Nombre Fecha Clase - on.mac-eg.com · Haz un plan Sean a 1 el primer término de la sucesión, r la razón común y n el término que deseas hallar. a n n a ... ¿Cuál es la longitud
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Una sucesión geométrica es una sucesión en la que la razón común, r, es la misma en cada término sucesivo.
En la tabla se muestra la distancia que recorre el péndulo de un reloj durante sus primeras tres oscilaciones. Los valores forman una sucesión geométrica. ¿Cuál será la longitud de la sexta oscilación? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Comprende el problema
1. ¿Cuál es la longitud de la primera oscilación? 2500 cm
2. ¿Cuál es la longitud de la segunda oscilación? 2250 cm
3. ¿Qué se te pide que halles? la longitud de la 6ta oscilación
Haz un planSean a 1 el primer término de la sucesión, r la razón común y n el término que deseas hallar. a n � a 1 r n�1
4. Halla la razón común: r � a 2
__ a 1 � 2250
______ 2500 � 0.9
5. ¿Cuál es el valor de n ? 6
6. Sustituye los valores de la tabla en la fórmula. a 6 � 2500 � 0.9 � 6 �1
Resuelve
7. Simplifica la ecuación evaluando primero el exponente.
a 6 � 2500(0.9)5
a 6 � 2500 � 0.59049 � a 6 � 1476.225
8. ¿Qué número está en la posición de las centésimas? 2
9. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. a 6 � 1476.23 cm
10. La longitud de la sexta oscilación es 1476.23 cm .
Repasa
11. Para comprobar tu respuesta, divídela entre la razón común 0.9. Repite tres veces este proceso para hallar el 5to, 4to y 3er término de la sucesión. Anota tus respuestas en la siguiente tabla.
5 4 3
1476.23 __________ 0.9 � 1640.25
1640.25 __________ 0.9 � 1822.5
1822.5 _________ 0.9 � 2025
¿Tu resultado para el 3er término concuerda con el valor de la tabla original? Sí
11A
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-1 Sucesiones geométricas
Una función exponencial es una función en la que la variable independiente aparece como exponente.
La función f (x) � 10(1.1 ) x da la longitud, en pulgadas, de un modelo de avión después de agrandarlo 10% x veces. ¿Cuál es la longitud del avión después de agrandarlo 5 veces? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Comprende el problema
1. ¿Cuál es la longitud del modelo de avión antes de agrandarlo? 10 pulgadas
2. ¿Cuál es la razón común? 1.1
3. ¿Qué se te pide que halles? la longitud del modelo de avión
después de agrandarlo 5 veces
Haz un plan
4. Para hallar la longitud del avión después de que se lo agrandó 5 veces, sustituye x por 5 .
5. Sustituye x por su valor en la función. f (x) � 10(1.1 ) x
f ( 5 ) � 10(1.1)5
Resuelve
6. Simplifica la ecuación evaluando primero el exponente.
f ( 5 ) � 10(1.1)5
f ( 5 ) � 10( 1.61051 )
f ( 5 ) � 16.1051
7. ¿Qué número está en la posición de las milésimas? 5
8. ¿Cuál es la longitud del avión después de agrandarlo 5 veces, a la centésima más cercana?
16.11 pulg.
Repasa
9. Usa una calculadora de gráficas para representar gráficamente la función f (x) � 10(1.1 ) x .
Usa la función TRACE para mover el cursor hacia donde el valor de x es aproximadamente 5. ¿Cuál es el valor correspondiente aproximado de y? 16
10. ¿Este valor de y coincide con tu respuesta del Ejercicio 8? Sí
11A
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-2 Funciones exponenciales
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial
Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 11-3 y el Glosario multilingüe.
Crecimiento exponencialEscribe una función para representar cada situación. Luego, halla el valor de la función después de la cantidad dada de tiempo. Redondea al dólar más cercano.
A. Se invierten 20,000 dólares durante 15 años a una tasa del 1%.
Una función de crecimiento exponencial del tipo y � c(1 � r ) t donde:
• c representa la cantidad original ó $ 20,000 .
• r representa la tasa , ó 1 %.
• t representa el tiempo .
Sustituye estos valores en la fórmula y � c(1 � r ) t .
y � 20,000 � 1 � 0.01 � t
Ahora, sea t � 15 años y halla y.
y � 20,000 (1.01) 15
y � 20,000 � 1.160968955 � y � 23,219.38
El valor de la inversión en 15 años será de $ 23,219 .
B. Se invierten $6000 a una tasa de 2.5% que se ajusta semianualmente durante 8 años.
La fórmula para el interés compuesto es A � C � 1 � r __ n � nt donde:
• A representa el saldo después de t años .
• C representa la cantidad original . ¿Cuál es la cantidad original? $6000
• r representa la tasa anual de interés. ¿Cuál es la tasa de interés? 2.5%
• n representa la cantidad de veces que se
ajusta el interés por año.
Semianual significa 2 veces por año.
Sustituye estos valores en la fórmula. A � 6000 � 1 � 0.025 ______
2 � 2 t
Ahora, sea t � 8 años y halla A.
A � 6000 � 1 � 0.025 _____
2 � 2 8
A � 6000(1.0125) 16
A � 6000( 1.22 )
La cantidad de dinero en 8 años será $ 7320 . A � 7320
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial
El crecimiento y el decremento exponencial representan muchas situaciones de la vida real, como la población, el valor, la vida media, etc.
Un determinado isótopo tiene una vida media de casi 2 años. ¿Aproximadamente cuánto quedará de una muestra de 50 g después de 20 años? Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
Comprende el problema
1. ¿Qué cantidad del isótopo hay antes de que comience a descomponerse? 50 g
2. ¿Cuál es la vida media del isótopo? 2 años
3. ¿Qué se te pide que halles? la cantidad que queda después de 20 años
Haz un planSean A la cantidad final, C la cantidad original y t la cantidad de vidas medias en un periodo dado. A � C(0.5 ) t
4. Halla el valor de t : t �
� 20 ____ 2 � 10
5. ¿Cuál es el valor de C ? 50
6. Sustituye los valores conocidos en la fórmula. A � 50(0.5)10
Resuelve
7. Resuelve la ecuación para A evaluando primero el exponente.
A � 50(0.5)10
A � 50( 0.0009765625 )
A � 0.048828125
8. ¿Qué número está en la posición de las diezmilésimas? 8
9. Redondea tu respuesta a la milésima más cercana. A � 0.049 g
10. ¿Cuántos gramos del isótopo quedan de una muestra de 50 gramos después de 20 años? �0.049 g
Repasa
11. Sustituye A por tu respuesta 0.049 � C(0.5 ) 10 del Ejercicio 10 y halla C.
Los diferentes tipos de modelos pueden describir diferentes situaciones. Primero debes mirar los datos y determinar el patrón. Es posible que las funciones cuadráticas, lineales o exponenciales representen los datos.
Usa los datos de la tabla para describir cómo cambia el valor de un libro de edición limitada. Luego, escribe una función que represente los datos. Usa tu función para predecir el valor del libro de edición limitada dentro de 16 años.
Comprende el problema
1. ¿Qué es lo primero que se te pide que hagas? describir cómo cambia el valor
2. ¿Cuál es la segunda parte del problema? escribir una función que represente los datos
3. ¿Cuál es la parte final del problema? predecir el valor del libro dentro de 16 años
Haz un plan
4. Determina la razón común.
r � 62.50 ______ 50 � 1.25 r � 78.13
______ 62.50 � 1.25 r � 97.66 ______ 78.13 � 1.25
5. ¿Hay una razón común? Sí
6. El valor del libro se incrementa 25 % por año.
ResuelveRecuerda la forma general de una función exponencial, donde a es el primer valor y b es la razón común. y � a b x
7. ¿Cuál es la razón común? 1.25
8. ¿Cuál es el valor del libro en el año 0? $50
9. Usa los valores de los Ejercicios 7 y 8 para escribir la función. y � 50( 1.25 ) x
y � 50( 1.25 )16
y � 50( 35.53 )
y � 1776.50
10. Sustituye x por 16 y halla y.
11. En 16 años, el valor del libro de edición limitada
será de $1776.50 .
Repasa
12. Sustituye y por tu respuesta en la función original y halla a. 1776.50 � a( 1.25 )16
1776.50 � a( 35.53 )
1776.50 _______
35.53 �
a( 35.53 ) _________
35.53
50 � a 13. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-4 Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales11A
4. El primer término de una sucesión geométrica es 4 y la razón común
es 2. ¿Cuál es el 8vo término de la sucesión? 512
5. En la tabla se muestra la altura a la que llega una pelota de Rebote Altura (pulg)
1 108
2 54
3 27
básquetbol en sus primeros tres rebotes. Los valores forman una sucesión geométrica. ¿Cuál será la altura del 8vo rebote?
27 ___ 32
pulg
11-2 Funciones exponenciales
6. La función f (x) � 18(0.8 ) x da la longitud, en pulgadas, de una fotografía luego de una reducción del 20% x veces. ¿Cuál es la longitud de la fotografía después de reducirla 8 veces? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
3.02 pulg
Representa gráficamente cada función exponencial.
7. y � 4 x 8. y � 3(3 ) x 9. y � �3(2 ) x 10. y � �(0.75 ) x
x
–5
5
–5 5
x
–5
5
–5 5
x
–5
5
–5 5
x
–5
5
5
11. La función f (x) � 600(0.4 ) x da la cantidad en miligramos de una aspirina que permanece en el sistema de un paciente x horas después de haber tomado una dosis de 600 miligramos. ¿En cuántas horas habrá menos de 100 mg del medicamento en el sistema del paciente?
11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial Escribe una función para representar cada situación. Luego, halla el valor de la función después de la cantidad de tiempo dada.
12. El salario de Gary es de $25,000 y espera recibir un aumento de 4% por año; 10 años.
y � 25,000(1.04 ) x ; $37,006.11
13. Se invierten $4,000 a una tasa de 6.5% que se ajusta mensualmente; 5 años.
y � 4000 � 1 � 0.065 _____ 12 � 12t
; $5531.27
14. Un automóvil de $2,600 se devalúa a una tasa del 12% anual; 6 años.
y � 2600(0.88 ) x ; $1207.45
15. El nobelio-255 tiene una vida media de 3 minutos. ¿Alrededor de qué cantidad de nobelio-255 quedará de una muestra de 2000 mg después de 1 hora? Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
A � 2000(0.5 ) 20 ; aproximadamente 0.002 mg
11-4 Modelos lineales, cuadráticos y exponencialesRepresenta gráficamente cada conjunto de datos. ¿Qué clase de modelo describe mejor los datos?
Busca un patrón en cada conjunto de datos para determinar qué clase de modelo describe mejor los datos.
18. {(�5, 7),(�3, 6),(3, 3),(4, 2),(5, 1)}
lineal exponencial
20. Usa los datos de la tabla para describir cómo cambia el valor de la obra de arte. Luego, escribe una función que represente los datos. Usa tu función para predecir el valor de la obra de arte dentro
de 18 años. El valor crece
a una tasa de 10% cada año. y � 500(1.1 ) x ; $2780
Una serie es la suma de una sucesión de términos. En otras palabras, una serie es una lista de números con operaciones de suma entre ellos. Las series pueden ser finitas, es decir, que tienen un final, o infinitas. Una serie geométrica es una sucesión de números tal que el cociente de dos números sucesivos cualesquiera forma una razón común.
Una serie geométrica se puede escribir como S n � � k�0
n
a r k donde r � 0 es la razón común y
a es un factor de escala. La letra griega sigma, �, representa la suma de cada término de la sucesión. Por ejemplo:
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-5 Funciones de raíz cuadrada11B
SECCIÓN
Una función de raíz cuadrada es una función en la que la variable se incluye en el radicando.
Sobre el cemento mojado, la función f (x) � ��
12x da la velocidad en millas por hora cuando la longitud de la marca de la frenada es x pies. Halla la velocidad a la que se desplazaba el automóvil si dejó una marca de frenada de 210 pies de largo. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Comprende el problema
1. ¿Qué representa x en la función? Representa la longitud de la marca de la frenada.
2. ¿Qué representa f (x)? la velocidad en millas por hora
3. ¿Qué se te pide que halles? la velocidad del automóvil
Haz un plan
4. ¿Cuál es la longitud de la marca de la frenada? 210 pies
5. ¿Qué variable sustituyes por el valor 210? x
Resuelve
6. Sustituye x por el valor dado en la función. f (210) � ��
12( 210 )
f (210) � ��
2520
f (210) � 50.1996
7. ¿A qué posición se te pide que redondees tu respuesta? centésimas
8. ¿Qué número ocupa la posición de las milésimas? 9
9. La velocidad del automóvil era 50.20 mi/h.
Repasa
10. Para comprobar tu respuesta, sustituye f (x) y halla x.
Hay un tipo de expresión radical que contiene raíces cuadradas. Estas expresiones se pueden simplificar o escribir como un número con decimal.
¿Cuál es la longitud de la diagonal de un marco rectangular que mide 18 pulgadas de ancho y 20 pulgadas de largo? Da la respuesta como una expresión radical en su mínima expresión. Luego, estima la longitud a la décima de pulgada más cercana.
Comprende el problema
1. ¿Qué es lo primero que se te pide que hagas? hallar la longitud de la diagonal
2. ¿Cuál es la segunda parte del problema? escribir la respuesta como una expresión radical
3. ¿Cuál es la parte final del problema? estimar la longitud de la diagonal del marco
Haz un plan
4. Un rectángulo se puede dividir en dos triángulos rectángulos .
5. ¿Qué fórmula puedes utilizar para hallar la longitud de la diagonal de un triángulo rectángulo?
el teorema de Pitágoras
6. Completa con los valores dados en el diagrama. x ___ pulg
___ pulg
20
18Resuelve
Recuerda el teorema de Pitágoras, a 2 � b 2 � c 2 , donde a y b son las longitudes de los catetos del triángulo y c es la longitud de la hipotenusa.
7. ¿Cuál es la longitud de cada cateto? 18 pulg y 20 pulg
8. ¿Qué variable representa la longitud de la diagonal? c
9. Sustituye la fórmula por los valores de los Ejercicios 7 y 8. 18 2 � 20 2
� c 2
10. Simplifica la ecuación. 18 2 � 20 2
� c 2
324 � 400 � c 2
724 � c 2
��
724 � ��
c 2
��
4 � 181 � c
2 ��
181 � c
11. Estima la longitud a la décima de pulgada
más cercana. 2 ��
181 � c
2 � 13.4536 � c
26.9 � c
La diagonal del marco mide 26.9 pulg.
Repasa
12. Sustituye c por tu respuesta y comprueba tu respuesta. a 2 � b 2 � c 2
1 8 2 � 2 0 2 � 26.9 2
724 � 723.61 13. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí
¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-6 Expresiones radicales 11B
1. Sobre el asfalto caliente, la función f (x) � ��
15x da la velocidad en millas por hora cuando la longitud de la marca de una frenada es x pies. Halla la velocidad a la que se desplazaba un automóvil si dejó una marca de frenada de 300 pies de largo. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 67.08 mi/h
Halla el dominio de cada función de raíz cuadrada.
2. y � ��
2x � 5 3. y � ��
x � 7 4. y � ��
3x � 12
x � 0 x � 7 x � 4
Representa gráficamente cada función de raíz cuadrada.
5. f (x) � ��
x � 4 6. f (x) � �� x � 2 7. f (x) � �
� 5 � 2x
x
y
–5
5
–2 8 4
x
–5
5
–5 5
y
x
–5
5
–5 5
y
11-6 Expresiones radicalesSimplifica. Todas las variables representan números no negativos.
8. ��
72 9. �� 343 ____
7 10. ��
x 4 y 5 11. ��
243 m 2 n
6 ��
2 7 x 2 y 2 ��
y 9m ��
3n
12. �� 24 ___
49 13. ��
192 ____ 144
14. ��
9 x 2 ___ 25
15. ��
98 x 10 _____ 64 x 6
2 �
� 6 ___
7
2 �
� 3 ___
3
3x ___ 5
7 x 2 �
� 2 ______ 8
16. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un estacionamiento rectangular de 100 m de largo y 180 m de ancho? Da la respuesta como expresión radical en su mínima expresión. Luego, estima la longitud a la décima de metro más cercana. 20 �
Deriva la fórmula de distancia del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras, a 2 � b 2 � c 2 , puede usarse para hallar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo dadas las longitudes de los dos catetos. En la siguiente figura se muestra que puede crearse un triángulo rectángulo entre dos puntos cualesquiera.
y
x
–5
5
–5 5
(x1, y1)
(x2, y2)
A
B
y
x
–5
5
–5 5
(x1, y1)
(x1, y2)(x2, y2)
A
Ba
b c
Teorema de Pitágoras
a 2 � b 2 � c 2
( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � c 2
���
( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � ��
c 2
���
( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � c
Fórmula de distancia
La distancia entre A(�3, 4) y B(3, �3) puede determinarse usando la fórmula de
distancia. d � ��� ( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2
d � ���
(3 � (�3) ) 2 � (�3 � 4 ) 2
d � ��
(6 ) 2 � (�7 ) 2
d � ��
36 � 49
d � ��
85
d � 9.22
Por lo tanto, _
AB mide 9.22 unidades de largo.
Halla la distancia entre los dos puntos. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
1. A(1, 2) y B(4, 6) 2. C(�5, 0) y D(5, 0) 3. E(�2, �2) y F(2, 2)
5 10 5.66
4. G(�5, 4) y H(�8, �3) 5. J(6, �1) y K(3, �6) 6. L(0, 10) y M(�3, 5)
7.62 5.83 5.83
7. N(�2, 1) y P(1, �2) 8. Q(10, 3) y R(8, �1) 9. S(�9, 7) y T(�7, 5)