NHI2049-13 — Lógica Básica Lógica Clássica de Primeira Ordem Jair Donadelli 6 de dezembro de 2017 S UMÁRIO 1. Apresentação 1 1.1. Um breve histórico 2 1.2. Sistema Lógico 5 2. Linguagem 7 Paradoxo de Zenão (490–430a.c.) 7 Paradoxo do mentiroso 8 Outros paradoxos 8 2.1. Linguagem×Metalinguagem 8 Parte 1. Lógica proposicional 9 3. Linguagem da lógica proposicional 9 3.1. Discussão informal 9 3.2. Linguagem formal da lógica proposicional 10 3.3. Omissão de parênteses 13 Exercícios 14 4. Sistemas dedutivos para a lógica proposicional 17 4.1. Sistema de Hilbert 18 4.2. Exemplos de dedução 19 4.3. Propriedades de ‘ 22 4.4. Metateorema da Dedução 22 Exercícios 25 5. A semântica da lógica proposicional 25 5.1. Interpretação e Valoração 25
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NHI2049-13 — Lógica BásicaLógica Clássica de Primeira Ordem
eventualmente tais símbolos são indexados com números naturais. Representamos (metalin-
guagem) os símbolos atômicos por algumas das letras do final do alfabeto da Língua Portuguesa,
por exemplo p, q,r, s, t ,u, v, x, z. Sempre que precisamos de muitas símbolos atômicos usamos
os símbolos formais (os elementos de V ) ou as letras finais do alfabeto da Língua Portuguesa
indexadas com números naturais.
Uma fórmula bem formada ou simplesmente FBF é qualquer expressão que pode ser formada
aplicando-se um número finito de vezes as regras:
(F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas;
(F2) se α é FBF, então (¬α) é FBF;
(F3) se α e β são FBFs, então (α∨β) é FBF e (α∧β) é FBF;
(F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3).
A última regra não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) nos asse-
gura que todas as FBFs podem ser construídas passo-a-passo pelas regras anteriores.
LP é definido como o menor conjunto formado pelas sequências de símbolos da alfabeto que
satisfaz as propriedades a seguir1:
(1) p1, p2, · · · ∈LP ,
(2) se α,β ∈LP então (α∧β), (α∨β), (¬α) ∈LP
i.e., é o conjunto das fórmulas bem formadas da lógica proposicional.
Exemplo 1. São exemplos de fórmulas bem formadas:
• p, (¬p), (p ∨ (q ∧ (¬q)));
• Seα,β,γ denotam FBF então (α∧(β∧γ)) denota uma FBF que é diferente da FBF denotada
por ((α∧β)∧γ).
É fácil mostrar que uma sequência de símbolos é uma fórmula, mais difícil é provar que, por
exemplo, p1¬∧p2 e ))¬p1 não são fórmulas.
Metateorema 1 (Princípio de indução para fórmulas). Suponha que uma propriedade de fórmu-
las
(1) vale para toda fórmula atômica e
(2) se vale para a fórmula α então também vale para (¬α) e
(3) se vale para as fórmulas α e β, então também vale para (α∧β) e para (α∨β).
Então essa propriedade vale para todas FBFs de LP .
1isso quer dizer que se X é um conjunto de fórmulas que satisfaz as duas propriedades então X ⊇LP
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Demonstração. Seja X o conjunto de todas as fórmulas de LP que tenha uma dada propriedade
de fórmulas. As fórmulas atômicas estão em X pela hipótese (1). Se seα,β ∈ X então (α∧β), (α∨β),¬α,¬β ∈ X por (2) e por (3). Portanto LP ⊂ X , donde concluímos que Lp = X .
Exemplo 2. Vamos provar usando a indução que TODA FBF TEM UM QUANTIDADE PAR DE PA-
RÊNTESES. Cada fórmula atômica tem 0 parênteses. Para todo al pha que tem um número par,
digamos 2n, de parênteses, (¬α) tem 2n +2 = 2(n +1) parênteses, portanto par. Suponha que α
e β tenham, respectivamente, 2n e 2m parênteses, então (α∧β) tem 2n + 2m + 2 = 2(n +m + 1)
parênteses (o caso (α∨β) é idêntico). Pelo Princípio de indução para fórmulas toda FBF tem um
quantidade par de parênteses.
Exemplo 3 (Grau de complexidade). As vezes é conveniente medir a complexidade de uma FBF
pelo seu grau dado por:
(1) grau(α) = 0 se α é fórmula atômica;
(2) grau(¬α) = grau(α)+1; e
(3) grau(α∧β) = maxgrau(α),grau(β)
+1;
(4) grau(α∨β) = maxgrau(α),grau(β)
+1.
Pelo metateorema 1 o grau de complexidade está definido para toda fórmula de LP . Esse é um
exemplo de definição recursiva.
O leitor atento pode perguntar se as definições dos símbolos e a regra de formação das fórmulas
garantem que a as fórmulas de LP não são ambíguas no sentido de que uma dada fórmula não
pode ser podem ser lida de mais de uma maneira de acordo com as regras estabelecidas. De fato,
pode se provar (mas não faremos aqui) que uma fórmula de LP deve satisfazer exatamente uma
dentre as condições (F1), (F2) e (F3) que regem a formação de fórmulas.
Metateorema 2 (Teorema da unicidade da representação). Para toda FBF α, uma, e apenas uma,
das afirmações abaixo é verdadeira:
• α é uma fórmula atômica;
• existe uma única FBF β tal que α é a fórmula (¬β);
• existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β∧γ);
• existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β∨γ).
Exemplo 4. A fórmula((
p1 ∧p2)∧ (
(¬p3)∨ (p4 ∨p5)))
pode ser lida de uma única maneira, re-
presentada pelo seguinte diagrama
13((p1 ∧p2
)∧ ((¬p3)∨ (p4 ∨p5)
))
(p1 ∧p2)
p1 p2
((¬p3)∨ (p4 ∨p5))
(¬p3)
p3
(p4 ∨p5)
p4 p5
Subfórmulas. As fórmulas intermediárias que aparecem no processo de construção de uma fór-
mula através das regras (F1)–(F3) são chamadas de subfórmulas.
Exemplo 5. p, q, (¬p) e (q ∧ (¬p)) são subfórmulas de (p ∨ (q ∧ (¬p))).
Formalmente, a definição do conjunto das subfórmulas de uma fórmula é recursiva
(1) Sf(pi ) = pi ;
(2) Sf(¬α) = Sf(α)∪ (¬α);
(3) Sf(α∧β) = Sf(α)∪Sf(β)∪ (α∧β);
(4) Sf(α∨β) = Sf(α)∪Sf(β)∪ (α∨β).
Abreviaturas. Usamos daqui em diante
símbolo uso
→ (p → q) abrevia ((¬p)∨q)
↔ (p ↔ q) abrevia ((p → q)∧ (q → p))
⊥ abrevia (p1 ∧ (¬p1))
> abrevia (¬⊥)
Lemos →, ↔, ⊥ ou falsum, > ou verum como implicação, bi-implicação, bot, top, respectiva-
mente.
Ademais, representamos (metalinguagem) os conectivos ∨, ∧, → e ↔ genericamente, por ä
3.3. Omissão de parênteses. Regras para omissão de parênteses para simplificar notação e fa-
cilitar a leitura:
(1) omitimos os parênteses mais externos: ¬α deve ser como (¬α) eαäη deve ser lido como
(αäη).
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(2) Adotamos a seguinte ordem de precedência para os conectivos: ¬, ∧, ∨, →, ↔. Assim,
p∨q∧r deve ser lido como (q∨(q∧r )); ¬p∨r deve ser lido como ((¬p)∨r ); ¬p∨r → q∧s
deve ser lido como (((¬p)∨ r ) → (q ∧ s)).
(3) As repetições de um mesmo conectivo são aninhadas pela direita: p → q → r → s deve
ser lido como (p → (q → (r → s))).
São regras informais, nos momentos que exigem resultados mais rigorosos, não devemos consi-
derar essas simplificações.
Por exemplo,
• ¬α∨β lê-se ((¬α)∨β),
• ¬¬¬α∧β lê-se ((¬(¬(¬α)))∧β),
• α∨β→ γ lê-se ((α∨β) → γ),
• δ→α∨ (β→ γ) lê-se (δ→ (α∨ (β→ γ))).
Exercícios.
(1) Queremos com uma linguagem simbólica capturar formas de dedução ou argumenta-
ção. Em certo sentido há situações descritas em linguagem natural que queremos sim-
bolizar na linguagem artificial. Observamos que não há a pretensão de traduzir uma
linguagem natural para uma linguagem formal, isso não é possível, faremos uso da pos-
sibilidade de tradução conhecendo que existem limitações. Comecemos com os casos
mais simples. As proposições ou sentenças são frases declarativas que podem assumir
um dos valores-verdade VERDADEIRO ou FALSO. Uma sentença atômica (no sentido de
indecomponível) corresponde individualmente a um desses valores-verdade, por exem-
plo
(a) O time joga bem
(b) O time ganhou o campeonato.
(c) O técnico é o culpado.
(d) Os torcedores estão felizes.
as quais são simbolizadas usando os símbolos proposicionais atômicos. Além disso, que-
remos poder construir proposições mais complexas a partir de outras, para sentenças α
e β
• – não α – expressa a negação da sentença α, que simbolizamos por ¬α;
• – α e β – representa a conjunção das sentenças α e β, que simbolizamos por α∧β;
• – α ou β – representa a disjunção, que simbolizamos por α∨β;
• – se α, então β – representa uma forma de condicional, que simbolizamos por α→β;
• – α se, e somente se β – representa a bicondicional, que simbolizamos por α↔β.
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Por exemplo
• p : O time joga bem
• q : O time ganha o campeonato.
• r : O técnico é o culpado.
• s : Os torcedores estão felizes.
• p → q : Se o time joga bem, então ganha o campeonato.
• (¬p) → r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado.
• q ∨¬s : O time ganha o campeonato ou os torcedores não ficam felizes.
Escreva as seguintes frases como fórmulas bem formadas da Linguagem da Lógica Pro-
posicional usando símbolos proposicionais para as frases atômicas. Para fazer alguns
dos itens será necessário pesquisar2 como os termos “necessário”, “suficiente”, “necessá-
rio e suficiente”, “somente se” são traduzidos para os conectivos lógicos.
(a) Se há motivação para o estudo, então o estudante estuda muito ou não aprende a
matéria.
(b) Se o estudante estuda muito, então, se não há motivação para o estudo, o estudante
não aprende a matéria.
(c) Não há motivação para o estudo se, e somente se, o estudante estuda muito e não
aprende a matéria.
(d) Se o Sr. Jones está feliz, Sra. Jones não está feliz, e se o Sr. Jones não é feliz, Sra. Jones
não é feliz.
(e) Ou Sam virá para a festa e Max não vai, ou Sam não vai vêm para a festa e Max vai se
divertir.
(f) Uma condição suficiente para x para ser estranho é que x é primo.
(g) Uma condição necessária para uma sequência convergir é ser limitada.
(h) A condição necessária e suficiente para o sheikh para ser feliz é ter vinho, mulheres
e música.
(i) Fiorello vai ao cinema somente se uma comédia está jogando.
(j) O suborno será pago se e somente se as mercadorias são entregues.
(k) Karpov vai ganhar o torneio de xadrez, a menos que Kasparov vença hoje.
(2) Adicione parênteses nas seguintes expressões de modo que fiquem fórmulas bem for-
madas. Quando houver mais de uma possibilidade, faça pelo menos duas delas.
(a) ¬p → q
(b) p ∧¬q ∧ r ∧¬s
(c) p → q → r → p ∧q ∧ r
(d) ¬α∨α(e) ¬(¬¬¬α∧β)
(f) α→α∨ (β→ γ)
2o livro do Hegenberg de Lógica e o livro de Matemática Discreta do Rosen são lugares pra se começar.
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(3) Para as fórmulas bem formadas encontradas no exercício anterior, determine as subfór-
mulas. (As subfórmulas dependem do modo que os parênteses foram colocados?)
(4) (comprimento de uma fórmula) Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina a
função ` : LP →N, para toda fórmula α da linguagem LP da lógica proposicional. Cha-
mamos `(α) de comprimento da fórmula α e é o número de símbolos da fórmula que
não são de pontuação. Por exemplo `((¬p1)) = 2, `((p1 ∨p2)) = 3, `((p1 ∧ (p1 → p2)∨(¬p2))) = 8.
(5) Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina, para toda fórmula α da linguagem,
a função atomos(α) que descreve o conjunto das variáveis proposicionais que ocorrem
5.3. Tautologia. Dizemos que uma fórmula é uma tautologia (ou fórmula válida) se o valor
verdade da fórmula é sempre 1, i.e., se for ’verdadeira’ para qualquer valoração.
As tautologias mais simples que conhecemos são >, que abrevia ¬(p∧¬p), p∨¬p, e p → p. Dos
exemplos anteriores temos que p → (q → p), ¬(p ∧¬p) e (¬p ∨q) ↔ (p → q) são tautologias.
É fácil verificar a partir da interpretação do ’implica’ que a fórmula ⊥ → α é tautologia para
qualquer que seja a fórmula α, assim como a fórmula α→>.
Exercício 2. Verifique que todos os (esquemas) axiomas do sistema de Hilbert são tautologias.
Veremos que qualquer teorema nesse sistema (Hilbert) é uma tautologia! Intuitivamente isso é
fácil de perceber pois os axiomas são ssempre ’verdadeiros’ e se α é ’verdadeiro’ e implicação
α→ β é sempre ’verdadeira’, independentes de valoração, então a fórmula β é sempre ’verda-
deira’de modo que toda linha escrita numa prova é tautologia. Esse fato será abordado de modo
apropriado mais a frente. A lógica proposicional também tem a propriedade de que tudo o que
é tautologia tem prova no sistema dedutivo.
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Tautologias notáveis. São tautologias as seguintes fórmulas
Dupla negação: α↔¬(¬α)
Não contradição: ¬(α∧ (¬α))
Terceiro excluído: α∨ (¬α)
Comutatividade: (α∨β) ↔ (β∨α),
(α∧β) ↔ (β∧α),
(α↔β) ↔ (β↔α)
Associatividade: ((α∨β)∨γ) ↔ (α∨ (β∨γ)),
((α∧β)∧γ) ↔ (α∧ (β∧γ)),
((α↔β) ↔ γ) ↔ (α↔ (β↔ γ))
Distributividade: (α∧ (β∨γ)) ↔ ((α∧β)∨ (α∧γ)),
(α∨ (β∧γ)) ↔ ((α∨β)∧ (α∨γ))
Contrapositiva: (α→β) ↔ ((¬β) → (¬α))
Leis de De Morgan: ¬(α∨β) ↔ ((¬α)∧ (¬β)),
¬(α∧β) ↔ ((¬α)∨ (¬β))
Modus Ponens: (α∧ (α→β)) →β
Modus Tollens: ((¬β)∧ (α→β)) →¬αSilogismo disjuntivo: ((α∨β)∧¬α) →β
Silogismo hipotético: ((α→β)∧ (β→ γ)) → (α→ γ)
Redução ao absurdo: ((α∧ (¬β)) → (γ∧ (¬γ))) → (α→β)
5.4. Contradição. Dizemos que uma fórmula é uma contradição se for falsa para qualquer va-
loração.
Certamente, as fórmulas ⊥, ¬(p ∨¬p) e ¬(p → p) são contradições. Também, a negação de uma
tautologia é uma contradição.
Lema 9. α é uma tautologia se, e só se, ¬α é uma contradição.
Demonstração. Exercício.
5.5. Consequência semântica (ou consequência lógica). Comecemos com um exemplo.
Exemplo 9. Considere as seguintes sentenças atômicas
p: O time joga bem
q : O time ganha o campeonato.
r : O técnico é o culpado.
s: Os torcedores estão felizes.
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com as quais formamos as sentenças compostas
p → q : Se o time joga bem︸ ︷︷ ︸p
, então o time ganha o campeonato︸ ︷︷ ︸q
.
¬p → r : Se o time não joga bem︸ ︷︷ ︸¬p
, então o técnico é o culpado︸ ︷︷ ︸r
.
q → s: Se o time ganha o campeonato︸ ︷︷ ︸q
então os torcedores estão felizes︸ ︷︷ ︸s
.
¬s: Os torcedores não estão felizes.
As 16 interpretações com as respectivas valorações são dadas abaixo
p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s
0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 0
p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s
1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 0donde concluímos que só há uma interpretação que satisfaz as sentenças compostas
p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s...
......
......
......
...
0 0 1 0 1 1 1 1...
......
......
......
...disso concluímos a sentença r , ou seja, “o técnico é culpado”. Também concluímos as sentenças
¬p e ¬q, respectivamente, “o time não joga bem” e “o time não ganha o campeonato”.
Daqui em diante usamos letras gregas maiúsculas Γ, Λ, Σ, Ψ, ∆, Ω, Θ, Π, Φ são usadas para
denotar conjunto de fórmulas tomadas de LP .
Dizemos que uma valoração w satisfaz a fórmula α se w(α) = 1, e dizemos que α é satisfazível.
Uma valoração v satisfaz o conjunto Γ se satisfaz cada elemento do conjunto, isto é, w(α) = 1
para todo α ∈ Γ.
No exemplo acima, uma valoração que satisfaz o conjunto Γ = p → q,¬p → r, q → s,¬s tam-
bém satisfaz Σ= ¬p,¬q,r,¬s.
Exercício 3. Sejam w uma valoração de LP e Γ= γ1,γ2, . . . ,γn.
(1) Se w satisfaz o conjunto Γ então w satisfaz a fórmula γ1 ∧γ2 ∧·· ·∧γn?
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(2) Se w satisfaz a fórmula γ1 ∧γ2 ∧·· ·∧γn então w satisfaz o conjunto Γ?
Uma fórmula α é consequência semântica (ou consequência lógica) das fórmulas de Γ se toda
valoração w que satisfaz Γ também satisfaz α e denota-se esse fato por ΓÍα.
• ΓÍα lê-se “alfa é consequência lógica de gama”.
• Íα significa que α é uma tautologia.
• ΓÍ⊥ significa que Γ não é satisfazível.
Exemplo 10. No caso do exemplo temos que p → q,¬p → r, q → s,¬s Í r .
Exemplo 11.
(p ∨q) → r Í p → r
p q r (p ∨q) → r p → r
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
(p ∧q) → r 6Í p → r
p q r (p ∧q) → r p → r
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Simplificações de notação:
• Ao invés de α Íβ escrevemos αÍβ .
• Ao invés de α1, . . . ,αn Íβ escrevemos α1, . . . ,αn Íβ .
• Ao invés de Γ∪ α Íβ escrevemos Γ,αÍβ .
Exemplo 12. Algumas consequências e não-consequências semânticas são:
(1) p3, p3 →¬p7 ͬp7
(2) p8, p5 → p8 6Í ¬p5
(3) α,βÍα∧β(4) α1,α2, . . . ,αn Íα1 ∧α2 ∧·· ·∧αn
(5) α→βͬα∨β(6) ¬α∨βÍα→β
(7) α→β,β→ γÍα→ γ?
Lema 10. Para a consequência semântica valem
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(1) αÍβ se, e só se, Íα→β.
(2) (Teorema da dedução, semântico) Γ,αÍβ se, e só se, ΓÍα→β.
(3) α1,α2 . . . ,αn Íβ se, e só se, Í (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) →β.
Demonstração. (1) Assumamos αÍβ e provemos Íα→β. Seja w uma valoração.
Se w(α) = 0 então w(α→ β) = 1, por definição de valoração. Se w(α) = 1 então w(β) = 1, pois
assumimos αÍβ, portanto, w(α→β) = 1. Logo a implicação é uma tautologia.
Agora, assumamos Íα→β. Se w satisfaz α então w(β) = 1, pois α→β é tautologia.
A prova de (2) é análoga e é deixada como exercício.
(3) Suponha que α1,α2 . . . ,αn Í β e seja w uma valoração. Se w(α1 ∧α2 ∧ ·· · ∧αn) = 0 então
w((α1∧α2∧·· ·∧αn) →β) = 1. Se w(α1∧α2∧·· ·∧αn) = 1 então w(β) = 1, portanto, w((α1∧α2∧·· ·∧αn) →β) = 1. Logo (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) →β é tautologia.
Por outro lado, se (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) → β é tautologia e w é uma valoração tal que w(α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) = 1, então, pela interpretação de ’→’ necessariamente w(β) = 1.
Em particular, segundo o Teorema da dedução semântico temos a partir das tautologias notáveis
que
Modus Ponens: α, (α→β) ÍβModus Tollens: (¬β),α→βͬα
Silogismo disjuntivo: α∨β,¬αÍβPodemos usar o lema acima para deduzir tautologias
(1) de α∨β,α→ γ,β→ γÍ γ temos Í (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))
e vice versa;
(2) de Í (α∧ (α→β)) →β temos α, (α→β) Íβ.
Teoria. A consequência lógica é conceito central na matemática. Por exemplo, Euclides assumiu
cinco fórmulas sobre a geometria e deduziu um extenso conjunto de consequências semânticas.
Seja T um conjunto de fórmulas. T é fechado sob consequência semântica se, e somente se,
para toda fórmula α
se T Íα então α ∈T
e nesse caso T é uma teoria e seus elementos são teoremas.
Teorias são construídas, selecionando um conjunto de fórmulas chamados axiomas e deduzindo
suas consequências lógicas.
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T é axiomatizável se existe um conjunto de fórmulas Γ tal que
T = α : ΓÍα.
Por exemplo, a Aritmética (Teoria Elementar dos Números) é axiomatizável, há um conjunto
de axiomas desenvolvido por Giuseppe Peano, cujas consequências lógicas são os teoremas da
Aritmética. Mas isso precisa de uma lógica mais poderosa.
Equivalência semântica (ou equivalência lógica). Notemos que se αÍβ então para toda valora-
ção w
se w(α) = 1 então w(β) = 1
Agora, se βÍα então para toda valoração w
se w(α) = 0 então w(β) = 0
ou seja,de αÍβ e βÍα concluímos que w(α) = w(β) para toda w .
As FBF α e β são semanticamente (ou logicamente) equivalentes se
v(α) = v(β) para toda interpretação v.
Denotamos esse fato por α≡β.
Exemplo 13. São exemplos de equivalência semântica
(1) α≡¬¬α,
(2) γ→ δ≡ (¬γ)∨δ,
(3) ¬(γ∧δ) ≡ (¬γ)∨ (¬δ),
(4) ¬(γ∨δ) ≡ (¬γ)∧ (¬δ),
(5) ((α∨β)∨γ) ≡ (α∨ (β∨γ)),
(6) ((α∧β)∧γ) ≡ (α∧ (β∧γ)),
(7) ((α↔β) ↔ γ) ≡ (α↔ (β↔ γ)),
(8) (α→β) ≡ ((¬β) → (¬α)).
Observemos que, em particular, toda tautologia notável que é uma bi-implicação, ou seja, é da
forma α↔β, também é uma equivalência semântica. De fato, esses exemplos se enquadram no
resultado (1) abaixo.
Lema 11. São propriedades da equivalência
(1) α≡β se, e só se, α↔β é uma tautologia.
(2) Se α é tautologia então α≡>, ou seja, α→> é tautologia.
portanto a única interpretação que satisfaz (4) e (5) é v(ø1) = 1 e v(ø2) = v(ø3) = 0, na quinta
linha da tabela.
Exercícios.
(1) Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando
uma tabela-verdade:
(A) Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão
vazias. Cada caixa tem estampada nela uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são:
CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3: “O ouro está
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na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o
ouro?
(B) Suponha que sabemos que: (1) ”Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Ro-
berta não é alta”. (2) “Se Roberta é alta, então Sandra é adorável”. (3) “Se Sandra adorável
e Carlo é loiro, então Paulo é magro”. (4) “Carlo é loiro”. Podemos deduzir que “Roberta
não é alta”?
(C) Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos
possíveis: o caminho à sua esquerda é por uma via pavimentada com ouro, o caminho
em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por uma via feita de pe-
quenas pedras. Cada caminho é protegido por um guardião. Você conversa com os guar-
diões e isso é o que eles dizem:
• O guardião da via de ouro: “Esta via irá levá-lo direto para o centro. Além disso, se as
pedras levá-lo para o centro, em seguida, também o mármore leva-o para o centro.”
• O guardião da via de mármore: “Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o
centro.”
• O guardião da rua de pedra: “Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de
mármore e você estará perdido.”
Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um ca-
minho com a certeza de que ele vai levar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso,
o caminho que você escolher?
(D) Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e
frio (como eles chegaram lá é outra história). Depois de uma rápida pesquisa os meninos
encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e a terceira verde. Atrás
de uma das portas há um caminho para a liberdade. Atrás das outras duas portas, no
entanto, há um maldoso dragão que cospe fogo. Abrindo uma porta do dragão a morte é
certa. Em cada porta há uma inscrição:
• Na porta vermelha: “A liberdade está atrás desta porta.”
• Na porta azul: “A liberdade não está atrás desta porta.”
• Na porta verde: “A liberdade não está atrás da porta azul.”
Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos
uma é falsa, qual porta levaria os meninos para a liberdade.
(2) Construa a tabela-verdade das fórmulas e verifique se cada uma é tautologia, contradi-
ção ou contingência (isto é, nem tautologia nem contradição)
(a) p → (¬(p ∨q)).
(b) p → (¬(p ↔ q)).
(c) (r → q) → ((p ↔ q) → (p → q)).
(d) ((p → q)∧ (q ∧ r )) → (p → r )
(e) (p ∨ (q ∧ r )) ↔ ((¬q ∨¬r ) → p)
(f) p ∨ (q ∧ (p ∨ (¬q ∧ r )))
39
(g) ((p → q)∧ (q ∧ r )) ↔ (p → r )
(3) Determine o grau de complexidade das fórmulas do exercício anterior.
(4) Verifique que os 15 axiomas do sistema de Hilbert (veja notas de aula) e os teoremas que
foram deduzido nele são tautologias.
(5) Mostre que as fórmulas abaixo são tautologias.
(a) ¬(¬p) ↔ p
(b) ¬(p ∧q) ↔ (¬p ∨¬q)
(c) ¬(p ∨q) ↔ (¬p ∧¬q)
(d) ¬(p → q) ↔ (p ∧¬q)
(e) ¬(p ↔ q) ↔ (p ∧¬q)∨ (¬p ∧q)
(6) Use o exercício anterior para escrever uma fórmula na qual só há fórmulas atômicas ne-
gadas e que seja logicamente equivalente à negação de cada fórmula abaixo.
(a) (p ∧q) → r
(b) p → (p ∧q)
(c) p ↔ (q ∨ r )
(d) p ∨ (q ∧ (r ∨ s))
(e) p → (q → r )
(f) ¬p → (q ∨ r )
(g) (p ∨q) → (r ∧ s)
(h) p ∨ (q → r )
(i) (p → q) → (r → s)
(j) (p → q) → r
(7) Escreva a negação das sentenças da língua portuguesa (use o exercício anterior):
(a) Se a canoa não virar então eu chego lá.
(b) Se eu fizer faculdade, eu vou cursar Matemática ou Física.
(c) Se chover ou fizer frio, eu vou ficar em casa ou vou para o cinema.
(d) Se eu estudar física, eu não vou estudar história, a menos que eu também estude
português.
(e) Eu não ouço Beethoven quando leio Kafka, a menos que esteja chovendo e eu esteja
deprimido.
(8) Se((φ→ τ)∧(φ→¬τ)
)é uma fórmula verdadeira então o que pode ser dito a respeito do
valor-verdade de τ?
(9) Prove que: (i ) α≡α; (i i ) se α≡β então β≡α; (i i i ) se α≡β e β≡ γ então α≡ γ.
(10) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique):
(a) Í (p ∧ (¬p)) → p.
(b) p ∧q Í p.
(c) p ∨q, ¬p Í q.
(d) p Í p ∨q .
(e) p → q, q → r Í p → r .
(f) p → q, ¬q) ͬp.
(g) p → q, p → r Í p → (q ∧ r ).
(h) ¬(p → q) ≡ (¬q)∧p
(i) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) → (s ∧¬s)).
(j) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) →¬p).
(k) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) → q).
40
(11) Dê um exemplo de fórmulasφ1 eφ2 tais queφ1 Íφ2 mas queφ2 6Íφ1 (φ2 é consequência
de φ1 mas φ1 não é consequência de φ2).
(12) Responda com justificativa:
(a) Se ΓÍφ e ΓÍ τ então ΓÍφ∨τ?
(b) Se ΓÍφ∨τ então ΓÍφ e ΓÍ τ?
(c) Se ΓÍφ e ΓÍ τ então ΓÍφ∧τ?
(d) Se ΓÍφ∧τ então ΓÍφ e ΓÍ τ?
(e) Se ΓÍφ→ τ e ΓÍφ então ΓÍ τ?
(f) Se ΓÍφ→ τ então ΓÍ (γ→φ) → (γ→τ)?
(13) Verifique a equivalência
α1 →α2 →···→αn ≡α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn−1 →αn
(14) Use o Teorema da Dedução para justificar a tautologia p → q → p. Faça o mesmo para
(p → q → r ) → (p → q) → (p → r ) e para (p → q) → (q → r ) → (p → r ). (atenção com a
regra de omissão de parênteses)
(15) O conectivo lógico c é definível a partir dos conectivos c1,c2, · · · ,ck se a fórmula pcq
é semanticamente equivalente a uma fórmula escrita com os conectivos c1,c2, · · · ,ck e
só envolve as variáveis proposicionais p e q . Por exemplo, os conectivos ∨, → e ↔ são
definíveis a partir de ¬ e ∧ pois
(a) p ∨q ≡¬(¬p ∧¬q)
(b) p → q ≡¬(p ∧¬q)
(c) p ↔ q ≡¬(p ∧¬q)∧¬(q ∧¬p)
Mostre que os conectivos ∨, ∧ e ↔ são definíveis a partir de ¬ e →.
Mostre que os conectivos ∨, → e ↔ são definíveis a partir de ¬ e ∧.
Mostre que os conectivos ∧, → e ↔ são definíveis a partir de ¬ e ∨.
nand, denotado por⊗, é um conectivo lógico com a seguinte interpretação:
p q p ⊗q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0Mostre que todos os outros conectivos (∧,∨,¬,→,↔) são definíveis a partir do nand.
(16) Quais argumentos abaixo são logicamente corretos? Justifique
(a) Se eu sou culpado, eu devo ser punido. Eu devo ser punido. Logo eu sou culpado.
(b) Se Carlos ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sergio ficou
em terceiro lugar. Sergio não ficou em terceiro lugar. Logo, se Mario não chegou em
segundo lugar, então Carlos não ganhou a competição.
41
(c) Se Carlo ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sergio ficou
em terceiro lugar. Mario não ficou em segundo lugar. Logo, se Carlos ganhou a
competição então Sergio não ficou em terceiro lugar ".
(17) (Enderton) Você está em uma terra habitada por pessoas que sempre dizem a verdade
ou sempre falam falsidades. Você chega numa bifurcação na estrada e você precisa saber
qual das dois caminhos leva à capital. Há um nativo nas proximidades, mas ele tem
tempo apenas para responder a uma pergunta sim-ou-não. O que você para elea fim de
saber por qual a estrada seguir?
(18) Há três suspeitos de assassinato: Adams, Brown e Clark. Adams diz: “Eu não fiz isso. A
vítima era um velho conhecido de Brown. Mas Clark odiava.” Brown afirma que “eu não
fiz isso. Eu não conhecia o cara. Além disso, eu estava fora da cidade tudo a semana.”
Clark diz: “Eu não fiz isso. Eu vi ambos Adams e Brown no cidade com a vítima naquele
dia; um deles deve ter feito isso.” Suponha que os dois homens inocentes estão falando a
verdade, mas que o homem culpado pode não estar flando a verdade.
Escreva os fatos como sentenças na Lógica Proposicional resolva o crime.
(19) Considere as seguintes sentenças: “Eu só estudo matemática à noite ou em dias chuvo-
sos. O cachorro só late em dias ensolarados ou em noite de lua cheia. O cachorro nunca
late quando o gato mia. O gato mia a noite toda. Minha irmã sempre toca piano quando
o cachorro não late.” A partir dessas premissas, diga se cada uma das conclusões abaixo
é um argumento válido ou uma falácia (argumento não válido). Justifique.
(a) Eu nunca estudo matemática em noite de lua cheia.
(b) Eu estudo matemática sempre que minha irmã toca piano.
(c) Minha irmã toca piano sempre que eu estudo matemática.
(20) Brown, Jones e Smith são suspeitos de um crime. Eles testemunham do seguinte modo:
• Brown: “Jones é culpado e Smith é inocente”.
• Jones: “Se Brown é culpado então também é Smith”.
• Smith: “Eu sou inocente, mas pelo menos um dos outros é culpado”.
Sejam B , J e S as declarações “Brown é culpado”, “Jones é culpado” e “"Smith é culpado”,
respectivamente.
(a) Expresse o testemunho de cada suspeito como uma fórmula proposicional.
(b) Faça uma tabela de verdade para os três testemunhos.
(c) Use a tabela a verdade acima de responder às seguintes perguntas:
(i) Existe uma valoração que satisfaz, concometantemente, os três testemunhos?
(ii) O testemunho de um dos suspeitos segue (é consequência lógica) da de outro.
Qual a partir do qual?
(iii) Supondo que todo mundo é inocente, quem cometeu perjúrio?
42
(iv) Supondo que todos os testemunhos são verdadeiros, quem é inocente e quem
é culpado?
(v) Supondo que o inocente disse a verdade e os culpados disseram mentiras,
quem é inocente e quem é culpado?
(21) Determine quem é culpado de doping. Os suspeitos são: Silvia Danekova, Michael O’Reilly,
Kleber Ramos, Adrian Zielinski, Chen Xinyi.
1) Silvia disse: Michael ou Kleber tomaram drogas, mas não os dois.
2) Michael disse: Adrian ou Silvia tomaram drogas, mas não os dois.
3) Kleber disse: Xinyi ou Michael tomaram drogas, mas não os dois.
4) Adrian disse: Kleber ou Xinyi tomaram drogas, mas não os dois.
5) Xinyi disse: Kleber ou Adrian tomaram drogas, mas não os dois.
6) Tom disse: se Adrian tomasse drogas, então Kleber tomou drogas.
Das 5 primeira declarações, 4 são verdadeiras e uma é falsa. A última declaração é
verdadeira.
6. CONSISTÊNCIA, CORREÇÃO E COMPLETUDE
Um sistema dedutivo de uma lógica é correto se qualquer teorema nesse sistema dedutivo é tau-
tologia em todas as interpretações da teoria semântica da linguagem sobre a qual esse sistema
se baseia. O sistema formal é chamado completo com respeito a semântica, ou semanticamente
completo, se cada fórmula válida pode ser deduzida usando esse sistema, ou seja, toda tautolo-
gia é um dos seus teoremas. Um conjunto de fórmulas é consistente se não é possível deduzir
uma contradição, o que equivale a dizer que não é possível deduzir uma fórmula e deduzir sua
negação.
6.1. Correção. Vamos mostrar que todo teorema no sistema de Hilbert é uma tautologia.
Metateorema 5 (Teorema da correção). Se `α então Íα.
Em um sistema axiomático a prova de correção se resume a verificar a validade dos axiomas e
que as regras de inferência preservam a validade. Para demonstrar o Teorema da correção vamos
assumir as hipóteses
(1) os axiomas são tautologias;
(2) se Íα e Íα→β então Íβ.
A primeira é facilmente verificável, embora seja trabalhoso e a segunda hipótese segue da versão
semântica de Modus Ponens α,α→βÍβ a qual já verificamos.
43
Demonstração do Teorema da correção. Suponha ` α e seja ⟨θ1,θ2, . . . ,θn⟩ uma prova de α. Va-
mos provar usando indução em j que Í θ j .
Base: Í θ1 pois este é um axioma.
Hipótese indutiva: Assumimos que Í θ1, Í θ2, . . . , Í θi−1.
Passo indutivo: Provamos que Í θi .
Se θi é um axioma então Í θi , senão θi é resultado de uma inferência (MP j,k) com j ,k < i . Pela
hipótese indutiva Í θ j e Í θk com θk da forma θ j → θi . Logo temos Í θ j e Í θ j → θi , portanto,
temos Í θi .
Pelo princípio da indução matemática Í θ j para todo j , em particular, Íα.
Com isso estabelecemos que todo teorema deduzido na sistema de Hilbert é uma tautologia da
Lógica Proposicional.
Exercício 4. Prove a correção forte do sistema de Hilbert: se Γ`α, então ΓÍα.
6.2. Consistência. No lógica clássica, uma teoria é consistente se não é possível derivar uma
contradição `⊥.
Metateorema 6 (Teorema da constência). Não existe uma fórmula β ∈LP tal que `β e `¬β no
sistema de Hilbert.
Demonstração. Se para alguma fórmula β da linguagem temos ` β e ` ¬β então Í β e Í ¬β, o
que é um absurdo pelo lema 9.
Um conjunto de fórmulas Γ é inconsistente se para alguma fórmula β da linguagem temos Γ`βe Γ ` ¬β. Dizemos que Γ é consistente se não for inconsistente. Por exemplo, para qualquer
fórmula α o conjunto α,¬α é inconsistente.
Lema 12. Se um conjunto de fórmulas Γ é inconsistente, então
(1) Γ não é satisfazível;
(2) Γ`α para toda fórmula α;
(3) existe ∆⊂ Γ finito e inconsistente.
Demonstração. Seja Γ um conjunto inconsistente de fórmulas.
Para demonstrar o item 1 basta observarmos que de Γ ` β e Γ ` ¬β, algum β, temos pelo exer-
cício 4 acima, Γ Í β e Γ Í ¬β de modo que se Γ é satisfazível então β e ¬β são satisfatíveis, um
absurdo.
44
Para demonstrar o item 2 observamos que se Γ é inconsistente então, por definição, Γ` β e Γ`¬β, para algum β. Ainda β,¬β `α, por Duns Scotus. Usando a Propriedade 3 de ` concluímos
que Γ`α para qualquer fórmula α.
Para demonstrar o item 3 tomamos ⟨θ1,θ2, . . . ,θn⟩ uma prova para Γ`¬(α→ (β→α)), a negação
do axioma A1. O subconjunto ∆ formado por todas as fórmulas θi da prova é finito, ∆ ` ¬(α→(β→α)) e, por ser axioma, temos∆`¬(α→ (β→α)), portanto é um conjunto inconsistente.
Lema 13. Se Γ é consistente e Γ 6`α então Γ∪ ¬α é consistente.
Demonstração. Suponha que Γ é consistente e Γ 6` α. Defina Γ′ = Γ∪ ¬α e suponha que Γ′ é
inconsistente. Por (2) do lema acima Γ′ `β para qualquer fórmula β, em particular, Γ′ `α. Pelo
Teorema da Dedução Γ ` ¬α→ α e pelo exercício 6j temos Γ ` (¬α→ α) → α, logo por Modus
Ponens, Γ`α, uma contradição.
Conjuntos consistentes maximais. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente maximal se é con-
sistente mas Γ∪ β é inconsistente para todo β 6∈ Γ.
Metateorema 7. Se Γ é consistente então existe ∆⊇ Γ consistente maximal.
Demonstração. Seja θ1,θ2, . . . uma enumeração das fórmulas de LP (pense por quê isso pode
ser feito).
Definimos a sequência de de conjuntos de fórmulas L0 := Γ e
Li+1 :=Li se Li ` θi
Li ∪ ¬θi se Li 6` θi
e tome ∆ :=⋃i≥0 Li . Pela construção e pelo lema 13 temos que cada Li é consistente.
∆ é consistente pois, caso contrário, ∆`β e ∆`¬β, para algum β. Mas, então, Li `β e Li `¬β,
para algum i , uma contradição.
Ainda, seα 6∈∆, então comoα= θ j para algum j , temosα 6∈ L j+1 e ¬α ∈ L j+1, portanto, L j+1∪α
Para demonstrar o item 1 notemos que se α ∈ Γ então Γ`α, como já vimos. Agora, suponha que
Γ`α e α 6∈ Γ. De α 6∈ Γ temos que Γ∪ α é inconsistente, isto é, Γ,α`β e Γ,α`¬β, para alguma
fórmula β. Pelo Teorema da Dedução Γ`α→β e Γ`α→¬β e pela regra do destacamento com
Γ`α obtemos Γ`β e Γ`¬β contrariando o fato de Γ ser consistente.
Na demonstração dos próximos itens usaremos essa equivalência entre ` e ∈ para conjuntos
consistentes maximais.
Para demonstrar o item 2 primeiro suponha que ¬α ∈ Γ. Se α ∈ Γ então Γ ` δ para qualquer
δ, contrariando a consistência do conjunto. Agora, suponha que α 6∈ Γ, então Γ 6` α pelo item
anterior. Pelo lema 13 Γ∪ ¬α é consistente e como a consistência é maximal devemos ter ¬α ∈Γ.
Para demonstrar o item 3 suponha que Γ`α∨β. Se Γ 6`α então dos itens 1 e 2 deduzimos que
Γ`¬α. De Γ`α∨β ser o mesmo que Γ`¬α→β, em função do que ’→’ abrevia, temos Γ`¬αe Γ ` ¬α→ β, portanto, Γ ` β pela a regra do destacamento. Por outro lado, se Γ ` α ou Γ ` β,
usamos os axiomas (A7) α→ (α∨β) e o axioma (A8) β→ (α∨β) para concluir, pela regra do
destacamento, que Γ`α∨β.
Para demonstrar o item 4 suponha que Γ`α∧β. Do axioma (A5)α∧β→α, temos Γ`α∧β→α,
portanto Γ`α e do axiomas (A6) α∧β→ β, concluímos de modo análogo que Γ` β. Por outro
lado, se Γ ` α e Γ ` β, usamos o axioma (A4) e temos Γ ` α→ (β→ α∧β) donde concluímos
Γ`α∧β, por destacamento.
Metateorema 8. Se Γ é consistente então Γ é satisfazível.
Demonstração. Suponha que Γ é consistente e tome ∆ ⊇ Γ consistente maximal. Se ∆ for satis-
fazível, Γ o será.
Tome uma valoração v tal que v(p) = 1 se, e somente se p ∈ ∆. Vamos provar por indução para
fórmulas que α ∈∆ se, e só se, α é satisfazível.
Se α é atômica então α ∈∆ se, e só se, α é satisfazível, por definição.
Sejam β e γ fórmulas de LP tais que β ∈ ∆ se, e só se, β é satisfazível e γ ∈ ∆ se, e só se, γ é
satisfazível.
¬β é satisfazível se, e somente se, β não é satisfazível (por definição); β não é satisfazível se, e
somente se, β 6∈ ∆ (pela hipótese indutiva); β 6∈ ∆ se, e somente se, ¬β ∈ ∆ (pelo item 2 do lema
Premissa O quadrado de qualquer inteiro é positivo
Premissa 9 é um quadrado
Conclusão 9 é positivo
do ponto de vista da lógica proposicional são da forma α∧β→ γ que não são validados pela
lógica proposicional.
O que procuramos? Uma linguagem mais rica que leva em conta a estrutura interna das senten-
ças
sujeito – predicado – objeto
na qual sujeito e objetos de quem se fala são elementos de um universo do discurso e são repre-
sentados por constantes, por objetos genéricos e não especificados (pronomes) que são repre-
sentados por variáveis; os predicados e as relações são explicitados. Incorpora o “para todo” e
o “existe” como primitivas da linguagem.
Exemplo 15. Num universo (de discurso) far, far away ....
Constantes: a para ’Armando’, d para ’Daniel’ e j para ’Jair’.
Predicados: P para ’é professor’ e A para ’é aluno’.
Relações: J para ’lecionam juntos’ e N para ’é mais novo’.
P (a) simboliza a sentença ’Armando é professor’.
¬A( j ) simboliza a sentença ’Jair não é aluno’.
J (a,d) simboliza a sentença ’Armando e Daniel lecionam juntos’.
M(d , a) simboliza a sentença ’Daniel é mais novo que Armando’.
Obervemos que, considerando o significado natural das sentenças, J (a,d) e J (d , a) têm o mesmo
significado, mas M(a,d) e M(d , a) não têm o mesmo significado.
Variáveis: usamos x, y, z . . . para representar membros genéricos do universo.
50
P (x) simboliza ’x é professor’ e M(x, y) simboliza ’x é mais novo que y’. Nem P (x) nem M(x, y) têm
valor lógico, não são sentenças no sentido da lógica proposicional vimos na Parte 1 destas notas.
São chamadas de sentenças abertas.
As sentenças abertas tornam-se sentenças lógicas quando substituímos as variáveis por constantes
ou se quantificamos.
Quantificadores: o quantificador ∀ é lido “para todo” e o quantificador ∃ é lido “existe”.
∀x P (x) simboliza a sentença ’para todo x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico:
significa que todo elemento do universo do discurso é professor.
∃x P (x) simboliza a sentença ’existe x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico: significa
que pelo menos um elemento do universo do discurso é professor.
Notemos que, por exemplo
(1) ∀x M(x, y) é uma sentença aberta
(2) ∃y ∀x M(x, y) e ∀x ∃y M(x, y) têm significados diferentes.
A sentença ’Todo aluno é mais novo que algum professor’ pode ser simbolizada por
∀x ∃y(A(x)∧P (y) → M(x, y))
A sentença ’Há um professor tal que todo aluno aprende algo com ele’, considerando as relações
B(x, y, z) para ’y aprende z com x’ e H(x) para ’x é um assunto’, pode ser simbolizada por
∃x(P (x)∧∀y
(A(y) →∃z (H(z)∧B(x, y, z))
))Em matemática, muitas vezes tratamos de estruturas que consistem em um conjunto de ele-
mentos com várias operações sobre eles e relações entre eles. Por exemplo, na Teoria Elemen-
tar de Números o conjunto de elementos em discussão é o conjunto de números inteiros Z =0,±1,±2, . . . Pode-se precisar de símbolos para alguns números, para variáveis, para funções
(como · e +) e para as relações (como =, <, e |). A sentença “Para todo x, se x é inteiro igual a zero
ou maior que zero e todo inteiro é divisível por x, então x é igual a um” considerando que
• 0 e 1 são constantes;
• >(x, y) simboliza a relação “x é maior que y”;
• =(x, y) simboliza a relação “x é igual a y” e
• | (x, y) simboliza a relação “x divide y”,
é simbolizada como
∀x((>(x,0)∨=(x,0)
)∧∀y (| (x, y)) →=(x,1)).
51
7.2. Linguagem formal da lógica de predicados. Há várias linguagens lógicas de primeira or-
dem, praticamente uma para cada assunto na matemática. Há símbolos comuns a todas e outros
específicos (e.g., ∈, +). A seguir descrevemos a linguagem L genérica de primeira ordem.
Alfabeto genérico. Os símbolos permitidos para as expressões numa linguagem de primeira or-
dem incluem
Variáveis: x1, x2, x3, . . .
Conectivos lógicos: ¬ (não), → (implica)
Quantificador: ∀ (universal)
Pontuação: abre parênteses, fecha parênteses e vírgula.
Símbolo de igualdade: =Constantes: c1,c2,c3, . . .
Símbolos relacionais: para cada inteiro n ≥ 0, temos os símbolos relacionais n-
ários Rn1 ,Rn
2 ,Rn3 , . . .
Símbolos funcionais: para cada inteiro n ≥ 1, temos os símbolos funcionais n-
ários F n1 ,F n
2 ,F n3 , . . .
As constantes, os símbolos relacionais e funcionais são específicos de cada linguagem de pri-
meira ordem e um ou mais deles pode ser vazio, isto é, o conjunto das constantes pode ser vazio,
o conjuntos dos símbolos relacionais pode ser vazio e o conjunto símbolos funcionais pode ser
vazio. Os símbolos relacionais de aridade 0 são usados como símbolos proposicionais.
Os símbolos descritos nos quatros primeiros itens do alfabeto são os símbolos lógicos da lingua-
gem. Os símbolos lógicos são compartilhados por toda linguagem de primeira ordem. O símbolo
de igualdade é um símbolo relacional binário especial. Há autores que tratam a igualdade como
um símbolo símbolo lógico e outros que tratam como não-lógico de modo a distinguir-se as lin-
guagens de primeira ordem com igualdade e sem igualdade. Aqui não faremos essa distinção,
não o chamaremos de lógico mas consideraremos que toda linguagem de primeira ordem tem
o símbolo de igualdade. As constantes e os simbolos relacionais e funcionais são os símbolos
não-lógicos da linguagem, os quais, geralmente, dependem do uso pretendido.
As constantes devem ser nomes para elementos particulares do universo da estrutura em discus-
são. Símbolos da função n-ária são para funções específicas que mapeiam n-úplas de elementos
do universo da estrutura aos elementos do universo da estrutura. Símbolos de relação n-ária
destinam-se a designar relações particulares dentre n elementos do universo da estrutura. O
símbolo quantificador destina-se a representar “para todos” em referência à todos os elementos
do universo e é usado usado com variáveis.
Termos: são as cadeias finitas de símbolos do alfabeto obtidas a partir das regras abaixo.
52
(1) Constantes são termos.
(2) Variáveis são termos.
(3) Para qualquer natural n, se t1, t2, . . . , tn são termos então F ni t1t2 . . . tn é termo para todo i .
(4) Não há outros termos além dos obtidos pela aplicação das regras acima.
Exemplo 16. São termos: c1, x101, F 12 x1, F 2
2 x1c8, F 41 c1c2x1x2. Note que F 2
2 x1 não é termo (por
quê?). A cadeia de símbolos F 11 F 2
1 x1x2 é um termo? F 11 F 2
1 F 11 x1x2 é um termo?
Fórmulas: ou fórmulas bem formadas, são as cadeias finitas de símbolos do alfabeto obtidas a
partir das regras abaixo.
(1) Se t e s são termos, então (= t s) é uma fórmula. Também, para qualquer natural n,
se t1, . . . , tn são termos então Rni t1t2 . . . tn é uma fórmula para todo i . As fórmulas da
linguagem obtidas por aplicação exclusiva dessa regra são ditas atômica.
(2) Se α e β são fórmulas, então (¬α) e (α→β) são fórmulas.
(3) Se α é fórmula e x é uma variável, então (∀xα) é fórmula.
(4) Não há outras fórmulas além daquelas obtidas pela aplicação das regras acima.
Exemplo 17.((
R11 x1 → R3
2 x4x2c1)→ (∀x1((∀x2 R3
2c4x2c1) → (¬(= F 11 x1F 1
1 c1)))))
.
Simplificações, abreviaturas e omissão de parênteses. Vamos assumir algumas convenções de no-
tação para facilitar nossa vida.
Simplificações. No uso dos símbolos admitimos algumas simplificações na escrita, como já fize-
mos logo acima.
53
Fórmulas: α,β,γ, . . . .
Termos: s, t ,u, v .
Variáveis: x, w, y, z.
Constantes: a,b,c,d ,e, f .
Símbolos relacionais: Ao invés de Rni escrevemos R e também usamos
Exemplo 19. ’Não existe raiz de 2’ é expresso por Øx(x · x = S(S(0))) que reescrita usando somente
símbolos do alfabeto fica (¬(¬(∀x1(¬(= ·x1x1SS0))))). Também podemos expressar a mesma ideia
usando (∀x1(¬(= ·x1x1SS0))).
Exercício 5. Expresse em LN a sentença ’existem infinitos números primos’.
7.4. Outros exemplos de linguagens de primeira ordem. Uma linguagem de primeira ordem
tem os símbolos lógicos (comum às linguagens) e os símbolos extralógicos (específicos de cada
linguagem). Abaixo, para definir uma linguagem explicitamos só os símbolos extralógicos.
Exemplo 20. A linguagem da igualdade pura, L=:
Não há símbolos não-lógicos.
Ainda assim conseguimos expressar certas ideias, por exemplo, ’existe um único sujeito’ ∃x∀y(y =x), ou ’existem somente dois sujeitos’ ∃x ∃y((x 6= y)∧∀z (z = x ∨ z = y)).
Exemplo 21. Uma linguagem para Teoria dos Conjuntos LC :
Símbolo relacional binário: ∈
A intenção das variáveis é representar conjuntos e x ∈ y diria que o conjunto x é elemento do
conjunto y. A Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel é escrita nessa linguagem. A existência
do conjunto vazio é expressa por ∃x∀y¬(y ∈ x). A existência do conjunto definido no paradoxo de
Russel (página 8) é expresso por ∃x∀y (y ∈ x ↔¬(y ∈ y)). Veremos que a negação dessa sentença é
uma tautologia.
Exemplo 22. Uma linguagem para a Teoria dos Grupos tem uma constante, denotada por e, e
uma função binária, denotada por . Essa teoria é a coleção dos teoremas que podem ser provados
a partir dos seguintes axiomas
(G1) ∀x ((x e = x)∧ (e x = x));
(G2) ∀x∃y (x y = e);
(G3) ∀x∀y∀z (x (y z) = (x y) z).
7.5. Variáveis livres e ligadas. Dizemos que uma variável x ocorre livre em uma fórmula α se
(1) α é atômica e x ocorre em α;
(2) α é da forma (¬β) e x ocorre livre em β;
(3) α é da forma (βäγ) e x ocorre livre em β ou γ;
• os números usados como argumentos de v são símbolos da linguagem;
• a imagem de v são objetos do domínio do modelo e, portanto, pertencem à metalingua-
gem.
Exercício 10. Intuitivamente, ∀x (+(x, y) = 1) é verdadeira no contexto do exemplo 33?
Exercício 11. Escreva e demonstre um teorema de indução para termos de uma linguagem.
Exercício 12. Use o exercício 11 para definir comprimento de um termo como o número de sím-
bolos do alfabeto que ocorrem no termo, exceto os de pontuação.
Exercício 13. Use o exercício 12 para provar que a extensão v de uma valoração v a todos os termos
de uma linguagem é única.
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Exercício 14. Use o exercício 12 para demonstrar:
(1) Seja E uma estrutura para a linguagem L . Para todo termo t de L , se v e w duas valora-
ções que coincidem nas variáveis que ocorrem em t, então v(t ) = w(t ).
(2) Seja (E, v) uma interpretação para uma linguagem L . Suponha que para variáveis x e y
temos que v(x) = v(y). Use indução para termos para demonstrar que se t é termo e s é
obtido de t substituindo-se uma ou mais ocorrências de x por y então v(s) = v(t ).
Valoração x-variante. Se v é uma valoração na estrutura E, então definimos a valoração [v]x 7→a ,
para qualquer a no domínio E de E pondo
[v]xi 7→a(x j ) =a se j = i
v(x j ) se j 6= i .
Por exemplo, se E =N e v(x j ) = j então [v]x3 7→0 é
[v]x3 7→0(x j ) =0 se j = 3
j se j 6= 3.
9.2. Satisfazibilidade, valor-verdade e modelo. Sejam L um linguagem de primeira ordem, E
e v uma estrutura e uma valoração para a linguagem L , respectivamente, e α uma fórmula de
L . Escrevemos
(E, v) Íα
para dizer que (E, v) satisfaz α, ou ainda, α é verdadeira na interpretação dada por (E, v). Satis-
fazibilidade é definida recursivamente do seguinte modo:
(1) (E, v) Í (t1 = t2) se e só se v tem o mesmo valor em t1 e t2;
(2) (E, v) Í R(t1, . . . , tn) se e só se (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RE;
(3) (E, v) ͬγ se e só se (E, v) 6Í γ;
(4) (E, v) Í γ→β se e só se (E, v) Íβ sempre que (E, v) Í γ.
(5) (E, v) Í∀xβ se e só se (E, [v]x 7→a) Íβ para todo a ∈ E ;
em que R é um símbolo relacional n-ário da linguagem formal, t1, . . . , tn são termos, x é variável
e γ e β fórmulas da linguagem.
Das abreviaturas adotadas deduzimos que
(6) (E, v) Í γ∨β se e só se (E, v) Í γ ou (E, v) Íβ(7) (E, v) Í γ∧β se e só se (E, v) Í γ e (E, v) Íβ;
(8) (E, v) Í∃xγ se e só se (E, [v]x 7→a) Í γ para algum a ∈ E .
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Exemplo 35. Por exemplo, com U do exemplo 31 de domínio 1,2,3 e v tal que v(y) = 2.
(N , v) Í∀x (x + y = 1) sse ∀a ∈ 1,2,3 (N , [v]x 7→a) Í (x + y = 1)
sse ∀a ∈ 1,2,3 [v]x 7→a(x + y) = [v]x 7→a(1)
sse ∀a ∈ 1,2,3 [v]x 7→a(x)+N [v]x 7→a(y) = 2
sse ∀a ∈ 1,2,3 a +N 2 = 2
como 2+N 2 = 3 a fórmula ∀x (x + y = 1) não é satisfeita por essa interpretação, ou seja
(N , v) 6Í ∀x (x + y = 1).
Exemplo 36. A linguagem para Corpos LF tem símbolos extralógicos 0, 1,+, ·. Tomemos a estru-
tura R= (R,0R,1R,+R, ·R) e valoração v(xn) := n +1. Então
(R, v) Í∀x1((0 · x1 = x3) → (x3 = 0)
)pois (R, v) Í∀x1
((0 · x1 = x3) → (x3 = 0)
)sse (R, [v]x1 7→a) Í (
(0 · x1 = x3) → (x3 = 0))
para todo a ∈Rsse (R, [v]x1 7→a) ͬ(0 · x1 = x3) ou (R, [v]x1 7→a) Í (x3 = 0) para todo a ∈Rsse (R, [v]x1 7→a) Í (0 · x1 6= x3) ou (R, [v]x1 7→a) Í (x3 = 0) para todo a ∈Rsse [v]x1 7→a(0 · x1) 6= [v]x1 7→a(x3) ou [v]x1 7→a(x3) = [v]x1 7→a(0) para todo a ∈Rsse [v]x1 7→a(0) ·R [v]x1 7→a(x1) 6= [v]x1 7→a(x3) ou [v]x1 7→a(x3) = [v]x1 7→a(0) = para todo a ∈Rsse 0R·Ra 6= 4 ou 4 = 0 para todo a ∈R
portanto a interpretação dada pela estrutura e pela valoração satisfaz a fórmula já que, em N,
vale que 0 ·a 6= 4.
Valor-verdade com respeito a uma valoração. Para cada fórmula α atribuímos um valor-verdade
V (α) ∈ 0,1 de acordo com a interpretação (E, v) que é definido recursivamente por
(1) V (s = t ) = 1 sse v(s) é o mesmo elemento do domínio que v(t );
Modelo. Dizemos que a estrutura E é uma modelo para α se
(E, v) Íα para todo v
e então escrevemos
EÍα.
Dizemos que α é verdadeira na interpretação E se esse é um modelo para α; se nenhuma valo-
ração de E satisfaz α, dizemos que α é falsa na interpretação E.
Observemos que
• uma fórmula não pode ser verdadeira e falsa num modelo;
• se for verdadeira num modelo então a negação será falsa no mesmo modelo;
• uma fórmula com variáveis livres pode não ser nem verdadeira e nem falsa num modelo.
Agora, se vale
(E, v) Íα para todo (E, v)
então α é uma tautologia, ou uma verdade lógica, e escrevemos
Íα
como, por exemplo, em Í∀x (x = x).
Exemplo 37. Í∀x (x = x) sse (M, v) Í∀x (x = x) sse (M, [v]x 7→a) Í (x = x) para qualquer a no do-
mínio M deM (recordemos que qualquer domínio deve ser não vazio). Mas [v]x 7→a(x) = [v]x 7→a(x)
para qualquer valoração v e qualquer a no domínio M, portanto (M, [v]x 7→a) Í (x = x).
Exemplo 38. Seja D uma estrutura cujo domínio D tenha pelo menos dois elementos. Então
DÍ∀x ∃y (x 6= y).
De fato, seja a ∈ D um elemento arbitrário. Como D tem pelo menos 2 elementos
dado a ∈ D, podemos escolher b ∈ D com b 6= a de modo que (E, [v]x 7→a,y 7→b) Í x 6= y.
Como a foi arbitrário (E, v) Í∀x ∃y (x 6= y).
Exemplo 39. Se a variável x não ocorre no termo t então EÍ∃x (x = t ).
Seja v uma valoração em E.
(E, v) Í∃x (x = t ) sse((E, [v]x 7→a) Í (x = t )
)para algum a ∈ E
sse ([v]x 7→a(x) = [v]x 7→a(t )) para algum a ∈ E
sse (a = v(t )) para algum a ∈ E
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em que [v]x 7→a(t )) = v(t ) decorre o fato de x não ocorrer em t. Como v(t ) ∈ E vale que (a =v(t )) para algum a ∈ D, portanto, EÍ∃x (x = t ).
Metateorema 17. Se MÍα e MÍα→β então MÍβ.
Demonstração. Seja v uma valoração qualquer. Então (M, v) Í α e, (M, v) Í ¬α ou (M, v) Í β.
Então (M, v) Íβ.
Metateorema 18. Se MÍα então MÍ∀xα.
Demonstração. Se MÍα então (M, v) Íα para toda valoração v , em particular, (M, [v]x 7→a) Íαpara todo a no domínio de M.
Exercício 15. Verifique que Í∀x ∃y (x = y).
Exercício 16. Em LO , linguagem com um só símbolo extralógico, <, considere a estrutura Q =(Q,<Q) com <Q a relação menor que usual entre racionais. Então
(1) Q Í∀x1 (∃x2 (x1 < x2)).
(2) Q Í∃x3 (∃x4 (x3 < x4 → x3 = x4)).
Notemos que enquanto para qualquer interpretação (E, v) temos que (E, v) Í α ou (E, v) Í ¬αpara qualquer fórmula α, no caso de modelo temos E Í α ou E Í ¬α somente para sentenças,
como provamos a seguir. Lembremos que fórmula α sem ocorrência de variáveis livre é dita
sentença.
Teorema 36. Sejam E uma estrutura para uma linguagem L . Para toda fórmula α ∈L , se v e w
são valorações tais que v(y) = w(y), para toda variável y que ocorre livre em α, então
(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.
Corolário 37. Se α é uma sentença de L e E é uma estrutura par L , então EÍα ou Eͬα.
Demonstração do Teorema. A demonstração é por indução na fórmula α.
O teorema vale para fórmulas atômicas: se α é da forma t1 = t2, então toda variável da fórmula é
livre portanto v(t1) = w(t1) e v(t2) = w(t2) de modo que
(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.
Se α é da forma R(t1, . . . , tn), então toda variável da fórmula é livre portanto v(ti ) = w(ti ) para
todo i de modo que (v(t1), . . . , v(tn)) = (w(t1), . . . , w(tn)) portanto (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RE se, e só
se, (w(t1), . . . , w(tn)) ∈ RE logo
(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.
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Se o teorema vale para α então vale para ¬α: se
(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα
então
(E, v) 6Íα se, e somente se, (E, w) 6Íα
portanto
(E, v) ͬα se, e somente se, (E, w) ͬα.
Se o teorema vale para α e β então vale para α→β:
(E, v) Íα→β sse
(E, v) ͬα ou (E, v) Íβ sse
(E, w) ͬα ou (E, w) Íβ sse
(E, w) Íα→β
portanto
(E, v) Íα→β se, e somente se, (E, w) Íα→β
Se o teorema vale para α então vale para ∀xα: suponha (E, v) Í ∀xα. Fixado um b ∈ E , temos
que (E, [v]x 7→b) Íα. Agora, se y é uma variável livre em α e y 6= x então
[v]x 7→b(y) = [w]x 7→b(y)
pois v(y) = w(y); se y = x
[v]x 7→b(y) = [w]x 7→b(y) = b.
Portanto, (E, [w]x 7→b) Íα pois o teorema vale paraα. Como b é arbitrário, o argumento vale para
todo b, ou seja,
(E, w) Í∀xα.
A recíproca (se (E, w) Í∀xα então (E, v) Í∀xα) é demonstrada com argumentação análoga.
Pelo Princípio da Indução para fórmulas, o Teorema vale para toda fórmula de L .
Demonstração do corolário. Seja α uma sentença e E uma estrutura.
Se E 6Í α então, para algum v , (E, v) 6Í α. Assim, para alguma valoração v , (E, v) Í ¬α. Como α
não tem variáveis livres (E, w) ͬα, para qualquer valoração w . Portanto Eͬα. A recíproca é
análoga.
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Exemplo 40. A sentença ∀x∀y (x = y) é falsa em qualquer modelo com pelo menos dois elementos
pois, se não for falsa será verdadeira e se esse é o caso então (M, v) Í ∀x∀y (x = y) sse caso então
(M, [v]x 7→a,y 7→b) Í x = y para todo a e todo b. Se o modelo tem pelo menos dois elementos então
podemos tomar a e b distintos, o que torna a sentença falsa.
Exercício 17. Demonstre usando indução para fórmula que se t é uma substituição admissível
para x em α então
(M , v) Í [α]tx sse (M , [v]x 7→v(t )) Íα.
Exercício 18. Verifique que os axiomas do sistema de Hilbert são verdades lógicas.
9.3. Consequência lógica e equivalência semântica. Sejam L uma linguagem, (E, v) uma es-
trutura para L e Γ⊂L um conjunto de fórmulas. Escrevemos
(E, v) Í Γ
e dizemos que (E, v) satisfaz Γ, se e só se,
(E, v) Íα para todo α ∈ Γ.
Numa linguagem L a fórmula α é consequência lógica (ou consequência semântica) de Γ, e
escrevemos
ΓÍαse para todo (E, v) tal que (E, v) Í Γ tem-se (E, v) Íα.
Exemplo 41. α,α→β ÍβSe (E, v) Í α,α→β então (E, v) Íα e (E, v) Íα→β ou seja
(1) (E, v) Íα e
(2) (E, v) ͬα ou (E, v) Íβ
mas (E, v) ͬα se, e só se, (E, v) 6Íα, portanto (E, v) Íβ.
Exercício 19. ∀xα,∀xα→β Í∀xβ
Exercício 20. ∀xαÍ [α]tx sempre que a substituição é admissível.
Metateorema 19. Sejam Γ um conjunto de fórmulas e α e β fórmulas, todos de uma linguagem
L .
Γ,αÍβ se, e só se, ΓÍα→β.
Demonstração. Assumimos a hipótese que Γ,αÍβ e provaremos ΓÍα→β.
Se (E, v) Í Γ temos
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(1) (E, v) Íα: nesse caso, pela hipótese, (E, v) Íβ; ou