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INSTITUCIN EDUCATIVA JUAN JOS NIETO ESTNDAR: Comprende las
caractersticas y las propiedades de los nmeros reales en las
operaciones de potenciacin y radicacin bajo parmetros
algebraicos.
LECCIN 1.
NOCIONES SOBRE CONJUNTOS I, Y SISTEMAS NMERICOS
NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Un conjunto es una coleccin de objetos, llamados elementos del
conjunto.
Un conjunto puede describirse:
Por extensin: haciendo una lista explicita de sus elementos
separados por coma y encerrados
entre llaves.
Por comprensin: dando la condicin o condiciones que cumplen los
elementos del conjunto.
Si A es un conjunto decimos que a pertenece a A , y escribimos a
A , si a es un elemento
de A . En caso contrario decimos que a no pertenece a A y
escribimos a A .
EJEMPLO 1.
El conjunto A cuyos elementos son los nmeros naturales menores
que 5 puede escribirse as:
1,2,3,4A , observemos que 1 A y que 5 A .
SISTEMAS NUMRICOS
Los nmeros naturales
Representamos a los nmeros naturales con el smbolo . Los nmeros
naturales son: 1, 2, 3,
4,, por tanto:
1,2,3,4,...,
Los nmeros enteros
Los nmeros enteros se denotan por . Los nmeros enteros estn
formado por los nmeros
naturales junto a los nmeros enteros negativos y el 0.
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...
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Algunas veces se acostumbra escribir
El conjunto de los nmeros racionales
Se obtienen al formar cocientes de nmeros enteros, este conjunto
lo denotamos por . Es
decir:
, , 0p p q qq Ejemplos
3 7 0 2 1; ; 0 ; 2 ; 0,1
5 4 1 1 10
Nota: Recuerde que no es posible dividir por cero, por lo que
las expresiones como 3 0
0 0
no
estn definidas.
El conjunto de los nmeros irracionales
Son aquellos nmeros que no pueden expresarse en la forma pq
con , , 0p q q .
Los nmeros irracionales se representan por
Ejemplos
3, 2, 5
, e
El conjunto de los nmeros reales
Estos se representan por y consta de la unin de los nmeros
racionales y los nmeros
irracionales.
Todos los nmeros reales tienen una representacin decimal, si el
nmero es racional, entonces,
su decimal correspondiente es peridico.
Ejemplo
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10,5000... 0,50
2
10,333... 0,3
3
1570,3171717... 0,317
495
91,285714285714... 1,285714
7
La barra significa que la sucesin de cifras debajo de ella se
repite indefinidamente.
Si el nmero irracional, la representacin decimal no es
peridica.
Ejemplos
2 1,414213562373095...
2,7182818284590452354...
3,141592653588979323846...
e
Nota: En la prctica se acostumbra aproximar un nmero irracional
por medio de uno racional.
Ejemplo
2 1,4142 2,71828 3,1416e
El nmero decimal peridico X lo podemos representar como una
fraccin equivalente
multiplicando este por una potencia adecuada de 10 y luego
restar para eliminar la parte que se
repite.
Ejemplo
Sea 5,4383838...X convertirlo en un cociente de dos enteros.
Solucin:
Debemos multiplicar por dos potencias adecuadas de 10, de tal
manera que al restarlos se
cancelen las partes decimales.
1000 5438,38
10 54,38
990 5384
5384
990
X
X
X
X
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EJERCICIOS
1. Exprese cada uno de los decimales peridicos en forma de
fraccin.
a. 5,23 b. 1,37 c. 2,135 d. 0,64
2. Ordene de menor a mayor los nmeros racionales
1,43, 1,39, y 1,442
3. Ordene de menor a mayor los nmeros racionales
9 81,43, y
7 5
4. El producto de dos nmeros irracionales es siempre un nmero
irracional? Qu puede decir
de la suma?
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LECCIN 2.
PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES I
Operaciones en los nmeros reales y sus propiedades
En se definen dos operaciones: suma o adicin y producto o
multiplicacin.
Suma y Multiplicacin
Si ,a b , la suma de y a b , denotada a b y el productor de y a
b , denotado . , xa b a b
o simplemente ab , son tambin elementos de , que cumplen las
siguientes propiedades:
PROPIEDAD SUMA PRODUCTO
Conmutativa a b b a ab ba Asociativa a b c a b c ab c a bc
Distributiva del producto con respecto a la suma
a b c ab ac
a b c ac bc
Usando estas propiedades podemos probar resultados
importantes.
Ejemplo 1.
Pruebe que 2a b a b aa ab bb
Solucin
Usando la propiedad distributiva del producto con respecto a la
suma y la propiedad conmutativa
del producto, tenemos que:
Prop. Distributiva
Prop. Distributiva
Prop. Conmutativa del producto
a b b a a b a a b b
aa ba ab bb
aa ab ab bb
2 Suma de trminos semejantesaa ab bb
Usando el hecho de que para todo 2,a aa a , escribimos la
igualdad anterior como:
2 2 22a b a ab b
OTRAS PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES
Entre los nmeros reales, el 0 y el 1 juegan un papel importante
en la suma y el producto,
respectivamente:
0 , es tal que para todo , 0a a a .
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Al nmero 0 se le llama elemento NEUTRO para la suma.
EJEMPLOS
3 35 0 5 3 0 3 0
2 2
Dado a existe un nico b tal que 0a b . Dicho nmero b se denota
por a y se
llama INVERSO ADITIVO de a . Es decir, 0a a
EJEMPLOS
8 8 0 3 3 0
1 17 7 0 0
5 5
1 es tal que para todo , 1a a a
Al nmero 1 se le llama el elemento NEUTRO PARA EL PRODUCTO.
EJEMPLOS
3 33 3.1 5.1 55 5
Si y 0,a a entonces existe un nico nmero b tal que . 1ab
Tal nmero b denotado por 1
a o por 1a , se llama INVERSO MULTIPLICATIVO O RECPROCO DE
a . Es decir, para 0a se tiene que 11
. . 1a a aa
.
EJEMPLOS
1
1
1 3 35. 1 . 1
5 2 2
8 8. 13 3
NOTA:
1
,a b
b a
por lo que podemos escribir que
1
1a a a b
b b b a
.
Si y ,a b el nmero b a b se escribe a b y se llama la RESTA O
DIFERENCA de
y b a .
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EJEMPLOS
1 1 1 1
3 3 3 3 0 05 5 5 5
Si y a b son nmeros reales, con 0b , el nmero 1
.ab
, se escribe tambin a
b y se llama
el COCIENTE de y a b .
A la expresin a
b se le llama FRACCIN, a se llama NUMERADOR y b DENOMINADOR DE
LA
FRACCIN.
EJEMPLOS
1 3 7 73. 1.
5 5 8 8
Con base en las definiciones y en las propiedades de la suma y
la resta de nmeros reales, podemos
probar las siguientes propiedades, conocidas como LEYES DE
SIGNOS.
Sean ,a b , entonces:
1. 1 a a
EJEMPLOS
1 5 5
8 81 .3 3
2. a a
EJEMPLOS
8 8
7 7
3. a b a b ab
EJEMPLOS
3 2 3 2 6
3 4 3 4 12
5 7 5 7 35
4. a b ab
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EJEMPLOS
8 2 16
3 5 15
2 4 8
5. a b a b
EJEMPLOS
3 8 3 8 11
3 4 3 4 9 8 17
2 3 2 3 6 6
6. a b b a
EJEMPLOS
8 10 10 8 2
3 3 20 3 174 4
5 5 5 5
7. .0 0a
EJEMPLOS
33.0 0 2.0 0
8 .0 07
NOTA:
La propiedad 6 nos dice que a b es el inverso aditivo de b a
La propiedad 5 puede usarse con ms de 2 trminos, as:
a b c a b c
EJEMPLOS
Utilizando propiedades de nmeros reales escriba las siguientes
expresiones sin usar parntesis:
1) x y 2) x y z
SOLUCIN
1. Tenemos que:
-
propiedad 5
propiedad 2
x y x y
x y
Luego,
x y x y
2. tenemos que
propiedad 5
propiedad 2
x y z x y z
x y z
Luego,
x y z x y z
CARACTERIZACIN Y PROPIEDADES DE ALGUNOS NMEROS REALES
Un nmero a es un nmero par si puede escribirse en la forma 2 ,
con a k k .
EJEMPLOS
6 Es un nmero par ya que 6 2 con 3k k
0 es un nmero par ya que 0 2 con 0k k
-8 es un nmero par ya que 8 2 con 4k k
Un nmero a es un nmero impar si puede escribirse en la forma 2
1, con a k k
EJEMPLOS
3 es un nmero impar ya que 3 2 1 con 1k k
7 Es un nmero impar ya que 7 2 1 con 4k k
Dados , zd b , con 0d , decimos que d divide ab que d es un
divisor de b , si existe
a tal que b ad .
Tambin se acostumbra a decir que d , es un factor de b y que b
es un mltiplo de d .
EJEMPLOS
2 divide a 8 ya que existe 4 tal que 8 4.2
5 Divide a 45 ya que existe 9 tal que 45 9 5
23
Divide a 3 ya que existe 92
tal que 2 9 18
3 33 2 6
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Decimos que d es el MXIMO COMN DIVISOR de los enteros y a b ,
con 0 0a b ,
si d es el mayor nmero entero positivo que los divide a ambos,
es decir, d es el mayor de
los divisores comunes de y .a b
EJEMPLOS
El mximo comn divisor de 24 y 30 es 6. En efecto
24 30 2
12 15 3 2 x 3 6
4 5
El mximo comn divisor de 9 y 18 es 19, en efecto
9 18 3
3 6 3 3 x 9
1 2
3
Decimos que m es el MNIMO COMN MLTIPLO de los enteros y a b ,
con , 0a b , si m
es el menor nmero entero positivo que es mltiplo de ambos, es
decir, m es el menor entero
positivo que es divisible por y a b .
EJEMPLOS
El mnimo comn mltiplo de 6 y 10 es 30, en efecto:
6 10 2
3 5 32 x 3 x 5 30
1 5 5
1 1
El mnimo comn mltiplo de 15 y 14 es 210, en efecto:
15 14 2
15 7 3
2 x 3 x 5 x 7 2105 7 5
1 7 7
1 1
Dos nmeros enteros y a b son primos relativos si el mximo comn
divisor de y a b es 1.
EJEMPLO
7 y 18 son primos relativos.
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Un nmero racional a
b est en forma reducida, o simplificado si y a b son primos
relativos.
EJEMPLOS
7
18 Est en forma reducida ya que 7 y 18 son primos relativos.
16
12 No est en forma reducida ya que 16 y 12 no son primos
relativos. Sin embargo podemos
escribirlo en forma reducida como 4 .3
NOTA: todo nmero racional puede representarse en forma
reducida.
EJEMPLO
18 9
8 4
Un entero positivo 1p es un nmero primo si sus nicas divisores
positivos son 1 y p .
EJEMPLO
Los nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 37, 523 son nmeros primos.
EJEMPLO
Los nmeros 6, 8, 9, 20 no son primos, ya que al menos 2 es
divisor de 6, 8, 9, 20 no son primos, ya
que al menos 2 es divisor de 6, 8, y 20 y 3 divide a 9.
Si , 1, y a a a no es primo, decimos que a es nmero
compuesto.
EJEMPLO
8 es un nmero compuesto ya que 8 1 y 8 no es primo.
Teorema fundamental de la aritmtica
Todo nmero entero mayor que 1 puede descomponerse en forma nica
como un producto de
nmeros o factores primos.
EJEMPLOS
6 2 x 3 20 2 x 2 x 5
16 2 x 2 x 2 x 2 30 2 x 3 x 5
NOTA:
En la descomposicin de un nmero los nmeros primos pueden
repetirse y no importa el
orden en el que aparecen, ya que el producto de nmeros reales
cumple la propiedad
conmutativa.
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Cuando escribimos un nmero como producto de factores primos,
decimos que hemos
factorizado el nmero.
EJEMPLO
22 x 17 x 43 Es la descomposicin o factorizacin de 2924, es
decir, 22924 2 x 17 x 43
EJERCICIOS
1) Diga cul propiedad de los nmeros reales se est usando:
a) 5 8 8 5
b) 3 5 3 5x y z x y z
c) 4 2 7 28 14x x
2) Usando las propiedades de los nmeros reales, escriba las
expresiones sin parntesis
a) 5 x y c) 6 2 4 7k l m n
b) 3
2 162
a b
3) Halle el mximo comn divisor de los nmeros
a) 1820 y 2574 c) 144, 96 y 64
b) 110 y 273
4) Descomponga los siguientes nmeros enteros en sus factores
primos:
a) 300
b) 1386
c) 2160
5) simplifique completamente las siguientes fracciones:
a) 126
90 b)
1540
1680