Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 ⧫ Bài 1: QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 1. Tính đơn điệu của hàm số: a. Định nghĩa: + Hàm số f (x) được gọi là đồng biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x Dx x fx fx + Hàm số f (x) được gọi là nghịch biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x Dx x fx fx b. Định lý: + Hàm số () y fx đồng biến trên khoảng (a;b) ' 0, ( ; ). y x ab + Hàm số () y fx nghịch biến trên khoảng (a;b) ' 0, ( ; ). y x ab 2. Cực trị của hàm số: + Hàm số () y fx đạt cực trị tại 0 x nếu 0 '( ) 0 yx . + Hàm số () y fx đạt cực đại tại 0 x nếu đạo hàm ' y đổi dấu từ + sang – khi đi qua 0 x . + Hàm số () y fx đạt cực tiểu tại 0 x nếu đạo hàm ' y đổi dấu từ – sang + khi đi qua 0 x . y f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Định lý . Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f ’ (x 0 ) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . + Nếu f ’’ (x 0 ) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x 0 . + Nếu f ’’ (x 0 ) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x 0 . + Nếu f ’’ (x 0 ) = 0 thì hàm số f(x) không có cực trị. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1: Xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số y = f(x). a. Qui tắc 1: + B 1 : Tìm tập xác định (giả sử D = R, a < 0) + B 2 : Tính f ’ (x) và giải phương trình f ’ (x) = 0 BBT: + B 3 : Lập bảng biến thiên và kết luận x -∞ x 1 x 2 x 3 +∞ b. Qui tắc 2: + Tính f ’’ (x) và tính f ’’ (x i ).(x i là nghiệm pt f ’ (x)) f ’ (x) + 0 - 0 + 0 - + Nếu f ’’ (x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i . + Nếu f ’’ (x) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i . f(x) CĐ CĐ + Nếu f ’’ (x) = 0 thì hàm số không có cực trị. CT ⧩ Chú ý: Cách xét dấu của phương trình. + Ta xét dấu từ phải sang trái, bên phải cùng dấu với hệ số a (nếu phương trình tích, thương thì cùng dấu tích các hệ số a) qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu. Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 2 2 y x x x b) 4 2 3 2 2 x y x c) 2 1 5 x y x d) 2 2 26 2 x x y x j j j x x x d b i i i x x x c j j j x x x a x
16
Embed
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ … · Gia sư Thành Được 3 6) Tìm m để hàm số: y mx 4 xm ( ;1) nghịch biến trên khoảng f ĐS: d 21m x Bài 3: Ứng
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
1
⧫ Bài 1: QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. Tính đơn điệu của hàm số: a. Định nghĩa:
+ Hàm số f (x) được gọi là đồng biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x D x x f x f x
+ Hàm số f (x) được gọi là nghịch biến trên D nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x D x x f x f x
b. Định lý:
+ Hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng (a;b) ' 0, ( ; ).y x a b
+ Hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng (a;b) ' 0, ( ; ).y x a b
2. Cực trị của hàm số:
+ Hàm số ( )y f x đạt cực trị tại 0
x nếu 0
'( ) 0y x .
+ Hàm số ( )y f x đạt cực đại tại 0
x nếu đạo hàm 'y đổi dấu từ + sang – khi đi qua 0
x .
+ Hàm số ( )y f x đạt cực tiểu tại 0
x nếu đạo hàm 'y đổi dấu từ – sang + khi đi qua 0
x .
y
f(x1)
f(x2)
x1 x2
Định lý . Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,
f ’(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
+ Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0.
+ Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.
+ Nếu f ’’(x0) = 0 thì hàm số f(x) không có cực trị.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1: Xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số y = f(x).
a. Qui tắc 1: + B1: Tìm tập xác định (giả sử D = R, a < 0)
+ B2: Tính f ’(x) và giải phương trình f
’(x) = 0 BBT:
+ B3: Lập bảng biến thiên và kết luận x -∞ x1 x2 x3 +∞
b. Qui tắc 2: + Tính f ’’(x) và tính f
’’(xi).(xi là nghiệm pt f
’(x)) f
’(x) + 0 - 0 + 0 -
+ Nếu f ’’(x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
+ Nếu f ’’(x) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi. f(x) CĐ CĐ
+ Nếu f ’’(x) = 0 thì hàm số không có cực trị. CT
⧩ Chú ý: Cách xét dấu của phương trình.
+ Ta xét dấu từ phải sang trái, bên phải cùng dấu với hệ số a (nếu phương trình tích, thương thì
cùng dấu tích các hệ số a) qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của các hàm số sau:
a) 3 22 2y x x x b) 4
2 3
2 2
xy x c)
2 1
5
xy
x
d)
22 26
2
x xy
x
j j jx x x
d b
i i ix x x
c
j j jx x x
a x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
2
e) 2 1 3y x x f) 22y x x g) 3 4( 2) ( 1)y x x h) 22y x x x
Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) xxy 2sin b) xxy 2sin2 c)2sin 3cos , [0; ].y x x x
Bài 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến)
a. Tìm m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định
B1: Tìm tập xác định D
B2: Tính f ’(x)
+ Hàm số f(x) đồng biến trên D khi và chỉ khi f ’(x) 0 x D
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi f ’(x) 0 x D
Chú ý. +
0
0,02
aRxcbxax +
0
0,02
aRxcbxax
+ Nếu a chứa tham số phải xét trường hợp a = 0
b. Tìm m để hàm số dcxbxaxxf 23)( đồng biến (nghịch biến) trên (α, β)
B1: Tìm tập xác định D B2: Tính f ’(x)
Cách 1: Nếu tham số m có mũ bậc nhất.
+ Hàm số f(x) đồng biến trên (α; β) f ’(x) 0 ∀x ∈ (α; β) ( )m g x ax ( )m M g x
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên (α; β) f ’(x) 0 ∀x ∈ (α; β) ( ) min ( )m g x m g x
Cách 2: Nếu tham số m có mũ bậc hai và phương trình f ’(x) có ∆ = (km + h)
2
→ f ’(x) có hai nghiệm x1 , x2
với x1 < x2
+ f(x) đồng biến (α; β)
21
2
1
0
0
xxa
x
xa
nghịch biến (α; β)
21
2
1
0
0
xxa
x
xa
+ f(x) đồng biến (-∞; α) ⇔ a > 0, x1 > α, nghịch biến (-∞; α) ⇔ a < 0, x1 > α,
+ f(x) đồng biến (α; +∞) ⇔ a > 0, x2 < α, nghịch biến (α; +∞) ⇔ a < 0, x2 < α,
c. Hàm số y = dcx
bax
có TXĐ: D =
c
dR \ ,
2
/
)( dcx
bcady
+ Hàm số f(x) đồng biến (-∞; α)
cd
bcad
/
0, f(x) nghịch biến (-∞; α)
cd
bcad
/
0
+ Hàm số f(x) đồng biến (α; +∞)
cd
bcad
/
0 , f(x) nghịch biến (α; +∞)
cd
bcad
/
0
1) Tìm các giá trị của m để hàm số 3 214 3
3y x mx x đồng biến trên R. ĐS: 2 2m
2) Với giá trị nào của m hàm số: 2 3 21
( 6) ( 2) 3 43
y m m x m x x luôn nghịch biến trên R.
ĐS: - 7/4 ≤ m ≤ 2
3)(KA -13) Tìm m để hàm số 3 2y x 3x 3mx 1 (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ) ĐS: m ≤ -1
4) Tìm m để hàm số 3 21 1 3 43
y x m x m x đồng biến trên (0, 3) ĐS: 127
m
5) Cho hàm số: 3
)1(3
1 3223 m
xmmxxy (C). Tìm m để hàm số (C).
a, đồng biến [0; 2] b. đồng biến (1; +∞) ĐS: a. m ≥ 3 ˅ m ≤ - 1, b. m ≤ 0
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
3
6) Tìm m để hàm số: y 4mx
x m
nghịch biến trên khoảng ( ;1) ĐS: 2 1m
Bài 3: Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh đẳng thức )()( xvxu
+ Đặt: )()()( xvxuxf
+ Tính )(/ xf và chứng minh )(/ xf > 0 hoặc )(/ xf < 0
+ Nếu )(/ xf > 0 suy ra )(xf đồng biến với mọi 0)()()0()(0 xvxufxfx
Chứng minh các đẳng thức sau:
a, 3
s inx , 06
xx x b, tan , 0
2x x khi x
c,
20,
3tan
3 x
xxx
d, 2sin t anx 3 , (0; )2
x x x
e, xxx
x2
111
82
11
2
với (0 < x < +∞)
Bài 4: Các bài toán cực trị hàm số
a. Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x = a.
+ Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a 0)(/ af và chứng minh 0)(// af
+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a 0)(/ af và chứng minh 0)(// af
+ Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , y0
00
0
/
)(
0)(
yxf
xf và chứng minh 0)( 0
// xf
b. Xác định tham số để hàm số có cực trị Với hàm số bậc ba đạo hàm là một tam thức bậc hai : f
’(x) = Ax
2 + Bx + C, (A 0).
+ Hàm số f(x) đạt một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt 0,0 A
+ Hàm số f(x) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm kép hoặc vô
nghiệm 0
Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax
3 + 2bx = 2x(2ax
2 + b) ,
)1(02
00
2
/
bax
xy
+ Hàm số có ba cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 02
a
b
Khi đó hàm số có hai cực tiểu, một cực đại khi a > 0; có hai cực đại, một cực tiểu khi a < 0.
+ Hàm số có một cực trị (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0 02
a
b
Chú ý:
+ Nếu không tìm được hai điểm cực trị ta qui về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm.
+ Để tìm cực trị của hàm số đa thức y = f(x) ta lấy y chia cho y’ và viết hàm số dưới dạng:
y = y’.h(x) + g(x). Khi đó, nếu x0 là điểm cực trị thì y0 = g(x0)
1) Tìm m để hàm số: 1)4(3)1( 223 mxmxmxy đạt cực đại tại x = 0. (Đ/S: 2m )
2) Xác định b, c để hàm số: y = 2
1x
4 + 2bx
2 + c đạt cực trị tại x = -1, y =
2
1 (Đ/S: b = -
2
1 , c = 1)
3) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số: y = ax3 + bx
2 + cx + d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0,
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1. (Đ/S: a = - 2, b = 3, c = d = 0)
4) Tìm m để hàm số: 53)2( 23 mxxxmy có cực đại, cực tiểu. (Đ/S: 13,2 mm )
5) Định m để hàm số: y = mx4 + (m
2 – 9)x
2 + 10 có 3 điểm cực trị (Đ/S: m < - 3 ˅ 0 < m < 3)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
4
6) Tìm m để hàm số: y 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3x m x m x có hai cực trị hoành độ dương. (Đ/S: m > 2 )
7)(KB-14) Cho hàm số 3 3 1 y x mx (1), Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị (1) có hai cực trị B và
C sao cho tam giác ABC cân tại A. ĐS: m = 1/2
8)(KB-12) Cho hàm số 3 2 33 3 (1)y x mx m , m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai
điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. ĐS: m 0, m = 2
9)(KA-12) Cho hàm số 4 2 22 1 1y x ( m )x m ( ) ,với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. ĐS: m > -1, m = 0
10)(KB-13)Cho hàm số 3 22 3( 1) 6 (1)y x m x mx . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị
A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2. ĐS: m = 0, m = 2.
⋇ Bài tập tương tự
Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của các hàm số sau:
1) 31292 23 xxxy 2)2
2
1
1
x xy
x x
3)
4
2482
2
x
xxy 4) 3 2 2y x x
Bài 2: Xác định tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến
1) Tìm m để hàm số: y 3 22 ( 3)3
mx x m x m đồng biến trên R ĐS: 1m
2) Tìm m để hàm số: y = 2
1
x m
mx
nghịch biến trên tập xác định của nó. ĐS: m < - 2 ˅ m > 2
3) Tìm m để 3 2 11 3 23 3my x m x m x đồng biến trên 2, ĐS:
2
3m
4) Tìm m để hàm số 123 xmxxy nghịch biến trên khoảng (1; 2). ĐS: 4/13m
5) Cho hàm số 1)1(6)12(32 23 xmmxmxy có đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số
a. đồng biến trên khoảng (2; ) b. nghịch biến trên (1; 2
3) ĐS: a. m ≤ 1 b.
2
1 < m < 1
6) Tìm m để hàm số mx
mxy
1 đồng biến trên (2; +∞) ĐS: - 2 ≤ m < -1 ˅ m > 1
Bài 3: Cực trị hàm số
1) Tìm m để hàm số: 5)3( 23 mmxxmxy đạt cực tiểu tại x = 2. Đ/S: 0m
2) Tìm m để hàm số: 5)2(2 24 mxmmxy đạt cực đại tại 2
1x . ĐS:
3
8m
3) Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số y = x3 + ax
2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và
đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 0). Đ/S: a = 3, b = 0, c = - 4
4) Tìm m để hàm số: 1)1(3 23 xmmxmxy không có cực trị. Đ/S: 4/10 m
5) Tìm m để hàm số 3 21 13
f x x mx mx đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện 1 2 8x x .
ĐS: 1 65 1 65
, ,2 2
m
6) Tìm m để hàm số: 4 2 42 2f x x mx m m có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều. ĐS: m 3 3
7) Tìm m để hàm số: 142 24 mxmxy có 2 điểm cực tiểu, một cực đại và khoảng cách giữa chúng
bằng 5. ĐS: m = 1/25
8) Tìm m để hàm số y = x4 – 2mx
2 + 2m + m
4 có 3 cực trị A, B, C sao cho S ABC = 6 ĐS: m 5 6
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
5
9)(KD- 12) Cho hàm số y = 2
3x
3 – mx
2 – 2(3m
2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực. Tìm m để hàm số
có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 ĐS:m < 2
13
V m >
2
13, m =
2
3
10)(KB-11) Cho h/s 4 22 1y x ( m )x m (1). Tìm m để đồ (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho
OA = BC, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. ĐS:m > -1,m = 2 2 2
⧫ Bài 2: Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giả sử hàm số f(x) có tập xác định D (D R)
+ 0 0
( ) ,max ( )
: ( )D
f x M x DM f x
x D f x M
+
0 0
( ) ,min ( )
: ( )D
f x m x Dm f x
x D f x m
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng ta sử dụng phương pháp.
Tính f (x).
Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
Dựa và bảng biến thiên ta có Maxf(x) = CĐ, minf(x) = CT
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b] ta sử dụng phương pháp.
Tính f (x).
Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x1, x2, …, xn treân [a; b] (nếu có).
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận:
mxfMxMaxfbaba
;;
)(min,)(
Ví dụ 1: Tìm giá trị LN, NN của các hàm số sau
1) 21
4
xy
2)
xxy
4 trên (0; +∞) 3)
123
310202
2
xx
xxy 4)
xy
cos
1 trên
2
3;
2
ĐS: 1. max y = 4 2. min y = 4 3. min y = 2/5 , max y = 7 4. max y = -1
Ví dụ: Tìm giá trị LN, NN của các hàm số sau
1)3 22 3 12 1y x x x trên [–1; 5] 2) y = x
4 - 3x
3 - 2x
2 + 9x. trên [-2; 2]
3) |65| 2 xxy trên [- 5; 5] 4) 225 xy trên [- 4; 4] 5) 2 4y x x
6) 24 xxy 7) 2 cos2 4siny x x trên 0;2
8) y = x + cos2x trên [0;
4
]
ĐS: 1. Max y =266, min y = -6 2. Max y = 14, min y = - 7 3. Max y = 56, min y = 0
4. max y = 5, min y = 3 5. Max y = 2 3 , min y = 6 6. Max y = 2 2 , min y = - 2
7. max y = 2 2 , min y = 2 8. Max y = 2/14/ , min y = 1
⋇ Bài tập tương tự
1) y = x3 - 3x
2 - 9x + 35 Trên đoạn [-4; 4] 2)
2 2( 0)y x x
x 3)
22 5 4
2
x xy
x
trên [0; 1]
4) y 24x x 5) 21 xxy 6)
1
12
xxy trên khoảng (1; ).
7)2sin 1
sin 2
xy
x
8)
2
1
cos cos 1y
x x
9) ,sin
2
2 xx
y trên
2;
2
10) Tìm tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
( )1
x m mf x
x
trên đoạn [0;1] bằng -2
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
6
11) Cho hàm số cos 1
cos 2
k xy
x
. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1.