Números índices Tema V 200 TEMA V: NUMEROS INDICES¡Error! Marcador no definido. V.1.- Introducción, concepto y clasificación V.2.- Números índices simples. Definición y propiedades V.3.- Números índices complejos V.3.1.- Números índices complejos sin ponderar V.3.2.- Números índices complejos ponderados V.3.2.1.- Índice de Laspeyres V.3.2.2.- Índice de Paasche V.3.2.3.- Índice de Fisher V.4.- Índices complejos ponderados de precios y cantidades V.5.- Cambio de base y enlace de series temporales V.6.- El problema de la deflación de series temporales Anexo V.1.- Índices Funcionales Anexo V.2.- Elaboración de un número índice Anexo V.3.- Participación y repercusión Anexo V.4.- Algunos índices elaborados en España
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Números índices TEMA V: NUMEROS INDICES · Números índices 202 Tema V La teoría de los números índices se ha desarrollado, fundamentalmente, para el estudio de las variaciones
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Números índices
Tema V 200
TEMA V: NUMEROS INDICES¡Error! Marcador no definido.
V.1.- Introducción, concepto y clasificación
V.2.- Números índices simples. Definición y propiedades
V.3.- Números índices complejos
V.3.1.- Números índices complejos sin ponderar
V.3.2.- Números índices complejos ponderados
V.3.2.1.- Índice de Laspeyres
V.3.2.2.- Índice de Paasche
V.3.2.3.- Índice de Fisher
V.4.- Índices complejos ponderados de precios y cantidades
V.5.- Cambio de base y enlace de series temporales
V.6.- El problema de la deflación de series temporales
Anexo V.1.- Índices Funcionales
Anexo V.2.- Elaboración de un número índice
Anexo V.3.- Participación y repercusión
Anexo V.4.- Algunos índices elaborados en España
ESTADISTÍCA I
Tema V 201
1.- Introducción, concepto y clasificación
Generalmente las magnitudes socioeconómicas varían en el
espacio y/ó en el tiempo y normalmente surge la necesidad de
hacer comparaciones en función del tiempo y/ó el espacio,
tanto por separado como por grupos o conjunto de las mismas.
Con el fin de poder realizar estas comparaciones es necesario
elaborar series de indicadores económicos, siendo los números
índices uno de ellos.
En síntesis podemos decir que los números índices constituyen
una técnica para analizar y comparar un conjunto de datos en
distintos momentos del tiempo y/ó del espacio.
Los números índices pueden tener distinta naturaleza: A)
NATURALEZA ESTADISTICA, cuando se obtienen sin tener en cuenta
las posibles relaciones funcionales de las magnitudes en
estudio, y B) NATURALEZA FUNCIONAL, cuando se obtienen
suponiendo una relación funcional entre los valores de las
variables y su entorno. En este tema nos centraremos en los
números índices de naturaleza estadística y comentaremos los
de naturaleza funcional en un anexo.
Mediante los números índices se pretende estudiar las
variaciones de un fenómeno complejo por medio de una expresión
que permita comparar dos o más situaciones distintas en el
tiempo y/ó el espacio.
Números índices
Tema V 202
La teoría de los números índices se ha desarrollado,
fundamentalmente, para el estudio de las variaciones de
precios, tratando de medir el nivel general de precios e
inversamente, el poder adquisitivo del dinero. Sin embargo, la
aplicabilidad de estos indicadores no se limita al estudio de
los precios, utilizándose en todos los campos de la actividad
humana que se pueden observar y cuantificar estadísticamente.
En economía tienen un gran empleo, existiendo números índice
de salarios, producción, precios, comercio exterior, etc.
En resumen, podemos decir que un número índice, indica,
mediante sus variaciones, los cambios de una magnitud que no
es susceptible de medición exacta en sí misma, ni de una
evaluación directa en la práctica.
Atendiendo a la naturaleza estadística, podemos establecer la
En los índices que hemos visto, aunque se incluyen en ellos
precios y cantidades, no se supone relación funcional alguna,
condicionante, entre ellos.
Existen otro tipo de índices en los que se supone una relación
funcional, de naturaleza económica, entre los precios y las
cantidades; son los que Samuelson denominó de naturaleza o
base económica.
La idea inicial de este tipo de índices partió de KONÜS, que
100
10809 = w
wI
i8
1=i
iit
8
1=i
∑
∑
Números índices
Tema V 238
en 1924 pretendió analizar el coste de la vida en Rusia. A
causa de la censura su trabajo no se conoció hasta 1936.
El concepto introducido por KONÜS fue clarificado en 1939 por
SHULT, precisando que el índice del coste de la vida es la
relación, en dinero, del gasto realizado por un individuo, en
distintos momentos del tiempo, que le proporciona el mismo
nivel de vida o utilidad total en esas dos situaciones
temporales; las cuales difieren únicamente en precios.
Suponiendo que nos encontramos en un sistema económico con dos
productos (A y B) de los cuales un individuo consume las
cantidades qA y qB. En el período base (t=0) los precios del
sistema económico considerado son p0A y p0B, para los productos
A y B, respectivamente. En este período el individuo percibe
una renta que utiliza en adquirir los productos A y B, es
decir, su renta es igual al gasto que realiza:
G0 = p0A x q0
A + p0B x q0
B
representada gráficamente:
ESTADISTÍCA I
Tema V 239
El individuo de referencia tiene una función de utilidad en el
período base:
U0 = u0 (q0A, q0B),
representada gráficamente:
Para maximizar su utilidad, el individuo tiene que tener en
cuenta su renta: G0 = p0A x q0A + p0
B x q0B cuya pendiente es:
Las cantidades que maximizan la utilidad (q0A*, q0B*) las
obtenemos igualando la pendiente de la recta representativa
p
p- =
dq
dqB0
A0
A0
B0
Números índices
Tema V 240
del gasto con la pendiente de la función de utilidad:
Gráficamente, tendremos:
De forma que (q0A*, q0B*) son las cantidades correspondientes al
punto de tangencia: M
En el instante t , la estructura de precios será :
(ptA, ptB) y la función de utilidad del individuo vendrá dada
por la expresión:
Ut = ut(qtA, qtB)
Ahora como consecuencia de estos cambios nos planteamos dos
alternativas:
1) Calcular la nueva función de gasto y determinar las
cantidades óptimas (qtA*, qtB*) las cuales compararemos con las
obtenidas en el periodo base (q0A*, q0B*) para determinar si,
como consecuencia del cambio en los precios, la utilidad del
p
p- = U B
0
A0
0′
ESTADISTÍCA I
Tema V 241
individuo ha aumentado o disminuído. Teniendo en cuenta que el
individuo obtiene mayor utilidad cuanto más se aleje del
origen y suponiendo que los bienes consumidos son normales.
2) Obtener las cantidades óptimas en t (qtA**, qtB**) con la
nueva estructura de precios (ptA, ptB) manteniendo la misma
utilidad que en el periodo base. Para ello determinamos el
gasto Gt** que es necesario realizar para mantener el mismo
nivel de vida en 0 y en t, lo cual implica minimizar la
expresión:
Gt** = ptA x qtA + ptB x qtB
sujeta a: U0 = u0(qtA, qtB)
El cociente Gt** / G0 = K, que es la variación monetaria
necesaria para mantener el mismo nivel de vida en los dos
periodos. Este cociente es el índice de Konüs:
Ejemplo: Partiendo de las estructuras de precios para el año
base y el año t:
p0A = 5; p0
B = 4; ptA = 6; ptB = 5.
Y dada la función de utilidad en el periodo base:
U0 = (9 - q0A) x (4 - q0
B)
qp
qp =
qp+ qp
qp + qp =
G
G = Ki0
i0
k
1=i
**it
it
k
1=iB0
B0
A0
A0
Bt
Bt
At
At
0
**t
t
∑
∑
Números índices
Tema V 242
Sabiendo que la utilidad en el año base fue = 40.
Calcular el índice funcional de Konüs.
1º) Calculamos los valores de q que maximizan la función de
utilidad, dada la estructura de precios, la restricción
presupuestaria, en el periodo base que es:
G0 = p0A x q0A + p0B x q0B = 5q0A + 4q0B
cuya pendiente es:
Y la función de utilidad en el año base:
40 = (9 - q0A) x (4 - q0B)
En el óptimo: la pendiente de la recta = pendiente de la
curva: tenemos que derivar q0B respecto a q0A en la función de
utilidad, 40 = (9 - q0A) x (4 - q0B).
4 - q0B = 40/(9 - q0A);
q0B = - 40/(9 - q1) + 4
dq0B/dq0A = -40/(9 - q1)2: pendiente de la función de utilidad.
En el óptimo: dq0B/dq0A = - p0A/p0B;-40/(9 - q0
A)2 = - 5/4
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos:
(a) q0A = 14.6
(b) q0A = 3.4
45
- = p
p- B
0
A0
ESTADISTÍCA I
Tema V 243
Al sustituir 14.6 (a) y 3.4 (b) en la función de utilidad
obtenemos 11.1 (a) y -3.1 (b) para q0B, por lo tanto elegimos
q0A = 14.6 y q0B = 11.1, como cantidades óptimas para el año
base.
2º) Dada la nueva estructura de precios en t, como pretendemos
mantener la utilidad igual que en 0, tenemos que igualar la
derivada de la función de utilidad en 0 a la pendiente de la
recta de gasto correspondiente a la nueva estructura de
precios:
(q0B)' = - 40/(9 - q0A)2 = - ptA/ptB = - 6/5;
- 40/(9 - q0A)2 = - 6/5.
qA = 14.8 (a)
qA = 3.2 (b).
Al sustituir 14.8 (a) y 3.3 (b) en la función de utilidad
obtenemos 10.9 (a) y -2.9 (b) para qB, por lo tanto elegimos
qA = 14.8 y qB = 10.9, como cantidades óptimas para el año t.
De esta forma las funciones de gasto que obtenemos son:
G0 = 5 x 14.6 + 4 x 11.1 = 117.4
Gt** = 6 x 14.8 + 5 x 10.9 = 143.3
Kt/0 = Gt** / G0 = 143.3/117.4 = 1.22. Para obtener en el periodo
t la misma utilidad que en el peíodo 0 hay que gastar 1.22
veces más. Si en el periodo 0 G fuera igual a 100, en t G
sería igual a 122, el índice del coste de la vida ha subido un
22% entre el periodo 0 y el periodo t.
Números índices
Tema V 244
Anexo V.2: Elaboración de un número índice
Al elaborar un número índice complejo hay que tener en cuenta:
1)Selección de variables
El índice es una síntesis del grupo o conjunto de variables a
que se va a referir (consumo, producción, etc.),por tanto hay
que elegir los artículos o conceptos más relevantes dentro del
grupo, los cuales deberán estar perfectamente especificados
con el fin de evitar ambigüedades.
2)Selección de los lugares y tiempos de observación
Una vez definidos los artículos que forman el grupo de
variables, hay que obtener los valores numéricos
correspondientes a precios y/o cantidades de los artículos
seleccionados. Estas observaciones deben ser recogidas siempre
en los mismos lugares, también deberá especificarse el momento
o intervalo de tiempo en el que se recoge el dato.
Tanto los lugares como los tiempos de observación deben ser
seleccionados en función de la importancia del concepto dentro
del grupo, frecuencia o significación.
3) Selección de la base
Dado que el tiempo es el término de referencia o comparación,
debe elegirse un tiempo o época normal. Por ejemplo, para un
índice de precios no debe elegirse una época especialmente
inflacionista (año 1992) y para uno de producción agrícola
ESTADISTÍCA I
Tema V 245
nunca se elegirá un año de cosecha excepcionalmente buena o
mala.
4) Selección de fórmulas de ponderación
Las distintas fórmulas tienen una estrecha vinculación con las
ponderaciones y éstas con la disponibilidad de datos y el
coste de elaboración del índice. El índice más costoso es el
de Fisher, seguido del de Paasche, y el más barato es el de
Laspeyres, puesto que sólo necesita las ponderaciones del año
base.
5) Representatividad del índice
Existen dos puntos de vista:
a) El número de variables seleccionadas implica mayor o menor
cobertura.
b) Considerando el índice como un promedio, será más
representativo el que sea menos disperso.
Anexo V.3.- Participación y repercusión.
Hemos visto que un índice complejo: It/0(Hi) está formado por k
magnitudes simples, cada una de las cuales tiene (según su
ponderación) participación en las variaciones que presenta el
índice general a lo largo del tiempo. Por otra parte, también
hemos de tener en cuenta la repercusión que las variaciones de
las magnitudes simples tienen en las variaciones del índice
general.
Números índices
Tema V 246
Es decir, si el índice general ha tenido una variación del 3%
entre el periodo 0 y el t, podemos averiguar la participación
de cada componente en dicha variación. También podemos conocer
cómo va a afectar al índice general (la repercusión) la
variación de uno de sus componentes. Por ejemplo, si el precio
de la energía aumenta un 5% del periodo 0 al t, podemos saber
qué repercusión tiene esta variación sobre el IPC.
Desarrollaremos estos dos conceptos referidos al índice de
precios de Laspeyres:
Suponemos que todas las magnitudes cambian: (Äpti), entonces el
nuevo índice será:
Y la variación del índice general es:
En porcentaje esta variación viene dada por la expresión:
qp
qp = (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑
qp
q )p+p( = (P)L + (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
it
k
1=it/0t/0
∑
∑ ∆∆
qp
qp = (P)L
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑∆∆
ESTADISTÍCA I
Tema V 247
Si llamamos repercusión (Ri), en valor absoluto, a la variación
de la componente i en el índice general, tenemos que:
En porcentaje, la variación de la componente i es:
La participación, en porcentaje, de la componente i en el
índice general es:
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
= 100 x (P)L
(P)Li0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
t/0
t/0
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∆
∆
∆
IRqp
qp = R gi
k
1=ii0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=ii = :que seCumpliÇndo ;
∆∑
∑
∑∆
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
= (P)L
Ri0
it
k
1=i
i0
it
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
i0
k
1=i
i0
it
t/0
i
∑
∑
∑
∑ ∆
∆
100 x qp
qp = 100 x
qp
qp
qp
qp
=
(P)L
R
(P)L
R
= Pi0
it
k
1=i
i0
it
i0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
it
k
1=i
i0
it
t/0
ik
1=i
t/0
i
i
∆
∆
∆
∆
∑
∑
∑
∑
∑
Números índices
Tema V 248
Anexo V.4:Estudio de algunos índices elaborados en España
Actualmente se elaboran una variada gama de índices en nuestro
país, de los cuales no vamos a hacer una enumeración
exhaustiva sino, simplemente haremos una descripción de
algunos de ellos y una somera explicación del índice de
precios.
1.-INDICE DE PRECIOS DE CONSUMO
El Indice de Precios de Consumo (IPC), antes llamado Indice
del Coste de la Vida, es un índice de precios, que en España
elabora el Instituto Nacional de Estadística (INE) utilizando
la fórmula de Laspeyres y referido a los bienes y servicios
que definen un cierto nivel de vida, esto implica determinar
en primer lugar a qué nivel de vida nos referimos y dado que
éste viene determinado por la renta, para elaborar el IPC hay
que definir los niveles de renta de la población que es objeto
del estudio, es decir, determinar el estrato de referencia que
normalmente cubrirá del 80 al 90% de la población total.
En segundo lugar es necesario determinar qué bienes y
servicios son los consumidos por el estrato de referencia,
este conjunto de bienes y servicios constituirá la cesta de la
compra interviniendo en ella los bienes y servicios de consumo
más frecuente y comunes.
ESTADISTÍCA I
Tema V 249
Para su elección se parte de la Encuesta de Presupuestos
Familiares la cual se elabora investigando, mediante muestreo,
una fracción representativa de la población a la que se
interroga sobre todos los gastos efectuados por la familia. La
investigación cubre un lapso de tiempo entre 6 y 12 meses con
objeto de evitar los periodos de gastos anormales.
Una vez establecida la cesta de la compra se valora a precios
del periodo actual y posteriormente se relaciona esta
valoración con la correspondiente al periodo base para obtener
así la evolución del índice.
En España se elaboró el primer índice del Coste de la Vida
tomando como año base 1939. Posteriormente se fue cambiando la
base (1958,1968 y 1976).
En 1977 se cambia la denominación del índice pasando a ser
Indice de Precios de Consumo (IPC). En la encuesta que sirvió
de base para el índice de 1976, realizada en 1973-74 el
estrato de referencia eran los hogares pluripersonales con una
renta anual comprendida entre 81000 y 720000 pts., estaban
representados el 71.5% de los hogares y el 81.5% del gasto.
Incluía 378 parcelas de consumo.
En 1980-81 se realiza otra encuesta con el mismo estrato de
referencia que en 1973-74, sin embargo en esta última la renta
Números índices
Tema V 250
familar está comprendida entre 322575 y 2000000 de pts.; la
cobertura es del 79% de los hogares, el 86.1% de las personas
y el 85.4% del gasto. Esta encuesta es la base del IPC que
está actualmente en vigor cuya base es 1983, en él los gastos
de consumo aparecen clasificados en 611 grupos de artículos
agregados en 428 parcelas de consumo y clasificados en 8
grupos de gasto:
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
Nº DE PARCELAS
Alimentos, bebidas y tabaco
171
Vestido y calzado 56
Vivienda 24
Menaje 56
Servicios médicos y sanitarios
18
Transporte y comunicaciones
26
Esparcimiento, enseñanza y cultura
40
Otros bienes y servicios
37
Dentro de cada parcela se seleccionan 1 o más artículos para
representar a todos los que la integran, siendo los precios de
estos artículos seleccionados, los artículos muestrales, los
que se utilizan para calcular el índice de cada parcela y con
los precios de las 428 parcelas de consumo se obtienen los
siguiente índices oficiales:
Los índices de los 8 grupos de gasto.
ESTADISTÍCA I
Tema V 251
El índice general para el total nacional. El índice general para el total nacional urbano. El índice general para el total nacional no urbano. El índice general para capitales. El índice general para comunidades autónomas.
Ponderaciones
En el cálculo del IPC los precios de los distintos artículos
están ponderados según la importancia que el consumo del
artículo correspondiente tiene en el estrato de referencia. El
INE obtiene una estructura de ponderaciones distinta para cada
uno de los conjuntos primarios y por agregación de éstos llega
a las estructuras de los diferentes niveles de cálculo del
índice. (Para los 8 grupos de gasto):
¡Error! Marcador no definido. GRUPOS
PONDERACION EN%
Alimentos, bebidas y tabaco 33.03
Vestido y calzado 8.74
Vivienda 18.57
Menaje 7.41
Servicios médicos y sanitarios 2.39
Transporte y comunicaciones 14.38
Esparcimiento,enseñanza y cultura 6.96
Otros bienes y servicios 8.52
Método de cálculo: Como hemos dicho, se utiliza el índice de
precios de Laspeyres:
(1) 100; x
qp
qp = (P)I
i0
i0
k
1=i
i0
it
k
1=it/0
∑
∑
Números índices
Tema V 252
La cantidad para el artículo i (q0i) se ha obtenido en cada
conjunto primario aplicando la fórmula q0i = C0i/p0i, siendo C0i
la cantidad, en pesetas, gastada durante el año de la
encuesta, en el artículo i.
La fórmula (1) también puede expresarse:
Donde Iti es el índice simple del artículo i y wi su
ponderación:
Las ponderaciones permanecen fijas, generalmente, durante todo
el periodo de vigencia del índice.
La recogida de precios se realiza siempre en el mismo
establecimiento, a intervalos regulares de tiempo y sin tener
en cuenta precios especiales por ofertas.
2.-OTROS INDICES
A) Indice de Producción Industrial (IPI), recoge las
variaciones de la oferta industrial de las distintas ramas de
la actividad económica:
-Minerales no energéticos e industrias químicas.
-Otras industrias manufactureras.
-Industrias transformadoras de metales y mecánica de
100 x Iw = I it/0i
k
1=it/0 ∑
qp
qp = wy ;
p
p = I
i0
i0
k
1=i
i0
i0
iit
i0i
t/0
∑
ESTADISTÍCA I
Tema V 253
precisión.
-Energía.
Este índice también se elabora teniendo en cuenta el destino
de la producción:
-Bienes industriales.
-Bienes intermedios.
-Bienes de consumo.
B) Indices de Empleo y Productividad, su objetivo es medir la
participación del trabajo en la producción pero existen graves
problemas con los datos disponibles y las unidades de medida
de la producción (bruta, neta) y los criterios de valoración
(al coste de los factores ó a precio de mercado). Normalmente
se utilizan:
C) Indices de salarios: miden las variaciones del salario del
total de trabajadores por unidad de tiempo. Para su cálculo se
utiliza, normalmente, una media aritmética ponderada.
D) Indices de comercio exterior: presentan un grave problema
en cuanto a la elección de las ponderaciones. Normalmente se
utilizan los índices de Laspeyres y Paasche de precios y
trabajoFactor
trabajo distintos Factores - Produ. = trabajoneta Produ.
factores otros + trabajoFactor
nProducci = factores los de total Produ.
Números índices
Tema V 254
cantidades, aunque también se elaboran otros que miden la
relación entre las exportaciones (X) y las importaciones (M),
como la "relación real de intercambio" (R), que se obtiene:
donde Pp es un índice de precios de Paasche.
E) Indices de cotización de valores en bolsa: miden las
fluctuaciones que se registran diariamente en las cotizaciones
de los valores en la bolsa, considerando el valor de la
cotización en el momento del cierre. El periodo base se cambia