Collège du Sud, Bulle 3 ème -4 ème année , OS PAM Applications des mathématiques Nombres et fonctions complexes Edition 2016/2017 d’après Marcel Délèze, Nicolas Gremaud et Eugène Pasquier http://applmaths.collegedusud.ch/
Collège du Sud, Bulle
3ème - 4ème année , OS PAM
Applications des mathématiques
Nombres et fonctions complexes
Edition 2016/2017
d’après Marcel Délèze, Nicolas Gremaud et Eugène Pasquier
http://applmaths.collegedusud.ch/
1. Le corps des nombres complexes
Extensions successives
Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans
a , b x a b
Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation
1 x 0 et x
est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée ,
dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x 1. Les équations suivantes
possèdent une solution entière
a , b x a b
a , b x a b
Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation
2 x 1 et x
est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée ,
dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x1
2. Les équations suivantes
possèdent une solution rationnelle
a , b xa
b
a x a2
Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation
x2 2 et x
est vide. On peut contruire une extension de , appelée corps des nombres réels et notée , dans
laquelle l'équation précédente possède deux solutions notées x 2 et x 2 . Par contre,
l'ensemble des solutions de l'équation
x2 1 et x
est vide. Nous allons définir un nouveau “corps” dans lequel cette équation possède des solutions
mais commençons par préciser ce que nous entendons par “corps”.
Définition d'un corps
Un corps est un triplet K, , où K désigne un ensemble de "nombres" muni de deux opérations
internes : l'addition notée + et la multiplication notée . La priorité des opérations est analogue à ce
que nous connaissons dans . Les propriétés suivantes doivent être vérifiées :
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K, est un groupe commutatif, c’est-à-dire que nous avons les propriétés suivantes :
x, y K x y K
x, y, z K x y z x y z
0 K x K 0 x x 0 x
x K x K x x 0
x, y K x y y x
K , est un groupe commutatif , où K K\ 0 , c’est-à-dire que nous avons les propriétés
suivantes :
x, y K x y K
x, y, z K x y z x y z
1 K x K 1 x x 1 x
x K1
xK x
1
x1
x, y K x y y x
Distributivité
x, y, z K x y z x y x z
Remarques
1 0 est appelé élément neutre de l’addition et 1 est appelé élément neutre de la
multiplication.
2 x est appelé l’opposé de x et on peut montrer qu’il est unique.
31
xest appelé l’inverse de x et on peut montrer qu’il est unique.
4 A partir de la définition de l’opposé, nous définissons la soustraction : x y x y .
5 A partir de la définition de l’inverse, nous définissons la division : x
yx
1
y pour y 0
Propriétés
1 x 1 x x K
2 0 x 0 x K
3a
b
c
d
a c
b da, c K b, d K
4a b
c
a
c
b
ca, b K c K
En fait, il est possible de montrer que les règles de calcul correspondent aux règles de calcul
habituelles utilisées avec les nombres réels. La correspondance existe aussi pour les puissances
qui se définissent sur un corps quelconque K de la même façon que sur . Nous avons alors les
mêmes règles : par exemple, a b 2 a2 2 a b b2, a, b K.
Exemples
( , +, ) est un corps.
( , +, ) est un corps.
L'ensemble des nombres entiers réduits modulo un nombre premier est un corps (ceci est à la
base du système cryptographique RSA).
Nombres et fonctions complexes | 3
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Contre-exemples
, , n'est pas un corps.
, , n'est pas un corps.
( \ , , n'est pas un corps.
L' ensemble des fonctions réelles définies sur ]0; 1[, muni de l' addition et de la multiplication des
fonctions usuelles, n'est pas un corps
Le problème de l'extension des nombres réels
On aimerait contruire une extension de , appelée corps des nombres complexes et notée , dans
laquelle l'équation x2 1 possède deux solutions notées x i.
On cherche à définir un corps , , tel que
1 contient ;
2 les restrictions des opérations + et de à sont les opérations usuelles de ;
3 contient un nombre i tel que i2 1.
Construction du corps des nombres complexes
Définition de
Géométriquement, les réels sont représentés par une droite continue. Selon une idée due à Gauss
(1799), nous prenons pour l'ensemble des vecteurs du plan
a
ba , b
Pour faire en sorte que , nous identifions la droite des nombres réels à la première
composante
a
0a, en particulier
1
01
La deuxième composante des nombres complexes est désignée par le facteur de i
0
bb i, en particulier
0
1i
Définition de l'addition
L'addition des nombres complexes coïncide avec l'addition usuelle des vecteurs du plan.
a
b
a
0
0
ba b i
C'est sous la forme z a b i, appelée forme cartésienne ou forme algébrique, que l'on
représente usuellement les nombres complexes. En d'autres termes
z z a b i, a , b
La première composante est appelée partie réelle, la deuxième partie imaginaire.
Les notations correspondantes sont les suivantes. Pour z a b i avec a et b ,
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Re z a,
Im z b.
z
1 a
i
b i
Les nombres réels sont des nombres complexes particuliers caractérisés par
z Im z 0
Les nombres de la forme z b i sont appelés imaginaires purs. Ils sont caractérisés par
Re z 0
Remarquons que la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel :
Im 3 5 i 5 i mais Im 3 5 i 5
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imagi-
naires sont égales :
z1 z2 Re z1 Re z2 et Im z1 Im z2
La règle d'addition des nombres complexes exprime que
* la partie réelle de la somme est égale à la somme des parties réelles et
* la partie imaginaire de la somme est égale à la somme des parties imaginaires.
Pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 ,
z2 a2 b2 i avec a2 et b2 ,
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i
(Voir Formulaires et tables). En d'autres termes, pour z1 et z2 ,
Re z1 z2 Re z1 Re z2 ;
Im z1 z2 Im z1 Im z2
Définition de la multiplication
La multiplication de deux nombres complexes est une opération qui, à deux nombres complexes,
fait correspondre un nombre complexe. Pour déterminer la multiplication complexe, nous utilisons
* d'une part les règles de calcul des corps,
* d'autre part, la nouvelle règle que nous voulons obtenir i2 1.
Nombres et fonctions complexes | 5
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z1 z2 a1 b1 i a2 b2 i
a1 a2 b1 b2 i2 a1 b2 i b1 a2 i
a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i
La multiplication des nombres complexes est définie comme suit
* la partie réelle du produit est égale au produit des parties réelles moins le produit des
parties imaginaires;
* la partie imaginaire du produit est égale à la partie réelle du premier multipliée par la partie
imaginaire du deuxième plus la partie imaginaire du premier multipliée par la partie réelle
du deuxième.
Pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 ,
z2 a2 b2 i avec a2 et b2 ,
z1 z2 a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i
(Voir Formulaires et tables). En termes équivalents, pour z1 et z2 ,
Re z1 z2 Re z1 Re z2 Im z1 Im z2 ;
Im z1 z2 Re z1 Im z2 Im z1 Re z2
La multiplication de deux nombres complexes se distingue
* du produit scalaire (le produit scalaire de deux vecteurs du plan donne un nombre réel)
* du produit vectoriel (le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace donne un
vecteur de l'espace)
C'est cette multiplication qui fait tout l'intérêt des nombres complexes.
, , est un corps
L'élément neutre pour la somme est 0 0 i 0.
L'élément neutre pour la multiplication est 1 0 i 1.
Nous montrerons dans le cadre des exercices que chaque nombre complexe non nul
z a b i, a, b , possède comme inverse a
a2 b2
b
a2 b2 i.
Les autres propriétés des corps se démontrent aisément. Nous en vérifierons quelques-unes dans
les exercices.
, , est une extension de
Pour des nombres complexes qui sont réels,
* l'addition complexe et l'addition réelle coïncident et
* la multiplication complexe et la multiplication réelle coïncident. En effet,
a 0 i b 0 i a b 0 0 i a b 0 i a b,
a 0 i b 0 i a b 0 0 a 0 0 b i a b 0 i a b.
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Solution de x2 1
Nous avons les résultats suivants :
i2 0 1 i 0 1 i 0 0 1 1 0 1 1 0 i 1
i 2 0 1 i 0 1 i 0 0 1 1 0 1 1 0 i 1
Finalement, le problème d'extension que nous nous étions posé est résolu.
Note historique et terminologique
Les mots réel, imaginaire et complexe ne doivent pas être pris dans leur sens usuel. Dans le con-
texte des mathématiques, les mots ont un sens particulier et technique.
Ce sont des raisons historiques qui expliquent la situation. Entre 1545 (Cardan) et 1799 (Gauss), on
a utilisé les nombres complexes formellement - comme un truc qui marche - sans pouvoir leur
donner un sens. De là vient le nom imaginaire. Par la suite, même après avoir construit mathéma-
tiquement les nombres complexes et prouvé leur existence, le nom imaginaire est resté.
C'est ainsi que les nombres imaginaires (au sens mathématique) sont néammoins réels (au sens
usuel), car ils existent (au sens mathématique). Par contre, les nombres imaginaires (au sens
mathématique) ne sont pas réels (au sens mathématique).
Voir exercices 1 à 4.
2. Forme polaire
Préparation : formes cartésienne et polaire d'un vecteur du plan
Etant donné un vecteur non nul sous la forme cartésienne va
b c'est-à-dire exprimé avec ses
composantes par rapport à une base orthonormée, on peut le représenter sous la forme , où
norme du vecteur v et
angle principal orienté (c’est-à-dire dans l’intervalle ]- ; ]) entre les vecteurs 1
0 et v .
Le couple , est appelé forme polaire du vecteur v .
Nombres et fonctions complexes | 7
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v
a
b
Si la forme polaire v , est donnée, on peut calculer la forme cartésienne correspondante
vcos
sin
Réciproquement, si la forme cartésienne va
b est donnée, on peut calculer la forme polaire
correspondante
a2
b2
Arccosa
si b 0
Arccosa
si b 0
Module
Le module d'un nombre complexe z est le nombre réel qui représente la norme du vecteur correspon-
dant. Sa définition est pour z a b i, avec a et b est donc
z a2 b2
On a les propriétés
z
z 0 et z 0 z 0
z2
Re z2
Im z2
i 1
La propriété suivante est appelée inégalité du triangle
z1 z2 z1 z2
Argument
L'argument d'un nombre complexe non nul z a b i, avec a, b , est la mesure principale de
l'angle orienté entre les vecteurs 1
0 et
a
b. Son expression est
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Arg zArccos
Re z
zsi Im z 0
Arccos Re z
zsi Im z 0
L'argument du nombre complexe zéro n'est pas défini.
On a les propriétés
Arg z
Arg z
Arg 1 0
Arg i2
Arg 1
Arg i2
z
z
Arg z
Re z
Im z
Forme polaire d'un nombre complexe
Soit z a b i un nombre complexe non nul et va
b le vecteur correspondant du plan. La forme
polaire du vecteur est
v , avec z et Arg z
La forme cartésienne du vecteur est
vcos
sinavec z et Arg z
Le nombre complexe correspondant est le même nombre complexe z, mais écrit sous la forme
polaire
z cos i sin avec z et Arg z
z z cos Arg z i sin Arg z
Conjugaison
Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe z dont la partie imaginaire est l'op-
posé de celle de z. Pour z a b i avec a et b , nous avons donc
Nombres et fonctions complexes | 9
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z—
a b i
En d'autres termes,
Re z—
Re z
Im z—
Im z
z
z
Relations du conjugué complexe avec le module, la partie réelle et la partie
imaginaire
Si z alors z—
z. D'autre part,
z z—
z 2 ;
Re zz z
—
2;
Im zz z
—
2 i
En effet, pour z a b i avec a et b ,
z z—
a b i a b i a2 b2 i2 a b b a i a2 b2 z 2
z z—
2
a b i a b i
2
2 a
2a Re z
z z—
2 i
a b i a b i
2 i
2 b i
2 ib Im z
z—
z ;
Arg z—
Arg z
Pour la démonstration, nous allons utiliser la parité des fonctions trigonométriques
cos cos
sin sin
En partant de la forme polaire de z
z cos i sin avec Arg z
dont le conjugué complexe est
z—
cos i sin cos i sin
on voit que
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z—
z
Arg z—
Arg z
Conjugué de la somme, du produit et du quotient
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1
z2
z1
z2
(Voir Formulaires et tables). En effet, pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 , z2 a2 b2 i avec
a2 et b2 ,
z1 z2 a1 b1 i a2 b 2 i a1 a2 b1 b2 i
a1 a2 b1 b2 i a1 b1 i a2 b 2 i a1 b1 i a2 b 2 i z1 z2
D'une part,
z1 z2 a1 b1 i a2 b 2 i
a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i
D'autre part,
z1 z2
a1 b1 i a2 b 2 i a1 b1 i a2 b 2 i a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i
La démonstration de la règle du conjugué du quotient est l'objet d'un exercice.
Voir exercice 5.
Inverse d'un nombre complexe
1
z
z—
z z—
z—
z 2
Appliquons cette relation pour calcul de l'inverse de 1
8 5 i:
1
8 5 i
8 5 i
8 5 i 8 5 i
8 5 i
82 52
8 5 i
89
8
89
5
89i
On utilise aussi cette relation pour effectuer la division de deux nombres complexes:
30 6 i
8 5 i30 6 i
1
8 5 i30 6 i
8 5 i
89
1
8930 6 i 8 5 i
1
8930 8 6 5 30 5 6 8 i
1
89270 102 i
270
89
102
89i
Voir exercices 6 et 7.
Egalité de deux nombres complexes en forme polaire
Nous constatons que les nombres complexes
z1 cos2
3i sin
2
3 et z2 cos
4
3i sin
4
3
sont égaux car ils ont même module et 2
32
4
3.
Plus généralement, deux nombres complexes écrit en notation trigonométrique sont égaux si et
Nombres et fonctions complexes | 11
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seulement si leurs modules sont égaux et leurs “angles” ne diffèrent que d'un nombre entier de
tours :
Si z1 r1 cos 1 isin 1 et z2 r2 cos 2 isin 2
alors z1 z2 r1 r2 et 1 2 k 2 pour un k .
Pour dire que deux angles 1 et 2 sont égaux "à des tours entiers près", Gauss a introduit la
notation suivante qui se lit " 1 est congru à 2 modulo 2 ":
1 2 mod 2 1 2 k 2 pour un k
Avec cette notation, la proposition s'écrit
z1 z2 z1 z2 et 1 2 mod 2
qu'on exprime verbalement comme suit : le module de z1 est égal au module de z2 et 1 a est
congru 2 modulo 2 .
Interprétation géométrique de la multiplication
Nous avons le résultat suivant pour z1, z2 :
z1 z2 z1 z2 ;
Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2 mod 2
Démonstration
Nous allons utiliser les formules d'addition d'arcs de la trigonométrie
cos 1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2
sin 1 2 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2
Ecrivons les nombres complexes sous la forme polaire
z1 1 cos 1 i sin 1 avec 1 z1 , 1 Arg z1
z2 2 cos 2 i sin 2 avec 2 z2 , 2 Arg z2
z1 z2 cos i sin avec z1 z2 , Arg z1 z2
On obtient
cos i sin z1 z2
1 cos 1 i sin 1 2 cos 2 i sin 2
1 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2
i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2
1 2 cos 1 2 i sin 1 2
d'où on tire
1 2
1 2 k 2 , k , c ' est–à–dire 1 2 mod 2
En mots (voir figure)
le module du produit est égal au produit des modules,
l'argument du produit est congru à la somme des arguments modulo 2 .
12 |Applications des mathématiques
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z1
z2
z1z2
1
2
1
2
En d'autres termes (voir Formulaires et tables):
1 cos 1 i sin 1 2 cos 2 i sin 2
1 2 cos 1 2 i sin 1 2
Voir exercice 8.
Interprétation
Géométriquement la multiplication par une nombre complexe a correspond donc la composition
d’une homothétie de rapport a et d’une rotation d’angle Arg a autour de l’origine.
Voir exercices 9 et 10.
Formules de de Moivre (1730)
Pour n et z nous avons
zn = z n ,
Arg (zn) n Arg (z) (mod 2 ).
En d'autres termes, (voir Formulaires et tables):
cos i sin n n cos n i sin n pour n
Démonstration 1
Par récurrence (exercice en classe)
Nombres et fonctions complexes | 13
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Démonstration 2
En utilisant les règles précédemment établies pour le produit
z2 z z z z z 2
Arg z2 Arg z z Arg z Arg z 2 Arg z mod 2
En itérant
z3 z2 z z2 z z 2 z z 3
Arg z3 Arg z2 z Arg z2 Arg z
2 Arg z Arg z 3 Arg z mod 2
Pour n 1, on peut écrire ces formules sous la forme polaire et effectuer des produits itérés :
z cos i sin avec z et Arg z
z2 2 cos 2 i sin 2
...
zn n cos n i sin n
La formule est ainsi vérifiée pour n 0. Pour n 0 et z 0, on a
z0 1 z 0
Arg z0 Arg 1 0 0 Arg z mod 2
Pour les exposants entiers négatifs, on peut se ramener aux cas précédents. En effet, pour n 0,
z n zn z n zn 1 1
z n1
zn
1
z nz n
Arg z n Arg zn Arg z n zn Arg 1 0 mod 2
Arg z n Arg zn n Arg z mod 2
Propriétés
Pour n 1, les formules de de Moivre nous donnent un cas particulier intéressant qui exprime le
module et l'argument de l'inverse:
1
z=
1
z;
Arg (1
z) - Arg (z) (mod 2 )
1
(cos ( ) + i sin ( ))=1(cos (- ) + i sin (- ))
Notation exponentielle
L'exponentielle réelle possède les propriétés suivantes (rappel)
ex y ex ey
ex 2 ex ex ex x e2 x
...
14 |Applications des mathématiques
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ex n en x où e 2.718
Pour représenter les nombres complexes, nous introduisons alors la notation suivante, appelée
notation exponentielle :
ei cos i sin
En voici quelques cas particuliers
ei 0 1
ei
2 i
ei
2 i
La forme polaire prend alors la forme suivante
z ei où z et Arg z mod 2 , c ' est–à–dire
ei ;
Arg ei mod 2
L'égalité de deux nombres complexes non nuls prend la forme suivante
1 ei 1
2 ei 2
1 2 et 1 2 mod 2
Dans cette notation, le produit de deux nombres complexes prend une forme simple
1 ei 1
2 ei 2
1 2 ei 1 2
(Voir Formulaires et tables). En effet,
1 ei 1
2 ei 2
1 cos 1 i sin 1 2 cos 2 i sin 2
1 2 cos 1 2 i sin 1 2
1 2 ei 1 2
Le conjugué d'un nombre complexe est
ei e i
En effet,
ei cos i sin
cos i sin cos i sin ei e i
Les parties réelle et imaginaire sont données par
Re ei cosei e i
2;
Im ei sinei e i
2 i
En effet,
ei e i
2
cos i sin cos i sin
2
cos i sin cos i sin
2
2 cos
2cos Re cos i sin Re ei
Nombres et fonctions complexes | 15
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ei e i
2 i
cos i sin cos i sin
2 i
cos i sin cos i sin
2 i
2 i sin
2 isin Im cos i sin Im ei
L'inverse d'un nombre complexe est
1
ei
1e i
En effet, posons z1 ei , z21
e i et vérifions que z1 z2 1
ei1e i
1ei e i 1 ei i ei 0 cos 0 i sin 0 1
La formule de de Moivre s'écrit
ein n ei n pour n
En effet, pour n , on a
ein
cos i sin n
n cos n i sin n ei n
Remarque
Euler a démontré dans une publication de 1748 que la notation exponentielle est en réalité une
égalité. Pour cela, il a travaillé avec la défnition de l’exponentielle faite à l’aide d’un développement
en série et a étendu cette définition aux nombres complexes. Une conséquence de cette égalité est
la formule suivante
ei 1
qui est célèbre car elle relie trois constantes mathématiques fondamentales : le nombre , le nom-
bre e et le nombre i.
Racines complexes
Pour déterminer les racines complexes nème de z, on cherche les nombres (sous la forme polaire)
ei tels que
ein
z
n ei n z
n Abs z et n Arg z mod 2
n Abs z et n Arg z k 2 , k
Abs zn
etArg z
nk2
n, k
Abs zn
etArg z
nk2
n, k 0, 1, ..., n 1
Retenons que tout nombre complexe non nul possède n racines complexes.
Voir exercices 11 à 27.
16 |Applications des mathématiques
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3. Nombres complexes dans Mathematica
Généralités
Si on utilise le clavier, c'est le symbole I qui désigne l’unité imaginaire.
w1
8 5 I
8
89
5
89
z30 6 I
8 5 I
270
89
102
89
Si on utilise la palette, c'est le symbole de la palette graphique (raccourci ii ) qui désigne
l’unité imaginaire.
w1
8 5
8
89
5
89
z30 6
8 5
270
89
102
89
Des fonctions permettent de calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué :
partie réelle
Re w
8
89
partie imaginaire
Im w
5
89
conjugué
Conjugate w
8
89
5
89
Mathematica peut aussi calculer le module et l'argument:
Nombres et fonctions complexes | 17
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valeur absolue
Abs z
626
89
valeur numérique
N
3.24297
argument arg
Arg z
ArcTan17
45
valeur numérique
N
0.361204
argument arg
Arg1
1 3
ArcTan
1
4
3
4
1
4
3
4
simplifie complè
FullSimplify
argument arg
Arg1
1 3
12
La notation exponentielle est reconnue. Pour désigner l'exponentielle, on peut utiliser soit la lettre E
du clavier, soit le caractère de la palette (raccourci ee ) :
626
89
ArcTan17
45
partie réelle
Re
270
89
partie imaginaire
Im
102
89
Résolution d’équations
Pour résoudre une équation dans le corps des nombres complexes, nous pouvons travailler avec
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Solve ou Reduce :
réduis
Reduce w x z, x
x 30 6
efface
Clear a, b ;
réduis
Reduce a b x y, x, y
y a b x
Dans les équations littérales, si des paramètres ou des inconnues sont des nombres réels, il faut
l'indiquer explicitement (le symbole se trouve dans la palette et son raccourci est elem ) :
réduis
Reduce a b x y && a
nombres réels
Reals && b
nombres réels
Reals && x
nombres réels
Reals && y
nombres réels
Reals, x, y
b a Reals && x a && y b
Mathematica ne donne pas toujours les solutions des équations sous forme cartésienne. Il est
possible d’y remédier grâce à la fonction ComplexExpand :
résous
Solve 2 3 x 3 x2 x3 0, x
x 2 , x 1 1 3 , x 1 2 3
développe des complexes
ComplexExpand
x 2 , x1
2
3
2, x
1
2
3
2
Remarquons que Mathematica ne retourne pas 1 pour la forme cartésienne de 1 1 3 mais la
solution de l’équation z3 1 d’argument positif minimal (pour rappel le calcul d’une racine cubique
réelle se fait avec CubeRoot et celui d’une racine réelle quelconque avec Surd).
Nous pouvons aussi calculer toutes les racines complexes d’une nombre. Déterminons par exem-
ple, les racines cubiques de 5 2 i
efface
Clear z ;
réduis
Reduce z3 5 2 , z
z 5 21 3
z 1 1 3 5 21 3
z 1 2 3 5 21 3
valeur numérique
N
z 1.73872 0.221722 z 0.677344 1.61664 z 1.06138 1.39492
Voir exercices 11 à 27.
Nombres et fonctions complexes | 19
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4. Approche géométrique des fonctions complexes
Représentation graphique des nombres complexes (complément)
Tout nombre complexe z x i y est défini par sa partie réelle x Re z et sa partie imaginaire
y Im z .
A chaque nombre complexe z, on peut faire correspondre :
- un point M x, y M z appelé image ponctuelle de z.
- un vecteur vzx
yOM appelé image vectorielle de z.
Réciproquement, à tout point M x, y 2 et à tout vecteur vz correspond le nombre com-
plexe z x iy. Cette correspondance se notera zM ou zv. Le nombre complexe zM est parfois
appelé affixe du point M.
Les correspondances entre l’ensemble des nombres complexes, le plan ponctuel et le plan vectoriel
sont bijectives. On parle communément du plan complexe (ou plan de Gauss ou encore plan d’Ar-
gand-Cauchy).
La représentation graphique de la somme et de la différence de deux nombres complexes, ainsi
que la multiplication d’un nombre complexe par un scalaire “correspondent aux opérations sur les
vecteurs”. En effet, on peut montrer que l’image vectorielle de la somme de deux nombres com-
plexes est égale à la somme vectorielle des vecteurs images (vz1 z2 vz1 vz2), que le nombre
complexe associé au vecteur M1 M2 est égal à la différence des nombres complexes z1 et z2 qui
définissent M1 et M2 (zM1 M2
= zM2zM1
) et que zv
zv.
Fonctions complexes du premier degré
Nous allons nous intéresser dans un premier temps à l’interprétation géométrique des fonctions
complexes du premier degré, c’est-à-dire des fonctions
f : , z' f z az b, a , b . Pour cela nous allons distinguer différents cas.
1er cas : z' f z z b
Posons vz OM, vb OB et vz' OM' .
On a : OM' = vz' vz b vz vb OM + OB.
On en déduit que l’effet de f, addition du nombre complexe b à z, est la translation Tv de vecteur
vb OB.
Cas particulier : la fonction complexe z' f z z b correspond à une translation de vecteur
-vb.
2ème cas : z' f z az, a
Noux avons vu précédement que f correspond à une similitude directe de centre O , de rapport
a et d’angle arg a , c’est-à-dire la composition d’une homothétie de centre O de rapport a
et d’une rotation autour de O d’angle ,
20 |Applications des mathématiques
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3ème cas : z' f z az b, a \ 0; 1
Nous commençons par rechercher le point fixe z0 de
f:
z0 f z0 z0 az0 b z0 1 a ba 1
z0b
1 a.
Nous constatons qu’il y a toujours un unique point fixe z0 et nous notons son image ponctuelle.
Comme f z0 z0, nous avons les égalités suivantes pour tout z :
f z az b a z z0 z0 b a z z0 az0 bf z0
a z z0 z0.
Il s’en suit que géométriquement f correspond à la composition d’une translation de vecteur O,
puis d’une similitude directe de centre O , de rapport a et d’angle arg a , et finalement à
un translation de vecteur O . La transformation géométrique associée à la fonction
f z az b, a \ 0; 1 est une similitude directe de centre , de rapport a et
d’angle arg a .
Voir exercices 28 à 31.
Fonction d’inversion
Exercice dirigé
Soit la fonction w f z1
z. Posons z x i y et w u i v avec
x; y , u; v 2\ 0; 0 .
1) Montrez que l’on a les relations suivantes : u x
x2 y21 et v y
x2 y22
2) Montrez que l’on peut déduire de (1 ) et (2) les relations suivantes :
xu
u2 v23 et y v
u2 v24
3) On veut déterminer l’image d’une droite d d’équations paramétriques :
d :x x0 cos ,
y y0 sin ,,
où est fixe et détermine la pente de la droite.
En utilisant les relations (3) et (4) et en éliminant le paramètre , montrez que la partie
réelle u et la partie imaginaire v de l’image d’un nombre complexe z d satisfont l’équation
sinu
u2 v2x0
v
u2 v2y0 cos
ou, en multipliant par u2 v2 ,
u2 v2 cos y0 sin x0 u sin v cos 0 5
4) Intreprétez la relation (5) selon que cos y0 sin x0 soit nul ou non.
Considérez les cas particuliers où les droites sont verticales ou horizontales.
Nombres et fonctions complexes | 21
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5) On veut déterminer l'image d'un cercle c d'équations paramétriques :
c :x x0 r cos ,
y y0 r sin ,0; 2 ,
où r est le rayon du cercle.
Eliminez le paramètre et utilisez les relations (3) et (4) pour montrer que la partie
réelle u et la partie imaginaire v de l'image d'un nombre complexe z c satisfont l'équation
r2 xo2 y0
2 u2 v2 2 ux0 vy0 1 6
6) Interprétez la relation (6) suivant que r2 xo2 y0
2 soit nul ou non.
Conclusions
a) L’image d’une droite passant par l’origine est inclue dans une droite passant par l’origine.
b) L’image d’une droite ne passant pas sur l’origine est inclue dans un cercle privé d’un point.
c) L’image d’un cercle passant par l’origine est inclue dans une droite.
d) L’image d’un cercle ne passant par l’origine est inclue dans un cercle.
Remarques
Il est possible de montrer que l’inclusion donnée en d) est une égalité. Il en est de même pour
celles des points a), b) et c) mais pour cela il faut ajouter un point à l’infini d’un plan complexe
et poser f 01
0 et f
10 (la justification de ceci dépasse le cadre de ce cours).
Pour que l’image par la fonction d’inversion d’un cercle ou d’une droite soit une droite, il faut que
le point soit atteint et ceci est possible uniquement si le cercle ou la droite de départ passe par
l’origine.
L’image d’un cercle ne passant par l’origine est sur un cercle mais l’image du centre ne
correspond pas au centre du nouveau cercle.
Nous n’avons par d’interprétation géométrique précise (en terme de similitude, translation,...) de
la fonction d’inversion. Par conséquent l’image d’un sous-ensemble du plan complexe autre
qu’une droite ou un cercle doit à chaque fois faire l’objet d’un calcul.
Fonctions homographiques complexes
Une fonction homographique est une fonction w f zaz b
cz d, avec a, b, c, d et
ad bc 0. Nous voulons déterminer l’image d’un cercle et d’une droite du plan complexe par une
fonction homographique. Pour cela, nous devons distinguer deux cas;
Si c 0 alors a 0 et d 0 (car a d b c 0) et la fonction f za
dz
b
d une fonction du premier
degré ce qui correspond à une similitude directe ou une translation.
Si c 0, une division polynomiale nous donne
f za
c
bad
c
cz d
a
c
bc ad
c
1
cz d
et la fonction peut être décomposée en une composition de plusieurs fonctions :
22 |Applications des mathématiques
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w1 z cz d (translation),
w2 z1
z(inversion),
w3 zbc ad
cz (similitude directe),
w4 z za
c(translation)
et w f z w4 w3 w2 w1 z .
Conclusions
Les translations, les inversions et les similitudes directes sont des transformations géométriques qui
conservent l'ensemble des droites et des cercles du plan de Gauss. Les fonctions homographiques
correspondant à une compostion de ces transformations géométriques ou uniquement à une simili-
tude, les fonctions homographiques conservent donc aussi l'ensemble des droites et des cercles du
plan complexe.
Remarques
Pour que l’image par une fonction homographique d’une droite ou d’un cercle soit une droite, il
faut que que le point soit atteint et ceci est possible uniquement l’image ponctuelle du zéro du
dénominateur de la fonction homographique appartient au cercle ou à la droite de départ.
Lorsque l’image d’un cercle par une fonction homographique est un cercle, l’image du centre du
cercle de départ n’est généralement pas le centre du cercle-image.
Nous n’avons par d’interprétation géométrique précise (en terme de similitude, translation,...) des
fonctions homographiques. Par conséquent l’image d’un sous-ensemble du plan complexe autre
qu’une droite ou un cercle doit à chaque fois faire l’objet d’un calcul.
5. L’ensemble de Mandelbrot
Définition
L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des nombres complexes c pour lesquels la suite
z0 0
zn 1 zn2 c pour n 0
ne converge pas vers l’infini.
Remarquons qu’il n’est pas exigé que le suite converge : ceci fait toute la difficulté (mais aussi
l’intérêt!) de l’étude de cet ensemble.
L’ensemble de Mandelbrot a été découvert par Julia et Fatou avant la première guerre mondiale. Il
porte le nom du mathématicien français Benoît Mandelbrot (1924-2010) qui a travaillé à la représen-
tation de “son” ensemble au début de l’air numérique et qui est un des piliers du début de l’étude
des objets fractals (objet dont l’aspect ne change pas ou peu lorsque l’échelle d’observation varie;
la fougère ci-dessous en est un exemple).
Nombres et fonctions complexes | 23
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Propriétés
L’intersection de l’ensemble de Mandelbrot avec les nombres réels est l’intervalle –2;1
4.
L’ensemble de Mandelbrot contient l’intérieur de la cardioïde d’équations paramétriques:
x1
4r cos
y r sinavec r
1
21 cos , [0;2 ]
Le disque de rayon 1
4 centré en 1; 0 est inclu dans l’ensemble de Mandelbrot
L’aire de l’ensemble de Mandelbrot vaut 1.50659177 0.00000008.
Le démonstration de ces propriétés sort du cadre de ce cours. Cependant, les trois premières
propriétés seront utilisées dans le cadre des exercices pour construire une esquisse grossière de
l’ensemble de Mandelbrot
Critère de non-appartenance
S’il existe N avec zN 2 alors limn zn et la valeur c utilisées pour définir la suite
n’appartient pas à l’ensemble de Mandelbrot.
Le démonstration de ce critère sort du cadre de ce cours. Cependant ce critère sera utilisé dans le
cadre des exercices pour construire une esquisse arbitrairement précise de l’ensemble de
Mandelbrot.
6. Exercices
Exercice 1 [Sans ordinateur]
Evaluez les expressions suivantes :
a) Re 2 4 i
b) Im 2 i
c) Re 21 i
d) Im 40
24 |Applications des mathématiques
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Exercice 2 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Montrez que 1
2
3
2i est une solution de l’équation x2 x 1 0.
Exercice 3 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Evaluez les expressions suivantes si z1 2 i, z2 7 i, z3 1 6 i et z4 4 i 10 :
a) Re z1 z2
b) Im 3 z3 z4
c) Re z12 z3
d) Re 2 4 iz3
e) Im z2 z3 z1
Exercice 4 [Sans ordinateur]
a) Démontrez que , , vérifie la loi de distributivité
x, y, z x y z x y x z
b) a, b désignant des nombres réels non simultanément nuls, démontrez que les deux
nombres complexes suivants
z1 a i b, z2a i b
a2 b2
sont inverses, c'est-à-dire
z1 z2 1
c) Pour , z , z1 , z2 , démontrez les propriétés suivantes
Re z1 z2 Re z1 Re z2
Im z1 z2 Im z1 Im z2
Re z Re z
Im z Im z
Exercice 5 [Sans ordinateur]
Soit z1, z2 . Démontrez que
z1
z2
z1
z2.
Exercice 6 [Sans ordinateur]
Mettez les nombres complexes suivants sous la forme cartésienne
1 + 2 i
1 - 2 i,
1
(1 + 2 i) (3 - i),
-2
1 - i 3
Nombres et fonctions complexes | 25
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Exercice 7 [Sans ordinateur]
Etablissez la formule pour calculer le quotient de deux nombres complexes donnés sous la forme
cartésienne
z1
z2
a1 b1 i
a2 b2 i... où z2 0, a1 Re z1 , ..., b2 Im z2
Vérifiez la réponse obtenue avec le formulaire.
Exercice 8 [Sans ordinateur]
A partir des règles de la multiplication
z1 z2 z1 z2
Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2 mod 2
démontrez les formules suivantes
a) Pour , 0 et z ,
Arg z Arg z
et donnez une interprétation géométrique.
b) Pour z2 , z2 0,
1
z2
1
z2
c) Pour z1 , z2 , z2 0,
z1
z2
z1
z2
d) Pour z2 , z2 0,
Arg1
z2Arg z2
e) Pour z1 , z2 , z2 0,
Argz1
z2Arg z1 Arg z2 mod 2
Exercice 9 [Sans ordinateur]
Un nombre complexe z étant donné, on s'intéresse au nombre complexe w z i.
a) Calculez w en fonction de z et
Arg w en fonction de Arg z .
b) Construisez le nombre complexe w avec la règle et le compas, c'est-à-dire dessinez
l’image ponctuelle d’un nombre complexe z puis construisez l’image ponctuelle de w.
c) Mêmes questions pour le nombre complexe w z i2.
Donnez une interprétation géométrique de la multiplication par i2 1.
d) Mêmes questions pour le nombre complexe w z i3.
Donnez une interprétation géométrique de la multiplication par i3 i.
26 |Applications des mathématiques
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Exercice 10 [Sans ordinateur]
a) Illustrez géométriquement l'opération d'addition dans : deux nombres complexes
z1, z2 étant donnés, construisez, avec la règle et le compas, le vecteur qui représente
le nombre complexe
w z1 z2
b) b étant un nombre complexe fixé, interprétez géométriquement la fonction
f z z b, z .
Exercice 11 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Déterminez le module et l'argument des nombres complexes suivants
z1 2 2 i, z2 1 i 3 , z1 z2,z1
z2
Exercice 12 [Sans ordinateur]
Etablissez la formule pour calculer le quotient de deux nombres complexes donnés sous la forme
polaire
z1
z2
1 ei 1
2 ei 2
... où z2 0, 1 z1 , ..., 2 Arg z2
Exercice 13 [Sans ordinateur et avec Mathematica]
a) [Sans ordinateur] Ecrivez le nombre suivant sous la forme cartésienne,
c'est-à-dire calculez sa partie réelle et sa partie imaginaire
3 i1967
b) [Avec Mathematica] Vérifiez la réponse obtenue, ainsi que certains calculs intermédiaires.
Exercice 14 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Résolvez dans l'équation
Re1 i z
1 i z0
et interprétez géométriquement l'ensemble des solutions dans le plan complexe.
Indication : écrivez z sous la forme z x i y avec x, y .
Nombres et fonctions complexes | 27
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Exercice 15 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
On donne
z1 i 3
1 i
a) Ecrivez z sous la forme polaire ou exponentielle.
b) Déterminez le plus petit entier positif n tels que zn soit réel.
c) Déterminez le plus petit entier positif n tels que zn soit imaginaire pur.
Exercice 16 [Sans ordinateur]
Soit z, z1, z2 tels que
1
z
1
z1
1
z2
a) Exprimez z, z , Re z et Im z en fonction de z1, z2.
b) Notons a1 Re z1 , b1 Im z1 , a2 Re z2 , b2 Im z2 .
Exprimez z , Re z et Im z en fonction de a1, b1, a2, b2.
c) Exprimez Arg z en fonction de z1, z2 et en fonction de a1, b1, a2, b2.
Exercice 17 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
On donne
z12
3
5
6i; z2
1
2
7
3i.
Calculez les expressions suivantes
a z12; b
1
z1; c
z2
z1
dz2
z1 z1; e Re
z1
z2; f
Re z1
Re z2
g Imz2
z1 z2; h
Im z2
Im z1 Re z2.
Représentez graphiquement les nombres complexes suivants dans le plan de Gauss:
z1; z2; z12;
1
z1;
z1
z2.
Exercice 18 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Résolvez dans les équations suivantes.
a 5 z 8 i z 81 5 i
b z 2 i z—
8 7 i
c z2 1 i
d z1
z1
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Exercice 19 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Calculez les expressions données.
a 1 i 3
b 1 i 4
c
k 1
25
ik
d
k 0
20
1 i k
Exercice 20 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Ecrivez sous la forme polaire les nombres complexes donnés.
a 2 2 i; b 2 2 i; c 2 2 3 i; d 3 i;
e a b; fa
c; g 1 i 7; h b c d;
j 1 i 4; k1
1 i 2; l k 0
12 1 i k
Exercice 21 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Exprimez les expressions trigonométriques cos 3 et sin 3 en fonction de cos et sin .
Indication: utilisez la formule de de Moivre.
Exercice 22 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Démontrez que
cos 156 2
4.
Indications: utilisez le fait que
12 3 4et cos
12Re e
i12 .
Exercice 23 [Sans ordinateur]
Donnez une méthode de construction à la règle et au compas du produit et du quotient de deux
nombres complexes donnés quelconques.
Indication: Etant donnés trois segments de longueurs 1, 1, 2, le théorème de Thalès permet de
construire un quatrième segment de longueur 1 2.
Nombres et fonctions complexes | 29
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Exercice 24 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
a) Calculez les racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les nombres complexes z tels que z3 1.
Indication : utilisez la forme polaire.
b) Représentez ces trois racines dans le plan de Gauss.
c) Vérifiez que ces trois racines sont de la forme 1, , 2 avec ei
2
3 .
Exercice 25 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
a) Calculez les racines n-èmes de l'unité, c'est-à-dire les nombres complexes z tels que zn 1.
Indication : utilisez la forme polaire.
b) Vérifiez que ces n racines sont de la forme 1, , 2, ..., n 1 avec ei2
n .
c) Pour n 12, représentez ces racines dans le plan de Gauss.
Exercice 26 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
a) Calculez les racines cubiques du nombre complexe i.
b) Représentez ces trois racines dans le plan de Gauss.
Exercice 27 [Facultatif]
A partir des développements en série entière des fonctions suivantes (voir Formulaires et tables):
x 1 xx2
2
x3
3
x4
4
x5
5
x6
6
x7
7
x8
8
x9
9...
cos x 1x2
2
x4
4
x6
6
x8
8
x10
10...
sin x xx3
3
x5
5
x7
7
x9
9
x11
11...
et sachant que les séries précédentes convergent absolument (c'est-à-dire qu'on peut réarranger
librement l'ordre des termes), montrez qu'on peut en tirer la relation d'Euler
cos sin
Exercice 28 [Sans ordinateur]
Exprimez sous la forme z f z les transformations du plan complexe suivantes :
a) Translation d’amplitude 3 2 i.
b) Rotation de centre O et d’angle 2
.
c) Symétrie d’axe i.
d) Symétrie dont l’axe est la droite d’équation Re z Im z 0.
e) Homothétie de centre O et de rapport 2.
f) Homothétie de centre 3 2 i et de rapport 3.
g) Rotation de centre 1 3 i et d’angle 2
.
30 |Applications des mathématiques
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Exercice 29 [Sans ordinateur]
On considère l’application f : définie par f z2
21 i z.
a) Déterminez la transformation géométrique correspondant à l’application f.
b) Déterminez l’image par f des nombres complexes dont l’image ponctuelle se trouve sur
l’axe des abscisses.
c) Déterminez l’image par f dont l’image ponctuelle se trouve sur le cercle trigonométrique.
Exercice 30 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
Mêmes questions qu’à l’exercice précédent mais pour f : , f z 2 i z 7 4 i.
Exercice 31 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
On considère l’application f : z z3 3 i z2 2 z 9 i.
a) Résolvez l’équation f z 9 i et montrez que l’image ponctuelle des trois solutions sont sur
une même droite du plan de Gauss.
b) Prouvez que w1 3 i est un point fixe de f , puis déterminez w2 et w3, les deux autres points
fixes de f .
c) Démontrez par un calcul que les trois points fixes sont les sommets d’un triangle équilatéral.
d) Montrez que si l’image ponctuel d’un nombre complexe z est sur l’axe imaginaire, alors
l’image ponctuel de f z sera également sur l’axe imaginaire.
e) Trouvez les nombres réels dont les images par f sont sur l’axe imaginaire.
Nombres et fonctions complexes | 31
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Exercice 32 [Sans ordinateur]
Soit A le point d’affixe i et soit B le point d’affixe 2.
a) Déterminez l’affixe du point B1, image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 2 .
b) Déterminez l’affixe du point B ', image de B1 par la rotation de centre A et d’angle 4
.
Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M’
d’affixe z ' tel que z ' f z 1 i z 1.
c) Montrez que f B B '.
d) Montrez que A est le seul point invariant par f .
e) Etablissez que, pour tout nombre complexe z distinct de i, z' z
i zi. Interprétez ce résultat en
termes de distances, puis en termes d’angles. Déduisez-en une méthode de construction de
M’ à partir de M (distinct de A).
f) Déterminez l’ensemble 1 des points M du plan dont l’affixe z vérifie z 2 2 .
g) Démontrez que z ' 3 2 i 1 i z 2 puis déduisez-en que, si le point M appartient à 1,
alors son image M’ par f appartient à un cercle 2 dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 33 [sans ordinateur]
Dans la définition d’une fonctions homographiques complexes f zaz b
cz d, nous faisons l’hy-
pothèse ad bc 0. Que signifie cette hypothèse?
Exercice 34 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
On considère l’application f : définie par f z1
2z
1
z.
a) Trouvez les nombres complexes qui ont pour image i.
b) Déterminez l’image par f de la droite i .
Exercice 35 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]
On considère l’application f : définie par f z1
z.
a) Déterminez le domaine de définition de f et l’ensemble de ses points invariants.
b) Déterminez l’image par f de la droite D z z 1 it, t .
32 |Applications des mathématiques
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Exercice 36 [Sans ordinateur et avec Mathematica]
On considère l’application f : zi z
i z.
a) Déterminez à la main le domaine de définition.
b) Déterminez à la main l’expression analytique de la fonction r f , réciproque de f .
c) Déterminez à la main l’ensemble des points du plan de Gauss qui sont fixes par f .
d) Déterminez à la main l’image par f de l’ensemble A : z z 2 1 .
e) Déterminer à l’aide de Mathematica le lieu géométrique de l’image par f des
nombres complexes dont l’affixe se trouve sur la droite d : y 2 x.
Exercice 37 (BAC 2010) [sans ordinateur]
On considère la fonction complexe f : définie par f z i z 3 1.
a) Calculez le(s) zéro(s) de f .
b) Déterminez l’expression analytique de la fonction r f , réciproque de f .
c) Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de z on a f z 2 2 i.
d) Déterminez l’ensemble des points du plan de Gauss qui sont fixes par f .
e) Déterminez l’image par f des nombres complexes dont l’image ponctuelle se trouve sur le
cercle unité de centre 1; 1 en utilisant une représentation paramétrique de ses points.
Question supplémentaire : déterminez la transformation géométrique associée à f .
Exercice 38 [Sans ordinateur et avec Mathematica]
a) Démontrez à la main l’appartenance (ou non) des nombres 0, 1 et 1 à l’ensemble de
Mandelbrot.
b) Vérifiez vos résultats en utilisant la fonction appropriée de Mathematica.
Exercice 39 [avec Mathematica]
Dessinez une approximation de l’ensemble de Mandelbrot à partir des trois premières propriétés
données.
Nombres et fonctions complexes | 33
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Exercice 40 [avec Mathematica]
Le but de cet exercice est de dessiner une approximation de l’ensemble de Mandelbrot (ce dessin
sera une approximation car nous n’avons pas de critère d’appartenance). Pour se faire, procéder
de la façon suivante :
1. Définissez un module couleur candidat,n qui retourne White si zn 2 pour
c candidat (cela signifie que nous sommes certains que candidat n’appartient pas à
l’ensemble de Mandelbrot) et Blue sinon (ce qui signifie que candidat appartient peut-être à
l’ensemble de Mandelbrot).
2. Définissez un fonction carre x,y ,dim qui retourne une primitive graphique correspondant à
un carré de côté dim centré en x,y . Comme carre est une primitive graphique (au même
titre que Circle, Line,...), l’affichage d’un ou plusieurs carrés se fera en utilisant la fonction
Graphics.
3. Définissez une fonction mandelbrot xmin,ymin , xmax,ymax , ,it qui fait le dessin
désiré avec la marche à suivre ci-dessous. Attention, afin d’éviter de longues attentes de
réponse de Mathematica, faites d’abord des tests avec peu d’itérations de la suite zn et
peu de points.
3.1. Définissez la fonction Mandelbrot pour qu’elle génére un liste de points allant de
xmin,ymin à xmax,ymax avec une distance entre chaque abscisse et chaque
ordonné (on parle de maillage de largeur ).
Par exemple, mandelbrot 2, 1 , 1,1 ,0.5,15 générere la liste de points
{{-2,-1},{-2,-0.5},{-2,0},...{1,0.5},{1,1}}.
3.2. Modifiez la fonction mandelbrot pour qu’elle génére une liste de couples couleur-carré
avec :
des carrés de côté centrés sur les points du maillage précédent (reprendre pour cela la
fonction carre),
la couleur déterminée par la fonction couleur pour it itérations de la suite zn , le
candidat étant le centre du carré considéré.
Par exemple, mandelbrot 2, 1 , 1,1 ,0.5,15 générere puis évalue la liste
couleur 2, 1 ,15 ,carre 2, 1 ,0.5 , couleur 2, 0.5 ,15 ,
carre 2, 0.5 ,0.5 ,..., couleur 1,1 ,15 ,carre 1,1 ,0.5
3.3. Nous avons alors une liste de couples couleur-carré qu’il ne reste plus qu’à afficher :
modifiez la fonction précédente pour que cet affichage se fasse.
4. Dessinez une approximation de l’ensemble de Mandelbrot entre 2; 1 et 0.5; 1 avec un
maillage de un centième de largeur et 15 itérations de la suite zn .
34 |Applications des mathématiques
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