Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik Newton

Rukmono Budi Utomo

March 1, 2016

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton

2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik NewtonBerbeda dengan Metode numerik Golden Rasio danFibonacci yang tidak memerlukan f

′(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode NewtonKarakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa halseperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bkI Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencarif (µk+1)

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik NewtonBerbeda dengan Metode numerik Golden Rasio danFibonacci yang tidak memerlukan f

′(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode NewtonKarakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa halseperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bkI Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencarif (µk+1)

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik NewtonBerbeda dengan Metode numerik Golden Rasio danFibonacci yang tidak memerlukan f

′(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode NewtonKarakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa halseperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bk

I Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencarif (µk+1)

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik NewtonBerbeda dengan Metode numerik Golden Rasio danFibonacci yang tidak memerlukan f

′(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode NewtonKarakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa halseperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bkI Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencarif (µk+1)

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Metode Numerik NewtonBerbeda dengan Metode numerik Golden Rasio danFibonacci yang tidak memerlukan f

′(x), metode numerik

Newton memerlukan turunan dari fungsi f (x) tersebut.

Karakteristik Metode NewtonKarakteristik metode numerik Newton ditandai oleh beberapa halseperti:

I tidak memulai dengan selang ak dan bkI Mencari λk+1, namun tidak mencari µk+1

I Konsekuensi dari tidak mencari µk+1 adalah tidak mencarif (µk+1)

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusinilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x)

I tentukan nilai f′(x) dan f

′′(x)

I tentukan xk+1 = xk − f′(xk )

f ′′ (xk )

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenanbarisan yang merupakan solusi asli dari permasalahanoptimisasi tersebut.

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusinilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x)

I tentukan nilai f′(x) dan f

′′(x)

I tentukan xk+1 = xk − f′(xk )

f ′′ (xk )

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenanbarisan yang merupakan solusi asli dari permasalahanoptimisasi tersebut.

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusinilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x)

I tentukan nilai f′(x) dan f

′′(x)

I tentukan xk+1 = xk − f′(xk )

f ′′ (xk )

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenanbarisan yang merupakan solusi asli dari permasalahanoptimisasi tersebut.

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusinilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x)

I tentukan nilai f′(x) dan f

′′(x)

I tentukan xk+1 = xk − f′(xk )

f ′′ (xk )

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenanbarisan yang merupakan solusi asli dari permasalahanoptimisasi tersebut.

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Algoritma Newton

I tentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat pada nilai solusinilai x asli yang meminimumkan atau memaksimumkan f (x)

I tentukan nilai f′(x) dan f

′′(x)

I tentukan xk+1 = xk − f′(xk )

f ′′ (xk )

I iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenanbarisan yang merupakan solusi asli dari permasalahanoptimisasi tersebut.

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Contoh Soalcarilah titik x yang meminimumkan fungsi

f (x) =

{4x3 − 3x4, x ≥ 04x3 + 3x4, x < 0

solusiAmbil x1 = 0.4 (Kenapa? )karena x1 = 0.4 ≥ 0, maka diambil fungsif (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikianf′(x) = 12x2 − 12x3 dan f

′′(x) = 24x − 36x2

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Contoh Soalcarilah titik x yang meminimumkan fungsi

f (x) =

{4x3 − 3x4, x ≥ 04x3 + 3x4, x < 0

solusiAmbil x1 = 0.4 (Kenapa? )karena x1 = 0.4 ≥ 0, maka diambil fungsif (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikianf′(x) = 12x2 − 12x3 dan f

′′(x) = 24x − 36x2

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f′(0.4) = 1.152 , f

′′(0.4) = 3.84 dan

x2 = 0.1 ≥ 0

Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikian f

′(0.1) = 0.108 , f

′′(0.1) = 2.04 dan

x3 = 0.047 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )f′(0.047) = 0.025254 , f

′′(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensinilai xk mendekati nilai x yang sesungguhnya

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f′(0.4) = 1.152 , f

′′(0.4) = 3.84 dan

x2 = 0.1 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )

Dengan demikian f′(0.1) = 0.108 , f

′′(0.1) = 2.04 dan

x3 = 0.047 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )f′(0.047) = 0.025254 , f

′′(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensinilai xk mendekati nilai x yang sesungguhnya

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f′(0.4) = 1.152 , f

′′(0.4) = 3.84 dan

x2 = 0.1 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikian f

′(0.1) = 0.108 , f

′′(0.1) = 2.04 dan

x3 = 0.047 ≥ 0

Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )f′(0.047) = 0.025254 , f

′′(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensinilai xk mendekati nilai x yang sesungguhnya

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f′(0.4) = 1.152 , f

′′(0.4) = 3.84 dan

x2 = 0.1 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikian f

′(0.1) = 0.108 , f

′′(0.1) = 2.04 dan

x3 = 0.047 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )

f′(0.047) = 0.025254 , f

′′(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensinilai xk mendekati nilai x yang sesungguhnya

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

lanjutan

Dengan demikian f′(0.4) = 1.152 , f

′′(0.4) = 3.84 dan

x2 = 0.1 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )Dengan demikian f

′(0.1) = 0.108 , f

′′(0.1) = 2.04 dan

x3 = 0.047 ≥ 0Dipilih f (x) = 4x3 − 3x4(kenapa? )f′(0.047) = 0.025254 , f

′′(0.047) = 1.048 dan x4 = 0..0229 ≥ 0

Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensinilai xk mendekati nilai x yang sesungguhnya

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Perhitungan Iterasi disajikan dalam tabel dibawah iniIterasi λk f

′λ(k) f

′′λ(k) λk+1

1 0.4 1.152 3.84 0.12 0.1 0.108 2.04 0.047... ... ... ... ...5 0.01132 0.00152 0.267 0.0056276 0.005627 0.000379 0.1339 0.002827

Terlihat bahwa nilai λk konvergen ke nilai 0, dengan demikian nilaasli x yang meminimumkan f (x) pada soal ini adalah x = 0

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Perhitungan Iterasi disajikan dalam tabel dibawah iniIterasi λk f

′λ(k) f

′′λ(k) λk+1

1 0.4 1.152 3.84 0.12 0.1 0.108 2.04 0.047... ... ... ... ...5 0.01132 0.00152 0.267 0.0056276 0.005627 0.000379 0.1339 0.002827

Terlihat bahwa nilai λk konvergen ke nilai 0, dengan demikian nilaasli x yang meminimumkan f (x) pada soal ini adalah x = 0

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton

1. Metode Numerik Newton2. Algoritma Newton

3. contoh soal

Tugas Minggu Depan

Bagimana jika diberikan fungsi

f (x) =

{4x3 + 3x4, x ≥ 04x3 − 3x4, x < 0

Selesaikan dengan Metode NewtonDikumpul minggu depan dalam wujud Latex Beamer

Rukmono Budi Utomo Metode Numerik Newton