Norma IRAM 35050 - fi.mdp.edu.ar · "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” 2 MEDICIONES ELÉCTRICAS I Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica

"Guide to the expression of Uncertainty in Measurement”

(GUM)

Norma IRAM 35050

"Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”

2

MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica

Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata

Es un documento propuesto en 1980 por la autoridad internacional en

metrología, el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), bajo la

denominación INC-1.

Se ha convertido en un procedimiento aceptado mundialmente para la

expresión de la incertidumbre de medición, de manera que mediciones

realizadas en diferentes países puedan compararse fácilmente. Se emplea para:- Comparaciones internacionales de patrones- Investigación y desarrollo- Calibraciones y mediciones en general- Certificación de materiales de referencia- Generación de normas de referencia

A esta guía se la conoce comúnmente como “GUM”

La norma IRAM 35050:2001 denominada “Estadística – Procedimientos

para la evaluación de la incertidumbre de la medición” es un documento

nacional que sigue la recomendación INC-1.


3



Filosofía de la GUM:

Distingue claramente entre el concepto de error y el de incertidumbre.

Es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la magnitud en

cuestión. Es un único valor. Puede ser positivo o negativo. Es un concepto teórico pues el valorverdadero nunca se conoce.

Error Incertidumbre

Es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden

atribuirse razonablemente a una magnitud determinada.

Nunca es negativa ni nula. Sumado o restado al valor medido defineun intervalo con cierta probabilidad decontener el valor verdadero. Refleja la falta de un conocimientocompleto del valor de una magnitud.


4




En la práctica de la medición existen muchas posibles fuentes de

incertidumbre, entre ellas:

a) definición incompleta del mensurando.

b) realización imperfecta de la definición del mensurando.

c) muestra no representativa del mensurando.

d) conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre

la medición, o medición imperfecta de dichas condiciones ambientales.

e) lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del operador.

f) resolución finita del instrumento de medida.

g) valores inexactos de los patrones de medida o de los materiales de referencia.

h) valores inexactos de constantes y otros parámetros.

i) aproximaciones y suposiciones establecidas en el método y procedimiento de

medición.

j) variaciones en la repetición de las observaciones del mensurando bajo

condiciones aparentemente idénticas.


5




La GUM considera un enfoque más “realista” que “pesimista”, es decir,

presenta un método que contrasta con otros enfoques más antiguos, en

los cuales se le daba a la incertidumbre un valor deliberadamente

grande.

Para la GUM todas las magnitudes son tratadas como variables

aleatorias.

Como todas las magnitudes son tratadas como variables aleatorias es

la desviación normal o típica (lo que denominamos “σ” en la clase

anterior) el parámetro que se usa como incertidumbre de esa variable

aleatoria, y la ley de propagación de la varianza la que entra en juego

como veremos enseguida.


6



Sea un mensurando Y que se puede determinar a partir de otras N magnitudes

de entrada X1, X2….. XN a través de una relación funcional f:

𝑌 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, ……𝑋𝑁)

Cada magnitud de entrada X1, X2….. XN no se puede conocer con exactitud por

lo que cada una de ellas tendrá una incertidumbre asociada, es decir:

𝑋1 = 𝑥1 ± 𝑢(𝑥1) 𝑋2 = 𝑥2 ± 𝑢(𝑥2) 𝑋𝑁 = 𝑥𝑁 ± 𝑢(𝑥𝑁)

En general:

𝑋𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑢(𝑥𝑖)

Desarrollo matemático de la GUM:

Donde:

""imagnitudladevalorX i

"")( imagnitudlademedidoestimadovalorxi

"")( imagnitudladeestimaciónlaenbreincertidumxu i


7



Según la GUM, tanto el valor de la estimado de la variable xi como el de

u(xi), se obtienen a partir de una distribución de valores posibles,

porque para la GUM todas las variables de entrada tienen errores

aleatorios.

La distribución de probabilidad de la variable Xi puede estar basada en

frecuencias, es decir, “basadas en una serie de observaciones de Xi”

o puede ser una distribución que se supone “a priori” con base en la

experiencia del operador.

Esto da origen a dos métodos de evaluación de la incertidumbre u(xi): de

cada variable Xi: Evaluación Tipo A y Evaluación Tipo B.



8



Formas de evaluar o

encontrar la incertidumbre u(xi) de cada magnitud de

entrada

en la GUM

Evaluación Tipo A

La incertidumbre u(xi) se determina mediante el análisis estadístico de una serie de

observaciones

Evaluación Tipo B

La incertidumbre u(xi) se determina mediante un procedimiento distinto al análisis

estadístico de una serie de observaciones, como por ejemplo:

a partir de datos de mediciones previas, experiencia, conocimiento del

comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos, especificaciones de los fabricantes, datos obtenidos de certificados

o manuales, de libros, etc.


9



Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(xi):

Se utiliza cuando se han realizado “n” observaciones independientes

de una de las magnitudes de entrada Xi.

En este caso:

• El mejor estimador de Xi se considera que es la media aritmética

de las observaciones:

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 =1

𝑛 𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

• El mejor estimador de u(xi) se considera que es la desviación de

la media de la muestra:

𝑢(𝑥𝑖) = σ(𝑥 𝑖) ≅ 𝑆(𝑥 𝑖) = 𝑆(𝑥𝑖)

𝑛


10



Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(xi):

El número de observaciones “n” debe ser lo suficientemente grande

para que se pueda asegurar que es un buen estimador de Xi y que,

es un buen estimador de

• Si el número de observaciones “n” es pequeño (<10) y se asume

que la distribución de los valores xi es normal, se puede usar la

distribución de Student para mejorar la estimación. En ese caso:

𝑥𝑖 𝑆(𝑥𝑖)

𝑛

𝑢(𝑥𝑖) = σ(𝑥 𝑖) ≅ 𝑆(𝑥 𝑖) = 𝑡 𝑆(𝑥𝑖)

𝑛

σ(𝑥 𝑖)

Siendo:

t : Factor extraído de la tabla de valores de “t de Student” para una

probabilidad de 68,27% y grado de libertad “n-1”, que estima la dispersión

entre la media de una muestra y la media de un universo.


11



Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):

La incertidumbre u(xi) se evalúa aplicando un juicio científico basado

en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de xi.

Se pueden presentar varios casos:

• Caso 1:

Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un

certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su

incertidumbre evaluada se indica como un múltiplo “k” de una

desviación estándar “σ”, simplemente hay que utilizar σ que se

puede encontrar desafectando el dato proporcionado por el k

utilizado:

k

adoproporciondatoxxu i )()( 1


12




• Caso 2:

Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un

certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su

incertidumbre evaluada define un intervalo que posee una

probabilidad de cobertura del 90%, 95% o 99% por ejemplo, a

menos que se indique otra cosa, se puede suponer que ha

sido asumida una distribución normal y calcular con esa

probabilidad el valor σ.

calculadoixu )(

Desviación calculada a partir de una probabilidad que es dato (un área bajo la curva de Gauss o de

otra distribución que se informe).


13




• Caso 3:

Si sólo pueden estimarse los límites superior e inferior, “+a” y “-a”

para la magnitud Xi. (p.e. especificaciones del fabricante de un

instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de

redondeo o de truncamiento, etc), se puede asumir una

distribución rectangular. En ese caso:

3)()( 1

axxu i


14




¿De donde surge que σ = a / √3 para una distribución rectangular?

Partiendo de la varianza para “n” variantes que se calcula como:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =1

𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2

𝑛

𝑖=1

Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando

una distribución de probabilidades “f(v)” (una función continua) en

lugar de las “n” mediciones, quedando esta expresión:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑣 − 𝜇 2∞

−∞

𝑓 𝑣 𝑑𝑣


15




¿De donde surge que σ = a / √3 para una distribución rectangular?

Resolviendo para una distribución de probabilidades rectangular de

µ = 0 y ancho “a” se tiene:

𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎

3

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥 − 𝜇 2∞

−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥21

2𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑥

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1

2𝑎

𝑥2

3 −𝑎

𝑎

=1

2𝑎 𝑎3

3−

(−𝑎)3

3 =

𝑎2

3

EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARES

El error límite de un instrumento se puede usar para calcular “uintrumento”:



100

Alcanceclasemedidovalor

100


La resolución de un instrumento digital:

dígito1

El valor verdadero puede estar con igualprobabilidad en cualquier punto entre:

100

AlcanceclaseVmedido

Dos mediciones que difieran en menos de laresolución de un instrumento digital semostrarán iguales con la misma probabilidad.

3

100)(

Alcanceclase

u oinstrument

3

2

1

)(

dígitodeValor

u resolución 16


17




• Caso 4:

Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay

evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el

centro del intervalo y se reduce hacia los límites, puede ser más

adecuado basar la estimación de la incertidumbre típica en una

distribución triangular. En ese caso:

6)()( 1

axxu i


18




¿De donde surge que σ = a / √6 para una distribución triangular?

Resolviendo para una distribución de probabilidades triangular de

µ = 0 y ancho “a” se tiene:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎2

6

𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎

6

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥 − 𝜇 2∞

−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥20

−𝑎

1

𝑎2 𝑥 +1

𝑎 𝑑𝑥+ 𝑥2𝑎

0 −

1

𝑎2 𝑥 +1

𝑎 𝑑𝑥

EJEMPLO DE DISTRIBUCION TRIANGULAR

La temperatura de un baño termostático



En un baño termostático, que se utiliza para medir la densidad de un líquido, latemperatura puede tener variación a lo largo del ensayo.

Si se mide la temperatura antes y después de la medición de la densidad (resultandoTinicial y Tfinal), se puede suponer que en el momento de la medición de la densidad latemperatura fue de (Tinicial + Tfinal)/2 con una distribución triangular entre Tinicial y Tfinal.

Así, la temperatura del ensayo podría ser:

6

2)(

inicialfinal

T

TT

uensayo

2

finalinicial

ensayo

TTT

inicialT finalTensayoT

19


20




Cálculo de la incertidumbre combinada:

𝑋1 = 𝑥1 ± 𝑢(𝑥1)

𝑌 = 𝑦 ± 𝑢𝑐(𝑦)

𝑋2 = 𝑥2 ± 𝑢(𝑥2)

𝑋𝑁 = 𝑥𝑁 ± 𝑢(𝑥𝑁)

Una vez calculada la incertidumbre u(xi) de cada estimación de las variables de

entrada xi, se debe calcular la incertidumbre del mensurando “y” denominada

“incertidumbre combinada”, que se simbolizada como “uc(y)”, para obtener:

)( ycuyY


21




Cálculo de la incertidumbre combinada:

La incertidumbre combinada “uc(y)” representa la desviación estándar

del resultado de la medición.

La incertidumbre combinada se obtiene combinando las incertidumbres

obtenidas de las evaluaciones tipo A y las incertidumbres obtenidas de

las evaluaciones tipo B, utilizando la “Ley de propagación de la

incertidumbre”

Se pueden presentar en general dos casos posibles: que las magnitudes

de entrada xi no estén correlacionadas o en el peor de los casos que

estén correlacionadas.


22



Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi

no están correlacionadas:

En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de

propagación de la varianza para variables no correlacionadas, es decir:

u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓

𝜕𝑋1

2

𝑢(𝑥1)2 + 𝜕𝑓

𝜕𝑋2

2

𝑢(𝑥2)2 + ⋯ + 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑁

2

𝑢(𝑥𝑁)2

𝑐𝑖 = 𝜕𝑓(𝑋1, 𝑋2 , ……𝑋𝑁)

𝜕𝑋𝑖 𝑋1=𝑥1 ,……𝑋𝑁 =𝑥𝑁

A las derivadas parciales GUM las denomina “coeficientes de sensibilidad”:

Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para

variables no correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4)

u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖

2

𝑢(𝑥𝑖)2 =

𝑁

𝑖=1

𝑐𝑖2 𝑢(𝑥𝑖)

2

𝑁

𝑖=1


23




están correlacionadas:

En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de

propagación de la varianza para variables correlacionadas, es decir:

En la práctica, es más fácil evaluar la covarianza mediante el

“coeficiente de correlación lineal”

),(

1

1 1

2

2

1

2 covarianza2)()()(jijii xxX

fN

i

N

ij

X

f

i

N

i

X

f

c xuyu

Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para

variables correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4)


24




están correlacionadas:

El coeficiente de correlación lineal “r” es un número que varía entre los límites+1 y -1 que indica el grado de correlación o asociación entre dos variables (Xi eXj por ejemplo). Se calcula como:

Puede existir correlación significativaentre dos magnitudes de entrada si seutiliza para su determinación el mismoinstrumento de medida, el mismopatrón o el mismo dato de referencia.

)()(

covarianza),(

),(

ji

xx

jixuxu

XXrji

n

k

jjk

n

k

iik

n

k

jjkiik

ji

XXn

XXn

XXXXn

XXr

1

2

1

2

1

)(1

1)(

1

1

))((1

1

),(


25



Incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi están

correlacionadas:

Entonces, la incertidumbre combinada escrita en función de “r” es:

• Las magnitudes de entrada Xi y Xj son independientes; por ejemplo, cuando se

han observado reiterada, pero no simultáneamente, en diferentes experimentos

independientes, o cuando representan magnitudes resultantes de diferentes

evaluaciones que se han realizado de forma independiente.

• Cualquiera de las magnitudes de entrada Xi y Xj puede tratarse como constante.

• No existe información suficiente para valorar la existencia de una

correlación entre las magnitudes de entrada Xi y Xk.

En la práctica no hay correlación entre las variables cuando:

u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖

2

𝑢(𝑥𝑖)2 +

𝑁

𝑖=1

2 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑗

𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗 𝑟(𝑥𝑖 ,

𝑁

𝑗 =𝑖+1

𝑥𝑗 )

𝑁−1

𝑖=1

EJEMPLO 1:



Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos:

Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características:

• Alcance = 150 V

• Clase = 0,5

• Cantidad de divisiones = 150.

Calcular la incertidumbre combinada de cualquier medición según GUM.

Solución:

Para este caso, con los datos disponibles, la medición “Y” se vería afectada por

fuentes de incertidumbre: la que viene por el error del propio instrumento y la que

viene por error de lectura.

Incertidumbre combinada de la medición

Incertidumbre debida al instrumento

Incertidumbre debida a una mala lectura26

En este caso es una medición directa por lo que puede pensarse como:

xmedidaTensiónY



Incertidumbre debida al instrumento:

Como la evaluaremos a partir de la clase (no un estudio estadístico sino un datosuministrado por el fabricante) entonces será una evaluación tipo B según laGUM.

Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer unadistribución de probabilidades para poder calcular una “u(instrumento)”.

Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, y entonces…:

100


100


3

100)(

Alcanceclase

u oinstrument

3)(

au oinstrument

V

V

u oinstrument 433,03

100

1505,0

)( 27

EJEMPLO 1: Incertidumbre combinada de la medición


Incertidumbre debida a una mala lectura



Incertidumbre debida a la lectura del instrumento:

Como la evaluaremos a partir de una información extraída de la bibliografía (noun estudio estadístico) será otra evaluación tipo B según la GUM.

Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer unadistribución de probabilidades para poder calcular una “u(lectura)”.

También una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, porque existe igual probabilidad de interpretar cualquier valor dentrode ±1/10 de división:

ECmedidovalor10

1 ECmedidovalor

10

1

3

10

1

)(MAX

lectura

Alcancediv

u

3)(

au lectura

Vdiv

Vdiv

u lectura 057,03

150

150

10

1

)(

28



Incertidumbre debida a una mala lectura

EJEMPLO 1:



Calculamos la incertidumbre combinada:

u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖

2

𝑢(𝑥𝑖)2 =

𝑁

𝑖=1


2

𝑁

𝑖=1

u𝑐(𝑉) = 𝑢(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 )2 + 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 )

2

u𝑐 𝑉 = 0,436 𝑉 29

EJEMPLO 1:

Como no hay información para evaluar una correlación entre las fuentes deerror calculamos la incertidumbre combinada como:

Donde los coeficientes de sensibilidad “ci” son iguales a 1, es decir:

En este caso la relación que vincula las variables de entrada con el mensurandoes directa, es decir: xY


30



Si se desea una mayor probabilidad de la que implica uc(y), lo que se

hace es expandir el intervalo de incertidumbre por un factor “k” llamado

factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida “U”:

𝑈 = 𝑘 u𝑐 𝑦

Con lo que finalmente, la medición siguiendo la GUM

o la norma IRAM 35050 queda:

𝑦 ± 𝑈

Típicamente, k toma valores entre 2 y 3, y se basa en la probabilidad o nivel de confianza que se le quiere dar al intervalo: 𝑦 − 𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈


Cálculo de la incertidumbre expandida “U”:


31



Elección del factor de cobertura “k”:

El factor de cobertura “k” se elige dependiendo del grado de confianza

que se le quiere dar al resultado y de la distribución de probabilidades que

tenga el mensurando “Y”.

Resulta muy complejo saber exactamente cual es la distribución de “Y”,

por lo que se usan distintos criterios para estimarla, y de esa manera

elegir k:

• Criterio 1:

Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribuciónTipo A con pocos grados de libertad (pocas muestras), se recomienda que ksea igual al valor de “t” de la distribución de “t de Student”, para el númerode grados de libertad de la contribución dominante y para el nivel deconfianza que se requiera (normalmente se usa el 95% o más).


32




• Criterio 2:

Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribuciónTipo B, se puede asumir que la distribución resultante de “Y” tiene lamisma forma de la distribución dominante.

Por ejemplo: si una incertidumbre combinada está dominada por unacomponente Tipo B con distribución rectangular, un k=1 corresponde a unintervalo de 57,7% de probabilidad, un k=1,65 corresponde a un intervalode 95% de probabilidad, un k=1,71 corresponde a un intervalo de 99% deprobabilidad como se muestra en la siguiente tabla.


33




La siguiente tabla muestra los valores de k que se pueden usar paradistintos niveles de confianza y para distintas distribuciones supuestas delmensurando “Y”:

Nivel de confianza

Si “y” tiene Distribución

Normal

Si “y” tiene Distribución Rectangular

Si “y” tiene DistribuciónTriangular

57,7 % k = 0,8 k = 1 k = 0,85

68,3 % k = 1 k = 1,19 k = 1,08

95 % k = 1,96 k = 1,65 k = 1,9

95,45 % k = 2 k = 1,66 k = 1,94

99 % k = 2,57 k = 1,71 k = 2,21

99,73 % k = 3 k = 1,73 k = 2,34


34




• Criterio 3:

Cuando hay 3 o más fuentes de incertidumbres comparables se cumplenlas condiciones del llamado “Teorema del Límite Central” y puedesuponerse, con un elevado grado de aproximación, que la distribución “y”es normal, pudiéndose usar la tabla de Gauss para elegir el “k”, noteniendo importancia la forma de las distribuciones que intervengan.

Ejemplo: Un k=2 dará un intervalo con 95% de probabilidad (en realidadun k=2 da 95,45% como se muestra en la tabla de la transparenciaanterior)


35




Nota: Se asume como infinito los grados de libertad de las evaluacionesTIPO B que intervengan.

Una vez determinado vef se lo redondea al entero inferior más próximo, ycon este valor se ingresa a una tabla de “t de Student” para encontrar unk con la probabilidad deseada (normalmente el 95%).

• Criterio 4:

Cuando no se cumple ninguno de los criterios anteriores también se utilizala distribución “t de Student” pero se calcula el llamado “grado delibertad efectivo” a través de la ecuación de Welch-Satterhwaite:

Siendo:𝑣𝑒𝑓 =

𝑢𝑐(𝑦)4

𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)

4

𝑣𝑖

𝑁𝑖=1

𝑣𝑒𝑓 : es el grado de libertad efectivo

𝑢𝑐(𝑦): es la incertidumbre combinada de y

𝑢(𝑥𝑖): es la incertidumbre de la estimación de entrada xi

𝑣𝑖 : es el grado de libertad usado para el cálculo de la incertidumbre de xi

EJEMPLO 1 . (continuación)



Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos:

Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características:

• Alcance = 150 V

• Clase = 0,5

• Cantidad de divisiones = 150

Si el instrumento indica 138 V expresar el resultado de la medición con un 95% de

probabilidad.

Solución:

Como vimos, para este caso hay dos fuentes de incertidumbre que se combinan

para sacar la incertidumbre combinada:



Incertidumbre debida a una mala lectura36



Ya teníamos la incertidumbre combinada:

u𝑐(𝑉) = 𝑢(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 )2 + 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 )

2

u𝑐 𝑉 = 0,436 𝑉

Calculamos la incertidumbre expandida:

Como la u(instrumento) es mucho mayor que u(lectura) este sería un caso dondepredomina una incertidumbre Tipo B rectangular (la u(instrumento)) sobre elresultado final, entonces podemos suponer que el resultado también tiene unadistribución rectangular.

De lo anterior, el factor de cobertura “k” para una probabilidad de 95% debe ser≈ 1,65 (ver tabla transparencia 33):

Finalmente se expresa la medida y siempre se acompaña una nota aclaratoria:

VVVukU c 7194,0436,065,1)(

VVV 7,0138

“La incertidumbre expandida fue calculada con un k=1,65, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución rectangular” 37

EJEMPLO 1 . (continuación)

Vdiv

Vdiv

u lectura 057,03

150

150

10

1

)(

V

V

u oinstrument 433,03

100

1505,0

)(

EJEMPLO 2:



Con un termómetro digital se realizan 20 mediciones repetidas en aparentemente

las mismas condiciones ambientales, obteniéndose una media aritmética de

100,145°C con una desviación estándar experimental (S) de 1,489°C.

El termómetro posee las siguientes características:

• Rango = 200°C

• Error límite = ±(0,5% rdg + 3 dg)

• Cantidad de dígitos = 3 ½

Expresar la medición con una probabilidad de 95%

Solución:

38

Incertidumbre combinada de la medición de temperatura


Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas

condiciones




condiciones



Incertidumbre debida a mediciones

repetidas:

Como la evaluaremos a partir de un estudio estadístico (20 observaciones) seráuna evaluación Tipo A según la GUM.

Al ser una evaluación Tipo A con “n” relativamente grande, la incertidumbre deesta componente será la desviación estándar experimental de la media, es decir:

n

Su repetición )(

39

EJEMPLO 2:

CC

u repetición

333,020

489,1)(



Incertidumbre debida al instrumento:

Como la evaluaremos a partir del error límite (no un estudio estadístico sino undato suministrado por el fabricante) será una evaluación Tipo B según la GUM.

Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponeruna distribución de probabilidades para poder calcular una “u(instrumento)”.

Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación:

límiteErrormedidovalor

3

3%5,0)(

dgrdgu oinstrument

3)(

au oinstrument

Cu oinstrument 463,0)(

40




condiciones

límiteErrormedidovalor

3

1,03145,100%5,0)(

CCu oinstrument



Incertidumbre debida a la resolución:

Como la evaluaremos a partir de un dato del fabricante (no un estudioestadístico) será otra evaluación Tipo B según la GUM.

Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponeruna distribución de probabilidades para poder calcular una “u(resol)”.

También una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, porque existe igual probabilidad de ver cualquier valor dentro de 1dígito:

3)(

au resolución

41




condiciones

3

2

1

)(

dígitodeValor

u resolución

dígito1

C

C

u resolución

028,03

2

1,0

)(



Calculamos la incertidumbre combinada:

u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖

2

𝑢(𝑥𝑖)2 =

𝑁

𝑖=1


2

𝑁

𝑖=1

42

EJEMPLO 2:

Como no hay información para evaluar una correlación calculamos laincertidumbre combinada como:

Donde los coeficientes de sensibilidad “ci” son iguales a 1, es decir:

2

)(

2

)(

2

)()( resoluciónoinstrumentrepeticiónc uuuCu

222 )028,0()463,0()333,0()( CCCCuc

CCuc 571,0)(



Calculamos la incertidumbre expandida:

43

EJEMPLO 2:

Este seria un caso donde hay menos de tres incertidumbres comparables yninguna es dominante, por lo que calculamos el grado de libertad efectivo:

4

)(

4

)(

4

)(

4

120

)(

resoluciónoinstrumentrepetición

cef

uuu

Cuv

16425,164 efv

CxCT )571,02145,100()(

𝑣𝑒𝑓 =𝑢𝑐(𝑦)4

𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)

4

𝑣𝑖

𝑁𝑖=1

De una tabla de “t” para un grado de libertad de 164 y probabilidad 95% , k≈2(el resultado tendría una distribución casi normal), entonces:

CCT )142,1145,100()(

“La incertidumbre expandida fue calculada con un k=2, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución normal”




condiciones

CCT )2,11,100()(

Revisar los ejemplos del

“Apunte complementario II – Expresión de la Incertidumbre”

disponible en el sitio web de la asignatura



EJEMPLOS

44

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