Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi

8/10/2019 Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi

1/47

Y

XXX

y

yX

AX=X

O

NILAI EIGEN DAN VEKTOR

EIGEN


2/47


3/47

NILAI EIGEN DAN VEKTOR

EIGEN

Definisi

Jika A adalah matrks nxn, maka vektor tak nol xdi Rndisebut vektoreigen dari A dan skalar disebut nilai eigen dari A jika terpenuhi

persamaan Ax= x

Menemukan nilai eigen A

Untuk menemukan nilai eigen dari matriks A nxn, tuliskan Ax= x

menjadi Ax= Ix

atau (I-A)x=0

Harus terdapat solusi tak-nol dari (I-A)x=0. sistem persamaantersebut memiliki solusi tak-nol jika

det(I-A)=0 Persamaan karakteristik


4/47

Teorema 4. 1.Jika A adalah suatu matriks n x n dan adalah suatu

bilangan real,

maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen

(a) adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

(b) Sistem persamaan ( I A)x = 0 mempunyaipenyelesaian tak trivial (non trivial)

(c) ) Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian

sehingga Ax = x.

(d) adalah suatu penyelesaian real dari persamaankarakteristik det (IA) = 0

(hal 8)


5/47

Contoh soal :

1. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari

dan tentukan nilai eigennya!

Jawab :

Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara

mengali-kan matrik dengan vektor, sehingga

diperoleh hasil kelipatan dari vektor iatu sendiri.

1 4

2 3A

2

-1x

1 4 2 -2 21

2 3 -1 1 -1Ax

vektor eigen

nilai eigen


6/47

EIGEN VALUE and EIGEN

VECTOR

6

Contoh

Temukan nilai eigen dari

Solusi

Persamaan karakteristik det(I-A)=0

=(-2) ((-3)+2)

=(-2) (-2) (-1) = 0 Nilai eigen : 1,dan 2

301

121

200

A

301

121

200

100

010

001

det)det( AI

301

121

20


7/47


VECTOR

7

Menemukan vektor eigen dari A

Untuk tiap nilai eigen, kita dapat menemukan vektor eigen dari Adengan mensubtitusi nilai eigen ke sistem persamaan (I-A)x=0

dan selesaikan persamaan tersebut. Ruang solusi persamaantersebut disebut ruang eigen yang berpadanan dengan .Vektor-vektor eigen yang berpadanan denganadalah vektor-vektor tak nol dalam ruang eigen

Contoh

Temukan basis bagi ruang eigen dari

Solusi

Nilai eigen dari A adalah 1 dan 2 (lihat halaman 3)

301

121

200

A


8/47


9/47


VECTOR

9

Solusi (lanjutan)

Dengan mensubtitusi =2 ke persamaan: (I-A) x = 0, diperoleh

=2 (I-A) x = 0

Basis bagi ruang eigen yang berpadanan dengan =2 adalah

0

301

121

20

x

0

101

101

202

x

0

0

0

|

|

|

101

101

202

0|A

0

0

0

|

|

|

000

000

101

~ ts

t

s

t

x

0

1

0

1

0

22

0

1

0

,

1

0

2


10/47

2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis

untuk ruang eigen dari :

Jawab :

Persamaan karakteristik :

det (IA)= 0(-3)()(1)(-2)=0

2- 3 + 2 = 0 Nilai eigen : 1= 2, 2= 1

3 2

-1 0A

1 0 3 2 -3 -2

0 1 -1 0 1I A


11/47

Ruang vektor :

Untuk 1= 2 diperoleh :

-x12x2= 0x1+ 2x2= 0

Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan

adalah vektor tak nol:

Jadi untuk =2, basisnya adalah :

1

2

-3 -2 0

1 0

x

x

1

2

-1 -2 0

1 2 0

x

x

x1=2x2

-2s -2

s 1x s

-2

1


12/47

3. Tentukan eigenvaluesdan

eigenvectors dari matriks

Jawab:Persamaan karakteristik: det (A I ) = 0

311

242

113

A

0

311

242

113

078304433

0323242243

2

2


13/47

3102+ 2824 = 0

(2)(8 + 12) = 0

(2)(6)(2) = 0

= 2 v = 6

Jadi, eigenvaluesnya adalah 2 dan 6, sedangkan untuk mencari

eigenvectornya maka eigenvaluenya dapat disubstitusikan ke

dalam persamaan tersebut,

Untuk = 2,

Ax = 2x 0

200

020

002

311

242

113

3

2

1

x

x

x

0

111

222

111

3

2

1

x

x

x

321

321 0

xxx

xxx

1

0

1

0

1

1

32

3

2

1

xx

x

x

x


14/47

Jadi, untuk eigenvalue2 mempunyai

2 eigenvectorsyakni dan

0

1

1

1

0

1

Untuk = 6,

Ax = 6x 0311

222

113

3

2

1

x

x

x

0

000

210101

3

2

1

x

x

x 32

31

2xx

xx

1

2

1

3

3

2

1

x

x

x

x

Jadi, untuk eigenvalue6 mempunyai 1

Eigenvectors yaitu

1

2

1


15/47

4. Tentukan eigenvaluedari matriks

lower triangular di bawah ini.

44434241

333231

2221

11

0

00000

aaaa

aaa

aa

a

A

Jawab: Persamaan karakteristik

0

000

0

00

000

44

333231

2221

11

a

aaa

aa

a

044332211

aaaa

1= a11 2= a22 4= a443= a33v v v


16/47

Catatan :

Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah

nilai eigen = , maka akan memiliki nilai eigen

k.

Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak njuga, maka basis ruang eigennya tetap sama.

Tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n

(terjadi jika ada nilai eigen yang saling

berlawanan tanda), maka salah satu nilai

eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang

berbeda.


17/47

Misalkan :

Maka nilai eigen untuk B adalah: -12, 12, 22dengan

basis ruang eigen untuk

B = A2=

201212

203

= 1, basis ruang eigennya: dan

1

0

1

0

1

0

= 4, basis ruang eigennya:

1

2

2


18/47


19/47

Pada contoh ini, untuk =1 memiliki dua basis ruangeigen yang berasal dari nilai eigen -1 dan 1.

Karena berasal dari dua nilai eigen yang berbeda, makabasis ruang eigennya juga mengalami sedikit perubahanbasis yaitu basis ruang eigen dengan = -1

Basis ruang eigen ini merupakan vektor proyeksi

dari terhadap vektor

Dalam hal ini basis ruang eigen untuk = -1 dibuat saling

orthogonal

1

0

1

1

-1

1

1

0

1


20/47

Diagonalisasi

Definisi : Suatu matrik A berukuran n x n disebut dapatdidiagonalisasi jika terdapat matrik P yang

memiliki invers sehingga diperoleh matrik

diagonal :

Pmatrik n x n disebut matrik yang mendiago-

nalisasiAdengan kolom-kolomnya merupakan

kolom dari basis ruang eigen A .

Dmerupakan matrik diagonal yang elemen

dia-gonalnya merupakan semuanilai eigen

dariA

D = P-1AP


21/47

Cara menentukan P

Jika matrik A ukuran n x n mempunyai n vektor eigen

bebas linier {x1, x2, ., xn} berhubungan dengan n nilaieigen {1, 2, .., n} kemudian didiagonalisasi matrik P,

maka formulasi matrik P adalah:

Jika D adalah matrik diagonal ukuran n x n dan D = P-1AP,maka :

Nilai 1, 2, .., ntergantung pada nilai x1, x2, ., xn

P=[x1, x2, ..,xn]

1

2

n

0 0 0

0 0 0

0 0 0

D


22/47

Langkah-langkah yang digunakan untuk mendia-gonalisasi suatu matrik adalah sebagai berikut :

1. Tentukan n buah vektor eigen yang saling bebas linier

dari A, misalkan p1, p2, ., pn

2. Bentuk matrik P yang isinya adalah p1, p2, ., pn

sebagai vektor kolomnya.

3. Hasil kali P-1AP adalah matrik diagonal dengan 1, 2,

., nadalah nilai eigen yang sesuai dengan vektor

eigen p1, p2, ., pn


23/47

Teorema 4. 2.Jika v1, v2, v3, ... , v adalah vektor-vektor eigen dari

matriks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen 1, 2,

3, ... , k yang berbeda, maka {v1, v2, v3,... , vk} adalah

himpunan yang bebas linear. (hal 31)

Teorema 4. 3.

Jika suatu matriks A berukuran n x n mempunyai nilai-nilai

eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalisasi.(hal 32)


24/47

Catatan :

Tidak semua matrik bujur sangkar dapat didiagonali-sasi, tergantung

dari jumlah basis ruang eigen yang dimiliki.

Jika matrik n x n :

basis ruang eigen yang bebas linier = n, dapat didiagonalisasi.

< n, tidak dapat.

Saat matrik n x n memiliki nilai eigen sejumlah n, maka basis ruangeigennya juga berjumlah n.

Saat matrik n x n jumlah nilai eigen kurang dari n, maka ada 2

kemungkinan yaitu basis ruang eigen juga berjumlah n atau kurang

dari n

Jadi pada saat jumlai nilai eigen sama dengan n, maka matrik dapatdidiagonalisasi, sedangkan pada saat nilai eigen kurang dari n,

maka matrik belum bisa ditentukan bisa atau tidak didiagonalisasi.


25/47

Contoh soal :

1. Diketahui matrik = 1 06 1 Carilah a) matriks P yang mendiagonalisasi A.

b) matriks diagonal D = A.PPenyelesaian:

a) Persamaan karakteristik matriks A

det ( IA) = 0

1 0

6 + 1

( 1)( + 1) = 01 = 1 dan 2 = -1 (nilai-nilai eigen A)


26/47

Untuk 1 = 1, sistem persamaan linear homogennya( IA )x = 0

0 0

6 2

1

2=

0

0

-6 + 2= 0 =

=t = t

=

t

1=

1t


27/47

Jadi, basis untuk ruang eigen yang

bersesuaian dengan 1 = 1 adalah p1 = 1


28/47

Untuk 2= -1, sistem persamaan

linear homogennya

( IA )x = 0

2 06 012 =

00

-2= 06= 0

=

0

= t

= 01 = 0

1 t


29/47

Jadi, basis untuk ruang eigen yangbersesuaian dengan 1 = -1 adalah p2 = 01

Dengan demikian kita dapatkan bahwa (p1,p2)adalah bebas linear, sehingga

akan mendiagonalkan matriks A. = 13 01 1


30/47

Mencari matriks diagonal sekaligus sebagaipemeriksaan bahwa D = A P.D =

A P = 3

1 0

1

1 06 1

01 1

=3 0

3 11 06 1

01 1

= 3 03 1 01 1 =

1 0

0 1


31/47

Catatan: Dalam contoh ini tidak ada urutan yangdiistimewakan untuk kolom- kolom P. Karena unsur-unsur

diagonal ke-i dan D = A P adalah nilai-nilai eigen untukvektor kolom dari matriks P, maka dengan mengubah

urutan kolom-kolom matriks P hanyalah mengubah

urutan nilai-nilai eigen pada diagonal untuk D = A P.Jadi seandainya matriks Pnya ditulis seperti berikut:

= 0

1

31 1 Maka kita akan memperoleh

matriks diagonal D =

A P = 1 0

1 0


32/47

2. Carilah matrik P yang dapat mendiagonalisasi matrik

Jawab :Dari perhitungan sebelumnya diperoleh bahwa :

Basis ruang eigen yang berhubungan dengan = 1 adalah:

Basis ruang eigen yang berhubungan dengan = 2 adalah :

dan matrik diagonalnya !

0 0 -2

1 2 1

1 0 3

A

-2

1

1

-2 0

0 1

1 0


33/47

Diperoleh basis ruang eigen dari A :

Maka :

Dan matrik diagonal : D=P-1

AP=

-2 -2 01 , 0 , 1

1 1 0

-2 -2 0

1 0 1

1 1 0

P

1 0 0

0 2 0

0 0 2


34/47

3. Diketahui :

Tentukan matrik yang mendiagonalisasi A dan matrik

diagonalnya !

Jawab :

Dari perhitungan sebelumnya didapatkan nilai eigen :

- 1, 1 dan 2 dengan basis ruang eigen yang

bersesuai-an berturut-turut adalah :

1 0 -2

0 1 2

-1 0 0

A

1 0 -2

-1 , 1 , 2

1 0 1


35/47

Jadi matrik pendiagonal P bisa ditentukan sebagai :

Kolom-kolom pada matrik P bisa diubah-ubah urutannya

sehingga terdapat 6 matrik yang memenuhi jawaban. Matrik

D tentu saja juga mengikuti urutan dari matrik P

1 0 -2

-1 1 2

1 0 1

P

dengan matrik diagonal:

-1 0 0

0 1 0

0 0 2

D


36/47

Apakah matrik C dapat didiagonalisasi ?

4. Diketahui C=

210

010

201

Jawab:

Persamaan karakteristik: det (IC) = 0

210

010

201

Det = (1)2(2) = 0

Jadi nilai eigen: 1, 2

Karena hanya ada dua nilai eigen maka belum bisa ditentukan apakah C

Dapat didiagonalisasi ataukan tidak. Untuk itu akan diperiksa banyaknya

Basis ruang eigen.


37/47

Untuk = 1, substitusi nilai = 2 ke persamaan (IC) 0x

0

110

000

200

x

110

000

200

000

100

010

~

Ruang eigen:

0

0

s

x

Jadi untuk = 1, ada satu basis ruang eigen yaitu:

0

0

1


38/47

Untuk = 2, substitusi nilai = 2 ke persamaan (IC) 0x

0

010

010

201

x

010

010

201

000

010

201

~

Ruang eigen:

s

s

x 0

2

Jadi untuk = 1, ada satu basis ruang eigen yaitu:

1

0

2

Karena hanya ada dua basis ruang eigen yang bebas linear,

maka C tidak dapat didiagonalisasi.


39/47

Diagonalisasi ortogonal

Definisi :matrik bujursangkar P disebut matrik

ortogonal apabila berlaku

PT

= P-1

Matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika

terdapat matrik P yang ortogonal sehingga :

P-1AP=D

dengan D adalah matrik diagonal.


40/47

Berbeda dengan diagonalisasi sebelumnya, matrik yangdapat didiagonalisasi atau tidak dijabarkan sebagai berikut :

P-1AP = D

PDP-1= A

PDPT= A (dari sifat PT= P-1) (1)

(PDPT)T= AT (kedua ruas ditransposekan)

PDPT= AT

.(2)

Dari persamaan 1 dan 2 disimpulkan bahwa agar supaya

matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka

matrik A harus memenuhi sifat A = AT( A harus matrik

simetri).


41/47


42/47

Teorema 4. 4.

Jika A adalah suatu matriks n x n, maka pernyataan berikut

adalah ekuivalen.

(a) A dapat didiagonalisasi secara ortogonal.

(b) A merupakan suatu himpunan n vector eigen yang

ortonormal.

(a) A adalah matriks simetrik. (hal 35)

Teorema 4. 5.

Jika A matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari

ruang eigen yang berbeda akan ortogonal. (hal 36)


43/47

Contoh Soal

Diketahuimatriks = 7 2424 7 a) Carilahmatriks P yang mendiagonalisasi A secaraortogonal.

b) Tentukanmatriks P-1AP.

Penyelesaian:

a) Persamaankarakteristikmatriks A adalah

det = 0

d et 7 2424 7 6 2 5 = 0 = 2 5.Jadinilai-nilaieigendarimatriks A adalah1=25 dan2= -25.


44/47


45/47

Jadi vektoreigen A yang bersesuaiandengan = 2 5adalah =341

Membentuk basis untukruangtiga. Denganmenerapkan proses Gram-

Schimdtakanmenghasilkanvektoreigenortonormal, yaitu

= =

,sebab =

Untuk =25, akandidapatkanvektoreigen yang merupakan basisuntukruangeigen, yaitu

= =

,sebab = .


46/47

Akhirnyadenganmenggunakan

dan

sebagaivektor-vektorkolom,

makakitadapatmatriks yang mendiagonalisasi A secaraortogonal, yaitu:

=35

454

5

3

5


47/47

b) Menentukanmatriks =

7 2424 7 .

= 15 20

20 15.

35

45

45 35

= 15 2020 15

Matriksiniadalahmatriks diagonal denganunsur-unsur diagonal

utamanyaadalahnilai-nilaieigendarimatriks A.

Nilai Eigen, Vektor Eigen, Dan Diagonalisasi

Documents