21 2 1 2
v vt x x x x
Aplicada ao estudo do escoamento de Poiseuille plano, em que 2
21 1 1 2 2 3
hv v e v C x v 0 v 0 :4
1 2 2 3 2 3 20e 0e (0 2Cx )e 2Cx e 2Cx
1 21 2
2 22
2 21 2
D v v 0 0 0.2c 0Dt t x x
0 0 0x x
Portanto 2DDt é satisfeita.
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 188
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 189
Função de Corrente 4.4 -
O cálculo de alguns tipos de escoamentos torna-se maisi fácil quando se trabalha
com algumas funções auxiliares que incorporam as características desses escoamentos. Por
exemplo, no caso de escoamentos permanentes, incompressíveis, 2D, a equação da
continuidade v 0 fornece a informação 1 2
1 2
v v 0x x
, que associa propriedades do
campo de velocidads nas direções coordenadas.
A partir das equações das linhas de corrente 1 2
1 2
dx dxv v
obtém-se 1 2
1 2
dx dxv v
ou
1 2 2 1v dx v dx ou 2 1 1 2v dx v dx 0 , que é a “forma” de um diferencial total de uma função
cons tan te . Então, de um lado, 1 21 2
d dx dx 0x x
ou
2 1 1 2d v dx v dx 0 .
Identificando-se os termos correspondentes, têm-se:
2 11 2
v e vx x
.
Portanto, conhecidas as linhas de corrente cons tan te pode-se calcular o
campo de velocidades 1 1 2 2v v e v e .
Pode-se observar que se v é um campo de velocidades de classe 1C , isto é, é
derivável e suas derivadas são contínuas, é de classe 2C .
Como
12
vx
,
21
1 1 2
vx x x
e como
21
vx
, 2
2
2 2 1
vx x x
, segue-se que 2 2
1 2 2 1x x x x
e,
portanto,
1 2
1 2
v vx x
, de onde resulta 1 2
1 2
v v 0x x
, isto é, v 0 , que é a forma da
equação de conservação de massa. Logo, satisfaz a condição de continuidade.
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 190
Como representa linhas de corrente, v é tangente às curvas dadas por
cons tan te . Logo, entre duas curvas 1C e 2C , com 1 2C C , escoa uma certa
quantidade de fluido, que pode ser calculada pela integral de linha v dl
sobre uma curva
qualquer, unindo os pontos 1 2P e P sobre 1C e 2C respectivamente.
O resultado será em termos de 3m
s (vazão volumétrica) por unidade de altura de
um canal hipotético delimitado, o plano xy, pelas curvas 1C e 2C :
2
1
2
1
P
1 1 2 2 2 1 1 2
P
P
1 2 2 1
P
Q v dl v e v e dx e dx e
v dx v dx
Pondo 2
1
P
1 2 2 1
P
dQ d v dx v dx vem 1 2 2 1dQ v dx v dx . Portanto,
2 12 1
dQ dx dx dx x
.
Segue-se que 2 1Q dQ d
.
Se o valor de na curva 2C for maior do que o valor de na curva
1C , então 2 1 0 e o escoamento foi considerado na direção correta, uma vez que,
para o cálculo da integral de linha usou-se
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 191
Em coordenadas polares, r1v e vr r
. Considereando-se
escoamento 2D e a função de corrente, pode-se obter, a partir das equações de Navier-
Stokes:
2u u u 1 Pu v ut x y xut
`
com u , vy x
e
22 4
,
t x, y
(mostrar!).
Há diversos escoamentos “simples”, mas fisicamente importantes, representados
por esta equação, em que os termos não-lineares são identicamente nulos, resultando
2 4
t
.
Por exemplo:
1) Escoamento de Poiseuille: escoamento permanente, laminar, através de um
tubo, sob a influência de um gradiente de pressão, numa posiçã suficientemente
longe das bordas do tubo (evitar o “efeito de entrada”), para que o escoamento
tenha uma distribuição de velocidade seja o mesmo nas diversas seções
transversais.
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 192
A distribuição de velocidade é parabólica 2 2
máx
f2
P a ruz 4
1u u21 4 uP.a2 a
16c 1 Reu2udRe
Se Re sobre muito, o escoamento deixa de ser laminar.
2) Escoamento de Couette (shearng flow) entre 2 paredes planas paralelas (y=0 e
y=h), com a primeira em repousoe a segunda movendo-se com velodiade U
paralela ao eixo x, em regime permanente e sem escorregamento:
u y , v 0 e w 0U h .
É experimentalmente irrealizável (Sydnei Goldstein, Lectures on fluid mechanics,
Cap 6.) mas pode ser aproximado pelo escoamento entre 2 cilindros coaxiais, desperezando-se
os efeitos de pontas.
3) Problemas em regime transitório com os termos quadráticos nulos. São
problemas encontgrados na difusão da vorticidade. Nesses problemas (e para a
parte da velocidade que não depende do gradiente de pressão, e t só
aparecem combinados na forma t ).
Escoamentos 2-D entre paredes não paralelas
Escoamento causado por um disco girando
Escoamento 2-D e escoamento de simetria axial num plano colocado
paralelamente ao escoamento, de um lado a outro desse plano (esses tipos de
escoamento dão o escoamento permanente numa camada limite no ponto
deestagnação anterior de um corporombudo cilíndrico e num corpo rombudo
de revolução).
São, porém, solução completas das equações deNavier-Stokes.
O escoamento 2-D, com uma parede sólida colocada em y=0, e uma espécie de
adaptação para o cálculo do escoamento viscoso de uma solução potencial dada por
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João Roberto Barbosa 193
21W i C x iy
2Cxy
CxyCx
v Cy
que é um escoamento ideal.
Neste caso:
Na solução encontrada, y=0 permanece como sendo uma linhade corrente.
Quando y , tanto para uCx
como para vCy
tendem a 1.
Na solução “viscosa” não há, entretanto, escorregamento, isto é, u=v=0 e y=0
mas na “adaptada” apenas v é nulo na parede.
A solução com simetria axial é, também, uma solução similarmente adaptada
da solução potencial 2Cr x (que satisfaz 2 0 ) 2 2
22 2
1r rr z
.
No caso plano 2-D, pondo C y
e Cxf tem-se 'u xf , v Cf .
A equação 2 0 fica 2''' '' 'f ff f 1 0
com as condições de contorno: ' 'f 0 0 f 0 0 f 1
e 2 2 2P 1 vconst c x v2 y
Para simetria axial:
r xv v 0 em x 0
r xv v1 1 com xCr 2Cx
Com r xrv rvx r
.
Pondo 2Cx C r f
vem
1r xv Crf v 2 C f e, então,
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João Roberto Barbosa 194
2''' '' 'f 2ff f 1 0 e as condições de contorno:
' 'f 0 0 f 0 0 f 1 e
2 2 2 xx
vP 1const c r v2 x
Aproximações também podem ser feias para Re altos (camada limite) e Re
baixos (escoamentos de Stokes e Oseen). O escoamento de um fluido viscoso e
incompressível com Re pequeno usualmente é conhecido como escoamento de
Stokes. Oseen incluiu nessa descrição o conceito de aceleração convectiva
(fatores inerciais), dando ensejo ao aparecimento do termo escoamento de
Oseen.
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João Roberto Barbosa 195
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João Roberto Barbosa 196
Função Potencial de Velocidade 4.5 -
Observando-se outras propriedades do campo de velocidades como, por exemplo,
a sua vorticidade, pode-se também obter funções auxiliares que facilitam o seu cálculo.
Considere-se o caso de escoamento sem vorticidade ou irrotacionais, isto é, v 0 .
Então
ji j
i
ve e 0
x
e, portanto, 3 32 1 2 1
1 2 2 3 1
v vv v v vex x x x x x3
.
Definindo-se uma função de classe 2C , 1 2 3x ,x ,x , t tal que v
tem-se:
1 2 31 2 3
v v vx x x
.
Note-se que v foi considerada com o sinal negativo (-)!
Se o escoamento é irrotacional, v 0 0 . Portanto,
conhecida a função 1 2 3x ,x ,x , t pode-se calcular o campo de velocidades.
Têm-se, portanto, 2 possibilidades de cálculo de escoaentos através de funções
auxiliares:
a) Função corrente , derivada de v 0 (conservação de massa)
b) Função potencial de velocidade, derivada de v 0 (irrotacionalidade)
Definição: Escoamentos incompressíveis, invíscidos e irrotacionais são chamados
de Escoamentos Potenciais.
Os escoamentos potenciais são modelados pela equação de Laplace pois, para
esses escoamentos, v e, como v 0 , vem 2 0 (Equação de Laplace).
Observar: foi definida para escoamentos 2-D
foi definida para escoamentos 3-D.
Para vale 1,2 2 1Q
Para valem 2 0 (de v 0)
0 (de v 0)
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João Roberto Barbosa 197
Em coordenadas cilíndricas
r r z zv v e v e v e
r z1e e e
r r z
Escoamento potencial
rvr
1vr
zv
z
r z1e e e
r r z
1 1 1rr r r r r z z
2 22
2 2 21 1rr r r r z
Em geral zr
v v1 1v rvr r r z
Função corrente 1 21 2
d dx dxx x
2 1 1 2d v dx v dx
Função potencial 1 21 2
d dx dxx x
1 1 2 2d v dx v dx
Linha de corrente: d 0 2 22 1 1 2
1 1
dx v0 v dx v dxdx v
Linha equipotencial: d 0 2 11 1 2 2
1 2
dx vv dx v dx 0dx v
2
1 const
const
dx 1dx d
dx
as duas curvas são ortogonais em qualquer ponto
considerado.
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João Roberto Barbosa 198
5 - ESCOAMENTOS POTENCIAIS BÁSICOS
Há diversos escoamentos reais, de interesse, que podem ser idealizados a partir de
uma formulação potencial e, portanto, serem mais facilmente calculados. Neste capítulo serão
estudados alguns deles, que têm soluções analíticas.
Fontes e sumidouros 5.1 -
São a idealização de um escoamento plano, originado num orifício de dimensões
pequenas que, imediatamente após a passagem pelo orifício, torna-se plano e na direção
radial.
Considere-se um ponto P no escoamento em que haja movimento puramente
radial, isto é, r r r rv v e v e v e , com v =0.
A vazão de fluido que sai desse ponto pode ser calculada por S
q v dS (por
unidade de “espessura” do escoamento – direção z), em que S é a superfície cilíndrica reta de
altura 1 delimitada por uma curva no plano do escoamento.
2 2
r r r r r
0 0
q v e rd e rv d 2 rv
para considerada como uma
circunferência centrada em P e de raio r.
r rqq 2 rv v
2 r
. q é a intensidade da fonte.
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João Roberto Barbosa 199
No escoamento potencial, rqv
r 2 r
e, daí,
q qdr dr ln(r) Cr 2 r 2
.
Tem-se uma fonte se q 0 ou um sumidouro se q 0 .
Logo, para o escoamento em fontes e sumidouros, q ln(r)2
é a função
potencial de velocidade.
A função corrente pode ser determinada tendo-se em vista que
r1v v 0r r r
.
Mas rq 1 qv
2 r r 2
, de que resulta q2
, que é a função
corrente.
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João Roberto Barbosa 200
Vórtices (vórtice livre) 5.2 -
São a idealização de escoamentos que giram ao redor de um ponto.
Considere-se um campo de velocidades cujas linhas de corrente são círculos
concêntricos:
r rv v e v e v e , com rv =0.
Mas '1v K (const.)r
. Então '1 K
r
e, daí, 'K r .
Numa distância 1r do centro de toração (furo central), ' '1 1K r K K K r
. Logo
K é a função potencial de velocidade e 1 1 Kv K vr r r
.
Também, Kvr r r
e, portanto, Kln(r) é a função corrente.
Observa-se que:
v varia inversamente com r e é, portanto, singular em r=0.
O escoamento é irrotacional apesar de girar em torno do ponto P.
A circulação desse campo de velocidades (vórtice) ao redor da origem pode ser
calculada por 1 2 1 1 2 21 2
v dl dl e e dx e dx ex x
1 21 2
dx dx d d K Kd 2 Kx x
Portanto, 2 K e ln(r)2 2
.
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João Roberto Barbosa 201
Este tipo de escoamento é também chamado de vórtice livre.
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Dipolos 5.3 -
São a idealização de um escoamento plano em que o fluido entra por um pequeno
orifício e é retirado por um outro pequeno orifício, separados por uma distância 2a 0 .
Considere-se o escoamento potencial formado pela combinação de uma fonte e de
um sumidouro, de mesmas intensidades, seperados por uma distância 2a . O sistema de
coordenadas cartezianas ortonormal é localizado entre os dois pontos F (fonte) e S
(sumidouro).
Então, 2 K e ln(r)2 2
1 1q
2
para o sumidouro;
2 2q
2
para a fonte.
Combinando os 2 escoamentos tem-se 1 2 1 2q
2
(I)
Escrevendo 1 2 em função de :
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João Roberto Barbosa 203
1 21 2
1 2
1
2
tg tgtg1 tg tg
r.sentgr.cos a
r.sentgr.cos a
1 2 2 2
r.sen r.sen2ar.senr.cos a r.cos atg r.sen r.sen r a1
r.cos a r.cos a
(II)
De (I) e (II), 12 2
q 2ar.sentg2 r a
Para valores pequenos de a, tg e, daí:
1 2 1 2 2 22ar.sentgr a
e, portanto, 2 2
q 2ar.sen2 r a
.
Um dipolo é um par fonte-sumidouro de iguais intensidades em que se tem a 0
e q tal que qa const . Neste caso,
dipolo 2 2 2 2a 0 a 0q 0 qa constqa const
dipolo
q 2ar.sen qa rlim sen lim2 r a r a
qa 1 sen qasen K com K initensidade do dipolor r
dipolosenK
r
.
O correspondente potencial de velocidade pode ser calculado de
1vr r
:
21 sen senK Kr r r r
sen senK Kr r r
dipoloK cosr
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João Roberto Barbosa 204
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João Roberto Barbosa 205
Escoamentos uniformes 5.4 -
São os escoamentos em que todas as partículas de fluido se movem na mesma
direção. No caso, o movimento uniforme das partículas é inclinado em relação a um eixo.
1 1 2 2 1 2v v e v e v.cos e v.sen e
Para a função potencial ;
1 1 1 21
2 2 2 22
v v.cos vx .cos C xx
v v.sen vx .sen C xx
1 1 2 1 22 2 2
1 2 2 3 1
vx .cos C x C x v.senx x x
C x vx sen C x
1 2 4 1vx .cos vx .sen C x
Faend 4 1C x =0 tem-se 1 2v x .cos x .sen (função potencial de
velocidade)
No caso particular de 0 , 1vx .
A função corrente pode ser obtida a partir de
12 2
v v.cosx x
21 1
v v.senx x
Daí 2 1v x cos x sen (função corrente)
No caso particular de 0 , 2vx .
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João Roberto Barbosa 206
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Escoamentos mais complexos - Composição de 5.5 -
escoamentos potenciais
A linearidade da equação de Laplace permite que se tratem escoamentos
compostos de 2 ou mais desses escoamentos “simples” como a “soma” de escoamentos.
5.5.1 - Fonte colocada num escoamento uniforme
Sem perda de generalidade, considera-se um escoamento uniforme parelelo ao
eixo 1x e uma fonte colocada na origem do sistema de coordenadas. As funções correntes
são:
U 2
F
v.rsen vxq
2
Então, de
U F resulta qv.rsen2
.
A função potencial de velocidade correspondente será qvr.cos ln(r)2
.
Se existir algum ponto de estagnação nesse escoamento, este poderá ser calculado
da condição v v 0 .
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 208
Como se tem r1 1 q qv vr.cos v.cosr r 2 2 r
e
v v.senr
.
De 0
v v.sen 0 sen 0
.
Com r
11
q qv v.cos0 v q0 v 02 r 2 r2 xr x
Como 11
q qv 0 x 02 x 2
(não serve porque r>0).
Com r
11
q qv v.cos v qv 02 r 2 r2 xr x
1qx 0
2 v
. Logo, o ponto de estagnação estará sobre o eixo 1x , antes da fonte ( ),
à distância qb2 v
da fonte.
A linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação é calculada com e
r=b:
q qvb.sen2 2
Com q 2 bv vem 2 bv2
ou bv .
A curva bv pode ser traçada a partir de q vr.sen bv.rsen2
v
pois q bv
2
.
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João Roberto Barbosa 209
b
v b b r 0 2v rsen b rs bsen
en
Como 2 2rsen x x b .
A curva bv , para 1x será obtida observando-se que, para
2x b , 0 e, daí, 2x b .
Também, para 22 x b . Logo, as curvas 2x b são assintotas da
curva bv .
Substituindo-se essa linha de corrente por uma fronteira sólida, pode-se imaginar
que essa combinação FONTE-ESCOAMENTO UNIFORME pode ser usada para descrever o
escoamento ao redor de um corpo (semi-infinito) num escoamento uniforme. Como a linha de
corrente bv continua até r e que as duas partes 0 e 2 , não se unem, o
corpo será aberto.
Com a função de corrente (ou a função potencial de velocidade) conhecida, pode-
se conhecer o escoamento em todos os pontos (velocidade e pressão).
A velocidade V pode ser calculada a partir de 2 2 2
r
r
V v v1 1 q qv vr.cos v.cosr r 2 2 r
v v.senr
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João Roberto Barbosa 210
2
22 2 2r
22 2 2 2
22
qV v v v.cos v.sen2 r
q qv .cos 2 v.cos v .sen2 r 2 r
q qv 2v cos2 r 2 r
Como qb2 v
, 2
2 2 2 b vV v 2v cos br r
e, então,
22 2 b bV v 1 2 cos r 0, 0 2
r r
(A)
Com a velocidade determinada por (A) pode-se calcular a pressão estática P,
através da equação de Bernoulli, pois o escoamento é potencial:
2 21 1 1
1P P v V z z g2
, em que 1 é o índice que indica um ponto em
que as características do fluido são conhecidas. No caso, o ponto 1 adequado seria aquele
longe da fonte, onde o escoamento não estivesse perturbado pelo escoamento da fonte:
infinito a montante.
A figura abaixo foi obtida de cálculos utilizando as expressões desenvolvidas
acima.
-0,8
-0,3
0,2
0,7
-0,8 -0,3 0,2 0,7
Linhas de corrente para uma fonte colocada em um escoamento uniforme
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 211
Um exemplo em que se pode utilizar essas informações idealizadas é o seguinte:
A forma de um morro pode ser aproximada pela seção superior do corpo definido pelo
escoamento fonte-uniforme. A altura do morro é 68 m. Quando um vento de 80 km/h sopra
atrvés do morro, qual a velocidade no ponto 2 indicado na figura abaixo? Qual a altitude do
ponto 2? Qual a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2? Admitir que a densidade do ar é
3kg1,25m
, constante.
Solução: h=68= 68b b
.
1) 2
2 2 b bV v 1 2 cosr r
.
Em 2, 2
e como bb b2rsen 2sen
2
,
22 2 2
2
2 2
2 2 4V v 1 2 cos v 12
4 4V 1 v 1 80 1,1855x80 94,8 km / h
2) A elevação é 2 268x x b 34 m
2 2 2
3) A diferença de pressão é
2 22 1 1 2 1
2 2
1P P V v z z g21 x1,25x(94,8 80 ) 1,25x9,8605x(34 0) 1616,9 416,9 2033,8 Pa2
Portanto, a pressão em 2 é ”ligeiramente” menor do que a em 1.
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 212
4) A máxima velocidade do vento não ocorre em 2. Onde ocorre?
5.5.2 - Fonte e sumidouro colocados num escoamento
uniforme - Ovais de Rankine
Resultado da associação de uma fonte e um sumidouro colocados num
escoamento uniforme.
Combinando-se uma fonte e um sumidouro de mesmas intensidades pode-se
chegar a um corpo fechado, semelhantemente ao desenvolvido anteriormente.
Sejam, então, as funções corrente e potencial de velocidade aplicáveis ao caso:
11 2 2 2
q q 2ar.sevy nvr.sen tgr a2 2
e
1 2qvr.cos ln r ln
2r
A velocidade num ponto P qualquer é calculada a partir de
2 2 2rV v v r
1vr
e vr
Para calcular as derivadas de r, deve-se levar em conta que, para
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 213
1
' 2
' ' '
2 2 2
F tg f r , f r tg F
f r dr sec F dF
f r f r f rdFdr sec F 1 tg F 1 f r
Assim,
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 22 2
2 2
2a.sen r a 2ar.sen 2rd 2ar.senq qdr r a r av.sen v.sen
r 2 22ar.sen 2ar.sen1 1r a r a
2a.sen r a 2rq r av.sen
r 2 r a 2ar.sen
r a
2 2 2
2 22 2
2a.sen r a 2rqv.senr 2 r a 2ar.sen
E, portanto,
2 2
2 22 2
qa r av v.sen senr a 2ar.sen
Também,
2 2
2
22 2
2 2
2 22 2
22 2
2 2
2 22 2
d 2ar.senq d r avr.cos
22ar.sen1r a
2ar.cosq r avr.cos
2 r a 2ar.sen
r a
r.cos r aqavr.cosr a 2ar.sen
e
2 2
r 2 22 2
r a1 qav v.cos cosr r a 2ar.sen
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 214
Segue-se que, se 2 2 2rV v v , então
2 `22 22 2
22 22 22 2 2 2
r aqa r a qaV v.sen sen v.cos cosr a 2ar.sen r a 2ar.sen
222 22 2 2
2 2 2 2 22 22 22 2 2 2
22 2 2 22
2 2 2 22 22 22 2 2 2
r aqa r a qaV v .sen sen 2v senr a 2ar.sen r a 2ar.sen
r a r aqa qav cos cos 2v cosr a 2ar.sen r a 2ar.sen
2 2 2 2 4 2 2 2 2 422 2
2 22 22 2 22 2
r sen cos a r 2a r sen cos aqa qaV v 2vr a 2ar.sen r a 2ar.sen
O ponto de estagnação é encontrado a partir da imposição V=0 e, portanto,
2 2 2 2 4 2 2 2 2 422
2 22 22 2 22 2
r sen cos a r 2a r sen cos aqa qa0 v 2vr a 2ar.sen r a 2ar.sen
Por inspeção do escoamento, o valor do ângulo que pode satisfazer esta
equação será 0 ou .
Para 0 :
22 2 4 2 2 42
2 42 2 2 2
qa r a qa r 2a r a0 v 2vr a r a
.
Como
22 22 22 2 4 2 2 4 2 22 2
2 4 2 42 2 2 2 2 2 2 2
22 2
2 2 2 2
r aqa r a qa r 2a r a qa r a qa0 v 2v v 2vr a r a r a r a
qa 1 qa 1 qa0 v v 0 r avr a r a
e
2 qar a lv
.
A linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação é obtida a partir de
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 215
12 2
12 2 2
q 2ar.cosvr.sen tg our a
q 2ayvy
2
2tg
x y a
Como 0 , r.sen 0 y 0 0 .
Então
12 2 2
q 2ayvy tg 0x y2 a
é a equação da curva que passa pelo ponto de
estagnação.
O eixo vertical da oval é calculado fazendo-se x=0 e 2
na curva 0 :
1 12 2 2 2 2x 0
2
2 2
q 2ay q 2ay0 vy tg vy tg 0x y a y a
2 vy 2aytgq y a
2 2
Pondo y=h: 22 2
2 2y a 2 vh 2ay h 1 h 2 va hh tg 1 tg
2a q a 2 a q ay a
NOTA: ha
deve ser calculado iterativamente. Depende apenas de vaq
!
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 216
Tanto h como l dependem do parâmetro adimensional qva
. Combinando-se
q, v e a podem-se obter corpos de diferentes tamanhos e razões de aspectos hl
(esbeltez).
corpos corposqfinos rombudosva
Nota:
Após o ponto em que se tem a máxima espessura ( máxh ) a pressão na
superfície sólida aumenta, até atingir o valor da pressão de estagnação (em x=l,
y=0). Essa condição de aumento de pressão na direção do escoamento é
chamada de gradiente adverso de pressão.
Gradiente adverso de pressão geralmente leva à separação do escoamento
(viscoso) da superfície, resulando numa esteira de pressão baixa, após o corpo.
Separação não é predita no escoamento potencial pois este indica que as linhas
de corrente são simétricas (em relação a y). Portanto, solução potencial para as
ovais de Rankine só dá aproximação razoável da velocidade fora da camada
limite; e da pressão apenas na parte anterior das ovais.
5.5.3 - Dipolo num escoamento uniforme (escoamento ao
redor de um cilindro)
Considerndo-se a composição de um escoamento uniforme com um dipolo (fonte
e sumidouro localzados no mesmo ponto) obtém-se um caso especial de oval de Rankine. A
aproximação da fonte ao sumidouro acarreta a transformação de uma oval numa
circunferência.
As equações das funções de corrente e potencial de velocidades aplicáveis são:
Kvr.sen senr
e
Kvr.cos cosr
Fazendo-se =const e r=a tem-se a função corrente para um escoamento ao redor
de um cilindro de raio a.
ITA - Centro de Referência em Turbinas a Gás NOTAS DE AULAS - ME-201 – MECÂNICA DOS FLUIDOS
João Roberto Barbosa 217
2
2
Kv r.sen senrr.sen 0
0 Kv 0r
Portanto 2Kv 0r
dá 2K va e 2 2a av v r.sen vr 1 sen
r r
, ou
2
2
avr 1 senr
avr 1 cosr
O cálculo da velocidade do escoamento, V, na superfície do cilindro, pode ser
feito como no caso das ovais de Rankine e, daí, calculando-se o limite
2 2
a 0qa constl a 0
qal Rv
lim
.
Neste caso, na superfície do ciliidro:
2
2 2cil 2 4
2 2 4 22 2cil 2 4
2 2 2 2cil
2 2 2 2 2 2cil
qaqa
V v 2v.cos 2R R
R v R vV v 2cos 2R R
V v 2cos 2 v v
V 2v 2cos 2 v 2v 1 cos 2 2v 2sen
cilV 2vsen .
De um modo geral, para o escoamento ao redor do ciliindro:
2 2 2 2 42 2cil 2 222 2
r sen cosqa qa rV v 2vr r
, o que dá
2
2 2 2 2cil 2 4
qa qa 1V v 2v sen cosr r
ou
2 2 22
cil 2 4
v sen cosqa qa 1V v 2r r
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João Roberto Barbosa 218
2
r 2
2
2
1 av v 1 cosr r r
1 av v 1 senr r r
Na superfície do cilindro, r = a e
s
s
rv 0
v 2v.sen
No “topo” do cilindro, 2 e
s,T
s,T
rv 0
v 2v.sen 2v2
Note-se que as funções e precisam ser alteradas (sinal!) papra que o
modelo possa representar o escoamento da esquerda para a direita, como indicado na figura.
Vê-se que o valor da velocidade no topo do cilindro é 2 vezes o valor da velocidade do
escoamento uniforme!
A distribuição de pressão é calculada utilizando-se a equação de Bernoulli e as
condições em um ponto do escoamento não perturbado: 0 0P , e v :
s
2 20
1 1P v gz P v gz2 2
2 20 0
1P P v 1 4sen g z z2
A força que o escoamento exerce no cilindro, por unidade de comprimento do
cilindro, pode ser obtida pela integração da pressão ao longo da superfície do cilindro:
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João Roberto Barbosa 219
2
x s
02
y s
0
F P cos .Rd (arrasto)
F P sen .Rd (sustentação)
2 22 2
x s 0
0 0
1F P cos .Rd P v 1 4sen R cos d2
22 2
x 0
0
1F P v 1 4sen R cos d2
2 22 2 2
x 0
0 0
1F R P v R cos d 2R v sen cos d 0 0 02
yF 0 analogamente.
Logo, na teoria potencial, tanto o arrasto como a sustentação são nulos quando o
cilindro está imerso num escoamento uniforme, pois a distribuição de pressão é simétrica em
relação a x e a y!
A experiência diz, entretanto, que o arrasto e diferente de zero nesse caso. Essa
discrepância é conhecida como paradoxo de D”Alembert e é causada por não se considerar os
efeitos de viscosidade, que impedem a recuperação de pressão a jusante.
A velocidade na superfície do cilindro poderia também ter sido calculada a partir
de:
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João Roberto Barbosa 220
2
r 2
2
2
2 2 2r
av v 1 cosr
av v 1 senr
V v v
2 22 2
2 2 22 2
a aV v 1 cos v 1 senr r
2 22 2
2 2 2 22 2
a aV v 1 cos 1 sen v 4senr r
para r=a na
superfície do cilindro.
Daí, escolhendo-se a raiz positiva, dada a necessidade designificado físico,
sV 2vsen v
A velocidade máxima será máxV 2v quando sen 1 , ou seja, quando 2
.
5.5.4 - Escoamento ao redor de um cilindro com circulação
2
0 2
sentidohorário
a rv y 1 ln2 ar
1) Quando =0 recai-se no caso do cilindro sem circulação e os pontos de
estagnação estão em –a e +a.
2) Para 0 :
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João Roberto Barbosa 221
2
r 0 2
2
0 2
1 av v 1 cosr r
av v 1 senr 2 rr
Na superfície do cilindro, r = a e
s
s
rv 0
v 2v.sen2 a
O ponto de estagnação é calculado impondo-se v=0, isto é, s
v 0 , ou seja,
2v.sen 02 a
, ou 0
sen4 av
Se 2* 2 *ysen x a y
r no ponto de estagnação.
2** * 2
0 0 0
y y e x aa 4 av 4 v 4 v
(I)
Se aumenta, o ponto de estagnação move-se para baixo, pois *
0y
4 v
, até
que *y a (o radicando deve ser, no mínimo, 0). Neste caso, os 2 pontos de estagnação
coincidirão.
Se a circulação for tal que 2
2
0a
4 v
, a equação (I) não mais se aplica, pois o
ponto de estagnação deixa o cilindro.
As figuras seguintes mostram algumas soluções possíveis, para valores fixados da
circulação.
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João Roberto Barbosa 222
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João Roberto Barbosa 223
Escoamento potencial complexo 2-D 5.6 -
Sejam as curvas x, y que representam as linhas de corrente num
escoamento 2-D. Se const têm-se as curvas y y x, const no plano xy.
é um vetor perpendicular à direção das linhas de corrente x, y const .
Logo, v 0 pois v é tangente à linha de corrente.
No escoamento potencial, v e, portanto, 0 , o que indica que as
curvas e iguais a constantessão perpendiculares (orrogonais) no ponto considerado.
x, y C são as curvas equipotenciais do escoamento 2-D potencial.
x, y K são as linhas de corrente do escoamento 2-D potencial.
São ortogonais entre si, porque:
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João Roberto Barbosa 224
1 2
1 2
1 21 2
ds dxe dyeds ds
dye dxen vetor normal à curva ABds
dye dxen ds dxe dye 0ds
O elemento de fluxo de massa que atravessa o canal formado pelas linhas de
corrente e d , através da superfície dA b.ds , é dada por:
x 1 y 2 1 2
x y
dm v dA v ndA v nb.ds
v e v e dye dxe b
v dy v dx b
Pondo dmdQb
e x ydQ v dy v dx (vazão volumétrica)
Por outro lado, d dx dy 0x y
para a linha de corrente considerada.
A equação dessa linha de corrente é dada por y xx y
dx dy ou v dx v dy 0v v
Então, y xv e vx y
e, portanto, dQ dy dx d
y x
.
Segue-se que d
2 1Q d
, isto é, a diferença entre os valores
numéricos da função que passa por 2 pontos reprsenta a vazão volumétrica que passa entre
essas duas linhas de corrente, por unidade de altura do canal que elas determinam.
A circulação do campo de velocidades é calculada por B
A
v dr .
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João Roberto Barbosa 225
Para escoamento potencial, v e, daí, B B
B A
A A
dr d .
independe da trajetória utilizada para chegar de A a B!
Ainda, x
y
vx y
vy x
.
Para escoamento potencial e incompressível, v 0 e, portanto, 2 0 .
Também, 2 0 .
Neste caso, e são funções harmônicas conjugadas, podendo ser construída
uma função complexa com elas:
W i W x, y W z .
W é uma função analítica por construção, pois e satisfazem as condições de
Cauchy-Riemann. Então,
'
'
dWW (z) idz x x
dW 1W (z) idz i y y y y
x y
y x
Também,
W Wx y W z W zdet 0 0z z x y y xx y
i i 0x x y y
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João Roberto Barbosa 226
x y
y x
A função W i W x, y W z é denominada Potencial Complexo.
'dW W (z) i idz x x y y
.
Note-se que, também, a função potencial poderia ter sido definida por
x yv e vx y
.
No contexto que segue, o sinal – não será considerado, para facilidade de notação, apenas.
Logo, x y x ydW v iv v iv vdz
, com x yv v iv . Segue-se que 'W v ¨,
conjugado da velocidade
Segue-se, então, que dWvdz
¨.
Sevando-se em conta essa construção auxiliar, podem-se representar diversos
escoamentos potenciais 2-D de interesse, através da função W.
5.6.1 - Escoamento paralelo uniforme
Seja um escoamento uniforme, direcionado por um ângulo em relação ao eixo
x.
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João Roberto Barbosa 227
0
x 0
y 0
v v constv v cosv v sen
Quer-se determinar W, e .
Solução:
x 0
y 0
v v cosx y
v v seny x
De 0 0v cos v cos x F(y)x
De
0
0 0
0 0
0 0 0
v seny
v cos x F(y) v seny
F(y) v sen F(y) v ysen Cy
v cos x v sen y v x cos ysen
ou 0v x cos ysen .
Analogamente, de 0v cosy
obtém-se: 0v xsen ycos .
Segue-se, então, que
0
0
0 0
W i v x cos isen y sen i cos
W v cos x iy isen x iy
W v z cos zisen v z cos isen
Portanto, i0W v ze
Esta mesma expressão poderia ter sido obtida levando-se em conta que
ix y 0 0
dW v iv v cos isen v edz
e i0
dWW dz v zedz
Têm-se, então:
1) Conhecida a função W i , as componentes xv e yv da velocidade do
escoamento potencial associado pode ser calculadas de x ydW v ivdz
.
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João Roberto Barbosa 228
2) W i é uma função complexa. De 1 2z z W x , ix ,
(função inversa), com z uma função analítica de W, podem-se obter as linhas
de corrente e equipoenciais e , respectivamente.
De fato, de 1 1 2 2x x , x x , , pode-se eliminar e obter-se
1 1 2F (x , x , ) e, daí, obter-se 1 2(x ,x ) .
Conhecida a função , pode-se obter , de uma das duas equações:
1 1 2 2x x , e x x , .
Fazendo´se =const e =const obtêm-se as equipotenciais e as linhas de
corrente associadas à função analítica W. A função W pode estar associada a algum
escoamento potencial de interesse.
3) O problema inverso – dado o escoamento, achar W z - é mais difícil de ser
resolvido. Neste curso não será tratado em pormenores.
4) As linhas de corrente e equipotenciais podem ser intercambiadas para a
obtenção de outro problema de escoamento.
5) Qualquer linha de corrente pode ser substituída por uma superfície sólida (não
há aderência do escoamento a superfícies sólidas).
5.6.2 - Exemplo 1 – Função Direta
Seja 2
0RW z v zz
, uma função analítica em z 0 .
Partes real e imaginária de W
22
0 0 2 2
2 2
0 02 2 2 2
R x iyRW z v x iy v x iyx iy x y
xR yRW z v x iv yx y x y
Logo
2
0 2 2Rx, y v x 1
x y
e
2
0 2 2Rx, y v y 1
x y
.
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João Roberto Barbosa 229
Curvas =const
2
0 2 2Rv y 1 K
x y
.
Para K=0,
22 2 2
2 2R1 0 x y R (cilindro)
x y
.
As componentes da velocidade
2 2
0 02 2i
dW R Rv 1 v 1dz z re
22
0 02 2R cos 2 isen2dW Rv 1 v 1
dz r cos 2 isen2 r
2 2
0 02 2dW R Rv 1 cos 2 iv sen2dz r r
2
x 0Rv v 1 cos 2r
e 2
y 0Rv v sen2r
.
2 22 22 2 2 2 2
x y 0 0
2 4 42 2 2 2
0
2 42 2
0
R RV v v v 1 cos 2 v sen2r r
R R RV v 1 2 cos 2 cos 2 sen 2r r r
R RV v 1 2 cos 2r r
2 4
0R RV v 1 2 cos 2r r
Na superfície do cilindro, r=R e, então:
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João Roberto Barbosa 230
superf 0 0
2 2 2superf 0 0 0
2superf 0
V v 1 2cos 2 1 v 2 1 cos 2
V v 2 1 2cos 1 v 2 2 2cos v 4 1 cos
V v 4sen
ou, finalmente, superf 0V 2v sen .
A distribuição de pressão pode ser obtida a partir da equação de Bernoulli,
conhecidas as condições em um ponto qualquer do escoamento.
1 0
2 21 0 1 0 1 0
E E1P P V V g z z2
21 0 1 0
1P P 4sen 1 g z z2
(vê-se que P é simétrica em relação a x e a
y!)
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João Roberto Barbosa 231
5.6.3 - Exemplo 2 – Função Inversa
Seja 0
Wibv
0
W bz i ev
(pode-se partir da forma geral e se chegar a esta expressão,
que foi assumida como já conhecida).
Então 0
Wibv
0
Wz i eb bv
. Pondo Z z
b
tem-se iAZ iA e .
Fazendo iiA i Z i e ou
Z i e cos isen
X Y
Z e cos i e sen X iY
Para se visualizarem as curvas const , um procedimento é o seguinte:
Curva 0
X e cos e X
Y e sen 0 e sen0 0
Portanto a reta Y=0 é a linha de corrente 0 .
Curva e
X e cos e X 1
Y e sen e sen
Analisando-se a curva Y vê-se que, para , X e que X atinge o
máximo em 0 . Logo, a curva começa em X , vai até X=-1 e “volta” para X .
A figura dá uma idéia da forma dessas linhas de corrente.
As curvas 0 , e foram obtidas com relativafacilidade, o que
não acontece com outros valores de .
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João Roberto Barbosa 232
Pode-se associar essa função com o escoamento à entrada de um duto (ou canal)
semi-infinito.
Nota a respeito do Escoamento Potencial (complexo ou não)
Viu-se que é possível utilizar a superposição de escoamentos básicos para se
obterem informações completas do escoamento irrotacional ao redor de alguns corpos de
interesse, imersos num escoamento uniforme.
Nos casos considerados, 2 escoamentos “báscos”, potenciais, foram combinados
para depois ser feita a pergunta: o que estarão representando? (em termos de escoamento).
É uma técnica relativamente simples, sem requer muita matemática, mas não tem
aplicação geral porque não permite a especificação da geometria do corpo e, dela, a
determinação da velocidade ao seu redor.
O problema de interesse prático – dar a geometria e calcular a velocidade ao redor
do corpo – é um provlema um pouco mais difícil.
É possível a extensão desse conceito fundamentl de superposição, considerando-
se que uma distribuição de fontes, sumidouros e/ou dipolos que, quando combinados com um
escoamento uniforme, podem representar o escoamento potencial ao redor de um corpo de
forma arbitrária (como a especificada, por exempo). Em particular, para o caso 2-D, o
escoamento potencial complexo é muito efetivo e bastante utilizado para a obtenção de
solução de muitos problemas de interesse prático, como o escoamento ao redor de aerofólios
isolados ou em grades de aerofólios.
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João Roberto Barbosa 233
Transformação conforme e o escoamento ao redor de 5.7 -
perfis aerodinâmicos – transformação de Joukovsky
5.7.1 - Mapeamento de um círculo num aerofólio simétrico
(2-D) – sem arqueamento
Seja W W x, y x, y i x, y a função potencial complexo.
Têm-se
x y
y xW WdW dx dyx y
Logo, dW i dx i dyx x y y
dW dx i dx dy i dyx x y y
dW dx i dy dy i dxx x y y
dW dx i dx dy i dyx y y x
dW dx idy dy idx dx idy i dx idyx y x y
dW i dx idyx y
dW i dx idyx x
ix ydW v iv dz com z re x iy (I)
A conveniência de utilizar-se o potencial complexo torna-se clara porque muitos
escoamentos de interesse podem ser modelados através de fórmulas bem simples.
Por exemplo:
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João Roberto Barbosa 234
Vórtice na origem: W i ln z2
Fonte na origem: KW ln z2
Dipolo na origem, com eixo sobre o eixo x: KW2 z
Cilindro de raio R, centrado na origem, imerso num escoamento uniforme:
2
0RW v zz
Em geral, qualquer função complexa pode ser interpretada como uma função
potencial associada a algum escoamento ideal. Entretanto, do ponto de vista aerodinâmico são
de interesse as funções complexas do tipo 2
0RW v zz
. Esta transformação foi bastante
estudada por Nikolai Egorovich Joukowsky - Zhukovsky or Joukowski - (http://www-
groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Zhukovsky.html), que ficou bastante
conhecido por seus trabalhos em aerodinâmica, especialmente o aerofólio de Joukowski.
O escoamento ideal passando por um cilindro no plano z pode ser mapeado num
escoamento passando por um corpo de forma aerodinâmica no plano através de uma
transformação conforme (é uma função que preserva ângulos localmente) apropriada.
A transformação que mapeia um círculo onum aerofólio também mapeia o escoamento ao
redor desse aerofólio. Esse mapeamento envolve matemática mais simples que a utilizada no
cálculo direto.
Uma transformação conforme z :
1) A cada ponto no plano z faz corresponder um único ponto no plano .
2) Não muda a forma elementar das figuras (figuras mapeadas preservam a forma
da figura que está sendo mapeada), embora possam ter tamanho e orientação
alterados.
Neste estudo está-se interessado na transformação conforme que mapeia círculos