Топологическая семантика для S4 часть первая Константин Соколов Mathlingvo, СПбГУ, i-Free http://nlu-rg.ru Санкт-Петербург, 2014
Топологическая семантика для S4часть первая
Константин Соколов
Mathlingvo, СПбГУ, i-Free
http://nlu-rg.ru
Санкт-Петербург, 2014
План
• Предварительные замечания• Модальная логика S4• Начала общей топологии• Топологическая семантика для S4• Пучок Крипке• Начала теории пучков
1
Предварительные замечания (1)
Модальная логика в основе лингвистических формализмов:
• Typed Feature Structures (TFS)• (Copestake, 2001)
• логика Каспера-Раундса LKR
• (Kasper, Rounds, 1986)• гибридная логика HL(@, ↓)
• (Blackburn, 2000)• Hybrid Logic Dependency Semantics (HLDS)
• (Baldridge et al., 2007)
3
Предварительные замечания (2)
Топологическая семантика в лингвистике:
• Окрестностная грамматика• Шрейдер, Борщёв, Хомяков, Лапшин
• Формальная герменевтика• Прозоров
• Теория тропов• (Mormann, 1995)• F. Moltmann (разные работы)
• Композициональные дистрибутивные семантическиемодели (CDSM)• Oxford Quantum Group (Abramsky, Grefenstette et al.)
4
Предварительные замечания (3)
[Awoday and Kishida, 2008] будем разбирать по частям:
• сегодня:
• топологическая семантика для S4• обобщение реляционной семантики (пучок Крипке)
• в следующий раз:
• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами
5
S4 (1)
S4 - пропозициональная логика с модальным оператором 2
• 2φ ` φ
• 2φ ` 22φ
• 2φ ∧2ψ ` 2(φ ∧ ψ)• > ` 2>
• φ ` ψ
2φ ` 2ψ
8
S4 (2)
Шкала Крипке:
• F = (W ,R)
• множество возможных миров W• отношение достижимости R ⊆W ×W• для S4 отношение R рефлексивно и транзитивно
9
Начала общей топологии (1)
Разные топологии:
• Топология как раздел математики• общая топология (general topology, point-set topology)• алгебраическая топология• дифференциальная геометрия и топология
• Н. Бурбаки, “Основания математики”• топологические структуры• алгебраические структуры• структуры порядка
11
Начала общей топологии (2)
Общая топология:
• Получила развитие в первой половине XX в.• обоснование анализа с помощью теоретико-
множественных понятий• определение непрерывности без метрических понятий
• Начальные главы (хороших) учебников анализа• избавление от ε-δ формализма• упрощение перехода к многомерному анализу
12
Начала общей топологии (3)
Дано множество X . Система подмножеств O ⊆ 2X называетсятопологической структурой (или топологией) на X , если:
• ∅,X ∈ O• объединение
⋃Ui произвольного числа подмножеств
Ui ∈ O принадлежит O• пересечение
⋂Ui конечного числа подмножеств Ui ∈ O
принадлежит O
Пара (X ,O(X )) называется топологическим пространством.
13
Начала общей топологии (4)
• подмножества U ∈ O(X ) называются открытыми• дополнения открытых множеств называются замкнутыми• ∅ и X - одновременно открыты и замкнуты• если x ∈ U, U - открытое множество, то U называется
окрестностью x
14
Топологическая семантика для S4 (1)
Оператор взятия внутренности:
int(A) =⋃
U⊆AU∈O(X )
U
• int(A) - наибольшее открытое множество,содержащееся в A
• если U - открытое множество, то int(U) = U
16
Топологическая семантика для S4 (2)
Свойства int(·) соответствуют аксиомам S4:
• int(A) ⊆ A• int(A) ⊆ int(int(A))• int(A) ∩ int(B) ⊆ int(A ∩ B)
• X ⊆ int(X )
• A ⊆ B =⇒ int(A) ⊆ int(B)
A и B соотвествуют предложениям (напр., φ, ψ)X , ∩, ⊆, int(·) соответствуют >, ∧, `, 2
17
Топологическая семантика для S4 (3)
Функция интерпретации [[·]]
• [[p]] ⊆ X• [[¬φ]] = X \ [[φ]]• [[φ ∧ ψ]] = [[φ]] ∩ [[ψ]]
• [[φ ∨ ψ]] = [[φ]] ∪ [[ψ]]
• [[>]] = X• [[⊥]] = ∅• [[2φ]] = int([[φ]])
18
Пучок Крипке (2)
Очевидная идея:
• сопоставить точкам отнесенности множества со структурой• стрелкам - гомоморфизмы структур• т.о. определить модель с помощью категории
21
Предпучки и пучки (1)
• Топологическое пространство (X ,O(X ))
• Каждому открытому множеству U ⊂ O(X ) сопоставляетсямножество со структурой F(U) (сечение)
• Для любых двух открытых множеств U,V ⊂ O(X ), т. ч.V ⊆ U, определим гомоморфизм ρU
V : F(U)→ F(V )(ограничение)
• Если U = V , то ρUV = ρV
U = 1U
• Если U ⊂ V ⊂W , то ρVW ◦ ρU
V = ρUW
F - предпучок над топологическим пространством (X ,O(X )).
24
Предпучки и пучки (2)
• Аксиома локальности
• Если U =⋃
Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U определеныморфизмы ρU
Uiи ρU
Uj
• Тогда, если ρUUi(x) = ρU
Uj(y), то x = y
• Аксиома склейки
• Если U =⋃
Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U, т.ч. Ui ∩ Uj 6= ∅,определены морфизмы ρU
Ui, ρU
Ujи ρU
Ui∩Uj
• Тогда, если x ∈ F(U), то(ρ
UjUi∩Uj
◦ ρUUj)(x) = (ρUi
Ui∩Uj◦ ρU
Ui)(x)
Если эти условия выполнены, то F называется пучком.
25
Что дальше
• дочитать [Awoday and Kishida, 2008]• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами
• каждый пучок изоморфен пучку непрерывных сеченийнекоторого накрытия
• категория предпучков SetCop
27