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TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft2
Manuskripteingang: 24. 4. 1985
Nichtlineare Sdiwingungen mechanisduer Systeme mit
elastisd'i-plastischen Materialeigenschaften
Nguyen van Dao, Hoang van Da
0. Einleitung
Viele Aufgaben der Schwingungen mechanischer Systeme mit
elastisch-plastischen Materialeigenschaften führen zur
Untersuchung der folgenden Gleichungen
3311 3% a2u a2“ auä+ß__.d2____ d2_= P@,x,——,...,(‚“3 M2 atöxz ß
6x2 u ( ax ) (0.1)
Ik[u1=L(u9—‘5 )—0' (k=-k—011)k 7axt‘“ — a X, _ a)
bzw
333+a32_w+b2 35w +ab2 a4w_ F6 aw )
at3 at2 atax4 5:4- “ < ”W“, ’ (0.3)
_ 3W 32W 33w ._ .
Lljlw] L1,(5;:5;2~)= 0a szlwl = L2j(w7 a?) = 0, O-X;J=0‚l)
(0.4)
bzw
33.3.! + 532—“, + w2_a.(v4w) + gw2v4 _ F“; x y w a_w ) (05)
atg W’I‘ 9,9 ’axv-H ’
öw öw ö2w 82w _ _ 63w _
LlJlW] L1‚(ä'—‚ 3;,'a_X*2aa_y‘2‘)—0a L2j[w]—L2j(wsm)_0!
(0'6)
aw aw 32w a2w
——a _9 —’9 —) = 0, = = 07
ax ay 3x2 öy2 3x3
(j=x; j=0,b. k=y; k=0‚c)
Die Randwertaufgahen (0.1) bis (0.2) und (0.3) bis (0.4) wurden
von vielen Autoren behandelt [6]. Die Untersuchung
der Aufgabe (0.5) bis (0.6) ist noch am Anfang.
ln dieser Arbeit wird zuerst die Bewegungsgleichung der dünnen
rechteckigen Platten bei Berücksichtigung der elastisch-
plastischen Materialeigenschaften erstellt. Sie hat die Form von
(0.5) —- (0.6). Danach werden die asymptotischen Lösun-
gen dieser Gleichung aufgebaut. Die Eigenschaften der Lösung
werden gezeigt.
Bild lBild2
l. Die Bewegungsgleichungen
Betrachtet wird die Platte mit den Abmessungen nach Bild l. Die
Materialeigenschaft wird durch das Modell in Bild 2
beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist
dabei durch die Beziehung
1) Der Autor bezeichnet hier und im folgenden mit k = x; k = 0,
l die Randwerte fiir x = 0, l.
l8
-
a = Ee, (1.1)
a
E1 +K(1+E1 H1132) ä:E = _______._
1 + L 1 ’ (1'2)[1 E2 ö t
gegeben.
Durch Einsetzen von (1.2) in den Ausdruck für die
Biegesteifigkeit der Platte
E h3 ’D = ——— ,
12 (1 5 „2) (1'3)
in der Gleichung
2
Mg?“ + Dv4w = pf(t‚x,y,w,...), (1.4)t
ergibt sich nach einigen Umformungen die folgende Gleichung fiir
die Plattenschwingung
ö3w 32w 3 1 öf E2 a+ 2 4 2 4 = _ 2 4
öt3 Eatz +0) at(v w)+§wvw ulM(Ef+at) Elw at(V
W)]- (1-5)
In (1.5) sind w die Durchbiegung, h die Dicke der Platte, v die
Poissonsche Konstante, f nichtlineare Funktion von t, x,
y, w, . . . , die als bekannt vorausgesetzt wird, V der
Nablaoperator und
E2 D1 E1 h3E : _ , (02 : _— ’ : —___.._ ‚
k M 1 12(1 — V2) ( )
Zur Vereinfachung setzen wir M = l. Die Gleichung (1.5) hat dann
die Form
a3w a2w 2 a—+ —+w — 4w +Ew2 4w=/.1F@),x,,w,...), 1_7atg a t2 at
(v ) v ( y ( )
Dabei ist 3—? = 7 , F ist eine periodische Funktion mit der
Periode 211 fiir 9 , u ist ein kleiner Parameter.
Die Randbedingungen werden in der Form vorausgesetzt:
aw aw 32W 11% a3w.. =L..___.____‚____ =0‚L. :L. ‚__ =0,
Lu[w] 11(ax7 ayvaxz ayz) 2le] 2‚|(w 6x3)
2 2 33 (1.8)öw aw ö w a w
w
L =L _‚——‚—,——=O,L[w]=L w,—)—0,iklw] 1k ( 3y ay 8x2 ayz ) 2k 2k
( ays
(j=x; j=0,b. k=y; k=0,c).
I
Dabei sind Llj , L2j , le , sz lineare Operatoren mit konstanten
Koeffizienten.
2. Holonomes System
Die Bewegungsgleichung besitzt die Form
33 W 32 W 2 ö 4 2 4 aw
—— ——— —— + = F — . . . 2.1+w at w) w M (X9Y1waax7 )a )
Die rechte Seite dieser Gleichung ist nicht explizit von t
abhängig. Bei u = 0 ergibt sich aus (2.1)
83W 32W 2 ö 4 2 4
— — — = . 2.2
at3+ £)t2+"“’¢'it(vw)+£0va 0 ()
Die Lösung von (2.1) wird in der Form
Wo(x‚y‚t) = Z(x‚y)T(t) (2.3)
gesucht.
Durch Einsetzen (2.3) in (2.2) und (1.8) ergeben sich die
Gleichungen
19
-
3 2
1_T+äd_I+ß2w2EI+äßzw2T: 07 (2.4)
dt3 dt2 t
V4Z_ßZZ:0 (2.5)
mit den Randbedingungen
LIJ-[Z] = 0, L2j[Z] = 0, L1k[Z]= 0, L2k [Z] = 0, (2.6)
(j=x;j=0,b; k=y; k=0,c).
Nehmen wir an, daß die Eigenwerte ßrs und die entsprechenden
orthogonalen Eigenfunktionen er (x, y) bestimmt
wurden, dann besitzt die partikuläre Lösung von (2.2) die
Form
M8
Ars er c05“.ert + l1’l's) ' (2'7)wO (x,y,t) = 1
r, s
Dabei sind Ars ‚ LUIS die aus Anfangsbedingungen bestimmten
Konstante und Qrs die Eigenfrequenzen7
n2 = (.12 p: . (2.8)l‘S
2.1. Der Fall einer Frequenz
Wir setzen voraus, daß das System (2.4) eine nicht abklingende
Lösung mit der Frequenz $21 1 hat und keine innere Re-
sonanz vorliegt, d. h.
(Qrs—n911)#0. (n‚r,s = 1,2,...) (2.9)
In diesem Fall kann die Lösung der Randwertaufgabe (2.1), (1.8)
in Form der Reihe
w(x,y‚t) = 211 acow + uU1(x‚y,a,(p) + „2 U2(x‚y,a„o) + „3 . . .,
(2.10)
gesucht werden. Dabei sind (p = (5211 t + 11/) und U1, U2 . . .
periodische Funktionen des Winkelsap mit der Periode 2 7r.
Die Größen a und 1b werden durch das Gleichungssystem
d dwd_:_ :„A1(a) +„2 A2(a)+„3...‚ Et— = B1(a) + „2 B2 (a) +
„3... (2.11)
/ bestimmt.
Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (2.10) und
(2.11) und Einsetzen der erhaltenen Ergebnisse in
(2.1), danach durch Vergleichen der Koeffizienten der gleichen
Potenz von p erhalten wir in erster Näherung
3 a3U1 2 a2 U1 a
911 W3 + 11 3&2— + Q11 0’2 57p (V4 U1) + €w2V4U1 =F1
+ [(2 9:1 A1 + 2’5an1 B1) cossp +(2ES21'1A1 —2a 52:1
Bl)sin1p]Z11 . (2.12)
öZ '
Dabei ist F1 = F(x,y, Z11 acosgo, 8—11 acoscp,. . und U1 erfüllt
die Randbedingungen:
x
= 0, L2-[U1]= 0,
u J (j=x;j:0,b.k:y;k:0‚c). (2-13)
lelUl]: 07 szlUfl: 0a
Zur Bestimmung U1 entwickeln wir F1 und U1 nach den
Eigenfunktionen { er (x, y)} :
oo oo b
U1 = E Ulrs (ad?) er a F1 = 2 Flrs (31¢) er t Flrs 2 f
r,s=1 s=1 0’
b c2
F1 er dx dy / g ({er dx dy . (2.14)
ORG
Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Gleichung (2.12) und
Vergleichen der Koeffizienten von er ergibt sich
a3V 82V aU3 111 2 111 3 111 2 _11 “wg + “HVJ' Q11 am + 5911 U111
‘ F111
+ [(252%1 A1 +2539“ B1)cos«p + (2m11 A1 — 2aoflßl)sin,a],
(2.15)
20
-
33U1 2 ö2U 2 aU111 2 _
“31 ET" + Wu 7.2l“ * “11% V + WrsUm - Fm (2-16)
(r,s = l,2,...; r=s=/= 1).
Aus (2.14) folgt,-daß U1 die Randbedingung (2.13) erfüllt. Zur
Bestimmung von U1rs entwickeln wir U11.s und Flrs z
Uhs = 20 [vrlsn(a) cosncp + wasn(a) sin mp] , F11.ß = 20 [
grlsn(a) cosmp + hrlsn(a) sinmp] (2.17)
n = n?—
Dabei sind
rs. _ 1 27T rs _ 1 21TF rs _ 1 27T l
g10(a) " Flrsd‘pv g1n(a) " ; g lrs(a) cosn‘pd‘pv h1n(a) " E
({Flrs Smn‘pd‘p
die bekannten Größen und visn(a) ‚ wäsn(a) sind zu bestimmen.
Durch Einsetzen von (2.17) in (2.16) und (2.15) und
Koeffizientenvergleich mit der zusätzlichen Bedingung, da5 U1 1
l keine Ausdrücke cos «p und sin w enthält, ergeben sich
die folgenden Beziehungen zur Bestimmung A1 , B1 und U1 :
_(nugii(a)+2hii> B (sgii—nuhii>
1 = ‚ 1 = —(2.18)
2911(Qil +52) 2610116251 + 52)
m co [(ggrs (a) _ n9 hrs (a)) cosnnp + (n9 g" (a) + gh‘s (5.))
sinnnp]
U1 = 2 2 1" u 1“ “ 1“ 1" 2,s (m) (2.19)2 2 2
n=0 r,s=1 (S2 + n2911)(flrs —— n2 .Qll)
(r:8:1, n 75 l).
2.2. Der Fall mehrerer Frequenzen
Es wird angenommen, dal3 die Lösung von (2.2) bei bestimmter
Anfangsbedingung N2 nicht abklingende Schwingungen
(N eine gerade Zahl) mit den Frequenzen $211 ‚ 912 , . . . (ZN N
enthält.
Für diese Frequenzen wird angenommen, daß es keine innere
Resonanz gibt, d. h.
N
[52: _k ilqklflkl] 9e 0, (r,s=l,2,...) (2.20)
Dabei sind qkl Konstanten, die von der rechten Seite von (2.1)
abhängig sind. In diesem Fall ist die partikuläre Lösung
der Gleichung (2.1) von 2N2 Konstanten abhängig und erscheint in
der Form
N
w (x, y, t) =klz_1 zkl akl coscbk, + u U1(x,y,a,)+ „2 U2
(x‚y‚a‚q>) + „3 . . .‚ (2.21)
wobei _
dakl dxl/k'l
=I1Ak1(a)+#2A (a)+u3..., = B a+u2B a+/13...,dt 1 2k1 dt M 1k1( )
2k1( ) (222).
‘ka = (let + ‘1’“): a=(311, a12v--aNN)‚ ‘I’
=(‘1’11’q’127~--‘1’NN)-
Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (2.2l), (2.22)
und durch Vergleichen der Koeffizienten der glei-
chen Potenzen von p erhalten wir in erster Näherung
L3 + + w2L1[V4U1]+§w2v4U1 :- F1
N2 .
+ k f: 1 [(2 9k1A1k1+ 25ak19k131k1) COS‘I’H + (259k1A1k1- 2 akl
9:131k1)81n‘1’k1] Zkl - (2-23)
Die Funktion U1 muß die Randbedingung
(j=x; j=0,b. k=y;k=0,b)
21
-
erfüllen. Dabei sind
Fl = F(x,y, 12l Zklaklcosfbkl, g azkl aklcosk1‚...)‚
k,l=1 k,l=l 3x
N a N a 2 N a 3
L1[U1] = (kfilflkIW)Ul, L2[U1]=(k,l>3=19k133fi)
U1‚L3[U1]=(k‚lz=19k1m) U1-
Durch Entwicklung U1 und F1 nach den Eigenfunktionen gemäß
(2.14), durch Einsetzen der erhaltenen Ergebnisse
in (2.23) und Vergleichen der Koeffizienten von er ergeben sich
die Beziehungen:
2 2L3[Ulkl]+l5L2[Ulkl1+ 9k! L1 [Ulkl] + EQkIUlkl = Flkl
2 2 .+ {(2%} Alkl + 258k19k131k1)c°3‘1’k1 + (259k1A1k1 r 25k]
9k131k1)8m‘1’k1] (2-25)
(k,l = 1,2,...N),
L3[U1„] +2L2IU1„] + nstlths] + gafsUm : Flrs [r‚s= (N+1),
(N+2)‚...]. (2.26)
Zur Bestimmung von U1 rs werden F1 ‚s und U1 ,5 nach ti)
entwickelt:
‘ (I) ’
-
folgt:
.33
(nil—L2)=0;(k,l=l,2...N).
(2 )
Mit der zusätzlichen Bedingung, daß U1" die Größen cosÖ“ und
sin
-
Die zu bestimmende Funktion U1 und Funktion F1 werden nach den
Eigenfunktionen { er (x, y) } in der Form
U1 : _1Ulrs(a"p’®)zrs’ F1 =
[,8 71MB
1 Flrs (a7 ‘p’ 6) er ’
‘a
b c b c 2 (3'7)
Fh.s = ({OfFI erdxdy/ ä {)erdxdy
entwickelt.
Damit erfüllt die Funktion U1 die Randbedingung (3.6). ‘
Durch Einsetzen von (3.7) in (3.5) und durch Vergleichen der
Koeffizienten von er ergeben sich die Ausdrücke
2 2
L3[U111] + 3L2[U111] + 911L1lU1111 + 5911 U111 Z F111 +
Hamil/5.1 + 2ganllßl)cow + (2gollA1 — 2.19%l 131mm], (3.8)
2 2
L3[U1rs] + ELZ [Ulrs] + um L1 [Ulrs] + En“ Ulrs z Flrs'
(3'9)
(r,s : 1,2,... , r = 535 l).
Die zu bestimmenden Funktionen U1rs und Flrs werden wie oben in
der Form
_ . 6+_ ‘ 6+
Ulrs — tänUlisnmü) elm mv’)’ Flrs ‘ n?“ Flriimcl) e101 Imp)
’
2 2 (3.10)71’ 1! .
(21102 of OfFlrs e“‘“®*
m“’)d«pd®‚
Flllrsim (a) =
entwickelt.
Durch Einsetzen von (3.10) in (3.8) und (3.9), Vergleichen der
Koeffizienten von cos mp und sin n w , mit der zusätz-
lichen Bedingung, daß U111 die Größen comp und simp nicht
enthält, ergibt sich nach einigen Berechnungen:
1'8
rs 1nm(a)
Ulnm(a) = . 2 2(3.11)
[5 +1("‘911 +n7)lm„-(m911 + n7) l
[r‚s=1,2,...;r=s=1‚ qn+p(mil)¢0].
Setzen wir (3.11) in (3.10) und anschließend in (3.7) ein, so
erhalten wir den Ausdruck zur Bestimmung von U1
21! 21T b c . .
f f f fFl zrs (“nemwdxdydgade - zrs e‘("9*“‘“”
Ul=zz 000° b (3.12): C
n’m ’s 41I’2IE+i(mfln+n7)][flfs—(mfln+n'y)2]gä Zfsdxdy
[r=s=l‚ qn+p(mi l)¢0].
Die Größen A1 , Bl werden aus den Gleichungen
_ . pa
2 2 “1% 21r21r —'P°(¢"- l2QHA1 + 2Eaflll 31 = — m E 8 6r of
F1116 q eosipdvpdG=—2G(a)‚
p (3.13)
2 2 iqg 21r21r 'ipo(¢__e)
2£911A1—2afluBl = — m 3e Wg of Flue ‘1 simpdcpd6=——2H(a)
bestimmt. Daraus folgt
+ G—Q H
Alz_m, Bl=_(_g____21_.1_)2__ (3.14)
n11(9ll +5 ) mum“ +5)
Hiermit ist in erster Näherung die Lösung von (3.3) vollständig
bestimmt.
24
-
3.2. Allgemeine Resonanz
Betrachtet wird die Bewegungsgleichung der Platte in der
Form
a3w a2w 2 a 4 2 4 _m +£32— +w w) + Ew V w _
“F(®19®2a"-®h,xay’wa"')1
dabeiist
%’ = W, (v: 1,2,...h).(3'16)
Wir nehmen an, daß für u = 0 und unter den bestimmten
Anfangsbedingungen die Gleichung (3.15) N2 nichtabklingen-
de Schwingungen mit den Eigenfrequenzen 911 , $212 , . . . QNN
hat, die die Bedingung fehlender innerer Resonanz
(2.20) erfiillen. Außerdem setzen wir voraus, dafs zwischen den
Eigenfrequenzen und den Frequenzen der äußeren Kraft
folgende Beziehung
41’ng + qg’; (012 +... + qgllJ wNN + p§’)71 + pg)®2 +.. .pg)®h =
0 (3.17)
(j= 1,2,... p)
(j) (j)gilt. Dabei sind qkl , pl, die bestimmten geraden
Konstante, die von der rechten Seite von (3.15) abhängig sind,
und
wk] = Q“ — u Ökl, (k,l = 1, 2, . . . N); (3.18)
51d ist der Frequenzunterschied.
Die von 2N2 Konstanten abhängige partikuläre Lösung der
Randwertaufgabe (3.15), (1.8) wird dann in der Form
N
“'(xa y, t) = 1‘51 Zkl akl (305‘ka + p U1(x, y, a, CD, ('3) + p2
U2 (x,y‚a,, G) + #3 --- (3.19)
w
gesucht. Hiermit sind
a = (3111 312a---aNN)9 q) :(‘1’11‚‘1’12:---‘I’NN);
@:(®1:®27'--@h)9 ‘ka = (77k1+‘1’k1)~ (3-20)
Die Funktionen 77k] erfüllen die Beziehung
dnkl :3.21
dt wk] ’( )
{13"} 1711 + (13’; n12 + (1% Wm + 9(1’)®1 + 9(2’)®2 + .
--Pf,’)9h = 0- (322)
Die zu bestimmenden Funktionen U1 , U2, . . . sind periodische
Funktionen von und G mit der Periode 2 1T . Die
Größen akl , 111k] werden aus den Gleichungen
d a d ll!
dlil : Mum-1.111) + #2 A2k1(3"1’) + 1‘3"" did : “5H + #Bllehw) +
#2sz1(aa¢’)+ 143- - W323)
W :(‘1’11‚11112‚u-‘1’NN)
bestimmt.
Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (3.19),
(3.22), Einsetzen dieser Ableitung in (3.15) und durch
Vergleichen der Koeffizienten gleicher Potenz von p erhalten wir
in erster Näherung
L31U1l+EL21U1l+ w2L11V4‘U11 + Ew2V4 U1 = F1
N 2 ‚ .
+ k E 1[(29:1A1k1 + 2531.19“ B1 k1) cosq’kl +(259k1A1k1—
2Qk13lelkl)smq’kl]Zkl (3-23)
L[U]=( 1; n _a—+ gylw L[U]=( gn a +§ya—)2U1l 1. szl klankl V38"
17 2 1 szl k1 ankl V=l Had)” ’
aN
3— U,F :F =F€I>,x, , 2 Z alcos171164,”) 1 1 1 ( ykJ=lklk
kl
25
-
Die Funktion U1 erfiillt die folgenden Randbedingungen:
Lü [U1] = 0, L2j[U1] = 0, L1k[U1]= O, L2k[U1] = 0 (3.24)
(j=x;j=0,b. k=y; k=0,c).
Setzen wir die Ausdrücke von U1 und F1 gemäß (3.7) in (3.23) ein
und vergleichen wir die Koeffizienten der Eigen-
funktionen, dann erhalten wir
L3[U1k1]+$L2[U1kI]+ 9:1L1[U1k11+59ilulk1 = Flkl2 ‚
+ [(29k1A1k1 + 253111 91d 311:1)005‘1’kl + (ZEQkIAlkl r
2ak19k131k1)8in‘1’k1] (3'25)
(k,l = 1,2,...N),
2
L3 [U1 rs] + EL2[U2rs] + 9,5 I"l [Uh-s] + in: Ulrs = Flrs
(3'26)
[r,s =(N+1), (N+2),...].
Zur Bestimmung der unbekannten Funktionen U1rs werden die
bekannten Funktionen F1rs und Uh.s nach q), G in der
Form
F1rs = 2 Frlqu(a)
ei(q11cpll+q12q)12+~-+qNNq’NN+P1@1+P2®2+---+Ph@h)
‚q
(3.27)
- 21r 27T .= 2 F” ‘(qq’+P9) F” z _ 1 1(p@+q
-
b 217 21T ..
ÖrFl Z"s e—1(qd>+p9)dxdydq,d9 Z" el(qq)+p9)
0
U1 = E E b(3.32)
p,q r,s=l 2 _ 2c 2
(21r)N +h[(E+iL1)(flrs— L2) Ofg erdx dy
Fiiins
-
Hn-zexpüzp ROW) 1 2f" 2;"F < M) - 5 0') ‘ 'cp— ' E ‚n. a, ,
.—” F1 km J (2W)N2+h 0 lkl exP( lj=lemWSm kid‘pndq’nn-
_ (') ' '
wJ' " q1’1 “’11 + ‘19; l”l2 +---+q§L WNN,
'l’j (1‘111) 4’11 + ‘19; (1’12 + - - - + qflksnn + P991 + P2092
‘+ - -- Pillen.
Im Fall der allgemeinen Resonanz ist damit die Lösung von (3.19)
in erster Näherung bestimmt.
4. Anwendung
4.1. Aufgabenstellung
Als Anwendung der vorangehenden Theorie wird die Schwingung der
rechteckigen Platte in Bild l untersucht.
Die Platte liegt auf dem elastischen Fundament mit den zwei
Bettungskoeffizienten kl ‚ k2 und unter Wirkung einer
gleichverteilten harmonischen Belastungq Die Platte ist am Rand
gelenkig gelagert. In diesem Fall hat die Bewe-
gungsgleichung der Platte die Form
a3_w+ 121+aw24‚2k2+k + 24 k2+k
at3 atz 5?( v W“ 2V W 1W) 5(0) V W“ 2V W 1W)
_ 3W 2 E2 3 4 Ö_ + __ _ _. _ + + _ 4.1(um: at) (0 El at(v W)
Sq(t) at(10)] ( )
mit den Randbedingungen
2
w - 0 + V 22—! : O
X=0‚h 8x2 ay2 x=0,b ’
‘ (4.2)
w : 0 , + y : 0 .
y=0‚0 öy2 3x2 y=0,c
Hierbei sind E, 0:2 Konstante gemäß (1.6).
4.2. Lösung
Die Belasan der Platte wird in der Form
‘10) = u qosin7t (4-3)
angenommen.
Die Reaktionsbelastung des Fundaments hat die Form
k aw; bzw 3w 3%= _ 3- _2_ _ 2 _ _. 2 _
In diesem Fall besitzt die rechte Seite der Gleichung (4.1) die
Form
k 2
F ={g _‚kl w3__2l +(.a_‘!)2 + 3.{__ kl w3
3x2 aY 3y2 at
k2 a.”erw anazw 2E2a 4 . '- E—K-ü) 5:2- +(a—)—;) g; } —w
E—l—a—t(v w) +€qosm7t+qo7cos7t. (4.5)
Aus den Ergebnissen des dritten Abschnitts erhalten w'r in
erster Näherung die Lösung der Randwertaufgabe (4.1),
(4.2) fiir den Fall der Gmndresonanz (p = q = l):
= sin 1r 2: sin n y
b c
Die Größen a und W werden dabei aus den Gleichungen
da _27i; — ~hE'ya—Pocostll,
28
a cos(7t + W) . (4.6)
-
(4.7)dlp _ 2 2 3 2 .
2a7d—t—a(911—7)—Qa +hSlea+ p0 smw
bestimmt. In (4.7) sind
2 22 1r + 1r 2
w E2 ( b2 2 )
c _h=u—————, Po—I‘ ‚ (4-3)
E1 (ail + £2) 172
_ 9 k2 n4 n4
Q-fl-Özl—3k1+’2—(b—4+;4j—)l‚ (4'9)
2 2 2 2
2 - 2L L 2 "_ 1'.(zu — [D(b2 +02) + k2(b2 + c2) + k1].
(4.10)
Wird die rechte Seite von (4.1) gleich Null gesetzt, dann ergibt
sich die Gleichung der Resonanzkurve:
2 3 2 2 2 2 _1010,72) : [1106211 —72)—Qa0 +hs2ua0] + 1125272210
—p0 — 0, (4.11)
p2
72=—Qaä+(1+h)nfl: _g_h2g272 . (4.12)
ao
Die Bilder 3, 4 und 5 zeigen die Resonanzkurven für
ail-:13 Q=_1, Pä=074si h2=0309a £22233,
9:1 = 1, Q = +1, pä = 0,45, h2 = 0,09, s2 = 2.3,
ein, Q=0, pä=0,45, h2=0,09, ‚52:2,3.
Zur Untersuchung der Stabilität der erhaltenen stationären
Lösungen betrachten wir die Variationagleichungen von
(4.7), sie haben die Form
27 d3: = „11275:. + p0 sind/08 w,
2ao'y 137'” = [(5sz -72) - 30:13 + will“ + p0 coswoa w.
(413)
Die charakteristische Gleichung von (4.13) besitzt die Form
472 A2 +1“sz _72) — 0113+ mflllmfl -72) — 3Qaä + h9f11+ 1.2 s2
72 = 0. b (4.14)
Daraus folgt die Stabilitätsbedingung der stationären
Lösung:
[(nfl -—72)—Qaä + haflllmfl —72)— 3Qaä + mil] + 1125272 > o.
(4.15)
W3 W4 Bids
-
Aus (4.1 l) sehen wir, daß die Bedingung (4.15) der
Bedingung
2af(a0, 7 ) > 0
2 a0 a a0
äquivalent ist.
Die Bedingung (4.16) zeigt, daß nur die ausgezogenen Teile der
Resonanzkurven stabil sind.
(4.16)
5. Zusammenfassung und Schlußfolgerung
1. Die Bewegungsgleichung der dünnen rechteckigen Platte mit
elastisch-plastischen Materialeigenschaften wird erstellt.
Im Unterschied zur Bewegungsgleichung der Platte mit Material
nach dem Hookeschen Modell ist sie hier eine partielle
Differentialgleichung dritter Ordnung in der Zeitvariablen
t.
2. Die asymptotischen Iösungen dieser Gleichungen werden
aufgebaut. Sie sind nicht nur für zweidimensionale, son-
dern auch für eindimensionale Aufgaben anwendbar.
3. In Abhängigkeit von der Bettungskoeffizienten k1, k2 können
die Resonanzkurven von „hartem” oder „weichem”
Typ > 0) sein.
4. Obwohl keine Dämpfung berücksichtigt ist, kann die Amplitude
der stationären Lösung nicht bis unendlich zu-
nehmen, d. h. die elastisch-plastischen Materialeigenschaften
haben die Wirkung einer Dämpfung. Der Resonanzbereich
wird im Vergleich zum Hookeschen Modell geringfügig
verschoben.
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Anschrift der Verfasser:
Prof. Dr. sc. Nguyen van Dao
Nationales Forschungszentrum der SR Vietnam
Dipl-Ing. Huang van Da
Polytechnische Hochschule Hanoi
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