Nombre Fecha Clase - on.mac-eg.com · Haz un plan Sean a 1 el primer término de la sucesión, r la razón común y n el término que deseas hallar. a n n a ... ¿Cuál es la longitud

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Nombre Fecha Clase

Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 11-1 y el Glosario multilingüe.

Continuar sucesiones geométricasHalla los siguientes tres términos de cada sucesión geométrica.

A. 5, 10, 20, 40, …

Halla la razón común. 5 10 20 40

10 ___ 5 � 2 20

___ 10 � 2 40 ___ 20 � 2

La razón común es r � 2 .

Usa la razón común para hallar los siguientes tres términos.

40 � 2 � 80 80 � 2 � 160 160 � 2 � 320

Los siguientes tres términos son 80 , 160, 320 .

B. 81, �9, 1, � 1 __ 9

Halla la razón común.81 �9 1 � 1 __ 9

�9 ___ 81 � � 1 __ 9 1 ___

�9 � � 1 __ 9 � 1 __ 9

___ 1 � � 1 __ 9

La razón común es r � � 1 __ 9 .

Usa la razón común para hallar los siguentes tres términos.

� 1 __ 9 � � 1 __ 9 � 1 ___ 81

1 ___ 81

� � 1 __ 9 � � 1 ____ 729 � 1 ____ 729 � � 1 __ 9 � 1 _____ 6561

Los siguientes tres términos son 1 ___ 81 , � 1 ____ 729 , 1 _____ 6561

.

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-1 Sucesiones geométricas11A

SECCIÓN

Vocabulario

sucesión geométrica razón común


Nombre Fecha Clase

Una sucesión geométrica es una sucesión en la que la razón común, r, es la misma en cada término sucesivo.

En la tabla se muestra la distancia que recorre el péndulo de un reloj durante sus primeras tres oscilaciones. Los valores forman una sucesión geométrica. ¿Cuál será la longitud de la sexta oscilación? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

Comprende el problema

1. ¿Cuál es la longitud de la primera oscilación? 2500 cm

2. ¿Cuál es la longitud de la segunda oscilación? 2250 cm

3. ¿Qué se te pide que halles? la longitud de la 6ta oscilación

Haz un planSean a 1 el primer término de la sucesión, r la razón común y n el término que deseas hallar. a n � a 1 r n�1

4. Halla la razón común: r � a 2

__ a 1 � 2250

______ 2500 � 0.9

5. ¿Cuál es el valor de n ? 6

6. Sustituye los valores de la tabla en la fórmula. a 6 � 2500 � 0.9 � 6 �1

Resuelve

7. Simplifica la ecuación evaluando primero el exponente.

a 6 � 2500(0.9)5

a 6 � 2500 � 0.59049 � a 6 � 1476.225

8. ¿Qué número está en la posición de las centésimas? 2

9. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. a 6 � 1476.23 cm

10. La longitud de la sexta oscilación es 1476.23 cm .

Repasa

11. Para comprobar tu respuesta, divídela entre la razón común 0.9. Repite tres veces este proceso para hallar el 5to, 4to y 3er término de la sucesión. Anota tus respuestas en la siguiente tabla.

5 4 3

1476.23 __________ 0.9 � 1640.25

1640.25 __________ 0.9 � 1822.5

1822.5 _________ 0.9 � 2025

¿Tu resultado para el 3er término concuerda con el valor de la tabla original? Sí

11A

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-1 Sucesiones geométricas

SECCIÓN

Oscilación 1 2 3

Longitud (cm)

2500 2250 2025


Nombre Fecha Clase

Busca esta palabra de vocabulario en la Lección 11-2 y el Glosario multilingüe.

Representar gráficamente y � a b x con a � 0 y b � 1Representa gráficamente la función exponencial y � 2(3 ) x .

Completa la tabla para generar pares ordenados.

x y � 2(3 ) x Pares ordenados

�1 y � 2(3)�1

� 2 � 1 __ 3 � � 2 __

3 � �1, 2 __

3 �

0 y � 2(3)0

� 2 � 1 � � 2 (0, 2 )

1 y � 2(3)1

� 2 � 3 � � 6 (1, 6 )

2 y � 2(3)2

� 2 � 9 � � 18 (2, 18)

Marca los puntos y conéctalos.

y

x

–4

16

12

8

4

–1 9 6 3

Representar gráficamente y � a b x con 0 � b � 1

Representa gráficamente la función exponencial y � �2 � 1 __ 2 �

x

.

Completa la tabla para generar pares ordenados.

x y � �2 � 1 __ 2 � x Pares ordenados

�1 y � �2 � 1 __ 2 � �1

� �2 � 2 � � �4 (�1, �4 )

0 y � �2 � 1 __ 2 � 0

� �2 � 1 � � �2 (0, �2 )

1 y � �2 � 1 __ 2 � 1

� �2 � 1 __

2 � � �1 (1, �1 )

2 y � �2 � 1 __ 2 � 2

� �2 � 1 __

4 � �

� 1 __ 2 � 2, � 1 __ 2

�

Marca los puntos y conéctalos.

y

x

–5

5

–5 5

11A¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-2 Funciones exponenciales

SECCIÓN

Vocabulario

función exponencial


Nombre Fecha Clase

Una función exponencial es una función en la que la variable independiente aparece como exponente.

La función f (x) � 10(1.1 ) x da la longitud, en pulgadas, de un modelo de avión después de agrandarlo 10% x veces. ¿Cuál es la longitud del avión después de agrandarlo 5 veces? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.


1. ¿Cuál es la longitud del modelo de avión antes de agrandarlo? 10 pulgadas

2. ¿Cuál es la razón común? 1.1

3. ¿Qué se te pide que halles? la longitud del modelo de avión

después de agrandarlo 5 veces

Haz un plan

4. Para hallar la longitud del avión después de que se lo agrandó 5 veces, sustituye x por 5 .

5. Sustituye x por su valor en la función. f (x) � 10(1.1 ) x

f ( 5 ) � 10(1.1)5

Resuelve

6. Simplifica la ecuación evaluando primero el exponente.

f ( 5 ) � 10(1.1)5

f ( 5 ) � 10( 1.61051 )

f ( 5 ) � 16.1051

7. ¿Qué número está en la posición de las milésimas? 5

8. ¿Cuál es la longitud del avión después de agrandarlo 5 veces, a la centésima más cercana?

16.11 pulg.

Repasa

9. Usa una calculadora de gráficas para representar gráficamente la función f (x) � 10(1.1 ) x .

Usa la función TRACE para mover el cursor hacia donde el valor de x es aproximadamente 5. ¿Cuál es el valor correspondiente aproximado de y? 16

10. ¿Este valor de y coincide con tu respuesta del Ejercicio 8? Sí

11A

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-2 Funciones exponenciales

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial


Crecimiento exponencialEscribe una función para representar cada situación. Luego, halla el valor de la función después de la cantidad dada de tiempo. Redondea al dólar más cercano.

A. Se invierten 20,000 dólares durante 15 años a una tasa del 1%.

Una función de crecimiento exponencial del tipo y � c(1 � r ) t donde:

• c representa la cantidad original ó $ 20,000 .

• r representa la tasa , ó 1 %.

• t representa el tiempo .

Sustituye estos valores en la fórmula y � c(1 � r ) t .

y � 20,000 � 1 � 0.01 � t

Ahora, sea t � 15 años y halla y.

y � 20,000 (1.01) 15

y � 20,000 � 1.160968955 � y � 23,219.38

El valor de la inversión en 15 años será de $ 23,219 .

B. Se invierten $6000 a una tasa de 2.5% que se ajusta semianualmente durante 8 años.

La fórmula para el interés compuesto es A � C � 1 � r __ n � nt donde:

• A representa el saldo después de t años .

• C representa la cantidad original . ¿Cuál es la cantidad original? $6000

• r representa la tasa anual de interés. ¿Cuál es la tasa de interés? 2.5%

• n representa la cantidad de veces que se

ajusta el interés por año.

Semianual significa 2 veces por año.

Sustituye estos valores en la fórmula. A � 6000 � 1 � 0.025 ______

2 � 2 t

Ahora, sea t � 8 años y halla A.

A � 6000 � 1 � 0.025 _____

2 � 2 8

A � 6000(1.0125) 16

A � 6000( 1.22 )

La cantidad de dinero en 8 años será $ 7320 . A � 7320

11ASECCIÓN

Vocabulario

crecimiento exponencial interés compuesto decremento exponencial


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial

El crecimiento y el decremento exponencial representan muchas situaciones de la vida real, como la población, el valor, la vida media, etc.

Un determinado isótopo tiene una vida media de casi 2 años. ¿Aproximadamente cuánto quedará de una muestra de 50 g después de 20 años? Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.


1. ¿Qué cantidad del isótopo hay antes de que comience a descomponerse? 50 g

2. ¿Cuál es la vida media del isótopo? 2 años

3. ¿Qué se te pide que halles? la cantidad que queda después de 20 años

Haz un planSean A la cantidad final, C la cantidad original y t la cantidad de vidas medias en un periodo dado. A � C(0.5 ) t

4. Halla el valor de t : t �

� 20 ____ 2 � 10

5. ¿Cuál es el valor de C ? 50

6. Sustituye los valores conocidos en la fórmula. A � 50(0.5)10

Resuelve

7. Resuelve la ecuación para A evaluando primero el exponente.

A � 50(0.5)10

A � 50( 0.0009765625 )

A � 0.048828125

8. ¿Qué número está en la posición de las diezmilésimas? 8

9. Redondea tu respuesta a la milésima más cercana. A � 0.049 g

10. ¿Cuántos gramos del isótopo quedan de una muestra de 50 gramos después de 20 años? �0.049 g

Repasa

11. Sustituye A por tu respuesta 0.049 � C(0.5 ) 10 del Ejercicio 10 y halla C.

0.049 � C( 0.0009765625 )

0.049

_________________ ( 0.0009765625 )

� C(0.0009765625)

_________________ ( 0.0009765625 )

12. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí 50.176 � C

SECCIÓN

11A

_______________vida media

periodo de tiempo


Nombre Fecha Clase

Representar gráficamente datos para elegir un modeloRepresenta gráficamente cada conjunto de datos. ¿Qué clase de modelo describe mejor los datos?

A. {(�0.5, �5.5),(0, �4),(1, �1),(2, 2),(3, 5)}

Marca los puntos cartesianos y conéctalos.

y

x

–5

5

–5 5

Los puntos cartesianos forman una línea .

Los datos parecen lineales .

Marca los puntos cartesianos y conéctalos.

y x

–9

5

–5 5

Los puntos cartesianos forman una curva .

Los datos parecen exponenciales .

Usar patrones para elegir un modelo

Busca un patrón en el conjunto de datos � (�1, 9), (0, 3), (1, 1), � 2, 1 __ 3 � , � 3, 1 __ 9 � � para

determinar qué clase de modelo describe mejor los datos.

Completa la tabla y determina el patrón.

0 3

–1 9

x y

+ x

1 1+ x

2+ x

3+ x

1–3

1–9

Para cada cambio constante en la

coordenada x; , hay una razón constante de 1 __ 3

en la coordenada y.

Como hay una razón constante, los datos parecen

exponenciales .

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-4 Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales 11A

SECCIÓN

B. { � �2, � 1 __ 9 � , � �1, � 1 __ 3 � ,(0, �1),(1, �3), (2, �9) }


Nombre Fecha Clase

Los diferentes tipos de modelos pueden describir diferentes situaciones. Primero debes mirar los datos y determinar el patrón. Es posible que las funciones cuadráticas, lineales o exponenciales representen los datos.

Usa los datos de la tabla para describir cómo cambia el valor de un libro de edición limitada. Luego, escribe una función que represente los datos. Usa tu función para predecir el valor del libro de edición limitada dentro de 16 años.


1. ¿Qué es lo primero que se te pide que hagas? describir cómo cambia el valor

2. ¿Cuál es la segunda parte del problema? escribir una función que represente los datos

3. ¿Cuál es la parte final del problema? predecir el valor del libro dentro de 16 años

Haz un plan

4. Determina la razón común.

r � 62.50 ______ 50 � 1.25 r � 78.13

______ 62.50 � 1.25 r � 97.66 ______ 78.13 � 1.25

5. ¿Hay una razón común? Sí

6. El valor del libro se incrementa 25 % por año.

ResuelveRecuerda la forma general de una función exponencial, donde a es el primer valor y b es la razón común. y � a b x

7. ¿Cuál es la razón común? 1.25

8. ¿Cuál es el valor del libro en el año 0? $50

9. Usa los valores de los Ejercicios 7 y 8 para escribir la función. y � 50( 1.25 ) x

y � 50( 1.25 )16

y � 50( 35.53 )

y � 1776.50

10. Sustituye x por 16 y halla y.

11. En 16 años, el valor del libro de edición limitada

será de $1776.50 .

Repasa

12. Sustituye y por tu respuesta en la función original y halla a. 1776.50 � a( 1.25 )16

1776.50 � a( 35.53 )

1776.50 _______

35.53 �

a( 35.53 ) _________

35.53

50 � a 13. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-4 Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales11A

SECCIÓN

Valor de un libro de edición limitada

Años 0 1 2 3

Valor ($) 50 62.5 78.13 97.66


Nombre Fecha Clase

11-1 Sucesiones geométricasHalla los siguientes tres términos de cada sucesión geométrica.

1. 3, 12, 48, 192, … 2. �512, 64, �8, 1… 3. �2, 10, �50, 250…

768; 3072; 12,288 � 1 __ 8 , 1 ___ 64 , � 1 ____ 512

�1250; 6250; �31,250

4. El primer término de una sucesión geométrica es 4 y la razón común

es 2. ¿Cuál es el 8vo término de la sucesión? 512

5. En la tabla se muestra la altura a la que llega una pelota de Rebote Altura (pulg)

1 108

2 54

3 27

básquetbol en sus primeros tres rebotes. Los valores forman una sucesión geométrica. ¿Cuál será la altura del 8vo rebote?

27 ___ 32

pulg

11-2 Funciones exponenciales

6. La función f (x) � 18(0.8 ) x da la longitud, en pulgadas, de una fotografía luego de una reducción del 20% x veces. ¿Cuál es la longitud de la fotografía después de reducirla 8 veces? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

3.02 pulg

Representa gráficamente cada función exponencial.

7. y � 4 x 8. y � 3(3 ) x 9. y � �3(2 ) x 10. y � �(0.75 ) x

x

–5

5

–5 5

x

–5

5

–5 5

x

–5

5

–5 5

x

–5

5

5

11. La función f (x) � 600(0.4 ) x da la cantidad en miligramos de una aspirina que permanece en el sistema de un paciente x horas después de haber tomado una dosis de 600 miligramos. ¿En cuántas horas habrá menos de 100 mg del medicamento en el sistema del paciente?

2 hs

¿Listo para seguir? Prueba11A

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase

11-3 Crecimiento exponencial y decremento exponencial Escribe una función para representar cada situación. Luego, halla el valor de la función después de la cantidad de tiempo dada.

12. El salario de Gary es de $25,000 y espera recibir un aumento de 4% por año; 10 años.

y � 25,000(1.04 ) x ; $37,006.11

13. Se invierten $4,000 a una tasa de 6.5% que se ajusta mensualmente; 5 años.

y � 4000 � 1 � 0.065 _____ 12 � 12t

; $5531.27

14. Un automóvil de $2,600 se devalúa a una tasa del 12% anual; 6 años.

y � 2600(0.88 ) x ; $1207.45

15. El nobelio-255 tiene una vida media de 3 minutos. ¿Alrededor de qué cantidad de nobelio-255 quedará de una muestra de 2000 mg después de 1 hora? Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.

A � 2000(0.5 ) 20 ; aproximadamente 0.002 mg

11-4 Modelos lineales, cuadráticos y exponencialesRepresenta gráficamente cada conjunto de datos. ¿Qué clase de modelo describe mejor los datos?

16. { (�3, 4), � � 1 __ 2 , �4 3 __ 4 � ,(0, �5),(1, �4),(2, �1) } 17. { (�1, 8),(0, 2), � 1, 1 __ 2 � , � 1 1 __ 2 , 1 __

4 � , � 2, 1 __

8 � }

función cuadrática exponencial

x

–5

5

–5 5

x

–2

8

–5 5

Busca un patrón en cada conjunto de datos para determinar qué clase de modelo describe mejor los datos.

18. {(�5, 7),(�3, 6),(3, 3),(4, 2),(5, 1)}

lineal exponencial

20. Usa los datos de la tabla para describir cómo cambia el valor de la obra de arte. Luego, escribe una función que represente los datos. Usa tu función para predecir el valor de la obra de arte dentro

de 18 años. El valor crece

a una tasa de 10% cada año. y � 500(1.1 ) x ; $2780

¿Listo para seguir? Prueba, (continuación)

11ASECCIÓN

19. { � �2, � 1 __ 9 � , � �1, � 1 __ 3 � ,(0, �1),(1, �3),(2, �9) }

Valor de la obra de arte

Año Valor ($)

0 500

1 550

2 605


Nombre Fecha Clase

Series geométricas

Una serie es la suma de una sucesión de términos. En otras palabras, una serie es una lista de números con operaciones de suma entre ellos. Las series pueden ser finitas, es decir, que tienen un final, o infinitas. Una serie geométrica es una sucesión de números tal que el cociente de dos números sucesivos cualesquiera forma una razón común.

Una serie geométrica se puede escribir como S n � � k�0

n

a r k donde r � 0 es la razón común y

a es un factor de escala. La letra griega sigma, �, representa la suma de cada término de la sucesión. Por ejemplo:

S 4 � � k�0

4

2(�2 ) k

� 2(�2 ) 0 � 2(�2 ) 1 � 2(�2 ) 2 � 2(�2 ) 3 � 2(�2 ) 4 � 2 � (�4) � 8 � (�16) � 32 � 22

Halla el valor de cada serie geométrica.

1. S 3 � � k�0

3

3(�3 ) k 2. S 4 � � k�0

4

2 � 1 __ 2 � k

�60 3 7 __

8

3. S 4 � � k�0

4

4 � � 1 __ 2 � k 4. S 3 � � k�0

3

1 __ 2 (4 ) k

2 3 __

4

42 1 __

2

5. S 3 � � k�0

3

�1 � � 1 __ 3 � k 6. S 4 � � k�0

4

9 � 2 __ 3 �

k

� 20 ___ 27

23 4 __

9

7. S 5 � � k�0

5

4 (�1 ) k 8. S 4 � � k�0

4

1 __ 3 (�3 ) k

0 20 1 __

3

¿Listo para seguir? Enriquecimiento11A

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-5 Funciones de raíz cuadrada11B

SECCIÓN


Hallar el dominio de las funciones de raíz cuadradaHalla el dominio de la función y � �

� 2x � 4.

El dominio de una función es el conjunto de las coordenadas x. Para ser parte del dominio, los valores del radicando deben ser mayores que o

iguales a cero .

¿Cuál es la expresión que está dentro de la raíz cuadrada? 2x

Completa la desigualdad. 2x � 0

Resuelve la desigualdad.

2x � 0

2x ___ 2

� 0 ___ 2

x � 0

El dominio de la función es x � 0 .

Representar gráficamente funciones de raíz cuadradaRepresenta gráficamente f (x) � �

� x � 2 .

Como esta gráfica es del tipo f (x) � ��

x � a puedes representarla gráficamente como una

traslación horizontal de f (x) � �� x .

Completa la tabla para representar gráficamente la función f (x) � ��

x .

x 0 1 4 9

y 0 1 2 3

Vocabulario

función de raíz cuadrada

y

x

–5

5

–1 9 6 3

y

–5

5

–1

x

9 6 3

Traslada la función 2 unidades hacia la derecha para representar gráficamente la función f (x) � �

� x � 2 .


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-5 Funciones de raíz cuadrada11B

SECCIÓN

Una función de raíz cuadrada es una función en la que la variable se incluye en el radicando.

Sobre el cemento mojado, la función f (x) � ��

12x da la velocidad en millas por hora cuando la longitud de la marca de la frenada es x pies. Halla la velocidad a la que se desplazaba el automóvil si dejó una marca de frenada de 210 pies de largo. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.


1. ¿Qué representa x en la función? Representa la longitud de la marca de la frenada.

2. ¿Qué representa f (x)? la velocidad en millas por hora

3. ¿Qué se te pide que halles? la velocidad del automóvil

Haz un plan

4. ¿Cuál es la longitud de la marca de la frenada? 210 pies

5. ¿Qué variable sustituyes por el valor 210? x

Resuelve

6. Sustituye x por el valor dado en la función. f (210) � ��

12( 210 )

f (210) � ��

2520

f (210) � 50.1996

7. ¿A qué posición se te pide que redondees tu respuesta? centésimas

8. ¿Qué número ocupa la posición de las milésimas? 9

9. La velocidad del automóvil era 50.20 mi/h.

Repasa

10. Para comprobar tu respuesta, sustituye f (x) y halla x.

50.20 � ��

12x

� 50.20 � 2 � � ��

12x � 2

2520.04 � 12x

2520.04

_________ 12 � 12x ____ 12

210 � x

11. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí


Nombre Fecha Clase

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-6 Expresiones radicales11B

SECCIÓN


Simplificar expresiones de raíz cuadrada

Simplifica la expresión ��

125 ____ 5 .

Simplifica la expresión que está dentro del radicando. 125 ____ 5 � 5 � 5 � 5

___________ 5 � 25

Halla la raíz cuadrada de la expresión simplificada.

¿Qué número multiplicado por sí mismo da 25? 5 ��

25 � 5

Por lo tanto, �� 125 ____

5 � 5 .

Usar la propiedad del producto de raíces cuadradas


j 6 k 3 . Todas las variables representan números no negativos.

La raíz cuadrada de j 6 k 3 es igual al producto de la raíz cuadrada de j 6 y la raíz

cuadrada de k 3 . ��

j 6 k 3 � ��

j 6 � ��

k 3

� j 3 � 2 � j 6 ��

j 6 � j 3

��

k 3 � ��

k 2

� ��

k 1 ��

k 2 � k 1

��

j 6 k 3 � j 3

k 1

��

k

Usar la propiedad del cociente de raíces cuadradas


9 _____ 121 z 2

. Todas las variables representan números no negativos.

La raíz cuadrada de 9 _____ 121 z 2

es igual al cociente entre la raíz cuadrada de 9 y la raíz

cuadrada de 121 z 2 .

��

9 _____ 121 z 2

� �� 9 _________

��

121 z 2 Usa la propiedad del cociente para volver a escribir la expresión.

� 3 ____

11 z Halla la raíz cuadrada del numerador y del denominador.

Vocabulario

raíz cuadrada


Nombre Fecha Clase

Hay un tipo de expresión radical que contiene raíces cuadradas. Estas expresiones se pueden simplificar o escribir como un número con decimal.

¿Cuál es la longitud de la diagonal de un marco rectangular que mide 18 pulgadas de ancho y 20 pulgadas de largo? Da la respuesta como una expresión radical en su mínima expresión. Luego, estima la longitud a la décima de pulgada más cercana.


1. ¿Qué es lo primero que se te pide que hagas? hallar la longitud de la diagonal

2. ¿Cuál es la segunda parte del problema? escribir la respuesta como una expresión radical

3. ¿Cuál es la parte final del problema? estimar la longitud de la diagonal del marco

Haz un plan

4. Un rectángulo se puede dividir en dos triángulos rectángulos .

5. ¿Qué fórmula puedes utilizar para hallar la longitud de la diagonal de un triángulo rectángulo?

el teorema de Pitágoras

6. Completa con los valores dados en el diagrama. x ___ pulg

___ pulg

20

18Resuelve

Recuerda el teorema de Pitágoras, a 2 � b 2 � c 2 , donde a y b son las longitudes de los catetos del triángulo y c es la longitud de la hipotenusa.

7. ¿Cuál es la longitud de cada cateto? 18 pulg y 20 pulg

8. ¿Qué variable representa la longitud de la diagonal? c

9. Sustituye la fórmula por los valores de los Ejercicios 7 y 8. 18 2 � 20 2

� c 2

10. Simplifica la ecuación. 18 2 � 20 2

� c 2

324 � 400 � c 2

724 � c 2

��

724 � ��

c 2

��

4 � 181 � c

2 ��

181 � c

11. Estima la longitud a la décima de pulgada

más cercana. 2 ��

181 � c

2 � 13.4536 � c

26.9 � c

La diagonal del marco mide 26.9 pulg.

Repasa

12. Sustituye c por tu respuesta y comprueba tu respuesta. a 2 � b 2 � c 2

1 8 2 � 2 0 2 � 26.9 2

724 � 723.61 13. ¿Se comprueba tu respuesta? Sí

¿Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas11-6 Expresiones radicales 11B

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase


Sumar y restar expresiones de raíz cuadradaSimplifica cada expresión.

A. 15 ��

10 � 6 ��

10

¿Cuáles son los números que están dentro de cada uno de los radicales? 10, 10

¿Los radicales son semejantes o distintos? semejantes

Usa la propiedad distributiva para volver a escribir la expresión.

15 ��

10 � 6 ��

10

� ��

10 � 15 � 6 � � �

� 10 � 21 � Combina los términos semejantes.

� 21 ��

10

B. 9 �� z � 5 ��

z

¿Cuáles son los números que están dentro de cada uno de los radicales? z, z


Usa la propiedad distributiva para volver a escribir la expresión.

9 �� z � 5 ��

z

� �� z � 9 � 5 �

� �� z � 4 � Combina los términos semejantes.

� 4 �� z

Simplificar antes de sumar y restarSimplifica la expresión �

� 96 � �

� 24 .

Simplifica ��

96 .

¿Cuál es el MAYOR cuadrado que es divisor de 96? 16

Vuelve a escribir ��

96 como raíz cuadrada de un producto. ��

96 � ��

16 � 6 � ��

16 � ��

6 � 4 ��

6



24 como raíz cuadrada de un producto. ��

24 � ��

4 � 6 � ��

4 � ��

6 � 2 ��

6

��

96 � ��

24 � 4 ��

6 � 2 ��

6


Usa la propiedad distributiva. 4 ��

6 � 2 ��

6 � ��

6 � 4 � 2 � Combina los términos semejantes �

� 6 � 4 � 2 � � �

� 6 � 2 � � 2 �

� 6

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-7 Cómo sumar y restar expresiones radicales11B

SECCIÓN

Vocabulario

radicales semejantes


Nombre Fecha Clase

Multiplicar raíces cuadradas Multiplica. Escribe el producto �

� 6 �

� 12 en su mínima expresión.

Vuelve a escribir el producto como raíz cuadrada de un producto. ��

6 ��

12 � �� 6 � 12 � �� 72


Vuelve a escribir el número que se encuentra dentro del radical. �� 72 � �� 36 � 2

Simplifica. � �� 36 � �

� 2

� 6 ��

2

Multiplicar sumas y diferencias de radicalesMultiplica. Escribe el producto � 4 � �

� 7 � � 5 � �

� 7 � en su mínima expresión.

Usa el método FOIL para ayudarte a usar correctamente la propiedad distributiva. F O I L

� 4 � ��

7 � � 5 � ��

7 � � 20 � 4 ��

7 � 5 ��

7 � � ��

7 � ��

7 �

� 20 � 1 ��

7 � �� 49

� 20 � 1 ��

7 � 7 � 13 � �

� 7

Racionalizar el denominador

Simplifica el cociente ��

10m ______ �

� 32 .


10m ______ �

� 32 con un radical. �

� 10m ______

��

32 � �

�

10m ____

32

Simplifica la fracción en el radical. � �� 2 � 5 m _______

2 � 16 � ��

5 m _____

16

Vuelve a escribir la expresión usando la propiedad del cociente de raíces cuadradas. �

�� 5 m _______

�� 16

Simplifica el radical del numerador y del denominador. � �

�

5 m ______ 4

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-8 Cómo multiplicar y dividir expresiones radicales 11B

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase


Resolver ecuaciones radicales mediante la suma o la restaResuelve la ecuación ��

x � 6 � 12. Comprueba tu respuesta.

�� x � 6 � 12

� 6 � � 6 Suma 6 a ambos lados.

�� x � 18

� �� x �

2 � � 18 � 2 Eleva al cuadrado ambos lados.

x � 324 Comprueba tu respuesta: x � 324 ��

x � 6 � 12

�� 324 � 6 � 12

18 � 6 � 12

12 � 12¿Se comprueba tu respuesta? Sí

Resolver ecuaciones radicales mediante la multiplicación o la divisiónResuelve la ecuación �4 ��

x � �8. Comprueba tu respuesta.

�4 �� x � �8

�4 �� x ______

�4 � �8

_____ �4

Divide ambos lados entre �4 .

�� x � 2

� �� x �

2 � � 2 � 2 Eleva al cuadrado ambos lados.

x � 4 Comprueba tu respuesta: x � 4 �4 ��

x � �8

�4 ��

4 � �8

�4 � 2 � � �8

� �8 � � �8¿Se comprueba tu respuesta? Sí

¿Listo para seguir? Intervención de destrezas11-9 Cómo resolver ecuaciones radicales 11B

SECCIÓN

Vocabulario

ecuación radical solución extraña


Nombre Fecha Clase

11-5 Funciones de raíz cuadrada

1. Sobre el asfalto caliente, la función f (x) � ��

15x da la velocidad en millas por hora cuando la longitud de la marca de una frenada es x pies. Halla la velocidad a la que se desplazaba un automóvil si dejó una marca de frenada de 300 pies de largo. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 67.08 mi/h

Halla el dominio de cada función de raíz cuadrada.

2. y � ��

2x � 5 3. y � ��

x � 7 4. y � ��

3x � 12

x � 0 x � 7 x � 4

Representa gráficamente cada función de raíz cuadrada.

5. f (x) � ��

x � 4 6. f (x) � �� x � 2 7. f (x) � �

� 5 � 2x

x

y

–5

5

–2 8 4

x

–5

5

–5 5

y

x

–5

5

–5 5

y

11-6 Expresiones radicalesSimplifica. Todas las variables representan números no negativos.

8. ��

72 9. �� 343 ____

7 10. ��

x 4 y 5 11. ��

243 m 2 n

6 ��

2 7 x 2 y 2 ��

y 9m ��

3n

12. �� 24 ___

49 13. ��

192 ____ 144

14. ��

9 x 2 ___ 25

15. ��

98 x 10 _____ 64 x 6

2 �

� 6 ___

7

2 �

� 3 ___

3

3x ___ 5

7 x 2 �

� 2 ______ 8

16. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un estacionamiento rectangular de 100 m de largo y 180 m de ancho? Da la respuesta como expresión radical en su mínima expresión. Luego, estima la longitud a la décima de metro más cercana. 20 �

� 106 ; 205.9 m

¿Listo para seguir? Prueba11B

SECCIÓN


Nombre Fecha Clase

11-7 Cómo sumar y restar expresiones radicalesSimplifica cada expresión.

17. 15 ��

11 � 7 ��

11 18. 4 ��

y � 4 ��

y

8 ��

11 8 ��

y

19. ��

180 � ��

45 20. 3 ��

63 � ��

28

9 ��

5 11 ��

7

21. 8 ��

5 � 2 ��

9 22. ��

192y � ��

12y � ��

300y

8 ��

5 � 6 0

11-8 Cómo multiplicar y dividir expresiones radicalesMultiplica. Escribe cada producto en su mínima expresión.

23. ��

5 ��

7 24. ��

5 ��

12 25. 6 ��

18y ��

2y 26. (4 � ��

7 )(6 � ��

7 )

��

35 2 ��

15 36y 17 � 2 ��

7

Simplifica cada cociente.

27. ��

21 ____ �

� 5 28. �

� 28 ____

��

18 29. �

� 24k _____

��

18 30. �

� 80 ____

��

5h

�

� 105 _____

5

�

� 14 ____

3

2 �

� 3k _____

3

4 �

� h ____

h

11-9 Cómo resolver expresiones radicalesResuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta.

31. �� x � 3 � 15 32. �5 ��

x � �25

x � 324 x � 25

33. 7 �� x ____ 3 � 14 34. �

� 6x � 3 � �

� 57 � x � 0

x � 36 x � 12

35. ��

15 � 2x � x 36. ��

3x � 18 � 10

x � 5 sin solución

¿Listo para seguir? Prueba, (continuación)

11BSECCIÓN


Nombre Fecha Clase

Deriva la fórmula de distancia del teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras, a 2 � b 2 � c 2 , puede usarse para hallar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo dadas las longitudes de los dos catetos. En la siguiente figura se muestra que puede crearse un triángulo rectángulo entre dos puntos cualesquiera.

y

x

–5

5

–5 5

(x1, y1)

(x2, y2)

A

B

y

x

–5

5

–5 5

(x1, y1)

(x1, y2)(x2, y2)

A

Ba

b c

Teorema de Pitágoras

a 2 � b 2 � c 2

( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � c 2

��

( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � ��

c 2

��

( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2 � c

Fórmula de distancia

La distancia entre A(�3, 4) y B(3, �3) puede determinarse usando la fórmula de

distancia. d � �� ( x 2 � x 1 ) 2 � ( y 2 � y 1 ) 2

d � ��

(3 � (�3) ) 2 � (�3 � 4 ) 2

d � ��

(6 ) 2 � (�7 ) 2

d � ��

36 � 49

d � ��

85

d � 9.22

Por lo tanto, _

AB mide 9.22 unidades de largo.

Halla la distancia entre los dos puntos. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

1. A(1, 2) y B(4, 6) 2. C(�5, 0) y D(5, 0) 3. E(�2, �2) y F(2, 2)

5 10 5.66

4. G(�5, 4) y H(�8, �3) 5. J(6, �1) y K(3, �6) 6. L(0, 10) y M(�3, 5)

7.62 5.83 5.83

7. N(�2, 1) y P(1, �2) 8. Q(10, 3) y R(8, �1) 9. S(�9, 7) y T(�7, 5)

4.24 4.47 2.83

¿Listo para seguir? Enriquecimiento 11B

SECCIÓN

Nombre Fecha Clase - on.mac-eg.com · Haz un plan Sean a 1 el primer término de la sucesión, r la razón común y n el término que deseas hallar. a n n a ... ¿Cuál es la longitud

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