Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica, a través dels textos Josep Pla i Carrera Professor emèrit Universitat de Barcelona Membre numerari Reial Acadèmia de Doctors Ateneu Barcelonès Sala Verdaguer Barcelona, 30 de maig del 2019 Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 1 / 40
40
Embed
New Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica, a … · 2019. 6. 20. · Ateneu Barcelonès Sala Verdaguer Barcelona,30 de maig del 2019 Josep Pla i Carrera Contrastos
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Contrastos entre les matemàtiquesegípcia i mesopotàmica,
a través dels textos
Josep Pla i CarreraProfessor emèrit
Universitat de BarcelonaMembre numerari
Reial Acadèmia de Doctors
Ateneu BarcelonèsSala Verdaguer
Barcelona, 30 de maig del 2019
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 1 / 40
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 2 / 40
Història de la matemàtica: Grècia i Mesopotàmia
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 3 / 40
Mesopotàmia i Egipte
MESOPOTÀMIA EGIPTE
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 4 / 40
Dues icones
La tauleta YBC 7 289 El problema 14 del papir de Moscú
Són dos textos matemàtics originals i d’autors dessconeguts.
Necessitem més imformació per a poder-los interpretar.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 5 / 40
2. Els sistemes de numeraciómesopotàmic i egipcis
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 6 / 40
MESOPOTÀMIA
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 7 / 40
El sistema de numeració mesopotàmic
El càlam, i ús per a l’obtenció del clau , l’espiga i la rodona •.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 8 / 40
El sistema de numeració mesopotàmic
Els seixanta primers nombres del sistema posicional mesopotàmic
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 9 / 40
Una taula de multiplicar mesopotàmica
Davant DarrereJosep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 10 / 40
El Plimpton 322
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 11 / 40
El Plimpton 322
Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4? catet b hipotenusa c fila
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 21 / 40
EGIPTE
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 22 / 40
El volum d’un tronc de piràmide delpapir de Moscú o papir Golenishchev
El volum d’un tronc de pi-ràmide de bases quadrades.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 23 / 40
El volum d’un tronc de piràmide delpapir de Moscú o papir Golenishchev
Si ens diuen: Un tronc de piràmide d’altura vertical 6, base inferior 4 ibase superior 2:
Fem el quadrat de 4. Resultat: 16.Fem el doble de 4. Resultat: 8.Fem el quadrat de 2. Resultat: 4.Sumem 16, 8 i 4. Resultat: 28.Agafem una tercera part de 6. Resultat: 2.Fem el doble de 28. Resultat: 56.
Fet! És 56. Això és correcte!De fet, l’escriba usa l’expressió, molt notable:
Vtronc de piràmide = h
3 (a2 + ab + b2).
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 24 / 40
3. La divisió numèrica a les matemàtiquesegípcia i mesopotàmica
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 25 / 40
MESOPOTÀMIA
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 26 / 40
La taula d’inversos a MesopotàmiaEn la matemàtica mesopotàmica la divisió procedeix per multiplicaciódirecta. És a dir,
a ÷ c = a × c−1.
Això fa que les taules d’inversos siguin importants i necessàries.Els inversos dels nombres regulars (mesopotàmics)
del 2 al 81, expressats en base 10.c c−1 c c−1 c c−1
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 28 / 40
EGIPTE
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 29 / 40
La divisió a EgipteEls sis primers problemes del papir Rhind —inicialment perduts i re-trobats més tard en un fragment que es conserva al Museu Metropolitàd’Art de Nova York— demanen:
Repartiu 1, 2, 6, 7, 8 o 9 pans entre 10 persones.
Són divisions que porten a nombres fraccionarisLes fraccions unitàries en jeroglífic i en hieràtic
_̂|||
_̂||||
_̂∩
_̂|∣∣
2 := 12 3 := 1
3 4 := 14 5 := 1
5 3 := 23
23
12
13
14 5̇ 6̇ 7̇ 8̇ 9̇ 1̇0
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖15
16
17
18
19
110
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 30 / 40
La divisió a Egipte
L’escriba diu que 9 pans repartitsentre 10 persones dona 2
3+ 15+ 1
30 ,que escriurem 3 5 30.
I ho prova a l’inrevés:Multiplica 3 5 30 per 10i veu que dona 9.
1 3 5 30X 2 1 3 10 30
4 3 2 10X 8 7 5
10 9
Però, de fet, com es divideix 9 entre 10?No ho sabem!, però potencia 3.
910 = 27
30 = 2030 + 6
30 + 130 = 3 5 30.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 31 / 40
La divisió a EgipteNosaltres probablement no ho hauríem fet així.Molt probablement, no se’ns hauria acudit usar la fracció 2
3 .Hauríem fet:
910
= 510 + 4
10 = 12 + 2
5.
Però, la fracció 25 , com s’escriu, si només podem usar fraccions
unitàries diferents?Això ens ho diu la taula de fraccions binàries del papir Rhind.
25
= 13 + 1
15 .
Per tant,9
10= 1
2 + 13 + 1
15 ,
que és diferent del de l’escriba Ahmés.Teorema. L’escriptura d’una fracció per mitjà de fraccions contínuesno és única.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 32 / 40
La taula de les fraccions n, amb 3 ≤ n ≤ 101 expressades com asuma de fraccions unitàries del papir Rhind
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 33 / 40
La divisió a Egipte
1 3 5 30 1 23
15
130
X 2 1 3 10 30 X 2 43
25
230
= 113
25
115
= 1 13
(13
115
) 115
= 1 23
215
= 1 23
( 110
130
)4 3 2 10 4 3
[(13
115
) 110
] 110 = 3 1
2110
X 8 7 5 X 8 7 15
10 9
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 34 / 40
La suma de fraccions a Egipte
Però encara tenim un problema que, en algunes ocasions, pot sercomplex.
Com sabem que 1 3 10 30 i 7 5 dona 9?Veiem que dona 8 3 5 10 30Com sabem que 3 5 10 30 dona 1?
Apliquem-lo a 30. És a dir, calculem: 30× 3 5 10 30. [És la maneraegípcia de treure denominadors.]
30× 3 5 10 30 = 20 + 6 + 3 + 1 = 30.
Per tant, 3 5 10 30 = 1.
No sempre és tan fàcil!!!
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 35 / 40
La divisió a Egipte
Fem un exemple més aclaridor:Fem la reducció de la fracció 25
26 .
Pas 1 Atès que 25 = 13 + 12, dona:
Pas 2 2526 = 13
26 + 1226 = 1
2 + 613 .
Pas 3 613 = 3× 2
13 .
Pas 4 213 = 1
8 + 152 + 1
104 .
Pas 5 3× 213 = 3×
(18 + 1
52 + 1104
)=
Pas 7 = 38 + 3
52 + 3104 = 1
4 + 18 + 1
26 + 152 + 1
52 + 1104 =
Pas 8 = 14 + 1
8 + 126 + 2
52 + 1104 = 1
4 + 18 + 2
26 + 1104 = 1
4 + 18 + 1
13 + 1104
Pas 9 i definitiu 2526 = 1
2 + 14 + 1
8 + 113 + 1
104 .Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 36 / 40
Bibliografia succinta[Bu] David M. BURTON (1985). The History of Mathematics. An introduction. Bos-
ton. Allyn and Bacon, Inc.[Cla] Marshall CLAGETT (1999). Ancient Egyptian Science: A Source Book. Vol. 3:
Ancient Egyptian Mathematics. Filadèlfia. American Philosophical Society.[Dor] Carlos DORCE POLO (2013). Història de la matemàtica. Des de Mesopotà-
mia al Renaixement. Barcelona: Edicions de la Universitat de Barcelona.[Fri] Jöran FRIBERG (2005). Unexpected Links between Egyptian and Babylonian
Mathematics. Londres: World Scientific".——— (2007). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. Nova
York: Springer-Verlag.[Katz] Victor J. KATZ (ed.) et alli. (2007).The Mathematics of Egypt, Mesopotamia,
China, India, and Islam: A Source Book. Princeton, Nova Jersei: Princeton Uni-versity Press.
[Neu] Otto NEUGEBAUER i Abraham SACHS (1945). Mathematical Cuneiform Texts.New Haven: American Oriental Society.
[Pla] Josep PLA CARRERA (2016). Història de la matemàtica I: Egipte i Mesopotà-mia. Resultats, textos i contextos. Barcelona: Institut d’Estudis Catalans.
Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 37 / 40
a = 2λµ, b = µ2 − λ2, c = µ2 + λ2, amb λ i µ regulars sexagesimals,
i, de retruc, a2 = c2 − b2 regulars sexagesimals.Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 38 / 40
1. El Plimpton 322
L’error I. Podria ser d’escriptura, atès que, en lloc del valor 9,01, hi hauriad’haver 8,01.
L’error II. En lloc de 41,33,59,03,45, hi hauria d’haver41,33,45,14,03,45. Molt probablement, un error de càlcul o decòpia.1
L’error III. Hi trobem 53, quan hi hauria d’haver 1,46, que n’és el doble.L’error IV. En lloc de 7,12,01, hi hauria d’haver 2,41, que n’és l’arrel qua-
drada.L’error V. S’hauria de substituir 3,12,01 per 1,20,25. És força més difícil
de justificar.projecció 12
1Fixeu-vos que 45 + 14 = 59.Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 39 / 40
1. El Plimpton 322
Quin és el significat de la columna 1? ? projecció 12
��
��
����
c
a
b
C
A
BTriangle rectangle asso-sociat a la interpretaciótrigonomètrica de